东南大学工程矩阵理论期终考试试卷09
工程矩阵理论(2009)(工科硕士)
分块矩阵的乘法规则
设 A aij , B bij s n nt
A11 A21 A A p1 A12 A22 Ap 2
将这两个矩阵分块：
B12 B1r B22 B2 r Bq 2 Bqr
A1q B11 A2 q B21 , B B Apq q1
21
例5
1 0 初等行变换 增广矩阵 0 0 1 1 1 1 0 1 1 3 4 0 0 1 11 22 0 0 0 0 0 1
1 0 初等行变换 0 0
1 0 0
5 0 1 0 14 26 0 0 1 11 22 0 0 0 0 0 4
35
例1
1.V F n 2.V 3.V 4.V 5.V 6.V F nn F [ x] Fn [ x] C, F R C, F C
36
例1（续）
7.V R, F C
8.V R , F R, 通常运算
9.V R , F R
22
例6
求齐次线性方程组的基础解系： x1 x2 x3 x4 x5 0 2 x 2 x 3 x 3 x x 0 1 2 3 4 5 3x1 3x2 x3 2 x4 4 x5 0 x1 x2 4 x3 5 x4 5 x5 0
23
例7
设A是s n矩阵，b是s维列向量。证明： 1.r ( A) r ( AH A); 2.线性方程组AH Ax AH b恒有解。
24
3.向量组的极大无关组和秩
若向量组1 , 2 , , s的部分组 i1 , i2 , ir 线性无关, 且1 , 2 , , s中每个向量均可由 i1 , i2 , ir 线性表示, 则称 i1 , i2 , ir 是向量组1 , 2 , , s的一极大无关组, 称r是 向量组1 , 2 , , s的秩。
东南大学考试卷(A卷)
个人资料整理，仅供个人学习使用1 / 5东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 自动检测技术 考试学期 08-09--2得分 适用专业 自动化考试形式 闭卷 考试时间长度 100分钟个人资料整理，仅供个人学习使用一、填空题(共36分，每题6分)1、根据被测参量与时间的关系，测量误差可分为静态误差和动态误差两大类。
(2*3’)2、常见的被测参量可分为热工量、电工量、机械量、物性和成分量、光学量、状态量。
(6*1’)3、工业检测仪表（系统）常以最大引用误差作为判断其精度等级的尺度。
(6’)4、压力传感器常见的型式有应变式、压阻式、压电式、电容式等。
(4*1.5’)5、1989年7月第77届国际计量委员会批准建立了新的国际温标，简称ITS一90。
ITS一90基本内容为：（1）重申国际实用温标单位仍为K；（2）把水的三相点时温度值定义为0.01℃（摄氏度），同时相应把绝对零度修订为-273.15℃。
(3*2’)6、流量仪表的主要技术参数有流量范围、量程和量程比、允许误差和精度等级和压力损失。
(4*1.5’)二、问答题(共42分，每题14分)1、简述测量不确定度和测量准确度两者的异同点。
答：测量不确定度与测量准确度都是描述测量结果可靠性的参数。
(4’)其区别在于：测量准确度因涉及一般无法获知的“真值”而只能是一个无法真正定量表示的定性概念；测量不确定度的评定和计算只涉及已知量，因此，测量不确定度是一个可以定量表示的确定数值。
在实际工程测量中，测量准确度只能对测量结果和测量设备的可靠性作相对的定性描述，而作定量描述必须用测量不确定度。
(10’)共3 页第 1 页2、我国国家标准规定的工业用标准热电偶有几种？其中测温上限最高的热电偶其分度号是什么？它额定测温上限温度值是多少？热电偶具有哪些特点，使它成为是工业和武备试验中温度测量应用最多的器件？答：2 / 5个人资料整理，仅供个人学习使用3 / 5我国工业用标准热电偶有8种，(2’)其中分度号为S 、R 、B 的三种热电偶均由铂、铂铑合金制成，属贵金属热电偶；分度号为K 、N 、T 、E 、J 五种热电偶，由镍、铬、硅、铜、锰、镁、钴等金属的合金制成，属贱金属热电偶。
工程数学期中试卷标准答案
武夷山职业学院2011-2012学年度第一学期《工程数学》期中考试卷（考试时间90分钟） 出卷教师：刘 俊专业 班级 学号 姓名一、 选择题（每题3分，共30分）1.在下列排列中，是奇排列的为（ A ） （A ）13524867 （B ）15324867（C ）13824567（D ）165248372.若314001xxx≠，则x 的范围为（ A ） （A ）02x x ≠≠且 （B ）02x x ≠≠或 （C ）0x ≠ （D ）2x ≠3.设111213212223313233a a a a a a a a a =1，则111112132121222331313233423423423a a a a a a a a a a a a ---=（ B ） （A ）8 （B ）-12 （C ）24 （D ）-244.若11122122a a a a =6，则121122210021a a a a -=（ B ）（A ）12 （B ）-12 （C ）18 （D ）05.设齐次线性方程 02020kx z x ky z kx y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩有非零解，则k 的值为（ A ）（A ）.2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-26.已知矩阵32A ⨯，23B ⨯，33C ⨯，则下列运算可行的是（ C ） （A ）AC （B ）BC （C ）ABC （D ）AB BC -7.若,A B 均为n 阶非零矩阵，且()()A B A B +-=22AB -，则必有（C ）（A ）,A B 为对称矩阵 （B ） AB=BA （C ）A=E （D ）B=E 8.