专题11相似三角形中的折叠问题培优训练
折叠问题专练---由折叠得相似最值(含答案)
由折叠得相似1．如图，在直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，1），过点A 的直线l垂直于线段AB，点P是直线l上一动点，过点P作PC ⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处．若以A，D，P为顶点的三角形与△ABP相似，则所有满足此条件的点P的坐标为________________2．如图，在直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，2），过点A 的直线l⊥线段AB，P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处，且以点A，D，P为顶点的三角形与△ABP相似，则所有满足此条件的点P的坐标是___________3．如图，在Rr△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D、E分别是AC，BC的中点，点F是AD上一点，将△CEF沿EF折叠得△C′EF，C′F交BC于点G．当△CFG与△ABC相似时，CF的长为_____________由折叠求最值1．如图，正方形ABCD边长为2，E为AB边的中点，点F是BC边上一个动点，把△BEF沿EF向形内部折叠，点B的对应点为B′，当B′D的长最小时，BF长为（）A ．B ．﹣1C ．D ．2．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD、AD上，则AP+PQ最小值为________3．如图，Rt△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，∠C=90°，AD平分∠BAC，点E为AC上一点，且AE=3CE，在AC上找一点F，AD上找一点P，连接EP、FP，则EP+FP的最小值为_______4．如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=4，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM，射线BN交线段CD于点F，则DF的最大值为（）A ．B ．C ．D．25．如图，在菱形ABCD中，AB=16，∠B=60°，P是AB上一点，BP=10，Q是CD边上一动点，将四边形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，则CQ的长为（）A．10 B．12 C．13 D．146．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，动点F在边BC上，且不与点B、C重合，将△EBF沿EF折叠，得到△EB′F．（1）当∠BEF=45°时，求证：CF=AE；（2）当B′D=B′C时，求BF的长；（3）求△CB′F周长的最小值．7．问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．探究：请您结合图2给予证明，归纳：圆外一点到圆上各点的最短距离是：这点到连接这点与圆心连线与圆交点之间的距离．图中有圆，直接运用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P 是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是____________图中无圆，构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．解：由折叠知A′M=AM，又M是AD的中点，可得MA=MA'=MD，故点A'在以AD为直径的圆上．如图5，以点M为圆心，MA为半径画⊙M，过M作MH⊥CD，垂足为H，（请继续完成下列解题过程）迁移拓展，深化运用：如图6，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是____________8．问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．（1）探究：如图2，在⊙O上任取一点C（不为点A、B重合），连接PC、OC．试证明：PA＜PC．（2）直接运用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P 是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是____________（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′B长度的最小值．解：由折叠知A′M=AM，又M是AD的中点，可得MA=MA′=MD，故点A′在以AD为直径的圆上．（请继续完成解题过程）（4）综合应用：（下面两小题请选择其中一道完成）①如图5，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_________②如图6，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于_________。
(完整版)专题11三角形综合问题(精练)-2019年中考数学高频考点突破(解析版)
一、选择题（10×3=30分）1.如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个．2.如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为( )A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠23.（2018·广西梧州·3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】利用轴对称图形的性质得出△BAC≌△B′AC′，进而结合三角形内角和定理得出答案．4.（2018·辽宁大连·3分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（）A．90°﹣αB．αC．180°﹣αD．2α解：由题意可得：∠CBD=α，∠ACB=∠EDB．∵∠EDB+∠ADB=180°，∴∠ADB+∠ACB=180°．∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°，∠CBD=α，∴∠CAD=180°﹣α．故选C．5.（2018•聊城）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ=2α+βB．γ=α+2βC．γ=α+βD．γ=180°﹣α﹣β【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．6.（2017•营口）如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（）A．∠ECD=112.5°B．DE平分∠FDC C．∠DEC=30°D．AB=CD【考点】KX：三角形中位线定理；KH：等腰三角形的性质．.【分析】由AB=AC，∠CAB=45°，根据等边对等角及三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=67.5°．由Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，根据三角形内角和定理求出∠ACD=45°，根据等角对等边得出AD=DC，那么∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，从而判断A正确；根据三角形的中位线定理得到FE=AB，FE∥AB，根据平行线的性质得出∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．根据直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得到FD=AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，等量代换得到FE=FD，再求出∠FDE=∠FED=22.5°，进而判断B正确；由∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，求出∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，从而判断C错误；在等腰Rt△ADC中利用勾股定理求出AC=CD，又AB=AC，等量代换得到AB=CD，从而判断D正确．∵F是AC的中点，∠ADC=90°，AD=DC，∴FD=AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，∵AB=AC，∴FE=FD，∴∠FDE=∠FED=（180°﹣∠EFD）=（180°﹣135°）=22.5°，∴∠FDE=∠FDC，∴DE平分∠FDC，故B正确，不符合题意；∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故C错误，符合题意；∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，∴AC=CD，∵AB=AC，∴AB=CD，故D正确，不符合题意．故选C．7.（2017山东滨州）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质．【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．[来&源:%中国@教*育#出版网]在△POE和△POF中，，∴△POE≌△POF，∴OE=OF，8.（2018•杭州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2（）A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2【分析】根据题意判定△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵如图，在△ABC中，DE∥BC，9.（2018•孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得=，从而得出a与x的关系即可判断．由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，则∠BAH=∠ADC=15°，在△ADF和△BAH中，∵，∴△ADF≌△BAH（ASA），∴DF=AH，故③正确；∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，∴△AFG∽△CBG，故④正确；在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x，10.（2018•扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①② D．②③【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD=MA•ME所以②正确二、填空题（6×4=24分）.11.如图22－7，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是__ _(只需写一个，不添加辅助线)．【解析】由已知AB＝BC，及公共边BD＝BD，可知要使△ABD≌△CBD，已经具备了两个边了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，②SSS.所以可添∠ABD＝∠CBD或AD＝CD.12.（2018·广西贺州·3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若∠A′B′B=20°，则∠A的度数是．13. （2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于．【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长．【解答】解：由题意可得，DE=DB=CD=AB，∴∠DEC=∠DCE=∠DCB，∵DE∥AC，∠DCE=∠DCB，∠ACB=90°，∴∠DEC=∠ACE，∴∠DCE=∠ACE=∠DCB=30°，∴∠ACD=60°，∠CAD=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC=CD，∴AC=DE，∵AC∥DE，AC=CD，∴四边形ACDE是菱形，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，∠B=30°，∴AC=，∴AE=．14.（2018•绵阳）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB=．【分析】利用三角形中线定义得到BD=2，AE=，且可判定点O为△ABC的重心，所以AO=2OD，OB=2OE，利用勾股定理得到BO2+OD2=4，OE2+AO2=，等量代换得到BO2+AO2=4，BO2+AO2=，把两式相加得到BO2+AO2=5，然后再利用勾股定理可计算出AB的长．15.（2017广西）如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为．【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；T7：解直角三角形．【解答】解：连接PP′，如图，∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，∴△CPP′为等边三角形，∴PP′=PC=6，∵△ABC为等边三角形，∴CB=CA，∠ACB=60°，∴∠PCB=∠P′CA，在△PCB和△P′CA中，∴△PCB≌△P′CA，∴PB=P′A=10，∵62+82=102，∴PP′2+AP2=P′A2，∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，∴sin∠PAP′===．故答案为．16.（2016·浙江省湖州市·3分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E 处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是.A．4 B．C．3D．2【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得=，只要求出BM、BD即可解决问题．∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴=，即=，三、解答题（共46分）.17.某产品的商标如图所示，O是线段AC，DB的交点，且AC＝BD，AB＝DC，嘉琪认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是：∵AC＝DB，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，∴△ABO≌△DCO.你认为嘉琪的思考过程对吗？如果正确，指出她用的是判别三角形全等的哪个条件；如果不正确，写出你的思考过程．【点拨】判定两个三角形是否满足全等条件“SAS”．【解答】解：显然嘉琪的思路是不正确的，因为由已知条件不能直接得到这两个三角形全等．可考虑连接BC，由SSS可先得△ABC和△DCB全等，由全等三角形的性质，可得到∠A＝∠D，再根据∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，由AAS判断得到△ABO≌△DCO.18.如图1所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，A为直角顶点，在AD左侧作等腰直角△ADF，连接CF.(1)当点D 在线段BC 上时(不与点B 重合)，线段CF 和BD 的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明； (2)当点D 在线段BC 的延长线上时，(1)的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由．【点拨】 可证明△ACF ≌△ABD ，再利用全等三角形的性质，可得CF ＝BD ，CF ⊥BD.(2)(1)的结论仍然成立． ∵∠CAB ＝∠DAF ＝90°，∴∠CAB ＋∠CAD ＝∠DAF ＋∠CAD ，即∠CAF ＝∠BAD.在△ACF 和△ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，∠CAF ＝∠BAD ，AF ＝AD ，∴△ACF ≌△ABD(SAS)．∴CF ＝BD ，∠ACF ＝∠B. ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠B ＝∠ACB ＝45°.∴∠BCF ＝∠ACF ＋∠ACB ＝45°＋45°＝90°，即CF ⊥BD. 综上，CF ＝BD ，且CF ⊥BD.19. （2016·山东潍坊）如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．（1）如图1，连接AC 分别交DE 、DF 于点M 、N ，求证：MN=AC ；（2）如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3时，求旋转角的大小并指明旋转方向．【分析】（1）连接BD，证明△ABD为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到AE=EB，根据相似三角形的性质解答即可；（2）分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，根据旋转变换的性质解答即可．（2）解：∵AB∥DC，∠BAD=60°，∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°，∴∠EDF=60°，当∠EDF顺时针旋转时，由旋转的性质可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°，DE=DF=，∠DEG=∠DFP=90°，在△DEG和△DFP中，，同理可得，当逆时针旋转60°时，△DGP的面积也等于3，综上所述，将△EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积等于3．20.（山东省菏泽市·3分）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．【考点】等腰三角形的性质．【解答】（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE．∵△AC B和△DCE均为等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC．在△ACD和△BCE中，有，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC．∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，∴∠BEC=130°．∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，∴∠CDM=∠CEM=×（180°﹣120°）=30°．∵CM⊥DE，∴∠CMD=90°，DM=EM．在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，∴DE=2DM=2×=2CM．∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，∴∠BEN=180°﹣120°=60°．。
北师大版九年级数学上册 相似三角形解答题培优专题(含答案)
2019-2020相似三角形解答题培优专题（含答案）一、解答题1．如图，在Rt ABC ∆中，90B ︒∠=，6cm AB =，8cm BC =，点P 由点A 出发沿AB 方向向终点B 以每秒1cm 的速度匀速移动，点Q 由点B 出发沿BC 方向向终点C 以每秒2cm 的速度匀速移动，速度为2cm /s .如果动点同时从点A ，B 出发，当点P 或点Q 到达终点时运动停止.则当运动几秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似？2．如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ． （1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形； ②推断：AGBE的值为 ： （2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由： （3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG=6，GH=22，则BC= ．3．如图1，在Rt ABC 中，90,4,2B AB BC ∠︒＝＝＝，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，连接DE ．将CDE △绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．1（）问题发现①当0α=o 时，AE BD = ；②当180α=o 时，AEBD= ． 2（）拓展探究 试判断：当0360α︒≤︒＜时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． 3（）问题解决 CDE △绕点C 逆时针旋转至,,A B E 三点在同一条直线上时，求线段BD 的长．4．在ABC ∆，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ． （1）观察猜想 如图1，当60α︒=时，BDCP的值是 ，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是 ． （2）类比探究如图2，当90α︒=时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当90α︒=时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时AD CP的值．5．如图1，在△ABC中，BA=BC，点D，E分别在边BC、AC上，连接DE，且DE=DC．（1）问题发现：若∠ACB=∠ECD=45°，则AEBD=．（2）拓展探究，若∠ACB=∠ECD=30°，将△EDC绕点C按逆时针方向旋转α度（0°＜α＜180°），图2是旋转过程中的某一位置，在此过程中AEBD的大小有无变化？如果不变，请求出AEBD的值，如果变化，请说明理由．（3）问题解决：若∠ACB=∠ECD=β（0°＜β＜90°），将△EDC旋转到如图3所示的位置时，则AEBD的值为．（用含β的式子表示）6．在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm,动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，以2cm/s秒的速度沿BC向点C运动.P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为t秒.(如图1)（１）用含t 的代数式表示下列线段长度：①PB=__________cm,②QB=_____cm,③CQ=_________cm. (2)当△PBQ 的面积等于3 时，求t 的值.(3) (如图2)，若E 为边CD 中点，连结EQ 、AQ.当以A 、B 、Q 为顶点的三角形与△EQC 相似时，直接写出满足条件的t 的所有值.7．如图l ，在ABCD 中，点M ，N 分别在边AD 和BC 上，点E ，F 在对角线BD 上，且AM CN =，12BE DF BD =<.（1）求证：四边形MENF 是平行四边形： （2）若6AB =，10BC =，8BD =.①当四边形MENF 是菱形时，AM 的长为______； ②当四边形MENF 是正方形时，BE 的长为______； ③当四边形MENF 是矩形且6AM =时，BE 的长为______.8．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，点A ，C 的坐标分别为A （﹣3，0），C （1，0），BC ＝34AC（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．9．已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如果AFBF=DFAD．求证：EF=EP．10．如图，在△ C中，过点C作CD，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．求证：四边形AFCD是平行四边形．若， C，，求AB的长．11．已知：如图，点A ．F ，E ．C 在同一直线上，AB ∥DC ，AB=CD ，∠B=∠D ． （1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，连接EG ，且EG=5，求AB 的长．12．如图，直线 AB 与坐标轴交与点(0,6),(8,0)A B ， 动点P 沿路线O B A →→运动.(1)求直线AB 的表达式;(2)当点P 在OB 上，使得AP 平分OAB ∠时，求此时点P 的坐标;13．如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG ∥CD 交AF 于点G ，连接DG ． (1)求证：四边形EFDG 是菱形； (2) 求证：21=2EG AF GF ⋅； (3)若AG=6，EG=25，求BE 的长．14．如图,在△ABC 中.AC=BC=5.AB=6.CD 是AB 边中线.点P 从点C 出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿C-D-C 运动.在点P 出发的同时，点Q 也从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿边CA 向点A 运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止，设点P 运动的时间为t 秒.（1）用含t 的代数式表示CP 、CQ 的长度. （2）用含t 的代数式表示△CPQ 的面积.（3）当△CPQ 与△CAD 相似时，直接写出t 的取值范围.15．如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B.C ，且AB=8，DC=6，BC=14，BC 上是否存在点P 使△ABP 与△DCP 相似？若有，有几个？并求出此时BP 的长，若没有，请说明理由.16．如图，正方形ABCD ，点P 为射线DC 上的一个动点，点Q 为AB 的中点，连接,PQ DQ ，过点P 作PE DQ 于点E .（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；（2）若4AB ，以点,,P E Q 为顶点的三角形与ADQ △相似，试求出DP 的长.17．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上， 过 P 作 PF ⊥AE 于 F ．（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由；（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA ＝x ，是否存在实数 x ，使以 P ，F ，E 为顶 点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由．18．已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC ，AC 且BD ＝CE ，AD 、BE 相交于点M ，求证：（1）△AME ∽△BAE ；（2）BD 2＝AD×DM ． 19．△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，过AB 上一点D 作DE‖ C ，D ‖ C 分别交AC 、BC 于点E 和F（1）如图1，证明：△ADE∽△DBF；（2）如图1，若四边形DECF是菱形，求DE的长；（3）如图2，若以D、E、F为顶点的三角形与△BDF相似，求AD的长．20．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，且BE⊥AC交AC于点F．（1）求证：△EAB∽△ABC；（2）若AD＝2，求AB的长；（3）在（2）的条件下，求DF的长．21．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM上一点，EF⊥AM，垂足为F，交AD延长线于点E，交DC 于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB＝12，BM＝6，F为AM的中点，求DN的长；（3）若AB ＝12，DE ＝1，BM ＝5，求DN 的长．22．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步骤作图：第一步，分别以点A 、D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M 、N ； 第二步，连接MN 分别交AB 、AC 于点E 、F ； 第三步，连接DE 、DF ．若BD =6，AF =4，CD =3，求线段BE 的长．23．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AB 的中点，,AD CE 相交于点G ，求证：13GE GD CE AD ==， 证明：连结ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，E 为边BC 的中点，AE 、BD 交于点F ． （1）如图②，若ABCD 为正方形，且6AB =，则OF 的长为 ． （2）如图③，连结DE 交AC 于点G ，若四边形OFEG 的面积为12，则ABCD 的面积为 ．24．正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）证明：△ABM∽△MCN；（2）若△ABM的周长与△MCN周长之比是4：3，求NC的长．25．如图，在△ABC中，AB=8，BC=16，点P从点A开始沿AB向点B以2m/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4m/s的速度移动，如果P，Q分别从AB，BC同时出发，经过几秒△PBQ与△ABC相似？26．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．28．