9.1密码学中的数学原理之再谈碰撞
哈希碰撞计算
哈希碰撞计算在计算机科学中，哈希碰撞指的是两个不同的输入数据产生了相同哈希值的情况。
哈希函数是一种将输入数据映射为固定长度哈希值的数学函数。
理想情况下，哈希函数应该将不同的输入数据映射为不同的哈希值，而且哈希值的分布应该是均匀的。
然而，由于哈希函数的输出 space 要比输入 space 小得多，所以哈希碰撞是不可避免的。
在本文中，将探讨哈希碰撞的计算和相关参考内容。
1. 哈希函数的选择选择恰当的哈希函数是避免碰撞的关键。
一个好的哈希函数应该满足以下特点：- 高效性：计算哈希值的速度应该尽可能快。
- 一致性：对于相同的输入数据，哈希函数应该始终返回相同的哈希值。
- 均匀性：哈希函数应该将输入数据的分布均匀地映射到哈希值空间中。
- 防碰撞性：哈希函数应该尽可能避免碰撞的发生。
常见的哈希函数包括：MD5、SHA-1、SHA-256等。
然而，由于计算技术的发展，一些早期广泛使用的哈希函数已经被证明具有弱碰撞性，因此在实际应用中不再推荐使用。
2. 哈希碰撞的计算哈希碰撞的计算可以通过穷举法和生日攻击来实现。
- 穷举法：穷举法是最基本的计算哈希碰撞的方法，即通过依次生成不同的输入数据并计算哈希值，直到发现相同的哈希值为止。
然而，这种方法在哈希空间较大时将变得非常低效，因为需要遍历整个输入空间。
- 生日攻击：生日攻击是一种概率性的方法，它利用了生日悖论的原理。
生日悖论指的是在一个群体中，至少有两个人生日相同的概率远高于直观感觉。
在哈希碰撞的计算中，生日攻击的思想是通过生成大量的随机输入数据，并计算它们的哈希值。
当生成的随机输入数据数量足够大时，概率上存在两个输入数据哈希值相同的情况。
3. 相关参考内容- "Hash Function Collision Attacks and Countermeasures" 一文介绍了哈希函数碰撞攻击和各种防御措施的研究进展。
- "Understanding Hash Collisions - From Theory to Practice" 是一篇研究论文，详细描述了哈希碰撞的计算方法，并提供了具体的实验结果。
哈希函数的碰撞攻击
31
15
Block1
Block2
Block3
Block4
美国计算机应急小组应对MD5攻击策略
美国计算机应急小组发表 “MD5 vulnerable to collision attacks”文章
MD5的弱点引发碰撞出现，从而 导致攻击者可以生成的不合法密 码口令或其它数据都可通过认证 停止使用MD5算法： 软件开发商、认证中心、网站和 用户应该避免使用MD5算法， 研究表明，MD5已被破解不再 适合将来使用
SHA1碰撞攻击
SHA-1碰撞充分条件：找到 ΔM , H ( M ) = H ( M ⊕ ΔM ) 的充分条件为带概率的320个比特方程，不带概率明文 比特方程104个
一个明文比特 控制方程
251个实施明文修改后以1的概率成立 104个明文条件：建立代数分析模型推出，通过选择明文成立
69 69个条件不能修改，复杂度2 次计算
SHA-1实际碰撞
2017年Mac Stevens等给出了SHA-1的实际碰撞，复杂度 63.1 大约为2 ， 110GPU年
第一部分 第二部分 第三部分 第四部分
哈希函数简介 哈希函数的碰撞攻击
新的哈希函数的设计 总结
新的Hash函数的设计
“The research community is going to have to think very hard about this,” says Massachusetts Institute of Technology cryptographer Ron Rivest. “We clearly have to replace SHA-1.”
