上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市中学高一上学期期末数学试题及答案解析
2019-2020学年上海市中学高一上学期期末数学试题及答案解析一、单选题1．已知复数113z i =+，23z i =+（i 为虚数单位），在复平面内，12z z -对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】利用复数的减法求出复数12z z -，即可得出复数12z z -对应的点所在的象限.【详解】复数113z i =+，23z i =+，()()1213322z z i i i ∴-=+-+=-+， 因此，复数12z z -在复平面内对应的点在第二象限. 故选B. 【点睛】本题考查复数的几何意义，同时也考查了复数的减法运算，利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2．设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-的最小值为（ ） A ．B ．4C ．D ．以上都不对【解析】根据向量的运算，化简得1212222MF MF MN MO MN NO+-=-=，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】由题意，设O 为12,F F 的中点， 根据向量的运算，可得122222MF MFMN MO MN NO+-=-=，又由N 为双曲线22:143x y C -=上的动点，可得NO a ≥，所以122224MF MFMN NO a +-=≥=，即122MF MFMN+-的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 3．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=【答案】B【解析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得n =，从而可求解.法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22aBF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得3n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑二、填空题4．椭圆22154x y +=的焦距等于________【答案】2【解析】根据椭圆方程，求出,a b ，即可求解. 【详解】设椭圆的焦距为2c ，椭圆方程为22154x y +=， 225,4,1a b c ∴==∴=.故答案为:2. 【点睛】本题考查椭圆标准方程及参数的几何意义，属于基础题.5．双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为________.【答案】34yx 【解析】令220169x y -=解得结果【详解】令220169x y -=解得两条渐近线的方程为34yx 【点睛】本题考查双曲线渐近线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6．若线性方程组的增广矩阵是123c ⎛⎫⎪，其解为1x =⎧⎨，则12c c +=________【答案】6【解析】本题可先根据增广矩阵还原出相应的线性方程组，然后将解11x y =⎧⎨=⎩代入线性方程组即可得到1c 、2c 的值，最终可得出结果． 【详解】解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：1223x y c y c +=⎧⎨=⎩， 将解11x y =⎧⎨=⎩代入上面方程组，可得：1251c c =⎧⎨=⎩． 126c c ∴+=．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求参数．本题属基础题． 7．已知复数22iz i+=，则z 的虚部为________．【答案】-1【解析】先根据复数的除法中的分母实数化计算出z 的结果，然后根据z 的结果直接确定虚部. 【详解】 因为()22242122242i i i i z i i i i +⋅+-====-⋅-，所以z 虚部为1-.【点睛】（1）复数的除法运算，采用分母实数化的方法，根据“平方差公式”的形式完成分母实数化；（2）复数z a bi =+，则z 的实部为a ，虚部为b ，注意实、虚部都是数值.8．圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于________。
2020年上海交通大学附属中学高一数学理上学期期末试题含解析
2020年上海交通大学附属中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若∈（），且3cos2=sin（），则sin2的值为A．一 B． C．一 D.参考答案：A2. 奇函数在是增函数，且，若函数对所有的，都成立，求实数的取值范围（）B. C. 或 D. 或或参考答案：D略3. 设A={}, B={}, 下列各图中能表示从集合A到集合B的映射是( )参考答案：D4. 使根式分别有意义的的允许值集合依次为M、F,则使根式有意义的的允许值集合可表示为（）A、 B、 C、 D、参考答案：B5. 已知函数，则f[f（﹣1）]=（）A．0 B．1 C．2 D．参考答案：C【考点】分段函数的应用．【分析】由已知中函数，将x=﹣1代入可得答案．【解答】解：∵函数，∴f（﹣1）=1，∴f[f（﹣1）]=f（1）=2，故选：C6. 如果集合中只有一个元素，则的值是（）A.0B.0或1C.1D.不能确定参考答案：B7. 如果sin α + cos α > tan α + cot α，那么角α的终边所在的象限是（）（A）一或二（B）二或三（C）二或四（D）一或四参考答案：C8. 已知表示三条不同的直线，表示两个不同的平面，下列说法中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则参考答案：D【分析】利用线面平行、线面垂直的判定定理与性质依次对选项进行判断，即可得到答案。
【详解】对于A，当时，则与不平行，故A不正确；对于B，直线与平面平行，则直线与平面内的直线有两种关系：平行或异面，故B不正确；对于C，若，则与不垂直，故C不正确；对于D，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，故D正确；故答案选D【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系相关定理的应用，属于中档题。
9. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A. B.C. D.参考答案：D试题分析：由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形，故该几何体上部分是一个三棱柱，下部分是三个矩形，故该几何体下部分是一个四棱柱．考点：三视图．10. 如图在三棱锥中,E?F是棱AD上互异的两点,G?H是棱BC上互异的两点,由图可知①AB与CD互为异面直线;②FH分别与DC?DB互为异面直线;③EG与FH互为异面直线;④EG与AB互为异面直线.其中叙述正确的是 ( )A.①③B.②④C.①②④D.①②③④参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的定义域为______________________参考答案：12. 集合的非空真子集的个数为_____________.参考答案：6略13. 函数的图像恒过的点是______________参考答案：（1,－1）14. 下列四个命题：（1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数；（2）若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0且a＞0；（3）y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）；（4）y=1+x和y=表示相等函数．（5）若函数f（x﹣1）的定义域为[1，2]，则函数f（2x）的定义域为．其中正确的命题是（写出所有正确命题的序号）参考答案：（5）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1），如函数y=﹣，在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，不能说f（x）是增函数；（2），若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0，a＞0或a＜0，a=b=0时，与x轴没有交点，（3），y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞），（﹣∞，﹣1]；（4），y=1+x和y=的对应法则、值域不一样，表示不相等函数．（5），若函数f（x﹣1）的定义域为[1，2]?0≤x﹣1≤1，则函数f（2x）满足0≤2x≤1，定义域为．【解答】解：对于（1），如函数y=﹣，在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，不能说f（x）是增函数，故错；对于（2），若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0，a＞0或a＜0，a=b=0时，与x轴没有交点，故错，对于（3），y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞），（﹣∞，﹣1]，故错；对于（4），y=1+x和y=的对应法则、值域不一样，表示不相等函数，故错．对于（5），若函数f（x﹣1）的定义域为[1，2]?0≤x﹣1≤1，则函数f（2x）满足0≤2x≤1，定义域为，故正确．故答案为：（5）15. 直线被圆截得的弦长为．参考答案：16. 把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ;若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是____参考答案：一条直线两点17. 已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点，满足，则m的取值范围是______．参考答案：【分析】作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点满足，则平面区域内必存在一个C点在直线的下方，A在直线是上方，由图象可得m的取值范围．【详解】作出x，y的不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为，直线的斜率为，斜截式方程为，要使平面区域内存在点满足，则点必在直线的下方，即，解得，并且A在直线的上方；，可得，解得，故m的取值范围是：故答案为【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证，求出最优解．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年上海市上海中学高一上学期期末数学试题解析
2019-2020学年上海市上海中学高一上学期期末数学试题一、单选题1）A BC D答案：C调区间，借助于自变量的大小，得到函数值的大小，从而得到结果解：项不正确；观察B、C、D三项很明显C项正确，故选：C.点评：该题考查的是有关根据偶函数在给定区间上的单调性，判断函数值的大小的问题，涉及到的知识点有偶函数图象的对称性，偶函数的定义，根据单调性比较函数值的大小，属于简单题目.21）A B C D答案：D首先设出()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，求得其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，根据图象变换，得到函数()f x 的图象上的点为(,1)x y +，之后应用点在函数图象上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果. 解：设()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ， 则其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，再将点(,)y x 向左平移一个单位，得到(1,)y x +， 其关于直线y x =的对称点为(,1)x y +，该点在函数()f x 的图象上，所以有1()y f x +=， 所以有()1y f x =-，即()()1g x f x =-， 故选：D. 点评：该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目. 3．设方程3|ln |xx -=的两个根1x 、2x ，则（ ）A ．120x x <B ．121=x xC ．121x x >D ．121x x <答案：D作出函数图象，根据图象和对数的运算性质即可求出答案. 解：作出函数图象如图所示：若方程3ln xx -=的两根为12,x x ，则1201x x <<<，12123ln ,3ln x x x x --==故选：D.点评：该题考查的是有关方程的根的大小的判断，涉及到的知识点有对数的运算法则，解决方程根的问题时，可以应用图象的交点来完成，属于简单题目.4（）A B C D答案：B. 解：故选：B.点评：该题以分段函数的形式考查了函数的值域，函数解析式的求解，以及利用恒成立求参数取值范围的问题，属于较难题目，解决该题的关键是利用条件可分析函数的图象，利用数形结合比较好分析.二、填空题5_________.在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的差等于商的对数去掉对数符号，求解分式方程得答案.解：点评：该题考查的是有关对数方程的求解问题，在解题的过程中，注意对数式有意义的条件，对数式的运算法则，属于基础题目.6________.根据指数函数的值域，结合根式有意义的条件，求得函数的值域，得到答案.解：点评：该题考查的是有关函数的值域的求解问题，属于基础题目.7先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项.解：点评：该题考查的是有关应用待定系数法求幂函数的解析式的问题，属于基础题目.8；.解：.点评：本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握.9_________；.解：点评：本题考查了反函数的计算，忽略掉定义域是容易发生的错误.10_______.将0写成1. 解：点评：该题考查的是有关对数不等式的解法，在解题的过程中，注意结合函数有意义的条件，应用对数函数的单调性，属于简单题目.11________.答案：奇函数 2数，得到结果. 解：2的周期函数，故答案为：奇函数. 点评：该题考查的是有关函数奇偶性的判断问题，在解题的过程中，注意借助于函数的周期性来完成，属于简单题目. 12_______.结合复合函数的单调性法则，.解：递减，根据复合函数单调性法则，点评：该题考查的是有关函数单调区间的求解问题，涉及到的知识点有对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于简单题目.13__________..解：点评：该题考查的是有关根据函数的单调性确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有指数型函数的单调性，对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于中档题目.14_________.根据式子的意义，只有一个正根，画出函数图象求得结果.解：可知所求m 的取值范围是：1(,1]4，故答案为：1(,1]4.点评：该题考查的是有关根据方程根的情况求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将问题正确转化，注意应用函数图象解决问题，属于简单题目. 15．已知函数23()4f x ax =+，()ag x x x =+，对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围为__________. 答案：5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，等价于min max ()()f x g x ≥在区间[1,2]上恒成立，对a 的取值进行分类讨论，利用单调性求出min ()f x 和min ()g x ，列出关于a 的不等式组求得答案.解：当0a <时，23()4f x ax =+在区间[1,2]上单调递减，min 3()(2)44f x f a ==+，()ag x x x=+在区间[1,2]上单调递增，min ()1g x a =+， 所以3414a a +≥+，解得112a ≥，因为0a <，所以无解； 当0a ≥时，可知min 3()(1)4f x f a ==+， 当01a ≤≤时，()ag x x x=+在区间[1,2]上单调递增，其最小值为(1)1g a =+，点评：该题考查的是有关根据恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有根据题意将恒成立问题向最值转化，求含参的函数在给定区间上的最值，属于中档题目.16值范围为_______.会出现哪些情况，列出对应的式子求解即可.解：画出函数图象如图所示：可以看到(2)(3)1f f ==，要使2(46)(4)f a a f a +=，则有以下几种情况：①246141a a a ⎧+≤⎨≤⎩，解得31331344x ---+≤≤； ②22146 2.514 2.5464a a a a a a ⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解； ③222.54632.543464a a a a a a ⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解. ④2214631434645a a a a a a ⎧<+≤⎪<≤⎨⎪++=⎩，无解； ⑤246343a a a ⎧+≥⎨≥⎩，解得34a ≥，⑥246243a a a ⎧+=⎨≥⎩，无解； ⑦246342a a a ⎧+≥⎨=⎩，解得12a =；所以a 的取值范围为31331313[,][,)4424---+⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭U U ， 故答案为：31331313[,][,)4424---+⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭U U . 点评：该题考查的是有关根据函数值相等，求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有含有绝对值的式子的化简，函数值相等的条件，属于中档题目.三、解答题17（1（2.答案：（1（2（1（2. 解：（1（2点评：该题考查的是有关根据函数在某一区间上的解析式，结合函数奇偶性的定义，求得函数的解析式，属于简单题目.18（1（2.答案：（1（2（1）（2. 解：（1（2点评：该题考查的是有关求方程的解或者方程在某个区间上有解求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意换元思想的应用，以及二次函数在某个区间上的值域的求解方法，属于中档题目.19．某环线地铁按内、外线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异），新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列车.（1（2）要使内、外环线乘客的最长候车时问之差距不超过1分钟，问内、外环线应各投入几列列车运行？（3）要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小，问内、外环线应各投入几列列车运行？答案：（1（2）内环线11列列车，外环线7列列车；（3）内环线10列列车，外环线8列列车..（1）根据题意，结合最长候车时间等于两列列车对应的时间差，列车式子得出结果，注意自变量的取值范围；（2）根据题意，列出对应的不等关系式，求解即可，在解的过程中，注意自变量的取值范围；（3）根据题意，列出式子，结合对勾函数的单调性，求得函数的变化趋势，最后求得.解：（1（2所以当内环线投入11列列车运行，外环线投入7列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟； （3所以内环线10列列车，外环线8列列车时，内、外环线乘客的最长候车时间之和最小. 点评：该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有建立函数模型，求解不等式，求函数的最小值，属于较难题目.20（1（2（3答案：（1）属于；（2（3）证明见解析（1（2结果；（3解：（1此方程恒成立，（2（3点评：该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有新定义，方程有解转化为函数有零点，分类讨论思想，属于难题.21（1点；（2（3.答案：（1（2）单调递增；（3（1（2）将函数解析式中的绝对值符号去掉，得到分段函数，利用导数，分类讨论求得函数的单调性；（3）化简函数解析式，将不等式转化，找出不等式恒成立的关键条件，得到结果. 解：（1（2，（3点评：该题考查的是有关函数的综合题，涉及到的知识点有绝对值的意义，求函数的零点，应用导数研究函数的单调性，根据恒成立求参数的取值范围，属于难题.。
