概率作业B答案-(2)

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概率论与数理统计作业题及参考答案

概率论与数理统计作业题及参考答案

东北农业大学网络教育学院 概率论与数理统计作业题(一)一、填空题1.将A ,A ,C ,C ,E ,F ,G 这7个字母随机地排成一行,恰好排成GAECF AC 的概率为 。

2.用随机变量X 来描述掷一枚硬币的试验结果. 则X 的分布函数为 。

3.已知随机变量X 和Y 成一阶线性关系,则X 和Y 的相关系数=XY ρ 。

4.简单随机样本的两个特点为:5.设21,X X 为来自总体),(~2σμN X 的样本,若2120041X CX +为μ的一个无偏估计,则C = 。

二、选择题1.关系( )成立,则事件A 与B 为互逆事件。

(A )Φ=AB ; (B )Ω=B A ; (C )Φ=AB Ω=B A ; (D )A 与B 为互逆事件。

2.若函数)(x f y =是一随机变量X 的概率密度,则( )一定成立。

)(A )(x f y =的定义域为[0,1] )(B )(x f y =非负)(C )(x f y =的值域为[0,1] )(D )(x f y =在),(+∞-∞内连续3.设Y X ,分别表示甲乙两个人完成某项工作所需的时间,若EY EX <,DY DX >则 ( ) (A ) 甲的工作效率较高,但稳定性较差 (B ) 甲的工作效率较低,但稳定性较好 (C ) 甲的工作效率及稳定性都比乙好 (D ) 甲的工作效率及稳定性都不如乙4.样本4321,,,X X X X 取自正态分布总体X ,μ=EX 为已知,而2σ=DX 未知,则下列随机变量中不能作为统计量的是( )(.A ).∑==4141i i X X (B ).μ241++X X (C ).∑=-=4122)(1i i X X k σ (D ).∑=-=4122)(31i i X X S 5.设θ是总体X 的一个参数,θˆ是θ的一个估计量,且θθ=)ˆ(E ,则θˆ是θ的( )。

(A )一致估计 (B )有效估计 (C )无偏估计 (D )一致和无偏估计三、计算题1.两封信随机地投向标号1,2,3,4的四个空邮筒,问:(1)第二个邮筒中恰好投入一封信的概率是多少;(2)两封信都投入第二个邮筒的概率是多少?22.一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求(1)这4个中的次品数X 的分布列;(2))1(<X p3.已知随机变量X 的分布密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<=其他,021,210,)(x x x x x f ,求DX EX ,.4.设随机变量X 与Y(1)求X 与Y 的边缘分布列 (2)X 与Y 是否独立?5.总体X 服从参数为λ的泊松分布)(λp ,λ未知,设n X X X ,,, 21为来自总体X 的一个样本: (1)写出)(21n X X X ,,, 的联合概率分布; (2)}{max 1i ni X ≤≤,21X X +,212XX n -,5,∑=ni iX 12)(λ-中哪些是统计量?6.某车间生产滚珠,从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布,且直径的方差为04.02=σ,从某天生产的产品中随机抽取9个,测得直径平均值为15毫米,试对05.0=α,求出滚珠平均直径的区间估计)96.1,645.1(025.005.0==Z Z概率论与数理统计作业题(二)一、填空题1.将A ,A ,C ,C ,E ,F ,G 这7个字母随机地排成一行,恰好排成GAECF AC 的概率为 。

概率作业纸第二章答案

概率作业纸第二章答案

第一章 随机事件及其概率第三节 事件的关系及运算一、选择1.事件AB 表示 ( C )(A ) 事件A 与事件B 同时发生 (B ) 事件A 与事件B 都不发生(C ) 事件A 与事件B 不同时发生 (D ) 以上都不对 2.事件B A ,,有B A ⊂,则=B A ( B )(A ) A (B )B (C ) AB (D )A B二、填空1.设,,A B C 表示三个随机事件,用,,A B C 的关系和运算表示⑴仅A 发生为ABC ⑵,,A B C 中正好有一件发生为ABC ABC ABC ++⑶,,A B C 中至少有一件发生为C B A第四节 概率的古典定义一、选择1.将数字1、2、3、4、5写在5张卡片上,任意取出3张排列成三位数,这个数是奇数的概率是( B )(A )21 (B )53 (C )103 (D )101 二、填空 1.从装有3只红球,2只白球的盒子中任意取出两只球,则其中有并且只有一只红球的概率为11322535C C C = 2.把10本书任意放在书架上,求其中指定的3本书放在一起的概率为!10!8!3 3.为了减少比赛场次,把20个球队任意分成两组,每组10队进行比赛,则最强的两个队被分在不同组内的概率为1910102091812=C C C 。

