向心力来源分析水平面和竖直面
专题 竖直面内的圆周运动 高一物理 (人教版2019)
专题5 竖直面内的圆周运动（解析版）一、目标要求目标要求重、难点向心力的来源分析重难点水平面内的圆周运动重难点火车转弯模型难点二、知识点解析1．汽车过桥模型(单轨，有支撑)汽车在过拱形桥或者凹形桥时，桥身只能给物体提供弹力，而且只能向上(如以下两图所示)．(1)拱形桥(失重)汽车在拱形桥上行驶到最高点时的向心力由重力和桥面对汽车的弹力提供，方向竖直向下，在这种情况下，汽车对桥的压力小于汽车的重力：mg－F＝2mvR,F ≤ mg，汽车的速度越大，汽车对桥的压力就越小，当汽车的速度达到v max＝gR，此时物体恰好离开桥面，做平抛运动．(2)凹形路(超重)汽车在凹形路上行驶通过最低点的向心力也是由重力和桥面对汽车的弹力提供，但是方向向上，在这种情况下，汽车对路面的压力大于汽车的重力：2-=mvF mgR，由公式可以看出汽车的速度越大，汽车对路面的压力也就越大．说明：汽车过桥模型是典型的变速圆周运动．一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题．2．绳模型(外管，无支撑，水流星模型)(1)受力条件：轻绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力，圆形轨道对小球只能产生垂直于轨道向内的弹力，故这两种模型可归结为一种情况，即只能对物体施加指向轨迹圆心的力．(2)临界问题：①临界条件：小球在最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)如果刚好等于零，小球的重力充当圆周运动所需的向心力，这是小球能通过最高点的最小速度，则：2=v mg m R，解得：0=v gR说明：如果是处在斜面上，则向心力公式应为：20sin v mg m R α=，解得:0sin v gR α=②能过最高点的条件：v ≥0v ．③不能过最高点的条件：v ＜0v ，实际上小球在到0v 达最高点之前就已经脱离了圆轨道，做斜上抛运动．3．杆模型(双管，有支撑)(1)受力条件：轻杆对小球既能产生拉力又能产生支持力，圆形管道对其内部的小球能产生垂直于轨道用长为L 的轻绳拴着质量为m 的小球 使小球在竖直平面内作圆周运动 质量为m 的小球在半径为R 的光滑竖直外管内侧做圆周运动用长为L 的轻杆拴着质量为m 的小球使小球在竖直平面内作圆周运动 质量为m 的小球在半径为R 的光滑竖直双管内做圆周运动向内和向外的弹力．故这两种模型可归结为一种情况，即能对物体施加沿轨道半径向内和向外的力．(2)临界问题：①临界条件：由于硬杆或管壁的支撑作用，小球能到达最高点的临界速度0=v 临，此时轻杆或轨道内侧对小球有向上的支持力：0-=N F mg ．②当0＜v gR N F ．由-mg N F 2=v m R 得：N F 2=-v mg m R．支持力N F 随v 的增大而减小，其取值范围是0＜N F ＜mg ．③当=v gR 时，重力刚好提供向心力，即2=v mg m R，轻杆或轨道对小球无作用力．④当v gR F 或轨道外侧对小球施加向下的弹力N F 弥补不足，由2+=v mg F m R 得：2=-v F m mg R，且v 越大F (或N F )越大．说明：如果是在斜面上：则以上各式中的mg 都要改成sin mg α． 4．离心运动做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者减小的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动．(1)离心运动的成因做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞去的倾向．当2F mr ω=时，物体做匀速圆周运动；当0F =时，物体沿切线方向飞出；当2F mr ω<时，物体逐渐远离圆心．F 为实际提供的向心力．如图所示．(2)离心运动的应用离心运动可以给我们的生活、工作带来方便，如离心干燥器、洗衣机的脱水筒等就是利用离心运动而设计的．离心干燥器：将湿物体放在离心干燥器的金属网笼里，当网笼转得较快时，水滴所受的附着力不足以提供其维持圆周运动所需的向心力，水滴就做离心运动，穿过网孔，飞离物体，使物体甩去多余的水分．(3)离心运动的防止有时离心运动也会给人们带来危害，如汽车、摩托车、火车转弯时若做离心运动则易造成交通事故；砂轮转动时发生部分砂块做离心运动而造成人身伤害．因此应对它们进行限速，这样所需向心力mvr2较小，不易出现向心力不足的情况，从而避免离心运动的产生．(4)几种常见的离心运动物理情景实物图原理图现象及结论洗衣机脱水筒当水滴跟物体之间的附着力F不能提供足够的向心力(即2ω<F m r))时，水滴做离心运动汽车在水平路面上转弯当最大静摩擦力不足以提供向心力(即2max<vF mr))时，汽车做离心运动三、考查方向题型1：汽车过桥模型典例一：如图所示，质量为m的滑块与轨道间的动摩擦因数为μ，当滑块从A滑到B的过程中，受到的摩擦力的最大值为Fμ，则( )A．Fμ=μmg B．Fμ＜μmgC．Fμ＞μmg D．无法确定Fμ的值【答案】：C【解析】在四分之一圆弧底端，根据牛顿第二定律得：2vN mg mR-=，解得：N=mg+ 2vmR，此时摩擦力最大，有：2＞v F N mg m mg R μμμμ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．故C 正确确，ABD 错误．题型2：绳模型典例二：如图所示，杂技演员表演水流星节目．一根长为L 的细绳两端系着盛水的杯子，演员握住绳中间，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内做圆周运动，杯子运动中水始终不会从杯子洒出，设重力加速度为g ，则杯子运动到最高点的角速度ω至少为( )A gLB 2g LC 5gLD 10gL【答案】：B【解析】：据题知，杯子圆周运动的半径2=Lr ，杯子运动到最高点时，水恰好不流出，由水的重力刚好提供其做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得：22Lmg m ω= 解得：2g L ω=题型3：杆模型典例三：一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )A ．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零B gRC ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 【答案】：A【解析】：轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v gR A正确，B错误；若v gR最高点对小球的弹力竖直向上，mg－F＝m2vR，随v增大，F减小，若v gR高点对小球的弹力竖直向下，mg＋F＝m2vR，随v增大，F增大，故C、D均错误。
圆周运动的临界问题-高考物理复习
力提供向心力，有μmg＝mω2lsin θ，解得 ω＝ 4gl，可得
当 ω≤ 4gl时绳子无张力，ω> 4gl时绳子有张力，故 A、B 正确；圆台对木箱恰好无支持力时，有 mgtan θ＝mω2lsin θ，
解得 ω＝ 53gl ，即当 ω≥ 故 C 正确，D 错误。
53gl 时，圆台对木箱无支持力，
目录
研透核心考点
2.解题技巧 (1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律 方程。 (2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系。 (3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛 顿第三定律求出压力。
目录
研透核心考点
2.(2024·北京丰台高三期中)如图5甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做 圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与过最高点 时小球速度的平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)。MN为通过圆心的 一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。下列说法正确的
0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在
竖直平面内做圆周运动，g＝10 m/s2，下列说法不正确
的是( D )
A.小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为 2 m/s
图3
B.当小球在最高点的速度为 4 m/s 时，轻绳拉力为 15 N
C.若轻绳能承受的最大张力为 45 N，小球的最大速度不能超过 4 2 m/s
目录
研透核心考点
1.(多选)如图2所示，在水平圆台的转轴上的O点固定一根结实的细绳，细绳长度为l， 细绳的一端连接一个小木箱，木箱里坐着一只玩具小熊，此时细绳与转轴间的夹 角为θ＝53°，且处于恰好伸直的状态。已知小木箱与玩具小熊的总质量为m，木箱 与水平圆台间的动摩擦因数μ＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 53°＝0.8， cos 53°＝0.6，重力加速度为g，不计空气阻力。在可调速电动机的带动下，让水
鲁科版物理必修二第四章-第3节--向心力的实例分析
第3节向心力的实例分析一、转弯时的向心力实例分析1．汽车在水平路面转弯，所受静摩擦力提供转弯所需的向心力。
2．火车(或汽车)转弯时，如图431所示，向心力由重力和支持力的合力提供，向心力F＝mg tanθ＝mv2r，转弯处的速度v＝gr tan θ。