计算机网络
物联网
4G手机网络
云计算
密码学的数学原理
现在，让我们回到《暗算》中，黄依依第一次找的结果经过一系列计算发现无法归零，也就是说除不尽，我猜她可能试图将一个大数 N 做分解，没成功。第二次计算的结果是归零了，说明她找到的 N=P×Q 的分解方法。当然，这件事能不能用算盘完成，我就不知道了，但我觉得比较夸张。另外我对该电视剧还有一个搞不懂的问题就是里面提到的“光复一号”密码的误差问题。一个密码是不能有误差的，否则就是有的密钥也无法解码了。我想可能是指在构造密码时，P 和 Q 之一没找对，其中一个（甚至两个都）不小心找成了合数，这时密码的保密性就差了很多。如果谁知道电视剧里面讲的“误差”是指什么请告诉我。另外，电视剧里提到冯?诺依曼，说他是现代密码学的祖宗，我想是弄错了，应该是香农。冯?诺依曼的贡献在发明计算机和提出博弈论（game theory）。
2，找一个和 M 互素的整数 E，也就是说 M 和 E 除了 1 以外没有公约数。
3，找一个整数 D，使得 E×D 除以 M 余 1，即 E×D mod M = 1。
现在，世界上先进的、最常用的密码系统就设计好了，其中 E 是公钥谁都可以用来加密，D 是私钥用于解密，一定要自己保存好。乘积 N 是公开的，即使敌人知道了也没关系。
395058745832651445264197678006144819960207764603049364541393760515793556265294
50683609727842468219535093544305870490251995655335710209799226484977949442955603
因为我们后面要多次提到这部电视剧。）
密码学的历史大致可以推早到两千年前，相传名将凯撒为了防止敌方截获情报，用密码传送情报。凯撒的做法很简单，就是对二十几个罗马字母建立一张对应表，比如说
碰撞理论.ppt
LOGO
课堂练习
要使在容积恒定的密闭容器中进行的可逆反 应2A（气）+B（固）== 2C（气）+Q （Q＞0）的正反应速率显著加快，可采用 的措施是（不考虑固、气态间的接触面积） （ ） D B.加入B A．降温 C.增大体积使压强减小 D.加入A
课堂练习
练习：下列条件的变化，是因为降低反应所 需的能量而增加单位体积内的反应物活化分 子百分数致使反应速率加快的是（ ） A、增大浓度 B、增大压强 D C、升高温度 D、使用催化剂
课堂练习
下列说法正确的是（
LOGO
D
）
A、一定条件下，增大反应物的量会加快 化学反应速率。 B、增大压强，肯定会加快化学反应速率。
增大浓度
增大压强 升高温度 正催化剂
增加 不变 不变 不变
增加 不变 增加 增加
不变 不变 增加 增加
增加 增加 增加 增加
增加 增加 增加 增加
对于在一定条件下进行的化学反应：2SO2+O2
2SO3，
改变下列条件可以提高反应物中的活化分子百分数的是
（
BC
）
B、升高温度
A、增大压强
C、加入催化剂
D、减小反应物的浓度
学科网
二、外界条件对化学反应速率的影响 浓度对反应速率的影响
zxxk
影响 外因
增大浓度
单位体积内 分子 总数
增加
活化分 子数
增加
化学 有效碰撞次 反应 数 速率
增加 增大
注意事项：
1）此规律只适用于气体反应或溶液中的反应，对 于纯液体或固体反应物一般情况下其浓度是常数， 因此改变它们的量不会改变化学反应速率。 2）化学反应为可逆反应，反应物或生成物浓度的 改变，其正反应速率或逆反应速率的变化也符合 上述的规律。
密码学中的数学方法
密码学中的数学方法密码学是保护信息安全的一门科学，涵盖了从数据加密、数据完整性到身份认证等多方面的技术与理论。
它依赖于复杂的数学原理与方法，以确保信息在传输与存储过程中的保密性、完整性和可用性。
在这篇文章中，我们将探讨一些实现密码学的重要数学方法，包括数论、代数结构、组合数学以及概率论等。
数论在密码学中的应用数论是研究整数及其性质的数学分支，在密码学中扮演着至关重要的角色。
很多现代密码算法都依赖于数论的一些基本概念。
质数与分解问题质数是大于1的自然数，除了1和它本身外没有其他因子。
利用质数构成的结构，诸如RSA加密算法得以实现。
RSA算法的安全性主要基于大数分解的困难性。
即当两个大质数相乘时，找到这两个质数几乎是不可能的。
这种性质在许多加密系统中得到了应用。
模运算与同余模运算是处理整数的一种方式，可以看作是在一个有限集合上进行的运算。
在密码学中，模运算被广泛用于构造加密算法，例如Diffie-Hellman密钥交换协议和RSA算法中都用到了模运算。
通过使用同余关系，密码学家能够设计出具有强安全性的加密系统。
离散对数问题离散对数问题是指给定一个素数p，一个整数g（生成元）和一个整数y，求解整数x，使得g^x ≡ y (mod p)。
