分段函数专题
2023届新高考数学复习：专项(分段函数零点问题 )经典题提分练习(附答案)
2023届新高考数学复习：专项（分段函数零点问题）经典题提分练习一、单选题1．（2023ꞏ天津南开ꞏ高三南开中学校考期末）已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x m =+有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[)1,0-B ．[)1,-+∞C ．(),0∞-D ．(],1-∞2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知0m >，函数(2)ln(1),1,()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪=⎨⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3．（2023ꞏ陕西西安ꞏ高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩， 若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 的零点个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．54．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x = ()22122,2212,sin x a x ax a x a x a π⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[0,)+∞内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知定义在R 上的函数()11,0,1,0,1x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨<⎪-⎩若函数()()11g x f x ax =--+恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(){}1,10,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．(){}1,10,14⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()1,10,4⎡⎫-∞-⎪⎢⎣⎭D ．(){}14,10,14⎡⎫--⎪⎢⎣⎭6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()1,0ln ,0x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩，则函数()()22g x f f x ⎡+⎤⎣⎦=+的零点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．（2023ꞏ四川绵阳ꞏ四川省绵阳南山中学校考一模）已知0a >，函数()=f x 22,43,x x a x ax x a -+≤⎧⎨-+>⎩，若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是（ ） A．[)2,⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭B ．()[)0,12,+∞C．[)7,2,28⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭D．7,228⎛⎫⎡⎤⋃ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭ 8．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()2ln ,0,1,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()()=-g x f x k 有三个零点，则（ ） A ．e 1k -<≤ B ．11e k -<< C ．e 0k -<< D ．10e k -<<9．（2023ꞏ广东广州ꞏ高三广州市真光中学校考期末）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()[)[)12log (1),0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ）A ．21a -B ．12a -C ．21a --D ．12a --10．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()222,12()=log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪⎨⎪->⎩，则函数()()3()22F x f f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7二、多选题11．（2023ꞏ河南郑州ꞏ高三郑州市第七中学校考期末）已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ）A ．当0k >时，有3个零点B ．当0k <时，有2个零点C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点12．（2023ꞏ河南濮阳ꞏ高三濮阳一高校考期中）已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =-恰有2个零点，则b 的值可以是（ ）A ．1B ．74C ．2D ．313．（2023ꞏ江西ꞏ高三校联考阶段练习）已知函数()221,0,2,0,x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩则以下判断正确的是（ ）A ．若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是()0,1B ．函数()f x 在(),0∞-上单调递增C ．直线1y =与函数()y f x =的图象有两个公共点D ．函数()f x 的图象与直线2y x =+有且只有一个公共点14．（2023ꞏ广东佛山ꞏ高三佛山市三水区实验中学校考阶段练习）已知()121,02|log ,0x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩，令()()g x f x a =-，则下列结论正确的有（ ）A ．若()g x 有1个零点，则0a =B ．()0f x >恒成立C ．若()g x 有3个零点，则102a <<D ．若()g x 有4个零点，则112a ≤< 15．（2023ꞏ黑龙江绥化ꞏ高三校考阶段练习）已知函数()31,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若()(())1g x f f x =+，则下说法正确的是（ ）A ．当0a >时，()g x 有4个零点B ．当0a >时，()g x 有5个零点C ．当a<0时，()g x 有1个零点D ．当a<0时，()g x 有2个零点16．（2023ꞏ广东深圳ꞏ高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）对于函数sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列结论中正确的是（ ）A ．任取12,[1,)x x ∈+∞，都有123()()2f x f x -≤ B ．11511222222k f f f k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中N k ∈；C ．()2(2)()k f x f x k k N *=+∈对一切[0,)x ∈+∞恒成立；D ．函数()ln(1)y f x x =--有3个零点；17．（2023ꞏ全国ꞏ模拟预测）已知函数lg ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数()[2()]g x f f x a =+有7个零点，则实数a 的可能取值是（ ）A ．0B ．14-C ．13-D ．15-18．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数f (x )＝4,22021()(3),2x m x x m x m x ⎧-<⎨--⎩…恰有两个零点，则正整数m 的取值可能为（ ）A ．1B ．2C ．15D ．16三、填空题19．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）知函数()3223,015,1x x m x f x mx x ⎧++≤≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为_____________.20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数24,()1,x x x af x e x a ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()[()]g x f f x =在R 上有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是______________．21．（2023ꞏ上海黄浦ꞏ高三上海市向明中学校考开学考试）已知函数()f x 满足,1(1)ln(1),1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩，函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则实数a 的取值范围为____________．22．（2023ꞏ黑龙江哈尔滨ꞏ高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知函数()f x 定义城为(]0,12，恒有()()44f x f x +=，(]0,4x ∈时()222x f x -=-；若函数()()()2g x f x t f x =+⋅有4个零点，则t 的取值范围为______．23．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x 2e 1,0,0x x ax x a x ⎧-≥=⎨++<⎩，恰有2个零点，则=a __________．24．（2023ꞏ北京ꞏ高三专题练习）已知函数ln ,0()e 1,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩，且函数()()g x f x m =-恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是___________.25．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设函数()()3221014680x x f x x x g x x x x x ⎧+>⎪=-+=⎨⎪---≤⎩，，，，，则函数()()()1h x f g x =-的零点为________．26．（2023春ꞏ上海浦东新ꞏ高三上海市川沙中学校考期中）已知函数()y f x =的定义域是[0,)+∞，满足2201()4513,?2834x x f x x x x x x ≤<⎧⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎩且(4)()f x f x a +=+，若存在实数k ，使函数()()g x f x k =+在区间[0,2021]上恰好有2021个零点，则实数a 的取值范围为____27．（2023ꞏ浙江ꞏ高三专题练习）若函数()()()2210,10k x f x x x kx x ⎧-<⎪=⎨⎪-->⎩恰有4个零点，则实数k 的取值范围是______．28．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若348,122()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩ 则()()6g x xf x =-在*1,2,n n N ⎡⎤∈⎣⎦内的所有零点之和为：__________．29．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数1,0()42,0xx x x f x x --⎧+>=⎨-≤⎩，若函数(32)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________30．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数32,0()461,0x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数2()3[()]2()g x f x f x m =--有5个零点时m 的范围_____________.参考答案一、单选题1．（2023ꞏ天津南开ꞏ高三南开中学校考期末）已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x m =+有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[)1,0- B ．[)1,-+∞ C ．(),0∞- D ．(],1-∞【答案】A【答案解析】()()0()g x f x m f x m =+=⇔=-Q()g x ∴存在两个零点，等价于y m =-与()f x 的图象有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图象：由图可知，保证两函数图象有两个交点，满足01m <-≤，解得：[)1,0m ∈- 故选：A.2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知0m >，函数(2)ln(1),1,()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪=⎨⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】A【答案解析】设()(2)ln(1)g x x x =-+，()cos 34h x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，求导()23ln(1)ln(1)111x g x x x x x -'=++=++-++ 由反比例函数及对数函数性质知()g x '在(]1,,0m m ->上单调递增，且102g ⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()10g '>，故()g x '在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内必有唯一零点0x ，当()01,x x ∈-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(]0,x x m ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；令()0g x =，解得0x =或2，可作出函数()g x 的图像， 令()0h x =，即3,42x k k Z πππ+=+∈，在(]0,π之间解得12x π=或512π或34π， 作出图像如下图数形结合可得：π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ ，故选：A3．（2023ꞏ陕西西安ꞏ高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩， 若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 的零点个数为（ ） A ．1B ．3C ．4D ．5【答案】D【答案解析】当0x >时，0x -<，()3f x x -=当0x <时，0x ->，()e xf x --=()()()3e ,00,0e 3,0x x x x g x f x f x x x x -⎧->⎪∴=--==⎨⎪+<⎩，()()()()g x f x f x g x -=--=-，且定义域为R ，关于原点对称，故()g x 为奇函数，所以我们求出0x >时零点个数即可，(0,)3e x g x x x =->，()3e 0x g x '=->，令()3e 0x g x '=->，解得0ln3x <<，故()g x 在()0,ln 3上单调递增，在(ln3,)+∞单调递减，且(ln 3)3ln 330g =->，而()226e 0g =-<，故()g x 在(ln 3,2)有1零点，1311e 03g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()g x 在1(,ln 3)3上有1零点，图像大致如图所示：故()g x 在()0,∞+上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在(),0∞-上也有2个零点，且()00g =，故()g x 共5个零点， 故选：D.4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x = ()22122,2212,sin x a x a x a x a x a π⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[0,)+∞内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【答案解析】当0a ≤时，对任意的0x ≥，()()22212f x x a x a =-+++在[)0,∞+上至多2个零点，不合乎题意，所以，0a >.函数()22212y x a x a =-+++的对称轴为直线12x a =+，()()22214247a a a ∆=+-+=-. 所以，函数()f x 在1,2a a ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且()2f a a =-.①当470a ∆=-<时，即当704a <<时，则函数()f x 在[),a +∞上无零点， 所以，函数()12sin 22f x x a π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在[)0,a 上有5个零点，当0x a ≤<时，111222a x a -≤-+<，则()11222a x a πππ⎛⎫-≤-+< ⎪⎝⎭，由题意可得()5124a πππ-<-≤-，解得532a ≤<，此时a 不存在；②当Δ0=时，即当74a =时，函数()f x 在7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上只有一个零点， 当70,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()2cos 2f x x π=-，则7022x ππ≤<，则函数()f x 在70,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭上只有3个零点，此时，函数()f x 在[)0,∞+上的零点个数为4，不合乎题意；③当()20Δ470f a a a ⎧=-≥⎨=->⎩时，即当724a <≤时，函数()f x 在[),a +∞上有2个零点，则函数()12sin 22f x x a π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在[)0,a 上有3个零点，则()3122a πππ-<-≤-，解得322a ≤<，此时724a <<； ④当()20Δ470f a a a ⎧=-<⎨=->⎩时，即当2a >时，函数()f x 在[),a +∞上有1个零点，则函数()12sin 22f x x a π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在[)0,a 上有4个零点，则()4123a πππ-<-≤-，解得522a ≤<，此时，522a <<.综上所述，实数a 的取值范围是75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知定义在R 上的函数()11,0,1,0,1x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨<⎪-⎩若函数()()11g x f x ax =--+恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(){}1,10,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．(){}1,10,14⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()1,10,4⎡⎫-∞-⎪⎢⎣⎭D ．(){}14,10,14⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】B【答案解析】()()11,111,1x x x f x x x ⎧--≤⎪-=⎨->⎪⎩，故()()1,11111,1x x x f x x x ⎧-≤⎪-+=⎨-+>⎪⎩，则函数()()11g x f x ax =--+恰有2个零点等价于()11f x ax -+=有两个不同的解， 故()11,y f x y ax =-+=的图象有两个不同的交点，设()()()()1,01111,011,1x x x g x f x x x x x x ⎧⎪-≤≤⎪=-+=--<⎨⎪⎪-+>⎩又(),y g x y ax ==的图象如图所示，由图象可得两个函数的图象均过原点，若0a =，此时两个函数的图象有两个不同的交点， 当0a ≠时，考虑直线y ax =与()()201g x x x x =-≤≤的图象相切，则由2ax x x =-可得()2100a ∆=--=即1a =， 考虑直线y ax =与()11(1)g x x x=-+≥的图象相切，由11ax x =-+可得210ax x -+=，则140a ∆=-=即14a =.