三、简答题1.将3个球随机地投入4个盒子中,求下列事件的概率(1)A ---任意3个盒子中各有一球;(2)B ---任意一个盒子中有3个球;(3)C---任意1个盒子中有2个球,其他任意1个盒子中有1个球。

解:(1)834!3)(334==C A P (2)1614)(314==C B P (3)1694)(3132314==C C C C P 第五节 概率加法定理一、选择1.设随机事件A 和B 同时发生时,事件C 必发生,则下列式子正确的是( C )(A))()(AB P C P = (B))()()(B P A P C P +=(C)1)()()(-+≥B P A P C P (D)1)()()(-+≤B P A P C P2.已知41)()()(===C P B P A P , 0)(=AB P , 161)()(==BC P AC P 。

概率论与数理统计(第三版)课后答案习题2

概率论与数理统计(第三版)课后答案习题2

第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解:根据1)(0==∑∞=k k XP ,得10=∑∞=-k kae,即1111=---eae 。

故 1-=e a2.3解:用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数,X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:(1)P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解:(1)P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=-(2)P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解:设i A 表示第i 次取出的是次品,X 的所有可能取值为0,1,212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解:(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数,则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数,则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 (1)X ~P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -(2)X ~P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解:设应配备m 名设备维修人员。

概率作业纸第二章答案

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第二章 随机变量及其分布第二节 离散随机变量一、选择1. 设离散随机变量X 的分布律为:),3,2,1(,}{ ===k b k X P k λ 且0>b ,则λ为( C )(A) 0>λ (B)1+=b λ (C)b +=11λ (D)11-=b λ 二、填空1.进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为54, 失败的概率为51, 将试验进行到出现一次成功为止, 以X 表示所需试验次数, 则X 的分布律是{} 1,2, , 54)51(1=⋅==-K K X P K三、计算题1. 一个袋子中有5个球,编号为1,2,3,4,5, 在其中同时取3只, 以X 表示取出的3个球中的最大号码, 试求X 的概率分布.的概率分布是从而,种取法,故只,共有任取中,,个号码可在,另外只球中最大号码是意味着事件种取法,故只,共有中任取,,个号码可在,另外只球中最大号码是意味着事件只有一种取法,所以只球号码分布为只能是取出的事件的可能取值为解X C C X P C X C C X P C X C X P X X 53}5{624,321253},5{103}4{2321243},4{1011}3{,3,2,13},3{.5,4,335242235232335=============第三节 超几何分布 二项分布 泊松分布一、选择1.设随机变量),3(~),,2(~p B Y p B X , {}{}()CY P X P =≥=≥1,951则若(A)43 (B)2917 (C)2719 (D)97 二、填空1.设离散随机变量X 服从泊松分布,并且已知{}{},21===X P X P{})0902.0_____(32_42-=e X P =则.三、计算题1.某地区一个月内发生交通事故的次数X 服从参数为λ的泊松分布,即)(~λP X ,据统计资料知,一个月内发生8次交通事故的概率是发生10次交通事故的概率的2.5倍. (1) 求1个月内发生8次、10次交通事故的概率; (2)求1个月内至少发生1次交通事故的概率;9975.000248.01}0{1}1{00248.0}0{)2(0413.0!106}10{1033.0!86}8{)1(6,36!105.2!8}10{5.2}8{.,.,2,1,0,!}{),(~10610682108≈-≈=-=≥≈===≈==≈====⨯====⋯===------X P X P e e X P e X P e X P e e X P X P k k e k X P P X k λλλλλλλλλλλλ解出即据题意有关键是求出是未知的这里题这是泊松分布的应用问解第五节 随机变量的分布函数一、填空题1.设离散随机变量,216131101~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-X 则X 的分布函数为 . ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<==++=≤=≥=+=≤=<≤=≤=<≤-=≤=-<1,110,2101,311,0)(1216131}{)(1;216131}{)(1031}{)(01;0}{)(1x x x x x F x X P x F x x X P x F x x X P x F x x X P x F x 当当当当整理,得时,当时,当时,当时,当解二、选择1.设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数,为使)()()(21x bF x aF x F -=是某一变量的分布函数,在下列给定的数值中应取( A )(A)52,53-==b a (B)32,32==b a (C)23,21=-=b a (D)23,21-==b a 2.设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<**≤=2,12)(,4)(,0)(2x x xx x F ,当(*)取下列何值时,)(x F 是连续型随机变量的分布函数.( A )(A) 0 (B) 0.5 (C) 1.0 (D)1.5三.计算题1.设随机变量X 的分布函数为x B A x F arctan )(+=,求B A ,的值. 解:由随机变量分布函数的性质.0)(lim =-∞→x F x .1)(lim =+∞→x F x 知.2)2()a r c t a n (lim )(lim 0B A B A x B A x F x x ππ-=-⨯+=+==-∞→-∞→.22)arctan (lim )(lim 1B A B A x B A x F x x ππ+=⨯+=+==+∞→+∞→ 解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-1202B A B A ππ得π1,21==B A 第六节 连续随机变量的概率密度一、选择1.下列函数中,可为随机变量X 的密度函数的是( B )(A ) sin ,0()0,x x f x π≤≤⎧=⎨⎩其它(B )sin ,0()20,x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它(C ) 3sin ,0()20x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩,其它(D )()sin ,f x x x =-∞<<+∞ 二、填空1.设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x x F ,arctan 121)(π(1)(11)P X -≤≤= 0.5 (2)概率密度()f x =2111x +⋅π 三、计算题1. 设随机变量X 的概率密度:,10(),010,1c x x f x c x x x +-≤≤⎛=-≤≤ >⎝求:(1)常数c ;(2)概率(0.5)P X ≤ 解:(1)1)()(11=-++⎰⎰-dx x c dx x c ,c=1(2) (0.5)P X ≤=75.0)1()1(5.005.0=-++⎰⎰-dx x dx x2.已知随机变量X 的概率密度1(),2xf x e x -=-∞<<+∞, 求:分布函数()F x 。