2019-2020学年上海交大附中高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）弧度数为2的角的终边落在第___ 象限．2.（填空题.3分）若幂函数f （x ）=x α图象过点 (2，12) .则f （3）=___ ． 3.（填空题.3分）已知 sinα+cosαsinα−2cosα =2.则tanα的值为___ ． 4.（填空题.3分） cos 23π8−sin 23π8=___ ． 5.（填空题.3分）已知lg2=a.10b =3.则log 125=___ ．（用a 、b 表示） 6.（填空题.3分）若tanα= 43 ；则cos （2α+ π2 ）=___ ． 7.（填空题.3分）已知函数f （x ）= {(1−2a )x +3a ，x ＜12x−1，x ≥1的值域为R.则实数a 的取值范围是___ ．8.（填空题.3分）已知θ∈（0. π2 ）.2sin2θ=1+cos2θ.则tanθ=___ ． 9.（填空题.3分）已知α∈（- π2.0）.sin （π-2α）=- 12.则sinα-cosα=___10.（填空题.3分）已知锐角α.β满足sin （2α+β）=3sinβ.则tan （α+β）cotα=___ ． 11.（填空题.3分）已知α.β∈（0.π）.且tan （α-β）=2√33 .tanβ=- 5√311.2α-β的值为___ ．12.（填空题.3分）已知f （x ）是定义域为R 的单调函数.且对任意实数x.都有f[f （x ）+34x +1 ]= 25.则f （log 2sin17π6）=___ ． 13.（单选题.3分）“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.（单选题.3分）A 为三角形ABC 的一个内角.若sinA+cosA= 1225.则这个三角形的形状为（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形15.（单选题.3分）已知函数f（x）=log a（6-ax）在x∈[2.3）上为减函数.则a的取值范围是（）A.（1.2）B.（1.2]C.（1.3）D.（1.3]16.（单选题.3分）设x1.x2分别是f（x）=x-a-x与g（x）=xlog a x-1（a＞1）的零点.则x1+9x2的取值范围是（）A.[8.+∞）B.（10.+∞）C.[6.+∞）D.（8.+∞）17.（问答题.0分）已知α∈（0. π2）.β∈（0. π2）.sinα= 4√37.cos（α+β）=- 1114．（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．18.（问答题.0分）已知函数f（x）=3x-a•3-x.其中a为实常数；（1）若f（0）=7.解关于x的方程f（x）=5；（2）判断函数f（x）的奇偶性.并说明理由．19.（问答题.0分）高境镇要修建一个扇形绿化区域.其周长为400m.所在圆的半径为r.扇形的圆心角的弧度数为θ.θ∈（0.2π）．（1）求绿化区域面积S关于r的函数关系式.并指数r的取值范围：（2）所在圆的半径为r取何值时.才能使绿化区域的面积S最大.并求出此最大值．20.（问答题.0分）已知函数y=f（x）的定义域为（1.+∞）.对于定义域内的任意实数x.有f （2x）=2f（x）成立.且x∈（1.2]时.f（x）=log2x．（1）当x∈（1.23]时.求函数y=f（x）的最大值；（2）当x∈（1.23.7]时.求函数y=f（x）的最大值；（3）已知f（1200）=f（b）（实数b＞1）.求实数b的最小值．21.（问答题.0分）已知函数f（x）=log a（x+ √x2−1）．x∈（1.+∞）.a＞0且a≠1．（1）若a为整数.且f（2a+2−a2）=2.试确定一个满足条件的a的值；（2）设y=f（x）的反函数为y=f -1（x）.若f-1（n）＜4n+4−n2（n∈N*）.试确定a的取值范围；（3）若a=2.此时y=f（x）的反函数为y=f-1（x）.令g（x）= 2f −1(x)+k2f−1(x)+1.若对一切实数x1.x2.x3.不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立.试确定实数k的取值范围．2019-2020学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）弧度数为2的角的终边落在第___ 象限．【正确答案】：[1]二【解析】：根据题意.分析可得π2＜2＜π.由象限角的定义分析可得答案．【解答】：解：根据题意. π2＜2＜π.则弧度数为2的角的终边落在第二象限.故答案为：二【点评】：本题考查象限角.涉及弧度制的应用.属于基础题．2.（填空题.3分）若幂函数f（x）=xα图象过点(2，12) .则f（3）=___ ．【正确答案】：[1] 13【解析】：根据题意求出幂函数的解析式.再计算f（3）的值．【解答】：解：幂函数f（x）=xα图象过点(2，12) .则2α= 12.解得α=-1.∴f（x）=x-1；∴f（3）=3-1= 13．故答案为：13．【点评】：本题考查了幂函数的定义与应用问题.是基础题．3.（填空题.3分）已知sinα+cosαsinα−2cosα=2.则tanα的值为___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：利用同角三角函数基本关系式化简已知等式即可得解．【解答】：解：∵ sinα+cosαsinα−2cosα = tanα+1tanα−2=2.∴tanα=5．故答案为：5．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用.属于基础题．4.（填空题.3分）cos23π8−sin23π8=___ ．【正确答案】：[1]- √22【解析】：利用二倍角公式、诱导公式.求得所给式子的值．【解答】：解：cos23π8−sin23π8=cos 6π8=-cos π4=- √22.故答案为：−√22．【点评】：本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用.属于基础题．5.（填空题.3分）已知lg2=a.10b=3.则log125=___ ．（用a、b表示）【正确答案】：[1] 1−a2a+b【解析】：化指数式为对数式.把要求解的式子利用对数的换底公式化为含有lg2和lg3的代数式得答案．【解答】：解：∵10b=3.∴lg3=b.又lg2=a.∴log125= lg5lg12=lg102lg(3×4)=1−lg2lg3+2lg2=1−a2a+b．故答案为：1−a2a+b．【点评】：本题考查了对数的换底公式.考查了对数的运算性质.是基础题．6.（填空题.3分）若tanα= 43；则cos（2α+ π2）=___ ．【正确答案】：[1]- 2425．【解析】：利用诱导公式.二倍角的正弦函数公式.同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．【解答】：解：∵tanα= 43.∴cos（2α+ π2）=-sin2α= −2sinαcosαsin2α+cos2α= −2tanα1+tan2α= −2×431+169=- 2425．故答案为：- 2425 ．【点评】：本题主要考查了诱导公式.二倍角的正弦函数公式.同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用.属于基础题． 7.（填空题.3分）已知函数f （x ）= {(1−2a )x +3a ，x ＜12x−1，x ≥1的值域为R.则实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][0. 12 ）【解析】：根据分段函数的表达式.分别求出每一段上函数的取值范围进行求解即可．【解答】：解：当x≥1时.f （x ）=2x-1≥1. 当x ＜1时.f （x ）=（1-2a ）x+3a.∵函数f （x ）= {(1−2a )x +3a ，x ＜12x−1，x ≥1 的值域为R.∴（1-2a ）x+3a 必须到-∞.即满足： {1−2a ＞01−2a +3a ≥1.解得0≤a ＜ 12 .故答案为：[0. 12 ）．【点评】：本题考查了函数的性质.运用单调性得出不等式组即可.难度不大.属于中档题． 8.（填空题.3分）已知θ∈（0. π2 ）.2sin2θ=1+cos2θ.则tanθ=___ ． 【正确答案】：[1] 12【解析】：利用二倍角公式.同角三角函数基本关系式化简即可得解．【解答】：解：∵θ∈（0. π2 ）. ∴cosθ＞0. ∵2sin2θ=1+cos2θ.∴4sinθcosθ=2cos 2θ.可得tanθ= 12． 故答案为： 12 ．【点评】：本题主要考查了二倍角公式.同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用.属于基础题．9.（填空题.3分）已知α∈（- π2 .0）.sin （π-2α）=- 12 .则sinα-cosα=___ 【正确答案】：[1]- √62【解析】：由已知利用诱导公式化简可得sin2α=- 12.进而根据同角三角函数基本关系式即可化简求解．【解答】：解：∵α∈（- π2 .0）.sin （π-2α）=sin2α=- 12 . ∴sinα＜0.cosα＞0.∴sinα-cosα=- √(sinα−cosα)2 =- √1−sin2α =- √1−(−12) =- √62． 故答案为：- √62 ．【点评】：本题主要考查了诱导公式.二倍角公式.同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用.属于基础题．10.（填空题.3分）已知锐角α.β满足sin （2α+β）=3sinβ.则tan （α+β）cotα=___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：由题意利用2α+β=（α+β）+α.β=（α+β）-α.结合三角恒等变换公式计算即可．【解答】：解：sin （2α+β）=3sinβ.sin （α+β）cosα+cos （α+β）sinα=3[sin （α+β）cosα-cos （α+β）sinα]. 2sin （α+β）cosα=4cos （α+β）sinα. 又α、β为锐角.所以sinα≠0.cos （α+β）≠0. 所以tan （α+β）cotα= sin (α+β)cosαcos (α+β)sinα=2．故答案为：2．【点评】：本题考查了三角恒等变换应用问题.也考查了三角函数求值问题.是基础题． 11.（填空题.3分）已知α.β∈（0.π）.且tan （α-β）= 2√33 .tanβ=- 5√311.2α-β的值为___ ．【正确答案】：[1]- 2π3【解析】：由题意配角：α=（α-β）+β.利用两角和的正切公式算出tanα的值.再算出tan （2α-β）的值.根据α、β的范围与它们的正切值.推出2α-β∈（-π.0）.即可算出2α-β的值．【解答】：解：由tan （α-β）=2√33 .tanβ=- 5√311. ∴tanα=tan[（α-β）+β]= tan (α−β)+tanβ1−tan (α−β)tanβ = 2√33−5√3111−2√33×(−5√311)= √39 . 由此可得tan （2α-β）=tan[（α-β）+α]= tan (α−β)+tanα1−tan (α−β)tanα = 2√33+√391−2√33×√39= √3 ． 又α∈（0.π）.且tanα= √39 ＜1. ∴0＜α＜ π4 .又β∈（0.π）.tanβ=- 5√311 ＜0. ∴ π2 ＜β＜π.因此2α-β∈（-π.0）.可得-π＜2α-β＜0. 所以2α-β=- 2π3 ． 故答案为：- 2π3 ．【点评】：本题考查了两角和与差的正切公式、特殊角的三角函数值等知识.是中档题.解题时注意在三角函数求值问题中“配角找思路”思想．12.（填空题.3分）已知f （x ）是定义域为R 的单调函数.且对任意实数x.都有f[f （x ）+34x +1]= 25 .则f （log 2sin17π6）=___ ． 【正确答案】：[1]- 75【解析】：根据题意.分析可得f （x ）+ 34x +1 为常数.设f （x ）+ 34x +1 =t.变形可得f （x ）=- 34x +1 +t.分析可得f （t ）=- 34t +1 +t= 25 .解可得t 的值.即可得f （x ）的解析式.将x=log 2sin 17π6代入可得答案．【解答】：解：根据题意.f （x ）是定义域为R 的单调函数.且对任意实数x 都有f[f （x ）+34x +1]= 25 .则f （x ）+34x +1为常数.设f （x ）+34x +1=t.则f （x ）=-34x +1+t. 又由f[f （x ）+ 34x +1 ]= 25 .即f （t ）=- 34t +1 +t= 25 . 解可得t=1. 则f （x ）=- 34x +1 +1. ∵sin17π6 = 12.则f （log 2 12 ）=f （-1）=- 34−1+1 +1=- 75 ；故答案为：- 75 ．【点评】：本题考查函数的单调性的性质以及应用.还考查了三角函数求值.诱导公式.对数的运算.换元法的思想.关键是求出函数的解析式.属于中档题． 13.（单选题.3分）“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【正确答案】：B【解析】：由α为第三、四象限角.可得sinα＜0．反之不成立.即可判断出结论．【解答】：解：由α为第三、四象限角.可得sinα＜0．反之不成立.例如 α=3π2． 故选：B ．【点评】：本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．14.（单选题.3分）A 为三角形ABC 的一个内角.若sinA+cosA= 1225 .则这个三角形的形状为（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 【正确答案】：B【解析】：将已知式平方并利用sin 2A+cos 2A=1.算出sinAcosA=- 4811250 ＜0.结合A∈（0.π）得到A 为钝角.由此可得△ABC 是钝角三角形．【解答】：解：∵sinA+cosA= 1225 .∴两边平方得（sinA+cosA ）2= 144625 .即sin 2A+2sinAcosA+cos 2A= 144625 . ∵sin 2A+cos 2A=1.∴1+2sinAcosA= 144625 .解得sinAcosA= 12 （ 144625 -1）=- 4811250 ＜0.∵A∈（0.π）且sinAcosA ＜0.∴A∈（ π2 .π）.可得△ABC 是钝角三角形 故选：B ．【点评】：本题给出三角形的内角A 的正弦、余弦的和.判断三角形的形状．着重考查了同角三角函数的基本关系、三角形的形状判断等知识.属于基础题．15.（单选题.3分）已知函数f （x ）=log a （6-ax ）在x∈[2.3）上为减函数.则a 的取值范围是（ ） A.（1.2） B.（1.2] C.（1.3） D.（1.3]【正确答案】：B【解析】：由已知中f （x ）=log a （6-ax ）在x∈[2.3）上为减函数.结合底数的范围.可得内函数为减函数.则外函数必为增函数.再由真数必为正.可得a 的取值范围．【解答】：解：若函数f （x ）=log a （6-ax ）在x∈[2.3）上为减函数. 则 {a ＞16−3a ≥0 解得：a∈（1.2]．故选：B ．【点评】：本题考查的知识点是复合函数的单调性.其中根据已知分析出内函数为减函数.则外函数必为增函数.是解答的关键16.（单选题.3分）设x 1.x 2分别是f （x ）=x-a -x 与g （x ）=xlog a x-1（a ＞1）的零点.则x 1+9x 2的取值范围是（ ） A.[8.+∞） B.（10.+∞） C.[6.+∞） D.（8.+∞） 【正确答案】：B【解析】：函数的零点即方程的解.将其转化为图象交点问题.又有函数图象特点.得到交点的对称问题.从而求解．【解答】：解：由设x1.x2分别是函数f（x）=x-a-x和g（x）=xlog a x-1的零点（其中a＞1）.可知 x1是方程a x= 1x 的解；x2是方程1x=log a x 的解；则x1.x2分别为函数 y= 1x的图象与函数y=a x和函数y=log a x 的图象交点的横坐标；设交点分别为A（x1. 1x1）.B（x2. 1x2）由 a＞1.知0＜x1＜1；x2＞1；又因为y=a x和y=log a x 以及 y= 1x的图象均关于直线y=x 对称. 所以两交点一定关于y=x 对称.由于点A（x1. 1x1）.关于直线 y=x的对称点坐标为（1x1.x1）.所以x1= 1x2.有x1x2=1.而x1≠x2则x1+9x2=x1+x2+8x2≥2 √x1x2 +8x2＞2+8=10.即x1+9x2∈（10.+∞）故选：B．【点评】：本题考查了函数的概念与性质、对数函数以及指数函数．17.（问答题.0分）已知α∈（0. π2）.β∈（0. π2）.sinα= 4√37.cos（α+β）=- 1114．（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用同角三角函数基本关系式可求cosα.tanα的值.进而根据二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin（α+β）的值.根据两角差的余弦函数公式可求cosβ的值．【解答】：解：（1）∵α∈（0. π2）.sinα= 4√37.∴cosα= √1−sin2α = 17 .tanα= sinαcosα=4 √3 .∴tan2α= 2tanα1−tan2α = 2×4√31−(4√3)2=- 8√347．（2）∵α∈（0. π2）.β∈（0. π2）.sinα= 4√37.cos（α+β）=- 1114.∴α+β∈（0.π）.sin（α+β）= √1−cos2(α+β) = 5√314.∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=（- 1114）× 17+ 5√314× 4√37= 12．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式.二倍角的正切函数公式.两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用.属于基础题．18.（问答题.0分）已知函数f（x）=3x-a•3-x.其中a为实常数；（1）若f（0）=7.解关于x的方程f（x）=5；（2）判断函数f（x）的奇偶性.并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据f（0）=7.求解a的值.再解方程f（x）=5即可．（2）根据奇偶性定义判断即可．【解答】：解：（1）由f（0）=7.即1-a=7.可得a=-6.那么3x+6•3-x=5.∴（3x-2）（3x-3）=0.解得x=1或x=log32．（2）由f（-x）=-a•3x+3-x.当a=-1时.可得f（-x）=f（x）此时f（x）是偶函数.当a=1时.f（-x）=-f（x）此时f（x）是奇函数.当a≠±1时.f（x）是非奇非偶函数．【点评】：本题考查了奇偶性的定义判断和指数函数的化简运算.属于基础题．19.（问答题.0分）高境镇要修建一个扇形绿化区域.其周长为400m.所在圆的半径为r.扇形的圆心角的弧度数为θ.θ∈（0.2π）．（1）求绿化区域面积S关于r的函数关系式.并指数r的取值范围：（2）所在圆的半径为r取何值时.才能使绿化区域的面积S最大.并求出此最大值．【正确答案】：【解析】：（1）由扇形的周长求出θ的值.再根据题意求出r的取值范围.计算扇形的面积；（2）利用函数解析式求出S的最大值以及r的值．【解答】：解：（1）由题意知.扇形的周长为2r+θr=400.所以θ= 400−2rr；又θ∈（0.2π）.所以200π+1＜r＜200；所以扇形的面积为S= 12θr2= 12• 400−2rr=-r2+200r.其中r的取值范围是（200π+1.200）；（2）S（r）=-r2+200r=-（r-100）2+10000.当r=100时.S（r）取得最大值为10000.即半径为r=100m时.绿化区域的面积S最大.最大值10000m2．【点评】：本题考查了根据实际问题选择函数模型的应用问题.是基础题．20.（问答题.0分）已知函数y=f（x）的定义域为（1.+∞）.对于定义域内的任意实数x.有f （2x）=2f（x）成立.且x∈（1.2]时.f（x）=log2x．（1）当x∈（1.23]时.求函数y=f（x）的最大值；（2）当x∈（1.23.7]时.求函数y=f（x）的最大值；（3）已知f（1200）=f（b）（实数b＞1）.求实数b的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）根据条件.对任意的x∈（1.+∞）.恒有f （2x ）=2f （x ）成立.所以f （x ）=2f （ x2 ）；且x∈（1.2]时.f （x ）=log 2x∈（0.1]；所以当x∈（2.4]时.x2 ∈（1.2].f （x ）=2f （ x 2 ）=2log 2 x 2∈（0.2]；同理可以依次推出当x∈（2n-1.2n ]时.f （x ）的解析式.即可得当x∈（1.23]时函数y=f （x ）的最大值；（2）当x∈（1.23.7]时.23≤23.7≤24.由（1）可得f （x ）的解析式.即可得函数值； （3）根据f （1200）=f （b ）（实数b ＞1）.解出b 的值.进而求实数b 的最小值即可．【解答】：解：（1）对任意的x∈（1.+∞）.恒有f （2x ）=2f （x ）成立.所以f （x ）=2f （ x2 ）； 且x∈（1.2]时.f （x ）=log 2x∈（0.1]；所以当x∈（2.4]时. x 2 ∈（1.2].f （x ）=2f （ x 2 ）=2log 2 x2 ∈（0.2]； 当x∈（4.8]时. x 2 ∈（2.4].f （x ）=2f （ x 2 ）=4log 2 x4 ∈（0.4]； 当x∈（8.16]时. x 2 ∈（4.8].f （x ）=2f （ x 2 ）=8log 2 x8 ∈（0.8]； …；当x∈（2n-1.2n ]时. x 2 ∈（2n-2.2n-1].f （x ）=2f （ x 2 ）=2n-1log 2 x2n−1 ∈（0.2n-1]； 所以x∈（2n-1.2n ]时.f （x ）的最大值是2n-1；所以x∈（1.23]时.f （x ）= { log 2x ，x ∈(1，2]2log 2x 2，x ∈(2，4]4log 2x 4，x ∈(4，8] .的最大值为f （23）=4log 2 2322 =4； （2）当x∈（1.23.7]时.23≤23.7≤24.所以f （x ）的最大值为f （23.7）=23×log 2 23.723 =8×（3.7-3）=5.6； （3）由f （1200）=f （b ）（实数b ＞1）. 且1200=210× 7564 .210＜210× 7564 ＜211. 所以f （1200）=210×log 2210×7564210 =210×log 2 7564 .f （b ）=f （2× b2 ）=2f （ b 2 ）=22f （ b22 ）=…=2n-1 f （ b2n−1 ）； 当 b2n−1 ∈（1.2]时.∴f （b ）=2n-1log 2 b2n−1 ；∵f （1200）=f （b ）.则210×log 2 7564 =2n-1log 2 b2n−1 ；b=2n-1• (7564)211−n .1＜n ＜11当n=10时.b2n−1 =（ 7564 ）2∈（1.2]；b=29×（ 7564）2；当n=9时. b 2n−1 =（ 7564 ）4∈（1.2]；b=28×（ 7564 ）4；当n=8时. b2n−1 =（7564）8∉（1.2]；…29×（7564）2＞28×（7564）4；∴实数b的最小值为28×（7564）4=256×（7564）4．【点评】：本题考查了抽象函数及其应用.考查了计算能力.分析解决问题的能力.转化与化归的思想.属于中档题．21.（问答题.0分）已知函数f（x）=log a（x+ √x2−1）．x∈（1.+∞）.a＞0且a≠1．（1）若a为整数.且f（2a+2−a2）=2.试确定一个满足条件的a的值；（2）设y=f（x）的反函数为y=f -1（x）.若f-1（n）＜4n+4−n2（n∈N*）.试确定a的取值范围；（3）若a=2.此时y=f（x）的反函数为y=f-1（x）.令g（x）= 2f −1(x)+k2f−1(x)+1.若对一切实数x1.x2.x3.不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立.试确定实数k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由对数和指数的运算性质.化简可得所求值；（2）由反函数的定义和求解步骤.可得f -1（x）= a x+a−x2（若a＞1.x＞0；若0＜a＜1.x＜0）.再由指数函数和对勾函数的单调性.对a讨论.可得所求范围；（3）求得y=f-1（x）= 2x+2−x2（x＞0）.g（x）=1+ k−12x+2−x+1.对k讨论.分k=1.k＞1.k＜1.判断g（x）的单调性可得g（x）的值域.再由题意可得任意两个尽可能小的函数值不小于另一个尽可能大的函数值.解不等式可得所求范围》【解答】：解：（1）由f（x）=log a（x+ √x2−1）.x＞1.a＞0且a≠1.可得f（2a+2−a2）=log a（2a+2−a2 + √4a+2+4−a4−1）=log a（2a+2−a2 + 2a−2−a2）=log a2a=2.即a2=2a.可得整数a=2或4；（2）由y=f（x）=log a（x+ √x2−1）.x＞1.可得a y=x+ √x2−1 .即a y-x= √x2−1 . 平方可得a2y-2xa y+1=0.即有x= a y+a−y2.可得f -1（x）= a x+a−x2（若a＞1.x＞0；若0＜a＜1.x＜0）.f-1（n）＜4n+4−n2（n∈N*）.即为a n+a−n2＜4n+4−n2.若0＜a＜1.则a n+a-n单调递减.可得14＜a＜1；可得a的取值范围为（14.1）∪（1.4）；（3）若a=2.此时y=f（x）的反函数为y=f-1（x）= 2x+2−x2（x＞0）.g（x）= 2f−1(x)+k2f−1(x)+1 = 2x+2−x+k2x+2−x+1=1+ k−12x+2−x+1.当k=1时.g（x）=1.符合题意；当k＞1时.g（x）在x＞0递减.可得g（x）∈（1.1+ k−13）.对一切实数x1.x2.x3.不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立.可得1+1≥1+ k−13.解得1＜k≤4；当k＜1时.g（x）在x＞0递增.可得g（x）∈（1+ k−13.1）.对一切实数x1.x2.x3.不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立.可得2（1+ k−13）≥1.解得- 12≤k＜1．综上可得k的范围是[- 12.4]．【点评】：本题主要考查函数恒成立问题解法.注意运用函数的单调性和转化思想.考查反函数的求法.化简整理的运算能力.是一道难题．。
上海市上海中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
【详解】因为函数
y
x2
x 2x
5
的定义域为 R
，
y 1
当 x 0 时，
x 5 2 x，
u
因为
x
5 x
在
(,
5) 和(
5, ) 上单调递增，在[
5, 0) 和 (0,
5] 上单调递减，
y 1
根据复合函数单调性法则，可知
x
5 x
2
应该在
[
5, 0) 和 (0,
5] 上单调递增，
y x 而函数 x2 2x 5 本身在 x 0 处有意义，且函数图象不间断，
【详解】当 a 1时：函数 y f (x) ax 单调递增，
f 2 a2 2, f (4) a4 4a 2
；
当 0 a 1时：函数
y
f
(x) ax 单调递减，
f
2 a2
4,
f (4) a4
2
，无解.