图431 图4323．飞机(或飞鸟)转弯受力如图432所示，向心力由空气作用力F和重力mg的合力提供。
二、竖直平面内的圆周运动实例分析1．汽车过拱形桥内容项目汽车过凸形桥汽车过凹形桥向心力方程mg－N＝mv2rN－mg＝mv2r支持力N＝mg－mv2r支持力小于重力，当v＝gr时N＝0N＝mg＋mv2r支持力大于重力2．过山车(在最高点和最低点)(1)向心力来源：受力如图433所示，重力和支持力的合力提供向心力。
图433(2)向心力方程在最高点：N ＋mg ＝m v 2r ，v 越小，N 越小，当N ＝0时v min ＝gr 。
在最低点：N －mg ＝m v 2r。
1．自主思考——判一判(1)火车转弯时的向心力是火车受到的合外力。
(×) (2)火车以恒定速率转弯时，合外力提供向心力。
(√) (3)做匀速圆周运动的汽车，其向心力保持不变。
(×)(4)汽车过拱形桥时，对桥面的压力一定大于汽车自身的重力。
(×)(5)汽车在水平路面上行驶时，汽车对地面的压力大小等于自身的重力大小。
(√) 2．合作探究——议一议(1)假定你是一个铁路设计的工程师，你打算用什么方法为火车转弯提供向心力？提示：要根据弯道的半径和规定的行驶速度，确定内外轨的高度差，使火车转弯时所需的向心力几乎完全由重力G 和支持力N 的合力来提供。
(2)如图434所示，滑冰运动员转弯时为什么要向转弯处的内侧倾斜身体？图434提示：倾斜身体是为了获得冰面对运动员向内侧的静摩擦力，从而获得做圆周运动所需要的向心力。
专题3.2 向心力的来源分析与计算(解析版)
第三部分专项提能优化训练专题3.2 向心力的来源分析与计算目录一、从动力学角度分析向心力来源 (1)类型1单一性质的力提供向心 (3)类型2多种性质的力的合力提供向心力 (5)二、从向心力来源角度分析圆周运动的临界问题 (7)类型1水平面上的圆周运动 (8)类型2竖直平面内的圆周运动 (11)类型3复合场中的圆周运动 (13)三．专题强化训练 (15)一、从动力学角度分析向心力来源做圆周运动的物体必须有外力提供其向心力，向心力既可以由某一个力来提供，也可以是由几个力的合力或某一个力的分力来提供。
圆周运动及其相关问题，往往都需要寻找向心力来源，然后根据“供”“需”关系列出合外力提供向心力的动力学关系式求解相关问题。
【例1】如图所示，平面直角坐标系xOy的x轴上固定一带负电的点电荷A，一带正电的点电荷B绕A在椭圆轨道上沿逆时针方向运动，椭圆轨道的中心在O点，P1、P2、P3、P4为椭圆轨道与坐标轴的交点。
为使B绕A做圆周运动，某时刻起在此空间加一垂直于xOy平面的匀强磁场，不计B受到的重力。
下列说法中可能正确的是()A．当B运动到P1点时，加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场B．当B运动到P2点时，加一垂直于xOy平面向外的匀强磁场C．当B运动到P3点时，加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场D．当B运动到P4点时，加一垂直于xOy平面向外的匀强磁场【答案】C【解析】过P1点以A点为圆心的圆如图所示当点电荷B运动到P1点时，加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场，根据左手定则可知点电荷B受到的洛伦兹力方向指向A，点电荷B一定相对于原来的轨道做向心运动，不可能在轨道1上做匀速圆周运动，故A错误；当B运动到P2点或P4点时，加一垂直于xOy平面向外的匀强磁场，根据左手定则可知粒子受到的洛伦兹力方向向外，洛伦兹力和电场力的合力不指向A点，不可能绕A做匀速圆周运动，故B、D错误；当B运动到P3点时，加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场，根据左手定则可知洛伦兹力方向指向A，此时粒子相对于原来的椭圆做向心运动，可能绕图中轨道2做匀速圆周运动，其向心力为洛伦兹力和电场力的合力，故C正确。
高考物理一轮复习 第四章 曲线运动 第20讲 常见的圆周运动动力学模型教学案
第20讲常见的圆周运动动力学模型能力命题点一水平面内的圆周运动1．向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2．几种典型的运动模型运动模型向心力的来源图示飞机水平转弯火车转弯(以规定速度行驶)圆锥摆飞车走壁的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为F T(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8, g取10 m/s2，结果可用根式表示)。
求：(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？解析 (1)小球刚好离开锥面时，小球受到重力和细线拉力，如图所示。
小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得mg tan θ＝mω20l sin θ解得ω0＝ gl cos θ＝522 rad/s 。
(2)当细线与竖直方向成60°角时，小球已离开锥面，由牛顿第二定律及向心力公式得mg tan60°＝mω′2l sin60°解得ω′＝ g l cos60°＝2 5 rad/s 。
答案 (1)522rad/s (2)2 5 rad/s 求解圆周运动问题的“一、二、三、四”1．(2019·北京期末)(多选)如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A 和B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法不正确的是( )A ．球A 的线速度必定大于球B 的线速度B ．球A 的角速度必定等于球B 的角速度C ．球A 的运动周期必定小于球B 的运动周期D ．球A 对筒壁的压力必定大于球B 对筒壁的压力答案 BCD解析 以A 为例对小球进行受力分析，可得支持力和重力的合力充当向心力，设圆锥筒的锥角为θ，则F N ＝mg sin θ，F n ＝mg tan θ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r ，A 、B 质量相等，A 做圆周运动的半径大于B 做圆周运动的半径，所以球A 的线速度必定大于球B 的线速度，球A 的角速度必定小于球B 的角速度，球A 的运动周期必定大于球B 的运动周期，球A 对筒壁的压力必定等于球B 对筒壁的压力，A 正确，B 、C 、D 错误。
专题09 圆周运动七大常考模型(解析版)
专题09 圆周运动七大常考模型(解析版)2020年高考物理一轮复热点题型归纳与变式演练专题09 圆周运动七大常考模型专题导航】目录题型一水平面内圆盘模型的临界问题在水平面内，圆盘绕自身的对称轴做匀速圆周运动时，当圆盘上一点的速度等于圆盘上任意一点的速度时，该点所在的半径为临界半径。
此时，圆盘上该点所受的向心力最大，达到极限值。
热点题型二竖直面内圆周运动的临界极值问题在竖直面内，圆周运动的临界问题与水平面内的类似，但由于竖直面内的向心力方向不再垂直于重力方向，因此需要通过分解向心力和重力的合力来求解临界速度和临界半径。
球-绳模型或单轨道模型球-绳模型指的是一个质量为m的小球通过一根质量忽略不计的细绳悬挂在竖直方向上，并绕着一个半径为R的竖直圆周做匀速圆周运动的模型。
单轨道模型则是一个质量为m 的小球沿着一个半径为R的水平圆周滑行的模型。
这两个模型的分析方法类似，都需要通过分解合力来求解运动的参数。
球-杆模型或双轨道模型球-杆模型指的是一个质量为m的小球沿着一个质量忽略不计的细杆滚动的模型。
双轨道模型则是一个质量为m的小球沿着两个半径分别为R1和R2的圆轨道滚动的模型。
这两个模型的分析方法也类似，都需要通过分解合力来求解运动的参数。
热点题型三斜面上圆周运动的临界问题在斜面上，圆周运动的临界问题与水平面内的类似，但由于斜面的存在，需要通过分解合力来求解临界速度和临界半径。
热点题型四圆周运动的动力学问题圆周运动的动力学问题主要涉及到角加速度、角速度和角位移等参数的计算。
在这类问题中，需要利用牛顿第二定律和角动量守恒定律等物理定律来分析运动状态。
圆锥摆模型圆锥摆模型指的是一个质量为m的小球通过一根质量忽略不计的细绳悬挂在竖直方向上，并绕着一个半径为R的圆锥面做匀速圆周运动的模型。
在分析这种模型时，需要考虑到向心力和重力的合力方向与竖直方向的夹角，以及圆锥面的倾角等因素。
车辆转弯模型车辆转弯模型主要涉及到车辆在转弯时所受的向心力和摩擦力等因素。
物理沪科版2学案：2.3 圆周运动的案例分析含解析
2。
3 圆周运动的案例分析直平面内的圆周运动。
一、分析游乐场中的圆周运动 1．受力分析（1)过山车在轨道顶部时要受到重力和轨道对车的弹力作用,这两个力的合力提供过山车做圆周运动的向心力。
（2）当过山车恰好经过轨道顶部时，弹力为零,此时重力提供向心力。
2．临界速度（1）过山车恰好通过轨道顶部时的速度称为临界速度,记作v 临界，v临界＝错误!。
（2）当过山车通过轨道最高点的速度v ≥错误!时，过山车就不会脱离轨道;当v ＞错误!时,过山车对轨道还会产生压力作用。
（3）当过山车通过轨道最高点的速度v ＜错误!时，过山车就会脱离轨道，不能完成圆周运动. 预习交流1“水流星"是我国传统的杂技节目，演员们把盛有水的容器用绳子拉住在空中如流星般快速舞动，同时表演高难度的动作，容器中的水居然一滴也不掉下来。
“水流星"的运动快慢与绳上的拉力的大小有什么关系？如果绳上的拉力渐渐减小，将会发生什么现象？答案：“水流星”转得越快，绳上的拉力就越大。
若绳上的拉力减小，有可能使水流出来。
二、研究运动物体转弯时的向心力1．自行车转弯时要向转弯处的内侧倾斜,由地面对车的作用力与重力的合力作为转弯所需要的向心力。
2．汽车在水平路面上转弯时由地面的摩擦力提供向心力。