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从B，A两点出发，分别沿BA，AC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）如图①，当t为何值时，AP＝3AQ；（2）如图②，当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）如图③，作QD∥AB交BC于点D，连接PD，当t为何值时，△BDP与△PDQ相似？29．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于E，过E作EF∥AB交BC 于F，连结DF．（1）若点D是AB的中点，证明：四边形DFEA是平行四边形；（2）若AC＝8，BC＝6，直接写出当△DEF为直角三角形时AD的长．30．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．31．（1）观察发现：如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AB上，过D作DE∥BC交AC于E，AB＝5，AD ＝3，AE＝4．填空：①△ABC与△ADE是否相似？（直接回答）；②AC＝；DE＝．（2）拓展探究：将△ADE绕顶点A旋转到图2所示的位置，猜想△ADB与△AEC是否相似？若不相似，说明理由；若相似，请证明．（3）迁移应用：将△ADE绕顶点A旋转到点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段BE的长．32．如图1，一次函数y＝12x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点．P是x轴上的动点，设点P的横坐标为n．（1）当△BPO∽△ABO时，求点P的坐标；（2）如图2，过点P的直线y＝2x+b与直线AB相交于C，求当△P AC的面积为20时，点P的坐标；（3）如图3，直接写出当以A，B，P为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的坐标．33．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段OA，OC的长是一元二次方程x2-12x+36=0的两根，BC=45，∠BAC=45°．(1)直接写出点A的坐标________点C的坐标________；(2)若反比例函数y=kx的图象经过点B，求k的值；(3)如图过点B作BD⊥y轴于点D；在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 2，CE=4，则DE的长为______．35．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的横坐标是一元二次方程x2+2x-3=0的两根（AO＞OC），直线AB与y轴交于D，D点的坐标为9 04⎛⎫ ⎪⎝⎭，（1）求直线AB的函数表达式；（2）在x轴上找一点E，连接EB，使得以点A、E、B为顶点的三角形与△ABC相似（不包括全等），并求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P、Q分别是AB和AE上的动点，连接PQ，点P、Q分别从A、E同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，两点停止运动，设运动时间为t秒，问几秒时以点A、P、Q为顶点的三角形与△AEB相似．参考答案1．当运动2.4秒或1811秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似 【解析】 【分析】设t 秒后，以Q ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似；则PB ＝（6−t ）cm ，BQ ＝2tcm ，分两种情况：①当PB BQAB BC=时；②当BP BQBC BA=时；分别解方程即可得出结果． 【详解】解：设(04)t t <…秒后，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则(6)cm PB t =-，2cm BQ t =.∵90B ︒∠=，∴分两种情况讨论：①当PBQ ABC ∆∆∽时，PB BQ AB BC =，即6268t t-=，解得 2.4t =； ②当QBP ABC ∆∆∽时，BP BQBC BA=，即6286t t -=，解得1811t =. 综上所述，当运动2.4秒或1811秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法、解方程；熟练掌握相似三角形的判定方法，分两种情况进行讨论是解决问题的关键．2．（1）①四边形CEGF 是正方形；②2；（2）线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ；（3）35 【解析】 【分析】（1）①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形，再由ECG 45∠=即可得证；②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=，据此可得CG2CE=、GE //AB ，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG ，只需证ACG ∽△BCE 即可得； （3）证AHG ∽CHA 得AG GH AH AC AH CH ==，设BC CD AD a ===，知AC 2a =，由AG GHAC AH=得2AH a 3=、1DH a 3=、10CH a 3=，由AG AH AC CH =可得a 的值． 【详解】（1）①∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCD=90°，∠BCA=45°， ∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ， ∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE=∠ECG=45°， ∴EG=EC ，∴四边形CEGF 是正方形； ②由①知四边形CEGF 是正方形， ∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴2CGCE=，GE ∥AB ， ∴2AG CGBE CE==， 故答案为：2； （2）连接CG ，由旋转性质知∠BCE=∠ C =α， 在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CE CG =22、CB CA =22， ∴CG CE =2CACB=， ∴△ACG ∽△BCE ，∴2AG CABE CB==， ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ； （3）∵∠CEF=45°，点B 、E 、F 三点共线， ∴∠BEC=135°， ∵△ACG ∽△BCE ， ∴∠AGC=∠BEC=135°， ∴∠AGH=∠CAH=45°， ∵∠CHA=∠AHG ， ∴△AHG ∽△CHA ， ∴AG GH AHAC AH CH==， 设BC=CD=AD=a ，则AC=2a ，则由AG GHAC AH=得6222AHa=，∴AH=23 a，则DH=AD﹣AH=13a，CH=22CD DH+=103a，∴由AG AHAC CH=得2632103aaa=，解得：a=35，即BC=35，故答案为：35．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.3．（1）①5；②5；(2) 5;(3) 35 5【解析】【分析】（1）①根据勾股定理和三角形中位线的性质，即可得到答案；②根据平行线的性质即可得到答案；(2)根据相似三角形的性质和判定即可得到答案；(3) 根据勾股定理即可得到答案.【详解】解：()1①当0α︒＝时，Rt ABC Q V 中，90B ∠︒＝，22222425AC AB BC ∴++＝＝＝，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，115122AE AC BD BC ∴＝＝，＝＝，5AEBD∴=． ②如图1﹣1中，当180α︒＝时， 可得//AB DE ，AC BCAE BD =Q ， 5AE ACBD BC∴==． 故答案为：55①,②． 2（）如图2，当0360α︒≤︒＜时，AEBD的大小没有变化， ECD ACB ∠∠Q ＝， ECA DCB ∴∠∠＝，又5EC ACDC BC==Q, ECA DCB ∴V V ∽，5AE ECED DC∴==． ()3①如图3﹣1中，当点E 在AB 的延长线上时，在Rt BCE V 中,5,2CE BC ＝＝，22541BE EC BC ∴--＝＝＝，5AE AB BE ∴+＝＝，5AEBD=Q， 555BD ∴==．②如图3﹣2中，当点E 在AB 线段上时，易知1,413BE AE -＝＝＝， 5AEBD=Q， 355BD ∴＝， 综上所述，满足条件的BD 的长为355． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定，解题的关键熟练掌握勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定. 4．（1）1，60︒（2）45°（3）22-，22+ 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．证明()CAP BAD SAS ∆≅∆，即可解决问题． （2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．证明DABPAC ∆∆，即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD DC =即可解决问题．②如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：DA DC =解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．60PAD CAB ︒∠=∠=，CAP BAD ∴∠=∠，CA BA =，PA DA =，()CAP BAD SAS ∴∆≅∆， PC BD ∴=，ACP ABD ∠=∠， AOC BOE ∠=∠，60BEO CAO ︒∴∠=∠=，1BDPC∴=，线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是60︒， 故答案为1，60︒．（2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．45PAD CAB ︒∠=∠=， PAC DAB ∴∠=∠，2AB ADAC AP ==， DABPAC ∴∆∆，PCA DBA ∴∠=∠，2BD ABPC AC==， EOC AOB ∠=∠，45CEO OAB ︒∴∠=∠=，∴直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数为45︒．（3）如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．CE EA =，CF FB =，EF AB ∴∥，45∴∠=∠=，EFC ABC︒PAO︒∠=，45∴∠=∠，PAO OFH∠=∠，POA FOH∴∠=∠，H APO=，90∠=，EA ECAPC︒∴==，PE EA ECEPA EAP BAH∴∠=∠=∠，∴∠=∠，H BAH∴=，BH BA∠=∠=，ADP BDC︒45∴∠=，90ADB︒∴⊥，BD AHDBA DBC︒∴∠=∠=，22.5ADB ACB︒∠=∠=，90∴A，D，C，B四点共圆，DCA ABD︒∠=∠=，DAC DBC︒∠=∠=，22.522.5∴∠=∠=，22.5DAC DCA︒DA DC ∴=，设=AD a ，则DC AD a ==，22PD a =， 2222ADa CPa a∴==-+c ．如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：=DA DC ，设=AD a ，则CD AD a ==，22PD a =，22PC a a ∴=-， 2222ADa PCa a∴==+-．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．5．（1）2；（2）此过程中AE BD 的大小有变化，3AEBD=（3）2 osβ 【解析】 【分析】1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C=∠DEC=45°，于是得到∠B=∠EDC=90°，推出四边形EFBD 是矩形，得到EF=BD ，推出△AEF 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论； （3）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β，根据相似三角形的性质得到BC ACDC CE=，即BC DCAC EC =，根据角的和差得到∠ACE=∠BCD ，求得△ACE ∽△BCD ，证得AE AC BD BC=，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，∵BA=BC ，DE=DC ，∠ACB=∠ECD=45°， ∴∠A=∠C=∠DEC=45°， ∴∠B=∠EDC=90°， ∴四边形EFBD 是矩形， ∴EF=BD ， ∴EF ∥BC ，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴2BD EFAE AE==， 故填：2，（2）此过程中AEBD的大小有变化， 由题意知，△ABC 和△EDC 都是等腰三角形， ∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°， ∴△ABC ∽△EDC ，∴BC AC DC CE =，即BC DCAC EC=， 又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB ， ∴∠ACE=∠BCD ， ∴△ACE ∽△BCD ，∴AE ACBD BC=， 在△ABC 中，如图2，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，在Rt △BCF 中，3cos302CF BC BC ︒=⋅=， ∴AC=3BC ．∴3AE ACBD BC==； （3）由题意知，△ABC 和△EDC 都是等腰三角形，且∠ACB=∠ECD=β， ∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β， ∴△ABC ∽△EDC ，∴BC AC DC CE =，即BC DCAC EC=， 又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB ， ∴∠ACE=∠BCD ，∴△ACE∽△BCD，∴AE AC BD BC=，在△ABC中，如图3，过点B作BF⊥AC于点F，则AC=2CF，在Rt△BCF中，C = C• osβ，∴ C=2 C osβ．∴AE ACBD BC==2 osβ，故答案为2 osβ．【点睛】本题考查了相似形的综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．6．（1）PB=4-t；QB=2t；CQ=8-2t；（2）1或3；（3）或或.【解析】【分析】（1）根据题意写出结果即可；（2）利用三角形的面积公式列方程求解即可；（3）根据相似三角形的性质，分两种情况列式求解即可.【详解】（1）由题意得，①PB=4-t；②QB=2t；③CQ=8-2t；（2）∵△PBQ的面积等于3，∴2t(4-t)=3×2,解之得，t=1或3；（3）当△ABQ～△QCE时，,∴,解之得，x1=，x2=;当△ABQ～△ECQE时，,∴,解之得，t=.∴满足条件的t的所有值为或或.【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似三角形的性质及分类讨论的数学思想，熟练掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键. 相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方.7．（1）证明见解析，（2）①5．②1．③41045 ．【解析】【分析】（1）如图1中，设BD 的中点为O ．连接AC ，AN ，CM ，MN ．利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．（2）①如图21-中，连接MN 交BD 于点O ，当MN BD ⊥时，四边形MENF 是菱形．利用平行线等分线段定理即可解决问题．②在①的基础上，OE OM =时，四边形MENF 是正方形．③如图32-中，连接MN 交BD 于点O ，作MH BD ⊥于H ．当OE OF OM ON ===时，四边形MENF 是矩形． 【详解】（1）证明：如图1中，设BD 的中点为O ．连接AC ，AN ，CM ，MN ．四边形ABCD 是平行四边形， AC ∴与BD 互相平分且交于点O ，//AMCN ，AM CN =，∴四边形ANCM 是平行四边形，AC ∴与MN 互相平分且交于点O ，OM ON ∴=，OB OD =，BE DF =，OE OF ∴=，∴四边形MENF 是平行四边形．（2）①如图21-中，连接MN 交BD 于点O ，当MN BD ⊥时，四边形MENF 是菱形．6AB CD ==，10AD BC ==，8BD =， 222AD AB BD ∴=+，90ABD ∴∠=︒，90MOF ABD ∴∠=∠=︒，//OM AB ∴， OB OD =， 5AM DM ∴==．②在①的基础上，满足OM OE =时，四边形MENF 是正方形， 易知132OM AB ==， 3OE OF ∴==， 8BD =，1·(86)12BE DF ∴==-=．③如图32-中，连接MN 交BD 于点O ，作MH BD ⊥于H ．//MH AB ，:::MH AB DM DA DH DB ∴== :64:10:8MH DH ∴==，125MH ∴=，165DH =， 164455OH ∴=-=， 224105OM MH OH ∴=+=， 当OE OF OM ON ===时，四边形MENF 是矩形，1810410(8)4255BE DF ∴==-=-． 故答案为：5，1，41045-． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（1）y ＝34x +94；（2）D 点位置见解析，D （134，0）；（3）符合要求的m 的值为12536或259．【解析】 【分析】（1）先根据A（−3，1），C（1，0），求出AC进而得出BC＝3求出B点坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标；（3）由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题．【详解】解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝34 AC，∴BC＝34×4＝3，∴B（1，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴303k bk b-+=⎧⎨+=⎩，∴3494kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB的解析式为y＝34x+94；（2）若△ADB与△ABC相似，过点B作BD⊥AB交x轴于D，∴∠ABD＝∠ACB＝90°，如图1，此时ABAC＝ADAB，即AB2＝ C• D．∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴25＝4AD，∴AD＝25 4，∴OD＝AD﹣AO＝254﹣3＝134，∴点D的坐标为（134，0）；（3）∵AP＝DQ＝m，∴AQ＝AD﹣QD＝254﹣m．Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如图2，则有APAB＝AQAD，∴ P• D＝ • Q，∴254m＝5（254﹣m），解得m＝25 9；Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如图3，则有APAD＝AQAB，∴ P• ＝ D• Q，∴5m＝254（254﹣m），解得：m＝125 36，综上所述：符合要求的m的值为12536或259．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了是待定系数法，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，也考查了分类讨论的数学思想，属于中档题，解本题的关键是根据相似建立方程求解．9．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD ，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE ≌△DAF ，则BE=AF ，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用AF DF BF AD =和AF=BE 得到BE BFDF AD=，则可判定Rt △BEF ∽Rt △DFA ，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP ．【详解】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠BAD=90°， ∵BE ⊥AP ，DF ⊥AP ， ∴∠BEA=∠AFD=90°， ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， 在△ABE 和△DAF 中12BEA AFDAB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DAF ， ∴BE=AF ，∴EF=AE ﹣AF=AE ﹣BE ；（2）如图，∵AF DFBF AD=， 而AF=BE ，∴BE DFBF AD =， ∴BE BFDF AD=， ∴Rt △BEF ∽Rt △DFA ，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.10．证明见解析；．【解析】【分析】由E是AC的中点知 E CE，由CD知 E CDE，据此根据“ S”即可证△ E ≌△CED，从而得CD，结合CD即可得证；证△∽△ CD得，据此求得CD，由CD及可得答案．C CD【详解】E是AC的中点，E CE ， CD ， E CDE ， 在△ E 和△CED 中， ，△ E ≌△CED S ， CD ，又 CD ，即 CD ， 四边形AFCD 是平行四边形； CD ， △ ∽△ CD ，CCD，即CD，解得：CD，四边形AFCD 是平行四边形， CD，． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.11．（1）证明见解析；（2）AB=10．【解析】分析：（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．详解：（1）证明：∵AB∥DC，∴∠A=∠C，在△ABE与△CDF中＝＝＝，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴ED=CD，∵EG=5，∴CD=10，∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD=10．点睛：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出∠A=∠C．12．（1）y=34x+6；（2）P（3，0）．【解析】【分析】1）直接利用待定系数法即可得出结论；（2）方法1、利用角平分线判断出BC=AB=10，进而判断出△AOP∽△CBP，求出OP，即可得出结论；方法2、先判断出OP=PM，设OP=m，得出PM=m，BP=8-m，再求出AM=OA=6，进而得出BM=AB-AM=4，最后用勾股定理建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（0，6），B（8，0），∴680bk b⎧⎨+⎩＝＝，∴346kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的解析式为y=34-x+6；（2）方法1、如图1，∵A（0，6），B（8，0），∴OA=6，OB=8，AB=10，过点B作BC∥OA交AP的延长线于C，∴∠C=∠OAP，∵AP平分∠OAB，∴∠OAP=∠BAP，∴∠C=∠BAP，∴BC=AB=10，∵BC∥OA，∴△AOP∽△CBP，∴OP OA=BP BC=35，∴OP3=OB8，∴OP=3，∴P（3，0）；方法2、如图3，过点P作PM⊥AB于M，∵AP是∠OAB的角平分线，∴OP=PM，设OP=m，∴PM=m，∴BP=OB-OP=8-m易知，△AOP≌△AMP，∴AM=OA=6，∴BM=AB-AM=4，在Rt△BMP中，根据勾股定理得，m2+16=（8-m）2，∴m=3，∴P（3，0）．故答案为：（1）y=34x+6；（2）P（3，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造出相似三角形是解题的关键．13．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BE的长为125 5.【解析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=12GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明D 2= O• ，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．“点睛”本题考查的是四边形与三角形的综合应用，解题应用了矩形的性质，菱形的性质和判定、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键．14．（1）当0＜t≤85时，CP=2.5t，CQ=2t；当8552t<≤时，CP=8-2.5t，CQ=2t．（2）当0＜t≤85时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×2.5t×35×2t=232t；当8552t<≤时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=1 2×（8-2.5t）×35×2t=232425t t-+.（3）0＜t≤85或80t41=s【解析】【分析】（1）分两种情形：当0＜t≤85时，当85＜t52≤时，分别求解即可．（2）分两种情形：当0＜t≤85时，当85＜t≤52时，根据S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ分别求解即可．（3）分两种情形：当0＜t≤85，可以证明△QCP∽△DCA，当85＜t52≤，∠QPC=90°时，△QPC∽△ADC，构建方程求解即可．【详解】解：（1）∵CA=CB，AD=BD=3，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴CD=22AC AD-=2253-=4，当0＜t≤85时，CP=2.5t，CQ=2t，当85t52<≤时，CP=8-2.5t，CQ=2t．（2）∵sin∠ACD=ADAC=35，∴当0＜t≤85时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×2.5t×35×2t=23t2当85t52<≤时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×（8-2.5t）×35×2t=2324t t25-+.（3）①当0＜t≤85时，∵CP=2.5t，CQ=2t，∴CQCP=45，∵CDCA=45，∴CQ CD CP CA=，∵∠PCQ=∠ACD，∴△QCP ∽△DCA ，∴0＜t≤85时，△QCP ∽△DCA ， ②当85t 52<≤时，当∠QPC=90°时，△QPC ∽△ADC ， ∴CP CQ CD CA =， ∴8 2.5t 2t 45-=， 解得：80t 41=， 综上所述，满足条件的t 的值为：0＜t≤85或80t 41=s 时，△QCP ∽△DCA ． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15．BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似. 【解析】 【分析】设BP=x ，表示出PC=14-x ，然后分BP 与CP 是对应边，BP 与DC 是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】设BP=x ，则PC=14−x ，BP 与CP 是对应边时,=BP ABCP DC， 即8146x x =-，解得x=8，BP 与DC 是对应边时,=BP ABDC CP， 即8=614x x-， 解得x1=6,x2=8，所以，BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似. 【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于根据相似三角形的性质对应边成比例列出方程. 16．（1）DPE QDA ∽，见解析；（2）2DP =或5DP ＝. 【解析】 【分析】（1）通过等角转换，可得出三角相等，即可判定DPE QDA ∽；（2）首先根据已知条件求出DQ ，由三角形相似的性质，列出方程，即可得解，注意分两种情况讨论. 【详解】（1）DPE QDA ∽根据已知条件，得∠DAQ=∠PED=90° 又∵∠ADQ+∠PDE=∠DPE+∠PDE=90° ∴∠ADQ =∠DPE ，∠AQD=∠PDE ∴DPE QDA ∽（2）由已知条件，得22224225DQ AD AQ =+=+=设DE 为x ∵DPE QDA ∽∴DA PEAQ DE= ∴PE 为2x ∵PEQADQ △△∴分两种情况：①AQ DAPE EQ = 即24225x x=- 解得255x =∴()2222DP x x =+=②AQ DAEQ PE= 即24225xx =- 解得5x =()2225DP x x =+=【点睛】此题主要考查三角形相似的性质，熟练掌握，即可解题.17．（1）见解析；（2）存在，x的值为2或5.【解析】【分析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．【详解】(1)证明：∵AD∥BC,∴∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE.(2)若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB.如图，连接PE,DE,∴PE∥AB.∴四边形ABEP为矩形.∴PA=EB=2，即x=2.如图，延长AD至点P，作PF⊥AE于点F,连接PE, 若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB.∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF.∴PE=PA.∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点.∵AE=22=25AB BE，∴EF=12AE=5.∵5==225,PE EF PEAE EB，即，∴PE=5，即x=5.∴满足条件的x的值为2或5.【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解题关键在于作辅助线. 18．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】。
