2021年高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质.9函数模型及函数的综合应用课时练理

2021年高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质2.9函数

模型及函数的综合应用课时练理

1.[xx·衡水二中猜题]汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )

答案 A

解析 汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s 与t 的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的，故选A.

2．[xx·衡水中学月考]某种电热水器的水箱的最大容积是200升，加热到一定温度可以浴用，浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t 分钟注水2t 2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现在假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供( )

A ．3人洗澡

B ．4人洗澡

C ．5人洗澡

D ．6人洗澡

答案 B

解析 设最多用t 分钟，则水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝17

2时，y 有最小

值，此时共放水34×17

2

＝289升，可以供4人洗澡．

3．[xx·枣强中学预测]若函数f (x )＝a ＋|x |＋log 2(x 2＋2)有且只有一个零点，则实数a 的值是( )

A ．－2

B ．－1

C ．0

D ．2

答案 B

解析 将函数f (x )＝a ＋|x |＋log 2(x 2

＋2)的零点问题转化为函数f 1(x )＝－a －|x |的图象与f 2(x )＝log 2(x 2＋2)的图象的交点问题．因为f 2(x )＝log 2(x 2＋2)在[0，＋∞)上单调递增，且为偶函数，因此其最低点为(0,1)，而函数f 1(x )＝－a －|x |也是偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，因此其最高点为(0，－a )，要满足题意，则－a ＝1，因此a ＝－1.

4．[xx·冀州中学模拟]某购物网站在xx 年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

答案 C

解析 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，所以最少需要下的订单张数为3张，选C.

5. [xx·武邑中学预测]已知函数f (x )＝(x －a )2

＋(ln x 2

－2a )2

，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤4

5

成立，则实数a 的值为( )

A.15

B.25

C.12 D ．1

答案 A

解析 (x －a )2＋(ln x 2－2a )2表示点P (x ，ln x 2)与点Q (a ，2a )距离的平方． 易知点P 在曲线g (x )＝2ln x 上，点Q 在直线y ＝2x 上． 因为g ′(x )＝2

x

，且直线y ＝2x 的斜率为2，

所以令2

x

＝2，解得x ＝1.

又当x ＝1时，g (x )＝0，

从而与直线y ＝2x 平行的曲线g (x )＝2ln x 的切线方程为y ＝2(x －1)，如图所示．

因为直线y ＝2(x －1)与直线y ＝2x 间的距离为

222＋

－1

2

＝25

5. 故|PQ |的最小值为25

5

，

即f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2的最小值为⎝

⎛⎭⎪⎫2552＝4

5

. 又当|PQ |最小时，P 点的坐标为(1,0)，所以由题意知x 0＝1，且2a －0

a －1×2＝－1，解

得a ＝15.

6. [xx·衡水二中一轮检测]函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象如图所示，则函数

g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )

A.⎝ ⎛⎭

⎪⎫14，12 B ．(1,2)

C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，1 D ．(2,3) 答案 C

解析 由图象得，a ＋b ＋1＝0,0

＋∞)上是增函数，且g (1)＝a ＋2>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12＝a ＋1－ln 2<0，∴函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )

的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12，1.

7．[xx·枣强中学猜题]某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：h)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正的常数)．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%.那么，至少还需过滤________才可以排放( )

A.1

2

h B.

5

9

h

C．5 h D．10 h

答案C

解析设原污染物数量为a，则P0＝a.由题意有10%a＝a e－5k，所以5k＝ln 10.设t h后污染物的含量不得超过1%，则有1%a≥a e－tk，所以tk≥2ln 10，t≥10.因此至少还需过滤10－5＝5 h才可以排放．

8．[xx·枣强中学周测]如图(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客x之间的关系图象，由于目前该条公路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议如图(2)(3)所示．

以下说法：

①图(2)的建议是：提高成本，并提高票价；

②图(2)的建议是：降低成本，并保持票价不变；

③图(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变；

④图(3)的建议是：提高票价，并降低成本．

其中正确的序号是( )

A．①③B．①④

C．②③D．②④