3．火车转弯时的向心力由重力和铁轨对火车的支持力的合力提供,其向心力方向沿水平方向。
预习交流2飞行中的鸟和飞机要改变方向转弯时，鸟的身体或飞机的机身要倾斜，如图所示,这是为什么？答案:鸟或飞机转弯时需要向心力，只有当鸟身或飞机的机身倾斜时,它们所受空气对它们的作用力和重力的合力才能提供它们转弯需要的向心力。
一、竖直面内的圆周运动实例分析1．汽车过拱形桥桥顶时，可认为是圆周运动模型，那么汽车过拱形桥顶时动力学特点有哪些？答案：汽车在桥顶受到重力和支持力作用，如图所示，向心力由两者的合力提供.（1)动力学方程: 由牛顿第二定律2=N v G F m R－解得22=N v v F G m mg m R R=－－。
向心力的受力分析(三)
(3)根据牛顿运动定律,列出运动方程。
m
v2
F指向圆心 -F背离圆心 = mr2r
m
2
T
2
r
Tsin N cos m2r
4、飞机的圆周运动
⑴飞机在水平面内的圆周运动
问题：飞机在水平面内做 圆周运动时，受那些力作 用？向心力由什么提供？
基本方程： F升 cos -mg=0
F升
sin
m
v2 R
F升
θ
0
联立解得
mg
mg tan
v2 m
R
⑵飞机在竖直面Hale Waihona Puke 圆周运动在最高点：F升
mg
m
v2 R
在最低点：
F升
mg
m
v2 R
mg
F
升
F升
mg
五、竖直面内的圆周运动 1、绳连球模型——无支持系统的竖直圆周运动
过山车、水流星、绳系小球在竖直面内的圆周运动。
通过最高点 即可完成圆 周运动
D、当物体通过最高点的速度 v gr 时， 小球受到向下的弹力:
v2 mg FN m R
解得
v2 FN m R mg
力的大小且随v增大而增大； 外管有向下的压力
竖直平面内的变速圆周运动
绳
杆
圆管
桥面
示意图
mA
L O
B
mA L杆 O
B
mA R
O
B
mA
m的受力情况
重力、绳的拉 力
重力、杆的拉 力或支持力
向心力与向心加速度 （二）
课堂要点小结
方向： 指向圆心
向 大小： 心
圆周运动(二)圆周运动中的动力学问题
【例1】如图7所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为 m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥 面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做 匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT.(g取10 m/s2，结 果可用根式表示)求： (1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？ (2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
3．质量为m的飞机以恒定速率v在空 中水平盘旋，如图所示，其做匀速 圆周运动的半径为R，重力加速度为 g，则此时空气对飞机的作用力大小 为
析 飞机在空中水平盘旋时 在水平面内做匀速圆周运动， 受到重力和空气的作用力两 个力的作用，其合力提供向 心力F向＝mv2/R. 飞机受力情况示意图如图所 示，根据勾股定理得： F＝m √ (g2+ v4/R2).
例题 1．有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为 L 的钢绳一端系着座椅， 另一端固定在半径为 r 的水平转盘边缘， 转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω 匀速转动 时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ ，不 计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
圆周运动（二） 圆周运动中的动力学分析
1．向心力的来源： 向心力是依据力的作用效果命名的，它可以是重力、弹 力或摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分 力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．如图 甲所示的圆锥摆和火车以规定速率拐弯时．向心力由重力和 弹力的合力提供；图乙中随圆盘一起转动的物体和汽车在水 平路面上转弯则是由静摩擦力提供向心力． 2．向心力的确定 (1)确定圆周运动的轨道所在的平面， 确定圆心的位置． (2)分析物体的受力情况，找出所有的力 沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．
2022版《优化方案》高一物理人教版必修二配套文档：第五章第七节 生活中的圆周运动 Word版含答案
第七节 生活中的圆周运动[学习目标] 1.会分析具体圆周运动问题中向心力的来源，能解决生活中的圆周运动问题． 2.了解航天器中的失重现象及缘由． 3.了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用及危害．[同学用书P 30]一、铁路的弯道(阅读教材P 26～P 27)1．运动特点火车转弯时做圆周运动，因而具有向心加速度，由于质量巨大，所以需要很大的向心力． 2．向心力来源(1)若转弯处内外轨一样高，则由外轨对轮缘的弹力供应向心力．(2)若在修筑铁路时，依据弯道的半径和规定的速度，适当选择内、外轨的高度差，则转弯时所需的向心力几乎完全由重力和支持力的合力供应．拓展延长►———————————————————(解疑难) 对火车转弯时速度与向心力的争辩1．当火车以规定速度v 0转弯时，重力G 和支持力F N 的合力F 等于向心力，这时轮缘与内外轨均无侧压力．2．当火车转弯速度v >v 0时，重力G 和支持力F N 的合力F 小于向心力，外轨向内挤压轮缘，供应侧压力，与F 共同充当向心力．3．当火车转弯速度v <v 0时，重力G 和支持力F N 的合力F 大于向心力，内轨向外挤压轮缘，产生的侧压力与合力共同充当向心力．1.(1)车辆在水平路面上转弯时，所受重力与支持力的合力供应向心力．( )(2)车辆在水平路面上转弯时，所受摩擦力供应向心力．( ) (3)车辆在“内低外高”的路面上转弯时，受到的合力可能为零．( )(4)车辆按规定车速通过“内低外高”的弯道时，向心力是由重力和支持力的合力供应的．( ) 提示：(1)× (2)√ (3)× (4)√二、拱形桥(阅读教材P 27～P 28) 1．汽车过凸形桥汽车在凸形桥最高点时，如图甲所示，向心力F n ＝mg －F N ＝mv 2R ，汽车对桥的压力F N ′＝F N ＝mg －mv 2R，故汽车在凸形桥上运动时，对桥的压力小于汽车的重力．2．汽车过凹形桥汽车在凹形桥最低点时，如图乙所示，向心力F n ＝F N －mg ＝mv 2R ，汽车对桥的压力F N ′＝F N ＝mg ＋mv 2R，故汽车在凹形桥上运动时，对桥的压力大于汽车的重力．拓展延长►———————————————————(解疑难)1．汽车通过拱形桥最高点时，F N ＝mg －m v 2R.(1)当v ＝gR 时，F N ＝0.(2)当0≤v <gR 时，0<F N ≤mg .(3)当v >gR 时，汽车将脱离桥面做平抛运动，发生危急．2．汽车通过凹形桥最低点时，F N ＝mg ＋m v 2R>mg ，故凹形桥易被压垮，因而实际中拱形桥多于凹形桥．2.(1)汽车在水平路面上匀速行驶时，对地面的压力等于车重，加速行驶时大于车重．( )(2)汽车在拱形桥上行驶，速度小时对桥面的压力大于车重，速度大时压力小于车重．( ) (3)汽车通过凹形桥底部时，对桥面的压力肯定大于车重．( ) 提示：(1)× (2)× (3)√三、航天器中的失重现象(阅读教材P 28)人造卫星、宇宙飞船、航天飞机等航天器进入轨道后可近似认为绕地球做匀速圆周运动，此时重力供应了航天器做圆周运动的向心力．航天器中的人和物随航天器一起做圆周运动，其向心力也是由重力供应的，此时重力全部用来供应向心力，不对其他物体产生压力，即里面的人和物处于完全失重状态． 拓展延长►———————————————————(解疑难)1．物体在航天器中处于完全失重状态，并不是说物体不受重力，只是重力全部用来供应物体做圆周运动所需的向心力，使得物体所受支持力为0.2．任何关闭了发动机，又不受阻力的飞行器的内部，都是一个完全失重的环境． 3．失重状态下，一切涉及重力的现象均不再发生，如无法使用水银气压计、天公平．留意：航天器中的物体所受重力小于在地面所受重力的现象，不是失重现象．3.宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，下列说法中正确的有( )A ．在飞船内可以用天平测量物体的质量B ．在飞船内可以用水银气压计测舱内的气压C ．在飞船内可以用弹簧测力计测拉力D ．在飞船内将重物挂于弹簧测力计上，弹簧测力计示数为0，但重物仍受地球的引力提示：选CD.飞船内的物体处于完全失重状态，此时放在天平上的物体对天平的压力为0，因此不能用天平测量物体的质量，A 错误；同理，水银也不会产生压力，故水银气压计也不能使用，B 错误；弹簧测力计测拉力遵从胡克定律，拉力的大小与弹簧伸长量成正比，C 正确；飞船内的重物处于完全失重状态，并不是不受重力，而是重力全部用于供应物体做圆周运动所需的向心力，D 正确．四、离心运动(阅读教材P 28～P 29)1．定义：在向心力突然消逝或合力不足以供应所需的向心力时，物体沿切线飞出或做渐渐远离圆心的运动．2．离心运动的应用和防止(1)应用：离心干燥器；洗衣机的脱水桶；离心制管技术．(2)防止：汽车在大路转弯处必需限速行驶；转动的砂轮、飞轮的转速不能太高．拓展延长►———————————————————(解疑难) 离心运动的动力学分析F 合表示对物体供应的合外力，mω2r 或m v 2r表示物体做圆周运动所需要的向心力．