专题11相似三角形中的折叠问题培优训练

专题11 相似三角形中的折叠问题

【典型例题】

1．（2019·山西高平·初三期末）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将ΔABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）．

A

B

．

2

C

D．2

【答案】B

2．（2020·广东南山·初三月考）如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长．

【答案】解：由翻折的性质得，DF=EF，设EF=x，则AF=6﹣x，∵点E是AB的中点，∴AE=BE=1

2

×6=3，

在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，即32+（6﹣x）2=x2，解得x=15

4

，∴AF=6﹣

159

44

=，

∵∠FEG=∠D=90°，∴∠AEF+∠BEG=90°，∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠AFE=∠BEG，

又∵∠A=∠B=90°，∴△AEF∽△BGE，∴BE BG

AF AE

==

EG

EF

，即

3

915

3

44

BG EG

==

解得BG=4，EG=5，∴△EBG的周长=3+4+5=12．故答案为12

【专题训练】

一、选择题

1．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）如图，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝8，将矩形沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长是( )

A．7.5B．6C．10D．5

【答案】A

2．（2020·四川南充·初三月考）已知矩形ABCD中，AB=4,AD=6，E是AD的中点．将△ABE沿AE折叠至△A'BE，延长BA与CD交于P．下列结论成立的是（）

A．∠BEP>90°B．BP=6.5C．DP=CP D．

7

4 CP＝

【答案】D

3．（2018·山东张店·初二期末）如图，取一张长为a、宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a,b应满足的条件是（）

A．A=3b B．a=2b C．a D．a=b 【答案】B

4．（2018·全国初三单元测试）如图，将△ABC沿DE翻折，折痕DE∥BC，若AD

BD

＝

1

2

，BC=6，则

DE长等于（）

A．1.8B．2C．2.5D．3

【答案】B

5．（2018·全国初三单元测试）将矩形ABCD沿两条较长边的中点对折得到矩形ADFE，若矩形ADFE∽矩形ABCD，且AB=4，则AD的长等于（）

A．2B．3C．D．

【答案】D

二、填空题

6．（2019·全国初三单元测试）如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿

EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么AD

AB

等于 .

【答案】2

7．（2018·河南郑州外国语中学初二期中）如图，在长方形ABCD中，DC=6cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把三角形AE折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若三角形ABF的面积为24，那么CE 长度为__________cm2.

【答案】8

3

.

8．（2018·河南宝丰·初三期中）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ 与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是_____cm．

【答案】8

9．（2020·全国初三专题练习）如图，已知△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，E是AB的中点，F是AC边上一个动点．将△AEF沿EF折叠，使点A落在A′处，如果△AEF与原△ABC相似，则EF的长为．

【答案】7

2

或

14

3

．

三、解答题

10．（2020·浙江丽水·初三一模）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD于点AB E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G，设正方形ABCD

的周长为m ，△CHG 的周长为n ，则n

m 的值.

【答案】

解：设CH =x ，DE =y ，则DH =m

4-x ，EH =m

4-y ，∵∠EHG =90°，∴∠DHE +∠CHG =90°． ∵∠DHE +∠DEH =90°，∴∠DEH =∠CHG ，

又∵∠D =∠C =90°，△DEH ∽△CHG ，∴CG DH =CH DE =HG

EH ，即CG

m 4

−x =

x y =HG

m 4

−y

， ∴CG =

x(m 4

−x)y

，HG =

x(m

4

−y)y

，△CHG 的周长为n =CH +CG +HG =

mx

2

−x 2y

， 在Rt △DEH 中，DH 2+DE 2=EH 2即（m

4-x ）2+y 2=（m

4-y ）2整理得mx 2

-x 2=

my 2

，

∴n =CH +HG +CG =

mx

2

−x 2y

=

my 2

y

=m

2

，∴n m =1

2． 11．（2020·河南中原·郑州外国语中学其他）如图，在边长为 3 的等边三角形ABC 中，点D 为AC 上一点，CD =1，点E 为边AB 上不与A ，B 重合的一个动点，连接DE ，以DE 为对称轴折叠△AED ，点 A 的对应点为点 F ，当点 F 落在等边三角形ABC 的边上时，AE 的长．

【答案】

解：分析可知，F 点只可能落在边AB 或BC 上，

①当F 点落在边BC 上时，EFC B BEF ∠=∠+∠，即EFD DFC B BEF ∠+∠=∠+∠