麦克劳林公式展开式

1 定义

麦克劳林公式是一个数学学科的专业术语，指泰勒公式（在x=0下）的一种特殊形式，麦克劳林公式是泰勒公式在0点展开的特例。注：泰勒公式：在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来求近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还可以给出这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

2 历史来源

麦克劳林公式是18世纪英国最具有影响的数学家之一麦克劳林（Colin Maclaurin）发现提出的，麦克劳林得到数学分析中著名的Maclaurin级数展开式，并用待定系数法给予了证明，因此公示以麦克劳林命名。

中文名：麦克劳林公式

提出者：麦克劳林

提出时间：1719年

应用学科：数学

适用领域范围：数学

归属：泰勒公式

注意：

使用麦克劳林公式时，是不可能将被展开的函数完全展开的，所以只能展开一部分，用一个近似公式，而由这个式子计算出的结果也是近似值。

4 作用

麦克劳林公式的作用是把函数近似表达为一个多项式。但在使用的时候要考虑精度，也就是对给定函数展开到多少阶的问题。

5 运用

一般情况下遇到的极限有两种情况：

（1）分子是两个或者以上的函数相加减，这种情况比较简单，只要将两个函数展开到与分母同阶即可

（2）分子是两个或以上的函数相乘，这种情况比较复杂，主要考虑的是分子相乘会出现的所有与分母同阶的项，举个例子，比如分母是

三阶，那么两个多项式必须都展开到三阶，因为一个函数的常数项与另一个函数的三次项，一个函数的一次项与另一个函数的二次项相乘都是三次，也就说，必须要保证展开的阶数相乘会得到所有与分母同阶的三次项。

6 实例

例子：（sinx/x）^(1/x^2) (x->0)

对sinx作泰勒级数展开,再利用基本极限公式.

sinx=x-x^3/3!+O(x^3)

1/x^2ln（sinx/x）

=1/x^2ln((x-x^3/3!+O(x^3))/x)

=1/x^2ln(1-x^2/3!+O(x^2))（对ln(1+x)继续使用级数展开）=1/x^2(-xx/6+O(xx))

=-1/6+O(1).