(1)若F 合＝mω2r 或F 合＝mv 2r ，物体做匀速圆周运动，即“供应”满足“需要”．(2)若F 合>mω2r 或F 合>mv2r ，物体做半径变小的近心运动，即“供应”大于“需要”．(3)若F 合<mω2r 或F 合<mv 2r，则外力不足以将物体拉回到原圆周轨道上，物体渐渐远离圆心而做离心运动，即“需要”大于“供应”或“供应不足”．(4)若F 合＝0，则物体沿切线方向飞出．留意：(1)离心运动并非受所谓“离心力”作用，而是物体惯性的表现．(2)离心运动并不是物体沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出． (3)离心运动的性质由其受力和此时的速度共同打算．4.关于离心运动，下列说法中正确的是( )A ．物体突然受到离心力的作用，将做离心运动B ．做匀速圆周运动的物体，当供应向心力的合外力突然变大时将做离心运动C ．做匀速圆周运动的物体，只要供应向心力的合外力的数值发生变化，就将做离心运动D ．做匀速圆周运动的物体，当供应向心力的合外力突然消逝或变小时将做离心运动提示：选D.物体做什么运动取决于物体所受合外力与物体所需向心力的关系，只有当供应的合外力小于所需要的向心力时，物体才做离心运动，所以做离心运动的物体并没有受到所谓的离心力的作用，离心力没有施力物体，所以离心力不存在．由以上分析可知D 正确．火车转弯问题的解题策略[同学用书P 32]1．对火车转弯问题肯定要搞清合力的方向．指向圆心方向的合外力供应物体做圆周运动的向心力，方向指向水平面内的圆心．2．弯道两轨在同一水平面上时，向心力由外轨对轮缘的挤压力供应．3．当外轨高于内轨时，向心力由火车的重力和铁轨的支持力以及内、外轨对轮缘的挤压力的合力供应，这还与火车的速度大小有关．——————————(自选例题，启迪思维)(2021·德州高一检测)火车以半径r ＝900 m 转弯，火车质量为8×105 kg ，轨道宽为l ＝1.4 m ，外轨比内轨高h ＝14 cm ，为了使铁轨不受轮缘的挤压，火车的速度应为多大？(g 取10 m/s 2)[思路探究] (1)火车转弯所需向心力由________力和____________力的合力供应，沿________方向． (2)当α很小时，可近似认为sin α和tan α________. [解析]若火车在转弯时不受挤压，即由重力和支持力的合力供应向心力，火车转弯平面是水平面．火车受力如图所示，由牛顿其次定律得F ＝mg tan α＝m v 2r①由于α很小，可以近似认为tan α＝sin α＝hl②解①②式得v ＝30 m/s. [答案] 30 m/s (2021·高考新课标全国卷Ⅱ)大路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图，某大路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v c 时，汽车恰好没有向大路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处( )A ．路面外侧高内侧低B ．车速只要低于v c ，车辆便会向内侧滑动C ．车速虽然高于v c ，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动D ．当路面结冰时，与未结冰时相比，v c 的值变小[解析] 汽车以速率v c 转弯，需要指向内侧的向心力，汽车恰好没有向大路内外两侧滑动的趋势，说明此处大路内侧较低外侧较高，选项A 正确．车速只要低于v c ，车辆便有向内侧滑动的趋势，但不肯定向内侧滑动，选项B 错误．车速虽然高于v c ，由于车轮与地面有摩擦力，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动，选项C 正确．依据题述，汽车以速率v c 转弯，需要指向内侧的向心力，汽车恰好没有向大路内外两侧滑动的趋势，没有受到摩擦力，所以当路面结冰时，与未结冰时相比，转弯时v c 的值不变，选项D 错误．[答案] AC (2021·嘉兴高一检测)铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R ，若质量为m 的火车转弯时速度等于gR tan θ，则( )A ．内轨对内侧车轮轮缘有挤压B ．外轨对外侧车轮轮缘有挤压C ．这时铁轨对火车的支持力等于mgcos θD ．这时铁轨对火车的支持力大于mgcos θ[思路点拨] 求解该题应把握以下两点：(1)火车转弯的向心力由重力和支持力的合力供应． (2)v <v 0内侧轮缘受挤压；v >v 0外侧轮缘受挤压．[解析]由牛顿其次定律F 合＝m v 2R ，解得F 合＝mg tan θ，此时火车受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示，F N cos θ＝mg ，则F N ＝mgcos θ，内、外轨道对火车均无侧压力，故C 正确，A 、B 、D 错误．[答案] C[名师点评] (1)火车以规定速度通过弯道时，是由重力与支持力的合力供应向心力，其合力沿水平方向指向圆心；(2)车辆在水平路面上转弯时，摩擦力供应向心力．凹凸桥问题的求解[同学用书P 33]1．运动学特点：汽车过凹凸桥时的运动可看做圆周运动． 2．运动学分析(1)向心力来源：汽车过凹凸桥的最高点或最低点时，在竖直方向受重力和支持力，其合力供应向心力． (2)汽车过凹凸桥压力的分析与争辩若汽车质量为m ，桥面圆弧半径为R ，汽车在最高点或最低点速率为v ，则汽车对桥面的压力大小状况争辩如下：汽车过凸形桥 汽车过凹形桥受力分析指向圆心为正方向G －F N ＝m v 2RF N ＝G －m v 2RF N －G ＝m v 2RF N ＝G ＋m v 2R牛顿第三定律F 压＝F N ＝G －m v 2RF 压＝F N ＝G ＋m v 2R争辩v 增大，F 压减小； 当v 增大到gR 时，F 压＝0v 增大，F 压增大——————————(自选例题，启迪思维)如图所示，质量m ＝2.0×104 kg 的汽车以不变的速领先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60 m ．假如桥面承受的压力不得超过3.0×105 N ，则：(1)汽车允许的最大速率是多少？(2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？(g 取10 m/s 2)[思路点拨] 首先推断汽车在何位置对路面的压力最大、最小，然后利用向心力公式求解． [解析] (1)汽车在凹形桥底部时，由牛顿其次定律得F N －mg ＝m v 2r ，代入数据解得v ＝10 3 m/s.(2)汽车在凸形桥顶部时，由牛顿其次定律得mg －F N ′＝mv 2r ，代入数据得F N ′＝105 N.由牛顿第三定律知汽车对桥面的最小压力是105 N.[答案] (1)10 3 m/s (2)105 N如图所示，汽车在酷热的夏天沿凹凸不平的曲面匀速率行驶，其中最简洁发生爆胎的点是( )A ．a 点B ．b 点C ．c 点D ．d 点[解析] 由于匀速圆周运动的向心力和向心加速度公式也适用于变速圆周运动，故在a 、c 两点F N ＝G －m v 2r <G ，不简洁发生爆胎；在b 、d 两点F N ＝G ＋m v 2r >G ，由题图知b 点所在曲线半径大，即r b ＞r d ，又v b ＝v d ，故F N b <F N d ，所以在d 点车胎受到的压力最大，所以d 点最简洁发生爆胎． [答案] D城市中为了解决交通问题，修建了很多立交桥．如图所示，桥面是半径为R 的圆弧形的立交桥AB 横跨在水平路面上，一辆质量为m 的小汽车，在A 端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v 1，若小汽车上桥过程中保持速率不变，则( )A ．小汽车通过桥顶时处于失重状态B ．小汽车通过桥顶时处于超重状态C ．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为F N ＝mg －m v 21RD ．小汽车到达桥顶时的速度必需大于gR[解析] 由圆周运动学问知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿其次定律得mg －F N ＝m v 21R，解得F N ＝mg －m v 21R <mg ，故其处于失重状态，A 正确B 错误；F N ＝mg －m v 21R只在小汽车通过桥顶时成立，而其上桥过程中的受力状况较为简单，C 错误；由mg －F N ＝m v 21R 解得v 1＝gR －F N R m≤gR ，D 错误．[答案] A[名师点评] (1)汽车过凸桥顶部时对桥面的压力小于汽车重力，过凹桥底部时对桥面的压力大于汽车重力．(2)过凸桥顶时汽车的速度不能超过gR ，否则可能消灭飞车现象；过凹桥底时汽车的速度也不宜过大，否则可能消灭爆胎现象．[同学用书P 34]物理模型——竖直平面内圆周运动的绳、杆模型轻绳模型轻杆模型常见类型特点不能支持物体既能支持物体，又能拉物体 过最高点的临界条件由mg ＝m v 2r得v 临＝gr由小球能运动即可，得v 临＝0 争辩分析(1)过最高点时，v ≥gr ，F N＋mg ＝m v 2r，绳、轨道对球产生弹力F N(2)不能过最高点时v <gr ，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v ＝0时，F N ＝mg ，F N 为支持力，沿半径背离圆心 (2)当0<v <gr 时，－F N ＋mg＝m v 2r，F N 背离圆心且随v 的增大而减小(3)当v ＝gr 时，F N ＝0(4)当v >gr 时，F N ＋mg ＝m v 2r，F N 指向圆心并随v 的增大而增大[范例] 绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m ＝0.5 kg ，绳长l ＝60 cm ，求： (1)在最高点时水不流出的最小速率；(2)水在最高点速率v ＝3 m/s 时，水对桶底的压力．