椭圆的定义与性质

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椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质椭圆是在平面上的一个几何图形,它的形状类似于一个椭圆形的椭圆。

椭圆由两个焦点和一条连接这两个焦点的线段组成。

椭圆的定义可以通过以下方式来描述:给定两个不重合的点F1和F2,以及一个正常数a,椭圆是平面上到这两个点F1和F2的距离之和等于2a的所有点P的集合。

椭圆有许多有趣的性质。

首先,椭圆是一个闭合图形,它的形状在两个焦点F1和F2之间变化。

其次,椭圆的中点O是焦点F1和F2之间的中点,并且椭圆的长轴是连接这两个焦点的线段。

长轴的长度为2a,其中a为椭圆的半长径。

椭圆的短轴是与长轴垂直且通过中点O的线段,其长度为2b,其中b为椭圆的半短径。

椭圆的长轴和短轴之间的关系可以通过以下公式表示:长轴的长度的平方等于短轴的长度的平方加上焦距的长度的平方。

椭圆的形状也可以由离心率来描述。

离心率是一个衡量椭圆形状的参数,表示焦点之间的距离与半长径之间的比值。

离心率小于1的椭圆形状更加圆形,而离心率等于1的椭圆是一个特殊的圆,离心率大于1的椭圆形状更加扁平。

除了这些基本的定义和性质之外,椭圆还有许多其他的性质。

例如,椭圆上的任意一点到焦点F1和F2的距离之和等于2a,这被称为椭圆的焦点性质。

椭圆还具有对称性,即关于长轴和短轴都有对称性。

椭圆还可以通过旋转的方式来得到新的椭圆,这被称为椭圆的旋转性质。

总结起来,椭圆是平面上的一个几何图形,由两个焦点和一条连接这两个焦点的线段组成。

椭圆具有闭合性、中点、长轴和短轴、离心率等基本性质。

此外,椭圆还有焦点性质、对称性和旋转性质等其他有趣的性质。

通过研究椭圆的定义和性质,我们可以更深入地理解和应用椭圆在数学和物理等领域中的重要性。

椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质椭圆是数学中的一个重要几何概念,它在几何学、物理学、天文学等领域中都有广泛的应用。

本文将从椭圆的定义、性质以及应用等方面进行探讨。

一、椭圆的定义椭圆是平面上一组点的集合,这组点到两个给定点的距离之和等于常数的情况。

这两个给定点称为焦点,而常数称为离心率。

椭圆的定义可以用数学表达式表示为:对于平面上的点P(x, y),到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a,即PF1 + PF2 =2a。

其中,a为椭圆的半长轴。

二、椭圆的性质1. 焦点与半长轴的关系:椭圆的两个焦点到椭圆中心的距离之和等于2a,即F1C + F2C = 2a。

这表明椭圆的中心C位于焦点连线的中垂线上。

2. 离心率与形状的关系:离心率e是椭圆的一个重要参数,它决定了椭圆的形状。

当离心率e=0时,椭圆退化为一个圆;当0<e<1时,椭圆的形状趋近于圆;当e=1时,椭圆退化为一个抛物线;当e>1时,椭圆的形状趋近于双曲线。

3. 半短轴与半长轴的关系:椭圆的半长轴为a,半短轴为b,它们之间的关系可以用离心率e来表示,即e = √(1 - b²/a²)。

通过这个公式,我们可以计算出椭圆的半短轴。

4. 焦点与直径的关系:椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的直径。

这个性质在椭圆的应用中非常重要,例如在天文学中,可以用椭圆的性质来描述行星的轨道。

三、椭圆的应用1. 天文学中的椭圆轨道:行星绕太阳运动的轨道可以近似看作椭圆,根据椭圆的性质,可以计算出行星的轨道参数,如离心率、半长轴等。

2. 椭圆的光学性质:椭圆镜是一种常见的光学元件,它可以将入射光线聚焦到一个点上,用于望远镜、显微镜等光学仪器中。

3. 椭圆的工程应用:在建筑、桥梁等工程设计中,椭圆形状的结构可以提供更好的力学性能和美观效果。

总结:椭圆作为一种重要的数学概念,在几何学和应用数学中都有广泛的应用。

通过对椭圆的定义与性质的探讨,我们可以更好地理解椭圆的形状特征以及其在各个领域中的应用。

椭圆的性质与方程

椭圆的性质与方程

椭圆的性质与方程椭圆是一种几何图形,它有着独特的性质和方程。

本文将探讨椭圆的定义、性质以及其对应的方程。

一、椭圆的定义和性质椭圆是指平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。

这两个定点称为焦点,它们之间的距离称为焦距,而常数称为椭圆的半短轴,用字母b表示。

与焦点和半短轴相关的数学性质包括:1. 椭圆的长轴为两个焦点之间的距离,用字母2a表示。

则椭圆的离心率e的计算公式为e = c/a,其中c为焦距。

2. 椭圆的离心率e小于1,且大于0。

这意味着椭圆是一个有限的闭合曲线,焦点不在其内部。

3. 椭圆的两个焦点和两个顶点在同一直线上,且椭圆具有对称性,即关于长轴和短轴均具有对称性。

4. 椭圆的形状由半长轴a和半短轴b的比值所决定,这个比值称为椭圆的离心率。

离心率越接近于零,椭圆的形状越接近于圆。

二、椭圆的方程椭圆的方程可以通过几种不同的形式来表示,其中最常见的是标准方程和一般方程。

1. 标准方程标准方程是指椭圆的焦点在坐标系的原点上的方程。

标准方程的一般形式为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。

其中a是半长轴的长度,b是半短轴的长度。

2. 一般方程一般方程是指椭圆的焦点不在原点上的方程。

一般方程的一般形式为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1。

其中(h,k)为焦点的坐标。

三、椭圆的应用椭圆在现实生活中有着广泛的应用。

以下列举了一些椭圆的应用场景:1. 天体轨道:行星、卫星等天体的轨道可以用椭圆来描述。

2. 镜面反射:椭圆形镜面可以将光线聚焦到一个焦点上,因此椭圆在望远镜、抛物线反射镜等光学设备中得到应用。

3. 运动轨迹:许多物体的运动轨迹都可以近似看作是椭圆形,例如行走的人、运动的车辆等。

4. 地理测量:人工建造的运动场地、奥运会场馆等往往使用椭圆形,在地理测量中定位和测量也会用到椭圆。

结论椭圆具有独特的性质和方程,通过焦点和半轴的定义可以描述椭圆的形状和大小。

椭圆的方程有标准方程和一般方程两种形式,我们可以根据实际情况选择适合的形式。

椭圆的知识点总结

椭圆的知识点总结

椭圆的知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上的一种特殊曲线,它的定义可以有多种方式。

在解析几何中,我们通常采用焦点-直线之和等于常数的定义来描述椭圆。

具体而言,椭圆定义为到两个固定点(焦点)的距离之和等于常数的点的集合。

这个常数被称为椭圆的长轴长度。

另外,椭圆还有一个短轴,它垂直于长轴且通过长轴的中点。

椭圆的长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。

二、椭圆的性质1. 焦点性质:椭圆有两个焦点,它们位于长轴上,且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

2. 直径性质:椭圆的直径是经过焦点的直线段,并且它恰好与椭圆相交于椭圆上的两点。

3. 周长性质:椭圆的周长可以用椭圆的半长轴和半短轴的长度来表示,即2πb+4aE(e),其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度,E(e)为第二类椭圆积分。

4. 质心性质:椭圆的质心位于椭圆的中心,且与椭圆的几何中心重合。

椭圆的质心满足椭圆上所有点到该质心的距离之和等于椭圆的长轴长度。

5. 对称性质:椭圆具有关于长轴和短轴的对称性,且同时具有关于两个焦点的对称性。

6. 离心率性质:椭圆的离心率e是一个重要的参数,它刻画了椭圆的形状。

椭圆的离心率满足0<e<1,且e=√(1-b²/a²)。

7. 焦点和直角坐标系的关系:椭圆在直角坐标系中的方程形式可以用来描述椭圆的形状,其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。

三、椭圆的方程椭圆的方程通常以长轴和短轴的长度来表示,其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。

在给定长轴和短轴的情况下,可以通过椭圆的方程来确定椭圆的形状和位置。

四、椭圆的焦点椭圆有两个焦点,它们分别位于长轴的两端。

椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

焦点是椭圆的重要特性,它们的位置决定了椭圆的形状和方向。

五、椭圆的参数方程椭圆还可以用参数方程来描述。

有关椭圆的所有知识点

有关椭圆的所有知识点

有关椭圆的所有知识点
1. 椭圆的定义:椭圆是一种特殊的抛物线,它是二维平面上的曲线,其中两条轴的长度不相等,椭圆的方程为:$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
2. 椭圆的性质:
(1)椭圆的对称轴是两个相交的线段,其中一个线段的长度大于另一个,称为长轴,另一个线段称为短轴;
(2)椭圆的中心点是两个对称轴的交点;
(3)椭圆的长轴和短轴的长度分别为a和b,椭圆的面积为S=πab;
(4)椭圆的边界是一个抛物线,称为椭圆弧,可以用参数方程表示:$$x=a\cos t,
y=b\sin t$$
3. 椭圆的标准方程:
(1)椭圆的标准方程为:$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
(2)椭圆的中心在原点时,标准方程为:$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
(3)椭圆的中心在(h,k)处时,标准方程为:$$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-
k)^2}{b^2}=1$$
4. 椭圆的对称性:
(1)椭圆是一种具有对称性的曲线,其对称轴是两个相交的线段,其中一个线段的长度大于另一个,称为长轴,另一个线段称为短轴;
(2)椭圆的对称性可以用参数方程表示:$$x=a\cos t,y=b\sin t$$
(3)椭圆的对称性可以用参数方程表示:$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
5. 椭圆的离心率:椭圆的离心率是椭圆的一个重要参数,它可以表示椭圆的形状,它的定义是:椭圆的离心率等于椭圆的长轴与短轴之比,即:$$e=\frac{a-b}{a}$$。

