全国百校2021届高三-开学联考-理科数学 试卷
2021届百校联盟高三普通高中教育教学质量监测考试全国数学(理)试题(解析版)
2021届百校联盟高三普通高中教育教学质量监测考试全国数学（理）试题一、单选题1．若2z i =-，则2z z -=（ ）A ．3B ．2C D【答案】C【解析】由复数的四则运算求2z z -，然后求模即可. 【详解】依题意，()22234z i i =-=-，故234213z z i i i -=--+=-=故选：C 【点睛】本题考查了复数的四则运算，根据已知复数求复数的模，属于简单题. 2．若集合(){}23log 318A x y x x ==--，{}5,2,2,5,7B =--，则AB =（ ）A ．{}2,2,5-B ．{}5,7-C ．{}5,2,7--D ．{}5,5,7-【答案】B【解析】先求出集合A ，即可求出交集. 【详解】依题意，{}{231803A x x x x x =-->=<-或}6x >，∴{}5,7A B ⋂=-.故选：B. 【点睛】本题考查集合的交集运算，其中涉及到对数函数的定义域和一元二次不等式的解法，属于基础题.3．我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图（1）为北京某宫殿建筑，图（2）为该宫殿某一“柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为1，则根据三视图可知，该“柱脚”的表面积为（ ）图（1） 图（2）A ．9929π++B ．181829π++C ．1818218π++D ．189218π++【答案】C【解析】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，求出其表面积即可. 【详解】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，故所求表面积()23336332321821S πππ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=+. 故答案为：C. 【点睛】本题考查由三视图求几何体表面积，属于基础题.4．已知抛物线1C ：26y x =上的点M 到焦点F 的距离为92，若点N 在2C ：2221x y 上，则点M 到点N 距离的最小值为（ ）A ．261B 431C 331D ．2【答案】B【解析】根据抛物线焦半径得到3M x =，代入抛物线方程得到点坐标，再利用点到圆心的距离减去半径即为答案. 【详解】依题意，3922M MF x =+=，故3M x =，则M y ==±由对称性，不妨设(M ，故M 到点N 11=.故选：B. 【点睛】本题考查抛物线的方程、几何性质，点到圆上点距离最小的问题.5．已知两个随机变量x ，y 呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设2ln u y =，()223v x =-，利用最小二乘法，得到线性回归方程123u v =-+，则（ ）A ．变量y 的估计值的最大值为eB ．变量y 的估计值的最小值为eC ．变量y 的估计值的最大值为2eD ．变量y 的估计值的最小值为2e【答案】A【解析】根据题意可得出()212316x y e --+=，再根据二次函数和指数函数的性质可求出最值. 【详解】依题意，()212ln 2323y x =--+，则()21ln 2316y x =--+， 则()212316x y e --+=，故当32x =时，变量y 的估计值的最大值为e .故选：A. 【点睛】本题考查变量间的相关关系，涉及指数函数和二次函数的性质，属于基础题. 6．函数()3ln 2f x x x =-的图象在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（ ） A ．5344y x =- B ．524y x =-+ C ．1144y x =- D ．14y x =-【答案】A【解析】利用导数求出切线的斜率，求出12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，利用点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】依题意，1128f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()213f x x x '=-，故切线斜率1352244k f ⎛⎫'==-= ⎪⎝⎭， 所求切线方程为151842x y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，即5344y x =-. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题. 7．已知函数()()()3cos 0f x x ωϕω=+>，若33f π⎛⎫⎪⎝⎭-=，03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为（ ） A ．12B ．34C ．2D ．3【答案】B【解析】根据三角函数解析式及33f π⎛⎫⎪⎝⎭-=，03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，有2423T T k π+⋅=，结合2||T πω=得到()3214k ω+=即可求ω的最小值. 【详解】依题意，33f π⎛⎫⎪⎝⎭-=，03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故4233T T k ππ⎛⎫+⋅=-- ⎪⎝⎭，即()21243k T π+=， 故()212243k ππω+⋅=，解得()3214k ω+=，k Z ∈； 因为0>ω，故ω的最小值为34. 故选：B 【点睛】本题考查了根据三角函数周期性求参数ω的最值，由所过点的坐标，可得有关周期的表达式，结合周期与参数ω的关系求最值. 8．()()26322x x --的展开式中，4x 的系数为（ ） A ．0B ．4320C ．480D ．3840【答案】B【解析】由于()()()()266232291242x x x x x --=-+-，所以()()26322x x --的展开式中4x 的系数等于9乘以6(2)x -展开式中2x 的系数，减去12乘以6(2)x -展开式中3x 的系数，再加上4乘以6(2)x -展开式中4x 的系数即可得答案 【详解】 依题意，()()()()266232291242x x x x x --=-+-，6(2)x -展开式的通项公式为616(2)r rr r T C x -+=-，故4x 的系数为()()()4322346669C 212C 24C 2216019202404320⨯⨯--⨯⨯-+⨯⨯-=++=. 故选：B 【点睛】此题考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于基础题9．已知圆C 过点()1,3，()0,2，()7,5-，直线l ：12510x y --=与圆C 交于M ，N 两点，则MN =（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】先设圆C ：220x y Dx Ey F ++++=，根据题中条件列出方程组，求出圆的方程；再由弦长的几何法，即可得出结果. 【详解】设圆C ：220x y Dx Ey F ++++=， 由圆C 过点()1,3，()0,2，()7,5-，可得103042074750D E F E F D E F +++=⎧⎪++=⎨⎪+-+=⎩，解得8D =-，2E =，8F=-，故圆C ：()()224125x y -++=；则圆心()41-,到直线l ：12510x y --=的距离4d ==，故6MN ==. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求圆的弦长，考查求圆的方程，属于常考题型.10．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()1,m ，其中0m >；若2an 21t 5α=-，则()cos 2m απ+=（ ） A ．613-B ．1213- C ．613D ．1213【答案】D【解析】根据题意，由二倍角的正切公式，以及三角函数的定义，求出3tan 2m α==，从而可得正弦和余弦值，再由诱导公式和二倍角的正弦公式，即可得出结果. 【详解】依题意，22tan 12tan 21tan 5ααα==--，解得2tan 3α=-或3tan 2α=；因为0m >，由三角函数的定义，可得，3tan 2m α==，则sin α==，cos α== 故()312cos 2cos 2sin 22sin cos 213m απαπααα⎛⎫+=+=== ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题主要考查求三角函数的值，熟记二倍角公式，三角函数的定义，以及诱导公式即可，属于基础题型.11．已知三棱锥S ABC -中，SBC 为等腰直角三角形，90BSC ABC ∠=∠=︒，2BAC BCA ∠=∠，D ，E ，F 分别为线段AB ，BC ，AC 的中点，则直线SA ，SB ，AC ，SD 中，与平面SEF 所成角为定值的有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】B【解析】根据题意，由线面垂直的判定定理，先证明BC ⊥平面SEF ，得到BS 与平面SEF 所成角为BSE ∠，AC 与平面SEF 所成的角为CFE ∠，求出这两个角，再由平面SBC 与平面ABC 的位置关系未知，即可判定出结果. 【详解】作出图形如图所示，因为E ，F 分別为线段BC ，AC 的中点， 故//EF AB ，则EF BC ⊥； 而CS BS =，则SE BC ⊥； 又SEEF E =，SE ⊂平面SEF ，EF ⊂平面SEF ，故BC ⊥平面SEF ，故BS 与平面SEF 所成角为BSE ∠，AC 与平面SEF 所成的角为CFE ∠， 因为SBC 为等腰直角三角形，所以45BSE ∠=︒；因为2BAC BCA ∠=∠，90ABC ∠=︒，所以60CFE A ∠=∠=︒；由于平面SBC 与平面ABC 的位置关系未知，故SA ，SD 与平面SEF 所成的角不为定值. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求线面角，根据线面角的定义求解即可，属于常考题型.12．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭【答案】C【解析】()f x 恰有两个极值点，则0fx 恰有两个不同的解，求出f x 可确定1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，令()()e 02xg x x x =>+通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件. 【详解】由题意知函数()f x 的定义域为0,，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=. 因为()f x 恰有两个极值点，所以0fx恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02xt x -=+确定，且这个解不等于1.令()()e 02xg x x x =>+，则()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在0,上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e 3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.二、填空题13．若实数x ，y 满足20030x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.【答案】92【解析】根据约束条件画出可行域，由目标函数的几何意义，结合图形，即可得出结果. 【详解】不等式组20030x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由2z x y =+可得2y x z =-+， 则z 表示直线2y x z =-+在y 轴的截距，由图像可得，当直线2y x z =-+过点M 时，在y 轴的截距最大，即z 有最大值；联立030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得33,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故max 92z =.故答案为：92. 【点睛】本题主要考查求线性目标函数的最值，根据数形结合的方法求解即可，属于常考题型. 14．已知||5a =，||3b =，若a 在b 方向上的投影为3-，则23a b +=______. 73【解析】根据题意可求出3cos ,5a b =-，将23a b +转化为224129a a b b +⋅+求解. 【详解】依题意，cos ,3a a b ⋅=-，则3cos ,5a b =-，故2222323412945125393735a b a a b b ⎛⎫+=+⋅+=⨯-⨯⨯⨯-+⨯= ⎪⎝⎭.73【点睛】本题考查向量模的求解，属于基础题.15．已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，4SA AB ==，6BC =，AC =则三棱锥S ABC -外接球的表面积为______. 【答案】68π【解析】根据题意三棱锥S ABC -外接球等价于棱长为4，4，6的长方体的外接球，即可求出球半径，求出表面积. 【详解】依题意，222AB BC AC +=，故AB BC ⊥；SA ⊥平面ABC ，∴可将三棱锥S ABC -置于棱长为4，4，6的长方体中，∴可知三棱锥S ABC -外接球的半径2R =，故外接球表面积2468S R ππ==. 故答案为：68π. 【点睛】本题考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.16．已知O 为坐标原点.双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，2OA AF =，以A 为圆心的圆A 与y 轴相切，且与双曲线的一条渐近线交于点O ，P ，记双曲线C 的左顶点为M ，若22PMF PF M ∠=∠，则双曲线C 的渐近线方程为______.【答案】y =【解析】根据题意得到圆A ：22224c c x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设点P 在第一象限，联立圆的方程与渐近线方程，求得点P 的坐标，然后由22PMF PF M ∠=∠求解。
全国百校2021届高三-开学联考-理科数学 (答案)
。i
-2
-1
。
20 40 60 80 100 x 评价指数
2
p
2
8
29
l- 1
109
3
26
330
330
3
165
............................................................................................................ 10分
所以直线PB与平面PAC 所成角的正弦值为2炯 3 5 ....................................... 12分
2021届高三开学摸底联考全国卷理科数学答案笫3页（共6页）
l9
·· 解 (切
析 泗 （ l ） 频 率 分 布 直 方 ·
设 M ＝ n 一 S七 ， 由 题 M
2021届高三开学摸底联考全国卷理科 数学答案及评分意见
1.C 【解析】A=jxll<x<3f,所以AnB=jxll<x�2f.
2.B
【解析】l—2i
．＝
l
(12-i Xi()1(+l+i)i)=-l+i,
故虚部为1.