[思路点拨] (1)水不流出的条件是水对桶底的压力F N ≥0，最小速率应满足mg ＝mv 2/l . (2)速率大于最小速率时，向心力是由重力和桶底对水的压力的合力供应． [解析] (1)设在最高点时的临界速度为v ，则有mg ＝m v 2l，得v ＝gl ＝9.8×0.6 m/s ＝2.42 m/s.(2)设桶底对水的压力为F N ，则有mg ＋F N ＝mv 2l得F N ＝m v 2l －mg ＝0.5×⎝⎛⎭⎫320.6－9.8 N ＝2.6 N 由牛顿第三定律，水对桶底的压力F N ′＝F N ＝2.6 N ，方向竖直向上．[答案] (1)2.42 m/s (2)2.6 N ，方向竖直向上[名师点评] 解答竖直平面内圆周运动问题时，首先要分清是绳模型还是杆模型．其次明确两种模型到达最高点的临界条件．另外，对于杆约束物体运动到最高点时的弹力方向可先假设，然后依据计算结果的正负来确定．长度为0.5 m 的轻杆OA 绕O 点在竖直平面内做圆周运动，A 端连着一个质量m ＝2 kg 的小球．求在下述的两种状况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向：(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0 r/s ； (2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s. 解析：小球在最高点的受力如图所示． (1)杆的转速为2.0 r/s 时， ω＝2πn ＝4π rad/s 由牛顿其次定律得 F ＋mg ＝mω2L故小球所受杆的作用力F ＝mω2L －mg ＝2×(42×π2×0.5－10) N ≈138 N 即杆对小球供应了138 N 的拉力由牛顿第三定律知，小球对杆的拉力大小为138 N ，方向竖直向上． (2)杆的转速为0.5 r/s 时，ω′＝2πn ′＝π rad/s 同理可得小球所受杆的作用力F ′＝mω′2L －mg ＝2×(π2×0.5－10) N ≈－10 N.力F ′为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，由牛顿第三定律知，小球对杆的压力大小为10 N ，方向竖直向下．答案：(1)138 N ，方向竖直向上 (2)10 N ，方向竖直向下[同学用书P 34][随堂达标]1．在下面所介绍的各种状况中，哪种状况将消灭超重现象( )①荡秋千经过最低点的小孩 ②汽车过拱形桥 ③汽车过凹形桥 ④在绕地球做匀速圆周运动的飞船中的仪器A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④ 解析：选B.物体在竖直平面内做圆周运动，受重力和拉力(或支持力)的作用，物体运动至最高点时向心加速度向下，则mg －F N ＝m v 2R ，有F N <mg ，物体处于失重状态，若mg ＝m v 2R，则F N ＝0，物体处于完全失重状态．物体运动至最低点时，向心加速度向上，则F N －mg ＝m v2R ，有F N >mg ，物体处于超重状态．由以上分析知①③将消灭超重现象．2．下列关于离心现象的说法正确的是( )A ．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象B ．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消逝时，它将做背离圆心的圆周运动C ．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消逝时，它将沿切线做直线运动D ．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消逝时，它将做曲线运动解析：选C.向心力是依据效果命名的，做匀速圆周运动的物体所需要的向心力是它所受的某个力或几个力的合力供应的．因此，它并不受向心力和离心力的作用．它之所以产生离心现象是由于F 合＝F 向<mω2r ，故选项A 错误．物体在做匀速圆周运动时，若它所受到的力都突然消逝，依据牛顿第肯定律，从这时起将沿切线方向做匀速直线运动，故选项C 正确，选项B 、D 错误．3．(2021·绵阳高一检测)火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定．若在某转弯处规定行驶速度为v ，则下列说法中正确的是( )A ．当以v 的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力供应向心力B ．当以v 的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力供应向心力C ．当速度大于v 时，轮缘挤压外轨D ．当速度小于v 时，轮缘挤压外轨解析：选AC.火车拐弯时按铁路的设计速度行驶时，向心力由火车的重力和轨道的支持力的合力供应，A 对，B 错；当速度大于v 时，火车的重力和轨道的支持力的合力小于向心力，外轨对轮缘有向内的弹力，轮缘挤压外轨，C 对，D 错．4.用细绳拴着质量为m 的小球，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，如图所示．则下列说法正确的是( ) A ．小球通过最高点时，绳子张力可以为0 B ．小球通过最高点时的最小速度为0 C ．小球刚好通过最高点时的速度是gRD ．小球通过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受重力方向相反解析：选AC.设小球通过最高点时的速度为v ，由合力供应向心力及牛顿其次定律得mg ＋F T ＝m v 2R .当F T＝0时，v ＝gR ，故选项A 正确．当v <gR 时，F T <0，而绳子只能产生拉力，不能产生与重力方向相反的支持力，故选项B 、D 错误．当v >gR 时，F T >0，小球能沿圆弧通过最高点．可见，v ≥gR 是小球能沿圆弧通过最高点的条件，故选项C 正确．5．(选做题)(2021·天津南开中学高一检测)某人为了测定一个凹形桥的半径，在乘汽车通过凹形桥最低点时，他留意到车上的速度计示数为72 km/h ，悬挂1 kg 钩码的弹簧测力计的示数为11.8 N ，则桥的半径为多大？(g 取9.8 m/s 2)解析：v ＝72 km/h ＝20 m/s对钩码由向心力公式得F －mg ＝m v 2R所以R ＝mv 2F －mg ＝1×20211.8－9.8m ＝200 m.答案：200 m [课时作业] 一、选择题 1．(2021·高考上海卷)秋千的吊绳有些磨损．在摇摆过程中，吊绳最简洁断裂的时候是秋千( ) A ．在下摆过程中 B ．在上摆过程中 C ．摆到最高点时 D ．摆到最低点时解析：选D.当秋千摆到最低点时速度最大，由F －mg ＝m v 2l 知，吊绳中拉力F 最大，吊绳最简洁断裂，选项D 正确．2．(2021·湛江高一检测)汽车驶向一凸形桥，为了在通过桥顶时，减小汽车对桥的压力，司机应( ) A ．以尽可能小的速度通过桥顶 B ．适当增大速度通过桥顶 C ．以任何速度匀速通过桥顶D ．使通过桥顶的向心加速度尽可能小解析：选B.汽车通过凸形桥顶时，汽车过桥所需的向心力由重力和桥对车的支持力共同供应，由牛顿其次定律，有mg －F N ＝m v 2R ，由牛顿第三定律知，汽车对桥顶的压力与F N 等大反向，当v ＝gR 时，F N ＝0，车对桥的压力为零，可见在汽车不飞离桥面的前提下，适当增大汽车的速度，可以减小汽车对桥的压力，B 正确．3．(多选)如图所示，小物块位于放于地面的半径为R 的半球的顶端，若给小物块一水平的初速度v 时小物块对半球刚好无压力，则下列说法正确的是( )A ．小物块马上离开球面做平抛运动B ．小物块落地时水平位移为2RC ．小物块沿球面运动D ．小物块落地时速度的方向与地面成45°角解析：选AB.小物块在最高点时对半球刚好无压力，表明从最高点开头小物块即离开球面做平抛运动，A 对，C 错；由mg ＝m v 2R 知，小物块在最高点的速度大小v ＝gR ，又由于R ＝12gt 2，v y ＝gt ，x ＝vt ，故x ＝2R ，B 对；tan θ＝v yv＝2，θ>45°，D 错．4.如图所示，天车下吊着两个质量都是m 的工件A 和B ，整体一起向左匀速运动．系A 的吊绳较短，系B 的吊绳较长，若天车运动到P 处突然停止，则两吊绳所受拉力F A 、F B 的大小关系是( )A ．F A >FB >mg B ．F A <F B <mgC ．F A ＝F B ＝mgD ．F A ＝F B >mg解析：选A.当天车突然停止时，A 、B 工件均绕悬点做圆周运动．由F －mg ＝m v 2r ，得拉力F ＝mg ＋m v 2r ，故知A 项正确．5．无缝钢管的制作原理如图所示，竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，铁水紧紧地掩盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管．已知管状模型内壁半径为R ，则下列说法正确的是( )A ．铁水是由于受到离心力的作用才掩盖在模型内壁上的B ．模型各个方向上受到的铁水的作用力相同C ．若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力供应向心力D．管状模型转动的角速度ω最大为g R解析：选C.铁水是由于离心作用掩盖在模型内壁上的，模型对它的弹力和重力的合力供应向心力，选项A错误；模型最下部受到的铁水的作用力最大，最上方受到的作用力最小，选项B错误；最上部的铁水假如恰好不离开模型内壁，则重力供应向心力，由mg＝mRω2，可得ω＝gR，故管状模型转动的角速度ω至少为gR，选项C正确，D错误．6．