椭圆的性质及知识点总结

椭圆的性质及知识点总结

椭圆的性质及知识点总结一、椭圆的定义和基本性质1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

设d1和d2分别表示P到F1和F2的距离,则椭圆的定义可以用数学表达式表示为|d1 + d2| = 2a 。

1.2 椭圆的基本性质(1)椭圆对称轴:椭圆有两个对称轴,分别称为长轴和短轴。

长轴的端点是两个焦点F1和F2,短轴与长轴垂直并通过椭圆的中心点。

(2)椭圆的焦点和离心率:椭圆的焦点是定义椭圆的两个定点F1和F2,离心率e是一个表示椭圆形状的参数,e的取值范围是0<e<1。

(3)椭圆的三大定律:椭圆有三个基本定律,分别是:(a)椭圆内到两个焦点的距离之和等于长轴的长度;(b)椭圆内到两个焦点的距离之差等于长轴的长度;(c)椭圆的面积等于πab,其中a和b分别是长轴和短轴的长度。

1.3 椭圆的方程椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1,其中a和b分别是长轴和短轴的长度,椭圆的中心点位于原点(0,0)。

二、椭圆的相关知识点2.1 椭圆的离心率椭圆的离心率e的定义是e=c/a,其中c为焦距,a为长半轴的一半。

离心率越接近于0,椭圆形状越圆;离心率越接近于1,椭圆形状越扁。

2.2 椭圆的参数方程椭圆也可以用参数方程表示,参数方程为:x = a * cosθy = b * sinθ其中θ为参数,a和b分别是长轴和短轴的长度。

2.3 椭圆的焦半径椭圆的焦半径是指从椭圆的焦点到该椭圆上的任意一点P的距离,椭圆上各点的焦半径之和等于椭圆的周长。

2.4 椭圆的切线椭圆上的切线有一个特点:与椭圆相切的切线在切点处与切线的法线垂直。

根据这个特点可以求出椭圆上任意一点处的切线方程。

2.5 椭圆的焦点坐标椭圆的焦点坐标可以通过椭圆的离心率和焦距来求解。

焦点坐标为(±ae, 0),a为长轴的一半,e为椭圆的离心率。

2.6 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数法求解,面积为πab,其中a和b分别是长轴和短轴的长度。

椭圆与直线知识点总结

椭圆与直线知识点总结

椭圆与直线知识点总结一、椭圆的定义及性质1. 椭圆的定义椭圆是指平面上到定点F1和F2的距离之和为常数2a(a>0)的点P的轨迹。

F1、F2称为焦点,2a称为主轴长,2b称为次轴长,椭圆的离心率定义为e=c/a,其中c是焦点之间的距离。

2. 椭圆的性质(1)直径的性质:椭圆的直径上的任意两点,到两个焦点的距离之和等于该椭圆的长轴长。

(2)切线的性质:椭圆的切线和法线的性质类似于圆的情况,即切线垂直于法线。

(3)对称性:椭圆关于两个坐标轴都有对称性,对称轴上所有的点和焦点F1和F2的对应点关于中心对称。

3. 椭圆的方程椭圆的标准方程为(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1。

二、直线的定义及性质1. 直线的定义直线是平面上长度任意延伸的图形。

直线是无限延伸的。

2. 直线的性质(1)相交性:两条直线可以相交,也可以平行,可以重合。

(2)倾斜角:直线的斜率决定了它的倾斜角。

(3)截距:直线在坐标轴上的截距可以描述直线的位置。

3. 直线的方程直线的点斜式方程为y-y1=k(x-x1)。

三、椭圆与直线的关系1. 直线与椭圆的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系可以分为四种情况:相离、相切、相交、内切。

(2)直线与椭圆相离时,直线与椭圆之间没有交点。

(3)直线与椭圆相切时,直线与椭圆有且仅有一个交点。

(4)直线与椭圆相交时,直线与椭圆有两个交点。

(5)直线与椭圆内切时,直线与椭圆有一个交点,并且该交点在椭圆内部。

2. 椭圆与直线的方程(1)椭圆的标准方程为(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1。

(2)直线的一般方程为Ax+By+C=0。

(3)求直线与椭圆的交点时,将直线方程代入椭圆方程,得到一个关于x的二次方程,解出交点的x坐标,再代入直线方程求出y坐标。

(4)根据判别式求解二次方程,可以判断交点的情况。

3. 椭圆与直线的性质及应用(1)椭圆与直线的位置关系可以应用在工程测量、图像处理、计算机图形学等领域中。

椭圆关系式

椭圆关系式

椭圆关系式椭圆是一种经典的几何图形,具有广泛的应用。

椭圆关系式是描述椭圆的数学公式,包括标准式和一般式两种形式。

本文将从椭圆的定义、性质、标准式、一般式以及应用等方面进行详细介绍。

一、椭圆的定义与性质1. 定义椭圆是平面上到两个定点(称为焦点)距离之和等于定长(称为主轴长度)的所有点构成的集合。

2. 性质(1)椭圆是一个闭合曲线,其形状类似于拉长了的圆形。

(2)焦点到任意一点的距离之和等于主轴长度。

(3)主轴长度是椭圆的最长直径,称为长轴;次轴长度是椭圆的最短直径,称为短轴。

(4)椭圆有两条对称轴:长轴上有两个焦点和中心点,在中心处相交;短轴上没有焦点,只有中心点,在中心处垂直于长轴。

二、标准式1. 定义标准式是指将椭圆的中心移到坐标原点,长轴与x轴重合,短轴与y轴重合的形式。

2. 公式椭圆的标准式为:$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$其中,(h,k)为椭圆的中心点坐标,a和b分别为长轴和短轴的半径。

3. 性质(1)椭圆的中心点坐标为(h,k)。

(2)长轴的长度为2a,短轴的长度为2b。

(3)焦距c满足$c^2=a^2-b^2$。

三、一般式1. 定义一般式是指将椭圆任意位置的形式表示出来。

一般式可以通过平移、旋转和缩放等变换将标准式转化而来。

2. 公式椭圆的一般式为:$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$其中,A、B、C、D、E和F都是实数常数,并且$B^2-4AC<0$。

3. 性质(1)通过一般式可以确定椭圆在平面直角坐标系中的位置和形状。

(2)如果A=C,则椭圆是以y=x或y=-x对称的;如果A≠C,则椭圆不以y=x或y=-x对称。

(3)通过配方法可以将一般式转化为标准式。

四、应用椭圆关系式在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

1. 数学领域椭圆是数学中的一个经典图形,具有丰富的性质和应用。

在微积分、代数、几何等方面都有重要的应用,例如求解椭圆周长和面积、研究椭圆曲线等。

椭圆知识点与性质大全

椭圆知识点与性质大全

椭圆与方程【知识梳理】 1、椭圆的定义平面内,到两定点1F 、2F 的距离之和为定长()1222,0a F F a a <>的点的轨迹称为椭圆,其中两定点1F 、2F 称为椭圆的焦点,定长2a 称为椭圆的长轴长,线段12F F 的长称为椭圆的焦距。

此定义为椭圆的第一定义。

2、椭圆的简单性质3、焦半径椭圆上任意一点P 到椭圆焦点F 的距离称为焦半径,且[],PF a c a c ∈-+,特别地,若00(,)P x y 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上的任意一点,1(,0)F c -,2(,0)F c 为椭圆的左右焦点,则10||PF a ex =+,20||PF a ex =-,其中c e a =.4、通径过椭圆()222210x y a b a b+=>>焦点F 作垂直于长轴的直线,交椭圆于A 、B 两点,称线段AB 为椭圆的通径,且22b AB a =。

P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上的任意一点,1(,0)F c -,2(,0)F c 为椭圆的左右焦点,称12PF F ∆为椭圆的焦点三角形,其周长为:1222F PF C a c ∆=+,若12F PF θ∠=,则焦点三角形的面积为:122tan 2F PF S b θ∆=.6、过焦点三角形直线l 过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点1F ,与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点,称2ABF ∆为椭圆的过焦点三角形,其周长为:24ABF C a ∆=,面积为212y y c S ABF -=∆.7、点与椭圆的位置关系()00,P x y 为平面内的任意一点,椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>:若2200221x y a b +=,则P 在椭圆上;若2200221x y a b +>,则P 在椭圆外;若2200221x y a b+<,则P 在椭圆内。

椭圆的基本概念与性质

椭圆的基本概念与性质

椭圆的基本概念与性质椭圆是数学上的一个重要概念,它在几何学、天文学等领域有着广泛的应用。

本文将介绍椭圆的基本概念与性质,包括定义、方程、焦点、短轴、长轴等内容,以便读者对椭圆有更深入的了解。

1. 定义椭圆可以定义为平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。

这两个固定点称为焦点,常数称为椭圆的离心率。

2. 方程椭圆的标准方程为(x/a)² + (y/b)² = 1,其中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的长度。

当a=b时,椭圆退化为一个圆。

3. 焦点与离心率椭圆的焦点是椭圆上到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

椭圆的离心率是焦点与椭圆的长轴之比,通常用e表示。

当e=0时,椭圆退化为一个圆;当0<e<1时,椭圆的形状是扁平的;当e=1时,椭圆的形状是长条状。

4. 短轴与长轴椭圆的长轴是通过椭圆中心且垂直于短轴的直线段,长度为2a;短轴是通过椭圆中心且垂直于长轴的直线段,长度为2b。

长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。

5. 面积与周长椭圆的面积可以用公式πab来计算,其中π是圆周率。

椭圆的周长没有一个简单的数学公式,但可以用近似公式2π√((a²+b²)/2)来估算。

6. 焦点与直线关系对于一条过椭圆的焦点的直线,该直线与椭圆的两个交点到焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

