梁的弯曲应力
梁的弯曲应力
校核强度: 截面设计:
max
M max WZ
[ ]
Wz
M max [ ]
确定许用荷载: Mmax Wz [ ]
23
3、梁的切应力强度校核
（1）切应力计算公式
max
F S* Qmax Z max Izb
FQmax— 梁内最大剪力
Sz*— 面积A对中性轴静矩
Iz — 截面惯性矩
6
dθ ρ
1
2
1
2
o1
o2
y
ab
1 dx 2
o'1
z
（中性轴）
a'
dx
o'2 b'
y
1
2
y
（对称轴）
纵向纤a)维线应变变化b)规律:
c)
变形前： ab o1o2 dx
变形后: ab ( y)d o1o2 dx d
ab的伸长量： S ab dx ( y)d d yd
Pa=14.4MPa
B
FQ S zB Izb
(
200103 120000109 2.29107 1012 100103
)
Pa=10.4MPa
21
(3) 求圆形截面最大的切应力
max
4 3
FQ A
(4 3
2001003 ) Pa=19.1MPa
1 π 133.52 106
1
8.4 平面弯曲杆件的应力和变形
8.4.1 基本概念 8.4.2 梁横截面上的正应力公式 8.4.3 梁的切应力 8.4.4 梁的挠度和转角
2
梁的弯曲正应力公式
梁的弯曲正应力公式在我们学习力学的奇妙世界里，梁的弯曲正应力公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
先来说说梁是啥吧。
想象一下，你家里的房梁，或者是一座桥上的大梁，它们都是承受各种力量的重要结构。
梁在受到外力作用时，会发生弯曲，而这时候梁内部就会产生应力。
那梁的弯曲正应力公式到底是啥呢？它其实就是用来计算梁在弯曲时，不同位置处的应力大小的。
公式是：σ = My / I 。
这里的σ就是正应力，M 是弯矩，y 是所求应力点到中性轴的距离，I 是惯性矩。
咱们来具体讲讲这个公式里的每个部分。
先说弯矩 M ，它就像是一个大力士，决定了梁弯曲的程度和力量大小。
比如说，在一个建筑工地上，一根钢梁要承受上面重重的建筑材料的压力，这个压力让钢梁产生弯曲，而这个弯曲的力量大小就是弯矩。
再看 y ，也就是所求应力点到中性轴的距离。
中性轴就像是梁的“平衡线”，上面的部分受压，下面的部分受拉。
比如说，你拿一根竹条弯曲，中间不怎么变形的那一条线就类似中性轴。
而应力点到中性轴的距离越大，应力也就越大。
惯性矩 I 呢，它反映了梁横截面的形状和尺寸对抗弯能力的影响。
比如说，同样长度的钢梁，如果一个是实心的粗钢梁，一个是空心的细钢梁，那实心的粗钢梁惯性矩就大，抗弯能力也就更强。
我记得有一次去工厂参观，看到工人们正在加工一批钢梁。
工程师拿着图纸，嘴里不停地念叨着梁的弯曲正应力公式，计算着每根钢梁在不同工作条件下的应力情况。
他们神情专注，一丝不苟，因为哪怕一点点的误差，都可能导致钢梁在使用过程中出现问题，造成严重的后果。
在实际应用中，梁的弯曲正应力公式用处可大了。
比如在设计桥梁的时候，工程师得根据车辆的通行量、桥的跨度等因素，利用这个公式准确计算出桥梁中各个部位的应力，确保桥梁的安全稳固。
又比如在机械制造中，要设计一个能承受特定载荷的传动轴，也得靠这个公式来确定轴的尺寸和材料。
总之，梁的弯曲正应力公式虽然看起来有点复杂，但它可是力学世界里的宝贝，能帮助我们解决很多实际问题，让我们的生活更加安全和便捷。
梁的弯曲(应力、变形)
2
回顾与比较
内力
应力
F
A
FAy
编辑ppt
T
IP
M
?
?