(多选)宇航员在绕地球匀速运行的空间站做试验．如图，光滑的半圆形管道和底部粗糙的水平AB管道相连接，整个装置安置在竖直平面上，宇航员让一小球(直径比管道直径小)以肯定的速度从A端射入，小球通过AB段并越过半圆形管道最高点C后飞出，则()A．小球从C点飞出后将做平抛运动B．小球在AB管道运动时不受摩擦力作用C．小球在半圆管道运动时受力平衡D．小球在半圆管道运动时对管道有压力解析：选BD.空间站中处于完全失重状态，所以小球处于完全失重状态，故小球从C点飞出后不会落回“地”面，故A错误；小球在AB管道运动时，与管道没有弹力作用，所以不受摩擦力作用，故B正确；小球在半圆管道运动时，所受合外力供应向心力，受力不平衡，故C错误；小球在半圆管道运动时受到管道的压力供应向心力，所以小球在半圆管道运动时对管道有压力，故D正确．7．乘坐如图所示游乐园的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动，下列说法正确的是()A．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人肯定会掉下去B．人在最高点时对座位仍可能产生压力，但压力肯定小于mgC．人在最高点和最低点时的向心加速度大小相等D．人在最低点时对座位的压力大于mg解析：选D.过山车上人经最高点及最低点，受力如图，在最高点，由mg＋F N＝m v21R 可得：F N＝m⎝⎛⎭⎫v21R－g①在最低点，由F N′－mg＝m v22R 可得：F N′＝m⎝⎛⎭⎫v22R＋g②由支持力(等于压力)表达式分析知：当v1较大时，最高点无保险带也不会掉下，且还可能会对轨道有压力，大小因v1而定，所以A、B均错误．上、下两处向心力大小不等，向心加速度大小也不等(变速率)，所以C错误；又由②式知最低点F N′>mg，所以D正确．8.(2021·鹤岗高一检测)如图所示，有一质量为M的大圆环，半径为R，被一轻杆固定后悬挂在O点，有两个质量为m的小环(可视为质点)，同时从大环两侧的对称位置由静止滑下．两小环同时滑到大环底部时，速度都为v，则此时大环对轻杆的拉力大小为()A．(2m＋M)g B．Mg－2mv2RC．2m⎝⎛⎭⎫g＋v2g＋Mg D．2m⎝⎛⎭⎫v2R－g＋Mg解析：选C.设在最低点时大环对小环的支持力为F N，由牛顿其次定律F N－mg＝mv2R，解得F N＝mg＋mv2R.依据牛顿第三定律得每个小环对大环的压力F′N＝mg＋mv2R.由大环受力平衡得，此时大环对轻杆的拉力F T ＝2m⎝⎛⎭⎫g＋v2R＋Mg，C正确．9．在高速大路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看成是做半径为R的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于()A.gRhL B.gRhdC.gRLh D.gRdh解析：选B.对汽车受力分析，如图所示，则有mv2R＝mg cot θ＝mg hd，故v＝gRhd，B正确．10.(2022·高考安徽卷)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2.则ω的最大值是()A. 5 rad/sB. 3 rad/s。
精准备考(第33期)——竖直面内圆周运动-2023届高考真题分类整合与培优强基试题精选
精准备考（第33期）——竖直面内圆周运动一、真题精选（高考必备）1．（2015·福建·高考真题）如图，在竖直平面内，滑道ABC关于B点对称，且A、B、C 三点在同一水平线上．若小滑块第一次由A滑到C，所用的时间为t1，第二次由C滑到A，所用时间为t2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的动摩擦因数恒定，则( )A．t1＜t2B．t1=t2C．t1＞t2D．无法比较t1、t2的大小2．（2013·上海·高考真题）秋千的吊绳有些磨损．在摆动过程中，吊绳最容易断裂的时候是秋千A．在下摆过程中B．在上摆过程中C．摆到最高点时D．摆到最低点时3．（2021·浙江·高考真题）质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示，对该时刻，下列说法正确的是（）A．秋千对小明的作用力小于mgB．秋千对小明的作用力大于mgC．小明的速度为零，所受合力为零D．小明的加速度为零，所受合力为零4．（2015·全国·高考真题）某物理小组的同学设计了一个粗制玩具小车通过凹形桥最低点时的速度的实验.所用器材有：玩具小车、压力式托盘秤、凹形桥模拟器（圆弧部分的半径为R=0.20m）.完成下列填空：(1)将凹形桥模拟器静置于托盘秤上，如图（a）所示，托盘秤的示数为1.00kg；(2)将玩具小车静置于凹形桥模拟器最低点时，托盘秤的示数如图（b）所示，该示数为_____kg;(3)将小车从凹形桥模拟器某一位置释放，小车经过最低点后滑向另一侧，此过程中托盘秤的最大示数为m；多次从同一位置释放小车，记录各次的m值如下表所示：序号12345m（kg） 1.80 1.75 1.85 1.75 1.90(4)根据以上数据，可求出小车经过凹形桥最低点时对桥的压力为_____N；小车通过最低点时的速度大小为_______m/s.（重力加速度大小取9.80m/s2 ，计算结果保留2位有效数字）5．（2013·福建·高考真题）如图所示，一不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量m=1.0kg的小球．现将小球拉到A点（保持绳绷直）由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点．地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知绳长L=1.0m，B点离地高度H=1.0m，A、B两点的高度差h=0.5m，重力加速度g 取10m/s2，不计空气阻力影响，求：（1）地面上DC两点间的距离s；（2）轻绳所受的最大拉力大小．二、强基训练（高手成长基地）1．（2020·浙江衢州·高二期中）利用双线可以稳固小球在竖直平面内做圆周运动而不易偏离竖直面，如一根长为2L细线系一质量为m小球，两线上端系于水平横杆上，A、B两点相距也为L，若小球恰能在竖直面内做完整的圆周运动，则小球运动到最低点时，每根线承受的张力为（）A．6mg B．C．5mg D2．（2017·福建·泉州市教科所高一期末）（多选）如图所示，轻杆长为L，一端可绕水平轴O 自由转动，另一端固定一个小球．小球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动，且能通过最高点，用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力，g为重力加速度．下列说法正确的是A．F一定等于零BC．若小球通过最高点的速度为F为拉力D3．（2021·安徽·定远县育才学校高一阶段练习）（多选）如图所示，在粗糙水平板上放一个物体，使水平板和物体一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd 为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，则（）A．物块始终受到三个力作用B．只有在a、b、c、d四点，物块受到合外力才指向圆心C．从a到b，物体所受的摩擦力先减小后增大D．从b到a，物块处于超重状态4．（2022·上海·高一）如图所示，A点距水平面BC的高度h=1.25m，BC与圆弧轨道CDE相接于C点，D为圆弧轨道的最低点，圆弧轨道DE对应的圆心角θ=37°，圆弧的半径R=0.5m，圆弧和倾斜传送带E F相切于E点，EF的长度为l=5m，一质量为m=1kg的小物块从A点以v0=5m/s的速度水平抛出，从C点沿切线进入圆弧轨道，当经过E点时，物体受到圆弧的摩擦力f=40N，随后物块滑上传送带EF，已知物块与圆弧上E点附近以及传送带EF间的动摩擦因数μ均为0.5，重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：（1）物块做平抛运动时水平方向的位移BC的长度；（2）物块到达E处时速度的大小；（3）若物块能被送到F端，传送带顺时针运转的速度应满足的条件及物块从E端到F端所用时间的范围。
高中物理新教材同步必修第二册 第6章圆周运动 圆周运动2 第2课时 向心力的分析和向心力公式的应用
2.一般的曲线运动 曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力 关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理. (1)合力方向与速度方向夹角为锐角时，力为动力，速率越来越大. (2)合力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小.
针对训练2
如图7所示，某物体沿
1 4
光滑圆弧轨道由最高点滑到最低
点过程中，物体的速率逐渐增大，则
A.物体的合力为零
B.物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C.物体的合力就是向心力
√D.物体的合力方向始终不与其运动方向垂直(最低点除外)
图7
解析 物体做加速曲线运动，合力不为零，A错误；
物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心(最低点除外)，合力 沿半径方向的分力等于向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大， 即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向的夹角始终为锐角，合力 与速度不垂直，B、C错误，D正确.
(2)小球到达最低点时绳对小球的拉力的大小.