华东理工大学概率论答案-2

华东理工大学概率论答案-2

华东理工大学概率论答案-2华东理工大学概率论与数理统计作业簿(第二册)学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________第四次作业一. 填空题: 1.设事件A,B 相互独立,且5.0)(,2.0)(==B P A P ,则)(B A B P ⋃= 4/92. 设A 、B 、C 两两独立,且ABC=Φ,P(A)=P(B)=P(C)<21, 169)(=⋃⋃C B A P 则P(C)= 0.253. 已知事件A,B 的概率()0.4,()0.6P A P B ==且()0.8P A B ⋃=,则(|)P A B =13,(|)P B A =12。

4. 已知()0.3,()0.5P A P B ==,(|)0.4P A B =,则()P AB = 0.2,()P A B ⋃= 0.6,(|)P B A =23。

二. 选择题:1. 设袋中有a 只黑球,b 只白球,每次从中取出一球,取后不放回,从中取两次,则第二次取出黑球的概率为( A );若已知第一次取到的球为黑球,那么第二次取到的球仍为黑球的概率为( B )A .)(b a a +B .11-+-b a aC . )1)(()1(-++-b a b a a aD .22)(b a a +2.已知()0.7,()0.6,()0.6,P A P B P B A ===则下列结论正确的为( B )。

A .AB 与互不相容; B .A B 与独立; C.A B⊃;D .()0.4P B A =.3.对于任意两事件A 和B ,则下列结论正确的是( C )A .一定不独立,,则若B A AB ∅=; B .一定独立,,则若B A AB ∅≠;C .有可能独立,,则若B A AB ∅≠;D .一定独立,,则若B A AB ∅= 4.设事件,,,A B C D 相互独立,则下列事件对中不相互独立的是( C ))(A A 与BC D ⋃; )(B AC D ⋃与BC ; )(C BC 与A D -; )(D C A -与BD .三. 计算题:1.设有2台机床加工同样的零件,第一台机床出废品的概率为0.03,第二台机床出废品的概率为0.06,加工出来的零件混放在一起,并且已知第一台机床加工的零件比第二台机床多一倍。