FS
3
§9-6 梁的弯曲时的应力及强度计算
一、弯曲正应力 Normal stress in bending beam
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲Pure bending
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－剪力弯曲Bending by
transverse force
编辑ppt
4
研究对象：等截面直梁 研究方法：实验——观察——假定
编辑ppt5Leabharlann 实验观察——梁表面变形特征
横线仍是直线，但发生 相对转动，仍与纵线正交
纵线弯成曲线，且梁的 下侧伸长，上侧缩短
以上是外部的情况，内部如何？ 想象 —— 梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直
x
61.7106Pa61.7MPa
编辑ppt
13
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
M ql /867.5kNm 2
x
2. C 截面最大正应力
120
B
x
180
K
30 C 截面弯矩
z
MC60kN m
FBY
y
C 截面惯性矩
IZ5.83120 5m 4
x 90kN
C max
M C y max IZ
于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度 透明的梁就好了，我们用计算机模拟 透明的梁
编辑ppt
6
编辑ppt
7
总之 ，由外部去 想象内部 —— 得到
梁的弯曲应力
Iz=πD4/64 Iz=π(D4-d4)/64 若设圆环的直径比d/D=α，则相
应的截面抗弯系数为
Wz
=
π D3 32
Wz
=
π D3 32
(1−α 4 )
y 第10章 梁的弯曲应力 C Dz
y
O
z
d D
工程力学
q=60kN/m
A
1m
C
l = 3m
FS 90kN
(+ ) (− )
M ql2 / 8 = 67.5kN⋅ m
T形截面外伸梁尺寸及受载如图，截面对形心轴z的惯性矩
Iz=86.8cm4，yl=3.8cm。求梁横截面上的最大拉应力和最大压应力。
解 1)由静力平衡
2kN
0.8kN
y1 y2 6cm
方程求出梁的支反力
FA=0.6kN，FB=2.2kN A
C
BD
zC
作弯矩图。 得最大正弯矩在截面
1m 1m 1m
FA
FB
=
−
E ρ
I
z
1 ρ
=
Mz EIz
重要公式 σ = − Mz y Iz
工程力学
σ = − My Iz
第10章 梁的弯曲应力
M AZ y
x
y 横截面上正应力分布规律: (1)中性轴是过横截面形心的一条直线。中性轴上，正应力为零。 (2)以中性轴为界，横截面上的一侧受拉，一侧受压。 (3)离中性轴越远，正应力的绝对值越大。在横截面上离中性轴 最远的边或点上有最大的拉应力和最大的压应力。
几何关系 ( 平截面假定 )
正应变与中性层曲率间的关系
物理关系 ( Hooke 定律 )
正应力与中性层曲率间的关系
梁的弯曲应力与强度计算
max
FS
S
* z
I zb
Sz*3 2(R2 t)33 2(R2 t)3 2R2t
Iz4(R2 t)44(R2 t)4R3t
b2t
max
2
FS
2Rt
2
FS A
8.3 梁的剪应力及其强度条件
8.3.2 梁的剪应力强度条件
一般情况，在剪力为最大值的截面的中性轴上，出现最大剪
应力
max
F S* Smax max Izb
zdA
A
Mz
ydA
A
FN
dA0
A
(c)
My
zdA0
A
(d)
Mz AydAMe
(e)
将式 E y
代入式(c)，得
AdAAEydA0
E
＝常量，
E
y dA 0
A
Sz 0
z 轴（中性轴）通 过截面形心。
梁的轴线在中性层内，其长度不变。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
将式(b)代入式(d)，得
E y
(b)
1 M EI z
由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：
M y Iz
将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为 正，即为拉应力，若为负则为压应力。
一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。 以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。
只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于这个平面内，上面的 公式就可适用。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
8.1.2 横力弯曲时横截面上的正应力 在工程实际中，一般都是横力弯曲，此时，梁的横截面上不
【哈工大 材料力学 精品讲义】9.梁的弯曲应力
πd 4 d
64
max
O
k
k'
O' y
4FS 4FS
O
2d /3
3 π d 2 3A
C
4
y
§4.7 梁横截面的切应力
2、工字形薄壁梁
腹板上的切应力仍按矩 形截面的公式计算。
假设 // 腹板侧边，
并沿其厚度均匀分布 FS
(y)
FS
S
* z
I z
S
* z
