因式分解的七种常见方法

(2)－3x7＋24x5－48x3 ＝－3x3(x4－8x2＋16)
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＝－3x3(x2－4)2＝－3x3(x＋2)2(x－2)2.
题型3 先局部再整体法
7．把下列各式分解因式：
(1)(x＋3)(x＋4)＋x2－9； ＝(x＋3)(x＋4)＋(x＋3)(x－3) ＝(x＋3)[(x＋4)＋(x－3)] ＝(x＋3)(2x＋1)
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方法 2 公式法
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2； 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式， 其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式， 另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
(1)2x2－xy ＝ 2x2－xy＝x(2x－y)
(2)xn＋2－2xn－1(n为大于1的整数)；
＝xn－1(x3－2) (3)－4m4n＋16m3n－28m2n.
＝－4m2n(m2－4m＋7)．
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题型1 公因式是单项式的因式分解
4．把下列各式分解因式：
(1)a(b－c)＋c－b
＝ a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)
1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握：
①等式左边必须是多项式； ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方 面考虑。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来， 从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
ax ay ax y
方法 1 提公因式法
具体方法：
1.当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；
2.字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；
因式分解: 把一个多项式化成几个整式的积的形式 分解因式与整式乘法互为逆变形
提公因式法
换元法
公式法
求根公式法
长除法
余数定理法
十字相乘法
因式分解没有普遍的方法
对称多项式轮换对 称多项式法
拆项和添减项法 待定系数法
分组分解法 双十字相乘法
方法 1 提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
方法 2 公式法
立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)； 完全立方公式：a3±3a2b＋3ab2±b3=(a±b) 3． 公式：a3+b3+c3 =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) 例如：a2 +4ab+4b2 =(a+2b) 2。
(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2； ＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)
(3)(a－b)2(a＋b)＋(a－b)(a＋b)2. ＝(a－b)(a＋b)[(a－b)＋(a＋b)]＝2a(a－b)(a＋b)
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方法 2 公式法
题型1 直接用公式法
5．把下列各式分解因式：
＝[(x＋3)2]2＝(x＋3)4
(4)(x2＋y2)2－4x2y2 ＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)
＝(x＋y)2(x－y)2
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题型2 先提再套法
6．把下列各式分解因式：
(1)(x－1)＋b2(1－x) ＝(x－1)－b2(x－1)＝(x－1)(1－b2) ＝(x－1)(1＋b)(1－b)
取每项相同的多项式，多项式的次数取最低的。
3.如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，
使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把 2a2 1 变成 2(a2 1) 不叫提公因式
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。 单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。 如： 2a2bc 的 系数为-2，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项， 次数最高项的次数叫多项式的次数。 如：a2 2ab x 1 ，项有 a 2、 2ab、 x 、1， 二次项为 a 2 、 2ab，一次项为 x ，常数项为1， 各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。
3.提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式：先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原
多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的另一个因式，也可用公 因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
3、整式：单项式和多项式统称整式。 注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。
1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正
（例如： 3x2 x x(3x 1) ）
因式分解的七种常见方法
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方法 1 提公因式法
题型1 公因式是单项式的因式分解
1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－
4x2y2，则另一个因式是( B )
A．3y＋4x－1
B．3y－4x－1
C．3y－4x＋1
D．3y－4x
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2．(中考·广州)分解因式：2mx－6my＝__2_m_(_x_－__3_y_)．
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3．把下列各式分解因式：
(1)－16＋x4y4 ＝x4y4－16＝(x2y2＋4)(x2y2－4) ＝(x2y2＋4)(xy＋2)(xy－2)
(2)x4－(5x＋3)2 ＝[x2＋(5x＋3)][x2－(5x＋3)]
＝(x2＋5x＋3)(x2－5x－3)
(3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81 பைடு நூலகம்(x2＋6x＋9)2