高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数线及其应用
高中数学必修4三角函数知识点与题型总结
三角函数典型考题归类高一数学知识总结必修一一、集合一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
◆注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x∈R|x-3>2} ,{x| x-3>2}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集A⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
注意：B⊆/B或B⊇/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。
A⊆A②真子集:如果A⊆B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C④如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集二、函数1、函数定义域、值域求法综合2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略3、恒成立问题的求解策略4、反函数的几种题型及方法5、二次函数根的问题——一题多解&指数函数y=a^xa^a*a^b=a^a+b(a>0,a 、b 属于Q) (a^a)^b=a^ab(a>0,a 、b 属于Q) (ab)^a=a^a*b^a(a>0,a 、b 属于Q) 指数函数对称规律：1、函数y=a^x 与y=a^-x 关于y 轴对称2、函数y=a^x 与y=-a^x 关于x 轴对称3、函数y=a^x 与y=-a^-x 关于坐标原点对称 &对数函数y=loga^x如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○2 =NMa log M a log －N a log ； ○3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．幂函数y=x^a(a 属于R)1、幂函数定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数． 2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
高中数学第一章三角函数1.2.2三角函数线练习(含解析)新人教A版必修4
高中数学第一章三角函数1.2.2三角函数线练习（含解析）新人教A版必修41．对于三角函数线，下列说法正确的是( )A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线B．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在答案 D解析当角的终边落在y轴上时，正切线不存在，但对任意角来说，正弦线、余弦线都存在．2．若角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A．y轴上 B．x轴上C．直线y＝x上 D．直线y＝－x上答案 B解析由题意得|cosα|＝1，即cosα＝±1，角α终边在x轴上，故选B．A．sin1>cos1>tan1 B．sin1>tan1>cos1C．tan1>sin1>cos1 D．tan1>cos1>sin1答案 C解析设1 rad角的终边与单位圆的交点为P(x，y)，∵π4<1<π2，∴0<x<y<1，从而cos1<sin1<1<tan1．4．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( )A．a<b<c B．b<a<cC．c<a<b D．a<c<b答案 C解析作α＝－1的正弦线、余弦线、正切线，可知：b＝OM>0，a＝MP<0，c＝AT<0，且MP>AT．∴c<a<b．5．若α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是( )A．sinα＋cosα B．tanα＋sinαC．cosα－tanα D．sinα－tanα答案 B解析如图，作出sinα，cosα，tanα的三角函数线．显然△OPM∽△OTA，且|MP|<|AT|．∵MP>0，AT<0，∴MP<－AT．∴MP＋AT<0，即sinα＋tanα<0．6．已知MP，OM，AT分别是75°角的正弦线、余弦线、正切线，则这三条线从小到大的排列顺序是________．答案OM<MP<AT解析如图，在单位圆中，∠POA＝75°>45°，由图可以看出OM<MP<AT．7．利用三角函数线比较下列各组数的大小．(1)tan 4π3与tan 7π6；(2)cos 11π6与cos 5π3．解 (1)如图1所示，设点A 为单位圆与x 轴正半轴的交点，角4π3和角7π6的终边与单位圆的交点分别为P ，P ′，PO ，P ′O 的延长线与单位圆的过点A 的切线的交点分别为T ，T ′，则tan 4π3＝AT ，tan 7π6＝AT ′．由图可知AT >AT ′>0，所以tan 4π3>tan 7π6．(2)如图2所示，设角5π3和角11π6的终边与单位圆的交点分别为P ，P ′，过P ，P ′分别作x 轴的垂线，分别交x 轴于点M ，M ′，则cos 11π6＝OM ′，cos 5π3＝OM ．由图可知0<OM <OM ′，所以cos 5π3<cos 11π6．答案 0，π4∪π2，5π4∪3π2，2π解析 由0≤θ<2π且tan θ≤1，利用三角函数线可得θ的取值范围是0，π4∪π2，5π4∪3π2，2π．9．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12；(3)tan α≥－1． 解 (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z ．(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋2π3≤α≤2k ＋4π3，k ∈Z．(3)在单位圆过点A (1，0)的切线上取AT ＝－1，连接OT ，OT 所在直线与单位圆交于P 1，P 2两点，则图中阴影部分即为角α终边的范围，所以α的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪－π4＋k π≤α<π2＋k π，k ∈Z，如图．一、选择题1．已知α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等，且方向相同，那么α的值为( ) A ．5π4或7π4 B ．π4或3π4C ．π4或5π4D ．π4或7π4答案 C解析 因为角α的正弦线与余弦线长度相等，方向相同，所以角α的终边在第一或第三象限，且角α的终边是象限的角平分线，又0<α<2π，所以α＝π4或5π4，选C ．2．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 答案 D解析 当0<α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝23，∴α必为钝角． 3．如果π<θ<5π4，那么下列各式中正确的是( )A ．cos θ<tan θ<sin θB ．sin θ<cos θ<tan θC ．tan θ<sin θ<cos θD ．cos θ<sin θ<tan θ 答案 D解析 本题主要考查利用三角函数线比较三角函数值的大小．由于π<θ<5π4，如图所示，正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，由此容易得到cos θ<sin θ<0<tan θ，故选D ．4．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3 B ．⎝⎛⎭⎪⎫0，π3 C ．⎝⎛⎭⎪⎫5π3，2π D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π答案 D解析 由图1知当sin α<32时，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，2π．由图2知当cos α>12时，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π． 5．