综上所述： a 2
故答案为 2
【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握.
意将恒成立问题向最值转化，求含参的函数在给定区间上的最值，属于中档题目.
12.已知函数 f (x) || x 1| | x 3 | 1| ，若 f 4a2 6a f (4a) ，则实数 a 的取值范围
为_______.
3
【答案】
4
13 , 3 4
13
1 2
3 4
,
5.函数 f (x) x2 4x(x 0) 的反函数为_________；
【答案】 2 x 4(x 0)
【解析】
【分析】
x 2 y 4 y 0
2019-2020年上海市交大附中高一上期中数学试卷(含答案案)
上海交通大学附属中学2019-2020学年度第一学期高一数学期中考试试卷一、填空题1.函数y =的定义域是____________2. 已知{}|12A x x =-<<，{}2|30,R x x x x -<∈，则A B ⋂=____________3. 当0x >时，函数()1f x x x -=+的值域为____________4. 设{|52U x x =-≤<-或25,}x x Z <≤∈，{}2|2150A x x x =--=，{}3,3,4B =-则U A C B ⋂=____________5. 已知集合{}{}2,1,|2A B x ax =-==，若A B A ⋃=，则实数a 值集合为____________6. 满足条件{}{}{}1,3,53,5,71,3,5,7,9⋃=的所有集合A 的个数是____________个7. 已知不等式2202x x x a+≤+解集为A ，且2,3A A ∈∉，则实数a 的取值范围是____________ 8. 若函数()f x a 的取值范围为____________9. 已知,a b 是常数，且0ab ≠，若函数()33f x ax =+的最大值为10，则()f x 的最小值为 ____________10. 设正实数,a b 满足324a ab b ++=，那么1ab的最小值为____________ 11. 设()()2,043,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为____________ 12. 若方程()22420ax a x --+=在（0,2）内恰有一解，则实数a 的取值范围为____________ 二、选择题13. 下列命题中，正确的是（ ）A. 4x x +的最小值是4B. 的最小值是2C. 如果,a b c d >>，那么a c b d ->-D. 如果22ac bc >，那么a b >14. 设甲为“05x <<”，乙为“23x -<”，那么甲是乙的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件15. 非空集合A,B 满足，{}{},|,|A B P x x A Q x x B ⊂⋂=∅=⊆=≠，则下列关系一定成立的是（ ）A. A B P Q ⋃=⋃B. P Q ⋂=∅C. {}P Q ⋂=∅D. A B P Q ⊂⋃≠⋃ 16. 已知函数()1y f x =+为偶函数，则下列关系一定成立的是（ ）A. ()()f x f x =-B. ()()11f x f x +=-+C. ()()11f x f x +=--D. ()()1f x f x -+=三、解答题17. 已知集合21|1,1x A x x R x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}22|210,B x x ax a x R =-+-≤∈. （1）求集合A ； （2）若集合U=R ，()U B C A B ⋂=，求实数a 的取值范围.18. 已知函数()f x x a x b =-++.（1）若1,2a b ==，求不等式()5f x ≤的解；（2）对任意0,0a b >>，试确定函数()y f x =的最小值M （用含,a b 的代数式表示），若正数,a b 满足42a b ab +=，则,a b 分别取何值时，M 有最小值，并求出此最小值.19. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每1厘米厚的隔热层建造成本为6万元。
2019-2020学年上海中学高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年上海中学高一（上）期末数学试卷一、填空题1. 函数f(x)=√2−x +ln (x −1)的定义域为________．2. 设函数f(x)=(x+1)(x−a)x 为奇函数，则实数a 的值为________．3. 已知y ＝log a x +2(a >0且a ≠1)的图象过定点P ，点P 在指数函数y ＝f(x)的图象上，则f(x)＝________．4. 方程92x+1＝(13)x 的解为________．5. 对任意正实数x ，y ，f(xy)＝f(x)+f(y)，f(9)＝4，则f(√3)=________．6. 已知幂函数f(x)＝(m 2−5m +7)x m 是R 上的增函数，则m 的值为________．7. 已知函数f(x)={2x (x ≤0)log 2x(0<x ≤1)的反函数是f −1(x)，则f −1(12)＝________．8. 函数y ＝log 34|x 2−6x +5|的单调递增区间为________．9. 若函数f(x)=log a (x 2−ax +2)(a >0且a ≠1)满足：对任意x 1，x 2，当x 1<x 2≤a 2时，f(x 1)−f(x 2)>0，则a 的取值范围为________√2） ．10. 已知x >0，定义f(x)表示不小于x 的最小整数，若f （3x +f(x)）＝f(6.5)，则正数x 的取值范围为________．11. 已知函数f(x)＝log a (mx +2)−log a (2m +1+2x )(a >0且a ≠1)只有一个零点，则实数m 的取值范围为________．12. 已知函数f(x)={log 12(1−x),−1≤x ≤n 22−|x−1|−3,n <x ≤m ，(n <m)的值域是[−1, 1]，有下列结论：（1）n ＝0时，m ∈(0, 2]；（2）n =12时，m ∈(12,2]；（3）n =[0,12)时，m ∈(n, 2]，其中正确的结论的序号为________．二、选择题下列函数中，是奇函数且在区间(1, +∞)上是增函数的是（ ）A.f(x)＝3|x|B.f(x)=1x −xC.f(x)＝−x 3D.f(x)＝−log 2x+1x−1已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(−∞, 0)上单调递增，若实数m 满足f(|m −1|)>f(−1)，则m 的取值范围是（ ）A.(−∞, 0)∪(2, +∞)B.(−∞, 0)C.(0, 2)D.(2, +∞)如果函数f(x)在其定义域内存在实数x 0，使得f(x 0+1)＝f(x 0)+f(1)成立，则称函数f(x)为“可拆分函数”，若f(x)=lg a 2x +1为“可拆分函数”，则a 的取值范围是（ ）A.(32,3)B.(12,32)C.(32,3]D.(3, +∞]定义在(−1, 1)上的函数f(x)满足f(x)=1f(x−1)+1，当x ∈(−1, 0]时，f(x)=1x+1−1，若函数g(x)＝|f(x)−12|−mx −m 在(−1, 1)内恰有3个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A.[14,916)B.(14,916)C.[14,12)D.(14,12) 三.解谷题已知函数f(x)＝2x −1的反函数是y ＝f −1(x)，g(x)＝log 4(3x +1)．（1）画出f(x)＝2x −1的图象；（2）解方程f −1(x)＝g(x)．已知定义在R 上的奇函数f(x)＝ka x −a −x （(a >0且a ≠1)，k ∈R)．（1）求k 的值，并用定义证明当a >1时，函数f(x)是R 上的增函数；（2）已知f(1)=32，求函数g(x)＝a 2x +a −2x 在区间[0, 1]上的取值范围．松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当10≤t ≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t <10时，载客量会减少，减少的人数与(10−t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p(t)．(1)求p(t)的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；(2)若该线路每分钟的净收益为Q =6p(t)−1500t −60（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？对于定义域为D 的函数y ＝f(x)，若存在区间[a, b]⊂D ，使得f(x)同时满足，①f(x)在[a, b]上是单调函数，②当f(x)的定义域为[a, b]时，f(x)的值域也为[a, b]，则称区间[a, b]为该函数的一个“和谐区间”．（1）求出函数f(x)＝x 3的所有“和谐区间”[a, b]；（2）函数f(x)=|4x −3|是否存在“和谐区间”[a, b]？若存在，求出实数a ，b 的值；若不存在，请说明理由；（3）已知定义在(2, k)上的函数f(x)=2m −4x−1有“和谐区间”，求正整数k 取最小值时实数m 的取值范围．定义在R 上的函数g(x)和二次函数ℎ(x)满足：g(x)+2g(−x)＝e x +2e x −9，ℎ(−2)＝ℎ(0)＝1，ℎ(−3)＝−2．（1）求g(x)和ℎ(x)的解析式；（2）若对于x 1，x 2∈[−1, 1]，均有ℎ(x 1)+ax 1+5≥g(x 2)+3−e 成立，求a 的取值范围；（3）设f(x)={g(x),x >0ℎ(x),x ≤0，在（2）的条件下，讨论方程f[f(x)]＝a +5的解的个数．参考答案与试题解析2019-2020学年上海中学高一（上）期末数学试卷一、填空题1.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三.解谷题【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2019-2020学年上海市交大附中高一下学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市交大附中高一下学期期末数学试题一、单选题1．要得到函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数3sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 【答案】C【解析】将所给函数化为3sin 26y x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据三角函数相位变换原则可得结果. 【详解】3sin 23sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴只需将3sin 2y x =的图象向左平移6π个单位长度即可得到3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 故选：C 【点睛】本题考查三角函数的相位变换，关键是明确相位变换是针对x 的变化量的变换，遵循“左加右减”原则.2．O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，[)0,μ∈+∞，则P 点的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 【解析】先根据||AB AB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC →方向上的单位向量，确定||||A AB A AC CB →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，再由AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭可得到AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，可得答案．【详解】 解：||AB AB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC →方向上的单位向量，∴||||A AB A AC C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，又AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，∴AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴向量AP →的方向与BAC ∠的角平分线一致∴P 点的轨迹一定经过ABC 的内心.故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量的线性运算和向量的数乘，以及对三角形内心的理解，考查化简运算能力．3．已知数列{}n a 为等差数列，10a <且1231990a a a a +++⋅⋅⋅+=，设()*12n n n n b a a a n N ++=∈，当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 的值有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知1000a ，从而判断数列{}n a 是单调递增数列，即可判断当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 可取的值.【详解】数列{}n a 为等差数列，119921981002a a a a a ，1231990a a a a +++⋅⋅⋅+=，则1001990a ，即1000a ，10a <，可以判断数列{}n a 是单调递增数列，991010,0a a ，12n n n n b a a a ++=， 12323412nn n n S a a a a a a a a a ，当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 可取的值为97，98，99，100共4个. 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属于中档题.4．设O 为ABC 所在平面内一点，满足2730OA OB OC ++=，则ABC 的面积与BOC 的面积的比值为（ ） A ．6 B ．83C ．127D ．4【答案】A【解析】作2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，由已知可得O 是'''A B C 的重心，由重心性质可得所求面积比． 【详解】作2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，如图，∵2730OA OB OC ++=，∴O 是'''A B C 的重心，则''''''OA B OB C OC A S S S ==△△△，设''''''OA B OB C OC A S S S t ===△△△， 设,,OAB OAC y OBC S x S S z ===△△△，∵2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，∴''1''sin ''2141sin 2OA B OABOA OB A OB S S OA OB AOB ⋅∠==⋅∠△△，即114x t =，同理16y t =，121z t =，11161462121ABCS x y z t t t t=++=++=△，∴6216121ABCOBCtSS t==△△．故选：A．【点睛】本题考查三角形面积的计算，考查向量的加法与数乘法则，体现了向量在解决平面图形问题中的优越性．二、填空题5．计算：5arcsin sin6π⎛⎫=⎪⎝⎭______；【答案】6π【解析】用诱导公式把5sin6π中的角化到,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦中即可由反正弦函数定义得出结论．也可直接计算．【详解】5arcsin sin arcsin sin666πππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．或者51arcsin sin arcsin626ππ⎛⎫==⎪⎝⎭故答案为：6π．【点睛】本题考查反正弦函数，掌握反正弦函数定义是解题关键，注意反正弦函数的值域是,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．6．关于未知数x ，y 的方程组对应的增广矩阵为216320⎛⎫⎪-⎝⎭，则此方程组的解x y +=______；【答案】307【解析】由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程的解x ，y ，最后求x y +的值. 【详解】由二元线性方程组的增广矩阵为216320⎛⎫⎪-⎝⎭，得到二元线性方程组的表达式2+6320x y x y =⎧⎨-=⎩， 解得127187x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以x y +=307. 故答案为: 307. 【点睛】此题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的含义，属于基础题. 7．设3,sin 2a α⎛⎫=⎪⎝⎭，1cos ,3b α⎛⎫= ⎪⎝⎭，且//a b ，则cos2=α__________．【答案】0【解析】根据平面向量共线定理可以得到等式，用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数，求出2α的值，最后计算出它的余弦值即可. 【详解】 因为//a b ，所以31sin cos sin 2122()232k k Z πααααπ⨯=⇒=⇒=+∈， 因此cos 2cos(2)0()2k k Z παπ=+=∈.故答案为：0 【点睛】本题考查了两个平面向量共线定理，考查了二倍角的正弦公式，考查了特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力.8．已知函数()sin cos f x a x x =+的一条对称轴为3xπ=，则a =______；【解析】根据三角函数的性质可知()f x 在3x π=取得最大值或最小值，建立方程即可求解. 【详解】()()sin cos f x a x x x ϕ=+=+，其中ϕ是辅助角， 3x π=是()f x 的一条对称轴，231()1322f a a ，整理得230a -+=，解得a =【点睛】本题考查三角函数性质得应用，利用在对称轴的函数值是最大或最小是解题的关键，属于中档题.9．已知平面向量,a b 满足3a =，2b =，3a b ⋅=-，则2a b += .【解析】试题分析：因为222|2|44316127a b a b a b +=++⋅=+-=，所以27a b +=【考点】向量数量积，向量的模10．设211S =，2222121S =++，22222312321S =++++，…，222221221n S n =++++++，希望证明()2213nn n S +=，在应用数学归纳法求证上式时，第二步从k 到1k +应添的项是______. 【答案】()221k k ++【解析】写出1,k k S S +的表达式，通过比较可以知道第二步从k 到1k +应添的项. 【详解】当n k =时，222222212(1)(1)21k S k k k =+++-++-+++,当1n k =+时，2222222122(12(1)()21)11k k S k k k k +=+++-+++++-+++,通过对比可以发现，第二步从k 到1k +应添的项是()221k k ++.故答案为：()221k k ++ 【点睛】本题考查了数学归纳法证明过程中添项问题，属于基础题.11．已知0a b c ++=，3a =，4b =，5c =，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=______； 【答案】25-【解析】由已知得()c a b =-+，再两边平方22+2+25a a b b ⋅=，求得0a b ⋅=，代入可求得答案. 【详解】因为0a b c ++=，所以()c a b =-+，又因为5c =， 所以()225a b+=，即22+2+25a a b b ⋅=，又3a =，4b =，所以9+2+1625a b ⋅=，所以0a b ⋅=，所以()()20+25a b b c c a a b c b a c c c ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+=⋅-=-=-， 故答案为：25-. 【点睛】本题考查向量的线性运算，向量的数量积，以及向量的模的计算，属于中档题.12．若数列{}n a 为无穷等比数列，且()1231lim 2n n n a a a a a -→∞+++⋅⋅⋅++=-，则1a 的取值范围是______； 【答案】()()4,22,0--⋃-【解析】根据无穷等比数列的前n 项和的极限求解． 【详解】设数列{}n a 公比是q ，在1q <且0q ≠时，()11231lim 21n n n a a a a a a q-→∞+++⋅⋅⋅++==--， ∴12(1)a q =-，又11q -<<且0q ≠，210q -<-<且11q -≠-，∴142a -<<-或120a -<<．故答案为：()()4,22,0--⋃- 【点睛】本题考查无穷等比数列的和，数列{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为n S ，在1q <时，1lim 1n n a S q→∞=-．若1q ≥，则lim n n S →∞不存在． 13．设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则123456789a a a a a a a a a =______； 【答案】0；【解析】根据行列式计算法则和等比数列性质计算即可. 【详解】数列{}n a 是公比为q 的等比数列123456159483726753429186789a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ∴=++--- 33548372654837260a a a a a a a a a a a a a a .故答案为：0. 【点睛】本题考查等比数列的性质，以及行列式的相关计算，属于中档题.14．已知向量()5,5a =，(),1b λ=，若a b +与a b -的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______； 【答案】()()7,11,7-⋃【解析】利用()()0a b a b +⋅->去掉同向的情形即得． 【详解】由题意()()0a b a b +⋅-> ，即220a b ->，2222551λ+>+，∴77λ-<<，若()a b k a b +=-，则5(5)51(51)k k λλ+=-⎧⎨+=-⎩，解得321k λ⎧=⎪⎨⎪=⎩，综上λ的范围是()()7,11,7-⋃． 故答案为：()()7,11,7-⋃． 【点睛】本题考查向量的夹角与向量的数量积的关系，,a b 是两个非零向量，则,a b 夹角是锐角时，0a b⋅>，,a b夹角是钝角时，0a b⋅<，反之要注意,a b可能同向也可能反向．15．如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且OA2=，OC4=，AC5=，则OB OD⋅=______．【答案】52-【解析】建立坐标系，设()O m,n，()C a,b，根据条件得出O，C的坐标之间的关系，再计算OB OD⋅的值．【详解】以A为原点，以AB，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设()O m,n，()B a,0，()D0,b，则()C a,b，OA2=，OC4=，AC5=，222222a b25m n4()()16m a n b⎧+=⎪∴+=⎨⎪-+-=⎩，整理可得：13am bn2+=．又()OB a m,n=--，()OD m,b n=--，()()()22135OB OD m m a n n b m n am bn422∴⋅=-+-=+-+=-=-．故答案为52-．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是突破点，准确计算是关键，属于中档题．16．已知平面直角坐标系内定点()1,1A ，动点B 满足2AB →=，动点C 满足3CB →=，则点C 在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为______； 【答案】24π【解析】本题先将B 固定，得到C 的轨迹，C 的轨迹随着B 的动点而运动从而形成一个圆环，即C 在平面直角坐标系内覆盖的图形. 【详解】因为动点B 满足2AB →=，所以B 点的轨迹是以A 为圆心，2为半径的一个圆， 又因为动点C 满足3CB →=，所以C 点轨迹是以B 为圆心，3为半径的一个圆，当B 点在圆上运动时，点C 的轨迹是以点A 为圆心、以5为半径的圆， C 点在平面直角坐标系内覆盖的图形如下图所示，即C 在平面直角坐标系内覆盖的图形为一个圆环，其中大圆的半径为5，小圆的半径是1，所以点C 在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为22=5124S πππ⋅-⋅=. 