【微专题】2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练(人教版) 三角形折叠求角(解析版)
三角形折叠求角类型一 三角形折叠1．如图 在折纸活动中 小明制作了一张三角形纸片(即ABC ∆) 点D 、E 分别在边AB 、AC 上 将ABC ∆沿着DE 折叠压平后点A 与'A 重合 若75A ∠=︒ 则12∠+∠= ( )A ．150︒B ．210︒C ．105︒D ．75︒【答案】A【解析】【分析】 连接A A ' 根据折叠的性质可得∠EA D '=∠EAD=75° 然后根据三角形外角的性质和等量代换即可得出结论．【详解】解：连接A A '由折叠的性质可得∠EA D'=∠EAD=75°∠∠1和∠2分别为∠EA A'和∠DA A'的外角∠∠1=∠EA A'＋∠EAA'∠2=∠DA A'＋∠DAA'∠∠1＋∠2=∠EA A'＋∠EAA'＋∠DA A'＋∠DAA'=（∠EA A'＋∠DA A'）＋（∠EAA'＋∠DAA'）=∠EA D'＋∠EAD=150°故选A．【点睛】此题考查的是三角形中的折叠问题掌握折叠的性质和三角形外角的性质是解决此题的关键．2．如图把△ABC纸片沿DE折叠当A落在四边形BCDE内时则∠A与∠1+∠2之间有始终不变的关系是（）A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2C．3A=∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）【答案】B【解析】【分析】本题问的是关于角的问题当然与折叠中的角是有关系的∠1与∠AED的2倍和∠2与∠ADE的2倍都组成平角结合△AED的内角和为180°可求出答案．【详解】∠∠ABC纸片沿DE折叠∠∠1+2∠AED=180°,∠2+2∠ADE=180°∠∠AED=12(180°−∠1),∠ADE=12(180°−∠2)∠∠AED+∠ADE=12(180°−∠1)+12(180°−∠2)=180°−12(∠1+∠2)在△ADE中,∠A=180°−(∠AED+∠ADE)=180°−[180°−12(∠1+∠2)]= 12(∠1+∠2)则2∠A=∠1+∠2 故选择B项.【点睛】本题考查折叠和三角形内角和的性质 解题的关键是掌握折叠的性质.3．已知：如图所示 将△ABC 的∠C 沿DE 折叠 点C 落在点C '处 设,C α∠= ∠AEC ′=β ∠BDC '=γ 则下列关系式成立的是（ ）A ．2α=β+γB ．α=β+γC ．α+β+γ=180°D ．α+β=2γ【答案】A【解析】【分析】 通过平角关系用∠CEC ′、∠CDC ′表示出β、γ 通过三角形的内角和用∠CEC ′、∠CDC ′表示出∠C 、∠C ′ 计算可得结论．【详解】解：由折叠的性质知：∠C =∠C ′=α．∠∠AEC ′+∠CEC ′=180° ∠BDC ′+∠CDC ′=180°∠β=180°-∠CEC ′ γ=180°-∠CDC ′．∠β+γ=360°-∠CEC ′-∠CDC ′．∠∠C +∠CEC ′+CDC ′+∠C ′=360°∠2α=360°-∠CEC ′-∠CDC ′．∠β+γ=2α．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的内角和 掌握折叠的性质 用含∠CEC ′、∠CDC ′表示出α、β、γ是解决本题的关键． 4．如图,将∠ABC 沿着DE 翻折,使B 点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B 的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】C【解析】【分析】 由折叠的性质可知','BED B ED BDE B DE ∠=∠∠=∠,再利用平角的定义可求出BED BDE ∠+∠的度数 进而利用三角形内角和可求∠B 的度数.【详解】由折叠的性质可知','BED B ED BDE B DE ∠=∠∠=∠∠1'180,2'180BED B ED BDE B DE ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒ ∠11(36012)(36080)14022BED BDE ∠+∠=︒-∠-∠=⨯︒-︒=︒ ∠180()18014040B BED BDE ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒故选C【点睛】本题主要考查折叠的性质及三角形内角和定理 掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键. 5．如图 三角形纸片ABC 中 ∠A ＝65° ∠B ＝75° 将∠C 沿DE 对折 使点C 落在∠ABC 外的点C′处 若∠1＝20° 则∠2的度数为（ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．110°【答案】C【解析】【分析】 先根据平角的定义和翻折变换的性质求出∠DEC 再根据三角形内角和定理求出∠CDE 即可得出答案.解：∠A=65° ∠B=75° ∠1＝20°∠∠C=∠C′ =180°-∠A -∠B=40°由翻折变换的性质可得：∠DEC=∠DE C′∠DEC+∠DEB=∠DEC+∠DE C′-∠1=180°∠∠DEC=100°∠∠CDE=∠ED C′=180°-∠C -∠DEC=40°∠∠2=180°-∠CDE -∠ED C′=100°.故选C.【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质与三角形内角和定理 解题关键是准确识图 理清题目中角的关系. 6．如图 将三角形纸片ABC 沿DE 折叠 当点A 落在四边形BCED 的外部时 测量得∠1＝70° ∠2＝132° 则∠A 为（ ）A ．40°B ．22°C ．30°D ．52°【答案】B【解析】【分析】 利用四边形的内角和定理求出B C ∠+∠ 再利用三角形的内角和定理可得结果．【详解】∠1=70∠︒ 2=132∠︒∠3601236070132158B C ∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∠180()18015822A B C ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒故选：B ．本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理 关键是运用多边形的内角和定理求出B C ∠+∠的度数．7．如图所示 把ABC 沿直线DE 翻折后得到A DE ' 如果36A EC '∠=︒ 那么AED =∠___度．【答案】72【解析】【分析】根据折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变 只是位置改变 对应边和对应角相等 可以得到AED A ED '∠=∠ 再根据平角的定义即可求解．【详解】 ABC 沿直线DE 翻折后得到A DE '∴AED A ED '∠=∠180AED A ED A EC ''∠+∠+∠=︒ 36A EC '∠=︒∴18036722AED ︒-︒∠==︒． 故答案为：72．【点睛】本题考查了折叠的性质 三角形折叠中的角度问题 它属于轴对称 熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 8．如图 把ABC 纸片沿DE 折叠 使点B 落在图中的B '处 设'B ∠EC ∠= 1 'B ∠DA ∠=2.若B ∠=25︒ 则∠2∠-1=______︒【答案】50【解析】【分析】由折叠性质求得'25B ∠=︒ 由三角形的外角性质 用1∠表示 2∠ 进而求得21∠-∠．【详解】解：25B ∠=︒'25B B ∠∠∴==︒31'125B ∠∠∠∠=+=+︒2312525B ∠∠∠∠=+=+︒+︒2150∠∠∴-=︒故答案为50．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质 折叠的性质 关键是根据三角形的外角的性质表示出1∠与2∠的关系式．类型二多边形折叠9．如图将四边形纸片ABCD沿EF折叠点A落在A1处若∠1+∠2＝90°则∠A的度数是（）A．45°B．40°C．35°D．30°【答案】A【解析】【分析】根据翻折变换的性质和平角的定义求出∠3+∠4 再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：∠四边形纸片ABCD沿EF折叠点A落在A1处∠∠3+∠4=12（180°-∠1）+12（180°-∠2）=180°-12（∠1+∠2）∠∠1+∠2=90°∠∠3+∠4=180°-12×90°=180°-45°=135°在∠AEF中∠A=180°-（∠3+∠4）=180°-135°=45°．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理翻折变换的性质平角的定义熟记各性质并整体思想的利用是解题的关键．10．如图所示在四边形纸片ABCD中∠A=80° ∠B=70° 将纸片沿着MN折叠使C D分别落在直线AB 上的C'D处则∠AMD'+∠BNC'等于（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°【答案】B【解析】【分析】 首先根据四边形内角和定理可得∠D+∠C=210° 再利用折叠性质可得∠'MD B =∠D ∠'NC A =∠C 即∠'MD B +∠'NC A =210° 从而得出∠'MD A +∠'NC B =150° 最后进一步利用三角形内角和定理求解即可.【详解】∠∠A=80° ∠B=70°∠∠D+∠C=360°−∠A −∠B=210°由折叠性质可得：∠'MD B =∠D ∠'NC A =∠C∠∠'MD B +∠'NC A =210°∠∠'MD A +∠'NC B =360°−(∠'MD B +∠'NC A )=150°∠∠'AMD +∠'BNC =360°−(∠'MD A +∠'NC B )−(∠A +∠B )=60°故选：B .【点睛】本题主要考查了三角形与四边形内角和定理以及折叠的性质 熟练掌握相关概念是解题关键.11．如图所示 将三角形纸片ABC 沿DE 折叠 使点B 落在点B ′处 若EB ′恰好与BC 平行 且∠B ＝80° 则∠CDE ＝_____°．【答案】130【解析】【分析】先求出∠B=∠B′=80° ∠BDE=∠B′DE根据平行线的性质得到∠B′DC=80° 进而得到∠BD B′=100° ∠BDE=50° 即可求出∠CDE＝130°．【详解】解：由折叠的定义得∠B=∠B′=80° ∠BDE=∠B′DE∠EB′∠BC∠∠B′=∠B′DC=80°∠∠BD B′=180°-∠B′DC=100°∠∠BDE=∠B′DE=50°∠∠CDE＝180°-∠BDE=130°．故答案为：130【点睛】本题考查了折叠的定义平行线的性质邻补角的定义等知识熟知相关知识并根据图形灵活应用是解题关键．12．如图△ABC中将边BC沿虚线翻折若∠1+∠2=102°,则∠A的度数是______．【答案】51°【解析】【分析】延长折叠后的直线交于A’ 根据折叠的性质及内角和即可求解.【详解】如图延长折叠后的直线交于A’由于折叠∠∠1+2∠3=180° ∠2+2∠4=180°∠∠1+∠2=102° ∠1+2∠3+∠2+2∠4=360°∠2∠3+2∠4=258°∠∠3+∠4=129°∠∠A=∠A’=180°-（∠3+∠4）=51°【点睛】此题主要考查折叠的性质 解题的关键是根据折叠作出辅助线进行求解.13．将一张纸如图所示折叠后压平 点F 在线段BC 上 EF 、GF 为两条折痕 若∠1＝57° ∠2＝20° ∠3的度数_____度【答案】23【解析】【分析】根据折叠的性质可知 1EFB '∠=∠ 3GFC '∠=∠ 然后对123180EFB GFC '∠+∠+∠+∠+∠'=︒计算求解即可．【详解】解：由折叠的性质可知 157EFB '∠=∠=︒ 3GFC '∠=∠∠123180EFB GFC '∠+∠+∠+∠+∠'=︒ ∠1805757203232︒-︒-︒-︒∠==︒ 故答案为：23°．【点睛】本题考查了折叠的性质 角的计算．解题的关键在于找出角度的数量关系．14．利用折纸可以作出角平分线 如图1则OC 为AOB ∠的平分线 如图2、图3 折叠长方形纸片 OC OD 均是折痕 折叠后 点A 落在点'A 点B 落在点'B 连接'OA ．①如图2 若点'B 恰好落在'OA 上 且32AOC ∠=︒ 则BOD ∠=__________；②如图3 当点'B 在'COA ∠的内部时 连接'OB 若44AOC ∠=︒ 61BOD ∠=︒ 求''A OB ∠的度数为__________．【答案】 58︒ 30【解析】【分析】①由题意知AOC A OC '∠=∠ BOD B OD '∠=∠ 根据180AOC A OC BOD B OD ''∠+∠+∠+∠=︒ 计算求解即可；② 由题意知AOC A OC '∠=∠ BOD B OD '∠=∠ 根据180AOC A OC A OD BOD ''∠+∠+∠+∠=︒ 求出A OD '∠的值 进而根据A OB B OD A OD ''''∠=∠-∠计算求解即可．【详解】解：①由题意知AOC A OC '∠=∠ BOD B OD '∠=∠∠180AOC A OC BOD B OD ''∠+∠+∠+∠=︒ 32AOC ∠=︒∠58BOD ∠=︒故答案为：58°．②由题意知AOC A OC '∠=∠ BOD B OD '∠=∠∠180AOC A OC A OD BOD ''∠+∠+∠+∠=︒ 44AOC ∠=︒ 61BOD ∠=︒∠1802446131A OD '∠=︒-⨯︒-︒=︒∠30A OB B OD A OD ''''∠=∠-∠=︒故答案为：30°．【点睛】本题考查了角平分线．解题的关键在于找出角度的数量关系．类型三 多次折叠15．如图所示 把一个三角形纸片ABC 顶角向内折叠3次之后 3个顶点不重合 那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（）A．180°B．270°C．360°D．无法确定【答案】C【解析】【详解】由题意知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'∠∠B=∠B' ∠C=∠C' ∠A=∠A'∠∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2（∠B+∠C+∠A）=360° 故选C．16．如图将∠ABC沿DE、HG、EF翻折三个顶点均落在点O处若∠1＝131° 则∠2的度数为（）A．49°B．50°C．51°D．52°【答案】A【解析】【分析】先根据折叠性质得：∠HOG＝∠B∠DOE＝∠A∠EOF＝∠C根据三角形内角和为180°和周角360°求出结论．【详解】由折叠得：∠HOG＝∠B∠DOE＝∠A∠EOF＝∠C∠∠A+∠B+∠C＝180°∠∠HOG+∠DOE+∠EOF＝180°∠∠1+∠2+∠HOG+∠DOE+∠EOF＝360°∠∠1+∠2＝180°∠∠1＝131°∠∠2＝180°﹣131°＝49°故选：A．【点睛】本题考查折叠的性质、三角形内角和解题的关键是掌握折叠的性质、三角形内角和.17．如图a是长方形纸带∠DEF=25° 将纸带沿EF折叠成图b 再沿BF折叠成图c 则图c中的∠CFE的度数是____________°．【答案】105°【解析】【详解】由图a知∠EFC=155°.图b中∠EFC=155° 则∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°.图c中∠GFC=130° 则∠CFE=130°-25°=105°.故答案为105°.点睛：在长方形的折叠问题中因为有平行线和角平分线所以存在一个基本的图形等腰三角形即图b中的等腰∠CEF其中CE=CF这个等腰三角形是解决本题的关键所在.18．如图1 ∠ABC中沿∠BAC的平分线AB1折叠剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠点B n与点C重合无论折叠多少次只要最后一次恰好重合我们就称∠BAC是∠ABC的好角.（1）如图2 在∠ABC中∠B>∠C 若经过两次折叠∠BAC是∠ABC的好角则∠B与∠C的等量关系是_______；（2）如果一个三角形的最小角是20° 则此三角形的最大角为______时该三角形的三个角均是此三角形的好角．【答案】 B 2C ∠∠= 140°、120°或80°【解析】【分析】（1）根据折叠性质可得∠A 1B 1B 2=∠C ∠AA 1B 1=∠B 由三角形外角性质可得∠AA 1B 1=2∠C 根据等量代换可得∠B=2∠C ；（2）先求出经过三次折叠 ∠BAC 是△ABC 的好角时 ∠B 与∠C 的等量关系为∠B=3∠C 进而可得经过n 次折叠 ∠BAC 是△ABC 的好角时∠B 与∠C 的等量关系为∠B=n∠C 因为最小角是20º 是△ABC 的好角 根据好角定义 设另两角分别为20mº 4mn° 由题意得20m+20mn+20=180° 所以m(n+1)=8 再根据m 、n 都是正整数可得m 与n+1是8的整数因子 从而可以求得结果．【详解】（1）根据折叠性质得∠B=∠AA 1B 1 ∠A 1B 1B 2=∠C∠∠AA 1B 1=∠A 1B 1B 2+∠C∠∠B=2∠C故答案为∠B=2∠C（2）如图：∠根据折叠的性质知 ∠B=∠AA 1B 1 ∠C=∠A 2B 2C ∠A 1B 1C=∠A 1A 2B 2∠根据三角形的外角定理知 ∠A 1A 2B 2=∠C+∠A 2B 2C=2∠C ；∠根据四边形的外角定理知 ∠BAC+∠B+∠AA 1B 1-∠A 1B 1C=∠BAC+2∠B -2∠C=180°根据三角形ABC 的内角和定理知 ∠BAC+∠B+∠C=180°∠∠B=3∠C ；∠当∠B=2∠C 时 ∠BAC 是△ABC 的好角；当∠B=3∠C 时 ∠BAC 是△ABC 的好角；故若经过n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角 则∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C ）之间的等量关系为∠B=n∠C ； ∠最小角为20°∠设另两个角为20m°和20mn°∠20°+20m°+20mn°=180° 即m(1+n)=8∠m 、n 为整数∠m=1 1+n=8；或m=2 1+n=4；或m=4 1+n=2.解得：m=1 n=7；m=2 n=3 m=4 n=1∠另两个角为20°、140°或40°、120°或80°、80°∠此三角形最大角为140°、120°或80°时 三个角均是此三角形的好角.故答案为140°、120°或80°【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）．充分利用三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质是解题关键．19．直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 点A 在射线OP 上运动 点B 在射线OM 上运动 连接AB ．（1）如图1 已知AC BC 分别是BAP ∠和ABM ∠角的平分线①点A B 在运动的过程中 ACB ∠的大小是否发生变化？若发生变化 请说明理由；若不发生变化 试求出ACB ∠的大小．②如图2 将ABC ∆沿直线AB 折叠 若点C 落在直线PQ 上 记作点C ' 则ABO ∠=_______︒；如图3 将ABC ∆沿直线AB 折叠 若点C 落在直线MN 上 记作点C '' 则ABO ∠=________︒．（2）如图4 延长BA 至G 已知BAO ∠ OAG ∠的角平分线与BOQ ∠的角平分线交其延长线交于E F 在AEF ∆中 如果有一个角是另一个角的32倍 求ABO ∠的度数． 【答案】（1）∠ACB 的大小不会发生变化 ∠ACB =45°；（2）30 60；（3）60°或72°．【解析】【分析】（1）①由直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 得到∠AOB=90° 根据三角形的外角的性质得到∠PAB+∠ABM=270° 根据角平分线的定义得到∠BAC=12∠PAB ∠ABC=12∠ABM 于是得到结论；②图2中 由于将∠ABC 沿直线AB 折叠 若点C 落在直线PQ 上 得到∠CAB=∠BAQ 由角平分线的定义得到∠PAC=∠CAB 根据三角形的内角和即可得到结论；图3中根据将∠ABC沿直线AB折叠若点C落在直线MN上得到∠ABC=∠ABN 由于BC平分∠ABM 得到∠ABC=∠MBC 于是得到结论；（2）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=12∠BAO ∠EOQ=12∠BOQ 进而得出∠E的度数由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90° 在∠AEF中由一个角是另一个角的32倍分情况进行分类讨论即可解答．【详解】（1）①∠ACB的大小不变∠直线MN与直线PQ垂直相交于O∠∠AOB=90°∠∠OAB+∠OBA=90°∠∠PAB+∠ABM=270°∠AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线∠∠BAC=12∠PAB ∠ABC=12∠ABM∠∠BAC+∠ABC=12（∠PAB+∠ABM）=135°∠∠ACB=45°；②∠图2中将∠ABC沿直线AB折叠若点C落在直线PQ上∠∠CAB=∠BAQ∠AC平分∠PAB∠∠PAC=∠CAB∠∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°∠∠AOB=90°∠∠ABO=30°∠图3中将∠ABC沿直线AB折叠若点C落在直线MN上∠∠ABC=∠ABN∠BC平分∠ABM∠∠ABC=∠MBC∠∠MBC=∠ABC=∠ABN∠∠ABO=60°故答案为：30 60；（2）∠∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E∠∠EAO=12∠BAO ∠EOQ=12∠BOQ∠∠E=∠EOQ-∠EAO=12（∠BOQ-∠BAO）=12∠ABO∠AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线∠∠EAF=90°．在∠AEF中∠有一个角是另一个角的32倍故有：①∠EAF=32∠E ∠E=60° ∠ABO=120°（不合题意舍去）；②∠EAF=32∠F ∠E=30° ∠ABO=60°；③∠F=32∠E ∠E=36° ∠ABO=72°；④∠E=32∠F ∠E=54° ∠ABO=108°（不合题意舍去）；．∠∠ABO为60°或72°．【点睛】本题主要考查的就是角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用.解决这个问题的关键就是要能根据角平分线的性质将外角的度数与三角形的内角联系起来然后再根据内角和定理进行求解.同学们在解答这种问题的时候一定要注意外角与内角之间的联系不能只关注某一部分.在需要分类讨论的时候一定要注意分类讨论的思想.。
人教版八年级数学下册《利用勾股定理解决折叠问题的技巧》练习题(附带答案)
人教版八年级数学下册《利用勾股定理解决折叠问题的技巧》练习题(附带答案）类型一 利用勾股定理解决三角形的折叠问题1．如图 △ABC 中 ∠ACB ＝90° AC ＝8 BC ＝6 将△ADE 沿DE 翻折使点A 与点B 重合 则CE 的长为 ．思路引领：设CE ＝x 则AE ＝BE ＝8﹣x 在Rt △BCE 中 由勾股定理可得62+x 2＝（8﹣x ）2 即可解得答案．解：设CE ＝x 则AE ＝BE ＝8﹣x在Rt △BCE 中 BC 2+CE 2＝BE 2∴62+x 2＝（8﹣x ）2解得x =74故答案为：74． 总结提升：本题考查直角三角形中的折叠问题 解题的关键是掌握折叠的性质 熟练应用勾股定理列方程解决问题．2．（2021秋•介休市期中）如图所示 有一块直角三角形纸片 ∠C ＝90° AC ＝8cm BC ＝6cm 将斜边AB 翻折 使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处 折痕为AD 则CE 的长为 cm ．思路引领：根据勾股定理可将斜边AB 的长求出 根据折叠的性质知 AE ＝AB 已知AC 的长 可将CE 的长求出．解：在Rt △ABC 中∵∠C＝90°AC＝8cm BC＝6cm∴AB=√AC2+BC2=10cm根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10cm∵AC＝8cm∴CE＝AE﹣AC＝2cm即CE的长为2cm故答案为：2．总结提升：此题考查翻折问题将图形进行折叠后两个图形全等是解决折叠问题的突破口．3．（2020秋•金台区校级期末）如图在△ABC中∠ACB＝90°点E F在边AB上将边AC沿CE翻折使点A落在AB上的点D处再将边BC沿CF翻折使点B落在CD的延长线上的点B′处（1）求∠ECF的度数；（2）若CE＝4 B′F＝1 求线段BC的长和△ABC的面积．思路引领：（1）由折叠可得∠ACE＝∠DCE=12∠ACD∠BCF＝∠B'CF=12∠BCB' 再根据∠ACB＝90°即可得出∠ECF＝45°；（2）在Rt△BCE中根据勾股定理可得BC=√41设AE＝x则AB＝x+5 根据勾股定理可得AE2+CE2＝AB2﹣BC2即x2+42＝（x+5）2﹣41 求得x=165得出AE的长和AB的长再由三角形面积公式即可得出S△ABC．解：（1）由折叠可得∠ACE＝∠DCE=12∠ACD∠BCF＝∠B'CF=12∠BCB'又∵∠ACB＝90°∴∠ACD+∠BCB'＝90°∴∠ECD+∠FCD=12×90°＝45°即∠ECF＝45°；（2）由折叠可得：∠DEC＝∠AEC＝90°BF＝B'F＝1 ∴∠EFC＝45°＝∠ECF∴CE＝EF＝4∴BE＝4+1＝5在Rt△BCE中由勾股定理得：BC=√BE2+CE2=√52+42=√41设AE＝x则AB＝x+5∵Rt△ACE中AC2＝AE2+CE2Rt△ABC中AC2＝AB2﹣BC2∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2即x2+42＝（x+5）2﹣41解得：x=16 5∴AE=165AB＝AE+BE=165+5=415∴S△ABC=12AB×CE=12×415×4=825．总结提升：本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握折叠变换的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．4．（2022秋•安岳县期末）如图在△ABC中∠C＝90°把△ABC沿直线DE折叠使△ADE与△BDE 重合．（1）若∠A＝34°则∠CBD的度数为；（2）当AB＝m（m＞0）△ABC的面积为2m+4时△BCD的周长为（用含m的代数式表示）；（3）若AC＝8 BC＝6 求AD的长．思路引领：（1）根据折叠可得∠1＝∠A＝34°根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC＝56°进而得到∠CBD＝22°；（2）根据三角形ACB的面积可得12AC•BC＝2m+4 进而得到AC•BC＝4m+8 再在Rt△CAB中CA2+CB2＝BA2再把左边配成完全平方可得CA+CB的长进而得到△BCD的周长；（3）根据折叠可得AD＝DB设CD＝x则AD＝BD＝8﹣x再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62＝（8﹣x）2再解方程可得x的值进而得到AD的长．解：（1）∵把△ABC 沿直线DE 折叠 使△ADE 与△BDE 重合∴∠ABD ＝∠A ＝34°∵∠C ＝90°∴∠ABC ＝180°﹣90°﹣34°＝56°∴∠CBD ＝56°﹣34°＝22°故答案为：22°；（2）∵△ABC 的面积为2m +4∴12AC •BC ＝2m +4 ∴AC •BC ＝4m +8∵在Rt △CAB 中 CA 2+CB 2＝BA 2 AB ＝m∴CA 2+CB 2+2AC •BC ＝BA 2+2AC •BC∴（CA +BC ）2＝m 2+8m +16＝（m +4）2∴CA +CB ＝m +4∵AD ＝DB∴CD +DB +BC ＝m +4．即△BCD 的周长为m +4故答案为：m +4；（3）∵把△ABC 沿直线DE 折叠 使△ADE 与△BDE 重合∴AD ＝DB设CD ＝x 则AD ＝BD ＝8﹣x在Rt △CDB 中 CD 2+CB 2＝BD 2x 2+62＝（8﹣x ）2解得：x =74AD ＝8−74=254．总结提升：此题主要考查了图形的翻折变换 以及勾股定理 完全平方公式 关键是掌握勾股定理 以及折叠后哪些是对应角和对应线段．5．（2021秋•章丘区期中）（1）如图① Rt △ABC 的斜边AC 比直角边AB 长2cm 另一直角边BC 长为6cm 求AC 的长．（2）拓展：如图②在图①的△ABC的边AB上取一点D连接CD将△ABC沿CD翻折使点B的对称点E落在边AC上．①AE的长．②求DE的长．思路引领：（1）在Rt△ABC中由勾股定理可求AB的长即可求解；（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°DE＝DB EC＝BC＝6cm于是得到答案；②在Rt△ADE中由勾股定理可求DE的长．解：（1）设AB＝xcm则AC＝（x+2）cm∵AC2＝AB2+BC2∴（x+2）2＝x2+62解得x＝8∴AB＝8cm∴AC＝8+2＝10（cm）；（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°DE＝DB EC＝BC＝6cm∴∠AED＝90°AE＝AC﹣EC＝4（cm）；②设DE＝DB＝ycm则AD＝AB﹣BD＝（8﹣y）cm在Rt△ADE中AD2＝AE2+DE2∴（8﹣y）2＝42+y2解得：y＝3∴DE＝3（cm）．总结提升：本题考查了翻折变换折叠的性质勾股定理利用勾股定理列出方程是本题的关键．类型二利用勾股定理解决长方形的折叠问题6．（2022•纳溪区模拟）如图在矩形ABCD中AB＝5 AD＝3 点E为BC上一点把△CDE沿DE翻折 点C 恰好落在AB 边上的F 处 则CE 的长为 ．思路引领：利用勾股定理得出AF 的长度 再利用折叠的性质 在△BEF 中求解BE 的长 即可得出CE 的长度．解：在矩形ABCD 中 AB ＝5 AD ＝3 由折叠的性质可得：DF ＝DC ＝AB ＝5∴AF =√DF 2−AD 2=√52−32=4∴BF ＝AB ﹣AF ＝5﹣4＝1设CE ＝x 则：EF ＝CE ＝x BE ＝BC ﹣CE ＝3﹣x在Rt △BEF 中 由勾股定理可得：12+（3﹣x ）2＝x 2解得：x =53∴CE =53故答案为：53． 