已知sin α>sin β，那么下列命题正确的是( ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 答案 D解析 解法一：(特殊值法)取α＝60°，β＝30°，满足sin α>sin β，此时cos α<cos β，所以A 不正确；取α＝120°，β＝150°，满足sin α>sin β，这时tan α<tan β，所以B 不正确；取α＝210°，β＝240°，满足sin α>sin β，这时cos α<cos β，所以C 不正确．解法二：如图，P 1，P 2为单位圆上的两点， 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且y 1>y 2．若α，β是第一象限角，又sin α>sin β， 则sin α＝y 1，sin β＝y 2，cos α＝x 1，cos β＝x 2． ∵y 1>y 2，∴α>β．∴cos α<cos β．∴A 不正确．若α，β是第二象限角，由图知P 1′(x 1′，y 1′)，P 2′(x 2′，y 2′)，其中sin α＝y 1′，sin β＝y 2′，则tan α－tan β＝y 1′x 1′－y 2′x 2′＝x 2′y 1′－x 1′y 2′x 1′x 2′． 而y 1′>y 2′>0，x 2′<x 1′<0， ∴－x 2′>－x 1′>0，∴x 1′x 2′>0，x 2′y 1′－x 1′y 2′<0，即tan α<tan β．∴B 不正确．同理，C 不正确．故选D ． 二、填空题6．若α是第一象限角，则sin2α，cos α2，tan α2中一定为正值的个数为________．答案 2解析 由α是第一象限角，得2k π<α<π2＋2k π，k ∈Z ，所以k π<α2<π4＋k π，k ∈Z ，所以α2是第一或第三象限角，则tan α2>0，cos α2的正负不确定；4k π<2α<π＋4k π，k ∈Z ，2α的终边在x 轴上方，则sin2α>0．故一定为正值的个数为2．7．若0≤θ<2π，且不等式cos θ<sin θ和tan θ<sin θ成立，则角θ的取值范围是________．答案π2，π 解析 由三角函数线知，在[0，2π)内使cos θ<sin θ的角θ∈π4，5π4，使tan θ<sin θ的角θ∈π2，π∪3π2，2π，故θ的取值范围是π2，π．8．若函数f (x )的定义域是(－1，0)，则函数f (sin x )的定义域是________． 答案 －π＋2k π，－π2＋2k π∪－π2＋2k π，2k π(k ∈Z )解析 f (x )的定义域为(－1，0)，则f (sin x )若有意义，需－1<sin x <0，利用三角函数线可知－π＋2k π<x <2k π，且x ≠－π2＋2k π(k ∈Z )．三、解答题9．比较下列各组数的大小：(1)sin1和sin π3；(2)cos 4π7和cos 5π7；(3)tan 9π8和tan 9π7；(4)sin π5和tan π5．解 (1)sin1<sin π3．如图1所示，sin1＝MP <M ′P ′＝sin π3．(2)cos 4π7>cos 5π7．如图2所示，cos 4π7＝OM >OM ′＝cos 5π7．(3)tan 9π8<tan 9π7．如图3所示，tan 9π8＝AT <AT ′＝tan 9π7．(4)sin π5<tan π5．如图4所示，sin π5＝MP <AT ＝tan π5．10．设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．解 ∵θ是第二象限角，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π4<θ2<k π＋π2(k∈Z )．作出θ2所在范围如图所示．当2k π＋π4<θ2<2k π＋π2(k ∈Z )时，cos θ2<sin θ2<tan θ2． 当2k π＋5π4<θ2<2k π＋3π2(k ∈Z )时，sin θ2<cos θ2<tan θ2．。
必修四第一章三角函数知识点、例题、练习
在 2 k , 2 k k 上是增函数；在
在 k , k
2 2
调 k 上是增函 性 数；在
2 k , 2 k
k 上是减函数．
k 上是增函
数．
9
3 2 k , 2 k 2 2
10、三角函数线： sin ， cos ， tan A ． 11、同角三角函数的基本关系式：
1 sin 2 cos 2 1 sin 2 1 cos 2 , cos 2 1 sin 2 ； 2
sin sin tan cos , cos ． tan
180 o 6、弧度制与角度制的换算公式： 2 360 ， 1 ，1 5
o
． 7、若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 l r ， C 2r l ， S lr r 2 ． 例 2、 已知扇形的圆心角是 ，所在圆的半径是 R . （1）若 60 , R 10cm, 求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面 积。 （2）若扇形的周长是一定值 C (C 0), 当 为多少弧度时，该扇形 有最大面积？
ymax 1 ；当 x 2k
R
时， ymax 1 ；当
x 2 k
2
k 时， ymin 1 ．
既无最大值也无最 小值
k 时， ymin 1
．
周 期 奇 偶 单
2
2
奇函数
偶函数
奇函数
在 2 k , 2 k
苏教版高中数学必修四任意角的三角函数数线解题文字素材
活用三角函数线解题三角函数线是学习三角函数的图象与性质的基础，同时，它也是三角函数中，数形结合思想的重要体现，正确理解和熟练掌握三角函数线，能帮助我们快速、高效的解决相关问题.1.求值问题例1．⑴已知21sin =α，求α. ⑵已知23cos -=α，求α. 解：⑴画出单位圆，如图１，找到正弦线为21且在[0,360)o o 的角30o 和ο150， 所以οο30360+⋅=k α或οο150360+⋅=k α )(Z k ∈．⑵画出单位圆，如图２，找到余弦线为23-且在[0,360)o o 的角ο150和ο210， 所以οο150360+⋅=k α或οο210360+⋅=k α )(Z k ∈．2.解不等式例２．解关于θ的不等式：⑴1tan ->θ ⑵23sin 21<≤-θ 解：⑴画出单位圆，如图３，找到正切线为1-且在[,)ππ-的角π43和4π-，所以角θ的终边落在图３中的阴影部分，因此，不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+-Z k k k ,24ππθππθ．⑵画出单位圆，如图４，找到正弦线为21-且在[90,270)-o o 的角ο210和ο30-，正弦线为23且在[0,360)o o 的角ο60和ο120， 所以角θ的终边落在图４中的阴影部分，因此不等式的解集是：{}Z k k k k k ∈⋅+≤<⋅+⋅+<≤⋅+-,3602103601203606036030οοοοοοοοθθθ或．3.证明等式或不等式例３．求证：1cos sin 22=+αα证明：⑴当α的终边在坐标轴上时，显然成立1cos sin 22=+αα⑵当α的终边不在坐标轴上时，画出单位圆，作出角α的正弦线MP 和余弦线OM （见图５）在OMP Rt ∆中，222OP MP OM =+Θ，122=+∴MP OM ，∴1sin cos 22=+αα，综合⑴，⑵得1cos sin 22=+αα．例４．若)2,0(πα∈，求证：αααtan sin <<．证明：画出单位圆，作出角α的正弦线和正切线（见图６）．在MOP Rt ∆中，MP OP MP ==αsin ，在AOT Rt ∆中，AT OAAT==αsin ，又AP 弧长αα=⋅=OP ，由图易得AOT POA POA S S S ∆∆<<扇形，AT OA AP OA MP OA ⋅<⋅<⋅∴212121弧长，AT AP MP <<∴弧长，即αααtan sin <<． 总之，在三角中，只要有三角函数值与角度的关系出现，我们就可以考虑用三角函数线来帮助解决.利用三角函数线解题三角函数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律．要深入理解应用单位圆求解三角不等式的方法的实质，培养数形结合的意识．三角函数线的主要作用是求函数的定义域、解不等式、证明简单三角不等式等． 1．求解定义域例1 求下列定义域： （1）2cos 1y x =-； （2）2lg(34sin )y x =-分析：首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件利用三角函数线画出满足条件的角的终边范围． 解：（1）如图1所示． ∵ 2cos 10x -≥，∴ 1cos 2x ≥．∴ππ2π2π()33x k k k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，． 