故答案为：24π 【点睛】本题考查根据曲线的轨迹方程求面积，考查学生的直观想象能力和作图能力，易错点是把覆盖的面积看成整个圆，属于中档题.三、解答题17．解关于x .y 的一元二次方程组()3322ax y a x a y +=--⎧⎨+-=-⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】3a =，无数个解；1a =-，无解；3a ≠且1a ≠-，4111a x a y a --⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩.【解析】分情况讨论即可知道解的情况. 【详解】 （1）当33122aa a 时，方程组有无数个解， 解得3a =； （2）当33122a a a 时，方程组无解， 解得1a =-；（3）当312a a 时，方程组只有一组解为4111a x a y a --⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，解得3a ≠且1a ≠-，综上，3a =，无数个解；1a =-，无解；3a ≠且1a ≠-，4111a x a y a --⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩.【点睛】本题考查二元一次方程组的解的情况，可以利用直线系数的比例关系讨论，属于基础题. 18．已知x ∈R ，设()3cos ,sin cos m x x x =-，()2sin ,sin cos n x x x =+，记函数()f x m n =⋅.（1）求函数()f x 的最小值，并求出函数()f x 取最小值时x 的值；（2）设ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2f C =，c =，求ABC 的面积S 的最大值.【答案】（1）min 2y =-，,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭；（2）【解析】(1)先根据向量的数量积的运算，以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得到f （x ）=2sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质即可求出答案； （2）先求出C 的大小，再根据余弦定理和基本不等式，即可求出3ab ≤，根据三角形的面积公式即可求出答案. 【详解】（1）()2223sin cos sin cos f x m n x x x x =⋅=+-2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令2262x k ππ-=π-，k ∈Z ，即()6x k k Z ππ=-∈时，sin 216x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()f x 取最小值2-，所以，()f x 的最小值为2-，所求x 的取值集合是,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭； （2）由()2f C =，得sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为0C π<<，所以112666C πππ-<-<，所以262C ππ-=，3C π=，在ABC 中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得223a b ab ab =+-≥，即3ab ≤，当且仅当a b =时取等号，所以ABC 的面积11sin 32224S ab C =≤⨯⨯=，因此ABC 的面积S 【点睛】本题考查了向量的数量积的运算和二倍角公式，两角和的正弦公式，余弦定理和基本不等式，三角形的面积公式，属于中档题. 19．已知ABC 内接于O ，AB c =，BC a =，=CA b ，O 的半径为r .（1）若230OA OB OC ++=，试求BOC ∠的大小；（2）若A 为动点，60BAC ∠=︒，AO OC OB λμ=+，试求λμ+的最大值. 【答案】（1）56π；（2）2. 【解析】（1）由230OA OB OC ++=可得2223OB OCOA ，解得3cos BOC，即可求出56BOC ； （2）由60BAC ∠=︒可得120BOC ∠=︒，再由AO OC OB λμ=+平方后得221λμλμ+-=，利用基本不等式可求出λμ+的最大值.【详解】 （1）230OA OB OC ++=， 23OBOCOA ，则2223OBOCOA ，即2224433OBOB OC OCOA ,2222443cos 3r r BOC r r ，解得3cos 2BOC, 56BOC; （2）60BAC ∠=︒，120BOC ∴∠=︒，AO OC OB λμ=+，()()22AOOC OB λμ∴=+，即222222AO OC OC OB OB λλμμ=+⋅+，2222222cos120r r r r ，整理得221λμλμ+-=，即231，22，22132，解得24，即2λμ+≤，当且仅当1λμ==时等号成立，∴λμ+的最大值为2.【点睛】本题考查向量数量积的应用，以及利用基本不等式求最大值，属于综合题. 20．已知平方和公式：()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=，其中*n N ∈.（1）记()()()()()22222231521432f n n n =-++⋅⋅⋅+-+-+++⋅⋅⋅+-，其中*n N ∈，求()20f 的值；（2）已知()()22222213214948242n n ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+，求自然数n 的值； （3）抛物线2y kx =.x 轴及直线:AB x a =围成了如图（1）的阴影部分，AB 与x 轴交于点A ，把线段OA 分成n 等份，作以an为底的内接矩形如图（2），阴影部分的面积为S ，n 等于这些内接矩形面积之和.2222231a a a a a a a n k k k k a n n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当n →+∞时的极限值.图（3）中的曲线为开口向右的抛物线2y x =，抛物线y x =x 轴及直线:4AB x =围成了图中的阴影部分，请利用极限平方和公式.反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积.【答案】（1）47980；（2）72；（3）163. 【解析】（1）将(20)f 化为2222222222221234565758593657，即可结合公式求解；（2）分别转化()()222222242412n n ++⋅⋅⋅+=+++和()()()()222222222221321123221242n n n n ⎡⎤++⋅⋅⋅++=++++++-+++⎣⎦，然后根据公式求解，建立方程即可求出n ； （3）线段AB 分成n 等份，作以2n为底的内接矩形，则阴影部分的面积可看作是这些内接矩形的面积之和，利用极限即可求出. 【详解】 （1）()()()()()22222231521432f n n n =-++⋅⋅⋅+-+-+++⋅⋅⋅+-，22222222(20)595652145558f2222222212457858592222222222221234565758593657222259601199123196192039702109479806；（2）()()()()22222221212424123n n n n n ++++⋅⋅⋅+=+++=，()()()()222222222221321123221242n n n n ⎡⎤∴++⋅⋅⋅++=++++++-+++⎣⎦212112122122436333n n n n n n n n n ，()()22222213212349248242n n n n ++⋅⋅⋅+++∴==++⋅⋅⋅+， 解得72n =；（3）由题可知，2AB =,如图，把线段AB 分成n 等份，作以2n为底的内接矩形，设阴影部分的面积为S ，则S 可看作是这些内接矩形的面积之和， 则222222242622(1)4444n Snnnnnnnn22222222411231n n nn n328112181644633n n n n nn n n ，当n →+∞时，163S， 所以阴影部分的面积为163. 【点睛】本题考查根据所给公式化简求值，以及用极限求面积，属于较难题.21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S a +=，*n N ∈，数列{}n b 满足：对于任意的*n N ∈，都有11213211333n n n n n a b a b a b a b n ---⎛⎫+++⋅⋅⋅+=+- ⎪⎝⎭成立.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设数列n n n c a b =，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.【答案】（1）113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）21n b n =-；（3）存在，1c ，2c ，5c 或2a ，3c ，5c .【解析】（1）当2n ≥时，类比写出1123n n S a --+=，两式相减整理得113n n a a -=，当1n =时，求得10a ≠，从而求得数列{}n a 的通项公式.；（2）将113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭代入已知条件，用与（1）相似的方法，变换求出数列{}n b 的通项公式；（3）由n c 的通项公式分析，得12345c c c c c =>>>>…，假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，且s p r <<，则2p s r c c c =+，即()1112212121333p s r p s r ------=+，根据数列{}n c 的单调性，化简得722p ≤<，将2p =或3p =代入已知条件，即可得到结论. 【详解】（1）由23n n S a +=， ① 得()11232n n S a n --+=≥， ② 由①-②得120n n n a a a -+-=，即()1123n n a a n -=≥， 对①取1n =得，110a =≠，所以0n a ≠，所以113n n a a -=为常数， 所以{}n a 为等比数列，首项为1，公比为13， 即113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，*n N ∈；（2）由113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得对于任意*n N ∈有2111211111333333n n n n n b b b b n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ③则()()2221231111131323333n n n n n b b b b n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ④则()23111231111112233333n n n n n b b b b n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ⑤由③-⑤得()212n b n n =-≥，对③取1n =得，11b =也适合上式，因此21n b n =-，*n N ∈， （3）由（1）（2）可知1213n n n n n c a b --==， 则()11412121333n n n n n n n n c c +--+--=-=， 所以当1n =时，1n n c c +=，即12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，即{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减， 故12345c c c c c =>>>>…，假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，其中s ，p ，*r N ∈，由于12345c c c c c =>>>>…，可不妨设s p r <<，则2p s r c c c =+（），即()1112212121333p s r p s r ------=+， 因为s ，p ，*r N ∈且s p r <<，则1s p ≤-且2p ≥， 由数列{}n c 的单调性可知，1s p c c -≥，即12212333s p s p ----≥， 因为12103r r r c --=>，所以()11122212121233333p s r p p s r p --------=+>， 即()122212333p p p p ---->，化简得72p <， 又2p ≥且*∈p N ，所以2p =或3p =，当2p =时，1s =，即121c c ==，由3r ≥时，21r c c <=，此时1c ，2c ，r c 不构成等差数列，不合题意，当3p =时，由题意1s =或2s =，即1s c =，又359p c c ==，代入（）式得19r c =， 因为数列{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减，且519c =，4r ≥，所以=5r ， 综上所述，数列{}n c 中存在三项1c ，3c ，5c 或2c ，3c ，5c 构成等差数列. 【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的定义、通项公式，涉及到等差和等比数列的判断，数列的单调性等知识的综合运用，考查分类讨论思想与逻辑推理能力，属于难题.。
2019-2020学年上海交大附中高一(下)期末数学试卷及答案
2019-2020学年上海交大附中高一（下）期末数学试卷一、填空题：1．（3分）计算：arcsin（sin）＝．2．（3分）关于未知数x，y的方程组对应的增广矩阵为，则此方程组的解x+y ＝．3．（3分）设，，且∥，则cos2α＝．4．（3分）已知函数f（x）＝a sin x+cos x的一条对称轴为x＝，则a＝．5．（3分）已知平面向量，满足||＝，||＝2，＝﹣3，则||＝．6．（3分）设S1＝12，S2＝12+22+12，S3＝12+22+32+22+12，…，S n＝12+22+32+…+n2+…+32+22+12．希望证明S n＝，在应用数学归纳法求证上式时，第二步从k到k+1应添的项是．（不用化简）7．（3分）已知++＝，且||＝3，||＝4，||＝5，则•+•+•＝，•＝．8．（3分）若数列{a n}为无穷等比数列，且（a1+a2+a3+…+a n﹣1+a n）＝﹣2，则a1的取值范围是．9．（3分）设数列{a n}是公比为q的等比数列，则＝．10．（3分）已知向量＝（5，5），＝（λ，1），若+与﹣的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为．11．（3分）如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且OA＝2，OC＝4，AC＝5，则＝．12．（3分）已知平面直角坐标系内定点A（1，1），动点B满足||＝2，动点C满足||＝3，则点C在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为．二、选择题13．（3分）要得到函数y＝3sin（2x+）的图象，只需将函数y＝3sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度14．（3分）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心15．（3分）已知数列{a n}为等差数列，a1＜0且a1+a2+a3+…+a199＝0，设b n＝a n a n+1a n+2（n∈N*），当{b n}的前n项和S n最小时，n的值有（）A．5个B．4个C．3个D．2个16．（3分）设O为△ABC所在平面内一点，满足2﹣7﹣3＝，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（）A．6B．C．D．4三.解答题：17．解关于x、y的一元二次方程组，并对解的情况进行讨论．18．已知x∈R，设＝（cos x，sin x﹣cos x），＝（2sin x，sin x+cos x），记函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的最小值，并求出函数f（x）取最小值时x的值；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）＝2，c＝2，求△ABC的面积S的最大值．19．已知△ABC内接于⊙O，AB＝c，BC＝a，CA＝b，⊙O的半径为r．（1）若+2+＝，试求∠BOC的大小；（2）若A为动点，∠BAC＝60°，＝，试求λ+μ的最大值．20．（4分）已知平方和公式：12+22+…+n2＝，其中n∈N*．（1）记f（n）＝（﹣3n+1）2+…+（﹣5）2+（﹣2）2+12+42+…+（3n﹣2）2，其中n∈N*，求f（20）的值；（2）已知＝，求自然数n的值；（3）抛物线y＝kx2、x轴及直线AB：x＝a围成了如图（1）的阴影部分，AB与x轴交于点A，把线段OA分成n等份，作以为底的内接矩形如图（2），阴影部分的面积为S，等于这些内接矩形面积之和．×k×（）2×k×（）2×k×（）2+…+×k×（a）2，当n→+∞时的极限值S＝[k•（）2+k•（）2+k•（）2+…+k•（）2]2•＝•ak＝•ak＝ak．图（3）中的曲线为开口向右的抛物线y2＝x．抛物线y＝、x轴及直线AB：x＝4围成了图中的阴影部分，请利用极限、平方和公式、反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积（说明：直角积分运算最高得分为4分）21．设数列{a n}的前n项和为S n，2S n+a n＝3，n∈N*，数列{b n}满足：对于任意的n∈N*，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣1+…+a n b1＝（）n﹣1+3n﹣3成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列c n＝a n b n，问：数列{c n}中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．2019-2020学年上海交大附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．（3分）计算：arcsin（sin）＝．【分析】由题意利用反正弦函数的定义，特殊角的三角函数值，求得结果．【解答】解：arcsin（sin）＝arcsin＝，故答案为：．【点评】本题主要考查反正弦函数的定义，特殊角的三角函数值，属于基础题．2．（3分）关于未知数x，y的方程组对应的增广矩阵为，则此方程组的解x+y＝．【分析】推导出，由此能求出x+y的值．【解答】解：∵关于未知数x，y的方程组对应的增广矩阵为，∴，解得，∴x+y＝．故答案为：．【点评】本题考查方程的解求法，考查增广矩阵等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（3分）设，，且∥，则cos2α＝0．【分析】由平面向量的共线定理列方程求出sin2α的值，再求cos2α的值．【解答】解：由，，且∥，则sinαcosα﹣×＝0，所以sinαcosα＝，所以sin2α＝1；所以2α＝+2kπ，k∈Z；所以cos2α＝0．故选：0．【点评】本题考查了平面向量的共线定理与三角函数求值问题，是基础题．4．（3分）已知函数f（x）＝a sin x+cos x的一条对称轴为x＝，则a＝．【分析】由题意化简函数f（x），将函数的对称轴代入可得辅助角的值，进而求出正切值，可得a的值．【解答】解：由题意显然a≠0，当a＞0时，f（x）＝sin（x+α），且tanα＝，因为函数的一条对称轴为x＝，所以+α＝+kπ，k∈Z，所以α＝+kπ，k∈Z，则tanα＝tan（+kπ）＝，所以＝，解得：a＝；当a＜0，则f（x）＝﹣sin（x+α），且tanα＝，下面运算相同，综上所述，可得a＝，故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简即正弦函数的性质，属于基础题．5．（3分）已知平面向量，满足||＝，||＝2，＝﹣3，则||＝．【分析】求出（）2，开方即为||．【解答】解：（）2＝＝3﹣12+16＝7，∴||＝．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．6．（3分）设S1＝12，S2＝12+22+12，S3＝12+22+32+22+12，…，S n＝12+22+32+…+n2+…+32+22+12．希望证明S n＝，在应用数学归纳法求证上式时，第二步从k到k+1应添的项是（k+1）2+k2．（不用化简）【分析】分别写出n＝k与n＝k+1时S n中的项，然后确定从k到k+1应添的项．【解答】解：当n＝k时，S n＝12+22+32+…+k2+…+32+22+12，那么，当n＝k+1时，S k+1＝12+22+32+…k2+（k+1）2+k2+…+32+22+12．从k到k+1应添的项是（k+1）2+k2，故答案为：（k+1）2+k2．【点评】本题考查数学归纳法证题的步骤，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是基础题．7．（3分）已知++＝，且||＝3，||＝4，||＝5，则•+•+•＝﹣25，•＝0．【分析】首先，根据++＝得到，然后，根据||＝5，求解，然后，再求解•+•+•的值．【解答】解：∵++＝，∴，∵||＝5，∴（）2＝25，∴|＝25，∵||＝3，||＝4，∴9+2+16＝25，，∴•+•+•＝•+•（+）＝﹣（）2＝0﹣25＝﹣25．故答案为：﹣25；0．【点评】本题重点考查了平面向量的基本运算，数量积的运算性质等知识，属于中档题．8．（3分）若数列{a n}为无穷等比数列，且（a1+a2+a3+…+a n﹣1+a n）＝﹣2，则a1的取值范围是（﹣4，﹣2）∪（﹣2，0）．【分析】设公比为q，由题意可得0＜|q|＜1，且＝﹣2，解不等式可得所求范围．【解答】解：数列{a n}为无穷等比数列，且（a1+a2+a3+…+a n﹣1+a n）＝﹣2，设公比为q，可得0＜|q|＜1，且＝﹣2，则q＝1+，由0＜|1+|＜1，解得﹣4＜a1＜﹣2或﹣2＜a1＜0，故答案为：（﹣4，﹣2）∪（﹣2，0）．【点评】本题考查无穷递缩等比数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．9．（3分）设数列{a n}是公比为q的等比数列，则＝0．【分析】利用三阶行列式展开法则和等比数列的通项公式直接求解．【解答】解：∵数列{a n}是公比为q的等比数列，∴＝a1a5a9+a4a8a3+a2a6a7﹣a7a5a3﹣a8a6a1﹣a4a2a9＝++﹣﹣﹣＝0．故答案为：0．【点评】本题考查三阶行列式的值的求法，考查三阶行列式展开法则和等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．（3分）已知向量＝（5，5），＝（λ，1），若+与﹣的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为（﹣7，1）∪（1，7）．【分析】可先求出，根据题意即可得出，然后解出λ的值即可．【解答】解：，∵与的夹角是锐角，∴，且与不共线，∴，解得﹣7＜λ＜7且λ≠1，∴实数λ的取值范围为（﹣7，1）∪（1，7）．故答案为：（﹣7，1）∪（1，7）．【点评】本题考查了向量坐标的加法和减法运算，向量数量积的计算公式，共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．11．（3分）如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且OA＝2，OC＝4，AC＝5，则＝﹣．【分析】建立坐标系，设O（m，n），C（a，b），根据条件得出O，C的坐标之间的关系，再计算的值．【解答】解：以A为原点，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设O（m，n），B（a，0），D（0，b），则C（a，b），∵OA＝2，OC＝4，AC＝5，∴，整理可得：am+bn＝．又＝（a﹣m，﹣n），＝（﹣m，b﹣n），∴＝m（m﹣a）+n（n﹣b）＝m2+n2﹣（am+bn）＝4﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．12．（3分）已知平面直角坐标系内定点A（1，1），动点B满足||＝2，动点C满足||＝3，则点C在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为24π．【分析】本题先将B固定，得到C的轨迹，C的轨迹随着B的动点而运动从而形成一个圆环，即C在平面直角坐标系内覆盖的图形．【解答】解：因为动点B满足||＝2，所以B点的轨迹是以A为圆心，2为半径的一个圆，又因为动点C满足||＝3，所以C点轨迹是以B为圆心，3为半径的一个圆，当B点在圆上运动时，C点在平面直角坐标系内覆盖的图形如下图所示即C在平面直角坐标系内覆盖的图形为一个圆环，其中大圆的半径为5，小圆的半径是1，所以C在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为．【点评】本题考查根据曲线的轨迹方程求面积，考查学生的直观想象能力和作图能力，易错点是把覆盖的面积看成一整个圆，属于中档题．