高考数学微专题突破 (37)
正余弦定理与三角形面积公式综合应用-高考数学微专题突破含详解
正余弦定理与三角形面积公式综合应用-高考数学微专题突破一、单选题1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝3ab ，且c ＝4，则ABC 面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D2．已知ABC 三个内角A ，B ，C 及其对边a ，b ，c ，其中，角B 为锐角，b =且()222tan a c bB +-=， 则ABC ∆面积的最大值为（ ）A B C ．34D ．323．在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，满足3c =，sin sin 2C c A a =，则ABC 面积的最大值为（ ）A B ．36C D 4．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=︒==，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．12D ．5．在ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，且满足b c =，1cos cos bBa A-=，若点O 是ABC 外一点，()0AOB θθπ∠=<<，2OA =，1OB =，则平面四边形OACB 面积的最大值是（ ）A ．44+ BC ．3D ．426．ABC ∆中，已知6BA BC CA CB BC ⋅+⋅=，3A π=，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．2B ．32C ．D ．47．在三角形ABC 中，已知2,45c C ==︒，则三角形ABC 面积的最大值为（ ）A．2+B ．4C 1D ．4+8．已知锐角ABC ∆的三个内角、、A B C 所对边分别为a b c ，，，若角、、A B C 成等差数列，b =ABC ∆的面积的取值范围（ ）A ．(B ．(C ．⎡⎣D ．⎡⎣9．在△ABC 中，内角△BAC ，△ABC ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，a =c 且满足cos (cos )cos 0C BAC BAC ABC +∠-∠⋅∠=，若点O 是△ABC 外一点，24OA OB ==，则平面四边形OACB 的面积的最大值为（ ）A ．8+B ．4+C ．12D ．4-10．如图，在Rt△ABC 中，2C π∠=，6B π∠=，AC ＝4，D 在AC 上且AD ：DC ＝3：1，当△AED 最大时，△AED 的面积为（ ）A ．32B ．2C ．3D ．11．锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin5A C b Aa+=，22BA BC AB AC ⋅+⋅=．则ABC ∆面积的取值范围是（ ）A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．C ．1,2D ．⎭12．在平面内，四边形ABCD 的B 与D ∠互补，1,30DC BC DAC ︒==∠=，则四边形ABCD 面积的最大值=（ ）A B 1 C ．12+ D ．213．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b ＝c ，且满足sin sin B A ＝1cos cos BA-，若点O 是△ABC 外一点，△AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2OB ＝2，则平面四边形OACB 面积的最大值是( )A B C ．3 D 二、多选题14．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B >B ．若30A =，4b =，3a =，则ABC 有两解 C ．若ABC 为钝角三角形，则222a b c +>D ．若60A =，2a =，则ABC 15．如图，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =，且)cos cos 2sin a C c A b B +=，D 是ABC 外一点，1DC =，3DA =，则下列说法正确的是（ ）A ．ABC 是等边三角形B ．若AC =A ，B ，C ，D 四点共圆C ．四边形ABCD 3D ．四边形ABCD 面积最小值为32- 三、填空题16．锐角ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a b c -=，且a =ABC 面积的取值范围是___________.17．如图，点A 是半径为1的半圆O 的直径延长线上的一点，OA =B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边ABC ，则四边形OACB 的面积的最大值为___________.18．设ABC 的面积为S ，满足20S AC +⋅=.且||3BC =，若角B 不是最小角，则S 的取值范围是_________.19．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a c =且满cos cos )cos 0(C A A B +=若点O 是ABC 外一点，24OA OB ==，则四边形OACB 的面积的最大值为_______________.20．在锐角三角形ABC 中，sin 22C C =，cos cos c B b C +=ABC 的面积的取值范围为______．21．在三角形ABC 中，2AB =，且角A 、B 、C 满足()2712sin cos 2242C A B -=+，三角形ABC 的面积的最大值为M ，则M =______．22．如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB BC =，60ABC ∠=，1CD =，2AD =，则四边形ABCD 的面积的最大值为______.23．如图，已知D 为ABC ∆内一点，4AC =，3AD BC ==，ACB ∠与ADB ∠互补，则ACD ∆与BCD ∆面积之和的最大值为_______.24．如图所示，点M ，N 分别在菱形ABCD 的边AD ，CD 上，422,,33AB ABC MBN π=∠=∠=面积的最小值为________．25．在ABC ∆中，三个内角,,A B C 所对的边为,,a b c ，且满足(cos cos )cos 122a Bb A B a b +=+，4c =，则ABC ∆的面积的最大值为__________．26．已知平面四点,,,A B C D 满足2,AB BC CD AD ====设ABD ∆，BCD∆的面积分别为1S ，2S ，则2212S S +的取值范围是__________.27．如图所示，在平面四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，ACD △是以D 为顶点的等腰直角三角形，则BCD △面积的最大值为________．四、双空题28．如图，设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，cos cos )2sin a C c A b B +=，且3CAB π∠=.若点D 是ABC 外一点，1CD =，3AD =，则当D ∠=______时，四边形ABCD 的面积的最大值为____________29．在圆内接四边形ABCD 中，60DAB ∠=︒，BD =，则ADB =∠________，若AC =BCD 面积的最大值为________.30．四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒，BC =5BD =，则cos BDC ∠=________，AB AC ⋅的最大值________.31．如图，在凸四边形ABCD 中，4,2,AD CD ABC ==为等边三角形，△若60D ︒∠=，则四边形ABCD 的面积为________________；△当D ∠变化时，四边形ABCD 的面积的最大值为_________________.五、解答题32．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin (2)sin (2)sin a A b c B b c C =+++.（1）求角A 的大小；（2）若a =ABC 面积的最大值.33．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2A Ca b A +=． （1）求角B ；（2）若D 是AC 边的中点，且BD =ABC 面积的最大值．34．在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积2224b c a S +-=. （1）求A ；（2）作角B 的平分线交边AC 于点O ，记BOA △和BOC 的面积分别为12,S S ，求12S S 的取值范围.35．在四边形ABCD 中，A C ∠=∠，E 是AD 上的点且满足BED ∆与ABD ∆相似，34AEB π∠=，6DBE π∠=，6DE =.（1）求BD 的长度；（2）求三角形BCD 面积的最大值.36．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知(sin sin ,sin )a B A C =+，(sin sin ,b B A =-sin sin )C B -，且a b ⊥.（1）求角A 的大小； （2）若a =求__________.△求ABC 周长的最大值；△求ABC 面积的最大值.请考生在．△．和．△．中任选一个作答．．．．．．．，如两个都选，按第一个解答记分.）37．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且向量()3,2sin m A =-，22cos 1,cos 22A n A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且//m n ，A 为锐角．（△）求角A 的大小；（△）若2a =，求ABC 的面积的最大值．38．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4sin s sin sin in C B a B C +=.（1）求角A 的大小；（2）若2sin 2sin b B c C bc +=，求ABC 面积的取值范围.39．现给出两个条件：△22cos c a B =，△()2cos cos b A C =，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：（选出一种可行的条件解答，若两个都选，则按第一个解答计分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边( ). （1）求A ； （2）若31a ，求ABC ∆面积的最大值.40．已知函数()22sin sin 6x x f x πωω⎛⎫=--⎪⎝⎭（x ∈R ，ω为常数且112ω<<），函数()f x 的图像关于直线x π=对称. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，3154f A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求ABC ∆的S 最大值.答案第1页，总40页参考答案1．B 【分析】根据已知条件，反凑余弦定理求得C ，再用余弦定理，借助基本不等式求得ab 的最大值，再利用面积公式即可求得结果. 【详解】由已知等式得a 2＋b 2－c 2＝ab ，则cos C ＝2222a b c ab+-＝2ab ab ＝12．由C △(0，π)，所以sin C又16＝c 2＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝ab ，则ab ≤16， 当且仅当4a b ==时，取得最大值. 所以ABC S＝12ab sin C ≤12故S max ＝． 故选：B ． 【点睛】本题考查利用余弦定理和基本不等式求面积的最大值，属基础题. 2．A 【分析】由余弦定理求得3B π=，且223ac a c =+-，再由三角形的面积公式和基本不等式可得选项. 【详解】由()222tan a c b β+-=得222tan 22a c b ac β⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以cos tan ββ=，即sin B =，而02B π<<，所以3B π=，所以1sin 24ABCSac B ac ==，又因为222221cos 322a c b B ac a c ac +-==⇒=+-，所以22323ac a c ac =+-≥-，所以3ac ≤3ac ≤=故选：A. 【点睛】本题考查运用余弦定理解三角形，三角形的面积公式，以及运用基本不等式求最值，属于中档题. 3．B 【分析】由正弦定理结合二倍角公式可得1cos 22C =，进而可得23C π=，再由余弦定理结合基本不等式可得19ab ≤，再由三角形面积公式即可得解. 【详解】由正弦定理得sin sin sin sin 2C C A A =，所以2sin cos sin sin sin 222C C C A A =， 因为()0,A π∈，0,22C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 02C≠，sin 0A ≠， 所以1cos22C =，所以23C π=，23C π=， 由余弦定理得222222cos 3c a b ab C a b ab ab =+-=++≥，又c =133ab ≤即19ab ≤，当且仅当13a b ==时，等号成立，所以ABC 面积111sin 229362S ab C =≤⨯⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查了正弦定理边角互化的应用，考查了余弦定理结合基本不等式求三角形面积的最值，属于中档题. 4．A 【分析】由已知条件，令||AC a =，||BC b =，则在△ACM 中结合余弦定理可知48ab ≤，根据三角形面积公式即可求最大值【详解】由题意，可得如下示意图令||AC a =，||BC b =，又2BM MC =，即有1||||33b CM CB == △由余弦定理知：222||||||2||||cos AM CA CM CA CM ACB =+-∠2221216()332333a ab ab ab abb =+-⨯≥-=，当且仅当3a b =时等号成立△有48ab ≤△11sin 48222ABC S ab C ∆=≤⨯⨯=故选：A 【点睛】本题考查了正余弦定理，利用向量的知识判断线段的长度及比例关系，再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围，进而结合三角形面积公式求最值 5．B 【分析】利用正弦定理边角互化思想化简得出c a =，进而可得出ABC 是等边三角形，利用余弦定理求得2c ，然后利用三角形的面积公式可得出四边形OACB 的面积关于θ的函数关系式，利用三角恒等变换化简函数解析式，结合正弦函数的基本性质可求得结果. 【详解】1cos cos b B a A -=，由正弦定理得sin 1cos sin cos B B A A-=，即cos sin sin sin cos A B A A B =-， 即()sin sin cos cos sin sin sin A A B A B A B C =+=+=，由正弦定理得a c =，又b c =，所以，ABC 为等边三角形，则2222cos 54cos c OA OB OA OB θθ=+-⋅=-，2112sin sin2ABCAOBOACB S SSθθθ=+=⨯⨯⨯+=平面四边形2sin 34πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 0θπ<<，2333πππθ∴-<-<， 当32ππθ-=时，即当56πθ=时，四边形OACB的面积取最大值84+. 故选：B. 【点睛】四边形的面积往往转化为两个三角形面积之和，从而所求问题转化为三角函数的有界性问题，结合条件易得结果. 6．A 【分析】利用平面向量数量积的运算得出a =利用正弦定理结合三角恒等变换思想将ABC ∆的面积化为以角B 为自变量的正弦型函数，进而可得出ABC ∆面积的最大值. 【详解】由()6BA BC CA CB BC BA AC BC BC BC ⋅+⋅=+=⋅=，得6a BC ==，由正弦定理sin sin sin b c a B C A ===22sin b Bc C⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以ABC ∆面积12sin sinsin 23Sbc A B C BB π⎛⎫===- ⎪⎝⎭)21cos 213sin 3sin cos sin2222B BB B B B B B ⎫-=+=+=+⎪⎪⎝⎭26B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，72666B πππ∴-<-<，当262B ππ-=时，ABC ∆ 故选：A. 【点睛】本题考查三角形面积最值的计算，涉及平面向量数量积的运算以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【分析】由余弦定理可得224a b +=，及24ab ≤，可得ab 的最大值，由1sin 2ABC S ab C ∆=可得三角形ABC 面积的最大值. 【详解】解：由余弦定理可得：2222cos 45o c a b ab =+-，可得：224a b +=，可得24ab ≤，可得2(24ab ≤=+=+a b =时，等式成立，由1sin 2ABC S ab C ∆=,可得三角形ABC 面积的最大值为：1(4122⨯+⨯=， 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用余弦定义、基本不等式求三角形面积的最大值，属于中档题. 8．B 【分析】根据角、、A B C 成等差数列可得3B π=,再利用面积公式与正弦定理将ABC ∆的面积转换为关于角A 的三角函数式,最后根据A 的取值范围求解函数的范围即可. 【详解】因为角、、A B C 成等差数列,故2B A C B π=+=-,故3B π=.故外接圆直径24sin 2b R B === . 由面积公式与正弦定理有11sin 2sin 2sin sin 22ABCS ac B R A R C B ∆ 243sin sin 43sin sin 23sin 6sin cos 3A C A AA A A π31cos 23sin 223sin 236A A Aπ.又锐角ABC ∆中3B π=,故0022200322A A A C πππππ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪<-<<<⎪⎪⎩⎩,即62A ππ<<. 故52,666Aπππ.1sin 2,162Aπ. 故23,3236A π.故选：B 【点睛】本题主要考查了利用面积公式、正弦定理以及三角恒等变换等公式表达三角形面积的解析式,进而根据角度的范围求解面积范围的问题.属于中档题. 9．A 【分析】利用cos cos()C BAC ABC =-∠+∠可整理条件为cos sin sin BAC ABC BAC ABC ∠∠=∠∠,即sin tan cos ABCABC ABC∠=∠=∠,则3ABC π∠=,进而可得△ABC 为等边三角形,设AOB θ∠=,利用三角形面积公式整理可得AOBABCOACB S SS=+四边形8sin 3πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭从而求得最值即可【详解】△cos (cos )cos 0C BAC BAC ABC +∠∠∠=, 且cos cos()C BAC ABC =-∠+∠,△cos cos cos cos BAC ABC BAC ABC C ∠∠-∠∠=-=cos()cos cos sin sin BAC ABC BAC ABC BAC ABC ∠+∠=∠∠-∠∠,cos sin sin BAC ABC BAC ABC ∠∠=∠∠, △△BAC 为三角形的内角,sin 0BAC ∠≠,△sin tan cos ABCABC ABC∠=∠=∠由(0,)ABC π∠∈得3ABC π∠=,又△a =c ,△△ABC 为等边三角形, 设AOB θ∠=,则0θπ<<,△AOBABCOACB S SS=+四边形211sin 22OA OB AB θ=⋅+⨯)22142sin 2cos 2OA OB OA OB θθ=⨯⨯⨯++-⋅4sin (164242cos )4θθ=++-⨯⨯⨯4sin 8sin 3πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭△0θπ<<, △2333πππθ-<-<, △当32ππθ-=,即56πθ=时,sin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值1,△平面四边形OACB 面积的最大值为8+. 故选：A 【点睛】本题考查余弦和角公式的应用,考查三角形面积最值问题,考查利用正弦型函数求最值【分析】根据条件得到AED AEC DEC ∠=∠-∠,然后设△AED ＝θ,△AEC ＝α,△DEC ＝β,用两角差的正切公式求出tanθ,再用基本不等式求出tanθ最大值,从而得到当△AED 最大时,△AED 的面积. 【详解】解:因为AD :DC ＝3:1,所以DC 14=AC ＝1, 所以S △AED ＝S △ACE ﹣S △DEC 12=AC •CE 12-DC •EC 12=AC •CE 12-•14AC •CE ＝AC •CE (113)288-=AC •EC . 因为AC ＝4,CE ≤CB ,而在Rt △ABC 中,,26C B ππ∠=∠=,AC ＝4,所以CB ＝,△AED ＝△AEC ﹣△DEC . 设△AED ＝θ,△AEC ＝α,△DEC ＝β,则tanθ＝tan (α﹣β)()211AC DCAC DC EC tan tan EC EC AC DC tan tan EC AC DCEC ECαβαβ--⋅-===-⋅+⋅+⋅2333444EC EC EC EC ==≤=++, 当且仅当EC 4EC=,即EC ＝2时,取等号, 所以tanθ的最大值为34,此时△AED 最大, 所以当△AED 最大时,△AED 的面积AEDS =38•4•2＝3. 故选:C . 【点睛】本题考查了三角形的面积公式和利用基本不等式求最值,考查了转化思想和计算能力,属中档题. 11．D 【分析】根据三角关系求出角B ，根据向量数量积求出边c ，作出三角形，数形结合求解.由题sin sin5A C b Aa+=，三角形ABC ∆中，A B C π++=，A C B π+=-， 结合正弦定理，sin sin sin 5sin B B A A π-=，sin sin 5BB π-=，B 为锐角， 所以5B B π-=，=6B π， 22BA BC AB AC⋅+⋅=，即cos cos ac B bcA +=，由射影定理：c = 作图：在1Rt ABC ∆中，12cos6BC π==在2Rt ABC ∆中，22cos6BC ==当点C 在线段12C C 之间（不含端点）时，三角形ABC ∆为锐角三角形，1122ABCSBC=⨯⨯∈⎭， 所以面积取值范围3⎭故选：D 【点睛】此题考查锐角三角形三内角和关系，正余弦定理，边角互化综合应用，重在数形结合思想. 12．B 【分析】根据正弦定理，可求得sin BAC ∠=，即角60BAC ︒∠=或120BAC ︒∠=，分类讨论，由BCD ABDS S S ∆=+，计算三角形的面积，利用均值不等式求最值即可.【详解】因为B 与D ∠互补，sin sin B D ∠=∠，且,,,A B C D 四点共圆.所以30CBD DAC ︒∠=∠=，在ADC 中，由正弦定理得sin sin AC DCD DAC=∠∠，在ABC 中，由正弦定理得sin sin AC BC B BAC =∠∠，所以sin sin BC DCBAC DAC=∠∠，得sin 2BAC ∠=，所以60BAC ︒∠=或120BAC ︒∠=. 设四边形ABCD 的外接圆半径为R ，则2sin DCR DAC=∠，解得1R =.（1）设,AB a AD b ==.当60BAC ︒∠=，则90BAD ︒∠=，故90BCD ︒∠=，此时11sin 9022BCDS︒=⨯=，且2BD =，在Rt △ABD 中，2242a b ab =+，所以2ab ≤，即112ABDSab =⨯. 所以四边形ABCD 面积31BCD ABDS S S∆=++，当且仅当a b =时，四边形ABCD 面1+ （2）当120BAC ︒∠=，则150BAD ︒∠=，故30BCD ︒∠=，所以11sin 302BCDS︒=⨯=.因为2sin BD R BAD =∠，所以1BD =，则在ABD △中由余弦定理得2212cos150a b ab ︒=+-，()2211a b=-+<，即ab <.所以11sin15024ABDS ab ab ︒=⨯=<，此时，四边形ABCD 面积31BCDABDS S S=+<<+.综上，四边形ABCD 面积的最大值等于12+， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，三角形面积公式，均值不等式，属于难题. 13．A 【分析】根据正弦和角公式化简得ABC ∆ 是正三角形，再将平面四边形OACB 面积表示成θ 的三角函数，利用三角函数求得最值. 【详解】由已知得：sin cos sin sin cos ,B A A A B =- 即sin cos sin cos sin ,B A A B A +=所以sin()sin ,A B A += 即sin()sin sin ,C C A π-== 又因为0,0,A C ππ<<<< 所以,A C = 所以,a c =又因为,b c = 所以ABC ∆ 是等边三角形.所以21sin ,23ABC S AB AB AB π∆=⨯⨯= 在ABO ∆中，由余弦定理得2222cos 54cos ,AB AO BO AO BO θθ=+-⨯=- 且1sin sin ,2ABO S AO OB θθ∆=⨯⨯= 因为平面四边形OACB 面积为4cos )sin 2sin()3ABC ABO S S S πθθθ∆∆=+=-+=-+ 当56πθ= 时，sin()3πθ-有最大值1 ，此时平面四边形OACB ， 故选A.【点睛】本题关键在于把所求面积表示成角的三角函数，属于难度题.14．ABD【分析】利用正弦定理结合大边对大角定理可判断A 选项的正误；利用正弦定理可判断B 选项的正误；利用余弦定理可判断C 选项的正误；利用基本不等式、余弦定理结合三角形的面积公式可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，若A B >，则a b >，由正弦定理可得sin sin a b A B=，所以，sin sin A B >，A 选项正确；对于B 选项，sin 4sin302b A ==，则sin b A a b <<，所以，ABC 有两解，B 选项正确；对于C 选项，若ABC 为钝角三角形且C 为钝角，则222cos 02a b c C ab+-=<，可得222a b c +<，C 选项错误；对于D 选项，由余弦定理与基本不等式可得2222242cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc ==+-=+-≥-=，即4bc ≤，当且仅当2b c ==时，等号成立，所以，1sin 24ABC S bc A bc ==≤△，D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】方法点睛：求三角形面积的最值是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.15．AC【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求sin B ，再利用a b =，可知ABC 为等边三角形，从而判断A ；利用四点A ，B ，C ，D 共圆，四边形对角互补，从而判断B ；设AC x =，0x >，在ADC 中，由余弦定理可得2106cos x D =-，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求ABCD S 四边形，利用正弦函数的性质，求出最值，判断CD ．【详解】由正弦定理2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，(sin cos sin cos )2sin sin A C C A B B +=⋅，2sin ,sin B B =∴= a b =，B 是等腰ABC 的底角，(0,)2B π∴∈，,3B ABC π∴=∴△是等边三角形，A 正确；B 不正确：若,,,A BCD 四点共圆，则四边形对角互补，由A 正确知21,cos 32D D π∠==-，但由于1,3,DC DA AC ===22211cos 232DC DA AC D DA DC +-===-≠-⋅⋅， △B 不正确．C 正确，D 不正确：设D θ∠=，则2222cos 106cos AC DC DA DC DA θθ=+-⋅⋅=-，(106cos )ABC S θθ∴=-=△， 3sin 2ADC S θ=△，3sin 2ABC ADC ABCD S S S θθ∴=+=+四边形13(sin cos 2θθ=⋅-+，3sin()32πθ=-+，(0,),sin()(3πθπθ∈∴-∈，3ABCD S <≤四边形，△C 正确，D 不正确； 故选：AC.．【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．16．11,2⎛+ ⎝⎦【分析】利用正弦定理、余弦定理可得出cos A 的值，可求得角A 的值，利用正弦定理、三角恒等变换思想可得出12242ABC S B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭△，求出角B 的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得ABC 面积的取值范围.【详解】由正弦定理可得a b c -==222a b c -=，可得222b c a +-=，所以，222cos 2b c a A bc +-==， 0A π<<，4A π∴=， 由正弦定理可得2sin sin sin b c a B C A===，2sin b B ∴=，2sin c C =，()11sin 2sin sin sin sin 224ABC S ac B C B B A B B B π⎛⎫===+=+ ⎪⎝⎭△)211cos 2cos sin sin cos sin sin sin 222B B B B B B B B -=+=+=+12242B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 因为ABC 为锐角三角形，则0224B B ππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，解得42B ππ<<，32444B πππ∴<-<，sin 2124B π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，则11122422B π⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭. 因此，ABC面积的取值范围是11,2⎛ ⎝⎦.故答案为：⎛ ⎝⎦.【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.17．【分析】设AOB θ∠=，表示出ABC 的面积及OAB 的面积，进而表示出四边形OACB 的面积，并化简所得面积的解析式为正弦函数形式，再根据三角函数的有界性进行求解．【详解】四边形OACB 的面积OAB =△的面积ABC +△的面积，设AOB θ∠=，2222cos 31214AB OA OB OA OB θθθ∴=+-⋅⋅=+-⨯=-则ABC 的面积213sin 60cos 22AB AC θ=⋅⋅︒=OAB 的面积11sin 122OA OB θθθ=⋅⋅=⨯=，四边形OACB 的面积3cos 2θθ+13(sin )60)2θθθ=-︒，故当6090θ-︒=︒，即150θ=︒时，四边形OACB =故答案为：【点睛】方法点睛：应用余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60︒︒︒等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18．0,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】先利用20S AC ⋅=解得角A ，然后利用余弦定理及基本不等式解得bc 的取值范围，再根据1sin 2S bc A =求解S 的取值范围. 【详解】由20S AC +⋅=得：sin cos 0bc A A +=，即sin A A =0,解得：[]tan 0A A π=∈，，所以23A π=.又||BC a ==222222cos a b c bc A b c bc =+-=++所以223b c bc ++=，又B 不是最小角，所以22323b c bc bc bc bc =++>+=，得1bc <，故11sin 122S bc A =<⨯=，又0S >，所以0S <<.故答案为：0,4⎛ ⎝⎭.【点睛】本题考查解三角形中三角形面积最值的计算问题，难度一般. 一般地，在△ABC 中，已知一角及其对边求三角形面积最值及周长最值，都采用余弦定理，结合基本不等式得出另外两边之积或两边之和的最值即可得到答案.19．8+【分析】由诱导公式、两角和的余弦公式化简已知的式子,由内角的范围、商的关系、特殊角的三角函数值求出B,结合条件判断出ABC 为等边三角形,设AOB θ∠=求出θ的范围,利用三角形的面积公式与余弦定理,表示出OACB S ,利用辅助角公式化简,由θ的范围和正弦函数的性质求出平面四边形OACB 面积的最大值.【详解】解:cos (cos )cos 0C A A B +-=，cos cos()C A B =-+cos cos cos cos()cos cos sin sin A B A B A B A B A B ∴=+=-cos sin sin A B A B =A 为三角形内角,sin 0A ≠, tanB ∴=∴由(0,)B π∈得,3B π=又a c =, ABC ∴为等边三角形设AOB θ∠=,则0θπ<<211||||sin ||222OACB AOB ABC S S S OA OB AB θ∴=+=⋅+⨯⨯)22142sin ||||2||||cos 24OA OB OA OB θθ=⨯⨯⨯++-⋅4sin 16224cos )4sin θθθθ=++-⨯⨯⨯=-+8sin 3πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭0θπ<<,2333πππθ∴-<-< ∴当32ππθ-=,即56πθ=时,sin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值1,∴平面四边形OACB 面积的最大值为8+【点睛】本题主要考查了诱导公式、两角和的余弦公式、余弦定理、三角形面积公式以及正弦函数的性质，题目较为综合，涉及面较广，属于难题.20． 【分析】利用辅助角公式，结合锐角三角形特点可求得C ；利用余弦定理化简已知等式可求得a ；利用正弦定理和锐角三角形角的大小可确定,sin c B 的取值范围，代入三角形面积公式可得结果.【详解】由sin 22C C =+sin 222sin 23C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 232C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭， ABC 为锐角三角形，0,2C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，22,333C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，3C π∴=，由余弦定理知：222222cos cos 22a c b a b c c B b C a a a+-+-+=+== ABC 为锐角三角形且3C π=，,62A ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 1sin ,12A ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，1sin ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理知：sin sin sin a C c A A ==∈， 1sin sin 2ABC S ac B B ∴==∈．故答案为：. 【点睛】 本题考查利用正余弦定理求解三角形面积取值范围的问题，关键是能够熟练应用正余弦定理进行边角转化，从而求得所需的边和角的取值范围，代入三角形面积公式求得结果.21．3【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得24cos 4cos 10C C ++=，可求得23C π=，利用余弦定理，基本不等式可求ab 的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】()28sin 2cos 272C A B =++，即()28sin 2cos 2702C A B -+-=，因为()()21cos 8sin 2cos 282cos 222C C A B C π--+=⋅-- ()2244cos 2cos 244cos 22cos 14cos 4cos 6C C C C C C =--=---=--+， 即24cos 4cos 10C C ++=，解得1cos 2C =-， 0C π<<，所以23C π=， 设a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即224a b ab =++．