该问题在现代密码学中非常重要，例如在Diffie-Hellman密钥交换和ElGamal加密中均有应用。
与大数分解问题类似，离散对数问题在某些情况下也是计算上不可行的，因此为相应加密方法提供了安全保障。
代数结构及其在密码学中的应用代数结构主要涉及群、环和场等概念，这些结构为密码算法提供了基础。
群理论群是一个集合及其上的一种二元运算，满足封闭性、结合律、单位元和逆元等条件。
在密码学中，多种算法都依赖于特定群的性质。
例如，在椭圆曲线密码学（ECC）中，点的加法形成了一个阿贝尔群，该群具备良好的数学性质，使得基于其结构构建的加密算法既高效又安全。
环与域环是一种比群更为强壮的代数结构，它允许我们进行加法和乘法两种操作。
碰撞检测 原理
碰撞检测原理
碰撞检测是指在计算机图形学和物理模拟中，判断两个或多个物体是否发生了碰撞的过程。
它在许多应用中都有广泛的应用，例如游戏开发、虚拟现实和机器人技术等。
碰撞检测的原理可以描述为以下步骤：
1. 表示物体：首先，需要将待检测的物体进行合适的表示。
常见的表示方法包括使用几何形状（如点、线、面或体素）或使用包围体（如轴对齐包围盒、球体或凸包）。
这些表示方法有助于描述物体的形状和位置。
2. 碰撞检测算法：选择一个适当的碰撞检测算法，以确定两个或多个物体是否发生碰撞。
常见的算法包括离散碰撞检测和连续碰撞检测。
- 离散碰撞检测：在每个离散时间步长内，检查物体的位置
并判断它们是否相交。
常见的算法包括：分离轴定理（Separating Axis Theorem，SAT）、球-球碰撞检测和球-立方
体碰撞检测等。
- 连续碰撞检测：这种方法更加精确，以较小的时间步长迭
代地模拟物体的移动，并检测它们是否在任何时刻发生了碰撞。
常见的算法包括：迭代求解和时间切片方法。
3. 碰撞响应：如果检测到了碰撞，就需要根据具体的应用需求进行相应的处理。
例如，可以反弹物体、改变其速度方向、计
算碰撞点等。
需要注意的是，碰撞检测是一个计算密集型的任务，特别是在处理大量物体的情况下。
为了提高效率，可以使用空间分割数据结构（如网格、四叉树或八叉树）来加速碰撞检测过程，仅对可能接触到的物体进行检测，而忽略其他远离物体。
此外，还可以利用并行计算和优化算法来加速碰撞检测过程的计算速度。
密码学的基本原理与应用
密码学的基本原理与应用密码学是一门研究信息安全的学科，它涉及到对信息的加密、解密和认证等方面的技术和方法。
在现代社会，随着信息技术的迅猛发展，密码学的应用越来越广泛，它在保护个人隐私、交易安全、计算机网络等方面起到了至关重要的作用。
本文将介绍密码学的基本原理和其应用，并探讨其在现代社会中的重要性。
一、对称密钥加密算法对称密钥加密算法是密码学中最基本的加密算法之一，它使用相同的密钥进行加密和解密。
常见的对称密钥加密算法包括DES、AES等。
在对称密钥加密算法中，发送方和接收方需要共享相同的密钥。
发送方使用密钥将明文转换成密文，接收方使用相同的密钥将密文还原成明文。
这种算法的优点是加解密的速度快，但存在一个密钥分发的问题。
二、非对称密钥加密算法非对称密钥加密算法使用一对密钥，一个是私钥，另一个是公钥。
公钥可以被任何人获得，而私钥则只能由接收方持有。
常见的非对称密钥加密算法包括RSA、ElGamal等。
在非对称密钥加密算法中，发送方使用接收方的公钥对明文进行加密，接收方使用私钥将密文解密成明文。
这种算法的优点是能够解决对称密钥加密算法的密钥分发问题，但加解密的速度较慢。
三、哈希函数哈希函数是一种将任意长度的输入转换成固定长度输出的函数。
常见的哈希函数有MD5、SHA-1等。
哈希函数的特点是不可逆性和唯一性，即无法从输出推导出输入，并且不同的输入产生不同的输出。
哈希函数在密码学中的应用包括数字签名、消息认证码等。
四、数字签名数字签名是一种保证信息完整性和身份认证的技术，通过使用私钥对信息进行加密生成数字签名，接收方使用公钥对数字签名进行解密和验证。
数字签名可以防止信息被篡改，同时确保信息发送方的身份真实可靠。
五、密钥交换协议密钥交换协议用于在不安全的通信信道上安全地交换密钥，常见的密钥交换协议有Diffie-Hellman密钥交换协议等。
密钥交换协议通过使用非对称密钥加密算法，使得通信双方能够安全地生成一个共享秘密密钥，用于后续的对称密钥加密。
碰撞 课件
5.三种碰撞类型的特点：对于弹性碰撞，碰撞前后无动能损 失；对于非弹性碰撞，碰撞前后有动能损失；对于完全非弹 性碰撞，碰撞前后动能损失最大. (1)弹性碰撞：碰撞过程中不仅动量守恒，而且机械能守恒， 碰撞前后系统动能相等.同时，在碰撞问题中常做动量和动能 的换算. (2)非弹性碰撞:碰撞过程中动量守恒，碰撞结束后系统动能 小于碰撞前系统动能.减少的动能转化为其他形式的能量.