若A 、B 均为n 阶方阵，则下列运算规律中正确的个数为（ D ）1、（AB ）-1= A -1B -12、nkA k A = 3、（AB ）T=B T A T4、（A+B ）T=B T+AT（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）39.设A 为n 阶方阵，A*是A 的伴随矩阵，则*A A 等于（ D ）（A ）2A （B ）nA （C ）2nA （D ）2n-1A10.设A 是可逆矩阵，且A+AB=I ，则A -1=（ B ）（A ）I+B （B ）(E+B)I -1（C ）B（D ）(I-AB)-1二、 填空题（每空2分，共20分）1.010111111aa+-=2.若a ，b 都为实数，则，当a = 0 ，b = 0 时，000101ab b a-=--3. A ，B 均为阶方阵，A=2B ，且A =3，则B = 3/8 .4.设A ，B ，C 为同阶方阵，且ABC=E,则1A -= BC .5.设A=0001001001001000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= Aa6.当a ≠-3 时，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a A 131可逆7.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a = 0 时，A 是对称矩阵 8.设B A ,为同阶可逆矩阵，则12-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O = 9.若矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--330204212，则r (A ) = 2三、 判断题（每题1分，共10分）1.对于任意矩阵，它的幂都有意义（ × ）2.矩阵乘法的运算规律有交换律、结合律、分配律（ × ）3.A 、B 都为n 阶方阵，若A ≠B ，则A ≠B （ × ）4.若A 、B 为同型矩阵，则(A+B)2=A 2+2AB+B 2（ × ） 5.若AB=AC ，A ≠0，则不可以推出B=C （ √ ）6.若A 2=0，则A=0（ × ）7.若A+B 可逆，则(A+B)-1=A -1+B -1（ × ） 8.若A 、B 、C 、D 分别为分块矩阵A B C D ⎡⎤⎢⎥⎣⎦中的四个子块，则这个分块矩阵的转置为TA B A C C D B D ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（ × ）9.克拉默法则只适用于方程个数与未知数个数相同的线性方程组（ √ ）10.n na a a a a a212100000000-= （ × ）四、 简答题（共40分）1. λμ问、取何值时，齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，有非零解？（12分）解：齐次线性方程组有非零解就是其系数行列式D 的值等于0……（2分）11111111(1)01210001D λλμμμλμμμλ∴===--=∴==或……（10分）2.求解矩阵方程：142081X 424181⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（13分）解：142081A =B C 424181⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭设，，，……（3分）-1-1AXB=C X=A BC 所以，， -1-1121077A B 22121714⎛⎫-⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭，……（5分） 12311810777221811521714714X ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪∴==⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……（5分） 3. 设n1210P AP P A 1402⎛⎫⎛⎫=Λ==Λ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，求（15分） 解：-1421P 2P =112-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，……（5分） -12-1-12-1n n -1A=P P ,A =P P P P =P P ,,A =P P ΛΛΛΛΛ ……（3分）1112O B A O --⎛⎫⎪⎝⎭而2n2n 1010101010,020*******⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫Λ=Λ==Λ= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，……（4分） 故n n nn n+1n+112104222211A 14021122221-⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……（3分）。
工程矩阵试卷
密
学号
自 觉 遵 守 考 场 纪 律 如 考 试 作 弊 此 答 卷 无 效
f ( X ) = XM 。
1. 证明： f 是 C 2. 求 f 在 C 线
2× 2
2×2
上的线性变换。
的基 E11 , E12 , E21 , E22 下的矩阵 A 。
2× 2
3. 求 f 的特征值及各个特征子空间的基。 4. 问：是否存在 C 的基，使得 f 的矩阵为对角阵？如存在，请给出这样的一组基及
3
{
若矩阵 A 与 B 相似, 则由(l-1)2(l-a) = |lI - A| = |lI - B| = (l-1)(l-2)(l-b)可得 a = 2, b = 1.