3.D 【解析】由(a+b) ..l (a-b)得(a+b)·(a-b)=(-1,m+I)·(3,m-I)=-4+m2=
2
2
所以椭圆 M的标准方程为— 8 +工 4 =1. ............................................................ 4分
(2)证明：易得A(0,2),B(O,-2), 直线l的方程为y=kx-2,因为直线l不过点(2丘，0)'
高中百校高三数学联考试题 理扫描 试题
2021年上学期示范性高中高三年级百校联考理科数学试卷创作人：历恰面日期：2020年1月1日高三数学〔理科〕参考答案一、选择〔每一小题5分，一共60分〕二、填空〔每一小题5分，一共20分〕13．1 14．1或者23 15．73- 16．43a ≤或者92a ≥ 三、解答题〔本大题一一共6小题，满分是70分〕17．〔本小题满分是12分〕【答案】〔1〕2121<<a －；〔2〕14,1,2440,333n n n n T n +=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，满足条件的最小整数为6． 18．〔本小题满分是12分〕 【答案】〔1〕证明略；〔2〕二面角C AE D --1大小为90°．19．〔本小题满分是12分〕【答案】〔I 〕1200=n ，5.0,75.0,25.0,5.0====d c b a ；〔II 〕ζ的分布列略，数学期望是40元．20．〔本小题满分是12分〕【答案】〔1〕椭圆的方程为1222=+y x ；〔2〕B F A F 22⋅获得最大值27；B F A F 22⋅获得最小值－1．21．〔本小题满分是12分〕【答案】〔1〕b 的取值范围为]22,(-∞，当222≤≤-b 时，)(x ϕ的最小值为1+b ；当24-<<-b 时，)(x ϕ的最小值为42b -；当4-≤b 时，)(x ϕ的最小值为b 24+；〔2〕证明略．22．〔本小题满分是10分〕【答案】〔Ⅰ〕证明略；〔Ⅱ〕FC EF ⋅＝54. 23．〔本小题满分是10分〕【答案】〔Ⅰ〕C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，直线l 的直角坐标方程为220x y +-=；〔Ⅱ〕2cos 4sin 30ρθρθ-+=. 24．〔本小题满分是10分〕【答案】〔Ⅰ〕6,22,6--（）（）；〔Ⅱ〕m 的取值范围为4m <.。
全国百校2021届高三-开学联考-新高考卷- 数学 (答案)
— 21 ，又I<p
V/ 扫 ， 卫
I g ＞2
I<— '2IT，所以<p =卫 6 ' 因为J(x)在[0,2刓 T ， 解得— 23 ::S;w<— 53．故选BC.
一 ） 12.ABD 【解析】如图：设双曲线C的焦距为2c = 2 /IT,M N与y 轴交于点 P, 由题 可知 IOM I= C = /IT,则P (O,b), 由EO+EM
m,n 平行，又因为[J_m且l .1_ n, 所以l .l_a;若l .l_a,则[J_m且l .1_ n,所以"l .1_ m且l .1_ n" 是
"l .l_a"的充要条件．
5.B 【解析】甲从春、夏、秋、冬四个季节 中选一个季节的6幅彩绘绘制，故甲抽到绘制夏 季6
幅彩绘的概率为— 41 ，故选B.
数列，
a 12-5000 = 6000 X 1.211 , 即 a12 = 6000 X 1.211 +5000 = 50000 元年和闰为 50000-10000 =
40000元．
16. [ — 41 'el1n2) 【解析】函数 f(x) = Ilog2x I-kx 在XE(Q,16]上的零点个数 即为函数g(x) = Ilog2x I与y = kx的图象的交点个数， 函数g(x)的图象 如图，则必 y
+E—➔N= O得点 E为三角形 OMN的重心，可得IOEI=— 23 IOP I,
X
即a = — 23 b, 了 ab2 =c2-a2矿 =— 49 ,a = 2,b = 3,e2 -l =— 94，解得e =
闷 2 ． 双曲线C的渐近线方程为3x 士 2y = 0, I—OE> I= 2,M的坐标
全国百校名校2021届高考数学联考试卷(理科)(六)(含答案解析)
全国百校名校2021届高考数学联考试卷(理科)(六)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合A ={(x ，y )| x ，y 为实数，且x 2+ y 2=1}，B ={(x ，y )| x ，y 为实数，且y = x }，则A ∩ B 的元素个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 32.在复平面内，复数z 对应的点的坐标为(2,−1)，则|z +1|等于( )A. 2B. √3C. √5D. √103.(文科)某中学有学生3000人，其中高一、高三学生的人数是1200人、800人，为了解学生的视力情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个480人的样本，则样本中高一、高二学生的人数共有( )人．A. 288B. 300C. 320D. 3524.已知函数是定义在R 上的偶函数，且在区间单调递增.若实数满足，则的取值范围是( )A.B.C.D.5.函数f(x)=x +4x+1的单调递增区间为( )A. (−∞,−3)，(1,+∞)B. (−∞,−2)，(2,+∞)C. (−3,0)，(3,+∞)D. (−2,0)，(0,2)6.已知集合A ={2,3}，B ={1,2，3}，从A ，B 中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是，则这两数之和等于4的概率是( )A.B.C.D.7.若M 为△ABC 的重心，O 为任意一点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则n =( ) A. 0B. 1C. 2D. 38.曲线y =lnx −2x 在x =1处的切线的倾斜角为α，则cos(2α+π2)的值为( )A. 45B. −45C. 35D. −359.已知a>0，b>0，则的最小值是()A. 2B.C. 4D. 510.抛物线x2−4y=0的准线方程是()A. y=−1B. y=−116C. x=−1 D. x=−11611.已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D，E分别为AB，AC的中点，沿DE将△ABC折成直二面角(如图)，则四棱锥ADECB的外接球的表面积为()A. 6πB. 8πC. 9πD. 10π12.若不等式a(x+y)对一切正数x、y恒成立，则正数a的最小值为()A. 1；B. ；C. 2；D. ；二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图所示，函数的图象在点P处的切线方程是，则14.512015除以13，所得余数为______ ．15.设F1和F2是双曲线−y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是．16.(文科)等差数列{a n}的首项a1=3，a5=11，b n=a n−12(1)求a n和{b n}的前n项和S n；(2)若T n=|b1|+|b2|+⋯+|b n|，求T n；(3)设c n=1a n a n+1，求数列{c n}的前n项和R n．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知：A、B、C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m⃗⃗⃗ =(√3,cosA+1)，n⃗=(sinA,−1)，m⃗⃗⃗ ⊥n⃗．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若a=2，cosB=√3，求b的长．318.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1底面是等腰三角形(侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱)，A1C1=C1B1，D是线段A1B1的中点．(1)证明：面AC1D⊥平面A1B1BA；(2)证明：B1C//平面AC1D.19.某次大型抽奖活动，分两个环节进行：第一环节从10000人中随机抽取10人，中奖者获得奖金1000元，并获得第二环节抽奖资格；第二环节在取得资格的10人中，每人独立通过电脑随机产生两个数x，y(x,y∈{1,2，3})，并按如图运行相应程序．若电脑显示“中奖”，则该抽奖者获得9000元奖金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．(I)已知甲在第一环节中奖，求甲在第二环节中奖的概率；(II)若乙参加了此次抽奖活动，求乙在此次活动中获得奖金的期望．20. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，过F 1的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且△MNF 2的周长为8． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y =kx +b 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，试问点O 到直线AB 的距离是否为定值，证明你的结论．21. 已知函数f(x)=x 3−3ax −1(a ∈R) (1)当a =1时，求函数f(x)的极值 (2)求函数f(x)在[0,1]上的最小值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =ty =√t(t 为参数)，点A(1,0)，B(3,−√3)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，x 轴正方向为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系． (1)求直线AB 的极坐标方程； (2)求直线AB 与曲线C 交点的极坐标．23. 设函数f(x)=x|x −a|+b ，a ，b ∈R (Ⅰ)当a >0时，讨论函数f(x)的零点个数；(Ⅱ)若对于给定的实数a(a ≥2)，存在实数b ，对于任意实数x ∈[1,2]，都有不等式|f(x)|≤12恒成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：法一：解方程组得或所以．法二：圆x 2+y 2=1的圆心(0,0)在直线y=x上，故直线y=x与圆x 2+y 2=1有两个交点，故选C项．2.答案：D解析：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．由题意求得z，进一步得到z+1，再由复数模的计算公式求解．解：由题意，z=2−i，则|z+1|=|2−i+1|=|3−i|=√32+(−1)2=√10．故选：D．3.答案：C解析：解：高一、高二学生的人数与学校总人数之比等于1200+8003000=23，故样本中高一、高二学生的人数与样本容量之比为23，480×23=320，故选C．先求出高一、高二学生的人数与学校总人数之比，此比值就等于样本中高一、高二学生的人数与样本容量之比，故用样本容量乘以此比值，即得所求．本题主要考查分层抽样的定义和方法，各个部分的个体数之比等于各个部分对应的样本数之比，属于基础题．4.答案：D解析：试题分析：因为函数是定义在R 上的偶函数，又因为.所以由可得.区间单调递增且为偶函数.所以.故选D ．考点：1.对数的运算.2.函数的奇偶性、单调性.3.数形结合的数学思想．5.答案：A解析：解：f(x)=x +4x+1的定义域为{x}x ≠−1}， ∴f′(x)=x 2+2x−3(x+1)2=(x+3)(x−1)(x+1)2，令f′(x)>0可得x >1或x <−3，故函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞)，(−∞,−3)． 故选：A ．对函数求导，然后结合导数与函数单调性的关系即可求解． 本题考查函数的单调区间的求解，解题的关键是导数的应用．6.答案：C解析：解：从A ，B 中各取任意一个数共有2×3=6种分法， 而两数之和为4的有：(2,2)，(3,1)两种方法，故所求的概率为：．故选C ．7.答案：D解析：解：如图，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23[12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )] =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13[(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )] =13(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )；∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n 3(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )；∴n 3=1；∴n =3． 故选：D ．可作出图形，从而有OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为重心，从而有AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，再根据向量减法的几何意义便可以得到n OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n 3(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，这样根据平面向量基本定理便可得到n3=1，从而便可得出n 的值．考查向量加法、减法及数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及平面向量基本定理．8.答案：D解析：本题考查了导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，三角恒等变换，属于基础题．曲线在x =1处的切线的倾斜角为α，所以y ′|x=1=tanα，再利用三角恒等变换化弦为切，将tanα代入即可．解：依题意，y ′=1x +2x 2，所以tanα=11+21=3， 所以cos(2α+π2)=−sin2α=−2sinαcosαsin 2α+cos 2α=−2tanαtan 2α+1=−2×332+1=−35， 故选：D ．9.答案：C解析：∵a >0，b >0， ∴(当且仅当a =b 时等号成立)．10.答案：A解析：解：抛物线x 2−4y =0，即x 2=4y ，抛物线的直线方程为：y =−1， 故选：A ．利用抛物线方程，直接求出准线方程即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．11.答案：D解析：解：取DE 的中点M ，BC 的中点N ，则∵等腰Rt △ABC 中，AB =AC =2，D ，E 分别为AB ，AC 的中点， 沿DE 将△ABC 折成直二面角 沿DE 将△ABC 折成直二面角后，四棱锥A −DECB 的外接球的球心在和AM 平行的直线OO′上， 设四棱锥A −DECB 的外接球的半径为R ，球心到BC 的距离为d ， 则，R 2=d 2+2，R 2=(d +√22)2+(√22)2解得：R 2=52，故四棱锥A −DECB 的外接球的表面积为S =4πR 2=10π， 故选：D ．取DE 的中点M ，BC 的中点N ，则四棱锥A −DECB 的外接球的球心在MN 上，利用勾股定理，求出半径，可得答案．本题考查的知识点是球的体积与表面积，难度中档．12.答案：C解析：试题分析：∵不等式a(x +y) 对一切正数x 、y 恒成立，∴a ≥．令f(x,y)==，x >0，y >0．令=t >0，则g(t)=，g ′(t)=，令g′(t)=0，解得t =，可知当t =时，g(t)取得极大值即最大值，g()=，∴a ≥2.故a 的最小值为2.故选C ．考点：恒成立问题的等价转化、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法13.答案：2解析：试题分析：由图及导数的几何意义知，又f(5)=−5+8=3，故2考点：本题考查了导数的几何意义 点评：函数在的导数值即是过点所作该函数所表示的曲线切线的斜率 14.