——下侧部分截面
对中性轴 z 的静矩
解：1. 求支反力
FAy 90kN FBy 90kN
M C 60kN m
x
IZ
bh3 12
0.12 0.183 12
5.832 105 m4
90kN 2. C 截面上K点正应力
x
K
M C yK IZ
60103 (180 30) 103 2
5.832 105
61.7 106 Pa 61.7MPa （压应力）21
3、矩形截面切应力的分布：
Fs
S
z
I zb
横向切应力
纵向 切应力
max
Fs
沿截面高度按二次抛物线规律变化； (2) 同一横截面上的最大切应力max在中性轴处( y=0 )； (3)上下边缘处（y=±h/2)，切应力为零。
§4.7 梁横截面的切应力
弯曲正应力与弯曲切应力比较
max
Fl bh2
( y) FS 8 I z
b(h02 h2 ) (h2 4 y2 )
max (0)
min
(
h) 2
§4.7 梁横截面的切应力
3、薄壁环形截面梁
矩形梁的弯曲应力
矩形梁的弯曲应力
矩形梁在弯曲时会产生弯曲应力，这是由于梁在受到外力作用时，其截面上的内力分布不均匀所导致的。
弯曲应力的大小与梁的材料、截面形状、尺寸以及所受外力的大小和位置等因素有关。
对于矩形梁，其弯曲应力的计算公式可以根据材料力学的基本原理进行推导。
一般来说，矩形梁的弯曲应力计算公式如下：
σ= My/I
其中，σ表示弯曲应力，M表示截面上的弯矩，y表示所求应力点到中性轴的距离，I表示截面的惯性矩。
对于矩形截面，其惯性矩I的计算公式为：
I = bh^3/12
其中，b表示矩形的宽度，h表示矩形的高度。
将惯性矩I的公式代入弯曲应力σ的公式中，即可得到矩形梁在弯曲时的应力计算公式。
需要注意的是，该公式适用于纯弯曲情况，即梁只受到弯矩作用，而没有受到其他外力的作用。
此外，还需要注意的是，矩形梁在弯曲时，其截面上的应力分布是不均匀的，最大应力通常出现在截面的边缘处，而中性轴上的应力为零。
因此，在设计矩形梁时，需要根据实际情况选择合适的截面尺寸和材料，以确保梁在受到外力作用时能够安全可靠地工作。
梁的弯曲(应力、变形)
梁的弯曲类型
01
02
03
自由弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端不受约束，可以自由 转动。
简支弯曲
梁在受到外力作用时，其 一端固定，另一端可以自 由转动。
固支弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端均固定，不能发生转 动。
梁的弯曲应用场景
桥梁工程
桥梁中的梁常常需要进行弯曲变形以承受车辆和 行人等载荷。
稳定性。
06 梁的弯曲研究展望
CHAPTER
新材料的应用研究
高强度材料
随着材料科学的进步，高强度、轻质的新型 材料不断涌现，如碳纤维复合材料、钛合金 等。这些新材料在梁的弯曲研究中具有广阔 的应用前景，能够显著提高梁的承载能力和 刚度。
功能材料
新型功能材料如形状记忆合金、压电陶瓷等， 具有独特的力学性能和功能特性，为梁的弯 曲研究提供了新的思路和解决方案。
反复的弯曲变形可能导致疲劳裂纹的 产生和扩展，影响结构的疲劳寿命。
对使用功能的影响
弯曲变形可能导致结构使用功能受限 或影响正常使用。
04 梁的弯曲分析方法
CHAPTER
理论分析方法
弹性力学方法
01
基于弹性力学理论，通过数学公式推导梁在弯曲状态下的应力
和变形。
能量平衡法
02
利用能量守恒原理，通过计算梁在不同弯曲状态下的能量变化，
详细描述
常见的截面形状有矩形、工字形、圆形等。应根据梁的用途和受力情况选择合适的截面形状。例如， 对于承受较大弯矩的梁，采用工字形截面可以有效地提高梁的承载能力和稳定性。
支撑结构优化
总结词
支撑结构是影响梁弯曲性能的重要因素，合理的支撑结构可以提高梁的稳定性，减小梁 的变形。
工程力学第8章梁的弯曲应力与强度计算
弯曲应力的大小与外力矩、截面尺寸 和材料性质等因素有关。
弯曲应力的产生原因
当梁受到外力矩作用时，梁的横截面上的内力分布不均匀， 产生弯曲应力。
弯曲应力的产生与梁的弯曲变形有关，是梁在受到外力矩作 用时，抵抗弯曲变形的能力的表现。
弯曲应力的分类
正弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的正应 力称为正弯曲应力。
剪切弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的剪切 应力称为剪切弯曲应力。
扭曲弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的扭曲 应力称为扭曲弯曲应力。
03
梁的弯曲应力计算
纯弯曲梁的正应力计算
01
公式：$sigma = frac{M}{I}$
方向的力，梁的宽度是截面的几何尺寸。
弯曲正应力和剪切应力的关系源自公式$sigma + tau = frac{M}{I} + frac{V}{b}$
描述
该公式表示弯曲正应力与剪切应力之间的关系，两者共同作用在梁上，决定了梁的强度和刚度。
04
梁的强度计算
强度计算的依据
梁的弯曲应力
01
梁在弯曲时，其内部的应力分布情况是决定其强度的关键因素。
机械零件
在机械零件设计中，如起 重机的吊臂、汽车的车身 等，梁的强度计算是保证 其正常工作的基础。
05
梁的弯曲应力与强度的关系
弯曲应力对强度的影响
弯曲应力是梁在受到垂直于轴线的力时产生的应力，它会 导致梁发生弯曲变形。弯曲应力的大小和分布与梁的跨度 、截面形状和材料等因素有关。
