不等式选讲内容题型大全不看后悔
中职数学：不等式题型选讲典型例题(含答案)
不等式题型选讲1、 有关不等式的解法：解不等式是通过变形转化为简单不等式从而得到解集，如分式不等式转化为整式不等式但要注意是同解变形，每一步变形既充分又必要，例如解分式不等式不要随便去分母，而是先移项，等价转化为f (x )>0或f (x )<0的形式，再分析讨论。
一些含绝对值符号的不等式，含有参数的不等式必须进行讨论。
例1、（1）设集合A ={x ∣x 2-1>0}，B ={x ∣log 2x >0}，则A ∩B 等于（ ）A 、{x ∣x >1}B 、{x ∣x >0}C 、{x ∣x <-1}D 、{x ∣x <-1或x>1}(2)不等式（1+x ）(1-∣x ∣)>0的解集为( )A 、{x ∣0≤x <1}B 、{x ∣x <0且x ≠-1}C 、{x ∣-1<x <1}D 、{x ∣x <1或x ≠-1}（3）设f (x )是奇函数且在（-∞，0）内是减函数，f (-2)=0，则x f (x )<0的解集为（ ）A 、（-1，0）∪（2，+∞）B 、（-∞，-2）∪（0，2）C 、（-∞，-2）∪（2，+∞）D 、（-2，0）∪（0，2）（4）（2003新教材高考试题）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，若f (x )>1，则x 0的取值范围是（ ）A 、（-1，1）B 、（-1，+∞）C 、（-∞，-2）∪（0，+∞）D 、（-∞，-1）∪（1，+∞）选择题具有自身独特的特点，从而决定了它的解法具有灵活机动的优势。
解题者选择不同的解法，从一个侧面反映出他们数学水平的不同“层次”。
例2、（1）不等式1)20(lg cos 2>x （x ∈(0,π)的解集为（2）不等式x x x <-24的解集是-----------------。
不等式选讲――柯西不等式与排序不等式(全)
不等式选讲――柯西不等式与排序不等式（全）例1 已知12,,n a a a ⋅⋅⋅都是正数，求证：21212111()()n na a a n a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥ 证1：()i a R i N +∈∈12n a a a ∴++⋅⋅⋅+≥，12111n a a a ++⋅⋅⋅+≥21212111()()n na a a n a a a ∴++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥，当且仅当12n a a a ==⋅⋅⋅=时等号成立. 证2：构造两个数组：利用柯西不等式有22211`1([][]nn ni i i ===≤⋅∑∑即 21111(1)()()nn nii i i ia a===≤∑∑∑21212111()()n na a a n a a a ∴++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥例2 设(1,2,,)i a R i n ∈=⋅⋅⋅，且22111()1nnii i i A a a n ==+<-∑∑，证明：122A a a <证明：由柯西不等式，有2222222212121211()[()](111)[()](1)(2)n ni n ni i i a a a a a a a n a a a ===++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-+∑∑221211(1)(2)1ni i i A a n a a a n =∴+<⋅-+-∑∑122A a a ∴<例3. 设12,,,,k a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅为各不相同的正整数，求证：对任何正整数n ，有2111nnk k k a k k==≥∑∑证明：22211()[nnn n k a k k a =≤⋅∑∑∑∑不妨设12k a a a <<⋅⋅⋅<，则k a k ≥，故11k a k≤ 1111nn k k k a k==∴≤∑∑2211111()()n n n k k k k a k k k ===∴≤∑∑∑，即2111nn kk k a k k ==≤∑∑例4.已知,0a b >，4422222(1)1(1)(1)a b f b a b a b+=+++++，求证：16f ≥ 证明：由题意，可得442222222222222(1)1(1)(1)(1)[(1)][(1)]a b a b f b a a b a b b a b b a++=+++++=+++++ 222222222(1)(1)[(1)][][]a b a b a b b a b a++=+++≥+令22(1)a b g b a+=+22222()](1)a b g b a ∴+=++≥++221()2()11()()24a b a b a b g a b a b a b a b++++++∴≥==+++≥+++即4f ≥例5.证明：22221212()n na a a a a a n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤证明：221212()(111)n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅222221212()(111)()n n a a a n a a a ≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ 22221212()n n a a a a a a n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+∴≤若上述不等式中12,,,0n a a a ⋅⋅⋅>，两边开平方，得12n a a a n ++⋅⋅⋅+≤这就是著名的不等式：n 个正数的平方平均值不小于它们的算术平均值.例6 .求证：对于任意实数12,a a 和12,b b ，下面不等式恒成立证明：由柯西不等式，得： 2222212121122()()()a a b b a b a b ++≥+又 2222222212112)()(()b a a b b b =++++ 222222121211221122()()2()()()a a b b a b a b a b a b ≥+++++=+++两边开平方即得证. 例7 .证明：对于任意实数,,x y z ，不等式222222()()()()()()x y y z z x xyz x y y z z x +++≥+++成立.证明：由柯西不等式，得 222222()()()()x y y z x yy z y x z++≥+=+ 22222()()()y z z x z y x ++≥+，222222()()()z x x y x y z ++≥+2222222222222()()()()()()()x y y z z x xyz x y y z z x ∴+++≥+++ 222222,,0x y y z z x +++≥222222()()()()()()x y y z z x xyz x y y z z x ∴+++≥+++例8. 若u =,p q 是使u 有意义的实数，试确定u 的最大值.解：由柯西不等式，得u =1122(111)(23262)p q q p q ≤++-+-+-=当且仅当23262p q q p q -=-=-即2,2p q ==时等号成立.max u ∴=练习：1.已知a 1,a 2,a 3,…,a n ，b 1,b 2,…,b n 为正数，求证：2设,,,,21+∈R x x x n 求证：n nn x x x x x x x x x x x +++≥++++ 211232213.已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=，试求a 的最值.4.设a 、b 、c>0且acos2θ+bsin2θ<c ，求证c b a <+θθ22sin cos.5.设a ﹐b 为不相等的正数﹐试证：(a ＋b)(a 3＋b 3)＞(a 2＋b 2)2﹒6.设a ﹑b 均为正数，则(a ＋2b )(1a ＋2b)之最小值＝ .﹒ 7.(a 2＋b 2＋c 2)((21a )＋(21b)＋(21c ))最小值为 .8.设16)1z (9)1y (4x 222++++=1，求2x+y+z-16之最大值 ，最小值 . 9.设x ，y ，z ∈R ，若x 2+y 2+z 2=5，求x-y+2z 的最大值 .，且此时(x ，y ，z)= . 10.设x ，y ，z 均为正实数，且x+y+z=10，求z9y 1x 4++的最小值 .且此是(x ，y ，z)= . 11.x , y , z ∈R ，且x －2y ＋2z ＝5﹐求(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2的最小值 . 12.设a 、b 为实数，求a 2+b 2+(2a-3b+4)2的最小值为 . 13.设x ，y ，z ∈R ，求222zy 2x z y x 2++-+的最大值 .14.设 a , b , c > 0，证明 １）．a 2a b 2b c 2c ≥ a b+c b c+a c a+b . ２）．a a b b c c ≥ 3)(cb a abc ++.３）．ab c ca b bc a b a c a c b c b a c b a 333222222222++≤+++++≤++. ４）．333888111c b a c b a c b a ++≤++. 5). cb a b a ac c b ++++222222 ≥ abc.15.设 x 1 , x 2 , … , x n (n ≥ 2) 全是正整数，并有以下性质：x 1 + x 2 + … + x n = x 1x 2 … x n证明：1 < nx x x n+++...21 ≤ 2.16.设a 、b 、c 为正数且各不相等.求证：cb a ac c b b a ++>+++++922217.a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++.18.若a >b >c 求证：ca cb b a -≥-+-411.19.+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a .20. 设 a , b , c ≥ 0，證明 23≥+++++b a c a c b c b a .21.已知a 、b 、c ∈R +且a+b+c=1，求141414+++++c b a 的最大值.22.求)cos 11)(sin 11(a a y ++=的最小值)20(π<<a .23.△ABC 的三边长为a 、b 、c ，其外接圆半径为R ，求证：222222236)sin 1sin 1sin 1)((R CB A c b a ≥++++24.比较大小：1010⨯1111⨯1212⨯1313 与 1013⨯1112⨯1211⨯1310.。
专题27 不等式选讲(文理通用)(解析版)
十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—不等式选讲目录题型一：含绝对值不等式的解法 .......................................................... 1 题型二：不等式的最值 ......................................................................... 8 题型三：含绝对值不等式的成立问题................................................... 9 题型四：含绝对值函数的图像及其应用 ............................................. 10 题型五：不等式证明 (17)题型一：含绝对值不等式的解法1．(2021年高考全国乙卷理科·第23题)已知函数()3f x x a x =−++．(1)当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; (2)若()f x a >−，求a 的取值范围． 【答案】(1)(][),42,−∞−+∞ ．(2)3,2−+∞． 解析：(1)当1a =时，()13f x x x =−++，13x x −++表示数轴上的点到1和3−的距离之和， 则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3−的距离之和不小于6，故4x ≤−或2x ≥， 所以()6f x ≥的解集为(][),42,−∞−+∞ ．(2)依题意()f x a >−，即3a x a x −+>−+恒成立，333x a x x a a x −++−+=≥++，故3a a +>−，所以3a a +>−或3a a +<， 解得32a >−． 所以a 的取值范围是3,2−+∞．【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第23题)已知函数2()|21|f x x a x a =−+−+．(1)当2a =时，求不等式()4f x …的解集； (2)若()4f x …，求a 的取值范围． 【答案】(1)32x x≤或112x≥；(2)(][),13,−∞−+∞ ． 解析：(1)当2a =时，()43f x x x =−+−．当3x ≤时，()43724f x x x x =−+−=−≥，解得：32x ≤； 当34x <<时，()4314f x x x =−+−=≥，无解； 当4x ≥时，()43274f x x x x =−+−=−≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ≤或112x ≥ ．(2)()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =−+−+≥−−−+=−+−=−(当且仅当221a x a −≤≤时取等号)，()214a ∴−≥，解得：1a ≤−或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,−∞−+∞ ．【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型． 3．(2020江苏高考·第23题)设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【答案】22,3−【解析】1224x x x <−−−−≤ 或10224x x x −≤≤ +−≤ 或0224x x x >++≤21x ∴−≤<−或10x −≤≤或203x <≤,所以解集为22,3−4．(2019·全国Ⅱ·理·第23题)已知函数()()2f x x a x x x a =−+−−．()1当1a =时，求不等式()0f x <的解集；()2当(),1x ∈−∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【答案】()1(),1−∞；()2[)1,+∞【官方解析】()1当1a =时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x −−−.当1x <时，2()2(1)0f x x =−−<；当1x ≥时，()0f x ≥. 所以，不等式()0f x <的解集为(,1)−∞.()2因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈−∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x −−−−− 所以，a 的取值范围是[1,)+∞.【分析】()1根据1a =，将原不等式化为()1210x x x x −+−−<，分别讨论1x <，12x <≤，2x ≥三种情况，即可求出结果；()2分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.【解析】()1当1a =时，原不等式可化为()1210x x x x −+−−<；当1x <时，原不等式可化，即()210x −>，显然成立， 此时解集为(),1−∞；当12x <≤时，原不等式可化为()()()1210x x x x −+−−<，解得1x <，此时解集为空集； 当2x ≥时，原不等式可化为()()()1210x x x x −+−−<，即()210x −<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(),1−∞；()2当1a ≥时，因为(),1x ∈−∞，所以由()0f x <可得()()()20a x x x x a −+−−<，即()()10x a x −−>，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，()()()2,1()21,x a a x f x x a x x a −< =−−<≤，因1a x <≤时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[)1,+∞.【点评】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.5．(2019·江苏·第23题)设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x −. 【答案】见解析【解析】当0x <时，原不等式可化为122x x −+−>，解得13x <−；为为当12x 0≤≤时，原不等式可化为122x x +−>，即1x <−，无解；当12x >时，原不等式可化为212x x +−>，解得1x >. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <−>或.6．(2015高考数学新课标1理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()12,0f x x x a a =+−−>．(Ⅰ)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(Ⅱ)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围 【答案】(Ⅰ)2{|2}3x x <<(Ⅱ)(2，+∞) 分析：(Ⅰ)利用零点分析法将不等式f (x )>1化为一元一次不等式组来解；(Ⅱ)将()f x 化为分段函数，求出()f x 与x 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a 的不等式，即可解出a 的取值范围．解析：(Ⅰ)当a =1时，不等式f (x )>1化为|x +1|-2|x -1|＞1，等价于11221x x x ≤−−−+−> 或111221x x x −<< ++−> 或11221x x x ≥ +−+> ，解得223x <<，所以不等式f (x )>1的解集为2{|2}3x x <<．(Ⅱ)由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a −−<−=+−−≤≤ −++>， 所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A −，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +． 由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >． 所以a 的取值范围为(2，+∞)．7．(2015高考数学江苏文理·第24题)解不等式|23|2x x ++≥【答案】153x x x ≤−≥−或分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可解析：原不等式可化为3232x x <− −−≥ 或32332x x ≥−+≥ ．解得5x ≤−或13x ≥−．综上，原不等式的解集是153x x x ≤−≥−或．8．(2014高考数学课标2理科·第24题)(本小题满分10)选修4-5：不等式选讲．设函数()f x =1(0)x x a a a++−>(Ⅰ)证明：()f x ≥2；(Ⅱ)若()35f <，求a 的取值范围．【答案】解析：(Ⅰ)11112x x a x a x x a x a a a a a++−=++−≥++−=+≥，仅当1a =时等号成立，所以()f x ≥2．(Ⅱ)()3f =1133335a a a a++−=−++<当03a <<时，()3f =165a a−+<，解得a >当3a ≥时，()3f =15a a +<，解得a >综上所述，a 的取值范围为．9．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23题)[选修4—5:不等式选讲]已知函数,．(1)当时,求不等式的解集;(2)若不等式的解集包含,求的取值范围【答案】(1);(2)． 