二次函数与几何图形综合题

二次函数与几何图形综合题

类型1二次函数与相似三角形的存在性问题

2．(2015·襄阳)边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC.以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD 于点F.当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似

(3)点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

类型2二次函数与平行四边形的存在性问题

3．(2014·曲靖)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴分别交于A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，D 是抛物线顶点，E是对称轴与x轴的交点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)F是抛物线对称轴上一点，且tan∠AFE

＝

1

2，求点O到直线AF的距离；

(3)点P是x轴上的一个动点，过P作PQ∥OF交抛物线于点Q，是否存在以点O，F，P，Q为顶点的平行四边形若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．类型3二次函数与直角三角形的存在性问题

5．(2015·云南)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，与y 轴相交于点C，直线y＝kx＋n(k≠0)经过B、C两点，已知A (1，0)，C(0，3)，且BC＝5.

(1)分别求直线BC和抛物线的解析式(关系式)；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角形若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

类型4二次函数与等腰三角形的存在性问题

7．(2015·昆明官渡区二模)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)交于x轴于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y 轴交于点C(0，2)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积；

(3)连接AC，在x轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形；若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

类型5二次函数与图形面积问题

8．(2014·昆明)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)与x轴交于点A(－2，0)，B(4，

0)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少

(3)当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求K点坐标．

类型6二次函数与最值问题

9．(2013·玉溪)如图，顶点为A的抛物线y＝a(x＋2)2－4交x轴于点B(1，0)，连接AB，过原点O作射线OM∥AB，过点A作AD∥x轴交OM于点D，点C为抛物线与x轴的另一个交点，连接CD.

(1)求抛物线的解析式(关系式)；

(2)求点A，B所在的直线的解析式(关系式)；

(3)若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线OM运动，设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，四边形ABOP分别为平行四边形

(4)若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OD向点D运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接PQ.问：当t为何值时，四边形CDPQ的面积最小并求此时PQ的长．

类型7二次函数与根的判别式问题

10．(2015·衡阳)如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM、BM.

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)判断△ABM的形状，并说明理由；

(2)把抛物线与直线y＝x的交点称为抛物线的不动点．若将(1)中抛物线平移，使其顶点为(m，2m)，当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点

类型8二次函数与圆

11．(2015·曲靖)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B(0，－2)，A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y＝ax2＋c(a≠0)与x轴分别交于C、D两点，且CD＝4.点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE＝2，求点P的坐标；

(3)判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．