æ1 1 0ö æ0 0 0ö ç ÷ 此时 A 的 Jordan 标准形为 0 1 0 . B-I = ç 5 1 0 ÷ ç0 0 2÷ ç6 c 0÷ è ø è ø æ1 1 0ö 由 r(B-I) = r(A-I) = 2 得 c ¹ 6/5. 此时 B 的 Jordan 标准形也是 ç 0 1 0 ÷ . ç0 0 2÷ è ø
æ 1 7 ö , 则矩阵函数 eA 的行列式|eA| = . ÷ è9 2ø l - 1 -7 解: |lI - A| = = l2 - 3l - 61 = (l - l1)(l - l2), 其中l1 ¹ l2, -9 l - 2
4. 若矩阵 A = ç 故存在可逆阵 P 使得 P-1AP = ç 于是 P-1eAP = eL = ç
2 2
第 2 页 共 2 页
◆ 工程矩阵理论 ◆ 试题一 ◆ 答案仅供参考 ◆
试题一
一. (15%)填空题. 1. ¡ 的子空间 V = {(x, y, z) | x + y - z = 0}的一组基是 . 解: (x, y, z) Î V Û x + y - z = 0 Û x = - y + z Û (x, y, z) = (- y + z, y, z) = y(-1, 1, 0) + z(1, 0, 1), 其中(-1, 1, 0), (1, 0, 1)是 V 中线性无关的向量, 可见 V 的一组基是(-1, 1, 0), (1, 0, 1).
东南大学信号与系统期中考试试卷及答案
F { f (t )} = 2 Sa (ω ) − 2 e
'
− jω
= jω F ( jω )
2 − jω F ( jω ) = [ Sa (ω ) − e ] jω
4。 计算卷积： 2 * t[ε(t+2)-ε(t-2)] 。 （5分）
2
f1 (t )
0
−2 2
t
f 2 (t )
0 2
t
= ∫ τ [ε (τ + 2) − ε (τ − 2)]2dτ
解: 引入辅助函数q(t), 得
d 3 q (t ) d 2 q (t ) dq ( t ) 4 5 + + + 6 q (t ) = e (t ) 3 2 dt dt dt dq ( t ) r (t ) = 7 + 8 q (t ) dt
7
e (t )
Σ
q ′′′
∫
-4 -5 -6
q ′′
∫
q′
(t ) = (t ) =
e
− 2 t
− 2 c
e
− 2 t
, t ≥
在输入为零时 r(0+)= r(0-)= 0，r´(0+)= r´(0-)= 2, 代入上列二式
c1 + c 2 = 0 , → − 2 c 2 = 2 ∴ r zi ( t ) = ( 1 − e
(2)系统转移算子为：
解法2：因 e(t)=5,（-∞<t<∞），故由直流稳态解，可设 r(t)=A (常数），代入系统方程，得 5A=3x5, ∴ r(t)= A =3
3. 利用傅里叶变换的性质求下列波形信号的傅里叶 变换。 （8分）
东南大学工程矩阵理论试题及答案
et = f(1) = g(1) = c0(t) + c1(t) + c2(t), (1+t)et = f ¢(1) = g¢(1) = c1(t) + 2c2(t), 由此可得 c0(t) = 0, c1(t) = (1-t)et, c2(t) = tet, 于是有 AeAt = (1-t)etA + tetA2.