又因为22423a b ab ab ab ab =++≥+=，即43ab ≤，当且仅当a b =时等号成立．所以三角形ABC 的面积1sin 2S ab C M ==≤=．【点睛】 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22．2+ 【分析】连接AC ，设D θ∠=，利用余弦定理得出2AC 关于θ的表达式，然后利用三角形的面积公式将四边形ABCD 的面积表示为关于θ的三角函数，并利用三角恒等变换思想化简函数解析式，利用正弦函数的有界性可求得结果.【详解】连接AC ，设D θ∠=，则0θπ<<，在ACD 中，2AD =，1CD =，D θ∠=，由余弦定理得2222cos 54cos AC AD CD AD CD θθ=+-⋅=-，AB BC =，60ABC ∠=，ABC ∴是等边三角形，则四边形ABCD 的面积为21sin 24ACD ABC S S S AD CD AC θ=+=⋅⋅+)sin 54cos sin 2sin 3πθθθθθ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭， 0θπ<<，2333πππθ∴-<-<，当32ππθ-=时，四边形ABCD 的面积取最大值24+.故答案为：24+. 【点睛】 本题考查四边形面积最值的计算，涉及余弦定理、三角形面积公式以及正弦函数基本性质的应用，解答的关键就是将面积表示为以某角为自变量的三角函数，考查计算能力，属于中等题.23．92 【分析】由已知得ACD BCD ABC ABD S S S S ∆∆∆∆+=-1134sin 3sin 22ACB BD ADB =⨯⨯∠-⨯⨯⨯∠，转化为求出BD 与ACB ∠关系，设BD x =，在,ABC ABD ∆∆中，用余弦定理分别求出AB ，建立BD 与ACB ∠关系，化简即可.【详解】设BD x =，由余弦定理2222cos 2524cos AB AC BC AC BC ACB ACB =+-⋅∠=-∠2222AB AD BD AD BDcos ADB =+-⋅∠229696x xcos ADB x xcos ACB =+-∠=++∠，则2252496cos ACB x xcos ACB -∠=++∠，整理得2624160x cos ACB x cos ACB +∠⋅+∠-=，解得46x cos ACB =-∠，或4x =-（舍去），于是ACD BCD ABC ABD S S S S S ∆∆∆∆=+=-1134sin 3sin 22ACB x ADB =⨯⨯∠-⨯⨯∠ ()36sin 46cos sin 2ACB ACB ADB =∠--∠∠ 9sin 22ACB =∠ 当4ACB π∠=时，ACD ∆与BCD ∆面积之和S 取得最大值92. 故答案为：92. 【点睛】 本题考查余弦定理解三角形、求面积的最值，解题的关键是利用方程思想将边角关系统一，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.24．12-【分析】设ABM θ∠=，由此表示出AMB ∠，BNC ∠，利用正弦定理求得BM ，BN ，再由三角形面积公式表示BMN 的面积，从而由三角函数性质求得最小值.【详解】设ABM θ∠=，由题意可知23AMB πθ∠=-，2362BNC πππθθ⎛⎫∠=--=+ ⎪⎝⎭． 在ABM 和BCN 中，由正弦定理，可得sin sin BM AB A AMB =∠，sin sin BN BC C BNC=∠，所以sin sin sin 3AB A BM AMB θ==∠- ⎪⎝⎭sin sin BC C BN BNC ==∠故131222sin cos 3BMN S BM BN πθθ=⋅=⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中06πθ．记()2211cos 211sin cos cos sin cos sin 23222222f πθθθθθθθθ+⎛⎫=-=+=+⋅ ⎪⎝⎭1111sin 2cos 2sin 222223πθθθ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12πθ=时，()f θ取得12+，此时BMN S 取得最小值，故()min 3122BMN S ==-． 【点睛】本题考查由正弦定理解三角形进而表示面积，还考查了利用三角函数性质求最值，属于中档题.25【分析】根据题意，利用边化角公式和两角和与差，正弦公式化简求出2=3C π∠，结合余弦定理和基本不等式求出ab 最大值，最后利用三角形面积公式即可求出ABC ∆的面积的最大值. 【详解】解：由于(cos cos )cos 122a Bb A B a b +=+，4c =， 则：()sin cos cos sin cos 12sin sin 2A B A B B A B +=+，即：sin cos 12sin sin 2C B A B =+， 整理得：2sin cos =2sin sin =2sin cos 2sin cos sin C B A B B C C B B +++，即：2sin cos sin =0B C B +，()sin 2cos 1=0B C +，sin B >0，则1cos =-2C ，2=3C π∴∠， 由余弦定理得：2222cos e a b ab C =+-,22162cos a b ab C =+-，即：221623a b ab ab =+-≥，即：163ab ≤， 当且仅当a b =时，取等号， ab ∴最大值为163， 而ABC ∆的面积为S=1sin 2ab C ，则面积的最大值S=1162sin 233π⨯⨯=，. 【点睛】 本题考查正弦定理和余弦定理的应用，以及基本不等式求最值，还有三角形的面积公式，两角和与差，正弦公式，考查计算能力.26．(12,14⎤⎦【分析】cos 1A C -=，由三角形面积公式可得21S ，22S ，由24BD <<确定cos C 的取值范围后即可得解.【详解】在△ABD 中，2222cos 16BD AB AD AB AD A A =+-⋅⋅=-，在△BCD 中，2222cos 88cos BD BC CD BC CD C C =+-⋅⋅=-，所以1688cos A C -=-cos 1A C -=， 所以2222211sin 1212cos 4S AB AD A A =⋅⋅=-，2222221sin 44cos 4S BC CD C C =⋅⋅=-， 22222121212cos 44cos 8cos 8cos 12S S A C C C +=-+-=--+，因为24BD -<<，所以()288cos 16C BD -=∈-，解得1cos 1C -<<，所以(22221218cos 8cos 128cos 1412,142S S C C C ⎛⎫⎤+=--+=-++∈ ⎪⎦⎝⎭.故答案为：(12,14⎤⎦.【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式的应用，考查了函数思想，属于中档题.27．1 【分析】设AC b =，ACB α∠=，ABC β∠=，则BCD ∆的面积12sin()sin()244S DC DC ππαα=⨯+=+，在ABC ∆中，运用余弦定理，表示出AC ，根据ACD ∆是以D 为顶点的等腰直角三角形，得到DC ，代入面积公式，利用三角函数即可求BCD ∆面积的最大值．【详解】在ABC ∆中，设AC b =，ACB α∠=，ABC β∠=在ABC ∆中，1AB =，2BC =，由余弦定理，可得24113cos ()44b b b bα+-==+，由3b b +≥=当且仅当b =即有cos α≥，由于(0,)απ∈ 则06πα<≤，利用余弦定理可得：2222cos AC BC AB BC AB β=+-⋅，化简得：254cos b β=-，又因为ACD ∆是以D 为顶点的等腰直角三角形，则2215=2cos 22DC b β=- ， 在ABC ∆中，由正弦定理可得：sin sin b AB βα=，即：sin sin b αβ=，则sin CD αβ=，由于2222cos (1sin )CD CD αα=- 222sin CD CD α=-221sin 2CD β=- 251=2cos sin 22ββ-- 21cos 2cos 22ββ=-+ 21(2cos )2β=-，即cos cos )CD αβ=- 所以BCD ∆的面积12sin()sin()244S DC DC ππαα=⨯+=+sin cos DC αα=+sin (2cos )222DC αβ=+⨯-(2cos )2222ββ=+- 11=sin cos 122ββ++)124πβ=++当=4πβ时，sin()4πβ+取最大值1，所以BCD ∆的面积的最大值为+12故答案为1+. 【点睛】 本题考查三角形面积的最值的求法，注意运用余弦定理和面积公式，同时考查不等式的运用，属于难题．28．56π 32+【分析】利用正弦定理边角互化结合B 的取值范围可求得3B π∠=，可判断出ABC 为等边三角形，利用余弦定理求得2106cos AC θ=-，利用三角形的面积公式可得出四边形ABCD 的面积关于θ的表达式，利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可求得四边形ABCD 面积的最大值及其对应的θ的值，即可得解.【详解】 ()3cos cos 2sin a C c A b B +=，)2sin cos cos sin 2sin A C A C B +=，所以，()()22sin B A C B B π=+=-=，3CAB π∠=，20,3B π⎛⎫∴∠∈ ⎪⎝⎭，可得sin 0B >，sin 2B ∴=，3B π∴∠=， 所以，ABC 为等边三角形，设D θ∠=，则0θπ<<，由余弦定理可得2222cos 106cos AC AD CD AD CD θθ=+-⋅=-，()21sin 106cos 23422ABC S AC πθθ==-=-△， 13sin sin 22ACD S AD CD θθ=⋅=△， 所以，四边形ABCD 的面积为3sin cos 3sin 22232ACD ABC S S S πθθθ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭△△， 0θπ<<，2333πππθ∴-<-<，所以，当32ππθ-=时，即当56D πθ∠==时，四边形ABCD 的面积取最大值32+.故答案为：56π；3 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.29．90【分析】设AD t =，根据BD =，得到BD =，然后利用余弦定理解得2AB t =，由222AB AD BD =+得解；由AB 是圆的直径，则90ACB ∠=，设BAC θ∠=，表示cos AB θ=，BC θ=，cos BD θ=，60CBD θ∠=-，得到()()1sin 600602BCD S BD BC θθ=⋅⋅-<<，利用三角恒等变换化简为2tan S θ=-+⎭. 【详解】设AD t =，因为BD =，所以BD =，由余弦定理得：)2222cos 60t AB tAB =+-，解得2AB t =，所以222AB AD BD =+，所以90ADB ∠=，所以AB 是圆的直径，则90ACB ∠=，设BAC θ∠=，所以AB =，BC θ=，BD =，60CBD θ∠=-，所以()()1sin 600602ABC S BD BC θθ=⋅⋅-<<，()1sin 602θθ=⨯-，()2sin 60cos θθθ⨯-=，2212sin cos cos θθθθ-=，212tan θθ=-，2tan θ=-+⎭当tan 2θ=时，BCD面积取得最大值为故答案为：（1）90；（2）【点睛】本题主要考查余弦定理，三角恒等变换在平面几何中的应用，还考查了数形结合思想和运算求解的能力，属于中档题.30．4530 【分析】在BCD 中应用正弦定理得sin BDC ∠，然后得余弦值，根据60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒，得ABCD 是圆内接四边形，因此有BAC ADC ∠=∠是确定的角，这样只要求得ABC 面积的最大值即可得AB AC ⋅的最大值，而BC =A 到BC 的距离最大即可，它是线段BC 的中垂线与四边形ABCD 外接圆的交点时，得最大值．【详解】 BCD 中，sin sin BD BC BCD BDC =∠∠，△3sin 5BDC ∠==，BDC ∠为锐角，△4cos 5BDC ∠=，△60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒，△,,,A B C D 四点共圆，△BC =△当A 到BC 的距离最大时，ABC 面积最大，此时A 是边AB 的中垂线与外接圆的交点，设A '在BC 的中垂线上，O 是圆心，E 是BC 中点，则,,A O E '共线，A E BC '⊥，外接圆的直径为52sin sin1203BD R BCD ===∠︒，3OA OB OC '===，又12CE BE BC ===△OE ==A E OA OE ''=+= 11922A BC S BC A E ''=⋅=⨯=△，又113sin sin 2210A BC S AB AC BA C A B A C BDC A B A C ''''''''=⋅∠=⋅∠=⋅△， △3910A B A C ''⋅=，△30A B A C ''⋅=． 又113sin sin 2210ABC S AB AC BAC AB AC BDC AB AC =⋅∠=⋅∠=⋅， △AB AC ⋅的最大值是30． 故答案为：45；30【点睛】本题考查正弦定理，考查四点共圆，三角形面积公式，解题的关键是利用边BC 为定值，BAD ∠为定值，把问题转化为求ABC 面积的最大值，利用点在圆上，由圆的性质可三角形面积最大时点的位置，从而易求解．31． 8+。
2024年高考数学专项复习数列中的奇偶项问题(微专题)(解析版)
数列中的奇偶项问题(微专题)题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和1(深圳市罗湖区期末试题)已知数列a n中，a1=2，na n+1-n+1a n=1n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n+1,n为奇数,2a n+1,n为偶数，求数列bn的前100项和.1(2023·黑龙江大庆·统考三模)已知数列a n满足a1+3a2+⋯+2n-1a n=n．(1)证明：1a n是一个等差数列；(2)已知c n=119a n,n为奇数a n a n+2,n为偶数，求数列c n 的前2n项和S2n．2024年高考数学专项复习数列中的奇偶项问题（微专题）（解析版）2(2023·吉林·统考三模)已知数列a n满足a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数an的前n项和为S n．(1)求a1，a2，并判断1024是数列中的第几项；(2)求S2n-1．3(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知数列a n满足a1=1，a2n+1=a2n+1，a2n=2a2n-1.(1)求数列a n的通项公式；(2)设T n=1a1+1a2+⋯+1a n，求证：T2n<3.4(2023·湖南邵阳·统考三模)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 3=5,S 9=81，数列{b n }满足a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3.(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n =b n ,n 为奇数1a n a n +2,n 为偶数，n 为偶数，求{c n }前2n 项和T 2n .5(2023·湖南岳阳·统考三模)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，其公比q ≠-1，a 4+a 5a 7+a 8=127，且S 4=a 3+93．(1)求数列a n 的通项公式；(2)已知b n =log 13a n ,n 为奇数a n,n 为偶数，求数列b n 的前n 项和T n ．2【2020年新课标1卷文科】数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1，前16项和为540，则a1=1(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列{a n}是正项等比数列，满足a3是2a1、3a2的等差中项，a4=16．(1)求数列{a n}的通项公式；log，求数列{b n}的前n项和T n．(2)若b n=-1n⋅2a2n+12【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.n n+13(2023·广东深圳·统考一模)记S n，为数列a n的前n项和，已知S n=a n2+n2+1，n∈N*．(1)求a1+a2，并证明a n+a n+1是等差数列；(2)求S n．1(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n前n项和为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n和数列b n的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.2(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n前n项和满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n的通项公式；和数列b n(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.数列中的奇偶项问题(微专题)题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和1(深圳市罗湖区期末试题)已知数列a n中，a1=2，na n+1-n+1a n=1n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n+1,n为奇数,2a n+1,n为偶数，求数列bn的前100项和.【解析】【小问1详解】∵na n+1-n+1a n=1,∴a n+1n+1-a nn=1n-1n+1,a n+1+1n+1=a n+1n，所以a n+1n是常数列，即a n+1n=a1+11=3,∴a n=3n-1；【小问2详解】由(1)知，a n是首项为2，公差为3等差数列，由题意得b2n-1=a2n-1=6n-4，b2n=2a2n+1=12n+4，设数列b2n-1，b2n的前50项和分别为T1，T2，所以T1=50b1+b992=25×298=7450，T2=50×b2+b1002=25×620=15500，所以b n的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950；综上，a n=3n-1，b n的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950.1(2023·黑龙江大庆·统考三模)已知数列a n满足a1+3a2+⋯+2n-1a n=n．(1)证明：1a n是一个等差数列；(2)已知c n=119a n,n为奇数a n a n+2,n为偶数，求数列c n 的前2n项和S2n．【答案】(1)证明见详解(2)S2n=2n-1n19+n34n+3【详解】(1)当n=1时，可得a1=1，当n≥2时，由a1+3a2+⋯+2n-1a n=n，则a1+3a2+⋯+2n-3a n-1=n-1n≥2，上述两式作差可得a n=12n-1n≥2，因为a1=1满足a n=12n-1，所以a n的通项公式为a n=12n-1，所以1a n=2n-1，因为1a n-1a n-1=2n-1-2n-3=2(常数)，所以1a n是一个等差数列．(2)c n=2n-119,n为奇数12n-12n+3,n为偶数 ，所以C1+C3+⋯C2n-1=1+5+9+⋯4n-319=2n-1n19，C2+C4+⋯C2n=1413-17+17-111+⋯+14n-1-14n+3=n34n+3所以数列c n的前2n项和S2n=2n-1n19+n34n+3．2(2023·吉林·统考三模)已知数列a n满足a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数an的前n项和为S n．(1)求a1，a2，并判断1024是数列中的第几项；(2)求S2n-1．【答案】(1)a1=12，a2=4；1024是数列a n的第342项(2)S2n-1=4n6+3n2-5n+116【详解】(1)由a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数可得a1=12，a2=4．令2n-2=1024=210，解得：n=12为偶数，不符合题意，舍去；令3n-2=1024，解得：n=342，符合题意．因此，1024是数列a n的第342项．(2)S2n-1=a1+a2+a3+a4+⋅⋅⋅+a2n-2+a2n-1=12+4+2+10+⋅⋅⋅+6n-8+22n-3=12+2+⋅⋅⋅+22n-3+4+10+⋅⋅⋅+6n-8=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4n6+3n2-5n+116．另解：由题意得a2n-1=22n-3，又a2n+1a2n-1=4，所以数列a2n-1是以12为首项，4为公比的等比数列．a2n=6n-2，又a2n+2-a2n=6，所以数列a2n是以4为首项，6为公差的等差数列．S2n-1为数列a2n-1的前n项和与数列a2n的前n-1项和的总和．故S2n-1=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4n6+3n2-5n+116.3(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知数列a n满足a1=1，a2n+1=a2n+1，a2n=2a2n-1.(1)求数列a n的通项公式；(2)设T n=1a1+1a2+⋯+1a n，求证：T2n<3.【答案】(1)a n=2n+12-1,n为奇数, 2n2+1-2,n为偶数.(2)证明见解析.【详解】(1)由题意a2n+1=a2n+1=2a2n-1+1,所以a2n+1+1=2a2n-1+1,因为a1+1=2≠0,所以数列a2n-1+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以a2n-1+1=2n,即a2n-1=2n-1,而a2n=2a2n-1=2n+1-2,所以a n=2n+12-1,n为奇数, 2n2+1-2,n为偶数.(2)方法一：由(1)得T2n=ni=11a2i-1+1a2i=32ni=112i-1=32ni=12i+1-12i-12i+1-1<32ni=12i+12i-12i+1-1=3ni=12i2i-12i+1-1=3ni=112i-1-12i+1-1=31-12n+1-1<3方法二：因为2n-1≥2n-1n∈N*,所以T2n=∑ni=11a2i-1+1a2i=32∑n i=112i-1≤32∑n i=112i-1=31-12n<34(2023·湖南邵阳·统考三模)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5,S9=81，数列{b n}满足a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3.(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n =b n ,n 为奇数1a n an +2,n 为偶数，n 为偶数，求{c n }前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =2n -1,b n =3n (2)T 2n =3⋅9n 8-116n +12-724【详解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=5S 9=81 ，即a 1+2d =59a 1+9×82d =81 ，∴a 1=1,d =2，∴a n =2n -1.∵a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3，①∴a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n -1b n -1=n -2 ⋅3n +3n ≥2 ，②所以①-②得，a n b n =2n -1 ⋅3n ，∴b n =3n n ≥2 .当n =1时，a 1b 1=3,b 1=3，符合b n =3n .∴b n =3n .(2)T 2n =c 1+c 2+c 3+⋯+c 2n ，依题有：T 2n =b 1+b 3+⋯+b 2n -1 +1a 2a 4+1a 4a 6+⋯+1a 2n a 2n +2.记T 奇=b 1+b 3+⋯+b 2n -1，则T 奇=3(1-32n )1-32=32n +1-38.记T 偶=1a 2a 4+1a 4a 6+⋯+1a 2n a 2n +2，则T 偶=12d 1a 2-1a 4 +1a 4-1a 6 +⋯+1a 2n -1a 2n +2=12d 1a 2-1a 2n +2=1413-14n +3 .所以T 2n =32n +1-38+1413-14n +3 =3⋅9n 8-116n +12-7245(2023·湖南岳阳·统考三模)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，其公比q ≠-1，a 4+a 5a 7+a 8=127，且S 4=a 3+93．(1)求数列a n 的通项公式；(2)已知b n =log 13a n ,n 为奇数a n,n 为偶数，求数列b n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =3n (2)T n =18×3n +1-98-n +1 24,n 为奇数983n -1-n 24,n 为偶数【详解】(1)因为a n 是等比数列，公比为q ≠-1，则a 4=a 1q 3,a 5=a 1q 4，a 7=a 1q 6,a 8=a 1q 7，所以a 4+a 5a 7+a 8=a 1q 3+a 1q 4a 1q 6+a 1q 7=1q 3=127，解得q =3，由S 4=a 3+93，可得a 11-34 1-3=9a 1+93，解得a 1=3，所以数列a n 的通项公式为a n =3n ．(2)由(1)得b n =-n ,n 为奇数3n ,n 为偶数，当n 为偶数时，T n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n =b 1+b 3+⋅⋅⋅+b n -1 +b 2+b 4+⋅⋅⋅+b n =-1+3+⋅⋅⋅+n -1 +32+34+⋅⋅⋅+3n=-n2⋅1+n -12×+91-9n 21-9=983n -1 -n 24；当n 为奇数时T n =T n +1-b n +1=983n +1-1 -n +1 24-3n +1=18×3n +1-98-n +1 24；综上所述：T n =18×3n +1-98-n +1 24,n 为奇数983n -1-n 24,n 为偶数.题型二、含有(-1)n 类型2【2020年新课标1卷文科】数列{a n }满足a n +2+(-1)n a n =3n -1，前16项和为540，则a 1=【答案】7【解析】a n +2+(-1)n a n =3n -1，当n 为奇数时，a n +2=a n +3n -1；当n 为偶数时，a n +2+a n =3n -1.设数列a n 的前n 项和为S n ，S 16=a 1+a 2+a 3+a 4+⋯+a 16=a 1+a 3+a 5⋯+a 15+(a 2+a 4)+⋯(a 14+a 16)=a 1+(a 1+2)+(a 1+10)+(a 1+24)+(a 1+44)+(a 1+70)+(a 1+102)+(a 1+140)+(5+17+29+41)=8a 1+392+92=8a 1+484=540，∴a 1=7.故答案为：7.1(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列{a n }是正项等比数列，满足a 3是2a 1、3a 2的等差中项，a 4=16．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =-1 n ⋅2a 2n +1log ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3是2a 1、3a 2的等差中项，所以2a 3=2a 1+3a 2，即2a 1q 2=2a 1+3a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2-3q -2=0，解得q =2或q =-12，因为数列{a n }是正项等比数列，所以q =2．因为a 4=16，即a 4=a 1q 3=8a 1=16，解得a 1=2，所以a n =2×2n -1=2n ；(2)解法一：(分奇偶、并项求和)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，①若n 为偶数，T n =-3+5-7+9-⋯-2n -1 +2n +1 =-3+5 +-7+9 +⋯+-2n -1 +2n +1 =2×n2=n ；②若n 为奇数，当n ≥3时，T n =T n -1+b n =n -1-2n +1 =-n -2，当n =1时，T 1=-3适合上式，综上得T n =n ,n 为偶数-n -2,n 为奇数(或T n =n +1 -1 n -1，n ∈N *)；解法二：(错位相减法)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，T n =-1 1×3+-1 2×5+-1 3×7+⋯+-1 n ⋅2n +1 ，所以-T n =-1 2×3+-1 3×5+-1 4×7+⋯+-1 n +1⋅2n +1 所以2T n =3+2[-1 2+-1 3+⋯+-1 n ]--1 n +12n +1 ，=-3+2×1--1 n -12+-1 n 2n +1 =-3+1--1 n -1+-1 n 2n +1=-2+2n +2 -1 n ，所以T n=n+1-1n-1，n∈N*2【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.【答案】(1)a n=2n-1，S n=n2；(2)T n=(-1)n n(n+1)2.【解析】【分析】(1)利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前n项和即可；(2)根据(1)中所求即可求得b n，对n分类讨论，结合等差数列的前n项和公式，即可容易求得结果.【详解】(1)由S5=5(a1+a5)2=5×2a32=5a3=25得a3=5.又因为a5=9，所以d=a5-a32=2，则a3=a1+2d=a1+4=5，解得a1=1；故a n=2n-1，S n=n(1+2n-1)2=n2.(2)b n=(-1)n n2.当n为偶数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-1+b n=-12+22+-32+42+⋯+-(n-1)2+n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[n-(n-1)]×[n+(n-1)] =1+2+3+⋯+(n-1)+n=n(n+1)2.当n为奇数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-2+b n-1+b n=-12+22+-32+42+-(n-2)2+(n-1)2-n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[(n-1)-(n-2)]×[(n-1)+(n-2)]-n2 =1+2+3+⋯+(n-2)+(n-1)-n2=(n-1)(1+n-1)2-n2=-n(n+1)2.综上得T n=(-1)n n(n+1)2题型三、a n+a n+1类型3(2023·广东深圳·统考一模)记S n，为数列a n的前n项和，已知S n=a n2+n2+1，n∈N*．(1)求a1+a2，并证明a n+a n+1是等差数列；(2)求S n．【解析】(1)已知S n=a n2+n2+1，n∈N*当n=1时，a1=a12+2，a1=4；当n=2时，a1+a2=a22+5，a2=2，所以a1+a2=6．因为S n=a n2+n2+1①，所以S n+1=a n+12+n+12+1②．②-①得，a n+1=a n+12-a n2+n+12-n2，整理得a n+a n+1=4n+2，n∈N*，所以a n+1+a n+2-a n+a n+1=4n+1+2-4n+2=4(常数)，n∈N*，所以a n+a n+1是首项为6，公差为4的等差数列．(2)由(1)知，a n-1+a n=4n-1+2=4n-2，n∈N*，n≥2．当n为偶数时，S n=a1+a2+a3+a4+⋯+a n-1+a n=n26+4n-22=n2+n；当n为奇数时，S n=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a n-1+a n=4+n-1210+4n-22=n2+n+2．综上所述，S n=n2+n,当n为偶数时n2+n+2,当n为奇数时1(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n前n项和为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n和数列b n的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.【答案】(1)a n=n,n=2k-1,k∈Zn-1,n=2k,k∈Z，bn=3n-1；(2)58n-59n8.【分析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，又b 2=3，∴n ≥2时，b n =3n -1，b 1=1=30，∴b n =3n -1；(2)由(1)得c n =n 3n -1,n =2k -1,k ∈Zn -1 3n -1,n =2k ,k ∈Z ，T 2n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -2 +1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -1 =41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 设K n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 ①则9K n =1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n ②①-②得-8K n =1+232+34+⋅⋅⋅+32n -2-2n -1 ⋅32n=5+8n -5 9n-4，K n =5+8n -5 9n 32，∴T 2n =58n -5 9n82(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n 满足a 1=1，a n +a n +1=2n ；数列b n 前n 项和为S n ，且b 1=1，2S n =b n +1-1.(1)求数列a n 和数列b n 的通项公式；(2)设c n =a n ⋅b n ，求c n 前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，b n =3n -1；(2)58n -5 9n8.【解析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，又b 2=3，∴n ≥2时，b n =3n -1，b 1=1=30，∴b n =3n -1；(2)由(1)得c n =n 3n -1,n =2k -1,k ∈Zn -1 3n -1,n =2k ,k ∈Z ，T 2n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -2 +1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -1 =41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 设K n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 ①则9K n =1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n ②①-②得-8K n =1+232+34+⋅⋅⋅+32n -2-2n -1 ⋅32n=5+8n -5 9n-4，K n =5+8n -5 9n 32，∴T 2n =58n -5 9n8。
高三数学二轮复习专题突破课件：解析几何
A．[1，＋∞) B．[－1，－ )
3
C．( ，1]
4
4
D．(－∞，－1]
答案：B
解析：∵y＝kx＋4＋2k＝k(x＋2)＋4，所以直线过定点(－2，4)，曲线y＝
4 − x 2 变形为x2＋y2＝4(y≥0)，表示圆的上半部分，当直线与半圆相切时直线斜
3
率为k＝－ ，当直线过点(2，0)时斜率为－1，结合图象可知实数k的取值范围是
a=2
所以 ሺ2 − 3 − ሻ2 + 2 = 2 ，解得 b = 1 .
r=2
2 + ሺ1 − ሻ2 = 2
所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
4．[2023·广东深圳二模]过点(1，1)且被圆x2 ＋y2 －4x－4y＋4＝0所
x＋y－2＝0
截得的弦长为2 2的直线的方程为___________．
－2)的距离为 2 − 0 2 + 0 + 2 2 ＝2 2，由于圆心
α
2
5
＝
2 2 2 2
α
αபைடு நூலகம்
α ＝ 2sin cos ＝
2
2
与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin ＝
10
α
6
， 所 以 cos ＝ ， 所 以 sin
4
2
4
10
6
15
2×
× ＝ .故选B.