二、选择题13．（3分）要得到函数y＝3sin（2x+）的图象，只需将函数y＝3sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】由于函数y＝3sin（2x+）＝3sin2（x+），故只要将函数y＝3sin2x的图象相左平移个单位即可实现目标．【解答】解：由于函数y＝3sin（2x+）＝3sin2（x+），故只要将函数y＝3sin2x的图象相左平移个单位，即可得到函数y＝3sin（2x+）的图象．故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换，属于中档题．14．（3分）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定+的方向与∠BAC的角平分线一致，再由可得到＝λ（+），可得答案．【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量∴+的方向与∠BAC的角平分线一致又∵，∴＝λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致∴一定通过△ABC的内心故选：B．【点评】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．15．（3分）已知数列{a n}为等差数列，a1＜0且a1+a2+a3+…+a199＝0，设b n＝a n a n+1a n+2（n∈N*），当{b n}的前n项和S n最小时，n的值有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】根据等差数列的性质，可推得a100＝0，进而可得数列{a n}为递增数列，a99＜0，a101＞0，根据题意，b n＝a n a n+1a n+2（n∈N*），当n≤97时，b n＜0；当n＝98，n＝99，n ＝100时，b n＝0；当n≥101时，b n＞0．所以{b n}的前n项和S n最小时，n＝97或n＝98或n＝99或n＝100，共4个．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列∴a1+a199＝a2+a198＝…＝a99+a101＝2a100，又∵a1+a2+a3+…+a199＝0，即199a100＝0，∴a100＝0．又∵a1＜0，∴数列{a n}为递增数列，∴a99＜0，a101＞0，∵b n＝a n a n+1a n+2（n∈N*），∴{b n}的前n项和S n＝a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2，当n≤97时，b n＜0，当n＝98，n＝99，n＝100时，b n＝0，当n≥101时，b n＞0，∴{b n}的前n项和S n最小时，n＝97或n＝98或n＝99或n＝100，共4个．故选：B．【点评】本题主要考查等差数列的性质，考查数列的前n项和的最值，考查学生运算和推理的能力，属于中档题．16．（3分）设O为△ABC所在平面内一点，满足2﹣7﹣3＝，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（）A．6B．C．D．4【分析】先设设，于是得到点O是△A1B1C1的重心，则＝k，再结合三角形面积公式即可求出△ABC的面积与△BOC的面积，进而得到答案．【解答】解：不妨设，如图所示，根据题意则，即点O是△A1B1C1的重心，所以有＝k，又因为，，，那么，，，，故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了向量的数乘运算，重心的性质，三角形的面积公式，考查了转化与化归的数学思想，属于难题．三.解答题：17．解关于x、y的一元二次方程组，并对解的情况进行讨论．【分析】（1）若＝＝（a﹣2≠0），解得a，可得方程组有无数个解．（2）若＝≠（a﹣2≠0），解得a，可得方程组无解．（3）若a＝2时，方程组化为：，解出即可判断出结论．．若a﹣2≠0，≠，解出可得方程组有唯一解．【解答】解：（1）若＝＝（a﹣2≠0），则a＝3，此时两条直线重合，方程组有无数个解．（2）若＝≠（a﹣2≠0），则a＝﹣1，此时两条直线平行，方程组无解．（3）若a＝2时，方程组化为：，解得．若a﹣2≠0，≠，则a≠3，﹣1，2，此时两条直线相交，方程组有唯一解．【点评】本题考查了方程组的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．已知x∈R，设＝（cos x，sin x﹣cos x），＝（2sin x，sin x+cos x），记函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的最小值，并求出函数f（x）取最小值时x的值；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）＝2，c＝2，求△ABC的面积S的最大值．【分析】结合平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式和辅助角公式将函数化简为f（x）＝2sin（2x﹣）．（1）根据正弦函数的图象可知，当2x﹣＝+2kπ时，f（x）可取得最小值．（2）易知C＝，由余弦定理得，cos C＝，再利用基本不等式的性质可求出ab的最大值，然后根据S△ABC＝ab sin C即可得解．【解答】解：f（x）＝＝2sin x cos x+（sin x﹣cos x）（sin x+cos x）＝sin2x﹣cos2x ＝2sin（2x﹣）．（1）∵x∈R，∴2x﹣∈R，当2x﹣＝+2kπ，即x＝+kπ，k∈Z时，f（x）min＝2×（﹣1）＝﹣2．故f（x）的最小值为﹣2，此时x＝+kπ，k∈Z．（2）∵f（C）＝2，∴2sin（2C﹣）＝2，∴2C﹣＝+2π，k∈Z，即C＝+kπ，k∈Z．∵C∈（0，π），∴C＝．由余弦定理知，cos C＝，即＝≥，当且仅当a＝b时，取等号．∴ab≤12，∴S△ABC＝ab sin C≤＝．故△ABC的面积S的最大值为．【点评】本题考查平面向量与解三角形的综合运用，包含平面向量数量积的运算、二倍角公式、余弦定理以及基本不等式的性质等基础考点，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19．已知△ABC内接于⊙O，AB＝c，BC＝a，CA＝b，⊙O的半径为r．（1）若+2+＝，试求∠BOC的大小；（2）若A为动点，∠BAC＝60°，＝，试求λ+μ的最大值．【分析】（1）根据+2+＝，得∴﹣＝2+，等式两边同时平方，即可求得cos∠BOC＝﹣，进而求得∠BOC＝．（2）因为⊙O中，∠BAC＝60°，所以∠BOC＝120°，＝，等式两边同时平方，可得λ2+μ2＝λμ+1，根据均值不等式，即可求得λ+μ≤2．【解答】解：（1）∵+2+＝，∴＝2+，∴2＝（2+）2，∵AO＝OB＝OC＝r，∴r2＝4r2+2•2•r2•cos∠BOC+3r2，计算得cos∠BOC＝﹣，由题，∠BOC∈（0，π），∴∠BOC＝．（2）由题，⊙O中，∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，＝，∴2＝（）2，∴r2＝λ2r2+2•λ•μr2•cos120°+μ2r2，∴λ2+μ2＝λμ+1，根据题意，可知λ＞0，μ＞0，∴（λ+μ）2＝3λμ+1≤3•+1，（当且仅当λ＝μ时等式成立），∴（λ+μ）2≤4∴λ+μ≤2．∴λ+μ的最大值为2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用及基本不等式的应用．考查学生转化的思想，属于中档题．20．（4分）已知平方和公式：12+22+…+n2＝，其中n∈N*．（1）记f（n）＝（﹣3n+1）2+…+（﹣5）2+（﹣2）2+12+42+…+（3n﹣2）2，其中n∈N*，求f（20）的值；（2）已知＝，求自然数n的值；（3）抛物线y＝kx2、x轴及直线AB：x＝a围成了如图（1）的阴影部分，AB与x轴交于点A，把线段OA分成n等份，作以为底的内接矩形如图（2），阴影部分的面积为S，等于这些内接矩形面积之和．×k×（）2×k×（）2×k×（）2+…+×k×（a）2，当n→+∞时的极限值S＝[k•（）2+k•（）2+k•（）2+…+k•（）2]2•＝•ak＝•ak＝ak．图（3）中的曲线为开口向右的抛物线y2＝x．抛物线y＝、x轴及直线AB：x＝4围成了图中的阴影部分，请利用极限、平方和公式、反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积（说明：直角积分运算最高得分为4分）【分析】（1）直接利用关系式的应用求出函数的值．（2）利用合比性质的应用求出n的值．（2）首先求出被积函数原函数，进一步求出定积分的值．【解答】解：（1）f（20）＝（﹣59）2+（﹣56）2+…+（﹣5）2+（﹣2）2+12+42+…+（58）2，＝12+22+32+...+592﹣[32+62+92+ (572)＝12+22+32+…+592﹣[（3×1）2+（3×2）2+（3×3）2+…+（3×19）2]＝12+22+32+…+592﹣[9×（12+22+32+…+192）]＝﹣9×＝47980；（2）＝，由合比性质可知＝，所以＝，解得n＝72，所以自然数n的值为72．（3）S＝＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的求和，合比性质，定积分，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．21．设数列{a n}的前n项和为S n，2S n+a n＝3，n∈N*，数列{b n}满足：对于任意的n∈N*，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣1+…+a n b1＝（）n﹣1+3n﹣3成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列c n＝a n b n，问：数列{c n}中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将n换为n﹣1，运用数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项；（2）a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣1+…+a n b1＝（）n﹣1+3n﹣3中的n换为n﹣1，乘以，相减可得所求通项公式；（3）求得c n＝a n b n＝，讨论单调性，假设存在三项c s，c p，c r成等差数列，其中s，p，r∈N*，运用等差数列中项性质和不等式的性质，推理运算，即可得到所求结论．【解答】解：（1）由2S n+a n＝3，①得2S n﹣1+a n﹣1＝3，（n≥2），②由①﹣②得2a n+a n﹣a n﹣1＝0，即a n＝a n﹣1（n≥2）．对①取n＝1得，a1＝1≠0，所以a n≠0，所以{a n}为等比数列，首项为1，公比为，即a n＝（）n﹣1，n∈N*．（2）由a n＝（）n﹣1，可得对于任意n∈N*．有b n+b n﹣1+（）2b n﹣2+…+（）n﹣1b1＝（）n﹣1+3n﹣3，③则b n﹣1+b n﹣2+（）2b n﹣3+…+（）n﹣2b1＝（）n﹣2+3n﹣6，n≥2，④则b n﹣1+（）2b n﹣2+（）3b n﹣3+…+（）n﹣1b1＝（）n﹣1+n﹣2，n≥2，⑤由③﹣⑤得b n＝2n﹣1（n≥2），对③取n＝1得，b1＝1也适合上式，因此b n＝2n﹣1，n∈N*．（3）由（1）（2）可知c n＝a n b n＝，则c n+1﹣c n＝﹣＝，所以当n＝1时，c n+1＝c n，即c1＝c2，当n≥2时，c n+1＜c n，即{c n}在n≥2且n∈N*上单调递减，故c1＝c2＞c3＞c4＞c5＞…，假设存在三项c s，c p，c r成等差数列，其中s，p，r∈N*，由于c1＝c2＞c3＞c4＞c5＞…，可不妨设s＜p＜r，则2c p＝c s+c r（*），即＝+，因为s，p，r∈N*，且s＜p＜r，则s≤p﹣1且p≥2，由数列{c n}的单调性可知，c s≥c p﹣1，即≥，因为c r＝+，＞0，所以＝+＞，即以＞，化简得p＜，又p≥2且p∈N*，所以p＝2或p＝3，当p＝2时，s＝1，即c1＝c2＝1，由r≥3时，c r＜c2＝1，此时c1，c2，c r不构成等差数列，不合题意．当p＝3时，由题意s＝1或s＝2，即c s＝1，又c p＝c3＝，代入（*）式得c r＝．因为数列{c n}在n≥2且n∈N*上单调递减，且c5＝，r≥4，所以r＝5．综上所述，数列{c n}中存在三项c1，c3，c5或c2，c3，c5构成等差数列．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列中项性质，以及分类讨论思想方法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
上海市上海中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题含解析
上海市上海中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一.填空题1.方程lg(21)lg 1x x +-=的解为_________.2.函数y =________.3.若幂函数图像过点(8,4)，则此函数的解析式是y =________.4.若指数函数xy a =的定义域和值域都是[]2,4，则a =_________；5.函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为_________；6.若233log 03a a+<+，则实数a 的取值范围是_______.7.己知函数()f x 定义域为R ，且恒满足()(2)0f x f x +-=，1(1)()f x f x +=-，则函数()f x 的奇偶性为________. 8.函数225xy x x =++单调递增区间为_______. 9.函数42()21x x xcf x ++=+在定义域上单调递增，则c 的取值范围__________. 10.关于x 的方程2282x m x -=+有两个不同解，则m 的取值范围为_________. 11.已知函数23()4f x ax =+，()ag x x x =+，对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围为__________.12.已知函数()||1||3|1|f x x x =----，若()246(4)f a a f a +=，则实数a 的取值范围为_______. 二.选择题13.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞递增，下列一定正确的是（ ）A. 2332(0)22f f f --⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭14.函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A. (1)f x + B. (1)f x - C. ()1f x + D. ()1f x -15.设方程3|ln |xx -=的两个根1x 、2x ，则（ ）A. 120x x <B. 121=x xC. 121x x >D. 121x x <16.己知函数()y f x =定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =-，若对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，则m 的取值范围为（ ） A. 13,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 14,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D.17,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦三.解答题17.已知函数()f x 定义域为R ，当0x >时，2()lg 2f x x x x =--.（1）若()f x 是偶函数，求0x <时()f x 解析式；（2）若()f x 是奇函数，求x ∈R 时()f x 的解析式. 18.设关于x 的方程1936(5)0xx k k k +-+-=.（1）若常数3k =，求此方程的解；（2）若该方程在[0,2]内有解，求k 的取值范围.19.某环线地铁按内、外线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异），新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，其中内环投入x 列列车. （1）写出内、外环线乘客的最长候车时间（分钟）分别关于x 的函数解析式；（2）要使内、外环线乘客的最长候车时问之差距不超过1分钟，问内、外环线应各投入几列 列车运行？（3）要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小，问内、外环线应各投入几列列车运行？(2)()(2)f t f t f +=+.（1）判断函数()f x kx =（k 为常数）是否属于集合M ； （2）若2()ln1af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .20.已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数t ，使得 21.对于函数3()3||1f x x x c =--+.（1）当0,()c f x =向下和向左各平移一个单位，得到函数()g x ，求函数()g x 的零点； （2）对于常数c ，讨论函数()f x 的单调性； （3）当0c，若对于函数()f x 满足()()f x a f x +>恒成立，求实数a 取值范围.上海市上海中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一.填空题1.方程lg(21)lg 1x x +-=的解为_________. 【答案】18x .【解析】 【分析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的差等于商的对数去掉对数符号，求解分式方程得答案.【详解】因为lg(21)lg 1x x +-=，所以21lglg10x x+=，所以02102110x x x x⎧⎪>⎪+>⎨⎪+⎪=⎩，解得18x， 故答案为：18x. 【点睛】该题考查的是有关对数方程的求解问题，在解题的过程中，注意对数式有意义的条件，对数式的运算法则，属于基础题目.2.函数y =________. 【答案】[0,)+∞ 【解析】 【分析】根据指数函数的值域，结合根式有意义的条件，求得函数的值域，得到答案. 【详解】因为1()02x>，所以1()112x->-， 根据根式有意义，有1()102x-≥，所以y =[0,)+∞， 故答案为：[0,)+∞.【点睛】该题考查的是有关函数的值域的求解问题，属于基础题目. 3.若幂函数图像过点(8,4)，则此函数的解析式是y =________. 【答案】23x 【解析】 【分析】先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项. 【详解】设幂函数的解析式为y x α=， 由于函数图象过点(8,4)，故有48α=，解得23α=，所以该函数的解析式是23y x =， 故答案为：23x .【点睛】该题考查的是有关应用待定系数法求幂函数的解析式的问题，属于基础题目.4.若指数函数xy a =的定义域和值域都是[]2,4，则a =_________；【解析】 【分析】讨论1a >和01a <<两种情况，根据函数的单调性计算值域得到答案.【详解】当1a >时：函数()xy f x a ==单调递增，()2422,(4)4f a f a a ====∴=当01a <<时：函数()xy f x a ==单调递减，()2424,(4)2f a f a ====，无解.综上所述：a =【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握. 5.函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为_________；【答案】20)x ≥【解析】 【分析】利用函数表达式解得)20x y =≥，得到反函数.【详解】())22()424(0)20y f x x x x x x y ==-=--≤∴=≥故函数的反函数为1()20)f x x -=≥故答案为20)x ≥【点睛】本题考查了反函数的计算，忽略掉定义域是容易发生的错误.6.若233log 03a a+<+，则实数a 的取值范围是_______.【答案】(0,1)【解析】 【分析】将0写成1的对数，之后根据函数的单调性整理出关于a 的不等式组，求得结果.【详解】因为233log 03a a +<+，所以2333log log 13a a+<+，因为函数3log y x =是(0,)+∞上的单调增函数，所以有23013a a+<<+，解得01a <<，所以a 的取值范围是(0,1)， 故答案为：(0,1).【点睛】该题考查的是有关对数不等式的解法，在解题的过程中，注意结合函数有意义的条件，应用对数函数的单调性，属于简单题目.7.己知函数()f x 定义域为R ，且恒满足()(2)0f x f x +-=，1(1)()f x f x +=-，则函数()f x 的奇偶性为________. 【答案】奇函数 【解析】 【分析】 由1(1)()f x f x +=-，能导出()f x 是周期为2的周期函数，由此能够证明()f x 是奇函数，得到结果.【详解】由1(1)()f x f x +=-，得1(2)()(1)f x f x f x +=-=+， 所以()f x 是周期为2的周期函数，所以(2)()f x f x -=-，因为()(2)0f x f x +-=， 所以()()0f x f x +-=， 所以()f x 是奇函数， 故答案为：奇函数.【点睛】该题考查的是有关函数奇偶性的判断问题，在解题的过程中，注意借助于函数的周期性来完成，属于简单题目.8.函数225xy x x =++单调递增区间为_______.【答案】[ 【解析】 【分析】首先判断函数的定义域，得到其图象是不间断的，再讨论当0x ≠时，将函数解析式进行变形得到152y x x=++，再利用5u x x =+的单调区间，结合复合函数的单调性法则，确定出函数225xy x x =++本身的单调增区间，求得结果.【详解】因为函数225xy x x =++的定义域为R ， 当0x ≠时，152y x x=++， 因为5u x x=+在(,-∞和)+∞上单调递增，在[0)和上单调递减， 根据复合函数单调性法则，可知152y x x=++应该在[0)和上单调递增， 而函数225xy x x =++本身在0x =处有意义，且函数图象不间断，所以函数225xy x x =++的增区间是[，故答案为：[.【点睛】该题考查的是有关函数单调区间的求解问题，涉及到的知识点有对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于简单题目.9.函数42()21x x xcf x ++=+在定义域上单调递增，则c 的取值范围__________. 【答案】(,1]-∞ 【解析】【分析】首先将函数解析式进行化简，之后令21(1,)xt +=∈+∞，将函数化为1cy t t=+-(1,)t ∈+∞，之后结合复合函数的单调性，求得参数的取值范围.【详解】422(21)()2(21)121212121x x x x x xx x x xc c c c f x ++++===+=++-++++， 令21(1,)xt +=∈+∞，且t 随x 的增大而增大，且当0c ≤时，cy t=在(1,)+∞上是增函数， 所以函数1cy t t=+-在(1,)+∞上是增函数， 所以函数42()21x x x cf x ++=+在定义域上是增函数，当0c >时，函数1cy t t=+-在)+∞上是增函数，1，即1c ≤， 所以c 的取值范围为(,1]-∞， 故答案为：(,1]-∞.【点睛】该题考查的是有关根据函数的单调性确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有指数型函数的单调性，对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于中档题目. 10.关于x 的方程2282x m x -=+有两个不同解，则m 的取值范围为_________.【答案】1,14⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据式子的意义，将式子转化为2228x m x +=-，将方程有两个不同的解转化为28t m t +=-只有一个正根，画出函数图象求得结果.【详解】因为220x +>恒成立，所以原式可化为2282x m x -=+，可知280x -≠，所以2228x m x +=-，因为方程有两个不同的解，所以0x =不是方程的根， 令2(0,8)(8,)x t =∈+∞，则方程28t m t +=-只有一个正根， 画出函数28t m t +=-的图象如图所示：可知所求m的取值范围是：1(,1]4，故答案为：1(,1]4.【点睛】该题考查的是有关根据方程根的情况求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将问题正确转化，注意应用函数图象解决问题，属于简单题目. 11.已知函数23()4f x ax =+，()ag x x x =+，对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围为__________. 