0ö æ1 1÷ø çè1
2 2
ö ÷ø
=
æ çè
0 1
0 2
ö ÷ø
=
0E11
+
0E12
+
1E21
+
2E22,
æ1 1 0 0ö
由此可见
f
在
£2´2
的基
E11,
E12,
E21,
E22
下的矩阵
A
=
ç ç ç
2 0
2 0
0 1
0÷
1
÷ ÷
.
è0 0 2 2ø
张小向@seu
2
◆ 工程矩阵理论 ◆ 试题一 ◆ 答案仅供参考 ◆
2 a -1
0
3ö 4 ÷ , r(A-I) = 0 ÷ø
1, 2,
a = 8 / 3; a ¹ 8 / 3,
æ1 0 0 ö
æ1 1 0ö
当 a = 8/3 时, A 的 Jordan 标准形为 ç 0 1 0 ÷ ; 当 a ¹ 8/3 时, A 的 Jordan 标准形为 ç 0 1 0 ÷ .
则 QHQ = I, aHQ = (1, 0, ..., 0), QHa = (1, 0, ..., 0)H,
æ1+ k 0 L 0ö
东南大学考博矩阵论复习题
2011矩阵论复习题1.设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为yx y x ⋅=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为kx x k =⊗问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由.2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为),(112211y x y x y x y x +++=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为)2)1(,(2121x k k kx kx x k −+=⊗问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由.3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim .4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,)}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈=′=证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim .5.设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有j i i T +=)(ji j T −=2)(1)确定T 在基},{j i 下的矩阵;2)若j i e −=1j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵.敬告：本资源来自网络，如有侵权，请发邮件至liwdedy@ ，收到后立即删除，谢谢!6.设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有k j k j i T −=++)(i k j T =+)(kj i k T 532)(++=1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵;2)求T 的零空间和像空间的维数.7.设线性空间3R 的两个基为(I):321,,x x x ,(II):321,,y y y ,由基(I)到基(II)的过度矩阵为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=101010101C ,3R 上的线性变换T 满足21321)32(y y x x x T +=++12323(24)T x x x y y ++=+31321)43(y y x x x T +=++1)求T 在基(II)下的矩阵;2)求)(1y T 在基(I)下的坐标.8.在线性空间)(3R P 中321)(x x x a x f +++=3221)(x x ax x f +++=32321)(x x x x f +++=讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性.9.在22R ×中求由基(I)12101A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠20122A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠32112A −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠41312A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠到基(II)11210B ⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠21111B −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠31211B −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠41101B −−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠的过渡矩阵.10.已知1(1,2,1,0)α=2(2,1,0,1)α=−1(1,1,1,1)β=−2(1,1,3,7)β=−设1212(,)(,)V L L ααββ=∩,求线性空间V 的维数和基.11.在)(2R P 中,对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为∫=10)()())(),((dx x g x f x g x f 若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram −正交化方法,求)(2R P 的一组正交基.12.求矩阵10002i A i +⎛⎞=⎜⎟⎝⎠的奇异值分解.13.设A 为n 阶实矩阵,证明A 可表示为一对称矩阵和一反对称矩阵之和.(提示:若A A T =,称A 为对称矩阵。
东南大学《工程矩阵理论》工程矩阵理论期终考试(A)
12东南大学考试卷（A）Array课程名称工程矩阵理论考试学期08-09-2 得分
适用范围工科硕士研究生考试形式闭卷考试时间长度150分钟
1．地子空间地一组基是；
2．若线性空间地线性变换在基下地矩阵是,则在基下地矩阵是；
3．如果矩阵满足,并且地秩为,则行列式；
4．若矩阵,则矩阵函数地行列式；
5．若是维单位列向量,是正定地,则参数满足条件.
二．（12%）设矩阵.讨论地可能地Jordan标准形.并问：当参数满足什么条件时,矩阵与是相似地.
三．（20%）记,上地变换定义为：对,.
1．证明：是上地线性变换；
2．求在地基下地矩阵；
3．求地特征值及相应地特征子空间地基；
4．问：是否存在地基,使得在这组基下地矩阵是对角阵？如存在,试给出这样地一组基及相应地对角阵；如不存在,请说明理由.
四．（10%）设.试将表示成关于地次数不超过2地多项式.
五．（8%）求地广义逆矩阵.
六．（15%）假设是有限维欧氏空间,是单位向量,上地线性变换定义如下：对任意,.