答案：12解析：解：512015+1=(52−1)2015+1=C 20150⋅522015⋅(−1)0+C 20151⋅522014⋅(−1)1+C 20152⋅522013⋅(−1)2+⋯+C 20152014⋅521⋅(−1)2014+C 20152015⋅520⋅(−1)2015+1=C 20150⋅522015⋅(−1)0+C 20151⋅522014⋅(−1)1+C 20152⋅522013⋅(−1)2+⋯+C 20152014⋅521⋅(−1)2014，因为每一项都有52，且52能被13整除， 故512015+1被13整除，则512015除以13，所得余数为12， 故答案为：12．根据二项式定理，512015+1=(52−1)2015+1展开后即可判断． 本题考查了数的整除问题，利用二项式定理是关键，属于中档题．15.答案：解：，根据双曲线性质可知x −y =4，，，∴xy =2，，故答案为1．解析：思路分析：．解：，根据双曲线性质可知x −y =4，，，∴xy =2，，故答案为1．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．要灵活运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之间的关系16.答案：解：(1)等差数列{a n }的首项a 1=3，a 5=11，设公差为d ，则3+4d =11，解得d =2． ∴a n =3+2(n −1)=2n +1． b n =a n −12=2n −11． 数列{b n }的前n 项和S n =n(−9+2n−11)2=n 2−10n ．(2)令b n =2n −11≤0，解得n ≤5．∴n ≤5时，T n =−b 1−⋯−b n =−S n =−n 2+10n ．n ≥6时，T n =−b 1−⋯−b 5+b 6+⋯+b n =−2S 5+S n =n 2−10n −2×(25−50)=n 2−10n +50．综上可得：T n ={−n 2+10n,n ≤5n 2−10n +50,n ≥6．(3)c n =1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，数列{c n }的前n 项和R n =12[(13−15)+(15−17)+⋯+(12n+1−12n+3)] =12(13−12n+3)=n2n+3．解析：(1)利用等差数列的通项公式可得a n ，再利用等差数列的求和公式可得数列{b n }的前n 项和S n ． (2)令b n =2n −11≤0，解得n ≤5.n ≤5时，T n =−b 1−⋯−b n =−S n .n ≥6时，T n =−b 1−⋯−b 5+b 6+⋯+b n =−2S 5+S n ． (3)c n =1an a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，利用“裂项求和”方法即可得出．本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法、等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)∵m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，∴m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=(√3,cosA+1)⋅(sinA,−1)=√3sinA+(cosA+1)⋅(−1)=0，即√3sinA−cosA=1，∴sin(A−π6)=12．由于0<A<π，∴−π6<A−π6<5π6，∴A−π6=π6，A=π3．(Ⅱ)在△ABC中，A=π3，a=2，cosB=√33，∴sinB=√63．由正弦定理知：asinA =bsinB，∴b=asinBsinA =2×√63√32=4√23．解析：本题主要考查正弦定理、同角三角函数之间的关系、两个向量垂直的性质及两个向量的数量积公式的应用，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(Ⅰ)根据m⃗⃗⃗ ⊥n⃗可得m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=0，化简得到sin(A−π6)=12.再由0<A<π可得−π6<A−π6<5π6，从而得到A−π6=π6，由此求得A的值；(Ⅱ)利用同角三角函数的基本关系求出sin B的值，由正弦定理asinA =bsinB，得b=asinBsinA，运算求得结果．18.答案：证明：(1)∵面A1B1C1⊥面A1B1BA，面A1B1C1∩面A1B1BA=A1B1，C1D⊥A1B1，∴C1D⊥平面A1B1BA，∵C1D⊂面AC1D，∴面AC1D⊥平面A1B1BA．(2)连结A1C交AC1于O，连结DO，∵D，O分别是A1B1，A1C的中点，∴DO//B1C，∵DO⊂面AC1D，∴B1C//面AC1D.解析：(1)先证明出C1D⊥平面A1B1BA，利用线面垂直的判定定理证明出面AC1D⊥平面A1B1BA．(2)连结A1C交AC1于O，连结DO，先证明出DO//B1C，根据线面平行的判定定理证明出B1C//面AC1D. 本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理的应用．证明面面垂直的重要方法就是先找到线面垂直．19.答案：解：(Ⅰ)从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共9个，设“甲在第二环节中奖”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有(3,1)，(3,3)，共2个， ∴P(A)=29．(Ⅱ)设乙参加此次抽奖活动获得奖金为X 元，则X 的可能取值为0，1000，10000.…(7分) P(X =0)=9991000，P(X =1000)=11000⋅79=79000，P(X =10000)=11000⋅29=29000． ∴X 的分布列为∴EX =0×1000+1000×9000+10000×29000=3. 解析：(Ⅰ)确定从1，2，3三个数字中有重复取2个数字的基本事件，甲在第二环节中奖的基本事件，即可求得概率；(Ⅱ)确定乙参加此次抽奖活动获得奖金的取值，求出相应的概率，可得分布列与数学期望． 本题考查概率的计算，考查分布列与期望的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)由题意知，4a =8，则a =2，由椭圆离心率e =c a =√1−b 2a 2=12，则b 2=3．∴椭圆C 的方程x 24+y 23=1；(2)由题意，当直线AB 的斜率不存在时，此时可设A(x 0,x 0)，B(x 0,−x 0).又A ，B 两点在椭圆C 上， ∴x 024+x 023=1,x 02=127，∴点O 到直线AB 的距离d =√127=2√217， 当直线AB 的斜率存在时，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)联立方程{y =kx +bx 24+y 23=1，消去y 得(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−12=0．由已知△>0，x 1+x 2=−8kb 3+4k 2，x 1x 2=4b 2−123+4k 2，由OA ⊥OB ，则x 1x 2+y 1y 2=0，即x 1x 2+(kx 1+b)(kx 2+b)=0， 整理得：(k 2+1)x 1x 2+kb(x 1+x 2)+b 2=0，∴(k2+1)4b2−123+4k2−8k2b23+4k2+b2=0．∴7b2=12(k2+1)，满足△>0．∴点O到直线AB的距离d=√1+k2=√127=2√217为定值．综上可知：点O到直线AB的距离d=2√217为定值．解析：(1)由题意可知：4a=8，e=ca =√1−b2a2=12，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；(2)分类讨论，当直线斜率存在时，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得b和k的关系，利用点到直线的距离公式，即可求得点O到直线AB的距离是否为定值．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)当a=1时，f(x)=x3−3x−1，则f′(x)=3x2−3=3(x−1)⋅(x+1)，如下表：故极值：1或−1．(2)f′(x)=3x2−3a=3(x2−a)：①当a≤0时，f′(x)≥0在[0,1]恒成立，即f(x)在[0,1]单增，∴函数f(x)的最小值为f(0)=−1；②a>0时，f′(x)=0⇒x=√a或−√a，x∈[0,√a]，f(x)为减，[√a,+∞)，f(x)为增；当√a≥1，即a≥1，x∈[0,1]，f(x)单减，所以f(1)最小值，而f(1)=−3a；当0<√a<1，即0<a<1，f(x)先减后增，所以f(√a)最小，f(√a)=(√a)3−3a⋅√a−1=−2a⋅√a−1；综上，a≤0时，f(x)最小值−1，a∈(0,1)，f(x)最小值−2a√a−1，a∈[1,+∞)，f(x)最小值−3a．解析：(1)求极值和最值问题通常利用求导，根据导函数等于零，再判断是否是极值点，求出原函数的单调性，进而求最值．(2)要求[0,1]上的最小值，需求导利用单调性来求，必须对参数a讨论，a的取值范围不同，在所求区间上的单调性不同，最小值时的自变量也不同．本题考查函数的极值最值问题，先根据参数的取值不同，得函数的单调区间，再求最值，属于中难度题．22.答案：解：(1)由点A(1,0)，B(3,−√3)，所以直线AB 的直角坐标方程为：√3x +2y −√3=0，…(2分) 化为极坐标方程是：√3ρcosθ+2ρsinθ=√3；…(4分) (2)曲线C 的参数方程是{x =ty =√t(t 为参数)，消去参数，化为普通方程是：y 2=x(y ≥0)；…(6分) 由{√3x +2y =√3y 2=x(y ≥0)，解得{x =13y =√33， 即交点的直角坐标为(13,√33)；…(8分)化为极坐标是：(23,π3).…(10分)解析：(1)由点A 、B 写出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可； (2)把曲线C 的参数方程化为普通方程，求出直线与曲线的交点，再化为极坐标即可． 本题考查了直角坐标与参数方程和极坐标的互化问题，是综合性题目． 23.答案：解：(Ⅰ)f(x)=x|x −a|+b ={x 2−ax +b,(x ≥a)−x 2+ax +b,(x <a)， ∵a >0，∴当b >0时，x 2−ax +b =0在x ≥a 上无解，−x 2+ax +b =0在x <a 上恰有一解； 当b =0时，x 2−ax +b =0在x ≥a 上恰有一解，−x 2+ax +b =0在x <a 上恰有一解； 当b <0时，x 2−ax +b =0在x ≥a 恰有一解，若△=a 2+4b <0，则−x 2+ax +b =0在x <a 上无解；若△=a 2+4b =0，则−x 2+ax +b =0在x <a 上恰有一解；若△=a 2+4b >0，则−x 2+ax +b =0在x <a 上有两个不同解； 综上，在a >0的条件下，当b >0或a 2+4b <0时，函数f(x)有一个零点； 当b =0或a 2+4b =0时，函数f(x)有两个零点； 当−a 24<b <0时，函数f(x)有三个零点．(Ⅱ)记g(x)=f(x)−x ={x 2−(a +1)x +b,(x ≥a)−x 2+(a −1)x +b,(x <a)，原问题等价于：当2a −1≤x ≤2a +1时，g(x)max −g(x)min ≤1．最大实数b 即为g(x)max =12时的b 的值． 令T =g(x)max −g(x)min ， 由已知可得：2a +1>a ，2a −1<a−12<a+12，(1)当−1<a <−13时，2a −1<a−12<a <2a +1<a+12，∴g(x)在[2a −1,a−12]上为增函数，在[a−12,2a +1]上为减函数，g(x)max =g(a−12)=(a−1)24+b ，g(x)min =min{g(2a −1),g(2a +1)}=g(2a −1)=−2a 2+a +b ， ∴T =(a−1)24+b −(−2a 2+a +b)=9a 2−6a+14≤1．解得：−13≤a ≤1，从而无解； (2)当−13≤a <0时，2a −1<a−12<a <a+12<2a +1， ∴g(x)在[2a −1,a−12]上为增函数，在[a−12,a+12]上为减函数，在[a+12,2a +1]上为增函数，∴当2a −1≤x ≤2a +1时， g(x)max =max{g(a−12),g(2a +1)}=g(a−12)=(a−1)24+b ．g(x)min=min{g(2a −1),g(a+12)}={−2a 2+a +b,(−13≤a ≤−17)b −(a+1)24,(−17<a <0)． ∴T ={9a 2−6a+14,(−13≤a ≤−17)a 2+12,(−17<a <0)． 由T <1，解得：−13≤a <0． 此时最大的b 满足g(a−12)=12．从而b max =m(a)=12−(a−1)24=−a 2+2a+14．∴m(a)=−a 2+2a+14(−13≤a <0)．m(a)的取值范围是[118,14).解析：(Ⅰ)把函数f(x)=x|x −a|+b 分段写出，然后根据b 的范围讨论出方程x 2−ax +b =0的解得个数，进一步得到在不同条件下的函数f(x)的零点个数(Ⅱ)记g(x)=f(x)−x={x2−(a+1)x+b,(x≥a)−x2+(a−1)x+b,(x<a)，把问题转化为当2a−1≤x≤2a+1时，g(x)max−g(x)min≤1.最大实数b即为g(x)max=12时的b的值．令T=g(x)max−g(x)min，然后对a分类判断g(x)在不同区间上的单调性，并分类求得T值，由T<1求得a的范围，进一步求得实数a的取值范围．此题是个难题，考查函数的性质及其应用，考查判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中又注重了分类讨论的数学思想方法，题目的难度大，综合性强．。
百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试(全国卷12月)理科数学
百校联盟 2021届普通高中教育教学质量监测考试全国卷 理科数学考试范围：高考全部内容．第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{|ln }A x y x ==，B ＝{x|x 2-3x+2＞0}，则A ∩B ＝A ．{x|x ＞2}B ．{x|0＜x ＜1或x ＞2}C ．{x|x ＞e}D ．{x|x ＝1或x ＞2}2．设复数2i13iz =+-，则z = A ．43i 55- B ．43i 55-+ C ．63i 55- D ．63i 55-+3．已知等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 1+a 2＝2a 3，则75a a = A ．-1 B ．12- C ．1 D ．144．下表为2020年1～6月全国规模以上工业企业各月累计利润率，若y 与x 具有线性相关关系，且回归方程为y bx a =+，且由数据可得a b ≠，则月份 1～2 1～3 1～4 1～5 1～6 月份代码x 1 2 3 4 5 累计利润率y(%) 3.54 3.94 4.45 5.00 5.42A ．0b >，3 4.47b a +=B ．0b <，3 4.47b a +=C ．0b >，3 4.47a b +=D ．0b <，3 4.47a b +=5．已知点O 为坐标原点，点3(,0)2F 为抛物线C ：y 2＝2px 的焦点，动直线x-my-n ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则 A ．m ＝6 B ．n ＝6 C ．mn ＝6 D ．n ＝6m6．△ABC 中，点D ，E 为边BC 上动点，且()AE AB AC AD λμ=++，则λμ的最大值为A ．1B ．12C ．14D ．187．6211(2)(1)x x x-+-展开式中的常数项为A ．11B ．19C ．23D ．-118．在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，下图是各国公布的2020年第二季度国内生产总值(GDP)同比增长率，现从这8个国家中任取4个国家，则这4个国家中第二季度GDP 同比增长率至少有2个不小于-15%的概率为A ．1770 B ．1835 C ．2635 D ．53709．矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，点E 为CD 中点，沿AE 把△ADE 折起，点D 到达点P ，使得平面PAE ⊥平面ABCE ，则异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为A ．14B ．12C 2D 310．