考虑直线y ax =与()2(0)g x x x x =-≤的图象相切，由2ax x x =-可得()2100a ∆=+-=即1a =-， 结合图象可得当114a <<或1a <-时，两个函数的图象有两个不同的交点， 综上，114a <<或1a <-或0a =， 故选：B.6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()1,0ln ,0x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩，则函数()()22g x f f x ⎡+⎤⎣⎦=+的零点个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【答案解析】令()2t f x =+，当1x <-时，1()(,2)f x x x =+∈-∞-且递增，此时(,0)t ∈-∞，当10x -<<时，1()(,2)f x x x=+∈-∞-且递减，此时(,0)t ∈-∞，当210e <<x 时，()ln (,2)f x x =∈-∞-且递增，此时(,0)t ∈-∞， 当21e x >时，()ln (2,)f x x =∈-+∞且递增，此时(0,)t ∈+∞， 所以，()g x 的零点等价于()f t 与=2y -交点横坐标t 对应的x 值，如下图示：由图知：()f t 与=2y -有两个交点，横坐标11t =-、201t <<： 当11t =-，即()3f x =-时，在(),1x ∈-∞-、(1,0)-、21(0,)e上各有一个解；当201t <<，即2()1f x -<<-时，在21,e x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭有一个解.综上，()g x 的零点共有4个. 故选：B7．（2023ꞏ四川绵阳ꞏ四川省绵阳南山中学校考一模）已知0a >，函数()=f x 22,43,x x ax ax x a -+≤⎧⎨-+>⎩，若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是（ ）A．[)2,⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭B ．()[)0,12,+∞C．[)72,8⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭D．7,28⎫⎡⎤⋃⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭ 【答案】A【答案解析】①若2x =是一个零点，则需要2()43()f x x ax x a =-+> 只有一个零点， 即有2a ≥，且此时当x a >时，需要2430()x ax x a -+=>只 有一个实根， 而221612162120a ∆=-≥⨯-> ，解方程根得2x a =±，易得2a 2a <<<2a 即当2a ≥ 时， ()f x 恰有 2个零点，122,2x x a ==. ②若2x =不是函数的零点，则2x a =为函数的 2 个零点，于是22Δ161202a a a a ⎧<⎪=->⎨⎪<⎩ ，解得：1.2a << 综上:[)2,2a ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：A.8．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()2ln ,0,1,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()()=-g x f x k 有三个零点，则（ ） A ．e 1k -<≤ B ．11e k -<< C ．e 0k -<< D ．10e k -<<【答案】D【答案解析】要使函数()f x k =有三个解，则()y f x =与y k =有三个交点，当0x >时，()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，可得()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，∴0x >时，()ln f x x x =有最小值11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且10e x <<时，ln 0x x <；当0x +→时，()0f x →；当x →+∞时，()f x →+∞； 当0x ≤时，2()1f x x =-+单调递增；∴()f x 图象如下，要使函数()g x 有三个零点，则10ek -<<，故选：D ．9．（2023ꞏ广东广州ꞏ高三广州市真光中学校考期末）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()[)[)12log (1),0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ）A ．21a -B ．12a -C ．21a --D ．12a --【答案】B【答案解析】由题设，画出[0,)+∞上()f x 的大致图象，又()f x 为奇函数，可得()f x 的图象如下：()F x 的零点，即为方程()0f x a -=的根，即()f x 图像与直线y a =的交点.由图象知：()f x 与y a =有5个交点：若从左到右交点横坐标分别为12344,,,,x x x x x ， 1、12,x x 关于3x =-对称，126x x +=-；2、30x <且满足方程()()()333f x a f x a f x a =⇒-=-⇒-=-即()132log 1x a -+=，解得：312a x =-；3、45,x x 关于3x =轴对称，则456x x +=；1234512∴++++=-a x x x x x 故选：B10．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()222,12()=log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪⎨⎪->⎩，则函数()()3()22F x f f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数是 （ ） A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【答案解析】令(),()0t f x F x ==，则3()202f t t --=， 作出()y f x =的图象和直线32+2y x =，由图象可得有两个交点，设横坐标为12,t t ，∴120,(1,2)t t =∈.当1()f x t =时，有2x =，即有一解；当2()f x t =时，有三个解， ∴综上，()0F x =共有4个解，即有4个零点. 故选：A 二、多选题11．（2023ꞏ河南郑州ꞏ高三郑州市第七中学校考期末）已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ）A ．当0k >时，有3个零点B ．当0k <时，有2个零点C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点【答案】CD【答案解析】令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解， 由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解， 即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．12．（2023ꞏ河南濮阳ꞏ高三濮阳一高校考期中）已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =-恰有2个零点，则b 的值可以是（ ） A ．1B ．74C ．2D ．3【答案】BD【答案解析】∵()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，∴()222,02,0x x f x x x ⎧--≥-=⎨<⎩ ， ∵函数()()y f x g x =-恰好有两个零点，∴方程()()0f x g x -=有两个解，即()(2)0f x f x b +--=有两个解， 即函数()(2)y f x f x =+-与y b =的图象有两个交点，()()222,022,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧++<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩ ，作函数()(2)y f x f x =+-与y b =的图象如下， 当12x =-和52x =，即115572222224f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，结合图象可知，当724b <≤时，有不止两个交点， 当2b >或74b =时，满足函数()(2)y f x f x =+-与y b =的图象有两个交点， 当74b <时，无交点， 综上，2b >或74b =时满足题意，故选：BD.13．（2023ꞏ江西ꞏ高三校联考阶段练习）已知函数()221,0,2,0,x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩则以下判断正确的是（ ）A ．若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是()0,1B ．函数()f x 在(),0∞-上单调递增C ．直线1y =与函数()y f x =的图象有两个公共点D ．函数()f x 的图象与直线2y x =+有且只有一个公共点【答案解析】当0,x ≤()22211y x x x =--=++-，故()221,02,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩的图像如图所示，对AC ，函数()()g x f x m =-有3个零点，相当于()y f x =与y m =有3个交点，故m 的取值范围是()0,1，直线1y =与函数()y f x =的图象有两个公共点，AC 对； 对B ，函数()f x 在(),0∞-上先增后减，B 错；对D ，如图所示，联立222y x y x x =+⎧⎨=--⎩可得解得20x y =-⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，由图右侧一定有一个交点，故函数()f x 的图象与直线2y x =+不止一个公共点，D 错.14．（2023ꞏ广东佛山ꞏ高三佛山市三水区实验中学校考阶段练习）已知()121,02|log ,0x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩，令()()g x f x a =-，则下列结论正确的有（ ）A ．若()g x 有1个零点，则0a =B ．()0f x >恒成立C ．若()g x 有3个零点，则102a <<D ．若()g x 有4个零点，则112a ≤< 【答案】AD【答案解析】()121,02|log ,0x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩，作出()f x 的图象，如图所示：因为()()g x f x a =-，所以()g x 的零点个数即为函数()y f x =与y a =的图象的交点的个数，对于A ：若()g x 有1个零点，则函数()y f x =与y a =的图象仅有一个公共点，由图象得0a =，故A 正确；对于B ：由图象得()0f x ≥恒成立，故B 错误；对于C ：若()g x 有3个零点，则函数()y f x =与y a =的图象有三个公共点，由图象得1a =或者102a <<，故C 错误；对于D ：若()g x 有4个零点，则函数()y f x =与y a =的图象有四个公共点，由图象得112a ≤<，故D 正确. 故选：AD ．15．（2023ꞏ黑龙江绥化ꞏ高三校考阶段练习）已知函数()31,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若()(())1g x f f x =+，则下说法正确的是（ ）A ．当0a >时，()g x 有4个零点B ．当0a >时，()g x 有5个零点C ．当a<0时，()g x 有1个零点D ．当a<0时，()g x 有2个零点【答案】AC【答案解析】当0a >时，令()f x t =，由()10f t +=，解得13t =或3t =或2t a=-. 作出函数()f x 的图象，如图1所示，易得()f x t =有4个不同的实数解， 即当0a >时，()g x 有4个零点.故A 正确，B 错误； 当a<0时，令()f x t =，所以()10f t +=，解得13t =或3t =或2t a=-（舍） 作出函数()f x 的图象，如图2所示，易得()f x t =有1个实数解， 即当a<0时，()g x 有1个零点.故C 正确，D 错误. 故选：AC.16．（2023ꞏ广东深圳ꞏ高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）对于函数sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列结论中正确的是（ ）A ．任取12,[1,)x x ∈+∞，都有123()()2f x f x -≤B ．11511222222k f f f k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中N k ∈；C ．()2(2)()k f x f x k k N *=+∈对一切[0,)x ∈+∞恒成立；D ．函数()ln(1)y f x x =--有3个零点；【答案】ACD【答案解析】作出函数sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩的图象如图所示.所以max min ()1,()1f x f x ==-.对于A ：任取12,[1,)x x ∈+∞，都有()12max min 13()()()()122f x f x f x f x -≤-=--=.故A 正确； 对于B ：因为151111,,222222kf f f k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以111?121511*********k k f f f k +⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭++++==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- .故B 错误； 对于C ：由1()(2)2f x f x =-，得到1(2)()2kf x k f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()2(2)k f x f x k =+.故C 正确；对于D ：函数()ln(1)y f x x =--的定义域为()1,+∞.作出()y f x =和ln(1)y x =-的图象如图所示：当2x =时,sin2ln10y π=-=;当12x <<时,函数()y f x =与函数()ln 1y x =-的图象有一个交点;当2x >时,因为2111s 49422in 41f f π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,971ln 1ln 1224⎪->⎛⎫ ⎝>=⎭，所以函数()y f x =与函数()ln 1y x =-的图象有一个交点,所以函数()ln(1)y f x x =--有3个零点.故D 正确.故选：ACD17．（2023ꞏ全国ꞏ模拟预测）已知函数lg ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数()[2()]g x f f x a =+有7个零点，则实数a 的可能取值是（ ） A ．0B ．14-C ．13-D ．15-【答案】BD【答案解析】在0x ≤上()f x 单调递增且值域为(,1]-∞； 在01x <≤上()f x 单调递减且值域为[0,)+∞； 在1x >上()f x 单调递增且值域为(0,)+∞； 故()f x 的图象如下：由题设，()[2()]g x f f x a =+有7个零点，即[2()]f f x a =-有7个不同解，当0a -<时有2()1f x <-，即1()2f x <-，此时()g x 有1个零点；当0a -=时有2()1f x =±，即1()2f x =±，∴1()2f x =-有1个零点，1()2f x =有3个零点，此时()g x 共有4个零点；当0lg 2a <-≤时有12()lg 21f x -<≤-或12()12f x ≤<或12()2f x <≤， ∴1lg 21()022f x --<≤<有1个零点，11()42f x ≤<有3个零点，1(1)2f x <≤有3个零点，此时()g x 共有7个零点；当lg 21a <-≤时有lg 212()0f x -<≤或102()2f x <<或22()10f x <≤， ∴lg 21()02f x -<≤有1个零点，10()4f x <<有3个零点，1()5f x <≤有2个零点，此时()g x 共有6个零点；当1a ->时有102()10f x <<或2()10f x >， ∴10()20f x <<有3个零点，()5f x >有2个零点，此时()g x 共有5个零点； 综上，要使()g x 有7个零点时，则lg 20a -≤<，(lg 20.30103≈) 故选：BD18．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数f (x )＝4,22021()(3),2x m x x m x m x ⎧-<⎨--⎩…恰有两个零点，则正整数m 的取值可能为（ ）A ．1B ．2C ．15D ．16【答案】AD【答案解析】函数f (x )的零点即为方程f (x )＝0的解．当m ＝1时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣1＝0，解得：x ＝0； 当x ≥2时，2021（x ﹣1）（x ﹣3）＝0，解得：x ＝1或3，只取x ＝3． ∴函数有两个零点0或3．∴A 对；当m ＝2时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣2＝0，解得：x ＝12； 当x ≥2时，2021（x ﹣2）（x ﹣6）＝0，解得：x ＝2或6． ∴函数有三个零点12或2或6．∴B 错；当m ＝15时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣15＝0，解得：x ＝log 415＜2； 当x ≥2时，2021（x ﹣15）（x ﹣45）＝0，解得：x ＝15或45． ∴函数有三个零点log 415或15或45．∴C 错；当m ＝16时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣16＝0，解得：x ＝2不成立； 当x ≥2时，2021（x ﹣16）（x ﹣48）＝0，解得：x ＝16或48． ∴函数有两个零点16或48．∴D 对； 故选：AD ．三、填空题19．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）知函数()3223,015,1x x m x f x mx x ⎧++≤≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为_____________. 【答案】50m -<<【答案解析】由答案解析式知：在[0,1]上()f x 为增函数且()[,5]f x m m ∈+， 在(1,)+∞上，0m ≠时()f x 为单调函数，0m =时()5f x =无零点， 故要使()f x 有两个不同的零点，即1x =两侧各有一个零点，所以在(1,)+∞上()f x 必递减且()(,5)f x m ∈-∞+，则050m m <⎧⎨+>⎩，可得50m -<<.故答案为：50m -<<20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数24,()1,x x x af x e x a ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()[()]g x f f x =在R 上有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是______________．【答案】)⎡⎡⎣⎣【答案解析】令()t f x =，则()()g x f t =，由于函数()[()]g x f f x =在R 上有三个不同的零点，所以()()0g x f t ==必有两解，所以20a -≤<或2a ≥.当20a -≤<时，()f x 的图像如下图所示，由图可知，()y f t =必有两个零点122,0t t =-=，由于()2f x t =有两个解，所以()1f x t =有一个解，即242a -≤-，解得0a ≤<.当2a ≥时，()f x 的大致图像如下图所示，()y f t =必有两个零点342,2t t =-=，由于()3f x t =有两个解，所以()4f x t =有一个解，所以242a -<，解得2a ≤<综上所述，实数a 的取值范围是)⎡⎡⎣⎣ .故答案为：)⎡⎡⎣⎣21．（2023ꞏ上海黄浦ꞏ高三上海市向明中学校考开学考试）已知函数()f x 满足,1(1)ln(1),1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩，函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则实数a 的取值范围为____________．