概率论与数理统计作业B

概率论与数理统计作业B

目录第二章随机变量及其分布与数字特征 (1)习题A(作业题) (1)习题B(练习题) (4)一、填空题 (4)二、选择题 (5)三、计算题 (8)第六章统计量和抽样分布 (17)习题A(作业题) (17)习题B(练习题) (19)一、填空题 (19)二、选择题 (20)三、计算题 (23)第八章假设检验 (28)习题A(作业题) (28)习题B(练习题) (29)一、填空题 (29)二、选择题 (30)三、计算题 (33)第二章 随机变量及其分布与数字特征习题A(作业题)1求()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤2523;252;1X p X p x F )()()(.DX EX ,2.一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求(1)这4个中的次品数X 的分布列;(2))1(<X p3. 连续型随机变量X 的分布函数为)0(,1,arcsin ,0)(>⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-+-≤=a a x a x a a x B A a x x F试求:(1)系数A 、B ;(2)求2(a X p <);(3)X 的分布密度函数。

4.服从拉普拉斯分布的随机变量X 的概率密度xAex f -=)( , 求(1)系数A ; (2))11(<<-X p ,(3)分布函数)(x F .5. 已知随机变量X ),(~2σμN ,975.0)9(=<X p ,062.0)2(=<X p ,利用标准正态分布表求)6(>X p 和)3(>X p 。

6.某保险公司对顾客进行人身保险,如果在一年内投保人死亡,保险公司赔偿10000元,若投保人受伤,保险公司赔偿5000元,已知一年内投保人死亡的概率为0.002,受伤的概率为0.005,为使保险公司的期望收益不低于保费的10%,该公司应该要求顾客至少交多少保险费?习题B(练习题)一、填空题1.用随机变量X 来描述掷一枚硬币的试验结果(正面为1,反面为0). 则X 的分布函数为 。

概率统计-习题及答案-(2)

概率统计-习题及答案-(2)
2.9 设随机变量X 、Y 都服从二项分布,X ~),2(p b ,Y ~),3(p b 。已知5{1}9 P X ≥=,试求{1}P Y ≥的值。 2.10 设在某条公路上每天发生事故的次数服从参数3=λ的普阿松分布。 (1)试求某天出现了3次或更多次事故的概率。 (2)假定这天至少出了一次事故,在此条件下重做(1)题。 2.11 某商店出售某种商品,据以往经验,月销售量服从普阿松分布)3(P 。问在月初进货时要库存多少此种商品,才能以99% 的概率充分满足顾客的需要。
2.12 考虑函数 3(2)02/5 ()0C x x x f x ?-<<=? ? 其他 能否作为随机变量的概率密度?如果能,试求出常数C 的值。 2.13 已知随机变量X 的概率密度为 01 ()0 Ax x f x < ?其他 , 求:(1)系数A ;(2)概率{0.5}P X ≤; (3)随机变量X 的分布函数。 2.14 已知随机变量X 的概率密度为()x f x Ae
0}3{=>ηP 。 2.3 (1)ξ可能的取值为1,2,3。 从8个好灯泡和2个坏灯泡中任取3个,恰好取到k 个好灯泡和k -3个坏灯泡的概率为 3 10 32 8}{C C C k P k k -==ξ(3,2,1=k )。 由此求得ξ的概率分布为
ξ的分布函数为 ???? ??? ≥==+=+=<≤==+=<≤==<=≤=31 }3{}2{}1{3215
2.5 已知某人在求职过程中每次求职的成功率都是0.4,问他预计最多求职多少次,就能保证有99%的把握获得一个就业机会? 2.6 已知1000个产品中有100个废品。从中任意抽取3个,设X 为取到的废品数。 (1)求X 的概率分布,并计算X =1的概率。 (2)由于本题中产品总数很大,而从中抽取产品的数目不大,所以,可以近似认为是“有放回地任意抽取3次”,每次取到废品 的概率都是0.1,因此取到的废品数服从二项分布。试按照这一假设,重新求X 的概率分布,并计算X =1的概率。 2.7 一个保险公司推销员把保险单卖给5个人,他们都是健康的相同年龄的成年人。根据保险统计表,这类成年人中的每一个 人未来能活30年的概率是2/3。求: (1)5个人都能活30年的概率; (2)至少3个人都能活30年的概率; (3)仅2个人都能活30年的概率; (4)至少1个人都能活30年的概率。 2.8 一张答卷上有5道选择题,每道题列出了3个可能的答案,其中有一个答案是正确的。某学生靠猜测能答对至少4道题的概 率是多少?