4
4
4
r
＝
(2)[2023·河南郑州二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2
解析：圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝4，
圆心为(2，2)，半径r＝2，
利用频率直方图求中位数、众数、平均数-高考数学微专题突破含详解
高考数学微专题突破利用频率分布直方图求中位数、平均数、总数一、单选题1．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在[]80,150内现将这100名学生的成绩按照[)8090，，[)90100，，[)100110，，[)110120，，[)120130，，[)130140，，[]140150，分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A ．频率分布直方图中a 的值为0.040B ．样本数据低于130分的频率为0.3C ．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D ．总体分布在[)90100，的频数一定与总体分布在[)100110，的频数相等2．2020年，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如下图所示），已知学习时长在[)9,11的学生人数为25，则n 的值为（）A ．40B ．50C ．80D ．1003．某地工商局对辖区内100家饭店进行卫生检查并评分，分为甲、乙、丙、丁四个等级，其中分数在[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100内的等级分别为：丁、丙、乙、甲，对饭店评分后，得到频率分布折线图，如图所示，估计这些饭店得分的平均数是（）A ．80.5B ．80.6C ．80.7D ．80.84．下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考数学成绩，现在只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图（从左至右依次为第1至第5次），则从图中可以读出一定正确的信息是（）A ．甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数B ．甲同学的成绩的方差大于乙同学的成绩的方差C ．甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差D．甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数5．下面是追踪调查200个某种电子元件寿命（单位:h)频率分布直方图，如图：其中300-400、400-500两组数据丢失，下面四个说法中有且只有一个与原数据相符，这个说法是①寿命在300-400的频数是90；②寿命在400-500的矩形的面积是0.2；③用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为：⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1500.12500.153500.454500.155500.15④寿命超过400h的频率为0.3A．①B．②C．③D．④6．为了解某电子产品的使用寿命，从中随机抽取了100件产品进行测试，得到图示统计图.依据统计图，估计这100件产品使用寿命的中位数为（）A．218.25B．232.5C．231.25D．241.25 7．为了让学生了解社会，拓宽视野，丰富知识，提高社会实践能力和综合素质，哈三中团委组织学生参加了抽测一批棉花的纤维长度(单位：cm)的社会实践活动.利用所学习的数学知识，同学们作出了样本的频率分布直方图.现在，由于原始数据不全，只能通过直方图来估计这一批棉花的纤维长度的平均值(同一组数据用这组数据所在区间的中点的值代替).则估计的平均值为（）A．21.75B．22.25C．23.75D．20.75 8．为了了解某校九年级1600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是（）A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有32人9．某地气象局把当地某月(共30天)每一天的最低气温作了统计，并绘制了如下图所示的统计图.记这组数据的众数为M，中位数为N，平均数为P，则（）A ．M N P <<B ．N M P <<C ．P M N <=D ．P N M<<10．在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩按[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[)90,100分成六组，其频率分布直方图如图所示，则下列说法中错误的是（）.A ．成绩在[)70,80内的考生人数最多B ．不及格（60分以下）的考生人数约为1000人C ．考生竞赛成绩平均分的估计值为70.5分D ．考生竞赛成绩中位数的估计值为75分11．在2019年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的物成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)80,90，[]90,100，90分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（）A ．从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人B ．若要全省的合格考通过率达到96%，则合格分数线约为44分C ．若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试物理成绩的平均分约为70D ．该省考生物理成绩的中位数为75分第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题12．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组，绘制成如图所示的频率直方图，已知图中从左到右的第一､二､三､四､五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.则估计高一参赛学生的成绩的众数､中位数分别为____________.13．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：g ）绘制的频率分布直方图，样本数据分为8组，分别为[)80,82，[)82,84，[)84,86，[)86,88，[)88,90，[)90,92，[)92,94，[]94,96，则样本的中位数在第______组14．某中学举行了一场音乐知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图.根据频率分布直方图，同一组数据用该区间的中点值代替，估计这次竞赛的平均成绩为______分.三、双空题15．根据高二某班50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示，虽不小心将其中一个数据污染了，但依然可以推断这个被污染的数据为_________，该班同学的成绩众数为_________.16．中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示.从左至右五个小组的频率之比依次是5∶7∶12∶10∶6，则这400名学生视力的众数为________，中位数为________.四、解答题17．有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的61.0010-⨯的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．某海鲜市场进口了一批这种鱼，质监部门对这种鱼进行抽样检测，在30条鱼的样本中发现的汞含量（乘以百万分之一）如下：0.070.340.950.98 1.020.98 1.37 1.400.39 1.021.44 1.580.54 1.080.710.70 1.20 1.24 1.62 1.681.85 1.300.810.820.84 1.39 1.262.200.91 1.31（1）完成下面频率分布表，并画出频率分布直方图；频率分布表：分组频数频率[)0,0.50[) 0.50,1.001 3[) 1.00,1.50[) 1.50,2.002 15[)2.00,2.5011 30合计301频率分布直方图：（2）根据频率分布直方图估算样本数据的平均值（保留小数点后两位，同一组中的数据用该组区间中点值代表），并根据频率分布直方图描述这批鱼身体中汞含量的分布规律．18．经历过疫情，人们愈发懂得了健康的重要性，越来越多的人们加入了体育锻炼中，全民健身，利国利民，功在当代，利在千秋．一调研员在社区进行住户每周锻炼时间的调查，随机抽取了300人，并对这300人每周锻炼的时间（单位：小时）进行分组，绘制成了如图所示的频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图，并估算该社区住户每周锻炼时间的中位数（精确到0.1）；（2）若每周锻炼时间超过6小时就称为运动卫士，超过8小时就称为运动达人．现利用分层抽样的方法从运动卫士中抽取5人，再从这5人中抽取2人做进一步调查，求抽到的2人中恰有1人为运动达人的概率．19．经历过疫情，人们愈发懂得了健康的重要性，越来越多的人们加入了体育锻炼中，全民健身，利国利民，功在当代，利在千秋．一调研员在社区进行住户每周锻炼时间的调查，随机抽取了300人，并对这300人每周锻炼的时间（单位：小时）进行分组，绘制成了如图所示的频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图，并估算该社区住户每周锻炼时间的中位数（精确到0.1）；（2）若每周锻炼时间超过6小时就称为运动卫士，超过8小时就称为运动达人．现利用分层抽样的方法从运动卫士中抽取10人，再从这10人中抽取3人做进一步调查，设抽到的人中运动达人的人数为X ，求随机变量X 的分布列及期望．20．某贫困地区经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如图频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计这50位农民的平均年收入x （单位：千元，同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）为推进精准扶贫，某企业开设电商平台，让越来越多的农村偏远地区的农户通过经营网络商城脱贫致富．甲计划在A 店，乙计划在B 店同时参加一个订单“秒杀”抢购活动，其中每个订单由()*2,n n n N ≥∈个商品W 构成，假定甲、乙两人在A 、B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为p 、q ，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、商品W 总数量分别为X 、Y ．①求X 的分布列及数学期望()E X ；②若27sin4n p n n ππ=-，sin4n q nπ=，求当Y 的数学期望()E Y 取最大值时正整数n 的值．21．某地处偏远山区的古镇约有人口5000人，为了响应国家号召，镇政府多项并举，鼓励青壮劳力外出务工的同时发展以旅游业为龙头的乡村特色经济，到2020年底一举脱贫．据不完全统计该镇约有20%的人外出务工，下图是根据2020年扶贫工作期间随机调查本地100名在外务工人员的年收入（单位：千元）数据绘制的频率分布直方图．（1）根据样本数据估计该镇外出务工人员的创收总额（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）完成脱贫任务后，古镇党政班子并不懈怠，决心带领全镇人民在奔小康道路上再上一个新台阶，出台了多项优惠政策，鼓励本地在外人员返乡创业，调查显示年收入在35千元（含35千元）以上的人中有60%的人愿意返乡投资创业，年收入在35千元以下的人中有40%的人愿意返乡投资创业，请从样本数据中完成下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“是否愿意返乡投资创业和年收入有关”．35千元（含35千元）以上35千元以下愿意返乡投资创业不愿意返乡投资创业附：()()()()()22n ad bc X a b c d a c b d -=++++，()20P X k ≥0.100.050.0250.0100k 2.7063.8415.0246.63522．某市为大力推进生态文明建设，把生态文明建设融入市政建设，打造了大型植物园旅游景区.为了了解游客对景区的满意度，市旅游部门随机对景区的100名游客进行问卷调查（满分100分），这100名游客的评分分别落在区间[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100内，且游客之间的评分情况相互独立，得到统计结果如频率分布直方图所示.（1）求这100名游客评分的平均值（同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表）；（2）视频率为概率，规定评分不低于80分为满意，低于80分为不满意，记游客不满意的概率为p .（ⅰ）若从游客中随机抽取m 人，记这m 人对景区都不满意的概率为m a ，求数列{}m a 的前4项和；（ⅱ）为了提高游客的满意度，市旅游部门对景区设施进行了改进，游客人数明显增多，对游客进行了继续旅游的意愿调查，若不再去旅游记1分，继续去旅游记2分，每位游客有继续旅游意愿的概率均为p ，且这次调查得分恰为n 分的概率为n B ，求4B .23．2016年春节期间全国流行在微信群里发､抢红包，现假设某人将688元发成手气红包50个，产生的手气红包频数分布表如下：金额分组[)1,5[)5,9[)9,13[)13,17[)17,21[)21,25频数39171182（1）求产生的手气红包的金额不小于9元的频率；（2）估计手气红包金额的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（3）在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率．①若红包金额在区间[]21,25内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率；②随机抽取手气红包金额在[)[]1,521,25⋃内的两名幸运者，设其手气金额分别为m ，n ，求事件“16m n ->”的概率．24．绿色已成为当今世界主题，绿色动力已成为时代的驱动力，绿色能源是未来新能源行业的主导．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,N μσ，经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50．用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值；（ⅰ）现从该汽车公司最新研发的新能源汽车中任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的概率；（ⅱ）从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取10辆，设这10辆汽车中单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的数量为Y ，求()E Y ；（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正、反面的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第n 格的概率为(1,2,,50)n P n = ，其中01P =，试说明{}1n n P P --是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<+≈ ，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈ ，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈ .25．某地处偏远山区的古镇约有人口5000人，为了响应国家号召，镇政府多项并举，鼓励青壮劳力外出务工的同时发展以旅游业为龙头的乡村特色经济，到2020年底一举脱贫.据不完全统计该镇约有20%的人外出务工.下图是根据2020年扶贫工作期间随机调查本地100名在外务工人员的年收入(单位：千元)数据绘制的频率分布直方图.（1）根据样本数据怙计该镇外出务工人员的创收总额(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；（2）假设该镇外出务工人员年收入服从正态分布()2,N μσ，其分布密度函数为22()2()x f x μσ--=，其中μ为样本平均值.若()f x 的最大值为10π，求σ的值；（3）完成脱贫任务后，古镇党政班子并不懈怠，决心带领全镇人民在奔小康道路上再上一个新台阶，出台了多项优惠政策，鼓励本地在外人员返乡创业.调查显示务工收入在[],2μσμσ++和[]2,3μσμσ++的人群愿意返乡创业的人数比例分别为15%和20%.从样本人群收入在[],3μσμσ++的人中随机抽取3人进行调查，设X 为愿意返乡创业的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.参考答案1．C 【分析】对于A :由频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，列出等式可求得a 的值，进而作出判断；对于B ：先计算高于130分的频率，然后再用1减去于高于130分的频率即可得到低于130分的频率，进而作出判断；对于C ：先计算[)80,120的频率和[)120130,的频率，再求出总体的中位数，进而作出判断；对于D ：根据样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等作出判断即可.【详解】由频率分布直方图得：()0.0050.0100.0100.0150.0250.005101a ++++++⨯=，解得0.030a =，故A 错误；样本数据低于130分的频率为：()10.0250.005100.7-⨯+=，故B 错误；[)80,120的频率为：()0.0050.0100.0100.015100.4+++⨯=，[)120130,的频率为：0.030100.3⨯=，∴总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.412010123.30.3-+⨯≈分，故C 正确；样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等，故D 错误.故选：C .【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于基础题.2．B 【分析】由频率分布直方图的性质，求得0.25x =，再结合频率分布直方图的频率的计算方法，即可求解.由频率分布直方图的性质，可得()20.050.150.051x +++=，解得0.25x =，所以学习时长在[)9,11的频率2520.5x n==，解得50n =.故选：B .【点睛】本题主要考查了频率分布直方图性质及其应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质是解答的关键，着重考查了数据分析能力，以及计算能力.3．A 【分析】根据频率分布折线图计算该组数据的平均数为650.15750.4850.2950.25⨯+⨯+⨯+⨯.【详解】由折线图可知，该组数据的平均数为650.15750.4850.2950.2580.5⨯+⨯+⨯+⨯=.故选：A.【点睛】此题考查根据频率分布折线图求平均数，关键在于熟练掌握平均数的求解公式.4．D 【分析】根据频数分布表中的数据，对选项中的命题进行分析，判断正误，即可得到本题答案.【详解】甲同学的成绩的平均数1051201201301401235x ++++<=，乙同学的成绩的平均数1051151251351451255y ++++>=，所以A 错误；甲同学的成绩从第1次到第5次变化波动比乙同学的成绩的变化波动更小一些，所以甲同学的成绩的方差小于乙同学的成绩的方差，所以B 错误；甲同学的成绩的极差介于()30,40之间，乙同学的成绩的极差介于()35,45之间，所以甲同学的成绩的极差不一定小于乙同学的成绩的极差，所以C 错误；甲同学的成绩的中位数介于()115,120之间，乙同学的成绩的中位数介于()125,130之间，所以D 正确.故选：D本题主要考查频数直方图的相关问题，其中涉及中位数、平均数、方差、极差的求解. 5．B【详解】若①正确，则300400-对应的频率为0.45，则400500-对应的频率为0.15，则②错误；电子元件的平均寿命为1500.12500.153500.454500.155500.15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，则③正确；寿命超过400h的频率为0.150.150.3+=，则④正确，故不符合题意；若②正确，则300400-对应的频率为0.4，则①错误；电子元件的平均寿命为1500.12500.153500.44500.25500.15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，则③错误；寿命超过400h的频率为0.20.150.35+=，则④错误，故符合题意.故选：B.6．C【分析】设中位数为x，根据中位数左边的频数为50列等式可求得x的值.【详解】设中位数为x，前2组的频数之和为25，前3组的频数之和为65，由题意可得20025405050x-+⨯=，解得231.25x=.故选：C.7．A【分析】利用频率分布直方图计算平均数的方法求解即可.【详解】所给数据频率之和为(0.010.070.080.020.02)51++++⨯=则估计的平均值为5(12.50.0117.50.0722.50.0827.50.0232.50.02) 4.35521.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=故选：A8．D 【分析】根据样本估计总体的知识依次判断各个选项即可得到结果.【详解】对于A ，设中位数为x ，则()()0.020.065250.080.5x +⨯+-⨯=，解得：26.25x =，即该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次，A 正确；对于B ，根据频率分布直方图知众数为：253027.52+=次，B 正确；对于C ，该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有16000.045320⨯⨯=人，C 正确；对于D ，该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有16000.025160⨯⨯=人，D 错误.故选：D.9．A 【分析】由统计图分别求出该月温度的中位数，众数，平均数，由此能求出结果．【详解】解：由统计图得：该月温度的中位数为565.52N +==，众数为5M =，平均数为1(233410566372829210) 5.9730P =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈．∴M N P <<．故选：A ．10．D 【分析】A ．根据频率分布直方图中哪一组数据的频率除以组距的值最大进行分析；B ．先分析60分以下对应的频率，再利用总体数量乘以所求频率即可得到结果；C ．利用每组数据的组中值乘以对应频率并将每组计算结果相加即可得到结果；D ．分析频率为0.5时对应的横坐标的值即为中位数.【详解】A ．根据统计图可知：[)70,80对应的频率除以组距的值最大，即频率最大，所以人数最多，故正确；B ．不及格的频率为：()0.0100.015100.25+⨯=，所以不及格的人数约为40000.25=1000⨯人，故正确；C ．根据频率分布直方图可知平均数为：()450.01550.015650.02750.03850.015950.011070.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，故正确；D ．前三组的频率之和为：()0.01+0.0150.02100.450.5+⨯=<，前四组的频率之和为：()0.01+0.0150.020.03100.750.5++⨯=>，所以中位数在第四组数据中，且中位数为：0.50.45701071.70.0310-+⨯≈⨯，故错误；故选：D.11．D 【分析】利用频率分布直方图的性质直接求解．【详解】解：对于A ，90分以上为优秀，由频率分布直方图得优秀的频率为0.010100.1⨯=，∴从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试生约有：10000.1100⨯=人，故A 正确；对于B ，由频率分布直方图得[40，50)的频率为0.01100.1⨯=，[50，100)的频率为：10.10.9-=，∴若要全省的合格考通过率达到96%，则合格分数线约为44分，故B 正确；对于C ，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试物理成绩的平均分约为：450.01010550.01510650.02010750.03010850.01510950.0101070.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=分，故C 正确；对于D ，[40，70)的频率为：(0.0100.0150.020)100.45++⨯=，[70，80)的频率为0.030100.3⨯=，∴该省考生物理成绩的中位数为：0.50.45701071.670.3-+⨯≈分，故D 错误．故选：D ．【点睛】本题考查频数、合格分数线、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．12．65，65【分析】频率分布直方图中最高矩形的中点横坐标即为众数，利用平分矩形面积可得中位数．【详解】由题图可知众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0.3，∴设中位数为60+x ，则0.3+x ×0.04=0.5，得x =5，∴中位数为60+5=65.故答案为：65，6513．四【分析】计算前几组的频率之和，判断频率为0.5在哪个区间即可判断中位数.【详解】根据频率分布直方图可知，前三组的频率之和为()0.03750.06250.07520.350.5++⨯=<，前四组的频率之和为()0.03750.06250.0750.120.550.5+++⨯=>，则可以判断中位数在第四组.故答案为：四.【点睛】本题考查根据频率分布直方图判断中位数所在区间，属于基础题.14．67.【分析】本题根据频率分布直方图直接求平均数即可.【详解】解：这次竞赛的平均成绩为：0.03055100.04065100.01575100.01085100.005951067⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=故答案为：67.【点睛】本题考查根据频率分布直方图求平均数，是基础题.15．0.016130【分析】利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可求得污染的数据;利用最高矩形底边的中点值可求得众数.【详解】设被污染的数据为a ，利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可得0.004100.02100.028100.03210101a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.016a =.由图可知，该班同学的成绩众数为130.故答案为：0.016，13016．4.7 4.75【分析】根据频率分布直方图，取最高矩形底边中点的横坐标即可求出众数，求出第三小组矩形的高，设中位数为x ，由()0.1250.175 4.5510.5x ++-⨯=，解方程即可求解.【详解】由图可知，众数为4.7，第五小组的频率为0.50.30.15⨯=从左至右五个小组的频率之比依次是5∶7∶12∶10∶6，可得第一小组的频率为50.150.1256⨯=，第二小组的频率为70.150.1250.1756⨯==，第三小组的频率为120.150.36⨯=，所以中位在第三小组，第三小组矩形面积为0.3，则第三小组的高为0.310.3=设中位数为x ，则()0.1250.175 4.5510.5x ++-⨯=，解得 4.75x =故答案为：4.7；4.75【点睛】本题考查了根据频率分布直方图求众数、中位数，考查了运算求解能力，属于基础题. 17．（1）填表见解析；作图见解析；（2）平均值为：1.08，答案见解析．【分析】（1）由样本数据，即可完善频率分布表中的数据，并画出频率直方图.（2）由（1）的频率直方图计算样本均值，进而描述汞含量分布规律.【详解】（1）由题设样本数据，则可得频率分布表如下，分组频数频率[)0,0.5031 10[)0.50,1.00101 3[)1.00,1.50122 5[)1.50,2.0042 15[)2.00,2.5011 30合计301（2）根据频率分布直方图估算平均值为：112210.250.75 1.25 1.75 2.25 1.0810351530⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈，分布规律：①该频率分布直方图呈中间高，两边低，大多数鱼身体中汞含量主要集中在区间[]0.5,1.5；②汞含量在区间[]1,1.5的鱼最多，汞含量在区间[]0.5,1的次之，在区间[]2,2.5的最少；③汞含量超过61.0010-⨯的数据所占比例较大，这说明这批鱼被人食用，对人体产生危害的可能性比较大．18．（1）作图见解析；中位数为4.3；（2）35．【分析】（1）设中位数为x ，则有()40.150.05x -⨯=，故可求中位数.（2）利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：（1）第二组的频率为()120.150.0750.050.10.25-⨯+++=，故第二组小矩形的高为0.125频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可得，第一组和第二组的频率之和为0.20.250.450.5+=<，前三组的频率之和为0.20.250.30.750.5++=>，可知中位数在第三组，设中位数为x ，则有()40.150.50.450.05x -⨯=-=，解得134.33x =≈，所以该社区住户每周锻炼时间的中位数为4.3；。
正余弦定理判定三角形形状-高考数学微专题突破含详解
正余弦定理判定三角形形状-高考数学微专题突破一、单选题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22202c a b ab-->，则△ABC （ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形2．在ABC 中，若3sin b B =，cos cos A C =，则ABC 形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形3．若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC 是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 22A b c c+=，则△ABC 是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形5．在ABC 中，2sin 22C a ba-=，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形6．在ABC 中，若20AB BC AB ⋅+=，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形7．若钝角三角形ABC 的三边长,8,()a b a b <成等差数列，则该等差数列的公差d 的取值范围是（ ） A ．(2,4)B ．(0,4)C ．(2,6)D ．(1,4)8．在ABC 中，a b c ，，分别是内角A B C ，，的对边，若222)4ABC a b c S +-=△（其中ABCS表示ABC 的面积），且角A 的平分线交BC 于E ，满足0AE BC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．有一个角是30的等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形9．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，且sin sin 1A C +=，则ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为120的非等腰三角形D ．顶角为120的等腰三角形10．已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，命题:p 若222a b c +>，则ABC 为锐角三角形，命题:q 若a b >，则cos cos A B <.下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若直线cos cos 0bx y A B ++=,cos cos 0ax y B A ++=平行，则ABC 一定是（ ）A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰或者直角三角形12．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足222cos cos cos A B C -+1sin sin A C =+，且sin sin 1A C +=，则ABC ∆的形状为（ ） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为150的等腰三角形D ．顶角为120的等腰三角形13．ABC 中三个角的对边分别记为a 、b 、c ，其面积记为S ，有以下命题：△21sin sin 2sin B CS a A=；△若2cos sin sin B A C =，则ABC 是等腰直角三角形；△222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+-；△2222(+)sin ()()sin ()a b A B a b A B -=-+，则ABC 是等腰或直角三角形.其中正确的命题是( ) A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△14．ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知222(cos cos )2cos a b a B b A ab B +-+=，则ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形15．在ABC ∆中，()()2222sin sin A B a b a b A B ++=--，则ABC ∆的形状是（ ） A ．等腰非直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角非等腰三角形D ．等腰或直角三角形16．对于ABC ∆，有如下四个命题:△若sin 2sin 2A B = ，则∆ABC 为等腰三角形， △若sin cos B A =，则∆ABC 是直角三角形△若222sin sin sin A B C +<，则∆ABC 是钝角三角形△若coscoscos222ab c AB C ==，则∆ABC 是等边三角形.其中正确的命题个数是 （ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4二、多选题17．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为△A 、△B 、△C 的对边，下列叙述正确的是（ ）A ．若sin sin a bB A = 则△ABC 为等腰三角形 B ．若cos cos a bB A= 则△ABC 为等腰三角形 C ．若ta ta a 0n n A t n B C ++>则△ABC 为锐角三角形 D ．若sin cos a b C c B =+，则△C 4π=18．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A bB a=，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形19．已知△ABC 的内角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若2cos c aB =，则ABC 一定是等腰三角形B ．若()()2222sin()sin()a bA B ab A B +-=-+，则ABC 是等腰或直角三角形C ．若22tan tan a A b B=，则ABC 一定是等腰三角形D ．若2b a c =+，且2cos28cos 50B B -+=，则ABC 是等边三角形20．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法中正确的有（ ） A ．若cos cos cos a b cA B C==，则ABC 一定是等边三角形 B ．若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形 C ．若cos cos b C c B b +=，则ABC 一定是等腰三角形 D ．若222a b c +<，则ABC 一定是钝角三角形 21．下列说法正确的有（ ）A ．在△ABC 中，a △b △c =sin A △sinB △sin CB ．在△ABC 中，若sin 2A =sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形 C ．△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的充要条件D ．在△ABC 中，若sin A=12，则A=6π22．在ABC ∆中，下列命题正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B >B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆定为等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC ∆定为直角三角形D ．若三角形的三边的比是3:5:7，则此三角形的最大角为钝角 23．在ABC ∆中，以下结论正确的是____________A ．若222a b c >+，则ABC ∆为钝角三角形B ．若222a b c bc =++，则A 为120︒C ．若222a b c +>，则ABC ∆为锐角三角形D ．若::1:2:3A B C =，则::1:2:3a b c =三、填空题24．在ABC 中，满足cos cos a Ab B=的三角形是______________三角形. 25．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若cos A ＝12，b ＋c ＝2a ，则△ABC 的形状为________.26．若以3，4，x 为三边长组成一个锐角三角形，则x 的取值范围是____________．27．对于ABC ，有如下命题：△若sin2A ＝sin2B ，则ABC 为等腰三角形； △若sin A ＝cos B ，则ABC 为直角三角形；△若sin 2A +sin 2B +cos 2C ＜1，则ABC 为钝角三角形； △若满足C ＝6π，c ＝4，a ＝x 的三角形有两个，则实数x 的取值范围为(4,8)． 其中正确说法的序号是_____．28．已知ABC 的内角,,A B C 成等差数列，且,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则有下列四个命题： △3B π=；△若,,a b c 成等比数列，则ABC 为等边三角形； △若2a c =，则ABC 为锐角三角形；△若2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，则3A C =.则以上命题中正确的有________________.( 把所有正确的命题序号都填在横线上 ). 29．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22cos sin sin cos a A B b A B =，则ABC 的形状为______.30．在ABC 中，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边，且a b c ，，成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则三角形的形状是________________．31．对于ABC ，有如下命题：()1若sin2sin2A B =，则ABC 一定为等腰三角形．()2若sin sin A B =，则ABC 一定为等腰三角形．()3若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 一定为钝角三角形．()4若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 一定为锐角三角形．则其中正确命题的序号是______ .(把所有正确的命题序号都填上) 四、解答题32．在ABC 中，已知a 2tan B =b 2tan A ，试判断△ABC 的形状.33．ABC 中，sin sin sin b a Ba B A+=-，且()cos cos 1cos2A B C C -+=-，判断ABC 的形状．34．在ABC 中，若22tan :tan :,A B a b =试判断ABC 的形状.35．在ABC 中，已知22(cos cos )()cos a b B c C b c A -=-，试判断ABC 的形状36．已知a b c ，，为ABC ∆的内角A B C ，，的对边，满足sin sin 2cos cos sin cos B C B C A A +--=，函数()sin f x x ω= (0)ω>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,π3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. （1）证明：2b c a +=； （2）若()cos 9f A π=，证明ABC 为等边三角形．37．已知锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan A ． （1）求角A 的大小；（2）当a c 2＋b 2的最大值，并判断此时△ABC 的形状．38．在ABC 中，6BC =，点D 在BC 边上，且()2cos cos AC AB A BC C -⋅=. （1）求角A 的大小；（2）若AD 为ABC 的中线，且AC =AD 的长；（3）若AD 为ABC 的高，且AD =ABC 为等边三角形.39．在△cos 220B B +=，△2cos 2b C a c =-，△b a =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若_____，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．40．在ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知4c =，3C π=.