【答案】1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案解析】因为函数()f x 满足,1(1)ln(1),1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩，所以,0()ln ,0ax x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，-,0()ln(-),0ax x f x x x ≥⎧-=⎨<⎩， 因为函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点， 所以函数()y f x =与()y f x =-恰有5个交点，如图，因为y ax =-与y ax =交于原点，要恰有5个交点，,0y ax x =->与ln y x =必有2个交点， 设,0y ax x =->与ln y x =相切，切点为(,)m n ， 此时切线斜率为1100n y x m m -'===-，解得1,ln 1n m ==， 解得e m =，所以切点为(e,1)，所以e 1a -=，解得1a e =-，所以要使函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则1(,0)ea ∈-.故答案为：1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.22．（2023ꞏ黑龙江哈尔滨ꞏ高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知函数()f x 定义城为(]0,12，恒有()()44f x f x +=，(]0,4x ∈时()222x f x -=-；若函数()()()2g x f x t f x =+⋅有4个零点，则t 的取值范围为______． 【答案】[]32,28--【答案解析】设(]4,8x ∈，则(]40,4x -∈，则[]6()(4)44(4)422x f x f x f x -=-+=-=-，设(]8,12x ∈，则(]80,4x -∈，则[][]()(4)44(4)4(8)4f x f x f x f x =-+=-=-+1016(8)1622x f x -=-=-，则(](](]2610220,4()4224,816228,12x x x x f x x x ---⎧-∈⎪⎪=-∈⎨⎪-∈⎪⎩，，，，则(3)(7)(11)0f f f ===，函数()f x 图象如下：由2()()()0g x f x t f x =+⋅=，可得()0f x =，或()f x t =-， 由()0f x =，可得3x =，或7x =，或11x =，则()f x t =-仅有一根，又(8)f =810162228--=，(12)f =1210162232--=， 则2832t ≤-≤，解之得3228t -≤≤-， 故答案为：3228t -≤≤-.23．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x 2e 1,0,0x x ax x a x ⎧-≥=⎨++<⎩，恰有2个零点，则=a __________．【答案】12【答案解析】当0x ≥时，令()e 10xf x =-=，解得0x =，故()f x 在[)0+∞，上恰有1个零点，即方程20ax x a ++=有1个负根.当0a =时，解得0x =，显然不满足题意；当0a ≠时，因为方程20ax x a ++=有1个负根，所以2Δ140.a =-≥ 当2Δ140a =-=，即12a =±时，其中当12a =时，211022x x ++=，解得=1x -，符合题意；当12a =-时，211022x x -+-=，解得1x =，不符合题意； 当2140a ∆=->时，设方程20ax x a ++=有2个根1x ，2x ，因为1210x x =>，所以1x ，2x 同号， 即方程20ax x a ++=有2个负根或2个正根，不符合题意．综上，12a =．故答案为：0.5.24．（2023ꞏ北京ꞏ高三专题练习）已知函数ln ,0()e 1,0xx x f x x >⎧=⎨+≤⎩，且函数()()g x f x m =-恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是___________. 【答案】12m <≤【答案解析】由()0g x =得()f x m =，即函数()g x 的零点是直线y m =与函数()y f x =图象交点横坐标， 当0x ≤时，()e 1x f x =+是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当0x >时，()ln f x x =是增函数，函数值为一切实数，在坐标平面内作出函数()y f x =的图象，如图，观察图象知，当12m <≤时，直线y m =与函数()y f x =图象有2个交点，即函数()g x 有2个零点， 所以实数m 的取值范围是：12m <≤. 故答案为：12m <≤25．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设函数()()3221014680x x f x x x g x x x x x ⎧+>⎪=-+=⎨⎪---≤⎩，，，，，则函数()()()1h x f g x =-的零点为________．【答案】14322---，，， 【答案解析】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()1f g x =的解． 令()t g x =，则原方程的解变为方程组()()1t g x f t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解．由方程②可得320t t -=， 解得0t =或1t =，将0t =代入方程①，而方程104x x+=无解， 由方程2680x x ---=解得4x =-或2x =-；将1t =代入方程①，而方程114x x +=，解得12x =， 由方程2681x x ---=，解得3x =-．综上，函数()h x 的零点为14322---，，，，共四个零点． 故答案为：14322---，，，. 26．（2023春ꞏ上海浦东新ꞏ高三上海市川沙中学校考期中）已知函数()y f x =的定义域是[0,)+∞，满足2201()4513,?2834x x f x x x x x x ≤<⎧⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎩且(4)()f x f x a +=+，若存在实数k ，使函数()()g x f x k =+在区间[0,2021]上恰好有2021个零点，则实数a 的取值范围为____ 【答案】11(,)505504-【答案解析】由函数在[0,4)x ∈上的答案解析式作出如图所示图像，由(4)()f x f x a +=+知，函数()f x 是以4为周期，且每个周期上下平移|a |个单位的一个函数，若使[0,2021]x ∈时，存在R k ∈，方程()()g x f x k =+在[0,2021]x ∈上恰有2021个零点，等价于()f x k =-在[0,2021]x ∈上恰有2021个交点，如图所示，知在每个周期都有4个交点，即(1,2)k -∈时满足条件，且必须每个周期内均应使k -处在极大值和极小值之间，才能保证恰有2021个交点， 则当0a ≥时，需使最后一个完整周期[2016,2020)中的极小值(2018)2f <， 即(2018)(2)50415042f f a a =+=+<，解得1504a <，即1[0,504a ∈ 当a<0时，需使最后一个极大值(2021)1f >， 即(2021)(1)50525051f f a a =+=+>，解得1505a >-，即1(,0)505a ∈-， 综上所述，11(,505504a ∈-故答案为：11,505504⎛⎫- ⎪⎝⎭27．（2023ꞏ浙江ꞏ高三专题练习）若函数()()()2210,10k x f x x x kx x ⎧-<⎪=⎨⎪-->⎩恰有4个零点，则实数k 的取值范围是______．【答案】10,4⎛⎫⎪⎝⎭【答案解析】当0x <时，令()0f x =可得：21k x =， 当0x >时，令()0f x =可得：21x k x-=，令()()()221010x x g x x x x ⎧<⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩， 若01x <<，()21x g x x -+=， ()320x g x x -'=<，()g x 为减函数， 若1x ≥，()21x g x x -=， ()320x g x x -+'==，2x =， 若[)1,2x ∈，()0g x '<，()g x 为减函数， 若()2,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 为增函数，()124g = 画出()g x 的图像，如下图：如要()f x 有4个零点，则104k <<， 故答案为：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 28．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若348,122()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩则()()6g x xf x =-在*1,2,n n N ⎡⎤∈⎣⎦内的所有零点之和为：__________． 【答案】3(21)2n - 【答案解析】当312x ≤≤时，f （x ）＝8x ﹣8， 所以()218()82g x x =--，此时当32x =时，g （x ）max ＝0； 当322x ≤＜时，f （x ）＝16﹣8x ，所以g （x ）＝﹣8（x ﹣1）2+2＜0； 由此可得1≤x ≤2时，g （x ）max ＝0．下面考虑2n ﹣1≤x ≤2n 且n ≥2时，g （x ）的最大值的情况． 当2n ﹣1≤x ≤3•2n ﹣2时，由函数f （x ）的定义知()11112222n n x x f x f f --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为13122n x-≤≤， 所以()22251(2)82n n g x x --=--， 此时当x ＝3•2n ﹣2时，g （x ）max ＝0；当3•2n ﹣2≤x ≤2n 时，同理可知，()12251(2)802n n g x x --=--+＜．由此可得2n ﹣1≤x ≤2n 且n ≥2时，g （x ）max ＝0． 综上可得：对于一切的n ∈N *，函数g （x ）在区间[2n ﹣1，2n ]上有1个零点， 从而g （x ）在区间[1，2n ]上有n 个零点，且这些零点为232n n x -=⋅，因此，所有这些零点的和为()3212n -． 故答案为()3212n -． 29．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数1,0()42,0x x x x f x x --⎧+>=⎨-≤⎩，若函数(32)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________【答案】23a <≤.【答案解析】函数()f x 当0x >时是对勾函数，因为112x x x x -+=+≥=，当且仅当10x x x ⎧=⎪⎨⎪>⎩即1x =时，取最小值．所以函数最小值为2，且在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数．当0x ≤时，2x y -= 是减函数，且21x -≥，所以2x y -=-为增函数，且21x --≤-，所以函数()42x f x -=-为增函数，且()3f x ≤，函数图像如图所示．令32t x =-，函数(32)y f x a =--恰有三个不同的零点，可以看成函数()y f t a =-恰有三个不同的零点，函数()f t 的图像与直线y a =有三个交点．由图像可知23a <≤．30．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数32,0()461,0x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数2()3[()]2()g x f x f x m =--有5个零点时m 的范围_____________.【答案】01m ≤<【答案解析】当0x ≥时,2'()121212(1)f x x x x x =-=-，在区间()0,1上，()()'0,f x f x <单调递减，在区间()1,+∞上，()()'0,f x f x >单调递增，故函数在1x =处取得极小值()11f =-，据此绘制函数()f x 的图像如图所示，结合函数图像和题意可知原问题等价于函数232y x x =-与函数y m =有两个交点，且交点的横坐标的范围分别位于区间(]1,0-和区间()0,1内，观察二次函数的图像可得m 的范围是01m ≤<.。
专题十——分段函数
专题十——分段函数1 1．已知符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1sgn x x x x ，则不等式2sgn )1(>⋅+x x 的解集是 2．已知⎩⎨⎧≥<-=,0,1,0,1)(x x x f 则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是 。
3．函数f(x)=⎧⎪⎨⎪⎩1 x >00 x =0-1 x <0，g(x)=x2 f(x-1)(x ∈R)，则函数g(x)的单调递减区间是______________.4．对任意实数x 规定y 取14,1,(5)2x x x -+-三个值中的最小值，则函数y 的最大值为 5．若关于x 的不等式|x+2|+|x-1|<a 的解集为φ，则a 的取值范围是6．已知x 是实数，若⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=31,21min x x S ，那么S 的取值范围是 7．已知函数36,0()5,0x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩，则((1))f f 值为8．已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x 则f （log 23）=9．已知⎩⎨⎧><+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a 是．在R 上的减函数，那么a 的取值范围是 . 10．已知函数f(x)=(31)4(1)log (1)a a x a x x x -+<⎧⎨≥⎩在R 不是单调函数．．．．．．， a 的取值范围是 11．已知函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩，在R 是单调．．．增函数．．， a 的取值范围是 . 12．已知函数 (0)()(3)4 (0)x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是 ．13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧<-≥+0,40,422x x x x x x 若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是________． 14. 已知函数21,0,()1,0,x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是____ ____.。
经典分段函数专题
经典分段函数专题高考真题类型一：与期有关类型二：与单调性有关 类型三：奇偶性有关类型四：与零点和交点问题有关 类型五;与求导和函数性质有关 类型六：数形结合高考真题201011、已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的围是_____。
【解析】考查分段函数的单调性。
2212(1)10x x x x ⎧->⎪⇒∈-⎨->⎪⎩201111、（分类程求解）已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________解析：30,2212,2a a a a a a >-+=---=-，30,1222,4a a a a a a <-+-=++=-2012 10．（程组求解）设()f x 是定义在R 上且期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ▲ ． 【解析】因为2T =，所以(1)(1)f f -=，求得20a b +=. 由13()()22f f =，2T =得11()()22f f =-，解得322a b +=-.联立20322a b a b +=⎧⎨+=-⎩，解得24a b =⎧⎨=-⎩所以310a b +=-. 201311．（分区间二次不等式求解）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为 ．【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)【解析】做出x x x f 4)(2-= (0>x )的图像，如下图所示。
由于)(x f 是定义在R 上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x ＜0的图像。
高考数学微专题4 分段函数(含有绝对值的函数)的图象与性质 课件
实数 m 的最小值为( )
27 A. 8
29 B. 8
13 C. 4
15 D. 4
【思路分析】 根据已知计算出 f(x)＝21n[1－|2x－(2n＋1)|]≤21n，画出
图象，计算 f(x)＝332，解得 x＝289，从而求出实数 m 的最小值．
内容索引
【解析】 由题意，得当 x∈[1,2)时，f(x)＝12×f(x－1)＝12(1－|2x－3|)； 当 x∈[2,3)时，f(x)＝12f(x－1)＝14(1－|2x－5|)；…，可得在区间[n，n＋1)(n ∈Z)上，f(x)＝21n[1－|2x－(2n＋1)|]≤21n，所以当 n≥4 时，f(x)≤332.作出函 数 y＝f(x)的图象，如图所示，当 x∈72，4时，由 f(x)＝18(1－|2x－7|)＝332， 解得 x＝289，则 m≥289，所以实数 m 的最小值为289.
【答案】 ABD
1234
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－x2＋2， x≤1， 3. (2022 浙江卷)已知函数 f(x)＝x＋1x－1， x>1，
则 ff12＝
________；若当 x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则 b－a 的最大值是________.
1234
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【解析】 f12＝－122＋2＝74，f74＝74＋47－1＝3278，所以 ff12＝3278.当 x≤1 时，由 1≤f(x)≤3，得 1≤－x2＋2≤3，所以－1≤x≤1；当 x>1 时， 由 1≤f(x)≤3 可得 1≤x＋1x－1≤3，所以 1<x≤2＋ 3.综上，由 1≤f(x)≤3， 得－1≤x≤2＋ 3，所以[a，b]⊆[－1,2＋ 3]，所以 b－a 的最大值为 3＋
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分段函数专题练习省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
y
x2
4x
(x 1)
定义域：
(, 1) [1, )
值 域： R
注意：
1、分段函数是一种函数，不要把它误以为是几 种函数；书写时用花括号把各段函数写在一 起，并注明各段函数旳自变量x旳取值范围。
2、分段函数定义域：各段自变量取值范围旳旳并 集，其值域是各段函数值取值范围旳并集;
3、分段函数图象 根据自变量旳不同取值范围，分段画出函数旳图象.
若x 2, 则2x 3, x 3（舍）.
2
综上，x 3
小 结：
已知分段函数旳函数值，求相应自变 量旳值，采用分类旳措施，利用已知分段函 数，把 所求等式化为分段旳几种等式，然 后取解旳并集。
“分类”是为了拟定解析式！
例4：
f
(x)
2 x 1
1,
x
0 , 若f
( x0
)
1, 则x0的取值范围(
五、单调性：(都选 做)
例1：设函数f
(
x)
x 2 4x
4x, x2,
x 0，若f (2 a2 ) f (a)， x0
则a的取值范围是( )
(2,1)
解：由图象知，
f (x)是R上的增函数。
f (2 a2 ) f (a),
2 a2 a,解得，
2 a 1
例2：设函数f
(x)
f (x 1), x 4,
24
练习2:
定义在R上的函数f
(
x)满足f
(
x)
lfo(gx2
(4 x) 1) f
(
x
ห้องสมุดไป่ตู้, 2),
x x
0, 0,
,
则f (3) ( )
分段函数专题(含答案)