故所求定义域为ππ2π2π()33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，． （2）如图2所示．∵234sin 0x -<，∴ 23sin 4x <，∴33sin x -<<， ∴ππ2π4π2π2π2π2π()3333x k k k k k ⎛⎫⎛⎫∈-+++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z U ，，，即ππππ()33x k k k ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭Z ，．故所求定义域为ππππ()33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，．评注：三角函数线使得代数中的三角函数和几何中的有向线段有机地联系在一起，这种联系使得三角学和几何学都得到了发展，同时也为用几何法解决代数问题，代数法（三角代换）解决几何问题提供了可能． 2．解不等式例2 若22sin cos x x >，则x 的取值范围是（ ）Ａ．3ππ|2π2π44x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，Ｂ．π5π|2π2π44x k x k k ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，Ｃ．ππ|ππ44x x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，Ｄ．π3π|ππ44x k x k k ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，分析：由22sin cos sin cos x x x x >⇔>．本题就是求正弦线比余弦线长的所有的角的集合． 解：∵22sin cos x x >，∴sin cos x x >．当sin cos x x >，即tan 1x =±时，角x 的终边在一、三象限角平分线和二、四象限的角平分线上．当sin cos x x >时，x 的范围是图3阴影部分所表示的范围．∴所求满足条件的x 的集合是π3π5π7π|2π2π|2π2π4444x k x k k x k x k k ⎧⎫⎧⎫+<<+∈+<<+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z U ，， 即π3π|ππ44x k x k k ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，．故选（D ）．评注：本题还可以用赋值法，通过给角取不同值进行分析而得出正确结果，但利用三角函数线形象直观，结果一目了然． 3．证明简单三角不等式例3 已知α为锐角，求证：π1sin cos 2αα<+<． 分析：观察分析要证明的目标，sin cos αα+是线段的比值，又因为不等式的右边是π的关系式．由此联想到弧长或扇形面积公式（都与π有关）． 解：设角α的终边与单位圆交于()P x y ，，（如图4）过P 作PD 垂直于x 轴，PE 垂直于y 轴，D E ，为垂足．∵sin y α=，cos x α=，在OPD △中，OD DP OP +>， ∴ sin cos 1αα+>．又∵11sin 22POA S OA DP α==△·，11cos 22OPB S OB EP α==△·，21ππ1224OAB S =⨯=扇形·，而POA POB OAB S S S +<扇形△△，∴111sin cos π224αα+<，即πsin cos 2αα+<． ∴π1sin cos 2αα<+<． 评注：①利用单位圆把三角函数值转化为单位圆中某些线段；②利用整体面积大于部分面积证明三角函数的不等关系是证明这类问题的常用方法．。
高中数学必修四——三角函数（知识点总结及经典例题）
高中数学必修四——三角函数（知识点总结及经典例题）1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：siny x=cosy x=tany x=图象图象定义域定义域 R R,2x x k kppìü¹+ÎZíýîþ值域值域 []1,1-[]1,1-R最值最值当22x kpp=+()kÎZ时，max1y=；当()22x k kpp=-ÎZ时，min1y=-．当()2x k kp=ÎZ时，时，max1y=；当()2x k kp p=+ÎZ时，min1y=-．既无最大值也无最小值既无最大值也无最小值 周期性周期性 2p2p p奇偶性奇偶性 奇函数奇函数 偶函数偶函数 奇函数奇函数单调性单调性在2,222k kp pp péù-+êúëû()kÎZ上是增函数；在上是增函数；在32,222k kp pp péù++êúëû()kÎZ上是减函数．上是减函数．在[]()2,2k k kp p p-ÎZ上是增函数；在[]2,2k kp p p+()kÎZ上是减函数．上是减函数．在,22k kp pp pæö-+ç÷èø()kÎZ上是增函数．上是增函数． 对称性对称性对称中心()(),0k kpÎZ对称轴对称轴()2x k kpp=+ÎZ对称中心对称中心(),02k kppæö+ÎZç÷èø对称轴()x k kp=ÎZ对称中心对称中心(),02kkpæöÎZç÷èø无对称轴无对称轴 函数性质2.正、余弦定理：在ABC D 中有:①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C ===（R 为ABC D 外接圆半径）外接圆半径）2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =ìï=íï=î Þ s i n 2s i n 2s i n 2a A R b B R c C R ì=ïïï=íïï=î注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABCSabs Cac Bbc AD ===③余弦定理：③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ì=+-ï=+-íï=+-îÞ 222222222c o s 2c o s 2c o s 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ì+-=ïï+-ï=íï+-=ïî3.三角函数恒等变形的基本策略。
(完整word版)高一数学必修4三角函数知识点及典型练习,推荐文档
第一、任意角的三角函数一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类（正角、负角、零角和象限角），正确理解角，与角终边相同的角的集合}{|2,k k z ββπα=+∈ ，弧度制，弧度与角度的换算，弧长lr α=、扇形面积21122s lr r α==，二：任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是（x ，y ），它与原点的距离是22r x y =+(r>0)，那么角α的正弦r y a =sin 、余弦r x a =cos 、正切xya =tan ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。
三角函数值在各象限的符号：三：同角三角函数的关系式与诱导公式： 1. 平方关系：22sincos 1αα+= 2. 商数关系：sin tan cos ααα=3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。
正弦余弦正切4. 两角和与差公式 ：()()()sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ⎧⎪±=±⎪⎪±=⎨⎪±⎪±=⎪⎩m m5.二倍角公式：22222sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 21tan ααααααααααα⎧⎪=⎪=-=-=-⎨⎪⎪=-⎩余弦二倍角公式变形： 222cos1cos2,2sin 1cos2αααα=+=-第二、三角函数图象和性质基础知识:1、三角函数图像和性质2、熟练求函数sin()y A x ωϕ=+的值域，最值，周期，单调区间，对称轴、对称中心等 ，会用五点法作sin()y A x ωϕ=+简图：五点分别为：、 、 、 、 。
3、图象的基本变换：相位变换：sin sin()y x y x ϕ=⇒=+ 周期变换：sin()sin()y x y x ϕωϕ=+⇒=+ 振幅变换：sin()sin()y x y A x ωϕωϕ=+⇒=+ 4、求函数sin()y A x ωϕ=+的解析式：即求A 由最值确定，ω有周期确定，φ有特殊点确定。
高中数学 三角函数5部分25个考点100道典型题!
