6、立方根的运算
数学中的立方与立方根运算
数学中的立方与立方根运算在数学中，立方与立方根运算是非常重要的概念和操作。
立方是指将一个数乘以自身两次的运算，而立方根则是指一个数的立方能够得到该数本身的运算。
本文将详细介绍立方与立方根的数学定义、性质以及其在实际生活中的应用。
一、立方立方是指将一个数乘以自身两次的运算，用符号表示为x³。
其中，x是所要进行计算的数。
当我们计算x³时，首先将x乘以自己，然后再将结果乘以x，最终得到的结果就是x³。
例如，3³=3x3x3=27。
从这个例子可以看出，立方运算是对一个数进行三次相乘的操作。
二、立方的性质1. 正数的立方仍然是正数，负数的立方为负数。
例如，（-2）³=-2x-2x-2=-8。
2. 0的立方等于0。
即0³=0。
3. 任意数的立方都是非负数。
这是因为一个数乘以自己两次，结果要么是正数，要么是0。
4. 小数的立方可能是一个小数。
例如，0.5的立方等于0.5x0.5x0.5=0.125。
三、立方根立方根是指一个数的立方能够得到该数本身的运算。
用符号表示为³√x。
其中，³√表示立方根的运算，x为所要进行计算的数。
立方根的计算有多种方法，包括近似计算和精确计算。
在实际应用中，常用的方法有开方法和指数对数法。
四、立方根的应用立方根在实际生活中有广泛的应用，以下是一些例子：1. 体积计算：我们知道，立方的边长表示立方体的边长，而立方的体积表示该立方体所占的空间。
因此，在计算立方体的体积时，需要用到立方根运算。
2. 加密解密：在密码学中，立方根运算被广泛应用于加密和解密算法。
通过将明文进行立方根运算，可以得到加密后的密文，而将密文进行立方运算的立方根运算，可以得到原始的明文。
3. 统计分析：在统计学中，立方根运算被用于对数据进行变换，以满足数据分布的正态性要求。
通过对数据进行立方根变换，可以减小异常值的影响，使得数据更符合正态分布的要求。
立方根号的运算法则公式
立方根号的运算法则公式
立方根计算公式：立方根计算公式是将被开方数的整数部分从个位起向左每两位分为一组,求得最高位数,用第一组数减去最高位数的平方,在其差右边写上第二组数;用求得的最高位数的20倍试除上述余数,得出试商.
设x=a^(1/2),即x^2-a=0 设曲线f(x)=x^2-a f'(x)=2x 从x=a 开始迭代,记为点(x1,x1^2-a),过此点作切线的斜率为2x1,
立方根的计算方法：
1、计算器
2、分解质因数,例如8=2*2*2,那么立方根就是2
计算立方根的公式
如何快速计算立方根. ：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫a 的立方根,也称为三次方根.也就是说,如果x³=a,那么x叫做a的立方根. 注意:在平方根中的根指数2可省略不写,但立方根中的根指数3不能省略不写.
如何计算一个数的立方根 - ：将被开方数的整数部分从个位起向左每两位分为一组; 根据最左边一组,求得平方根的最高位数; 用第一组数减去平方根最高位数的平方,在其差右边写上第二组数; 用求得的最高位数的20倍试除上述余数,得出试商.再用最高位数的20倍与...