1.证明：是上地正交变换.
2.在中定义内积：对,.于是,成为欧氏空间.分别求中向量及地长度,并求正实数及单
位向量,使得如上地正交变换将变成.
七．证明题（20%）
1.假设是矩阵,分别是、酉矩阵.证明：.
2.假设是正规矩阵.若地特征值地模都等于1,证明：是酉矩阵.
3.假设是Hermite矩阵,其中,是地子矩阵,并且都是方阵.若是正定地.证明关于行列
式地不等式：.。
(建筑工程管理]东南大学工程矩阵理论试卷样卷及答案(修改]
![(建筑工程管理]东南大学工程矩阵理论试卷样卷及答案(修改]](https://img.taocdn.com/s3/m/06ed61b34b73f242326c5f2e.png)
（建筑工程管理）东南大学《工程矩阵理论》试卷样卷及答案(修改)工程矩阵理论试卷样卷10a壹、假如。
1、记。
证明：是的子空间。
2、若A是单位矩阵，求。
3、若，。
求这里V（A）的壹组基及其维数。
4、假如。
问：对上壹题中的和，是否为直和？说明理由。
解：1、证明子空间，即为证明该空间关于加法和数乘封闭。
即若有，，。
设，，，，是的子空间。
2、若A是单位矩阵，则，因为对单位阵I来说，恒成立，故，。
3、若，，设，有，即，，→有，故=故X的壹组基为，维数为2。
4、，即，其基为。
下面计算，若，则是直和。
=（、基的极大线性无关组），为极大线性无关组（能够不求，从上式即可见出），+不是直和。
二、假如，，于上定义变换如下：。
1、证明：是上的线性变换。
2、求于的基下的矩阵M。
3、试求M的jordan标准形，且写出的最小多项式。
4、问：能否找到的基，使得的矩阵为对角阵？为什么？解：1、有：，有←加法封闭，有←数乘封闭是上的线性变换。
2、3、M的若当标准形为，的最小多项式为4、，，基础解系为，，，，基础解系为这四个基础解系所对应的基均线性无关，故能找到找到的基，使得的矩阵为对角阵。
三、设的子空间，，求，使得。
解：思路：求V的基→由该基生成；的含义是指于V中找壹向量，使得的距离最短，即寻找于V中的正投影。
作图如右侧。
由，得V的基为，则，，或四、设，求及矩阵函数。
解：（2重根）时，，故A的jordan标准形为，A的最小多项式为。
令，（计算略）令，(太麻烦了，不算啦！)五、已知矩阵A的特征多项式及最小多项式均等于，且且矩阵。
1、分别给出A和B的jordan标准形；2、问：A和B是否相似？为什么？解：A的特征多项式及最小多项式均等于，故A的jordan标准形为：，A和B有相同的jordan标准形，故A、B相似。
六、已知矩阵，求A的广义逆矩阵。
解：对A进行分块：对进行满秩分解，对进行满秩分解，七、证明题：1、假如是欧几里德空间V中单位向量，V上的线性变换如下：对任意，（镜像变换）。
东南大学09-10-2工程矩阵理论学位考试(工程硕士)
共 ５ 页 第 页东南大学考试试卷课程名称 工程矩阵理论 考试学期 09-10-2得分适用专业工程硕士考试形式闭卷考试时间长度 120分钟）已知22⨯C的子空间1|,a a V x y C b b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭， 2|,a b V x y C b a ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬⎪--⎝⎭⎩⎭1V ，2V ，21V V ⋂，21V V +的一组基及它们的维数．（12%）在3R 的子空间{}(,,)|230W x y z x y z =-+=，(1,1,0)η=．求0W η∈，0min Wξηηηξ∈-=-．共 ５ 页 第 页四. （12%）已知矩阵101002101A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭．1. 求一个多项式()f λ，使得()Atf A Ae =；2. 求A 的广义逆矩阵+A ．五. （12%）已知矩阵,A B 的F-范数和算子2-范数分别是2,F A a A b==，2,FBc B d==，分别求分块矩阵A O M OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭的F-范数和算子2-算子． 六. （12%）设矩阵102001b c A a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，1000312B y x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭三. （14%）记11122122121101,,001111A A A A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭．已知22⨯C 上的线性变换f 满足()ij ij f E A =(,1,2)i j =． 1． 求f 在基11122122,,,E E E E 下的矩阵；2． 分别求f 的值域()R f 和核子空间()K f 的基和维数； 3． 求f 的特征多项式和最小多项式．共 ５ 页 第 页．根据参数,,,,a b c x y 讨论,A B 可能的Jordan 标准形，并问：参数满足什么条件时，矩阵A 与B 是相似的？ 七. （10%）n 维欧氏空间V 上的线性变换f 定义如下：()(,)f x ax b x ωω=-，V x ∈∀。