概率统计考试试卷B(答案)

概率统计考试试卷B(答案)

概率统计考试试卷B(答案)系(院):专业:年级及班级:姓名:学号: .密封线1、五个考签中有⼀个难签,甲、⼄、丙三个考⽣依次从中抽出⼀张考签,设他们抽到难签的概率分别为1p ,2p ,3p ,则( B ) (A)321p p p (B)1p =2p =3p (C)321p p p (D)不能排⼤⼩解:抽签概率均为51,与顺序⽆关。

故选(B )2、同时掷3枚均匀硬币,恰有两枚正⾯向上的概率为(D )(A)0.5 (B)0.25 (C)0.125 (D)0.375解:375.0832121223==??? ????? ??C ,故选(D )3 、设(),,021Φ=A A B P 则( B )成⽴(A)()01 B A P (B)()[]()()B A P B A P B A A P 2121+=+ (C)()02≠B A A P (D)()121=B A A P解:条件概率具有⼀般概率性质,当A 1A 2互斥时,和的条件概率等于条件概率之和。

故选(B )课程名称:《概率论与数理统计》试卷类别:考试形式:开卷考试时间:120 分钟适⽤层次:本科适⽤专业:阅卷须知:阅卷⽤红⾊墨⽔笔书写,⼩题得分写在相应⼩题题号前,⽤正分表⽰;⼤题得分登录在对应的分数框内;考试课程应集体阅卷,流⽔作业。

系(院):专业:年级及班级:姓名:学号: .密封线4、10张奖券中含有3张中奖的奖券,每⼈购买⼀张,则前3个的购买者中恰有1⼈中奖的概率为(D )(A)3.07.02321 解:310272313A A C C P ?==402189106733=,故选(D ) 5、每次试验成功的概率为p ,独⽴重复进⾏试验直到第n 次才取得()n r r ≤≤1次成功的概率为(B )。

(A)()rn rn p p C --1 (B)()rn rr n p p C ----111(C)()rn r p p --1 (D) ()rn r r n p pC -----1111解:rn r r n r n r r n qp C q p C p ---+-----=?1111111,故选(B )第n 次6、设随机变量X 的概率密度为)1(12x +π,则2X 的概率密度为(B ) (A))1(12x +π (B))4(22x +π (C))41(12x +π (D))x +π解:令()x g x y ==2 ()y h y x ==21 ()21='y h ()214112+=y y P Y π=()21442?+y π=()242y +π,故选(B )7、如果随机变量X 的可能值充满区间( A B ),⽽在此区间外等于零,则x sin 可能成为⼀随机变量的概率密度。