【分析】(1)将代入,不等式等价于,对按,,讨论,得出最值的解集;(2)当时,．若的解集包含,等价于当时,,则在的最小值必为与之一,所以且,得,所以的取值范围为．【解析】(1)当时,不等式等价于①当时,①式化为,无解;当时,①式化为,从而;当时,①式化为,从而所以不等式的解集为()24f x x ax =−++()11g x x x =++−1a =()()f x g x ≥()()f x g x ≥[]1,1−a 112x x −+−≤≤[]1,1−1a =()()f x g x ≥2|1||1|40x x x x −+++−−≤x 1x <−11x −≤≤1x >[1,1]x ∈−()2g x =()()f x g x ≥[1,1]−[]1,1x ∈−()2f x ≥()f x []1,1−()1f −()1f ()12f −≥()12f ≥11a −≤≤a []1,1−1a =()()f x g x ≥21140x x x x −+++−−<1x <−2340x x −−≤11x −≤≤220x x −−≤11x −≤≤1x >240x x +−≤1x <≤()()f x g x ≥112xx −+−≤≤(2)当时,所以的解集包含,等价于当时,又在的最小值必为与之一,所以,得．所以的取值范围为．10．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数． (1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】(1)因为所以不等式等价于或或由无解；由；由 综上可得不等式的解集为．(2)解法一：先求不等式的解集为空集时的取值范围不等式的解集为空集等价于不等式恒成立记，则当时， 当时， 当时， []1,1x ∈−()2g x =()()f x g x ≥[]1,1−[]1,1x ∈−()2f x ≥()f x []1,1−()1f −()1f ()()1212f f −≥ ≥ 11a −≤≤a []1,1−()12f x x x =+−−()1f x ≥()2f x x x m ≥−+m {}1x x ≥5-，4 ∞()3, 11221, 123, 2x f x x x x x x −<−=+−−=−≤≤ > ()1f x ≥131x <− −≥ 12211x x −≤≤ −≥231x > ≥ 131x <− −≥ ⇒x 1222x x −≤≤ ≥ 12x ⇒≤≤231x >≥ 2x ⇒≥()1f x ≥[)1,+∞()2f x x x m ≥−+m ()2f x x x m ≥−+()2m f x x x >−+()()2F x f x x x =−+2223, 131, 123, 2x x x x x x x x x −+−<−−+−≤≤ −++>()max m F x > 1x <−()()2211131524F x x x x F=−+−=−−−<−=− 12x −≤≤()223535312424F x x x x F =−+−=−−+≤= 2x >()()2211332124F x x x x F=−++=−−+<=所以 所以不等式的解集为空集时， 所以不等式的解集非空时，的取值范围为．解法二：原式等价于存在，使成立，即设由(1)知当时，，其开口向下，对称轴 所以当时，，其开口向下，对称轴为 所以 当时，，其开口向下，对称轴为 所以 综上 所以的取值范围为．11．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第24题)选修4—5:不等式选讲已知函数()2f x x a a −+.(Ⅰ)当2a =时,求不等式()6f x ≤的解集;(Ⅱ)设函数()21g x x =−,当R x ∈时,()()3f x g x +≥,求a 的取值范围.【答案】(Ⅰ){}13x x −≤≤;(Ⅱ)[)2,+∞.【解析】(Ⅰ)当2a =时,()222f x x −+.()max 3524F x F== ()2f x x x m ≥−+54m >()2f x x x m ≥−+m 5,4−∞x R ∈2()f x x x m −+≥2max [()]f x x x m −+≥2()()g x f x x x =−+2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x −+−≤− =−+−−<< −++≥1x ≤−2()3g x x x =−+−112x =>−()()11135g x g ≤−=−−−=−12x −<<()231g x x x =−+−32x =()399512424g x g ≤=−+−=2x ≥()23g x x x =−++12x =()()24231g x g ≤=−++=()max 54g x =m 5,4−∞解不等式2226x −+≤,得13x −≤≤.因此,()6f x ≤的解集为{}13x x −≤≤. (Ⅱ)当R x ∈时,()()2122121f x g x x a a x x a x a a a +=−++−−+−+=−+≥ 当12x =时等号成立. 所以当R x ∈时,()()3f x g x +≥等价于13a a −+≥.① 当1a ≤时,①等价于13a a −+≥,无解. 当1a >时,①等价于13a a −+≥,解得2a ≥ 所以的取值范围是[)2,+∞.题型二：不等式的最值1．(2018年高考数学江苏卷·第24题)[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值． 【答案】4证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当122x y z==时，不等式取等号，此时244333xy z==，，， 所以222x y z ++的最小值为4．2．(2014高考数学课标1理科·第24题)选修4—5:不等式选讲若,且． (1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并说明理由． 【答案】解析:(1),得,且当, 故,且当,∴的最小值为．(2)由,得,又由(1)知,二者矛盾, 所以不存在,使得成立．3．(2015高考数学陕西理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．0,0a b >>11a b+33a b +,a b 236a b +=11a b =+?2ab ³a b 33a b +?a b 33a b +623a b =+?32ab £2ab ³,a b 236a b +=(Ⅰ)求实数a ，b 的值；(Ⅱ)+的最大值．【答案】(Ⅰ)3a =−，1b =；(Ⅱ)4．分析：(Ⅰ)先由x a b +<可得b a x b a −−<<−，再利用关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<可得a ，b 的值；(Ⅱ)，再利用柯西不等式的最大值．解析：(Ⅰ)由||x a b +<，得b a x b a --<<-则2,4,b a b a −−=−=解得3a =-,1b = (Ⅱ≤4=，即1t =时等号成立， 故max4=．4．(2015高考数学福建理科·第23题)选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4．(Ⅰ)求a b c ++的值；(Ⅱ)求2221149a b c ++的最小值． 【答案】(Ⅰ)4；(Ⅱ)87．解析：(Ⅰ)因为(x)|x ||x ||(x )(x )||a |f a b c a b c b c =++++?-++=++，当且仅当a x b -＃时，等号成立，又0,0a b >>，所以|a b |a b +=+,所以(x)f 的最小值为a b c ++,所以a b c 4++=． (Ⅱ)由(1)知a b c 4++=，由柯西不等式得 ()()22222114912+3+1164923a b a b c c a b c++++≥×××=++=, 即222118497a b c ++?． 当且仅当1132231b ac ==,即8182,,777a b c ===时，等号成立 所以2221149a b c ++的最小值为87．题型三：含绝对值不等式的成立问题1．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题)[选修4－5：不等式选讲](10分)设函数()5|||2|f x x a x =−+−−．(1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； (2)若()1f x ≤，求a 的取值范围． 【答案】解析：(1)当1a =时， 24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +−=−< −+>≤ ≤可得()0≥f x 的解集为{}|23≤≤x x −． (2)()1f x ≤等价于|||2|4≥x a x ++−．而|||2||2|≥x a x a ++−+，且当2x =时等号成立，故()1f x ≤等价于|2|4≥a +． 由|2|4≥a +可得6≤a −或2≥a ，所以a 的取值范围是(][),62,−∞−+∞ ．2．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23题)[选修4–5：不等式选讲](10分)已知()|1||1|f x x ax =+−−．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【答案】解析：(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+−−，即2,1,()2,11,2, 1.x f xx x x −≤− =−<< ≥故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +−−>成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax −<成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax −≥； 若0a >，|1|1ax −<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]．题型四：含绝对值函数的图像及其应用1．(2023年全国甲卷理科·第23题)设0a >，函数()2f x x a a =−−．(1)求不等式()f x x <的解集；(2)若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ． 【答案】(1),33a a(2)2解析：(1)若x a ≤,则()22f x a x a x −−<, 即3x a >,解得3a x >,即3ax a <≤, 若x a >,则()22f x x a a x −−<, 解得3x a <,即3a x a <<, 综上,不等式的解集为,33a a． (2)2,()23,x a x af x x a x a −+≤ =−>．画出()f x 的草图,则()f x 与x 轴围成ABC ,ABC 的高为3,,0,,022a a a A B,所以||=AB a ,所以211||222ABCS AB a a =⋅== ,解得2a =．2．(2023年全国乙卷理科·第23题)已知()22f x x x =+−．(1)求不等式()6f x x ≤−的解集；(2)在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ≤+−≤所确定的平面区域的面积． 【答案】(1)[2,2]−； (2)8．解析：(1)依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x −>=+≤≤ −+<，不等式()6f x x ≤−化为：2326x x x > −≤− 或0226x x x ≤≤ +≤− 或0326x x x < −+≤−，解2326x x x >−≤− ，得无解；解0226x x x ≤≤ +≤− ，得02x ≤≤，解0326x x x < −+≤−，得20x −≤<，因此22x −≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]− (2)作出不等式组()60f x yx y ≤+−≤表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y x x y =−++= ，解得(2,8)A −，由26y x x y =+ +=, 解得(2,4)C ，又(0,2),(0,6)B D ， 所以ABC 的面积11|||62||2(2)|822ABC C A S BD x x =×−=−×−−= ． 3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第23题)已知函数()|31|2|1|f x x x =+−−．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集． 【答案】(1)详解解析；(2)7,6 −∞−．【解析】(1)因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x+≥=−−<<−−≤−，作出图象，如图所示：(2)将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x −−=+−，解得76x =−． 所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6 −∞−． 【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．4．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数(x)123f x x =+−−． (I )画出(x)y f =的图像； (II )求不等式(x)1f >的解集．【答案】 (I )见解析 (II )()()11353−∞+∞，，，【官方解答】(I )()4133212342x x f x x x x x−−=−−<<− ，≤，，≥ ，()y f x =如图所示：(II )由()f x 得表达式及图像，当()1f x =时，得1x =或3x =当()1f x =−时，得13x =或5x = 故()1f x >的解集为{}13x x <<；()1f x −<的解集为153x x x <>或 ()1f x >∴，解集为()()11353−∞+∞，，，．【民间解答】(I )如上图所示：(II )()4133212342x x f x x x x x−−=−−<<− ，≤，，≥ ()1f x >当1x −≤，41x −>，解得5x >或3x <1x −∴≤ 当312x −<<，321x −>，解得1x >或13x <113x −<<∴或312x <<当32x ≥，41x −>，解得5x >或3x < 332x <∴≤或5x>综上，13x <或13x <<或5x > ()1f x >∴，解集为()()11353−∞+∞，，，．5．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题)【选修4—5：不等式选讲】(10分)设函数()211f x x x =++−．(1)画出()y f x =的图象；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．【答案】【官方解析】(1)()13,212,123,1x x f x x x x x−<−=+−≤<≥()y f x=的图像如图所示(2)由(1)知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．【民间解析】(1)()211f x x x =++−3,112,12132x x x x x x >=+−≤≤ −<−，可作出函数()f x 的图象如下图(2)依题意可知()f x ax b ≤+在[)1,+∞上恒成立，在[)0,1上也恒成立 当1x ≥时，()3f x x ax b =≤+恒成立即()30a x b −+≥在[)1,+∞上恒成立 所以30a −≥，且30a b −+≥，此时3a ≥，3a b +≥当01x ≤<时，()2f x x ax b =+≤+即()120a x b −+−≥恒成立 结合3a ≥，可知20b −≥即2b ≥综上可知32a b ≥ ≥ ，所以当3a =，2b =时，a b +取得最小值5．题型五：不等式证明1．(2017年高考数学江苏文理科·第24题)[选修4-5:不等式选讲]已知为实数,且证明【答案】解析:证明:由柯西不等式得,直线的普通方程为．因为, , 所以, 因此2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第23题)已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明：(1)23a b c ++≤； (2)若2b c =，则113a c+≥． 【答案】(1)见解析 (2)见解析【解析】(1)证明：由柯西不等式有()()()222222221112a b c a b c ++++≥++， 所以23a b c ++≤，当且仅当21a b c ===时，取等号，所以23a b c ++≤； (2)证明：因为2b c =，0a >，0b >，0c >，由(1)得243a b c a c ++=+≤， 即043a c <+≤，所以1143a c ≥+， 由权方和不等式知()22212111293444a c a c a c a c ++=+≥=≥++，当且仅当124a c=，即1a =，12c =时取等号，所以113a c+≥ 3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第23题)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．(1)证明：ab +bc +ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析．解析：(1)2222()2220a b c a b c ab ac bc +++++++ ，,,,a b c d 22224,16,a b c d +=+=8.ac bd +≤l 22222()()()ac bd a b c d +++≤224a b +=2216c d +=2()64ac bd +≤8.ac bd +≤()22212ab bc ca a b c ∴++=−++1,,,abc a b c =∴ 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=−++<； (2)不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<， 1,a b c a bc=−−= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bcbc bc++++∴=⋅==≥=．当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c ．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题．4．(2019·全国Ⅲ·理·第23题)设,,x y z R ∈，且1x y z ++=． (1)求222(1)(1)(1)x y z −++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a −+−+−≥成立，证明：3a −≤或1a −≥． 【答案】(1)43；(2)见详解． 【官方解析】(1)由于2[(1)(1)(1)]x y z −++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =−+++++−++++++−2223(1)(1)(1)x y z −++++ …故由已知得232(1)(1)143()x y z −++++≥，当且仅当511,,333x y z ==−=−时等号成立．所以232(1)(1)(1)x y z −++++的最小值为43． (2)由于2[(2)(1)()]x y z a −+−+−.222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =−+−+−+−−+−−+−−2223(2)(1)()x y z a −+−+− …故由已知得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +−+−+−…，当且仅当4122,,333a a a xy z −−−==时等号成立． 因此222(2)(1)()x y z a −+−+−的最小值为2(2)3a +由题设知2(2)133a +…，解得3a −≤或1a −≥．