通常用迭代公式算,收敛很快,只需几步即可.公式
为:X1=2xo/3+A/(3xo^2), A为要求立方根的数.比如求10的立方
根,A=10, 取初值xo=2 x1=2.166666667 x2=2.154503616
x3=2.154434692 而准确值为:2.154434690031880 ..因此迭代3步已经达到小数点后8位的精度了.。
立方根和开立方知识讲解
立方根和开立方【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根【要点梳理】 要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根 .这就是说，如果3x a ，那么x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方要点诠释：一个数a 的立方根，用3a 表示，其中a 是被开方数，3是根指数.开立方 和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数， o 的立方根是0. 要点诠释：任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根，并且它的符号与这个非 零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数 .要点三、立方根的性质要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题 .要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动 3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位.例如，30.000 216 = 0.06 , 3 0. 216=0.6 , 3 216=6 , 3 216000 =60.要点五、n 次方根如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ,那么这个数叫做a 的n 次方根.当n 为奇数时，这个数为 a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为 a 的偶次方根.求一个数a 的n 次方根的运算叫做开 n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数. 要点诠释：实数a 的奇次方根有且只有一个，正数a 的偶次方根有两个， 它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的n 次方根等于零，表示为 n0 0.【典型例题】 类型一、立方根的概念【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同；ca3a.A. 64的立方根是土 4 C.立方根等于本身的数只有0和111B . 是的立方根26D. 3_27327【答案】D;【解析】64的立方根是丄是 1的立方根；立方根等于本身的数只有2 80 和土 1.举一反三:【变式】(2015春？滑县期末)我们知道 a+b=0时，a 3+b 3=0也成立，若将a 看成a 3的立方 根，b 看成b 3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这 两个数也互为相反数.(1) 试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； (2) 若肝苍■与互为相反数，求1 -.・：的值.【答案】解：(1) ••• 2+ (- 2) =0, 而且 23=8, (- 2) 3= - 8,有 8 - 8=0 , •••结论成立； •••即 若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数. (2)由(1)验证的结果知，1 - 2x+3x - 5=0 , • x=4 ,• 1 - . .=1 - 2= - 1. 类型二、立方根的计算2、求下列各式的值:(2)311 43 52(4)3_27 . ( 3)2 厂-.(_1)100【答案与解析】(4) 3_27 ,( 3)2 3~【总结升华】 立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方 举一反三： 【变式】计算：(1)30.008 ； (2) J 161；V 64(3)誇1—.(4)F1F —524【答案】(1)一 0.2 ; (2)；( 3)； (4)-43类型三、利用立方根解方程”是成立的.21027(2) 3 11 43 52(3)38解：(1)3、(2015春？罗平县期末)求下列各式中x的值：(1)3(X—1) 3=24.(2)(x+1 ) 3= —64.【思路点拨】先整理成x3=a的形式，再直接开立方解方程即可.【答案与解析】解：(1) 3 ( x—1) 3=24 ,(x- 1) 3=8,x —1=2,x=3 .(2)开立方得：x+1= —4,解得：x= - 5.【总结升华】本题是用开立方的方法解一元三次方程，要灵活运用使计算简便.举一反三：【变式】求出下列各式中的a :(1)若a' = 0.343，则a = _____ ； (2)若a‘ 一3= 213,则a = _____；3 3(3)右a + 125= 0,贝V a = ______ ； (4)若a 1 = 8,贝V a = _____.【答案】(1) a = 0.7 ； (2) a = 6； (3) a =一5； (4) a = 3.类型四、立方根实际应用CP4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱3体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64cm，小明又将铁块从水中提16起，量得烧杯中的水位下降了cm.请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是9多少16【思路点拨】铁块排出的64 cm3水的体积，是铁块的体积，也是高为cm烧杯的体积9【答案与解析】解：铁块排出的64 cm3的水的体积，是铁块的体积.设铁块的棱长为y cm，可列方程y364,解得y 4n 16设烧杯内部的底面半径为x cm，可列方程x264,解得x 6.9答：烧杯内部的底面半径为6 cm，铁块的棱长4 cm .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系(方程) ，解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.举一反三：【变式】将棱长分别为和：厂的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为_____________ 琢。
人教版七年级数学下册精品教学课件 第六章 实数 立方根
学习目标：
1.了解立方根的概念，会用开立方运算求一个数的立方根. 2.了解立方根的性质，并学会用计算器计算一个数的立方根或立 方根的近似值.
重点难点：
1.掌握立方根的概念． 2.了解立方根与平方根的区别与联系.
情景导入
某化工厂使用半径为1米的一种球形储气罐储藏气体，现 在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来 体积的8倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？
（2）因为 ( 3 3)3 = 3
( 3)3 27 28
所以 3 < 27
8
所以 3 3
<
3 2
5.若 3 x =2，y2 =4，求 x 2y 的值.