三角函数超全考点与题型分析第一部分三角函数定义【思维导图】【常见考法】考点一：终边相同的角1．终边在第二、四象限的角平分线上的角可表示为。
【答案】180135,k k Z⋅︒+︒∈【解析】角的终边在第二象限的角平分线上，可表示为：13601352180135k k α=⋅︒+︒=⋅︒+︒，k Z ∈，角的终边在第四象限的角平分线上，可表示为：2360315(21)180135k k α=⋅︒+︒=+⋅︒+︒，k Z ∈．故当角的终边在第二、四象限的角平分线上时，可表示为：180135k α=⋅︒+︒，k Z ∈．2．下列各组角中，终边相同的角是。
A．2k π与()2k k Z ππ+∈B．3±k ππ与()3k k Z π∈C．()21+k π与()()41k k Z π±∈D．6k ππ+与()6k k Z ππ±∈【答案】C【解析】对于A 选项，()2k k Z π∈表示2π的整数倍，()()2122k k k Z πππ++=∈表示2π的奇数倍，2k π与()2k k Z ππ+∈的终边不一定相同；对于B 选项，()()3133k k k Z πππ±±=∈ ，()31k k Z +∈表示除3余数为1的整数，()()31312k k k Z -=-+∈表示除3余数为2的整数，而()3k k Z π∈表示3π的整数倍，所以，,,33k x x k k Z x x k Z πππ⎧⎫⎧⎫=±∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Ö，则3±k ππ与()3k k Z π∈的终边不一定相同；对于C 选项，对于()41k π±，取1k k Z =∈得()()14141k k ππ±=±，对于()21+k π，取2k k Z =∈得()()22121k k ππ+=+，()()()()12121241214222k k k k k k ππππ+-+=-=- ，()()()()1212124121422221k k k k k k ππππ--+=--=--均为2π的整数倍，则()21+k π与()()41k k Z π±∈的终边相同；对于D 选项，显然,66x x k k Z x x k k Z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=±∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Ö，则6k ππ+与()6k k Z ππ±∈的终边不一定相同.故选：C.3．已知集合|22,42k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是。
必修四1-2-1-2三角函数线及其应用
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【变式 2】 利用正弦线比较 sin1，sin 1.2，sin 1.5 的大小关系 是( )．
A．sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B．sin 1>sin 1.5>sin 1.2 C．sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D．sin 1.2>sin 1>sin 1.5 解析 ∵1,1.2,1.5
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1 解 如图(1)作直线 y＝2交单位圆于 P、Q，则 OP、OQ 为角 α 的终边． 如图(2)所示，当 α 的终边是 OP 时，角 α 的正弦线为 MP，余 弦线为 OM，正切线为 AT. 当 α 的终边为 OQ 时，角 α 的正弦线为 NQ，余弦线为 ON，正 切线为 AT′.
(1)
(2)
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规律方法
作三角函数线关键是依据三角函数线的定义，三角
函数的定义不仅给出了什么是正弦线、余弦线、正切线．同时 也给出了角 α 的三角函数线的画法即先找到 P、M、T 点，再画 出 MP、OM、AT.
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1 1 【变式 1】 若将例题中“sin α＝2”改为 cos α＝2， 如何画出角 α 的终边． 解 1 如图作直线 x＝ 交单位圆于 M、N.则 OM、ON 为角 α 的 2
如上图，过(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或α
正切线 终边的反向延长线于T，有向线段 正切线 即为 AT
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必修四任意角的三角函数(附规范标准答案)
任意角的三角函数(一)[学习目标] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等．知识点一 三角函数的概念1．利用单位圆定义任意角的三角函数如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：(1)y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ；(2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r，cosα＝x r ，tan α＝yx.思考 角α三角函数值的大小与角α终边上的点P 离原点距离的远近有关吗？答案 角α的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关． 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．思考三角函数在各象限的符号由什么决定？答案三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．知识点三诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(α＋k·2π)＝sin α，cos(α＋k·2π)＝cos α，tan(α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z.题型一三角函数定义的应用例1 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝1010x，求sin θ，tan θ.解由题意知r＝|OP|＝x2＋9，由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx2＋9.又∵cos θ＝1010x，∴xx2＋9＝1010x.∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1,3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x＝－1时，P(－1,3)，此时sin θ＝3－12＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.跟踪训练1 (1)已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值； (2)已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值．解 (1)r ＝－4a2＋3a2＝5|a |.若a >0，则r ＝5a ，α是第二象限角，则 sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a－4a ＝－34，若a <0，则r ＝－5a ，α是第四象限角，则 sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.(2)因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点． 则r ＝a 2＋3a2＝2|a |(a ≠0)．若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a2a ＝12，tan α＝3a a＝3.若a <0，则α为第三象限，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3a a＝3.题型二 三角函数值符号的判断 例2 判断下列三角函数值的符号： (1)sin 3，cos 4，tan 5； (2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)． 解 (1)∵π2<3<π<4<3π2<5<2π，∴3,4,5分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵θ是第二象限角， ∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.跟踪训练2 若sin θ<0且tan θ<0，则θ是第 象限的角． 答案 四解析 ∵sin θ<0，∴θ是第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上的角，又tan θ<0，∴θ是第四象限的角．题型三 诱导公式一的应用 例3 求下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. 解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64.(2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.跟踪训练3 求下列各式的值：(1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.解 (1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32；(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.利用任意角的三角函数的定义求值，忽略对参数的讨论而致错例4 已知角α的终边上有一点P (24k,7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值． 错解 令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝24k 2＋7k 2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724.错因分析 点P (24k,7k )中参数k 只告诉了k ≠0，而没有告诉k 的符号，需分k >0与k <0讨论，而上述解法错在默认为k >0. 正解 当k >0时，令x ＝24k ，y ＝7k ， 则有r ＝24k2＋7k 2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724. 当k <0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ， ∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝xr ＝－2425，tan α＝y x ＝724.1．cos(－11π6)等于( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 2．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－2 3．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( ) A.12 B ．－12 C ．－32 D.324．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α＝ .5．已知角α的终边经过点P (2，－3)，求α的三个函数值．