东南大学工程矩阵理论期终考试试卷09-10-2
一. （10％）求22⨯C的子空间12,V V 的交空间12V V ⋂及和空间12V V +的基和维数，其中，12|,,|,xy x y V x y C V x y C x y y x ⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫=∈=∈⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭． 二. （10%）欧氏空间3[]R x 中的内积定义为：对3(),()[]x x R x ϕψ∀∈，11(),()()()x x x x dx ϕψϕψ-<>=⎰。
令1α=，x β=，2x η=， (,)W L αβ=。
求η在W 中的正投影，即求0W η∈，使得0min Wξηηηξ∈-=-． 三. （20%）在22⨯矩阵空间22C ⨯上定义线性变换f 如下：对任意矩阵22X C ⨯∈，2()34a a f X a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中，a 为X 的迹()tr X 。
1. 求f 在22C ⨯的基11122122,,,E E E E 下的矩阵M ；2. 分别求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的基及维数；3. 求f 的特征值及相应的特征子空间的基；4. 问：是否存在22C ⨯的基，使得f 在这组基下的矩阵为对角阵？为什么？四. （10%）根据参数,a b 不同的值，讨论矩阵1702001a A b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的Jordan 标准形，并求矩阵100()A I -的秩。
五. （14%）假设矩阵101002101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．1. 求A 的广义逆矩阵A +；2. 求一个次数不超过2的多项式()f λ，使得()At f A Ae =． 六. （10%）假设f 是n 维酉空间V 上的线性变换，若对任意,V αβ∈，有((),)(,())f f αβαβ=。
1. 证明：在V 的标准正交基下，f 的矩阵为Hermite 矩阵；2. 证明：存在V 的一组标准正交基，使得f 的矩阵为对角阵。
七. （8%）假设s n ⨯矩阵A 的秩为r，证明22F A A A ≤≤。
2012年前所有的东南大学工程矩阵考博试卷
1. 2.
A
B
3
14%
0 1
8 6 5
A100-2A50
A
3
2 0
10%
n
A
A2=7I-6A
A+7I
r
det
A+2I
14%
f
n
V
,
V
(f ( ), )=( ,f ( ))
1. 2.
V V
f f
Hermite
26% 1. 2. A2 3. 4.
n
A A
A
1 A3=A2
A A2=A BA A Hermite a B A BA=A*A
⎛ −1 −2 6 ⎞ ⎜ ⎟ 四 (15 分)已知 A = ⎜ −1 0 3 ⎟ 。 ⎜ −1 −1 4 ⎟ ⎝ ⎠
1.求 sin At ； 2.计算 d sin At 。 dt
⎛ 1 2 1⎞ ⎜ ⎟ 五 (10 分)求矩阵 A = ⎜ 0 0 1⎟ 的 QR 分解。 ⎜ 1 2 1⎟ ⎝ ⎠
六 （10 分） 设 T 是 n 维线性空间 V 上的线性变换， 证明： T (V ) ⊆ T −1 (0) 的充要条件是 T 2 = 0 。 七 (10 分) 设 ⋅ 是 C n×n 上的 F-范数。证明：若 A < 1 , E 为 n 阶单位 阵，则矩阵 E − A 可逆，且
1 1 ≤ ( E − A) −1 ≤ 。 1− A E−A
E21=
0 0 1 0
0 1 0 0
E22=
0 0 0 1
M 3. 4. 2 2
f
R
f f
K
K
f
C2 2= R
f
12%
a
东南大学2014学年工科数学分析期中考试卷
共 4 页 第 1 页东南大学2014学年工科数学分析期中考试卷 课程名称 考试学期 得分 适用专业 选修工科数分的各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟一.填空题(本题共5小题，每小题5分，满分2 5分) 1. 交换二次积分的次序()()0112001d ,d d ,d x f x y y x f x y y -+=⎰⎰⎰ ； 2. 设函数(,)z z x y =由方程2222(,)0F x y y z --=所确定，其中(,)F u v 是可微函数， 且0v zF ≠，则z z y x x y ∂∂+=∂∂ ； 3. 二重积分2221()d d x y x y x y +≤+=⎰⎰； 4. 曲线2221,,y x z x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩在点(1,0,1)处的切线方程为； 5. 