解：∵ 3 x =2， y2 =4. ∴x = 23，y2 = 16, ∴x = 8，y = ±4. ∴x + 2y = 8 + 2×4 = 16 或 x + 2y = 8 – 2×4 = 0. ∴ x 2 y = 16 = 4 或 x 2 y = 0 = 0.
课堂小结
定义 正数的立方根是正数，
立
负数的立方根是负数；
方
性质 0的立方根是0.
根
3 -a 3 a
用计算 被开方数的小数点向左或向右移动 器计算
3n位时立方根的小数点就相应的向
左或向右移动n位（n为正整数）.
知识精讲
知识点一 立方根的概念及性质 问题：要制作一种容积为 27 m³的正方体形状的包装箱， 这种包装箱的棱长应该是多少? 设这种包装箱的棱长为 x m，则 x³= 27. 这就是要求一个数，使它的立方等于 27. 因为 3³= 27，所以 x = 3. 因此这种包装箱的棱长应为 3 m.
立方根符号
立方根符号立方根符号是数学中的一种运算符号，表示一个数的三次方根。
该符号通常写作∛。
下面我们来详细地介绍一下立方根符号。
立方根的定义一个数的立方根是指这个数的三次方，即 a³的逆元素，也就是说，如果 b ³ = a，则 b 即为 a 的立方根。
立方根符号的使用方法立方根符号用来表示一个数的三次方根，通常写作∛a。
其中 a 表示一个实数，它可以是正数、负数或零。
在使用立方根符号时，需要注意以下几点：1. 如果 a 是正数，那么它的立方根也是正数。
2. 如果 a 是负数，那么它的立方根是一个复数，可以表示为 -∛(-a)。
3. 如果 a 是零，那么它的立方根也是零。
例如，∛8 表示 8 的立方根，即 2，因为 2³ = 8。
立方根的计算方法计算一个数的立方根可以使用牛顿迭代法或二分法等数值方法。
下面我们介绍一下牛顿迭代法的具体计算方法。
设待求的数的立方根为 x，那么根据立方根的定义，有 x³ = a。
我们可以将其转化为一个方程 f(x) = x³ - a = 0。
根据牛顿迭代法的思想，我们可以从一个初值 x0 开始不断进行迭代，每一次迭代计算如下式子：xi+1 = xi - f(xi) / f'(xi)其中 f'(x) 表示 f(x) 的导数。
对于 f(x) = x³ - a，它的导数为 3x²，所以上式可以改写为：xi+1 = (2xi + a/xi²) / 3我们可以在计算机中编写一个循环来实现这个迭代过程，直到 xi 的值足够接近真实的立方根为止。
例如，计算 8 的立方根可以按照如下步骤进行：1. 选择一个初始值，假设为 x0 = 2。
2. 根据牛顿迭代公式计算 x1：x1 = (2x0 + 8/x0²) / 3 = 7/3 ≈ 2.33 3. 再次使用牛顿迭代公式计算 x2：x2 = (2x1 + 8/x1²) / 3 ≈ 2.084. 继续迭代，直到足够接近 2：x3 ≈ 2.00x4 ≈ 2.00因此，8 的立方根约为 2。
根号的基本公式
根号的基本公式
根号是数学中常见的符号，表示对一个数值进行开平方运算。
在代数和几何中
都有广泛的应用。
根号的基本公式主要包括以下几种情况：
1. 平方根公式
平方根是开2次方的运算，表示为√a，其中a为被开方数。
平方根的基本公式如下：
√a * √b = √(a * b)
这个公式表示平方根的乘法规则，即两个数的平方根的乘积等于这两个数的乘
积的平方根。
例如，√2 * √3 = √(2 * 3) = √6。
2. 立方根公式
立方根是开3次方的运算，表示为³√a，其中a为被开方数。
立方根的基本公
式如下：
³√a * ³√b = ³√(a * b)
这个公式表示立方根的乘法规则，即两个数的立方根的乘积等于这两个数的乘
积的立方根。
例如，³√2 * ³√3 = ³√(2 * 3) = ³√6。
3. 复合根公式
复合根是开n次方的运算，表示为√(n,a)，其中n为根号指数，a为被开方数。
复合根的基本公式如下：
√(n,a) * √(n,b) = √(n, a * b)
这个公式表示复合根的乘法规则，即两个数的复合根的乘积等于这两个数的乘
积的复合根。
例如，√(3,2) * √(3,3) = √(3,2 * 3) =√(3,6)。
根号的基本公式在代数运算和几何计算中起到重要作用，能够简化计算过程，
提高计算效率。