总结提升：本题考查了折叠的性质、矩形的性质和勾股定理等知识点 解题的关键是利用AF 求出BF 的长度．7．（2021•郯城县校级模拟）如图 在长方形ABCD 中 AB ＝3cm AD ＝9cm 将此长方形折叠 使点D 与点B 重合 折痕为EF 则△ABE 的面积为（ ）cm 2．A ．12B ．10C ．6D ．15思路引领：由长方形的性质得BAE ＝90° 再由折叠的性质得BE ＝ED 然后在Rt △ABE 中 由勾股定理得32+AE2＝（9﹣AE）2解得AE＝4（cm）即可求解．解：∵四边形ABCD是长方形∴∠BAE＝90°∵将此长方形折叠使点B与点D重合∴BE＝ED∵AD＝9＝AE+DE＝AE+BE∴BE＝9﹣AE在Rt△ABE中由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2∴32+AE2＝（9﹣AE）2解得：AE＝4（cm）∴S△ABE=12AB•AE=12×3×4＝6（cm2）故选：C．总结提升：本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．8．（2020春•余干县校级期末）如图把长方形纸片ABCD沿EF折叠使点B落在边AD上的点B'处点A落在点A'处．（1）试说明B'E＝BF；（2）设AE＝a AB＝b BF＝c试猜想a b c之间的关系并说明理由．思路引领：（1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；（2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形△A'B'E中由勾股定理可得a b c之间的关系．（1）证明：由折叠的性质得：B'F＝BF∠B'FE＝∠BFE在长方形纸片ABCD中AD∥BC∴∠B'EF＝∠BFE∴∠B'FE＝∠B'EF∴B'F＝B'E∴B'E＝BF．（2）解：a b c之间的关系是a2+b2＝c2．理由如下：由（1）知B'E＝BF＝c由折叠的性质得：∠A'＝∠A＝90°A'E＝AE＝a A'B'＝AB＝b．在△A'B'E中∵∠A'＝90°∴A'E2+A'B'2＝B'E2∴a2+b2＝c2．总结提升：本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键．9．（2020秋•罗湖区校级期末）如图把一张长方形纸片ABCD折叠起来使其对角顶点A与C重合D 与G重合若长方形的长BC为8 宽AB为4 求：（1）DE的长；（2）求阴影部分△GED的面积．思路引领：（1）设DE＝EG＝x则AE＝8﹣x在Rt△AEG中根据AG2+EG2＝AE2构建方程即可解决问题；（2）过G点作GM⊥AD于M根据三角形面积不变性AG×GE＝AE×GM求出GM的长根据三角形面积公式计算即可．解：（1）设DE＝EG＝x则AE＝8﹣x在Rt△AEG中AG2+EG2＝AE2∴16+x2＝（8﹣x）2解得x＝3∴DE＝3．（2）过G 点作GM ⊥AD 于M则12•AG ×GE =12•AE ×GM AG ＝AB ＝4 AE ＝CF ＝5 GE ＝DE ＝3 ∴GM =125∴S △GED =12GM ×DE =185．总结提升：本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性 灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键．类型三 利用勾股定理解决正方形的折叠问题10．（2019•黔东南州一模）如图 将边长为6cm 的正方形纸片ABCD 折叠 使点D 落在AB 边中点E 处 点C 落在点Q 处 折痕为FH 则线段AF 的长为（ ）A ．32B ．3C ．94D ．154思路引领：由正方形的性质和折叠的性质可得EF ＝DE AB ＝AD ＝6cm ∠A ＝90° 由勾股定理可求AF 的长．解：∵将边长为6cm 的正方形纸片ABCD 折叠 使点D 落在AB 边中点E 处∴EF ＝DE AB ＝AD ＝6cm ∠A ＝90°∵点E 是AB 的中点∴AE ＝BE ＝3cm在Rt △AEF 中 EF 2＝AF 2+AE 2∴（6﹣AF ）2＝AF 2+9∴AF=9 4故选：C．总结提升：本题考查了翻折变换正方形的性质勾股定理利用勾股定理求线段的长度是本题的关键．11．如图将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠使点D落在BC边的中点E处点A落在点F处折痕为MN则线段CN的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm思路引领：由折叠的性质可得DN＝NE由中点的性质可得EC＝4cm结合正方形的性质可得∠BCD＝90°；设CN的长度为xcm则EN＝DN＝（8﹣x）cm接下来在直角△CEN中运用勾股定理就可以求出CN的长度．解：∵四边形MNEF是由四边形ADMN折叠而成的∴DN＝NE．∵E是BC的中点且BC＝8cm∴EC＝4cm．∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD＝90°．设CN的长度为xcm则EN＝DN＝（8﹣x）cm由勾股定理NC2+EC2＝NE2得x2+42＝（8﹣x）2解得x＝3．故选：A．总结提升：本题考查翻折变换的问题折叠问题其实质是轴对称对应线段相等对应角相等找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．第二部分专题提优训练1．（2022秋•慈溪市校级期中）在Rt△ABC中∠B＝90°AB＝4 BC＝8 D、E分别是边AC、BC上的点将△ABC沿着DE进行翻折点A和点C重合则EC＝．思路引领：设EC ＝x 在Rt △ABE 中 由勾股定理得42+（8﹣x ）2＝x 2 即可解得答案．解：设EC ＝x 则BE ＝8﹣x∵将△ABC 沿着DE 进行翻折 点A 和点C 重合∴AE ＝EC ＝x在Rt △ABE 中 AB 2+BE 2＝AE 242+（8﹣x ）2＝x 2解得x ＝5∴EC ＝5故答案为：5．总结提升：本题考查直角三角形中的翻折问题 解题的关键是掌握翻折的性质 能应用勾股定理列方程解决问题．2．（2021秋•靖江市期中）如图 在Rt △ABC 中 ∠C ＝90° D 是AB 的中点 AD ＝5 BC ＝8 E 是直线BC 上一动点 把△BDE 沿直线ED 翻折后 点B 落在点F 处 当FD ⊥BC 时 线段BE 的长为 ．思路引领：分点F 在BC 下方 点F 在BC 上方两种情况讨论 由勾股定理可BC ＝4 由平行线分线段成比例可得BD AD =BP BC =DP AC =12 求出FP 由勾股定理可求BE 的长． 解：若点F 在BC 下方时 DF 与BC 交于点P 如图1所示：∵D 是AB 的中点∴BD ＝AD ＝5∴AB ＝2AD ＝10∵∠C ＝90° BC ＝8∴AC =√AB 2−BC 2=√102−82=6∵点D 是AB 的中点∵FD ⊥BC ∠C ＝90°∴FD ∥AC∴BD AD =BP BC =DP AC =12 ∴BP ＝PC =12BC ＝4 DP =12AC ＝3∵△BDE 沿直线ED 翻折∴FD ＝BD ＝5 FE ＝BE∴FP ＝FD ﹣DP ＝5﹣3＝2在Rt △FPE 中 EF 2＝FP 2+PE 2∴BE 2＝22+（4﹣BE ）2解得：BE =52；若点F 在BC 上方时 FD 的延长线交BC 于点P 如图2所示：FP ＝DP +FD ＝3+5＝8在Rt △EFP 中 EF 2＝FP 2+EP 2∴BE 2＝64+（BE ﹣4）2解得：BE ＝10故答案为：52或10．总结提升：此题考查了折叠的性质、平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识 熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．3．如图 在Rt △ABC 中 AC ＝6 BC ＝8 D 为BC 上一点 将Rt △ABC 沿AD 折磨 点C 恰好落在AB 边上的E 点 求BD 的长．思路引领：由勾股定理求出AB＝10 由折叠的性质得出CD＝DE∠C＝∠AED＝90°AE＝AC＝6 得出BE＝AB﹣AE＝4 ∠BED＝90°设CD＝ED＝x则BD＝8﹣x在Rt△BDE中由勾股定理得出方程解方程即可．解：∵Rt△ABC中AC＝6 BC＝8∴AB=√62+82=10由折叠的性质得：CD＝DE∠C＝∠AED＝90°AE＝AC＝6∴BE＝AB﹣AE＝4 ∠BED＝90°设CD＝ED＝x则BD＝8﹣x在Rt△BDE中由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2解得：x＝3∴BD＝8﹣3＝5．总结提升：本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．4．（2018秋•襄汾县校级月考）如图在Rt△ABC中∠C＝90°AC＝8 BC＝6 按图中所示方法将△BCD沿BD折叠使点C落在边AB上的点C'处求AD的长及四边形BCDC′的面积．思路引领：利用勾股定理列式求出AB根据翻折变换的性质可得BC′＝BC C′D＝CD然后求出AC′设AD＝x表示出C′D、AC′然后利用勾股定理列方程求解即可求出AD；然后根据三角形的面积公式计算即可求出四边形BCDC′的面积．解：∵∠C＝90°AC＝8 BC＝6∴AB=√AC2+BC2=10由翻折变换的性质得BC′＝BC＝6 C′D＝CD∴AC′＝AB﹣BC′＝10﹣6＝4设CD＝x则C′D＝x AD＝8﹣x在Rt△AC′D中由勾股定理得AC′2+C′D2＝AD2即42+x2＝（8﹣x）2解得x＝3即CD＝3∴AD＝8﹣x＝5；由折叠可知：S△BCD＝S△BC′D∴四边形BCDC′的面积＝2S△BCD＝2×12×CD•BC＝3×6＝18．总结提升：本题考查了翻折变换的性质勾股定理此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．5．（2021春•厦门期中）在矩形ABCD中AB＝3 BC＝4 E是AB上一个定点点F是BC上一个动点把矩形ABCD沿直线EF折叠点B的对应点B′落在矩形内部．若DB′的最小值为3 则AE＝53．思路引领：连接DE则DB′+EB′≥DE由EB′＝EB为定值故当D E B′三点共线时DB′最小利用勾股定理建立方程即可求解．解：如图1 连接DE由折叠性质可得：EB′＝EB∵DB′+EB′≥DE∴DB′≥DE﹣EB′＝DE﹣EB∵点E为定点∴EB为定值∴当D E B′三点共线时DB′最小且最小值为3∴DB′＝3如图2∵四边形ABCD 为矩形∴∠A ＝90° AD ＝BC ＝4设AE ＝x 则：EB ′＝EB ＝AB ﹣AE ＝3﹣x∴ED ＝EB ′+DB ′＝3﹣x +3＝6﹣x在Rt △AED 中 由勾股定理可得：x 2+42＝（6﹣x ）2解得：x =53∴AE =53故答案为：53． 总结提升：本题考查折叠的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点 解题的关键是运用方程思想．6．（2021秋•城阳区校级月考）把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠 使顶点B 和点D 重合 折痕为EF ．若AB ＝3cm BC ＝5cm 则重叠部分△DEF 的面积是（ ）cm 2．A ．2B ．3.4C ．4D ．5.1思路引领：由矩形的性质得AD ＝BC ＝5cm CD ＝AB ＝3cm ∠A ＝90° 再由折叠的性质得A 'D ＝AB ＝3cm ∠A '＝∠A ＝90° AE '＝AE 设AE ＝xcm 则A ′E ＝xcm DE ＝（5﹣x ）cm 然后在Rt △A 'DE 中 由勾股定理得出方程 解方程 进而得出DE 的长 即可解决问题．解：∵四边形ABCD 是矩形 AB ＝3cm BC ＝5cm∴AD＝BC＝5cm CD＝AB＝3cm∠A＝90°由折叠的性质得：A'D＝AB＝3cm∠A'＝∠A＝90°AE'＝AE 设AE＝xcm则A′E＝xcm DE＝（5﹣x）cm在Rt△A'DE中由勾股定理得：A′E2+A′D2＝ED2即x2+32＝（5﹣x）2解得：x＝1.6∴DE＝5﹣1.6＝3.4（cm）∴△DEF的面积=12DE•CD=12×3.4×3＝5.1（cm2）故选：D．总结提升：此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．7．（2017秋•金牛区校级月考）如图在矩形ABCD中E是AD的中点将△ABE沿BE折叠后得到△GBE 延长BG交CD于点F结果发现F点恰好是DC的中点若BC＝2√6则AB的长为？思路引领：连接EF由折叠性质得AE＝EG∠A＝∠EGB＝90°BG＝AB则∠EGF＝90°易证EG＝DE由矩形的性质得AB＝CD∠C＝∠D＝90°推出∠EGF＝∠D＝90°由HL证得Rt△EGF≌Rt△EDF得出FG＝FD求得CF＝DF＝FG=12CD=12AB BF＝BG+FG=32AB由勾股定理得出BC2+CF2＝BF2即可得出结果．解：连接EF如图所示：由折叠性质得：AE＝EG∠A＝∠EGB＝90°BG＝AB ∴∠EGF＝90°∵点E是AD的中点∴AE＝DE∴EG＝DE∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD∠C＝∠D＝90°∴∠EGF ＝∠D ＝90°在Rt △EGF 与Rt △EDF 中 {EG =ED EF =EF∴Rt △EGF ≌Rt △EDF （HL ）∴FG ＝FD∵F 点恰好是DC 的中点∴CF ＝DF ＝FG =12CD =12AB∴BF ＝BG +FG ＝AB +12AB =32AB在Rt △BCF 中 BC 2+CF 2＝BF 2即：（2√6）2+（12AB ）2＝（32AB ）2 解得：AB ＝2√3．总结提升：本题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识 熟练掌握折叠的性质 证明三角形全等是解题的关键．8．（2018春•新抚区校级期中）如图 在矩形ABCD 中 已知AD ＝10 AB ＝8 将矩形ABCD 沿直线AE 折叠 顶点D 恰好落在BC 边上的F 处 求CE 的长．思路引领：先根据矩形的性质得AD ＝BC ＝10 AB ＝CD ＝8 再根据折叠的性质得AF ＝AD ＝10 EF ＝DE 在Rt △ABF 中 利用勾股定理计算出BF ＝6 则CF ＝BC ﹣BF ＝4 设CE ＝x 则DE ＝EF ＝8﹣x 然后在Rt △ECF 中根据勾股定理得到x 2+42＝（8﹣x ）2 再解方程即可得到CE 的长．解：∵四边形ABCD 为矩形∴AD ＝BC ＝10 AB ＝CD ＝8∵矩形ABCD 沿直线AE 折叠 顶点D 恰好落在BC 边上的F 处∴AF＝AD＝10 EF＝DE在Rt△ABF中∵BF=√AF2−AB2=6∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4设CE＝x则DE＝EF＝8﹣x在Rt△ECF中∵CE2+FC2＝EF2∴x2+42＝（8﹣x）2解得x＝3即CE＝3．总结提升：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换它属于轴对称折叠前后图形的形状和大小不变位置变化对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．9．（2018秋•通川区校级期中）将一张边长为2的正方形纸片ABCD对折设折痕为EF（如图（1））；再沿过点D的折痕将∠A翻折使得点A落在线段EF上的点H处（如图（2））折痕交AE于点G则EG 的长度是（）A．8﹣4√3B．4√3−6C．4﹣2√3D．2√3−3思路引领：由于正方形纸片ABCD的边长为2 所以将正方形ABCD对折后AF＝DF＝1 由折叠的性质得出AD＝DH＝2 AG＝GH在Rt△DFH中利用勾股定理可求出HF的长进而求出EH的长再设EG＝x在Rt△EGH中利用勾股定理即可求解．解：∵正方形纸片ABCD的边长为2∴将正方形ABCD对折后AE＝DF＝1∵△GDH是△GDA沿直线DG翻折而成∴AD＝DH＝2 AG＝GH在Rt△DFH中HF=√HD2−DF2=√22−12=√3∴EH＝2−√3在Rt△EGH中设EG＝x则GH＝AG＝1﹣x∴GH2＝EH2+EG2即（1﹣x）2＝（2−√3）2+x2解得x＝2√3−3．∴EG＝2√3−3．故选：D．总结提升：本题考查了正方形的性质折叠的性质勾股定理关键是学会用方程的思想方法解题．10．（2020秋•新都区校级月考）如图AD是△ABC的中线∠ADC＝45°把△ADC沿着直线AD对折点C落在点E的位置．如果BC＝6 那么以线段BE为边长的正方形的面积为（）A．6B．72C．12D．18思路引领：由题意易得BD＝CD＝DE＝3 再求出∠BDE＝90°然后根据勾股定理求出BE最后由正方形的面积进行求解即可．解：∵D是BC中点BC＝6∴BD＝CD＝3由折叠的性质得：CD＝DE＝3 ∠ADC＝∠ADE＝45°即∠CDE＝90°∴BD＝DE＝3 ∠BDE＝90°在Rt△BDE中由勾股定理得：BE=√BD2+DE2=√32+32=3√2∴以BE为边的正方形面积为：（3√2）2＝18故选：D．总结提升：本题考查了折叠的性质、勾股定理、正方形的面积计算等知识熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键．。
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案)
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．【证明体验】如图1，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点90DPC A B ∠=∠=∠=︒，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅． 【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点，当DPC A B β∠=∠=∠=时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABC 中22AB =45B ∠=︒以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △，点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =CD 的长．2．综合实践问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在ABC 中90,4B AB BC ∠=︒==分别取AB ，AC 的中点D ，E ，作ADE ．如图2所示，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连接BD ，CE ．(1)探究发现旋转过程中线段BD 和CE 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用如图3，当DE 所在直线首次经过点B 时，求CE 的长． (3)延伸思考如图4，在Rt ABC △中90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，分别取AB ，BC 的中点D ，E ．作BDE ，将BDE 绕点B 逆时针旋转，连接AD ，CE ．当边AB 平分线段DE 时，求tan ECB ∠的值．3．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中两对相似三角形；(2)连接FG ，如果45α=︒，42AB =3AF =，求FG 的长．4．如图，在ABC 中6cm AB =，12cm BC =和90B ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设移动时间为()s t ．(1)当2t =时，求PBQ 的面积； (2)当t 为多少时，PBQ 的面积是28cm ？ (3)当t 为多少时，PBQ 与ABC 是相似三角形？5．下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形ABCD 中点E 为边AB 上一点（不与点A 、点B 重合），先将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在点F 处，CF 交AD 于点H ．(1)观察发现：写出图1中一个与AEG △相似的三角形：______．（写出一个即可）(2)迁移探究：如图2，若4AB =，6BC =当CF 与AD 的交点H 恰好是AD 的中点时，求阴影部分的面积． (3)如图③，当点F 落在边AD 上时，延长EF ，与FCD ∠的角平分线交于点M ，CM 交AD 于点N ，当FN AF ND =+时，请直接写出ABBC的值．6．【阅读】如图1，若ABD ACE ∽，且点B 、D 、C 在同一直线上，则我们把ABD △与ACE △称为旋转相似三角形．(1)【理解】如图2，ABC 和ADE 是等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE ．求证：ABD △与ACE △是旋转相似三角形．(2)【应用】如图3，ABD △与ACE △是旋转相似三角形AD CE ，求证：③ABC ADE △△∽；③AC DE =；(3)【拓展】如图4，AC 是四边形ABCD 的对角线90,D B ACD ∠=︒∠=∠，25,20BC AC ==和16AD =，试在边BC 上确定一点E ，使得四边形AECD 是矩形，并说明理由．7．综合与实践如图1，已知纸片Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 上的高（AD BC ⊥于点D ）． 观察发现（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）实践操作第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿BE 折叠（点E 为AC 上一点），使点A 落在BC 边上的点F 处； 第二步：BE 与AD 交于点G 连接GF ，然后将纸片展平． 猜想探究（2）猜想四边形AEFG 是哪种特殊的四边形，并证明猜想． （3）探究线段GF ，BE ，GE 之间的数量关系，并说明理由．8．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=．证明思路是如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB BDAC CD=．(1)利用图2证明AB BDAC CD=； (2)如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，AB=2，求DE 的长．9．【教材原题】如图③，在ABC 中DE BC ∥，且3AD =，2DB =图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；【改编】将图③中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到如图③所示的位置，连接BD 、CE ．求证：ABD ACE ∽△△；【应用】如图③，在ABC 和ADE 中90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒点D 在边BC 上，连接CE ，则ACE △与ABD △的面积比为__________．10．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB BDAC CD=； (2)基础训练：如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，2AB =求DE 的长；(3)拓展升华：如图4，ABC 中6AB = ，AC=4，AD 为BAC ∠的角平分线，AD 的中垂线EF 交BC 延长线于F ，当3BD =时，求AF 的长．11．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在ABC 与AED △中ABC AED ∽△△．所以称ABC 与AED △为“阳似三角形”，连接EB DC ，，则DCEB为“阳似比”．(1)如图1，已知R ABC 与Rt AED △为“阳似三角形”，其中90CBA DEA ∠=∠=︒，当30BAC ∠=︒时，“阳似比”DCEB=______； (2)如图2，二次函数234y x x =-++交x 轴于点A 和B 两点，交y 轴于点C ．点M 为直线12y x =在第一象限上的一个动点，且OMB △与CNB 为“阳似三角形”，连接CM ③当点N 落在二次函数图象上时，求出线段OM 的长度； ③若32CN =34BM MC +的最小值．12．已知在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．(1)在图1中写出其中的两对相似三角形．(2)已知1BD =，DC=2，将CBD △绕着点D 按顺时针方向进行旋转得到C BD '，连接AC '，BC ． ③如图2，判断AC '与BC 之间的位置及数量关系，并证明； ③在旋转过程中当点A ，B ，C '在同一直线上时，求BC 的长．13．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．(1)如图1，在44⨯的正方形网格中有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“和谐四边形”的是______．(2)如图2，BD 平分ABC ∠，43BD =10BC =，四边形ABCD 是被BD 分割成的“和谐四边形”，求AB 长； (3)如图3，A 为抛物线24y x =-+的顶点，抛物线与x 轴交于点B ，C ．在线段AB 上有一个点P ，在射线BC 上有一个点Q ．P 、Q 5/秒，5个单位/秒的速度同时从B 出发分别沿BA ，BC 方向运动，设运动时间为t ，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M ，使得四边形BQMP 是以PQ 为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．14．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：ABC 中D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，延长DE 、CA 交于点F ，DE=EF ，AB=5，求AE 的长．小白的想法是：过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比，从而得出AE 的长．请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：ABC 中AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 为AB 边上一点，AE=AD ，H 、Q 为BC 上两点，CQ DH =和DQ mDH =，G 为AC 上一点，连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ，180EFG EAD ∠+∠=︒猜想并验证EP 与GH的数量关系．15．【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P 91第13题：如图1，在正方形ABCD 中E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且3CF DF =，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由．③小华很快找出ABE DEF △△∽，他的思路为：设正方形的边长4AB a =，则2,AE DE a DF a ===，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程； ③小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF △与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；【拓展创新】（2）如图2，在矩形ABCD 中E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连结FC ．()AB AE > ③求证：AEF ECF ∽△△；③设2,BC AB a ==，是否存在a 值，使得AEF △与BFC △相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（3）52．(1)2BD CE =(2)6CE =(3)1tan 2ECB ∠=3．(1)DMG ③DBM △，EMF ③EAM △ (2)53FG =4．(1)8(2)2秒或4秒(3)当t 为3或1.2秒钟，使PBQ 与ABC 相似．5．(1)FHG △或DHC （写出一个即可）(2)阴影部分的面积是23 (3)AB BC 的值为357．（1）ABC DBA ∽ ABC CAD ∽ DBA DAC ∽（其中一个即可，答案不唯一）；（2）四边形AEFG是菱形，（3）212GF GE BE =⋅ 8． 5 9．【教材原题】ADE ABC △△∽，35【应用】13 10．5(3)611．23105337 12．(1)BCD ACD ∽ BCD BAC ∽△△ CAD BAC △∽△（任写两对即可）(2)③2AC BC '= AC BC '⊥ ③BC 2595+2595-+13．(1)四边形ABCE ；(2)10AB =或245； (3)1118t = 2881t = 1825t = 180169t =．14．阅读理解 54AE =；解决问题，猜想：12EP m GH m +=+． 15．③存在 3。
相似三角形与动点问题练习题(带答案
∵将
沿直线 翻折后，顶点 恰好落在 边上的点 处，
∴
，且
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵在
中，
，
∴
∴
∴ 四边形 故选： ．
，
，
， ，
．
2
【标注】【知识点】相似A字型
3. 如图，矩形 ，
中， 是 的中点，将 ，则 的长为（ ）．
沿 折叠后得到
．延长 交 于 点．若
A.
B.
C.
D.
【答案】 B 【解析】 方法一：连接 ，
．④
沿 折叠，点 恰落在边 上的点 处，有下列结论：①
．其中正确的是（ ）．
A. 个
B. 个
C. 个
6
D. 个
【答案】 C
【解析】 ①∵ 将 ∴ ∴ ②在 ∴ 设 在 ∴ ∴ ∴ ③∵ ∴ ∴ 而 ∴ ∴ ∴ ∴ 而 ∴ ∴ ④∵ ∴
沿 折叠，点 恰落在边 上的点 处．点 在
沿 折叠，点 恰落在线段 上的点 处，
4. 如图，将正方形
折叠，使顶点 与 边上的一点 重合（ 不与端点 ， 重合），折痕交
于点 ，交 于点 ，边 折叠后与边 交于点 ．设正方形
的周长为 ，
的周长为
，则 的值为（ ）．
A.
B.
C.
D. 随 点位置的变化而变化
【答案】 B
【解析】 方法一：设
，
，
则
，
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