分段函数专题一．选择题（共7小题）1．下列关于分段函数的描述正确的是（）①分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数；②f(x)=|x|是一个分段函数；③f(x)=|x﹣2|不是分段函数；④分段函数的定义域都是R；⑤分段函数的值域都为R；⑥f(x)={x,x≥0−x,x<0，则f(1)=−1．A．①②⑥B．①④C．②D．③④⑤2．设f(x)={2e x−1,x<2log3(x2−1),x≥2，则f(f(2))的值为（）A．0B．1C．2D．33．已知函数f(x)={|log x|,0<x≤10−12x+6,x>10，若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）4．已知f(x)={x+2,x≤−1x2,−1<x<22x,x≥2，若f(x)=3，则x的值是（）A．1 B．1或32C．1，32或±√3D．√35．函数f(x)={x2+bx+c,x≤02,x>0，若f(−4)=f(0)，f(−2)=−2，则关于x的方程f(x)=x的解的个数为（）A．1B．2C．3D．46．已知函数f(x)={(a−2)x−1,x≤1log a x,x>1，若f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（2，3]D．（2，+∞）7．已知函数f(x)={x2+1,x≤0−2x,x>0使函数值为5的x的值是（）A．﹣2B．2或﹣C．2或﹣2D．2或﹣2或﹣二．填空题（共2小题）8．已知函数f (x )={ax 2+2x +1,−2<x ≤0ax −3,x >0有3个零点，则实数a 的取值范围是 ．9．已知函数f (x )={x +4,x <0x −4,x >0，则f [f (−3)]的值为 ． 三．解答题（共6小题）10．已知函数f (x )=−x 2+|x|．（1）用分段函数的形式表示该函数并画出函数的图象；（2）求函数的单调区间；（3）求函数的最大值．11．如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x =t （t >0）左侧的图形的面积为f (t )．试求函数f (t )的解析式，并画出函数y = f (t )的图象．12．已知函数f(x)={x+2,x≤−1x2,−1<x<22x,x≥2（1）在坐标系中作出函数的图象；（2）若f(a)=12，求a的取值集合．13．已知函数f(x)=2x−1，g(x)={x2,x≥0−1,x<0求f[g(x)]和g[f(x)]的解析式．14．设函数f(x)={x2+bx+c,−4≤x<0−x+3,0≤x≤4，且f(−4)=f(0)，f(−2)=−1．（1）求函数f(x)的解析式；（2）画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的定义域、值域．15．已知函数f(x)=−x2+2ax+3,xϵ[−2,4]（1）求函数f(x)的最大值关于a的解析式y=g(a)（2）画出y=g(a)的草图，并求函数y=g(a)的最小值．分段函数专题答案一．选择题（共7小题）1．下列关于分段函数的描述正确的是（ ）①分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数；②f (x )=|x |是一个分段函数；③f (x )=|x ﹣2|不是分段函数；④分段函数的定义域都是R ；⑤分段函数的值域都为R ；⑥f (x )={x,x ≥0−x,x <0，则f (1)=−1． A ．①②⑥ B ．①④ C ．② D ．③④⑤【答案】①分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，但这几段组合在一起是一个函数，故错误；②f (x )=|x |={x,x ≥0−x,x <0是一个分段函数，正确； ③f (x )=|x −2|={x −2,x ≥22−x,x <2是一个分段函数，错误； ④分段函数的定义域不都是R ，错误；⑤分段函数的值域不都为R ，错误；⑥f (x )={x,x ≥0−x,x <0，则f (1)=−1，错误． 故正确的命题为：②，故选：C2．设f (x )={2e x−1,x <2log 3(x 2−1),x ≥2，则f(f (2))的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】f(f (2))=f [log 3(22−1)]=f (1)=2e 1−1=2，故选C ．3．已知函数f (x )={|log x |,0<x ≤10−12x +6,x >10，若a,b,c 互不相等，且f (a )=f (b )=f (c )，则abc 的取值范围是（ ）A ．（1，10）B ．（5，6）C ．（10，12）D ．（20，24）【答案】作出函数f (x )的图象如图，不妨设a <b <c ，则−log a =log b =−12c +6∈(0,1)ab =1，0<−12c +6<1则abc =c ∈(10，12)．故选C ．4．已知f (x )={x +2,x ≤−1x 2,−1<x <22x,x ≥2，若f (x )=3，则x 的值是（ ）A ．1B ．1或 32C ．1， 32或±√3D ．√3【答案】该分段函数的三段各自的值域为(−∞,1],[0,4),[4,+∞)，而3∈[0,4)，故所求的字母x 只能位于第二段．∴f (x )=x 2=3,x =±√3，而﹣1<x <2，∴x =√3故选D ．5．函数f (x )={x 2+bx +c,x ≤02,x >0，若f (−4)=f (0)，f (−2)=−2，则关于x 的方程f (x )=x 的解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】由题知(−4)2+b (−4)+c =c,(−2)2+b (−2)+c =−2，解得b =4，c =2故f (x )={x 2+bx +c,x ≤02,x >0， 当x ≤0时，由f (x )=x 得x 2+4x +2=x ，解得x =−1，或x =−2，即x ≤0时，方程f (x )=x 有两个解．又当x >0时，有x =2适合，故方程f (x )=x 有三个解．故选C ．6．已知函数f (x )={(a −2)x −1,x ≤1log a x ,x >1，若f (x )在(﹣∞,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（2，3]D ．（2，+∞）【答案】对数函数在x >1时是增函数，所以a >1，又f (x )=(a −2)x −1，x ≤1是增函数，∴a >2，并且x =1时(a −2)x −1≤0，即a −3≤0，所以2<a ≤3故选C7．已知函数f (x )={x 2+1,x ≤0−2x,x >0使函数值为5的x 的值是（ ） A ．﹣2 B ．2或﹣ C ．2或﹣2 D ．2或﹣2或﹣【答案】由题意，当x ≤0时，f (x )=x 2+1=5，得x =±2，又x ≤0，所以x =﹣2； 当x >0时，f (x )=−2x =5，得x =−52，舍去．故选A二．填空题（共2小题）8．已知函数f (x )={ax 2+2x +1,−2<x ≤0ax −3,x >0有3个零点，则实数a 的取值范围是 ．【答案】∵函数f (x )={ax 2+2x +1,−2<x ≤0ax −3,x >0有3个零点， ∴a >0 且y =x 2+2x +1在(﹣2，0)上有2个零点，∴{ a >0a (−2)2+2(−2)+1>02<1a <0∆=4−4a >0， 解得34<a <1，故答案为：(34,1)．9．已知函数f (x )={x +4,x <0x −4,x >0，则f [f (−3)]的值为 ．【答案】因为：f (x )={x +4,x <0x −4,x >0， ∴f (−3)=−3+4=1 f [f (−3)]=f (1)=1−4=−3．故答案为：−3．三．解答题（共6小题）10．已知函数f (x )=−x 2+|x|．（1）用分段函数的形式表示该函数并画出函数的图象；（2）求函数的单调区间；（3）求函数的最大值．【答案】【（1）∵f (x )=−x 2+|x |={−x 2−x,x <0−x 2+x,x ≥0 ∴函数f (x )的图象如下图所示：（2）由（1）中函数图象可得：函数f (x )的单调递增区间为：(−∞,−12]和[0,12]，函数f (x )的单调递减区间为：[−12,0]和[−12,+∞)．（3）（2）由（1）中函数图象可得：函数f (x )的最大值为14．11．如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x =t （t >0）左侧的图形的面积为f (t )．试求函数f (t )的解析式，并画出函数y = f (t )的图象．【答案】（1）当0<t≤1时，如图，设直线x=t与△OAB分别交于C、D两点，则|OC|=t，又CDOC =BCOE=√3，∴|CD|=√3t，∴f(t)=12|0C|∙|CD|=12∙t∙√3t=√32t2（2）当1<t≤2时，如图，设直线x=t与△OAB分别交于M、N两点，则|AN|=2−t，又MNAN =BEAE=√3，∴MN=√3(2−t)∴f(t)=12∙2∙√3−12|AN|∙|MN|=√3−√32(2−t)2=−√32t2+2√3t−√3（3）当t>2时，f(t)=√3综上所述f(t)={√32t2,0<t≤1−√32t2+2√3t−√3,1<t≤2√3,t>212．已知函数f (x )={x +2,x ≤−1x 2,−1<x <22x,x ≥2（1）在坐标系中作出函数的图象；（2）若f (a )=12，求a 的取值集合．【答案】-（1）函数f (x )={x +2,x ≤−1x 2,−1<x <22x,x ≥2的图象如下图所示：（2）当a ≤−1时，f (a )=a +2=12，可得：a =−32；当−1<a <2时，f (a )=a 2=12，可得a =±√22； 当a ≥2时，f (a )=2a =12 ，可得：a =14（舍去）；综上所述，a 的取值构成集合为{−32,−√22} 13．已知函数f (x )=2x −1，g (x )={x 2,x ≥0−1,x <0求f[g (x )]和g[f (x )]的解析式． 【答案】当x ≥0时，g (x )=x 2，f [g (x )]=2x 2−1，当x ＜0时，g (x )=−1，f [g (x )]=−3，∴f [g (x )]={2x 2−1,x ≥0−3,x <0∵当2x−1≥0，即x≥12时，g[f(x)]=(2x−1)2，当2x−1＜0，即x<12时，g[f(x)]=−1，∴g[f(x)]={(2x−1)2,x≥12−1,x<1214．设函数f(x)={x2+bx+c,−4≤x<0−x+3,0≤x≤4，且f(−4)=f(0)，f(−2)=−1．（1）求函数f(x)的解析式；（2）画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的定义域、值域．【答案】（1）∵f(−4)=f(0)，f(−2)=−1，∴16−4b+c=3，4−2b+c=−1，解得：b=4，c=3，∴f(x)={x2+4x+3,−4≤x<0−x+3,0≤x≤4，（2）函数的定义域为[−4，4]，当x<0时，y=x2+4x+3=（x+2）2﹣1由x<0可得，y≥﹣1当x≥0时，y=−x+3≤3∴﹣1≤y≤3∴函数的值域为[−1,3]．其图象如图所示15．已知函数f(x)=−x2+2ax+3,xϵ[−2,4]（1）求函数f(x)的最大值关于a的解析式y=g(a)（2）画出y=g(a)的草图，并求函数y=g(a)的最小值．【答案】（1）函数f(x)的对称轴为x=a，①当a<−2时，∵函数f(x)在[−2,4]上单调递减，∴y=g(a)=f(−2)=−4a−1，②当﹣2≤a≤4时，y=g(a)=f(a)=a2+3，③当a＞4时，∵函数f(x)在[−2,4]上单调递增，∴y=g(a)=f(4)=8a−13，综上有y=g(a)={−4a−1,a<−2a2+3,−2<a≤4 8a−13,a>4，（2）作出y=g(a)的草图如右，观察知当a=1时y=g(a)有最小值4．。
专题2 分段函数
专题二│ 专题二│ 要点热点探究
【解答】 (1)由题意： 当 0≤x≤20 时 ，v(x)＝60；当 解答】 由题意： ≤ ≤ ＝ ； 由题意 200a＋b＝0， ห้องสมุดไป่ตู้ ＝ ， 20≤x≤200 时， v(x)＝ax＋b， ≤ ≤ 设 ＝ ＋ ， 再由已知得 20a＋b＝60， ＋ ＝ ， 1 ＝－ a＝－3， 解得 b＝200. ＝ 3 ， ≤ ， 60，0≤x<20， 故函数 v(x)的表达式为 v(x)＝1 的表达式为 ＝ － ) ≤ ≤ 3(200－x)，20≤x≤200.
专题二│ 专题二│ 要点热点探究
【解答】 解答】 ＋ ( ≤ ) x＋8(0<x≤4)， (1)因为 m＝4，所以 y＝ 24 因为 ＝ ， ＝ ) － x－2(x>4).
当 0<x≤4 时，x＋8≥4，显然符合题意； ≤ ＋ ≥ ，显然符合题意； 24 综上， 当 x>4 时， ≥4⇒4<x≤8.综上，0<x≤8. ⇒ ≤ 综上 ≤ x－2 － 所以自来水达到有效净化一共可持续 8 天．
专题二 │ 要点热点探究
【点评】 在处理分段函数的单调性时，易错在当每一段 点评】 在处理分段函数的单调性时， 函数为单调递增时，误以为整个函数也是单调递增， 函数为单调递增时，误以为整个函数也是单调递增，还需要 看分界点处的函数值的关系，如本题所给图象． 看分界点处的函数值的关系，如本题所给图象．
a . 2
专题二 │ 要点热点探究
(ii)当 1< 当 上大于 0， ， 所以
f(x)在区间1， 在区间 ， a a 上为减函数，在 上为减函数， 上为增函数， ，e上为增函数， 2 2 a 3a a a a <f(e)＝e2； 时，ymin＝ 2 －2ln2，且此时 f ＝ 2 2 a 2 <e， 2<a<2e 时，′(x)在1， f′ 在 ， 即 2 ， a a 上小于 0， ，e ， 在 2 2
高中分段函数专题训练
1、设()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((2))f f 的值为（ ） A.0 B.1 C.2 D.32、定义在R 上的函数)(x f 满足)(x f =⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ， 则)3(f 的值为（ ）A ．1- B. 2- C. 1 D. 23、给出函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=)4()1()4()21()(x x f x x f x ，则=)3(log 2f （ ） A.823- B. 111 C. 191 D. 2414、函数21sin(),10,(),0.x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩,若()()21=+a f f ,则a 的所有可能值为（ ） A.1B. C.1， D.15、设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f ，则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A.),3()1,3(+∞⋃-B.),2()1,3(+∞⋃-C.),3()1,1(+∞⋃-D.)3,1()3,(⋃--∞6、设函数10221,0,()()1,0x x f x f x x x -⎧-≤⎪=>⎨⎪>⎩若，则0x 的取值范围是（ ） A ．)1,1(- B ．),1-(+∞C ．),0()2,(+∞--∞D ．),1()1,(+∞--∞7、设函数⎩⎨⎧<≤++=)0(2)0()(2x x c bx x x f ，若2)2(),0()4(-=-=-f f f ，则关于x 的方程x x f =)( 的解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48、设函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=)0()(log )0(log )(212x x x x x f ，若)()(a f a f ->，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)1,0()0,1( -B ．),1()1,(+∞--∞C ．),1()0,1(+∞-D ．)1,0()1,( --∞9、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=)10(,621)100(,lg )(x x x x x f ，若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则实数abc 的取值范围是（ ）A ．)10,1(B ．)6,5(C ．)12,10(D ．)24,20(10、设函数)(2)(2R x x x g ∈-=，⎩⎨⎧≥-<++=)(,)()(,4)()(x g x x x g x g x x x g x f ，则)(x f 的值域是（ ）A ．),1(]0,49[+∞-B ．),0[+∞C ．),49[+∞- D ．),2(]0,49[+∞- 11、设⎩⎨⎧>-≤-=-)0)(1()0(3)(x x f x a x f x ，若x x f =)(有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]2,1[B ．()2,∞-C ．[)+∞,1D ．(]1,∞-12、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=,0,3,0,21log )(2x x x x f x ，则))2((f f 的值为 。
2023届高考数学专项(分段函数)题型归纳与练习(附答案)
2023届高考数学专项（分段函数）题型归纳与练习【题型归纳】题型一 、分段函数的求值问题由于分段函数的答案解析式与对应的定义域有关，因此求值时要代入对应的答案解析式。
含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体答案解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）例1、（2021∙江西南昌市∙高三期末（理））已知定义在R 上的奇函数满足，且当时，，其中a 为常数，则的值为（ ） A ．2B ．C ．D ． 变式1、（辽宁省沈阳市2020‐2021学年高三联考）函数21,13()(4),3x x f x f x x --≤<⎧=⎨-≥⎩，则(9)f = ______． 变式2、（2021∙山东临沂市∙高三二模）已知奇函数，则（ ）A ．B ．C ．7D ．11变式3、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）对于给定正数k ，定义(),()(),()k f x f x kf x k f x k ≤⎧=⎨>⎩，设22()252f x ax ax a a =--++，对任意x ∈R 和任意(,0)a ∈-∞恒有()()k f x f x =，则（ ） A ．k 的最大值为2 B ．k 的最小值为2C ．k 的最大值为1D ．k 的最小值为1题型二、与分段函数有关的方程或不等式含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对x 进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解。
另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式例2、【2018年高考浙江】已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．变式1、（2021∙浙江高三期末）已知，则______；若，则______．变式2、（2021∙山东烟台市∙高三二模）已知函数是定义在区间上的偶函数，且当()f x ()(6)f x f x =-03x ≤<21),01()2(2),13a x x f x x x ++≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩(2019)(2020)(2021)f f f ++2-1212-()()31,0,0x x f x g x x ⎧-<⎪=⎨>⎪⎩()()12f g -+=11-7-(),201,0x x f x x x ⎧≥=⎨-+<⎩()2f =()2f α=α=()f x ()(),00,-∞+∞时，，则方程根的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6变式3、（2021∙山东高三其他模拟）已知，，则方程的解的个数是（ ） A ．B ．C ．D ．题型三、分段函数的单调性分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。
函数专题：分段函数的6种常见考法-【题型分类归纳】
函数专题：分段函数的6种常见考法一、分段函数的概念若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.【注意】分段函数是一个函数而不是几个函数二、分段函数问题解题思路1、分段求解时解决分段函数问题的基本原则；当求()0f x 的值时，要先判断0x 属于定义域中的“哪段”，然后再代入相应的解析式求解。
2、有关分段函数的不等式问题，要先按照分段函数的“分段”进行分类讨论，从而将问题转化为简单的不等式组来解。
3、已知分段函数，求参数值，往往要对含参数的自变量属于“哪段”进行分类讨论，然后再代入相应的解析式，列出方程求解，当出现()()f f a 的形式时，应从内往外依次求值。
4、求解分段函数参数的取值范围问题时，一般将参数当成已知，画出分段函数图象，根据函数图象列出满足要求的不等式（组）。
