线性代数知识点总结复习整理

第二章 矩阵
1.矩阵
A
a11
a21
a12
a22
a1 a2
n n
am1
am1
amn
行列式是数值，矩阵是数表， 各个元素
组成 方阵 ：行数与列数都等于 n 的矩阵 A。 记作：An。 行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。 同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。 相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。
4. 行列式按行（列）展开 余子式 在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第i 行和第 j 列划去后， 留下来的 n 1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作 Mij 。
代数余子式 记 Aij 1i j Mij ，叫做元素 aij 的代数余子式。
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除（i，j）(i, j) 元外 aij 都为零，那么这行列式等于 aij 与它的代数余子式的乘积，即 D aij Aij 。 （高阶行列式计算首先把行列上的元素尽可能多的化成 0，保留一个 非零元素，降阶）
线性代数知识点总结 第一章 行列式
a11 a12 a1n
1.
n 阶行列式 D
a21
a22
a2n
1 a a a p1p2pn
t p1 p2pn
1 p1 2 p2
npn
an1 an2 ann
2.特殊
行列式
a11 a12 a1n
D
0
a22
a2 n
1 t12n a11a 22 a nn a11a 22 a nn
0 0 ann
1
2
12 n ，
1
2
n n 1
1 2 12 n
n
n
3.行列式的性质
a11 a12 a1n
a11 a 21 a n1
定义
记D
a21
a22
， a 2 n
DT
a12
a22
a n 2 ，行列式 DT 称为
an1 an 2
ann
a1n a 2 n a nn
行列式 D 的转置行列式。
且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。
3。对于 n 阶方阵 A 和 B，若 AB=BA，则称 A 与 B 是可交换的。
矩阵乘法的运算规律
1 ABC ABC ；
2 AB A B AB
3 A B C AB AC ， B C A BA CA 4 AmnEnn Emm Amn Amn 5 若 A 是 n 阶方阵，则称 Ak 为 A 的 k 次幂，即 Ak AAA ，并且
性质 1 行列式与它的转置行列式相等。
性质 2 互换行列式的两行 ri rj 或列ci cj ，行列式变号。
推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为
零。
1
性质 3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k(rj k) ，等于 用数 k 乘此行列式；
推论 1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到 D 的外面;
推论 2 D 中某一行（列）所有元素为零，则 D=0。
性质 4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则
a11 a12 (a1i a1i ) a1n a11 a12 a1i a1n a11 a12 a1i a1n
D
a21
a22
(a2i a2i)
a2n
a21
a22
a2i
b1
j
ai1 ai2 ais
b2 j
ai1b1 j
ai2b2 j
aisbsj
s aikbkj ，i 1, 2,m; j 1, 2,, n
k 1
，
bsj
并把此乘积记作 C AB
4
注意
1。A 与 B 能相乘的条件是：A 的列数＝B 的行数。
2。矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下， AB BA ，而
am2 bm2
a1 a2
n n
b1 n b2 n
amn
bmn
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。
矩阵加法的运算规律
1 A B B A ； 2 A B C A B C
3设矩阵 A
aij
mn
,
记
A
(aij ) mn
a11
a21
a12
a22
a2n
a21
a22
a2i
a2n
an1 an2 (ani ani ) ann an1 an2 ani ann an1 an2 ani ann
性质 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列
(行)对应的元素上去，行列式的值不变。
计算行列式常用方法：①利用定义；②利用运算 ri krj 把行列式化为 上三角形行列式，从而算得行列式的值。
1 A A ；2 A A A ； 3 A B A B 。
矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。
矩阵与矩阵相乘 设 B (bij ) 是一个 m s 矩阵，B (bij ) 是一个 s n 矩阵，
那 么 规 定 矩 阵 A 与 矩 阵 B 的 乘 积 是 一 个 m n 矩 阵 C (cij ) ， 其 中
2
定理
a11 a12 a1n
n 阶行列式
D
a21
a22
a2 n
等于它的任意一行（列）的各
an1 an2 ann
元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain ，
(i 1, 2,, n) 或D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ， ( j 1, 2,, n) 。
单位阵：主对角线上元素都是 1，其它元素都是 0，记作：E 注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行 列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数 可以不同。 2. 矩阵的运算
3
矩阵的加法
A
B
a11 b11
a21 b21
am1
bm1
a12 b12 a22 b22
a1n
a2 n
，
A
称为矩
am1
am1
amn
阵 A 的负矩阵
4 A A 0, A B A B 。
数与矩阵相乘
数与矩阵A的乘积记作 A或A ,规定为 A
A
a11
a21
a12
a22
源自文库
a1 n a2 n
am1
am1
amn
数乘矩阵的运算规律（设 A、B 为 m n 矩阵， , 为数）