即
，
∴
轴对称的性质—折叠问题(专项培优训练)2023-2024学年八年级数学上册(人教版)(解析版)
轴对称的性质—折叠问题（专项培优训练）试卷满分：100分 考试时间：120分钟 试卷难度：较难试卷说明：本套试卷结合人教版数学八年级上册同步章节知识点，精选易错，常考，压轴类问题进行专题汇编！题目经典，题型全面，解题模型主要选取热点难点类型！同步复习，考前强化必备！适合成绩中等及偏上的学生拔高冲刺。
一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题2分）（2022秋·天津津南·八年级校考期中）如图，把一张长方形纸片ABCD ，沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为B '，AB '与DC 相交于点E ，则下列结论正确的有（ ）①ABC AB C ≅'；②AE CE =；③ADE CB E ≅'；④B CE EAB ∠'=∠．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】由折叠的性质可得ABC AB C ≅',,BAC CAB '∠=∠,AD BC B C =='由平行线的性质和等腰三角形的性质可得 ,ECA EAC AE CE ∠=∠=，由“HL ”可证()Rt ADE Rt CB E HL '≅，可得 ED EB =' ，即可进行判断；【详解】∵矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，点B 的对应点为 B '∴ABC AB C '≅，故①正确；,BAC CAB '∴∠=∠,AD BC B C =='∵AB CD ∥,BAC ACD ∴∠=∠,ACD CAB ∴∠=∠',ECA EAC ∴∠=∠∴AE CE =，故②正确；,,AE CE AD BC B C ==='在Rt ADE △ 和 Rt CB E '中，AE CE AD CB =⎧⎨=⎩∴()Rt ADE Rt CB E HL '≅故③正确；,DEA B CE '∴∠=∠,DEA EAB ∠≠∠,B CE EAB ∴∠'≠∠故④不正确；∴结论正确的有①②③共3个故选：C【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的性质，证明 AE EC = 是本题的关键.A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②③④【答案】D 【分析】先求出点A ，点B 坐标，由勾股定理可求AB 的长，可判断①；由折叠的性质可得6OB BD ==，OC CD =，90BOC BDC ∠=∠=︒，由勾股定理可求OC 的长，可得点C 坐标，利用待定系数法可求BC 解析式，可判断②；由面积公式可求DH 的长，代入解析式可求点D 坐标，可判断③；分别讨论P 点在C 、B 点的情况，比较AP DP +值的情况，得出当P 点在C 点时，使得AP DP +的值最小可判断④，即可求解． 【详解】解：直线3=+64y x −分别与x 、y 轴交于点A 、B ，∴点()8,0A ，点()0,6B ，8OA ∴=，6OB =，10AB ∴=，故①正确；线段OB 沿BC 翻折，点O 落在AB 边上的点D 处，6OB BD ∴==，OC CD =，90BOC BDC ∠=∠=︒，4AD AB BD ∴=−=，222AC AD CD =+，()22816OC OC ∴−=+，3OC ∴=，∴点()3,0C ，设直线BC 解析式为：6y kx =+，036k ∴=+，2k ∴=−，∴直线BC 解析式为：26y x =−+，故②正确；如图，过点D 作DH AC ⊥于H ，3CD OC ==，5CA ∴=，1122ACD S AC DH CD AD =⋅=⋅△， 341255DH ⨯∴==，∴当125y =时，123654x =−+， 245x ∴=，∴点2412,55D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故③正确；直线BC 上存在一点P ，当P 点在C 点时，()OC DC P =，∴AP DP AC OC OA +=+=，当P 点在B 点时，AP DP AD DB AB +=+=，在Rt OAB 中，AB OA >∴当P 点在C 点时，使得AP DP +的值最小，则点P 的坐标是()3,0，故④正确；综上分析可知，正确的结论为①②③④，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 3．（本题2分）（2023春·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期末）如图，在ABC 中，D 是AC 边上的中点，连接BD ，把BDC 沿BD 翻折，得到BDC '，DC '与AB 交于点E ，连接AC '，若2AD AC '==，3BD =，则C 到BD 的距离为（ ）【答案】B【分析】连接CC '，交BD 于点M ，由翻折知，BDC BDC '≌，BD 垂直平分CC '，证ADC '为等边三角形，利用含30度的直角三角形性质及勾股定理求出1DM =，CM =【详解】解：如图，连接CC '，交BD 于点M ，∵2AD AC ='=，D 是AC 边上的中点，∴2DC AD ==，由翻折知，BDC BDC '≌，BD 垂直平分CC '，∴2DC DC '==，BC BC '=，CM C M '=，∴2AD AC DC ''===，∴ADC '为等边三角形，∴60ADC AC D C AC ∠'=∠'=∠'=︒，∵DC DC ='， ∴160302DCC DC C ∠'=∠'=⨯︒=︒，在Rt CDM △中，30DCC ∠'=︒，2DC =，∴1DM =，CM C M '∴=∴C 到BD故选B ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、折叠的性质、全等三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 4．（本题2分）（2020秋·广东广州·八年级校考期中）如图1，长方形ABCD 中，E 点在AD 上，且30ABE ∠︒=．分别以BE 、CE 为折线，将A 、D 向BC 的方向折过去，如图2，若图2中15AED ∠=︒，则BCE ∠度数为（ ）A ．30︒B ．32.5︒C ．35︒D ．37.5︒【答案】D 【分析】根据长方形的性质与三角形内角和定理，得到60AEB ∠=︒，再根据折叠的性质，得到A EB AEB '∠=，DEC D EC '∠=∠，由105AED '∠=︒，进而得到37.5DEC ∠=︒，最后根据平行线的性质，即可求出BCE ∠度数．【详解】解：四边形ABCD 是长方形，AD BC ∴∥，90A ∠=︒，30ABE ∠︒=，18060AEB A ABE ∴∠=︒−∠−∠=︒，由折叠的性质可知，60A EB AEB ∠=∠='︒，DEC D EC '∠=∠，15A ED ''∠=︒，606015105AED AEB A EB A ED ''''∴∠=∠+∠−∠=︒+︒−︒=︒，18075DED AED ''∴∠=︒−∠=︒，137.52DEC D EC DED ''∴∠=∠=∠=︒，AD BC ∥，37.5BCE DEC ∴∠=∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．5．（本题2分）（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在等腰ABC 中，AB AC =，50BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则CEF ∠的度数是（ ）A ．55︒B ．50︒C ．45︒D ．40︒【答案】B 【分析】连接OB ，OC ，先求出25BAO ∠=︒，进而求出40OBC ∠=︒，求出40COE OCB ∠=∠=︒，由三角形内角和定理和12CEF OEF CEO ∠=∠=∠即可求得答案． 【详解】解：如图，连接OB ，50BAC ∠=︒，AO 为BAC ∠的平分线，11502522BAO BAC ∴∠=∠=⨯︒=︒．又AB AC =，()1180652ABC ACB BAC ∴∠=∠=︒−∠=︒．DO 是AB 的垂直平分线，OA OB ∴=，25ABO BAO ∴∠=∠=︒，652540OBC ABC ABO ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒．AO 为BAC ∠的平分线，AB AC =，∴直线AO 垂直平分BC ，OB OC ∴=，40OCB OBC ∴∠=∠=︒，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，OE CE ∴=，12CEF OEF CEO ∠=∠=∠，40COE OCB ∴∠=∠=︒；在OCE △中，1801804040100CEO COE OCB ∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，1502CEF CEO ∴∠=∠=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关知识来分析、判断． ．将AFG 沿AG A ．1B ．32 【答案】C 【分析】由正方形的性质可得AD AB =，设BF CF a ==，则2CD a =，24DG CD CG a =−=−，由题意知，90ADE ABF ∠=∠=︒，由折叠的性质可得HG EF ⊥，AE AF =，GE GF =，证明()Rt Rt HL ADE ABF ≌，则DE BF a ==，2434GF GE a a a ==+−=−，由勾股定理得222GF CF DG −=，即()222344a a −−=，解得3a =，0a =（舍去），则3CF =，5EG =，9EC =，由勾股定理得EF ，根据1122CEF S EG CF EF HG =⨯=⨯，即115322HG ⨯⨯=⨯，计算求解即可．【详解】解：由正方形的性质可得AD AB =，设BF CF a ==，则2CD a =，24DG CD CG a =−=−， 由题意知，90ADE ABF ∠=∠=︒，由折叠的性质可得HG EF ⊥，AE AF =，GE GF =，∵AE AF =，AD AB =，∴()Rt Rt HL ADE ABF ≌，∴DE BF a ==，2434GF GE a a a ==+−=−，由勾股定理得222GF CF CG −=，即()222344a a −−=，解得3a =，0a =（舍去），∴3CF =，5EG =，9EC =，由勾股定理得EF ∵1122GEF S EG CF EF HG =⨯=⨯，∴115322HG ⨯⨯=⨯，解得HG =， 故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．A ．65︒B ．62.5︒C ．55︒D ．52.5︒【答案】B 【分析】根据折叠得出90OB C B ''∠=∠=︒，求出55OB G '∠=︒，根据平行线的性质得出18055125B OB '∠=︒−︒=︒．根据折叠得出162.52BOG B OB '∠=∠=︒．【详解】解：根据折叠可知，90OB C B ''∠=∠=︒，∵35GB C ''∠=︒，∴55OB G '∠=︒，∵AB CD ∥，∴18055125B OB '∠=︒−︒=︒． 由折叠可知，162.52BOG B OB '∠=∠=︒，故B 正确． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补． 8．（本题2分）（2023·浙江·八年级假期作业）如图，现有一块三角板ABC ，其中90ABC ︒∠=，60CAB ︒∠=，8AB =，将该三角板沿BC 边翻转得到A BC '△，再将A BC '△沿A C '边翻转得到A B C ''△，则A 与B '两点之间的距离为（ ）【答案】C 【分析】连接AB '，作B D AA ''⊥，交AA '延长线于点D ，在Rt A B D ''中求得B D '、A D '的长度，在Rt AB D '中，即可求得AB '．【详解】解：连接AB '，作B D AA ''⊥，交AA '延长线于点D ，如下图：由折叠的性质可得：8AB A B A B '''===，60CAB CA B CA B '''∠=∠=∠=︒∴60B A D ''∠=︒∵B D AA ''⊥，∴90D Ð=°，∴30A B D ''∠=︒， ∴142A D A B '''==，∴B D '==，20AD =，∴AB '=故选：C【点睛】此题考查了勾股定理，折叠的性质，含30︒直角三角形的性质，解题的关键是熟练利用相关性质进行求解．A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④【答案】D 【分析】作FM BC ⊥于M （见详解图），①根据翻折变换的性质和正方形的性质可证ABG AFG △△≌；②设BG GF x ==，在Rt EGC △中，根据勾股定理可证3BG GC ==；③通过tan 2AB AGB BG ∠==，tan 2FM FCM CM ∠==，证明AGB FCM ∠=∠，由平行线的判定定理可得AG CF ∥；④由②得到3GC =，由③得到125FM =，根据12FCG S GC FM =△即可计算面积．【详解】解：作FM BC ⊥于M ，四边形ABCD 是正方形，∴6AB BC CD DA ====，90B D BCD ∠=∠=∠=︒，AFE △是由ADE V 翻折，∴AD AF AB ==，90ADE AFE AFG ∠=∠=∠=︒，在Rt AGF 和Rt AGB 中，AG AG AF AB =⎧⎨=⎩，∴ABG AFG △△≌．故①正确．∴BG GF =，设BG GF x ==，在Rt EGC △中，90ECG ∠=︒，2DE =，6CD =，4EC =，2EG x =+，6GC x =−，∴()()222246x x +=+−，∴3x =，∴3BG GC ==,故②正确．FM BC ⊥，CD BC ⊥∴FM EC ∥ ∴GF FM GM GE ECGC ==，3GF =，5GE =，4EC =，3GC =∴125FM =，95GM =，65CM GC GM =−=， ∴6tan 23AGB ∠==， tan 2FM FCM CM ∠==，∴AGB FCM ∠=∠，∴AG CF ∥，故③正确． ∴112183255FCG S ==△，故④正确．综上，选项D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、翻折变换、勾股定理的应用等知识，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 为对称轴将CDE 折叠得到CHE ，使得点 A ．90CEF ∠=︒ B ．CE 【答案】D 【分析】A.由折叠的性质可以知道EF 和CE 分别是AEG ∠和DEG ∠的平分线，同时AED ∠是平角，所以可知90CEF ∠=︒，故选项A 正确；B.由题意和折叠的性质可以知道EF AG ⊥、EF CE ⊥，就可以得到CE AG ∥，选项B 正确；C 和D.过点C 作C M A B ⊥于点M ，120CBA ∠=︒，可得2BM =，CM =BF a =，可以得到4FG AF a ==−，2FM BF BM a =+=+．根据折叠的性质可得4CG CD ==，根据勾股定理，求得2.4a =，即可得到 1.6FG =， 5.6CF =，所以5.6745CF AB ==．故选项C 正确，选项D 错误． 【详解】解：A.由折叠可知EF 和CE 分别是AEG ∠和DEG ∠的平分线． 又180AED ∠=︒，111809022CEF CEG FEG AED ∴∠=∠+∠=∠=⨯︒=︒， 故选项A 正确．B.又点A 与点G 关于EF 对称，∴EF AG ⊥， 又EF CE ⊥，∴CE AG ∥，故选项B 正确．C 和D.如答图，过点C 作C M A B ⊥于点M ．120CBA ∠=︒，∴60CBM ∠=︒，4BC =，∴易知2BM =，CM =设BF a =，∴4FG AF a ==−，2FM BF BM a =+=+，点E 是AD 的中点，折叠后点H 落到EG 上，∴点G 与点H 重合，4CG CD ==．易知点C G F ,,共线，∴448CF FG CG a a =+=−+=−．222FM CM CF +=，()(()22228a a ∴+=−+，解得 2.4a =． ∴4 2.4 1.6FG =−=，88 2.4 5.6CF a =−=−=，5.6745CF AB ∴==，故选项C 正确，选项D 错误．综上，故选：D ．【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分. 11．（本题2分）（2023春·河北承德·八年级统考期末）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A 落在长边CD 上的点1A 处，并得到折痕DE ，小宇测得长边6CD =，则四边形1A EBC 的周长为 ．【答案】12【分析】根据折叠的性质，得到DA DA '=，EA EA '=，结合平行四边形的性质，得到DA DA BC '==，代入计算即可．【详解】根据折叠的性质，得到DA DA '=，EA EA '=，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DA DA BC '==，6AB CD ==，∴四边形1A EBC 的周长为1111212BC BE A E AC A D AC AE BE AB CD CD +++=+++=+==．故答案为：12．【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．12．（本题2分）（2023春·上海浦东新·八年级统考期末）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，28BC AC ==，点M 在边BC 上，过点M 作MN BC ⊥，垂足为点M ，交边AB 于点N ，将ABC 沿直线MN 翻折，点A 、C 分别与点D 、E 对应，如果四边形ADBE 是平行四边形，那么CM 的长是 ．【答案】3【分析】当点E 在线段BC 上时，连接DE 交AB 于点O ，过点O 作OH BC ⊥于点H ，则90BHO ∠=︒，求出AB =30ABC ∠=︒，由轴对称可得4DE AC ==，得OB =2OD OE ==，OH =，求出6CE =，由折叠可知，3CM =；假设点E 在线段CB 的延长线上，得到)4AN AF x ==−，与)2AN x =−矛盾，故点E 不可能在线段CB 的延长线上，即可确定CM 的长．【详解】解：当点E 在线段BC 上时，如图，连接DE 交AB 于点O ，过点O 作OH BC ⊥于点H ，则90BHO ∠=︒，∵90BAC ∠=︒，28BC AC ==，∴AB ==30ABC ∠=︒，∵将ABC 沿直线MN 翻折，点A 、C 分别与点D 、E 对应，∴4DE AC ==，∵四边形ADBE 是平行四边形，∴1122OB AB ==⨯=122OD OE DE ===，∴12OH OB ==∴3BH ==，∴1EH ==，∴312BE BH EH =−=−=，∴826CE BC BE =−=−=，由折叠可知，132CM EM CE ===，假设点E 在线段CB 的延长线上，延长MN 交AD 于点F ，则AD FM ⊥，12AF DF AD ==，∵90BAC ∠=︒，28BC AC ==，∴AB ==30ABC ∠=︒，设CM EM x ==，则8BM x =−，∴()828BE x x x AD=−−=−=， ∴142AF DF AD x ===−， 在Rt BMN △中，30ABC ∠=︒，90BMN ∠=︒， ∴1MN BN 2=，∴222BM MN BN +=,即22212BM BN BN ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)8BN x ==−，))82AN BN x x ==−==−，在Rt ANF △中，142AF DF AD x ===−，30NAF ABC ∠=∠=︒，90AFN ∠=︒， ∴12FN AN =，∴222AF FN AN +=,即22212AF AN AN ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，)4AN AF x ==−，与)2AN x =−矛盾，故点E 不可能在线段CB 的延长线上，综上可知，3CM =，故答案为：3【点睛】此题考查了勾股定理、平行四边形的性质、含30︒角的直角三角形的性质等知识， 分类讨论是解题的关键． 13．（本题2分）（2023春·北京丰台·八年级统考期末）如图，在Rt ABC △中，90B Ð=°，3AB =，4BC =，将ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B '重合，AE 为折痕，则BE 的长等于 ．【答案】1.5【分析】根据折叠得到BE EB '=，AB AB 3'==，设BE EB x '==，则4EC x =−，根据勾股定理求得AC 的值，再由勾股定理可列方程求解即可．【详解】解：根据折叠可得BE EB '=，AB AB 3'==，设BE EB x '==，则4EC x =−，在Rt ABC △中，90B Ð=°，3AB =，4BC =5AC ∴=532B C AC AB ''∴=−=−=在Rt B EC '△中，由勾股定理得，()222x 24x +=− 解得 1.5x =故答案为：1.5【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，解题的关键是掌握折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等，能熟练运用勾股定理列方程解决问题．14．（本题2分）（2023春·四川达州·八年级统考期末）如图，在ABC 和DCB △中，90A D ∠=∠=︒，AC ，BD 相交于点E ，AE DE =．将CDE 沿CE 折叠，点D 落在点D ¢处，若40BED '∠=︒，则BCD '∠的大小为 ．【答案】15︒/15度【分析】根据全等三角形的判定和性质得出BE CE =，再由等边对等角确定EBC ECB ∠∠=，利用折叠的性质及三角形内角和定理求解即可．【详解】解：在AEB 和DEC 中，90A D AE DE AEB DEC ∠∠∠∠==︒⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴(ASA)AEB DEC ≌，∴BE CE =，∴EBC ECB ∠∠=，∵40BED '∠=︒，CDE 沿CE 折叠，点D 落在点D ¢处，∴70D EC DEC ︒'∠=∠=，∴180110BEC DEC ∠=︒−∠=︒，790200DCE ︒−︒=︒∠=，∴180110352EBC ECB ︒−∠︒=∠==︒，20DCE D CE ︒'∠=∠=，∴15BCD ECB D CE ''∠=∠−∠=︒，故答案为：15︒．【点睛】题目主要考查折叠的性质及全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及等腰三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．15．（本题2分）（2023·浙江·八年级假期作业）折纸是一项有趣的活动，如图所示，一张长方形纸片()90ABCD A B C ∠=∠=∠=︒，先将纸片沿EF 折叠，再将折叠后的纸片沿GH 折叠，使得GD '与A B ''重合，展开纸片后若62BFE ∠=︒，则DGH ∠= ︒．【答案】17【分析】由平行线的性质得到62GEF BFE ∠=∠=︒，由平角定义得到180118AEF GEF ∠=︒−∠=︒，由轴对称的性质得到：90A A '∠=∠=︒，118A EF AEF '∠=∠=︒，DGH D GH '∠=∠，求出A EG '∠，由直角三角形的性质求出'∠A GE ，由对顶角的性质得到DGD A GE ''∠=∠，即可求出12DGH DGD '∠=．【详解】解：四边形ABCD 是矩形， AD BC ∴∥，90A ∠=︒，62GEF BFE ∴∠=∠=︒，180118AEF GEF ∴∠=︒−∠=︒，由题意得：90A A '∠=∠=︒，118A EF AEF '∠=∠=︒，DGH D GH '∠=∠，1186256A EG A EF GEF ''∴∠=∠−∠=︒−︒=︒，9034A GE A EG ''∴∠=︒−∠=︒，34DGD A GE ''∴∠=∠=︒，1172DGH DGD '∴∠==︒．故答案为：17．【点睛】本题考查轴对称的性质，平行线的性质，余角的计算，对顶角的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质．16．（本题2分）（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC 中，AB AC =，30C ∠=︒，将纸片沿DE 折叠，使点B 落到点A 处，若6BC =，则DE = ．【答案】1【分析】利用等腰三角形的性质得到30B C ∠=∠=︒，则120BAC ∠=︒，再由折叠性质得BD AD =，30BAD B ∠=∠=︒，90AED ∠=︒，进而得到90DAC ∠=︒，再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵AB AC =，30C ∠=︒∴30B C ∠=∠=︒，则3018030120BAC ∠=−︒−︒=︒，由折叠性质得BD AD =，30BAD B ∠=∠=︒，90AED ∠=︒，∴1309020DAC ︒−︒=∠=︒，12DE AD =，∴2CD AD =，又6BC =，∴236BC BD CD AD AD AD =+=+==，∴2AD =， ∴112DE AD ==， 故答案为：1．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、折叠性质、三角形的内角和定理、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握折叠性质和直角三角形的性质是解答的关键． 上一动点，把CDE 沿直线，若D BC '为等边三角形，【答案】1或4/4或1【分析】依据折叠的性质、菱形的性质以及等边三角形的性质，分两种情况得到DE 的长即可．【详解】解：由折叠及菱形的性质可得CD CD CB '==，故D BC '是以BD '底的等腰三角形，故当60D BC '∠=︒，D BC '为等边三角形，分以下两种情况讨论，1）如图（1），当点D ¢点A 重合时，60D BC '∠=︒，此时点E 为AD 的中点，故1DE =，2）如图（2），当点D ¢与点A 关于直线BC 对称时，D ¢，C ，D 三点共线，EC DC ⊥，故24DE DC ==， 综上所述，1DE =或4，故答案为：1或4．【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠问题及等边三角形的性质等知识的综合运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 如图，ABC 中，【答案】108【分析】连接OB 、OC ，根据角平分线的定义求出BAO ∠，根据等腰三角形两底角相等求出ABC ∠，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA OB =，根据等边对等角可得ABO BAO ∠=∠，再求出OBC ∠，证明 OB OC =，再根据等边对等角求出OCB OBC ∠=∠，根据翻折的性质可得OE CE =，然后根据等边对等角求出COE ∠，再利用三角形的内角和定理列式计算即可．【详解】解：如图，连接OB 、OC ，54BAC ∠=︒Q ，AO 为BAC ∠的平分线，11542722BAO BAC ∴∠=∠=⨯︒=︒，又AB AC =，11(180)(18054)6322ABC BAC ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒， DO 是AB 的垂直平分线，OA OB ∴=，27ABO BAO ∴∠=∠=︒，632736OBC ABC ABO ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒， AO 为BAC ∠的平分线，AB AC =，∴点O 在BC 的垂直平分线上，∴OB OC =，36OCB OBC ∴∠=∠=︒，将C ∠沿(EF E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，OE CE ∴=，36COE OCB ∴∠=∠=︒，在OCE △中，1801803636108OEC COE OCB ∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，故答案为：108．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键．19．（本题2分）（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，30C ∠=︒，3AB =，点D 为AC 的中点，点E 是BC 边上一个动点，将CDE ∆沿着DE 翻折，使得点C 落在点F 处，当FE AC ⊥时，EF 的长为 ．【答案】32或92【分析】根据题意，分两种情况：①当E 在D 的右侧时；②当E 在D 的左侧时，由翻折性质，结合含30︒的直角三角形边的关系列方程求解即可得到答案．【详解】解：在ABC 中，90A ∠=︒，30C ∠=︒，3AB =，点D 为AC 的中点，AC ∴=12CD AB =， 当E 在D 的右侧时，延长FE 交AC 于H ，如图所示：FE AC ⊥，90EHC ∴∠=︒，由翻折的性质知，CD DF ==，30C DFH∠=∠=︒， 设EF x =，则CE EF x ==，1122EH EC x ==， 32FH x ∴=，在直角三角形DFH 中，30DFH ∠=︒，则FH =，∴32x =，32x ∴=；当E 在D 的左侧时，如图所示：由翻折性质知，CD DF ==，30C EFD ∠=∠=︒，CE EF x ==，EF AC ⊥，90FHD ∴∠=︒，1122EH EC x ∴==，1122FH x x x =−=，在直角三角形FHD 中，HF =，∴12x =，解得92x =， 故答案为：32或92．【点睛】本题考查翻折性质，充分利用翻折性质及含30︒的直角三角形边的关系分情况讨论是解决问题的关键． 20．（本题2分）（2023春·重庆忠县·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 上一点，连接DE ，将BDE 沿DE 翻折得到GDE ，连接CG ．若CG BD ∥，则CEG ∠= ．【答案】60︒/60度【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得出CH DH HB ==,1=2CH DB ，由折叠的性质得DB DG =，∠=∠BDE GDE ，利用辅助线构造矩形并由其性质得出CH GK =，再由等量代换得出12GK DG =，最后由特殊直角三角形的性质得出30GDK ∠=︒，利用折叠的性质及正方形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点C 作直线CH DB ⊥于点H ，过点G 作直线GK DB ⊥于点K ，正方形ABCD 中，DC CB =，90452CDB ︒∠==︒，CH DH HB ∴==,1=2CH DB ． GDE △由BDE 沿DE 翻折得到，GDE BDE ∴≌△△， DB DG ∴=，∠=∠BDE GDE ，CH DB ⊥，GK DB ⊥，CG BD ∥，CH GK ∴∥,90CHK ∠=︒，∴四边形CHKG 是矩形．