一、选择题1．若sin θcos θ>0，则θ在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限D ．第二、四象限2．sin(－1 380°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.323．设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( ) A.25 B.25或－25 C ．－25D ．与a 有关 4．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限5．已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π6 D.11π6 6．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．5 二、填空题7．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角．8．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为 ． 9．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝ .10．函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x 的值域是 ．三、解答题11．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．12．求下列各式的值．(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)； (2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°.当堂检测答案1．答案 C解析 cos(－116π)＝cos(－2π＋π6)＝cos π6＝32.2．答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2. 3．答案 A解析 ∵2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－3，∴r ＝2，∴cos α＝12.4．答案 －43解析 ∵cos α＝332＋y 2＝35，∴32＋y 2＝5，∴y 2＝16，∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43. 5．解 因为x ＝2，y ＝－3， 所以r ＝22＋－32＝13.于是sin α＝y r＝－313＝－31313，cos α＝x r＝213＝21313，tan α＝y x ＝－32.课时精练答案一、选择题 1．答案 B 2．答案 D解析 sin(－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°)＝sin 60°＝32.3．答案 C 解析 ∵a <0，∴r ＝－4a2＋3a 2＝5|a |＝－5a ，∴cos α＝x r ＝45，sin α＝yr ＝－35，∴2sin α＋cos α＝－25.4．答案 D解析 ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限， 又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限．故选D. 5．答案 D解析 ∵sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12.∴角α的终边在第四象限，且tan α＝cos 2π3sin 2π3＝－33， ∴角α的最小正角为2π－π6＝11π6. 6．答案 A解析 ∵r ＝b 2＋16，cos α＝－b r ＝－b b 2＋16＝－35. ∴b ＝3.二、填空题7．答案 一或二解析 要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．8．答案 －2<a ≤3解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.9．答案 2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∵|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10.∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.10．答案 {－4,0,2}解析 由sin x ≠0，cos x ≠0知x 的终边不能落在坐标轴上，当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，sin x cos x >0，y ＝0；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，sin x cos x <0，y ＝2；当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0， sin x cos x >0，y ＝－4；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，sin x cos x <0，y ＝2，故函数y ＝|sin x |cos x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域为{－4,0,2}． 三、解答题11．解 当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P (1,2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5， 得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2； 当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q (－1，－2)，由r ＝|OQ |＝－12＋－22＝5， 得sin α＝－25＝－255， cos α＝－15＝－55， tan α＝2.12．解 (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0°＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32.。
必修四-第一章-三角函数知识点及例题详解
第一章 三角函数 知识点详列一、角的概念及其推广 正角：一条射线绕着端点以逆时针方向旋转形成的角1、任意角 零角：射线不做任何旋转形成的角 负角：一条射线绕着端点以顺时针方向旋转形成的角记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.ααcsc sin 为正 全正ααcot tan 为正ααsec cos 为正例1、（1）判断下列各式的符号： ①,265cos 340sin∙ ②,423tan 4sin ⎪⎭⎫⎝⎛-∙π③)cos(sin )sin(cos θθ其中已知)0tan ,cos cos (<-=θθθ且答案：+ — —2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z3、终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角连同α在内（而且只有这样的角），cot α<0tan α<0cos α>0sin α<0cot α>0tan α>0cos α<0sin α<0cot α<0tan α<0cos α<0sin α>0sin α>0tan α>0cot α>0cos α>0可以表示为.,360Z k k∈+∙α4、特殊角的集合：（1）终边在X 轴非负半轴上的角的集合为{};,2Z k k ∈=παα（2）终边在X 轴非正半轴上的角的集合为(){};,12Z k k ∈+=πα （3）终边在X 轴上的角的集合为{};,Z k k ∈=παα（4）终边在Y 轴非负半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （5）终边在Y 轴非正半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα（6）终边在Y 轴上的角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （7）终边在坐标轴上角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k παα（8）终边在一、三象限角平分线上的角的集合为;,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （9）终边在二、四象限角平分线上的角的集合为.,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα 二、弧度1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度2、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 3、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= 4、两个公式：若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．三、三角函数1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx r2.比值r y 叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x 叫做α的余弦 记作： r x =αcos比值x y 叫做α的正切 记作： x y =αtan比值y x叫做α的余切 记作： yx =αcot比值x r 叫做α的正割 记作： x r =αsec 比值y r叫做α的余割 记作： yr =αcsc 以上六种函数，统称为三角函数.2．同角三角函数的基本关系式： （1）倒数关系：tan cot 1αα⋅=；（2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==； （3）平方关系：22sin cos 1αα+= ．3．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限．()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．例2．化简（1）sin()cos()44ππαα-++；（2）已知32,cos(9)5παπαπ<<-=-，求11cot()2πα-的值． ry)(x,αP解：（1）原式sin()cos[()]424πππαα=-++-sin()sin()044ππαα=---=．（2）3cos()cos(9)5απαπ-=-=-，∴3cos 5α=，∵2παπ<<，∴4sin 5α=-，sin 4tan cos 3ααα==，∴1134cot()cot()tan 223ππααα-=--=-=．例3 确定下列三角函数值的符号(1)cos250° （2）)4sin(π-（3）tan （－672°） (4))311tan(π解：(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0(2)∵4π-是第四象限角，∴0)4sin(<-π(3)tan （－672°）＝tan （48°－2×360°）＝tan48°而48°是第一象限角，∴tan （－672°）＞0(4) 35tan)235tan(311tanππππ=+= 而35π是第四象限角，∴0311tan<π. 例4 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°． 解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tan(360°+135°) =sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tan135°=21212323⨯+⨯-1=0 题型一 象所在象限的判断 例5（1）如果α为第一象限角，试问2α是第几象限角？（2）如果α为第二象限角，试问：απαπα+--,,分别为第几象限角？答案：（1）第一或者第三；（2）第三，第一，第四。