【解法2】柯西不等式法(1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z −++++++−++++=+++=≥， 故2224(1)(1)(1)3x y z −++++≥，当且仅当511,,333x y z ==−=−时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z −++++的最小值为43． (2)2221(2)(1)()3x y z a −+−+−≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a −+−+−++≥．当且仅当4122,,333a a a xy z −−−==时等号成立． 22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a −+−+−++=−+−+−=+成立．所以2(2)1a +≥成立，所以有3a −≤或1a −≥．【点评】本题两问思路一样，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，属于中档题型．5．(2019·全国Ⅰ·理·第23题)已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明：(1)222111a b c a b c++++≤； (2)333()()()24a b b c c a +++++≥． 【答案】解：(1)因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +++≥≥≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++++==++≥．所以222111a b c a b c++++≤.(2)因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥3(+)(+)(+)a b b c a c =324×××=≥所以333()()()24a b b c c a +++++≥．6．(2014高考数学辽宁理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =−+−，2()1681g x x x =−+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N ． (1)求M ；(2)当x M N ∈ 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤． 【答案】(1)[0，43]；(2)见解析． 解析：(1)由f (x )=2|x ﹣1|+x ﹣1≤1 可得1331x x ≥−≤ ①，或111x x < −≤ ②．解①求得1≤x ≤43，解②求得 0≤x ＜1．综上，原不等式的解集为[0，43]．(2)由g (x )=16x 2﹣8x +1≤4，求得14−≤x ≤34，∴N =[14−，34]，∴M ∩N =[0，34]．∵当x ∈M ∩N 时，f (x )=1﹣x ，x 2f (x )+x [f (x )]2=xf (x )[x +f (x )]=21142x−−≤14，故要证的不等式成立．7．(2014高考数学江苏·第24题)【选修4 - 5：不等式选讲】已知0,0x y >>，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥． 【答案】[选修4—4：不等式证明选讲]． 解析：本小题主要考查本小题满分10分．证法一：因为0,0x y >>，所以210x y ++≥>，故22(1)(1)9x y x y xy ++++≥=．证法二：(柯西不等式)22222(1)(1)(1)(1)(x y x y x y y x y x ++++=++++≥++ 29xy ≥+=．证法三：因为0,0x y >>，所以212x y x y ++≥+，212y x y x ++≥+．故222(1)(1)(2)(2)2()99x y x y x y y x x y xy xy ++++≥++=−+≥． (江苏苏州 褚小光) 证法四：因为0,0x y >>，所以212x y x y ++≥+，212y x y x ++≥+． 故2222(1)(1)(2)(2)225459x y x y x y y x x y xy xy xy xy ++++≥++=++≥+=． 8．(2014高考数学福建理科·第23题)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知定义在R 上的函数21)(+++=x x x f 的最小值为a ． (I )求a 的值；(II )若r q p ,,为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p ． (II22222222111()()(111)()9.p p q r p q r q r ≥×+×+×++++=++即2223q p r ++≥．9．(2015高考数学新课标2理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：(Ⅰ)若ab cd >+>+(Ⅱ>是a b c d −<−的充要条件．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析．解析：(Ⅰ)因为2a b =++，2c d =++a b c d+=+，abcd >，得22>++>(Ⅱ)(ⅰ)若a b c d −<−，则22()()a b c d −<−．即22()4()4a b ab cd cd +−<+−．因为a b c d +=+，所以ab cd >，由(Ⅰ)>．(ⅱ)>22>，即a b ++>c d ++a b c d +=+，所以ab cd >，于是22()()4a b a bab −=+−2()4c dcd <+−2()c d =−．因此a b c d −<−，综上，>是a b c d −<−的充要条件．10．(2015高考数学湖南理科·第18题)设0,0a b >>，且11a b a b+=+．证明: (1)2a b +≥；(2)22a a +<与22b b +<不可能同时成立．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析．分析：(1)将已知条件中的式子可等价变形为1=ab ，再由基本不等式即可得证；(2)利用反证法， 假设假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，可求得10<<a ，10<<b ，从而与1=ab 矛盾，即可得证解析：由ab b a b a b a +=+=+11，0>a ，0>b ，得1=ab ，(1)由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a ；(2)假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 得10<<a ，同理10<<b ，从而1<ab ，这与1=ab 矛盾，故22<+a a 与22<+b b 不可能成立．11．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知，证明：(1)；(2)．【答案】【命题意图】不等式证明，柯西不等式【基本解法】(1)解法一：由柯西不等式得：解法二：330,0,2a b a b >>+=33()()4a b a b ++≥2a b +≤55222222332()()))()4a b a b a b a b ++=+⋅+≥+=5566553325533()()()2a b a b a b ab a b a b ab a b a b ++=+++=+++−33233332()2()4a b a b a b ≥++−=+=解法三： 又，所以．当时，等号成立．所以，，即． (2)解法一：由及得所以．解法二：(反证法)假设，则，两边同时立方得：，即，因为， 所以，即 ，矛盾，所以假设不成立，即．解法三：因为， 所以： ． 又，所以: 。
高中数学不等式选讲，最全的不等式知识总结
不等式不仅会出现在大题的选做题中，还会出现在选择、填空题里，因此，同学们考前务必把这些知识点看一遍！
题型
一、求取值范围
为正数）
取值范围是[12,27].
所以a的取值范围是（﹣∞，2-2√2].
二、解不等式
三、证明题
∴a b＋b c＋c a＞ab＋bc＋ca,证毕。
直接得出（a-b）（a/a-b/b）≥0.
a=b=c时取等号，得k等于四分之一 。
做题方法
1.零点分区间法的一般步骤
（1）令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；
（2）将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；
（3）由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集； （4）取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．
2.利用绝对值的几何意义
3.两函数绝对值型不等式
（1）
（2）
4.绝对值不等式的证明
①利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明；
②利用三角形|进行证明；
③转化为函数问题，数形结合进行证明。
5.绝对值不等式的综合应用
（1）研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．
（2）常用不等式。
不等式选讲
不等式选讲一、线性规划例 变量,x y 满足430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，求下列表达式的最值（1） 设y z x = （2） 2yz x =-（3） 3z x y =- （4） 3z x y =+ （5） 22z x y =+练习：1. 设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2+3x y 的最大值为A ．20B ．35C ．45D ．552. 已知实数,x y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值是-1，求m 的值；3. 若x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是 （ ）A ．（1-，2）B ．（4-，2）C ．(4,0]-D ． (2,4)-二、均值不等式（1）已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y9=1,求x +y 的最小值；（2）已知x ＜45,求函数y =4x -2+541-x 的最大值（3）若x ,y ∈(0,+∞)且2x +8y -xy =0，求x +y 的最小值（4）若-4＜x ＜1,求22222x x y x -+=-的最大值.(5)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.(6)已知正实数,x y ，12x y +=，求213x y x y++-的最小值。
（7）已知x ＞0,y ＞0，且31x y xy +-=-，求x y +的范围。
（8）已知x ＞0,y ＞0，且31x y xy +-=-，求xy 的范围。
（9）(2014·南昌模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．、三、绝对值不等式1.已知函数，，（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含，求的取值范围。
2020年高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练及答案解析
2020年高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 解绝对值不等式例1、设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.(1)解不等式f (x )＞3；(2)若f (x )＞a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(－∞，0)∪(3，＋∞)；（2）(－∞，1).【解析】(1)因为f (x )＝|x －1|＋|x －2|＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,11,＜,23x x x x x所以当x ＜1时，3－2x ＞3，解得x ＜0；当1≤x ≤2时，f (x )＞3无解；当x ＞2时，2x －3＞3，解得x ＞3.所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1.因为f (x )＞a 恒成立，【易错点】如何恰当的去掉绝对值符号【思维点拨】用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.题型二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式例2、(1)若不等式|x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－174，－1＋174. 【解析】(1)∵|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x －2)|＝3，∴a 2＋12a ＋2≤3，解得－1－174≤a ≤－1＋174. 即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－174，－1＋174. 【易错点】绝对值的几何意义和如何把恒成立问题转化为最值问题【思维点拨】解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x 即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f (x )<a 恒成立⇔a >f (x )max ，f (x )>a 恒成立⇔a <f (x )min .题型三 不等式的证明与应用例3、设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ； (2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．【答案】略.【解析】[证明] (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)得a ＋b >c ＋d . ②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |. 综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．【易错点】不等式的恒等变形.【思维点拨】分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．【巩固训练】题型一 解绝对值不等式1.不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________【答案】{x |x ≤－3或x ≥2}.【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5 或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5， 解得x ≥2或x ≤－3.故原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．2.已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围【答案】（1）{x |x ≤1或x ≥4}；（2）[－3,0]．【解析】(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．3.设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a .(1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围.【答案】（1）(－∞，－2]∪[3，＋∞)；（2）a ≥－3.【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3， 所以－a ≤3，即a ≥－3.题型二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式1.已知函数.（1）图中画出的图像；()123f x x x =+--()y f x =（2）求不等式的解集．【答案】（1）见解析（2）. 【解析】⑴如图所示：（2）()()()()+∞⋃⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞->∴><<<><≤∴<>>-≥<<<<-∴<>>-<<--≤∴<>>-≤>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<---≤-=5,1,331,解集为1x f ，5x 或3x 1或31x 综上，5x 或3x 23，3x 或5x 解得14x ，23x 当23x 1或31x 131x 或1x 解得1,23x ，23x 1当1x ，3x 或5x 解得1,4x ，1x 当1,x f 23x x,423x 12,3x 1x 4,x f2.不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________．【答案】(－∞，－3)【解析】解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于P A －PB >k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．解法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2，()1f x >()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ，，，要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．题型三不等式的证明与应用1.已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1；求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c).【答案】略.【解析】证明：因为a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，所以要证原不等式成立，即证[(a＋b＋c)＋a][(a＋b＋c)＋b][(a＋b＋c)＋c]≥8[(a＋b＋c)－a][(a＋b＋c)－b][(a＋b＋c)－c]，也就是证[(a＋b)＋(c＋a)][(a＋b)＋(b＋c)][(c＋a)＋(b＋c)]≥8(b＋c)(c＋a)(a＋b).①因为(a＋b)＋(b＋c)≥2(a＋b)(b＋c)＞0，(b＋c)＋(c＋a)≥2(b＋c)(c＋a)＞0，(c＋a)＋(a＋b)≥2(c＋a)(a＋b)＞0，三式相乘得①式成立，故原不等式得证.2.设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．【答案】略.【解析】证明(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(a＋b)2＞(c＋d)2.因此a＋b＞c＋d.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得a＋b＞c＋d.②若a＋b＞c＋d，则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a －b |＜|c －d |. 综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．3.设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 【答案】略.【解析】(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.。
不等式选讲高考常考题型汇总(详解答案)
,1
上恒成立,
x 2 max a x 2 min ,
1 a 5 , 2
a
的取值范围为
1,
5 2
.
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解,以及绝对值三角不等式的应用,其中解答中熟 记含绝对值不等式的解法,以及合理应用绝对值的三角不等式求解最值是解答的关键,着重 考查了推理与运算能力,属于中档题.