CH GK ∴=， ∴11=22GK CH DB DG ==，90GKD ∠=︒，∴30GDK ∠=︒．11=30=1522BDE GDK ∴∠=∠⨯︒︒．∵正方形ABCD ，∴45DBE ∠=︒，∴1804515120BED ∠=︒−︒−︒=︒，60CED ∠=︒，∵BDE 沿DE 翻折得到GDE ，∴120BED DEG ∠=∠=︒，∴12060CEG DEC ∠=︒−∠=︒，故答案为：60︒．【点睛】本题考查正方形—翻折问题．具体考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质，特殊直角三角形的性质，矩形的判定和性质等的综合运用能力．灵活添加辅助线是解本题的关键．三、解答题：本大题共7小题，21-25题每小题8分，26-27题每小题10分，共60分． 若将DAB 沿直线 (1)求点A B 、的坐标．(2)求三角形ACE 的面积．(3)求直线CD 的解析式．【答案】(1)()3,0A ，()0,4B(2)6(3)364y x =−【分析】（1）当0x =，4043y =−⨯+，解得4y =，则()0,4B ，当0y =，4043x =−+，解得3x =，则()3,0A ；（2）由折叠的性质可知AB AC =，OBA ECA ∠=∠，证明()AAS ABO ACE ≌，根据12ACE ABO S S OA OB ==⨯，计算求解即可；（3）由勾股定理得，5AB ，则8OC OA AC =+=，()80C ，，待定系数法求直线CD 的解析式即可．【详解】（1）解：当0x =，4043y =−⨯+，解得4y =，则()0,4B ，当0y =，4043x =−+，解得3x =，则()3,0A ，∴()3,0A ，()0,4B ；（2）解：由折叠的性质可知AB AC =，OBA ECA ∠=∠，∵OBA ECA ∠=∠，OAB EAC ∠=∠，AB AC =，∴()AAS ABO ACE ≌， ∴1134622ACE ABO S S OA OB ==⨯=⨯⨯=，∴三角形ACE 的面积为6；（3）解：由勾股定理得，5AB ==，由（2）可知5AC AB ==，8OC OA AC =+=，∴()80C ，，设直线CD 的解析式为y kx b =+，将()0,6D −，()80C ，，代入y kx b =+得，680b k b =−⎧⎨+=⎩，解得346k b ⎧=⎪⎨⎪=−⎩，∴直线CD 的解析式为364y x =−． 【点睛】本题考查了一次函数的解析式，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的图象坐标轴的交点．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 22．（本题8分）（2023春·吉林长春·八年级统考期末）将边长为2的正方形纸片ABCD 按如下操作：【操作一】如图①，将正方形纸片ABCD 对折，使点A 与点B 重合，点D 与点C 重合，再将正方形纸片ABCD 展开，得到折痕EF ．则点B 、点F 之间的距离为_____________．【操作二】如图②，G 为正方形ABCD 边BC 上一点，连接AG ，将图①的正方形纸片沿AG 翻折，使点B 的对称点H 落在折痕EF 上．连接BH ．（1）求证：ABH 是等边三角形．（2）求四边形CFGH 的周长．（1）证明见解析；（2）5【分析】操作一：由题知，4BC =，122CF DF CD ===，利用勾股定理可得BF =操作二：（1）由翻折得EF 是AB 的垂直平分线，故BH AH =，又AB AH =，即AB BH AH ==，即得ABH 是等边三角形；（2）由ABH 是等边三角形，可得2AH AB ==，1AE =．HE ==可得2FH EF HE =−=即可得出四边形ABGH 的周长．【详解】解：操作一：如图，连接BF ，由题知2BC CD ==，由翻折，知112CF DF CD ===，由勾股定理，得BF操作二：（1）由翻折知EF 是AB 的垂直平分线，BH AH ∴=，又AB AH =，AB BH AH ∴==，ABH ∴是等边三角形；（2）∵ABH 是等边三角形．∴2AH AB ==，1AE =．∴HE =∴2FH EF HE =−=∴四边形CFHG 的周长CF HF HG CG CF HF CB +++=++122=+5=【点睛】本题主要考查四边形的综合题，涉及勾股定理，等边三角形的判定和性质，正方形的性质等知识点，熟练掌握轴对称的性质与勾股定理的应用是解题的关键． (1)试判断重叠部分BED 的形状，并证明你的结论；(2)若BE 平分ABD ∠，12BC =，求BED 的面积．【答案】(1)BED 是等腰三角形，证明见解析(2)BED 的面积【分析】（1）根据折叠性质得出EBD DBC ∠=∠，进而得出EDB EBD ∠=∠，可得EB ED =，根据等角对等边即可得证；（2）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得出DE ，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）BED 是等腰三角形，证明：四边形ABCD 是长方形，AD BC ∴∥，EDB DBC ∴∠=∠，由折叠可知：EBD DBC ∠=∠，EDB EBD ∴∠=∠，EB ED ∴=，BED ∴是等腰三角形；（2）四边形ABCD 是长方形，AB DC ∴=，12AD BC ==，90A ABC C ∠=∠=∠=︒， BE 平分ABD ∠，ABE EBD ∴∠=∠，30ABE EBD DBC ∴∠=∠=∠=︒，2,BC CD BC ∴==，DC BC ∴==AB ∴=EB ED =，12AE AD DE DE ∴=−=−，在Rt ABE △中，根据勾股定理，得222AE AB BE +=，222(12)DE DE ∴−+=，解得8DE =，BED ∴的面积11822DE AB =⨯⋅=⨯⨯=【点睛】本题考查了勾股定理，折叠问题，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理与折叠的性质是解题的关键． 24．（本题8分）（2023春·山西阳泉·八年级统考期末）综合与实践问题情境：在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片ABCD 中，E 为CD 边上任意一点，将ADE V 沿AE 折叠，点D 的对应点为D ¢．分析探究：（1）如图1，当点D ¢恰好落在AB 边上时，四边形D BCE '的形状为 ．问题解决：（2）如图2，当E ，F 为CD 边的三等分点时，连接FD '并延长，交AB 边于点G ．试判断线段AG 与BG 的数量关系，并说明理由．（3）如图3，当60ABC ∠=︒，45DAE =︒∠时，连接DD '并延长，交BC 边于点H ．若ABCD Y 的面积为24，4=AD ，请直接写出线段D H '的长．【答案】（1）平行四边形；（2）2BG AG =，理由见解析；（3）D H '=【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得ABCD ，AD DE AD '==，可得四边形ADED '是菱形，可知DE AD ='，继而可知BD CE '=，即可求解；（2）利用折叠的性质可得AED AED '∠=∠，ED ED ¢=，结合三等分点可知ED ED EF '==，进而可得ED F EFD ''∠=∠，利用三角形外角性质可得AED ED F ''∠=∠，进而可知AE FG ∥，可得四边形AEFG 是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得AG 与BG 的数量关系；（3）由折叠可知：45DAE D AE '∠=∠=︒，AD AD ='，易知DAD '△为等腰直角三角形，延长AD '交BC 于M ，可知45MD H AD D ''∠=∠=︒，由平行四边形的性质可得，45BHM ADH MD H '∠=∠=︒=∠，AM AD ⊥，进而可知MD MH '=由ABCD Y 的面积为24，4=AD ，得24AD AM ⋅=，求得6AM =，可得2MD AM AD ''=−=，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ，AB CD =则D AE AED '∠=∠由折叠可知：AD AD ='，DAE D AE '∠=∠，∴DAE AED ∠=∠，∴AD DE AD '==，∴四边形ADED '是平行四边形，又∵AD AD ='，∴四边形ADED '是菱形，∴DE AD ='，∴BD CE '=，∴四边形D BCE '是平行四边形，故答案为：平行四边形；（2）2BG AG =，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ，AB CD =，又∵E ，F 为CD 边的三等分点， ∴13DE EF CF DC ===，由折叠可知：ED ED ¢=，AED AED '∠=∠，则ED ED EF '==，∴ED F EFD ''∠=∠，由三角形外角可知：DED ED F EFD AED AED ''''∠=∠+∠=∠+∠，∴AED ED F ''∠=∠，∴AE FG ∥，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴EF AG =， ∵13EF DC =，AB CD =， ∴13AG AB =，则23BG AB =，∴2BG AG =；（3）由折叠可知：45DAE D AE '∠=∠=︒，AD AD ='，∴90DAD '∠=︒，则DAD '△为等腰直角三角形，∴45ADH AD D '∠=∠=︒，延长AD '交BC 于M ，则45MD H AD D ''∠=∠=︒∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴45DHM ADH MD H ∠=∠=∠'︒=，90AMH DAD '∠=∠=︒，即AM AD ⊥，∴MD MH '=∵ABCD Y 的面积为24，4=AD ，即：24AD AM ⋅=，∴6AM =，则2MD AM AD AM AD ''=−=−=，∴D H '【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 轴的负半轴上，若将DAB 沿直线(1)求线段AB 的长(2)求直线CD 的函数表达式；(3)点P 在直线CD 上，使得2PAC OAB SS =，求点【答案】(1)5AB =(2)364y x =− (3)7224,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或824,55⎛⎫− ⎪⎝⎭【分析】（1）先根据点,A B 的坐标可得3,4OA OB ==，再利用勾股定理可得5AB =；（2）设点D 的坐标为()0,D m ，则4,BD m OD m =−=−，先根据折叠的性质可得4CD BD m ==−，再在Rt COD 中，利用勾股定理可得6m =−，从而可得()0,6D −，然后利用待定系数法即可得；（3）设点P 的坐标为3,64P n n ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据2PAC OAB S S =建立方程，解方程可得n 的值，由此即可得出答案．【详解】（1）解：()3,0A ，()0,4B ， 3,4OA OB ∴==， x 轴y ⊥轴，5AB ∴=．（2）解：设点D 的坐标为()0,D m ，则4,BD m OD m =−=−，由折叠的性质得：4CD BD m ==−，5AC AB ==，8OC OA AC ∴=+=，∴点C 的坐标为()8,0，在Rt COD 中，222OD OC CD +=，即()()22284m m −+=−，解得：6m =−，()0,6D ∴−，设直线CD 的函数表达式为y kx b =+，将点()()8,0,0,6C D −代入得：806k b b +=⎧⎨=−⎩，解得346k b ⎧=⎪⎨⎪=−⎩，则直线CD 的函数表达式为364y x =−．（3）解：由题意，设点P 的坐标为3,64P n n ⎛⎫− ⎪⎝⎭， 3,4OA OB ==，162OAB S OA OB ∴=⋅=，2PAC OAB S S =，61562342n −∴⨯=⨯， 解得725n =或85n =， 当725n =时，732364424655n −=−=⨯，即此时7224,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当85n =时，83246534564n =−=−−⨯，即此时824,55P ⎛⎫− ⎪⎝⎭， 综上，点P 的坐标为7224,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或824,55⎛⎫− ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了勾股定理、折叠的性质、求一次函数的解析式、一次函数的几何应用，熟练掌握折叠的性质和待定系数法是解题关键． 26．（本题10分）（2023春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）如图1，四边形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，8AD =，6BC =，点M 从点D 出发，以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，同时，点N 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，过点N 作NP AD ⊥于点P ，连接AC 交NP 于点Q ，连接MQ ．设运动时间为t 秒．(1)AM =______，AP =______．（用含t 的代数式表示）(2)当四边形ANCP 为平行四边形时，求t 的值；(3)如图2，将AQM 沿AD 翻折，得AKM ，是否存在某时刻t ，使四边形AQMK 为为菱形，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)82t −，2t +(2)2t =(3)存在，1t =【分析】（1）由2DM t =，根据AM AD DM =−即可求出82AM t =−；先证明四边形CNPD 为矩形，得出6DP CN t ==−，则2AP AD DP t =−=+；（2）根据四边形ANCP 为平行四边形时，可得68(6)t t −=−−，解方程即可；（3）由NP AD ⊥，QP PK =，可得当PM PA =时有四边形AQMK 为菱形，列出方程628()6t t t −−=−−，求解即可．【详解】（1）解：如图1．2DM t =，82AM AD DM t ∴=−=−．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，NP AD ⊥于点P ，∴四边形CNPD 为矩形，6DP CN BC BN t ∴==−=−，8(6)2AP AD DP t t ∴=−=−−=+；故答案为：82t −，2t +．（2）四边形ANCP 为平行四边形时，CN AP =，68(6)t t ∴−=−−，解得：2t =；（3）存在时刻1t =，使四边形AQMK 为菱形．理由如下：NP AD ⊥，QP PK =，∴当PM PA =时有四边形AQMK 为菱形，628(6)t t t ∴−−=−−，解得1t =．【点睛】本题主要考查了四边形综合题，其中涉及到直角梯形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．(1)BQ = ______ (含t 的代数式表示)；(2)如图2，连接AD ，PF ，PQ ，当AD PQ ∥时，求PQF △的面积；(3)如图3，连接PF ，PQ ，D 点关于直线PF 的对称点为D '点，若'D 落在PQB △的内部则t 的取值范围为______.【答案】(1)4(02)t t −<≤(2)PQFS = (3)4453t <<【分析】（1）根据几何动点的速度和时间可得结论；（2）根据四边形BPDQ 是平行四边形，证明四边形APQD 是平行四边形，可得1t =，再证明EFD ≌△CFQ ，最后利用三角形的面积公式可解答；（3）先证明DF FQ =，再计算两个边界点时点t 的值；①如图3，点D '与Q 重合，②如图4，D '在斜边AB 上，由此可得结论.【详解】（1）解：在Rt ABC △中，90830C AB A ∠∠=︒==︒，，，142BC AB AC ∴===，由题意，CQ t =，()402BQ t t ∴=−<≤. 故答案为：()402t t −<≤； （2）如图2中，四边形BPDQ 是平行四边形，∴DQ AB ∥，BP DQ BQ PD ==，，。
相似三角形专题练习(培优)附答案
相似三角形专题练习（培优）附答案一、基础知识（不局限于此）(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
人教版 九年级数学 27.2 相似三角形 培优训练(含答案)
人教版 九年级数学 27.2 相似三角形 培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. （2020·永州）如图，在ABC 中，2//,3AE EF BC EB =，四边形BCFE 的面积为21，则ABC 的面积是（ ）A. 913B. 25C. 35D. 632. （2020·云南）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E是CD 的中点．则△DEO 与△BCD 的面积的比等于（ ）A ．B ．C ．D ．3. （2020·哈尔滨）如图，在△ABC中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作EF ∥BC ，交AD 于点F,过点E 作EG ∥AB ，交BC 于点G,则下列式子一定正确的是（ ）A ．CDEF ECAE = B ．ABEG CDEF = C ．GCBG FDAF = D ．AD AF BCCG =4. （2020·内江）如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15BCED S =四边形，则ABC S ∆=（ ）A. 30B. 25C. 22．5D. 205. （2020·河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为()A. (32，2) B. (2，2) C. (114，2) D. (4，2)6. （2020·广西北部湾经济区）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN 的长为（）A．15 B．20 C．25 D．307. （2020·铜仁）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（）A．3 B．2 C．4 D．58. （2020·营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且CDBD=32，则CECA的值为（）A EA．3 5B．23C．45D．329. （2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有（）A.4个B.5个C.6个D.7个ABC10. （2020·新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE 的面积为1，则BC的长为·······················································（）A．25B．5 C．45D．10二、填空题（本大题共8道小题）11. （2020·吉林）如图，////AB CD EF．若12=ACCE，5BD=，则DF=______．12. （2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEF的顶点都在网格线的交点上，设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则12CC的值等于▲ ．ABCD EF13. （2020·盐城）如图，//,BC DE 且,4,10BC DE AD BC AB DE <==+=，则AEAC的值为．14. （2020·郴州）在平面直角坐标系中，将AOB∆以点O 为位似中心，32为位似比作位似变换，得到11OB A ∆.已知)3,2(A ，则点1A 的坐标是 ．15.（2020·临沂）如图，在ABC ∆中，D ，E 为边AB 的三等分点，////EF DG AC ，H 为AF 与DG 的交点.若6AC =，则DH =_________.16. （2020·杭州）如图是一张矩形纸片，点E 在AB 边上，把BCE △沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，连接DF ．若点E ，F ，D 在同一条直线上，2AE =，则DF =______，BE =______．FDBE A C17. （2020·苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()4,0-、()0,4，点()3,C n 在第一象限内，连接AC 、BC .已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_________.18. (2019•辽阳)如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO CO ，分别在x 轴，y 轴上，A 点的坐标为(86)-，，点P 在矩形ABOC 的内部，点E 在BO 边上，满足PBE △∽CBO △，当APC △是等腰三角形时，P 点坐标为__________．三、解答题（本大题共4道小题）19. （2020·杭州）如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE ，DAE ∠的平分线AG 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F ．设()0CEEBλλ=>． FCGEBDA（1）若2AB =，λ＝1，求线段CF 的长． （2）连接EG ，若EG AF ⊥，①求证：点G 为CD 边的中点． ②求λ的值．20. 已知AB 是半径为1的圆O 直径，C 是圆上一点，D 是BC 延长线上一点，过D 点的直线交AC 于E 点，交AB 于F 点，且△AEF 为等边三角形． (1)求证：△DFB 是等腰三角形； (2)若DA ＝7AF ，求证CF ⊥AB.21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A (43，53)，点D 的坐标为(0，1)．(1)求直线AD 的解析式； (2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．22.（2020·泰州）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为BC 边上的动点（与B 、C 不重合），//PD AB ，交AC 于点D ，连接AP ，设CP x =，ADP ∆的面积为S ．（1）用含x 的代数式表示AD 的长；（2）求S 与x 的函数表达式，并求当S 随x 增大而减小时x 的取值范围．人教版 九年级数学 27.2 相似三角形 培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】B【详解】解：∵//EF BC ∴AEF B AFE C ∠=∠∠=∠， ∴AEF ABC ∽ ∵23AE EB = ∴25AE AB = ∴255242AEB ABCS S ⎛⎫==⎪⎝⎭ ∴421AEBBCFESS =四边形 ∵21BCFE S =四边形 ∴AEBS =4∴=25ABCS故选：B ．2. 【答案】B ．【解析】利用平行四边形的性质可得出点O 为线段BD 的中点，结合点E 是CD 的中点可得出线段OE 为△DBC 的中位线，利用三角形中位线定理可得出OE ∥BC ，OE ＝BC ，进而可得出△DOE ∽△DBC ，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平分，即可求出△DEO 与△BCD 的面积的比为1：4．3. 【答案】C 【解析】本题考查了平行线分线段成比例和由平行判定相似，∵EF∥BC ，∴EC AE FD AF =，∵EF ∥BC ，∴ECAE GC BG =，∴GC BGFD AF =因此本题选C ．4. 【答案】D【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE 是中位线，从而判断△ADE ∽△ABC ，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．首先判断出△ADE ∽△ABC ，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC 的面积．根据题意，点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点，则DE ∥BC 且DE=12BC ，故可以判断出△ADE ∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知ADE S ∆：ABC S ∆=1：4，则BCED S 四边形：ABC S ∆=3：4，题中已知15BCED S =四边形，故可得ADE S ∆=5，ABC S ∆=20，因此本题选D ．5. 【答案】B【解析】∵点A ，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7， ∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，设正方形与x 轴的两个交点分别为G 、F ，∵EF ⊥x 轴，EF=GF=DG=2，∴EF ∥AC ，D ，E 两点的纵坐标均为2， ∴EF BF AC BC ，即269BF ，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D 点的横坐标为2，∴点D 的坐标为 (2，2)．6. 【答案】B【解析】设正方形EFGH 的边长EF ＝EH ＝x ， ∵四边EFGH 是正方形，∴∠HEF ＝∠EHG ＝90°，EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ， ∵AD 是△ABC 的高， ∴∠HDN ＝90°， ∴四边形EHDN 是矩形， ∴DN ＝EH ＝x ， ∵△AEF ∽△ABC ， ∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），∵BC ＝120，AD ＝60， ∴AN ＝60﹣x ， ∴，解得：x ＝40，∴AN ＝60﹣x ＝60﹣40＝20．因此本题选B ．7. 【答案】A【解析】相似三角形的周长之比等于相似比，所以△FHB和△EAD 的相似比为30∶15=2∶1，所以FH∶EA=2∶1，即6∶EA=2∶1，解得EA=3.因此本题选A．8. 【答案】 A【解析】利用平行截割定理求CECA的值．∵DE∥AB，∴CEAE=CDBD=32，∵CE+AE=AC，∴CECA=35．9. 【答案】A【解析】本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示：ABC因此本题选A．10. 【答案】A【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理．如答图，过点E作EG⊥BC于G，过点A作AH⊥BC于H．又因为DF⊥BC，所以DF∥AH∥EG，四边形DEGF是矩形．所以△BDF∽△BAH，DF＝EG，所以DFAH ＝BDBA，因为D为AB中点，所以BDBA＝12，所以DFAH＝12．设DF＝EG＝x，则AH＝2x．因为∠BAC＝90°，所以∠B＋∠C＝90°，因为EG⊥BC，所以∠C＋∠CEG＝90°，所以∠B＝∠CEG，又因为∠BHA＝∠CGE＝90°，AB＝CE，所以△ABH≌△CEG，所以CG＝AH＝2x．同理可证△BDF∽△ECG，所以BFEG＝BDEC，因为BD＝12AB＝12CE，所以BF＝12EG＝1 2x．在R t△BDF中，由勾股定理得BD22DF BF+221()2x x+5x，所以AD5x，所以CE＝AB＝2AD5x．因为DE∥BC，所以AEAC＝ADAB＝12，所以AE＝12AC＝CE5x．在R t △ADE 中，由勾股定理得DE ＝22AD AE +＝225()(5)2x x +＝52x ．因△DEF 的面积为1，所以12DE ·DF ＝1，即12×52x ·x ＝1，解得x ＝255，所以DE ＝52×255＝5，因为AD ＝BD ，AE ＝CE ，所以BC ＝2DE ＝25，因此本题选D ．二、填空题（本大题共8道小题） 11. 【答案】10【解析】∵////AB CD EF ，∴AC BDCE DF=， 又∵12=AC CE ，5BD =，∴512DF =，∴10DF =，故答案为：10．12. 【答案】22【解析】由图形易证△ABC 与△DEF 相似，且相似比为1:2，所以周长比为1:2．故答案为：2．13. 【答案】2【解析】∵BC ∥DE ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AD DEAC AB BC ==，设DE ＝x ,则AB ＝10－x ∵AD ＝BC ＝4，∴4104AE x AC x ==-，∴x 1＝8 ,x 2＝2(舍去)， 824AE AC ==，此本题答案为2 ．14. 【答案】（，2）【解析】∵将△AOB 以点O 为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A 1OB 1，A （2，3），∴点A 1的坐标是：（×2，×3），即A 1（，2）．故答案为：（，2）．15. 【答案】1【解析】 ∵D 、E 为边AB 的三等分点， ∴BE=ED=AD=13AB.∵////EF DG AC ，∴123EF AC ==∴112DH EF ==.16. 【答案】2 5－1 【解析】设BE ＝x ，则AB ＝AE ＋BE ＝2＋x ．∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝2＋x ，AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠BEC ．由折叠得∠BEC ＝∠DEC ，EF ＝BE ＝x ，∴∠DCE ＝∠DEC ．∴DE ＝CD ＝2＋x ．∵点D ，F ，E 在同一条直线上，∴DF ＝DE －EF ＝2＋x －x ＝2．∵AB ∥CD ，∴△DCF ∽△EAF ，∴DC EA ＝DF EF ．∴22x +＝2x ，解得x 1＝5－1，x 2＝－5－1．经检验，x 1＝5－1，x 2＝－5－1都是分式方程的根．∵x ＞0，∴x ＝5－1，即BE ＝5－1．17. 