高中数学新教材变式题：《圆锥曲线与方程》(命题人：广州市教育局教研室曾辛金)

九、《圆锥曲线与方程》变式题（命题人：广州市教育局教研室 曾辛金）1．（人教A 版选修1－1，2－1第39页例2）如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作X 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？变式1：设点P 是圆224x y +=上的任一点，定点D 的坐标为（8，0）．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程．解：设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则082x x +=，02yy =．即028x x =-，02y y =． 因为点P ()00,x y 在圆224x y +=上，所以22004x y +=．即()()222824x y -+=，即()2241x y -+=，这就是动点M 的轨迹方程．变式2：设点P 是圆224x y +=上的任一点，定点D 的坐标为（8，0），若点M 满足2PM MD =．当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程．解：设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，由2PM MD =，得()()00,28,x x y y x y --=--，即0316x x =-，03y y =．因为点P ()00,x y 在圆224x y +=上，所以22004x y +=．即()()2231634x y -+=，即2216439x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，这就是动点M 的轨迹方程．变式3：设点P 是曲线(),0f x y =上的任一点，定点D 的坐标为(),a b ，若点M 满足(,1)PM MD λλλ=∈≠-R．当点P 在曲线(),0f x y =上运动时，求点M 的轨迹方程．解：设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，由PM MD λ=，得()()00,,x x y y a x b y λ--=--，即()01x x a λλ=+-，()01y y b λλ=+-． 因为点P ()00,x y 在圆(),0f x y =上，所以()00,0f x y =．即()()()1,10fx a y b λλλλ+-+-=，这就是动点M 的轨迹方程．2．（人教A 版选修1－1，2－1第40页练习第3题）已知经过椭圆2212516x y +=的右焦点2F 作垂直于x 轴的直线A B ，交椭圆于A ，B 两点，1F 是椭圆的左焦点．（1）求1AF B ∆的周长；（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长有变化吗？为什么？变式1（2005年全国卷Ⅲ）：设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是A ．2 B ．12C ．2D 1 解一：设椭圆方程为22221x y a b +=，依题意，显然有212PF F F =，则22b c a =，即222a c c a-=，即2210e e +-=，解得1e =．选D ． 解二：∵△F 1PF 2为等腰直角三角形，∴c PF c F F PF 22,21212===. ∵a PF PF 221=+，∴a c c 222=+，∴12121-=+=ac．故选D ．变式2：已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．解一：由定义知12||||2PF PF a -=，又已知12||4||PF PF =，解得183PF a =，223PF a =，在12PF F ∆中，由余弦定理，得2222218981732382494964cos e a a c a a PF F -=⋅⋅-+=∠，要求e 的最大值，即求21cos PF F ∠的最小值，当1cos 21-=∠PF F 时，解得53e =．即e 的最大值为53．解二：设),(y x P ，由焦半径公式得a ex PF a ex PF -=+=21,，∵214PF PF =，∴)(4)(a ex a ex -=+，∴x a e 35=，∵a x ≥，∴35≤e ，∴e 的最大值为53． 变式3（2005年全国卷Ⅰ）：已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB + 与(3,1)a =-共线．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且 (,)OM OA OB λμλμ=+∈R，证明22μλ+为定值．解：（Ⅰ）设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+， 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+by a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .设A （11,y x ），B 22,(y x ），则22222121222222,.a c a c a b x x x x a b a b -+==++ 由1212(,),(3,1),OA OB x x y y a OA OB +=++=-+ 与a共线，得 ,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222c ba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知223b a =，所以椭圆12222=+b y a x 可化为.33222b y x =+设(,)OM x y =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ①由（Ⅰ）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+2222212223,8a c ab x xc a b -==+121212122121222233()()43()33930.22x x y y x x x c x c x x x x c c c c c +=+--=-++=-+=又222222212133,33b y x b y x =+=+，代入①得.122=+μλ故22μλ+为定值，定值为1.3．（人教A 版选修1－1，2－1第47页习题2.1A 组第6题）已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点1F ，2F 为顶点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标．变式1（2004年湖北卷理）：已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为A ．59B ．3C ．779 D ．49 解：依题意，可知当以F 1或F 2为三角形的直角顶点时，点P的坐标为94⎛⎫± ⎪⎝⎭，则点P 到x 轴的距离为49，故选D ．（可以证明不存在以点P 为直角顶点的三角形） 变式2（2006年全国卷Ⅱ）：已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是 A． B ．6 C． D ．12解：由于椭圆2213x y +=的长半轴长a =ABC ∆的周长为4a =C ．4．（人教A 版选修1－1，2－1第47页习题2.1B 组第3题）如图，矩形ABCD 中，2AB a =，2BC b =，E ，F ，G ，H 分别是矩形四条边的中点，R ，S ，T 是线段OF 的四等分点，R '，S '，T '是线段CF 的四等分点．