2
8．已知函数 f (x) x2 1, g(x) | x a | | 2x 1|, a R .
（1）当 a 1 时，解不等式 g(x2 ) 7 ；
2
2
（2）对任意 x1, x2 R ，若不等式 f (x1) ≥ g(x2 ) 恒成立，求实数 a 的取值范围.
试卷第 2页，总 6页
9．选修 4-5：不等式选讲
故 a 的取值范围为 (,5] [7, )
【点睛】本题考查含有绝对值的不等式的解法，绝对值的三角不等式，恒成立问题，考查了 计算化简，分析求值的能力，属中档题. 7．【详解】
（2）当 m 1时，函数 g(x) f (x) | x m | 的图象与 x 轴围成一个三角形，求实数 m 的取值范围.
21．设函数 f x 2x 4 1． （1）画出函数 y f x 的图象； （2）若不等式 f x ax 的解集非空，求 a 的取值范围．
试卷第 6页，总 6页
参考答案
试卷第 5页，总 6页
19．已知函数 f (x) | 3x 1| 2 | x 1| ．
（1）画出 y f (x) 的图像；
（2）求不等式 f (x) f (x 1) 的解集．
20．[选修 4-5：不等式选讲]
已知函数 f x 2x 2 5 . （1）解不等式： f x | x 1| ；
不等式知识点及题型总结
不等式一、知识点：1. 实数的性质：0>-⇔>b a b a ；0<-⇔<b a b a ；0=-⇔=b a b a ．2. 不等式的性质：3. 常用基本不等式：4.利用重要不等式求最值的两个命题：命题1：已知a ，b 都是正数，若ab 是实值P ，则当a=b=时，和a ＋b 有最小值2.命题2：已知a ，b 都是正数，若a ＋b 是实值S ，则当a=b=2s时，积ab 有最大值42s .注意：运用重要不等式求值时，要注意三个条件：一“正”二“定”三“等”，即各项均为正数，和或积为定值，取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可.5.一元二次不等式的解法：设a>0,x 1x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个实根，且x 1≤x 2，则有结论：ax 2+bx+c>0⇔20040a ab ac >⎧=⎨-<⎩或检验；ax 2+bx+c<0⇔2040a ab ac <⎧=⎨-<⎩或检验 6. 绝对值不等式（1）｜x ｜＜a （a ＞0）的解集为：{x ｜－a ＜x ＜a}； ｜x ｜＞a （a ＞0）的解集为：{x ｜x ＞a 或x ＜－a}。
（2）|b ||a ||b a |||b ||a ||+≤±≤-7. 不等式证明方法：基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法 辅助方法：换元法（三角换元、均值换元等）、放缩法、构造法、判别式法特别提醒：不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，最常用的思路是用分析法探求证明途径，再用综合法加以叙述。
我们在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。
例：解下列不等式：(1) 27120x x -+>； (2) 2230x x --+≥；(3)2210x x -+<；(4)2220x x -+<．解：(1)方程27120x x -+=的解为123,4x x ==．根据2712y x x =-+的图象，可得原不等式27120x x -+>的解集是{|34}x x x <>或．(2)不等式两边同乘以1-，原不等式可化为2230x x +-≤．方程2230x x +-=的解为123,1x x =-=．根据223y x x =+-的图象，可得原不等式2230x x --+≥的解集是{|31}x x -≤≤．(3)方程2210x x -+=有两个相同的解121x x ==．根据221y x x =-+的图象，可得原不等式2210x x -+<的解集为∅．(4)因为0∆<，所以方程2220x x -+=无实数解，根据222y x x =-+的图象，可得原不等式2220x x -+<的解集为∅．练习1. （1）解不等式073<+-x x ；（若改为307x x -≤+呢？） （2）解不等式2317x x -<+；解:(1)原不等式⎩⎨⎧>-<+⎩⎨⎧<->+⇔03,0703,07x x x x 或{|73}x x ∴-<<(该题后的答案:{|73}x x -<≤).(2)1007x x -<+即{|710}x x ∴-<<.8、最值定理设x 、y 都为正数，则有⑴ 若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ．⑵ 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值 即：“积定，和有最小值；和定，积有最大值” 注意：一正、二定、三相等几种常见解不等式的解法 重难点归纳解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法(2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论典型题例示范讲解例1：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．不等式左右两边都是含有x 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解．例：解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或 解下列分式不等式：例：（1）22123+-≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x （1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
《选修4-5--不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案)
选修4－5不等式选讲最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a ＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．ab≤0且|a ab≥0且|a定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a1、a2、…、a n为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若a i，b i(i∈N*)为实数，则()()≥(i b i)2，当且仅当b i＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．1(1)(2)(3)|(4)(5)[2AC[[答案] A3．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是() A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小[解析]|a＋b|＋|a－b|≤|2a|<2.[答案] B4．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为()A．1 B．C. D．2[∴([5[为－2≤a[解|(1)(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．(1)(2015·山东卷)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是()A．(－∞，4) B．(－∞，1)C．(1,4) D．(1,5)(2)(2014·湖南卷)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a＝________.[解题指导]切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论．[解析](1)当x<1时，不等式可化为－(x－1)＋(x－5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等当当(2)当当当[对点训练已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．[解](1)当a＝－3时，f(x)＝当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2<x<3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．(2)f(x)≤|x－4|?|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当?4右|x 1.是(2)[[解析](1)∵|x－1|＋|x＋2|≥|(x－1)－(x－2)|＝3，∴a2＋a＋2≤3，解得≤a≤.即实数a的取值范围是.(2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于P A－PB>k恒成立．∵AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.故当k<－3时，原不等式恒成立．解法二：令y＝|x＋1|－|x－2|，则y＝要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．[答案](1)(2)(－∞，－3)解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立?a>f(x)max，f(x)>a恒成立?a<f(x)min.(1)(2)[解－a?a－3≤x≤3.故(2)f不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径．应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则＋>＋；(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．[解题指导]切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形．[证明](1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(＋)2>(＋)2.因此＋>＋.(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.由a＋(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.[证明](1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.———————方法规律总结————————[12条件．3．[121[解析]|2x－1|<3?－3<2x－1<3?－1<x<2.[答案](－1,2)2．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝__________.[解析]∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.[答案] 23．不等式|2x＋1|＋|x－1|<2的解集为________．[解析]当x≤－时，原不等式等价为－(2x＋1)－(x－1)<2，即－3x<2，x>－，此时－<x≤－.当－<x<1时，原不等式等价为(2x＋1)－(x－1)<2，即x<0，此时－<x<0.当x≥1时，原不等式等价为(2x ＋1)＋(x－1)<2，即3x<2，x<，此时不等式无解，综上，原不等式的解为－<x<0，即原不等式的解集为.[答案]4[[5．[故[6．[3a－1＋2a＝[7．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是__________．[解析]∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝∴f(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，∴|a|≥3，即a≤－3或a≥3.[答案](－∞，－3]∪[3，＋∞)8．已知关于x的不等式|x－a|＋1－x>0的解集为R，则实数a的取值范围是__________．[解析]若x－1<0，则a∈R；若x－1≥0，则(x－a)2>(x－1)2对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，即(a－1)[(a＋1)－2x]>0对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，所以(舍去)或对任意的x∈[1，＋∞]恒成立，解得a<1.综上，a<1.[答案](－∞，1)9．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为__________．[＝≥2[10．[即∴[11[解析]∵|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|＝(|1－x|＋|x|)＋(|1－y|＋|1＋y|)≥|(1－x)＋x|＋|(1－y)＋(1＋y)|＝1＋2＝3，当且仅当(1－x)·x≥0，(1－y)·(1＋y)≥0，即0≤x≤1，－1≤y≤1时等号成立，∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.[答案] 312．若不等式|x＋1|－|x－4|≥a＋，对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．[解析]只要函数f(x)＝|x＋1|－|x－4|的最小值不小于a＋即可．由于||x＋1|－|x－4||≤|(x＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x＋1|－|x－4|≤5，故只要－5≥a＋即可．当a>0时，将不等式－5≥a＋整理，得a2＋5a＋4≤0，无解；当a<0时，将不等式－5≥a＋整理，得a2＋5a＋4≥0，则有a≤－4或－1≤a<0.综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．[13(1)(2)[解若若若(2)f(x)作出函数f(x)的图象，如图所示．由图象可知，f(x)≥1，∴2a>1，a>，即a的取值范围为.14．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．[解](1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得<x<1；当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.(2)a＋1,0)，C(a，a15(1)(2)[解f(x).(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件；若a<1，f(x)＝f(x)的最小值为1－a；若a>1，f(x)＝f(x)的最小值为a－1.∴对于?x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，∴a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．16．(2015·福建卷)已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.(1)(2)[解又(2)(42＝即a当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立．故a2＋b2＋c2的最小值为.。
不等式选讲内容题型大全不看后悔
没有等式选道真量题型大齐没有瞅悔恨之阳早格格创做一．简朴的来千万于值情形1．没有等式：32-x ≤1的解集是_______ ___．2.没有等式：1-x ≥3的解集是_______ _ _．3.解没有等式：312>-+x x 的解集是_______ _ _．4．（2008·山东下考题）若没有等式4|3|<-b x 的解集结的整数有且仅有1、2、3，则b 的与值范畴为.5．设集中{}1,A x x a x =-<∈R ，{}2,B x x b x =->∈R ．若A B ⊆，则真数,a b 必谦脚（ ）．Ａ．3a b +≤ Ｂ．3a b +≥ Ｃ．3a b -≤Ｄ．3a b -≥ 6. 没有等式：123-<+x x 的解集是_______ _ _．7．（2007广东，14）（没有等式选道选干题） 设函数)2(,3|12|)(-++-=f x x x f 则=；若5)(≤x f ，则x 的与值范畴是.8.(2011年下考江苏卷21)选建4-5：没有等式选道（原小题谦分10分）解没有等式：|21|3x x +-<9. (2011年下考世界新课标卷理科24)（原小题谦分10分） 选建4-5没有等选道设函数0,3)(>+-=a x a x x f （1）当1=a 时，供没有等式23)(+≥x x f 的解集；(2)如果没有等式0)(≤x f 的解集为{}1-≤x x ，供a 的值.二．只波及二个千万于值，没有再有其余项时，用仄要领来千万于值例：1. 没有等式130x x +--≥的解集是______. 2.（2011年下考广东卷理科9)没有等式130x x +--≥的解集是______.3. （2009广东14)没有等式1|2||1|≥++x x 的真数解为.|32||2|x x a +≥+对付x R ∈恒创造，则真数a 的与值范畴为______.5.(2009山东卷理)没有等式0212<---x x 的解集为. .6.【2012下考真题湖北理10】没有等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.三．波及二个且另有一常数时，用分段计划法来千万于值1.没有等式：|||1|3x x +->的解集是_______ _ _．2．没有等式的解集为. 3. 没有等式|21|2|432|+-≥-x x 的解集是_______ __．4．对付于x R ∈，没有等式1028x x +--≥的解集为_-_______5．（2009祸建选考21（3））解没有等式∣2x-1∣<∣x ∣+16.【2012下考真题广东理9】没有等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____．7. (2011年下考山东卷理科4)没有等式|5||3|10x x -++≥的解集为（A ）[-5.7] （B ）[-4,6]（C ）(,5][7,)-∞-⋃+∞ （D ）(,4][6,)-∞-⋃+∞8.