这个性质在椭圆的构造和证明中有着重要的应用。

7. 椭圆的投影当一个椭圆被一个平面所截,就会产生一个椭圆的投影。

椭圆的投影可以是一个椭圆、一个圆、一个椭圆的一部分或一个直线段,具体取决于投影平面与椭圆的相对位置。

8. 椭圆与锥面椭圆是一个椭圆锥的截面。

椭圆锥可以由一个两个焦点之间距离不变的点沿着一条直线轨迹旋转而生成,椭圆就是锥面与一个平面的交线。

总结:椭圆是一个重要的数学概念,具有许多独特的性质和应用。

通过了解椭圆的定义、方程、焦点、离心率,以及与直线、投影、锥面的关系,我们对椭圆的基本概念和性质有了更深入的了解。

椭圆的定义与性质探究

椭圆的定义与性质探究

椭圆的定义与性质探究椭圆是数学中一种重要的几何图形,具有独特的定义和性质。

本文将对椭圆进行深入的探究,包括椭圆的定义、性质及其在实际生活中的应用。

一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个点称为椭圆的焦点,常数称为椭圆的离心率。

椭圆的离心率介于0到1之间,当离心率为0时,椭圆退化成一个点,当离心率为1时,椭圆退化成一条线段。

二、椭圆的性质1. 离心径:椭圆的两个焦点到任意一点的距离之和等于常数,这个常数称为离心径。

椭圆的离心径长度等于长轴的长度。

2. 长轴和短轴:椭圆的两个焦点的连线称为椭圆的长轴,长轴的中点称为椭圆的中心。

长轴的长度为2a,短轴的长度为2b,长轴和短轴的两倍称为椭圆的主轴。

3. 焦半径和引线:椭圆上的任意一点到两个焦点的距离分别称为焦半径,而椭圆上的任意一条直线与焦点的连线相交,且平分焦半径,称为引线。

4. 离心角:椭圆上任意一点的离心角等于该点的切线与长轴之间的夹角。

5. 第一焦点定理:椭圆上任意一点的焦半径之和等于该点到两个焦点的距离。

6. 第二焦点定理:椭圆上的任意一条切线与连结焦点的两条引线之和相等。

三、椭圆的应用椭圆在现实生活中有广泛的应用。

以下是其中的几个例子:1. 天体轨道:行星、卫星等天体的轨道往往呈椭圆形状,椭圆的性质帮助科学家研究天体的运动规律。

2. 抛物线天线:抛物线天线是一种应用了椭圆的特性的天线,其形状使得抛物面成为抛物线,从而实现更强的信号聚集效果。

3. 建筑设计:在建筑设计中,椭圆形状常用于设计建筑物的地面、门廊和窗户,赋予建筑物一种独特的美感。

4. 运动轨迹:体育项目中,例如足球、篮球的运动轨迹在空中表现出的是一个抛物线,而当球员的移动是椭圆的路径时,也能够帮助球员更好地调整位置。

四、总结椭圆是一种具有独特性质的几何图形,其定义、性质及应用都具有广泛的意义和价值。

通过深入了解和探究椭圆,我们可以更好地理解并运用它在各个领域中的特性。

椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质椭圆是我们在数学中经常遇到的一个几何形状,它与圆形有着密切的关系。

本文将从椭圆的定义、特点与性质等角度进行阐述。

一、定义椭圆可以被定义为平面上满足一定条件的点的集合。

具体而言,对于一个给定的点F(焦点)和一条给定的长度2a(长轴),满足到该点F到椭圆上任意一点P到两条焦点的距离之和等于2a的性质(即FP1 + FP2 = 2a)的所有点的集合就是椭圆。

二、性质1. 椭圆的长短轴在定义中提到了长轴,那么自然会有短轴的概念。

椭圆的长轴是连接两个焦点的线段,而短轴则是与长轴垂直,并且通过椭圆中心O的线段。

长轴的长度2a通常被称为椭圆的主轴,短轴的长度2b则被称为椭圆的副轴。

2. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个重要的性质,它可以帮助我们了解椭圆的形状。

离心率e定义为焦点到中心距离与长轴长度的比值,即e = c/a,其中c是焦距。

当离心率小于1时,我们可以得到一个完整的椭圆。

当离心率接近于1时,椭圆的形状趋近于一个圆。

当离心率等于1时,我们则可以得到一个特殊的椭圆,也称之为扁平椭圆或者简称为抛物线。

3. 椭圆的焦点性质椭圆有一个独特的性质:对于椭圆上的任意一点P,其到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度,即FP1 + FP2 = 2a。

这一性质也可以用来定义椭圆。

4. 椭圆的几何形状在平面上,椭圆呈现出一种特殊的形状。

与圆相比,椭圆的形状更加扁平。

椭圆的形状还与长轴和短轴的长度之间的比例有关。

5. 椭圆的焦平面性质椭圆与焦平面有着特殊的关系。

如果我们在椭圆上选择任意两个不同的点P和Q,并且做出焦点F1和F2到这两个点的连线,那么这两条连线所组成的平面与椭圆的法线相交于同一点。

这个点就是椭圆的焦点平面上的点。

6. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程也是我们在研究椭圆性质时常用的一种表示方法。

一般而言,我们可以使用参数t或θ来表示椭圆上的点的坐标。

通过参数方程,可以更加方便地描述椭圆上的点的位置。

结语:椭圆作为几何学中的一种重要形状,具有独特的定义和性质。

椭圆的基本概念与性质

椭圆的基本概念与性质

椭圆的基本概念与性质椭圆是一种常见的几何图形,具有许多独特的性质和应用。

本文将介绍椭圆的基本概念和性质,包括定义、标准方程、焦点、直径、离心率、轨道和应用等方面。

1.椭圆的定义椭圆可以定义为平面上到两个固定点(焦点)的距离之和等于常数的点的集合。

这两个固定点称为焦点,常数称为椭圆的离心率。

椭圆也可以视为一个平面上到定点的连线长度之和等于一定长度(主轴)的点的轨迹。

2.椭圆的标准方程以坐标原点为中心的椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1,其中a和b 分别表示椭圆的长短半轴。

可以看出,a表示椭圆离心率对应的焦距长度,b表示椭圆的短半轴长度。

3.焦点和直径椭圆的焦点是椭圆的一个重要属性,它是椭圆离心率定义的核心。

可以通过标准方程中的离心率公式e = c/a(c为焦点到原点的距离),求得焦点的坐标表达式为(c, 0)和(-c, 0)。

椭圆的直径是通过椭圆中心并且同时与椭圆上两个点相交的线段。

对于以坐标原点为中心的椭圆,直径的长度为2a。

4.椭圆的离心率椭圆的离心率是描述椭圆形状的重要指标。

离心率的取值范围为0到1,离心率为0时表示圆形,离心率为1时表示扁平的线段。

椭圆的离心率定义为离心焦距和长半径之比,即e = c/a。

5.椭圆的轨迹椭圆的轨迹是指通过一定规则的运动得到的点所形成的图形。

在天体力学中,行星绕太阳运动的轨迹就是椭圆。

椭圆的轨迹具有许多独特的性质,例如对称性、曲率等。

6.椭圆的应用椭圆在现实生活中有许多重要的应用。

例如,在通信中,为了提高信号传输的质量和距离,卫星轨道通常选择为椭圆轨道。

此外,椭圆也被广泛应用于地理测量、天体力学、光学设计等领域。

总结:椭圆作为几何图形中的重要一员,具有许多独特的概念和性质。

通过本文的介绍,我们了解到椭圆的定义、标准方程、焦点、直径、离心率、轨迹和应用。

对于几何学的学习和实际应用,理解和掌握椭圆的基本概念与性质至关重要。

椭圆的定义及性质

椭圆的定义及性质

椭圆的一个顶点,则椭圆的方程为
.
解析:设椭圆的方程为
x2 a2

y2 b2
c

a

3 5
=1(a>b>0),则已知 b 4,
a2 b2
c2,

a 5, 解得 b 4,
c 3,
所以椭圆方程为 x2 y2 =1. 25 16
小结:椭圆的标准方程及其简单几何性质
x2
y2
a 2 b2 1(a b 0)
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
图形
对称性 顶点
范围
焦点 焦距
离心率
曲线关于x轴、 y轴、原点对称 长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0,±b)
a x a, b y b
(-c,0)和(c,0)
曲线关于x轴、 y轴、原点对称 长轴顶点(0,±a) 短轴顶点(±b,0)
椭圆关于x轴、y轴、原点对称.
yy B2
AA11
AA2 2
O O
x

x2 a2

y2 b2
BB11
1中令y=0, 可得x= a
从而:A1(-a,0),A2(a,0)
同理:B1(0, -b),B2(0, b)
y
B2
A1
A2
O
x
B1
线段A1A2叫椭圆的长轴: 长为2a 线段B1B2叫椭圆的短轴: 长为2b
2.当2a=2c时,轨迹是一条线段, 是以 F1、F2为端点的线段. 3.当2a<2c时,无轨迹,图形不存在. 4.当c=0时,轨迹为圆.
二.椭圆的标准方程
(1)焦点在x轴
x2 a2

椭圆的经典知识总结

椭圆的经典知识总结

椭圆的经典知识总结椭圆是一个非常重要的几何形状,广泛应用于数学、物理和工程等领域。

下面将对椭圆的经典知识进行总结,涵盖椭圆的定义、性质以及一些常见的应用。

一、定义和性质:1.椭圆定义:椭圆是平面上到两个给定点(焦点)距离之和等于一定常数(长轴)的点的集合。

2.主要要素:(1)焦点:椭圆的两个焦点是确定椭圆形状的关键要素。

(2)长轴和短轴:椭圆的长轴是连接两个焦点的线段,短轴则是垂直于长轴并通过中心点的线段。

长轴的长度称为椭圆的主轴,短轴的长度则称为次轴。

(3)中心:椭圆的中心是指长轴和短轴的交点。

(4)半焦距:则是焦点到中心的距离。

(5)离心率:椭圆的离心率是一个用来衡量椭圆形状的值,定义为离心距(焦点到中心的距离)与主轴长度之比。

3.离心率和几何性质:(1)离心率的取值范围为0到1之间,当离心率为0时,椭圆退化为一个点;当离心率为1时,椭圆退化为一个抛物线。

(2)在椭圆上的任意一点,到焦点的距离之和等于常数,称为焦散性质。

(3)椭圆的两个焦点到任意一点的距离之差等于长轴的长度。

4.椭圆的方程:椭圆的标准方程为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1,其中(h,k)为椭圆中心点的坐标,a和b分别为长轴和短轴的长度,并且a>b。

二、椭圆的性质和应用:1.对称性:(1)椭圆具有对称性,关于中心对称,即中心点是对称中心。

(2)长轴和短轴也是椭圆的对称轴。

2.焦点与直线的关系:(1)焦点到椭圆上的任意一点的距离之和等于该点到椭圆的任意一条切线的长度。

(2)椭圆上的任意一条切线与焦点之间的两条线段的夹角相等。

3.切线和法线:(1)切线是与椭圆一点相切且垂直于切线的直线。

(2)法线是与切线垂直且通过椭圆上切点的直线。

4.面积公式:椭圆的面积为πab,其中a和b分别为长轴和短轴的长度。

5.椭圆的应用:(1)椭圆在天文学中被用来描述行星、彗星和其他天体的轨道。

(2)椭圆也广泛应用于工程学、建筑学和设计中,例如椭圆形的天花板和门窗等。

椭圆的基本概念与性质

椭圆的基本概念与性质

椭圆的基本概念与性质椭圆是一种常见的几何图形,具有一些独特的性质和应用。

本文将介绍椭圆的基本概念以及一些相关的性质。

一、椭圆的定义与特点椭圆可以由一个固定点F(焦点)和到该点距离的总和等于常数2a (长轴)的点P的轨迹组成。

根据定义,椭圆上的任意点到焦点F和焦点到点到点P的距离之和等于常数2a。

椭圆还有一个参数b,称为短轴。

这两个参数构成了椭圆的两个辅助直径。

椭圆的中心是离焦点F和点P等距离的点O。

长轴和短轴的长度分别为2a和2b,其中2a>2b。

两个焦点F与F'关于中心O对称。

椭圆有一些特殊的性质:1. 椭圆上的任意点P到焦点的距离之和等于2a。

2. 椭圆的离心率e是一个介于0和1之间的数,定义为焦点到椭圆的中心的距离与长轴的一半的比值。

离心率决定了椭圆形状的“瘦胖程度”。

当e=0时,椭圆退化成一个点;当e=1时,椭圆退化成一个线段。

3. 椭圆的面积等于πab,其中π是圆周率。

二、椭圆的方程与坐标表示椭圆的方程可以通过焦点和离心率进行表示。

一般形式的椭圆方程为:(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1其中,a和b分别表示长轴和短轴的长度。