请证明直线ER 与GR '、ES 与GS '、ET 与GT '的交点L ，M ，N 在同一个椭圆上．变式1：直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点A 、B .若双曲线C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆上时，则实数k = ．解：将直线:1l y kx =+代入双曲线C 的方程2221x y -=整理，得.022)2(22=++-kx x k ……①依题意，直线L 与双曲线C 的右支交于不同两点，故2222220,(2)8(2)0,20,220.2k k k kk k ⎧-≠⎪∆=-->⎪⎪⎨->-⎪⎪>⎪-⎩解得22-<<-k ． 设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x k k x x ……② ∵双曲线C 的右焦点F (),0c 在以AB 为直径的圆上，则由F A ⊥FB 得：.0)1)(1())((.0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即整理，得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③ 把②式及26=c 代入③式化简，得.066252=-+k k 解得))(2,2(566566舍去或--∉-=+-=k k ，故566+-=k ． N M LT /S /R /TSR O H GF ED C BA变式2（2002年广东卷）：A 、B 是双曲线2212y x -=上的两点，点N （1，2）是线段AB 的中点．（Ⅰ）求直线AB 的方程；（Ⅱ）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？解：（Ⅰ）直线AB 的方程为1y x =+．（求解过程略）（Ⅱ）联立方程组221,1.2y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()1,0A -、()3,4B ．由CD 垂直平分AB ，得CD 方程为3y x =-．代入双曲线方程2212y x -=整理，得26110x x +-=． 记()11,C x y ，()22,D x y 以及CD 的中点为()00,M x y ，则有12126,11.x x x x +=-⎧⎨=-⎩从而()3,6M -．∵12CD x =-==∴MC MD == 又MA MB ===即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等． 故A 、B 、C 、D 四点共圆．变式3（2005年湖北卷）：设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点. （Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入整理，得.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根，0])3(3)3([422>--+=∆∴k k λ ②)3,1(.3)3(2221N k k k x x 由且+-=+是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x 解得k ＝－1，代入②得，λ＞12，即λ的取值范围是（12，＋∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A.0))(())((33,32121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ 依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠.04),1(3).,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+⨯>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλ（Ⅱ）解法1：.02,13,=+--=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根，).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+∴M x y x x x x x 即且 于是由弦长公式可得).3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x .016842=-+-λx x ⑤同理可得.)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥.||||,)12(2)3(2,12CD AB <∴->->λλλ时当假设在在λ＞12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为.2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角即|,|||||2DN CN AN ⋅=⇔).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边＝.212-λ 由④和⑦知，⑧式右边＝)2232)3(2)(2232)3(2(--+-λλ,2122923-=--=λλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆解法2：由（Ⅱ）解法1及12>λ.,13,-=-∴x y CD AB CD 方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③ 解得2314,3-±-=λx .将直线AB 的方程,04=-+y x 代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤ 解得21222,1-±=λx .不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλCA)21233,23123(-------+=λλλλDA计算可得0=⋅，∴A 在以CD 为直径的圆上. 又点A 与B 关于CD 对称，∴A 、B 、C 、D 四点共圆.（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）5．（人教A 版选修1－1，2－1第59页习题2.2B 组第1题）求与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程． 变式1（2002年北京卷文）：已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是A ．y x 215±= B ．x y 215±= C ．y x 43±= D ．x y 43±= 解：依题意，有22223523m n m n -=+，即228m n =，即双曲线方程为22221163x y n n -=，故双曲线的渐近线方程是22220163x y n n -=，即x y 43±=，选D ． 变式2（2004年全国卷Ⅳ理）：已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ） A ．13422=+y x B ．16822=+y xC ．1222=+y xD ．1422=+y x 解：∵抛物线x y 42-=的焦点坐标为（－1，0），则椭圆的1c =，又21=e ，则2a =，进而23b =，所以椭圆方程为13422=+y x ，选A ．6．（人教A 版选修1－1，2－1第66页例4）斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．