【2012下考真题江西理16】（没有等式选干题）正在真数范畴内，没有等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为___________.9. (2011年下考天津卷理科13) 已知集中{}1|349,|4,(0,)A x R x x B x R x t t t ⎧⎫=∈++-≤=∈=+∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集中A B ⋂=________.10．（2008广东，14）（没有等式选道选干题）已知R ∈a ，若闭于x 的圆程0|||41|2=+-++a a x x 有真根，则a 的与值范畴是.11.【2012下考真题新课标理24】（原小题谦分10分）选建45-：没有等式选道 已知函数()2f x x a x =++-（1）当3a =-时，供没有等式()3f x ≥的解集；（2）若()4f x x ≤-的解集包罗[1,2]，供a 的与值范畴.12．(2011年下考辽宁卷理科24)（原小题谦分10分）选建4-5：没有等式选道已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|.（I ）说明：-3≤f （x ）≤3；（II ）供没有等式f （x ）≥x 2-8x+15的解集.四：利用数轴法供解 1.31-+-=x x y 的最小值为 2.21++-=x x y 的最小值为3.【2012下考真题陕西理15】A.（没有等式选干题）若存留真数x 使|||1|3x a x -+-≤创造，则真数a 的与值范畴是. 24≥++-a x x 对付所有的x 皆恒创造，则a 的与值范畴是5．（2009辽宁选做24）设函数.|||1|)(a x x x f -+-=（I ）若3)(,1≥-=x f a 解不等式；（II ）如果a x f x 求,2)(,≥∈∀R 的与值范畴.五．波及千万于值没有等式的恒创造问题，要领：分段来千万于值1．（2007海北、宁夏，22C ，10分）（选建4 –5：没有等式选道）设函数.|4||12|)(--+=x x x f（1）解没有等式2)(>x f ；（2）供函数)(x f y =的最小值 a x x >-+-34对付一确真数x 恒创造，供真数a 的与值范畴_____（问：1a <）；3. 没有等式a x x <---34对付一确真数x 恒创造，供真数a 的与值范畴_____4．（2010年下考祸建卷理科21）（原小题谦分7分）选建4-5：没有等式选道已知函数.（Ⅰ）若没有等式的解集为，供真数的值；（Ⅱ）正在（Ⅰ）的条件下，若对付一确真数x 恒创造，供真数m 的与值范畴. 5.（2009沉庆卷理）没有等式2313x x a a +--≤-对付任性真数x 恒创造，则真数a 的与值范畴为（ ）A ．(,1][4,)-∞-+∞B ．(,2][5,)-∞-+∞. C ．[1,2] D ．(,1][2,)-∞+∞ a x x <-+-34有真数解，则真数a 的与值范畴_____7．(2011年下考陕西卷理科15)（没有等式选干题）若闭于x 的没有等式12a x x ≥++-存留真数解，则真数a 的与值范畴是8. 若闭于x 的没有等式34---<x x a 存留真数解，则真数a 的与值范畴为_____9.【2012下考真题辽宁理24】(原小题谦分10分)选建4-5：没有等式选道已知()|1|()f x ax a R =+∈，没有等式3)(≤x f 的解集为}12{≤≤-x x . (Ⅰ)供a 的值；(Ⅱ)若k x f x f ≤-)2(2)(恒创造，供k 的与值范畴. 六：本量：y x y x +≤-，y x y x +≤+使用1. 对付于真数x ，y ，若12≤+x ，21≤-y ，则1++y x 的最大值为. 2. 对付于真数x ，y ，若12≤+x ，21≤-y ，则32++y x 的最大值为.3.已知真数x ，y 谦脚1≤+y x ，323≤-y x ，则y x -2的最大值为.4.已知真数x ，y 谦脚12≤+-y x ，323≤-y x ，则45+x 的最大值为.5. 对付于真数x ，y ，若12≤+-y x ，323≤-y x ，则45+x 的最大值为.6. 对付于真数x ，y ，若12≤+x ，21≤-y ，则3+-y x 的最大值为.7. (2010年下考祸建卷理科)对付于真数x ，y ，若11≤-x ，12≤-y ，则12+-y x 的最大值为.8.【2012下考江苏24】[选建4 - 5：没有等式选道] （10分）已知真数x ，y 谦脚：11|||2|36x y x y +<-<，，供证：5||18y <．2. 比较法解没有等式1．(2011年下考祸建卷理科21)（原小题谦分7分）选建4-5：没有等式选道1-x2＜的解集为M．设没有等式1（I）供集中M；（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．2．（2010年下考江苏卷试题21）选建4-5：没有等式选道（原小题谦分10分）设a、b利害背真数，供证：.1.【2012下考真题祸建理23】（原小题谦分7分）选建4-5：没有等式选道已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1,1].（Ⅰ）供m的值；（Ⅱ）若a，b，c∈R，且2．（2008江苏，21D，10分）（选建4–5：没有等式选道）设c b a,,为正真数，供证：3．（2010年下考辽宁卷理科24）（原小题谦分10分）选建4-5：没有等式选道已知均为正数，说明：，并决定为何值时，等号创造.。
高中数学题型全面归纳 不等式选讲
第三节 不等式选讲(选修4-5)考纲解读1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式.命题趋势探究本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档. 知识点精讲一、不等式的性质1.同向合成（1）,a b b c a c >>⇒>；（2）,c a b d a c b d >>⇒+>+；（3）0,c 0a b d ac bd >>>>⇒>.（合成后为必要条件）2.同解变形（1）a b a c b c >⇔+>+；（2）0,0,a b c ac bc c ac bc >⇔>>⇔<<；（3）11000a b b a>>⇔>>⇔>>. （变形后为充要条件）3.作差比较法0,0a b a b a b a b >⇔>-><⇔-<二、含绝对值的不等式（1）0,||a x a a x a ><⇔>-<<；0,||,a x a x a x a >>⇔>><-或（2）22||||a b a b >⇔>（3）||||x a x b c +++<零点分段讨论 三、基本不等式（1）222a b ab +>（当且仅当等号成立条件为a b =）（2）0,0,2a b a b +>>≥a b =）；0,0,0,3a b c a b c ++>>>≥（当且仅当a b c ==时等号成立） （3）柯西不等式 22222()()()a b c d ac bd ++≥+（当且仅当ad bc =时取等号）①几何意义：||ad bc ⋅⇔+≤a b a b ||||||≤②推广：222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++.当且仅当向量12(,,,)n a a a a =与向量12(,,,)n b b b b =共线时等号成立.四、不等式的证明（1）作差比较法、作商比较法.（2）综合法——由因到果.（3）分析法——执果索因.（4）数学归纳法.（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式.（6）反证法.（7）放缩法.题型归纳即思路提示题型201 含绝对值的不等式一、解含绝对值的不等式思路提示对于含绝对值的不等式问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去掉绝对值.常用的去绝对值方法是零点分段法.特别用于多个绝对值的和或差不等式问题.若单个绝对值的不等式常用以下结论：|()|()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<；|()|()()()()()f x g x f x g x f x g x >⇔><-或；22|()||()|()()(()())(()())0f x g x f x g x f x g x f x g x >⇔>⇔+->.有时去绝对值也可根据22||x x =来去绝对值.例16.14 (2015·山东)解不等式|x －1|－|x －5|<2的解集．变式1 不等式|5||3|10x x -++≥的解集是（ ）A. [5,7]-B. [4,6]-C. (,5][7,)-∞-+∞D. (,4][6,)-∞-+∞变式2 已知函数()|2||5|f x x x =---.（1）证明：3()3f x -≤≤；（2）求不等式2()815f x x x ≥-+的解集二、含绝对值不等式恒成立，求参数问题例16.15 若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________.变式1 不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥|a －2|＋sin y 对一切非零实数x ，y 均成立，求实数a 的取值范围.变式2 若不等式|kx －4|≤2的解集为{x|1≤x ≤3}，则实数k ＝________.变式3 (2017·石家庄调研)设函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|，x∈R.(1)解不等式f(x)<－1；(2)设函数g(x)＝|x＋a|－4，且g(x)≤f(x)在x∈[－2,2]上恒成立，求实数a的取值范围．三、含绝对值（方程）不等式有解，求参数问题例16.16 (2016·深圳模拟)若关于x的不等式|2 014－x|＋|2 015－x|≤d有解，求d的取值范围．变式2 已知a∈R，关于x的方程21||||04x x a a++-+=有实根，求a的取值范围.四、已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围例16.17 (全国卷 I卷（理））已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.变式1 设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >.(1) 当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；(2)若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-，求a 的值.变式2 (2017·开封模拟)设函数f(x)＝|x －a|，a<0.(1)证明：f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ≥2； (2)若不等式f(x)＋f(2x)<12的解集非空，求a 的取值范围．变式3 (2012山东理13) 若不等式|4|2kx -≤的解集为{}|13x x ≤≤，则实数k = .题型202 不等式的证明一、比较法（差值法和比值法）思路提示将待比较的两个代数式通过作差或作商，与0与1进行比较，得到大小关系. 例16.18 (2014·常州期末)已知x ≥1，y ≥1，求证：x 2y+xy 2+1≤x 2y 2+x+y.变式1 (2015·徐州、连云港、宿迁三检)已知a ，b ，c 都是正数，求证：222222a b b c c a a b c ++++≥abc.二、利用函数的单调性证明思路提示使用对象：在某区间成立的函数不等式、数值不等式的证明通常是通过辅助函数完成的.解题程序：（1）移项（有时需要作简单的恒等变形），使不等式一端为0，另一端为所作辅助函数()f x .（2）求()f x 并验证()f x 在指定区间上的单调性.（3）求出区间端点的函数值（或极限值），其中至少有一个为0或已知符号，作比较即得所证.例16.19 已知01x <<，求证：31sin 6x x x -<.变式1 证明：当02x π<<时，2sin xx x π<<.三、综合法与分析法思路提示字母12,,,,,n A A A A B 分别表示一组不等式，其中B 为已知不等式，A 为待证不等式.若有12n A A A A B ⇐⇐⇐⇐⇐，综合法是由B 前进式地推导A ，分析法是由A 倒退式地分析到B .用分析法时，必须步步可逆.例16.20 已知a，b，c>0且互不相等，abc＝1.试证明：a＋b＋c＜1a＋1b＋1c.变式1 已知a，b，c，d均为正数，且ad＝bc.(1)证明：若a＋d>b＋c，则|a－d|>|b－c|；(2)t·a2＋b2c2＋d2＝a4＋c4＋b4＋d4，求实数t的取值范围．.16.21(2017·沈阳模拟)设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：(1)a＋b＋c≥3；(2)abc＋bac＋cab≥3(a＋b＋c)．c2＋a22＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．所以原不等式成立．(2)abc＋bac＋cab＝a＋b＋cabc.变式1 已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a.四、反证法 思路提示从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的.它的依据是原命题与逆否命题同真假.例16.22 设二次函数f (x )=x 2+px+q ，求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.变式1 已知,,a b ∈R ，332a b +=,求证：2a b +≤.五、放缩法 思路提示预证A B ≥，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得112,,,K B B B B B A ≤≤≤或112,,,K A A A A A B ≥≥≥，再利用传递性，达到证明目的，常见的放缩途径有“添舍”放缩、“分母”放缩和“单调”放缩.例16.23 (2015·安徽卷)设n ∈N *，x n 是曲线y=x 2n+2+1在点(1，2)处的切线与x 轴交点的横坐标.(1) 求数列{x n }的通项公式； (2) 记T n =2213x x ·…·22-1n x ，求证：T n ≥14n .变式1 证明：1(1)(2,)n n n n n n -*>+≥∈N .变式2 若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.例16.24 求证：12(,,,)b c d aa b c d a b c b c d c d a d a b+<+++<∈++++++++R .例16.25 设,,,a b c m +∈R ，且满足m m ma b c =+，问m 取何值时，以,,a b c 为边可构成三角形，并判断该三角形的形状.六、三角换元法 思路提示若221x y +=，2212y x +=等为已知条件，求证不等式时，利用三角换元法较容易，但是务必注意换元前后参数的范围变化.例16.26 （2017江苏卷） 已知a ,b ,c ,d 为实数，且a 2+b 2=4,c 2+d 2=16,证明ac +bd ≤8.变式1 设,x y ∈R ，221x y +=，求证：5||3412x y +≤. 七、构造法 思路提示一般说来，用构造法证明不等式，常见的构造方法如下： （1）构造辅助函数. （2）构造辅助数列. （3）构造几何图形.例16.27 设,x y ∈R ，0b ≠，若10a b <<，求证：211b b a -<+..例16.28 已知,,a b c 为三角形的三边长，求证：111a b ca b c<++++.变式1 证明：||||||1||1||1||a b a b a b a b +<+++++.变式2 已知0x >且1x ≠，0m n >>，求证：11mnm nx x x x +>+.例16.29 证明：当1x >-且0x ≠时，有(1)1(N )nx nx n *+≥+∈.例16.30 设,,a b c +∈R)a b c ≥++.变式1 设,x y +∈R≥八、利用柯西不等式证明不等式 思路提示柯西不等式不仅具有优美的代数表现形式及向量表现形式，而且有明显的几何意义，它与基本不等式具有密切的关系，其作用类似于基本不等式可用来求最大（小）值或证明不等式，不过它的特点更明显应用更直接. 1.二维形式的柯西不等式设1212,,,x x y y ∈R ，2222211221212()()()x y x y x x y y ++≥+.等号成立1221x y x y ⇔=.2.一般形式的柯西不等式 设12,,,n a a a 及12,,,n b b b 为任意实数，则21122()n n a b a b a b +++≤2222221212()()n n a a a b b b ++++++，当且仅当1212nna a ab b b ===（规定0i a =时0i b =，1,2,,i n =）时等号成立.证法一：当i a 全为0时，命题显然成立. 否则210nii a=>∑，考查关于x 的二次函数21()()ni i i f x a x b ==-∑，显然()0f x ≥恒成立.注意到222111()()2()nn n ii i ii i i f x ax a b x b ====-+∑∑∑，而()0f x ≥恒成立，且210ni i a =>∑，故()f x 的判别式不大于零，即2221114()40nn ni i i i i i i a b a b ===∆=-⋅≤∑∑∑，整理后得222111()nnniii i i i i a b a b ===⋅≥∑∑∑.证法二：向量的内积证法. 令12(,,,)n a a a =a ，12(,,,)n b b b =b ，θ为a 与b 的夹角.因为|cos ⋅=a b a ||b |a,b ，且|cos |1≤a,b ，所以|cos ||⋅=≤|a b |a ||b ||a,b a ||b |222|⇒⋅≤|a b |a ||b |，即21122()n n a b a b a b +++≤2222221212()()n n a a a b b b ++++++，等号成立0θ⇔=︒或180︒⇔a,b 平行1212nna a ab b b ⇔===. 柯西不等式提示了任意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系，应用它可以简单地证明许多复杂的不等式，下面举例说明. 例16.31 已知x ，y ，z 均为实数．(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x2＋y2＋z2的最小值．变式1 已知大于1的正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝3 3.