（1）若ABC 的面积等于ABC 的形状，并说明理由； （2）若ABC 是锐角三角形，求ABC 周长的取值范围.参考答案1．C 【分析】由余弦定理确定C 角的范围，从而判断出三角形形状． 【详解】由22202c a b ab-->得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形. 故选：C ． 2．C 【分析】首先利用正弦定理化边为角求出sin A 的值，再结合A C =，以及三角形的内角和即可求出,B C ，进而可得正确选项.【详解】由正弦定理知：2sin b R B =，2sin a R A =，则3sin b B =可化为：32sin 2sin sin R B R A B ⨯=. 因为0180B << 所以sin 0B ≠，所以sin A =，可得60A =或120， 又因为cos cos A C =， 所以A C ∠=∠所以60A =，60C =，180606060B ∠=--=， 所以ABC 为等边三角形. 故选：C. 3．B 【分析】首先利用余弦定理求出A ，再由sin 2sin cos A B C =利用正弦定理将角化边，以及余弦定理将角化边可得b c =，即可判断三角形的形状；解：()()3a b c b c a bc +++-=，[()][()]3b c a b c a bc ∴+++-=，22()3b c a bc ∴+-=， 22223b bc c a bc ++-=，222b bc c a -+=，根据余弦定理有2222cos a b c bc A =+-， 222222cos b bc c a b c bc A ∴-+==+-，2cos bc bc A =，1cos 2A =， 60A ∴=︒，又由sin 2sin cos A B C =，则sin 2cos sin A C B=，即22222a a b c b ab +-=，化简可得，22b c =， 即b c =，ABC ∴是等边三角形故选：B ． 4．A 【分析】用降幂公式变形后利用余弦定理得边的关系，从而判断出三角形形状． 【详解】在△ABC 中，因为2cos22A b c c +=，所以1cos 1222A b c +=+，所以cos A ＝b c. 由余弦定理，知2222b c a bbc c+-=，所以b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形. 故选：A ． 5．D利用二倍角公式、正弦定理可得出sin sin cos B A C =，利用两角和的正弦公式可得出cos sin 0A C =，求出A 的值，即可得出结论.【详解】21cos sin 222C C a b a--==，cos b a C ∴=，由正弦定理可得sin sin cos B A C =， 所以，()sin cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C =+=+，则cos sin 0A C =，0C π<<，则sin 0C >，cos 0A ∴=，0A π<<，2A π∴=，因此，ABC 为直角三角形.故选：D. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 6．B 【分析】先利用数量积运算化简得到2cos ac B c =，再利用余弦定理化简得解. 【详解】因为20AB BC AB ⋅+=， 所以2cos()0ac B c π-+=， 所以2cos ac B c =，所以22222a c b ac c ac+-⨯=，所以222b c a +=， 所以三角形是直角三角形. 故选：B 【点睛】方法点睛：判断三角形的形状，常用的方法有：（1）边化角；（2）角化边.在边角互化时常利用正弦定理和余弦定理. 7．A 【分析】设公差为d ，0d >，8,8a d b d =-=+，由最大角的余弦小于0得d 的一个范围，再由三线段长能构成三角形又可得d 的范围，两者结合可得结论． 【详解】由题意8b >，设公差为d ，0d >，8,8a d b d =-=+，设边长为8d +的边所对角为θ，则222(8)8(8)cos 028(8)d d d θ-+-+=<⨯⨯-，2>d ， 又888800d d d d -+>+⎧⎪->⎨⎪>⎩，即04<<d ，△24d <<． 故选：A ． 【点睛】易错点睛：本题考查由三角形形状求参数范围．三角形为钝角三角形，只要最大角为钝角即可．如果不能判断最大角，则需要分类讨论．解题中还不要忘记三条线段能构成三角形，否则出错． 8．B 【分析】由余弦定理和三角形面积公式结合已知得3A π=，由0AE BC ⋅=得AE BC ⊥，由角平分线得等腰三角形，从而得等边三角形的结论． 【详解】1sin 2ABCS ab C ==△，又2222cos a b c ab C +-=，12cos sin 2ab C ab C =，tan C =(0,)C π∈，所以3C π=，由0AE BC ⋅=得AE BC ⊥，又AE 是A 的平分线，所以AB AC =， 所以ABC 是等边三角形． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角形形状的判断．根据已知条件选择相应的三角公式是解题的关键，题中已知条件222)4ABC a b c S +-=△中，分子易与余弦定理联系在一起，然后结合三角形面积公式求解． 9．D 【分析】利用平方关系式和正弦定理得222122a cb ac +-=-，根据余弦定理求出120B =，再根据sin sin 1A C +=求出30A C ==，从而可得解.【详解】因为222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，所以2221sin (1sin )1sin 1sin sin A B C A C ---+-=+， 所以222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，根据正弦定理可得222a c b ac +-=-，即222122a cb ac +-=-，所以1cos 2B =-，因为0B π<<，所以120B =，所以60A C +=， 由sin sin 1A C +=得sin sin(60)1A A +-=， 得sin sin 60cos cos60sin 1A A A +-=，得1sin sin 12A A A +-=，得1sin 12A A +=， 得sin(60)1A +=，因为A 为三角形的内角，所以30A =，30C =， 所以ABC 为顶角为120的等腰三角形. 故选：D 【点睛】思路点睛：判断三角形形状从两个方面入手：△利用正余弦定理角化边，利用边的关系式判断形状，△利用正余弦定理边化角，利用角的关系式判断形状. 10．D 【分析】先利用余弦定理判断命题p 的真假，然后利用余弦函数的单调性判断命题q 的真假，再逐项判断含逻辑联结词的复合命题的真假. 【详解】因为222a b c +>，2222cos c a b ab C =+-，所以cos 0C >，所以C 为锐角，但角A ，B 不能确定，所以p 为假命题；若a b >，则A B >，因为cos y x =在(0,)π上单调递减，所以cos cos A B <，所以q 为真命题，所以p q ∧为假命题，()p q ∨⌝为假命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题. 故选：D 【点睛】判断含逻辑联结词的复合命题的真假，首先可根据条件判断出原命题的真假，然后再根据逻辑联结词且、或、非判断复合命题的真假. 11．C 【分析】解法一根据直线的平行关系，结合正弦定理即可求得A 与B 的关系，根据直线平行又不重合的条件即可判断三角形形状；解法二根据直线平行关系得到cos cos 0b B a A -=，由余弦定理转化为边的表达式，进而利用因式分解可得a b 、的关系，根据平行又不重合的条件即可得三角形形状．【详解】解法一：由两直线平行可得cos cos 0b B a A -= 由正弦定理可知sin cos sin cos 0B B A A -=，即11sin 2sin 222A B = 又,(0,)A B π∈，且(0,)A B π+∈所以22A B =或22A B π=＋，即A B =或2A B π+=.若A B =，则a b =，cos cos A B =，此时两直线重合，不符合题意，舍去 故2A B π+=，则ABC 是直角三角形故选C.解法二：由两直线平行可得cos cos 0b B a A -=，由余弦定理得22222222b c a a c b a b bc ac+-+-⋅=⋅所以()()22222222a b c a b a c b +-=+- 所以()()()2222222cab a b a b -=+-所以()()222220a bab c -+-=所以a b =或222+=a b c若a b =，则两直线重合，不符合题意，故222+=a b c 则ABC 是直角三角形 故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在判断三角形形状中的应用，注意边角转化的应用，直线平行时不重合的条件限制，属于中档题． 12．D 【分析】先利用同角三角函数基本关系得222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，结合正余弦定理得222122a cb ac +-=-进而得B ,再利用sin sin 13A A π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭化简得sin 13A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得A值进而得C ,则形状可求 【详解】由题()2221sin 1sin 1sin 1sin sin A B C A C ---+-=+即222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，由正弦定理及余弦定理得222122a cb ac +-=-即()12cos ,0,23B B B ππ=-∈∴=故 sin sin 13A A π⎛⎫+-=⎪⎝⎭整理得sin 13A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，故,66A B ππ=∴=故ABC ∆为顶角为120的等腰三角形 故选D 【点睛】本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，注意内角和定理，三角恒等变换的应用，是中档题 13．D 【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角函数恒等变换对各个命题进行判断． 【详解】 由sin sin a b A B=得sin sin a B b A =代入in 12s S ab C =得21sin sin 2sin B CS a A =，△正确；若2cos sin sin B A C =sin()sin cos cos sin A B A B A B =+=+，△cos sin cos sin 0B A A B -=，in 0()s A B -=，△,A B 是三角形内角，△0A B -=，即A B =，ABC 为等腰三角形，△错；由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，又sin sin sin a b cA B C==，△222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+-，△正确；2222(+)sin ()()sin ()a b A B a b A B -=-+，则2222sin()sin cos cos sin sin()sin cos cos sin a b A B A B A B a b A B A B A B ---==+++，△22sin cos cos sin a A Bb A B =，由正弦定理得22sin cos sin sin cos sin =A BA AB B，三角形中sin 0,sin 0A B ≠≠，则sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B =，△22A B =或22A B π+=，△A B =或2A B π+=，△正确．故选：D ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查三角形形状的判断，由正弦定理进行边角转化在其中起到了重要的作用，解题时注意体会边角转换． 14．B 【分析】由题，利用正弦定理和内角和定理化简可得2222cos a b c ab B +-=，再利用余弦定理可得cos cos B C =，可得结果.【详解】由题，已知()222+cos cos a b a B b A -+= 2cos ab B ，由正弦定理可得：()222sin sin sin cos cos sin 2sin sin cos A B A B A B A B B +-+= 即()222sin sin sin2sin sin cos A B A B A B B +-+=又因为()sin sin A B C +=所以222sin sin sin 2sin sin cos A B C A B B +-= 即2222cos a b c ab B +-=由余弦定理：2222cos a b c ab C +-= 即cos cos B C = 所以B C =所以三角形一定是等腰三角形 故选B 【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，解题的关键是在于正余弦的合理运用，属于中档题.【分析】由正弦定理可得22sin sin cos sin cos sin B A B A A B =，化为sin 2sin 2B A =， 由a b A B ≠⇒≠，进而可得结果. 【详解】()()2222sin sin A B a b a b A B ++=--, ()()()()2222sin sin a b A B a b A B ∴+-=-+化为22sin cos cos sin b A B a A B =，由正弦定理可得22sin sin cos sin cos sin B A B A A B =，sin cos sin cos B B A A =， sin 2sin 2B A =，,a b A B ≠∴≠，22,2B A A B ππ∴=-+=，ABC ∆是直角三角形，不是等腰三角形，故选C.【点睛】判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 16．B 【详解】对于△sin 2sin 2A B =可推出A B =或2A B π+=，故不正确；△若100,10B A =︒=︒，显然满足条件，但不是直角三角形；△由正弦定理得2220a b c +-<，所以cos 0C <,是钝角三角形；△由正弦定理知sinsin sin 222A B C ==,由于半角都是锐角，所以222A B C==，三角形是等边三角形，故正确的有2个，选B. 17．ACD根据正余弦定理、三角形内角和性质，结合三角恒等变换有：A 可得a b =，B 可得A B =或2A B π+=，C 可得tan tan tan tan tan 0tanA B C A B C ++=>，D 中cos sin C C =，即可判断各选项正误. 【详解】A ：sin sin a b B A =有a bb a =，即22a b =，故△ABC 为等腰三角形，正确. B ：cos cos a bB A=有sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，0,A B π<<，所以A B =或2A B π+=，△ABC 不一定为等腰三角形，错误.C ：sin sin 11cos cos cos tan tan sin ()sin sincos cos cos cos cos cos cos cos cos tanA C C C A BB C C C A B C A B C A B C+++=+=⋅+=⋅=，所以△ABC 为锐角三角形，正确.D ：sin cos a b C c B =+知：sin sin()sin sin sin cos A B C B C C B =+=+，所以cos sin C C =，0C π<<，有△C 4π=，正确.故选：ACD 【点睛】关键点点睛：应用正弦定理边角互化及三角形内角和A B C π++=，两角和差公式等转化条件确定三角形形状. 18．D 【分析】在ABC 中，根据cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A B B A=，然后变形为sin 2sin 2A B =求解.【详解】在ABC 中，因为cos cos A bB a =， 由正弦定理得cos sin cos sin A BB A=， 所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-，解得A B =或2A B π+=.故ABC 是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 19．ABD 【分析】A ．利用正弦定理以及两角和的正弦公式进行化简并判断；B ．利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简并判断；C ．先进行切化弦，然后利用正弦定理进行化简并判断；D ．根据条件先求解出B ，然后利用正弦定理以及三角恒等变换计算出,A C 的值，从而判断出结果. 【详解】A ．因为2cos c aB =，所以()sin 2sin cos sinC A B A B ==+，所以sin cos sin cos A B B A =，所以tan tan A B =，所以A B =，所以ABC 为等腰三角形，故正确； B ．因为()()2222sin()sin()a bA B ab A B +-=-+，所以()()()()2222sin cos sin cos sin cos sin cos ab A B B A a b A B B A +-=-+，所以()()()()22222222sin cos sin cos a bab B A a b a b A B ⎡⎤⎡⎤-++=+--⎣⎦⎣⎦， 所以222sin cos 2sin cos a B A b A B =，所以222sin sin cos 2sin sin cos A B A B A B =， 所以sin 2sin 2B A =，所以2A B π+=或A B =，所以ABC 为等腰或直角三角形，故正确；C ．因为22tan tan a A b B =，所以22sin cos sin cos a A B b B A=，所以22sin cos sin cos a B A b A B =，所以22sin sin cos sin sin cos A B A B A B =，所以sin 2sin 2B A =，所以2A B π+=或A B =，所以ABC 为等腰或直角三角形，故错误；D ．因为2cos28cos 50B B -+=，所以24cos 8cos 30B B -+=，所以1cos 2B =或3cos 2B =（舍），所以3B π=，又因为2b a c =+，所以2sin sin sin B A C =+且23A C π+=，所以2sin sin 3A A π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭所以3sin cos 22A A +=1sin cos 122A A +=，所以sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3A π=，所以A B C ==，所以ABC 为等边三角形，故正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查利用正、余弦定理判断三角形形状，主要考查学生的转化与计算能力，难度一般.利用正、余弦定理判断三角形形状时，一定要注意隐含条件“A B C π++=”. 20．ACD 【分析】根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可． 【详解】 解：对于A ，若cos cos cos a b c A B C==，则sin sin sin cos cos cos A B CA B C ==，即tan tan tan A B C ==，即A B C ==，即ABC 是等边三角形，故正确；对于B ，若cos cos a A b B =，则由正弦定理得2sin cos 2sin cos r A A r B B =，即sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，则ABC 为等腰三角形或直角三角形，故错误；对于C ，若cos cos b C c B b +=，所以sin cos sin cos sin B C C B B +=，所以sin()sin sin B C A B +==，即A B =，则ABC 是等腰三角形，故正确；对于D ，ABC 中，222a b c +<，又2222cos c a b ab C =+-，所以cos 0C <∴角C 为钝角，但ABC 一定是钝角三角形，故正确；故选：ACD ． 【点睛】本题考查正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角函数的图象与性质的应用等知识点，考查学生训练运用公式熟练变形的能力，属于中档题． 21．AC 【分析】由正弦定理，二倍角的正弦公式，逐一分析各个选项，即可求解. 【详解】 由正弦定理==2sin sin sin a b c R A B C= 可得：::2sin :2sin :2sin a b c R A R B R C = 即::sin :sin :sin a b c A B C =成立， 故选项A 正确；由sin 2sin 2A B =可得22A B =或22A B π+=， 即A B =或2A B π+=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形， 故选项B 错误；在ABC 中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，则sin sin A B >是A B >的充要条件， 故选项C 正确； 在△ABC 中，若sin A=12，则6A π=或5=6A π， 故选项D 错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查了命题真假性的判断，正弦定理的应用，属于基础题. 22．ACD 【分析】选项A ，由三角形边角关系和正弦定理，可判断为正确；选项B ，由三角函数确定角的关系，要结合角范围，所以错误；选项C ，用正弦定理边化角，再将sin sin()C A B =+代入展开，整理可得cos 0A =，所以正确；选项D ，用余弦定理求出最大边所对的角，判断正确. 【详解】在ABC ∆中，若A B >，则a b >，因此sin sin A B >，A 正确； 若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=， 即A B =或2A B π+=，所以ABC ∆为等腰三角形或直角三角形，B 错误； 若cos cos a B b A c -=，则sin cos sin cos sin sin()A B B A C A B ⋅-⋅==+， 所以sin cos 0B A =，即cos 0A =，2A π=，所以ABC ∆定为直角三角形，C 正确；三角形的三边的比是3:5:7，设最大边所对的角为θ，则2223571cos 2352θ+-==-⨯⨯，因为0θπ<<，所以23πθ=，D 正确. 故选:ACD. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，以及判断三角形的形状，注意角的范围及三角形内角和等于0180，属于中档题. 23．AB 【分析】对各个结论利用余弦定理加以验证，得到正确的命题，即可得到答案 【详解】对于A ，由222cos 02b c a A bc+-=<，可知角A 为钝角，则ABC ∆为钝角三角形，故正确对于B ，由222a b c bc =++，结合余弦定理可知1cos 2A =-，120A ∴=︒，故正确 对于C ，由222a b c +>，结合余弦定理可知222cos 02a b c C ab+-=>，只能判断角C 为锐角，不能判断角A B ，的情况，所以ABC ∆不一定为锐角三角形，故错误对于D ，由::1:2:3A B C =可得30A =︒，60B =︒，90C =︒，则1::sin 30:sin 60:sin 90:1:2:32a b c =︒︒︒=≠，故错误 故选AB 【点睛】本题主要考查的知识点是余弦定理，解斜三角形及其应用，考查了计算能力和逻辑推理能力，难度一般 24．等腰 【分析】先利用正弦定理，再利用两角差的正弦公式化简整理即可得出结果. 【详解】 由cos cos a Ab B =， 得sin cos sin cos A AB B=， 即()sin cos sin cos sin 0A B B A A B -=-=， 因为0,0A B ππ<<<<， 所以0A B A B -=⇒=， 所以满足cos cos a A b B=的三角形是等腰三角形； 故答案为：等腰. 25．等边三角形 【分析】利用余弦定理求得,b c 的关系，从而得出三边关系，判断出三角形形状． 【详解】由余弦定理及cos A ＝12得2222b c a bc+-＝12，△b 2＋c 2－a 2＝bc .△b ＋c ＝2a ，△a ＝2b c +，△b 2＋c 2－22b c +⎛⎫ ⎪⎝⎭＝bc ，即(b －c )2＝0，△b ＝c ，于是a ＝b ＝c .△△ABC 为等边三角形. 故答案为：等边三角形．26．． 【分析】先求出x 的范围，然后由最大角的余弦大于0（最大边的平方小于两较小边的平方和）可得． 【详解】易知4343x -<<+，即17x <<，若4是最大边长，则22234x +>，x >4x <≤，若x 是最大边长，则22234x +>，5x <，所以45x <<，5x <<．故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查由三角形形状确定参数范围．首先三条线段能组成三角形的条件是：任一条线段长大于另两条线段长度的差且小于另两条线段长度的和．ABC 三边长分别为,,a b c ，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-=，因此C 为钝角222a b c ⇔+<，C 为直角222a b c ⇔+=，C 为锐角222a b c ⇔+>．27．△△ 【分析】举出反例可判断△、△；由同角三角函数的平方关系、正弦定理可得222a b c +<，再由余弦定理可判断△；由正弦定理可得8sin x A =，再由三角形有两个可得566A ππ<<且2A π≠，即可判断△；即可得解. 【详解】 对于△，当3A π=，6B π=时，满足sin 2sin 2A B =，此时△ABC 不是等腰三角形，故△错误；对于△，当23A π=，6B π=时，满足sin cos A B =，此时△ABC 不是直角三角形，故△错误；对于△，△222sin sin cos 1A B C ++<，△22222sin sin cos sin cos A B C C C ++<+， △222sin sin sin A B C +<，△根据正弦定理得222a b c +<，△222cos 02a b c C ab+-=<，()0,C π∈，△C 为钝角，△△ABC 为钝角三角形，故△正确；对于△，△,4,6C c a x π===，△根据正弦定理得481sin sin 2a c A C ===，△8sin x A =， 由题意566A ππ<<，且2A π≠，△1sin 12A <<，△48x ，即x 的取值范围为(4,8)，故△正确．故答案为：△△． 【点睛】本题考查了三角函数及解三角形的综合应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于中档题. 28．△△△ 【分析】△根据,,A B C 成等差数列，可得2=B A C +，再由+A B C π+=求解.△根据,,a b c 成等比数列，则2=b ac ，再由余弦定理结合△的结论求解.△根据2a c =，再由余弦定理结合△的结论求解.△根据2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，利用数量积的运算得到0CA CB ⋅=求解. 【详解】因为ABC 的内角,,A B C 成等差数列， 所以2=B A C +，又+A B C π+=， 所以=3B π， 故△正确.因为,,a b c 成等比数列， 所以2=b ac ，由余弦定理得：22222=2cos b ac a c ac B a c ac =+-=+-， 所以2220+-=a c ac ， 即 ()20a c -=， 所以a c =，所以ABC 为等边三角形.故△正确.因为2a c =，由余弦定理得：22222222cos 423b a c ac B c c c c =+-=+-=，所以b =，所以222222cos 02b c a A bc +-===， 所以ABC 为直角三角形.故△错误. 因为2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，则()22AB AB AC BC CA CB AB CA CB =⋅-+⋅=+⋅， 所以0CA CB ⋅=， 所以,26C A ππ==，所以3A C =.故△正确. 故答案为：△△△ 【点睛】本题主要考查余弦定理，等差中项，平面向量的数量积的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.29．等腰三角形或直角三角形 【分析】由正弦定理统一为三角函数，化简即可求解. 【详解】由22cos sin sin cos a A B b A B = 及正弦定理，得sin 2sin 2A B =， 所以A B =或2A B π+=，故ABC 是等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰三角形或直角三角形 【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，属于中档题. 30．等边三角形 【分析】由等差中项和等比中项性质可得2b a c =+，2sin sin sin B A C =⋅；根据正弦定理角化边可知2b ac =，与2b a c =+构成方程组化简可得2222a c b +=，从而配凑出cos B 和()20a c -=，得到a c =且3B π=，从而得到结果.【详解】由题意得：2b a c =+，2sin sin sin B A C =⋅由正弦定理可得：2b ac = ()2222222224a c a ac c a c b b ∴+=++=++=即2222a c b += 22222221cos 222a cb b b B ac b +--∴===()0,B π∈ 3B π∴=又22222a c b ac +== ()20a c ∴-= a c ∴=ABC ∆∴为等边三角形故答案为等边三角形 【点睛】本题考查解三角形中，三角形形状的判断问题，关键是能够利用正弦定理将角化边之后，配凑出余弦定理的形式和边长之间的关系，从而得到结果. 31．()2，()3，()4 【分析】三角形中首先想到内角和为π，每个内角都在()0，π内，然后根据每一个命题的条件进行判定 【详解】()122A B =或22A B π+=，ABC ∴为等腰或直角三角形() 2正确；()3由2221sin A sin B cos C ++<可得222sin A sin B sin C +<由正弦定理可得222a b c +<再由余弦定理可得0cosC <，C 为钝角，命题()3正确()()()()4tan 11tanA tanB A B tanAtanB tanC tanAtanB +=+-=--0tanA tanB tanC tanAtanBtanC ∴++=> ABC ∴全为锐角，命题()4正确故其中正确命题的序号是()2，()3，()4 【点睛】本题主要考查了借助命题考查三角形的有关知识，在运用正弦、正切解三角形时注意角之间的转化，三角形内角和为π，然后代入化简 32．ABC 为等腰三角形或直角三角形 【分析】设三角形外接圆半径为R ，根据a 2tan B =b 2tan A ，利用商数关系和正弦定理，变形为sin A cos A =sin B cos B ,再利用二倍角公式转化sin2A =sin2B ，得到角的关系判断. 【详解】设三角形外接圆半径为R ， 因为a 2tan B =b 2tan A ，所以22sin sin cos cos a B b AB A=， 所以22224sin sin 4sin sin cos cos R A B R B AB A =，所以sin A cos A =sin B cos B , 所以sin2A =sin2B ，则2A =2B 或2A +2B =π， 所以A =B 或A +B =2π. 所以ABC 为等腰三角形或直角三角形. 33．直角三角形 【分析】先利用正弦定理化简sin sin sin b a Ba B A+=-，得到22b a ab -=；再利用诱导公式，二倍角公式化简，最后利用两角和与差的余弦公式以及正弦定理得到2ab c =，即可得出结果. 【详解】 由sin sin sin a b B a b a B A a bb a++=⇒=--， 得22b a ab -=；由()cos cos 1cos2A B C C -+=-， 得()()2cos cos 2sin A B A B C --+=，2cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin A B A B A B A B C +-+=， 22sin sin 2sin A B C ⋅=，2ab c =，又22b a ab -=，则222222b a c a c b -=⇒=+， 所以ABC 的形状为：直角三角形. 34．等腰三角形或直角三角形 【分析】解法一：利用正弦定理边化角，可得cos sin cos sin B AA B=，所以sin 2sin 2A B =，根据(0,)A B π∈、，可得22A B =或22A B π=-即可求得答案；解法二：利用正弦定理边化角，可得cos sin cos sin B A A B=，利用余弦定理，可得22222222a c b ac b c a bc+-+-=a b ，化简计算，即可得答案.【详解】解法一：由已知条件及正弦定理可得22sin cos sin cos sin sin A B AA B B=， 、(,)A B 0π∈，sin 0,sin 0A B ∴≠≠，cos sin cos sin B AA B∴=，即sin cos sin cos A A B B =， sin 2sin 2,22A B A B ∴=∴=或22A B π=-，A B ∴=或2A B π+=，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形.解法二：由已知条件及正弦定理可得sin cos sin cos AA B B=22sin sin A B ，、(,)A B 0π∈，sin 0,sin 0A B ∴≠≠，即cos sin cos sin B AA B=， 由正弦定理和余弦定理可得22222222a c b ac b c a bc+-+-=a b，整理得4222240a a c b c b -+-=，即22222()()0a b a b c -+-=，22a b ∴=或2220a b c +-=，∴a b =或222+=a b c ，ABC ∴为等腰三角形或直角三角形.【点睛】解题的关键是熟练掌握正弦定理、余弦定理并灵活应用，易错点为sin 2sin 2A B =，可得2A =2B 或者22A B π+=，容易丢解，属基础题. 35．等腰三角形或直角三角形 【分析】根据22(cos cos )()cos a b B c C b c A -=-，利用正弦定理得到22sin (sin cos sin cos )(sin sin )cos A B B C C B C A -=-，然后利用二倍角公式和两角差的公式得到()()cos 2cos 2B A C A -=-求解. 【详解】。
高考数学专题突破：数学方法(特殊解法)
高考数学专题突破：数学方法（特殊解法）一．知识探究：1．换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α ，α∈[0,π2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量X围的选取，一定要使新变量X围对应于原变量的取值X围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。
2．待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
微专题(三)构造法在导数中的应用--2025年高考数学复习讲义及练习解析
近几年高考数学客观压轴题，多以导数为工具采用构造函数比较大小或求参数取值范围的形式出题，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解决导数问题的基本方法，以下对在处理导数问题时构造函数的规律方法进行归类总结，并举例说明．类型一导数型构造函数(多角度探究)角度1利用f(x)与x n构造(1)对于xf′(x)＋nf(x)>0(或<0)，其中n>0，构造函数F(x)＝x n f(x)；(2)对于xf′(x)－nf(x)>0(或<0)，其中n>0，构造函数F(x)＝f(x)x n.例1函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且3f(x)＋xf′(x)<0，则不等式(x＋2024)3f(x＋2024)＋8f(－2)<0的解集为()A．(－2026，－2024)B．(－∞，－2026)C．(－2024，－2023)D．(－∞，－2020)答案A解析依题意，有[x3f(x)]′＝x2[3f(x)＋xf′(x)]<0，故y＝x3f(x)在(－∞，0)上是减函数，原不等式化为(x＋2024)3f(x＋2024)<(－2)3f(－2)，即0>x＋2024>－2，所以原不等式的解集为(－2026，－2024)．故选A.题目已知中出现含f(x)，f′(x)的不等式，一般应考虑逆用导数的运算法则构造新函数，然后再逆用单调性等解决问题．1．设f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且f(1)＝0，当x<0时，有xf′(x)－f(x)>0恒成立，则不等式f(x)>0的解集为________．答案(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析构造F(x)＝f(x)x，则F′(x)＝xf′(x)－f(x)x2，由当x<0时，xf′(x)－f(x)>0可得当x<0时，F′(x)>0，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增．又f(x)为偶函数，g(x)＝x为奇函数，∴F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上单调递增．根据f(1)＝0可得F(1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F(x)的图象(图略)，根据函数F(x)的图象可知f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．角度2利用f(x)与e nx构造(1)对于f′(x)＋nf(x)>0(或<0)，其中n>0，通常构造函数F(x)＝e nx f(x)；(2)对于f′(x)－nf(x)>0(或<0)，其中n>0，通常构造函数F(x)＝f(x)e nx.例2(2023·湖北武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，且f(x)－f′(x)>0，f(0)＝1，则关于x的不等式f(x)>e x的解集为()A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <1}D ．{x |x >1}答案B解析由f (x )>e x ⇒f (x )e x >1，设g (x )＝f (x )e x ⇒g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x<0⇒g (x )单调递减，且g (0)＝1，所以由f (x )e x>1⇒g (x )>1＝g (0)⇒x <0.故选B.若不等式满足“f ′(x )－nf (x )>0”的形式，优先构造函数F (x )＝f (x )e nx，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可，注意所求问题的转化．2．(2024·湖北襄阳第五中学高三上学期月考)设f ′(x )是定义在R 上的连续函数f (x )的导函数，f (x )－f ′(x )＋2e x <0(e 为自然对数的底数)，且f (2)＝4e 2，则不等式f (x )>2x e x 的解集为________．答案(2，＋∞)解析设g (x )＝f (x )e x －2x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x －2＝f ′(x )－f (x )－2e x ex ，因为f (x )－f ′(x )＋2e x <0，所以g ′(x )>0，函数g (x )在R 上单调递增，又f (2)＝4e 2，所以g (2)＝f (2)e2－4＝0，由f (x )>2x e x ，可得f (x )ex －2x >0，即g (x )>0＝g (2)，又函数g (x )在R 上单调递增，所以x >2，即不等式f (x )>2x e x 的解集为(2，＋∞)．角度3利用f (x )与sin x ，cos x 构造由于sin x ，cos x 的导函数存在一定的特殊性，且它们之间可以相互转化，因此，要解由f (x )，f ′(x )，sin x ，cos x 构成的不等式，常用的构造方法如下：(1)对于f ′(x )sin x ＋f (x )cos x >0(或<0)，通常构造函数F (x )＝f (x )sin x ；(2)对于f ′(x )sin x －f (x )cos x >0(或<0)，通常构造函数F (x )＝f (x )sin x ；(3)对于f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(或<0)，通常构造函数F (x )＝f (x )cos x；(4)对于f ′(x )cos x －f (x )sin x >0(或<0)，通常构造函数F (x )＝f (x )cos x .例3f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有f ′(x )>f (x )tan x 成立，则()A ．3B ．3f (1)C ．6D ．2答案A解析由f ′(x )>f (x )tan x ，得f ′(x )cos x －f (x )sin x >0，构造函数F (x )＝f (x )cos x ，则F ′(x )＝f ′(x )cos x－f (x )sin x >0，故F (x )，则cos π6<cos π3＝即3故选A.若不等式满足或通过变形后满足“f ′(x )cos x －f (x )sin x >0”的形式时，优先考虑构造函数F (x )＝f(x )cos x ，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可，注意所求问题的转化．3．(2023·重庆市九龙坡区高三二模)已知偶函数f (x )－π2，f ′(x )，当0≤x <π2时，有f ′(x )cos x ＋f (x )·sin x >0成立，则关于x 的不等式f (x )>2x 的解集为________．答案－π2，－解析构造函数g (x )＝f (x )cos x ，0≤x <π2，g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(cos x )′cos 2x ＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x>0，所以函数g (x )＝f (x )cos x 在0，因为函数f (x )为偶函数，所以函数g (x )＝f (x )cos x 也为偶函数，且函数g (x )＝f (x )cos x 在0，所以函数g (x )＝f (x )cos x 在－π2，，因为x －π2，所以cos x >0，关于x 的不等式f (x )>2x 可变为f (x )cos x >cos π3也即g (x )>所以g(|x |)>|>π3，－π2<x <π2，解得π3<x <π2或－π2<x <－π3.－π2，类型二同构法构造函数例4(2023·重庆万州纯阳中学模拟)若0<x 1<x 2<1，则下列结论正确的是()A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1C ．x 2e x 1>x 1e x 2D ．x 2e x 1<x 1e x 2答案C解析令h (x )＝e x－ln x ，则h ′(x )＝e x－1x ＝x e x －1x，令φ(x )＝x e x －1，所以当0<x <1时，φ′(x )＝(x ＋1)e x >0，所以φ(x )在(0，1)上单调递增，又φ(0)＝－1，φ(1)＝e －1>0，所以∃x 0∈(0，1)，使得φ(x 0)＝0，即当x ∈(0，x 0)时，φ(x )<0，h ′(x )<0，当x ∈(x 0，1)时，φ(x )>0，h ′(x )>0，所以h (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，1)上单调递增，故e x 2－ln x 2与e x 1－ln x 1的大小关系无法判断，故A ，B 均错误；令f (x )＝e xx ，则当0<x <1时，f ′(x )＝(x －1)e x x 2<0，故f (x )在(0，1)上单调递减，若0<x 1<x 2<1，则f (x 1)>f (x 2)，即e x 1x 1>e x 2x 2，所以x 2e x 1>x 1e x 2，故C 正确，D 错误．故选C.根据条件或结论特征构造具体函数，一般具有相似结构，利用这一特征构造具体函数，利用该函数单调性寻求突破口，在根据特征构造函数时，需要较强的观察力和联想力，灵活地针对不同特征构造出相应函数，这也需要我们平时注意积累，掌握一些常见函数模型．4．已知a ＝2e ，b ＝ln (3e)3，c ＝ln 5＋15，则()A ．a >b >cB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c答案A解析因为a ＝2e ＝ln e ＋1e ，b ＝ln 3＋13，所以设f (x )＝ln x ＋1x，x ∈(1，＋∞)．因为f ′(x )＝－ln xx 2<0，所以f (x )在(1，＋∞)上是减函数，又e<3<5，所以a >b >c .故选A.5．已知变量x 1，x 2∈(0，m )(m >0)，且x 1<x 2，若x x 21<x x12恒成立，则m 的最大值为()A ．eB ．eC ．1e D ．1答案A解析x x 21<x x12，即x 2ln x 1<x 1ln x 2，化为ln x 1x 1<ln x 2x 2，故f (x )＝ln xx在(0，m )上为增函数，又由f ′(x )＝1－ln xx 2>0，得0<x <e ，故m 的最大值为e.故选A.。