【答案】145或2.8【解析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，设AC 交y 轴于点E ，∴CD ∥x 轴，∴∠CAO=∠ACD, △DEC ∽△OEA ，∵2BCA CAO ∠=∠，∴∠BCD=∠ACD, ∴BD=DE,设BD=DE=x ，则OE=4-2x ,∴DC AO =DE EO ,即34=x4-2x ,解得x =1.2．∴OE=4-2x =1.6，∴n =OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.18. 【答案】326()55-，或(43)-， 【解析】∵点P 在矩形ABOC 的内部，且APC △是等腰三角形，∴P 点在AC 的垂直平分线上或在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上； ①当P 点在AC 的垂直平分线上时，点P 同时在BC 上，AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ，如图1所示，∵PE BO ⊥，CO BO ⊥，∴PE CO ∥，∴PBE △∽CBO △，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(86)-，， ∴点P 横坐标为﹣4，6OC =，8BO =，4BE =，∵PBE △∽CBO △，∴PE BE CO BO =，即468PE =， 解得：3PE =，∴点(43)P -，． ②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ， 过点P 作PE BO ⊥于E ，如图2所示，∵CO BO ⊥，∴PE CO ∥，∴PBE △∽CBO △，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(86)-，， ∴8AC BO ==，8CP =，6AB OC ==， ∴22228610BC BO OC +=+=，∴2BP =，∵PBE △∽CBO △， ∴PE BE BP CO BO BC ==，即：26810PE BE ==， 解得：65PE =，85BE =， ∴832855OE =-=， ∴点326()55P -，， 综上所述：点P 的坐标为：326()55-，或(43)-，， 故答案为：326()55-，或(43)-，． 三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，∴∠DAF ＝∠F ．∵AG 平分∠DAE ，∴∠DAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠F ，∴EA ＝EF ．∵λ＝1，∴BE＝EC＝1．在Rt△ABE中，由勾股定理得EA＝5，∴CF＝EF－EC＝5－1．（2）①∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝GF．又∵∠AGD＝∠FGC，∠DAG＝∠F，所以△DAG≌△CFG，∴DG＝CG，∴点G为CD边的中点．②不妨设CD＝2，则CG＝1．由①知CF＝AD＝2．∵EG⊥AF，∴∠EGF＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠FCG，∠EGC＋∠CGF＝90°，∠EGC＋∠GEC＝90°，∴∠CGF＝∠GEC，∴△EGC∽△GFC，∴EC CG＝CG CF＝12，∴EC＝12，∴BE＝32，∴λ＝13．20. 【答案】(1)证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝∠EFA＝60°，∴∠ABC＝30°，∴∠FDB＝∠EFA－∠B＝60°－30°＝30°，(2分)∴∠ABC＝∠FDB，∴FB＝FD，∴△BDF是等腰三角形．(3分)(2)解：设AF＝a，则AD＝7a，解图如解图，连接OC，则△AOC是等边三角形，由(1)得，BF＝2－a＝DF，∴DE＝DF－EF＝2－a－a＝2－2a，CE＝AC－AE＝1－a，在Rt△ADC中，DC＝（7a）2－1＝7a2－1，在Rt△DCE中，tan30°＝CEDC＝1－a7a2－1＝33，解得a＝－2(舍去)或a＝12，(5分)∴AF＝1 2，在△CAF和△BAC中，CA AF＝BAAC＝2，且∠CAF＝∠BAC＝60°，∴△CAF∽△BAC，∴∠CFA ＝∠ACB ＝90°，即CF ⊥AB.(6分)21. 【答案】解：(1)设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b(k≠0)，将D(0，1)、A(43，53)代入解析式得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝143k ＋b ＝53， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1k ＝12， 解图∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.(3分)(2)直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1，令y ＝0，得x ＝－2，∴B(－2，0)，即OB ＝2.∵直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3，令y ＝0，得x ＝3， ∴C(3，0)，即BC ＝5，设E(x ，12x ＋1)，①当E 1C ⊥BC 时，∠BOD ＝∠BCE 1＝90°，∠DBO ＝∠E 1BC ， ∴△BOD ∽△BCE 1，此时点C 和点E 1的横坐标相同，将x ＝3代入y ＝12x ＋1， 解得：y ＝52，∴E 1(3，52)．(6分)②当CE 2⊥AD 时，∠BOD ＝∠BE 2C ＝90°，∠DBO ＝∠CBE 2， ∴△BOD ∽△BE 2C ，如解图，过点E 2作E 2F ⊥x 轴于点F ，则∠E 2FC ＝∠BFE 2＝90°. ∵∠E 2BF ＋∠BE 2F ＝90°，∠CE 2F ＋∠BE 2F ＝90°，∴∠E 2BF ＝∠CE 2F ，∴△E 2BF ∽△CE 2F ，则E 2F BF ＝CF E 2F ， 即E 2F 2＝CF·BF ，(12x ＋1)2＝(3－x)(x ＋2)，解得：x 1＝2，x 2＝－2(舍去)，∴E 2(2，2)；(9分)③当∠EBC ＝90°时，此情况不存在．综上所述，点E 的坐标为E 1(3，52)或E 2(2，2)．(10分)22. 【答案】解： （1）∵DP ∥AB∴△DCP ∽△ACB ∴CD CP AC CB= ∴34CD x = ∴34CD x =∴AD ＝3－34x （2）∵△DCP ∽△ACB,且相似比为x ：4． ∴S △DCP ：S △ACB ＝x 2：16∴S △ABC ＝13462⨯⨯=∴S △DCP ＝238x ∴S △APB ＝13(4)22PB AC x ⨯⨯=- ∴S ＝S △ABC －S △ABP －S △CDP22336(6)283382x x x x =---=-+ 当2x ≥ 时，S 随x 增大而减少．。
相似三角形培优训练(含答案)
类似三角形分类进步练习一.类似三角形中的动点问题1.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点 B 作射线 BB1∥AC．动点 D 从点 A 动身沿射线 AC 偏向以每秒 5 个单位的速度活动,同时动点 E 从点 C 沿射线 AC 偏向以每秒 3 个单位的速度活动．过点 D 作 DH⊥AB 于 H,过点 E 作 EF⊥AC 交射线 BB1 于 F,G 是 EF 中点,衔接 DG．设点 D 活动的时光为 t 秒．（1）当 t 为何值时,AD=AB,并求出此时 DE 的长度;（2）当△DEG与△ACB 类似时,求 t 的值．2.如图,在△ABC 中, ABC＝90°,AB=6m,BC=8m,动点 P 以 2m/s 的速度从 A点动身,沿 AC 向点 C 移动．同时,动点 Q 以 1m/s 的速度从 C 点动身,沿 CB向点 B 移动．当个中有一点到达终点时,它们都停滞移动．设移动的时光为 t 秒．（1）①当 t=2.5s 时,求△CPQ 的面积;②求△CPQ 的面积 S（平方米）关于时光 t（秒）的函数解析式;（2）在 P,Q 移动的进程中,当△CPQ 为等腰三角形时,求出 t 的值．3.如图 1,在 Rt△ABC 中, ACB＝90°,AC＝6,BC＝8,点 D 在边 AB 上活动,DE 等分 CDB 交边 BC 于点 E,EM⊥BD,垂足为 M,EN⊥CD,垂足为 N．（1）当 AD＝CD 时,求证：DE∥AC;（2）探讨：AD 为何值时,△BME 与△CNE 类似？4.如图所示,在△ABC 中,BA＝BC＝20cm,AC＝30cm,点 P 从 A 点动身,沿着AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点活动;同时点 Q 从 C 点动身,沿 CA 以每秒 3cm的速度向 A 点活动,当 P 点到达 B 点时,Q 点随之停滞活动．设活动的时光为 x．（1）当 x 为何值时,PQ∥BC？（2）△APQ 与△CQB 可否类似？若能,求出 AP 的长;若不克不及解释来由．5.如图,在矩形 ABCD 中,AB=12cm,BC=6cm,点 P 沿 AB 边从 A 开端向点 B 以 2cm/s 的速度移动;点 Q 沿 DA 边从点 D 开端向点 A 以1cm/s 的速度移动．假如 P.Q 同时动身,用 t（s）暗示移动的时光（0＜t＜6）.（1）当 t 为何值时,△QAP 为等腰直角三角形？（2）当 t 为何值时,以点 Q.A.P 为极点的三角形与△ABC 类似？二.结构类似帮助线——双垂直模子6.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(2,1),正比例函数 y=kx的图象与线段 OA 的夹角是 45°,求这个正比例函数的表达式．7.在△ABC 中,AB= ,AC=4,BC=2,以 AB 为边在 C 点的异侧作△ABD,使△ABD 为等腰直角三角形,求线段 CD 的长．8.在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,点 M 是 AC 上的一点,点 N 是 BC 上的一点,沿着直线 MN 折叠,使得点 C 正好落在边 AB 上的 P 点．求证：MC：NC=AP：PB．9. 如图,在直角坐标系中,矩形 ABCO 的边 OA 在 x轴上,边 OC 在 y 轴上,点 B 的坐标为（1,3）,将矩形沿对角线 AC 翻折 B 点 落在 D 点的地位,且 AD 交 y 轴于点 E．那么 D 点的坐标为（）A.B.C.D.10..已知,如图,直线 y=﹣2x＋2 与坐标轴交于 A.B 两点．以 AB 为短边在 第一象限做一个矩形 ABCD,使得矩形的双方之比为 1﹕2.求 C.D 两点的坐 标. 三.结构类似帮助线——A.X 字型 11.如图：△ABC 中,D 是 AB 上一点,AD=AC,BC 边上的中线 AE 交 CD 于 F.求证：12.四边形 ABCD 中,AC 为 AB.AD 的比例中项,且 AC 等分∠DAB.求证：13.在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB＝b,CD＝a,E 为 AD 边上的随意率性 一点,EF∥AB,且 EF 交 BC 于点 F,某同窗在研讨这一问题时,发明如下事实：(1)当 时,EF= ;(2)当 时,EF= ;(3)当时,EF= ．当 时,参照上述研讨结论,请你猜测用a.b 和 k 暗示 EF 的一般结论,并给出证实． 14.已知：如图,在△ABC 中,M 是 AC 的中点,E.F 是 BC 上的两点,且 BE＝EF ＝FC.求 BN：NQ：QM． 15.证实：（1）重心定理：三角形极点到重心的距离等于该极点对边上中线长的 ．（注：重心是三角形三条中线的交点） （2）角等分线定理： 三角形一个角的等分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比 例． 四.类似类定值问题 16.如图,在等边△ABC 中,M.N 分离是边 AB,AC 的中点,D 为 MN 上随意率性一点,BD.CD 的延伸线分离交 AC.AB 于点 E.F．求证：．17.已知：如图,梯形 ABCD 中,AB//DC,对角线 AC.BD 交于 O,过 O 作 EF//AB分离交 AD.BC 于 E.F.求证：．18.如图,在△ABC 中,已知 CD 为边 AB 上的高,正方形 EFGH 的四个极点分离在△ABC 上.求证：．19.已知,在△ABC 中作内接菱形 CDEF,设菱形的边长为 a．求证：．五.类似之共线线段的比例问题20.（1）如图 1,点 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 上,一向线过点 P 分离交BA,BC 的延伸线于点 Q,S,交于点 ．求证：（2）如图2, 图 3, 当 点 在 平 行 四 边 形 ABCD 的 对 角 线 或 的 延 伸 线 上时,是否仍然成立？若成立,试给出证实;若不成立,试解释来由（请求仅以图 2 为例进行证实或解释）;21.已知：如图,△ABC 中,AB＝AC,AD 是中线,P 是 AD 上一点,过 C 作CF∥AB,延伸 BP 交 AC 于 E,交 CF 于 F．求证：BP2＝PE·PF ．22.如图,已知△ABC 中,AD,BF 分离为 BC,AC 边上的高,过 D 作 AB 的垂线交AB 于 E,交 BF 于 G,交 AC 延伸线于 H.求证：DE2=EG•EH23.已知如图,P 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上一点,过 P 的直线与AD.BC.CD 的延伸线.AB 的延伸线分离订交于点 E.F.G.H.求证：24.已知,如图,锐角△ABC 中,AD⊥BC 于 D,H 为垂心（三角形三条高线 的交点）;在 AD 上有一点 P,且∠BPC 为直角．求证：PD2＝AD·DH. 六.类似之等积式类型分解 25.已知如图,CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高,E 为 BC 的中点,ED 的延伸线交 CA 于 F.求证： 26 如图,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,点 M 在 CD 上,DH⊥BM 且 与 AC 的 延 伸 线 交 于 点 E. 求 证 ： （ 1 ） △AED∽△CBM; （ 2 ）27.如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,E 是 AC 的中点,ED 的延伸线与 CB 的延伸线交于点 F.（1）求证：.（2）若G 是 BC 的中点,衔接 GD,GD 与 EF 垂直吗？并解释来由.28.如图,四边形 ABCD.DEFG 都是正方形,衔接 AE.CG,AE 与 CG 订交于点M,CG 与 AD 订交于点 N．求证：．29.如图,BD.CE 分离是△ABC 的双方上的高,过 D 作 DG⊥BC 于 G,分离交 CE 及 BA 的延伸线于F.H.求证：（1）DG2＝BG·CG;（2）BG·CG＝GF·GH七. 类似根本模子运用30.△ABC 和△DEF 是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF 的极点 E 位于边 BC 的中点上．（1）如图 1,设 DE 与 AB 交于点 M,EF 与 AC 交于点 N,求证：△BEM∽△CNE;（2）如图 2,将△DEF 绕点 E 扭转,使得 DE 与BA 的延伸线交于点 M,EF 与 AC 交于点 N,于是,除（1）中的一对类似三角形外,可否再找出一对类似三角形并证实你的结论．31.如图,四边形ABCD 和 四 边 形ACED 都是平行四边形,点 R 为 DE 的中点,BR 分离交 AC.CD 于点 P.Q．（1）请写出图中各对类 似三角形（类似比为 1 除外）;（2）求 BP：PQ：QR． 32.如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于 D,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F.求证： 答 案 ： 1. 答 案 ： 解 ： （ 1 ） ∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4∴AB=5 又∵AD=AB,AD=5t∴t=1,此时 CE=3,∴DE=3+3-5=1（2）如图当点 D 在点 E 左侧,即：0≦t≦ 时,DE=3t+3-5t=3-2t．若△DEG 与△ACB类似,有两种情况：①△DEG∽△ACB,此时,即：,求得：t= ;②△DEG∽△BCA, 此 时,即：,求得：t= ;如图,当点 D 在点 E 右侧,即：t> 时,DE=5t-(3t+3)=2t-3．若△DEG 与△ACB 类似,有两种情况：③△DEG∽△ACB,此时,即：,求得：t= ;④△DEG∽△BCA,此时,即：,求得：t= ．综上,t 的值为 或 或 或 ．3.答案：解：（1）证实：∵AD=CD∴∠A=∠ACD∵DE 等分 CDB 交边 BC 于 点 E∴∠CDE=∠BDE∵∠CDB 为 △CDB 的 一 个 外 角 ∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE∴∠ACD=∠CDE ∴DE∥AC （ 2 ） ①∠NCE=∠MBE∵EM⊥BD,EN⊥CD,∴△BME∽△CNE, 如 图∵∠NCE=∠MBE∴BD=CD又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90°∴∠ACD=∠A∴AD=CD∴AD=BD= AB∵ 在Rt△ABC 中 ,ACB ＝ 90°,AC ＝ 6,BC ＝8∴AB=10∴AD=5②∠NCE=∠MEB∵EM⊥BD,EN⊥CD,∴△BME∽△ENC, 如 图∵∠NCE=∠MEB∴EM∥CD∴CD⊥AB∵ 在 Rt△ABC中,ACB ＝ 90°,AC ＝ 6,BC ＝8∴AB=10∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB∴△ACD∽△ABC∴∴综上：AD=5 或 时,△BME 与△CNE 类似．4. 答 案 ： 解 （ 1 ） 由 题 意 ： AP=4x,CQ=3x,AQ=30-3x,当 PQ∥BC时,,即：解得：（ 2 ） 能 ,AP= cm 或AP=20cm①△APQ∽△CBQ, 则,即解得： 或（舍）此时：AP= cm②△APQ∽△CQB, 则,即解得：（相符题意）此时：AP= cm 故 AP= cm 或 20cm 时,△APQ 与△CQB 能类似． 5.答案：解：设活动时光为 t,则 DQ=t,AQ=6-t,AP=2t,BP=12-2t．（1）若 △QAP 为等腰直角三角形,则 AQ=AP,即：6-t=2t,t=2（相符题意）∴t=2 时,△QAP 为等腰直角三角形．（2）∠B=∠QAP=90°①当△QAP∽△ABC时,,即：,解得： （相符题意）;②当△PAQ∽△ABC时,,即：,解得： （相符题意）．∴ 当 或 时,以点 Q.A.P 为极点的三角形与△ABC 类似．6. 答 案 ： 解 ： 分 两 种 情 况 第 一 种 情 况 , 图 象 经 由 第 一 . 三 象 限过点 A 作 AB⊥OA,交待求直线于点 B,过点 A 作平行于 y 轴的直线交 x 轴于点 C,过点 B 作 BD⊥AC 则由上可知：＝90°由双垂直模子知：△OCA∽△ADB∴∵A（2,1）,＝ 45°∴OC ＝ 2,AC ＝ 1,AO ＝ AB∴AD ＝ OC ＝ 2,BD ＝ AC ＝ 1∴D 点 坐 标 为 （2,3）∴B 点坐标为（1,3）∴此时正比例函数表达式为：y＝3x 第二种情况,图象经由第二.四象限过点 A 作 AB⊥OA,交待求直线于点 B,过点 A 作平行于 x 轴的直线交 y 轴于点 C,过点 B 作 BD⊥AC 则由上可知：＝ 90° 由 双 垂 直 模 子 知 ：△OCA∽△ADB∴∵A（2,1）,＝45°∴OC＝1,AC＝2,AO＝AB∴AD＝OC＝1,BD＝AC＝2∴D 点坐标为（3,1）∴B 点坐标为（3,﹣1）∴此时正比例函数表达式为：y＝ x 7. 答 案 ： 解 ： 情 况 一 ：情况二：情况三：8.答案：证实：办法一：衔接 PC,过点 P 作 PD⊥AC 于D, 则PD//BC依据折叠可知MN⊥CP∵∠2+∠PCN=90°,∠PCN+∠CNM=90°∴∠2=∠CNM∵∠CDP=∠NCM=90°∴△PDC∽MCN∴MC ： CN=PD ： DC∵PD=DA∴MC ： CN=DA ：DC∵PD//BC∴DA ： DC=PA ： PB∴MC ： CN=PA ： PB 办 法 二 ： 如图,过 M 作 MD⊥AB 于 D,过 N 作 NE⊥AB 于 E 由双垂直 模 子 , 可 以 推 知 △PMD∽NPE, 则,依据等比性质可知,而 MD=DA,NE=EB,PM=CM,PN=CN, ∴MC：CN=PA：PB 9.答案：A解题思绪：如图过点 D 作 AB 的平行线交 BC 的延伸线于点 M,交 x 轴于点 N,则∠M=∠DNA=90°,因为折叠,可以得到△ABC≌△ADC,又由 B（1,3）∴BC=DC=1,AB=AD=MN=3,∠CDA=∠B=90°∴ ∠1+∠2=90°∵∠DNA=90°∴∠3+∠2=90°∴∠1=∠3∴△DMC∽△AND,∴设 CM=x, 则 DN=3x,AN=1 ＋ x,DM ＝∴3x＋ ＝3∴x＝ ∴,则. 答案为 A10.答案：解：过点 C 作 x 轴的平行线交 y 轴于 G,过点 D 作 y 轴的平行线交 x 轴于 F,交 GC 的延伸线于 E.∵直线 y=﹣2x＋2与坐标轴交于 A.B 两点∴A（1,0）,B（0,2）∴OA=1,OB=2,AB= ∵AB：BC=1:2∴BC=AD= ∵∠ABO+∠CBG=90°,∠ABO+∠BAO=90°∴∠CBG=∠BAO又∵∠CGB=∠BOA=90°∴△OAB∽△GBC∴∴GB=2,GC=4∴GO=4∴C（4,4）同理可得△ADF∽△BAO,得 （5,2）∴DF=2,AF=4 ∴OF=5 ∴D11.答案：证实：（办法一）如图衔接延伸 AE 到 M 使得 EM=AE, CM∵BE=CE,∠AEB=∠MEC∴△BEA≌△CEM∴CM=AB,∠1=∠B∴AB∥CM∴∠M=∠MAD,∠MCF=∠ADF∴△MCF∽△ADF∴∵CM=AB,AD=AC∴（办法二）过 D 作 DG∥BC 交 AE 于 G 则△ABE∽△ADG,△CEF∽△DGF∴,∵AD=AC,BE=CE∴12.答案：证实：过点 D 作 DF∥AB 交 AC 的延伸线于点F,则∠2=∠3∵AC等分∠DAB∴∠1=∠2∴∠1=∠3∴AD=DF∵∠DEF=∠BEA,∠2=∠3∴△BEA∽△DEF∴∵AD=DF∴∵AC 为 AB.AD 的比例中项∴即又∵∠1=∠2∴△ACD∽△ABC∴∴∴13.答案：解：证实：过点 E 作 PQ∥BC 分离交 BA 延伸线和 DC 于点 P 和点 Q∵AB∥CD,PQ∥BC∴四边形 PQCB 和四边形 EQCF 是平行四边形∴PB＝EF＝CQ,又∵AB＝b,CD＝a∴AP＝PB-AB＝EF-b,DQ＝DC-QC＝a-EF∴∴14. 答 案 ： 解 ：衔 接 MF∵M 是 AC 的 中 点 ,EF ＝FC∴MF∥AE 且 MF＝ AE ∴△BEN∽△BFM ∴BN：BM＝BE：BF＝NE：MF∵BE＝EF ∴BN：BM＝NE：MF＝1:2 ∴BN：NM＝1:1 设 NE＝x,则 MF＝ 2x,AE＝4x ∴AN＝3x ∵MF∥AE ∴△NAQ∽△MFQ ∴NQ：QM＝AN：MF ＝3:2 ∵BN：NM＝1:1,NQ：QM＝3:2 ∴BN：NQ：QM＝5:3:215.答案：证实：（1）如图 1,AD.BE 为△ABC 的中线,且AD.BE 交于点 O 过点 C 作 CF∥BE,交 AD 的延伸线于点 F∵CF∥BE 且 E 为 AC中 点 ∴∠AEO ＝ ∠ACF,∠OBD ＝ ∠FCD,AC ＝ 2AE∵∠EAO ＝∠CAF∴△AEO∽△ACF∴∵D 为 BC 的 中 点 ,∠ODB ＝∠FDC∴△BOD≌△CFD∴BO＝CF∴∴同理,可证别的两条中线∴三角形极点到重心的距离等于该极点对边上中线长的 （2）如图 2,AD 为△ABC 的角等分线过点 C 作 AB 的平行线 CE 交 AD的 延 伸 线 于 E 则 ∠BAD=∠E∵AD 为 △ABC 的 角 等 分 线∴∠BAD=∠CAD∴∠E=∠CAD∴AC＝CE∵CE∥AB∴△BAD∽△CED∴∴16.答案：证实：如图,作 DP∥AB,DQ∥AC 则四边形MDPB 和四边形 NDQC 均为平行四边形且△DPQ 是等边三角形∴BP+CQ＝MN,DP ＝ DQ ＝ PQ∵M.N 分 离 是 边 AB,AC 的 中 点 ∴MN ＝ BC ＝PQ∵DP∥AB,DQ∥AC∴△CDP∽△CFB,△BDQ∽△BEC∴,∴∵DP ＝ DQ ＝ PQ ＝ BC ＝ AB∴ AB（）＝ ∴17.答案：证实：∵EF//AB,AB//DC∴EF//DC∴△AOE∽△ACD,△DOE∽△DBA∴,∴∴18.答案：证实∵EF∥CD,EH∥AB∴,∵,： ∴△AFE∽△ADC,△CEH∽△CAB∴,∵EF ＝EH∴∴19.答案：∵EF∥AC,DE∥BC∴,证实：∵,∴△BFE∽△BCA,△AED∽△ABC∴,∴∵EF＝DE＝a∴ 20. 答 案 ： （ 1 ） 证 实 ： 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ,AD∥BC,∴∠DRP=∠S,∠RDB=∠DBS∴△DRP∽△BSP∴同来由AB∥CD 可证△PTD∽△PQB∴∴∴（2）证实 ： 成 立 , 来 由 如 下 ： 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ,AD∥BC,∴∠PRD=∠S,∠RDP=∠DBS∴△DRP∽△BSP∴AB∥CD 可证△PTD∽△PQB∴∴∴同来由21. 答 案 ： 证 实 :∵AB ＝ AC,AD 是 中线,∴AD⊥BC,BP=CP∴∠1=∠2又∵∠ABC=∠ACB∴∠3=∠4∵CF∥AB∴∠3=∠F,∠4=∠F又∵∠EPC=∠CPF∴△EPC∽△CPF∴∴BP2＝PE·PF 即证所求22. 答 案 ： 证 实 ： ∵DE⊥AB∴＝ 90°∵＝90°∴ ∵BF⊥AC∴∵∴△ADE∽△DBE∴∴DE2=＝ 90°∵＝ 90° 且∴∵∴△BEG∽△HEA∴∴＝∴DE2=EG•EH23.答案：证实： 形∵四边形 ABCD 为平行四边∴AB∥CD,AD∥BC∴∠1=∠2,∠G=∠H,∠5=∠6∴△PAH∽△PCG∴又∵∠3=∠4∴△APE∽△CPF∴∴24.答案：证实：如图,衔接 BH 交 AC 于点 E,∵H为垂心∴BE⊥AC∴∠EBC+∠BCA=90°∵AD⊥BC于D∴∠DAC+∠BCA=90°∴∠EBC=∠DAC又∠BDH=∠ADC=90°∴△BDH∽△ADC∴,即∵∠BPC 为直角,AD⊥BC ∴PD2＝BD·DC ∴PD2＝AD·DH25. 答 案 ： 证 实 ：∵CD 是 Rt△ABC 斜 边 AB 上 的 高,E 为 BC 的 中 点∴CE=EB=DE∴∠B=∠BDE=∠FDA∵∠B+∠CAB=90°,∠ACD+∠CAB=90°∴∠B=∠ACD∴∠FDA=∠ACD∵∠F=∠F∴△FDA∽△FCD∴∵∠ADC=∠CDB=90°,∠B=∠ACD∴△ACD∽△CBD∴∴即26.答案：证实：（1）∵∠ACB＝∠ADC＝90°∴∠A＋∠ACD＝90°∠BCM＋∠ACD＝90°∴∠A＝∠BCM 同理可得：∠MDH＝∠MBD∵∠CMB＝∠CDB＋∠MBD ＝ 90° ＋ ∠MBD∠ADE ＝ ∠ADC ＋ ∠MDH ＝ 90° ＋ ∠MDH∴∠ADE ＝∠CMB∴△AED∽△CBM（2）由上问可知：,即故只需证实即 可 ∵∠A ＝ ∠A,∠ACD ＝∠ABC∴△ACD∽△ABC∴,即∴27. 答 案 ： （ 1 ） 将 结 论 写 成 比 例 的 情 势 ,,可以斟酌证实△FDB∽△FCD （ 已 经 有 一 个 公 共 角 ∠F ） Rt△ACD 中 ,E 是 AC 的 中 点∴DE=AE∴∠A=∠ADE∵∠ADE=∠FDB∴∠A=∠FDB而∠A+∠ACD=90°∠FCD+∠ACD=90°∴∠A=∠FCD∴∠FCD=∠FDB而∠F=∠F∴△FBD∽△FDC∴∴（2）断定：GD 与 EF 垂直 Rt△CDB 中 ,G 是 BC 的 中 点 , ∴GD ＝ GB ∴∠GDB=∠GBD 而∠GBD+∠FCD=90° 又∵∠FCD=∠FDB（1 的结论） ∴∠GDB+∠FDB=90°∴GD⊥EF28.答案：证实：由四边形 ABCD.DEFG 都是正方形可知,∠ADC=∠GDE=90°,则 ∠CDG=∠ADE=∠ADG+90° 在和中∴≌则 ∠DAM=∠DCN 又∵∠ANM=∠CND∴△ANM∽△CND 则∴29. 答 案 ： 证 实 ： 找 模 子 . （ 1 ） △BCD.△BDG,△CDG 组 成 母 子 型 类似.∴△BDG∽△DCG∴∴DG2 ＝ BG·CG （ 2 ） 剖 析 ： 将 等 积式转化为比例式.BG·CG＝GF·GH∵∠GFC=∠EFH,而∠EFH+∠H=90°,∠GFC+∠FCG=90°∴∠H=∠FCG而∠HGB=∠CGF=90°∴△HBG∽△CFG∴∴BG·CG ＝GF·GH．30.答案：（1）证实：∵∠MEB＋∠NEC＝180°－45°＝135°＝∠MEB＋∠EMB ∴∠NEC ＝ ∠EMB 又 ∵∠B=∠C ∴△BEM∽△CNE （ 2 ）△COE∽△EON证 实 ： ∵∠OEN=∠C ＝ 45°,∠COE ＝ ∠EON∴△COE∽△EON31.答案：解：（1）△BCP∽△BER,△CQP∽△DQR,△ABP∽△CQP,△DQR∽△ABP （ 2 ）∵AC∥DE∴△BCP∽△BER∴∵四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形∴AD=BC,AD=CE∴BC=CE,即点 C 为 BE 的中点∴又 ∵AC∥DE∴△CQP∽△DQR∴∵ 点 R 为 DE 的 中 点∴DR=RE∴综上：BP：PQ：QR＝3：1：232. 答 案 ： 证 实 ： ∵AD⊥BC,DE⊥AB∴△ADB∽△AED∴ AE AB 同理可证：AD²＝AF AC∴AE AB＝AF AC∴AD² ＝。
“一线三角”相似模型(十一培优短训)—张珊老师
D
P
C O
D M
P E
C
F A 图1 B A 图2 B N
~1~
2.
如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M、N 分别是边 BC、CD 上的 两个动点，当 M 点在 BC 上运动时，始终保持 AM 和 MN 垂直． （1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN； （2）设 BM=x ，梯形 ABCN 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关 系式； 当 M 点运动到什么位置时， 梯形 ABCN 的面积最大， 并求出最大面积； （3）当 M 点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN？
D
E N
C F M
A
A． ①②③ C． ②③④ B．①②④ D．①③④
B
~5~
8.
已知：正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 为 BC 的中点，点 P 为 AB 上一动点， 沿 PE 翻折△BPE 得到△FPE， 直线 PF 交 CD 边于点 Q，交直线 AD 于点 G，联接 EQ．
A D Q G A D
~3~
5.