三角函数线及应用
三角函数线及应用三角函数是高等数学中的重要内容，广泛应用于各个领域，如工程、物理、天文学等。
本文将介绍三角函数的定义、性质及其在实际问题中的应用。
首先，我们来定义三角函数。
在平面直角坐标系中，以原点O为起点，做一条射线r，与X轴正半轴之间的夹角记为θ。
此时，r与X轴正半轴的交点为点P。
根据射线和X轴的夹角θ不同，我们定义三角函数sinθ、cosθ、tanθ和cotθ等，其中：正弦函数sinθ等于点P的纵坐标y与斜边OP的长度之比；余弦函数cosθ等于点P的横坐标x与斜边OP的长度之比；正切函数tanθ等于点P的纵坐标y与点P的横坐标x之比；余切函数cotθ等于点P的横坐标x与点P的纵坐标y之比。
根据三角函数的定义，我们可以得到以下性质：1. 对于任意实数θ，有sin²θ+ cos²θ= 1。
这被称为“三角恒等式”，是三角函数的基本性质之一。
2. sinθ和cosθ的取值范围均在[-1, 1]之间，tanθ和cotθ的取值范围为实数集。
3. 三角函数在不同象限的取值情况：第一象限：sinθ> 0，cosθ> 0，tanθ> 0，cotθ> 0；第二象限：sinθ> 0，cosθ< 0，tanθ< 0，cotθ< 0；第三象限：sinθ< 0，cosθ< 0，tanθ> 0，cotθ> 0；第四象限：sinθ< 0，cosθ> 0，tanθ< 0，cotθ< 0。
接下来，我们来看一些三角函数的具体应用。
1. 工程中的应用：在工程中，三角函数常常被用于解决各种测量和设计问题。
例如，在建筑设计中，建筑师需要根据太阳的位置来确定房间的采光效果。
这时，就可以利用三角函数来计算太阳的仰角和方位角，从而确定阳光的照射方向和强度。
2. 物理学中的应用：在物理学中，三角函数被广泛应用于描述振动、波动和旋转等现象。
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三角函数典型考题归类1．根据解析式研究函数性质例1（天津理）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．【相关高考1】（湖南文）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间． 【相关高考2】（湖南理）已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．2．根据函数性质确定函数解析式例2（江西）如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，当02y =0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值． 【相关高考1】（辽宁）已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，（其中0ω>），（I ）求函数()f x 的值域； （II ）（文）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为π2，求函数()y f x =的单调增区间．（理）若对任意的a ∈R ，函数()y f x =，(π]x a a ∈+，的图象与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数()y f x x =∈R ，的单调增区间． 【相关高考2】（全国Ⅱ）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求函数()y f x =的最大值． 3．三角函数求值例3（四川）已知cos α=71,cos(α-β)＝1413，且0<β<α<2π,(Ⅰ)求tan2α的值；（Ⅱ）求β. 【相关高考1】（重庆文）已知函数f (x )=)2sin(42cos 2ππ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x .（Ⅰ）求f (x )的定义域；（Ⅱ）若角a 在第一象限，且）。
(word完整版)必修四三角函数和三角恒等变换知识点及题型分类总结,文档.docx
三角函数知识点总结1、任意角：正角：；负角：；零角：；2、角的顶点与重合，角的始边与重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为终边在 x 轴上的角的集合为终边在 y 轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为3、与角终边相同的角的集合为4、已知是第几象限角，确定n* 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，n再从 x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．5、n叫做 1弧度．6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为 l，则角的弧度数的绝对值是．7、弧度制与角度制的换算公式：8、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则l=．S=9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是 x, y ，它与原点的距离是 r r x2y20 ，则sin y， cosx， tan y x0 ．r r x10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：．12、同角三角函数的基本关系：(1);(2);(3)13、三角函数的诱导公式：1 sin 2k sin，cos 2k cos，tan 2k tan k．2 sin sin，cos cos，tan tan．4 sin sin，cos cos，tan tan．5 sin cos，cos sin．226 sin cos，cos sin．22口诀：奇变偶不变，符号看象限．重要公式⑴ cos cos cos sin sin；⑵ cos cos cos sin sin；⑶ sin sin cos cos sin；⑷ sin sin cos cos sin；⑸ tantan tan（tan tan tan1tan tan）；1 tan tan⑹ tantan tan（tan tan tan1tan tan）．1 tan tan二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sin cos．(2)cos2 cos2sin22cos2 1 1 2sin2（ cos2cos21， sin 2 1 cos 2）．⑶ tan22tan．221tan2公式的变形：tan tan tan() ? 1 tan tan，辅助角公式sin cos22 sin，其中 tan．14、函数y sin x 的图象平移变换变成函数y sin x的图象．15. 函数 y sin x0,0 的性质：① 振幅：；②周期：2；③频率： f1；④相位： x；⑤初相：．216 ．图像正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：三角函数题型分类总结一．求值1、 sin330 ==sin 585 o=tan690 °2、（ 1） (07 全国Ⅰ )是第四象限角， cos12，则 sin13（ 2）（ 09 北京文）若 sin4, tan 0 ，则 cos.512（ 3）（ 09 全国卷Ⅱ文）已知 △ABC 中， cot A.，则 cosA15(4)是第三象限角， sin()cos =cos(5) =，则223、 (1) (07 陕西 ) 已知 sin5, 则 sin 4cos 4 =.5(2) （ 04 全国文）设(0,3 ，则 2 cos() = .) ，若 sin254（ 3）（ 06 福建）已知( , ),sin 3, 则 tan() =2544（ 07 重庆） 下列各式中，值为3的是 ( )2（ A ） 2sin15 cos15 （ B ） cos 2 15 sin 2 15 （ C ） 2 sin 2 15 1（ D ） sin 2 15 cos 2 155. (1)(07 福建 ) sin15 o cos75o cos15o sin105 o =(2)（ 06 陕西） cos43o cos77 osin 43o cos167o =。
高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用【知识梳理】1．三角函数模型应用的步骤三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．2．三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．【常考题型】题型一、函数解析式与图像对应问题【例1】函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图像是()[解析]由奇偶性的定义可知函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]既不是奇函数也不是偶函数．选项A，D中图像表示的函数为奇函数，B中图像表示的函数为偶函数，C中图像表示的函数既不是奇函数也不是偶函数．[答案] C【类题通法】解决函数图像与解析式对应问题的策略(1)解决此类问题的一般方法是根据图像所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、图像的对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据．(2)利用图像确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A ，ω，φ.其中A 由最值确定；ω由周期确定，而周期由特殊点求得；φ由点在图像上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ.【对点训练】函数f (x )＝cos x ·|tan x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2上的大致图像为( )解析：选C f (x )＝cos x ·|tan x |⎝⎛⎭⎫π2<x <3π2＝ ⎩⎨⎧－sin x ，π2<x <π，sin x ，π≤x <3π2.题型二、三角函数在物理中的应用【例2】 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (单位：cm)和时间t (单位：s)的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6. (1)作出函数的图像；(2)当单摆开始摆动(t ＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ (3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ (4)单摆来回摆动一次需多长时间？ [解] (1)利用“五点法”可作出其图像．(2)因为当t ＝0时， s ＝6sin π6＝3，所以此时离开平衡位置3 cm. (3)离开平衡位置6 cm.(4)因为T ＝2π2π＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s. 【类题通法】三角函数在物理中的应用三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．