2022-2023学年度高考数学专题突破《数列通项公式的多种妙解方式》含十六大经典题型附答案解析
数列通项公式的多种妙解方式经典题型一：观察法经典题型二：叠加法经典题型三：叠乘法经典题型四：待定系数法经典题型五：同除以指数经典题型六：取倒数法经典题型七：取对数法经典题型八：已知通项公式a n 与前n 项的和S n 关系求通项问题经典题型九：周期数列经典题型十：前n 项积型经典题型十一：“和”型求通项经典题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型经典题型十三：因式分解型求通项经典题型十四：其他几类特殊数列求通项经典题型十五：双数列问题经典题型十六：通过递推关系求通项(2022·全国·高考真题)记S n 为数列a n 的前n 项和，已知a 1=1,S n a n 是公差为13的等差数列．(1)求a n 的通项公式；(2)证明：1a 1+1a 2+⋯+1a n<2．【解析】(1)∵a 1=1，∴S 1=a 1=1,∴S 1a 1=1,又∵S n a n 是公差为13的等差数列，∴S n a n =1+13n -1 =n +23,∴S n =n +2 a n 3,∴当n ≥2时，S n -1=n +1 a n -13，∴a n =S n -S n -1=n +2 a n 3-n +1 a n -13,整理得：n -1 a n =n +1 a n -1,即a n a n -1=n +1n -1,∴a n =a 1×a 2a 1×a 3a 2×⋯×a n -1a n -2×a n a n -1=1×31×42×⋯×n n -2×n +1n -1=n n +1 2，显然对于n =1也成立，∴a n 的通项公式a n =n n +1 2；(2)1a n =2n n +1 =21n -1n +1 , ∴1a 1+1a 2+⋯+1a n=21-12 +12-13 +⋯1n -1n +1 =21-1n+1<2(2022·全国·高考真题(理))记S n为数列a n的前n项和．已知2S nn+n=2a n+1．(1)证明：a n是等差数列；(2)若a4,a7,a9成等比数列，求S n的最小值．【解析】(1)因为2S nn+n=2a n+1，即2S n+n2=2na n+n①，当n≥2时，2S n-1+n-12=2n-1a n-1+n-1②，①-②得，2S n+n2-2S n-1-n-12=2na n+n-2n-1a n-1-n-1，即2a n+2n-1= 2na n-2n-1a n-1+1，即2n-1a n-2n-1a n-1=2n-1，所以a n-a n-1=1，n≥2且n∈N*，所以a n是以1为公差的等差数列．(2)由(1)可得a4=a1+3，a7=a1+6，a9=a1+8，又a4，a7，a9成等比数列，所以a72=a4⋅a9，即a1+62=a1+3⋅a1+8，解得a1=-12，所以a n=n-13，所以S n=-12n+nn-12=12n2-252n=12n-2522-6258，所以，当n=12或n=13时S n min=-78．类型Ⅰ观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．类型Ⅱ公式法：若已知数列的前项和与a n的关系，求数列a n的通项a n可用公式a n=S1,(n=1)S n-S n-1,(n≥2)构造两式作差求解．用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a1和a n合为一个表达，(要先分n=1和n≥2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一)．类型Ⅲ累加法：形如a n+1=a n+f(n)型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数)可构造：a n-a n-1=f(n-1)a n-1-a n-2=f(n-2)...a2-a1=f(1)将上述m2个式子两边分别相加，可得：a n=f(n-1)+f(n-2)+...f(2)+f(1)+a1,(n≥2)①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；②若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和．类型Ⅳ累乘法：形如a n +1=a n ⋅f (n )a n +1a n=f (n )型的递推数列(其中f (n )是关于n 的函数)可构造：a n a n -1=f (n -1)a n -1a n -2=f (n -2)...a 2a 1=f (1)将上述m 2个式子两边分别相乘，可得：a n =f (n -1)⋅f (n -2)⋅...⋅f (2)f (1)a 1,(n ≥2)有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．类型Ⅴ构造数列法：(一)形如a n +1=pa n +q (其中p ,q 均为常数且p ≠0)型的递推式：(1)若p =1时，数列{a n }为等差数列；(2)若q =0时，数列{a n }为等比数列；(3)若p ≠1且q ≠0时，数列{a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设a n +1+λ=p (a n +λ)，展开移项整理得a n +1=pa n +(p -1)λ，与题设a n +1=pa n +q 比较系数(待定系数法)得λ=q p -1,(p ≠0)⇒a n +1+q p -1=p a n +q p -1 ⇒a n +q p -1=p a n -1+qp -1 ，即a n +q p -1 构成以a 1+qp -1为首项，以p 为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出a n +qp -1 的通项整理可得a n .法二：由a n +1=pa n +q 得a n =pa n -1+q (n ≥2)两式相减并整理得a n +1-a na n -a n -1=p ,即a n +1-a n 构成以a 2-a 1为首项，以p 为公比的等比数列．求出a n +1-a n 的通项再转化为类型Ⅲ(累加法)便可求出a n .(二)形如a n +1=pa n +f (n )(p ≠1)型的递推式：(1)当f (n )为一次函数类型(即等差数列)时：法一：设a n +An +B =p a n -1+A (n -1)+B ，通过待定系数法确定A 、B 的值，转化成以a 1+A +B 为首项，以A m n =n ！n -m !为公比的等比数列a n +An +B ，再利用等比数列的通项公式求出a n +An +B 的通项整理可得a n .法二：当f (n )的公差为d 时，由递推式得：a n +1=pa n +f (n )，a n =pa n -1+f (n -1)两式相减得：a n +1-a n =p (a n -a n -1)+d ，令b n =a n +1-a n 得：b n =pb n -1+d 转化为类型Ⅴ㈠求出 b n ，再用类型Ⅲ(累加法)便可求出a n .(2)当f (n )为指数函数类型(即等比数列)时：法一：设a n +λf (n )=p a n -1+λf (n -1) ，通过待定系数法确定λ的值，转化成以a 1+λf (1)为首项，以A m n =n ！n -m !为公比的等比数列a n +λf (n ) ，再利用等比数列的通项公式求出a n +λf (n ) 的通项整理可得a n .法二：当f (n )的公比为q 时，由递推式得：a n +1=pa n +f (n )--①，a n =pa n -1+f (n -1)，两边同时乘以q 得a n q =pqa n -1+qf (n -1)--②，由①②两式相减得a n +1-a n q =p (a n -qa n -1)，即a n +1-qa na n -qa n -1=p ，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出a n .法三：递推公式为a n +1=pa n +q n (其中p ，q 均为常数)或a n +1=pa n +rq n (其中p ，q ， r 均为常数)时，要先在原递推公式两边同时除以q n +1，得：a n +1q n +1=p q ⋅a n q n +1q ，引入辅助数列b n (其中b n=a n q n)，得：b n +1=p q b n +1q 再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．(3)当f (n )为任意数列时，可用通法：在a n +1=pa n +f (n )两边同时除以p n +1可得到a n +1p n +1=a n p n +f (n )p n +1，令an p n =b n ，则b n +1=b n +f (n )pn +1，在转化为类型Ⅲ(累加法)，求出b n 之后得a n =p n b n ．类型Ⅵ对数变换法：形如a n +1=pa q (p >0,a n >0)型的递推式：在原递推式a n +1=pa q 两边取对数得lg a n +1=q lg a n +lg p ，令b n =lg a n 得：b n +1=qb n +lg p ，化归为a n +1=pa n +q 型，求出b n 之后得a n =10b n.(注意：底数不一定要取10，可根据题意选择)．类型Ⅶ倒数变换法：形如a n -1-a n =pa n -1a n (p 为常数且p ≠0)的递推式：两边同除于a n -1a n ，转化为1a n =1a n -1+p 形式，化归为a n +1=pa n +q 型求出1a n的表达式，再求a n ；还有形如a n +1=ma n pa n +q 的递推式，也可采用取倒数方法转化成1a n +1=m q 1a n +mp形式，化归为a n +1=pa n +q 型求出1a n的表达式，再求a n ．类型Ⅷ形如a n +2=pa n +1+qa n 型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列{a n -a n -1}的形式求解．方法为：设a n +2-ka n +1=h (a n +1-ka n )，比较系数得h +k =p ,-hk =q ，可解得h 、k ，于是{a n +1-ka n }是公比为h 的等比数列，这样就化归为a n +1=pa n +q 型．总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式a n .(1)若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n =S 1，n =1S n -S n -1，n ≥2，n ∈N ∗注意：根据S n 求a n 时，不要忽视对n =1的验证．(2)在数列{a n }中，若a n 最大，则a n ≥a n -1a n ≥a n +1 ，若a n 最小，则a n≤a n -1a n ≤a n +1 .经典题型一：观察法1.(2022·全国·高三专题练习)数列a n 的前4项为：12,15,18,111，则它的一个通项公式是( )A.12n -1B.12n +1C.13n -1D.13n +1【答案】C【解析】将12,15,18,111可以写成13×1-1,13×2-1,13×3-1,13×4-1，所以a n 的通项公式为13n -1；故选:C2.(2022·全国·高三专题练习(文))如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为( )A.2nB.2n -1C.2n +2D.2n +1【答案】B【解析】依题意，每一行第一个数依次排成一列为：1，3，5，7，9，⋯，它们成等差数列，通项为2n -1，所以第n 行的首尾两个数均为2n -1.故选：B3.(2022·全国·高三专题练习)“一朵雪花”是2022年北京冬奥会开幕式贯穿始终的一个设计理念，每片“雪花”均以中国结为基础造型构造而成，每一朵雪花都闪耀着奥运精神，理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1901年研究的一种分形曲线，如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分划向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.若第一个正三角形(图①)的边长为1，则第5个图形的周长为___________.【答案】25627【解析】由题意知下一个图形的边长是上一个图形边长的13，边数是上一个图形的4倍，则周长之间的关系为b n =13⋅4⋅b n -1=43b n -1，所以{b n }是公比为q =43的等比数列，而首项b 1=3，所以b n =3⋅43n -1，当n =5时，“雪花”状多边形的周长为b 5=25627.故答案为：25627经典题型二：叠加法4.(2022·全国·高三专题练习)在数列{a n }中，已知a 1=1p ，a n +1=a n na n +1，p >0,n ∈N *.若p =1，求数列{a n }的通项公式.【解析】由题意，a n +1=a n na n +1 ，得：1a n +1-1a n=n ，运用累加法：1a 2-1a 1+1a 3-1a 2+⋯+1a n -1a n -1=1+2+⋯+n -1=n n -1 2，n ≥2∴1a n -1a 1=n n -1 2，即1a n =n n -1 2+p ，n ≥2 ，当p =1时，a n =2n 2-n +2，n ≥2 ，当n =1时，a n =1成立，所以a n =2n 2-n +25.(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n 满足a n +1n +1-a n n =1n n +1n ∈N *，且a 1=1，求数列a n 的通项公式；【解析】因为a n +1n +1-a n n =1n n +1=1n -1n +1，所以a n n -a n -1n -1=1n -1-1n n ≥2 ，a n -1n -1-a n -2n -2=1n -2-1n -1，⋯a 22-a 11=1-12，所以累加可得a n n -a 1=1-1nn ≥2 ．又a 1=1，所以a n n =2n -1n，所以a n =2n -1n ≥2 ．经检验，a 1=1，也符合上式，所以a n =2n -1．6.(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n 中，a 1=1中，a n +1=a n +n (n ∈N *)中，则a 4=________，a n =________.【答案】 7n 2-n +22【解析】依题意，n ∈N *，n ≥2，a n -a n -1=n -1，而a 1=1，则a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+⋯+(a n -a n -1)=1+1+2+⋯+(n -1)=1+1+n -12⋅n -1 =n 2-n +22，而a 1=1满足上式，所以a n =n 2-n +22，a 4=42-4+22=7.故答案为：7；n 2-n +22经典题型三：叠乘法7.(2022·全国·高三专题练习)在数列a n 中，a n +1=nn +2a n (n ∈N *)，且a 1=4，则数列a n 的通项公式a n =________.【答案】8n n +1【解析】由a n +1=n n +2a n ，得a n +1a n =nn +2，则a 2a 1=13，a 3a 2=24，a 4a 3=35，⋮a n a n -1=n -1n +1n ≥2 ，累乘得a n a 1=13×24×35×⋯×n -3n -1×n -2n ×n -1n +1=2n n +1，所以a n =8n n +1.故答案为：8n n +1 .8.(2022·全国·高三专题练习)设a n 是首项为1的正项数列，且(n +2)a n +12-na n 2+2a n +1a n =0(n ∈N *)，求通项公式a n =___________【答案】2n (n +1)【解析】由(n +2)a n +12-na n 2+2a n +1a n =0(n ∈N *)，得[(n +2)a n +1-na n ](a n +1+a n )=0，∵a n >0，∴a n +1+a n >0，∴(n +2)a n +1-na n =0 ，∴a n +1a n =nn +2，∴a n =a 1⋅a 2a 1⋅a 3a 2⋅a 4a 3⋅⋅⋅⋅⋅a n a n -1=1×13×24×35×⋅⋅⋅×n -2n ×n -1n +1=2n (n +1)(n ≥2)，又a 1=1满足上式，∴a n =2n (n +1).故答案为：2n (n +1).9.(2022·全国·高三专题练习)数列a n 满足：a 1=23，2n +2-1 a n +1=2n +1-2 a n n ∈N * ，则a n 的通项公式为_____________.【答案】a n =2n2n -1 2n +1-1【解析】由2n +2-1 a n +1=2n +1-2 a n 得，a n +1a n =2n +1-22n +2-1=2⋅2n -12n +2-1，则a n a n -1⋅a n -1a n -2⋅a n -2a n -3⋅⋅⋅a 2a 1=2⋅2n -1-12n +1-1⋅2⋅2n -2-12n -1⋅2⋅2n -3-12n -1-1⋅⋅⋅2⋅21-123-1=2n -1⋅32n +1-1 2n -1，即a n a 1=3⋅2n -12n -1 2n +1-1 ，又a 1=23，所以a n =2n 2n -1 2n +1-1.故答案为：a n =2n2n -1 2n +1-1.经典题型四：待定系数法10.(多选题)(2022·广东惠州·高三阶段练习)数列a n 的首项为1，且a n +1=2a n +1，S n 是数列a n 的前n 项和，则下列结论正确的是( )A.a 3=7 B.数列a n +1 是等比数列C.a n =2n -1 D.S n =2n +1-n -1【答案】AB【解析】∵a n +1=2a n +1，可得a n +1+1=2a n +1 ，又a 1+1=2∴数列a n +1 是以2为首项，2为公比的等比数列，故B 正确；则a n +1=2n ，∴a n =2n -1，故C 错误；则a 3=7，故A 正确；∴S n =21-2n1-2-n =2n +1-n -2，故D 错误.故选：AB .11.(2022·河南安阳·三模(文))已知数列a n 满足a n +1=2a n +12，且前8项和为506，则a 1=___________.【答案】32【解析】由题意得：∵a n +1=2a n +12∴a n +1+12=2a n +12 ，即a n +1+12a n +12=2∴数列a n +12 是以a 1+12为首项，2为公比的等比数列，记数列a n +12 的前n 项和为T n T 8=a 1+12 (1-28)1-2=a 1+12+a 2+12+a 3+12+⋯+a 8+12=(a 1+a 2+a 3+⋯a 8)+12×8=506+4=510解得：a 1=32故答案为：3212.(2022·河北衡水·高三阶段练习)已知数列a n 的前n 项和为S n ，且满足2S n +n =3a n ，n ∈N *．(1)求数列a n 的通项公式；(2)若b n =a 2n ，求数列b n 的前10项和T 10．【解析】(1)当n =1时，2S 1+1=3a 1，即2a 1+1=3a 1，解得a 1=1；当n ≥2时，∵2S n +n =3a n ，∴2S n -1+n -1=3a n -1，两式作差得2a n +1=3a n -3a n -1，即a n =3a n -1+1,a n +12=3a n -1+12，∴a n +12a n -1+12=3，又a 1+12=32，∴数列a n +12 是以32为首项，3为公比的等比数列，∴a n +12=32×3n -1=3n 2，a n =3n 2-12=123n -1 .(2)∵b n =a 2n ，则T 10=b 1+b 2+b 3+⋯+b 10=a 2+a 4+⋯+a 20=1232-1 +34-1 +⋯+320-1=1232+34+⋯+320 -10=12321-910 1-9-10 =911-8916．13.(2022·全国·高三专题练习)设数列a n 满足a 1=2，a n -2a n -1=2-n n ∈N * ．(1)求证：a n -n 为等比数列，并求a n 的通项公式；(2)若b n =a n -n ⋅n ，求数列b n 的前n 项和T n ．【解析】(1)因为a 1=2，a n -2a n -1=2-n n ∈N * ，所以a n =2a n -1+2-n ，即a n -n =2a n -1-n -1又a 1-1=2-1=1，所以a n -n 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a n -n =1×2n -1，所以a n =2n -1+n (2)由(1)可得b n =a n -n ⋅n =n ×2n -1，所以T n =1×20+2×21+3×22+⋯+n ×2n -1①，所以2T n =1×21+2×22+3×23+⋯+n ×2n ②，①-②得-T n =1+1×21+1×22+1×23+⋯+1×2n -1-n ×2n即-T n =1-2n1-2-n ×2n ，所以T n =n -1 ×2n +1；14.(2022·全国·高三专题练习)在数列a n 中，a 1=5，且a n +1=2a n -1n ∈N * .(1)证明：a n -1 为等比数列，并求a n 的通项公式；(2)令b n =(-1)n ⋅a n ，求数列b n 的前n 项和S n .【解析】(1)因为a n +1=2a n -1，所以a n +1-1=2a n -1 ，又a 1-1=4，所以a n +1-1a n -1=2，所以a n -1 是以4为首项，2为公比的等比数列.故a n -1=4×2n -1，即a n =2n +1+1.(2)由(1)得b n =(-1)n⋅2n +1+1 ，则b n =2n +1+1,n =2k ,k ∈N *-2n +1+1 ,n =2k -1,k ∈N* ，①当n =2k ,k ∈N *时，S n =-22-1 +23+1 -24+1 +⋯+-2n -1 +2n +1+1 =-22+23-24+25+⋯-2n +2n +1=22+24+⋯+2n =432n -1 ;②当n =2k -1,k ∈N *时，S n =S n +1-b n +1=432n +1-1 -2n +2+1 =-2n +2+73，综上所述，S n =432n -1 ,n =2k ,k ∈N*-2n +2+73,n =2k -1,k ∈N *经典题型五：同除以指数15.(2022·广东·模拟预测)已知数列a n 中，a 1=5且a n =2a n -1+2n -1n ≥2,n ∈N ∗ ，b n =a n -1n +1(1)求证：数列b n 是等比数列；(2)从条件①n +b n ，②n ⋅b n 中任选一个，补充到下面的问题中并给出解答．求数列______的前n 项和T n ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】(1)因为a 1=5且a n =2a n -1+2n -1n ≥2,n ∈N ∗ ，所以当n ≥2时，a n -1=2a n -1-1 +2n ，所以a n -12n =a n -1-12n -1+1，即a n -12n -a n -1-12n -1=1所以a n -12n 是以a 1-12=2为首项，1为公差的等差数列，所以a n -12n =2+n -1 ×1=n +1，所以a n =n +1 2n+1，b n =a n -1n +1=n +1 2n+1-1n +1=2n因为b 1=a 1-11+1=2，n ≥2时，b n b n -1=2n 2n -1=2所以数列b n 是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)选①：因为b n =2n ，所以n +b n =n +2n ，则T n =(1+2)+2+22 +3+23 +⋅⋅⋅+n +2n=1+2+3+⋅⋅⋅+n +2+22+23+⋅⋅⋅+2n=12n n +1 +21-2n 1-2=n 22+n2+2n +1-2选②：因为b n =2n ，所以nb n =n ⋅2n，则T n =1×21+2×22+⋅⋅⋅+n ×2n (i )2T n =1×22+2×23+⋅⋅⋅+n ×2n +1(ii )(i )-(ii )得-T n =1×21+22+23+⋅⋅⋅+2n -n ×2n +1T n =n ×2n +1-21-2n 1-2=n ×2n +1-2n +1+2=n -1 2n +1+216.(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n 满足a 1=1，a n +1=2a n +3n ，求数列a n 的通项公式.【解析】由a n +1=2a n +3n 两边同除以3n +1得a n +13n +1=23⋅a n 3n +13，令b n =a n 3n ，则b n +1=23b n +13，设b n +1+λ=23(b n +λ)，解得λ=-1，b n +1-1=23(b n -1)，而b 1-1=-23，∴数列{b n -1}是以-23为首项，23为公比的等比数列，b n -1=-23 n ，得a n =3n -2n17.(2022·全国·高三专题练习)在数列a n 中，a 1=1，S n +1=4a n +2，则a 2019的值为( )A.757×22020B.757×22019C.757×22018D.无法确定【答案】A【解析】∵a 1=1，S n +1=4a n +2，∴S 2=a 1+a 2=4a 1+2，解得a 2=5.∵S n +1=4a n +2，∴S n +2=4a n +1+2，两式相减得，a n +2=4a n +1-4a n ，∴a n +2-2a n +1=2a n +1-2a n ，∴a n +1-2a n 是以a 2-2a 1=3为首项，2为公比的等比数列，∴a n +1-2a n =3×2n -1，两边同除以2n +1，则a n +12n +1-a n 2n=34，∴a n 2n 是以34为公差，a 121=12为首项的等差数列，∴a n 2n =12+n -1 ×34=3n -14，∴a n =3n -14×2n =3n -1 ×2n -2，∴a 2019=3×2019-1 ×22017=757×22020.故选：A .经典题型六：取倒数法18.(2022·全国·高三竞赛)数列a n 满足a 1=p ，a n +1=a 2n +2a n ．则通项a n =______．【答案】p +1 2n -1-1【解析】∵a n =a 2n -1+2a n -1，∴a n +1=a n -1+1 2=a n -2+1 22=⋯=a 1+1 2n -1=p +1 2n -1．即a n =p +1 2n -1-1．故答案为p +1 2n -1-119.(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n 满足a 1=12，且a n +1=a n 3a n +1，则数列a n =__________【答案】13n -1【解析】由a n +1=a n 3a n +1两边取倒数可得1a n +1=1a n +3，即1a n +1-1a n=3所以数列1a n 是等差数列，且首项为2，公差为3，所以1a n=3n -1，所以a n =13n -1；故答案为：13n -120.(2022·全国·高三专题练习)数列a n 满足a n +1=a n 1+2a nn ∈N ∗，a 1=1，则下列结论错误的是( )A.2a 10=1a 3+1a 17B.21an是等比数列C.2n -1 a n =1D.3a 5a 17=a 49【答案】D 【解析】由a n +1=a n 1+2a n ，且a 1=1，则a 2=a 12a 1+1>0，a 3=a 21+2a 2>0，⋯，以此类推可知，对任意的n ∈N ∗，a n >0，所以，1a n +1=1+2a n a n =1a n +2，所以1a n +1-1a n =2，且1a 1=1，所以，数列1a n 是等差数列，且该数列的首项为1，公差为2，所以，1a n =1+2n -1 =2n -1，则2n -1 a n =1，其中n ∈N ∗，C 对；21a n +121a n=21an +1-1a n=22=4，所以，数列21an是等比数列，B 对；由等差中项的性质可得2a 10=1a 3+1a 17，A 对；由上可知a n =12n -1，则3a 5a 17=3×12×5-1×12×17-1=199，a 49=12×49-1=197，所以，3a 5a 17≠a 49，D 错.故选：D .21.(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n 满足a 1=1，a n +1=a n 4a n +1，(n ∈N *)，则满足a n >137的n 的最大取值为( )A.7 B.8C.9D.10【答案】C【解析】因为a n +1=a n 4a n +1，所以1a n +1=4+1a n ，所以1a n +1-1a n =4，又1a 1=1，数列1a n是以1为首项，4为公差的等差数列．所以1a n =1+4(n -1)=4n -3，所以a n =14n -3，由a n >137，即14n -3>137，即0<4n -3<37，解得34<n <10，因为n 为正整数，所以n 的最大值为9；故选：C 经典题型七：取对数法22.(2022·湖南·长郡中学高三阶段练习)若在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；依次构造，第n n ∈N * 次得到的数列的所有项的积记为a n ，令b n =log 2a n ，则b 3=___________，b n =___________.【答案】 143n +12【解析】设第n 次构造后得到的数列为1，x 1，x 2，⋯，x k ，2.则a n =2x 1x 2⋯x k ，则第n +1次构造后得到的数列为1，x 1，x 1，x 1x 2，x 2，⋯，x k -1x k ，x k ，2x k ，2.则a n +1=4x 1x 2⋯x k 3=4×a n 2 3=12a 3n ，∴b n +1=log 2a n +1=log 212a 3n=-1+3b n ，∴b n +1-12=3b n -12 ，又∵b 1=log 222=2，∴数列b n -12 是以32为首项，3为公比的等比数列，∴b n -12=32×3n -1=3n 2，b n =3n +12，b 3=14.故答案为：14；3n +1223.(2022·全国·高三专题练习(文))英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列x n 满足x n +1=x n -f x nf x n，则称数列x n 为牛顿数列．如果函数f x =2x 2-8，数列x n 为牛顿数列，设a n =ln x n +2x n -2，且a 1=1，x n >2．数列a n 的前n 项和为S n ，则S n =______．【答案】2n -1【解析】∵f x =2x 2-8，∴f x =4x ，又∵x n +1=x n -f x n f x n=x n -2x n 2-84x n =x n 2+42x n ，∴x n +1+2=x n +2 22x n ，x n +1-2=x n -222x n，∴x n +1-2x n +1-2=x n +2x n -2 2，又x n >2∴ln x n +1+2x n +1-2=ln x n +2x n -2 2=2ln x n +2x n -2 ，又a n =ln x n +2x n -2，且a 1=1，所以a n +1=2a n ，∴数列a n 是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n 的前n 项和为S n ，则S n =1×1-2n1-2=2n -1.故答案为：2n -1.经典题型八：已知通项公式a n 与前n 项的和S n 关系求通项问题24.(2022·江苏南通·高三开学考试)从条件①2S n =n +1 a n ，②a 2n +a n =2S n ,a n >0，③S n +S n -1=a n n ≥2 ，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列a n 的前n 项和为S n ,a 1=1，___________.(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =a n +1+12n +1，记数列b n 的前n 项和为T n ，是否存在正整数n 使得T n >83.【解析】(1)若选择①，因为2S n =n +1 a n ,n ∈N *，所以2S n -1=na n -1,n ≥2，两式相减得2a n =n +1 a n -na n -1，整理得n -1 a n =na n -1,n ≥2,即a n n =a n -1n -1,n ≥2，所以a n n 为常数列，而a n n =a 11=1，所以a n =n ；若选择②，因为a 2n +a n =2S n n ∈N *，所以a 2n -1+a n -1=2S n -1n ≥2 ，两式相减a 2n -a 2n -1+a n -a n -1=2S n -2S n -1=2a n n ≥2 ，得a n -a n -1 a n +a n -1 =a n +a n -1n ≥2 ，因为a n >0,∴a n +a n -1>0,∴a n -a n -1=1n ≥2 ，所以a n 是等差数列，所以a n =1+n -1 ×1=n ；若选择③，由S n +S n -1=a n n ≥2 变形得，S n +S n -1=S n -S n -1，所以S n +S n -1=S n +S n -1 S n -S n -1 ，由题意知S n >0，所以S n -S n -1=1，所以S n 为等差数列，又S 1=a 1=1，所以S n =n ,S n =n 2,∴a n =S n -S n -1=2n -1n ≥2 ，又n =1时，a 1=1也满足上式，所以a n =2n -1；(2)若选择①或②，b n =n +1+12n +1=n +22n +1，所以T n =3×12 2+4×12 3+5×12 4+⋯+n +2 ×12n +1,所以12T n =3×12 3+4×12 4+5×12 5+⋯+n +2 ×12n +2，两式相减得12T n =3×12 2+12 3+12 4+⋯+12 n +1-n +2 ×12n +2=34+181-12n -1 1-12-n +2 ×12 n +2=1-n +42n +2，则T n =2-n +42n +1，故要使得T n >83，即2-n +42n +1>83，整理得，n +42n +1<-23，当n ∈N *时，n +42n +1>0，所以不存在n ∈N *，使得T n >83.若选择③，依题意，b n =a n +1+12n +1=n +12n，所以T n =2×12+3×12 2+4×12 3+⋯+n +1 ×12n，故12T n =2×12 2+3×12 3+4×12 4+⋯+n +1 ×12 n +1，两式相减得：12T n =1+12 2+12 3+⋯+12 n -n +1 ×12 n +1=1+141-12n -1 1-12-n +1 ×12 n +1=32-n +32n +1，则T n =3-n +32n ，令T n =3-n +32n >83，则n +32n <13，即2n -3n -9>0，令c n =2n -3n -9，则c 1=-10<0，当n ≥2时，c n +1-c n =2n +1-3n +1 -9-2n -3n -9 =2n -3>0，又c 4<0,c 5>0，故c 2<c 3<c 4<0<c 5<c 6⋯，综上，使得T n >83成立的最小正整数n 的值为5.25.(2022·河南省上蔡第一高级中学高三阶段练习(文))记各项均为正数的等比数列a n 的前n 项和是S n ，已S n =a n +43a n +1-4n ∈N * .(1)求a n 的通项公式；(2)求数列na n 的前n 项和T n .【解析】(1)设等比数列a n 的公比为q .因为S n =a n +43a n +1-4n ∈N * ，所以当n =1时，a 1=a 1+43a 2-4，解得a 2=3；当n =2时，a 1+a 2=a 2+43a 3-4，则a 1=43a 3-4.因为a n 是等比数列，所以a 1a 3=a 22，即43a 3-4 a 3=9，整理得4a 23-12a 3-27=0，解得a 3=-32(舍去)或a 3=92.所以q =a 3a 2=32,a 1=a 2q=2，所以a n =2×32n -1.(2)由(1)得na n =2n ×32 n -1，所以T n =2×1+2×32+3×32 2+⋯+n -1 × 32 n -2+n ×32 n -1①则32T n =2×1×32+2×32 2+3×32 3+⋯+ n -1 ×32 n -1+n ×32 n ②①-②得-T n 2=2×1+32+32 2+323+⋯+ 32 n -1 -2n ×32 n=2×1-32 n1-32-2n ×32 n =-4+4-2n ×32 n ,所以T n =4n -8 ×32n+8.26.(2022·全国·高三专题练习)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n +1=-S n S n +1n ∈N * ，a 1=1. 求证：数列1S n是等差数列.【解析】∵-S n S n +1=a n +1=S n +1-S n ，S 1=1≠0，则S n ≠0，所以-1=S n +1-S nS n S n +1，有1S n +1-1S n=1，所以数列1S n 是以1为首项，1为公差的等差数列.经典题型九：周期数列27.(2022·上海中学高二期末)数列{x n }满足x n +1=x n -x n -1,n ≥2,n ∈N *,x 1=a ,x 2=b ，则x 2019=_________.【答案】b -a .【解析】由题干中递推公式，可得：x 1=a ，x 2=b ，x 3=x 2-x 1=b -a ，x 4=x 3-x 2=b -a -b =-a ，x 5=x 4-x 3=-a -(b -a )=-b ，x 6=x 5-x 4=-b -(-a )=a -b ，x 7=x 6-x 5=a -b -(-b )=a ，x 8=x 7-x 6=a -(a -b )=b ，x 9=x 8-x 7=b -a ，⋯∴数列{x n }是以6为最小正周期的周期数列．∵2019÷6=336⋯3，∴x 2019=x 3=b -a ．故答案为b -a .28.(2022·全国·高三专题练习)数列{a n }满足a 1=2，a 2=11-a 1，若对于大于2的正整数n ，a n =11-a n -1，则a 102=__________.【答案】12【解析】由题意知：a 2=11-2=-1,a 3=11--1 =12,a 4=11-12=2,a 5=11-2=-1，故{a n }是周期为3的周期数列，则a 102=a 3×34=a 3=12.故答案为：12.29.(2022·河南·模拟预测(文))设数列a n 满足a n +1=1+a n 1-a n ,且a 1=12，则a 2022=( )A.-2 B.-13C.12D.3【答案】D【解析】由题意可得：a 2=1+a 11-a 1=1+121-12=3，a 3=1+a 21-a 2=1+31-3=-2，a 4=1+a 31-a 3=1+-2 1--2 =-13，a 5=1+a 41-a 4=1-131+13=12=a 1，据此可得数列a n 是周期为4的周期数列，则a 2022=a 505×4+2=a 2=3.故选：D30.(2022·全国·高三专题练习)设数列a n 的通项公式为a n =-1 n 2n -1 ⋅cos n π2+1n ∈N * ，其前n 项和为S n ，则S 120=( )A.-60 B.-120C.180D.240【答案】D【解析】当n =4k -3，k ∈N *时，cos n π2=0，a 4k -3=1；当n =4k -2，k ∈N *时，cosn π2=-1，a 4k -2=2×4k -2 -1 ×-1 +1=-8k +6；当n =4k -1，k ∈N *时，cos n π2=0，a 4k -1=1；当n =4k ，k ∈N *时，cos n π2=1，a 4k =2×4k -1+1=8k .∴a 4k -3+a 4k -2+a 4k -1+a 4k =1+-8k +6 +1+8k =8，∴S 120=1204×8=240.故选：D 经典题型十：前n 项积型31.(2022·全国·高三专题练习)设数列a n 的前n 项积为T n ，且T n =2-2a n n ∈N * .(1)求证数列1T n 是等差数列；(2)设b n =1-a n 1-a n +1 ，求数列b n 的前n 项和S n .【解析】(1)因为数列a n 的前n 项积为T n ，且T n =2-2a n n ∈N * ，∴当n =1时，T 1=a 1=2-2a 1，则a 1=23，1T 1=32.当n ≥2时，T n =2-2T n T n -1⇒1=2T n -2T n -1，∴1T n -1T n -1=12，所以1T n 是以1T 1=32为首项，12为公差的等差数列；(2)由(1)知数列1T n =n +22，则由T n =2-2a n 得a n =n +1n +2，所以b n =1n +2 n +3=1n +2-1n +3，所以S n =13-14 +14-15 +⋯+1n +2-1n +3 =13-1n +3=n 3n +9.32.(2022·全国·高三专题练习)记T n 为数列a n 的前n 项积，已知1T n +3a n=3，则T 10=( )A.163B.154C.133D.114【答案】C 【解析】n =1,T 1=43,T n =a 1a 2a 3⋯a n ,则a n =T n T n -1(n ≥2)，代入1T n +3a n =3，化简得：T n -T n -1=13，则T n =n +33,T 10=133.