(完整版)概率论第二章答案

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(完整版)概率论第⼆章答案习题2-21. 设A 为任⼀随机事件, 且P (A )=p (01,,0,A X A =??发⽣不发⽣.写出随机变量X 的分布律.解 P {X =1}=p , P {X =0}=1-p . 或者2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为cc c c 167,85,43,21. 试确定常数c , 并计算条件概率}0|1{≠13571,24816c c c c+++= 所以3716c=. 所求概率为 P {X <1| X0≠}=258167852121}0{}1{=++=≠-=cc c c X P X P . 3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的⼆项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的⼆项分布, 若{P X ≥51}9 =, 求{P Y ≥1}.解注意p{x=k}=kk n k n C p q -,由题设5{9P X =≥21}1{0}1,P X q =-==-故213qp =-=. 从⽽{P Y ≥32191}1{0}1().327P Y =-==-=4. 在三次独⽴的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知⾄少成功⼀次的概率为1927, 求每次试验成功的概率.解设每次试验成功的概率为p , 由题意知⾄少成功⼀次的概率是2719,那么⼀次都没有成功的概率是278. 即278)1(3=-p , 故 p =31. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且{1}{3}P X P X ===, 求参数λ.解由泊松分布的分布律可知6=λ.6. ⼀袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表⽰取出的3只球中的最⼤号码, 写出随机变量X 的分布律.解从1,2,3,4,5中随机取3个,以X 表⽰3个数中的最⼤值,X 的可能取值是3,4,5,在5个数中取3个共有1035=C 种取法.{X =3}表⽰取出的3个数以3为最⼤值,P{X =3}=2235C C =101;{X =4}表⽰取出的3个数以4为最⼤值,P{X =4}=1033523=C C ;{X =5}表⽰取出的3个数以5为最⼤值,P{X =5}=533524=C C .X 的分布律是1. 设X求分布函数解 (1) F (x )=0,1,0.15,10,0.35,01,1,1.x x x x <-??-(2) P {X <0}=P {X =-1}=0.15;(3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1; (4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=0.35. 2. 设随机变量X 的分布函数为F (x ) = A +B arctan x -∞试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率.解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知()0112,.2()12A B A B A B πππ?+-===?+= 于是 11()arctan ,.2F x x x π=+-∞<<+∞(2) {11}(1)(1)P X F F -<=--≤1111(arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+-11111().24242ππππ=+?---=3. 设随机变量X 的分布函数为F (x )=0, 0,01,21,1,,x xx x <求P {X ≤-1}, P {0.3解 P {X 1}(1)0F -=-=≤,P {0.3P {05. 假设随机变量X 的绝对值不⼤于1;11{1},{1}84P X P X =-===; 在事件{11}X -<<出现的条件下, X 在(-1,1)内任⼀⼦区间上取值的条件概率与该区间的长度成正⽐. (1) 求X 的分布函数(){F x P X =≤x }; (2) 求X 取负值的概率p .解 (1) 由条件可知, 当1x <-时, ()0F x =; 当1x =-时,1(1)8F -=;当1x =时, F (1)=P {X ≤1}=P (S )=1. 所以115{11}(1)(1){1}1.848P X F F P X -<<=---==--=易见, 在X 的值属于(1,1)-的条件下, 事件{1}X x -<<的条件概率为{1P X -<≤|11}[(1)]x X k x -<<=--,取x =1得到 1=k (1+1), 所以k =12. 因此{1P X -<≤|11}12x X x -<<=+. 于是, 对于11x -<<, 有 {1P X -<≤}{1x P X =-<≤,11}x X -<<{11}{1|11}≤P X P X x X =-<<-<-<< 5155.8216x x ++=?=对于x ≥1, 有() 1.F x = 从⽽0,1,57(),11,161,1.x x F x x x <-+=-<7{0}(0){0}(0)[(0)(0)](0).16p P X F P X F F F F =<=-==---=-=习题2-41. 选择题 (1) 设2, [0,],()0, [0,].x x c f x x c ∈=如果c =( ), 则()f x 是某⼀随机变量的概率密度函数. (A)13. (B) 12. (C) 1. (D) 32.解由概率密度函数的性质()d 1f x x +∞-∞=?可得02d 1cx x =?, 于是1=c , 故本题应选(C ).(2) 设~(0,1),XN ⼜常数c 满⾜{}{}P X c P X c =<≥, 则c 等于( ).(A) 1. (B) 0. (C) 12. (D) -1.解因为{}{}P X c P X c =<≥, 所以1{}{}P X c P X c -<=<,即2{}1P X c <=, 从⽽{}0.5P X c <=,即()0.5c Φ=, 得c =0. 因此本题应选(B).