弯曲应力对梁的强度有显著影响。当弯曲应力过大时，梁 可能会发生断裂或过度变形，导致其承载能力下降。因此 ，在进行梁的设计和强度计算时，必须考虑弯曲应力的影 响。
梁的弯曲应力和强度计算
88
7.5 106 7.6 106
88 86.8MPa
弯曲正应力计算
三、计算题
27.一矩形截面简支梁，梁上荷载如图所示.已知P=6kN、 l=4m、b=0.1m、h=0.2m，试画出梁的剪力图和弯矩图并求 梁中的最大正应力. 解：（1） 作剪力图、弯矩图
（2）求最大正应力
Mmax 6kN m
横向线：仍为直线，仍与纵向线正交，相对转动了一个角度 纵向线：曲线，下部伸长,上部缩短
（2）假设 平面假设：横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且仍
垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面上某个轴 旋转了一个角度。 单向受力假设：梁由无数根纵向纤维组成，之间无横向挤压，
只受轴向拉伸与压缩。
中性层
3、正应力计算公式 〖1〗几何变形关系
内容回顾
弯曲正应力 1. 基本假设：
(1)平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，但转动了一角度。 (2)单向受力假设：杆件的纵截面（与杆轴平行的截面）上无正应力。
2.中性轴Z：
中性层与横截面的交线,平面弯曲时中性轴过形心且与对称轴垂直。
3.正应力计算公式：
中性层
4.正应力分布规律：沿截面高度呈线性分布。
4、正负号确定 1）M、y 符号代入公式
2）直接观察变形
5、适用范围及推广
〖1〗适用范围: 平面弯曲（平面假设、单向受力假设基础上）、 线弹性材料
〖2〗推广: ① 至少有一个对称轴的截面； ② 细长梁 (l/h>5)；
6、最大正应力
工程上关心的是极值应力：
只与截面形状、尺寸有关
抗弯截面模量
对剪切（横力）弯曲： 矩形：
解：（1）作弯矩图，
求最大弯矩
梁的弯曲正应力计算公式应在()范围内使用
梁的弯曲正应力计算公式应在()范围内使用
摘要：
一、引言
二、梁的弯曲正应力计算公式
三、使用范围及注意事项
四、总结
正文：
一、引言
梁是工程中常见的一种构件，其弯曲正应力计算是工程设计中的重要环节。
为了保证梁的安全性能，需要对梁的弯曲正应力进行准确计算。
二、梁的弯曲正应力计算公式
梁的弯曲正应力计算公式为：
σ= M*y/I
其中，σ为正应力，M 为弯矩，y 为距离中心轴线的距离，I 为抗弯截面系数。
三、使用范围及注意事项
1.使用范围：该公式适用于梁的弯曲正应力计算，只要已知梁的弯矩、距离中心轴线的距离以及抗弯截面系数，就可以使用该公式进行计算。
2.注意事项：在实际应用中，需要根据梁的具体情况进行合理假设和简化，例如假设梁为简支梁或固定梁，以简化计算过程。
同时，需要注意材料的特性和边界条件的设定，以保证计算结果的准确性。
四、总结
梁的弯曲正应力计算公式是工程设计中常用的公式，只要正确使用，就能有效保证梁的安全性能。
材料力学梁的弯曲应力
52 y
解：（1）求截面形心
z1
8 0 2 0 1 0 12 20 0 80
z
yc
5m 2 m 8 0 2 0 12 200
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
Iz
80 20 3 12
80 20 42 2
20 120 3 20 120 28 2 12
7.64 10 6 m4
28
2.5kN.m 4kN.m
与实验结果相符。
9
（2）应力分布规律
在线弹性范围内，应用胡克定律
sE E y
(b)
对一定材料， E=C； 对一定截面，
1
C.
sy
——横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离y成比例。
当 y0时,s0；
应力为零的点的连线。
s s yyma 时 x, ma.x
M
与实验结果相符。
10
（3）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式
Iz
即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。 y
c
y2
z
y1
压边
39
（二）、合理安排载荷和支承的位置，以降低
M
值。
max
1、载荷尽量靠近支座：
F
F
A
A
B
B
0.8L
0.5L
L
L
0.25FL (+)
M 图
0.16FL (+)
M 图
40
F
F
A
BA
B
0.9L
L
L
0.09FL
(+)
M 图
M 图
41
2、将集中力分解为分力或均布力。
第九章梁的弯曲应力
一、梁横截面上的正应力
横力 F 弯曲 A a F (+)
V图
纯弯曲 C l D
F
横力 弯曲 B
纯弯曲——梁弯曲变形
时，横截面上只有弯矩
F
a
F 而无剪力（M 0,V 0）。
F
(-)
横力弯曲——梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩又 有剪力（M 0,V 0）。
Fa
M图
(+) Fa
一、梁横截面上的正应力
* z
max
* Vmax Sz Vmax max * Izd ( I z Sz max )d
* 对于工字钢， I z Sz
max
可由型钢表中查得。
3．工字形截面梁的剪应力
V