题型一 求分段函数值【例1】已知函数()2,222,2xx x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则()1f =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C【解析】当2x ≤时，()22x f x =+，()11224f ∴=+=，故选：C.【变式1-1】若()()231log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()()016f f +=_________.【答案】5【解析】因函数()()231log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，所以()()020163log 16145f f +=+=+=.【变式1-2】若函数()2321,3,log ,3,x x f x x x ⎧+<=⎨⎩则()()2f f =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【解析】因为()222219f =⨯+=，所以()()()329log 92f f f ===，故选：C.【变式1-3】已知函数()()21log 21,02,0,x x x f x x +⎧+>=⎨≤⎩，则()()2f f -=______.【答案】1【解析】由题意可得()11222f --==，所以()()21log 2122f f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭==-.题型二 根据分段函数值求参数【例2】已知函数()2,0,2,0.x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩若()14f f ⎡⎤-=⎣⎦，且1a >-，则=a （ ） A ．12- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】C【解析】由题意知，2(1)(1)1f a a -=-+=+，又1a >-，所以10a +>，所以1[(1)](1)24af f f a +-=+==，解得1a =，故选：C【变式2-1】设函数21,1()2,1x a x x f x x -⎧+<=⎨≥⎩，若1124f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则=a _____________. 【答案】134【解析】因为21,1()2,1x a x x f x x -⎧+<=⎨≥⎩，所以21151224f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1124f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得5144f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以54124a -=，52422a --=， 所以524a -=-，得134a =，【变式2-2】设函数2,1(),1x a x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()()29f f -=，则实数a 的值为___________. 【答案】5【解析】()22f -=，()()()2249f f f a -==+=，解得：5a =.【变式2-3】（多选）已知()12,0,ln ,0,x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若()()1f f a =，则实数a 的值可以为（ ）A ．1e 2- B ．12 C ．1 D ．e e 【答案】ACD【解析】因为()12,0,ln ,0,x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，()()1f f a =，所以当0a ≤时，()12>0f a a =-，所以()()()()12ln 121f f a f a a =-=-=， 所以12e a -=，解得1e 02a -=<，所以1e2a -=满足； 当01a <≤时，()ln 0f a a =≤，所以()()()ln 12ln 1f f a f a a ==-=， 所以ln 0a =，解得1a =，满足题意；当>1a 时，()ln >0f a a =，所以()()()()ln ln ln 1f f a f a a ===， 所以ln e a =，解得e e a =，满足题意； 故选：ACD.题型三 根据分段函数的单调性求参数【例3】若函数()()22212311x ax x f x a x x ⎧--+>⎪=⎨-+≤⎪⎩，，是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．213⎛⎤⎥⎝⎦，B ．215⎡⎫-⎪⎢⎣⎭， C ．23⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， D ．223⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【答案】D【解析】由题意得，1a -≤ 解得1a ≥-；230-<a ，解得23a >；当1x =时122231--+≤-+a a ，解得2a ≤. 综上得实数a 的取值范围为223a <≤.故选：D.【变式3-1】已知函数()()2,0112,0x x f x x x a x a x ⎧≤⎪=-⎨⎪--++>⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,0-B ．[]1,0-C ．()1,-+∞D ．[)1,-+∞ 【答案】B【解析】当0x ≤时，()1111x f x x x ==+--单调递减， ()f x 在R 上递减， 102a +∴-≤且()20010201a a ≥--+⨯+-， 解得10a -≤≤，故选：B .【变式3-2】已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围为（ ）A ．(),2-∞-B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．(],2-∞ D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】对任意的()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，()f x ∴在R 上单调递减，()22011222a a -<⎧⎪∴⎨⎛⎫-≥- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：138a ≤，即实数a 的取值范围为13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：B.【变式3-3】已知(6)4,1()log ,1a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在区间-∞+∞（，）上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,6)B ．6[,6)5C ．6[1,]5D ．(1,)+∞ 【答案】B【解析】()f x 在-∞+∞（，）上为单调递增函数；601(6)14log 1a a a a a ->⎧⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩，解得665a ≤<；∴实数a 的取值范围为6[,6)5．故选：B ．【变式3-4】若2210()(1)(1)20axax x f x a a x ⎧+≥=≠⎨-⋅<⎩，在定义域(,)-∞+∞上是单调函数，则a 的取值范围_______. 【答案】((,21,2⎤-∞⎦.【解析】()f x 在定义域(,)-∞+∞上是单调函数，①函数的单调性是增函数时，可得当0x =时，()20121a -⋅≤即，211a -≤解之得22a -≤0x ≥时，21y ax =+是增函数，0a ∴>0x <时 2(1)2ax a -⋅是增函数，210a ∴->，得1a <-或1a >，综上实数a 的取值范围是12a <≤②函数的单调性是减函数时，可得当0x =时， ()20121a -⋅≥即211a -≥，解之得2a ≤2a ≥0x ≥时，21y ax =+是减函数，0a ∴<又0x <时， 2(1)2axa -⋅减函数，210a ∴->，得1a <-或1a >综上：实数a 的取值范围是2a ≤- 综上所述：a 的取值范围为((,21,2⎤-∞-⎦。
☆经典分段函数专题
经典分段函数专题高考真题类型一：与周期有关 类型二：与单调性有关 类型三：奇偶性有关类型四：与零点和交点问题有关 类型五;与求导和函数性质有关 类型六：数形结合高考真题201011、已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是_____。
【解析】考查分段函数的单调性。
2212(1)10x x x x ⎧->⎪⇒∈-⎨->⎪⎩201111、（分类方程求解）已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________解析：30,2212,2a a a a a a >-+=---=-，30,1222,4a a a a a a <-+-=++=-2012 10．（方程组求解）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ▲ ． 【解析】因为2T =，所以(1)(1)f f -=，求得20a b +=. 由13()()22f f =，2T =得11()()22f f =-，解得322a b +=-.联立20322a b a b +=⎧⎨+=-⎩，解得24a b =⎧⎨=-⎩所以310a b +=-.201311．（分区间二次不等式求解）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为 ．【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)【解析】做出x x x f 4)(2-= (0>x )的图像，如下图所示。
2025新高考函数压轴小题专题突破——专题9 分段函数零点问题(解析版)
专题9分段函数零点问题1．已知函数3,21(),20x x a x x f x a e x x ⎧---⎪⎪+=⎨⎪--<<⎪⎩ 恰有3个零点，则实数a 的取值范围为()A ．11(,)3e --B ．211(,e e--C ．221[,)3e--D ．21[,)33--2．已知函数21(),12()54,12xx f x x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-+->⎪⎩ ，若函数()y f x a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是()A ．1(0,2B ．1(2，3)2C ．1(2，52D ．3(2，5)23．已知函数21(),12()54,12xx f x x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-+->⎪⎩ ，若函数3()2g x x a =-，其中a R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是()A ．15(0,)16B ．15(16，1)C ．16(1,15D ．5(1,)44．已知函数11,2()2,2x x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩ ，方程()0f x ax -=恰有3个不同实根，则实数a 的取值范围是()A ．21(,)2ln e B ．1(0,)2C ．1(0,e D ．11(,)2e 5．已知函数3(1),0()(1),0xx x f x x e x ⎧-=⎨-+<⎩ ，若函数()()g x f x a =-有3个零点，则实数a 的取值范围是()A ．21(0,e B ．21(1,e -C ．2(e -，1)-D ．(,1)-∞-6．已知函数22(0)()2(0)x m x f x x mx x ⎧->=⎨--⎩ ，若函数()()g x f x m =-恰有3个零点，则实数m 的取值范围是()A ．1(,2-∞B ．(,1)-∞C ．1(2，1)D ．(1,)+∞7．已知函数(1),01()1,40x ln x x e f x e x +<-⎧=⎨--⎩ ，若函数1()|()|||g x f x x a e =--恰有3个零点，则a 的取值范围是()2025新高考函数压轴小题专题突破——专题9 分段函数零点问题（解析版）A ．[1-，2)e -B ．[1-，0)(0⋃，2)e -C ．3[4e e --，0)D ．[1-，0)(0⋃，34)e e +-8．已知函数22,0(),0x x x xf x x x e⎧-⎪=⎨>⎪⎩ ，若关于x 的方程()10f x a -+=恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围为()A ．2(1,1)2e e+B ．1(1,1)e+C ．1(0,1)2e +D ．1(,1)e9．已知函数[],0()([]1,0x x f x x x x⎧⎪=⎨<⎪⎩ 表示不超过x 的最大整数），若()0f x ax -=有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是()A ．12(,]23B ．12[,)23C ．23[,)34D ．23(,]3410．已知函数221,20(),0x x x x f x e x ⎧--+-<=⎨⎩ ，若函数()()2g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为()A ．31[,]4e -B ．31(,[,)4e -∞-+∞ C ．211[,4e-D ．21(,[,)4e -∞-+∞ 11．已知函数11,1()3,1x x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩ ，若方程()0f x ax -=恰有两个不同的根，则实数a 的取值范围是()A ．1(0,3B ．1[3，1)eC ．1(e ，43D ．(-∞，40][3，)+∞12．已知函数221,(20)()3,(0)ax x x f x ax x ⎧++-<=⎨->⎩ 有3个零点，则实数a 的取值范围是()A ．3(4，1)B ．1(4，1)C ．(0,1)D ．(,1)-∞13．已知函数,0,(),0,x e x f x lnx x ⎧=⎨>⎩若1()()3F x f x x a =+-的两个零点分别在区间(1,0)-和(1,)e 内，则实数a 的取值范围为()A ．11(,133e e -+B ．(1,1)3e+C ．111(,33e -D ．1(,1)314．已知函数221,20(),0x x x x f x e x ⎧--+-<=⎨⎩ ，若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为()A ．21[,]3e -B ．21(,[,)3e -∞-+∞ C ．11[,3e-D ．1(,][,)3e -∞-+∞ 15．已知函数11,0()3||,0x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩ 若函数()0f x ax -=恰有3个零点，则实数a 的取值范围为．16．设函数1()1,0()2(2),0xx f x f x x ⎧-⎪=⎨⎪->⎩ ，()log (1)(1)a g x x a =->．①(2019)f 的值为；②若函数()()()h x f x g x =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是．17．已知函数121,0()1||,0x x f x lg x x+⎧-⎪=⎨>⎪⎩ ，若函数()()g x f x a =-有3个零点，则实数a 的取值范围为．18．已知函数22|2|,0()1,03x x ax a x f x e ex a x x⎧++⎪=⎨-+>⎪⎩ ，若存在实数k ，使得函数()y f x =-k 有6个零点，则实数a 的取值范围为．19．已知函数2|43|,0()2|1|,0x x x f x x x ⎧++=⎨->⎩，若函数()y f x a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是．20．已知函数()f x 满足：当1[3x ∈，1]时，1()2()f x f x =；当[1x ∈，3]时，()f x lnx =．若在区间1[3，3]内，函数()()(0)g x f x ax a =->恰有三个零点，则实数a 的取值范围为．专题9分段函数零点问题1．已知函数3,21(),20x x a x x f x a e x x ⎧---⎪⎪+=⎨⎪--<<⎪⎩ 恰有3个零点，则实数a 的取值范围为()A ．11(,3e --B ．211(,)e e--C ．221[,)3e--D ．21[,)33--【解析】解：函数3,21(),20x x a x x f x a e x x ⎧---⎪⎪+=⎨⎪--<<⎪⎩，可得2x - 时，31x a x =-+，函数1xy x =+的图象如图：方程至多一个解，此时满足132a <- ，可得2[3a ∈-，1)3-．当(2,0)x ∈-时，x ae x=，即x a xe =，x y xe =，可得(1)x y e x '=+，令(1)0x e x +=，可得1x =-，(2,1)x ∈--时，0y '<，函数是减函数，(1,0)x ∈-时，函数是增函数，函数的最小值为：1e -，2x =-时，22y e =-，方程有两个解，可得212(,a e e∈--，综上，函数3,21(),20x xa x x f x a e x x ⎧---⎪⎪+=⎨⎪--<<⎪⎩ 恰有3个零点，满足11(,)3a e ∈--，故选：A ．2．已知函数21(),12()54,12xx f x x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-+->⎪⎩ ，若函数()y f x a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是()A ．1(0,)2B ．1(2，3)2C ．1(2，52D ．3(2，52【解析】解：由题意可得函数21(,12()54,12xx f x x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-+->⎪⎩ 的图象和直线y a =有3个交点，如图所示：故应有1322a <<，故选：B．3．已知函数21(),12()54,12xx f x x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-+->⎪⎩ ，若函数3()2g x x a =-，其中a R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是()A ．15(0,)16B ．15(16，1)C ．16(1,15D ．5(1,)4【解析】解：由()()0y f x g x =-=得()()f x g x =，作出两个函数()f x 和()g x 的图象，则1(1,)2A ，当()g x 经过点A 时，()f x 与()g x 有2个交点，此时g （1）3122a =-=，此时1a =，当()g x 与()f x 在1x >相切时，此时()f x 与()g x 有2个交点由253422x x x a -+-=-，即255022x x a -+-=，由判别式△0=得255(4()022a --=，得1516a =，要使()f x 与()g x 有3个交点，则()g x 位于这两条线之间，则a 满足15(16a ∈，1)，故选：B．4．已知函数11,2()2,2x x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩ ，方程()0f x ax -=恰有3个不同实根，则实数a 的取值范围是()A ．21(,2ln e B ．1(0,)2C ．1(0,)e D ．11(,)2e 【解析】解：作函数11,2()2,2x x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩ 与y ax =的图象如下，，直线l 是y lnx =的切线，设切点为(,)x lnx ，故1()lnx lnx x x='=，故x e =，故1l k e=；直线m 过点(2,2)ln ，故22m ln k =；结合图象可知，实数a 的取值范围是2(2ln ，1e，故选：A ．5．已知函数3(1),0()(1),0xx x f x x e x ⎧-=⎨-+<⎩ ，若函数()()g x f x a =-有3个零点，则实数a 的取值范围是()A ．21(0,)e B ．21(1,)e -C ．2(e -，1)-D ．(,1)-∞-【解析】解：3(1),0()(1),0xx x f x x e x ⎧-=⎨-+<⎩，∴函数()()g x f x a =-有3个零点⇔方程()f x a =有3个根()y f x ⇔=与y a =有三个交点，由23(1),0()(2),0xx x f x x e x ⎧-'=⎨-+<⎩ 得：当2x =-时，函数()f x 取得极大值21e；lim ()x f x →+∞=+∞，lim ()0x f x →-∞=在同一坐标系中作出两函数的图象如下：由图可知，当210a e <<时，()y f x =与y a =有三个交点，即函数()()g x f x a =-有3个零点．故选：A．6．已知函数22(0)()2(0)x m x f x x mx x ⎧->=⎨--⎩ ，若函数()()g x f x m =-恰有3个零点，则实数m 的取值范围是()A ．1(,)2-∞B ．(,1)-∞C ．1(2，1)D ．(1,)+∞【解析】解：二次函数22y x mx =--最多只能有两个零点，要使函数()()g x f x m =-恰有3个零点，所以2x y m =-在区间(0,)+∞必须有一个零点，所以1m >，当1m >时，二次函数22y x mx =--与横轴的负半轴交点有两个(0,0)和(2,0)m -，故原函数有3个零点，综上，实数m 的取值范围是：(1,)+∞故选：D ．7．已知函数(1),01()1,40x ln x x e f x e x +<-⎧=⎨--⎩ ，若函数1()|()|||g x f x x a e =--恰有3个零点，则a 的取值范围是()A ．[1-，2)e -B ．[1-，0)(0⋃，2)e -C ．3[4e e --，0)D ．[1-，0)(0⋃，34)e e +-【解析】解：令()0g x =可得1|()|||f x x a e =-，∴函数|()|y f x =与1||y x a e=-的图象有三个交点．作出函数(1),01|()|1,40xln x x e y f x e x +<-⎧==⎨--⎩的图象如图所示：设直线1()y x a e =-与曲线|()|f x 在(0，1]e -上的图象相切，切点0(x ，0)y ，则00000111(1)1()x e y ln x y x a e ⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得01x e =-，1a =-，设直线1()y x a e =--与曲线|()|f x 在(4,0)-上相切，切点为1(x ，1)y ，则0000111()x x e e e y x a y e⎧-=-⎪⎪-=⎨⎪⎪--=⎩，解得01x =-，2a e =-．∴当1a <-或2a e - 时，函数|()|y f x =与1||y x a e=-的图象最多只有2个交点，不符合题意；排除C ，D ；当0a =时，函数|()|y f x =与1||y x a e=-的图象只有2个交点，不符合题意；排除A ；故选：B ．8．已知函数22,0()0x x x x f x x x e⎧-=>⎩ ，若关于x 的方程()10f x a -+=恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围为()A ．21)2e e+B ．1(1,1)e+C ．1(0,1)2e +D ．1(,1)e【解析】解：当0x >时，()xxf x =12()x xx f x -'=，令()0f x '=，得12x =，1(0,2x ∈时，()0f x '>，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<()f x ∴在1(0,)2递增，在1(2，)+∞递减，所以函数()f x 的图形如下：根据图象可得：方程()10f x a -+=恰有3个不同的实数根时，101()2a f <-<12()22e f e =，实数a 的取值范围为2(1,12e e+．