(3) 下列函数中可以作为某⼀随机变量的概率密度的是( ).(A)cos ,[0,],()0,x x f x π∈=??其它. (B) 1,2,()20,x f x <=其它.(C)22()2,0,()0,0.≥x x f x x µσ--==?可知本题应选(D).(4) 设随机变量2~(,4)XN µ, 2~(,5)Y N µ, 1{X P P =≤4µ-}, {2P P Y =≥5µ+}, 则( ).(A) 对任意的实数12,P P µ=. (B) 对任意的实数12,P P µ<. (C) 只对实数µ的个别值, 有12P P =. (D) 对任意的实数12,P P µ>. 解由正态分布函数的性质可知对任意的实数µ, 有12(1)1(1)P P ΦΦ=-=-=. 因此本题应选(A).(5) 设随机变量X 的概率密度为()f x , 且()()f x f x =-, ⼜F (x )为分布函数, 则对任意实数a , 有( ).(A)()1d ()∫aF a x f x -=-. (B) 01()d 2()∫aF a x f x -=-.(C) ()()F a F a -=. (D) ()2()1F a F a -=-.解由分布函数的⼏何意义及概率密度的性质知答案为(B). (6) 设随机变量X服从正态分布211(,)N µσ,Y服从正态分布222(,)N µσ,且12{1}{1},P X P Y µµ-<>-< 则下式中成⽴的是( ).(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) µ1 <µ2. (D) µ1 >µ2.解答案是(A).(7) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的正数)10(<<αα, 数αu 满⾜{}P X u αα>=, 若{}P X x α<=, 则x 等于( ).(A)2u α . (B) 21α-u. (C)1-2u α. (D) α-1u .解答案是(C).2. 设连续型随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 要使1{2}4P k X k <<=成⽴, 应当怎样选择数k ?解因为随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 其分布函数为1e ,0,()0,0.≤x x F x x λ-->=??由题意可知221{2}(2)()(1e )(1e )e e 4k k k k P k X k F k F k λλλλ----=<<=-=---=-.于是ln 2k λ=.3. 设随机变量X 有概率密度34,01,()0,x x f x <<=??其它, 要使{}{}≥P X a P X a =<(其中a >0)成⽴, 应当怎样选择数a ?解由条件变形,得到1{}{}P X a P X a -<=<,可知{}0.5P X a <=, 于是304d 0.5a x x =?,因此a =.4. 设连续型随机变量X 的分布函数为20,0,()01,1,1,,≤≤x F x x x x <=>求: (1) X 的概率密度; (2){0.30.7}P X <<.解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系()()F x f x '=,可得2,01,()0,其它.x x f x <(2)22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F <<=-=-=.5. 设随机变量X 的概率密度为f (x )=2,01,0,x x ??≤≤ 其它, 求P {X ≤12}与P {14X <≤2}.解{P X ≤12201112d 224}x x x ===?;1{4P X <≤12141152}2d 1164x x x ===?. 6. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数,01,(),12,0,x x f x A x x <=-≤≤其它.求: (1) 常数A ;(2) X 的分布函数F (x ).解 (1) 由概率密度的性质可得12221121111d ()d []122x x A x x xAx x A =+-=+-=-??,于是2A =;(2) 由公式()()d x F x f x x -∞=?可得当x ≤0时,()0F x =;当0x <≤1时, 201()d 2xF x x x x ==;当1x <≤2时, 2101()d (2)d 212x x F x x x x x x =+-=--??;当x >2时,()1F x =.所以220,0,1()221, 2.1,021,12x F x x x x x x x =->≤≤,≤,7. 设随机变量X 的概率密度为1(1),02,()40,x x f x+<<=其它,对X 独⽴观察3次, 求⾄少有2次的结果⼤于1的概率.解根据概率密度与分布函数的关系式{P a X <≤}()()()d bab F b F a f x x =-=?,可得2115{1}(1)d 48P X x x >=+=.所以, 3次观察中⾄少有2次的结果⼤于1的概率为223333535175()()()888256C C +=. 8. 设~(0,5)X U , 求关于x 的⽅程24420x Xx ++=有实根的概率.解随机变量X 的概率密度为105,()50,,x f x <=≤其它,若⽅程有实根, 则21632X -≥0, 于是2X ≥2. 故⽅程有实根的概率为 P {2X ≥2}=21{2}P X -<1{P X =-<<1d 5x =-15=-.9. 设随机变量)2,3(~2N X.(1) 计算{25}P X <≤, {410}P X -<≤, {||2}P X >, }3{>X P ; (2) 确定c 使得{}{};P X c P X c >=≤ (3) 设d 满⾜{}0.9P X d >≥, 问d ⾄多为多少?解 (1) 由P {a}()()22222a Xb b a ΦΦ-----<=-≤公式, 得到P {2{||2}P X >={2}P X >+{2}P X <-=123()2Φ--+23()2Φ--=0.6977,}3{>X P =133{3}1()1(0)2P X ΦΦ-=-=-≤=0.5 .