三、梁的强度条件
1、弯曲正应力强度条件：
max
Mmax [ ] Wz
可解决工程中有关强度方面的三类问题：
3.在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：
（1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是
主要的，剪应力的强度条件是次要的。但对于较粗的
短梁，当集中力较大时，截面上的剪力较大而弯矩较
小，或是薄壁截面梁时，也需要校核剪应力强度。 （2）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该
正应力最大。
注意：
（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力
的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状
态来确定。 （4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯 性矩的计算式。
二、梁横截面上的剪(切)应力
1．剪(切)应力分布规律假设
V
A*
（1）各点处的剪(切)应力 都与剪力V方向一致； （2）横截面上距中性轴等距离各点处剪(切)应力大小 相等，即沿截面宽度为均匀分布。 （3）剪(切)应力大小沿截面高度按抛物线规律变化。
梁的弯曲应力和变形
正应力分布规律：
1. 中性轴上的点应力为零；
M
2. 上下边缘的点应力最大，其余各 点的应力大小与到中性轴的距离成
正比。
M
中性轴
F
二、计算公式 F
mn
1. 变形几何关系
解：（ 1 ）求支座反力
12.75
kN m
（ 2 ）作弯矩图
max
M
max
Iz
y1
M max W1
max
M
max
Iz
y2
M max W2
（8 - 8） （8 校核哪个截面？
例 2 铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩 Iz=40 3×10 － 7m4 ，铸铁抗拉强度［ σ ＋］ =5m0MPa ，抗压强度
的情况，公式仍然适用。
（ 2 ）公式是从矩形截面梁导出的，但对截面为其它对称形状（如工
字形、 T 字形、圆形等）的梁，也都适用。
M max WZ
梁弯曲时，其横截面上既有拉应力也有压应力。对于中性轴为对称 轴的横截面，例如矩形、圆形和工字形等截面，其上、下边缘点到 中性轴的距离相等，故最大拉应力和最大压应力在数值上相等，可 按左式求得。
一般情况下，梁的强度计算由正应力强度条件控制。
在选择梁的截面时，一般按正应力强度条件选择，选好 截面后，再按剪应力强度条件进行校核。
对于细长梁，按正应力强度条件选择截面或确定许用荷载 后，一般不再需要进行剪应力强度校核。
在下列几种特殊情况下，需要校核梁的剪应力：
（ 1 ）梁的跨度较短，或在支座附近有较大的荷载作用。 在此情况下，梁的弯矩较小，而剪力却很大。 （ 2 ）在组合工字形截面的钢梁中，当腹板的厚度较小 而工字形截面的高度较大时，腹板上的剪应力值将很大 ，而正应力值相对较小。 （ 3 ）木材在顺纹方向抗剪强度较差，木梁可能因剪应 力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。
第五章 弯曲应力知识讲解
第五章弯曲应力第五章 弯曲应力内容提要一、梁的正应力Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x 的函数，这种弯曲称为横力弯曲。
Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法：1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律；3. 由静力学关系得出正应力公式。
Ⅲ、中性层和中性轴中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。
中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。
中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为()()1zM x x EI ρ=(5-1) 式中：()x ρ为变形后中性层的曲率半径，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度。
(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。
Ⅳ、梁的正应力公式1. 横截面上任一点的正应力为zMyI σ=(5-2)正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。
2. 横截面上的最大正应力，为maxmax z My I σ=(5-3) maxzz I W y =(5-4) z W 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，z W 的公式应熟记。
3. 弯曲正应力公式的适用范围：1)在线弹性范围内()p σσ≤，在小变形条件下的平面弯曲弯。
2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。
横力弯曲时，平面假设不成立，公式为近似公式，当梁的跨高比5lh≥时，误差2%≤。