碰撞
一、全面系统的理解碰撞问题
1.碰撞概念的理解：相对运动的物体相遇，在极短时间内， 通过相互作用，运动状态发生显著变化的过程叫碰撞. 2.碰撞的广义理解：物理学里所研究的碰撞，包括的范围很 广，只要通过短时间作用，物体的动量发生了明显的变化， 都可视为碰撞.例如：两个小球的撞击，子弹射入木块，系在 绳子两端的物体将松弛的绳子突然拉直，铁锤打击钉子，列 车车厢的挂接，中子轰击原子核等均可视为碰撞问题.需注意 的是必须将发生碰撞的双方(如两小球、子弹和木块、铁锤和 钉子、中子和原子核等)包括在同一个系统中，才能对该系统 应用动量守恒定律.
1 2
mBv02
1 2
m A v12
1 2
mBv22③
联立②③式得：
v2
3mA mB mA mB
v0
④
设小球B能上升的最大高度为h，由运动学公式有：
h v22
⑤
2g
由①④⑤式得：h
( 3mA
mB
)2
H
⑥
mA mB
答案： (3mA mB )2 H
mA mB
【规律方法】处理碰撞问题应把握好三个基本原则 在碰撞过程中，系统的总动能不可能增加，如果是弹性碰撞， 碰撞前后总动能不变，如果是非弹性碰撞，则有部分动能转 化为内能，系统总动能减少.其中碰后结合为一体的情形，损 失的动能最多.所以，在处理碰撞问题时，通常要抓住三项基 本原则：
碰撞与动量守恒课件
ma t m m (t 0 ) m (t 0 ) mt m0 pt p0 p
I F t
力与力作用时间的乘积叫做冲量I
冲量I是矢量，它的方向就是力的方向，单位是N· s，冲量是过程量
动量定理：物体受到合外力的冲量等于物体动量的变化 p 量 I p F
p p2 p1 p A pB 0
p1 p2
A、B系统在水平方向不受外力，水平方向总动量不变。
动量守恒定律：如果一个系统不受外力或所受合外力为 零，无论这一系统的内部进行了何种形式的碰撞，这个系统的 总动量保持不变。 对于一条直线上运动的两个物体组成的系统，动量守恒 定律的一般表达式为：
以向东为正方向，则足球初动量p=mυ0=10kgm/s；末动量 p´= -mυ=-10kgm/s；Δp= p´-p=-20 kgm/s。 [例2]一物体放在光滑的水平面上，有一颗子弹以水平速 度υ0射向它，可能有三种情况：⑴子弹反弹回去；⑵子弹射中 物体后留在物体中，二者以相同的速度一起运动；⑶子弹射穿 物体后各以大小不同但方向相同的速度运动。在这三种情况中， ⑴ 子弹动量的改变量最大的是___________种情况。
如果系统内相互作用的物体不是两个，而是三个或者多个， 同样也可以证明系统不受外力或所受的合外力为零，系统的动量也 是守恒的。我们重点研究的是两个物体在一条直线上的碰撞。
[例1]如图所示，放有光滑水平桌面上的A、B两木块中 部夹有一被压缩的弹簧。当弹簧被释放时，它们各自在桌 面上滑行一段距离后飞离桌面而落到地面上，A的落地点与 桌边的水平距离为0.5m，B的落地点与桌边的水平距离为 1.0m，那么 （ABD） A．A、B离开弹簧时速度之比为1:2 B．A、B的质量之比为2:1 C．离开弹簧时，A、B所受到的冲量之比为1:2 D．未离开弹簧时，A、B的加速度之比为1:2
数学解密密码学的奥秘
数学解密密码学的奥秘密码学作为一门关于信息安全的学科，一直以来都备受关注。
而数学作为密码学的基石，发挥着重要的作用。
本文将以数学角度解密密码学的奥秘，探讨其中的数学原理和应用。
一、对称密码与数学对称密码是密码学中最早也是最基础的密码体制之一。
其核心原理是在加密和解密过程中使用相同的密钥。
其安全性主要依赖于密钥的保密性。
而数学在对称密码中扮演着至关重要的角色。
1.代换密码代换密码是对称密码中常用的一种加密方法。
它通过把明文中的字符按照一定规则替换成密文中的字符，实现加密过程。
数学中的置换和排列理论为代换密码提供了坚实的数学基础。
通过置换和排列操作，明文中的字符顺序被打乱，从而保护了信息的安全。