已知函数21,0(),02x x ax x f x a x ⎧-+≥⎪=⎨<⎪⎩，若存在x 0∈(0，+∞)，使得f(x)≥f(x 0)恒成立，则实数a 的取值范围是A ．[222,)+∞B ．(222,)-+∞C ．(0,222)D ．(0,222]11．已知过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左焦点的直线l 与双曲线C 的右支有公共点，且与圆x 2+y 2＝2a 2相切，则双曲线C 的离心率的取值范围为A ．3)B ．(3,)+∞C ．(1，2)D ．(2，+∞) 12．已知函数()2|sin |cos 32f x x x x =+，给出下列结论： ①f(x)的图象关于直线π12x =对称；②f(x)的值域为[-2，2]；③f(x)在π7π[,]1212上是减函数；④0是f(x)的极大值点．其中正确的结论有A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①②④第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题13．曲线()1sin 1f x x x =++在(0，f(0))处的切线方程为________．14．已知实数x ，y 满足50220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则z ＝x-3y 的取值范围为________．15．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若853a a =，则1113141593a a a aS +++=________． 16．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，中心为M ，则四棱锥M-ABCD 的外接球被平面ABB 1A 1截得的截面面积为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知△ABC 中，角A 为锐角且角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3sin 3BB = 2sin a Ac． （1）求A ；（2）若点D 在边BC 上，且BD ＝2DC ，且AD ＝2，求△ABC 面积的最大值． 18．如图，在三棱锥P-ABC 中，2π3PBA CBA ∠=∠=，AB ＝BC ＝BP ＝2，6PC ．（1）求证：平面PAB ⊥平面ABC ；（2）求平面PAC 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．19．蚂蚁森林是支付宝推出的公益活动，用户可以通过步行、在线缴费等减排行为获得积分，参与在荒漠化地区种树，该公益活动曾获得联合国“地球卫士奖”．蚂蚁森林2016年8月在支付宝上线，截止2020年8月5.5亿蚂蚁森林用户一起累计种下超过2.2亿颗真树．用户通过蚂蚁森林一年种植3棵树，可获得当年度全民义务植树尽责证书．某高校学生会调查了该校100名学生通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书的情况，已知这100名学生中有男生70名，男生中通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书人数占男生总数的67，女生中通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书人数占女生总数的23．（1）填写下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该校学生的性别与通过蚂蚁森林获得 男生 女生 合计获得2020年度全民义务植树尽责证书 未获2020年度得全民义务植树尽责证书合计（2为该校每个学生通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书的概率，从全校所有学生中随机取出4个人，记这4人中通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书的人数与未通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书的人数之差为X ，求X 的分布列与期望． 附：P(K 2≥k 0) 0.05 0.01 0.005 0.001k 0 3.841 6.635 7.879 10.828n ＝a+b+c+d ，2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b +=>>的左焦点为F ，点1(0,)3A -，1(0,)3B 三等分椭圆C 的短轴，且310sin FAB ∠．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作与x 轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于点M ，N ，椭圆C 上是否存在点P ，使得恒有PM ⊥PN ？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由． 21．已知函数21()ln 2(ln 1)2()f x x x ax x =---． （1）讨论f(x)的单调性；（2）若1＜a ＜2，判断f(x)的零点个数． 请考生从第22、23题中任选一题作答．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为2221111xttyt⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为π4sin()3ρθ=+．（1）求C1的普通方程，C2的直角坐标方程；（2）判断曲线C1与圆C2的公共点个数．23．【选修4-5：不等式选讲】已知f(x)＝x2-|x-2|．（1）求不等式f(x)＞2|x|的解集；（2）已知a，b∈(-∞，0)，若存在x0∈R，使得f(x)≤a+b，求ab的最大值．。
2021年全国百校名校高考数学联考试卷(理科)(六)
2021年全国百校名校高考数学联考试卷（理科）（六）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2−3x−4≤0}，B={x|1<x<5}，则A∩B=()A. {x|−4<x<5}B. {x|−1≤x≤4}C. {x|1<x≤4}D. {x|−1≤x<5}2.若复数z满足(1−i)z=3+4i，则|z|=()A. 52B. 5√22C. √2D. 53.2020年新冠肺炎全面爆发，武汉以平均一天一座方舱医院的速度，集中改建了16座方舱医院，抽调8000多名医护人员参与救治，从2月5日到3月10日，16家方舱医院共收治1.2万多名患者，实现了从“人等床”到“床等人”的转变，彻底扭转了“一床难求”的被动局面.全部病人出院后，某方舱医院要对部分病人进行电话回访，决定从300名老年人，400名中年人和150名青少年中按照分层抽样的方法抽取170人，则从中年人中抽取的人数为()A. 30B. 40C. 60D. 804.已知a=log52，b=30.2，c=(0.25)0.3，则()A. a>c>bB. a>b>cC. b>c>aD. b>a>c5.函数f(x)=xsinx+cosx在区间[−π,π]上的图象可能是()A. B.C. D.6.《诗经》是中国第一部诗歌总集，最早的记录为西周初年，最迟产生的作品为春秋时期，上下跨度约五六百年.诗经在内容上分为《风》、《雅》、《颂》三个部分.《风》是周代各地的歌谣；《雅》是周人的正声雅乐；《颂》是周王庭和贵族宗庙祭祀的乐歌.某校举行古诗词大赛，从《风》、《雅》、《颂》中各选两篇，共六篇诗歌，要求参赛选手选择其中三篇进行背诵.若一号参赛选手选择每篇诗歌的可能性相同，则他恰好从《风》、《雅》、《颂》中各选一篇诗歌的概率()A. 45B. 25C. 12D. 1157. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 是两个非零向量，且(a ⃗ +b ⃗ )⊥(a ⃗ −b ⃗ )，|a ⃗ +b ⃗ |=√3|a ⃗ |，则a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为( )A. π6B. π3C. π2D. 2π38. 已知cos(α+5π12)=√55，则cos(2α−π6)=( )A. −35B. 35C. 45D. −459. 在正项等比数列{a n }中，a 3a 9+8a 6a 10+16a 8a 12=25，则a 8的最大值是( )A. 5B. 2516C. 94D. 5410. 已知直线l 与抛物线C ：y 2=4x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB的斜率k 1，k 2满足k 1k 2=12，则直线l 恒过定点( )A. (−4,0)B. (0,−4)C. (−8,0)D. (0,−8)11. 已知P ，A ，B ，C ，D 是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，AD//BC ，AB =DC =AD =1，BC =PA =2，PA ⊥平面ABCD ，则球O 的体积为( )A. 2√2π3B. 8√2π3C. 2√2πD. 2π12. 已知函数f(x)={x 3−34x +32,0≤x ≤122x +12,12<x ≤1，g(x)=e x −ax(a ∈R)，若存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,1]B. (−∞,e −2]C. (−∞,e −54]D. (−∞,e]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知曲线y =ax 3+lnx 在x =1处的切线与直线y =−2x −1平行，则a 的值为______．14. 已知(x 2√x )n 的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，则含x 6项的系数是______ ． 15. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，点N 的坐标为(−c,4b 23a).若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足|MF 2|+|MN|>113b ，则双曲线C 的离心率的取值范围为______ ．16. 已知数列{a n }满足a 1=1，(n +1)2a n =n 2a n+1(n ∈N ∗).数列{c n }满足c n =√a n+an+1+1，设{c n }的前n 项和为T n ，若T n ≥39920，则n 的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足(sinB−sinA)(a+b)=c(sinB−sinC)．(1)求A的大小；(2)若a=2√3，B=π，求△ABC的面积．418.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠BB1C1=60°，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.(1)求证：平面ABC1⊥平面BB1C1C；(2)求二面角B−AC1−A1的正弦值．19.春节逛庙会，是中国特有的集吃喝玩乐于一体的传统民俗文化活动，在一次庙会上，有个“套圈游戏”，规则如下：每组每人3个圆环，向A，B两个目标投掷，先向目标A 连续掷两次，每套中一次得1分，都没有套中不得分，再向目标B 掷一次，每套中一次得2分，没有套中不得分，根据最终得分由主办方发放奖品.已知小华每投掷一次，套中目标A 的概率为34，套中目标B 的概率为12，假设小华每次投掷的结果相互独立．(1)求小华在一组游戏中恰好套中一次的概率；(2)求小华在一组游戏中的总分X 的分布列及数学期望；(3)小华非常喜欢这个游戏，连续玩了5组套圈游戏，假设小华每组投掷的结果相互独立，求小华恰有3组套圈游戏中得2分或者3分的概率．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√22，上顶点与左、右焦点构成的三角形面积为1，点E(−2,0)，过点E 作一条与x 轴不重合的直线l ，直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，A 为右顶点，直线AP ，AQ 分别交y 轴于点M ，N ．(1)求椭圆C 的方程；(2)证明：S △AOM ⋅S △AON 为定值．21. 已知函数f(x)=xlnx −2x ．(1)求函数f(x)的最小值；(2)若∀x ∈(√e,e)都有lnx −x +a <f(x)，求证：a <−1．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =12ty =5−√32t(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin(θ−π3).(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，求|PQ|的最小值．23. 已知函数f(x)=2|x −2|−|2x −a|．(1)若a =−2，解不等式f(x)>1；(2)若f(x)−3≤0对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={x|−1≤x≤4}，B={x|1<x<5}，∴A∩B={x|1<x≤4}．故选：C．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】【分析】根据复数的基本运算法则化简z，再求出z的模即可．本题考查了复数的运算和复数的模，属基础题．【解答】解：因为(1−i)z=3+4i，所以z=3+4i1−i =(3+4i)(1+i)2=−1−7i2，所以|z|=5√22．故选：B．3.【答案】D【解析】解：某方舱医院要对部分病人进行电话回访，决定从300名老年人，400名中年人和150名青少年中按照分层抽样的方法抽取170人，则从中年人中抽取的人数为：170×400300+400+150=80．故选：D．利用分层抽样法直接求解．本题考查分层抽样，是基础题．4.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，注意用好中间量，属于基础题． 利用指数函数与对数函数的单调性，再借助中间量1和12即可得出． 【解答】解：∵对数函数y =log 5x 为增函数，∴log 52<log 5√5=12，即a <12， ∵指数函数y =3x 为增函数，∴30.2>30=1，即b >1， ∵指数函数y =(0.25)x 为减函数，∴(0.25)0>(0.25)0.3>(0.25)0.5=12，即12<c <1，∴b >c >a ， 故选：C ．5.【答案】A【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再通过导数求得函数在(0,π)上的单调性，即可得解． 本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题． 【解答】解：∵f(−x)=−xsin(−x)+cos(−x)=xsinx +cosx =f(x)， ∴函数f(x)为偶函数，排除选项B 和D ， ∵f(x)=xsinx +cosx ，∴f′(x)=sinx +xcosx −sinx =xcosx ，当x ∈(0,π2)时，cosx >0，f′(x)>0，∴f(x)在(0,π2)上单调递增， 当x ∈(π2,π)时，cosx <0，f′(x)<0，∴f(x)在(π2,π)上单调递减， 而选项C 对应的函数图象是先减后增，不符合题意， 故选：A ．6.【答案】B【解析】解：某校举行古诗词大赛，从《风》、《雅》、《颂》中各选两篇，共六篇诗歌，要求参赛选手选择其中三篇进行背诵．若一号参赛选手选择每篇诗歌的可能性相同，则基本事件总数n=C63=20，他恰好从《风》、《雅》、《颂》中各选一篇诗歌包含的基本事件个数m=C21C21C21=8，则他恰好从《风》、《雅》、《颂》中各选一篇诗歌的概率P=mn =820=25．故选：B．一号参赛选手选择每篇诗歌的可能性相同，求出基本事件总数n，和他恰好从《风》、《雅》、《颂》中各选一篇诗歌包含的基本事件个数m，由此能求出概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，(a⃗+b⃗ )⊥(a⃗−b⃗ )，则(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2−b⃗ 2=0，则有|a⃗|= |b⃗ |，设|a⃗|=|b⃗ |=t，a⃗，b⃗ 的夹角为θ，又由|a⃗+b⃗ |=√3|a⃗|，则(a⃗+b⃗ )2=3a⃗2，变形可得cosθ=12，而0≤θ≤π，则θ=π3，故选：B．