如图 1，在△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 边的中点，以 D 为顶点 作∠MDN=∠C． （1）观察发现：当射线 DM 经过点 A 时，DN 交 AB 于点 E，不 添加任何辅助线，请填空：与△ADE 相似的三角形 是 ． （2）探究表明：如图 2，将∠MDN 绕点 D 沿顺时针方向旋转， DN、DM 分别交线段 AB、AC 于 E、F 两点（点 E 与点 A 不重合） ，不添加辅助线，证明：△BDF∽△DEF． （3）结论运用：在图 2 中，若 AB=AC=10，BC=12，当△ABC 的 面积为△DEF 面积的 4 倍时，直接写出线段 EF 的长．
F P B E
2024中考备考重难点重难点相似三角形模型及其综合题综合训练(11大题型+满分技巧+限时分层检测)
重难点02 相似三角形模型及其综合题综合训练中考数学中《相似三角形模型及其综合题综合训练》部分主要考向分为五类：一、K型相似二、8字图相似三、A字图相似四、母子型相似五、手拉手相似相似三角形的综合题中各种相似模型的掌握是解决对应压轴题的便捷方法，所以本专题是专门针对相似三角形模型压轴题的，对提高类型的学生可以自主训练。
考向一：K型相似1．（2023•锡山区校级四模）如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8．点P在AD上运动（点P不与点A、D重合）将△ABP沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处（包括矩形边界），则AP的取值范围是，连接DM并延长交矩形ABCD的AB边于点G，当∠ABM＝2∠ADG时，AP的长是．2．（2023•福田区模拟）综合与探究在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处．（1）如图①，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；（2）如图②，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求EF的长；（3）如图③，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，请直接写出的值．3．（2023•桐柏县一模）【初步探究】（1）把矩形纸片ABCD如图①折叠，当点B的对应点B'在MN的中点时，填空：△EB'M△B'AN （“≌”或“∽”）．【类比探究】（2）如图②，当点B的对应点B'为MN上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．【问题解决】（3）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△BPE沿PE折叠得到△B'PE，连接DE，DB'，当△EB'D为直角三角形时，BP的长为．考向二：8字图相似1．（2023•海州区校级二模）“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多……【问题提出】（1）如图①，PC是△P AB的角平分线，求证：．小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD∥P A，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”．小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作CD⊥P A交P A于点D，作CE⊥PB交PB于点E，利用“等面积法”．请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．【理解应用】（2）如图②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，使点C恰好落在边AB上的E点处，落AC＝1，AB＝2，则DE的长为．【深度思考】（3）如图③，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD为∠BAC的角平分线．AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F，连接AF，当BD＝3时，AF的长为．【拓展升华】（4）如图④，PC是△P AB的角平分线，若AC＝3，BC＝1，则△P AB的面积最大值是．2．（2023•衢州二模）如图1，在正方形ABCD中，点E在线段BC上，连接AE，将△ABE沿着AE折叠得到△AFE，延长EF交CD于点G．（1）求证：DG＝FG；（2）如图2，当点E是BC中点时，求tan∠CGE的值；（3）如图3，当时，连接CF并延长交AB于点H，求的值．考向三：A字图相似1．（2023•宿城区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，先将△ABC沿AC翻折到△AB′C处，再将△AB'C沿翻折到△AB'C'处，延长CD交AC′于点M，则DM的长为．2．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，△ABC中，D在AB上，E在BC上，∠AED＝∠ABC，F在AE上，EF＝DE．（1）如图1，若CE＝BD，求证：BE＝CF；（2）如图2，若CE＝AD，G在DE上，∠EFG＝∠EFC，求证：CF＝2GF；（3）如图3，若CE＝AD，EF＝2，∠ABC＝30°，当△CEF周长最小时，请直接写出△BCF的面积．3．（2023•中山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，点P为射线AO上的一个动点，过点P作PQ⊥AB于点Q，将沿PQ翻折得到R．设△PQR与△AOB重合部分的面积为S，点P的坐标为（m，0）．（1）求AR的长．（用含m的代数式表示）（2）求S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．考向四：母子型相似1．（2023•樊城区模拟）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF ＝6，AD＝9，求CE的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，连接DE、DF分别交AC于M，N，∠EDF＝∠BAD，DF＝AE，若MN＝18，求EF的值．2．（2023•润州区二模）如图1，在△ABC中，点D在边AB上，点P在边AC上，若满足∠BPD＝∠BAC，则称点P是点D的“和谐点”．（1）如图2，∠BDP+∠BPC＝180°．①求证：点P是点D的“和谐点”；②在边AC上还存在某一点Q（不与点P重合），使得点Q也是点D的“和谐点”，请在图2中仅用圆规作图，找出点Q的位置，并写出证明过程．（保留作图痕迹）（2）如图3，以点A为原点，AB为x轴正方向建立平面直角坐标系，已知点B（6，0），C（2，4），点P在线段AC上，且点P是点D的“和谐点”．①若AD＝1，求出点P的坐标；②若满足条件的点P恰有2个，直接写出AD长的取值范围是．考向五：手拉手相似1．（2023•宝安区校级三模）【问题背景】已知D、E分别是△ABC的AB边和AC边上的点，且DE∥BC，则△ABC∽△ADE，把△ADE绕着A逆时针方向旋转，连接BD和CE．①如图2，找出图中的另外一组相似三角形；②若AB＝4，AC＝3，BD＝2，则CE＝；【迁移应用】在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，D、E，M分别是AB、AC、BC中点，连接DE和CM．①如图3，写出CE和BD的数量关系；②如图4，把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转，当D落在AM上时，连接CD和CE，取CD中点N，连接MN，若，求MN的长．【创新应用】如图5：，BC＝4，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，tan∠ADE＝2，将△ADE绕着点A旋转，连接BE，F是BE上一点，，连接CF，请直接写出CF的取值范围．2．（2023•东港市二模）（1）问题发现：如图1，已知正方形ABCD，点E为对角线AC上一动点，将BE绕点B顺时针旋转90°到BF处，得到△BEF，连接CF．填空：①＝；②∠ACF的度数为；（2）类比探究：如图2，在矩形ABCD和Rt△BEF中，∠EBF＝90°，∠ACB＝∠EFB＝60°，连接CF，请分别求出的值及∠ACF的度数；（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点E改为直线AC上一动点，其余条件不变，取线段EF 的中点M，连接BM，CM，若，则当△CBM是直角三角形时，请直接写出线段CF的长．3．（2023•晋中模拟）综合与实践问题情境：（1）如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE．如图2，将△ABC绕顶点A按逆时针方向旋转15°得到△AB'C'，连接B′D，C′E，求证：B′D＝C′E．深入研究：（2）①如图3，在正方形ABCD和正方形CEFG中，已知点B，C，E在同一直线上，连接DE，AF，交于点P，求AF：DE的值；②如图4，若将正方形CEFG绕点C按顺时针方向旋转一定角度，AF：DE的值变化吗？请说明理由．拓展应用：（3）如图5，若把正方形ABCD和正方形CEFG分别换成矩形ABCD和矩形CEFG，且AD：AB＝CG：CE＝k，请直接写出此时AF：DE的值．（建议用时：150分钟）1．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．2．（2023•济南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值；（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接P A，PC，求P A+PC的最小值．3．（2023•武汉）问题提出如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．问题探究（1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小；（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．问题拓展将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若，求的值．4．（2023•内蒙古）已知正方形ABCD，E是对角线AC上一点．（1）如图1，连接BE，DE．求证：△ABE≌△ADE；（2）如图2，F是DE延长线上一点，DF交AB于点G，BF⊥BE．判断△FBG的形状并说明理由；（3）在第（2）题的条件下，BE＝BF＝2．求的值．5．（2023•湖州）【特例感知】（1）如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连结PD，过点D作DM⊥PD，交BC的延长线于点M．求证：△DAP≌△DCM．【变式求异】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB，交AC于点Q，点P在边AB的延长线上，连结PQ，过点Q作QM⊥PQ，交射线BC于点M．已知BC＝8，AC＝10，AD ＝2DB，求的值．【拓展应用】（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上（不与点A，C重合），连结PQ，以Q为顶点作∠PQM＝∠PBC，∠PQM的边QM交射线BC于点M．若AC＝mAB，CQ＝nAC（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．6．（2023•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是射线BC上的动点（不与点B，C重合），连接AD，过点D在AD左侧作DE⊥AD，使AD＝kDE，连接AE，点F，G分别是AE，BD的中点，连接DF，FG，BE．（1）如图1，点D在线段BC上，且点D不是BC的中点，当α＝90°，k＝1时，AB与BE的位置关系是，＝．（2）如图2，点D在线段BC上，当α＝60°，k＝时，求证：BC+CD＝2FG．（3）当α＝60°，k＝时，直线CE与直线AB交于点N，若BC＝6，CD＝5，请直接写出线段CN的长．7．（2023•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA′，线段DA′交AB于点E，作A′F⊥AB于点F，与线段AC交于点G，连接FC，GB．（1）求证：△ADE≌△A′DG；（2）求证：AF•GB＝AG•FC；（3）若AC＝8，tan A＝，当A′G平分四边形DCBE的面积时，求AD的长．8．（2023•福建）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点．AO ⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA的延长线相交于点M．（1）求证：△ADE∽△FMC；（2）求∠ABF的度数；（3）若N是AF的中点，如图2，求证：ND＝NO．9．（2022•湖北）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝．尝试证明：（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：＝；应用拓展：（2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的长（用含m，α的式子表示）．10．（2022•宁波）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点G，求证：DG＝EG．【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求的值．【拓展提高】（3）如图3，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝10，求BF的长．11．（2023•广州）如图，AC是菱形ABCD的对角线．（1）尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B旋转后的对应点为D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，连接BD，CE．①求证：△ABD～△ACE；②若tan∠BAC＝，求cos∠DCE的值．。
相似三角形培优专题训练
相似三角形培优专题训练1.给定平行四边形ABCD，点G在边DC的延长线上，AG交BC于点E，BG交CD于点F。
证明△AGD∽△EGC∽△EAB。
2.给定△ABC，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线。
证明△ABC∽△BCD。
3.给定△ABC，D为内点，ED、AD分别与BC、AB相交，以BC为边在△ABC外作∠XXX∠ABD，∠XXX∠BAD。
证明△DBE∽△ABC。
4.给定矩形ABCD，BC=3AB，E、F是BC边上的三等分点，连结AE、AF、AC。
证明图中不存在非全等的相似三角形。
5.给定△ABC，AC上截取AD，CB延长线上截取BE，使AD=BE。
证明DF•AC=BC•FE。
6.给定△ABC，∠BAC=90°，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。
证明（1）MA=MD•ME；（2）2MD²=AD²+4AE²。
7.给定△ABC，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于点E，交AB于点F。
证明AE：ED=2AF：FB。
8.给定正方形ABCD，E、F分别是XXX和AD上的点，且。
证明∠XXX∠XXX。
9.给定平行四边形ABCD，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线。
证明SQ∥AB，RP∥BC。
10.给定四边形XXX和四边形BDFE，其中AB∥ED，BC∥FE。
证明AF∥CD。
11.给定直角三角形ABC，BCDE是正方形，AE交BC于点F，FG∥AC交AB于点G。
证明FC=FG。
12.给定锐角三角形ABC，C的平分线交AB于点E，交斜边上的高AD于点O，过O引BC的平行线交AB于点F。
证明OE=OF。
相似三角形培优训练(含答案)
相似三角形培优（含答案）1、如图;等腰△ABC 中，CA=CB, ∠EPF=∠ECB.证明：PBPAPF PE2. △ABC 中，∠ACB=900,CD ⊥AB 于D,CD=2BD,点E 在AC 上，BE 交CD 于点G, EF ⊥BE 交AB 于F.(2) 如图2: AE=3EC,试探究EG 与EF 的数量关系，并证明你的结论。
3、 △ABC 中，AB=AC,AD ⊥BC 于D,DE ⊥AB 于E,F 为ED 的中点。
证明：AF ⊥EC图2G F E DCB A FEDCBA4、 如图1正方形ABCD,E 为CD 的中点，F 在AE 上，CB=CF. (1) 证明：BF ⊥AE(2) 如图2：M 在BF 的延长线上，CM 交AD 于K 。
且KF=KD 证明：AM ⊥CM（相似SAS ）2作CG ⊥BM, △KCF ≌△KCD, 则∠KCF=∠KCD. 证明∠KCM=45度， 证明△CGB ∽△CMA5.如图1已知菱形ABCD 中，∠ADC=1200,N 为DB 延长线上，且DE=BN .(1)证明：∠ENC=600（2）如图2：延长CA 交NE 的延长线于G.过O 作OM ⊥AB 于F 交GN 于M. 证明：EM=MN图2图1ANN图2图2E F B D CA AD B F E6、如图，△ABC 为等边三角形，D 点为BC 边上一动点，DE ⊥BA 于E ，连CE 交AD 于F ，已知BC =nBD（1）若n =3时，则BE AC = （2）若n =4时，求EFFC的值 （3）当n = 时，EF =FC （直接写出答案，不证明）答案；（1）1126n = （2）解：∵△ABC 为等边△ ∠B = 60° DE ⊥ AB ∴EDB = 30°设BD = x AB = AC = BC = nx 过E 作EM ∥BC 交AD 于M 1sin 2EDB ∠=12E B x = 12A E n xx =- EM ∥BD ∠AEM = ∠B ∠AMF = ∠ADB△AEM ∽△CDFAE EM AB BD=1()2n xEM nx x -= (1)三角形CDE 与CBN 全等N图2图1C E F G BD AA EFD 12n EM x n-=EM ∥CD ∴△EMF ∽△CDF112()2(1)(1)n xn EF EM n CF CD n x n n --===-- 把n = 4代入 7724324EF CF ==⨯ （3）22n =7、如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点P 为AB 上一动点，连接DB 、DP ， AE ⊥DP 于E .(1) 如图①，若P 为AB 的中点，则DF BF = ；=ACBF； (2)如图②，若21=BP AP 时，证明AC ＝4BF ；(3)如图③，若P 在BA 的延长线上，当ACBF= 时，31=AB AP .答案；（1）21，31；（2）延长AF 交BC 于M ，证△ABM ≌△DAP 得BM=AP ，又△MBF ∽△ADF 得31===AD AP AD BM FD BF ，∴FD ＝3BF ∴AC ＝BD ＝4BF.（3）21.8、矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，BF ⊥CE 于点F ，过点F 作DF 的垂线交直线BC 于点G ，若AD =n AB .（1）如图1，当n=1时，BGCG= ；（2）如图2，当n=2时，求证：CG =7BG ；②ABCDEFP③ABCDEFP①PFED C BA图3F AD GE C B 图2FEDCBA图1FAB CD E（3）如图3，当G 点落在BC 的延长线上时，当n= 时，C 为BG 的中点.（直接写出结果）9.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝k ·AC,CD ⊥AB 于D ，点P 为AB 边上一动点，PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，垂足分别为E 、F.（1）若k=2时，则=BFCE . （2）若k=3时，连EF 、DF ，求DFEF的值（3）当k= 时，332=DF EF . 10、点D 为Rt △ABC 的斜边AB 上一点，点E 在AC ⊥CD 交DE 的延长线于点F ，连结AF (1)如图1，若AC=BC,求证：AF ⊥AB;(2) 如图2，若AC ≠BC ，当点D 在AB 上运动时，求证：AF ⊥AB.答案. (1)∵∠ADE=∠BCD ∴∠FDC=∠B=45°∴CD=CF ∴△CDB ≌△CAF ∴∠CAF=45°∴AF ⊥AB(2) ∵∠ADE=∠BCD ∴∠FDC=∠B ∴△ACB ∽△FDC ∴BC ACCD CF=∴△BCD ∽△ACF ∴∠B=∠CAF ∴AF ⊥AB;11.如图： 等腰Rt △ABC 中，∠ACB=900,P 在直线AB 上，以CP 为腰作等腰Rt △CPE. （1）证明：BE //AC （2）若AB=5AP,求BEAC的值。
培优专题11 勾股定理与折叠问题
（2）设 AE ＝ a ， ED ＝ b ， DC ＝ c .请写出一个 a ， b ， c 三者之间的数量关系式.
◉答案 解：（2） a ， b ， c 三者之间的数量关系式为 a2＝ b2＋ c2.理
由：由（1）得 CE ＝ AE . 因为四边形 ABCD 是长方形，所以∠ D ＝
A. 1cm
A ）
B. 1.5cm
C. 2cm
D. 3cm
第1题图
2. （烟台莱州期中）如图，Rt△ ABC 中， AB ＝9， BC ＝6，∠ B ＝90°，将△
ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN ，则线段 BN 的长为 4
第2题图
.
3. 如图，在边长为6的正方形 ABCD 中， E 是边 CD 的中点，将△ ADE 沿 AE 对折至
90°.因为 AE ＝ a ， ED ＝ b ， DC ＝ c ，所以 CE ＝ AE ＝ a .在Rt△
DCE 中， CE2＝ ED2＋ DC2，所以 a ， b ， c 三者之间的数量关系式
为 a2＝ b2＋ c2.
FG ＝ x ，则 GC ＝6－ x .因为 E 为 CD 的中点，所以 CE ＝ DE ＝ EF
＝3，所以 EG ＝3＋ x .在Rt△ CEG 中，32＋（6－ x ）2＝（3＋ x ）2，
解得 x ＝2，所以 BG 的长为2.
类型二：巧用折叠求图形面积
4. （威海文登区期中）如图，在四边形 ABCD 中，∠ A ＝90°， AB ＝4cm， AD ＝
第三章 勾股定理
培 优 专 题 11 ： 勾 股 定 理 与 折 叠 问 题
类型一：巧用折叠求线段长
初中数学几何培优小专题：翻折之相似三角形
中考数学翻折专题训练相似三角形1.（2019秋•淅川县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点D、E分别是边AB，BC上的点，连结DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，点B的对称点F恰好落在边AC上，若以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则BE的长为．2.（2019•蚌埠二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F分别在边BC，AC上，沿EF所在的直线折叠∠C，使点C的对应点D恰好落在边AB上，若△EFC和△ABC相似，则AD的长为．3．（2015秋•无锡校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．若△CEF与△ABC相似，则AD的长为．4．（2020秋•舞钢市期中）如图，在矩形ABCD中，点E是AB的中点，点F为射线AD上的一个动点，△AEF 沿着EF折叠得到△HEF，连接AC，分别交EF和EH于点N和M，已知AB＝，BC＝2，若△EMN与△AEF 相似，则AF的长是．5．（2019秋•邓州市期中）在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，BC＝3，将△ABC的一角沿着MN折叠，点B落在AC上的点D处，如图所示，若△ABC与△DMC相似，则BM的长度为．6．（2018•怀远县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．翻折∠C，使点C落在斜边上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．若△CEF与△ABC相似，则AD的长为．7．（2018•河南模拟）在等腰△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，将△ABC的一角沿着MN折叠，点B'落在AC上，若△ABC与△B'MC相似，则BM的长度为．8．（2017秋•徐汇区校级期中）如图，已知三角形纸片ABC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12折叠纸片，使点A落在BC边上事物点D处，折痕为EF（点E在AB上，点F在AC上）．若△BDE与△ABC相似．则折痕EF的长度等于．9．（2014•许昌一模）如图，将三角形纸片的一角折叠，使点B落在AC边上的F处，折痕为DE．已知AB ＝AC＝3，BC＝4，若以点E，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BE的长是．10．（2013•潍坊）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1，若△E1FA1∽△E1BF，则AD＝．11．（2012•启东市模拟）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），D，E分别是线段AO，AB上的点，以DE所在直线为对称轴，把△ADE作轴对称变换得△A′DE，点A′恰好在x轴上，若△OA′D与△OAB相似，则OA′的长为．（结果保留2个有效数字）12．（2012•邯郸二模）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．13．（2017秋•锦江区校级期中）已知△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，折痕为EF（点E．F分别在边AB、AC上）．当以B．E．D为顶点的三角形与△DEF相似时，BE的长为．14．（2015•闸北区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处．若△BED与△ABC相似，则相似比＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D、E分别是AC，BC的中点，点F是AD上一点，将△CEF沿EF折叠得△C′EF，C′F交BC于点G．当△CFG与△ABC相似时，CF的长为．。
相似三角形中的折叠问题
相似三角形的折叠问题导学案
一、情境导入：
1、已知三角形纸片？ABC, AB M AC, AB 边上一点D ,过D 点折叠，折痕交 AC 于E ,能否使 折出的?ADE 与？ABC 相似？
二：探究合作
等边三角形纸片？ABC 使A 点落在BC 边上任意一点F 处（不与B 、C 重合）。
图中有 除全等以外的相似三角形吗？请说明理由。
三：例题解析
1、如图，将 矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在CD 边上的中点B'处.
（1 ）若 AB=2, BC=3,求 DG 长.
（2）连接 FG,求证：？FB'3 ?FCB'
2、等边三角形纸片?ABC 使A 点落在BC 边上任意一点F 处（不与
B 、
C 重合）。
图中有
除全等以外的相似三角形吗
? 四：课堂达标
1 •将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平, ?得到的图形是（ ）
A
n
C
M 或B ' M 的延长线上，那么/ EMF 的度数是 （）
五、能力提升：
如图，先把一矩形纸片 ABCD 对折，设折痕为MN, 过B 点折纸片使D 点叠在直线AD 上，得折痕PQ 。
1、 求证：△ PB0A QAB;
2、 你认为△ PBE 和厶BAE 相似吗？ 如果相似给出证明
A • 85° B. 90 ° C . 95°
D f D . 100 ° A 2 •把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠, EM 、FM 为折痕，折叠后的 C 点落在B 再把
E 点叠在折痕线上， 得到△ ABE, ,如 不相似请说明理由； BCD。
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专题11 相似三角形中的折叠问题
【典型例题】
1．（2019·山西高平·初三期末）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将ΔABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）．
A
B
．
2
C
D．2
【答案】B
2．（2020·广东南山·初三月考）如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长．
【答案】解：由翻折的性质得，DF=EF，设EF=x，则AF=6﹣x，∵点E是AB的中点，∴AE=BE=1
2
×6=3，
在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，即32+（6﹣x）2=x2，解得x=15
4
，∴AF=6﹣
159
44
=，
∵∠FEG=∠D=90°，∴∠AEF+∠BEG=90°，∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠AFE=∠BEG，
又∵∠A=∠B=90°，∴△AEF∽△BGE，∴BE BG
AF AE
==
EG
EF
，即
3
915
3
44
BG EG
==
解得BG=4，EG=5，∴△EBG的周长=3+4+5=12．故答案为12
【专题训练】
一、选择题
1．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）如图，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝8，将矩形沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长是( )
A．7.5B．6C．10D．5
【答案】A
2．（2020·四川南充·初三月考）已知矩形ABCD中，AB=4,AD=6，E是AD的中点．将△ABE沿AE折叠至△A'BE，延长BA与CD交于P．下列结论成立的是（）
A．∠BEP>90°B．BP=6.5C．DP=CP D．
7
4 CP＝
【答案】D
3．（2018·山东张店·初二期末）如图，取一张长为a、宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a,b应满足的条件是（）
A．A=3b B．a=2b C．a D．a=b 【答案】B
4．（2018·全国初三单元测试）如图，将△ABC沿DE翻折，折痕DE∥BC，若AD
BD
＝
1
2
，BC=6，则
DE长等于（）
A．1.8B．2C．2.5D．3
【答案】B
5．（2018·全国初三单元测试）将矩形ABCD沿两条较长边的中点对折得到矩形ADFE，若矩形ADFE∽矩形ABCD，且AB=4，则AD的长等于（）
A．2B．3C．D．
【答案】D
二、填空题
6．（2019·全国初三单元测试）如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿
EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么AD
AB
等于 .
【答案】2
7．（2018·河南郑州外国语中学初二期中）如图，在长方形ABCD中，DC=6cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把三角形AE折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若三角形ABF的面积为24，那么CE 长度为__________cm2.
【答案】8
3
.
8．（2018·河南宝丰·初三期中）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ 与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是_____cm．
【答案】8
9．（2020·全国初三专题练习）如图，已知△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，E是AB的中点，F是AC边上一个动点．将△AEF沿EF折叠，使点A落在A′处，如果△AEF与原△ABC相似，则EF的长为．
【答案】7
2
或
14
3
．
三、解答题
10．（2020·浙江丽水·初三一模）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD于点AB E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G，设正方形ABCD
的周长为m ，△CHG 的周长为n ，则n
m 的值.
【答案】
解：设CH =x ，DE =y ，则DH =m
4-x ，EH =m
4-y ，∵∠EHG =90°，∴∠DHE +∠CHG =90°． ∵∠DHE +∠DEH =90°，∴∠DEH =∠CHG ，
又∵∠D =∠C =90°，△DEH ∽△CHG ，∴CG DH =CH DE =HG
EH ，即CG
m 4
−x =
x y =HG
m 4
−y
， ∴CG =
x(m 4
−x)y
，HG =
x(m
4
−y)y
，△CHG 的周长为n =CH +CG +HG =
mx
2
−x 2y
， 在Rt △DEH 中，DH 2+DE 2=EH 2即（m
4-x ）2+y 2=（m
4-y ）2整理得mx 2
-x 2=
my 2
，
∴n =CH +HG +CG =
mx
2
−x 2y
=
my 2
y
=m
2
，∴n m =1
2． 11．（2020·河南中原·郑州外国语中学其他）如图，在边长为 3 的等边三角形ABC 中，点D 为AC 上一点，CD =1，点E 为边AB 上不与A ，B 重合的一个动点，连接DE ，以DE 为对称轴折叠△AED ，点 A 的对应点为点 F ，当点 F 落在等边三角形ABC 的边上时，AE 的长．
【答案】
解：分析可知，F 点只可能落在边AB 或BC 上，
①当F 点落在边BC 上时，EFC B BEF ∠=∠+∠，即EFD DFC B BEF ∠+∠=∠+∠
60EFD A B ∠=∠=∠=︒，DFC BEF ∴∠=∠，DFC FEB ∴∆∆∽，
∴
BE BF EF
CF CD FD
==，而3EF BE EA BE AB +=+==，2DF DA AC CD ==-=， ∴
33
12
AE CF AE
CF --==，解得5AE =5AE =+； ②F 点落在边AB 上时，
60A DFE ∠=∠=︒，90DEA ∠=︒，30ADE ∴∠=︒， 111
()21222
AE AD AC CD ∴=
=-=⨯=．∴AE 的长为1或5- 12．（2020·全国初三专题练习）如图，将三角形纸片的一角折叠，使点B 落的AC 边上的F 处，折痕为DE ，已知AB ＝AC ＝8，BC ＝10，若以点E ，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BE 的长．
【答案】设BE =x ，则EC =10﹣x ，∵△DEF 是△DEB 折叠所得，∴EF =BE =x ，
①当∠CEF =∠B 时，∵△FEC ∽△ABC ，∴
FE EC AB BC =,即10810x x
-=，解得x =409
； ②当∠CEF =∠A 时，∵△ECF ∽△ABC ，∴
EF EC AC AB =，即1088
x x
-=，解得x =5， 综上，BE =
40
9
或5.。