【答案】5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，等价于min max ()()f x g x ≥在区间[1,2]上恒成立，对a 的取值进行分类讨论，利用单调性求出min ()f x 和min ()g x ，列出关于a 的不等式组求得答案.【详解】当0a <时，23()4f x ax =+在区间[1,2]上单调递减，min 3()(2)44f x f a ==+，()ag x x x =+在区间[1,2]上单调递增，min ()1g x a =+， 所以3414a a +≥+，解得112a ≥，因为0a <，所以无解；当0a ≥时，可知min 3()(1)4f x f a ==+，当01a ≤≤时，()ag x x x =+在区间[1,2]上单调递增，其最小值为(1)1g a =+，所以有01314a a a ≤≤⎧⎪⎨+≥+⎪⎩，无解， 当14a <<时，()ag x x x=+在区间上单调减，在4]上单调增，其最小值为g =，所以有1434a a <≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩，解得542a ≤≤， 所以a 的取值范围是5[,4]2， 故答案为：5[,4]2.【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有根据题意将恒成立问题向最值转化，求含参的函数在给定区间上的最值，属于中档题目.12.已知函数()||1||3|1|f x x x =----，若()246(4)f a a f a +=，则实数a 的取值范围为_______.【答案】13,24⎧⎫⎡⎫⋃⋃+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭⎣⎦. 【解析】 【分析】首先利用分类讨论将函数解析式进行化简，从而分析判断要使2(46)(4)f a a f a +=，会出现哪些情况，列出对应的式子求解即可.【详解】因为131,1()131131,13131,3x x xf x x x x x xx x x⎧-+--<⎪=----=-+--≤<⎨⎪--+-≥⎩，即3,1()25,131,3xf x x xx≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，画出函数图象如图所示：可以看到(2)(3)1f f==，要使2(46)(4)f a a f a+=，则有以下几种情况：①246141a aa⎧+≤⎨≤⎩313313x---+≤≤；②22146 2.514 2.5464a aaa a a⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解；③222.54632.543464a aaa a a⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解.④2214631434645a aaa a a⎧<+≤⎪<≤⎨⎪++=⎩，无解；⑤246343a aa⎧+≥⎨≥⎩，解得34a≥，⑥246243a a a ⎧+=⎨≥⎩，无解；⑦246342a a a ⎧+≥⎨=⎩，解得12a =；所以a 的取值范围为3313[,][,)4424--⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭，故答案为：3313[][,)4424--⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭. 【点睛】该题考查的是有关根据函数值相等，求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有含有绝对值的式子的化简，函数值相等的条件，属于中档题目. 二.选择题13.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞递增，下列一定正确的是（ ）A. 2332(0)22f f f --⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. 233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】首先根据偶函数在(,0)-∞上递增，得到其在(0,)+∞上递减，将自变量放在同一个单调区间，借助于自变量大小，得到函数值的大小，从而得到结果【详解】因为函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞上递增， 所以函数()f x 在(0,)+∞上递减，因为2332022--<<，所以2332(0)(2)(2)f f f -->>，所以A 项不正确；23323221log 4--<<<，所以23323(2)(2)(log 4)f f f -->>，又因为331log log 44=-，所以3331(log )(log 4)(log 4)4f f f =-=， 观察B 、C 、D 三项很明显C 项正确，故选：C.【点睛】该题考查的是有关根据偶函数在给定区间上的单调性，判断函数值的大小的问题，涉及到的知识点有偶函数图象的对称性，偶函数的定义，根据单调性比较函数值的大小，属于简单题目.14.函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A. (1)f x + B. (1)f x - C. ()1f x + D. ()1f x -【答案】C 【解析】 【分析】函数()f x 的反函数1()y f x -=图象向右平移1个单位，得到1(1)y f x -=-，再求反函数可得到结果.【详解】函数()f x 的反函数1()y f x -=图象向右平移1个单位，得到1(1)y fx -=-，则1()x f y -=1()y f x -=，1(1)y f x -=-的反函数为()1y f x =+即()()1g x f x =+， 故选：C.【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目. 15.设方程3|ln |xx -=的两个根1x 、2x ，则（ ）A. 120x x <B. 121=x xC. 121x x >D. 121x x <【答案】D 【解析】 【分析】作出函数图象，根据图象和对数的运算性质即可求出答案.【详解】作出函数图象如图所示：若方程3ln xx -=的两根为12,x x ，则1201x x <<<，12123ln ,3ln x x x x --==可得121212ln ln ln ln 330x x x x x x ---=--=->，所以12ln ln 0x x -->，即12ln 0x x <， 所以1201x x <<， 故选：D.【点睛】该题考查的是有关方程的根的大小的判断，涉及到的知识点有对数的运算法则，解决方程根的问题时，可以应用图象的交点来完成，属于简单题目.16.己知函数()y f x =定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =-，若对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，则m 的取值范围为（ ） A. 13,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 14,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.17,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，首先求出函数()y f x =在区间(0,2]上的值域为[0,1]，再根据条件(2)2()f x f x +=，判断当6(4],x ∈时()[0,4]f x ∈，32[0,4]9∈，并求解6(4],x ∈时()f x的解析式，和32()9f x =时对应的两根中较小根，即可得到m 的取值范围. 【详解】当2(]0,x ∈时，2()(2)(1)1f x x x x =-=--+， 可求得()[0,1]f x ∈，且在(0,1]上单调增，在[1,2]上单调减， 根据(2)2()f x f x +=，可知当(2,4]x ∈，()[0,2]f x ∈，当6(4],x ∈，()[0,4]f x ∈，且()f x 在(4,5]上单调增，在[5,6]上单调减， 因为32[0,4]9∈，当6(4],x ∈时，()2(2)4(4)f x f x f x =-=-， (42],0x -∈，2()4(4)4[(5)1]f x f x x =-=--+，令2324[(5)1]9x --+=，解得143x =或163x =， 所以对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，m 的取值范围为14(,]3-∞，故选：B.【点睛】该题以分段函数的形式考查了函数的值域，函数解析式的求解，以及利用恒成立求参数取值范围的问题，属于较难题目，解决该题的关键是利用条件可分析函数的图象，利用数形结合比较好分析. 三.解答题17.已知函数()f x 定义域为R ，当0x >时，2()lg 2f x x x x =--.（1）若()f x 是偶函数，求0x <时()f x 解析式；（2）若()f x 是奇函数，求x ∈R 时()f x 的解析式.【答案】（1）2()lg(2)f x x x x =+--；（2）22lg(2),(0)()0,(0)lg(2),(0)x x x x f x x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+-<⎩【解析】 【分析】（1）当0x <时，0x ->，代入函数解析式，根据偶函数的定义，求得相应区间上的()f x 的解析式；（2）当0x <时，0x ->，代入函数解析式，根据奇函数的定义，求得相应区间上的()f x 的解析式，再利用(0)0f =，进而求得()f x 在R 上的解析式.【详解】（1）因为()f x 为偶函数， 当0x <时，0x ->，则22()()()lg 2()lg(2)()f x x x x x x x f x -=-----=+--=， 所以当0x <时，2()lg(2)f x x x x =+--； （2）因为()f x 为奇函数， 当0x <时，0x ->，22()()()lg 2()lg(2)()f x x x x x x x f x -=-----=+--=-，所以2()lg(2)f x x x x =--+-， 且(0)0f =，所以22lg(2),(0)()0,(0)lg(2),(0)x x x x f x x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+-<⎩.【点睛】该题考查的是有关根据函数在某一区间上的解析式，结合函数奇偶性的定义，求得函数的解析式，属于简单题目. 18.设关于x 的方程1936(5)0xx k k k +-+-=.（1）若常数3k =，求此方程的解；（2）若该方程在[0,2]内有解，求k 的取值范围. 【答案】（1）3log 4x =；（2）182k ≤≤. 【解析】 【分析】（1）将3k =代入方程，得到3993120x x ⋅-⋅-=，将其整理得到(31)(34)0xx+-=，集合指数函数的值域，得到34x =，从而得到3log 4x =，求得结果； （2）将式子1936(5)0xx k k k +-+-=整理得出309336x xk =-⋅+，令3,[0,2]xt x =∈，则[1,9]t ∈，借助于二次函数在某个区间上的值域求得最后的结果.【详解】（1）当3k =时，方程1936(5)0xx k k k +-+-=即为3993120x x ⋅-⋅-=，化简得93340x x -⋅-=，即(31)(34)0x x+-=， 解得31x =-（舍去）或34x =，所以3log 4x =，所以，此方程的解为3log 4x =， （2）由1936(5)0xx k k k +-+-=可得1(936)30x k k +-+=，所以309336x x k =-⋅+，令3,[0,2]xt x =∈，则[1,9]t ∈，所以22315933636()24xxt t t -⋅+=-+=-+，由[1,9]t ∈可得当32t =时，2315()24t -+最小值为154，当9t =时，2315()24t -+的最大值为60，所以130303015609364x x +≤≤-+，即182k ≤≤，所以k 的取值范围是1[,8]2.【点睛】该题考查的是有关求方程的解或者方程在某个区间上有解求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意换元思想的应用，以及二次函数在某个区间上的值域的求解方法，属于中档题目.19.某环线地铁按内、外线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异），新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，其中内环投入x 列列车. （1）写出内、外环线乘客的最长候车时间（分钟）分别关于x 的函数解析式；（2）要使内、外环线乘客的最长候车时问之差距不超过1分钟，问内、外环线应各投入几列列车运行？（3）要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小，问内、外环线应各投入几列列车运行？ 【答案】（1）()*9060,117,18t t x x N x x==≤≤∈-外内；（2）内环线11列列车，外环线7列列车；（3）内环线10列列车，外环线8列列车.. 【解析】【分析】（1）根据题意，结合最长候车时间等于两列列车对应的时间差，列车式子得出结果，注意自变量的取值范围；（2）根据题意，列出对应的不等关系式，求解即可，在解的过程中，注意自变量的取值范围； （3）根据题意，列出式子，结合对勾函数的单调性，求得函数的变化趋势，最后求得取最值时x 的值.【详解】（1）根据题意可知，内环投入x 辆列车，则外环投入(18)x -辆列车， 从而可得内环线乘客的最长候车时间为30906020t x x=⨯=内分钟， 外环线乘客的最长候车时间为30606030(18)18t x x=⨯=--外分钟，根据实际意义，可知117,x x N *≤≤∈， 所以90t x =内，6018t x=-外(117,)x x N *≤≤∈； （2）由题意可得9060=118t t x x--≤-内外， 整理得221321620016816200x x x x ⎧+-≤⎨-+≤⎩所以16813222x --≤≤因为x N *∈，所以11x =，所以当内环线投入11列列车运行，外环线投入7列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟； （3）令29060162030()+=1818xu x t t x x x x -=+=--内外 2230(54)30(54)18(54)90(54)3654x x x x x x --==--+-+⨯303036543654(54)9090[(54)]5454x x x x==⨯⨯-++--+--可以确定函数在[1,54-上单调递减，在[54-上单调递增，结合x N *∈的条件，可知当10x =时取得最小值，所以内环线10列列车，外环线8列列车时，内、外环线乘客的最长候车时间之和最小. 【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有建立函数模型，求解不等式，求函数的最小值，属于较难题目.20.已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+.（1）判断函数()f x kx =（k 为常数）是否属于集合M ； （2）若2()ln1af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【答案】（1）属于；（2）[15a ∈-+；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用()f x kx =时，方程(2)()(2)f t f t f +=+，此方程恒成立，说明函数()f x kx =（k 为常数）属于集合M ； （2）由2()ln1af x x =+属于集合M，推出22ln ln ln (2)115a a a x x =++++有实数解，即方程2(5)4550a x ax a -++-=有实数解，分5a =和5a ≠两种情况，得到结果；（3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+有解，令()3244xg x bx =⋅+-，则()g x 在R 上的图象是连续的，当0b ≥时，当0b <时，判定函数是否有零点，证明对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【详解】（1）当()f x kx =时，方程(2)()(2)f t f t f +=+(2)2k t kt k ⇔+=+， 此方程恒成立，所以函数()f x kx =（k 为常数）属于集合M ； （2）由2()ln1af x x =+属于集合M ，可得方程22lnln ln (2)115a a ax x =++++有实数解，即222455(1)a a x x x =+++，整理得方程2(5)4550a x ax a -++-=有实数解， 当5a =时，方程有实根14-， 当5a ≠时，有2164(5)(55)0a a a ∆=---≥，解得155a -≤<或515a <≤+ 综上，实数a的取值范围为[15a ∈-+；（3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+有解，等价于2222(2)244x x b x bx b +++=+++有解，整理得32440x bx ⋅+-=有解，令()3244xg x bx =⋅+-，则()g x 在R 上的图象是连续的， 当0b ≥时，(0)10,(1)420g g b =-<=+>， 故()g x 在(0,1)上有一个零点，当0b <时，11(0)10,()320b g g b=-<=⋅>，故()g x 在1(,0)b上至少有一个零点，故对任意的实数b ，()g x 在R 上都有零点，即方程(2)()(2)f x f x f +=+总有解， 所以对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有新定义，方程有解转化为函数有零点，分类讨论思想，属于难题. 21.对于函数3()3||1f x x x c =--+.（1）当0,()c f x =向下和向左各平移一个单位，得到函数()g x ，求函数()g x 的零点； （2）对于常数c ，讨论函数()f x 的单调性； （3）当0c，若对于函数()f x 满足()()f x a f x +>恒成立，求实数a 取值范围.【答案】（1）1x =或1x =-；（2）当1c ≥，单调递增；当11c -≤<，在(,]c -∞上递增，[,1]c 上递减，[1,)+∞上递增；当1c <-，在(,1]-∞-递增，[1,1]-递减，[1,)+∞递增；（3）a >【解析】【分析】（1）将0c ，求得3()3||1f x x x =-+，利用图象变换原则求得3()(1)31g x x x =+-+，分类讨论去掉绝对值符号，求得函数的零点；（2）将函数解析式中的绝对值符号去掉，得到分段函数，利用导数，分类讨论求得函数的单调性；（3）化简函数解析式，将不等式转化，找出不等式恒成立的关键条件，得到结果.【详解】（1）因为0c ，所以3()3||1f x x x =-+， 根据题意，可得3()(1)31g x x x =+-+，令()0g x =，即3(1)310x x +-+=，当10x +≥时，原式化为2(1)(22)0x x x ++-=，解得1x =-或1x =，当10x +<时，原式化为2(1)(24)0x x x +++=，无解，所以函数()g x 的零点为1x =或1x =-； （2）333331,()31331,x x c x c f x x x c x x c x c⎧-++≥=--+=⎨+-+<⎩，当x c ≥时，3()331f x x x c =-++， 2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-，当x c <时，3()331f x x x c =+-+， 2'()33f x x =+， 所以当1c ≥时，'()0f x ≥恒成立，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，当11c -≤<时，令'()0f x ≥，解得x c ≤或1x ≥，所以()f x 在(,]c -∞和[1,)+∞上单调递增，令'()0f x <，解得1c x ≤≤，所以所以()f x 在[,1]c 上单调递减。
上海中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
上海中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=−1xB. f(x)=3xC. f(x)=x 2+1D. f(x)=sinx2. 已知f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数．若f(lnx)<f(1)，则x 的取值范围是( )A. (e,+∞)B. (1e ,e)C. (e,+∞)∪(0,1e )D. (1e ,e)∪(e,+∞) 3. 若定义在R 上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x +λ)+λf(x)=0对任意的实数x 都成立，则称f(x)是一个“λ−特征函数”.下列结论中正确的个数为( ) ①f(x)=0是常数函数中唯一的“λ−特征函数”； ②f(x)=2x +1不是“λ−特征函数”； ③“13−特征函数”至少有一个零点； ④f(x)=e x 是一个“λ−特征函数”． A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 已知函数f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则实数m 的取值范围是( )A. (0,2)B. (2,+∞)C. (−∞,−2)D. [2,+∞)二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 函数y =√3x −1+lg (1−x )的定义域是__________．6. 若函数f(x)=x 2+(a+1)x+a x 为奇函数，则实数a =______．7. 函数f(x)=log a (2x −3)+1(a >0且a ≠1)的图像过定点________________8. 已知3a =4,3b =5则3a+b 的值为__________.9. 已知定义在R 上的函数f(x)满足：对于任意的实数x ，y ，都有f(x −y)=f(x)+y(y −2x +1)，且f(−1)=3，则函数f(x)的解析式为________．10. 若幂函数f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，则m 的值为________．11. 已知函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0，则f −1[f −1(−9)]=______12. 已知函数f(x)=log 12(x 2−6x +5)在(a,+∞)上是减函数，则函数a 的取值范围是________ ．13. 已知函数f(x)=log 2(−x 2+ax +3)在(2,4)上是单调递减的，则a 的取值范围是_____________．14. 已知函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则满足f(x)<1的x 的取值范围是________ 15. 已知函数f(x)=log 12(x +1)+log 2(x −1)，对任意x ∈[3,5]，f(x)≥m −2x 恒成立，则实数m 取值范围是__________．16. 已知函数，有如下结论：①，有；②，有；③，有；④，有.其中正确结论的序号是__________.(写出所有正确结论的序号)三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17. 求下列函数的反函数：(1)y =1+log 2(x −1)(2)y =x 2−1(−1≤x ≤0)18. 已知函数f(x)=a x −1a x +1(a >1)．(1)根据定义证明：函数f(x)在(−∞,+∞)上是增函数；(2)根据定义证明：函数f(x)是奇函数．19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，可在建筑物的外墙加装不超过10厘米厚的隔热层．某幢建筑物要加装可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的加装成本为6万元，该建筑(0≤物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：厘米)满足关系：C(x)=k3x+5 x≤10).若不加装隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层加装费用与20年的能源消耗费用之和．(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式；(Ⅱ)隔热层加装厚度为多少厘米时，总费用f(x)最小？并求出最小总费用．20.已知函数f(x)=√x2−1+p．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若存在区间，当x∈[m,n]时以f(x)的值域为[m2,n2]，求实数p的取值范围．21. 已知函数f(x)={2x −1,x ≥0ax 2+bx,x <0，且f(−1)=f(1)、f(−2)=f(0)， (1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−m 有3个零点，求m 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性和单调性判断，属于基础题．