2.凯撒密码凯撒密码是一种简单的代换密码，通过将明文中的每个字母按照一个固定的偏移量进行替换，实现加密过程。
数学中的模运算为凯撒密码提供了基础。
偏移量相当于在字母表上移动，而模运算使得偏移量循环使用，使得凯撒密码更加灵活和安全。
二、非对称密码与数学非对称密码是一种使用公钥和私钥进行加密和解密的密码体制。
非对称密码的安全性基于数学的数论和大数分解等问题的复杂性。
1.公钥密码体制公钥密码体制是非对称密码中常见的一种。
它使用了一对密钥，包括公钥和私钥。
公钥用于加密，私钥用于解密。
公钥密码体制的核心原理是数论中的大数分解问题。
大数分解是指将一个大的合数分解成其素因数的过程，这个问题在当前的计算能力下是十分困难的，因此保证了公钥密码体制的安全性。
2.椭圆曲线密码椭圆曲线密码是一种使用椭圆曲线运算来实现加密和解密的密码体制。
椭圆曲线密码的安全性基于椭圆曲线的离散对数问题。
离散对数问题是指在椭圆曲线上找到满足特定条件的点对之间的关系。
这个问题同样是非常困难的，保证了椭圆曲线密码的安全性。
三、哈希算法与数学哈希算法是密码学中用于实现数据完整性验证和消息摘要的重要工具。
哈希算法的安全性与数学的密码学杂凑函数密切相关。
1.密码学杂凑函数密码学杂凑函数是一种将任意长度的输入经过计算生成固定长度输出的函数。
动量守恒之碰撞
mv 0 = mv 1 + Mv 2
1 1 1 2 2 2 mv 0 = mv 1 + Mv 2 2 2 2
m v0
M
解得
(m− M ) 1 v1 = v0 = − v0 m+M 3
负号表示速度的方向向左
• 例2.在细线下吊着一个质量为 的木块 构成 在细线下吊着一个质量为M的木块 在细线下吊着一个质量为 的木块,构成 一个单摆,摆长为 一颗质量为m的子弹水 一个单摆 摆长为 l 。一颗质量为 的子弹水 平射入木块，最后留在木块中， 平射入木块，最后留在木块中，随木块一起 摆动。已知木块摆动时摆线的最大偏角是 摆动。已知木块摆动时摆线的最大偏角是θ, 求子弹射入木块前的速度。 求子弹射入木块前的速度。
依题意， 块为系统， 解：（1）依题意，以子弹和木 块为系统， 由动量守恒定律得 mv 0 = ( m + M )v 1 2 h = gt 2 s = vt （2）系统损失的机械能为 1 1 2 ∆E = mv 0 − ( M + m )v 2 2 2 ( 3)碰后，系统做平抛运动 ，设落地时系统速度为 v' 碰后， 以地面为零势面， 以地面为零势面，由机 械能守恒定律得 1 1 2 ( M + m )v + M + m ）gh = ( M + m )v'2 （ 2 2 1 即木块落地前的动能 E K木 = Mv'2 2
碰撞的形式
正碰：碰撞时速度沿着连心线方向。 1. 正碰：碰撞时速度沿着连心线方向。
斜碰： 2. 斜碰：碰撞前的相对速度 方向不在两球的连心线上
碰撞种类
动量守恒
弹性碰撞
机械能守恒
碰撞种类
非弹性碰撞
98. 如何通过动量定理解答复杂的碰撞问题？
98. 如何通过动量定理解答复杂的碰撞问题？关键信息项：1、碰撞类型：包括完全弹性碰撞、非完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞。
2、动量定理公式：合力的冲量等于动量的变化量。
3、初始条件：包括碰撞物体的质量、初始速度等。
4、最终状态：碰撞后的速度、动能变化等。
5、受力分析：确定碰撞过程中物体所受的力。
6、解题步骤：明确通过动量定理解决问题的具体流程。
11 引言在物理学中，碰撞问题是常见且具有重要意义的研究对象。
通过动量定理来解答复杂的碰撞问题，能够深入理解物体在相互作用过程中的运动规律和能量转化。
111 动量定理的基本原理动量定理指出，合力的冲量等于物体动量的变化量。
其数学表达式为：＄F ＼Delta t ＝ m ＼Delta v$，其中$F$为合力，＄＼Delta t$为作用时间，＄m$为物体质量，＄＼Delta v$为速度的变化量。