故选：A．9．已知函数[],0()([]1,0x x f x x x x⎧⎪=⎨<⎪⎩ 表示不超过x 的最大整数），若()0f x ax -=有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是()A ．12(,]23B ．12[,)23C ．23[,34D ．23(,]34【解析】解：当01x < 时，[]0x =，当12x < 时，[]1x =，当23x < 时，[]2x =，当34x < 时，[]3x =，若()0f x ax -=有且仅有3个零点，则等价为()f x ax =有且仅有3个根，即()f x 与()g x ax =有三个不同的交点，作出函数()f x 和()g x 的图象如图，当1a =时，()g x x =与()f x 有无数多个交点，当直线()g x 经过点(2,1)A 时，即g （2）21a ==，12a =时，()f x 与()g x 有两个交点，当直线()g x 经过点(3,2)B 时，即g （3）32a ==，23a =时，()f x 与()g x 有三个交点，要使()f x 与()g x ax =有三个不同的交点，则直线()g x 处在过12y x =和23y x =之间，即1223a < ，故选：A．10．已知函数221,20(),0x x x x f x e x ⎧--+-<=⎨⎩ ，若函数()()2g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为()A ．31[,]4e -B ．31(,][,)4e -∞-+∞ C ．211[,]4e -D ．21(,][,)4e -∞-+∞ 【解析】解：函数()()2g xf x ax a =-+存在零点，即方程()2f x ax a =-存在实数根，即函数()y f x =与(2)y a x =-的图象有交点，如图所示：直线(2)y a x =-恒过定点(2,0)，过点(2,1)-和点(2,0)的直线的斜率101224k -==---，设直线(2)y a x =-与x y e =相切于点0(x ，0)x e ，则切点处的导数值为0x e ，则过切点的直线方程为：000()x x y e e x x -=-，又切线过点(2,0)，则000(2)x x e e x -=-，03x ∴=，此时切线的斜率为：3e ，由图可知，要使函数()()2g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为：14a -或3a e ，故选：B ．11．已知函数11,1()3,1x x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩ ，若方程()0f x ax -=恰有两个不同的根，则实数a 的取值范围是()A ．1(0,3B ．1[3，1eC ．1(e ，4]3D ．(-∞，40][3，)+∞【解析】解： 方程()0f x ax -=恰有两个不同实数根，()y f x ∴=与y ax =有2个交点，又a 表示直线y ax =的斜率，1x ∴>时，1y x'=，设切点为0(x ，0)y ，01k x =，∴切线方程为0001()y y x x x -=-，而切线过原点，01y ∴=，0x e =，1k e=，∴直线1l 的斜率为1e ，又 直线2l 与113y x =+平行，∴直线2l 的斜率为13，∴实数a 的取值范围是1[3，1)e故选：B ．12．已知函数221,(20)()3,(0)ax x x f x ax x ⎧++-<=⎨->⎩ 有3个零点，则实数a 的取值范围是()A ．3(4，1)B ．1(4，1)C ．(0,1)D ．(,1)-∞【解析】解：()f x 由3个零点，()f x ∴在(2-，0]上有2个零点，在(0,)+∞上有1个零点．∴441012044040a aa a a -+>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨-⎪<⎪⎪>⎩，解得314a <<．故选：A ．13．已知函数,0,(),0,x e x f x lnx x ⎧=⎨>⎩ 若1()()3F x f x x a =+-的两个零点分别在区间(1,0)-和(1,)e 内，则实数a 的取值范围为()A ．11(,1)33e e -+B ．(1,1)3e+C ．111(,)33e -D ．1(,1)3【解析】解： 1()()3F x f x x a =+-的两个零点分别在区间(1,0)-和(1,)e ，∴(1)(0)0(1)()0F F F F e -<⎧⎨<⎩ ，∴11()(1)0311()(1)033a a e a e a ⎧---<⎪⎪⎨⎪-+-<⎪⎩∴111311133a e a e ⎧-<<⎪⎪⎨⎪<<+⎪⎩∴113a <<故选：D ．14．已知函数221,20(),0x x x x f x e x ⎧--+-<=⎨⎩ ，若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为()A ．21[,]3e -B ．21(,][,)3e -∞-+∞ C ．11[,]3e-D ．1(,][,)3e -∞-+∞ 【解析】解：根据题意，函数()()g xf x ax a =-+存在零点，即方程()0f x ax a -+=存在实数根，也就是函数()y f x =与(1)y a x =-的图象有交点．函数221,20(),0x x x x f x e x ⎧--+-<=⎨⎩的图象如图，而直线(1)y a x =-恒过定点(1,0)，过点(2,1)-与(1,0)的直线的斜率101213k -==---，设直线(1)y a x =-与x y e =相切于(,)m m e ，则切点处的导数值为m e ，则过切点的直线方程为()m m y e e x m -=-，由切线过(1,0)，则(1)m m e e m -=-，即2m me em =，解可得2m =，此时切线的斜率为2e ，由图可知，要使函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为21(,)[3e -∞- ，)+∞故选：B．15．已知函数11,0()3||,0x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩ 若函数()0f x ax -=恰有3个零点，则实数a 的取值范围为1[3，1e．【解析】解：画出函数()f x 的图象，如图所示：，若函数()0f x ax -=恰有3个零点，则()f x ax =恰有3个交点，当13a =时，13y x =和()y f x =有3个交点，（如红色直线），直线y ax =和()f x 相切时，（如绿色直线），设切点是(,)m lnm ，由1()lnx x'=，故1a m =，故1lnm =，解得：1m =，故1a e=，故直线1y x e =和()f x 相切时，2个交点，综上，1[3a ∈，1)e ，故答案为：1[3，1e．16．设函数1()1,0()2(2),0xx f x f x x ⎧-⎪=⎨⎪->⎩ ，()log (1)(1)a g x x a =->．①(2019)f 的值为1；②若函数()()()h x f x g x =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是．【解析】解：①11(2019)(2017)(1)()112f f f -==⋯⋯=-=-=；②当02x < 时，220x -<- ，所以21()(2)()12x f x f x -=-=-；当24x < 时，022x <- ，所以41()(2)(12x f x f x -=-=-；当46x < 时，224x <- ，所以61()(2)()12x f x f x -=-=-；当68x < 是，46x < ，所以81()(2)(12x f x f x -=-=-；画出()f x 和()g x 两个函数图象如下图所示，由log (41)3a -=，得a =log (61)3a -=，得a =，由图可知，当两个函数的图象有3个交点时，也即函数()()()h x f x g x =-恰有3个零点时，实数a 的取值范围是．故答案为：1，．17．已知函数121,0()1||,0x x f x lg x x +⎧-⎪=⎨>⎪⎩ ，若函数()()g x f x a =-有3个零点，则实数a 的取值范围为{|01}a a < ．【解析】解：作出()f x的函数图象如图所示：()()g x f x a =-有3个零点等价于函数()f x 与y a =图象有3个交点，由图象可知当10a -<<时，()f x 与y a =图象只有1交点，当01a < 时，()f x 与y a =图象有3个交点；当1a >或0a =时，()f x 与y a =有2个零点；综上，(0a ∈，1]，故答案为：{|01}a a < ．18．已知函数22|2|,0()1,03x x ax a x f x e ex a x x⎧++⎪=⎨-+>⎪⎩ ，若存在实数k ，使得函数()y f x =-k 有6个零点，则实数a 的取值范围为3(,3)2．【解析】解：由题得函数()y f x =的图象和直线y =k 有六个交点，显然有0a >，20a a -<，当0x >时，2(1)()(0)x e x f x x x -'=>，∴函数()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，且21(1)03f a =>，由题得221(,||),(0,),(1,)3A a a a B a C a --，A ，B ，C 三点的高度应满足A B c h h h > 或B A C h h h > ，所以21|1|3a a a a -> 或21|1|3a a a a -> ，0a > ，20a a -<，23a ∴< 或322a < ，综合得332a <<．故答案为：3(,3)2．19．已知函数2|43|,0()2|1|,0x x x f x x x ⎧++=⎨->⎩，若函数()y f x a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是a =或23a ．【解析】解：函数2|43|,0()2|1|,0x x x f x x x ⎧++=⎨->⎩的图象如下图，()y f x a =-的零点即为函数()y f x =图象与函数y a =的交点个数，结合图象可知，函数()y f x a =-恰有3个零点，则0a =或23a ．故答案为：0a =或23a ．20．已知函数()f x 满足：当1[3x ∈，1]时，1()2()f x f x =；当[1x ∈，3]时，()f x lnx =．若在区间1[3，3]内，函数()()(0)g x f x ax a =->恰有三个零点，则实数a 的取值范围为3[3ln ，1)e．【解析】解：设1[3x ∈，1]，则1[1x∈，3]又因为：函数()f x 满足1()2()f x f x =，当[1x ∈，3]时，()f x lnx =，所以11()2()2f x f ln x x ==，1[3x ∈，1]所以112,[,1]()3,(1,3]ln x f x x lnx x ⎧∈⎪=⎨⎪∈⎩，()()(0)g x f x ax a =->恰有三个零点，即在1[3，3]内()f x 的图象与y ax =有三个交点，如图所示：当直线y ax =介于直线1l （过原点和(3,3)ln 的直线）和直线2l （当[1x ∈，3]时y lnx =的过原点的切线）易知133l ln k =，设y lnx =过原点的切线切点为(,)a lna ，则1y x '=，所以切线斜率为1a ，所以切线为1()y lna x a a-=-，又因为过原点，所以1lna =，所以[1a e =∈，3]故21l k e=，故实数a 的范围是31[,)3ln e故答案为：31[,)3ln e专题10函数对称问题1．已知函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩ 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是()A ．1(,1)2B ．13(,)24C ．1(,1)3D ．1(,2)22．已知函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩ 图象上有且仅有四个不同的点关于直线y e =的对称点在函数()21g x kx e =++的图象上，则实数k 的取值范围为()A ．(1,2)B ．(1,0)-C ．(2,1)--D ．(6,1)--3．已知函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩ 图象上有且仅有四个不同的点关于直线y e =的对称点在函数()21g x kx e =++的图象上，则实数k 的取值范围为()A ．(1,2)B ．(1,0)-C ．(2,1)--D ．(6,1)--4．已知函数22,0()3,0x xlnx x f x x x x ->⎧=⎨--⎩ 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在1y kx =+的图象上，则实数k 的取值范围是()A ．1(,1)2B ．(1,1)-C ．11(,)32-D ．11(,22-5．已知函数22,0()2,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是()A ．1(,1)2B ．(0,1)C ．1(,0)2-D ．(1,0)-6．已知函数21(),0()24,0xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪--⎩ 则此函数图象上关于原点对称的点有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对7．若直角坐标平面内的两个不同的点M 、N 满足条件：①M 、N 都在函数()y f x =的图象上；②M 、N 关于原点对称．则称点对[M ，]N 为函数()y f x =一对“友好点对”（注：点对[M ，]N 与[N ，]M 为同一“友好点对”)．已知函数42(0)()6(0)log x x f x x x x >⎧=⎨--⎩，此函数的友好点对有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对8．若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足：①P ，Q 都在函数()f x 的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对(,)P Q 是函数()y f x =的一对“友好点对”．（注：点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一对“友好点对”)．已知函数22log ,0()4,0x x f x x x x >⎧=⎨--⎩，则该函数的“友好点对”有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对9．若函数()y f x =图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，]B 是函数()y f x =的一对“黄金点对”（注：点对[A ，]B 与[B ，]A 可看作同一对“黄金点对”)．已知函数222,0()4,041232,4x x f x x x x x x x ⎧<⎪=-+⎨⎪-+>⎩，则此函数的“黄金点对“有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对10．函数3log ,0()cos ,0x x f x x x π>⎧=⎨<⎩的图象上关于y 轴对称的点共有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对11．已知函数21()2()f x lnx x e e= ，()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图象上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是()A ．2[,2]e e-B ．2[3e --，3]e C ．2[e --，3]e D ．32[2,3]e e --12．已知函数21()(f x x ax x e e=- ，e 为自然对数的底数）与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 取值范围是()A ．[1，1]e e+B ．[1，1]e e-C ．1[e e -，1e e+D ．1[e e-，]e 13．已知函数()1f x kx =+，()1(11)xg x e x =+- ，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ，N ，使得点M ，N 关于直线1y =对称，则实数k 的取值范围是()A ．1[,)e +∞B ．1[,)e e-C ．[e -，)+∞D ．1(,][,)e e-∞-+∞ 14．已知函数2()f x x m =+与函数11()3([,2])2g x ln x x x =--∈的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是()A ．5[2,2]4ln +B ．5[22,2]4ln ln -+C ．5[2,22]4ln ln ++D ．[22ln -，2]15．已知函数41()(0)2x f x x e x =+-<与4()()g x x ln x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是()A．(-∞B．(-∞C．(D．(16．已知函数22,0()5,04xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩ 的图象上有且仅有两个不同的点关于直线2y =-的对称点在30kx y --=的图象上，则实数k 的取值范围是．17．已知函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩ 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是．18．已知函数21()(f x x ax x e e=- ，e 为自然对数的底数）与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 的取值范围是．19．已知函数31()36f x x mx =-+，()54g x x lnx =-+，若函数()f x 的导函数()f x '与()([1g x x ∈，9])的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的最大值为．20．已知函数5()22x f x =-，0x <与4()log ()g x x a =-的图象上存在关于点(1,1)对称的点，则实数a 的取值范围是专题10函数对称问题1．已知函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩ 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是()A ．1(,1)2B ．13(,)24C ．1(,1)3D ．1(,2)2【解析】解： 函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩ 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，而函数1y kx =-关于直线1y =-的对称图象为1y kx =--，22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪∴=⎨+⎪⎩ 的图象与1y kx =--的图象有且只有四个不同的交点，作函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩ 的图象与1y kx =--的图象如下，易知直线1y kx =--恒过点(0,1)A -，设直线AC 与2y xlnx x =-相切于点(,2)C x xlnx x -，1y lnx '=-，故211xlnx x lnx x-+-=，解得，1x =；故1AC k =-；设直线AB 与232y x x =+相切于点23(,)2B x x x +，322y x '=+，故2313222x x x x+++=，解得，1x =-；故31222AB k =-+=-；故112k -<-<-，故112k <<；故选：A．2．已知函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩ 图象上有且仅有四个不同的点关于直线y e =的对称点在函数()21g x kx e =++的图象上，则实数k 的取值范围为()A ．(1,2)B ．(1,0)-C ．(2,1)--D ．(6,1)--【解析】解： 函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩图象上有且仅有四个不同的点关于直线y e =的对称点在函数()21g x kx e =++的图象上，而函数()21g x kx e =++关于直线y e =的对称图象为1y kx =--，∴函数24,0(),0x x x ff x xlnx x ⎧+=⎨>⎩ 图象与1y kx =--的图象有且只有四个不同的交点，作函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩ 图象与1y kx =--的图象如下，，易知直线1y kx =--恒过点(0,1)A -，设直线AC 与y xlnx =相切于点(,)C x xlnx ，1y lnx '=+，故11xlnx lnx x++=，解得，1x =；故1AC k =；设直线AB 与y xlnx =相切于点2(,4)C x x x +，24y x '=+，故24124x x x x+++=，解得，1x =-；故242AC k =-+=；故12k <-<，故21k -<<-；故选：C ．3．已知函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩ 图象上有且仅有四个不同的点关于直线y e =的对称点在函数()21g x kx e =++的图象上，则实数k 的取值范围为()A ．(1,2)B ．(1,0)-C ．(2,1)--D ．