求证：x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥32.变式2 已知0,0,0a b c >>>，22cos sin a b c θθ+<.22θθ<例16.32 设实数,,a b c 满足2223232a b c ++=，求证：39271a b c---++≥.变式1 已知n *∈N ,且2n ≥，求证：11111117234212n n <-+-++-<-.变式2 已知正实数,,a b c 满足1abc =，求证：3331113()()()2a b c b c a c a b ++≥+++.最有效训练题61(限时45分钟)1.不等式|21|23x x -<-的解集是（ ）A. 1|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ B. 13|25x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C. 3|5x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ D. 3|5x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ 2.设,,(,0)a b c ∈-∞，则111,,a b c b c a+++（ ） A. 都不大于2- B. 都不小于2- C. 至少有一个不大于2- D. 至少有一个不小于2-3.若P =0)Q a =+≥，则,P Q 的大小关系是（ ）A. P Q >B. P Q =C. P Q <D. 由a 的取值决定 4.用数学归纳法证明某不等式，左边111111234212n n=-+-++--，“从n k =到1n k =+”应将左边加上（ ）A. 11k +B. 112124k k -++C. 122k -+D. 112122k k -++5. ()f x = ）A. 5 6.若正数,a b 满足3ab a b =++，则①ab 的取值范围是 ；②a b +的取值范围是 .7.在实数范围内，不等式|21||21|6x x -++≤的解集为 .8.若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 .9.已知0,0,0a b c >>>,a b c +>.求证：111a b c a b c +>+++. 10.已知函数()|||2|f x x a x =++-.(1) 当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；(2)若()|x 4|f x ≤-的解集包含[]1,2，求a 的取值范围.11. 已知函数()|2|,f x m x m =--∈R ，且(2)0f x +≥的解集为[1,1]-. ①求m 的值；②若,,a b c +∈R ，且11123m a b c ++=，求证：239a b c ++≥.12.已知函数3()(1)1x f x x x +=≠-+.设数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=，数列{}n b 满足|n n b a =，12n n S b b b =+++ ()n *∈N .（1）用数学归纳法证明：n b ≤（2）证明：3n S <.。
选修4-5 不等式选讲 第一节 绝对值不等式
第一节绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集(2)|ax＋①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类计论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．1．不等式|x －2|＞x －2的解集是________． 解析：原不等式同解于x －2＜0，即x ＜2. 答案：x ＜22．已知|x －a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}，则实数a 等于________． 解析：由|x －a |＜b 得a －b ＜x ＜a ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a ＋b ＝4，解得a ＝3，b ＝1.答案：33．若不等式|8x ＋9|＜7和不等式ax 2＋bx ＞2的解集相等，则实数a 、b 的值分别为________．解析：据题意可得|8x ＋9|＜7⇒－2＜x ＜－14，故由{x |－2＜x ＜－14}是二次不等式的解集可知x 1＝－2，x 2＝－14是一元二次方程ax 2＋bx －2＝0的两根，根据根与系数关系可知x 1x 2＝－2a ＝12⇒a ＝－4，x 1＋x 2＝－b a ＝－94⇒b ＝－9.答案：a ＝－4，b ＝－94．不等式|2x －1|＜3的解集为________． 解析：原不等式可化为－3＜2x －1＜3， 解得－1＜x ＜2.故所求解集为{x |－1＜x ＜2}． 答案：{x |－1＜x ＜2}5．(2011年陕西)若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是______________.解析：令y ＝|x ＋1|＋|x －2|，由题意知应|a |≥y min ，而y ＝|x ＋1|＋|x －2|≥|x ＋1－x ＋2|＝3，∴a ≥3或a ≤－3.答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)例1 解不等式|x －1|＋|x ＋2|<5.【解析】 法一：分别求|x －1|，|x ＋2|的零点，即1，－2. 由－2,1把数轴分成三部分：x ＜－2，－2≤x ≤1，x ＞1. 当x ＜－2时，原不等式即1－x －2－x ＜5， 解得－3＜x ＜－2；当－2≤x ≤1时，原不等式即1－x ＋2＋x ＜5， 因为3＜5，恒成立，即－2≤x ≤1； 当x ＞1时，原不等式即x －1＋2＋x ＜5， 解得1＜x ＜2.综上，原不等式的解集为{x |－3＜x ＜2}．法二：不等式|x －1|＋|x ＋2|＜5的几何意义为数轴上到－2,1两个点的距离之和小于5的点组成的集合，而－2，1两个端点之间的距离为3，由于分布在－2,1以外的点到－2，1的距离在－2,1外部的距离要计算两次，而在－2,1内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2左边到－2的距离等于5－32＝1的点－3，以及1右边到1的距离等于5－32＝1的点2，这样就得到原不等式的解集为{x |－3＜x ＜2}．【点评】 含绝对值的不等式的解法应想法去掉绝对值符号，转化为不含绝对值的方法求解．其方法有：(1)利用公式或平方法转化；(2)利用绝对值的定义转化；(3)利用数形结合思想转化；(4)利用“零点分段法”等．1．(2011年课标全国)设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解析：(1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2 可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0. 此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.例2 已知函数f (x )＝1＋x 2，设a ，b ∈R ，且a ≠b ， 求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.【证明】 证法一：|f (a )－f (b )|<|a －b | ⇔|1＋a 2－1＋b 2|<|a －b |⇔(1＋a 2－1＋b 2)2<(a －b )2⇔2＋a 2＋b 2－2(1＋a 2)(1＋b 2)<a 2＋b 2－2ab⇔1＋ab <(1＋a 2)(1＋b 2).①当ab ≤－1时，式①显然成立；当ab >－1时，式①⇔(1＋ab )2<(1＋a 2)(1＋b 2) ⇐2ab <a 2＋b 2.②∵a ≠b ，∴②式成立，故原不等式成立． 证法二：当a ＝－b 时，原不等式显然成立； 当a ≠－b 时，∵|1＋a 2－1＋b 2| ＝|(1＋a 2)－(1＋b 2)|1＋a 2＋1＋b 2<|a 2－b 2||a |＋|b |≤|(a ＋b )(a －b )||a ＋b |＝|a －b |，∴原不等式成立．证法三：设x ＝(1，a )，y ＝(1，b )，则|x |＝1＋a 2，|y |＝1＋b 2，x －y ＝(0，a －b )，|x －y |＝|a －b |，而||x |－|y ||≤|x －y |，∴|1＋a 2－1＋b 2|≤|a －b |，又a ≠b ， 即|f (a )－f (b )|<|a －b |.证法四：设y ＝1＋x 2(x ∈R )，则y ＝1＋x 2表示双曲线y 2－x 2＝1上支的部分．其渐近线为y ＝±x ，设A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))为曲线y ＝1＋x 2上两不同的点．则|k AB |<1，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (b )－f (a )b －a <1.∴|f (a )－f (b )|<|a －b |.【点评】 (1)证法一用的是分析法；(2)证法二是综合法，其证明中用到的技巧有：①分子有理化，②不等式|a |＋|b |≥|a ＋b |，③放缩法；(3)证法三用的是构造向量，利用向量不等式；(4)证法四是数形结合思想．2．(2010年广东卷)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是平面直角坐标系xOy 上的两点，现定义由点A 到点B 的一种折线距离ρ(A ，B )为ρ(A ，B )＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|.对于平面xOy 上给定的不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)若点C (x ，y )是平面xOy 上的点，试证明：ρ(A ，C )＋ρ(C ，B )≥ρ(A ，B )； (2)在平面xOy 上是否存在点C (x ，y )，同时满足 ①ρ(A ，C )＋ρ(C ，B )＝ρ(A ，B )；②ρ(A ，C )＝ρ(C ，B )． 若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明． 解析：证明：∵ρ(A ，C )＝|x －x 1|＋|y －y 1|， ρ(C ，B )＝|x 2－x |＋|y 2－y |. ρ(A ，B )＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|，∴ρ(A ，C )＋ρ(C ，B )＝|x －x 1|＋|y －y 1|＋|x 2－x |＋|y 2－y | ＝(|x －x 1|＋|x 2－x |)＋(|y －y 1|＋|y 2－y |) ≥|(x －x 1)＋(x 2－x )|＋|(y －y 1)＋(y 2－y )| ＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|＝ρ(A ，B )．(2)注意到点A (x 1，y 1)与点B (x 2，y 2)不同，下面分三种情形讨论． ①若x 1＝x 2，则y 1≠y 2，由条件②得 |x －x 1|＋|y －y 1|＝|x 2－x |＋|y 2－y |， 即|y －y 1|＝|y －y 2|，∴y ＝y 1＋y 22.由条件①得|x －x 1|＋|y －y 1|＋|x 2－x |＋|y 2－y |＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|.∴2|x －x 1|＋12|y 2－y 1|＋12|y 2－y 1|＝|y 2－y 1|，∴|x －x 1|＝0， ∵x ＝x 1.因此，所求的点C 为(x 1，y 1＋y 22)②若y 1＝y 2，则x 1≠x 2，类似于①， 可得符合条件的点C 为(x 1＋x 22，y 1)．③当x 1≠x 2，且y 1≠y 2时，不妨设x 1<x 2.(ⅰ)若y 1<y 2，则由(1)中的证明知，要使条件①成立，当且仅当(x －x 1)(x 2－x )≥0与(y －y 1)(y 2－y )≥0同时成立，故x 1≤x ≤x 2且y 1≤y ≤y 2.从而由条件②，得x ＋y ＝12(x 1＋x 2＋y 1＋y 2)．此时所求点C 的全体为M ＝⎩⎨⎧(x ，y )|x ＋y ＝12(x 1＋x 2＋y 1＋y 2)，x 1≤x ≤x 2}且y 1≤y ≤y 2.(ⅱ)若y 1>y 2，类似地由条件①可得x 1≤x ≤x 2且y 2≤y ≤y 1，从而由条件②得x －y ＝12(x 1＋x 2－y 1－y 2)．此时所求点的全体为N ＝⎩⎨⎧(x ，y )|x －y ＝12(x 1＋x 2－y 1－y 2)，x 1≤x ≤x 2}且y 2≤y ≤y 1.例3 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)设a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．【解析】 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3. ①x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3， 即－2x ≥3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1f (x )≥3，的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32. ②当－1＜x ≤1时，不等式化为 1－x ＋x ＋1≥3，不可能成立．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ≤1，f (x )≥3的解集为∅.③当x ＞1时，不等式化为 x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，f (x )≥3的解集为⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 综上得，f (x )≥3的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. (2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件． 若a ＜1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1， x ≤a ，1－a ， a ＜x ＜1，2x －(a ＋1)， x ≥1.即，f (x )的最小值为1－a . 若a ＞1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1， x ≤1，a －1， 1＜x ＜a ，2x －(a ＋1)， x ≥a .即，f (x )的最小值为a －1.所以∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，－1)∪[3，＋∞)．【点评】 如果一个不等式中含有两个(或两个以上)的绝对值符号，应考虑用零点分段讨论法去掉绝对值符号，这时实质是将原不等式转化为n 个不等式组，把每个不等式组的解求出后，取它们的并集得到原不等式的解集．3．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在①的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解析：(1)由f (x )≤3得|x －a |≤3， 解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)法一：当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ＜－3；5，－3≤x ≤2；2x ＋1，x ＞2.所以当x ＜－3时，g (x )＞5； 当－3≤x ≤2时，g (x )＝5； 当x ＞2时，g (x )＞5. 综上可得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．法二：当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．一、填空题 1．不等式⎪⎪⎪⎪x －2x ＞x －2x 的解集是________．解析：由绝对值的意义知，原不等式同解于x －2x ＜0，即x (x －2)＜0，∴0＜x ＜2. 答案：(0,2)2．设集合A ＝{x ||x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |＞2，x ∈R }．若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足________．解析：由|x －a |＜1得a －1＜x ＜a ＋1. 由|x －b |＞2得x ＜b －2或x ＞b ＋2.∵A ⊆B ，∴a －1≥b ＋2或a ＋1≤b －2， 即a －b ≥3或a －b ≤－3，∴|a －b |≥3. 答案：|a －b |≥33．已知不等式|x －m |＋|x |≥1的解集为R ，则实数m 的取值范围是________． 解析：由绝对值不等式的几何意义知|x －m |＋|x |≥|(x －m )－x |＝|m |，故|m |≥1，∴m ≥1或m ≤－1.答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)4．若关于x 的不等式|x ＋1|＋k ＜x 有解，则实数k 的取值范围是________． 解析：∵|x ＋1|＋k ＜x ， ∴k ＜x －|x ＋1|.若不等式有解则需k ＜(x －|x ＋1|)max . 设f (x )＝x －|x ＋1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≥－1，2x ＋1，x ＜－1.由解析式可以看出f (x )max ＝－1，∴k ＜－1. 答案：(－∞，－1)5．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋a |≤8的解集不是空集，则a 的最小值是________． 解析：由|x －1|＋|x ＋a |≥|1－x ＋x ＋a |＝|a ＋1|知|a ＋1|≤8，故－9≤a ≤7，因此a 的最小值是－9.答案：－96．若不等式|x －a |＋|x －2|≥1对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围为________． 