112 碰撞的分类在完全弹性碰撞中，碰撞前后系统的总动能守恒。
即碰撞过程中没有能量损失，两物体在碰撞后能够完全恢复原状。
1122 非完全弹性碰撞非完全弹性碰撞中，碰撞前后系统的总动能有损失，但动量仍然守恒。
物体在碰撞后部分恢复原状。
1123 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞是指碰撞后两物体粘在一起，以相同的速度运动，此时动能损失最大。
12 解答复杂碰撞问题的准备工作121 明确初始条件准确确定参与碰撞物体的质量、初始速度等参数。
这些初始条件是后续计算和分析的基础。
122 进行受力分析仔细分析碰撞过程中物体所受的各种力，包括重力、摩擦力、弹力等。
确定合力的大小和方向。
13 解题步骤131 确定研究对象和系统明确要研究的碰撞物体以及整个碰撞系统。
判断碰撞的类型，确定是否满足动量守恒和能量守恒的条件。
133 列出动量守恒方程根据动量定理，写出动量守恒的表达式。
134 结合能量关系（如有需要）对于非完全弹性碰撞，可能需要考虑能量损失的情况，列出相关的能量方程。
135 求解方程通过联立方程，求解未知量，如碰撞后的速度、动能变化等。
浅析散列函数MD5算法的原理及其碰撞攻击
浅析散列函数MD5算法的原理及其碰撞攻击摘要随着网络技术的广泛应用，网络信息安全越来越引起人们的重视。
针对数据在存储时存在大量的安全问题，目前通常将需要存储的数据进行加密然后再存储，应用MD5算法是一个不错的选择。
本文详细介绍了MD5算法的概念，对MD5算法的原理、碰撞攻击以及MD5算法破解的重要意义进行探讨。
关键字：MD5 原理碰撞攻击一、引言现阶段，信息安全性已成为全社会共同关心的问题，密码学研究也越来越被人们所关注。
密码学主要研究的是通讯保密。
近年来，密码学研究之所以十分活跃，主要原因是它与计算机科学的蓬勃发展息息相关。
由于公共和私人的一些机构越来越多的应用电子数据处理，将数据存储在数据库中，因此防止非法泄露、删除、修改等是必须重视的问题。
对数据进行加密能够防止他人盗取需要保密的信息，但这只解决了一方面的问题，至于如何防止他人对重要数据进行破坏，如何确定交易者的身份，以及如何防止日后发生纠纷时交易者抵赖，还需要采取其它的手段，这一手段就是数字签名。
数字签名技术实际上是在数据加密技术基础上的一种延伸的应用。
数字签名经常和单向散列(Hash)函数一起使用，而单向散列(Hash)函数是现代密码学的核心。
最常见的散列算法有MD5，SHA和Snefru，MD5是当今非常流行的Hash 加密技术，因而本文选取MD5作为研究对象，详细介绍了MD5算法的概念，对MD5算法的原理、碰撞攻击以及MD5算法破解的重要意义进行探讨。
二、MD5算法的概念MD5的全称是Message -Digest Algorthm 5(信息--摘要算法), 即将任意长度的“字节串”变换成一个128bit的大整数, 是一种不可逆的字符串变换算法。
通过数学运算,把不同长度的信息转化到128位编码中,形成Hash值, 通过比较该数值是否正确,来确定通信双方的合法性, 即数字签名功能。
在数据传输后, 可以通过比较Hash值来判断信息途中是否被截获修改, 是否由合法的发送人发送或者合法的接收人接收等。
数学理论在数据安全中的应用探讨
数学理论在数据安全中的应用探讨在当今数字化的时代，数据已成为企业、组织和个人的重要资产。
随着数据量的不断增长和数据价值的日益凸显，数据安全问题变得至关重要。
数学理论作为一门基础学科，为解决数据安全问题提供了强大的理论支持和技术手段。
本文将探讨数学理论在数据安全中的应用，包括密码学、编码理论、概率论和统计学等方面。
一、密码学中的数学理论密码学是保护数据安全的核心技术之一，它利用数学原理来实现数据的加密和解密，确保信息的保密性、完整性和可用性。
1、数论在加密算法中的应用数论是密码学的重要基础。
例如，RSA 加密算法就是基于大整数分解的困难性。