根据题意，由向量垂直的判断方法可得(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2−b⃗ 2=0，则有|a⃗|=|b⃗ |，再设|a⃗|=|b⃗ |=t，a⃗，b⃗ 的夹角为θ，将|a⃗+b⃗ |=√3|a⃗|变形可得cosθ的值，结合θ的范围，分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：因为cos(α+5π12)=cos(α+π2−π12)=−sin(α−π12)=√55，所以sin(α−π12)=−√55，所以cos(2α−π6)=1−2sin2(α−π12)=1−2×(−√55)2=35．故选：B ．由已知利用诱导公式可求sin(α−π12)的值，进而根据二倍角公式即可求解．本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：因为正项等比数列{a n }中，a 3a 9+8a 6a 10+16a 8a 12=25，所以a 62+8a 6a 10+16a 102=25，即(a 6+4a 10)2=25，所以5=a 6+4a 10≥2√4a 6a 10=4a 8，当且仅当a 6=4a 10时取等号， 故a 8≤54，即a 8的最大值54． 故选：D ．由已知结合等比数列的性质可求a 6+4a 10，然后结合基本不等式即可直接求解． 本题主要考查了等比数列的性质，基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，因为直线OA ，OB 的斜率k 1，k 2满足k 1k 2=12，所以y 1x 1⋅y 2x 2=12，所以y 1⋅y 2y 124⋅y 224=12，即y 1y 2=32， 设直线l 的方程为x =my +b ，联立抛物线的方程得，y 2−4my −4b =0， 所以y 1y 2=−4b ，即−4b =32，解得b =−8， 所以直线l 恒过点(−8,0)． 故选：C ．直线l 的方程为x =my +b ，联立抛物线的方程，由韦达定理可得y 1y 2=−4b ，再结合k 1k 2=12，解得b ，进而可得答案．本题考查抛物线的方程，解题中需要理清数量关系，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：取BC 中点E ，则易得EA =ED =1，故E 为梯形ABCD 外接圆圆心，过E 作EF ⊥平面ABCD ，且使得EF =PA ，则四边形PAEF 为矩形， 故球心O 在EF 的中点，设球的半径R ，根据球的性质得，R 2=OE 2+AE 2=12+12=2， 故R =√2， V =4πR 33=8√2π3． 故选：B ．取BC 中点E ，则易得EA =ED =1，根据已知可确定E 为梯形ABCD 外接圆圆心，过E 作EF ⊥平面ABCD ，且使得EF =PA ，从而球心O 在EF 的中点，然后结合勾股定理求出R ，进而可求．本题主要考查了球的体积公式的应用，解题的关键是根据已知条件确定球心的位置，属于中档题．12.【答案】C【解析】 【分析】利用分段函数的性质求出函数f(x)的值域，然后再对a 讨论求出函数g(x)的值域，要满足题意只需函数f(x)与g(x)的值域交集不是空集即可求解．本题考查了分段函数的性质，涉及到利用导数求函数的值域以及分类讨论思想的应用，考查了学生的分析问题的能力以及以上能力，属于较难题． 【解答】解：①当0≤x ≤12时，f(x)=x 3−34x +32， 则f′(x)=3x 2−34≤0在[0,12]上恒成立， 所以函数f(x)在区间[0,12]上单调递减， 则f(12)≤f(x)≤f(0)，即54≤f(x)≤32，②当12<x ≤1时，f(x)=2x +12， 易知函数f(x)在区间(12,1]上单调递增， 所以f(12)<f(x)≤f(1)，即32< f(x)≤52， 综上，函数f(x)的值域为[54,52]； 又g′(x)=e x −a ，x ∈[0,1]，若a ≤0时，则g′(x)>0，函数g(x)在[0,1]上单调递增， 所以g(0)≤g(x)≤g(1)，即g(x)∈[1,e −a]，此时若要满足题意，只需[1,e −a]∩[54,52]≠⌀，当a ≤0时恒成立； 若a >0时，令g′(x)=e x −a =0，解得x =lna ， 1)当0<a ≤1时，函数g(x)在[0,1]上单调递增， 所以g(0)≤g(x)≤g(1)，即1≤g(x)≤e −a ， 又因为[1,e −a]∩[54,52]≠⌀， 所以{e −a ≥540<a <1，解得0<a ≤1； 2)当1<a <e −1时，g(x)在[0,lna)上单调递减，在(lna,1]上单调递增， 且g(0)=1<g(1)=e −a ，所以g(lna)≤g(x)≤g(1)，即g(x)∈[a(1−lna),e −a]， 又因为[a(1−lna),e −a]∩[54,52]≠⌀， 所以{e −a ≥54a(1−lna)⩽521<a <e −1，解得1<a ≤e −54；3)当e −1≤a <e 时，g(x)在[0,lna)上单调递减，在(lna,1]上单调递增， 且g(0)=1≥g(1)=e −a ，所以g(lna)≤g(x)≤g(0)，即g(x)∈[a(1−lna),1]， 又[a(1−lna),1]∩[54,52]≠⌀，易知此时无解； 4)当a ≥e 时，g(x)在[0,1]上单调递减， 所以g(1)≤g(x)≤g(0)，即e −a ≤g(x)≤1， 此时[e −a,1]∩[54,52]=⌀，易知此时无解，所以不存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f(x 1)=g(x 2)=g(x 2). 综上，实数a 的取值范围为(−∞,e −54],13.【答案】−1【解析】【分析】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，属于基础题．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，再由题意列式求得a的值．【解答】，解：由y=ax3+lnx，得y′=3ax2+1x由题意，y′|x=1=3a+1=−2，解得a=−1．故答案为：−1．14.【答案】1120)n的展开式的通项公式为T r+1=C n r⋅x2(n−r)⋅(−2)r⋅【解析】解：由题设可得：(x2√xx−r2=C n r⋅(−2)r⋅x2n−5r2，r=0，1，…，n，又C n3=C n5，∴n=3+5=8，∴T r+1=C8r⋅(−2)r⋅x16−5r2，r=0，1， (8)=6，解得：r=4，令16−5r2∴含x6项的系数为C84⋅(−2)4=1120，故答案为：1120．)n的展开式的通项公式，然后由题设求得n，再令通项公式中的x的幂指先求得(x2√x数为6，即可求得结果．本题主要考查二项展开式的通项公式的应用及组合数公式的应用，属于基础题．)∪(√5,+∞)15.【答案】(1,54【解析】运用双曲线的定义，可得|MF1|+|MN|+2a>113b，即当点M、N、F1三点共线时，|MF2|+|MN|最小，故4b23a +2a>113b，可得b>2a或b<34a，结合离心率公式，可得所求离心率的范围．本题考查双曲线的定义、性质，主要是离心率，考查逻辑推理，数学运算核心素养，属于中档题．【解答】解：连接NF1，交双曲线于H，如图所示：|MF2|−|MF1|=2a，|MF2|+|MN|>113b，即|MF1|+|MN|+2a>113b，当点M位于H点时，|MF2|+|MN|最小，故4b23a +2a>113b，即4b2+6a2>11ab，可得(2a−b)(3a−4b)>0，所以b>2a或b<34a，则e=ca =√1+b2a2∈(1,54)∪(√5,+∞)．故答案为：(1,54)∪(√5,+∞)．16.【答案】19【解析】解：∵数列{a n}满足a1=1，(n+1)2a n=n2a n+1(n∈N∗)，∴a n+1(n+1)2=a nn2，∴a nn2=⋯…=a112=1，∴a n=n2，∴c n=√a n +a n+1+1=√n2+(n+1)2+1=n2+n+1n(n+1)=1+1n−1n+1，∴{c n}的前n项和为T n=n+1−1n+1，∵T n≥39920，∴n+1−1n+1≥39920=20−120，解得n≥19，则n的最小值为19．故答案为：19．数列{a n}满足a1=1，(n+1)2a n=n2a n+1(n∈N∗)，可得a n+1(n+1)2=a nn2，利用递推关系可得a n，代入c n=√1a n +1a n+1+1，化简整理利用裂项求和即可得出T n，利用T n≥39920，即可得出n的最小值．本题考查了数列递推关系、转化方法、不等式的解法、裂项求和方法、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为(sinB−sinA)(a+b)=c(sinB−sinC)，所以由正弦定理可得(b−a)(a+b)=c(b−c)，整理可得：b2+c2−a2=bc，由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12，因为A∈(0,π)，所以A=π3．(2)因为a=2√3，B=π4，A=π3，所以sinC=sin(π−A−B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√22×√32+√22×12=√6+√24，由正弦定理asinA =csinC，可得c=a⋅sinCsinA=√6+√2，所以S△ABC=12acsinB=12×2√3×(√6+√2)×√22=3+√3．【解析】(1)由正弦定理化简已知等式可得：b2+c2−a2=bc，由余弦定理可得cosA=12，结合A∈(0,π)，可得A的值．(2)由已知利用三角形内角和定理，两角和的正弦公式可求sin C的值，根据正弦定理可得c的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦公式以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】(1)证明：因为平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C ，平面AA 1B 1B ∩平面BB 1C 1C =BB 1，又因为AA 1B 1B 为正方形，所以AB ⊥BB 1， 所以AB ⊥平面BB 1C 1C ，又因为AB ⊂平面ABC 1，所以平面ABC 1⊥平面BB 1C 1C . (2)解：取C 1C 中点M ，连接BM ， 因为BB 1C 1C 为菱形，∠BB 1C 1=60°，所以△BC 1C 是正三角形，所以BM ⊥C 1C ， 又因为C 1C//B 1B ，所以BM ⊥B 1B ， 再由(1)知，BA 、BB 1、BM 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB =2， A(2,0，0)，B(0,0，0)，A 1(2,2，0)，C 1(0,1，√3)， AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1，√3)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，0)，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，设平面BAC 1和平面AC 1A 1的法向量分别为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，n ⃗ =(u,v ，w)， {AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−2x +y +√3z =0AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−2x =0，令z =−1，m ⃗⃗⃗ =(0,√3,−1)，{AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2u +v +√3w =0AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2v =0，令w =2，n ⃗ =(√3,0，2)， 设二面角B −AC 1−A 1的大小为θ，所以|cosθ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=22⋅√7=1√7，sinθ=√1−17=√427， 故二面角B −AC 1−A 1的正弦值为√427．【解析】(1)根据平面与平面垂直的判定定理证明；(2)用向量的数量积计算二面角的余弦值，进而求解．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．19.【答案】解：(1)设小华恰好套中1次为事件A ，P(A)=34×14×12+14×34×12+14×14×12=732； (2)由题意得X 的可能取值为0，1，2，3，4， P(X =0)=14×14×12=132，P(X =1)=34×14×12+14×34×12=316，P(X =2)=34×34×12+14×14×12=516， P(X =3)=34×14×12+14×34×12=316，P(X =4)=34×34×12=932， 故X 的分布列是：故 E (X)=0×132+1×316+2×516+3×316+4×932=52； (3)设小华1组中得2分或3分的事件为B ， 则P(B)=P(X =2)+P(X =3)=516+316=12，设5组游戏中，小华恰有3组游戏中得2分或3分为事件C ， 则P(B −)=1−12=12，则P(C)=C 53×12×12×12×12×12=516．【解析】本题考查了相互独立事件的概率，离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，是中档题．(1)根据相互独立事件的概率公式计算；(2)分别计算X 的各种取值对应的概率，得出分布列，再计算数学期望；(3)设小华1组中得2分或3分的事件为B ，求出P(B)=P(X =2)+P(X =3)的值，设小华恰有3组游戏中得2分或3分为事件C ，求出P(C)的值即可．20.【答案】(1)解：由题意可知{ ca =√2212×2c ×b =1a 2=b 2+c 2，解得{a =√2b =1c =1，∴椭圆C 的方程为：x 22+y 2=1．(2)证明：点E(−2,0)，过点E 的直线l 与椭圆相交，E 在椭圆外， ∴直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y =kx +2k (k ≠0)， 联立方程{y =kx +2k x 22+y 2=1，消去y 得：(12+k 2)x 2+4k 2x +4k 2−1=0，由Δ=16k4−4(12+k2)(4k2−1)>0得：k∈(−√22,0)∪(0,√22)，∴x P+x Q=−8k21+2k2，x P⋅x Q=8k2−21+2k2，∵右顶点A(√2,0)，P(x P,kx P+2k)，Q(x Q,kx Q+2k)，∴直线AP的方程为：y=Px−√2−√2)，直线AQ的方程为：y=Qx−√2−√2)，∵点M，N为两直线与y轴的交点，分别令x=0，∴√2k(x Px−√2，√2k(x Qx−√2)，∴S△AOM⋅S△AON=12×|OA|⋅|OM|×12⋅|OA|⋅|ON|，又∵|OA|=√2，∴S△AOM⋅S△AON=12⋅|OM|⋅|ON|=2P Q(x−√2)(x−√2)=2P Q P Qx x−√2(x+x)+2把x P+x Q=−8k21+2k2，x P⋅x Q=8k2−21+2k2代入上式，化简整理得：S△AOM⋅S△AON=k2×21+2k2(12+8√2)k21+2k2=32−√2，∴S△AOM⋅S△AON为定值32−√2．【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程与性质，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了韦达定理的应用，同时考查了学生的计算能力，是中档题．(1)根据题意列出关于a，b，c的方程，解出a，b，c的值，从而得到椭圆C的方程．(2)显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx+2k(k≠0)，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到x P+x Q=−8k21+2k2，x P⋅x Q=8k2−21+2k2，由点A，P，Q的坐标求出直线AP，AQ的方程，得到点M，N的坐标，进而得到S△AOM⋅S△AON=12⋅|OM|⋅|ON|= 2(x−√2)(x−√2)，把由韦达定理所得式子代入上式化简，即可得证．21.