椭圆的中心位于原点(0,0)处。

椭圆还可以通过参数方程进行表示:x = a * cosθy = b * sinθ其中,θ为参数,0 ≤ θ ≤ 2π。

三、椭圆的性质1. 焦点定理:椭圆上的任意点P到焦点F1和F2的距离之和等于2a。

2. 切线性质:椭圆上的任意点P处的切线斜率等于y/x的导数值,即m = (dy/dx) = -b^2 / a^2 * (x / y)。

3. 点到椭圆的距离:点(x1, y1)到椭圆(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1的距离为d = sqrt[(x1^2/a^2) + (y1^2/b^2) - 1]。

4. 对称性:椭圆关于x轴和y轴对称。

5. 垂直角性质:椭圆上的任意点P处,直线PF1和PF2的夹角相等于直线PL1和PL2的夹角。

小学数学知识归纳椭圆的性质与判定

小学数学知识归纳椭圆的性质与判定

小学数学知识归纳椭圆的性质与判定椭圆是数学中的一个重要概念,也是中学数学的基础内容之一。

在小学阶段,我们对椭圆的了解主要集中在椭圆的性质和判定上。

本文将介绍椭圆的性质和判定,帮助同学们更好地理解和掌握。

一、椭圆的性质椭圆的性质有以下几个方面:1. 定义:椭圆是平面上到两个固定点F1、F2的距离之和恒定于常数2a(a>0)的点集合,常数2a称为长轴。

2. 中心:椭圆的中心是指椭圆上所有点的平均位置,记为C(h,k)。

3. 焦点和准线:椭圆的焦点是指椭圆上到两个固定点F1、F2的距离之和恒定于常数2a的点。

椭圆的准线是指过焦点F1、F2的直线。

4. 离心率:椭圆的离心率e定义为焦点与准线的距离之比,即e=c/a (c为焦点到中心的距离)。

5. 短轴:短轴是椭圆上通过中心的与长轴垂直的直线段,长度为2b (b>0)。

二、椭圆的判定根据给定的条件,我们可以判断一个图形是否为椭圆。

1. 根据焦点和准线的位置:a) 如果准线在椭圆的内部,且两焦点在准线同侧,则该图形为椭圆。

b) 如果准线在椭圆上,则该图形为圆。

2. 根据给定的坐标方程:对于坐标方程Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E= 0,a) 如果A和B的系数同时为正数,并且C、D、E的系数均为负数,则该图形为椭圆。