设曲线2224:1x y z Lz ⎧++=⎨=⎩，则曲线积分2s =⎰. 二．单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分) 6. ( [] (A))))cos isin - (B)))()cos isin + (C )()())cos isin - (D )()())cos isin +7. 函数2222322222, 0(,)() 0 , 0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=⎨+⎪+=⎩在)0 ,0(点处[ ]共 4 页 第 2 页 （A ）可微 （B ）连续但偏导数不存在（C ）偏导数存在但不可微 （D ）不连续且偏导数不存在8. 设,e x x z f y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中函数f 具有二阶连续偏导数，则2z x y ∂=∂∂ [ ] (A ) 21112221232e 1(1)e e x x x x f x f y f f f y y y -+-+-+ (B )21112223e (1)e xx x f x f y f y y+-+ (C )2111222132e 1e x x x f f y f f y y y ++- (D ) 211122223e e e xx x x f f y f f y y+++ 9. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数,且(1,1)2f =,(,)x f m n m n =+,(,)y f m n m n =⋅, 令()(,(,))g x f x f x x =，则(1)g '= [ ]（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分)10．计算二重积分{d ,(,)0D x y D x y x =≤≤.11．求函数2(,,)e d xy t z u x y z t -=⎰在点(1,1,1)P 处沿曲面2221236x y z ++=在该点处的法线方向的方向导数.共 4 页 第 3 页12．计算三重积分22()d xy z V Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由旋转抛物面22x y z +=与平面1=z 和4=z 围成的空间闭区域.13.计算曲面积分222A ∑⎰⎰，其中∑为上半球面z =面220(0)x y Ry R +-=>内的部分.四（14）．（本题满分8分）已知()(,)i (,)f z u x y v x y =+为解析函数，其中实部 32(,)32u x y x xy y =--，求虚部(,)v x y 及()f z （必须用变量z 表示）的表达式.共 4 页 第 4 页五（15）。
东南大学05-06-3期中高数(B)试卷(A)
共 4 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）（共4页第1页）课程名称高等数学（B ）期中考试学期 05-06-3得分适用专业 选学高数（B ）的各专业 考试形式 闭卷考试时间长度 120分钟一、 填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1．设{}{}1,4,5,1,1,2==a b ，若()()λλ+⊥-a b a b ，则λ= ； 2．函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的方向导数的最大值是 ；3．曲线22390x z y ⎧+=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程为 ；4．曲线22222241644x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩在xOy 平面上投影曲线的方程为 ； 5．幂级数()2124nnn x n ∞=-∑的收敛域为 。
二．选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分） 6．级数()1(1)1cos 0n n n λλ∞=⎛⎫--> ⎪⎝⎭∑常数 [ ]（A ） 绝对收敛；（B ）条件收敛；（C ）发散；（D ）敛散性与λ的取值有关. 7．已知两直线12412113::235324x y z x y z L L -+++--====-和，则1L 与2L [ ] （A ） 相交； （B ）异面； （C ）平行但不重合； （D ）重合.8．设二元函数(,)z x y =在点(),x y 处可微，下列结论不正确的是 [ ]（A ） (),f x y 在点(),x y 连续；（B ）(),f x y 在点(),x y 的某邻域内有界； （C ） (),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都存在； （D ）(),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都连续.共 4 页 第 2 页9．设函数2(),f x x =101,()sin ,nn x S x bn x π+∞=≤<=∑而,x -∞<<+∞其中 （第2页）102()sin d ,(1,2,...),n b f x n x x n π==⎰则12S ⎛⎫-= ⎪⎝⎭[ ](A) 12-(B) 14- (C) 14 (D) 12三．计算下列各题（本题共5小题，每小题7分，满分35分）10．求点()4,1,2A -到直线50240x y z x z -++=⎧⎨+-=⎩的距离。