变式1：如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若12810x x x +++= ，则128PF P F P F +++= ___．解：根据抛物线的定义，可知12i ii p PF x x =+=+（1i =，2，……，8）， ∴()1281288118PF P F PF x x x +++=++++⋅= ． 变式2（2004年湖南卷理）：设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点(1,2,3),i P i = 使123,,,FP FP FP ，组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为 ．解：设11FP a =，则()11n F P a n d =+-，于是()11n FP FP n d -=-，即11n F P F Pd n -=-，由于21n ≥，()()122n FP FP a c a c c -≤+--==，故110d ≤，又0d ≠，故d ∈11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．变式3（2006年重庆卷文）：如图，对每个正整数n ，(,)n n n A x y 是抛物线24x y =上的点，过焦点F 的直线n FA 交抛物线于另一点(,)n n n B s t ．（Ⅰ）试证：4(1)n n x s n =-≥；（Ⅱ）取2n n x =，并记n C 为抛物线上分别以n A 与n B 为切点的两条切线的交点．试证：112221n n n FC FC FC -++++=-+ ．证明：（Ⅰ）对任意固定的1n ≥,因为焦点(0,1)F ,所以可设直线n n A B 的方程为1n y k x -=,将它与抛物线方程24x y =联立，得2440n x k x --=，由一元二次方程根与系数的关系得4n n x s =-．（Ⅱ）对任意固定的1n ≥，利用导数知识易得抛物线24x y =在n A 处的切线的斜率2n n A x k =，故24x y =在n A 处的切线方程为()2n n n x y y x x -=-， ① 类似地，可求得24x y =在n B 处的切线方程为)(2n n n s x s t y -=-， ②由②减去①得2222n n n nn n x s x s y t x ---=-+， 从而22224422n n n n n n x s x s x s x ---=-+， 2224n n n nx s x s x --=，2n n x s x +=， ③将③代入①并注意到4n n x s =-得交点n C 的坐标为)1,2(-+nns x . 由两点间距离公式,得2222||()42244n n n n n x s x s FC +=+=++ =2222)22(244nn n n x x x x +=++.从而||2||2||n n n x FC x =+. 现在2nn x =，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得，12||||n FC FC FC ++…+||1212111(||||)2(2||||n x x x x x =+++++…+||…1)||n x + 22111(22)2(222=+++++n …+2…1)2n +=11(21)(22)221n n n n -+-+-+-=-+.7．（人教A 版选修2－1第67页例5）过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴．变式（2001年全国卷）：设抛物线22y px =（0p >）的焦点为 F ，经过点 F 的直线交抛物线于A 、B 两点．点 C 在抛物线的准线上，且BC ∥X 轴．证明直线AC 经过原点O ．证明1：因为抛物线22y px =（0p >）的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为 2px my =+，代人抛物线方程得 2220y pmy p --=．若记()11,A x y ，()22,B x y ，则21,y y 是该方程的两个根，所以212y y p =-．因为BC ∥X 轴，且点C 在准线2p x =-上，所以点C 的坐标为2,2p y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故直线CO 的斜率为21112.2y y p k p y x ===- 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ．证明2：如图，记X 轴与抛物线准线L 的交点为E ， 过A 作AD ⊥L ，D 是垂足．则 AD ∥FE ∥BC ．连结AC ，与EF 相交于点N ，则||||||,||||||EN CN BF AD AC AB ==||||.||||NF AF BC AB = 根据抛物线的几何性质，|AF |=|AD |，|BF |=|BC | ，|,|||||||||||||||NF AB BC AF AB BF AD EN =⋅=⋅=∴即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ．8．（人教A 版选修1－1第74页，2－1第85页复习参考题A 组第8题）斜率为2的直线l 与双曲线22132x y -=交于A ，B 两点，且4AB =，求直线的方程． 变式1（2002年上海卷）：已知点()A和)B，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线2y x =-交于D 、E 两点，求线段DE 的长．解：根据双曲线的定义，可知C 的轨迹方程为2212y x -=． 联立222,1.2y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得2460x x +-=．设()11,D x y ，()22,E x y ，则12124,6x x x x +=-=-．所以12DE x =-==故线段DE 的长为变式2：直线y kx =2213x y +=交于不同两点A 和B ，且1OA OB ⋅= （其中O 为坐标原点），求k的值．解：将y kx =2213x y+=，得22(13)30k x +++=．由直线与椭圆交于不同的两点，得2222130,)12(13)12(31)0.k k k ⎧+≠⎪⎨∆=-+=->⎪⎩即213k >． 设),(),,(B B A A y x B y x A，则2313A B A B x x x x k+==+． 由1OA OB ⋅=，得2A B A B x x y y +=．而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x2222353(1)21331k k k k -=++=++．于是2253131k k -=+．解得3k =±．故k的值为3±．变式3：已知抛物线)0(22>=p px y ．过动点M （a ，0）且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ．若||2AB p ≤,求a 的取值范围．解：直线l 的方程为a x y -=， 将 px y a x y 22=-=代入， 得 0)(222=++-a x p a x ．设直线l 与抛物线的两个不同交点的坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>-+.),(2,04)(42212122a x x p a x x a p a又a x y a x y -=-=2211,， ∴ 221221)()(||y y x x AB -+-= ]4)[(221221x x x x -+=)2(8a p p +=．∵ 0)2(8,2||0>+≤<a p p p AB ， ∴ p a p p 2)2(80≤+<． 解得42p a p -≤<-．。