故选:C .33.(2022·全国·高三专题练习)记S n 为数列a n 的前n 项和，b n 为数列S n 的前n 项积，已知2S n +b n =2，则a 9=___________.【答案】1110【解析】因为b n =S 1∙S 2∙⋯S n ，所以b 1=S 1=a 1，b n -1=S 1∙S 2∙⋯S n -1(n ≥2)，S n =b nb n -1(n ≥2), 又因为2S n +b n =2，当n =1时，得 a 1=23，所以b 1=S 1=a 1=23， 当n ≥2时， 2×b nb n -1+b n =2，即2b n =2b n -1+1，所以2b n 是等差数列，首项为2b 1=3，公差d =1， 所以2b n=3+(n -1)×1=n +2，所以b n =2n +2，满足 b 1=23，故b n =2n +2，即S 1∙S 2∙⋯S n =2n +2，所以S 1∙S 2∙⋯S n -1=2n +1(n ≥2)，两式相除得：S n =n +1n +2，所以S n -1=nn +1(n ≥2)，所以a n =S n -S n -1=n +1n +2-n n +1=1(n +1)(n +2)，所以a 9=111×10=1110.故答案为：1110.经典题型十一：“和”型求通项34.(2022·山西·太原市外国语学校高三开学考试)在数列a n 中，a 1=1，且n ≥2，a 1+12a 2+13a 3+⋯+1n -1a n -1=a n .(1)求a n 的通项公式；(2)若b n =1a n a n +1，且数列b n 的前项n 和为S n ，证明：S n <3.【解析】(1)因为n ≥2,a 1+12a 2+13a 3+⋯+1n -1a n -1=a n ，所以当n ≥3,a 1+12a 2+13a 3+⋯+1n -2a n -2=a n -1，两式相减，得1n -1a n -1=a n -a n -1，即nn -1a n -1=a n ，当n =2时，a 2=a 1=1，所以当n ≥3时，a n a n -1=nn -1，所以当n ≥3时，a n =a n a n -1×a n -1a n -2×⋯×a 3a 2×a 2=n n -1×n -1n -2×⋯×32×1=n2，当n =2时，上式成立；当n =1时，上式不成立，所以a n =1,n =1n2,n ≥2.(2)证明：由(1)知b n =1,n =14n (n +1),n ≥2当n ≥2时，b n =4n (n +1)=41n -1n +1 ，所以当n =1，S 1=1<3；当n ≥2时，S n =1+412-13 +413-14 +⋯+41n -1n +1=1+412-13+13-14+⋯+1n -1n +1 =1+412-1n +1 =3-4n +1<3.综上，S n <3.35.(2022·全国·高三专题练习)数列a n 满足a 1∈Z ，a n +1+a n =2n +3，且其前n 项和为S n .若S 13=a m ，则正整数m =( )A.99 B.103C.107D.198【答案】B【解析】由a n +1+a n =2n +3得a n +1-(n +1)-1=-a n -n -1 ，∴a n-n-1为等比数列，∴a n-n-1=(-1)n-1a1-2，∴a n=(-1)n-1a1-2+n+1，a m=(-1)m-1a1-2+m+1，∴S13=a1+a2+a3+⋯+a12+a13=a1+2×(2+4+⋯+12)+3×6=a1+102，①m为奇数时，a1-2+m+1=a1+102，m=103；②m为偶数时，-a1-2+m+1=a1+102，m=2a1+99，∵a1∈Z，m=2a1+99只能为奇数，∴m为偶数时，无解，综上所述，m=103.故选：B.36.(2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习(理))已知数列a n的前n项和为S n，若S n+1+S n=2n2n∈N*，且a1≠0，a10=28，则a1的值为A.-8B.6C.-5D.4【答案】C【解析】对于S n+1+S n=2n2，当n=1时有S2+S1=2，即a2-2=-2a1∵S n+1+S n=2n2，∴S n+S n-1=2(n-1)2，(n≥2)两式相减得：a n+1+a n=4n-2a n+1-2n=-a n-2(n-1)，(n≥2)由a1≠0可得a2-2=-2a1≠0,∴a n+1-2na n-2(n-1)=-1(n≥2)即a n-2(n-1)从第二项起是等比数列，所以a n-2(n-1)=a2-2(-1)n-2，即a n=a2-2(-1)n-2+2(n-1)，则a10=a2-2+18=28，故a2=12，由a2-2=-2a1可得a1=-5，故选C.经典题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型37.(2022·河南·高二阶段练习(文))数列a n满足a1=1,a n+a n+1=3n n∈N*，则a2018=__________ _.【答案】3026【解析】∵a n+a n+1=3n，∴a n+1+a n+2=3n+1，得a n+2-a n=3，∵a1=1,a n+a n+1=3n n∈N*，∴a1+ a2=3⇒a2=2，所以a n的偶数项构成等差数列，首项为2，公差为3，∴a2018=a2+1008×3=2+3024= 3026.故答案为：302638.(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n中，a1=1，a2=2，a n+2=-1n+1a n+2，则a18a19=( )A.3B.113C.213D.219【答案】D【解析】当n为奇数时，a n+2-a n=2，即数列a n中的奇数项依次构成首项为1，公差为2的等差数列，所以，a19=1+10-1×2=19，当n为偶数时，a n+2+a n=2，则a n+4+a n+2=2，两式相减得a n+4-a n=0，所以，a18=a4×4+2=a2=2，故a18a19=219，故选：D.39.(2022·广东·高三开学考试)已知数列a n满足a1=3，a2=2，a n+2=a n-1,n=2k-1 3a n,n=2k .(1)求数列a n的通项公式；(2)求数列a n的前2n项的和S2n.【解析】(1)当n为奇数时，a n+2-a n=-1，所以所有奇数项构成以a1=3为首项，公差为-1的等差数列，所以a n=3+(n-1)⋅-12=7-n2，当n为偶数时，a n+2=3a n，所以所有偶数项构成以a2=2为首项，公比为3的等比数列，所以a n=2×(3)n-2=2×3n-22，所以a n=7-n2,n=2k-1 2×3n-22,n=2k ；(2)S2n=a1+a2+⋯+a2n=a1+a3+a5+⋯+a2n-1+a2+a4+⋯+a2n=3n+(-1)⋅n(n-1)2+21-3n1-3=(7-n)n2+3n-1=-12n2+72n+3n-1.40.数列{a n}满足a n+2+(-1)n+1a n=3n-1，前16项和为540，则a2= ．【解析】解：因为数列{a n}满足a n+2+(-1)n+1a n=3n-1，当n为奇数时，a n+2+a n=3n-1，所以a3+a1=2，a7+a5=14，a11+a9=26，a15+a13=38，则a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=80，当n为偶数时，a n+2-a n=3n-1，所以a4-a2=5，a6-a4=11，a8-a6=17，a10-a8=23，a12-a10=29，a14-a12=35，a16-a14=41，故a4=5+a2，a6=16+a2，a8=33+a2，a10=56+a2，a12=85+a2，a14=120+a2，a16=161+a2，因为前16项和为540，所以a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16=540-80=460，所以8a2+476=460，解得a2=-2．故答案为：-2．41.(2022•夏津县校级开学)数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1，前16项和为508，则a1= ．【解析】解：由a n+2+(-1)n a n=3n-1，当n为奇数时，有a n+2-a n=3n-1，可得a n-a n-2=3(n-2)-1，⋯a3-a1=3⋅1-1，累加可得a n-a1=3[1+3+⋯+(n-2)]-n-12=(n-1)(3n-5)4；当n为偶数时，a n+2+a n=3n-1，可得a4+a2=5，a8+a6=17，a12+a10=29，a16+a14=41．可得a2+a4+⋯+a16=92．∴a 1+a 3+⋯+a 15=416．∴8a 1+14(0+8+40+96+176+280+408+560)=416，∴8a 1=24，即a 1=3．故答案为：3．经典题型十三：因式分解型求通项42.(2022秋•安徽月考)已知正项数列{a n }满足：a 1=a ，a 2n +1-4a 2n +a n +1-2a n =0，n ∈N *．(Ⅰ)判断数列{a n }是否是等比数列，并说明理由；(Ⅱ)若a =2，设a n =b n -n ．n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和S n ．【解析】解：(Ⅰ)∵a 2n +1-4a 2n +a n +1-2a n =0，∴(a n +1-2a n )(a n +1+2a n +1)=0，又∵数列{a n }为正项数列，∴a n +1=2a n ，∴①当a =0时，数列{a n }不是等比数列；②当a ≠0时，an +1a n=2，此时数列{a n }是首项为a ，公比为2的等比数列．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：a n =2n ，∴b n =2n +n ，∴S n =(21+22+⋯+2n)+(1+2+⋯+n )=2(1-2n )1-2+n (1+n )2=2n +1-2+n (n +1)2．43.(2022•怀化模拟)已知正项数列{a n }满足a 1=1，2a 2n -a n -1a n -6a 2n -1=0(n ≥2,n ∈N *)设b n =log 2a n ．(1)求b 1，b 2b 3；(2)判断数列{b n }是否为等差数列，并说明理由；(3){b n }的通项公式，并求其前n 项和为S n ．【解析】解：(1)a 1=1，2a 2n -a n -1a n -6a 2n -1=0，a n >0，可得(2a n +3a n -1)(a n -2a n -1)=0，则a n =2a n -1，数列{a n }为首项为1，公比为2的等比数列，可得a n =2n -1；b n =log 2a n =n -1，b 1=0，b 2b 3=1×2=2；(2)数列{b n }为等差数列，理由：b n +1-b n =n -(n -1)=1，则数列{b n }为首项为0，公差为1的等差数列；(3)b n =log 2a n =log 22n -1=n -1，前n 项和为S n =12n (0+n -1)=n 2-n2．44.(2022秋•仓山区校级月考)已知正项数列{a n }满足a 1=2且(n +1)a 2n +a n a n +1-na 2n +1=0(n ∈N *)(Ⅰ)证明数列{a n }为等差数列；(Ⅱ)若记b n =4a n a n +1，求数列{b n }的前n 项和S n ．【解析】(I )证明：由(n +1)a 2n +a n a n +1-na 2n +1=0(n ∈N *)，变形得：(a n +a n +1)[(n +1)a n -na n +1]=0，由于{a n }为正项数列，∴a n +1a n =n +1n，利用累乘法得：a n =2n (n ∈N *)从而得知：数列{a n }是以2为首项，以2为公差的等差数列．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知：b n=42n∙2(n+1)=1n(n+1)=1n-1n+1，从而S n=b1+b2+⋯+b n=1-1 2+12-13+13-15+⋯+1n-1-1n+1=1-1n+1=n n+1．经典题型十四：其他几类特殊数列求通项45.(2022·全国·高三专题练习)在数列{a n}中，已知各项都为正数的数列{a n}满足5a n+2+4a n+1-a n=0.(1)证明数列{a n+a n+1}为等比数列；(2)若a1=15，a2=125，求{a n}的通项公式.【解析】(1)各项都为正数的数列{a n}满足5a n+2+4a n+1-a n=0，得a n+1+a n+2=15(a n+1+a n)，即a n+1+a n+2 a n+a n+1=15所以数列{a n+a n+1}是公比为15的等比数列；(2)因为a1=15，a2=125，所以a1+a2=625，由(1)知数列{a n+a n+1}是首项为625，公比为15的等比数列，所以a n+a n+1=625×15n-1，于是a n+1-15n+1=-an-15 n=(-1)n a1-15，又因为a1-15=0，所以a n-15 n=0，即a n=15 n.46.(2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测)已知数列a n满足a1=1,a2=6，且a n+1=4a n-4a n-1, n≥2,n∈N*.(1)证明数列a n+1-2a n是等比数列，并求数列a n的通项公式；(2)求数列a n的前n项和S n.【解析】(1)因为a n+1=4a n-4a n-1,n≥2,n∈N*所以a n+1-2a n=2a n-4a n-1=2(a n-2a n-1)又因为a2-2a1=4所以a n+1-2a n是以4为首项，2为公比的等比数列.所以a n+1-2a n=4×2n-1=2n+1变形得a n+12n+1-a n2n=1所以a n2n是以a12=12为首项，1为公差的等差数列所以a n2n=12+n-1=n-12，所以a n=(2n-1)2n-1(2)因为T n=1×20+3×21+5×22+⋅⋅⋅+(2n-1)2n-1⋯①所以2T n=1×21+3×22+5×23+⋅⋅⋅+(2n-1)2n⋯②①-②得：-T n=1+22+23+⋅⋅⋅+2n-1-(2n-1)2n=1+22(1-2n-1)1-2-(2n-1)2n所以T n=(2n-1)2n-2n+1+3=(2n-3)2n+347.(2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测(理))设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a2n+1a n n∈N*，则下列说法正确的是( )A.a2021⋅a2022<1B.a2021⋅a2022>1C.a2022<-22022D.a2022>22022【答案】A【解析】因为数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a2n+1a n n∈N*，。
专题突破卷03 导数中的公切线问题 (学生版) 2025年高考数学一轮复习考点通关卷(新高考通用)
专题突破卷03 导数中的公切线问题题型一 求在曲线上一点处的切线方程1．已知函数()[]()()23,0,2,22,2,,x x x f x f x x ¥ì-Îï=í-Î+ïî则()f x 在点()()5,5f 处的切线方程为（ ）A ．4280x y --=B ．4120x y +-=C ．4120x y --=D ．4220x y +-=2．若曲线e x y a =+在0x =处的切线也是曲线ln y x =的切线，则=a （ ）A ．2-B ．1C ．1-D ．e3．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(3)f x f x -=-，当[0,1]Î时，2()f x x =，若6()log |1|g x x =-，下列命题：①()f x 是周期函数；②函数()f x 的图象在72x =处的切线方程为44170x y +-=；③函数()f x 的图象与函数()g x 的图象的所有交点的横坐标之和为12；④(2022)(2023)(2024)(2025)2f f f f +++=．其中正确命题的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,1M 为抛物线E ：()220x py p =>上一点，若抛物线E 在点M 处的切线恰好与圆C ：()()2220x y b b +-=<相切，则b =（ ）A ．B ．2-C ．3-D ．4-5．若函数()3221f x x x =++，则()f x 在点()1,2P -处的切线方程为（ ）A ．10x y +-=B ．30x y ++=C ．250x y -+=D ．230x y +-=6．已知函数2()e x f x x =-，则下列结论中错误的是（ ）A ．e 1((0))ef f -=B ．()f x 为减函数C ．()2log 3(2)f f <D ．曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(2e)1y x =--7．已知曲线211ln 22y x x =++在点()1,1处的切线与抛物线2x ay =也相切，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．12C ．1D ．0或18．已知曲线1:()sin()c f x A x w j =+与2π:()cos()0,0,||2c g x A x A w j w j æö=+>><ç÷èø，下面结论不正确的是（ ）A ．12,c c 有公切线B ．12,c c 在区间[,]a b 上均达到一个极大值点和极小值点，则3π2a b w-³C ．不等式()()f x g x >在π45π4,44j j w w ++æöç÷èø一定成立D ．记点π4,4P m j w -æöç÷èø处12,c c 9．设A ，B ，C ，D 为抛物线24x y =上不同的四点，A ，D 关于该抛物线的对称轴对称，BC 平行于该抛物线在点D 处的切线l .设点D 到直线AB 和直线AC 的距离分别为1d ，2d ，已知12d d +=sin BAC Ð=（ ）A ．12B C ．1D 10．若过点(),a b 可以作曲线ln 1y x =+的两条切线，则（ ）A ．ln b a<B ．ln 1b a >+C ．0a <D ．e ab >11．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()32f x x x =+，则曲线()y f x =在=1x -处的切线方程为（ ）A ．52y x =--B ．58y x =--C ．52y x =+D ．58y x =+12．曲线()e 3xf x x =-在点()()0,0f 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）A ．18B ．16C ．14D ．1313．曲线ln 2y x =在点1,02æöç÷èø处的切线方程为（ ）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．220x y -+=D ．220x y --=14．已知二次函数()y ax x b =-（0b ¹且1b ¹）的图象与曲线ln y x =交于点P ，与x 轴交于点A （异于点O ），若曲线ln y x =在点P 处的切线为l ，且l 与AP 垂直，则a 的值为（ ）A ．1e-B ．1-C ．D ．2-15．牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程 ()0f x =的根就是函数()f x 的零点r ，取初始值()0,x f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为 ()1,x f x 的图象在点()()11,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，一直继续下去，得到12,,,n x x x L ，它们越来越接近r ．设函数()2f x x bx =+，02x =，用牛顿迭代法得到11619x =，则实数b =（ ）A ．1B ．12C ．23D ．34题型二 求过一点的切线方程16．已知曲线23ln y x x =-的一条切线方程为y x m =-+，则实数m =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．217．若过点(),(0)m n m >可以作两条直线与曲线1ln 2y x =相切，则下列选项正确的是（ ）A ．2ln n m <B ．2ln n m >C ．2ln 0m n >>D ．2ln 0m n <<18．若过点(),2a 可以作曲线ln y x =的两条切线，则a 的取值范围为（ ）A ．()2,e -¥B ．(),ln2-¥C ．()20,eD ．()0,ln219．已知点()1,P m 不在函数3()3=-f x x mx 的图象上，且过点P 仅有一条直线与()f x 的图象相切，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1110,,442æöæöç÷ç÷èøèøU B ．1(,0)(,)4-¥+¥U C ．110,,44æöæö+¥ç÷ç÷èøèøU D ．11(,)(,)42-¥È+¥20．已知函数()211ln ,0224ln ,0x x f x x x ìæöæö£ïç÷ç÷=íèøèøï>î，若函数()()g x f x mx =-有4个零点，则m 的取值范围为（ ）A ．216e m m ìü³íýîþB ．{}2eln 2m m ³C ．2216eln 2e m m ìü<<íýîþD ．2216eln 2e m m m ìü==íýîþ或21．若过点()1,b 可以作曲线()ln 1y x =+的两条切线，则（ ）A ．ln22b <<B ．ln2b >C ．0ln2b <<D ．1b >22．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B ¢都落在边AD 上，记为B ¢；折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式EM EB EB ¢=+uuur uuuu r uuu r ．以点B 为坐标原点建立坐标系，若曲线T 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，等腰梯形1111D C B A 的111111,,A B B C C D 分别与曲线T 切于点P 、Q 、R ，且11,A D 在x 轴上．则梯形1111D C B A 的面积最小值为（ ）A ．6B ．C ．D ．23．若曲线 1e xax y +=有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a 的值为（ ）A ．14B C ．13D 24．过坐标原点作曲线()()2e 22xf x x x =-+的切线，则切线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条25．若曲线()1log a f x x x=+（0a >且1a ¹）有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围为（ ）A ．æççèB ．ö÷÷øC ．(D ．)+¥26．已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ì£ï=í+>ïî，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（ ）A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,227．已知抛物线C ：24x y =，过直线l ：24x y +=上的动点P 可作C 的两条切线，记切点为,A B ，则直线AB （ ）A ．斜率为2B ．斜率为2±C ．恒过点()0,2-D ．恒过点()1,2--28．已知点(),P x y 是曲线2y x = ）A B C D 29．设点P (异于原点)在曲线()4:0C y ax a =¹上，已知过P 的直线l 垂直于曲线C 过点P 的切线，若直线l 的纵截距的取值范围是34,éö+¥÷êëø，则=a （ ）A ．2B ．1C ．1-D ．1±30．已知(,)P x y 为函数12e 24x y x x -=+-（ ）A B C ．1D )e 5+题型三 已知切线求参数问题31．函数()e x f kx b x =--恰好有一零点0x ，且0k b >>，则0x 的取值范围是（ ）A ．(,0)-¥B ．(0,1)C ．(,1)-¥D ．(1,)+¥32．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长为4，C 的一条渐近线与曲线sin y x =在3π4x =处的切线垂直，M ，N 为C 上不同两点，且以MN 为直径的圆经过坐标原点O ，则2211OMON+=（ ）A ．14B ．4C ．12D ．233．已知直线y kx b =+恒在曲线()ln 2y x =+的上方，则bk的取值范围是（ ）A ．()1,+¥B ．3,4æö+¥ç÷èøC ．()0,¥+D ．4,5æö+¥ç÷èø34．已知 0m > ，0n >，直线 2e y x m =+ 与曲线 2ln 4y x n =-+ 相切，则 11m n+ 的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．135．贝塞尔曲线（Beziercurve ）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数()f x 的图象是可由A ，B ，C ，D 四点确定的贝塞尔曲线，其中A ，D 在()f x 的图象上，()f x 在点A ，D 处的切线分别过点B ，C .若()0,0A ，()1,1B --，()2,2C ，()1,0D ，则()f x =（ ）A ．3254x x x --B ．333x x -C ．3234x x x-+D ．3232x x x--36．已知函数()1e xf x ax =++，曲线()y f x =在ln3x =处的切线与直线2ln50x y -+=平行，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．12C ．1-D ．32-37．若直线y kx =与曲线ln y x =相切，则k =（ ）A ．21e B ．22e C ．1eD ．2e38．首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．雪飞天的助滑道可以看成一条线段PQ 和一段圆弧 QM组成，如图所示．在适当的坐标系下圆弧 QM所在圆C 的方程为()()22103128x y ++-=．若某运动员在起跳点M 以倾斜角为45°且与圆C 相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y 轴上的抛物线的一部分，则该抛物线的方程为（ ）A ．()244x y =-+B ．2132y x =--C ．()2321x y =--D ．()2144y x =-+39．已知函数2()ln f x x m x =+的图象在点(1,1)P 处的切线经过点(0,1)Q ，则实数m 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．240．函数e x m y n +=-的图象与直线e y x =相切，则以下错误的是（ ）A ．若1m =，则e n =B ．若1n =，则1em =C ．en m =+D ．e n m=41．已知曲线e x y x =，过点()3,0作该曲线的两条切线，切点分别为()()1122,,,x y x y ，则12x x +=（ ）A ．3-B ．CD ．342．已知()ln f x x x =+，曲线()y f x =在点Q 处的切线l 与直线2140x y --=平行，则直线l 的方程为（ ）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．210x y ++=D ．210x y +-=43．已知函数()()1e xf x x =+，过点(),0P m 作曲线()y f x =的两条切线，切点分别为()(),A a f a 和()(),B b f b ，若0a b +=，则实数m =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．344．若曲线()ln f x ax x =-与直线222ln20x y -+-=相切，则实数=a （ ）A ．1-B ．1C ．2D ．e45．函数()ln f x x a x =-在区间()1,6的图象上存在两条相互垂直的切线，则a 的取值范围（ ）A ．()1,6B ．()1,3C ．()3,4D ．()4,6题型四 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题46．设曲线()e xf x a b =+和曲线()πcos2xg x c =+在它们的公共点()0,2P 处有相同的切线，则+a b c 的值为 .47．已知函数y =x y a =（0a >且1a ¹）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为.48．已知函数()24e 2(0)x f x x x x -=->，函数()2233()g x x ax a a a =-+--ÎR ．若过点()0,0O 的直线l 与曲线()y f x =相切于点P ，与曲线()y g x =相切于点Q ，当P 、Q 两点不重合时，线段PQ 的长为 ．49．已知函数31e ,0,()2,0,xx x f x x x ìæö+>ïç÷=èøíï<î点A ，B 在曲线()y f x =上（A 在第一象限），过A ，B 的切线相互平行，且分别交y 轴于P ，Q 两点，则BQ AP的最小值为 ．50．若两个函数()ln =+f x x a 和()()e ,R xg x b a b =Î存在过点12,2æöç÷èø的公切线，设切点坐标分别为()()()()1122,,,x f x x g x ，则()()()121222x x f x g x éù++=ëû.51．已知函数121y x =的图象与函数2xy a =（0a >且1a ¹）的图象在公共点处有相同的切线，则=a .52．曲线e x y =在()11,A x y 处的切线与曲线ln y x m =+相切于点()22,B x y ，若12x x <且2121111x x y y +=--，则实数m 的值为 .53．已知函数121y x =的图象与函数2(0xy a a =>且1)a ¹的图象在公共点处有相同的切线，则=a，切线方程为 .54．已知函数()1sin 22f x x =.若曲线()y f x =在点()()11,A x f x 处的切线与其在点()()22,B x f x 处的切线相互垂直，则12x x -的一个取值为.55．写出与函数()sin f x x =在0x =处有公共切线的一个函数()g x = .56．写出与函数()sin2f x x =在0x =处有公共切线的一个函数()g x = ．57．若曲线(),0f x y =上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线(),0f x y =的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为．22222;3sin 4cos ;310;10y x x y x x x xy x y x x =-=+-+=+---=①②③④．58．已知实数x ，y 满足23ln 0x x y --=)R m Î的最小值为 ．59．已知曲线()e xf x x =+在点()()0,0f 处的切线与曲线()ln 1y x a =-+相切，则=a.60．已知曲线()f x =()ln g x a x =（a R Î）相交，且在交点处有相同的切线，则=a .1．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++有且仅有一个公共点，则实数a 的值是（ ）A ．8-B ．0C ．0或8D ．82．直线2y x a =+与曲线()22ln f x bx x x =+-相切于点()()22f ,，则ab 的值为（ ）A ．12B ．2ln2-C ．ln2-D ．2ln2-3．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()23e xf x f x =-+，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为A ．33y x =+B ．33y x =-C ．3y x =+D ．3y x =-4．过点()3,0作曲线()e xf x x =的两条切线，切点分别为()()11,x f x ，()()22,x f x ，则12x x +=（ ）A ．3-B ．C D ．35．已知函数()g x 为奇函数，其图象在点(,())a g a 处的切线方程为210x y -+=，记()g x 的导函数为()g x ¢，则()g a ¢-=（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-6．点P 是曲线()f x =P 到直线20x y -+=的距离的最小值是（ ）A B ．74C D ．347．若函数()ln x f x x=与()e x ab g x -=-在1x =处有相同的切线，则a b +=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．28．已知函数()f x 在点=1x -处的切线方程为10x y +-=，则()()11f f ¢-+-=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．29．若曲线33y x x =++在点()1,5处的切线与ln y x ax =+在点()1,a 处的切线平行，则=a （ ）A ．3B ．2C ．32D ．1210．若过点2(2,)P a a 可作3条直线与曲线3()f x x =相切，则a 的取值范围为（ ）A ．(0,8)B ．1(,)8+¥C ．1(,0)(0,8-¥U D ．(,0)(8,)-¥È+¥11．对于函数()2e xf x x=，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 恰有一个极值点B ．()f x 有最小值但没有最大值C ．直线()2y k x =+与曲线()y f x =的公共点个数最多为4D ．经过点()0,0可作曲线()y f x =的两条切线12．已知函数()b f x ax =的导函数为2()3f x x ¢=，则a b += ，过点(1,1)且与曲线()y f x =相切的直线方程为 .13．若函数()21ln 2f x x t x =-的图象在点()()1,1f 处的切线方程为y kx b =+，则k b += ；若方程()0f x =有两个不等的实根，则实数t 的取值范围为 .14．已知函数()21e xx x f x -+=.(1)求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；(2)求函数()f x 的极值.15．已知()()21ln 12f x ax x x =-+-+，其中0a >．(1)若函数()f x 在3x =处的切线与x 轴平行，求a 的值；(2)求()f x 的极值点；(3)若()f x 在[)0,¥+上的最大值是0，求a 的取值范围．16．已知函数()sin x x x j =-，()()ln 1e x f x a x =-+，其中a ÎR .(1)当1a =时，求函数()f x 在0x =处的切线方程；(2)证明：当[)0,x Î+¥时()306x x j +≥；(3)对任意[]0,πx Î，()()22f x x j ¢³+恒成立，求实数a 的取值范围.17．已知函数()2e e x f x ax =+-，R a Î，()f x ¢为()f x 的导函数．（注：e 2.71828=×××是自然对数的底数）(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)讨论()f x ¢的单调性；(3)若()f x 无极值点，求实数a 的取值范围．18．已知函数()ln f x x x =-．(1)求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求证：()1f x £-；19．已知函数()()1e x f x ax a =-+.(1)若1a =，求()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若关于x 的方程()1ef x =-恰有两个不同的实数解，求a 的取值范围.20．已知0a >，函数()()2ln ln e f x x a a x x =-+-，其中e 是自然对数的底数.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程.(2)已知R t Î，2()(2)ln g x tx t x x =+--时，讨论函数()g x 的单调性.(3)求证：函数()f x 存在极值点，并求极值点0x 的最小值.。
2025届高考数学基础总复习提升之专题突破详解专题37程序框图的应用含解析
专题37 程序框图的应用一．学习目标1．了解算法的含义，了解算法的思想；理解程序框图的三种基本逻辑结构：依次结构、条件结构、循环结构．2．理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．3．初步了解几个典型的算法案例．二．学问要点1．算法通常是指可以用计算机来解决某一类问题的程序或步骤，必需是明确和有序的，而且能够在有限步之内完成．2．程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来精确、直观地表示算法的图形．通常程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤，流程线带方向箭头，依据算法进行的依次将程序框连接起来．3．三种基本逻辑结构(1)依次结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的，其结构形式为：(2)条件结构是指算法的流程依据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式，即：(3)循环结构是指从某处起先，依据肯定的条件反复执行处理某一步骤的状况．反复执行的处理步骤称为循环体．循环结构又分为当型循环和直到型循环．结构形式为：4．基本算法语句(1)输入、输出语句和赋值语句：输入语句格式：INPUT“提示内容”；变量；输出语句格式：PRINT“提示内容”；表达式；赋值语句格式：变量＝表达式．(2)条件语句：①框图：②条件语句格式：IF—THEN格式IF 条件THEN语句体END IFIF—THEN—ELSE格式IF 条件THEN语句体1ELSE 语句体2END IF5．循环语句循环语句的格式①UNTIL语句②WHILE语句DO循环体LOOP UNTIL条件WHILE条件循环体WEND③依次结构是每个算法结构都含有的，而对于循环结构有重复性，条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体．循环结构和条件结构都含有依次结构．④利用循环结构表示算法，第一要先确定是利用当型循环结构，还是直到型循环结构；其次要选择精确的表示累计的变量；第三要留意在哪一步起先循环，满意什么条件不再执行循环体．6．算法案例(1)辗转相除法与更相减损术①辗转相除法：求两个正整数的最大公约数的方法，用较大的数m除以较小的数n得到余数r，反复操作，直到余数为0为止，即m＝nt＋r(0≤r＜n)．因此要用“后测试型”循环语句表示，其程序如下：INPUT m，nDOr＝m MOD nm＝nn＝rLOOP UNTIL r＝0PRINT mEND(2)秦九韶算法n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0…＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0得到递推公式v0＝a n且v k＝v k－1x＋a n－k，其中k＝1，2，…，n其算法可用循环语句来实现．(3)进位制①将十进制数化为二进制数的算法称为除2取余法；将十进制数化为k进制数的算法称为除k取余法．②将k进制数化为十进制数的算法步骤为：第一步：从左到右依次取k进制数a n a n－1…a1a0(k)各位上的数字乘以k的幂，k的幂从n起先取值，每次递减1，递减到0，即a n·k n，a n－1·k n－1，…，a1·k，a0·k0；其次步：把全部积加起来，就得到十进制数．三．高考类型分析例1. (1)执行下面的程序框图，假如输入的t∈[－1，3]，则输出的s属于( )A．[－3，4] B．[－5，2]C．[－4，3] D．[－2，5](2)执行下面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为____．(3)阅读如下程序框图，假如输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A．S＝2*i－2 B．S＝2*i－1C．S＝2*i D．S＝2*i＋4【分析】(1)条件结构、框图功能是求分段函数的值域．(2)依据运行依次计算出1F1的值，当1F1≤ε时输出n的值，结束程序．n为循环次数．(3)依据程序框图表示的算法对i的取值进行验证．【解析】(1)因为t∈[－1，3]，当t∈[－1，1)时，s＝3t∈[－3，3)；当t∈[1，3]时，s ＝4t－t2＝－(t2－4t)＝－(t－2)2＋4∈[3，4]，所以s∈[－3，4]．(3)当i＝2时，S＝2×2＋1＝5＜10；当i＝3时，仍旧循环，解除D；当i＝4时，S＝2×4＋1＝9＜10；当i＝5时，不满意S＜10，即此时S≥10，输出i.此时A项求得S＝2×5－2＝8，B项求得S＝2×5－1＝9，C项求得S＝2×5＝10，故只有C项满意条件．【评析】(1)循环结构中的条件推断循环结构中的条件是高考常考的学问点，主要是限制循环的变量应当满意的条件是什么．满意条件则进入循环或者退出循环，此时要特殊留意当型循环与直到型循环的区分．(2)条件结构中的条件推断条件结构中条件的推断关键是明确条件结构的功能，然后依据“是”的分支成立的条件进行推断．例2(1)下面程序运行的结果为( )n＝10S＝100DOS＝S－nn＝n－1LOOP UNTIL S<＝70PRINT nENDA．4 B．5 C．6 D．7【解析】第一次循环后，S＝90，n＝9，90>70，不满意要求，接着运行；其次次循环后，S＝81，n＝8，81>70，不满意要求，接着运行；第三次循环后，S＝73，n＝7，73>70，不满意要求，接着运行；第四次循环后，S＝66，n＝6，66<70，满意条件，结束循环．【点评】1.在用WHILE语句和UNTIL语句编写程序解决问题时，肯定要留意它们的格式及条件的表述方法．WHILE语句中是当条件满意时执行循环体，而UNTIL语句中是当条件不满意时执行循环体．(2)下面程序运行后输出的结果为( )a＝0j＝1WHILE j<＝5a＝(a＋j) MOD 5j＝j＋1ENDaA．0 B．1 C．2 D．4【解析】当j＝1时，余数a＝1；当j＝2时，余数a＝3；当j＝3时，余数a＝1；当j＝4时，余数a＝0；当j＝5时，余数a＝0；当j＝6时，不满意条件，此时退出循环．【点评】1.在解答本题时，易错选D而导致错误，错误缘由是：对循环过程不理解，误认为j＝1时，余数a＝0，即j＝1时，没有执行第一次循环．其错误过程如下：当j＝1时，余数a＝0；当j＝2时，余数a＝2；当j＝3时，余数a＝0；当j＝4时，余数a＝4；当j＝5时，余数a＝4.2．解决算法语句的有关问题时，还有以下几点易造成失误，备考时要高度关注：(1)对基本算法语句的功能及格式要求不熟识．(2)条件语句中的嵌套结构混乱，不能用分段函数例3(1)用辗转相除法或更相减损术求375和85的最大公约数；(2)用秦九韶算法计算f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6在x＝2时的值；(3)将七进制数235(7)转化为八进制数．【解析】(1)用辗转相除法：375＝85×4＋3585＝35×2＋1535＝15×2＋515＝3×5＋0∴375与85的最大公约数为5.用更相减损术：375－85＝290290－85＝205205－85＝120120－85＝3585－35＝5050－35＝1535－15＝2020－15＝515－5＝1010－5＝5.∴375与85的最大公约数为5.(3)先化成十进制，再化成八进制．235(7)＝2×72＋3×7＋5＝124∴124＝174(8)，即235(7)＝174(8)．【点评】驾驭三种特殊算法的求解思想和方法是顺当解决问题的前提和必要条件．例4某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i＝1，2，3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1，2，3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30 14 6 10…………2 100 1 027 376 697乙的频数统计表(部分)运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30 12 11 7…………2 100 1 051 696 353当n＝2 100时，依据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1，2，3)的频率(用分数表示)，并推断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；(3)按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．(2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i ＝1，2，3)的频率如下：输出y 的值为1的频数 输出y 的值为2的频数 输出y 的值为3的频数 甲1 0272 100 3762 100 6972 100 乙 1 0512 100 6962 100 3532 100 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．(3)随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3.P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827， P (ξ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49， P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝29， P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝127， 故ξ的分布列为ξ 01 2 3 P 827 49 29 127所以，E ξ＝0×827＋1×49＋2×29＋3×127＝1. 即ξ的数学期望为1.例5依据如图所示的程序框图，将输出的x，y的值依次分别记为x1，x2，x3，…，x k…；y1，y2，y3，…，y k….(1)分别求数列{x k}和{y k}的通项公式；(2)令z k＝x k y k，求数列{z k}的前k项和T k，其中k∈N*，k≤2 017.(2)T k ＝x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x k y k＝1×(3－1)＋3×(32－1)＋…＋(2k －1)(3k －1)＝1×3＋3×32＋…＋(2k －1)·3k －[1＋3＋…＋(2k －1)]．令S k ＝1×3＋3×32＋…＋(2k －1)·3k ，①则3S k ＝1×32＋3×33＋…＋(2k －1)·3k ＋1，② ①－②得－2S k ＝3＋2·32＋2·33＋…＋2·3k －(2k －1)·3k ＋1 ＝2(3＋32＋…＋3k )－3－(2k －1)·3k ＋1 ＝2×3×（1－3k ）1－3－3－(2k －1)·3k ＋1 ＝3k ＋1－6－(2k －1)·3k ＋1 ＝2(1－k )·3k ＋1－6，∴S k ＝(k －1)·3k ＋1＋3.又∵1＋3＋…＋(2k －1)＝k （1＋2k －1）2＝k 2， ∴T k ＝(k －1)·3k ＋1＋3－k 2. 【点评】以程序框图或算法语句为题设条件常与统计问题、数列问题、函数问题综合，求解时关键是将程序框图或算法语句转化翻译．四．方法总结1．了解算法思想，理解算法含义的关键在于体现程序或步骤的明确性和有限性．2．深刻理解算法的三种逻辑结构特征，需通过实际例子体会算法流程的全过程，认清所解决问题的实质．如解决分段函数的求值问题时，一般采纳条件结构设计算法；如累加求和，累乘求积等问题，往往包含循环过程，特别适合计算机处理，这类问题许多程序框图都用循环结构进行设计，同时也要留意三种基本结构的共同特点．3．特殊提示的是，程序框图主要包括三个部分：(1)弄清相应操作框的内容；(2)带箭头的流程线及推断框的条件；(3)框内外必要的文字说明和算法功能．读懂流程图要从这三方面探讨，流程线反映了流程执行的先后依次，主要看箭头方向，框内外文字说明白操作内容以及流向．4．(1)辗转相除法与更相减损术是求两个正整数的最大公约数的两种方法，关键是驾驭这两种算法的操作步骤，计算时应仔细、细心，确保中间结果的精确性，因为下一次计算要用到上一次计算的结果．(2)利用“除k取余法”将十进制数化为k进制数时，要把各步所得余数从下到上排，切莫把依次弄错．(3)利用秦九韶算法计算多项式的值的关键是正确地将多项式改写，然后由内向外逐次计算．由于本次计算用到上一次计算的结果，同样应仔细、细致地计算每一步，确保每一步结果的精确性．。