Ⅴ、梁的正应力强度条件 拉、压强度相等的等截面梁[]maxmax zM W σσ=≤ (5-5) 式中，[]σ为料的许用正应力。
当梁内,max ,max t c σσ≠，且材料的[][]t c σσ≠时，强度条件应为[],max t t σσ≤，[],max c σσ≤Ⅵ、提高梁正应力强度的措施1)设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。
材料力学——07 梁的弯曲应力与强度计算
（1）矩形截面中性轴附近的材
料未充分利用，工字形截
z
面更合理。
（2）为降低重量，可在中性轴附近开孔。
2、根据截面模量选择：
为了比较各种截面的合理性，以 来W衡z 量。
截面越合理。
A
越W大z， A
截面形状 矩形
Wz
A
0.167h
圆形 槽钢
工字钢
0.125d (0.27~0.31)h (0.27~0.31)h (d=h)
在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的 切应力，而无须应用“平衡，变形协调和物性 关系”。
（一）矩形截面
F mn
A m dx n L
分析方法（截面法）：ຫໍສະໝຸດ 1、沿 mm,nn 截面截开，
取微段dx。
B
h
m
n
b
FQ
M
M+dM
FQ
(+)
m
n
(-)
FQ 图
(+)
M 图
1 m
n 2
kl
m
n
弯曲应力/弯曲时的剪应力
纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长 度，这一纵向纤维层称为中性层。
中性层与横截面的交线称为中性轴 中性轴
中性层
（一）变形几何关系：
建立坐标系
m a b n dx
m
a by n
变形前：l bb dx d
变形后：l1 bb
( y)d
伸长量：ll1l (y)d dx
线应变： l ( y)d dx
第七章 梁的弯曲应力与强度计算
7．1梁横截面上的正应力
aP
Pa
A
B
FS
材料力学——梁的弯曲应力PPT课件
M x 90KN
M C 90 1 60 1 0.5 60kNm
12
可得挠曲线的曲率方程：
M EI z
1
为常数，挠曲线 是一条圆弧线
EIz ——抗弯刚度。
正应力的计算公式为 横截面上最大正应力为
My s Iz
s max
Mymax M M Iz I z / ymax Wz
Iz ——截面的抗弯截面模量，反映了截面 Wz ymax 的几何形状、尺寸对强度的影响。 13
平放：
1 1 2 3 hb , Wz hb Iz 12 6
若h>b, 则
Wz Wz 。
15
d z
Iz
64
d 4,
Wz
32
d 3,
D
d z
Iz
64
(D d )
4 4
64
D4 (1 4 )
Wz
32
d ( ) D
D3 (1 4 )
﹡简单截面的惯性矩
矩形截面
y I z y dA h y bdy b 2 3 A
2 h 2 2
h 3 2 h 2
bh 12
3
园形截面
14
矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：
竖放：
z h
b
b h z´
1 3 1 2 I z bh , Wz bh 12 6
19
385 106 Pa 385MPa
例 题
y q=60KN/m
120
求: 1.C 截面上K点正应力
180
梁的弯曲应力
第8章梁的弯曲应力梁在荷载作用下，横截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。
弯矩是垂直于横截面的分布内力的合力偶矩；而剪力是切于横截面的分布内力的合力。
所以，弯矩只与横截面上的正应力σ相关，而剪力只与剪应力τ相关。
本章研究正应力σ和剪应力τ的分布规律，从而对平面弯曲梁的强度进行计算。
并简要介绍一点的应力状态和强度理论。
8.1梁的弯曲正应力平面弯曲情况下，一般梁横截面上既有弯矩又有剪力，如图8.1所示梁的AC、DB段。
而在CD段内，梁横截面上剪力等于零，而只有弯矩，这种情况称为纯弯曲。
下面推导梁纯弯曲时横截面上的正应力公式。
应综合考虑变形几何关系、物理关系和静力学关系等三个方面。
8.1.1 弯曲正应力一般公式1、变形几何关系为研究梁弯曲时的变形规律，可通过试验，观察弯曲变形的现象。
取一具有对称截面的矩形截面梁，在其中段的侧面上，画两条垂直于梁轴线的横线mm和nn，再在两横线间靠近上、下边缘处画两条纵线ab和cd，如图8.2(a)所示。
然后按图8.1(a)所示施加荷载，使梁的中段处于纯弯曲状态。
从试验中可以观察到图8 .2(b)情况：（1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正交，只是横线间作相对转动。
（2）纵线变为曲线，而且靠近梁顶面的纵线缩短，靠近梁底面的纵线伸长。
（3）在纵线伸长区，梁的宽度减小，而在纵线缩短区，梁的宽度则增加，情况与轴向拉、压时的变形相似。
根据上述现象，对梁内变形与受力作如下假设：变形后，横截面仍保持平面，且仍与纵线正交；同时，梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应力。
前者称为弯曲平面假设；后者称为单向受力假设。
根据平面假设，横截面上各点处均无剪切变形，因此，纯弯时梁的横截面上不存在剪应力。