08-09-2工程矩阵理论期终考试(A)(1)
共 5 页 第 1 页12东南大学考试卷（A ) 课程名称 工程矩阵理论 考试学期 08-09-2 得 分 适用范围 工科硕士研究生 考试形式 闭 卷 考试时间长度 150分钟一． （15％）填空题 1． 3R 的子空间{}(,,)|00V x y z x y z =+-==的一组基是 ； 2． 若线性空间V 的线性变换f 在基,αβ下的矩阵是1224⎛⎫ ⎪⎝⎭，则f 在基,αβαβ+-下的矩阵是 ； 3． 如果n n ⨯矩阵A 满足2A A =，并且A 的秩为r ,则行列式2A I += ； 4． 若矩阵1792A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则矩阵函数A e 的行列式A e = ； 5． 若α是n 维单位列向量,H A I k αα=+是正定的,则参数k 满足条件 。
二． (12％)设矩阵12310004,5200016A a B c b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
讨论A 的可能的Jordan 标准形。
并问当参数,,a b c 满足什么条件时，矩阵A 与B 是相似的。
共 5 页 第 2 页三． （20%)记1212M ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 22C ⨯上的变换f 定义为:对22X C ⨯∈， ()f X XM =。
1． 证明：f 是22C⨯上的线性变换；2． 求f 在22C⨯的基11122122,,,E E E E 下的矩阵A ；3． 求f 的特征值及相应的特征子空间的基；4． 问：是否存在22C⨯的基,使得f 在这组基下的矩阵是对角阵？如存在，试给出这样的一组基及相应的对角阵；如不存在，请说明理由。
共 5 页 第 3 页四． (10％)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011121000A 。
试将At Ae 表示成关于A 的次数不超过2的多项式。
五． (8％）求0010130130A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的广义逆矩阵A +。
共 5 页 第 4 页 六． （15％)假设V 是有限维欧氏空间，V ω∈是单位向量，V 上的线性变换f 定义如下：对任意V η∈,()2,f ηηηωω=-<>。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
东南大学工程矩阵理论期终考试试卷09
一、求C
中，V1=íç2´2的子空间V1,V2的交空间V1ÇV2及和空间V1+V2的基和维数，其ìæx
îèxyöüìæxyöü|x,yÎC,V=|x,yÎCý2íçý、
÷÷yøþîè-y-xøþ
二、欧氏空间R[x]3中的内积定义为：对"j,yÎR[x]3，
<j,y>=òjydx。
令a=1，b=x，h=x2， W=L。
-11
求h在W中的正投影，即求h0ÎW，使得-h0=min-x、 xÎW
三、在2´2矩阵空间C2´2上定义线性变换f如下：对任意矩阵XÎC2´2，
æa2aöf=ç÷，其中，a为X的迹tr。
è3a4aø
1、求f在C2´2的基E11,E12,E21,E22下的矩阵M；
2、分别求f的值域R及核子空间K的基及维数；
3、求f的特征值及相应的特征子空间的基；
4、问：是否存在C2´2的基，使得f在这组基下的矩阵为对角阵？为什么？
æ1a7öç÷四、根据参数a,b不同的值，讨论矩阵
A=ç02b÷的Jordan标准形，并求矩
ç001÷èø
阵100的秩。
æöç÷五、假设矩阵A=ç002÷、
ç÷èø
1、求A的广义逆矩阵A；
At
2、求一个次数不超过2的多项式f，使得f=Ae、 +
六、假设f是n维酉空间V上的线性变换，若对任意
a,bÎV，有
b,=)a )
1、证明：在V的标准正交基下，f的矩阵为Hermite矩阵；
2、证明：存在V的一组标准正交基，使得f的矩阵为对角阵。
七、假设s´n矩阵A的秩为r
，证明A2£AF£2。
八、假设A是AÎC+s´n的广义逆矩阵，证明：Cn=KÅR，其中，
K,R分别表示矩阵A的核空间和A+的值域、
九、假设A,B都n阶Hermite矩阵、
1、如果A是正定的，证明：存在可逆矩阵C，使得
CHAC,CHBC都是对角阵；
2、如果A,B都是半正定的，并且A的秩r=n-1，证明：存在可逆矩阵C，
使得CHAC,CHBC都是对角阵。