b) 如果A和B的系数相等,并且C、D、E的系数均为负数,则该图形为圆。

3. 根据离心率:根据给定的离心率e,对于焦点到准线的距离d,a) 如果e<1,则该图形为椭圆。

b) 如果e=1,则该图形为抛物线。

c) 如果e>1,则该图形为双曲线。

三、椭圆的应用举例椭圆作为数学中的一个重要概念,广泛应用于生活和科学领域,下面举例两个实际应用场景。

1. 天文学:开普勒第一定律中提到地球绕日公转的轨道是一个椭圆。

椭圆的性质帮助天文学家研究行星的轨道、运动速度等重要信息。

2. 工程建模:在建筑设计中,椭圆的性质可以用来设计拱形结构、电视塔等。

椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质1.椭圆的定义(1)第一定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做焦距.(2)第二定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e(0<e<1)的动点的轨迹是椭圆,定点F叫做椭圆的焦点,定直线l叫做焦点F相应的准线,根据椭圆的对称性,椭圆有两个焦点和两条准线.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)\f(y2,a2)+\f(x2,b2)=1(a>b>0)图形性质范围-a≤x≤a -b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤a 顶点A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)B1(0,-b),B2(0,b)B1(-b,0),B2(b,0) 焦点F1(-c,0) F2(c,0) F1(0,-c) F2(0,c)准线l1:x=-错误!l2:x=错误!l1:y=-错误!l2:y=错误!轴长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b焦距F1F2=2c离心率e=错误!,且e∈(0,1)a,b,c的关系c2=a2-b2对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)动点P到两定点A(-2,0),B(2,0)的距离之和为4,则点P的轨迹是椭圆.( )(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).( )(3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( )(4)已知点F 为平面内的一个定点,直线l 为平面内的一条定直线.设d为平面内一动点P到定直线l 的距离,若d =错误!|PF |,则点P 的轨迹为椭圆.( )[解析] (1)错误,|P A |+|PB |=|A B|=4,点P 的轨迹为线段AB ;(2)正确,根据椭圆的第一定义知PF 1+PF2=2a ,F 1F 2=2c ,故△PF 1F2的周长为2a +2c ;(3)错误,椭圆的离心率越大,椭圆越扁.(4)正确,根据椭圆的第二定义.[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2.(教材习题改编)焦点在x 轴上的椭圆\f(x 2,5)+错误!=1的离心率为错误!,则m =________.[解析] 由题设知a 2=5,b2=m ,c 2=5-m,e2=错误!=错误!=(错误!)2=错误!,∴5-m=2,∴m=3.[答案] 33.椭圆的焦点坐标为(0,-6),(0,6),椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为20,则椭圆的标准方程为_____.[解析] 椭圆的焦点在y轴上,且c =6,2a =20,∴a=10,b 2=a2-c 2=64,故椭圆方程为x 264+y 2100=1. [答案] 错误!+错误!=1 4.(2014·无锡质检)椭圆x24+\f(y 2,3)=1的左焦点为F ,直线x =m与椭圆相交于点A,B,当△F AB 的周长最大时,△F AB 的面积是________.[解析] 直线x=m 过右焦点(1,0)时,△F AB 的周长最大,由椭圆定义知,其周长为4a =8, 此时,|AB |=2×b 2a=错误!=3,∴S △F AB =错误!×2×3=3.[答案] 35.(2014·江西高考)过点M (1,1)作斜率为-错误!的直线与椭圆C :错误!+错误!=1(a >b>0)相交于A ,B 两点,若M是线段AB 的中点,则椭圆C的离心率等于________.[解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则错误!∴错误!+错误!=0,∴y 1-y 2x1-x 2=-b2a2·\f(x 1+x 2,y1+y 2). ∵y 1-y 2x 1-x2=-\f (1,2),x 1+x 2=2,y1+y 2=2,∴-b 2a2=-错误!, ∴a 2=2b 2.又∵b 2=a 2-c2,∴a 2=2(a 2-c 2),∴a 2=2c 2,∴\f (c ,a )=错误!.[答案] 错误!考向1 椭圆的定义与标准方程【典例1】(1)(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆C:错误!+错误!=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为\f(3,3),过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4\r(3),则C的方程为________.(2)(2014·苏州质检)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为________.[解析](1)由条件知△AF1B的周长=4a=4错误!,∴a=错误!.∵e=错误!=错误!,c2+b2=a2,∴c=1,b=错误!.∴椭圆C的方程为错误!+错误!=1.(2)∵椭圆的一条准线为x=-4,∴焦点在x轴上且错误!=4,又2c=4,∴c=2,∴a2=8,b2=4,∴该椭圆方程为错误!+错误!=1.[答案] (1)错误!+错误!=1 (2)错误!+错误!=1,【规律方法】(1)一般地,解决与到焦点的距离有关问题时,首先应考虑用定义来解决.(2)求椭圆的标准方程有两种方法①定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程.②待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).【变式训练1】(1)(2013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于\f(1,2),则C的方程是________.(2)(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是错误!+错误!=1(a>5),它的两个焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=8,弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点F1,则△ABF2的周长为________.[解析] (1)右焦点F(1,0),则椭圆的焦点在x轴上;c=1.又离心率为ca=\f(1,2),故a=2,b2=a2-c2=4-1=3,故椭圆的方程为x24+\f(y2,3)=1.(2)∵a>5,∴椭圆的焦点在x轴上,∵|F1F2|=8,∴c=4,∴a2=25+c2=41,则a=\r(41). 由椭圆定义,|AF1|+|AF2|=|BF2|+|BF1|=2a,∴△ABF2的周长为4a=441.[答案] (1)错误!+错误!=1(2)4错误!考向2椭圆的几何性质【典例2】(1)(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),右焦点为F,右准线为l,短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2,若d2=6d1,则椭圆C的离心率为________.(2)(2014·扬州质检)已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点,点P在椭圆上,且满足|PF1|=2|PF2|,∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为________.[解析](1)依题意,d2=错误!-c=错误!.又BF=错误!=a,所以d1=错误!.由已知可得错误!=\r(6)·\f(bc,a),所以\r(6)c2=ab,即6c4=a2(a2-c2),整理可得a2=3c2,所以离心率e=\f(c,a)=\f(3,3).(2)在三角形PF1F2中,由正弦定理得sin∠PF2F1=1,即∠PF2F1=错误!,设|PF2|=1,则|PF1|=2,|F2F1|=3,∴离心率e=错误!=错误!. [答案](1)错误!(2)错误!,【规律方法】1.椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a,得到a,c的关系.2.椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:(1)求出a,c,代入公式e=错误!;(2)只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).【变式训练2】(1)(2013·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C:错误!+错误!=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为________.(2)(2014·徐州一中抽测)已知F1、F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.则椭圆离心率的范围为________.[解析](1)如图,在Rt△PF1F2中,∠PF1F2=30°,∴|PF1|=2|PF2|,且|PF2|=错误!|F1F2|,又|PF1|+|PF2|=2a,∴|PF2|=\f(2,3)a,于是|F1F2|=错误!a,因此离心率e=错误!=错误!=错误!.(2)法一:设椭圆方程为错误!+错误!=1(a>b>0),|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.在△PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mn cos 60°=(m+n)2-3mn=4a2-3mn≥4a2-3·错误!2=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).∴错误!≥错误!,即e≥错误!.又0<e<1,∴e的取值范围是错误!.法二:如图所示,设O是椭圆的中心,A 是椭圆短轴上的一个顶点,由于∠F 1PF2=60°,则只需满足60°≤∠F1AF 2即可,又△F 1AF 2是等腰三角形,且|AF1|=|AF 2|,所以0°<∠F 1F2A ≤60°,所以12≤cos ∠F 1F2A <1,又e=c os ∠F 1F2A ,所以e 的取值范围是错误!. [答案] (1)错误! (2)错误! 课堂达标练习 一、填空题1.在平面直角坐标系x Oy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为错误!.过F1的直线l 交C于A ,B 两点,且△AB F2的周长为16,那么椭圆C 的方程为________.[解析] 设椭圆方程为x 2a 2+\f (y2,b 2)=1(a >b >0),由e=错误!知错误!=错误!,故错误!=错误!.由于△AB F2的周长为|AB |+|BF 2|+|AF 2|=(|AF 1|+|AF 2|)+(|BF 1|+|BF 2|)=4a =16,故a =4.∴b 2=8. ∴椭圆C的方程为错误!+错误!=1.[答案] 错误!+错误!=12.(2013·四川高考改编)从椭圆错误!+错误!=1(a>b >0)上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点F 1,A是椭圆与x 轴正半轴的交点,B是椭圆与y 轴正半轴的交点,且A B∥O P(O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是________.[解析] 设P (-c,y0)代入椭圆方程求得y0,从而求得k OP ,由kOP =k A B及e=\f(c ,a)可得离心率e . 由题意设P(-c ,y 0),将P (-c ,y0)代入\f(x 2,a2)+错误!=1,得错误!+错误!=1,则y错误!=b 2错误!=b 2·错误!=错误!.∴y 0=错误!或y 0=-错误!(舍去),∴P 错误!,∴k OP =-错误!.∵A(a,0),B (0,b),∴k AB =b -00-a=-错误!. 又∵AB ∥OP ,∴kAB =k OP ,∴-错误!=-错误!,∴b=c.∴e =\f(c,a )=\f (c,b 2+c2)=错误!=错误!. [答案] 错误!3.(2014·辽宁高考)已知椭圆C :错误!+错误!=1,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则|AN |+|BN |=________.[解析] 椭圆错误!+错误!=1中,a =3. 如图,设MN 的中点为D ,则|DF 1|+|D F2|=2a =6.∵D ,F1,F 2分别为MN ,AM ,BM 的中点,∴|BN |=2|DF 2|,|AN |=2|D F1|, ∴|AN |+|BN |=2(|DF 1|+|D F2|)=12. [答案] 124.(2014·南京调研)如图,已知过椭圆错误!+错误!=1(a >b >0)的左顶点A (-a ,0)作直线l交y 轴于点P,交椭圆于点Q ,若△AO P是等腰三角形,且错误!=2错误!,则椭圆的离心率为________.[解析] ∵△AO P为等腰三角形,∴O A=O P,故A (-a,0),P(0,a ),又错误!=2错误!,∴Q 错误!,由Q在椭圆上得错误!+错误!=1,解得错误!=错误!. ∴e =错误!=错误!=错误!. [答案] 错误!5.(2014·南京质检)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为错误!,且它的长轴长等于圆C:x 2+y 2-2x -15=0的半径,则椭圆的标准方程是________.[解析] 由x 2+y 2-2x -15=0,知r =4=2a ⇒a =2. 又e =\f(c,a )=\f(1,2),c =1,则b2=a 2-c 2=3.因此椭圆的标准方程为\f (x 2,4)+错误!=1. [答案] 错误!+错误!=16.(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F,椭圆C 与过原点的直线相交于A,B 两点,连接AF ,B F.若|AB |=10,|B F|=8,cos ∠AB F=\f(4,5),则椭圆C的离心率为__________.[解析] 在△ABF 中,由余弦定理得 ,|AF |2=|AB |2+|BF |2-2|A B|·|BF |c os ∠ABF ,∴|AF|2=100+64-128=36,∴|AF |=6,从而|AB |2=|AF |2+|BF |2,则AF ⊥BF . ∴c =|OF |=12|AB |=5,利用椭圆的对称性,设F ′为右焦点,则|BF ′|=|AF |=6, ∴2a=|B F|+|BF ′|=14,a =7. 因此椭圆的离心率e =错误!=错误!. [答案] 错误! 7.已知F 1,F 2是椭圆C :x2a 2+\f(y 2,b 2)=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C上的一点,且\o(PF 1,→)⊥错误!.若△PF 1F 2的面积为9,则b =________.[解析] 由定义,|PF 1|+|PF 2|=2a,且错误!⊥错误!, ∴|P F1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2,∴(|PF 1|+|P F2|)2-2|PF 1||PF 2|=4c 2,∴2|PF 1||PF 2|=4a 2-4c 2=4b 2,∴|PF 1||PF 2|=2b 2. ∴S△PF 1F 2=\f (1,2)|PF 1||PF 2|=12×2b 2=9,因此b =3. [答案] 38.(2013·大纲全国卷改编)已知F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x轴的直线交C于A ,B 两点,且|AB |=3,则C 的方程为________.[解析] 依题意,设椭圆C:错误!+错误!=1(a >b>0).过点F 2(1,0)且垂直于x 轴的直线被曲线C 截得弦长|AB |=3, ∴点A错误!必在椭圆上, ∴错误!+错误!=1.① 又由c =1,得1+b 2=a 2.② 由①②联立,得b 2=3,a 2=4.故所求椭圆C 的方程为x24+\f (y 2,3)=1. [答案] \f(x 2,4)+错误!=1二、解答题9.(2014·镇江质检)已知椭圆C 1:错误!+y 2=1,椭圆C 2以C 1的长轴为短轴,且与C 1有相同的离心率. (1)求椭圆C 2的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B 分别在椭圆C1和C 2上,错误!=2错误!,求直线AB 的方程.[解] (1)设椭圆C 2的方程为错误!+错误!=1(a >2), 其离心率为错误!, 故错误!=错误!,解得a =4.故椭圆C2的方程为\f(y 2,16)+错误!=1.(2)法一:A ,B 两点的坐标分别记为(x A ,yA ),(x B,yB ),由错误!=2错误!及(1)知,O 、A、B 三点共线且点A 、B 不在y 轴上,因此可设直线A B的方程为y =kx . 将y=kx 代入错误!+y 2=1中,得(1+4k2)x2=4, 所以x错误!=错误!. 将y =kx 代入\f(y 2,16)+错误!=1中,得(4+k 2)x 2=16,所以x 错误!=错误!. 又由错误!=2错误!,得x 错误!=4x 错误!, 即错误!=错误!, 解得k =±1.故直线AB 的方程为y =x 或y =-x. 法二:A ,B两点的坐标分别记为(xA,y A ),(x B ,yB ),由错误!=2错误!及(1)知,O 、A、B三点共线且点A 、B 不在y 轴上,因此可设直线AB 的方程为y =kx . 将y =kx 代入\f(x2,4)+y 2=1中,得(1+4k 2)x 2=4,所以x2,A =41+4k2. 由错误!=2错误!,得x错误!=错误!,y 错误!=错误!.将x2B,y错误!代入错误!+错误!=1中,得错误!=1,即4+k2=1+4k2,解得k=±1.故直线AB的方程为y=x或y=-x.10.(2014·安徽高考)设F1,F2分别是椭圆E:\f(x2,a2)+错误!=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|.(1)若|AB|=4,△ABF2的周长为16,求|AF2|;(2)若cos∠AF2B=错误!,求椭圆E的离心率.[解](1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1.因为△ABF2的周长为16,所以由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.(2)设|F1B|=k,则k>0且|AF1|=3k,|AB|=4k.由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.在△ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B,即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-\f(6,5)(2a-3k)·(2a-k),化简可得(a+k)(a-3k)=0.而a+k>0,故a=3k.于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1A⊥F2A,故△AF1F2为等腰直角三角形.从而c=\f(\r(2),2)a,所以椭圆E的离心率e=错误!=错误!.椭圆的定义与性质1.椭圆的定义(1)第一定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个叫做椭圆的焦点,两个的距离叫做焦距.(2)第二定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数( <e<)的动点的轨迹是椭圆,定点F叫做椭圆的焦点,定直线l叫做焦点F相应的准线,根据椭圆的对称性,椭圆有两个焦点和两条准线.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!+错误!=1(a>b>0)错误!+错误!=1(a>b>0)图形性质范围≤x≤≤y≤≤x≤≤y≤顶点A1( ), A2( ) A1(), A2()B1( ),B2( ) B1(),B2()焦点F1() F2() F1()F2()准线l1:x=-a2c l2:x=\f(a2,c) l1:y=-错误!l2:y=错误!轴长轴A1A2的长为短轴B1B2的长为长轴A1A2的长为短轴B1B2的长为焦距F1F2=离心率e=\f(c,a),且e∈a,b,c的关系c2=对称性对称轴:对称中心:1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)动点P到两定点A(-2,0),B(2,0)的距离之和为4,则点P的轨迹是椭圆.()(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).()(3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.()(4)已知点F为平面内的一个定点,直线l为平面内的一条定直线.设d为平面内一动点P到定直线l的距离,若d=错误!|PF|,则点P的轨迹为椭圆.()2.(教材习题改编)焦点在x轴上的椭圆错误!+错误!=1的离心率为错误!,则m=________.3.椭圆的焦点坐标为(0,-6),(0,6),椭圆上一点P到两焦点的距离之和为20,则椭圆的标准方程为_____. 4.(2014·无锡质检)椭圆错误!+错误!=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A,B,当△F AB的周长最大时,△F AB的面积是________.5.(2014·江西高考)过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:错误!+错误!=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________.考向1 椭圆的定义与标准方程【典例1】(1)(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆C:\f(x2,a2)+错误!=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为错误!,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4错误!,则C的方程为________.(2)(2014·苏州质检)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为________.【规律方法】(1)一般地,解决与到焦点的距离有关问题时,首先应考虑用定义来解决.(2)求椭圆的标准方程有两种方法①定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程.②待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).【变式训练1】(1)(2013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于\f(1,2),则C的方程是________.(2)(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是错误!+错误!=1(a>5),它的两个焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=8,弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点F1,则△ABF2的周长为________.考向2椭圆的几何性质【典例2】(1)(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为错误!+错误!=1(a>b>0),右焦点为F,右准线为l,短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2,若d2=6d1,则椭圆C的离心率为________.(2)(2014·扬州质检)已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点,点P在椭圆上,且满足|PF1|=2|PF2|,∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为________.【规律方法】1.椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a,得到a,c的关系.2.椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:(1)求出a,c,代入公式e=错误!;(2)只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).【变式训练2】(1)(2013·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C:x2a2+错误!=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为________.(2)(2014·徐州一中抽测)已知F1、F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.则椭圆离心率的范围为________.课堂达标练习一、填空题1.在平面直角坐标系x Oy 中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F 2在x轴上,离心率为\f(\r(2),2).过F 1的直线l交C 于A ,B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么椭圆C的方程为________.2.(2013·四川高考改编)从椭圆错误!+错误!=1(a>b >0)上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且AB ∥OP (O是坐标原点),则该椭圆的离心率是________.3.(2014·辽宁高考)已知椭圆C :x 29+错误!=1,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C上,则|AN |+|B N|=________.4.(2014·南京调研)如图,已知过椭圆错误!+错误!=1(a >b>0)的左顶点A (-a,0)作直线l交y 轴于点P ,交椭圆于点Q ,若△AOP 是等腰三角形,且错误!=2错误!,则椭圆的离心率为________.5.(2014·南京质检)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为\f(1,2),且它的长轴长等于圆C :x 2+y 2-2x -15=0的半径,则椭圆的标准方程是________.6.(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C:错误!+错误!=1(a >b>0)的左焦点为F,椭圆C 与过原点的直线相交于A ,B 两点,连接AF ,BF .若|AB |=10,|BF |=8,cos ∠ABF =错误!,则椭圆C 的离心率为__________.7.已知F 1,F2是椭圆C :错误!+错误!=1(a >b >0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且错误!⊥错误!.若△P F1F2的面积为9,则b =________.8.(2013·大纲全国卷改编)已知F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x轴的直线交C 于A,B 两点,且|A B|=3,则C 的方程为________.二、解答题9.(2014·镇江质检)已知椭圆C 1:x 24+y 2=1,椭圆C2以C 1的长轴为短轴,且与C 1有相同的离心率. (1)求椭圆C 2的方程;(2)设O 为坐标原点,点A ,B分别在椭圆C 1和C 2上,错误!=2错误!,求直线AB 的方程.10.(2014·安徽高考)设F1,F2分别是椭圆E:错误!+错误!=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|.(1)若|AB|=4,△ABF2的周长为16,求|AF2|;(2)若cos∠AF2B=错误!,求椭圆E的离心率.。