解析：由|x －a |＋|x －2|≥|(x －a )－(x －2)|＝|a －2|. ∴|a －2|≥1解之得a ≤1或a ≥3. 答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)7．不等式||x ＋3|－|x －3||＞3的解集为________．解析：由绝对值不等式的含义得到：x 到－3和3的距离之差的绝对值大于3， 结合数轴不难得出x ＞32或x ＜－32，故x ∈{x |x ＞32或x ＜－32}．答案：{x |x ＞32或x ＜－32}8．(2011年江西)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________． 解析：法一：|x －1|≤1⇒0≤x ≤2，|y －2|≤1⇒1≤y ≤3，可得可行域如图(阴影部分)．∵|x －2y ＋1|＝5，|x －2y ＋1|5.其中z ＝|x －2y ＋1|5为点(x ，y )到直线x －2y ＋1＝0的距离．当(x ，y )为(0,3)时z 取得最大值|0－2×3＋1|5＝55. 故|x －2y ＋1|max ＝5.法二：|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋2≤1＋2＋2＝5，当且仅当x ＝0，y ＝3时，|x －2y ＋1|取最大值为5.答案：59．给出下列四个命题：①若log a (a 2＋4)≤log a (4a )＜0，则a 的取值范围是(1，＋∞)； ②函数f (x )＝log 2(x 2－5x ＋1)的单调递减区间为(－∞，52)；③不等式|x |＋|log 2 x |＞|x ＋log 2 x |的解集为(0,1)； ④若|a ＋b |＜－c (a ，b ，c ∈R )，则|a |＜|b |－c . 以上四个命题中，正确命题的序号为________． 解析：对于①，由于a 2＋4≥4a且log a (a 2＋4)≤log a (4a )，∴0＜a ＜1，∴①错； 对于②，由x 2－5x ＋1＞0， 得x ＞5＋212或x ＜5－212，∴f (x )＝log 2(x 2－5x ＋1)的递减区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，5－212，故②错； 对于③，必有x ＞0且log 2 x ＜0， ∴0＜x ＜1故③正确．对于④，∵|a |－|b |≤|a ＋b |＜－c ， ∴|a |＜|b |－c ，故④正确． 答案：③④ 三、解答题10．(2011年江苏)解不等式x ＋|2x －1|<3.解析：法一：原不等式可化为|2x －1|<3－x .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1<3－x 2x －1>x －3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <43x >－2.∴原不等式的解集是{x |－2<x <43} 法二：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，x ＋(2x －1)<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －(2x －1)<3. 解得12≤x <43或－2<x <12. 所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <43. 11．(2011年福建)设不等式|2x －1|<1的解集为M .(1)求集合M ：(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．解析：(1)由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x <1，所以M ＝{x |0<x <1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0<a <1,0<b <1.所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0，故ab ＋1>a ＋b .12．已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的定义域为[－1,1]，且|f (x )|的最大值为M .(1)试证明|1＋b |≤M ；(2)试证明M ≥12； (3)当M ＝12时，试求出f (x )的解析式． 解析：证明：(1)∵M ≥|f (－1)|＝|1－a ＋b |，M ≥|f (1)|＝|1＋a ＋b |，∴2M ≥|1－a ＋b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )＋(1＋a ＋b )|＝2|1＋b |，∴|1＋b | ≤M .(2)证明：依题意，M ≥|f (－1)|，M ≥|f (0)|，M ≥|f (1)|，又|f (－1)|＝|1－a ＋b |，|f (1)|＝|1＋a ＋b |，|f (0)|＝|b |，∴4M ≥|f (－1)|＋2|f (0)|＋|f (1)|＝|1－a ＋b |＋2|b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )－2b ＋(1＋a ＋b )|＝2，∴M ≥12. (3)当M ＝12时，|f (0)|＝|b |≤12，－12≤b ≤12① 同理－12≤1＋a ＋b ≤12② －12≤1－a ＋b ≤12③ ②＋③得－32≤b ≤－12④ 由①④得b ＝－12，当b ＝－12时，分别代入②③得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤a ≤00≤a ≤1⇒a ＝0，因此f (x )＝x 2－12.。
不等式选讲
不等式选讲一、基础知识：（一）不等式的形式与常见不等式：1、不等式的基本性质：（1）a b b a>⇔<（2）,a b b c a c >>⇒>（不等式的传递性）注：,a b b c a c ≥≥⇒≥，a c ≥等号成立当且仅当前两个等号同时成立（3）a b a c b c>⇒+>+（4）,0;,0a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>><⇒<（5）()02,nna b a b n n N >>⇒>≥∈（6）)02,a b n n N >>⇒>≥∈2、绝对值不等式：a b a b a b -≤+≤+（1）a b a b +≤+等号成立条件当且仅当0ab ≥（2）a b a b -≤+等号成立条件当且仅当0ab ≤（3）a b b c a c -+-≥-：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当()()0a b b c --≥3、均值不等式（1）涉及的几个平均数：①调和平均数：12111n nnH a a a =+++ ②几何平均数：n G =③代数平均数：12nn a a a A n+++= ④平方平均数：n Q =（2）均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12na a a ===（3）三项均值不等式：①a b c ++≥2223a b c abc++≥②33a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭③a b c ++≤4、柯西不等式：()()()222222212121122n n n na a a bb b a b a b a b ++++++≥+++ 等号成立条件当且仅当1212n na a ab b b === 或120n b b b ==== （1）二元柯西不等式：()()()22222a bcd ac bd ++≥+，等号成立当且仅当ad bc=（2）柯西不等式的几个常用变形①柯西不等式的三角公式：②()222212121212n nn na a a a a ab b b b b b ++++++≥+++ ()()222212121212n n n n a a a b b b a a a b b b ⎛⎫⇔++++++≥+++ ⎪⎝⎭ ②式体现的是当各项22212,,,n a a a 系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充。
不等式选讲绝对值不等式
6、设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集； (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
解 (1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2. 由此可得x≥3或x≤－1. 故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3，或x≤－1}．
1．绝对值三角不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤ |a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立； (2)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤ |a－b|＋|b－c，| 当且 仅当 (a－b)(b－c)≥时0 ，等号成立． (3)性质：_|_a_|－__|_b_| _≤|a±b|≤____|a_|_＋__|b；|
考点二 含参数的绝对值不等式问题
[典例] 2、已知不等式|x＋1|－|x－3|＞a.分别求出下列情形中 a的取值范围：
(1)不等式有解； (2)不等式的解集为R； (3)不等式的解集为∅.
解：法一：因为|x＋1|－|x－3|表示数轴上的点P(x)与两定点 A(－1)，B(3)距离的差，即|x＋1|－|x－3|＝PA－PB.
【针对训练】：
1.不等式|x－5|＋|x＋3|≥10 的解集是( )
A.[－5,7]
B.[－4,6]
C.(－∞，－5]∪[7，＋∞)
D.(－∞，－4]∪[6，＋∞)
2、资料选修 4 系列 P16[练一练]：1
解析：解法一：当 x≤－3 时，5－x＋(－x－3)≥10，∴x≤－4； 当－3<x<5 时，5－x＋x＋3≥10,8≥10 无解，舍去； 当 x≥5 时，x－5＋x＋3≥10，∴x≥6. 综上 x∈(－∞，－4]∪[6，＋∞). 选 D. 解法二：用特殊值检验，取 x＝5 不符合题意，排除 A、B，
不等式选讲归类
不等式选讲归类目录【题型一】解参数型绝对值基础不等式 ........................................................................................................................... 1 【题型二】满足区间范围的不等式求参 ........................................................................................................................... 2 【题型三】借助图像求参 ................................................................................................................................................... 3 【题型四】绝对值三角不等式公式型 ............................................................................................................................... 5 【题型五】绝对值最值与均值最值型 ............................................................................................................................... 6 【题型六】绝对值最值与三元均值型 ............................................................................................................................... 7 【题型七】均值不等式型证明 ........................................................................................................................................... 9 【题型八】均值综合型三元不等式证明 ......................................................................................................................... 10 【题型九】柯西不等式证明 ............................................................................................................................................. 11 【题型十】绝对值不等式与柯西不等式型 ..................................................................................................................... 13 真题再现 ............................................................................................................................................................................. 14 模拟检测 .. (21)【题型一】解参数型绝对值基础不等式【典例分析】．已知函数()2f x x =-， ()3g x x m =-++ ()m R ∈.（1）解关于x 的不等式()20f x a +-> ()a R ∈；（2）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）5m <【解析】试题分析：（1）由()20f x a +-> ()a R ∈，得22x a ->-.根据2-a 的符号进行讨论解绝对值不等式（2）函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，即23x x m ->-++ ()m R ∈对任意实数x 恒成立；即23x x m -++> ()m R ∈对任意实数x 恒成立；所以只需求得不等式左边的的最小值即得结论，借助三角不等式即可得23x x -++ ()()235x x ≥--+=（1）由()20f x a +-> ()a R ∈，得22x a ->-. 当20a -<，即2a >时，不等式的解集为x R ∈；当20a -≥，即2a ≤时，得22x a ->-或()22x a -<--，即4x a >-或x a <， 故原不等式的解集为()(),4,x a a ∈-∞⋃-+∞； 综上，当2a >时，原不等式的解集为x R ∈；当2a ≤时，原不等式的解集为()(),4,x a a ∈-∞⋃-+∞.（2）函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，即23x x m ->-++ ()m R ∈对任意实数x 恒成立；即23x x m -++> ()m R ∈对任意实数x 恒成立； ∵23x x -++ ()()235x x ≥--+=，当()()230x x -⋅+≤时取等号； ∴5m <.故5m <时，函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方. 【提分秘籍】基本规律-g x f x 1f x g x -g x f x g x f x g x 2f x g x f x g x f x -g x ≤⎧≤⇒≤≤⇒⎨≤⎩≥⇒≥≤基（）（）、（）（）（）（）（）（）（））、（）（）（（础公式：集）（）或）（）（取交）（取并集已知函数()a x x f -=（1）若()m x f ≤的解集为[]5,1-，求实数m a ,的值；（2）当2=a 且20<≤t 时，解关于x 的不等式()()2+≥+x f t x f 【答案】（I ）3,2==m a （Ⅱ）⎥⎦⎤⎝⎛+∞-22,t 试题解析：（1）因为m a x ≤-所以m a x m a +≤≤-3,251==∴⎩⎨⎧=+-=-m a m a m a ------5分（2）2=a 时等价于x t x ≥+-2当20,2,2<≤≥+-≥t x t x x 所以舍去 当,220,2,20+≤≤∴≥+-<≤t x x t x x 成立当x t x x -≥+-<2,0成立 所以，原不等式解集是⎥⎦⎤⎝⎛+∞-22,t -----10分【题型二】满足区间范围的不等式求参【典例分析】已知函数()f x x a =-（R a ∈）．（1）当1a =时，解不等式()211f x x <--；（2）当()2,1x ∈-时，()121x x a f x ->---，求a 的取值范围． 【答案】（1）{}11x x x ><-或；（2）(],2-∞-．试题解析：（1）因为()211f x x <--，所以1211x x -<--，即1211x x ---<-， 当1x >时，1211x x --+<-，∴1x -<-，∴1x >，从而1x >；当112x ≤≤时，1211x x --+<-，∴33x -<-，∴1x >，从而不等式无解； 当12x <时，1211x x -+-<-，∴1x <-，从而1x <-；综上，不等式的解集为{}11x x x ><-或．（2）由()121x x a f x ->---，得121x x a x a -+->--， 因为1121x x a x a x x a -+-≥-+-=--，所以当()()10x x a --≥时，121x x a x a -+-=--；当()()10x x a --<时，121x x a x a -+->--记不等式()()10x x a --<的解集为A ，则()2,1-⊆A ，故2a ≤-．所以a 的取值范围是(],2-∞-．【变式演练】设()13f x x x =--+.（1）解不等式()2f x >；（2）若不等式()1f x kx ≤+在[]3,1x ∈--上恒成立, 求实数k 的取值范围.