一元二次方程△和根与系数关系
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A．3 B．6 C．18 D．24
3．已知3x2-2x-1=0的二根为x1，x2，则x1+x2=______，x1x2=______， _______，
x12+x22=_______，x1-x2=________．
4．若方程 的两根是x1、x2，则代数式 的值是。
5．设一元二次方程 的两根分别为 、 ，以 、 为根的一元二次方程是________．
4．在Rt△ABC中，∠C=900，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程 的两根，那么AB边上的中线长是.
5．当k为何值时，关于x的方程x2-(2k-1)x＝-k2+2k+3，
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根?
6.已知关于x的方程 的两根的平方和等于 ，求m的值．
6. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程(a2+b2)x2-2cx+1＝0有两个相等的实数根．
请你判断△ABC的形状．
【提高训练】
1.关于x的方程 无实数根，则m的取值范围为( )．
A．m≠0 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞-1
2．已知a、b、c是△ABC的三条边，且方程 有两个相等的实数根，那么这个三角形是（ ）
【堂上练习一】
1.下列方程，有实数根的是( )
A．2x2+x+1＝0 B．x2+3x+21＝0 C．x2-0.1x-1＝0 D．
2．一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
知识点诠释：
利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定 的值；③计算 的值；④根据 的符号判定方程根的情况.
2.一元二次方程根的判别式的逆用
在方程 中，
（1）方程有两个不相等的实数根 ﹥0；
【知识讲解】
1.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程 的两个实数根是 ，
那么 ， .
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2.一元二次方程的根与系数的关系的应用
4．已知关于x的方程x2-2x+k＝0有实数根，则k的取值范围是________．
5．已知一元二次方程x2-6x+5-k=0 的根的判别式△=4，则这个方程的根为_______．
6.m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-Βιβλιοθήκη Baidu（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.
目标二：一元二次方程根与系数的关系
例2、已知方程 的一个根是3，求它的另一根及 的值．
例3、求作一个一元二次方程，使它的两根分别是 ， ．
例4、求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 各根的负倒数．
【堂上练习二】
1．关于方程 的两根 的说法正确的是（ ）
A. B. C. D.无实数根
2．一元二次方程 的两根为 、 ，则 的值为（ ）．
（2）方程有两个相等的实数根 =0；
（3）方程没有实数根 ﹤0.
【例题讲解】
例1、不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1) 2x2+3x-4=0(2)ax2+bx=0(a≠0)
例2、不解方程，判别方程根的情况：
例3、若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）．
A． B． 且 C． D． 且
3．已知：关于x的方程 ①的两个实数根的倒数和等于3，关于x的方程 ②有实数根且k为正整数，则代数式 的值为.
1．关于方程 的两根 的说法正确的是（ ）
A. B. C. D.无实数根
2．已知4x2-2x-1=0的二根为x1，x2，则x1+x2=______，x1x2=______， _______，
x12+x22=_______，x1-x2=________．
3．设一元二次方程 的两根分别为 、 ，以 、 为根的一元二次方程是________．
A． B． C． D．
6．已知关于x的方程 有两个不相等的实数根，那么m的最大整数值是________．
7．关于x的一元二次方程 无实数根，则m的取值范围是_____．
8．求以 和 为根的一元二次方程是．
9.设x1、x2是方程 的两根，不解方程，求下列各式的值：
(1) ；(2) ；(3) ．
【当堂检测】
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
【教学目标】
目标一：一元二次方程的判别式
目标二：一元二次方程根与系数的关系
【课程教授】
目标一：一元二次方程的判别式
【知识讲解】
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程 中， 叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用“ ”来表示，即
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
7．已知关于x的方程kx2-2(k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根，
(1)求k的取值范围；
(2) 是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
【课后作业】
1．一元二次方程 的两根为 、 ，则 的值为（ ）．
A．3 B．6 C．18 D．24
2．已知方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0，（1）当k为时，两根互为相反数；（2）当k为时，有一根为零，另一根不为零.