熟练掌握这些基本公式有助于解决各种数学问题，同时也为进一步学习数学打下坚实的基础。
根式运算的方法
根式运算的方法根式是关于数的一种特殊表示方式，可以用于表示数的平方根、立方根等。
根式运算是进行根式的加减、乘除等操作。
本文将介绍一些根式运算的基本方法。
根式的基本性质在进行根式运算之前，首先要了解一些根式的基本性质：1. 乘方与开方的互逆性：若$a$是一个非负实数，$m$和$n$是整数，那么$(\sqrt[m]{a})^n = \sqrt[m]{a^n}$。
2. 根式的乘法法则：$\sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{a\cdot b}$。
3. 根式的除法法则：$\frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[m]{b}} =\sqrt[m]{\frac{a}{b}}$。
根式的加减法根式的加减法需要先化简，然后根据根式的性质进行运算。
下面是一些示例：示例1：同次根式的加减对于同次根式，即指数相同的根式，可以直接进行加减运算。
例如，计算$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}$：首先化简为同次根式：$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{\frac{2}{2}} = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{10}$。
然后使用加法法则：$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{10} = \sqrt[3]{2 + 10} = \sqrt[3]{12}$。
示例2：异次根式的加减对于异次根式，即指数不同的根式，需要进行化简后再进行加减运算。
例如，计算$\sqrt[4]{3} - \sqrt[2]{2}$：首先化简为同次根式：$\sqrt[4]{3} - \sqrt[2]{2} = \sqrt[4]{3} - \sqrt[2]{2} \cdot \sqrt[4]{\frac{3}{3}} = \sqrt[4]{3} - \sqrt[2]{6}$。
立方和立方根的基本概念知识点
立方和立方根的基本概念知识点立方和立方根是数学中常见的概念，它们在代数学、几何学以及实际问题中都有重要的应用。
立方是指一个数的三次幂，立方根则是指一个数的三次方根。
本文将详细介绍立方和立方根的基本概念知识点，从定义、性质、计算方法等方面进行讲解。
一、立方的定义和性质1. 立方的定义：一个数的立方是指该数自乘三次的结果。
记作n³，表示n的立方。
2. 立方的性质：a) 正整数的立方是正整数，负整数的立方是负整数，0 的立方是 0。
b) 两个数的立方和等于它们的立方和的和，即 (a + b)³ = a³ + 3a²b+ 3ab² + b³。
c) 一个数的立方差等于它们的立方差的和，即 (a - b)³ = a³ - 3a²b +3ab² - b³。
d) 立方具有结合律，即 (a³)³ = a⁹。
二、立方根的定义和性质1. 立方根的定义：一个数的立方根是指使得该数的立方等于该数的运算。
记作∛n，表示n的立方根。
2. 立方根的性质：a) 正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0 的立方根为 0。
b) 两个数的立方根的和等于它们的和的立方根，即∛(a + b) = ∛a + ∛b。
c) 两个数的立方根的差等于它们的差的立方根，即∛(a - b) = ∛a - ∛b。
d) 立方根具有分配率，即∛(a * b) = ∛a * ∛b。
三、立方和立方根的计算方法1. 立方的计算方法：a) 正整数的立方可以通过重复多次乘积的方式进行计算，如 3³ =3 * 3 * 3 = 27。
b) 对于负整数的立方，可以先计算其绝对值的立方再加上负号，如 (-2)³ = - (2³) = -8。
c) 0 的立方为 0。
2. 立方根的计算方法：a) 利用近似值法可以求解非整数立方根。
人教版七年级下册 第六章 实数 第二讲 立方根 讲义(解析版)
【答案】B；
提示：任何数都有立方根，但是负数没有平方根.