【答案】（1）{}|2x x <-（2）1k ≤- 试题解析：（1）()13f x x x =--+,所以当3x ≤-时,()1342,3f x x x x =-+++=>∴≤-, 满足原不等式；当31x -<<时,()1322f x x x x =-+--=--, 原不等式即为222x -->,解得2,32x x <-∴-<<-满足原不等式；当1x ≥时,()1342,1f x x x x =---=-<∴≥ 不满足原不等式 综上原不等式的解集为{}|2x x <-.（2）当[]3,1x ∈--时,()1322f x x x x =-+--=--, 由于原不等式()1f x kx ≤+在[]3,1x ∈--上恒成立,221x kx ∴--≤+, 在[]3,1x ∈--上恒成立,[]()323,1k x x ∴≤--∈--, 设()32g x x=--,易知()g x 在[]3,1x ∈--上为增函数,()[]()113,1,1g x x k ∴-≤≤∈--∴≤-.【题型三】借助图像求参【典例分析】已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像； （2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）图像见解析；（2）112a ≥ 【解析】【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将()y f x =向左平移可满足同角，求得()y f x a =+过1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭时a 的值可求. 【详解】（1）可得2,2()22,2x x f x x x x -<⎧=-=⎨-≥⎩，画出图像如下：34,231()232142,2214,2x g x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去）， 则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a ∴≥.【变式演练】已知函数a x x x f +-+=1)(.（1）若0=a ，求不等式0)(≥x f 的解集；（2）若方程x x f =)(有三个不同的解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）),21[+∞-；（2）()0,1-. 试题解析：（1）当0=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+-<-=-+=,0,1,01,12,1,11)(x x x x x x x f所以当1-<x 时，()01<-=x f ，不合题意； 当01<≤-x 时，()012≥+=x x f ，解得021<≤-x ； 当0≥x 时，()01>=x f ，符合题意.综上可得0)(≥x f 的解集为),21[+∞-. （2）设)(,1)(x u y x x x u =-+=的图象和x y =的图象如图所示.易知()x u y =的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位），与x y =的图象始终有3个交点，从而01<<-a .所以实数a 的取值范围为()0,1-.【题型四】绝对值三角不等式公式型【典例分析】已知函数()|2|f x x a a =-+.（Ⅰ）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（Ⅱ）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）{|13}x x -≤≤；（Ⅱ）[2,)+∞．试题解析：（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤. 因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤.（Ⅱ）当x ∈R 时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+， 当12x =时等号成立，所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解.当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[2,)+∞. 【提分秘籍】基本规律利用公式||a|-|b||≤|a±b||a±b|≤|a|+|b【变式演练】设函数()3f x x x a =--+,其中R ∈a ．（I ）当2a =时,解不等式()1f x <；（II ）若对于任意实数x ,恒有()2f x a ≤成立,求a 的取值范围． 【答案】（I ）(0)+∞，；（II ）[3)+∞，. 试题解析：（Ⅰ）2=a 时,1)(<x f 就是.123<+--x x当2-<x 时,321x x -++<,得51<,不成立；当23x -<≤时,321x x ---<,得0x >,所以30<<x ；当3x ≥时,321x x ---<,即51-<,恒成立,所以3x ≥.综上可知,不等式1)(<x f 的解集是(0)+∞，.(Ⅱ) 因为()3(3)()3f x x x a x x a a =--+--+=+≤,所以)(x f 的最大值为3+a .对于任意实数x ,恒有()2f x a ≤成立等价于32a a +≤. 当3a -≥时,32a a +≤,得3a ≥；当3a <-时,32a a --≤,1a -≥,不成立. 综上,所求a 的取值范围是[3)+∞，【题型五】绝对值最值与均值最值型【典例分析】设 ()11f x x x =-++． (1)求 ()2f x x ≤+的解集;(2)若()f x 的最小值为m ，且0022a b a b m >>+=，，，求313213a b b+++的最小值．四川省南充高级中学2023届高考模拟检测七文科数学试题【答案】(1)[]02，(2)85【分析】（1）将函数写成分段函数，再分段求解，最后取并集即可；（2）由绝对值三角不等式可得2m =，于是有1a b +=，再利用基本不等式求解即可.【详解】（1）2,1()112,112,1x x f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩，当()2f x x ≤+时，122x x x <-⎧⎨-≤+⎩或1122x x -≤≤⎧⎨≤+⎩或122x x x >⎧⎨≤+⎩, 解得x ∈∅或01x ≤≤或12x <≤，所以02x ≤≤，故()2f x x ≤+解集为[]02，； （2）()11112f x x x x x =-++≥---=，当且仅当(1)(1)0x x -⨯+≤ 即11x -≤≤时，等号成立，∴2m =，∴1a b +=，∴a ，b 为正实数，∴31319132133139313a b b b b b b +=+=+++-+-+191()[(93)(13)]109313b b b b =⨯+⨯-++-+ 19(13)9319(13)93168[10][10]109313109313105b b b b b b b b +-+-=⨯++≥⨯+⨯==-+-+， 当且仅当9(13)939313b b b b +-=-+，即12a b ==时，等号成立．故313213a b b +++的最小值为85．【变式演练】已知函数()|2||3|f x x x =++．(1)求函数()y f x =的最小值M ； (2)若0,0a b >>且a b M +=a b【答案】(1)3M =26. 【分析】（1）利用零点分段法将()f x 写出分段函数的形式，画出图象，由图象可以看出函数()f x 的最小值；（2）由（1）知3a b +=23ab ≥a b的最小值.【详解】（1）由于()()()()33323330330x x f x x x x x x x ⎧--<-⎪=++=--≤≤⎨⎪+>⎩，作出此函数图象如图所示:由图象可知函数()f x 的最小值为()03f =，即3M =．（2）由（1）知3a b +=，所以2924a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以149ab ≥23ab ≥，当且仅当32a b ==时等号成立， 1226223a b ab≥=当且仅当32a b ==a b 26.【题型六】绝对值最值与三元均值型【典例分析】已知()223f x x x =++-． (1)求不等式()5f x ≤的解集；(2)若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：11192a b b c a c m++≥+++． 【答案】(1)403x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭(2)证明见解析【分析】（1）将()f x 的解析式写出分段函数的形式，解不等式即可.（2）先求()f x 的最小值，方法1：运用多个绝对值之和最小值求法，方法2：运用函数单调性；再运用“1”的代换与基本不等式可证得结果.【详解】（1）223,1()223223,13223,3x x x f x x x x x x x x x --+-≤-⎧⎪=++-=++--<<⎨⎪++-≥⎩。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不等式选讲内容题型大全不看后悔
1.绝对值不等式的解法
一．简单的去绝对值情形
1．不等式：32-x ≤1的解集是_______ ___． 2.不等式：1-x ≥3的解集是_______ _ _．
3.解不等式：312>-+
x x 的解集是_______ _ _． 4．（2008·山东高考题）若不等式4|3|<-b x 的解集中的整数有且仅有1、2、3，则b 的取值范围为 。
5．设集合{}1,A x x a x =
-<∈R ，{}2,B x x b x =->∈R ．若A B ⊆，则实数,a b 必满足（ ）．
Ａ．3a b +≤ Ｂ．3a b +≥ Ｃ．3a b -≤ Ｄ．3a b -≥ 6. 不等式：
123-<+x x 的解集是_______ _ _． 7．（2007广东，14）（不等式选讲选做题）
设函数)2(,3|12|)(-++-=f x x x f 则= ；若5)(≤x f ，则x 的取值范围是 。
8.(2011年高考江苏卷21)选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 解不等式：|21|3x x +-<
9. (2011年高考全国新课标卷理科24)（本小题满分10分） 选修4-5不等选讲 设函数0,3)(>+-=a x a x x f （1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的解集；
(2)如果不等式0)(≤x f 的解集为{}1-≤x x ，求a 的值。
二．只涉及两个绝对值，不再有其它项时，用平方法去绝对值
例：1. 不等式130x x +--≥的解集是___ ___.
2.（2011年高考广东卷理科9)不等式
130x x +--≥的解集是______. 3. （2009广东14)不等式1|
2||1|≥++x x 的实数解为 . 4.若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______。
5.(2009山东卷理)不等式0212<---x x 的解集为 .
6.【2012高考真题湖南理10】不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______. 三．涉及两个且另有一常数时，用分段讨论法去绝对值
1. 不等式：|||1|3x x +->的解集是_______ _ _．
2．不等式
的解集为. 3. 不等式|2
1|2|432|+-≥-x x 的解集是_______ _ _． 4．对于x R ∈，不等式1028x x +--≥的解集为________
5．（2009福建选考21（3））
解不等式∣2x-1∣<∣x ∣+1
6.【2012高考真题广东理9】不等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____．
7. (2011年高考山东卷理科4)不等式|5||3|10x x -++≥的解集为
（A ）[-5.7] （B ）[-4,6]
（C ）(,5][7,)-∞-⋃+∞ （D ）(,4][6,)-∞-⋃+∞
8.【2012高考真题江西理16】（不等式选做题）在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为___________。
9. (2011年高考天津卷理科13) 已知集合{}1|349,|4,(0,)A x R x x B x R x t t t ⎧
⎫=∈++-≤=∈=+∈+∞⎨⎬⎩⎭
，则集合A B ⋂=________. 10．（2008广东，14）（不等式选讲选做题）已知R ∈a ，若关于x 的方程0|||41|2=+-++a a x x
有实根，则a 的取值范围是 。
11.【2012高考真题新课标理24】（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲
已知函数()2f x x a x =++-
（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；
（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.
12．(2011年高考辽宁卷理科24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|.
（I ）证明：-3≤f （x ）≤3；
（II ）求不等式f （x ）≥x 2-8x+15的解集.
四：利用数轴法求解
1.31-+-=x x y 的最小值为
2.21++-=x x y 的最小值为
3.【2012高考真题陕西理15】A.（不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 .
4.若不等式24≥++-a x x 对所有的x 都恒成立，则a 的取值范围是
5．（2009辽宁选作24）
设函数.|||1|)(a x x x f -+-=
（I ）若3)(,1≥-=x f a 解不等式；
（II ）如果a x f x 求,2)(,≥∈∀R 的取值范围。
五．涉及绝对值不等式的恒成立问题，方法：分段去绝对值
1．（2007海南、宁夏，22C ，10分）（选修4 –5：不等式选讲）设函数.|4||12|)(--+=x x x f
（1）解不等式2)(>x f ；
（2）求函数)(x f y =的最小值
2.不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____
（答：1a <）；
3. 不等式a x x <---34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____
4．（2010年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知函数。
（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若
对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。
5.（2009重庆卷理）不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．(,1][4,)
-∞-+∞U B ．(,2][5,)-∞-+∞U C ．[1,2]
D ．(,1][2,)-∞+∞U 6.若不等式a x x <-+-34有实数解，则实数a 的取值范围__ ___
7．(2011年高考陕西卷理科15)（不等式选做题）若关于x 的不等式
12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是
8. 若关于x 的不等式34---<x x a 存在实数解，则实数a 的取值范围为__ ___
9.【2012高考真题辽宁理24】(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知()|1|()f x ax a R =+∈，不等式3)(≤x f 的解集为}12{≤≤-x x 。
(Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)若k x f x f ≤-)2(2)(恒成立，求k 的取值范围。
六：性质：y x y x +≤-，y x y x +≤+运用
1. 对于实数x ，y ，若12≤+x ，21≤-y ，则1++y x 的最大值为 .
2. 对于实数x ，y ，若12≤+x ，21≤-y ，则32++y x 的最大值为 .
3.已知实数x ，y 满足1≤+y x ，323≤-y x ，则y x -2的最大值为 .
4.已知实数x ，y 满足12≤+-y x ，323≤-y x ，则45+x 的最大值为 .
5. 对于实数x ，y ，若
12≤+-y x ，323≤-y x ，则45+x 的最大值为 . 6. 对于实数x ，y ，若12≤+x ，21≤-y ，则3+-y x 的最大值为 .
7. (2010年高考福建卷理科)对于实数x ，y ，若11≤-x ，12≤-y ，则12+-y x 的最大值
为 . 8.【2012高考江苏24】[选修4 - 5：不等式选讲] （10分）已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<
-<，，求证：5||18
y <． 2. 比较法解不等式
1．(2011年高考福建卷理科21)（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
设不等式11-x 2＜的解集为M ．
（I ）求集合M ；
（II ）若a ，b ∈M ，试比较ab+1与a+b 的大小．
2．（2010年高考江苏卷试题21）选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 设a 、b 是非负实数，求证：。
3.均值不等式及其推广的运用
1.【2012高考真题福建理23】（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f （x ）=m-|x-2|，m ∈R ，且f （x+2）≥0的解集为[-1,1].
（Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）若a ，b ，c ∈R ，且
2．（2008江苏，21D ，10分）（选修4 – 5：不等式选讲）设c b a ,,为正实数，求证：
3．（2010年高考辽宁卷理科24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。