(6,1)--【解析】解： 函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩图象上有且仅有四个不同的点关于直线y e =的对称点在函数()21g x kx e =++的图象上，而函数()21g x kx e =++关于直线y e =的对称图象为1y kx =--，∴函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩ 图象与1y kx =--的图象有且只有四个不同的交点，作函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩ 图象与1y kx =--的图象如下，易知直线1y kx =--恒过点(0,1)A -，设直线AC 与y xlnx =相切于点(,)C x xlnx ，1y lnx '=+，故11xlnx lnx x++=，解得，1x =；故1AC k =；设直线AB 与24y x x =+相切于点2(,4)B x x x +，24y x '=+，故24124x x x x+++=，解得，1x =-；故242AC k =-+=；故12k <-<，故21k -<<-；故选：C ．4．已知函数22,0()3,0x xlnx x f x x x x ->⎧=⎨--⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在1y kx =+的图象上，则实数k 的取值范围是()A ．1(,1)2B ．(1,1)-C ．11(,)32-D ．11(,22-【解析】解：直线1y kx =+关于直线1y =的对称直线为1y kx =-+，则直线1y kx =-+与()y f x =的函数图象有4个交点，当0x >时，()1f x lnx '=-，∴当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<，()f x ∴在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，作出()y f x =与直线1kx y -+=的函数图象，如图所示：设直线1y kx =-+与2y x xlnx =-相切，切点为1(x ，1)y ，则11111121lnx k x x lnx kx -=-⎧⎨-=-+⎩，解得：11x =，1k =-，设直线1y kx =-+与23(0)y x x x =--<相切，切点为2(x ，2)y ，则222222331x k x x kx --=-⎧⎨--=-+⎩，解得21x =-，1k =．直线1y kx =-+与()y f x =有4个交点，∴直线1y kx =+与()y f x =在(,0)-∞和(0,)+∞上各有2个交点，11k ∴-<<．故选：B ．5．已知函数22,0()2,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是()A ．1(,1)2B ．(0,1)C ．1(,0)2-D ．(1,0)-【解析】解： 已知函数22,0()2,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩ 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，而函数1y kx =-关于直线1y =-的对称图象为1y kx =--，∴已知函数22,0()2,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象与1y kx =--的图象有且只有四个不同的交点，作函数()f x 的图象与1y kx =--的图象如下，易知直线1y kx =--恒过点(0,1)A -，设直线AC 与2y xlnx x =-相切于点(,2)C x xlnx x -，1y lnx '=-，故211xlnx x lnx x-+-=，解得，1x =；故1AC k =-；设直线AB 与22y x ax =+相切于点2(,2)B x x x +，22y x '=+，故22122x x x x+++=，解得，1x =-；故220AB k =-+=，故10k -<-<，故01k <<，故选：B ．6．已知函数21(),0()24,0xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪--⎩ 则此函数图象上关于原点对称的点有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【解析】解：作出函数()y f x =图象如图所示：再作出()y f x -=-，即24y x x =-，恰好与函数图象位于y 轴左侧部分（对数函数的图象）关于原点对称，记为曲线C ，发现1(2x y =与曲线C 有且仅有一个交点，因此满足条件的对称点只有一对，图中的A 、B 就是符合题意的点．故选：B ．7．若直角坐标平面内的两个不同的点M 、N 满足条件：①M 、N 都在函数()y f x =的图象上；②M 、N 关于原点对称．则称点对[M ，]N 为函数()y f x =一对“友好点对”（注：点对[M ，]N 与[N ，]M 为同一“友好点对”)．已知函数42(0)()6(0)log x x f x x x x >⎧=⎨--⎩，此函数的友好点对有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【解析】解：令(M s ，)(0)t s >，(,)N s t --， 函数42(0)()6(0)log x x f x x x x >⎧=⎨--⎩ ，4log t s ∴=，26t s t -=-+，24log 6s s s∴=-画出4log y x =，26(0)y x x x =->的图象，由图象可得有两个交点．故该函数的友好点对有2对．故选：C ．8．若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足：①P ，Q 都在函数()f x 的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对(,)P Q 是函数()y f x =的一对“友好点对”．（注：点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一对“友好点对”)．已知函数22log ,0()4,0x x f x x x x >⎧=⎨--⎩，则该函数的“友好点对”有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【解析】解：根据题意：当0x >时，0x -<，则22()()4()4f x x x x x -=----=-+，可知，若函数为奇函数，可有2()4f x x x =-，则函数24(0)y x x x =-- 的图象关于原点对称的函数是24y x x =-由题意知，作出函数24(0)y x x x =->的图象，看它与函数2()log (0)f x x x =>交点个数即可得到友好点对的个数．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即()f x 的“友好点对”有：2个．故选：C ．9．若函数()y f x =图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，]B 是函数()y f x =的一对“黄金点对”（注：点对[A ，]B 与[B ，]A 可看作同一对“黄金点对”)．已知函数222,0()4,041232,4x x f x x x x x x x ⎧<⎪=-+⎨⎪-+>⎩，则此函数的“黄金点对“有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【解析】解：由题意知函数()2x f x =，0x <关于y 轴对称的函数为12()2x x y -==，0x >，作出函数()f x 和1()2x y =，0x >的图象，由图象知当0x >时，()f x 和1()2x y =，0x >的图象有3个交点．所以函数()f x 的““黄金点对“有3对．故选：D ．10．函数3log ,0()cos ,0x x f x x x π>⎧=⎨<⎩的图象上关于y 轴对称的点共有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【解析】解：函数图象关于y 轴对称点，就是把cos y x π=的图象在0x >的部分画出，与3log xy =的交点的个数，如图中的红色交点，共有3对．故选D11．已知函数21()2()f x lnx x e e= ，()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图象上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是()A ．2[,2]e e-B ．2[3e --，3]e C ．2[e --，3]e D ．32[2,3]e e --【解析】解：设(,)a b 是函数()f x 上的点，则21a e e，2b lna =，则点(,)a b 关于1y =对应的点为(,2)a b -在()g x 上，即21b am -=+有解，即12lna am -=，当0m =时，不满足条件．当0m ≠时，12lnam a-=，设h （a ）12lnaa-=，则h '（a ）2222(12)121232a lna lna lnaa a a a -⨯--⨯--+-+===，当21a e e时，12lna - ，则，224lna - ，即由h '（a ）0>，得320lna -+>，得32lna >，即322e a e <<，时，函数为增函数，由h '（a ）0<，得320lna -+<，得32lna <，即321a e e <<时，函数为减函数，即当32a e =时，函数h （a ）取得极小值同时也是最小值3332223212()2lne h e ee--==-，又2222123()lne h e e e --==，1121()31ln e h e e e-==，∴函数h （a ）的最大值为3e ，即h （a ）的取值范围是32[2,3]e e --，则m 的取值范围是32[2,3]e e --，故选：D ．12．已知函数21()(f x x ax x e e=- ，e 为自然对数的底数）与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 取值范围是()A ．[1，1]e e+B ．[1，1]e e-C ．1[e e -，1e e+D ．1[e e-，]e 【解析】解：若函数21()(f x x ax x e e=- ，e 为自然对数的底数）与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则函数21()(f x x ax x e e=- ，e 为自然对数的底数）与函数()h x lnx =的图象有交点，即2x ax lnx -=，1()x e e有解，即lnx a x x =-，1()x e e 有解，令lnx y x x =-，1()x e e，则221x lnxy x-+'=，当11x e< 时，0y '<，函数为减函数，当1x e < 时，0y '>，函数为增函数，故1x =时，函数取最小值1，当1x e =时，函数取最大值1e e+，故实数a 取值范围是[1，1]e e+，故选：A ．13．已知函数()1f x kx =+，()1(11)x g x e x =+- ，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ，N ，使得点M ，N 关于直线1y =对称，则实数k 的取值范围是()A ．1[,)e+∞B ．1[,)e e-C ．[e -，)+∞D ．1(,][,)e e-∞-+∞ 【解析】解：由题意()f x ，()g x 图象上分别存在点M ，N ，使得点M ，N 关于直线1y =对称，则112x kx e +++=，即x e kx =-，所以指数函数x y e =与一次函数y kx =-在11x - 恒有交点，画出图形，①1x =-时，1k e =，即1k e=；②1x =时，k e =-，综上，解得(k ∈-∞，]e -⋃，1[e，)+∞故选：D ．14．已知函数2()f x x m =+与函数11()3([,2])2g x ln x x x =--∈的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是()A ．5[2,2]4ln +B ．5[22,2]4ln ln -+C ．5[2,22]4ln ln ++D ．[22ln -，2]【解析】解：由已知，得到方程22133x m ln x m lnx x x x +=+⇔=-+-在1[2，2]上有解．设2()3f x lnx x x =-+-，求导得：21231(21)(1)()32x x x x f x x x x x-+--'=-+-=-=-，122x ，令()0f x '=，解得12x =或1x =，当()0f x '>时，112x <<函数单调递增，当()0f x '<时，12x <<函数单调减，∴在1x =有唯一的极值点，15(224f ln =+ ，f （2）22ln =-+，()f x f =极大值（1）2=，且知f （2）1(2f <，故方程23m lnx x x =-+-在1[2，2]上有解等价于222ln m - ．从而m 的取值范围为[22ln -，2]．故选：D ．15．已知函数41()(0)2x f x x e x =+-<与4()()g x x ln x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是()A．(-∞B．(-∞C．(D．(【解析】解：()f x 与()g x 的图象上存在关于y 轴对称的点，等价为()()f x g x -=在0x >时，有解即可，则441()2x x e x ln x a -+-=++，即1()2x e ln x a --=+，在(0,)+∞上有解即可，设12x y e -=-，()()h x ln x a =+，作出两个函数的图象如图：当0x =时，1111222x y e -=-=-=，当0a ，将lnx 的图象向右平移，此时()ln x a +一定与12x y e -=-有交点，满足条件，当0a >时，则1(0)2h lna =<，得120a e <<=，综上a <即实数a的取值范围是(-∞故选：A．16．已知函数22,0()5,04xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩ 的图象上有且仅有两个不同的点关于直线2y =-的对称点在30kx y --=的图象上，则实数k 的取值范围是34k <或1k >．【解析】解：函数3y kx =-关于直线2y =-的对称图象为1y kx =--，所以条件等价于函数()f x 与1y kx =--有且仅有2个不同的交点，当0x >，()2f x xlnx x =-，则令()10f x lnx '=-=，解得x e =，且当0x e <<，()f x 单调递减，当x e >，()f x 单调递增，作出函数()f x 与1y kx =--图象如图：当1y kx =--是2y xlnx x =-切线时，设切点0(x ，0)y ，则01lnx k -=-，且0000012y kx x lnx x =--=-，解得切点坐标为(1,2)-，1k -=-，根据图象可知1k -<-，则1k >；当1y kx =--是254y x x =+切线时，设切点0(x ，0)y ，则0524x k +=-，且20000514y x x kx =+=--，解得切点坐标为1(1,)4--，34k -=-，根据图象可知34k ->-，则34k <，综上，34k <或1k >，故答案为：34k <或1k >．17．已知函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩ 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是1(2，1)．【解析】解： 函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩ 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，而函数1y kx =-关于直线1y =-的对称图象为1y kx =--，22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪∴=⎨+⎪⎩ 的图象与1y kx =--的图象有且只有四个不同的交点，作函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩ 的图象与1y kx =--的图象如下，易知直线1y kx =--恒过点(0,1)A -，设直线AC 与2y xlnx x =-相切于点(,2)C x xlnx x -，1y lnx '=-，故211xlnx x lnx x-+-=，解得，1x =，故1AC k =-；设直线AB 与232y x x =+相切于点23(,)2B x x x +，322y x '=+，故2313222x x x x+++=，解得，1x =-；故31222AB k =-+=-，故112k -<-<-，即112k <<；故答案为1(2，1)．18．已知函数21()(f x x ax x e e=- ，e 为自然对数的底数）与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 的取值范围是[1，1]e e+．【解析】解：若函数21()(f x x ax x e e=- ，e 为自然对数的底数）与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则函数21()(f x x ax x e e=- ，e 为自然对数的底数）与函数()h x lnx =的图象有交点，即2x ax lnx -=，1()x e e有解，即lnx a x x =-，1()x e e 有解，令lnx y x x =-，1()x e e，则221x lnxy x -+'=，当11x e< 时，0y '<，函数为减函数，当1x e < 时，0y '>，函数为增函数，故1x =时，函数取最小值1，由于当1x e =时，1y e e =+；当x e =时，1y e e=-；故当1x e =时，函数取最大值1e e+，故实数a 取值范围是[1，1]e e +，故答案为：[1，1]e e+．19．已知函数31()36f x x mx =-+，()54g x x lnx =-+，若函数()f x 的导函数()f x '与()([1g x x ∈，9])的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的最大值为9832ln -+．【解析】解：因为31()36f x x mx =-+，所以21()2f x x m '=-．由题意知方程21()()5402f xg x x m x lnx '+=--+=在[1x ∈，9]上有解，等价于21542m x x lnx =-+在[1x ∈，9]上有解，令21()54([1,9])2h x x x lnx x =-+∈，则2454(1)(4)()5x x x x h x x x x x -+--'=-+==，当14x <<时，()0h x '<，当49x <<时，()0h x '>．所以函数()h x 在[1，4)上单调递减，在(4，9]上单调递增，所以h （1）h >（4），。
分段函数专题
分段函数例1.已知函数2()21f x x ax =-+，求()f x 在[1,1]-上的最小值()g a解析：由于()f x 在(,)a -∞上单调递减，(,)a +∞上单调递增，故1a ≤时，()f x 最小值为(1)22f a -=+；11a -<<时，()f x 最小值为2()1f a a =-+；1a ≥时，()f x 最小值为(1)22f a =-+故()f x 最小值222(1)()1(11)22(1)a a g a a a a a +≤⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≥⎩1.定义：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。
（1）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；（2）分段函数的值域也是各段函数值域的并集2.去绝对值符号后变为分段函数：例2.把下列函数化成分段函数并作出图象：（1）2()4||3f x x x =-+；（2）2()|43|f x x x =-+；（3）()|2||1|f x x x =++-3.分段函数的单调性：例3.已知函数(0)()(3)4(0)x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩为R 上的减函数，则a 的取值范围为演变1.已知函数(31)4(1)()log (1)a a x a x f x xx -+<⎧=⎨≥⎩为R 上的减函数，则a 的取值范围为4.分段函数的奇偶性：例4.试判断函数2223(0)()23(0)x x x f x x x x ⎧-+-<⎪=⎨++>⎪⎩的奇偶性。
例5.已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()23f x x x =+-，求)(x f 在R 上的表达式。
演变1.已知()f x 是定义在[6,6]-上的奇函数，它在[0,3]上是一次函数，在[3,6]上是二次函数，且当[3,6]x ∈时，()(5)3f x f ≤=，(6)2f =，求()f x 的解析式。
高中数学数学干货｜经典分段函数专题
高中数学数学干货｜经典分段函数专题在高中数学中，分段函数是一个非常重要且常见的概念。
它由多个线性函数组成，每个函数在不同的区间上定义。
在本文中，我们将深入探讨分段函数的相关知识，并介绍一些经典的分段函数题目和解法。
1. 什么是分段函数？分段函数是由若干段不同的线性函数组成的函数。
它通常采用以下的形式表示：\[f(x) = \begin{cases}f_1(x), & x \in D_1\\f_2(x), & x \in D_2\\\cdots\\f_n(x), & x \in D_n\end{cases}\]其中，$f_i(x)$表示第$i$段线性函数，$D_i$表示第$i$段函数的定义域。
2. 分段函数的分类根据不同的特性和形式，分段函数可以分为以下几种类型：2.1 分段常值函数分段常值函数是由多个常值函数组成的函数。
在不同的区间内，函数的取值是不同的常数。