2.下列说法正确的是（ ）
A．﹣4的立方是64B．0.1的立方根是0.001
C．4的算术平方根是16D．9的平方根是±3
【答案】D.
例2．（1）下列运算中错误的有（）
① ＝ ；② ；③ ；④ ；⑤
（2）
（3）
课堂巩固
1.估算31的立方根在两个整数之间.
【答案】4和5
2.比较 的大小
【答案】
3.比较3
【答案】<
【答案】
例4求下列各式中x的值
（1） （2）8(x－1)3＝－ （3） ．
【答案】（1） ； （2）x＝－ ；（2）x=3.
【详解】
（1） ； ； ；
（2） ； ； ；
（3）x3﹣24＝3；x3＝27；∴x＝3
实数
第二讲立方根
知识讲解
一、立方根的定义
如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，如果 ，那么 叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
补充：一个数 的立方根，用 表示，其中 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
二、立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
五、平方根与立方根的联系
典例讲解
例1、下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4B． 是 的立方根
C．立方根等于本身的数只有0和1D．
【答案】D；
【解析】64的立方根是4； 是 的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.
课堂巩固
1.下列说法正确的是（ ）
人教版七年级数学下册教案：6.2立方根的运用
1.理论介绍：首先，我们要了解立方根的基本概念。立方根是一个数的三次方等于它的数，它是解决体积、加速度等问题的关键。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算一个立方体的体积，展示立方根在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调立方根的定义和计算方法这两个重点。对于难点部分，如立方根的估算和化简，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了立方根的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对立方根的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课程中，我们探讨了立方根的运用，我发现学生们对这个概念的理解普遍不错，但在具体的计算和应用上还存在一些困难。让我来分享一下我的观察和思考。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与立方根相关的实际问题，如计算不同形状物体的体积。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用水测量不规则物体的体积，从而演示立方根的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
-在综合练习中，通过不同类型的题目，锻炼学生灵活运用知识解决复杂问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-立方根的定义及其性质：这是本节课的核心内容，教师需着重讲解立方根的定义，以及立方根与平方根、算术平方根的区别。举例说明，如√8是2的立方根，而√9是3的平方根。
-立方根的计算方法：包括手工计算立方根和利用计算器求立方根，教师应详细讲解计算步骤，并通过例题强化学生掌握。
人教版七年级数学下册第六章《立方根》课件1 (2)
2x y 12 43
解得x =18，y =－16，(x+y)x+y=22=4
【答案】4
指点迷津
3 6 的平方根是_____． 3 6 4 的立方根是_____．
【点拨】由结果与被开方数的小数点位置可以总结出结果 【解析】第1小题中，被开方数的小数向左（向右）移动两位，它的结果就向左（右）移 动一位．第2小题中，被开方数的小数向左（向右）移动三位，它的结果就向左（右）移 动一位．
【答案】 3 .3 4 6 ， - 1 2 2 .3
【点拨】熟练掌握平方根与立方根的意义
立方根
课标引路
1．掌握立方根的概念及意义，学会简单的立 方根的有关运算，掌握住它与平方根的区别．