RSA 算法通过选取两个大素数 p 和 q，计算它们的乘积 n ＝ p q，并生成公钥和私钥。
在加密过程中，使用公钥对明文进行加密，只有拥有私钥的接收方才能通过分解 n 来解密得到明文。
这种基于数论的加密方法具有很高的安全性，因为目前还没有有效的算法能够在短时间内分解大整数。
2、椭圆曲线密码学椭圆曲线密码学是另一种基于数学理论的加密方法。
它利用椭圆曲线上点的运算来实现加密和解密。
与传统的加密算法相比，椭圆曲线密码学具有更高的安全性和更小的密钥长度，因此在资源受限的环境中，如移动设备和物联网中得到了广泛的应用。
3、哈希函数哈希函数是一种将任意长度的消息映射为固定长度摘要的函数。
在密码学中，哈希函数用于确保数据的完整性。
常见的哈希函数如MD5、SHA-1 和 SHA-256 等，它们基于数学上的碰撞抵抗原理，即很难找到两个不同的消息产生相同的哈希值。
通过计算数据的哈希值，并在传输或存储过程中进行比对，可以检测数据是否被篡改。
二、编码理论在数据纠错中的应用在数据传输和存储过程中，由于噪声、干扰等因素，数据可能会出现错误。
编码理论利用数学原理来设计纠错码，提高数据的可靠性。
1、线性分组码线性分组码是一种常见的纠错码。
它将数据按照一定的规则分组，并通过线性变换生成冗余位。
动量守恒与碰撞
动量守恒与碰撞碰撞是物体之间发生相互作用的过程，而动量守恒是描述碰撞中物体动量守恒的基本原理。
本文将探讨动量守恒与碰撞之间的关系，并通过实例来说明这一原理的应用。
动量是物体运动的重要物理量，它是质量与速度的乘积。
动量的守恒意味着在一个孤立系统中，物体的总动量在碰撞前后保持不变。
这一原理可以用数学公式表示为：m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2'，其中m1和m2分别是两个物体的质量，v1和v2是碰撞前物体的速度，v1'和v2'是碰撞后物体的速度。
动量守恒原理在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在汽车碰撞事故中，当两辆车发生碰撞时，它们的总动量在碰撞前后保持不变。
根据动量守恒原理，我们可以推导出碰撞后车辆的速度变化。
如果一辆车以较大的速度迎面撞击另一辆速度较小的车，根据动量守恒，撞击后速度较大的车将减速，而速度较小的车将加速。
这可以帮助我们理解为什么在高速碰撞中，速度较大的车辆受到的冲击更大，造成的损坏也更严重。
除了汽车碰撞，动量守恒原理还可以解释其他各种碰撞现象。
例如，台球的碰撞。
当一颗台球以一定的速度撞击另一颗台球时，根据动量守恒原理，撞击前后总动量保持不变。
这意味着撞击后台球的速度将发生变化。
如果撞击的两颗台球质量相等，那么它们的速度将交换，即撞击前速度较小的台球将以撞击前速度较大的台球的速度移动，而速度较大的台球将以撞击前速度较小的台球的速度移动。
这个现象在台球比赛中经常出现，也是基于动量守恒原理的应用。
除了碰撞中动量守恒原理的应用，我们还可以通过碰撞来研究物体的质量和速度。
例如，通过测量碰撞前后物体的速度变化，我们可以计算出物体的质量。
这种方法被广泛应用于实验室中，用于测量微小物体的质量。
通过测量物体在碰撞前后的速度变化，我们可以利用动量守恒原理来计算物体的质量。
总之，动量守恒与碰撞之间存在着密切的关系。
动量守恒原理是描述碰撞中物体动量守恒的基本原理，它在实际生活中有着广泛的应用。
碰撞 课件
在所给的条件不足的情况下，碰撞结果有各种可能，但不管哪种结果必须 同时满足以下三条：
1．动量守恒 即p1＋p2＝p1′＋p2′。 2．动能不增加 即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或2pm21 1＋2pm22 2≥p21m′12＋p22m′22。
3．速度要符合情景