逐项判断即可．是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，∴该选项正确；解：A.f(x)=−1xB.f(x)=3x是非奇非偶函数，∴该选项错误；C.f(x)=x2+1是偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；D.f(x)=sinx在(0,+∞)上没有单调性，∴该选项错误．故选：A．2.答案：C解析：解：∵f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，∴f(lnx)<f(1)，等价为f(|lnx|)<f(1)，即|lnx|>1，得lnx>1或lnx<−1，解得x>e或0<x<1，e故选C根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化是解决本题的关键．3.答案：C解析：本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解λ−特征函数的概念是关键，属于中档题．利用新定义“λ−特征函数”，对A、B、C、D四个选项逐个判断即可得到答案．解：对于①设f(x)=C是一个“λ−特征函数”，则(1+λ)C=0，当时，可以取实数集，因此f(x)=0不是唯一一个常数“λ−特征函数”，故①错误；对于②，∵f(x)=2x+1，∴f(x+λ)+λf(x)=2(x+λ)+1+λ(2x+1)=0，即，∴当时，；λ≠−1时，f(x+λ)+λf(x)=0有唯一解，∴不存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意实数x都成立，∴f(x)=2x+1不是“λ−特征函数”，故②正确；对于③，令x=0得f(13)+13f(0)=0，所以，若f(0)=0，显然f(x)=0有实数根；若f(x)≠0，．又∵f(x)的函数图象是连续不断的，∴f(x)在(0,13)上必有实数根，因此任意的“λ−特征函数”必有根，即任意“13−特征函数”至少有一个零点，故③正确；对于④，假设f(x)=e x是一个“λ−特征函数”，则e x+λ+λe x=0对任意实数x成立，则有e x+λ= 0，而此式有解，所以f(x)=e x是“λ−特征函数”，故④正确．综上所述，结论正确的是②③④，共3个．故选C．4.答案：B解析：本题主要考查函数与方程的应用，考查利用参数分离法以及数形结合思想，属于中档题．f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，利用参数分离法得m=|x|+1x ，构造函数g(x)=|x|+1x，转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可．解：由f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，当x =0时，方程不成立，即x ≠0，则方程等价为m =|x|+1x ，设g(x)=|x|+1x ，当x <0时，g(x)=−x +1x 为减函数，当x >0时，g(x)=x +1x ，则g(x)在(0,1)上为减函数，则(1,+∞)上为增函数，即当x =1时，函数取得最小值g(1)=1+1=2，作出函数g(x)的图象如图：要使f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则等价为m =|x|+1x 有三个不同的根，即y =m 与g(x)有三个不同的交点，则由图象知m >2，故实数m 的取值范围是(2,+∞)，故选：B ． 5.答案：[13,1)解析：本题考查函数的定义域，根据题意可得{3x −1≥01−x >0，解不等式组即可求得结果． 解：根据题意可得{3x −1≥01−x >0， 解得13≤x <1，因此函数的定义域为[13,1)．故答案为[13,1)． 6.答案：−1解析：利用奇函数的性质即可得出．本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．解：∵函数f(x)=x2+(a+1)x+ax为奇函数，∴f(−x)+f(x)=x2−(a+1)x+a−x +x2+(a+1)x+ax=0，化为(a+1)x=0，∴a+1=0，解得a=−1．故答案为：−1．7.答案：(2,1)解析：本题考查对数函数恒过定点问题，属于基础题．熟练掌握是解决此类问题的关键．解：∵当2x−3=1即x=2时，此时y=1，∴函数f(x)=log a(2x−3)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(2,1)．故答案为(2,1)．8.答案：20解析：本题考查指数的运算.由同底数幂的运算法则进行计算即可．解：∵3a=4,3b=5，∴3a+b=3a×3b=20．故答案为20．9.答案：f(x)=x2−x+1解析：本题考查抽象函数解析式的求解，属于中档题目．解：令x=0，y=−x，得f(x)=f(0)+x2−x．把x=−1代入上式，得f(0)=f(−1)−2=1，从而有f(x)=x 2−x +1．故答案为f(x)=x 2−x +1．10.答案：1解析：本题考查了幂函数的定义与性质，由函数f(x)为幂函数可知m 2−4m +4=1，解出m 的值，再根据函数在(0,+∞)上为增函数判断出满足条件的m 值．解：函数f(x)为幂函数，所以m 2−4m +4=1，解得m =1或m =3，又因为f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，所以m 2−6m +8>0，解得m >4或m <2，综上可知m =1，故答案为1．11.答案：−2解析：解：∵函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0， ∴x ≥0时，y =−x 2，x =√−y ，x ，y 互换，得f −1(x)=√−x ，x ≤0，x <0时，y =2−x −1，x =−log 2(y +1)，x ，y 互换得f −1(x)=−log 2(x +1)，x >0，∴f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0， ∴f −1(−9)=3，f −1[f −1(−9)]=f −1(3)=−2．故答案为：−2．推导出f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0，从而f −1(−9)=3，进而f −1[f −1(−9)]=f −1(3)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质、反函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.答案：[5,+∞)解析：本昰考查对数函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的灵活运用．设t=x2−6x+5，由x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(5,+∞)t=x2−6x+5是递增的，y=log12x也是递减的，所以f(x)=log 12(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，由此求得a≥5．解：设t=x2−6x+5x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(−∞,1)上t=x2−6x+5是递减的，y=log 12x也是递减的，所以f(x)=log 12(x2−6x+5)在(−∞,1)上是单调递增的，在(5,+∞)t=x2−6x+5是递增的，y=log 12x也是递减的，所以f(x)=log12(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，所以a≥5．故答案为[5,+∞)．13.答案：[134,4]解析：本题考查了复合函数的单调性及对数函数的性质，是基础题．由复合函数的单调性可知内函数在(2,4)上为减函数，则需要其对称轴小于等于2且当函数在x=4时的函数值大于等于0，由此联立不等式组得答案．解：令t=−x2+ax+3，则原函数化为y=log2t，为增函数，∴t=−x2+ax+3在(2,4)是单调递减，对称轴为x=a2，∴a2⩽2且−42+4a+3⩾0，解得：134⩽a⩽4，∴a的范围是[134,4]．故答案为[134,4]．14.答案：解析：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题．解：因为函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则f(x)<1等价于{x ≤0−x <1①或{x >0x 2−2x <1②． 解得①得−1<x ≤0，解②得0<x <1+√2√2．所以f(x)<1的x 的取值范围是(−1,1+√2).故答案为．15.答案：(−∞,7]解析：函数f(x)的定义域是(1,+∞)，f(x)=log 12(x +1)+log 2(x −1)=log 2x−1x+1=log 2(1−2x+1)，因为y =1−2x+1在(1,+∞)上递增，所以函数f(x)在(1,+∞)上递增，f(x)≥m −2x ，即m ≤f(x)+2x ，知y =f(x)+2x 在[3,5]上递增，所以m ≤7． 16.答案：②③④解析：因为：，所以，所以①不正确，②正确；因为y =ln(1+x)在(−1,1)递增，y =ln(1−x)在(−1,1)递减，所以函数在 上为增函数，所以③正确；又因为，所以在是增函数且函数图象上升的越来越快，呈下凸状态，所以，有，所以④正确．所以答案应填：②③④． 17.答案：解：(1)由y =1+log 2(x −1)，化为：x −1=2y−1，即x =1+2y−1，把x 与y 互换可得反函数：y =1+2x−1，(y >1)．(2)y =x 2−1，−1≤x ≤0，可得y ∈[−1,0]，解得x =−√y +1.把x 与y 互换可得反函数为：y =−√x +1，x ∈[−1,0]，解析：(1)(2)利用方程的解法，用y 表示x ，求出其范围，再把x 与y 互换即可得出．本题考查了反函数的求法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：证明：(1)f(x)=1−2a x+1，令m<n，则f(m)−f(n)=1−2a m+1−1+2a n+1=2(a m−a n)(a n+1)(a m+1)，∵a>1，m<n，则a m<a n，(a n+1)(a m+1)>0，故2(a m−a n)(a n+1)(a m+1)<0，故f(m)−f(n)<0，故f(x)在R递增；(2)由题意函数的定义域是R，关于原点对称，又f(−x)=a −x−1a−x+1=−a x−1a x+1=−f(x)，故f(x)是奇函数．解析：(1)根据函数的单调性的定义证明函数的单调性即可；(2)根据函数的奇偶性的定义证明函数的奇偶性即可．本题考查了函数的单调性和函数的奇偶性问题，考查定义的应用，是一道基础题．19.答案：解：(Ⅰ)由已知，当x=0时，C(x)=8，即k5=8，∴k=40．则C(x)=403x+5，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x，∴f(x)=20C(x)+D(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x，x∈[0,10]；(Ⅱ)∵0≤x≤10，∴3x+5>0，f(x)=8003x+5+6x=8003x+5+(6x+10)−10≥2√8003x+5⋅(6x+10)−10=80−10=70．当且仅当8003x+5=6x+10，即x=5取等号．∴当隔热层加装厚度为5厘米时，总费用f(x)最小，最小总费用为70万元．解析：(Ⅰ)由C(0)=8求得k ，得到C(x)=403x+5，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x ，可得f(x)的解析式；(Ⅱ)直接利用基本不等式求最值得答案．本题考查简单的数学建模思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 20.答案：解：(1)依题意，x 2−1≥0，解得x ≤−1或x ≥1，故函数f(x)的定义域为(−∞,−1]∪[1,+∞)．(2)任取x 1,x 2∈[1,+∞)且x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=√x 12−1−√x 22−1=1212√x 1−1+√x 2−1<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f(x)在[1,+∞)上单调递增．若存在区间[m,n]⊆[1,+∞),当x ∈[m,n ]时，f(x)的值域为[m 2,n 2]，可转化为f (m )=m 2，f (n )=n 2，∴g (x )=x 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根．令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，即u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上至少有两个不相等的实数根．记ℎ(u )=u 2−u +1−p ，ℎ(u )的对称轴为直线u =12，∴{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0，解得34<p ≤1， 即P 的范围为(34,1]．解析：本题主要考查定义域和值域，属于中档题．(1)根据被开方数非负可得x 2−1≥0，进而得出定义域即可；(2)根据题意可得f (m )=m 2，f (n )=n 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根，令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，进而得出u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上至少有两个不相等的实数根，进而得出不等式组{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0，解出a 即可．21.答案：解：(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0, 解得，a =−1，b =−2；故f(x)={2x −1,x ≥0−x 2−2x,x <0； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作f(x)的图象如下，则由图象可知，0<m <1．解析：本题考查了函数解析式的求法及函数图象的作法及应用，属于中档题．(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0，从而解出a ，b ； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作出f(x)的图象，从而由图象可得．。
2019-2020学年上海市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年上海市高一（上）期末数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.“x2<1”是“x<1”的()条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要2.下列函数中，既是偶函数，又在(−∞,0)上单调递减的是()A. y=1xB. y=e−xC. y=1−x2D. y=x23.设函数f(x)=e x−e−x，g(x)=lg(mx2−x+14)，若对任意x1∈(−∞,0]，都存在x2∈R，使得f(x1)=g(x2)，则实数m的最小值为()A. −13B. −1 C. −12D. 04.设f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)，且A={x|x=f(x),x∈R}，B={x|x=f[f(x)],x∈R}，如果A是只有一个元素的集合，则A与B的关系为()A. A=BB. A⫋BC. B⫋AD. A∩B=⌀第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.函数y=ln(3−2x)的定义域是______ ．6.函数f(x)=x2，(x<−2)的反函数是______ ．7.设实数a满足log2a=4.则log a2=______ ．8.幂函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3在(0,+∞)上为减函数，则m=______ ．9.函数y=log2[(x−2)2+1]的单调递增区间是________10.方程：log2(22x+1−6)=x+log2(2x+1)的解为______ ．11.已知关于x的方程2kx2−2x−5k−2=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是______．12. 已知a >0且a ≠1，设函数f(x)={x −2,x ⩽32+log a x,x >3的最大值为1，则实数a 的取值范围为____________．13. 设f(x)的反函数为f −1(x)，若函数f(x)的图象过点(1,2)，且f −1(2x +1)=1，则x =__________．14. 已知函数f(x)=2|x |+x 2在区间[−2,m]上的值域是[1,8]，则实数m 的取值范围是__________．15. 若关于x 的方程ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)有实根，实数m 的取值范围是______ ．16. 函数f(x)=lnx −14x +34x −1.g(x)=−x 2+2bx −4，若对任意的x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]不等式f(x 1)≥g(x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 设函数f (x )=4x 2+4x， (1)用定义证明：函数f (x )是R 上的增函数；(2)化简f (t )+f (1−t )，并求值：f (110)+f (210)+f (310)+⋯+f (910)；(3)若关于x 的方程k ⋅f (x )=2x 在(−1,0]上有解，求k 的取值范围．18. 设集合A ={x|log 12(x 2−5x +6)=−1}，B ={x|a x−2<(1a )2x−7,a >1}，求A ∩B ．19.某商场经调查得知，一种商品的月销售量Q(单位：吨)与销售价格(单位：万元/吨)的关系可用下图的一条折线表示．(1)写出月销售量Q关于销售价格的函数关系式；(2)如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，商场销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值．20.求下列函数的定义域(1)．f(x)=log3(x−5)(2)f(x)=√x+2+11−x21.已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b,(a≠0,b>1)在区间[2,3]上的最大值为4，最．小值为1，设函数f(x)=g(x)x(1)求a,b的值及函数f(x)的解析式；(2)若不等式f(2x)−2x−k≥0在x∈[−1,1]时恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件与必要条件，基础题．根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案．【解答】解：由x2<1解得−1<x<1⇒x<1，但x<1不能推出−1<x<1，所以“x2<1”是“x<1”成立的充分不必要条件．故选A．2.【答案】D是奇函数；y=e−x，不是偶函数；y=1−x2是偶函数，但是在(−∞,0)【解析】解：y=1x上单调递增，y=x2满足题意．故选：D．判断函数的奇偶性以及函数的单调性即可．本题考查二次函数的性质，函数的奇偶性以及函数的单调性，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵f(x)=e x−e−x在(−∞,0]为增函数，∴f(x)≤f(0)=0，∵∃x2∈R，使f(x1)=g(x2)，∴g(x)=lg(mx2−x+1)的值域包含(−∞,0]，4)，显然成立；当m=0时，g(x)=lg(−x+14)的值域包含(−∞,0]，当m≠0时，要使g(x)=lg(mx2−x+14的最大值大于等于1，则mx2−x+14∴{m<04m×14−(−1)24m≥1，解得−13≤m<0，综上，−13≤m≤0，∴实数m的最小值−13故选：A．由题意求出f(x)的值域，再把对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f(x1)=g(x2)转化为函数g(x)的值域包含f(x)的值域，进一步转化为关于m的不等式组求解．本题考查函数的值域，体现了数学转化思想方法，正确理解题意是解答该题的关键，是中档题．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的相等，但关键难点是二次函数和复合函数的的解的问题，属中高档试题，难度较大，A只有一个元素，所以f(x)=x只有一个实数解，记作x0，则f(x)−x= (x−x0)2，f(x)=(x−x0)2+x，由此得出f[f(x)]=x，化简并提取公因式，可以证明此方程也有且只有一个零点x0，即可证明A=B．【解答】解：∵A只有一个元素，∴f(x)=x只有一个实数解，记作x0，则f(x)−x=x2+(b−1)x+c=(x−x0)2，∴f(x)=(x−x0)2+x，∴f[f(x)]=[(x−x0)2+x−x0]2+[(x−x0)2+x]=(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2+x，令f[f(x)]=x，即(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2+x=x(∗)，则(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2=0，即[(x−x0)2+2(x−x0)+2](x−x0)2=0，∵(x−x0)2+2(x−x0)+2=0的判别式△=4−8=−4<0，∴无解，∴方程(∗)也只有一个实数解x0，综上所述A=B，故选A．5.【答案】(−∞,32)【解析】解：由3−2x>0，得x<32．∴原函数的定义域为(−∞,32).故答案为：(−∞,32).直接由对数式的真数大于0求解x的取值范围得答案．本题考查了函数的定义域及其求法，是基础题．6.【答案】y=−√x,(x>4)【解析】【分析】本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力．直接利用反函数的定义求解即可．【解答】解：函数f(x)=x2，(x<−2)，则y>4．可得x=−√y，所以函数的反函数为：y=−√x,(x>4)．故答案为：y=−√x,(x>4)．7.【答案】14【解析】解：∵实数a满足log2a=4，∴a=24=16，∴log a2=log162=lg2lg16=lg24lg2=14．故答案为：14．利用对数性质、运算法则、换底公式求解．本题考查对数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则、换底公式的合理运用．8.【答案】−1【解析】解：知m2−m−1=1，则m=2或m=−1．当m=2时，f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m=−1时，f(x)=x−3在(0,+∞)上为减函数，满足要求．故答案为−1根据幂函数的定义列出方程求出m的值；将m的值代入f(x)检验函数的单调性．本题考查幂函数的定义：形如y=xα的函数是幂函数；考查幂函数的单调性与α的正负有关．9.【答案】[2,+∞)【解析】【分析】本题主要考查复合函数的单调性.设t=(x−2)2+1，则y=log2t，分别找出函数t和y 的单调区间，利用同增异减即可求出结果．【解答】解：∵函数y=log2[(x−2)2+1]，∴函数的定义域为R，设t=(x−2)2+1，则y=log2t，∵t在x∈(−∞,2)上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，又∵y=log2t在定义域上单调递增，∴函数y=log2[(x−2)2+1]的单调增区间为[2,+∞)．故答案为[2,+∞)．10.【答案】{log23}【解析】解：由22x+1−6>0，得2×4x>6，即4x>3，则方程等价为log2(22x+1−6)=x+log2(2x+1)=log22x+log2(2x+1)=log22x(2x+1)，即22x+1−6=2x (2x +1)，即2(2x )2−6=(2x )2+2x ，即(2x )2−2x −6=0，则(2x +2)(2x −3)=0，则2x −3=0即2x =3，满足4x >3，则x =log 23，即方程的解为x =log 23，故答案为：{log 23}根据对数的运算法则进行化简，指数方程进行求解即可．本题主要考查对数方程的求解，根据对数的运算法则进行转化，结合指数方程，一元二次方程进行转化求解是解决本题的关键．11.【答案】(−∞,−43)∪(0,+∞)【解析】【分析】本题考查二次函数根的分布问题，属于中档题.