2．由此推广到偶数次方根，奇数次方根的结 果情况．
知识梳理
立方根的概念
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根
• （1）一个正数的立方根正数，负数的立方根是负数，0的立方根还是0. • （2）被开方数是任意数.就是说任何数都有立方根，而且只有一个．
知识点三：被开方数与结果的关系
例4．观察下列式子并填空 （1） 1 1 . 2 3 . 3 4 6 ， 0 . 1 1 2 0 . 3 3 4 6 ， 1 1 2 0 3 3 . 4 6 （2）3 1 . 8 4 5 1 . 2 2 3 ， 3 1 8 4 5 1 2 . 2 3 ， 3 0 . 0 0 1 8 4 5 0 . 1 2 2 3 由此总结出什么规律呢？并计算 1 1 .2 _ _ _ _ _ _ _ ， - 3 1 8 4 5 0 0 0 _ _ _ _ _ _ _
8
一个数的立方的方法来判断，某数的立方根的情况．立方根等于它本身的数有三个，分别是 1，0，-1，故
平方根立方根计算题50道
平方根立方根计算题50道一、平方根计算题（25道）1. 计算√(4)- 解析：因为2^2 = 4，所以√(4)=2。
2. 计算√(9)- 解析：由于3^2 = 9，所以√(9)=3。
3. 计算√(16)- 解析：因为4^2 = 16，所以√(16)=4。
4. 计算√(25)- 解析：由于5^2 = 25，所以√(25)=5。
5. 计算√(36)- 解析：因为6^2 = 36，所以√(36)=6。
6. 计算√(49)- 解析：由于7^2 = 49，所以√(49)=7。
7. 计算√(64)- 解析：因为8^2 = 64，所以√(64)=8。
8. 计算√(81)- 解析：由于9^2 = 81，所以√(81)=9。
9. 计算√(100)- 解析：因为10^2 = 100，所以√(100)=10。
10. 计算√(121)- 解析：由于11^2 = 121，所以√(121)=11。
11. 计算√(144)- 解析：因为12^2 = 144，所以√(144)=12。
12. 计算√(169)- 解析：由于13^2 = 169，所以√(169)=13。
13. 计算√(196)- 解析：因为14^2 = 196，所以√(196)=14。
14. 计算√(225)- 解析：由于15^2 = 225，所以√(225)=15。
15. 计算√(0.04)- 解析：因为0.2^2 = 0.04，所以√(0.04)=0.2。
16. 计算√(0.09)- 解析：由于0.3^2 = 0.09，所以√(0.09)=0.3。
17. 计算√(0.16)- 解析：因为0.4^2 = 0.16，所以√(0.16)=0.4。
18. 计算√(0.25)- 解析：由于0.5^2 = 0.25，所以√(0.25)=0.5。
19. 计算√(1frac{9){16}}- 解析：先将带分数化为假分数，1(9)/(16)=(25)/(16)，因为((5)/(4))^2=(25)/(16)，所以√(1frac{9){16}}=(5)/(4)。
根号的运算公式大全 根号的运算法则
根号的运算公式大全根号的运算法则根号是数学中常见的运算符号，用来表示平方根、立方根等概念。
在实际运算中，根号有一些特定的运算公式和法则，下面将对根号的运算公式进行详细介绍。
基本的根号运算公式1. 平方根的计算如果一个数的平方根是 $ \sqrt{a} $，那么这个数的绝对值要满足 $ a \geq 0 $。
2. 计算两个数的和的平方根如果要计算 $ \sqrt{a}+\sqrt{b} $ 的值，一般情况下无法简化结果，但可以通过数值计算得到近似值。
3. 计算两个数的差的平方根同样，计算 $ \sqrt{a}-\sqrt{b} $ 的值也无法简化，可以通过近似值计算。
根号的运算法则1. 平方根乘法法则$ \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} $2. 平方根除法法则$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} $3. 平方根的乘方法则$ (\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n} $4. 平方根的除方法则$ \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a} $复杂的根号运算公式1. 分解根号中的质因数当根号中的被开方数可以分解为两个质因数的乘积时，可以简化为 $ \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} $2. 分式根号当根号位于分式的分子或分母时，可以通过有理化分式的方法简化计算。