如果碰前两物体同向运动，则后面物体的速度大于前面物体的速度，即v后>v前，否则无法实现碰 撞。碰撞后，原来在前的物体的速度一定增大，且原来在前的物体的速度大于或等于原来在后 的物体的速度，即v前′≥v后′，否则碰撞没有结束，如果碰前两物体是相向运动，则碰后，两物体 的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零。
同 点
特点 力，所以可以认为碰撞、爆炸过程中系统的总动量守恒。
能量情况 都满足能量守恒，总能量保持不变
弹性碰撞时动能不变，非弹性
不
有其他形式的能转化为动 动能、机
碰撞时动能要损失，动能转化
同
能，动能会增加，机械能
点
械能情况 不守恒。
为内能，动能减少，机械能不
守恒。
特别提醒：(1)当遇到两物体发生碰撞的问题，不管碰撞环境如何，要首先想到利用动量守恒定律。
B．0.6 D．0.75
解题指导：此类碰撞问题要考虑三个因素：①碰撞中系统动量守恒；②碰撞过程中系统动能不增 加；③碰前、碰后两个物体的位置关系(不穿越)。
解析：A能追上B，说明碰前vA＞vB，所以
10 mA
＞
12 mB
；碰后A的速度不大于B
的速度，所以m8A≤m14B；又因为碰撞过程系统动能不会增加，21m02A＋21m22B≥28m2A＋
2．非对心碰撞
一 个 运 动 的 球 与 一 个 静 止 的 球 碰 撞 ， 碰 撞 之 前 球 的 运 动 速 度 与 _ _两_ _球_ _心_ _ _ _ 的 连 线 不 在 同 一 条 直 线 上 ， 碰 撞 之 后 两 球 的 速 度 都 会 _ _偏_ _离_ _ _ _ 原 来 两 球 心 的 连 线 。
碰撞定理
m 1 u1 m 2 u2 m2v 2 全弹碰速度公式 2 1 2 2 1 1 m 2 u2 m m 2 v2 1 u1 2 2 2 m2 ( v 1 u1 m 1 u2 v 2 ) m2 ( 2 2 2 2 v 1 u1 m 1 u2 v 2 )
… (1) … (2) … (3) … (4)
v 1 u1 v2 v 1 v1
u2 v 2 u1 u2
… (5)
由 (3) 和 (5) 得
( m1
v2
( m2
m 2 ) u1 2 m 2 u2 ( m1 m2 ) m 1 ) u2 2 m 1 u1 ( m1 m2 )
v2 v 1
归纳上述推导结果
公式讨论
u1 u2
v1
v2
讨论：
( m1 ( m2
m 2 ) u1 2 m 2 u2 ( m1 m2 ) m 1 ) u2 2 m 1 u1 ( m1 m2 )
X 3 346 (m· s-1) 400× 2 1 -1) 200 (m· s 400 × ， 2 ，
2 2
90º 30º 60º
附一：非弹碰
附二：恢复系数
X-Y ， 为， 水平面 X
判知 三矢量构成 1 直角三角形
由题意知，系统在水平面 v 2 2 1 1 静 碰前 m v1 m v2 0
2 2
400 m/s
u° 1 v1 v2 2 碰后 2 2 u1 v 1 v 2
得 由三角关 系可算得
2，
v 1 u1 cos v 2： u1 sin
本章题头
碰 撞
第四节 碰撞
3 -4 m 1
m1
v2 v1 collision m1
碰撞系统的动量
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密码学原理
密码学中的数学原理之 再谈碰撞
CONTENT
1 问题的提出
目
2 碰撞的期望值
录
1.问题的提出
1.问题的提出
设 H 是128比特的HASH函数，R1，R2，R3函数反向将128比特散列值均匀地映射为6 字符的口令，利用 H 和3个R函数可以形成一条长度为3的彩虹链的一部分：
2.碰撞的概率
最基础的问题
总共有 M 个不同的数，随机独立从中选择 k 个数，会得到多少个不同的数？
M
1-a
a
计算h1的个数
2.碰撞的概率ຫໍສະໝຸດ 计算h2的个数2.碰撞的概率
计算
2.碰撞的概率
计算
2.碰撞的概率
重点回顾
彩虹表中的碰撞问题 计算一般碰撞的数量期望值 思考：与生日攻击的关系