根据平面假设，梁弯曲时部分纤维伸长，部分纤维缩短，由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层，如图8.2(c)所示。
中性层与横截面的交线称为中性轴。
对于具有对称截面的梁，在平面弯曲的情况下，由于荷载及梁的变形都对称于纵向对称面，因而中性轴必与截面的对称轴垂直。
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第8章梁得弯曲应力梁在荷载作用下,横截面上一般都有弯矩与剪力，相应地在梁得横截面上有正应力与剪应力。
弯矩就是垂直于横截面得分布内力得合力偶矩;而剪力就是切于横截面得分布内力得合力。
所以,弯矩只与横截面上得正应力σ相关,而剪力只与剪应力τ相关。
本章研究正应力σ与剪应力τ得分布规律，从而对平面弯曲梁得强度进行计算。
并简要介绍一点得应力状态与强度理论。
8.1梁得弯曲正应力平面弯曲情况下,一般梁横截面上既有弯矩又有剪力，如图8、1所示梁得AＣ、ＤＢ段。
而在CD段内,梁横截面上剪力等于零，而只有弯矩，这种情况称为纯弯曲。
下面推导梁纯弯曲时横截面上得正应力公式。
应综合考虑变形几何关系、物理关系与静力学关系等三个方面。
8.１.1弯曲正应力一般公式1、变形几何关系为研究梁弯曲时得变形规律,可通过试验,观察弯曲变形得现象。
取一具有对称截面得矩形截面梁,在其中段得侧面上,画两条垂直于梁轴线得横线mｍ与nｎ,再在两横线间靠近上、下边缘处画两条纵线aｂ与cd,如图8、2(a)所示。
然后按图8、１（a)所示施加荷载,使梁得中段处于纯弯曲状态。
从试验中可以观察到图8、２(b)情况:(１)梁表面得横线仍为直线,仍与纵线正交,只就是横线间作相对转动。
(２)纵线变为曲线,而且靠近梁顶面得纵线缩短,靠近梁底面得纵线伸长。
(３)在纵线伸长区,梁得宽度减小，而在纵线缩短区，梁得宽度则增加,情况与轴向拉、压时得变形相似。
根据上述现象,对梁内变形与受力作如下假设:变形后,横截面仍保持平面,且仍与纵线正交;同时,梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应力。
前者称为弯曲平面假设;后者称为单向受力假设。
根据平面假设,横截面上各点处均无剪切变形,因此，纯弯时梁得横截面上不存在剪应力。
根据平面假设,梁弯曲时部分纤维伸长,部分纤维缩短,由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变得过渡层,称为中性层,如图8、2(ｃ)所示。
中性层与横截面得交线称为中性轴。
对于具有对称截面得梁,在平面弯曲得情况下,由于荷载及梁得变形都对称于纵向对称面，因而中性轴必与截面得对称轴垂直。
综上所述,纯弯曲时梁得所有横截面保持平面,仍与变弯后得梁轴正交,并绕中性轴作相对转动,而所有纵向纤维则均处于单向受力状态。
从梁中截取一微段dx,取梁横截面得对称轴为y轴,且向下为正,如图８、3 (b)所示,以中性轴为y轴,但中性轴得确切位置尚待确定。
根据平面假设,变形前相距为dx得两个横截面,变形后各自绕中性轴相对旋转了一个角度dθ，并仍保持为平面。
中性层得曲率半径为ρ,因中性层在梁弯曲后得长度不变,所以又坐标为y得纵向纤维ab变形前得长度为变形后为故其纵向线应变为（a)可见，纵向纤维得线应变与纤维得坐标ｙ成正比。
2、物理关系因为纵向纤维之间无正应力,每一纤维都处于单向受力状态,当应力小于比例极限时,由胡克定律知将(ａ）式代入上式,得(ｂ)这就就是横截面上正应力变化规律得表达式。
由此可知，横截面上任一点处得正应力与该点到中性轴得距离成正比，而在距中性轴为y得同一横线上各点处得正应力均相等,这一变化规律可由图８、4来表示。
3、静力学关系以上已得到正应力得分布规律,但由于中性轴得位置与中性层曲率半径得大小均尚未确定，所以仍不能确定正应力得大小。
这些问题需再从静力学关系来解决。
如图8、5所示,横截面上各点处得法向微内力σdA组成一空间平行力系，而且由于横截面上没有轴力,仅存在位于x－y平面得弯矩M,因此,(c)（d)(e）以式(b)代入式(c),得(ｆ）上式中得积分代表截面对z轴得静矩Sｚ。
静距等于零意味着ｚ轴必须通过截面得形心。
以式（ｂ)代入式(d),得(g）式中，积分就是横截面对y与z轴得惯性积。
由于ｙ轴就是截面得对称轴,必然有I yz=0,所示上式就是自然满足得。
以式(ｂ)代入式（e),得（h)式中积分(i)就是横截面对z轴(中性轴)得惯性矩。
于就是,(h)式可以写成(8、１)此式表明,在指定得横截面处，中性层得曲率与该截面上得弯矩M成正比,与ＥI z成反比。
在同样得弯矩作用下,EIＺ愈大,则曲率愈小,即梁愈不易变形，故ＥIｚ称为梁得抗弯刚度。
再将式(8、1)代入式（b),于就是得横截面上y处得正应力为(8、2)此式即为纯弯曲正应力得计算公式。
式中M 为横截面上得弯矩;I z 为截面对中性轴得惯性矩;y 为所求应力点至中性轴得距离。
当弯矩为正时，梁下部纤维伸长,故产生拉应力,上部纤维缩短而产生压应力;弯矩为负时，则与上相反。
在利用(8、2)式计算正应力时,可以不考虑式中弯矩M与ｙ得正负号,均以绝对值代入,正应力就是拉应力还就是压应力可以由梁得变形来判断。
应该指出,以上公式虽然就是纯弯曲得情况下,以矩形梁为例建立得，但对于具有纵向对称面得其她截面形式得梁,如工字形、Ｔ字形与圆形截面梁等仍然可以使用。
同时,在实际工程中大多数受横向力作用得梁，横截面上都存在剪力与弯矩,但对一般细长梁来说，剪力得存在对正应力分布规律得影响很小。
因此,(8、2)式也适用于非纯弯曲情况。