椭圆基础知识点

椭圆基础知识点

椭圆基础知识点椭圆是数学中的重要概念,广泛应用于物理、工程、几何等领域。

本文将介绍椭圆的基础知识点,包括定义、性质、参数方程、焦点与准线等内容。

一、椭圆的定义椭圆是平面上一条封闭曲线,其上各点到两个定点的距离之和恒定。

这两个定点称为焦点,连接两焦点的线段称为主轴,主轴的中点为椭圆的中心,主轴长度的一半称为半长轴,垂直于主轴的线段称为次轴,次轴长度的一半称为半短轴。

二、椭圆的性质1. 弦长定理:椭圆上任意两点连线的长度之和等于两焦点之间的距离。

2. 焦点定理:椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于两个焦点之间的距离。

3. 反射定理:从椭圆上一点出发的光线经过反射后,会经过另一个焦点。

4. 离心率:椭圆的离心率e是一个0到1之间的实数,定义为焦距与半长轴之间的比值。

三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以用参数θ表示,如下所示:x = a * cosθy = b * sinθ其中,a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。

四、椭圆的焦点与准线1. 焦点:椭圆上的焦点是满足椭圆定义的两个定点,记为F1和F2。

焦点与椭圆的离心率e有关,可以通过公式e = c / a计算,其中c为焦距,a为半长轴。

2. 准线:椭圆上到两个焦点距离之和等于椭圆长轴长度的两条直线称为准线,记为L1和L2。

五、应用领域1. 天体运动:行星、卫星等天体围绕太阳、行星等轨道呈椭圆形。

2. 光学:椭圆抛物面反射镜和透镜用于天文望远镜、摄影镜头等光学仪器中。

3. 电子学:椭圆偏振器在液晶显示器等领域有广泛应用。

4. 地理测量:在地球上,纬线和经线的组合形成椭圆,用来表示地球的形状。

六、总结椭圆作为一种几何形状,具有丰富的性质和广泛的应用。

本文介绍了椭圆的定义、性质、参数方程以及焦点与准线等内容。

椭圆在数学、物理、工程等领域中都有重要的应用,对于理解和解决相关问题具有重要意义。

希望本文能够帮助读者对椭圆有更深入的了解。

椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质椭圆是一种常见的几何图形,具有特定的定义和性质。

本文将对椭圆的定义以及与其相关的性质进行探讨。

一、椭圆的定义椭圆可以用两个焦点和到两个焦点距离之和等于定值的点的集合来定义。

更准确地说,椭圆是平面上满足到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的集合,其中a是椭圆的半长轴。

椭圆还具有两个确定其形状和大小的参数:离心率e和焦点间的距离2c。

二、椭圆的特点椭圆具有以下几个重要的性质:1. 对称性:椭圆具有两条互相垂直的对称轴,即长轴和短轴。

这两条对称轴的交点称为椭圆的中心。

2. 焦点性质:对于椭圆上的任意一点P,到焦点F1和F2的距离之和等于2a。

即PF1 + PF2 = 2a。

3. 定义性质:椭圆上的任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于2a,这是椭圆的定义。

4. 离心率性质:椭圆的离心率e满足0 < e < 1,离心率越小,椭圆越扁平。

5. 半焦参数性质:椭圆的半焦参数c满足c = a * e,其中c表示焦点到中心的距离。

6. 弦性质:椭圆上任意一条弦的长度等于半长轴的长度。

三、椭圆与其他几何图形的关系椭圆与圆、抛物线和双曲线都是常见的二次曲线。

与圆相比,椭圆的两个焦点在中心的两侧,而圆的焦点和中心重合;与抛物线相比,椭圆是有界曲线,而抛物线则是无界曲线;与双曲线相比,椭圆是闭合曲线,而双曲线则是非闭合曲线。