立体几何中截面问题-高考数学微专题突破含详解
立体几何中截面问题-高考数学微专题突破一、单选题1．下列命题错误的是（ ）A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D ．圆锥所有的轴截面都是等腰三角形2．一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．A ．满足条件的截面不存在B ．截面是一个梯形C ．截面是一个菱形D ．截面是一个三角形3．已知正方体1111ABCD A B C D -，直线1AC ⊥平面α，平面α截此正方体所得截面中，正确的说法是（ ）A ．截面形状可能为四边形B ．截面形状可能为五边形C ．截面面积最大值为D ．截面面积最大值为24．球O 的截面把垂直于截面的直径分成1:3O 的体积为( )A ．16πB ．163πC ．323πD ．5．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，11A B 的中点是P ，过点1A 作与截面1PBC 平行的截面，则该截面的面积为( )A ．B ．C ．D ．46V ABC -中，40AVB BVC CVA ︒∠=∠=∠=，过点A 作截面则截面AEF ，则截面AEF 的周长的最小值为（ ）A B ．2 C ．3 D ．47．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，1AC ⊥平面α.平面α截此正方体所得的截面有以下四个结论：①截面形状可能是正三角形①截面的形状可能是正方形①截面形状可能是正五边形①截面面积最大值为则正确结论的编号是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①① 8．已知长方体1111ABCD A B C D -各个顶点都在球面上，8AB AD ==，16AA =，过棱AB 作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为( )A ．3B ．4C ．5D ．69．过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是30，则截面的面积是( )A ．πB ．2πC ．3πD ．10．直三棱柱111ABC A B C -中，若22BC AB ==，1AA AC ==M 是11B C 中点，过AM 作这个三棱柱的截面，当截面与平面ABC 所成的锐二面角最小时，这个截面的面积为（ ）A ．2BC D11．在直三棱柱111ABC A B C -中，M 是1BB 上的点，3AB =，4BC =，5AC =，17CC =，过三点A 、M 、1C 作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的两部分的体积比为（ ）．A ．34B ．45C ．910D ．101112．已知球O 是正三棱锥P ABC -的外接球，3,AB PA ==点E 在线段AC 上，且3AC AE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是（ ） A ．2π B ．π C ．94π D ．74π 13．下列说法正确的是A ．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B ．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C ．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D ．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形14．已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为（ ）A B C ．2 D 15．用一个平面截半径为25cm 的球，截面面积是2225cm π，则球心到截面的距离是（ ）A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．20cm 16．如图1-1-4所示的几何体：将它们按截面的形状分成两类时，下面分类方法正确的是（ ）A ．截面可能是圆和三角形两类B ．截面可能是圆和四边形两类C ．截面可能是圆和五边形两类D ．截面可能是三角形和四边形两类 17．在侧棱长为的正三棱锥中，，过 作截面，则截面的最小周长为（ ）A ．B ．4C ．6D ．1018．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为4，侧棱1AA ⊥底面ABC ，P ，Q ，R 分别在棱1AA ，AB ，11B C 上，2AP AQ ==，13B R =，过P ，Q ，R 三点的平面将三棱柱分为两部分，下列说法错误的是（ ）A．截面是五边形B ．截面面积为C ．截面将三棱柱体积平分D ．截面与底面所成的锐二面角大小为π3 19．过正四面体ABCD 的顶点A 作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD 所成的角为75︒，这样的截面有（ ）A ．6个B ．12个C ．16个D ．18个 20．如图，正四棱锥S ABCD -的所有棱长都等于a ，过不相邻的两条棱,SA SC 作截面SAC ，则截面的面积为A ．232a B ．2a C ．212a D ．213a 21．棱长为a 的正方体，过上底面两邻边中点和下底面中心作截面，则截面图形的周长等于（ ）A ．2a + BC +D +b 22．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ）A ．35B ．35C ．92D ．98 23．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积为S 1、S 2、S 3，则（ ）A ．S 1<S 2<S 3B ．S 1>S 2>S 3C ．S 2<S 1<S 3D ．S 2>S 1>S 324．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）A ．①①①B ．①①C ．①①①D ．①①① 25．如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大截面的面积是（ ）A ．2BCD ．126．如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是（ ）A ．2BC ．4D ．32π 27．已知球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，底边3BC =，侧棱AB =E 在线段BD 上，且3BD DE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）A ．5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]2,4ππC ．9,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦28．如图所示，在棱长为 6的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱1111,C D B C 的中点，过,,A E F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为（ ）A ．18+B ．C ．D ．10++二、多选题 29．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，已知平面1AC α⊥，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）A ．截面形状可能为正三角形B ．截面形状可能为正方形C ．截面形状可能为正六边形D ．截面面积最大值为30．如图所示，有一正四面体形状的木块，其棱长为a ，点P 是ACD △的中心.劳动课上，需过点P 将该木块锯开，并使得截面平行于棱AB 和CD ，则下列关于截面的说法中正确的是（ ）A ．截面与侧面ABC 的交线平行于侧面ABDB ．截面是一个三角形C ．截面是一个四边形D ．截面的面积为24a 31．如图，已知四棱锥P ABCD -所有棱长均为4，点M 是侧棱PC 上的一个动点（不与点,P C 重合），若过点M 且垂直于PC 的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（ ）A ．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形B ．截面和底面ABCD 所成的锐二面角为4πC ．当1PM =时，截面的面积为D ．当2PM =时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为()1212,>V V V V ，则123=V V32．如图，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为11A D 的中点，F 为1CC 上的一个动点，设由点A ，E ，F 构成的平面为α，则（ ）A ．平面α截正方体的截面可能是三角形B．当点F 与点1C 重合时，平面α截正方体的截面面积为C ．点D 到平面α D ．当F 为1CC 的中点时，平面α截正方体的截面为五边形33．正方体的截面可能是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．菱形D ．正六边形三、双空题34．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点K 在棱11A B 上运动，过,,A C K 三点作正方体的截面，若K 为棱11A B 的中点，则截面面积为_________，若截面把正方体分成体积之比为2:1的两部分，则11A K KB =_______35．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点K 在棱11A B 上运动，过,,A C K 三点作正方体的截面，若K 与1B 重合，此时截面把正方体分成体积之比为(01)λλ<<的两部分，则λ=______；若K 为棱11A B 的中点，则截面面积为________．36．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N ，E ，F 分别是11A B ，AD ，11B C ，11C D 的中点，则过EF 且与MN 平行的平面截正方体所得截面的面积为______，CE 和该截面所成角的正弦值为______．37．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，6PA =，AB =2AC =，4BC =，则球O 的表面积为________；若D 是AB 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的范围是________．四、填空题38．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，11A B 的中点是P ，过点1A 作与截面1PBC 平行的截面，则截面的面积为__________.39．过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，截面的面积为3π，则球心O 到该截面的距离为______40．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，直线1AC ⊥平面α.平面α截此正方体所得截面有如下四个结论：①截面形状可能为正三角形；①截面形状可能为正方形；①截面形状不可能是正五边形；①截面面积最大值为其中所有正确结论的编号是______．41．体积为12的四面体ABCD 中，E F G 、、分别是棱AB BC AD 、、上的点，且2AE EB =，BF FC =，2AG GD =.过点E F G 、、作截面EFHG ，且点C 到此截面的距离为1.则此截面的面积是______.42．已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为4π，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为____．43．在侧棱长为S ABC -中，40ASB BSC CSA ∠=∠=∠=︒，过点A 作截面AEF ，则截面最小的周长为______.44．过正四面体ABCD 的顶点A 作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD 所成的角为75。
高考数学专题突破：劣构性考题含详解
高考数学专题突破：劣构性考题1．已知圆C 的圆心在直线30x y +-=上，且过点()1,3，()2,2． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线:0l x y m -+=交于A ，B 两点，______，求m 的值．从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：120ACB ∠=︒；条件①：圆上一点P 到直线的最大距离为32；条件①：12CA CB ⋅=-．2．已知函数()2cos cos f x x x x a ωωω=+，其中02ω<<，再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择两个作为已知．条件①：()102f =；条件①：()f x 的最小正周期为π；条件①：()f x 的图象经过点,16π⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求()f x 的解析式； (2)求()f x 的单调递增区间．3．集合{}2230A x x x =+-<，{}23B x x =-<，{}2,C x m x m m =<<-∈R ．(1)求A B ．(2)现有三个条件：①B C C =，①B C =∅，①条件p ：x C ∈，q ：x B ∈，若p 是q 的充分不必要条件，在这三个条件中任选一个填到横线上，并解答本题．选择多个条件作答时，按第一个选择给分．已知______，求实数m 的取值范围．4．在①()2log f x x =，()244g x x x =-+，①()244f x x x =-+，()2log g x x =，两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题. 已知函数___________（填序号即可）. (1)求函数()()y f g x =的解析式及定义域； (2)解不等式()()1f g x ≤.5．在①直线l ：210x +=是抛物线C 的准线；①F 是椭圆()22103142x y p p p +=>的一个焦点；①()0,1B ，对于C 上的点A ，AB AF +；在以上三个条件中任选一个，填到下面问题中的横线处，并完成解答．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，满足_____． (1)求抛物线C 的标准方程；(2)()2,D y 是抛物线C 上在第一象限内的一点，直线l '：y x m =+与C 交于M ，N 两点，若DMN 的面积为2m ，求m 的值．6．悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.1691年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为e e 2x xccc y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中c 为参数.当1c =时，该方程就是双曲余弦函数()e e cosh 2x xx -+=，类似的我们有双曲正弦函数()e e sinh 2x x x --=.(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数()()cosh 2sinh y x x =+的最小值； ①()()22cosh sinh 1x x -=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ①()()()sinh 22sinh cosh x x x =； ①()()()22cosh 2cosh sinh x x x =+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.(2)求证：,4x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()cosh cos sinh sin x x >.7．已知集合{}135A x a x a =+≤≤-，集合{}21log 4B x x =≤≤ (1)当4a =时，求()R A B ⋂；(2)若 ，求实数a 的取值范围．在①()R A B ⋂=∅；①“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件；①()A A B ⊆这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．8．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ，数列{bn }满足：点（n ，bn ）在曲线y ＝322x上，a 1＝b 4，___，数列{1nS }的前n 项和为Tn ． 从①S 4＝20，①S 3＝2a 3，①3a 3﹣a 5＝b 2这三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上并作答．(1)求数列{an }，{bn }的通项公式； (2)是否存在正整数k ，使得Tk ＞1516，且bk ＞18？若存在，求出满足题意的k 值；若不存在，请说明理由．9．已知0a >且1a ≠，给出下列四个函数： ①()11x f x a-=+；①()log 3a g x x =+；①()2h x x -=；①()tan x x ϕ=．从中任选一个函数，回答下列问题： (1)求所选函数的定义域和值域； (2)写出所选函数的两条性质．注意：如果选多个函数作答，则按第一个函数的答案给分．10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，__________．给出以下三个条件： ①数列{}n a 为等比数列，数列1{}n S a +也为等比数列；①点1(,)n n S a +在直线1y x =+上；①1121222n n n n a a a na -++++=在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设21231log log n n n b a a ++=⋅， 求数列{}n b 的前n 项和n T11．已知函数()()3sin 03,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，现有下列3个条件：①相邻两个对称中心的距离是2π；①312f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；①06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)请选择其中两个条件，求出满足这两个条件的函数()f x 的解析式； (2)将（1）中函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再把横坐标缩小为原来的23（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，请写出函数()g x 的解析式，并求其单调递减区间.12．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为22,,,6,36a b c a b bc c =-+=． (1)求A ；(2)从以下三个条件：①8b =；①sin B =①AC 边上的高112BH =中选择一个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求ABC 的面积．13．在①9a c ；①b =题（如果多选，以选①评分）．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin cos c B b A =+． (1)求角B ；(2)若10BA BC ⋅=，且______，求ABC 的周长．14．在①2cos cos c a Ab B-=，①222222()tan )b c a A a c b +-=+-， ①2cos 2cos 22sin sin 2cos A C A C B ++=，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足___________. (1)求角B ;(2)若ABC 为锐角三角形且cos cos 1a B b A +=，求c 的值及ABC 面积的取值范围.15．已知点()()2,0P t t >在抛物线E ：()220y px p =>上．有下列三个条件：①点P 到抛物线E 的焦点F 的距离为4；①点()1,6A -，记E 上动点B 到直线2px =-的距离为d ，且d AB +的最小值为 ①点P 到,02p ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比点P 到y 轴距离大2．请选择其中一个条件解答下列问题： (1)求p 与t 的值；(2)直线l 与抛物线E 交于M ，N 两点，记直线PM 的斜率为1k ，直线PN 的斜率为2k ，当128k k +=时，直线l 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 16．在①2cos a B c =；①向量(),m a b c =-，(),n a b c b =-+，m n ⊥；①tan tan A B +=问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，已知a =3c =，D 为AC 边的中点，若______，求BD 的长度．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17．在二项式2nx ⎫⎪⎭的展开式中，______．给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于37；①若展开式中第3项与第2项的二项式系数之比为7：2； ①所有偶数项的二项式系数的和为128．试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：(1)求2nx ⎫⎪⎭展开式中x 的系数；(2)写出2nx ⎫⎪⎭展开式中二项式系数最大的项（不需要说明理由）．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．已知底面为菱形的四棱锥P ABCD -中，PAD △是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是棱PC ，AB 上的点．(1)从下面①①①中选取两个作为条件，证明另一个成立；①F 是AB 的中点；①E 是PC 的中点；①BE ∥平面PFD ．（只需选择一种组合进行解答即可）(2)若2AD =，60DAB ∠=︒，PE EC =，求三棱锥P BDE -的体积．19．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，点E 在棱1BB 上.(1)求证：11AC DE ⊥；(2)从条件①､条件①､条件①这三个条件中选择两个作为已知，使得1DB ⊥平面11EA C ，并给出证明.条件①：E 为1BB 的中点；条件①：1//BD 平面11EA C ；条件①：11DB BD ⊥. (3)在（2）的条件下，求平面11EA C 与平面11DA C 夹角的余弦值. 20．在①737S b a =；①353b S S =-；①1882a S b =，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是正项等比数列，111a b ==， ；()nn na c n Nb *=∈，试比较n c 与1n c +的大小，并说明理由. 21．已知圆C 的方程为2222230x y x y +---=． (1)求圆C 的圆心及半径；(2)是否存在直线l 满足：经过点(2,1)A -，且_________________ ？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答： 条件①：被圆C 所截得的弦长最长； 条件①：被圆C 所截得的弦长最短； 条件①：被圆C 所截得的弦长为8．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．22．在①原点到直线l 的距离取得最大值，①直线l 在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的4倍这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答． 已知直线l 过点(2,1)P -．(1)当__________时，求直线l 的方程；(2)若直线l 与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，求直线l 的方程． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．23．已知点()0,1A ，________，从条件①、条件①、条件①中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答． (1)求直线1l 的方程；(2)求直线2l ：220x y 关于直线1l 的对称直线的方程． 条件①：点A 关于直线1l 的对称点B 的坐标为()2,1-；条件①：点B 的坐标为()2,1-，直线1l 过点()2,1且与直线AB 垂直； 条件①点C 的坐标为()2,3，直线1l 过点()2,1且与直线AC 平行．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．24．在①[]2,0x ∃∈-，①[]2,0x ∀∈-这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解问题．已知函数()22f x x x a =+-．(1)若命题：“______，()0f x ≥”为真命题，求实数a 的取值范围；(2)当1a >时，求关于x 的不等式()()()2111f x a x a x a ≥++--+的解集．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．25．给出条件①()f x 的最小值为0，①()0f x ≥.从这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题.已知函数()222f x x ax =-+.(1)若命题：“R x ∀∈，__________.”为真命题，求实数a 的取值集合； (2)若()f x 在区间[]0,2内恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.26．北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保､舒适､温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形ABCD 休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道AC ，2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =，cos B =(1)求氢能源环保电动步道AC 的长； (2)若___________；求花卉种植区域总面积.从①π3BCA ∠=，①=BC . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.27．网球比赛胜1局需得若干分，而每胜1球可得1分.甲､乙两人进行网球比赛，比赛进行到最后阶段，根据规则，有以下两种计分方式可供选择：①长盘制：先净胜2局者胜出比赛，要求：A .先得4分且净胜2分者胜1局，若分数为3平时，一方须净胜2分；B .球员轮流发一局球，直到比赛结束.①短盘制（俗称抢七）：1局定胜负，要求：C .先得7分且净胜2分者胜1局，若分数为6平时，一方须净胜2分；D .一方球员发第1个球，对方发第2，3个球，然后双方轮流发两个球，直到比赛结束.请选择一种计分方式回答下列问题：假设甲发球时甲得分的概率为12，乙发球时甲得分的概率为13，各球的结果相互独立，若甲先发球.(1)求甲先得2分的概率；(2)求前5个球，甲得到4分的概率.我选择第___________种计分方式（填①或①，如果选择多个方式分别解答，按第一个解答计分） 28．已知函数()()2,1,12x bg x x x a+=∈-+，从下面三个条件中任选一个条件，求出,a b 的值，并解答后面的问题①已知函数()24f x x ax =-+，若()1f x +在定义域[]1,1b b -+上为偶函数；①已知函数()()0,1x f x a b a a =+>≠在[]1,2上的值域为[]2,4；①已知函数()3f x b x a=+-，满足()()220f x f x -++=(1)证明()g x 在()1,1-上的单调性 (2)解不等式()()120g t g t -+<29．如图，在三棱锥A BCD -中，BCD △是边长为2的等边三角形，AB AC =，O 是BC 的中点，OA CD ⊥．(1)证明：平面ABC ⊥平面BCD ；(2)若E 是棱AC 上的一点，从①2CE EA =；①二面角E BD C --大小为60︒；①A BCD -30．中心在原点的双曲线E 焦点在x 轴上且焦距为4，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题： ①该曲线经过点()2,3A ；①该曲线的渐近线与圆22840x x y -++=相切；①点P 在该双曲线上，1F 、2F 为该双曲线的焦点，当点P 的纵坐标为32时，恰好12PF PF ⊥.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)过定点()1,1Q 能否作直线l ，使l 与此双曲线相交于1Q 、2Q 两点，且Q 是弦12Q Q 的中点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.31．在①点M 为椭圆C 上顶点时，12MF F △面积为①椭圆C 过点，①离心率e ，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的左、右焦 点分别为1F ，2F ，直线:l y x m=+与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2). 已知椭圆C 的短轴长为4，________．(1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的值和△P AB 的面积.答案第1页，共38页参考答案：1．(1)()()22121x y -+-=(2)12m =± 【解析】 【分析】（1）根据圆心在过点()1,3，()2,2的线段的中垂线上，同时圆心圆心在直线30x y +-=上，可求出圆心的坐标，进而求得半径，最后求出其标准方程；（2）选①利用用垂径定理可求得答案，选①根据圆上一点P 到直线的最大距离为d r +可求得答案，选①先利用向量的数量积可求得120ACB ∠=︒，解法就和选①时相同. (1)由题意可知，圆心在点()1,3()2,2的中垂线上，该中垂线的方程为10x y -+=，于是，由3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得圆心()1,2，圆C 的半径1R所以，圆C 的方程为()()22121x y -+-=； (2)①，因为120ACB ∠=︒，1CA CB ==，所以圆心C 到直线l 的距离1cos602d CA =⋅︒=，则12d ==，解得1m =， ①，圆上一点P 到直线的最大距离为32，可知圆心C 到直线l 的距离12d =．则1211d ==+，解得1m = ①，因为12CA CB ⋅=-，所以1cos 2CA CB ACB ⋅⋅∠=-，得120ACB ∠=︒，又1CA CB ==，所以圆心C 到直线l 的距离1cos602d CA =⋅︒=， 则12d ==，解得1m = 2．(1)条件选择见解析，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；(2)单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出()1sin 262f x x a πω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.选择①①：由()102f =可求得a 的值，由正弦型函数的周期公式可求得ω的值，可得出函数()f x 的解析式；选择①①：由正弦型函数的周期公式可求得ω的值，由16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得a 的值，可得出函数()f x 的解析式； 选择①①：由()102f =可求得a 的值，由16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭结合02ω<<可求得ω的值，可得出函数()f x 的解析式； （2）解不等式222262k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈可得出函数()f x 的单调递增区间.(1)解：()1cos 212sin 2262x f x x a x a ωπωω+⎛⎫=+=+++ ⎪⎝⎭. 选择①①：因为()1012f a =+=，所以12a =-， 又因为()f x 的最小正周期为22ππω=，所以1ω=，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；选择①①：因为()f x 的最小正周期为22ππω=，所以1ω=，则()1sin 262x a f x π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=， 又因为11162f a π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以12a =-，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；选择①①：因为()1012f a =+=，所以12a =-，所以()sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．又因为sin 1636f ππωπ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2Z 362k k πωπππ+=+∈， 所以16Z k k ω=+∈，，又因为02ω<<，所以1ω=，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭．(2)解：依题意，令222262k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈，解得36k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈，所以()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.3．(1){}11A B x x ⋂=-<< (2)答案见解析 【解析】 【分析】（1）先求出集合A ,根据集合的交集运算求得答案；（2）若选①，则可得C B ⊆，考虑C 为空集情况，列出相应的不等式组求解； 若选①，根据B C =∅，考虑C 为空集情况，列出相应的不等式组求解； 若选①，可知C B ，考虑C 为空集情况，列出相应的不等式组求解； (1)()()2230130x x x x +-<⇔-+<，解得31x -<< ， ①{}31A x x =-<<．23323x x -<⇔-<-<，解得15x -<<，①{}15B x x =-<<． ①{}11A B x x ⋂=-<<． (2)选①：①B C C =，①C B ⊆．当C =∅，即21m m m ≥-⇒≥时，满足题意；当C ≠∅，即21m m m <-⇒<时，{m ≥−12−m ≤5⇒m ≥−1． 综上，[)1,m ∈-+∞．选①：当C =∅，即21m m m ≥-⇒≥时，满足题意；当C ≠∅，即21m m m <-⇒<时，21m -≤-或5m ≥，m ∈∅． 综上，[)1,m ∈+∞．选①：由题意得C B,当C =∅，即21m m m ≥-⇒≥时，满足题意；当C ≠∅，即21m m m <-⇒<时，{m ≥−12−m ≤5⇒m ≥−1, 当1m =- 时，满足C B ， 综上，[)1,m ∈-+∞．4．(1)条件选择见解析，答案见解析； (2)条件选择见解析，答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据所选方案，直接求出()()y f g x =的解析式，根据对数的真数大于零可求得函数()()y f g x =的定义域；（2）根据所选方案，结合二次不等式和对数函数的单调性可得出原不等式的解集. (1)解：若选①，()()()22log 44y f g x x x ==-+，由2440x x -+>，解得2x ≠，故函数()()y f g x =定义域为()(),22,-∞+∞；若选①，()()()222log 4log 4y f g x x x ==-+，易知函数()()y f g x =定义域为()0,∞+. (2)解：若选①，由（1）知，()22log 441x x -+≤，因为2log y x =在()0,∞+上单调递增，且21log 2=，所以20442x x <-+≤，解得22x ≤<或22x <≤.所以不等式()()1f g x ≤的解集为)(22,22⎡+⎣；若选①，由（1）知，()222log 4log 41x x -+≤，令2log x t =，即2430t t -+≤，解得13t ≤≤，即21log 3x ≤≤，因为2log y x =在()0,∞+上单调递增，且21log 2=，23log 8=，所以28x ≤≤. 