答案 3 N 解析 由(1)可知，小球到达最低点时，绳的拉力和重力的合力提供向心力， FT－mg＝mvr2 则 FT＝mg＋mvr2＝3 N.
二、变速圆周运动和一般的曲线运动
导学探究
荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千由上向下荡时：
(1)此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
6.“歼－20”是我国自主研发的一款新型隐形战机，图3中虚曲线是某次
“歼－20”离开跑道加速起飞的轨迹，虚直线是曲线上过飞机所在位置
的切线，则空气对飞机作用力的方向可能是
专题 水平面和竖直面内圆周运动的临界问题(课件)-高中物理(人教版2019必修第二册)
①在水平面内做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动
的趋势（半径有变化）。这时要根据物体的受力情况，判断某个力是否存在以及这
个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。
②三种临界情况：
ⅰ．接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力FN＝0。
ⅱ．相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，
向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大
且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．
图(c)：两个物体分处转动中心两侧时，临界条件为两物体同时发生相对滑
动，且摩擦力方向同向．
例题1、小物块放在旋转圆台上，与圆台保持相对静止，如图所示，物块与圆台间
的动摩擦因数为μ，离轴距离为R，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求当圆台角
由牛顿第二定律得：
故
由此可知：弹力FN的大小和方向随着经最高点时速度v的大小的变化而变化。
(1) 临界条件：当 v＝0 时，FN＝mg(FN 为硬杆或管壁对小球的支持力)．
故小球过做最高点的条件为：在最高点的速度 v≥0
(2)当 0＜v＜ gr时， FN 表现为支持力，方向竖直向上，FN 随 v 增大而减
过山车
水流星表演
思考：为什么在最高点时过山车没有掉下来？
为什么杯子倒过来的时候水没有流出来？
02
竖直面内圆周运动的临界问题
竖直平面内的圆周运动，一般情况下是变速圆周运动，物体能否通过最
高点是有条件的。
1、轻绳（或内轨道）——小球组成无支撑的物理模型（称为“轻绳模型”）
其中：r=l•sin30°
解得：ωmax=3.16 rad/s
【知识详解】物理必修二5.6向心力
第五章运动的描述第六节向心力【知识点详细解析】知识详解一、物体做匀速圆周运动的条件要点诠释：物体做匀速圆周运动的条件：具有一定速度的物体，在大小不变且方向总是与速度方向垂直的合外力的作用下做匀速圆周运动。
说明：从物体受到的合外力、初速度以及它们的方向关系上探讨物体的运动情况，是理解运动和力关系的基本方法。
知识详解二、关于向心力及其来源1、向心力要点诠释（1）向心力的定义：在圆周运动中，物体受到的合力在沿着半径方向上的分量叫做向心力.（2）向心力的作用：是改变线速度的方向产生向心加速度的原因。
（3）向心力的大小：22vF ma m mrrω===向向向心力的大小等于物体的质量和向心加速度的乘积；对于确定的物体，在半径一定的情况下，向心力的大小正比于线速度的平方，也正比于角速度的平方；线速度一定时，向心力反比于圆周运动的半径；角速度一定时，向心力正比于圆周运动的半径。
如果是匀速圆周运动则有：22222244vF ma m mr mr mr fr Tπωπ=====向向（4）向心力的方向：与速度方向垂直，沿半径指向圆心。
（5）关于向心力的说明：①向心力是按效果命名的，它不是某种性质的力；②匀速圆周运动中的向心力始终垂直于物体运动的速度方向，所以它只能改变物体的速度方向，不能改变速度的大小；③无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心力总是变力，但是在匀速圆周运动中向心力的大小是不变的，仅方向不断变化。
2、向心力的来源要点诠释（1）向心力不是一种特殊的力。
重力(万有引力)、弹力、摩擦力等每一种力以及这些力的合力或分力都可以作为向心力。
（2）匀速圆周运动的实例及对应的向心力的来源 (如表所示)：知识详解三、匀速圆周运动与变速圆周运动的区别1、从向心力看匀速圆周运动和变速圆周运动要点诠释：（1）匀速圆周运动的向心力大小不变，由物体所受到的合外力完全提供，换言之也就是说物体受到的合外力完全充当向心力的角色。
例如月球围绕地球做匀速圆周运动，它受到的地球对它的引力就是合外力，这个合外力正好沿着半径指向地心，完全用来提供月球围绕地球做匀速圆周运动的向心力。
(竖直面)向心力的实例分析
过山车
复习：
向心力可能是 重 力，可能是 弹 力， 也可能是 摩擦 力，还可能是它们的 合力 。
N T
G O
ω
Ｆ
N
Ｇ
f G
【 思考】： 1.汽车驶过拱桥顶部和驶过凹形桥底部时 向心力由哪些力来提供？
2.“过山车”驶过轨道最高点时
向心力由哪些力来提供？
【问题1】：
汽车过拱形桥时， 汽车对拱形桥的压力等于汽车所受的重力吗？ 汽车行驶在拱形桥容易爆胎 还是行驶在凹形桥容易爆胎呢
在杂技水流星表演中， 水在最高点时都没有流出来， 这是为什么呢？
简化的模型 ——轻绳系着一小球在竖直平面内做圆周运动。
背景问题2：水流星
杂技表演中有一个“水流星”的节目：在一只水杯 中装上水，然后让桶在竖直平面内做圆周运动，水不会 洒出来。这是为什么？
解析： 当水杯运动到最高点的时候，如果水没有洒 出来，那么在其他位置上水也不会洒出来。 所以选取最高点为研究对象。
B
车速至少为(
A.15m/s C.25m/s
)
B.20m/s D.30m/s
N
G
解析：当v= 10m / s 时，对车受力分析如图所示 v2 mg - N = m 解得：R=40m R 当汽车对顶部恰好没有压力时，重力提供汽车做圆周运动的向心力
2 mv1 mg 解得：v1= 20 m s R
【问题2】：
rg
—小球能过最高点的最小速度
（临界速度）
v rg
（脱离原轨道）
想一想：游乐园里的过山车用的又是什么原理呢？
4.过山车：
在游乐场里，惊险有趣的项目之一就是过山车， 如右图，当你看到乘客头朝下高速飞行的时候， 为什么不用担心乘客会从过山车上栽下来
向心力的实例分析
如果 v gr ，轻绳对 小球存在拉力。 如果 v gr ，小球无法 到达圆周的最高点
例：如图，在“水流星”表演中，绳长为1m， 水桶的质量为2kg,若水桶通过最高点的速度 为4m/s，求此时绳受到的拉力大小。
v r
2、轻杆作用下的竖直面的圆周运动（杆的模型）
如图所示轻杆栓一小球,在竖直面做圆周运动。求： 经过最高点的线速度需要多大?
问题情境：
汽车过拱桥
质量为m的汽车在拱形桥上以速度v行驶，若桥面的圆 弧半径为r，试画出受力分析图，分析汽车通过桥的最高 点时对桥面的压力？
a：选汽车为研究对象 b：对汽车进行受力分析：受到重力和桥 对车的支持力
c：上述两个力的合力提供向心力、 且向心力 方向向下
d：建立关系式：
2 v F向 mg N 即mg N m r
1、轻绳作用下的竖直面的圆周运动（绳的模型）
如图所示轻绳栓一小球,在竖直面做圆周运动。求： 经过最高点的线速度至少需要多大?
解：在最高点F向=G+T, 即G+T=mv2/r T=mv2/r-mg≥0 小球经过最高点的速度：
线或绳
v0 ≥ gr
线或绳
当 v gr时，细绳对 小球没有拉力作用。向心 力只由小球所受重力提供。
e:又根据牛顿第三定律，所以
2 v N N mg m r
且
N mg
v N mg m r
2
失重现象
试讨论上面情况中，汽车行驶的速度越大，汽车对桥的压力 如何变化；当汽车对桥的压力刚好减为零时，汽车的速度有 多大．当汽车的速度大于这个速度时，会发生什么现象?