四、椭圆的应用椭圆由于其独特的几何性质,在现实生活中有着广泛的应用。

以下列举几个常见的应用场景:1. 太阳系的行星轨道:行星围绕太阳运动的轨道是个近似椭圆形,其中太阳位于椭圆的一个焦点处。

2. 圆形的近似:在一些工程设计中,可以使用椭圆作为近似圆形来进行计算和设计,便于操作和运算。

3. 电子轨道运动:根据玻尔模型,电子在原子中的运动轨迹近似为椭圆形。

总结:椭圆是一种具有独特几何性质的几何图形,其定义和性质经过了仔细的研究与推导。

我们了解到,椭圆具有对称性、焦点性质和离心率性质等重要特征,并且与其他几何图形有所区别。

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椭圆的定义与性质1.椭圆的定义(1) 第一定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做焦距.(2) 第二定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线l 的距离的比是常数e(0<e<1)的动点的轨迹是椭圆,定点 F 叫做椭圆的焦点,定直线l 叫做焦点 F 相应的准线,根据椭圆的对称性,椭圆有两个焦点和两条准线.2.椭圆的标准方程和几何性质1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)动点P 到两定点A(-2,0),B(2,0)的距离之和为4,则点P 的轨迹是椭圆.( )(2)椭圆上一点P 与两焦点F1,F2构成△ PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长, c 为椭圆的半焦距).( )典例 1】(1)(2014 ·全国大纲卷改编 )已知椭圆 C : x a 2+ y b 2= 1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F 2,离心率(3) 椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越圆. ( ) (4) 已知点 F 为平面内的一个定点, 直线 l 为平面内的一条定直线. 设 d 为平面内一动点 P 到定直线l 的5距离,若 d = 4|PF |,则点 P 的轨迹为椭圆. ( )[解析] (1)错误, |PA|+|PB|=|AB|=4,点 P 的轨迹为线段 AB ;(2)正确,根据椭圆的第一定义知 PF 1+ PF 2=2a ,F 1F 2=2c ,故△ PF 1F 2的周长为 2a +2c ;(3)错误,椭圆的离心率越大,椭圆越扁. (4)正确,根据椭圆的第二定义.[答案 ] (1)× (2)√ (3)× (4)√3.椭圆的焦点坐标为 (0,-6),(0,6),椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 20,则椭圆的标准方程为 ___x2 y 2[解析] 椭圆的焦点在 y 轴上,且 c =6,2a =20,∴ a =10,b 2=a 2-c 2=64,故椭圆方程为 64+ 100= 1. x 2y2[答案 ] x+ y=164 100 x 2 y 24.(2014 无·锡质检 )椭圆4 + 3 =1的左焦点为 F ,直线 x =m 与椭圆相交于点 A ,B ,当△ FAB 的周长最大时,△ FAB 的面积是 ______[解析] 直线 x =m 过右焦点 (1,0)时,△ FAB 的周长最大,由椭圆定义知,其周长为 4a =8,此时, |AB|=2× b a 2×322C : x a 2+b y2=1(a>b>0)相交于 A ,B 两点,若 M 是y 1-y 2b 2x 1+ x 2=-2 ·x 1- x 2a y 1+ y 212,x 1+x 2=2,y 1+y 2=2,∴- a b 2=- 12,∴a 2=2b 2.又∵b 2=a 2-c 2,∴a 2=2(a 2-c 2),∴ a 2=2c 2,∴a c = 22.[答案 ]考向 1 椭圆的定义与标准方程2. (教材习题改编 )焦点在 x 轴上的椭圆 x+y =1 的离心率为 10,则 m =5 m 5[解析] 由题设知 a 2= 5,b 2=m ,c 2=5-m ,12=3,∴S △FAB =2×2×3=3.[答案 ] 35. (2014 ·江西高考 )过点 1M(1,1) 作斜率为- 12的直线与椭圆线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于[解析] 设 A(x 1,y 1), B(x 2, y 2),则x 1-x 2 x 1+ x 2y 1- y 2 y 1+y 2 = 0,a 2b 2∵y 1-y 2= x 1- x 25-m 525,∴5-m =2,∴m =3.[答案]b y 122=1为 33,过 F 2的直线 l 交C 于A 、B 两点.若△ AF 1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为 __________ .(2)(2014 苏·州质检 )椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 x =- 4,则该椭圆的方程为 _____ [解析] (1)由条件知△ AF 1B 的周长= 4a =4 3,∴ a = 3.∵e =c = 3,c 2+b 2=a 2,∴c =1,b = 2.∴椭圆 C 的方程为 x +y =1.a 3 3 2a 2(2)∵椭圆的一条准线为 x =- 4,∴焦点在 x 轴上且 c =4,又 2c =4,∴c =2,∴a 2=8,b 2=4, c∴该椭圆方程为 x 8 + y 4 = 1.[答案 ] (1)x 3+y 2=1 (2)x 8+y 4=1, 【规律方法】(1)一般地,解决与到焦点的距离有关问题时,首先应考虑用定义来解决. (2)求椭圆的标准方程有两种方法①定义法:根据椭圆的定义,确定 a 2,b 2 的值,结合焦点位置可写出椭圆方程. ②待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a ,b ;若焦点位置不明确,则需要分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为 Ax 2+By 2=1(A>0,B>0,A ≠B).1【变式训练 1】 (1)(2013 ·广东高考改编 )已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于 12, 则 C 的方程是 ______ .AB(椭圆上任意两点的线段 )过点 F 1,则△ ABF 2 的周长为 ________[解析] (1)右焦点 F(1,0),则椭圆的焦点在 x 轴上; c =1.(2)∵a >5,∴椭圆的焦点在 x 轴上,∵ |F 1F 2|=8,∴ c = 4,∴ a 2=25+ c 2= 41,则 a = 41. 由椭圆定义, |AF 1|+ |AF 2|=|BF 2|+|BF 1|=2a ,x2 y 2∴△ ABF 2的周长为 4a =4 41.[答案] (1)x 4+y 3=1 (2)4 41考向 2 椭圆的几何性质【典例 2】 (1)(2013 江·苏高考 )在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为 x a2+y b2=1(a >b > 0), 右焦点为 F ,右准线为 l ,短轴的一个端点为 B.设原点到直线 BF 的距离为 d 1,F 到 l 的距离为 d 2,若 d 2=6 d 1,则椭圆 C 的离心率为 _____ .(2)(2014 扬·州质检 )已知 F 1、 F 2是椭圆 C 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,且满足 |PF 1|=2|PF 2|,∠PF 1F 2 = 30°,则椭圆的离心率为.[解析 ] (1)依题意, d 2=a-c =b.又 BF = c 2+b 2=a ,所以 d 1=bc.由已知可得 b= 6·bc,所以 6c 2c c ac a=ab ,即 6c 4= a 2(a 2-c 2),整理可得 a 2=3c 2,所以离心率 e =a c = 33.(2)(2014 苏·州质检 )已知椭圆的方程是 x2 y 2a x 2+2y 5=1(a >5),它的两个焦点分别为F 1,F 2,且 |F 1F 2|=8,弦又离心率为 c a 12,故 a =2,b 2= a 2-c 2=4-1=3,故椭圆的方程为 22x 42+y 32=1.π(2)在三角形PF1F2 中,由正弦定理得sin∠ PF2F1=1,即∠ PF2F1=2,设|PF2|=1,则|PF1|=2,|F2F1|=3,∴离心率e=22c a=33. [答案](1)33(2)33, 规律方法】1.椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a,得到a,c 的关系.2.椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:c(1)求出a,c,代入公式e=;a(2)只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).【变式训练2】22(1)(2013 ·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C:a x2+b y2=1(a> b>0)的左、右焦点分别为F,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为_________ .(2)(2014 徐·州一中抽测)已知F1、F2 是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,∠ F1PF2=60°.则椭圆离心率的范围为 __ .[解析](1)如图,在Rt△PF1F2中,∠ PF1F2=30°,∴|PF1|=2|PF2|,且|PF2|=又|PF1|+|PF2|=2a,∴ |PF2|=32a,于是|F1F2|=233a,因此离心率e=a c=33a a=33 (2)法一:设椭圆方程为x a2+y b2=1(a>b>0),|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.在△ PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos 60 °=(m+n)2-3mn=4a2-3mn≥4a2-3·m+n 2=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).∴ c2≥1,即e≥1.2 a 4 21又0<e<1 ,∴ e 的取值范围是2,1法二:如图所示,设O 是椭圆的中心,60°≤∠F1AF2 即可,1又△F1AF2是等腰三角形,且|AF 1|=|AF 2|,所以0°<∠F1F2A≤60°,所以2≤cos∠F1F2A<1,|F1F2|,F1PF2=60°,则只需满足又 e =cos ∠F 1F 2A ,所以 e 的取值范围是 12,1 . [答案 ] (1) 33 (2) 21,1 课堂达标练习 、填空题xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F 1,F 2在x 轴上,离心率为 22.过 F 1的直线∵D ,F 1,F 2分别为 MN , AM , BM 的中点,∴ |BN |= 2|DF 2 |, |AN |=2|DF 1|,1.在平面直角坐标系l 交 C 于 A ,B 两点,且△[解析 ] 设椭圆方程为由于△ ABF 2 的周长为 ∴椭圆 C 的方程|AB|+|BF 2|+|AF 2|=(|AF 1|+ |AF 2|)+(|BF 1|+|BF 2|)=4a =16,故 a =4.∴ b 2=8.22 2+y2=1.[答案 ] x2+y2=1 16 816 8x 22.(2013 四·川高考改编 )从椭圆 a 2+ ab 2=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线, 垂足恰为左焦点 F 1,A 是椭圆 与 x 轴正半轴的交点, B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB ∥OP (O 是坐标原点 ),则该椭圆的离心率是[解析 ] 设 P (- c , y 0 )代入椭圆方程求得 y 0,从而求得 k OP ,由 k OP = k AB 及 e = c 可得离心率 e. ax 2 y 2c2 y 2c2a 2- c 2b 4由题意设 P (-c ,y 0),将 P (-c ,y 0)代入 a 2+b 2=1,得a 2+b 2=1,则 y2=b 2 1-a 2=b2· a 2a 2.∴y 0=b a 或 y 0=- b a (舍去),∴ P -c ,ba,∴ k OP =- a b c . b - 0 b ∵A(a,0),B(0,b),∴k AB =0b--a=-b a又∵ AB ∥OP ,∴ k AB = k OP ,∴- a b =- a b c ,∴ b =c.c c c 2∴e =a =b 2+c 2= 2c 2=2 . [答案 ]x 2 y 23. (2014 辽·宁高考 )已知椭圆 C :x 9 +y 4 =1,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A ,B ,线段 MN 的中点在 C 上,则 |AN|+ |BN|= ____ .x 2 y 2[解析] 椭圆9+4=1中,a =3. 如图,设 MN 的中点为 D ,则|DF 1|+|DF 2|=2a =6.ABF 2 的周长为 22x 2+ y 2= 1(a>b>0) ,由 e =c= 2,故b2=1 a = 2,故a 2=2.∴|AN|+|BN|=2(|DF 1|+|DF 2|)=12. [答案 ] 12→→交 y 轴于点 P ,交椭圆于点 Q ,若△ AOP 是等腰三角形,且 PQ =2QA ,为 ________ .→→[解析] ∵△AOP 为等腰三角形,∴ OA =OP ,故 A (-a,0),P (0,a ),又PQ =2QA ,∴Q -23a ,a 3 ,由Q 在椭圆上得 94+9a b 2=1,解得a b 2=51. ∴e = 1-a b 2= 1-51=255. [答案] 255 15.(2014 南·京质检 )已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 2,且它的长轴长等于圆 C :x 2+y 2-2x -15=0 的半径,则椭圆的标准方程是 ________c1[解析 ] 由 x2+ y 2- 2x - 15= 0,知 r =4=2a? a =2. 又 e = = ,c =1,则 b 2=a 2-c 2=3.a2 因此椭圆的标准方程为 x+y=1. [答案] x+y =14 3 4 3x 2 y 26.(2013 辽·宁高考改编 )已知椭圆 C :a 2+ b 2= 1(a>b>0)的左焦点为 F ,椭圆 C 与过原点的直线相交于 A ,4B 两点,连接 AF ,BF.若|AB|=10,|BF|=8, cos ∠ABF =5,则椭圆C 的离心率为 ____________ .