(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ；
⑥ ；
【例题讲解】
例1、已知方程 的一个根是2，求另一个根及k的值．
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
3．若 、 是一元二次方程 的两根，则 的值为（ ）．
A．-1 B．0 C．1 D．2
4．设a，b是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）．
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
5．若ab≠1，且有 ，及 ，则 的值是（ ）．
3．已知3x2-2x-1=0的二根为x1，x2，则x1+x2=______，x1x2=______， _______，
x12+x22=_______，x1-x2=________．
4．若方程 的两根是x1、x2，则代数式 的值是。
5．设一元二次方程 的两根分别为 、 ，以 、 为根的一元二次方程是________．
4．在Rt△ABC中，∠C=900，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程 的两根，那么AB边上的中线长是.
5．当k为何值时，关于x的方程x2-(2k-1)x＝-k2+2k+3，
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根?
6.已知关于x的方程 的两根的平方和等于 ，求m的值．
6. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程(a2+b2)x2-2cx+1＝0有两个相等的实数根．
请你判断△ABC的形状．
【提高训练】
1.关于x的方程 无实数根，则m的取值范围为( )．
A．m≠0 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞-1
2．已知a、b、c是△ABC的三条边，且方程 有两个相等的实数根，那么这个三角形是（ ）
【堂上练习一】
1.下列方程，有实数根的是( )
A．2x2+x+1＝0 B．x2+3x+21＝0 C．x2-0.1x-1＝0 D．
2．一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
知识点诠释：
利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定 的值；③计算 的值；④根据 的符号判定方程根的情况.
2.一元二次方程根的判别式的逆用
在方程 中，
（1）方程有两个不相等的实数根 ﹥0；
【知识讲解】
1.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程 的两个实数根是 ，
那么 ， .
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2.一元二次方程的根与系数的关系的应用
4．已知关于x的方程x2-2x+k＝0有实数根，则k的取值范围是________．
5．已知一元二次方程x2-6x+5-k=0 的根的判别式△=4，则这个方程的根为_______．
6.m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-Βιβλιοθήκη Baidu（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.
目标二：一元二次方程根与系数的关系
例2、已知方程 的一个根是3，求它的另一根及 的值．
例3、求作一个一元二次方程，使它的两根分别是 ， ．
例4、求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 各根的负倒数．
【堂上练习二】
1．关于方程 的两根 的说法正确的是（ ）
A. B. C. D.无实数根
2．一元二次方程 的两根为 、 ，则 的值为（ ）．
（2）方程有两个相等的实数根 =0；
（3）方程没有实数根 ﹤0.
【例题讲解】
例1、不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1) 2x2+3x-4=0(2)ax2+bx=0(a≠0)
例2、不解方程，判别方程根的情况：
例3、若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）．
A． B． 且 C． D． 且
3．已知：关于x的方程 ①的两个实数根的倒数和等于3，关于x的方程 ②有实数根且k为正整数，则代数式 的值为.
1．关于方程 的两根 的说法正确的是（ ）
A. B. C. D.无实数根
2．已知4x2-2x-1=0的二根为x1，x2，则x1+x2=______，x1x2=______， _______，
x12+x22=_______，x1-x2=________．
3．设一元二次方程 的两根分别为 、 ，以 、 为根的一元二次方程是________．
A． B． C． D．
6．已知关于x的方程 有两个不相等的实数根，那么m的最大整数值是________．
7．关于x的一元二次方程 无实数根，则m的取值范围是_____．
8．求以 和 为根的一元二次方程是．
9.设x1、x2是方程 的两根，不解方程，求下列各式的值：
(1) ；(2) ；(3) ．
【当堂检测】
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
【教学目标】
目标一：一元二次方程的判别式
目标二：一元二次方程根与系数的关系
【课程教授】
目标一：一元二次方程的判别式
【知识讲解】
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程 中， 叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用“ ”来表示，即
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
7．已知关于x的方程kx2-2(k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根，
(1)求k的取值范围；
(2) 是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
【课后作业】
1．一元二次方程 的两根为 、 ，则 的值为（ ）．
A．3 B．6 C．18 D．24
2．已知方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0，（1）当k为时，两根互为相反数；（2）当k为时，有一根为零，另一根不为零.
(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ；
⑥ ；
【例题讲解】
例1、已知方程 的一个根是2，求另一个根及k的值．
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
3．若 、 是一元二次方程 的两根，则 的值为（ ）．
A．-1 B．0 C．1 D．2
4．设a，b是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）．
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
5．若ab≠1，且有 ，及 ，则 的值是（ ）．