所以不等式()()1f g x ≤的解集为[]28,. 5．(1)22y x =(2)1-1- 【解析】 【分析】（1）选条件①，由准线方程得参数p ，从而得抛物线方程；选条件①，由椭圆的焦点坐标与抛物线焦点坐标相同求得p 得抛物线方程； 选条件①，由F ，A ，B三点共线时，AB AF FB +==p 得抛物线方程；（2）求出D 点坐标，由点到直线距离公式求得D 到直线MN 的距离，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程代入抛物线方程，判别式大于0保证相交，由韦达定理得1212,x x x x +，由弦长公式得弦长MN ，再计算出三角形的面积后可解得m ．(1)选条件①：由准线方程为12x =-知1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =．选条件①：因为抛物线()220y px p =>的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以由已知得椭圆2213142x yp p +=的一个焦点为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以231424p p p -=，又0p >，所以1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =．选条件①：由题意可知得，当F ，A ，B三点共线时，AB AF FB +==1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =. (2)把()2,D y 代入方程22y x =，可得()2,2D ，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立22y x m y x=+⎧⎨=⎩，消去y 可得()22220x m x m +-+=，由()222240m m ∆=-->，解得12m <， 又知1222x x m +=-，212x x m =，所以12MN x =-==由()2,2D 到直线l '的距离为d ==212DMN S m =△，2210m m m =⇒+-=，解得1m =-1m =-经检验均满足0∆>，所以m 的值为1-1-6．(1)条件选择见解析，证明见解析，函数()()cosh 2sinh y x x =+的最小值为78； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用双曲正、余弦函数的定义，结合指数运算可证得①①①成立，令()e e sinh R 2x xt x --==∈，利用二次函数的基本性质可求得函数()()cosh 2sinh y x x =+的最小值；（2）,4x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，将所证不等式等价转化为cos cos sin sin e e e e x x x x --+>-，分[],0x π∈-、0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦两种情况讨论，利用指数函数的单调性结合正余弦函数的性质可证得结论成立. (1)证明：选①，()()22222222c 1e e e 2osh sin e h e e 2e e 2244x x x x x x x x x x ----⎛⎫⎛⎫+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎪++-=-=-= ⎪⎝⎭⎝⎭； 选①，()()()()()22e e e e e e sinh 222sinh cosh 222x x x x x x x x x ----+-==⨯=⨯；选①，()()()222222e e e e e e cosh 2cosh sinh 222x x x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫++-⎡⎤⎡⎤==+=+ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭. ()()22e e e e cosh 2sinh 22x x x x y x x --+-=+=+，令()e e sinh 2x xt x --==，因为函数e 2x y =、e 2xy -=-均为R 上的增函数，故函数()sinh y x =也为R 上的增函数，故()e e sinh R 2x x t x --==∈，则222e e 24x x t -+-=，所以()2cosh 221x t =+， 所以22177212488y t t t ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当14t =-时取“=”，所以()()cosh 2sinh y x x =+的最小值为78.(2)证明：,4x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()cos cos sin sin e e e ecosh cos sinh sin 22x x x xx x --+->⇔>cos cos sin sin e e e e x x x x --⇔+>-，当[],0x π∈-时，cos cos e e 0x x -+>，sin 0sin x x ≤≤-，所以sin sin e e x x -≤， 所以sin sin e e 0x x --≤，所以cos cos sin sin e e e e x x x x --+>-成立；当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，则022x x ππ<≤-<，且正弦函数sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，cos sin sin 2x x x π⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，所以cos sin e e x x ≥，sin cos e 0e x x ---<<，所以cos cos sin sin e e e e x x x x --+>-成立，综上，,4x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()cosh cos sinh sin x x >.7．(1)(){25R A B x x ⋂=≤<或}716x <≤ (2)7a ≤ 【解析】 【分析】（1）根据集合的补集与交集定义运算即可；（2）选①①①中任何一个，都可以转化为A B ⊆，讨论A =∅与A ≠∅求解即可． (1)化简集合{}21log 4B x x =≤≤有{}216B x x =≤≤ 当4a =时，{}57A x x =≤≤，则{5R A x x =<或}7x > 故(){25R A B x x ⋂=≤<或}716x <≤ (2)选①①①中任何一个，都可以转化为A B ⊆（①）当A =∅时，135a a +>-，即3a <时， A B ⊆ （①）当A ≠∅时，若A B ⊆，则 135123516a a a a +≤-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，解得37a ≤≤综上（①）（①），实数a 的取值范围是7a ≤． 8．(1)条件选择见解析；an ＝2n ，bn ＝25﹣n . (2)不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）把点（n ，bn ）代入曲线y ＝322x 可得到bn ＝25﹣n ，进而求出a 1，设等差数列{an }的公差为d ，选①S 4＝20，利用等差数列的前n 项和公式可求出d ，从而得到an ； 若选①S 3＝2a 3，利用等差数列的前n 项和公式可求出d ，从而得到an ； 若选①3a 3﹣a 5＝b 2，利用等差数列的通项公式公式可求出d ，从而得到an ； （2）由（1）可知Sn ＝1()2n n a a +＝n （1+n ），1n S ＝111n n -+，再利用裂项相消法求出Tn＝1﹣11n +，不等式51151116128k k -⎧->⎪⎪+⎨⎪>⎪⎩无解，即不存在正整数k ，使得Tk ＞1516，且bk ＞18．(1)解：①点（n ，bn ）在曲线y ＝322x 上，①322=n n b ＝25﹣n ，①a 1＝b 4＝25﹣4＝2， 设等差数列{an }的公差为d ， 若选①S 4＝20，则S 4＝43422⨯⨯+d ＝20，解得d ＝2， ①an ＝2+2（n ﹣1）＝2n ；若选①S 3＝2a 3，则S 3＝a 1+a 2+a 3＝2a 3，①a 1+a 2＝a 3， ①2+2+d ＝2+2d ，解得d ＝2， ①an ＝2+2（n ﹣1）＝2n ；若选①3a 3﹣a 5＝b 2，则3（a 1+2d ）﹣（a 1+4d ）＝25﹣2＝8， ①2a 1+2d ＝8，即2×2+2d ＝8，①d ＝2， ①an ＝2+2（n ﹣1）＝2n ； (2)解：由（1）可知Sn ＝1()2n n a a +＝(22)2n n +＝n （1+n ），①1n S ＝1(1)+n n ＝111n n -+， ①Tn ＝（1﹣12）+（1231-）+……+（111n n -+）＝1﹣11n +， 假设存在正整数k ，使得Tk ＞1516，且bk ＞18， ①51151116128k k -⎧->⎪⎪+⎨⎪>⎪⎩，即158k k >⎧⎨<⎩，此不等式无解，①不存在正整数k ，使得Tk ＞1516，且bk ＞18． 9．(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用指数型函数，对数型函数，幂函数及正切函数的性质求解；（2）利用函数的对称性及过定点求解①①；利用幂函数和正切函数的单调性及奇偶性求解①①. (1)选①，()11x f x a-=+的定义域为R ；当1a >时，11x a -≥，所以()f x 的值域为[)2,+∞； 当01a <<时，101x a -<≤，所以()f x 的值域为(]1,2； 选①，()log 3a g x x =+的定义域为{}3x x ≠-；值域为R ；选①，()2h x x -=的定义域为{}0x x ≠；值域为()0,∞+；选①，()tan x x ϕ=的定义域为,Z 2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；值域为R ；(2)选①，()11x f x a-=+的图象关于直线1x =对称；()11x f x a-=+的图象过定点()1,2．选①，()log 3a g x x =+的图象关于直线3x =-对称；()log 3a g x x =+过定点()4,0-和()2,0-．选①，()2h x x -=是偶函数；()2h x x -=在(),0∞-上为增函数，在()0,∞+上为减函数．选①，()tan x x ϕ=在(),Z 22k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭上为增函数；()tan x x ϕ=是奇函数．10．(1)12n na(2)()()3234212n n n +-++ 【解析】 【分析】（1）选①时，根据等比数列的性质，求出公比，即可求解答案；选①时，利用1,n n S a +之间的关系式，采用两式相减的方法求得结果；选①时，再写出()121211112222n n n n n a a a a n ----+++=≥这个递推式，和原递推式相减，可求得结果. （2）写出n b 的表达式，采用裂项求和的方法解得答案. (1)若选①，则22,2,2q q q +++成等比， 则22(2)2(2)q q q +=++ ， 即得 2q 或 0q =（舍去） ，故 12n na ；若选①，由点1(,)n n S a +在直线1y x =+上， 得11n n a S +=+，()112n n a S n -=+≥， 两式相减化简得()122n n a a n +=≥， 验证212a a = 适合上式， 故12n na ；若选①，由121111222n n n n n a a a a +-+++=， 可知()121211112222n nn n n a a a a n ----+++=≥，两式相减化简得()122n n a n a +=≥ 验证212a a =适合上式， 故12n n a ；(2)由（1）知12n n a则()1111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则121111111112324352n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-+-+- ⎪+⎝⎭()()1111323122124212n n n n n +⎛⎫=+--=- ⎪++++⎝⎭ 11．(1)()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)()3sin 36g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2252,9393k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合周期公式，选择相应的条件，代入函数解析式即可求解；（2）根据图象变换规则即可得到函数()g x 的解析式，利用整体法结合正弦函数的单调性即可求解. (1)选①①，因为相邻两个对称中心的距离为2T， 所以22T π=，得T π=.由2T πω=，得2ω=.由312f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得22122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，则23k πϕπ=+，k Z ∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.选①①，因为相邻两个对称中心的距离为2T，所以22T π=，得T π=.由2T πω=，得2ω=.由06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得26k πϕπ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，k Z ∈，则3k πϕπ=+，k Z ∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.选①①，由题意121264n πππω⎛⎫⎛⎫--=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()321264n n Z πππω⎛⎫⎛⎫--=+⨯∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即1244n ππω⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭或()3244n n Z ππω⎛⎫=+⨯∈ ⎪⎝⎭，得82n ω=+或()86n n Z ω=+∈.因为03ω<<， 所以2ω=.由06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得26k πϕπ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，k Z ∈，则3k πϕπ=+，k Z ∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度，可得3sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，再将横坐标缩小为原来的23（纵坐标不变），得到函数()3sin 36g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.由()3232262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 得()22529393k k x k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数()g x 的单调递减区间为()2252,9393k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 12．(1)π3A =(2)选第①个条件；【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可求出A ；（2）选第①个条件，这样的三角形不存在；选第①个条件，先利用正弦定理，余弦定理求出边长c ，即可求出ABCS ；选第①个条件：先求出边长c =2236b bc c -+=判断出这样的三角形有两个. (1)因为6a =，2236b bc c -+=，所以222b bc c a -+=．所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==． 又0πA <<，所以π3A =． (2)选第①个条件：8b =．由2236b bc c -+=可得：20828c c -=+，因为28428480∆=-⨯=-<，所以无解，这样的三角形不存在. 选第①个条件：sin B =． 由正弦定理，得sin sin a bA B=，所以6sin 4sin a B b A ===． 由2236b bc c -+=，得24200c c --=．解得2c =+2c =-．因此(11sin 4222ABC S bc A ==⨯⨯+=△选第①个条件：AC 边上的高112BH =．在ABH 中，由sin BH A AB =，所以11sin BH AB A ===，即c = 代入2236b bc c -+=得：21303b +=，解得：b =或b =，这样的三角形有两个. 13．(1)3B π=(2)答案见解析 【解析】 【分析】（1）由正弦定理的边化角公式结合三角恒等变换得出3B π=；（2）选①：由数量积公式得出20ac ，再由余弦定理得出b ，进而得出ABC 的周长；选①：由数量积公式得出20ac ，再由余弦定理得出10a c +=，进而得出ABC 的周长 (1)①sin cos c B b A =+①sin sin sin cos C A B B A =+ ①()sin sin sin cos A B A B B A +=+即sin cos cos sin sin sin cos A B A B A B B A +=+①sin cos sin A B A B =又因为sin 0A >sin B B =，即tan B =①0B π<<，①3B π=(2)选①①10BA BC ⋅=，①cos103BA BC π=，即①20ac由余弦定理得()22222cos 38132021b a c ac B a c ac =+-=+-=-⨯=即b =所以ABC 的周长为9a b c ++=选①①10BA AC ⋅=，①cos103BA BC π=，即①20ac由余弦定理得()22222cos 3b a c ac B a c ac =+-=+-，(()22320a c =+-⨯，所以10a c +=所以ABC 的周长为10a b c ++=+14．(1)3B π=；(2)1；. 【解析】 【分析】(1)选条件①，利用正弦定理边化角变形计算即得；选条件①，利用余弦定理变形计算即得；选条件①，利用二倍角的余弦公式结合余弦定理计算作答.(2)利用给定条件结合正弦定理求出c 并表示出a ，再列出面积的函数关系即可推理计算作答. (1)选条件①，在ABC 中，由正弦定理得2sin sin cos sin cos C A AB B-=， 即2sin cos sin cos cos sin C B A B A B -=，则2sin cos sin cos cos sin sin()sin C B A B A B A B C =+=+=，而sin 0C >，有1cos 2B =，又0B π<<，所以3B π=.选条件①，在ABC中，由余弦定理得2cos tan cos bc A A B =，即sin cos b A B =，由正弦定理得sin sin sin B A B A =，而sin 0A >，则tan B 0B π<<， 所以3B π=.选条件①，则有22212sin 12sin 2sin sin 22sin A C A C B -+-+=-，即222sin sin sin sin sin A C B A C +-=，在ABC 中，由正弦定理得222a cb ac +-=，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，又0B π<<，所以3B π=.(2)设ABC 外接圆半径为R ，则由正弦定理有：2sin 2sin()2sin cos 2cos sin cos cos 1c R C R A B R A B R A B a B b A ==+=+=+=，由(1)及正弦定理得1sin()sin sin 1322sin sin sin 2c C C Cc A a C C C π+==== ABC的面积13sin 28tan S ac B C===， 因ABC 是锐角三角形，则022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即62C ππ<<，有tan C >，10tan C<<S <<所以ABC面积的取值范围是. 15．(1)4p =；4t = (2)定点(1,3)- 【解析】 【分析】（1）选①：由焦半径公式列方程可得解，选①：由||||||d AB BF AB AF +=+≥，列式可以求解； 选①：根据抛物线定义可得22p=，进而得解. （2）设直线l x ty m =+，与抛物线联立，由128k k +=，得1288844y y +=++，代入韦达定理求解即可. (1)选①：根据抛物线定义得： ||242pPF =+=，解得4p =， 则28y x =，将点()()2,0P t t >代入得：216t =，解得4t =； 选①：||||||d AB BF AB AF +=+≥== 当且仅当,,A B F （B 在AF 之间）三点共线时，取等号. 解得4p =，则28y x =，将点()()2,0P t t >代入得：216t =，解得4t =； 选①：点P 到,02p ⎛⎫⎪⎝⎭的距离等于到准线2p x =-的距离，点P 到,02p ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比点P 到y 轴距离大2，则22p=，解得4p =， 则28y x =，将点()()2,0P t t >代入得：216t =，解得4t =. (2)直线l 与抛物线E 交于M ，N 两点，所以斜率显然不为0，设为x ty m =+， 设1122(,),(,)M x y N x y ，联立直线与抛物线：28x ty my x =+⎧⎨=⎩，得：2880y ty m --=，所以21212Δ6432088t m y y t y y m ⎧=+>⎪+=⎨⎪=-⎩，直线PM 的斜率为11211114482428y y y k x y --===-+-，同理直线PN 的斜率为2284k y =+，所以由128k k +=，得1288844y y +=++， 整理得：12123()80y y y y +++=，代入121288y y t y y m +=⎧⎨=-⎩得：82480m t -++=，整理得：31m t =+，所以直线l ：31(3)1x ty m ty t t y =+=++=++过定点(1,3)-. 16．答案不唯一，具体见解析. 【解析】 【分析】选①，由正弦定理边化角，由余弦定理求出cos C ，再借助余弦定理计算作答. 选①，由向量关系结合余弦定理求出角C ，再由正弦定理求角A 即可计算作答. 选①，切化弦求出角C ，由正弦定理求出角A ，再借助余弦定理计算作答. 【详解】若选①：在ABC 中，因2cos a B c =，由正弦定理得2sin cos sin A B C =，而()sin sin C A B =+，即有2sin cos sin cos cos sin A B A B A B =+，整理得()sin 0A B -=， 又A B ππ-<-<，则0A B -=，即A B =，有b a ==2221cos 22a b c C ab +-==-，在BCD △中，由余弦定理2222124BD C =+-=⎝⎭，所以BD =若选①：由m n ⊥，得0m n ⋅=，即()()()0a a b b c c b -+-+=，整理得2220a ab c b --+=，在ABC 中，由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +-==，而0C π<<，则3C π=，由正弦定理得3sin3π=，即1sin 2A =，由a =3c =可得：03A C π<<=， 则6A π=，有2ππ=--=B A C，因此有b ，又D 为斜边AC 中点，所以2bBD ==若选①：依题意，sin cos cos sin cos cos A B A B A B +=()sin A B C +=，在ABC 中，()sin sin C A B =+，于是得tan C =23C π=，由正弦定理得：32sin 3π，解得1sin 2A =，由a =3c =可得：203A C π<<=，则有6A π=，从而有ππ6B A C，即b a =在BCD △中，由余弦定理得：2222124BD C =+-=⎝⎭，所以BD = 17．(1)112 (2)21120x - 【解析】 【分析】（1）根据所选条件求出n 的值，即可得到二项式展开式的通项，即可求出展开式中x 的系数；（2）根据展开式的二项式系数的特征，得到第5项的二项式系数取得最大，再根据通项计算可得； (1)解：因为2nx ⎫⎪⎭展开式中第1r +项的二项式系数为rn C ，若选①，则01237n n n C C C ++=，即(1)1372n n n -++=，即2720n n +-=，即(9)(8)0n n +-=．解得8n =或9n =-（舍去）若选①：则21:7:2n nC C =，解得8n =； 若选①：则12128n -=，解得8n =；综上可得2nx ⎫⎪⎭即为82x ⎫⎪⎭则展开式的通项为()838218822rrrr rr r T C C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令8312r -=解得2r =，所以()22382112T C x x =-=，故展开式中x 的系数为112；(2)解：因为82x ⎫⎪⎭展开式中一共含有9项，故第5项二项式系数最大，()44225821120T C x x --=-=，即展开式中二项式系数最大的项为21120x -；18．(1)证明见解析 (2)12【解析】 【分析】（1）分①①⇒①，①①⇒①，①①⇒①三种情况讨论，根据线面平行的判定定理及性质定理证明即可；（2）取AD 的中点G ，连接PG ，根据面面垂直的性质得到PG ⊥平面ABCD ，再根据1122P BDE B PDE B PDC P BCD V V V V ----===计算可得；(1)解：（1）①①⇒①，因为F 是AB 的中点，E 是PC 的中点，取PD 的中点M ，连接ME ，MF ，则//ME CD ，且1=2ME CD ，又四边形ABCD 为菱形，所以//BF DC 且1=2BF DC ，所以//BF EM 且=BF EM ，所以四边形BEMF 为平行四边形，所以//BE FM ，BE ⊄平面PDF ，FM ⊂平面PDF ，所以//BE 平面PDF ；（2）①①⇒①，取PD 的中点M ，连接ME 、MF ，因为E 是PC 的中点，所以//ME CD ，且1=2ME CD ，又//BF CD ，所以//BF ME ，因为//BE 平面PDF ，平面BEMF平面PDF MF =，BE ⊂平面BEMF ，所以//BE MF ，所以四边形BEMF 为平行四边形，所以=BF ME ，即12BF CD =，所以F 是AB 的中点；（3）①①⇒①，取DC 的中点N ，连接NB 、NE ，因为F 是AB 的中点，所以//BF DN 且BF DN =，所以BNDF 为平行四边形，所以//BN DF ，因为BN ⊄平面PDF ，DF ⊂平面PDF ，所以//BN 平面PDF ，又//BE 平面PDF ，BE BN B =，,BE BN ⊂平面BEN ，所以平面PDF //平面BEN ，因为平面BEN平面PCD EN =，平面PDF平面PCD PD =，所以//EN PD ，所以E 是PC 的中点；(2)解：取AD 的中点G ，连接PG ，因为APD △为等边三角形，所以PG AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，所以PG ⊥平面ABCD ，又2AB BC CD AD PA PD ======，所以2sin 60PG =⨯︒=122sin 602BCDS=⨯⨯⨯︒=E 是PC 的中点，所以1111122232P BDE B PDE B PDC P BCD V V V V ----====⨯=19．(1)证明见解析； (2)答案见解析；. 【解析】 【分析】（1）连结BD ，11B D ，由直四棱柱的性质及线面垂直的性质可得111BB AC ⊥，再由正方形的性质及线面垂直的判定、性质即可证结论.（2）选条件①①，设1111AC B D O ⋂=，连结OE ，1BD ，由中位线的性质、线面垂直的性质可得1DB OE ⊥、111AC DB ⊥，再由线面垂直的判定证明结论；选条件①①，设1111AC B D O ⋂=，连结OE ，由线面平行的性质及平行推论可得1DB OE ⊥，由线面垂直的性质有111AC DB ⊥，再由线面垂直的判定证明结论；（3）构建空间直角坐标系，求平面11EA C 、平面11DA C 的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求平面11EA C 与平面11DA C 夹角的余弦值. (1)连结BD ，11B D ，由直四棱柱1111ABCD A B C D -知：1BB ⊥平面1111A B C D ，又11A C ⊂平面1111A B C D ，所以111BB AC ⊥，又1111A B C D 为正方形，即1111A C B D ⊥，又1111B D BB B ⋂=， ①11A C ⊥平面11D DBB ，又DE ⊂平面11D DBB ， ①11AC DE ⊥. (2)选条件①①，可使1DB ⊥平面11EA C .证明如下：设1111AC B D O ⋂=，连结OE ，1BD ，又E ，O 分别是1BB ，11B D 的中点， ①1//OE BD .又11DB BD ⊥，所以1DB OE ⊥.由（1）知：11A C ⊥平面11D DBB ，1DB ⊂平面11D DBB ，则111AC DB ⊥. 又11A C OE O ⋂=，即1DB ⊥平面11EA C .选条件①①，可使1DB ⊥平面11EA C .证明如下： 设1111AC B D O ⋂=，连结OE .因为1//BD 平面11EA C ，1BD ⊂平面11D DBB ，平面11D DBB ⋂平面11EA C OE =， 所以1//BD OE ，又11DB BD ⊥，则1DB OE ⊥.由（1）知：11A C ⊥平面11D DBB ，1DB ⊂平面11D DBB ，则111AC DB ⊥. 又11A C OE O ⋂=，即1DB ⊥平面11EA C . (3)由（2）可知，四边形11D DBB为正方形，所以1DD BD = 因为DA ，DC ，1DD 两两垂直，如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D，(1A，(1B，(1C，E ⎛ ⎝⎭，(1D ，所以()111,1,0AC =-，(1DA =. 由（1）知：平面11EA C的一个法向量为(1DB =.设平面11DA C 的法向量为{,,}n x y z =，则11100n A C x y n DA x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令x =()2,2,1n =-.。
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解 设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0).
则ab4122＝＝11，，
a2＝4， 解得
b2＝1，
∴所求椭圆的标准方程为x42＋y2＝1.
题型三 椭圆中焦点三角形问题
例3 (1)已知P是椭圆 y52＋x42＝1 上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝ 30°，求△F1PF2的面积；
(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；
解 设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
9A＋4B＝1， 则
25A＋B＝1，
解得BA＝＝1993611.，
故所求椭圆的标准方程为9x12 ＋9y12 ＝1. 3 16
(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1).
2 题型探究
PART TWO
题型一 椭圆定义的应用
例1 点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切 且过P点，判断圆心M的轨迹. 解 方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半 径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭 圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|， 所以动点M的轨迹是椭圆.
解析 ① 2 <2，故点P的轨迹不存在； ②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2； ③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线 (y轴).
题型二 求椭圆的标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
解 设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)，
∵A(－ 2，2)和 B( 3，1)两点在椭圆上，
∴2m＋4n＝1， m＋n＝1， 解得m＝130，
2m＋4n＝1， ∴
3m＋n＝1，
解得mn＝＝111300.，
∴椭圆的标准方程为1x02 ＋1y02 ＝1. 3
反思感悟 椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视. 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量. 常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是 否为椭圆的限制条件.
跟踪训练1 下列命题是真命题的是_②__.(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝ 2 的点P的轨迹为椭圆； ②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段； ③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.
√C.± 65，0
解析 椭圆的方程为x12＋y12＝1， 49
则
c2＝14－19＝356，c＝
5 6.
∴其焦点坐标为± 65，0.
B.(0，± 5) D.±356，0
12345
3.设 α∈0，π2，方程sixn2α＋coys2 α＝1 是表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 α 的取值
故所求点 P 的轨迹方程为x42＋y32＝1.
(2)若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积.
解 设m＝|PF1|，n＝|PF2|，则m＋n＝2a＝4. 在△PF1F2中，由余弦定理，得 |F1F2|2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2， ∴4＝(m＋n)2－2mn(1＋cos 60°)，解得mn＝4. ∴S△PF1F2 ＝12mnsin∠F1PF2＝12×4sin 60°＝ 3.
(3)经过点 P13，13，Q0，－21.
反思感悟 求椭圆标准方程的方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程. (2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待 定系数即可.即“先定位，后定量”. 当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行 分类讨论，但要注意a>b>0这一条件. (3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含 字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程.
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4.已知椭圆xm2＋1y62 ＝1 上一点 P 到椭圆的一个焦点的距离为 3，到另一个焦点 的距离为 7，则 m＝_2_5_. 解析 由椭圆的定义知，3＋7＝2a，得a＝5，则m＝a2＝25.
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5.焦点在坐标轴上，且经过 A(－ 2，2)和 B( 3，1)两点，求椭圆的标准方程.
3 达标检测
PART THREE
1.已知F1，F2是定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨
迹是
A.椭圆
B.直线
C.圆
√D.线段
解析 ∵|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|， ∴点M的轨迹是线段F1F2.
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2.椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标是 A.(± 5，0)
解 因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0)， 由椭圆的定义知，2a＝ －232＋25＋22＋ 即 a＝ 10，
－232＋25－22＝2 10，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6， 所以所求椭圆的标准方程为1y02 ＋x62＝1.
又∵0°＜∠F1PF2＜180°， ∴∠F1PF2＝120°.
反思感悟 在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个 点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形.这 个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数. 在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及 三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来 求解.
图形
焦点坐标
__F_1_(－__c_,_0_)，__F__2(_c_,0_)_
__F_1_(_0_，__－__c)_，__F_2_(_0_，__c_) _
a，b，c的关系
___c2_＝__a_2_－__b_2 __
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.平面内与两定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( × ) 2.椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为定值.( √ ) 3.已知长、短轴长，椭圆的标准方程有两个，因为焦点在不同的坐标轴上， 其标准方程不同.( √ )
(2)已知椭圆 x92＋y22＝1 的焦点为F1，F2，点P在椭圆上.若|PF1|＝4，求∠F1PF2 的大小. 解 由x92＋y22＝1，知 a＝3，b＝ 2 ∴c＝ 7， ∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2， ∴cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2＝－21，
n＝110.
12345课堂小结Fra bibliotekKETANGXIAOJIE
1. 平 面 内 到 两 定 点 F1 ， F2 的 距 离 之 和 为 常 数 ， 即 |MF1| ＋ |MF2| ＝ 2a ， 当 2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2| 时，轨迹不存在. 2.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解， 也可以通过椭圆的定义进行求解. 3.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标 准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0， B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.
解 因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0). 又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以aa0422＋＋bb1022＝＝11，，
a2＝4， 所以
b2＝1.
所以所求的椭圆的标准方程为y42＋x2＝1.
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；
知识点一 椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于 定长(大于|F1F2|) 的点的轨迹叫 做椭圆，这两个 定点 F1，F2叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离 |F1F2|叫做 椭圆的焦距.
知识点二 椭圆的标准方程
标准方程
焦点在x轴上 ax22＋by22＝1(a>b>0)
焦点在y轴上 ay22＋bx22＝1(a>b>0)
跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距 离之和等于10； 解 设其标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0). 则2a＝10，c＝4，故b2＝a2－c2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
跟踪训练3 已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|. (1)求点P的轨迹方程； 解 依题意知|F1F2|＝2， |PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>2＝|F1F2|， ∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆， 且 2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，b＝ 3，
核心素养之数学运算
HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN
待定系数法求椭圆的标准方程
典例 求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，－ 2)和－1， 214的椭圆的标准方程.
素养评析 通过两种解法的对比，采用第二种设椭圆方程的方法能优化解题 过程，减少数学运算，提高解题效率.这也正是数学运算策略升级的有力 佐证.