【对点训练】交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6来表示，求： (1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． 解：(1)当t ＝0时，E ＝1103(V)， 即开始时的电压为110 3 V .(2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值.题型三、三角函数在实际生活中的应用【例3】 心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin 160πt ，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数p (t )的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数．[解] (1)由于ω＝160π，代入周期公式T ＝2π|ω|，可得T ＝2π160π＝180(min)，所以函数p (t )的周期为180min.(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝1T＝80(次)．(3)列表：描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.【类题通法】解三角函数应用问题的基本步骤【对点训练】如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：(1)求出你与地面的距离y (米)与时间t (分钟)的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？解：(1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知可设y ＝40.5－40cos ωt ，t ≥0，由周期为12分钟可知当t ＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝π6，所以y ＝40.5－40cos π6t (t ≥0)．(2)设转第1圈时，第t 0分钟时距地面60.5米， 由60.5＝40.5－40cos π6t 0，得cos π6t 0＝－12，所以π6t 0＝2π3或π6t 0＝4π3，解得t 0＝4或8，所以t ＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．【练习反馈】1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至( )A ．x 轴上B ．最低点C ．最高点D ．不确定解析：选C 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点． 2．如图所示为一简谐运动的图像，则下列判断正确的是( )A ．该质点的振动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为－5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零解析：选D 该质点的振动周期为T ＝2×(0.7－0.3)＝0.8 s ，故A 是错误的；该质点的振幅为5 cm ，故B 是错误的；该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度是零，所以C 是错误的，D 正确.3．某人的血压满足函数关系式f (t )＝24sin 160πt ＋110，其中，f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数是________．解析：∵T ＝2π160π＝180，∴f ＝1T ＝80.答案：804.如图，电流强度I (单位：安)随时间t (单位：秒)变化的函数I ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ ωt ＋π6(A >0，ω≠0)的图像，则当t ＝150秒时，电流强度是________安．解析：由图像可知，A ＝10，周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫4300－1300＝150，所以ω＝2πT＝100π，所以I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6. 当t ＝150秒时，I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π6＝5(安)． 答案：55.如图，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式；(其中t 以年初以来的月为计量单位)(2)估计当年3月1日动物种群数量． 解：(1)设种群数量y 关于t 的解析式为 y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800. 又周期T ＝2×(6－0)＝12，∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝100sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋800.又当t ＝6时，y ＝900， ∴900＝100sin ⎝⎛⎭⎫π6×6＋φ＋800， ∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，∴取φ＝－π2，∴y ＝100sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋800.(2)当t ＝2时，y ＝100sin ⎝⎛⎭⎫π6×2－π2＋800＝750， 即当年3月1日种群数量约是750.。
必修四-第一章-三角函数(知识点与题型整理)
三角函数模块专题复习 ——任意角的三角函数与诱导公式二．要点精讲1．任意角的概念旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。
规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。
如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
2．终边相同的角、区间角与象限角 3．弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。
角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分.角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径。
角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=。
弧度与角度互换公式：1rad ＝π180° 1°＝180π〔rad 〕。
弧长公式：r l ||α=〔α是圆心角的弧度数〕， 扇形面积公式：2||2121r r l S α==。
4．三角函数定义利用单位圆定义任意角的三角函数，设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=； 〔2〕x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=； 〔3〕yx 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x xα=≠。
5．三角函数线6．同角三角函数关系式〔1〕平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 〔2〕倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 〔3〕商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα== 几个常用关系式：sin α+cos α，sin α-cos α，sin α·cos α；(三式之间可以互相表示)7．诱导公式可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限〞。
高中数学 必修4《三角函数线及其应用》课件
3．三角函数线是三角函数的几何表示，它们都是有向线段，线 段的方向表示三角函数值的正负，与坐标轴同向为正，异向为负，线 段的长度是三角函数的绝对值，这是本节重中之重．
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4．利用三角函数线解三角不等式的方法 正 弦 、 对于 sin x≥b，cos x≥a(sin x≤b，cos x≤a)，求解关键是 余 弦 型 寻求恰当的点，只需作直线 y＝b 或 x＝a 与单位圆相交， 不 等 式 连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方 的解法 向即可确定相应的范围 正切型
P(x , y)
y 因为tan = x=AT，所以AT是角的正切线．
A
x
P(x , y)
T
图 示 ：
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三角函数线 把有向线段MP，OM，AT，分别叫做角的正弦线、余弦
线、正切线，统称为三角函数线.
作三角函数线的步骤：
⑴ 找出角的终边与单位圆的交点P．
⑵ 从P点向x轴作垂线,垂足为M． ⑶ 过点A(1, 0)作x轴的垂线与角的终边(或反向延长线)交于点T．
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2．若 a＝sin 4，b＝cos 4，则 a，b 的大 小关系为
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3．设π4＜α＜π2，试比较角 α 的正弦线、余弦线和正切线的长度．如 果π2＜α＜34π，上述长度关系又如何？
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[解] 如图所示，当π4＜α＜π2时，角 α 的正弦线为 MP，余弦线为 OM，正切线为 AT，显然在长度上，AT＞MP＞OM；当π2＜α＜34π时， 角 α 的正弦线为 M′P′，余弦线为 OM′，正切线为 AT′，显然在长度上， AT′＞M′P′＞OM′.
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想一想： 有向线段OM， MO， AT， TA ，MP， AO的符号是怎样的？
(word完整版)高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数线及其应用
