应用题-第2讲二竞赛班教师

第二讲 应用题（二）

一、 基础知识

工程问题

有关计算单位时间(1天、1小时、1分钟等)内的工作量(即工作效率),以及完成一定的工作量所需要的时间(即工作时间),与在一定时间内所完成的工作量(即工作总量)的问题叫做工程问题.

关于工程问题的关系式是:

工作效率×工作时间＝工作总量

工作总量÷工作时间＝工作效率

工作总量÷工作效率＝工作时间

在工程问题中,若对于工作总量与工作效率没有说明具体的数量,那么我们通常把工作总量看作单位1.

几种物质按照预定的计划混合在一起,计算所取各物质的重量(或体积)所占的百分数与混合物中各元素所占的百分数等问题,叫做混合物问题.要根据混合前所取各物质的重量(体积)的和等于混合后总重量(体积)及混合前所取某一元素的重量(体积)和等于混合后这一元素的总重量(体积)找等量关系,列出方程.

溶液问题的基本关系式是:

溶液＝溶质＋溶剂

溶质＝溶液×浓度

浓度＝溶质÷溶液

溶液＝溶质÷浓度

二、 例题

第一部分 工程问题

例1. (★★★河南中考题)有一批零件,甲、乙两人合作11天可以完成,两人合作7天后,乙另有任务,剩下的甲一人按原工效独做需要7天才能完成,为了按期完成任务,甲改进了方法,把工效提高了80%,这样不仅按期完成了任务,还多做了4件,原来的任务是多少件?

【解】:()()711%8017117141171-⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭

⎫ ⎝⎛-x x X=385

例2. (★★★华罗庚金杯赛)一农场有甲、乙两台打谷机,甲机的工作效率是乙机2倍,若甲打完全部的3

2,乙接着打,所需的时间比两台合作所需时间多4天,问各自单独打完分别需要多少天?

【解】:甲独自打需x 天,则乙需2x 天.得 32x+32x=3

2x+4 解得 x=6, 2x=2×6=12

例3. (★★★★五羊杯数学竞赛)已知甲、乙、丙三人,甲单独做一件工作的时间是乙、丙两人合作做这件工作所用时间的m 倍,乙独做的时间是甲、丙合作时间的n 倍,求丙独做的时间是甲、乙合作时间的多少倍?

【解】:设甲独做x 小时，乙y 小时。丙z 小时。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=z

x y n z y x m 1111 12111-++=+mn n m z y x

例4. (★★★华罗庚金杯赛) 甲、乙、丙三人一起加工一批零件,加工个数如下关系:甲加工的个数的2

倍与乙加工个数的3倍之和恰好是丙加工个数的倍,乙的个数与丙的个数的差恰好等于甲的 6 1

,求甲、乙、丙三人加工的零件个数之比.

【解】:设甲加工x 个，乙y 个丙z 个

⎪⎩

⎪⎨⎧=-=+x z y z y x 61832 x:y:z=6:4:3

例5． (★★上海市中考题)某厂接受一批农具定货任务，按计划天数进行生产，如果平均每天生产20件，就比订货任务少完成100件，如果平均每天生产30件，就可以超过订货量20件，问这批农具的订货任务是多少件？原计划多少天完成？

【解】:20x+100=30x-20 20⨯12+100=340（件）

x=12

例6. (★★★★★第十二届迎春杯)甲、乙、丙三工人生产同一种零件,假定甲、乙、丙三人每分钟各自生产的零件数不变.当甲工作3分钟后,乙才开始生产,乙工作3分钟后,丙才开始生产,现已知乙工作12分钟时,所生产的零件数与甲生产的零件数相同,丙工作20分钟时,所生产的零件数与甲生产的零件数相同.问:丙工作70分钟时,谁生产的零件最多? 丙工作70分钟时,谁生产的零件最多?

【解】:设甲、乙、丙每分钟生产的零件数分别为x 、y 、z 个.由题意知x

()⎪⎩

⎪⎨⎧=+==tz y t x z z y 326201512 解得t=75 ∴丙工作70分钟时,乙生产的零件最多, 丙工作80分钟时, 丙生产的零件最多

例7. (★★★★第八届希望杯)有一满池水,池底有泉水总能均匀地向外涌流,已知用24部A 型抽水机6天可抽干池水,若用21部A 型抽水机8天也可抽干池水,设每部抽水机单位时间的抽水量相同,要使这一池水永抽不干,则至多只能用多少部A 型抽水机抽水？

【解】:设每部抽水机每天抽水a 个单位,泉水每天涌出b 个单位,一满池水S 个单位,用x 部抽水机时,一满池水永远抽不干,依题意得:

⎪⎩⎪⎨⎧≤+=⨯+=⨯)3()

2(8821)1(6624 b xa S b a S b a (2)-(1)整理得b =12a ,代入(3)得12≤x .

故要使这一池水永远抽不干,至多只能用12部抽水机抽水.

第二部分 溶液问题

例8． （★★第四届希望杯）要将含盐15%的盐水20千克，变为含盐20%的盐水，需要加入纯盐多少千克？

【解】:15%⨯20+x=20%(x+20)

X=1.25

例9． （★★★第七届希望杯）在某浓度的盐水中加入“一杯水”后，得到新盐水的浓度为20%，又在新

盐水中加入与前述“一杯水”的重量相等的纯盐后，浓度变为33 33 1

%，那么原来盐水的浓度是多少？

【解】:设原盐水总重为a ，其中含盐m ，加入的“一杯水”重x ，得

20% (a+x) =m 3333

1%(a+x+x)=m+x 得a=4m 原盐水的浓度为25%.

例10. （★★★第八届希望杯）容器A 中盛有浓度为a%的农药溶液m 升,容器B 中盛有浓度为b%的同类农药溶

液m 升(a>b),先将A 中药液的 4 1

倒入B 中,混合均匀后再由B 倒溶液回A,使A 中的药液恢复为m 升,则互掺后A 、B 两容器的药量差比之前的药量差减少了多少升? 5

2（a-b ）m% 【解】:

例11. (★★★★五羊杯竞赛题)从两种重量分别为180克和90克浓度不同的盐水,倒出重量相等的两小杯,再把倒出的每小杯和另一种剩余的盐水混合在一起,得到的两种盐水浓度恰好相等,问倒出的重量是多少克?

【解】:设倒出的重量是x 克,并设第一种浓度a 是第二种浓度是b.得:

[ax+b(90-x)]/90＝[bx+a(180-x)]/180

解得x=60

例12. (★★★1997年北京市数学竞赛)要配制浓度为10%的硫酸溶液1000千克,已有浓度为60%的硫酸85千克,问需要浓度为98%的硫酸和水各多少千克?

【解】:设需用浓度为98%的硫酸x 千克,需用水y 千克.得:

⎩⎨⎧=+=++10%100060%8598%x 1000y x 85 解得⎩⎨⎧==865

50y x

答:需要浓度为98%的硫酸50千克,水865千克.

例13.( ★★★★1998年北京市数学竞赛)今有浓度为5%,8%,9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60克,60克,47克,现要配制浓度为7%的盐水100克.问:甲种盐水最多可用多少克?最少可用多少克?

【解】:设甲、乙、丙盐水分别取x 克,y 克,z 克.得

解得 35≤x ≤49

答:甲种盐水最多取49克,最少取35克.

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤=++=++47z 060y 060x 07009z 8y 5x 100z y x