以上便是根号的运算公式大全以及根号的运算法则。
根据不同的情况，运用不同的公式和法则可以简化根号运算的过程，提高计算效率。
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数字立方题练习题
数字立方题练习题1. 计算以下数字立方：(1) 3³ = 3 × 3 × 3 = 27(2) 5³ = 5 × 5 × 5 = 125(3) 2³ = 2 × 2 × 2 = 8(4) 6³ = 6 × 6 × 6 = 216(5) 10³ = 10 × 10 × 10 = 10002. 计算以下立方根：(1) ∛27 = 3(2) ∛64 = 4(3) ∛8 = 2(4) ∛1000 = 10(5) ∛125 = 53. 计算以下表达式：(1) 4² + 5³ = 4 × 4 + 5 × 5 × 5 = 16 + 125 = 141(2) 2³ + 3² = 2 × 2 × 2 + 3 × 3 = 8 + 9 = 17(3) 7² - 2³ = 7 × 7 - 2 × 2 × 2 = 49 - 8 = 41(4) 6³ ÷ (4² - 3²) = 6 × 6 × 6 ÷ (4 × 4 - 3 × 3) = 216 ÷ (16 - 9) = 216 ÷ 7 ≈ 30.857(5) (9 - 4)³ × 2² = (5)³ × 2 × 2 = 125 × 4 = 5004. 解决以下问题：(1) 一块正方形草坪的边长为5米，如果要把这块草坪的表面积变成原来的27倍，边长要变为多少米？解答：原始草坪的面积为5米 × 5米 = 25平方米，要变成原来的27倍即25平方米 × 27 = 675平方米。
开立方根的方法和步骤
开立方根的方法和步骤
开立方根的方法和步骤如下：
方法一：通过数学运算公式
1. 将要开立方根的数表示为x。
2. 使用公式x^(1/3) 来计算立方根的近似值。
方法二：使用二分法
1. 确定一个上下界，使得上下界的立方值分别大于和小于待开立方根的数。
2. 使用二分法逐步逼近立方根的值，直到所得的值满足要求。
- 计算中间值mid = (上界+ 下界) / 2。
- 如果mid 的立方值等于待开立方根的数，即mid^3 == 待开立方根的数，那么mid 就是所求的立方根。
- 如果mid 的立方值大于待开立方根的数，那么更新上界为mid，并重复上述步骤。
- 如果mid 的立方值小于待开立方根的数，那么更新下界为mid，并重复上述步骤。
方法三：使用牛顿迭代法
1. 假设待开立方根的数为x。
2. 设定一个初始值guess，通常可以选择待开立方根的值的一半作为初始值。
3. 使用迭代公式guess = (2 * guess + x / (guess^2)) / 3 来更新guess 的
值。
4. 反复进行步骤3，直到guess 的值在一定精度范围内收敛为止。
初中立方根的运算
初中立方根的运算立方根是数学中的一种运算，表示一个数的立方根，也就是找到一个数，使其立方后等于给定的数。
在初中阶段，我们通常使用近似值的方法求解立方根，尽管不够精确，但对于大部分计算需求已经足够。
求解立方根的近似方法有多种，下面将介绍其中两种常见的方法：试探法和二分法。
试探法：试探法是通过试探一个数的立方是否等于给定的数，来逐步逼近所求的立方根。
具体步骤如下：1. 根据给定的数确定一个起点数值，通常选择整数。
2. 计算起点数值的立方。
3. 将计算得到的立方与给定的数进行比较。
4. 如果立方等于给定的数，则得到了立方根，结束运算。
5. 如果立方小于给定的数，将起点数值增加一个较小的值，并跳至步骤2。
6. 如果立方大于给定的数，将起点数值减去一个较小的值，并跳至步骤2。
7. 根据需要的精度，重复步骤2至6，直到满足要求。
例如，我们要求解27的立方根：1. 我们从起点数值1开始。
2. 计算1的立方，得到1。
3. 1不等于27，因此我们将起点数值增加一个较小的值，比如0.1。
4. 我们再次计算1.1的立方，得到1.331。
5. 1.331不等于27，因此我们继续增加起点数值，比如再加0.1。
6. 重复计算，直到我们得到一个距离27较接近的数值。
7. 在此过程中，我们可以根据需要控制精度，例如使结果保留两位小数。
二分法：二分法是通过逐步缩小范围的方式，来逼近所求的立方根。