【答案】解：(1)f(x)=xlnx−2x，函数的定义域是(0,+∞)，f′(x)=lnx−1，令f′(x)>0，解得：x>e，令f′(x)<0，解得：0<x<e，故f(x)在(0,e)递减，在(e,+∞)递增，故f(x)min=f(e)=−e；(2)证明：lnx−x+a<f(x)即a<(x−1)lnx−x，令g(x)=(x−1)lnx−x，则g′(x)=lnx−1x ，g″(x)=1x+1x2>0，故g′(x)在(0,+∞)递增，且g′(√e)<0，g′(e)>0， 故存在x 0∈(√e,e)使得g′(x 0)=0，故lnx 0=1x 0，故g(x)在(0,x 0)递减，在(x 0,+∞)递增，故g(x)min =g(x 0)=(x 0−1)lnx 0−x 0=(x 0−1)1x 0−x 0=1−(1x 0+x 0)，故a <g(x)min =g(x 0)=1−(1x 0+x 0)<1−2=−1，(x 0≠1,x 0+1x 0≠2)，故原结论成立．【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可；(2)问题转化为a <(x −1)lnx −x ，令g(x)=(x −1)lnx −x ，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是中档题．22.【答案】解：(1)已知直线l 的参数方程为{x =12ty =5−√32t (t 为参数)， 转换为普通方程为√3x +y −5=0， 曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin(θ−π3)， 根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2,整理得ρ2=2ρsinθ−2√3ρcosθ，转换为直角坐标方程为(x +√3)2+(y −1)2=4． (2)曲线C 转换为参数方程为{x =2cosθ−√3y =2sinθ+1,利用点到直线的距离公式 d =√3cosθ−3+2sinθ+1−5|√(√3)2+12=|4sin(θ+π3)−7|2，当sin(θ+π3)=1时，d min =32， 即|PQ|的最小值为32．【解析】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．23.【答案】解：(1)f(x)>1即为2|x −2|−|2x +2|>1，等价为{x ≤−14−2x +2x +2>1或{−1<x <24−2x −2x −2>1或{x ≥22x −4−2x −2>1，解得x ≤−1或−1<x <14或x ∈⌀， 所以所求解集为(−∞,14)； (2)f(x)−3≤0对x ∈R 恒成立， 即为3≥f(x)max ，由f(x)=2|x −2|−|2x −a|≤|2x −4−2x +a|=|a −4|， 当且仅当(2x −4)(2x +a)≥0时，上式取得等号， 则|a −4|≤3， 解得1≤a ≤7，可得a 的取值范围是[1,7]．【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查转化思想、分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．(1)由零点分区间法和绝对值的意义、去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集； (2)由题意可得3≥f(x)max ，运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最大值，再由绝对值不等式的解法，可得所求范围．。
2021届全国百校联考新高三原创预测试卷(一)理科数学
2021届全国百校联考新高三原创预测试卷（一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
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写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
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7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}ln 0P x x =>，{}12Q x x =-<<，则P Q =（ ）A ．()1,2-B ．()0,1C ．()0,2D ．()1,22．已知复数z 满足i 1i z =-，则z =（ ） A ．1i --B ．1i -C ．1i -+D ．1i +3．已知向量a ，b 满足||1=a ，||3=b ，且a 与b 的夹角为6π，则()(2)+⋅-=a b a b （ ） A ．12B ．32-C ．12-D ．324．为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，可以将函数cos 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个单位 B ．向右平移5π12个单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向左平移6π个单位 5．命题“任意0x >，11x x+≥”的否定是（ ） A ．存在00x ≤，0011x x +≥ B ．存在00x >，0011x x +< C ．任意0x >，11x x+< D ．任意0x ≤，11x x+≥ 6．“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法．在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明．其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π．当时刘微就是利用这种方法，把π的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据．这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的．为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分．根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率π，则π的近似值是（ ）（精确到0.01）（参考数据sin150.2588≈）A ．3.05B ．3.10C ．3.11D ．3.147．已知三棱锥A BCD -的顶点均在球O 的球面上，且3AB AC AD ===，π2BCD ∠=， 若H 是点A 在平面BCD 内的正投影，且2CH =，则球O 的表面积为（ ）A ．43πB ．3πC ．9πD ．4π8．函数()()ln xxf x e e x -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为A B ，，左焦点为F P ，为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M （异于P F ，），与y 轴交于点M ，直线MB 与y 轴交于点H ．若3HN OH =-（O 为坐标原点），则C 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．510．（北京师范大学附中2018届高三下学期第二次模拟）习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n 项和的程序框图．执行该程序框图，输入8m =，则输出的S =（ ）A ．44B ．68C ．100D ．14011．等腰直角OAB △内接于抛物线，其中O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，OA OB ⊥，OAB △的面积为16，F 为C 的焦点，M 为C 上的动点，则OMMF的最大值为（ ） A ．33B ．63C ．33D ．26312．已知()()e e cos 2xxf x x x -+=+∈R ，[]1,4x ∀∈，()()ln 222f mx x f --≤-()2ln f x mx +-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．12112,22n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．112,1e 2n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．1212,122n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．11ln 2,e 2+⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．()62221x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数为________．14．若实数,x y 满足210,220x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为________．15．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2(2cos cos )sin sin A C b c B C -=，2a =，则ABC △的面积的最大值是_______．16．对于函数()[]()()sin π,0,212,2,2x x f x f x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)12,0,x x ∈+∞，都有()()122f x f x -≤恒成立；②()()()*22f x kf x k k =+∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；④对任意0x >，不等式()2f x x≤恒成立．则其中所有真命题的序号是______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知等差数列{}n a ，若611a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12a <，设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是棱长为2的正方形，侧面PAD 为正三角形，且面PAD ⊥面ABCD ，,E F 分别为棱,AB PC 的中点． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求二面角P EC D --的正切值．19．（12分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式．为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价．现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评100 30 130对车辆状况不满意4030合计14060200（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？ （2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种骑行券．用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券．用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是12，15，且各次获取骑行券的结果相互独立．若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考数据：2()P K k ≥ 0.1500.1000.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0723.8415.0246.6357.87910.828参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且4AB =，离心率为12． （1）求椭圆C 的方程；（2）设点()4,0Q ，若点P 在直线4x =上，直线BP 与椭圆交于另一点M ．判断是否存在点P ，使得四边形APQM 为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数()324x a x f x x =-++．（1）求函数()f x 在0x =处的切线方程；（2）若对任意的()0,x ∈+∞，()()4ln 8f x f x x +-≥+恒成立，求a 的取值范围；（3）当3a =时，设函数()()g x f x kx =-．证明：对于任意的1k <，函数()g x 有且只有一个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求1C ，2C 交点的直角坐标；（2）设点A 的极坐标为π(4,)3，点B 是曲线2C 上的点，求AOB △面积的最大值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数()|21|2|1|f x x x =-++．（1）若存在0x ∈R ，使得()205f x m m +≤+，求实数m 的取值范围；（2）若m 是（1）中的最大值，且33a b m +=，证明：02a b <+≤．答案与解析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】{}{}ln 01P x x x x =>=>，{}12Q x x =-<<，{}()121,2P Q x x ∴=<<=，故选D ．2．【答案】C【解析】把i 1i z =-两边同乘以i -，则有()()1i i 1i z =-⋅-=--，1i z ∴=-+， 故选C ．3．【答案】A【解析】221()(2)22312+⋅-=-+⋅=-+=a b a b a b a b ，故选A ． 4．【答案】B【解析】因为πsin26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，且πcos2sin 2sin 224πy x x x ⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以由 4π6πx x ϕ++=-，知ππ5π6412ϕ=--=-， 即只需将cos2y x =的图像向右平移5π12个单位，故选B ． 5．【答案】B【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意0x >11x≥”的否定是：存在00x >011x <，故选B ． 6．【答案】C【解析】设圆的半径为r ，以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形，且顶角为3601524︒=︒， 所以正二十四边形的面积为2124sin1512sin152r r r ⋅⋅⋅⋅︒=︒，所以2212sin15ππ12sin15 3.11r r ︒=⇒=︒≈，故选C ． 7．【答案】C【解析】因为3AB AC AD ===，CH ⊥平面BCD ，HB 、HC 、HD ⊂平面BCD ，AH HB ∴⊥，AH HC ⊥，AH HD ⊥， AHB AHC AHD ∴≅≅Rt Rt Rt △△△，HB HC HD ∴==，即H 是BCD △的外心，即H 是斜边BD 的中点，则球心O 在AH 上， 由勾股定理，可得222AB BH AH -=，得1AH =， 设球O 的半径为R ，则()2212R R =-+，所以32R =． 所以球O 的表面积为24π9πR =，故选C ． 8．【答案】D【解析】根据题意，函数的定义域{}|0x x ≠，因为()()ln x xf x e e x -=+，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除B 项，当1x >时，()0f x >，当01x <<时，()0f x <，排除A ，C 选项， 当0x →时，()f x →-∞，所以D 项是正确的，故选D ． 9．【答案】B【解析】不妨设P 在第二象限，如图所示：设||FM m =，(0, )(0)H h h >，由3HN OH =-，可得(0,2)N h -，由AFM AON △∽△，得2m c ah a-=（1）由BOH BFM △∽△，得h a m c a=+（2） 由（1），（2）两式相乘得12c a c a-=+，即3c a =，所以离心率3ce a ==，故选B ．10．