2、请你根据上面分析汽车通过凸形桥的思路，分析 一下汽车通过凹形桥最低点时对桥的压力（如图）。 这时的压力比汽车的重力大还是小？
向心力 课件-高一物理人教版(2019)必修第二册
B．运动周期TA>TB
C．它们受到的摩擦力fA>fB
G
D．筒壁对它们的弹力NA>NB
牛二：确定圆心/半径→受力分析→（分解）→x轴/y轴列式
拓展：增大转速，f 和 N 如何改变？
二、牛二应用
4．(多选)如图所示，物块在水平圆盘上，与圆盘一起绕固定轴匀速运动．下列说法
中正确的是( ) A．物块处于平衡状态 B．物块受三个力作用
mg
方法：对象→圆（水平、竖直）→圆心→受力分析
一、课前练习
2、如图所示，质量相等的A、B两物体(可视为质点)放在圆盘上，到圆心的距离之比 是3：2，圆盘绕圆心做匀速圆周运动，两物体相对圆盘静止．则A、B两物体做圆周 运动的向心力之比为( ) A.1：1 B. 3：2 C. 2：3 D. 4：9 要点：寻找合适的公式 方法：控制变量法
(1)物块做平抛运动的初速度大小v0； (2)物块与转台间的动摩擦因数μ. 牛二：确定圆心/半径→受力分析→（分解）→x轴/y轴列式
二、牛二应用
5、质量为m的小球做圆锥摆时，细绳长 L，与竖直方向成 θ 角，求小球做匀速圆周
运动的拉力大小和角速度 ω 。
结论：圆锥摆角速度仅与摆球距离绳子结点的高度h有关
X轴：
G
三、课堂练习
5、图甲为游乐场中一种叫“魔盘”的娱乐设施，游客坐在转动的魔盘上，当魔盘转
速增大到一定值时，游客就会滑向盘边缘，其装置可以简化为图乙．若魔盘转速缓
慢增大，则游客在滑动之前
()
A．游客受到魔盘的摩擦力缓慢增大
B．游客始终处于平衡状态
C．游客受到魔盘的支持力缓慢增大
D．游客受到的合外力大小不变
平衡状态：匀速直线和静止 运动分析，牛二列式
向心力来源分析-水平面和竖直面(高阶)解析
第一类:水平面内，物体做匀速圆周运动. ω N ω N m f F m mg mg
⑴μ≠0
、
⑶弹簧原长Ｌ0，r＞L0， （2）ω＜ω0时，f方向背离圆心： μ≠0 分析f的可能方向 kX－f=mω22(L0+X)
f=m ω2r kX=m ω2(L0+X) ω N 临界态: kX=mω02(L0+X) F m （1）ω＞ω0时，f方向指向圆心： mg kX+f=mω12(L0+X)
mg
2
ｍ 。 １ a ｍ
2
N
V
N1 。 a m1g
N 。 N1/ m2 g
a
(m1+m2)g
Ｒ
.o
⑴Ｖ≤
Rg
整体：(m1+m2)g－N=(m1+m2)V2/R 对m1：m1g－N1=m1V2/R 对m2：m2g+N1/－N=m2V2/R
ｍ V
LT 。 o1gsinθ m m1gsinθ
N θ
T1 θ m1gsinθ
Ｂ Ｌ F 2 V
mg
练习. 1．汽车过凸桥顶端、凹桥底端时 N 。 R V
N
R mg
2 .飞机在竖直面内做匀速圆周运动,飞行员在最 低点、最高点的受力. R N
V
R
V2 mg N m R
。
V
V N mg m R
mg
2
。
N mg
2
V
V mg N m R
V N mg m R
T=mg提供。
M
r
⑵ ω↑, M所需的向心力
m
F需＝Mω2r 增加 mg不足以提供M所需的向心力,故M将做离心运动。
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•V
•A. ∑F法=mω2r
•B. ∑F法＝0
•V
•C. ∑F法＜mω2r
•D.∑F法＞mω2r
•V
•o•∑F法(F提)
•V
二.连接体
•例1. 解：•设每根绳长为
•分L别取两球为对象：
•受力如图。
•ω相 同•故T1=mω2×2L
•T2 －
T1=mω2
•故
•N
•N
•L
•L
•T •T1/ •T1
2 •m
，
• 是否物体需要的向心力越大就一定先滑 动？
例
•解3 ：•.A. 三者ω相
同•，由a= ω2r∝r •故aB最大.
•B. 三者都做匀速圆周运动，
•ω
•Ｃ Ａ Ｂ
•则： F提＝ F需 •故f=mω2r ∝mr
•故 fA：fB ：fC=mArA ： mBrB ：mCrC •=2m×r ：m×2r ：m×r
向心力来源分析水平面和竖 直面
•ω
•f
•m •N ••mＲ
•⑷g
•N=m ω2R
•f••MN2
2 •Mg
•ω
•f
1•L
•N1
•m
•mg
•μmg+μMg=mω2 L
•（5）μ≠0，允许的最大角速度
•ｒ•T
•ω
•m •T
2
•m2
•（6）最大角g 速度
•
最小角速度
•N •①对
•m
•1m1g
•m1:对T=mm2: 1Tω=2mr 2g•故 m2g=m1ω2r •②f=0为临界•:m2g=m1ω02
•m
g
g
二.动态分析
•例 2•.⑴ •M所需的向心力由
T=mg提供。
•M •r
•⑵
•M所需的向心力
•m
ω↑, •F需＝Mω2r 增加
•mg不足以提供M所需的向心力,故M将做离心运动
。
•⑶M稳定，则F提＝ F需 •即：mg=M
ω2r •mg、M 一定
•故
，
•⑷M稍偏离上述位置 •M将做向心或离心运动。
•V •mg
。
•N
•a•１•••ｍｍ。 •V
2• •(m1+m2)g
•Ｒ •.
•N1 •。•a
•m1g
•⑴Ｖ o
≤
•整体：(m1+m2)g－ N•对=m(m1：1+mm12g)－V2N/R1=m1V2/R
•对m2：m2g+N1/－ N=m2V2/R
•N
•。 •a •/•Nm12g
•T1
•m
•。g •L
•T1
•V •m
•由
•V1↓，T1↓
•m
•当T1=0时有 • mg
Vmin
＝
•∴ g
•⑶最低点：球受力如图 。同理
例3.轻杆长L，球m，在竖直面圆周运动 •N
•解 •⑴•由于杆的支撑，故Vmin=0 •V
： ∴N－mg=0
•m
•⑵当只重力恰好提供向心力 时，杆、球间无作用力。
•ω＞ω0时，r f方向指向圆心
：•m2g＋fm=m1 ωmax2r
•ω＜ω0时，f方向背离圆心
•①μ=0 •②μ≠0
：•m2g－fm=m1 ω 2r
•N •θ
•F合 •（7）飞机在水平 •mg 面盘旋Ｖ、Ｒ、ｍ.
•mgtg θ=m V2/R
•ω •r
••θT•L
•m
•（9
•F合 •mg
）•mgtg θ=•m ω2(r+Lsin
•θTcosθ=m•gg
•故cosθ=•ω2L •ω↑如何
•ω
•Y
•θ •T0
•F合 •m •X
•θ
•m
•T•1θ
•θ •T •m
•（10）两绳g 均长Ｌ、2
g
•
注意临界问题
•临 •mgtgθ=m
界： ω02Lsinθ •ω＞ •下面的绳出现拉力
•ωT10s：inθ+：T2sinθ=m ω•T21Lcsoinsθθ-T2cosθ-mg=0
•y
•ω •x
•N
•m
•θ
•T •m
g
•（11）绳长Ｌ、夹
角θ、μ=0、
•Tcosθ=m ω2Lcosθ
•N—Tsinθ—mg=0
•X•ω•θ••f•Lθ•••Yθm•N
•m •（12）斜面μg ≠0
•fsinθ-Ncosθ=m
ω •Fc2oLsiθnθ+Nsinθ-m g=0
向心运动与离心运动
θ)
•N •F合
•θ•mg
•（8）火车转弯 ：Ｒ、Ｖ、ｍ。
•向心力的来源
： •T与mg的合力 •或T的水平分 力。
•///////////////
///
•θ •T
•F合
•mg
•补：圆锥摆，摆长L，摆 线与竖直θ，摆球角速度
•mgtg θ=m •ω或2正Lsi交nθ分解 ：•Tsinθ=mω2Lsin
•刚过Ｂ点，重物做圆周运 动•，F2－mg＝mV2/L
•故 F2＝mg＋mV2/L
•V
0
•Ｂ •Ｌ •F2
•V
•m g
练习. 1．汽•N车过•V凸桥顶端、凹•桥R 底•端。•N时
•R •mg
• 。
•V •mg
•2 .飞机在竖直面内做匀速圆周运动,飞行员在
最低点、最高点的受力.
•V
•R •N
•N
•R • •mg
g
•。
•L •V
• mg
•故
•m
•⑶＝当
时，只重力提供的向心力Βιβλιοθήκη 不够，杆对球出现拉力。•V
•m
•∴
•当
时，重力提供的向心
•L •。g•T
力太大，杆对球出现支持力。
•故
例4．如图：天车吊着重物ｍ以做匀速运动。轻
绳长Ｌ，当物体刚到Ｂ点时天车突然停止，则
物刚到Ｂ点时绳的拉力为
，刚过Ｂ点
时，绳的拉力为
。
•解 •先匀速，刚到Ｂ点， ： 重物平衡，•故F1=mg
•=2 ：2 ：1 •故fC最小
•C、D .判断哪个先滑动：
.
•静摩擦力给三者提供的最大向心加速度相同：a=μg
•B物体需要的向心加速度最大， 故B先滑动
• 第一类．物体在水平面内做匀速圆周运
• 第动.二类. 物体在竖直面内的圆周运动
例2.(绳拴小球)
•⑴最高点：球受力如图
。
•且F提=F
•故
需。
•⑵球到最高点的速率最小，