例如，考虑以下分段函数：\[f(x) = \begin{cases}1, & x < 0\\ 2, & x \geq 0\end{cases}\]在$x < 0$的区间内，函数的取值为1；在$x \geq 0$的区间内，函数的取值为2。
2.2 分段线性函数分段线性函数是由多个线性函数组成的函数。
在不同的区间内，函数的斜率和截距可能是不同的。
例如，考虑以下分段函数：\[f(x) = \begin{cases}2x, & x < 0\\ x^2, & x \geq 0\end{cases}\]在$x < 0$的区间内，函数的斜率为2；在$x \geq 0$的区间内，函数的斜率为$x$。
3. 经典分段函数题目与解法接下来，我们将介绍一些经典的分段函数题目，并给出相应的解法。
3.1 题目一已知函数$f(x)$满足以下条件：\[f(x) = \begin{cases}x+1, & x < 1\\ 2x, & x \geq 1\end{cases}\]求解方程$f(x) = 3$的解。
分段函数专题
A分段函数专题题型一、分段函数的图象1.作出函数()1y x x =+的图象2. 函数ln |1|xy ex =--的图象大致是 （ ）题型二、分段函数的奇偶性1、判断函数(1)(0),()(1)(0).x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩的奇偶性2、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当20,()2 3.x f x x x>=-+时求f(x)的解析式。
题型三、分段函数的值域、最值1、求函数)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧->-≤+)2(,2)2(,42x x x x x 的值域．2.求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值题型四、与分段函数有关的解不等式、解方程及求值问题1、已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________2、(2011年高考北京卷理科13)已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是_______ 3、(2011年高考陕西卷理科11)设20lg ,0()3,0a x x f x x t dt x >⎧=⎨+⎰≤⎩，若((1))1f f =，则a = 4.定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧>---≤-=,0),2()1(,0),1(log )(2x x f x f x x x f 则)2009(f 的值为（ ）A.-1B.0C.1D.2题型五、分段函数的单调性问题已知(3)4,1()log ,1aa x a x f x x x --⎧=⎨≥⎩＜，是（-∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）（A ）(1，+∞) （B ）(-∞,3) (C)[53，3) (D)(1,3)题型六、分段函数创新题1、定义运算⎩⎨⎧>≤=*)()(y x yy x x y x ，若,11-=*-m m m 则m 的取值范围是（ ）A.21≥m B. 1≥m C. 21<m D. 0>m 2、(2011年高考天津卷理科8)对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,,1.aab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x xx R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃--⎪⎝⎭C ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.题型七、分段函数应用题（2011年高考湖北卷理科17)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(Ⅰ)当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；(Ⅱ)当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x = 可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）总结：1、求解析式：利用分段中递推关系，如平移、周期、对称关系，已知其中一段的解析式，得到整个定义域的解析式；2、求值、解不等式方程：注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。
必修1-分段函数--专题与解析
必修1 分段函数-----专题与解析一．选择题（共16小题）1．（2011•浙江）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=（）A．﹣4或﹣2 B．﹣4或2 C．﹣2或4 D．﹣2或2考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法。
专题：计算题。
分析：分段函数分段处理，我们利用分类讨论的方法，分a≤0与a＞0两种情况，根据各段上函数的解析式，分别构造关于a的方程，解方程即可求出满足条件的a值．解答：解：当a≤0时若f（a）=4，则﹣a=4，解得a=﹣4当a＞0时若f（a）=4，则a2=4，解得a=2或a=﹣2（舍去）故实数a=﹣4或a=2故选B点评：本题考查的知识点是分段函数，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．2．（2010•宁夏）已知函数若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数的图像与性质。
专题：作图题；数形结合。
分析：画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．解答：解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选C．点评：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．3．若，则f（log23）=（）A．﹣23 B．11 C．19 D．24考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值；对数的运算性质。
分析： f（x）为分段函数，要求f（log23）的值，先判断log23的范围，代入x＜4时的解析式，得到f （log23+1），继续进行直到自变量大于4，代入x≥4时的解析式求解．解答：解：∵1＜log23＜2，4＜log23+3＜5∴f（log23）=f（log23+1）=f（log23+2）=f（log23+3）=故选D点评：本题考查分段函数求值、指数的运算法则、对数恒等式等难度一般．4．已知函数若，则实数a=（）A．B．C．D．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法。
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分段函数专题分段函数专题定义：一般地，如果有实数a 1，a 2，a 3……k 1,k,2k 3……b 1,b 2,b 3……且a 1≤a 2≤a 3……函数Y 与自变量X 之间存在 k 1x+b 1 x ≤a 1y = k 2x+b 2 a 1≤x ≤a 2K 3x+b 3 a 2≤x ≤a 3的函数解析式，则称该函数解析式为X 的分段函数。
类型一 分段计费问题（话费，电费，水费...）话费中的分段函数例1 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图象如图1所示：（１）月通话为100分钟时，应交话费 元；（２）当x 100时，求与之间的函数关系式； （3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？x y ≥y x水费中的分段函数例2 某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图2.(1)分别写出当0x15和x15时,y≤≤≥与x的函数关系式;(2) 若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?电费中分段函数例3 今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0x 100和x 100时，y 与x 的函数关系式；（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？工程类分段函数例1某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成．工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共支付工资8000元．（1）完成此房屋装修共需多少天？（2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？≤≤≥1、我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨元（b＞a）收费．设一户居民月用水吨，应收水费元，与之间的函数关系如图所示．（1）求的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？（2）求的值，并写出当时，与之间的函数关系式；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？2、从A地向B地打长途电话通话3分钟内收费2。
4元，3分钟后每增加通话时间1分钟加收1元，求通话费用y（单位：元）随通话时间x（单位：分，）变化的函数关系式，并画出函数的图象3、为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图5所示．（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖励小强家务劳动的？（2）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？二、行程中的分段函数（追击，相遇....）例1、某城市出租车收费标准如下，3千米以内（含3千米）收8元，超过3千米的部分每千米收费1.4元。
求出应收车费Y（元）与出租车行驶路程X千米之间的函数关系式。
一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．根据图象进行以下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为km；（2）请解释图中点的实际意义；图象理解（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；问题解决 （5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？2、小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y （千米）与所用的时间x （小时）之间关系的函数图象.根据图象回答：（1）小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？（2）求小明出发两个半小时离家多远？（3）求小明出发多长时间距家12千米？3、某边防部接到情报，近海处有一可疑船只A 正向公海方向行驶，边防部迅速派出快艇B 追赶。
在追赶过程中，设快艇B 相对于海岸的距离为 y 1 (海里)，可疑船只A 相对于海岸的距离为y 2 (海里)，追1357y (海里）10t （分钟）0Al l 赶时间为t(分钟)，图中 LA 、LB 分别表示 y 2 . y 1 与t 之间的关系。
（1）y 1 与t 之间的函数关系式为____________. y 2 与t 之间的函数关系式为___________（2）已知当A 逃到离海岸12海里时B 将无法对其进行检查，A 逃入公海前能否将其拦截？分段函数方案题例1：某旅游景点的门票一张110元，如果一次买10张以上，则可以打8折，用X 表示旅游团的人数，用y 表示购买门票的费。
（1）用公式（函数解析式）法表示购买门票的费用y 元与人数x 之间的函数关系。
（2）画出这个函数的图像。
（3）求出旅游团人数为9人、30人时门票费为多少？与几何图形有关的分段函数例1如图1，点A 的坐标为(1，0)，点B 在直线上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为A ．（0，0）B ．（，－）C ．）D ．（－，）例2如图2，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是（ ）A 、10B 、16C 、18D 、203、如图1，在矩形ABCD 中，点P 从B 点出发沿着四边按B →C →D →A 方向运动，开始以每秒m 个单位匀速运动，a 秒后变为每秒2个单位匀速运动，b 秒后又恢复为每秒m 个单位匀速运动．在运动过程中，△ABP 的面积S 与运动时间t 的函数关系如图2所示．y x =-1212221212图1图2（1）求矩形ABCD 的长和宽；（2）求m 、a 、b 的值1、在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，动点P 从点A 开始按A —B —C —D 的方向运动到D 。
如图3—1。
设动点P 所经过的路程为x ，△APD 的面积为y 。
（当点P 与A 或D 重合时，y=0）（1）写出y 与x 的函数关系式；（2）画出此函数的图象。
2、如图，直线的解析表达式为，且与轴交于点，直线经过点的直线，交于点．（1）求点的坐标；（2）求直线的解析表达式；（3）求的面积；（4）在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐标．1l 33y x =-+1l x D 2l A B ，1l 2l C D 2l ADC △2l C P ADP △ADC △P1.如图，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）。
（1）求的值；（2）若点P（，）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA 的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究：当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为278，并说明理由。
6y kx=+kx y2.如图，正方形的边长为5，为边上一动点，设的长为，的面积为，（1）写出与之间的函数关系式，及自变量的取值范围（2）当取多少时，可以取得最大值（3）当在上运动时，如何变化？ABCD P CD DP x ADP ∆y y x x x y P CD y4、如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别交轴于点和点，点是直线上的一个动点．（1）求点的坐标．（2）当为等腰三角形时，求点的坐标．（3）在直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？xOy 1y x =+334y x =-+A x B C D AC A B C ，，CBD △D AB E E D O A，，，5、如图：直线与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，，点C(x ,y)是直线y ＝kx ＋3上与A 、B 不重合的动点。
（1）求直线的解析式；（2）当点C 运动到什么位置时△AOC 的面积是6；（3）过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于D点，是否存在点C 使△BCD 存在，请求出点C 理由。
3+=kx y 43=OA OB3+=kx y6.直线OC、BC的函数关系式分别为y=x和y=-2x+6,动点P(x,0)在OB上移动(0<x<3)，⑴求点C的坐标；⑵若A点坐标为（0，1），当点P运动到什么位置时(它的坐标是什么)，AP+CP 最小；⑶设△OBC中位于直线PC左侧部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式。
7、一次函数的图象交x轴于点A（-6，0），与y轴交于B，若△AOB的面积为12，且y随x的增大而减少，求一次函数的解析式.8、直线y=－x＋2与x轴，y轴分别交于点A和点B，另一直线y=kx＋b经过点C （1，0），且把△AOB分成两部分面积相等，求k和b的值.1、如图，正方形ABCD的边长为6cm，动点P 从A点出发，在正方形的边上由A→B→C→D运动，设运动的时间为t（s），△APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图所示，请回答下列问题：（1）点P在AB上运动时间为 s，在CD上运动的速度为 cm/s，△APD的面积S的最大值为 cm2；（2）求出点P在CD上运动时S与t的函数解析式；（3）当t为 s时，△APD的面积为10cm2．2、如图1，等边△ABC中，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ，设动点运动时间为x秒．（图2、图3备用）（1）填空：BQ= ，PB= （用含x的代数式表示）；（2）当x为何值时，PQ∥AC？（3）当x为何值时，△PBQ为直角三角形？3、如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P 从A出发沿A→B→C→D的路线移动，设点P 移动的路线为x，△PAD的面积为y．（1）写出y与x之间的函数关系式，并在坐标系中画出这个函数的图象．（2）求当x=4和x=18时的函数值．（3）当x取何值时，y=20，并说明此时点P在矩形的哪条边上．5、如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°．动点P从点B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y．把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，试求当0≤x≤9时y与x的函数关系式．6、如图1，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P从A点出发，沿A→B→C→D路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P、点Q 同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm）．如图2是点P出发x秒后△APD的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后△AQD的面积S2（cm2）与x（秒）的函数关系图象．根据图象：（1）求a、b、c的值；（2）设点P离开点A的路程为y1（cm），点Q到点A还需要走的路程为y2（cm），请分别写出改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式，并求出P与Q相遇时x的值．答案1、解：（1）点P在AB上运动的速度为6÷6=1cm/s，在CD上运动的速度为6÷3=2cm/s，当点P运动到点B时，△APD的面积S最大，最大值是×6×6=18cm2；（2）PD=6﹣2（t﹣12）=30﹣2t，S=AD•PD=×6×（30﹣2t）=90﹣6t；（3）当0≤t≤6时，S=3t，12≤t≤15时，90﹣6t=10，t=，所以当t为（s）、（s）时，△APD的面积为10c△APD的面积为10cm2，即S=10时，3t=10，t=，当m2．2、解：（1）根据题意，BQ=x，PB=6﹣2x；（2）若PQ∥AC，有，即，解之得：x=2；（3）当∠BPQ=90°时，根据三角函数关系，可知BQ=2BP，∴x=2（6﹣2x），解之得：x=，当∠BQP=90°时，2BQ=BP，即6﹣2x=x，解之得：x=．3、解：（1）当点P在线段AB上时，此时AP=x，AD=8，根据三角形的面积公式可得：y=•AD•AP=×8×x=4x，当点P在线段BC上运动时，面积不变；当点P在线段CD上运动时，DP=6+8+6﹣x=20﹣x，AD=8根据三角形的面积公式可得：y=•AD•DP=×8×（20﹣x）=80﹣4x，∴y与x之间的函数关系式为y=（2）当x=4时，y=4x=4×4=16，当x=18时，y=80﹣4×18=8；（3）当y=4x=20，解得x=5，此时点P在线段AB 上，当y=80﹣4x=20，解得x=15，此时点P在线段CD上．4、解：（1）从图象可知，当6≤t≤8时，△ABP 面积不变即6≤t≤8时，点P从点C运动到点D，且这时速度为每秒2个单位∴CD=2（8﹣6）=4∴AB=CD=4（2分）=16当t=6时（点P运动到点C），S△ABP∴AB•BC=16∴×4×BC=16∴BC=8（4分）∴长方形的长为8，宽为4．（2）当t=a时，S=8=×16△ABP即点P此时在BC的中点处∴PC=BC=×8=4∴2（6﹣a）=4∴a=4（6分）∵BP=PC=4∴m=BP÷a=4÷4=1，=AB•AP=4当t=b时，S△ABP∴×4×AP=4，AP=2∴b=13﹣2=11（9分）；5、解：由题意知：BC=4，DC=9﹣4=5，AD=5…（3分）…（5分）当0≤x≤4时，…（8分）当4＜x≤9时，…（9分）6、解：（1）观察图象得，S △APQ=PA•AD=×（1×a）×6=24，解得a=8（秒）b==2（厘米/秒）（22﹣8）c=（12×2+6）﹣2×8 解得c=1（厘米/秒）（2）依题意得：y1=1×8+2（x﹣8），即：y1=2x ﹣8（x＞8），y2=（30﹣2×8）﹣1×（x﹣8）=22﹣x（x＞8）又据题意，当y1=y2时，P与Q相遇，即2x﹣8=22﹣x，解得x=10（秒）∴出发10秒时，P与Q相遇．二、根据分段函数作图像1、作Y=|X-3|+|X+1|+|X+3|的图像某产品的生产流水线每小时可以生产100件产品，生产前没有产品积压，生产3小时后，安排1人装箱,若每小时装产品150件，未装箱的产品数量（Y）是生产时间X的函数，那么，这个函数的大致图像只能是（）。