【答案】C【解析】第1次运行，211,0,0002n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行；第2次运行，22,2,0222n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行；第3次运行，213,4,4262n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行；第4次运行，24,8,86142n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行；第5次运行，215,12,1412262n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行；第6次运行，26,18,2618442n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行；第7次运行，217,24,2444682n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行；第8次运行，28,32,68321002n n a S ====+=，符合n m ≥，推出运行，输出100S =，故选C ． 11．【答案】C【解析】设等腰直角三角形OAB 的顶点()11,A x y ，()22,B x y ，则2112y px =，2222y px =，由OA OB =，得22221122x y x y +=+，221212220x x px px ∴-=-=，即()()1212++20x x x x p -=，10x >，20x >，20p >，12x x ∴=，即A ，B 关于x 轴对称，∴直线OA 的方程为tan45y x x =︒=，与抛物线联立，解得00x y =⎧⎨=⎩或22x py p=⎧⎨=⎩，故4AB p =，212442OAB S p p p ∴=⨯⨯=△，AOB △的面积为16，2P ∴=，焦点()1,0F ，设(),M m n ，则24n m =，0m >， 设M 到准线1x =-的距离等于d ，则()2241OM MO m mMFdm +==+，令1m t +=，1t >，则2114233333OMMF t ⎛⎫=--+≤⎪⎝⎭（当且仅当3t =时，等号成立）． 故OM MF 的最大值为233，故选C ．12．【答案】B【解析】函数()e e cos 2x x f x x -+=+的定义域为R ，()()()()e e e e cos cos 22x x x xf x x x f x x --++-=+-=+=∈R ，()e e cos 2x xf x x -+∴=+为R 上的偶函数，又()e e sin 2x xf x x --'=-，()e e 1cos cos 1cos 022x x f x x x x -+''=-≥⋅=-≥，()e e sin 2x xf x x --'∴=-在R 上单调递增，又()00f '=，∴当0x ≥时，()0f x '≥，()e e cos 2x xf x x -+∴=+在区间[)0,+∞单调递增．不等式()()()ln 2222ln f mx x f f x mx --≤-+-，由偶函数性质可得()()2ln 222f mx x f --≤，即()()ln 22f mx x f --≤， 由函数的单调性可得ln 22mx x --≤，2ln 22mx x ∴-≤--≤，[]1,4x ∴∀∈，141nx nxm x x+≤≤恒成立， 令()11nxg x x =，则()121ln x g x x -'=， 当[]1,x e ∈时，()10g x '>，()1g x 在[]1,x e ∈上单调递增； 当(],4x e ∈时，()10g x '<，()2g x 在(],4x e ∈上单调递减，()()()1111最大值极大值g x g x g e e∴===，令()24ln x g x x +=，()()22214ln 3ln x xg x x x-++'==-， []1,4x ∈，ln 30x ∴+>，故()223ln 0xg x x +'=-<，()g x ∴在区间[]1,4单调递减， ()()()222414124142最小值极小值n n g x g x g +∴====+，11212n m e ∴≤≤+，故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】132【解析】因为62()xx-的展开式的通项公式为6216C(2)r r rrT x-+=-，令624r-=，得1r=；令622r-=，得2r，所以()62221x xx⎛⎫--⎪⎝⎭展开式中4x的系数为2211662C(2)(1)C(2)132-+--=，故答案为132．14．【答案】1-【解析】作出不等式组210220xx yx y≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立10220x yx y-+=⎧⎨+-=⎩，得1xy=⎧⎨=⎩，得点A的坐标为()0,1，平移直线2z x y=-，当该直线经过可行域的顶点A时，直线在x轴上的截距最小，此时，目标函数2z x y=-取到最小值，且最小值为min2011z=⨯-=-，故答案为1-．15．【答案3【解析】由2(2cos cos)sin sinA C b cB C-=及正弦定理，得22(2cos cos)sin sin sinA CB B C-=，显然sin0B≠，所以222cos cos sinA C C-=，即222cos sin cos1A C C=+=，得1cos2A=，又(0,π)A∈，所以3sin2A=．由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，得2222b c bc +-=，则2242bc b c bc +=+≥，所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时取等号， 所以ABC △的面积1133sin 322S bc A bc bc ==⨯=≤， 故ABC △的面积的最大值是3，故答案为3． 16．【答案】①③④ 【解析】对于①，如图：任取[)12,0,x x ∈+∞，当[]12,0,2x x ∈，()()1212sin πsin π2f x f x x x -=-≤，当()2,x ∈+∞，11()(2)sin π22nf x f x n ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()*n ∈N ，[)12,0,x x ∴∈+∞，()()122f x f x -≤，恒成立，故①正确；对于②，1()(2)2f x f x =-，1(2)()2kf x k f x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， ()*()2(2)k f x f x k k ∴=+∈N ，故②错误；对于③，()()ln 1f x x =-的零点的个数问题， 分别画出()y f x =和()ln 1y x =-的图像，如图：()y f x =和()ln 1y x =-图像由三个交点，()()ln 1f x x =∴-的零点的个数为3，故③正确；对于④，设(]2,22x k k ∈+，()k ∈N ，()[]()()sin π,0,212,2,2x x f x f x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，max 1()2k f x ∴=，()k ∈N ，令()2g x x=在(]2,22x k k ∈+，()k ∈N ， 可得()min 11g x k =+， 当0k =时，[]0,2x ∈，max ()1f x =，()min 1g x =，()max min ()f x g x ∴≤，若任意2x >，不等式()2f x x ≤恒成立， 即()max min ()f x g x ≤，可得1112k k ≥+， 求证：当1k ，1112k k ≥+，化简可得21k k ≥+， 设函数()21kT k k =--，则()2ln 210kT k '=-≥，∴当1k 时，()T k 单调递增，可得()(1)0T k T ≥=，()210k T k k ∴=--≥，21kk ∴≥+，即1112k k ≥+， 综上所述，对任意0x >，不等式()2f x x≤恒成立，故④正确， 故答案为①③④．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）21n a n =-或11n a =；（2）21n nS n =+． 【解析】（1）∵611a =，∴1511a d +=①∵2a ，5a ，14a 成等比数列，∴25214a a a =，∴()()()2111413a d a d a d +=++，化简得2163a d d =，若0d =，11n a =； 若0d ≠，12a d =②， 由①②可得11a =，2d =，所以数列的通项公式是21n a n =-或11n a =． （2）由（1）得1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，∴1211111111112335212122121n n nS b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）15． 【解析】（1）证明：取PD 中点G ，连结GF AG 、，GF 为PDC △的中位线，GF CD ∴∥且12GF CD =，又AE CD ∥且12AE CD =，GF AE ∴∥且GF AE =，∴EFGA 是平行四边形，则EF AG ∥，又EF ⊄面PAD ，AG ⊂面PAD ，EF ∴∥面PAD ．（2）取AD 中点O ，连结PO ，∵面PAD ⊥面ABCD ，PAD △为正三角形，PO ∴⊥面ABCD ，且3PO =连OB 交CE 于M ，可得EBC OAB Rt Rt △≌△，MEB AOB ∴∠=∠，则90MEB MBE ∠+∠=︒，即OM EC ⊥．连接PM ，又PO EC ⊥，可得EC ⊥平面POM ，则PM EC ⊥， 即PMO ∠是二面角P EC D --的平面角，在EBC Rt △中，5BE BC BM CE ⋅==，5OM OB BM =-=，∴tan PO PMO OM ∠==P EC D --． 19．【答案】（1）在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系；（2）分布列见解析，EX =1.8（元）． 【解析】（1）由22⨯列联表的数据，有()()()()()()222220030001200200181406070130146713n ad bc K a b c d a c b d --⨯===++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 54008.4810.828637=≈<， 因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系． （2）由题意，可知一次骑行用户获得0元的概率为310．X 的所有可能取值分别为0，1，2，3，4．∵()239010100P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()121331C 21010P X ==⨯=⨯， ()212131372C 5102100P X ⎛⎫==⨯+= ⎪⎝⎭⨯，()121113C 255P X ⨯==⨯=， ()2114525P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为：X 的数学期望为1210100EX =⨯+⨯34 1.8525+⨯+⨯=（元）． 20．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，()4,3P ±．【解析】（1）由4AB =，得2a =， 又因为12c e a ==，所以1c =，所以2223b a c =-=， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）假设存在点P ，使得四边形APQM 为梯形， 由题意知，显然AM ，PQ 不平行，所以AP MQ ∥，所以BQ BM ABBP=，所以12BM BP=． 设点()11,M x y ，()4,P t ， 过点M 作MH AB ⊥于H ，则有12BH BM BQBP==， 所以1BH =，所以()1,0H ，所以11x =， 代入椭圆方程，求得132y =±，所以()4,3P ±． 21．【答案】（1）40x y -+=；（2）1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦；（3）证明见解析．【解析】（1）()324x a f x x x =-++，()2321f x x ax '∴=-+，∴切线的斜率()10f '=，()04f =，∴切线的方程为40y x -=-，即40x y -+=．（2）对任意的()0,x ∈+∞，()()4ln 8f x f x x +-≥+恒成立， 即对任意的()0,x ∈+∞，22ln 0ax x +≤恒成立， 即对任意的()0,x ∈+∞，22ln xa x-≤恒成立． 令()22ln ,0xh x x x -=>，则()()322ln 1x h x x-'=．由()0h x '>，得x >()0h x '<，得0x <<．()h x ∴在(上单调递减，在)+∞上单调递增，()min 1h x he∴===-，1a e ∴≤-， 故a 的取值范围为1,e∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦．（3）证明：当3a =时，()()32314x x x g x k =-+-+，1k <，10k ∴->，当0x ≤时，()23610g x x x k '=-+->，()g x ∴在(],0-∞上单调递增． 又()04g =，()110g k -=-<，()()100g g ∴-<， 由零点存在定理可得函数()g x 在()1,0-上至少有一个零点，又()g x 在(],0-∞上单调递增，()g x ∴在(],0-∞上有且只有一个零点． 当0x >时，令()3234m x x x =-+，则()()()()1g x m x k x m x =+->．()()23632m x x x x x '∴=-=-，令()0m x '>，得2x >；令()0m x '<，得02x <<，()m x ∴在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ()()()min 20,0m x m m x ∴==∴≥在()0,∞+上恒成立， ()0g x ∴>恒成立，即()g x 在()0,∞+上没有零点．综上，对于任意的1k <，函数()g x 有且只有一个零点．22．【答案】（1）12⎛ ⎝⎭，1,2⎛ ⎝⎭；（2）2． 【解析】（1）221:1C x y +=，2:=2cos C ρθ，∴2=2cos ρρθ，∴222x y x +=．联立方程组得222212x y x y x ⎧+=⎨+=⎩，解得1112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴所求交点的坐标为1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． （2）设(),B ρθ，则2cos ρθ=， ∴AOB △的面积11sin 4sin 4cos sin 223π3πS OA OB AOB ρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴当23π12θ=时，max 2S = 23．【答案】（1）12m -≤≤；（2）证明见解析． 【解析】（1）()()212121213f x x x x x =-++≥--+=，存在0x ∈R ，使得()205f x m m +≤+，235m m ∴+≤+，220m m ∴--≤，12m ∴-≤≤．（2）由（1）知max |2m =，332a b ∴+=，()()()23322232024b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫∴=+=+-+=+-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，而223024b a b ⎡⎤⎛⎫-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，0a b∴<+①()()33222a b a b a ab b ∴=+=+-+()()()()()()222331344a b a b ab a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤=++-≥++-+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()38a b ∴+≤，2a b ∴+≤②由①②可得，02a b ∴<+≤．。