具体步骤如下：1. 确定一个初始范围，包括一个上界和一个下界。
2. 计算上界和下界的中点，并求得其立方。
3. 将计算得到的立方与给定的数进行比较。
4. 如果立方等于给定的数，则得到了立方根，结束运算。
5. 如果立方小于给定的数，将中点作为新的下界，并跳至步骤2。
6. 如果立方大于给定的数，将中点作为新的上界，并跳至步骤2。
7. 根据需要的精度和迭代次数，重复步骤2至6，直到满足要求。
例如，我们要求解27的立方根：1. 初始范围可以选择0作为下界，27作为上界。
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知识应用3、填空：
(1)
3
61 1 ___ 64
(2) 3
61 1 ___ 125
3
(3)
3 3 ___ 8
知识应用4、填空 （ 1 ） ( 2） ____； （2）（ 2） ______
2 2 3 (3) — (3 — 2 )3 _____；（4）（ — 3 2） _____； 3 （5）（ — 3 — 6） ______
2．下列说法正确的是(
B )
A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．一个数的立方根与这个数同号 C．一个数的平方根一定大于这个数的立方根 D．一个数的立方根一定小于这个数
0 3．平方根等于它本身的是________ ，立方根等 0和±1 ． 于它本身的 是________
练习 4、 已知 3 x 3 和 3 1 2x 互为相反数， 求 x 的值．
复习回顾 如果 x a ，那么 x 就叫做 a 的 立方根 ________(也叫三次方根)．a 的立方根记 3 做 a ，3 a x
3
小测评讲，课前小测
《导学》问题、
问题1、探究课本P 78探究题。 因为 — 8 _____, -2-2 8 ____,
a 表示
a
表示
2、立方根的性质 （1）正数的立方根还是正数 （2）0的平方根还是0 （3）负数的立方根还是负数 3、立方根的求法： 如求8的立方根： ∵ 23 = 8
∴4的平方根是±2
即 4 2
∴8的立方根是2
即
3
82
解：∵ 3 x 3 和 3 1 2x 互为相反数， ∴ 3 x 3 ＋ 3 1 2x ＝0， ∴x－3＋1－2x＝0，∴x＝－2.
练习4、《优化训练》P41“基础起步”第 14题
你会区别下列的数吗？
a ， a ， a ， a a 表示a的算术平方根 a 表示a的平方根或a的二次方根
3 4 3 4
a
所以（ - 8） ___ -8 ，
3 3
评讲《导学》知识应用题
知识应用1、课本P79练习1，
知识应用2、填空（ 1 ）（ 2） ____；
2
（2）（ 5） ______;(3)( - 5 ) _____；
2 3 3
（4）（ 10） _____；（5）（ - 6） ______
知识应用5、计算下列各式的值 （ 1 ）9
3
1
( 2) 64 ( 2 )
3
2
(3) 5 3 8
4 7 1 9
( 4) 100 ( 50 ) 2 3 64 (5)( 12 ) ( 0 )
3 3 2012
知识应用6、若a 1的立方根是 - 2， b 2的算术平方根是2，求a 的值
a a
表示a的立方根或a的三次方根
表示a的四次算术根
小结：
1、平方根的定义：如果 一个数的平方等于a,那 1、立方根的定义：如果
一个数的立方等于a,那
么这个数叫做a的立方根。
a的立方根用 3
么这个数叫做a的平方根。
a的平方根用± 2、平方根的性质 （1）一个正数有两个平方根， 这两个平方根互为相反数 （2）0的平方根还是0 （3）负数没有平方根 3、平方根的求法： 如求4的平方根： ∵ (±2)2 = 4
-3 因为3 — 27 _____, = — 3 27 所以3 — 27 ____
3 归纳： — a —3 a
-3 — 3 27 ___,
问题2、
2 因为 4 _____,
归纳( a ) 2 ___
a
2 4 所以（ 4） ____,
-2 因为 - 8 ____,
3
3 归纳：（3 a） ____
b
知识应用7、一个正方体的体积变为原来的 8倍，则它的棱长变为原来的 倍。一 个正方形的面积变为原来的4倍，则它的边 长变为原来的 倍。 思考.一个正方体的体积变为原来的n(n>0) 倍，其边长变为原来的 倍。
1.判断下列说法是否正确，并说明理由：
8 （1）27
的立方根是
2 3
（2）负数没有立方根 （3）4的平方根是2 （4）-8的立方根是-2 （5）立方根是它本身的数只有0 （6）互为相反数的数的立方根也互为相反数