利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：令f(x)=2kx 2−2x −5k −2，因为关于x 的方程2kx 2−2x −5k −2=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1， 则函数f(x)有两个不同的零点，且一个小于1，一个大于1．显然k ≠0，且{k <0f(1)=−3k −4>0或{k >0f(1)=−3k −4<0, 解出k <−43或k >0．故答案为(−∞,−43)∪(0,+∞)． 12.【答案】[13,1)【解析】【分析】本题主要考查了分段函数，函数的最值，以及对数函数的性质，属于中档题.直接求解即可．【解答】解：∵函数f(x)={x −2,x ⩽32+log a x,x >3的最大值为1， ∴函数f(x)存在最大值，则由对数函数的性质可知0< a <1，且， 即，即a ≥13， 所以13≤a <1，故答案为[13,1)． 13.【答案】12【解析】由题意函数f(x)的图象过点(1,2)，则其反函数的性质一定过点(2,1)，又f −1(2x +1)=1，故2x +1=2，解得x =12． 14.【答案】[0,2]【解析】【分析】本题考查根据函数值域求参数范围，属于基础题．判断f(x)的奇偶性，再根据单调性求解即可．【解答】解：函数f(x)=2|x |+x 2是R 上的偶函数，当−2≤x ≤0时，函数递减，所以f(−2)=8,f(0)=1，所以可得0≤m ≤2．故答案为[0,2]．15.【答案】(2,6]【解析】解：由题意，{x −2>05−x >0， 解得，2<x <5；ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)可化为(x −2)(5−x)=m −x ；故m =−x 2+8x −10=−(x −4)2+6；∵2<x <5，∴2<−(x −4)2+6≤6；故答案为：(2,6]．由题意得{x −2>05−x >0，从而解得2<x <5；从而化ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)为(x −2)(5−x)=m −x ；从而求解．本题考查了方程的根与函数图象的关系应用，属于基础题．16.【答案】(−∞,√142]【解析】 【分析】本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的定值 【解答】由对任意的x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]不等式f(x 1)≥g(x 2)恒成立， 可得f min (x 1)⩾g max (x 2)，又f(x)=lnx −14x +34x −1，易得f ′(x )=−(x−1)(x−3)4x 2，当0<x <1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上递减， 当1<x <2时，f ′(x )>0，故f (x )在(1,2)上递增， 故f min (x )=f (1)=−12．g(x)=−x 2+2bx −4=−(x −b )2+b 2−4，当b ≤1时，g (x )在[1,2]上递减，故g max (x )=g (1)=2b −5≤−12，得b ≤94，又b ≤1，故b ≤1；当1<b <2时，g max (x )=g (b )=b 2−4≤−12，得−√142<b ≤√142，又1<b <2，故1<b ≤√142； 当b ≥2时，g (x )在[1,2]上递增，故g max (x )=g (2)=4b −8≤−12，得b ≤158，又b ≥2，故无解；综上所述，b 的取值范围是 (−∞,√142]．17.【答案】(1)证明：设任意x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=4x 12+4x 1−4x 22+4x 2=2(4x 1−4x 2)(2+4x 1)(2+4x 2)， ∵x 1<x 2，∴4x 1<4x 2,∴4x 1−4x 2<0，又2+4x 1>0，2+4x 2>0．∴f(x 1)−f(x 2)<0， ∴f(x 1)<f(x 2)， ∴f(x)在R 上是增函数； (2)对任意t ，f(t)+f(1−t)=4t 2+4t +41−t 2+41−t =4t 2+4t +42⋅4t +4=2+4t 2+4t =1，∴对于任意t ，f(1)+f(1−t)=1，(110)+f(910)=1，f(210)+f(810)=1，∴f(110)+f(210)+f(310)+⋯+f(910)=4+f(510)=92，(3)根据题意可得4x 2+4x·k =2x ，∴k =2+4x 2x，令t =2x ∈(12,1]，则k =t +2t ，且在(12,1]单调递减， ∴ k ∈[3,92)．【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用、方程根的分布问题，考查转化思想、函数思想，考查学生解决问题的能力． (1)根据函数单调性定义进行证明；(2)根据指数幂的运算法则进行化简可得f(1)+f(1−t)=1，即可求出f(110)+f(210)+f(310)+⋯+f(910)的值， 方程k ⋅f(x)=2x 可化为：4x 2+4x ·k =2x ，令t =2x ∈(12,1]，则可分离出参数k ，进而转化为函数的值域问题，借助“对勾”函数的单调性可求得函数值域．18.【答案】解：A ={x|log 12(x 2−5x +6)=−1}={x|x 2−5x +6=2}={1,4}， B ={x|a x−2<(1a )2x−7,a >1}={x|a x−2<a 7−2x }={x|x −2<7−2x}={x|x <3}，∴A ∩B ={1}．【解析】解对数方程求得A ，解指数不等式求得B ，再根据两个集合的交集的定义求得A ∩B ．本题主要考查对数方程、指数不等式的解法，两个集合的交集的定义，属于中档题．19.【答案】解：(1)由函数图象可知：当5⩽x ⩽8时，Q =−52x +25；当8<x ⩽12时，Q =−x +13；所以得到分段函数Q ={−52x +25,5⩽x ⩽8−x +13,8<x ⩽12; 设月利润与商品每吨定价x 的函数为f (x )，则根据题意得f (x )=Q (x −5)−10， 即f (x )={(−52x +25)(x −5)−10,5⩽x ⩽8−(x −9)2+6,8<x ⩽12={−52(x −152)2+458,5⩽x ⩽8−(x −9)2+6,8<x ⩽12，所以当5⩽x ⩽8时，在x =125，f (x )的取值最大，f (125)=458；当8<x ⩽12时，在x =9，f (x )取值最大，f (9)=6． 所以，当x =9时，f (x )取最大值为6．综上：每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元．【解析】本题考查了分段函数模型的应用，函数的最值，二次函数的性质，属于中档题． (1)看函数图象知，函数是分段函数，所以分别求两段区间的函数．(2)根据题意得到利润函数式为f (x )=Q (x −5)−10，然后把函数Q (x )展开就又得到利润的分段函数，再分别求两个区间的最大值，然后作比较就可以得到整个函数的最大值，即最大利润．20.【答案】(1)解：根据题意得，x −5>0，解得x >5，即定义域为{x|x >5}(2)解：根据题意可得，{x +2≥01−x ≠0，解得x ≥−2且x ≠1，即定义域为{x|x ≥−2且x ≠1}.故答案为{x|x ≥−2且x ≠1}.【解析】(1)本题主要考查了函数的定义域，属于基础题．(2)本题主要考查了函数的定义域，属于基础题．21.【答案】解：(1)由于二次函数g(x)=ax 2−2ax +1+b 的对称轴为x =1，由题意得：当a >0,{g(2)=1+b =1g(3)=3a +b +1=4，解得{a =1b =0(舍去)当a <0,{g(2)=1+b =4g(3)=3a +b +1=1，解得{a =−1b =3>1∴a =−1,b =3 故g(x)=−x 2+2x +4,f(x)=−x +4x +2 (2)法一：不等式f(2x )−2x −k ≥0，即−2x +42x +2−2x ≥k ，∴k ≤−2⋅2x +42x +2设g(x)=−2⋅2x+42x+2，在相同定义域内减函数加减函数为减函数所以g(x)在[−1,1]内是减，故g(x)min=g(1)=0．∴k≤0，即实数k的取值范围为(−∞,0]．法二：不等式f(2x)−2x−k≥0，即−2x+42x+2−2x−k≥0，∴−2x⋅(2x)2+(2−k)⋅2x+4≥0，令t=2x∈[12,2]，∴化为g(t)=−2⋅t2+(2−k)⋅t+4≥0恒成立，因为g(t)图像开口向下．故只需{g(12)≥0 g(2)≥0。
高一数学复习考点知识专题提升练习5--- 函数的概念及其表示(解析版)
高一数学复习考点知识专题提升练习精练05函数的概念及其表示1．【广东省深圳市红岭中学2019-2020学年高一期末】下列各组函数中，表示同一函数的是() A ．()() ln xf x eg x x ＝，＝B ．()()24,22x f x g x x x -+＝＝－C ．()()sin 2,sin 2cos xf xg x x x＝＝D ．()()f x x g x ＝，【答案】D 【详解】选项A:函数()f x 的定义域是0x >，函数()g x 的定义域是全体实数，故这两个函数不是同一函数； 选项B:函数()f x 的定义域是2x ≠-，函数()g x 的定义域是全体实数，故两个函数不是同一函数； 选项C: 函数()f x 的定义域是()2x k k Z ππ≠+∈,函数()g x 的定义域是全体实数，故两个函数不是同一函数；选项D:函数()f x 和()g x 的定义域都是全体实数，且()g x x =，对应关系相同，所以是同一函数，故本题选D.2．【浙江省杭州市学军中学（学紫）2019-2020学年高一上学期期中】下列选项中两个函数，表示同一个函数的是（）A ．()4ln f x x =，()4ln g x x =B ．()2f x x =，()g x =C ．()1f x x =-，()g x =D ．()f x x =，()2g x =【答案】B对于A 选项，函数()4ln f x x =的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，函数()4ln g x x =的定义域为()0,∞+，故()4ln f x x =与()4ln g x x =不是同一函数；A 排除对于B 选项，函数()2f x x =与()g x =R ，且()2==g x x ，所以()2f x x =与()g x =B 正确；对于C 选项，函数()1f x x =-的定义域为R ，函数()1g x x ==-,定义域为R ，因此()1f x x =-与()g x =C ；对于D 选项，函数()f x x =的定义域为R ，函数()2g x =的定义域为[)0,+∞，因此()f x x=与()2g x =不是同一函数，排除D.故选B3．与函数()f x x =相等的是（）A ．()2x f x x=B ．()2ln ln x f x x =C ．()22xf x =D ．()22xf x =【答案】C 【详解】()f x x =的定义域为R,而A 中0x ≠，B 中0x >，C 中x ∈R ，D 中x ∈R ， 又C 中()22x f x x ==，D 中()22xf x x =≠， 故选：C.4．【山东省青岛市第二中学2019-2020学年高一上学期期末】下列哪个函数的定义域与函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域相同（） A ．2x y =B ．1y x x=+C ．12y x =D ．ln y x x =-【详解】指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是(0,)+∞ A 选项定义域是R ； B 选项定义域是{}|0x x ≠； C 选项定义域是{}|0x x ≥；D 选项定义域是{}|0x x >，满足题意。
2019-2020学年上海交大附中高一上学期期末考数学试卷含详解
2019-2020学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷一、填空题1．弧度数为2的角的终边落在第象限．2．若幂函数f（x）＝xα图象过点，则f（3）＝．3．已知＝2，则tanα的值为．4．＝．5．已知lg2＝a，10b＝3，则log125＝．（用a、b表示）6．若tanα＝；则cos（2α+）＝．7．已知函数f（x）＝的值域为R，则实数a的取值范围是．8．已知θ∈（0，），2sin2θ＝1+cos2θ，则tanθ＝．9．已知α∈（﹣，0），sin（π﹣2α）＝﹣，则sinα﹣cosα＝10．已知锐角α，β满足sin（2α+β）＝3sinβ，则tan（α+β）cotα＝．11．已知α，β∈（0，π），且tan（α﹣β）＝，tanβ＝﹣，2α﹣β的值为．12．已知f（x）是定义域为R的单调函数，且对任意实数x，都有f[f（x）+]＝，则f（log2sin）＝．二、选择题13．“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．A为三角形ABC的一个内角，若sin A+cos A＝，则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形15．已知函数f（x）＝log a（6﹣ax）在x∈[2，3）上为减函数，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（1，2]C．（1，3）D．（1，3]16．设x1，x2分别是f（x）＝x﹣a﹣x与g（x）＝x log a x﹣1（a＞1）的零点，则x1+9x2的取值范围是（）A．[8，+∞）B．（10，+∞）C．[6，+∞）D．（8，+∞）三、解答题17．已知α∈（0，），β∈（0，），sinα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．18．已知函数f（x）＝3x﹣a•3﹣x，其中a为实常数；（1）若f（0）＝7，解关于x的方程f（x）＝5；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．19．高境镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为400m，所在圆的半径为r，扇形的圆心角的弧度数为θ，θ∈（0，2π）．（1）求绿化区域面积S关于r的函数关系式，并指数r的取值范围：（2）所在圆的半径为r取何值时，才能使绿化区域的面积S最大，并求出此最大值．20．已知函数y＝f（x）的定义域为（1，+∞），对于定义域内的任意实数x，有f（2x）＝2f（x）成立，且x∈（1，2]时，f（x）＝log2x．（1）当x∈（1，23]时，求函数y＝f（x）的最大值；（2）当x∈（1，23.7]时，求函数y＝f（x）的最大值；（3）已知f（1200）＝f（b）（实数b＞1），求实数b的最小值．21．已知函数f（x）＝log a（x+）．x∈（1，+∞），a＞0且a≠1．（1）若a为整数，且f（）＝2，试确定一个满足条件的a的值；（2）设y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若f﹣1（n）＜（n∈N*），试确定a的取值范围；（3）若a＝2，此时y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），令g（x）＝，若对一切实数x1，x2，x3，不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立，试确定实数k的取值范围．2019-2020学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试卷解析一、填空题1．【解答】解：根据题意，＜2＜π，则弧度数为2的角的终边落在第二象限，故答案为：二2．【解答】解：幂函数f（x）＝xα图象过点，则2α＝，解得α＝﹣1，∴f（x）＝x﹣1；∴f（3）＝3﹣1＝．故答案为：．3．【解答】解：∵＝＝2，∴tanα＝5．故答案为：5．4．【解答】解：＝cos＝﹣cos＝﹣，故答案为：．5．【解答】解：∵10b＝3，∴lg3＝b，又lg2＝a，∴log125＝．故答案为：．6．【解答】解：∵tanα＝，∴cos（2α+）＝﹣sin2α＝＝＝＝﹣．故答案为：﹣．7．【解答】解：当x≥1时，f（x）＝2x﹣1≥1，当x＜1时，f（x）＝（1﹣2a）x+3a，∵函数f（x）＝的值域为R，∴（1﹣2a）x+3a必须取到﹣∞，即满足：，解得0≤a＜，故答案为：[0，）．8．【解答】解：∵θ∈（0，），∴cosθ＞0，∵2sin2θ＝1+cos2θ，∴4sinθcosθ＝2cos2θ，可得tanθ＝．故答案为：．9．【解答】解：∵α∈（﹣，0），sin（π﹣2α）＝sin2α＝﹣，∴sinα＜0，cosα＞0，∴sinα﹣cosα＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．10．【解答】解：sin（2α+β）＝3sinβ，sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα＝3[sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα]，2sin（α+β）cosα＝4cos（α+β）sinα，又α、β为锐角，所以sinα≠0，cos（α+β）≠0，所以tan（α+β）cotα＝＝2．故答案为：2．11．【解答】解：由tan（α﹣β）＝，tanβ＝﹣，∴tanα＝tan[（α﹣β）+β]＝＝＝，由此可得tan（2α﹣β）＝tan[（α﹣β）+α]＝＝＝．又α∈（0，π），且tanα＝＜1，∴0＜α＜，又β∈（0，π），tanβ＝﹣＜0，∴＜β＜π，因此2α﹣β∈（﹣π，0），可得﹣π＜2α﹣β＜0，所以2α﹣β＝﹣．故答案为：﹣．12．【解答】解：根据题意，f（x）是定义域为R的单调函数，且对任意实数x都有f[f（x）+]＝，则f（x）+为常数，设f（x）+＝t，则f（x）＝﹣+t，又由f[f（x）+]＝，即f（t）＝﹣+t＝，解可得t＝1，则f（x）＝﹣+1，∵sin＝，则f（log2）＝f（﹣1）＝﹣+1＝﹣；故答案为：﹣．二、选择题13．【解答】解：由α为第三、四象限角，可得sinα＜0．反之不成立，例如．故选：B．14．【解答】解：∵sin A+cos A＝，∴两边平方得（sin A+cos A）2＝，即sin2A+2sin A cos A+cos2A＝，∵sin2A+cos2A＝1，∴1+2sin A cos A＝，解得sin A cos A＝（﹣1）＝﹣＜0，∵A∈（0，π）且sin A cos A＜0，∴A∈（，π），可得△ABC是钝角三角形故选：B．15．【解答】解：若函数f（x）＝log a（6﹣ax）在x∈[2，3）上为减函数，则解得：a∈（1，2]．故选：B．16．【解答】解：由设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝x log a x﹣1的零点（其中a＞1），可知x1是方程a x＝的解；x2是方程＝log a x的解；则x1，x2分别为函数y＝的图象与函数y＝a x和函数y＝log a x的图象交点的横坐标；设交点分别为A（x1，），B（x2，）由a＞1，知0＜x1＜1；x2＞1；又因为y＝a x和y＝log a x以及y＝的图象均关于直线y＝x对称，所以两交点一定关于y＝x对称，由于点A（x1，），关于直线y＝x的对称点坐标为（，x1），所以x1＝，有x1x2＝1，而x1≠x2则x1+9x2＝x1+x2+8x2≥2+8x2＞2+8＝10，即x1+9x2∈（10，+∞）故选：B．三、解答题17．【解答】解：（1）∵α∈（0，），sinα＝，∴cosα＝＝，tanα＝＝4，∴tan2α＝＝＝﹣．（2）∵α∈（0，），β∈（0，），sinα＝，cos（α+β）＝﹣，∴α+β∈（0，π），sin（α+β）＝＝，∴cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝（﹣）×+×＝．18．【解答】解：（1）由f（0）＝7，即1﹣a＝7，可得a＝﹣6，那么3x+6•3﹣x＝5，∴（3x）2﹣5•3x+6＝（3x﹣2）（3x﹣3）＝0，解得x＝1或x＝log32．（2）由f（﹣x）＝﹣a•3x+3﹣x，当a＝﹣1时，可得f（﹣x）＝f（x）此时f（x）是偶函数，当a＝1时，f（﹣x）＝﹣f（x）此时f（x）是奇函数，当a≠±1时，f（x）是非奇非偶函数．19．【解答】解：（1）由题意知，扇形的周长为2r+θr＝400，所以θ＝；又θ∈（0，2π），所以＜r＜200；所以扇形的面积为S＝θr2＝•＝﹣r2+200r，其中r的取值范围是（，200）；（2）S（r）＝﹣r2+200r＝﹣（r﹣100）2+10000，当r＝100时，S（r）取得最大值为10000，即半径为r＝100m时，绿化区域的面积S最大，最大值10000m2．20．【解答】解：（1）对任意的x∈（1，+∞），恒有f（2x）＝2f（x）成立，所以f（x）＝2f（）；且x∈（1，2]时，f（x）＝log2x∈（0，1]；所以当x∈（2，4]时，∈（1，2]，f（x）＝2f（）＝2log2∈（0，2]；当x∈（4，8]时，∈（2，4]，f（x）＝2f（）＝4log2∈（0，4]；当x∈（8，16]时，∈（4，8]，f（x）＝2f（）＝8log2∈（0，8]；…；当x∈（2n﹣1，2n]时，∈（2n﹣2，2n﹣1]，f（x）＝2f（）＝2n﹣1log2∈（0，2n﹣1]；所以x∈（2n﹣1，2n]时，f（x）的最大值是2n﹣1；所以x∈（1，23]时，f（x）＝，的最大值为f（23）＝4log2＝4；（2）当x∈（1，23.7]时，23≤23.7≤24，所以f（x）的最大值为f（23.7）＝23×log2＝8×（3.7﹣3）＝5.6；（3）由f（1200）＝f（b）（实数b＞1），且1200＝210×，210＜210×＜211，所以f（1200）＝210×log2＝210×log2，f（b）＝f（2×）＝2f（）＝22f（）＝…＝2n﹣1f（）；当∈（1，2]时，∴f（b）＝2n﹣1log2；∵f（1200）＝f（b），则210×log2＝2n﹣1log2；b＝2n﹣1•，1＜n＜11当n＝10时，＝（）2∈（1，2]；b＝29×（）2；当n＝9时，＝（）4∈（1，2]；b＝28×（）4；当n＝8时，＝（）8∉（1，2]；…29×（）2＞28×（）4；∴实数b的最小值为28×（）4＝256×（）4．21．【解答】解：（1）由f（x）＝log a（x+），x＞1，a＞0且a≠1，可得f（）＝log a（+）＝log a（+）＝log a2a＝2，即a2＝2a，可得整数a＝2或4；（2）由y＝f（x）＝log a（x+），x＞1，可得a y＝x+，即a y﹣x＝，平方可得a2y﹣2xa y+1＝0，即有x＝，可得f﹣1（x）＝（若a＞1，x＞0；若0＜a＜1，x＜0），f﹣1（n）＜（n∈N*），即为＜，若0＜a＜1，则a n+a﹣n单调递减，可得＜a＜1；可得a的取值范围为（，1）∪（1，4）；（3）若a＝2，此时y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x）＝（x＞0），g（x）＝＝＝1+，当k＝1时，g（x）＝1，符合题意；当k＞1时，g（x）在x＞0递减，可得g（x）∈（1，1+），对一切实数x1，x2，x3，不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立，可得1+1≥1+，解得1＜k≤4；当k＜1时，g（x）在x＞0递增，可得g（x）∈（1+，1），对一切实数x1，x2，x3，不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立，可得2（1+）≥1，解得﹣≤k＜1．综上可得k的范围是[﹣，4]．。
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2.幂函数 f x
1
【答案】
3
【解析】 【分析】
x a 的图像经过点
1 2, ，则 f 3
______.
2
根据幂函数所过的点 ,代入可求得幂函数解析式 ,即可求得 f 3 的值 .
【详解】幂函数 f x
xa 的图像经过点
1 2,
2
1
代入可得
2a
2
解得 a 1
所以幂函数解析式为 f x x 1
则 f 3 31 1 3
一、填空题
2019 学年交大附中高一年级第一学期期末试卷
1.弧度数为 2 的角的终边落在第 ______象限 .
【答案】 二 【解析】 【分析】 将弧度化为角度 ,即可判断出所在象限 .
【详解】根据弧度与角度关系可知 1rad 57.3o
所以 2rad 114.6o
则弧度数为 2 的角的终边落在第二象限 故答案为 :二 【点睛】本题考查了弧度与角度的关系 ,属于基础题 .
1
故答案为 :
3
【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法
,函数求值 ,属于基础题 .
sin cos
3. 已知
sin 2cos
2 ，则 tan 的值为 _______.
【答案】 5 【解析】 【分析】
由齐次式化简方法 ,即可得关于 tan 的方程 ,解方程即可求得 tan 的值 . 【详解】根据齐次式化减法方法 ,将式子上下同时除以 cos 可得 tan 1
2 tan 2 变形可得 tan 1 2 tan 2
解得 tan 5
故答案为 : 5
【点睛】本题考查了齐次式的化简求值
4. cos2 3 8
sin 2 3 8
____
【答案】
2
2
【解析】
解答：
,属于基础题 .
cos2 3 8
sin2 3
6π
=cos =-cos
π
=-
8
8
4
2， 2
故答案为 - 2 . 2
5.已知 lg 2 a,10b 3 ，用 a、b 表示 log12 5 =___________．
【答案】 1 a 2a b
【解析】
10
lg
试题分析： 10b
3
b
lg 3
log12 5
2 lg 3 22
lg10 lg 2 1 a lg3 2lg 2 2a b
考点：