百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试 理科数学 含答案
a31 <l035 ，取常用对数得到一 3314::(lga<3— 315，即可得到 1.09::(lga<l.13，由下面的对数表可知这个数是 13，已知
女
某个正整数的 62 次方是个 49 位数，则该正整数是
IxI 2 I 3
5
6
7
9
11
12
13
14
I lgx I o. 30 I o. 48 I o. 70 I o. 78 I o. 85 I o. 95 I 1. 04 I 1.08 I 1.11 I 1.18
A.5
B.6
C.7
D.8
5.—组数据 30,29,28,27,26,24,23,22 的中位数为
� � A. 26
B. 27
6.a= 3°·2,b= 0.1°·2,c= log3 0.9 大小关系正确的是
C. 26和27
D.26. 5
A.c<b<a
B.c<a<b
C.b<c<a
D.a<c<b
7．已知 m,n�l 是三条不同的直线，a 汾是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是
D.（如－T +, 5—亢,O)(kEZ) 2 21
2021 届普通高中教育教学质量监测考试（全国 I 卷）理科数学 第 1 页 共 4 页
10.已知双曲线
C：
兰—斗＝
a2 b2
lCa>O,b>O)的左、右焦点分别为
F1 ,Fz ，以原点0为圆心，OF]
为半径的圆与双
曲线 C 在第 一象限交千点 A，若乙 OAF] ＝ 卫6 ，则双曲线 C 的离心率为
A. （— 4,0)UC4,+=) C.(-6,-2) U (2，十区）
2021届全国百校联考新高三原创预测试卷(十七)理科数学
2021届全国百校联考新高三原创预测试卷（十七）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一个正确选项．） 1.已知全集U ＝R ，集合{}202,{0}A x x B x x x =≤≤=->，则图中的阴影部分表示的集合为( )A. (1](2,)-∞⋃+∞，B. (0)(12)-∞⋃，，C. [1)2，D. (12]， 【答案】A 【解析】B={x|x 2﹣x ＞0}={x|x ＞1或x ＜0}，由题意可知阴影部分对应的集合为∁U （A∩B）∩（A∪B），∴A∩B={x|1＜x≤2}，A∪B=R， 即∁U （A∩B）={x|x≤1或x ＞2}，∴∁U （A∩B）∩（A∪B）={x|x≤1或x ＞2}， 即（﹣∞，1]U （2，+∞） 故选：A2.设121iz i i-=++，则z z +=—（ ） A. 1i -- B. 1i +C. 1i -D. 1i -+【答案】B 【解析】 【分析】对复数z 进行运算得zi ，从而求得||1z z i +=+.【详解】因21(1)22221(1)(1)2i i i z i i i i i i i ---=+=+=+=++-，所以||1z =，所以||1z z i +=+. 故选：B.【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数和模的概念，考查基本运算求解能力. 3.已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则72S =（ ） A. 2 B. 7 C. 14 D. 28【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式，将等式5632a a a +=+化成42a =，再由等差数列的前n 项和公式得742S 2728a =⋅=.【详解】因为5632a a a +=+，所以111142452322a d a d a d a d a ++=+++⇒+=⇒=， 所以742S 2728a =⋅=.故选：D.【点睛】本题考查等差数列通项公式、前n 项和公式，考查基本运算求解能力. 4.已知sin cos 3αα+=，则sin 2α=（ ） A. 79-B. 29-C.29D.79【答案】A 【解析】 【分析】直接对等式两边平方，利用倍角公式得sin 2α的值.【详解】因为sin cos 3αα+=， 所以2227(sin cos )()12sin cos 399sin 2ααααα+=⇒+=-=⇒. 故选：A.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、倍角公式，考查基本运算求解能力. 5.已知函数()f x 满足：①对任意1x 、()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-；②对定义域内的任意x ，都有()()0f x f x --=，则符合上述条件的函数是（ ） A. ()21f x x x =++B. x1()2f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. ()ln 1f x x =+D. ()cos f x x =【答案】B 【解析】 【分析】由题设条件判断增减性和奇偶性，再结合所给具体函数判断即可【详解】由题可知，()f x 为定义域在()0,+∞的减函数，且函数具有偶函数特征； 对A ，当()0,x ∈+∞，()21f x x x =++，()f x 的对称轴为12x =-，在()0,+∞为增函数，与题不符，排除；对B ，x 1()2f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当()0,x ∈+∞，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，为减函数， 又()-xx11()22f x f x ⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 符合； 对C ，()ln 1f x x =+，函数显然不具备偶函数特征，排除； 对D ，函数为周期函数，在()0,x ∈+∞不是减函数，排除； 故选：B【点睛】本题考查函数解析式的辨析，函数增减性与奇偶性的应用，属于基础题6.已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)(3)f x f x -=+，且函数()f x 在()0,3上为单调递减函数，若3ln422,log 3,a b c e -===，则下面结论正确的是（ ） A. ()()()f a f b f c << B. ()()()f c f a f b << C. ()()()f c f b f a << D. ()()()f a f c f b <<【答案】C 【解析】 【分析】由题判断函数对称轴为3x =，结合()f x 在()0,3上为单调递减可知，判断函数值大小关系，即判断对应数值与3的绝对值的大小关系，可画出拟合图形加以求解【详解】由(3)(3)f x f x -=+得3x =，又()f x 在()0,3上为单调递减，画出拟合图形，如图：()()3ln 4220,1,log 31,2,4a b c e =∈=∈==，在图上的对应关系如图所示：，显然()()()f c f b f a << 故选：C【点睛】本题考查根据函数的对称性比较函数值大小，解题关键在于确定对称轴和函数与对称轴的关系，属于基础题 7.已知0,0a b >>，若不等式313n a b a b+≥+恒成立，则n 的最大值为（ ） A. 9 B. 12C. 16D. 20【答案】C 【解析】 【分析】可左右同乘3a b +，再结合基本不等式求解即可 【详解】0,0a b >>，()313133n a b n a b a b a b ⎛⎫+≥⇔++≥ ⎪+⎝⎭，()31333339110216b a b a a b a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故16n ≤ 故选：C【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于基础题 8.函数3cos xy x e =-的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】考查该函数的奇偶性，在0x =处的取值以及该函数在()0,∞+上的单调性可辨别出图象。
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23.[选修4-5:不等式选讲] (10分）
设J(x)
=lx+al+
Ix-
1 a
l (aER,且a #-0)
.
(1)当a=I时，解不等式f(x) >x+l;
(2)求证f： (x) ;;:2.
2021届高三开学摸底联考全国卷理科数学试卷笫3页（共4页）
2021届高三开学摸底联考全国卷理科数学试卷笫4页（共4页）
X+y-I刻，
14.已知实数x,y 满足(x-y-区 0, 则z= x+y 的最大值为 X+2y-2:::,; 0,
15.在“ 全面脱贫“行动中，贫困户小王 2020 年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000 元，用于
自已开设的小土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每
月获得的利润 是该月月初投入 资金的20%, 每月月 底需缴纳房租600 元 和水电费400 元，余
全国百校2021届高三开学摸底联考全国卷
理科数学试卷
注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题 卡上 。 2.回答选择题 时，选出每 小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将本试卷 和 答题卡一并交回。
7.已知平面a, 直线 l,m,n,且mlla,nlla,则"l _l_m 且l _l_n"是"l _l_a"的
A. 充 要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
8.已知抛物线 y2 = 2px (p>0)的焦点为F,A为抛物线上 一点， O为坐标原点，且成十研= (2, 2)'则p =
｝ ｝ 电子商铺的 “ 生命线”．某电商平台从其旗下的所有电商中随
0 0
. .
0 0
175'－ － 150 ---：卜--
｝
T
－
一一一
｝ ｝ －－： ｝厂--,｝--- ｝
｝ ｝ ｝ ｝ 机抽取了100个电子商铺，对电商 的顾客评价，包括商品符 0.0125----, --,--- -, ----, ---｝
B.2
C.4
D.—72
5.宋代文学家欧阳修在《卖油翁》中 写 道 ＂ （ 翁）乃取一 葫芦置千地，以钱覆 盖其口，徐以构酌油沥之， 自钱孔入，而钱不湿 ＂，由此诠释出了 ＂ 熟能生 巧 ＂ 的道理已知铜钱是 直径为4 cm的圆， 正中间有一边长为1 cm的正方
形小孔．现先后 两次随机向铜钱上 滴一 滴油（油滴的大小忽略不计），则两
��
]
. 5 ' 0 00 0 ---,---T 一一一�--�-一一 1
0.0025---:-- -+---:---寸一一一：
0 2 0 40 60 80 1 00
评价指数x
(1)画出这100个电子商铺顾客评价指数的频率分布直方图； (2)现将评价指数 60�x <80的商铺评为“合格商铺 ＂，将评价指数 x�80的电子商铺评为 “ 金牌商铺 ＂，现从这100个商铺中任意抽取两个，记其中合格商铺的个数为'Y/,金牌商铺的
B.扩＞矿>aa
C. 矿＞扩＞矿
D.a b >矿>b"
11. 双曲线C:\ a
_by 2
= l (a>O,b>O)的渐近线与圆0:x2+y2 = a2+b2
在第一 、二象限分别交千
） －－
点M、N,若点 E(O,a)满足EM+EN+EO = 0(其中0为坐标原如，则双曲线的离心率为
A. 顶
B.
闰
2
C. 平
(2)若A=千，角B的角平分线交 AC于点 D,BD=J6,求CD的长．
18.(12分） p
如图，在三棱锥P—ABC中，侧面PBC是边长为2的等边三角
形，M,N分别为AB, AP的中点，过MN的平面与侧面PBC 交 千EF.
(1)求证：MN//EF;
A�- - - - - - - - -/- - - - -- - - - -I- - -�-)C
次油滴均落入 孔中 的概率为 A.161,<'
�忒 B
C1 ·4矿
D.—41'IT
6.已知函数J(x)的图象 如图所示，则J(x)的解析式可能为
A.
J(x)
=
x3
1 +3
X
B. f(x) =了 1 +x2 X
C. f(x) = x- 1 X
D. f(x) = x2-x12
tL
Y ,
\)
0
/
X
20 21届高三开学摸底联考全国卷理科数学试卷笫1页（共4页）
个数为t,求n飞的分布列和期望．
20.(12分）
已知椭圆M:—矿 x +—Yb2 =l(a>b>O)的离心率为迈— 2，且过如2,心）．
(1)求椭圆M的方程； (2)若A,B分别为椭圆M的上，下顶点， 过点 B且斜率为k( k>O)的 直线l交椭圆M于另一 点 N(异于椭圆的右顶点），交 x轴于点 P, 直线AN与 直线x=a相交于点 Q. 求证：直线PQ的 斜率为定值
考试时间为120分钟，满分150分
一 、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只
有 一项是符合题目要求的。 1.已知全集为R, 集合A =jxlx2-4x+3<Of,B =jyly�2f,则 集合AnB =
A.jxlx�l或x>2f
B.jxlx<l或X>2t
C. lxll<这2f
D.jx 11<x<2f
2.复数1-2i l的虚部为
A.-1
B1
C.—12
D.
-
—1 2
3.已知向量a = (l,m),b = (-2,1),若(a+b)上(a-b),则实数m =
A.2
B.心
C. 一心
D. 土 2
4.设等差数列jaJ前 n项的和为S几，若S5= 10,S9= 90,则公差d=
A.20
款作为资金 全部 用千再进货，如此继续预计2020 年小王的小加工厂的年利润为
r元（ 取1.211 = 7.5,1.212 = 9)
+xl"x,
x� 飞1一 ，
16.已知函数f(x) =
(e为自然对数的底数），若f(x)有 三个零点，则实
✓ 1- 二， x::;;; -了
数a 的取 值范围为
2021届高三开学摸底联考全国卷理科数学试卷笫2页（共4页）
(2)若平面PBC..l平面ABC,AB=AC=3,求 直线PB与 平面PAC
所成角的正弦值．
B
19.(12分）
频率／组距
---厂厂了了勹 随着电子商务的发展，人们的购物习惯也在改变，几乎所有
0.0225 0.02 00 ---'---上＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
的需求都可以通过网络购物来解决，同时顾客的评价也成为
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17 ~21题为 必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（ 一）必考题： 60分。 17.(12分）
已知三角形 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosB+bcosA=2ccosB. (1)求角B;
21.(12分） 已知f(x) =-x+aln x.
(1)讨论函数f(x)的极值；
(2)若对VxE[ l,e],其中
e 为自然对数的底数，使得f(x)
l+a < 恒成立，求实数
a的取值
X
范围
（二）选考题： 10分。请考生在第22、23题中选定 一题作答，井用2B铅笔在答题卡上将所选题 目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，多涂、错涂、漏涂均不给分。如果多答，按所答 第一题评分。 22.[选修4-4: 坐标系与参数方程](10分）
合度、物流服务、服务态度、快递包装等方面进行调查，并把 0.0 1 00 - - - - - -
调查结果转化为顾客的评价指数 x, 得到了如下的频率 分。0075---!---�---上＿＿上＿＿｝
布表：
亡x I
[ 0 20 ) �
I
[
20 40
1�
)
I
[
40 60
1�
)
I
[
6 80
:�
)
I
[
80 00
D.
顶 2
12.在直三棱柱 ABC-A 1B 1 c1中，AB = 2/i,BC = 3, LABC = f,若该三棱柱的外接球表面积为
267T, 则三棱柱的高为
A. 2
B. 4心
C.4
D.2丘
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知咋(0,1r)'且cos了a = s3 ,则sina =
A.4
B. 2
C.互
D.2互
9.如图是函数J(x)= Asin (皿＋切(A>0,w>0, I妒<f)的部分 图象， y