三角函数线及其应用【知识梳理】1. 有向线段带有方向的线段叫做有向线段.【常考题型】题型一、三角函数线的作法3 n【例i】作出3n的正弦线、余弦线和正切线.43 n［解］角匸的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线AT,3 n 3 n与34的终边的反向延长线交于点「则34的正弦线为MP ,余弦线为OM，正切线为AT.【类题通法】三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足，从而得正弦线和余弦线.(2)作正切线时，应从 A(1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点即可得到正切线 AT.【对点训练】作出-护勺正弦线、余弦线和正切线.解：如图所示,题型二、利用三角函数线比较大小［例 2 】 分别比较 sin 2^ sin 4^； cos^n W cos 4^ tan 2^ tan 4^的大小. 35 3 5 3 5［解］在直角坐标系中作单位圆如图所示•以 x 轴非负半轴为始边2 n作了的终边与单位圆交于 P 点，作PM _LOx ,垂足为3 正方向的交点 A 作Ox 的垂线与0P 的反向延长线交于4 n 4 n 4 n4 n 同理，可作出 的正弦线、余弦线和正切线，sin = M ' P z , cos = OM ' , tan = AT '.5 5 552 n 4 n 2 n 4 n由图形可知，MP>M ' P '，符号相同，则sin"3>sin"5"；OM>OM '，符号相同，贝U cosy'cos 4";2 n 4 nAT<AT '，符号相同，则tan§<tan 〒.【类题通法】利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要 比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负.T ,MP ,迹才=OM , tan^^ AT.“对号入座”；②Q n-Q ■的正弦线为【对点训练】设4< /才，试比较角a 的正弦线、余弦线和正切线的长度.如果 n < a~~，上述长度关系又如何？解：如图所示，当4<a <n 寸，角a 的正弦线为 MP ，余弦线为0M ， 正切线为 AT ,显然在长度上， AT>MP>OM ;当n<加3^时，角a 的正弦线为M ' P '，余弦线为0M '，正切 线为AT '，显然在长度上，AT ' >M ' P ' >0M '.题型三、利用三角函数线解不等式【例3】利用三角函数线，求满足下列条件的a 的范围.1 …、 V 3⑴sin a < - 2； (2)cos a 2 .1［解］(1)如图①，过点 0，— 2作x 轴的平行线交单位圆于 P , P '两点，贝U sin AOP = sinZxOP ' =- 1 ,/xOP = p, AOP ' = 7n ，2， 6 67 n11 n故“的范围是a 石+ 2kn «v +2k n k(Zn n 故a 的范围是a - n+ 2k n<<n+ 2k n，k 已【类题通法】利用三角函数线解三角不等式的方法ZXOP = n ZxOPn 6,利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点，一般来说，对于 sin x >b , cos x > a(或sin x w b , cos x w a),只需作直线 y = b , x = a 与单位圆相交,x > c(或tan x w c)，则取点(1 , c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图像可得.【对点训练】利用三角函数线求满足 tan a J 的角a 的范围.解：如图，过点A(1,0)作单位圆0的切线，在切线上沿 y 轴正方向取 一点T ,使AT = 33，过点0, T 作直线，则当角a 的终边落在阴影区域内 (包含所作直线，不包含 y 轴)时，tan aa ^3由三角函数线可知，在［0 ° 360 °内，tan aa 普,V 3有 30°w a <90°或 210°w a <270° 故满足 tan a>^r ，有 k180° + 30°w a <k 180° + 90° k€Z. 3【练习反馈】1 •已知角a 的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，贝U a 的终边在()A •第一象限的角平分线上B •第四象限的角平分线上C •第二、四象限的角平分线上D •第一、三象限的角平分线上解析：选C 由条件知sin a=- cos a, a 的终边应在第二、四象限的角平分线上.7 n2.如果MP 和OM 分别是角a=—的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是( )A • MP<OM<0B • OM>0>MP 解析: 选D 一…为…rr 可知：MP>0, OM<0,r 1C • OM<MP<0D • MP>0>OM像,故 OM<O<MP.连接原点和交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的x 的范围；对于tan3. ____________________________________________________ 若角a 的余弦线长度为0,则它的正弦线的长度为 ____________________________________________________________ .解析：若角a 的余弦线长度为0,贝U a 的终边落在y 轴上，所以它的正弦线的长度为 1.答案：14 .用三角函数线比较 sin 1与cos 1的大小，结果是解析：如图，sin 1 = MP , cos 1= OM. 显然 MP>OM ，即 sin 1>cos 1. 答案：sin 1>cos 115 .在单位圆中画出满足 sin a= 1的角a 的终边.OQ 即为角a 的终边.解：所给函数是正弦函数,1故作直线y = 2交单位圆于点P , Q ,连接OP , OQ ,则射线OP ,。
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三角函数线及其应用
【知识梳理】
1．有向线段
带有方向的线段叫做有向线段． 2．三角函数线
图示
正弦线 α的终边与单位圆交于P ，过P 作PM 垂直于x 轴，有向线段MP 即为正弦线 余弦线 有向线段OM 即为余弦线
正切线
过A (1,0)作x 轴的垂线，交α的终边或其终边的反向延长线于T ，有向线段AT 即为正切线
题型一、三角函数线的作法
【例1】 作出3π
4的正弦线、余弦线和正切线．
[解] 角3π
4
的终边(如图)与单位圆的交点为P .
作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线AT ，与
3π4的终边的反向延长线交于点T ，则3π
4
的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .
【类题通法】
三角函数线的画法
(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，
得到垂足，从而得正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从A (1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT .
【对点训练】
作出－9π
4的正弦线、余弦线和正切线．
解：如图所示，
－9π
4
的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT . 题型二、利用三角函数线比较大小
【例2】 分别比较sin 2π3与sin 4π5；cos 2π3与cos 4π5；tan 2π3与tan 4π
5的大小．
[解] 在直角坐标系中作单位圆如图所示．以x 轴非负半轴为始边作
2π
3
的终边与单位圆交于P 点，作PM ⊥Ox ，垂足为M .由单位圆与Ox 正方向的交点A 作Ox 的垂线与OP 的反向延长线交于T 点，则sin 2π3
＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π
3
＝AT .
同理，可作出4π5的正弦线、余弦线和正切线，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan 4π5＝AT ′.
由图形可知，MP >M ′P ′，符号相同，则sin 2π3>sin 4π5；OM >OM ′，符号相同，则cos 2π3>cos 4π
5；
AT <AT ′，符号相同，则tan 2π3<tan 4π
5
.
【类题通法】
利用三角函数线比较大小的步骤
利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．
【对点训练】
设π4<α<π2，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果π2<α<3π
4，上述长度关系又如何？
解：如图所示，当π4<α<π
2时，角α的正弦线为MP ，余弦线为OM ，
正切线为AT ，显然在长度上，AT >MP >OM ；
当π2<α<3π
4时，角α的正弦线为M ′P ′，余弦线为OM ′，正切线为AT ′，显然在长度上，AT ′>M ′P ′>OM ′.
题型三、利用三角函数线解不等式
【例3】 利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围． (1)sin α<－12；(2)cos α>32
.
[解] (1)如图①，过点⎝⎛⎭⎫0，－1
2作x 轴的平行线交单位圆于P ，P ′两点，则sin ∠xOP ＝sin ∠xOP ′＝－12，∠xOP ＝11π6，∠xOP ′＝7π
6
，
故α的范围是⎩
⎨⎧
α⎪⎪⎭
⎬⎫
7π6
＋2k π<α<11π6＋2k π，k ∈Z .
(2)如图②，过点⎝⎛⎭
⎫
32，0作x 轴的垂线与单位圆交于P ，P ′两点，则cos ∠xOP ＝cos ∠xOP ′
＝
32，∠xOP ＝π6，∠xOP ′＝－π6
，
故α的范围是⎩
⎨⎧
α⎪⎪⎭
⎬⎫－π6
＋2k π<α<π6＋2k π，k ∈Z . 【类题通法】
利用三角函数线解三角不等式的方法
利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sin x ≥b ，cos x ≥a (或sin x ≤b ，cos x ≤a )，只需作直线y ＝b ，x ＝a 与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x 的范围；对于tan x ≥c (或tan x ≤c )，则取点(1，c )，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图像可得．
【对点训练】
利用三角函数线求满足tan α≥
3
3
的角α的范围． 解：如图，过点A (1,0)作单位圆O 的切线，在切线上沿y 轴正方向取一点T ，使AT ＝
3
3
，过点O ，T 作直线，则当角α的终边落在阴影区域内(包含所作直线，不包含y 轴)时，tan α≥
33.由三角函数线可知，在[0°，360°)内，tan α≥33
，有30°≤α<90°或210°≤α<270°，故满足tan α≥
3
3
，有k ·180°＋30°≤α<k ·180°＋90°，k ∈Z . 【练习反馈】
1．已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上 B ．第四象限的角平分线上 C ．第二、四象限的角平分线上 D ．第一、三象限的角平分线上
解析：选C 由条件知sin α＝－cos α，α的终边应在第二、四象限的角平分线上． 2．如果MP 和OM 分别是角α＝7π
8的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是( )
A ．MP <OM <0
B ．OM >0>MP
C ．OM <MP <0
D ．MP >0>OM
解析：选D 如右图所示，正弦线为MP ，余弦线为OM ，结合图像，
可知：MP >0，OM <0， 故OM <0<MP .
3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________．
解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y 轴上，所以它的正弦线的长度为1. 答案：1
4．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是___________________________． 解析：如图，sin 1＝MP ，cos 1＝OM . 显然MP >OM ，即sin 1>cos 1. 答案：sin 1>cos 1
5．在单位圆中画出满足sin α＝1
2
的角α的终边．
解：所给函数是正弦函数，故作直线y ＝1
2交单位圆于点P ，Q ，连接OP ，OQ ，则射线OP ，
OQ 即为角α的终边．。