[解析] 在△ABF 中,由余弦定理得 ,|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB||·BF|cos ∠ABF ,1∴|AF|2=100+64-128=36,∴|AF|=6,从而|AB|2=|AF|2+|BF|2,则 AF ⊥BF. ∴c =|OF|=2|AB|=5, 利用椭圆的对称性,设 F ′为右焦点,则 |BF ′ |=|AF|=6, ∴2a =|BF|+|BF ′|=14,a =7. c 5 5 因此椭圆的离心率 e = c =5. [答案 ] 5 a 7 7→→P 为椭圆 C 上的一点,且PF 1⊥PF 2.若△ PF 1F 2的面积为 9,则 b = ______→→[解析] 由定义, |PF 1|+ |PF 2|= 2a ,且 PF 1⊥PF 2, ∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2, ∴(|PF 1|+|PF 2|)2-2|PF 1||PF 2|= 4c 2,11∴2|PF 1||PF 2|=4a 2-4c 2=4b 2,∴ |PF 1||PF 2|=2b 2. ∴S △PF 1F 2=2|PF 1||PF 2|=2×2b 2=9,因此 b =3. [答案 ] 38.(2013 ·大纲全国卷改编 )已知 F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点,过 F 2且垂直于 x 轴的直线交 C 于 A , B 两点,且 |AB|= 3,则 C 的方程为 .[解析 ] 依题意,设椭圆 C :xa 2+yb 2=1(a>b>0).34. (2014 南·京调研 )如图,已知过椭圆 x 2a 2+b y 227.已知 F 1,F 2 是椭圆 C :xa 2+yb 2=1(a >b > 0)的两个焦点,= 1(a> b>0)的左顶点过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|=3,∴点A 1,2必在椭圆上,故所求椭圆 C 的方程为 x 4+y 3=1. [答案] x 4+y 3=1 、解答题(1) 求椭圆 C 2 的方程;→→(2) 设 O 为坐标原点,点 A , B 分别在椭圆 C 1和 C 2上, OB = 2OA ,求直线 AB 的方程.[解] (1)设椭圆 C 2的方程为 ya2+x4 =1( a>2) , 其离心率为 23, 故 aa = 23,解得 a =4.y2 x 2故椭圆 C 2 的方程为 1y 6+x 4 =1.(2)法一: A ,B 两点的坐标分别记为 (x A ,y A ),(x B ,y B ),→→由OB =2OA 及(1)知,O 、A 、B 三点共线且点 A 、B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y =kx. x 2 4 将 y =kx 代入 x +y 2=1 中,得 (1+ 4k 2)x 2=4, 所以 x 2A = 4 2.4 1+ 4k 将 y =kx 代入 y +x =1 中,得 (4+k 2)x 2=16,所以 x 2B = 16 2. 16 4 4+ k →→又由 OB = 2OA ,得 x 2B = 4x 2A ,解得 k = ±1.故直线 AB 的方程为 y =x 或 y =-x. 法二: A , B 两点的坐标分别记为 (x A ,y A ) ,(x B ,y B ),→→由OB =2OA 及(1)知,O 、A 、B 三点共线且点 A 、B 不在 y 轴上,因此可设直线y2 x 24+ k2将x 2B ,y 2B 代入1y 6+x 4=1中,得14++4kk 2=1,即 4+k 2=1+4k 2,解得 k =±1.故直线 AB 的方程为 y =x 或 y =- x. x 2 y 210. (2014 ·安徽高考 )设 F 1,F 2 分别是椭圆 E :a 2+ b 2= 1(a>b>0)的左、右焦点,过点 F 1 的直线交椭圆E于 A , B 两点, |AF 1|= 3|F 1B|.(1)若|AB|=4,△ ABF 2的周长为 16,求 |AF 2|; (2)若 cos ∠ AF 2B =35,求椭圆 E 的离心率.[解] (1)由|AF 1|=3|F 1B|,|AB|=4,得 |AF 1|=3,|F 1B|=1.因为△ ABF 2的周长为 16,所以由椭圆定义可得 4a =16,|AF 1|+|AF 2|= 2a =8. 故|AF 2|=2a -|AF 1|= 8-3=5.(2)设|F 1B|=k ,则 k>0 且|AF 1|=3k ,|AB|=4k. 由椭圆定义可得 |AF 2|=2a -3k ,|BF 2|= 2a -k.∴a 12+ 9 4b 21.① 又由 c = 1,得 1+ b 2=a2.② 由①②联立,得 b 2=3, a 2=4.y 2= 1,椭圆 C 2以 C 1 的长轴为短轴,且与 C 1 有相同的离心率.即 16 2= 4+k 2 16, 1+4k 2,AB 的方程为 y = kx.将 y =kx 代入x4+y 2=1中, 得 (1+4k 2)x 2=4,所以 x 2A =1+44k 2. →→由 OB = 2OA ,得=161+4k 216k 21+4k2.9. (2014 镇·江质检 )已知椭圆C :在△ ABF 2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2| |·BF2|cos∠AF 2B,即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-65(2a-3k)·(2a -k),化简可得(a+k)(a-3k)=0.而a+k>0 ,故a=3k.于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1A⊥F2A,故△ AF1F2为等腰直角三角形.从而c=22a,所以椭圆 E 的离心率e=c a=22.2 a 2!-椭圆的定义与性质1.椭圆的定义(1)第一定义:平面内与两个定点F1,F 2的距离之和等于(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个叫做椭圆的焦点,两个的距离叫做焦距.(2) 第二定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线l 的距离的比是常数( <e< )的动点的轨迹是椭圆,定点 F 叫做椭圆的焦点,定直线l 叫做焦点 F 相应的准线,根据椭圆的对称性,椭圆有两个焦点和两条准线.2.椭圆的标准方程和几何性质1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)动点P 到两定点A(-2,0),B(2,0)的距离之和为4,则点P 的轨迹是椭圆.( )(2)椭圆上一点P 与两焦点F1,F2构成△ PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长, c 为椭圆的半焦距 ).( )(3) 椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越圆. ( )(4) 已知点 F 为平面内的一个定点, 直线 l 为平面内的一条定直线. 设 d 为平面内一动点 P 到定直线 l 的 距离,若 d = 54|PF |,则点 P 的轨迹为椭圆. ( )2. (教材习题改编 )焦点在 x 轴上的椭圆 x5+ym =1 的离心率为 510,则 m = _______ .3.椭圆的焦点坐标为 (0,-6),(0,6),椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 20,则椭圆的标准方程为 ____ 4.(2014 ·无锡质检 )椭圆x4+y3=1的左焦点为 F ,直线 x =m 与椭圆相交于点 A ,B ,当△ FAB 的周长最大时,△ FAB 的面积是 _____ .15.(2014 江·西高考 )过点 M(1,1) 作斜率为- 21的直线与椭圆线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于 ________ .考向 1 椭圆的定义与标准方程3为 3,过 F 2的直线 l 交C 于A 、B 两点.若△ AF 1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为 __________(2)(2014 苏·州质检 )椭圆的中心在原点,焦距为 ______________________________________________ 4,一条准线为 x =- 4,则该椭圆的方程为【规律方法】(1)一般地,解决与到焦点的距离有关问题时,首先应考虑用定义来解决. (2)求椭圆的标准方程有两种方法①定义法:根据椭圆的定义,确定 a 2,b 2 的值,结合焦点位置可写出椭圆方程. ②待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a ,b ;若焦点位置不明确,则需要分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为 Ax 2+By 2=1(A>0,B>0,A ≠B).1【变式训练 1】 (1)(2013 ·广东高考改编 )已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于 12, 则 C 的方程是 ______ .x2 y 2(2)(2014 苏·州质检 )已知椭圆的方程是 x2+ y=1(a >5),它的两个焦点分别为 F 1,F 2,且 |F 1F 2|=8,弦a 25 AB(椭圆上任意两点的线段 )过点 F 1,则△ ABF 2 的周长为 _______ .x 2 y 2C : x 2+y 2=1(a>b>0)相交于 A ,B 两点,若 abM 是 典例 1】 (1)(2014 ·全国大纲卷改编 )已知椭圆 x2 y 2 C :x a 2+y b 2=1(a>b>0)的左、 右焦点为F1、F 2,离心率考向 2 椭圆的几何性质22xOy 中,椭圆 C 的标准方程为 xa 2+y b 2= 1(a > b > 0),右焦点为F ,右准线为 l ,短轴的一个端点为 B.设原点到直线 BF 的距离为 d 1,F到 l 的距离为 d 2, 若 d 2= 6d 1,则椭圆 C 的离心率为 ______ .(2)(2014 扬·州质检 )已知 F 1、F 2是椭圆 C 的左、右焦点,点P 在椭圆上,且满足 |PF 1|=2|PF 2|,∠ PF1F 2= 30°,则椭圆的离心率为 ________ 【规律方法】1.椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或证明常利 用正弦定理、余弦定理、 |PF 1|+ |PF 2|= 2a ,得到 a , c 的关系.2.椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率 (或离心率的取值范围 ) ,常见有两种方法:c(1)求出 a , c ,代入公式 e = ;a(2)只需要根据一个条件得到关于 a ,b ,c 的齐次式,结合 b 2=a 2-c 2转化为 a ,c 的齐次式,然后等式 (不等式)两边分别除以 a 或a 2转化为关于 e 的方程 (不等式),解方程 (不等式)即可得 e (e 的取值范围 ).x2 y 2【变式训练 2】 (1)(2013 ·课标全国卷Ⅱ改编 )设椭圆 C :a x 2+b y 2=1(a > b >0)的左、右焦点分别为F 1, F 2,P 是 C 上的点, PF 2⊥F 1F 2,∠PF 1F 2=30°,则 C 的离心率为 ______ .(2)(2014 徐·州一中抽测 )已知 F 1、F 2 是椭圆的两个焦点, P 为椭圆上一点,∠ F 1PF 2=60°.则椭圆离心率 的范围为 __ .课堂达标练习 一、填空题1.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F 1,F 2在x 轴上,离心率为 22.过 F 1的直线x2y 22.(2013 四·川高考改编 )从椭圆 a x2+ b y2= 1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线, 垂足恰为左焦点 F 1,A 是椭圆 与 x 轴正半轴的交点, B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB ∥OP (O 是坐标原点 ),则该椭圆的离心率是3.(2014 ·辽宁高考 )已知椭圆 C :9+4=1,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分典例 2】 (1)(2013 江·苏高考 )在平面直角坐标系 l 交 C 于 A ,B 两点,且△ ABF 2的周长为别为A,B,线段MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|= ______ .→→圆于点 Q ,若△ AOP 是等腰三角形,且 PQ = 2QA ,则椭圆的离心率为 _________ .15. (2014 ·南京质检 )已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 21,且它的长轴长等于圆 C :x 2+y 2- 2x - 15= 0 的半径,则椭圆的标准方程是 _ .6.(2013 辽·宁高考改编 )已知椭圆 C :a x2+ yb 2= 1(a>b>0)的左焦点为 F ,椭圆 C 与过原点的直线相交于 A , 4B 两点,连接 AF ,BF.若|AB|=10,|BF|=8, cos ∠ABF =5,则椭圆C 的离心率为 ____________ .→→P 为椭圆 C 上的一点,且PF 1⊥PF 2.若△ PF 1F 2的面积为 9,则 b = ______8.(2013 大·纲全国卷改编 )已知 F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点,过 F 2且垂直于 x 轴的直线交 C 于 A , B 两点,且 |AB|= 3,则 C 的方程为 .二、解答题 x 29.(2014 ·镇江质检 )已知椭圆 C 1:4+y 2=1,椭圆 C 2以 C 1的长轴为短轴,且与 C 1有相同的离心率.(1)求椭圆 C 2 的方程;于 A , B 两点, |AF 1|= 3|F 1B|.(1)若|AB|=4,△ ABF 2的周长为 16,求 |AF 2|;3(2)若 cos ∠AF 2B =5,求椭圆 E 的离心率.4. (2014 南·京调研 )如图,已知过椭圆1(a>b>0) 的左顶点 A (- a,0)作直线 l 交 y 轴于点 P ,交椭7.已知 F 1,F 2 是椭圆 C :x a 22+y b 22=1(a >b >0)的两个焦点,(2) 设 O 为坐标原点,点 A , B 分别在椭圆 C 1和 C 2上, →→OB= 2OA ,求直线 AB 的方程.10. (2014 ·安徽高考 )设 F 1,F 2 分别是椭圆E : 22 x 2+y 2= 2+ 2= ab1(a>b>0) 的左、右焦点,过点 F 1 的直线交椭圆 E。

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