8.1.2最大弯曲正应力由式(8、2)可知,在y=ｙmａx即横截在由离中性轴最远得各点处,弯曲正应力最大,其值为式中，比值Ｉz/ｙｍax仅与截面得形状与尺寸有关,称为抗弯截面系数，也叫抗弯截面模量。
用Ｗz表示。
即为（8、３)于就是,最大弯曲正应力即为(8、４)可见,最大弯曲正应力与弯矩成正比，与抗弯截面系数成反比。
抗弯截面系数综合反映了横截面得形状与尺寸对弯曲正应力得影响。
图８、6中矩形截面与圆形截面得抗弯截面系数分别为(8、5)(8、6)而空心圆截面得抗弯截面系数则为(8、7）式中ɑ＝ｄ/D,代表内、外径得比值。
至于各种型钢截面得抗弯截面系数,可从型钢规格表中查得(见附录）。
例8、1图８、7所示悬臂梁，自由端承受集中荷载Ｆ作用,已知：h=18ｃm,b=12cm，y=6cm，a=2m,F=1、5KN。
计算A截面上K 点得弯曲正应力。
解先计算截面上得弯矩截面对中性轴得惯性矩则A截面上得弯矩为负,K点就是在中性轴得上边，所以为拉应力。
8、2 平面图形得几何性质构件在外力作用下产生得应力与变形,都与构件得截面得形状与尺寸有关。
反映截面形状与尺寸得某些性质得一些量,如拉伸时遇到得截面面积、扭转时遇到得极惯性矩与这一章前面遇到得惯性矩、抗弯截面系数等,统称为截面得几何性质。
为了计算弯曲应力与变形,需要知道截面得一些几何性质。
现在来讨论截面得一些主要得几何性质。
8.2.1形心与静矩若截面形心得坐标为y C与z C（C为截面形心),将面积得每一部分瞧成平行力系，即瞧成等厚、均质薄板得重力,根据合力矩定理可得形心坐标公式(a)静矩又称面积矩。
其定义如下，在图8、8中任意截面内取一点M(z,y）,围绕M点取一微面积dＡ,微面积对z轴得静矩为ydＡ，对y轴得静矩为zｄA,则整个截面对z与y轴得静矩分别为:(b)有形心坐标公式知:（c)上式中yＣ与z C就是截面形心C得坐标,A就是截面面积。
当截面形心得位置已知时可以用上式来计算截面得静矩。
从上面可知,同一截面对不同轴得静矩不同，静矩可以就是正负或就是零;静矩得单位就是长度得立方,用ｍ3或cｍ3、mｍ３等表示；当坐标轴过形心时,截面对该轴得静矩为零。
当截面由几个规则图形组合而成时，截面对某轴得静矩，应等于各个图形对该轴静矩得代数与。
其表达式为(ｄ)（ｅ)而截面形心坐标公式也可以写成(f)(g）8.2.2惯性矩、惯性积与平行移轴定理在图8、8中任意截面上选取一微面积dA，则微面积ｄA对z轴与y轴得惯性矩为z2d Ａ与Ｙ２dＡ。
则整个面积对ｚ轴与y轴得惯性矩分别记为Iｚ与Ｉy，而惯性积记为I zｙ,则定义:(h）(ｉ）极惯性矩定义为:（j)从上面可以瞧出，惯性矩总就是大于零，因为坐标得平方总就是正数,惯性积可以就是正、负与零;惯性矩、惯性积与极惯性矩得单位都就是长度得四次方,用m４或ｃm4、mm４等表示。
同一截面对不同得平行得轴,它们得惯性矩与惯性积就是不同得。
同一截面对二根平行轴得惯性矩与惯性积虽然不同,但它们之间存在一定得关系。
下面讨论二根平行轴得惯性矩、惯性积之间得关系。
图8、9所示任意截面对任意轴对ｚ´轴与y´轴得惯性矩、惯性积分别为Ｉz´、I y´与I zˊ。
过形心Ｃ有平行于z´、y´得两个坐标轴ｚ与ｙ,截面对z、ｙ轴得惯性矩与惯性积为I yˊｚ、Iｙ与Ｉzy。
对o z´y´坐标系形心坐标为C(a,b)。
截面上选取微面积dA，dＡ得形心坐标为则按照惯性矩得定义有上式中第一项为截面对过形心坐标轴y轴得惯性矩;第三项为面积得ａ2倍；而第二项为截面过形心坐标轴y轴静矩乘以2a 。
根据静矩得性质，对过形心轴得静矩为零,所以第二项为零。
这样上式可以写为(k)同理可得:(l）(m)也就就是说,截面对于平行于形心轴得惯性矩,等于该截面对形心轴得惯性矩再加上其面积乘以两轴间距离得平方;而截面对于平行于过形心轴得任意两垂直轴得惯性积,等于该面积对过形心二轴得惯性积再加上面积乘以相互平行得二轴距之积。
这就就是惯性矩与惯性积得平行移轴定理。
例８、2 计算图8、10 所示Ｔ 形截面得形心与过它得形心z 轴得惯性矩。
解 (1)确定截面形心位置选参考坐标系oz ´y ´,如图8、10所示。
将截面分解为上面与下面两个矩形部分,截面形心Ｃ得纵坐标为（2)计算截面惯性矩上面矩形与下面矩形对形心轴ｚ得惯性矩分别为49214923249231101.211032.131732008008002001211075.727710010001001000121mm I I I mm I mm I z z z z z ⨯=+=⨯=⨯⨯+⨯⨯=⨯=⨯⨯+⨯⨯=8.3 梁得弯曲剪应力当进行平面弯曲梁得强度计算时，一般来说，弯曲正应力就是支配梁强度计算得主要因素,但在某些情况上,例如,当梁得跨度很小或在支座附近有很大得集中力作用,这时梁得最大弯矩比较小，而剪力却很大,如果梁截面窄且高或就是薄壁截面,这时剪应力可达到相当大得数值,剪应力就不能忽略了。
下面介绍几种常见截面上弯曲剪应力得分布规律与计算公式。
8.3.1矩形截面梁得弯曲剪应力图8、11(ａ）所示矩形截面梁,在纵向对称面内承受荷载作用。
设横截面得高度为ｈ,宽度为b,为研究弯曲剪应力得分布规律,现作如下假设：横截面上各点处得剪应力得方向都平行于剪力，并沿截面宽度均匀分布。
有相距dx 得横截面从梁中切取一微段,如图8、12（a)。
然后，在横截面上纵坐标为y处,再用一个纵向截面ｍ－n,将该微段得下部切出,如图8、12（b)。
设横截面上y处得剪应力为τ,则由剪应力互等定理可知,纵横面ｍ-n上得剪应力τ’在数值上也等于τ。