余弦函数图像与性质

定义
编辑
角A的邻边比斜边叫做∠A的余弦，记作cosA（由余弦英文cosine简写得来），即cosA=角A的邻边/斜边（直角三角形）。

记作cos=x/r。

余弦是三角函数的一种。

它的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]。

它是周期函数，其最小正周期为2π。

在自变量为2kπ（k为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为(2k+1)π时，该函数有极小值-1。

余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。

2定理
编辑
简介
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即
在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以
（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；
（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边；
（3）已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。

（见解三角形公式，推导过程略。

）
性质
对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质——
（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）
第一余弦定理（任意三角形射影定理）
设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
a=b·cos C+c·cos B，b=c·cos A+a·cos C，c=a·cos B+b·cos A。

两根判别法
若记m(c1,c2）为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取
减号的值
①若m(c1,c2）=2，则有两解；
②若m(c1,c2）=1，则有一解；
③若m(c1,c2）=0，则有零解（即无解）。

注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。

角边判别法
1、当a>bsinA时
①当b>a且cosA>0（即A为锐角）时，则有两解；
②当b>a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；
③当b=a且cosA>0（即A为锐角）时，则有一解；
④当b=a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；
⑤当b<a时，则有一解
2、当a=bsinA时
①当cosA>0（即A为锐角）时，则有一解；
②当cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；
3、当a<bsinA时，则有零解（即无解）
3证明方法
编辑
平面向量证法
∵如图，有a+b=c （平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）∴c·c=(a+b）·（a+b)
∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos（π-θ）
（以上粗体字符表示向量）
又∵Cos（π-θ）=-CosC
∴c2=a2+b2-2|a||b|
Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）
再拆开，得c2=a2+b2-2abCosC
即CosC=
同理可证其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2）/(2ab)就是将CosC移到左边表示一下。

平面几何证法
在任意△ABC中
做AD⊥BC，交BC于D
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=c*cosB，AD=c*sinB，DC=BC-BD=a-c*cosB
根据勾股定理可得：
AC2=AD2+DC2
b2=(c*sinB)2+(a-c*cosB)2
b2=(c*sinB)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2
b2=(sin2B+cos2B）*c2-2ac*cosB+a2
b2=c2+a2-2ac*cosB
cosB=(c2+a2-b2）/2ac
4三角恒等变换
编辑
用其它三角函数来表示余弦
函数
两个角的和及差的余弦
二倍角公式
三倍角公式
半角公式
幂简约公式
和差化积公式
万能公式
同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系：平方关系：tanα·cotα=1 sinα·csc α=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secαsin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α1+cot2α=csc2α（六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。

”）诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。

）sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotαsin（π/2－α）=cosαcos （π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos
（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sin αcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotαsin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cotαcot（3π/2－α）=tanαsin （3π/2+α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotαsin（2kπ+α）=sinαcos（2kπ+α）=cosαtan（2kπ+α）=tanαcot （2kπ+α）=cotα(其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α+β）=sin αcosβ+cosαsinβsin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβcos（α+β）=cosαcosβ－sin αsinβcos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβtanα+tanβtan（α+β）=——————1－tanα·tanβtanα－tanβtan（α－β）=——————1+tanα·tanβ2tan(α/2) sin α=——————1+tan2(α/2) 1－tan2(α/2) cosα=——————1+tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα=——————1－tan2(α/2) 半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α－sin2α=2cos2α－1=1－2sin2α2tanαtan2α=—————1－tan2αsin3α=3sinα－4sin3αcos3α=4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α=——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式sinα－sinβ=2cos———·sin———α+βα－βcosα+cosβ=2cos———·cos———α+βα－βcosα－cosβ=－2sin ———·sin———sinα·cosβ=-[sin（α+β）+sin（α－β）] cosα·sinβ=-[sin（α+β）－sin（α－β）] cosα·cosβ=-[cos（α+β）+cos（α－β）] sinα·sinβ=—-[cos （α+β）－cos（α－β）]。