(2) 若{}{}≤P X c P X c >=,得1{}{}P X c P x c -=≤≤,所以{}0.5P X c =≤由(0)Φ=0推得30,2c -=于是c =3. (3){}0.9≥P X d > 即13()0.92d Φ--≥, 也就是3()0.9(1.282)2d ΦΦ--=≥,因分布函数是⼀个不减函数, 故(3)1.282,2d --≥ 解得 32( 1.282)0.436d +?-=≤.10. 设随机变量2~(2,)X N σ, 若{04}0.3P X <<=, 求{0}P X <.解因为()~2,X N σ2,所以~(0,1)X Z N µσ-=. 由条件{04}0.3P X <<=可知02242220.3{04}{}()()X P X P ΦΦσσσσσ---=<<=<<=--,于是22()10.3Φσ-=, 从⽽2()0.65Φσ=. 所以{{}2020}P P X X σσ==--<<22()1()0.35ΦΦσσ-=-=. 习题2-51. 选择题(1) 设X 的分布函数为F (x ), 则31Y X =+的分布函数()G y 为( ).(A) 11()33F y -. (B) (31)F y +.(C)3()1F y +. (D)1133()F y -. 解由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A).(2) 设()~01,XN ,令2Y X =--, 则~Y ( ).(A)(2,1)N --. (B)(0,1)N . (C)(2,1)N -. (D)(2,1)N .解由正态分布函数的性质可知本题应选(C).2. 设~(1,2),23X N Z X =+, 求Z 所服从的分布及概率密度. 解若随机变量2~(,)X N µσ, 则X 的线性函数Y aX b =+也服从正态分布, 即2~(,()).Y aX b N a b a µσ=++ 这⾥1,µσ==, 所以Z ~(5,8)N .概率密度为()f z=2(5)16,x x ---∞<<+∞.3. 已知随机变量X 的分布律为(1) 求解 (1)(2)4. ()X f x =1142ln 20x x <, , , 其它,且Y =2-X , 试求Y 的概率密度.解先求Y 的分布函数)(y F Y :)(y F Y ={P Y ≤}{2y P X =-≤}{y P X=≥2}y -1{2}P Xy =-<-=1-2()d yX f x x --∞.于是可得Y 的概率密度为()(2)(2)Y X f y f y y '=---=12(2)ln 20,.,124,其它y y -?<-即 121,2(2)ln 20, ,()其它.Y y y f y -<<-?=5. 设随机变量X 服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量2Y X =的概率密度.解由题意可知随机变量X 的概率密度为()0,.1,22,4其它X f x x =?-<因为对于0(){Y F y P Y =≤2}{y P X =≤}{y P =X于是随机变量2YX =的概率密度函数为()Y fy (X X f f =+0 4.y =<<即()04,0,.其它f y y =<总习题⼆1. ⼀批产品中有20%的次品, 现进⾏有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别计算这5件样品中恰好有3件次品及⾄多有3件次品的概率.解以X 表⽰抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知~(5,0.2)X B .(1) 恰好有3件次品的概率是P {X =3}=23358.02.0C .(2) ⾄多有3件次品的概率是k k k k C-=∑5358.02.0.2. ⼀办公楼装有5个同类型的供⽔设备. 调查表明, 在任⼀时刻t 每个设备被使⽤的概率为0.1. 问在同⼀时刻(1) 恰有两个设备被使⽤的概率是多少? (2) ⾄少有1个设备被使⽤的概率是多少? (3) ⾄多有3个设备被使⽤的概率是多少?(4) ⾄少有3个设备被使⽤的概率是多少?解以X 表⽰同⼀时刻被使⽤的设备的个数,则X ~B (5,0.1),C -559.01.0,k =0,1, (5)(1) 所求的概率是P {X =2}=0729.09.01.03225=C ; (2)所求的概率是P {X ≥1}=140951.0)1.01(5=--;(3) 所求的概率是 P {X ≤3}=1-P{X =4}-P {X =5}=0.99954;(4) 所求的概率是P {X ≥3}=P {X =3}+P {X =4}+P {X =5}=0.00856. 3. 设随机变量X 的概率密度为e ,0,()00,≥,x k x f x x θθ-=且已知1{1}2P X>=, 求常数k , θ.解由概率密度的性质可知e d 1xkx θθ-+∞=?得到k =1.由已知条件111e d 2xx θθ-, 得1ln 2θ=.4. 某产品的某⼀质量指标2~(160,)X N σ, 若要求{120P ≤X ≤200}≥0.8, 问允许σ最⼤是多少?解由{120P ≤X ≤} 200120160160200160{}X P σσσ---=≤≤=404040()(1())2()1ΦΦΦσσσ--=-≥0.8,得到40()Φσ≥0.9, 查表得40σ≥1.29, 由此可得允许σ最⼤值为31.20.5. 设随机变量X 的概率密度为φ(x ) = A e -|x |, -∞试求: (1) 常数A ; (2) P {0解 (1) 由于||()d e d 1,x x x A x ?+∞==?即02e d 1x A x +∞-=?故2A = 1, 得到A =12.所以φ(x ) =12e -|x |.(2) P {011111e e d (e )0.316.0222xxx ----=-=≈?(3) 因为||1()e d ,2xx F x x --∞=得到当x <0时, 11()e d e ,22x x x F x x -∞==?当x ≥0时, 00111()e d e d 1e ,222 x x x xF x x x ---∞=+=-??所以X 的分布函数为 1,0,2()11,0.2x x F x x -?。

(2021年整理)概率论与数理统计习题集及答案

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《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 。

1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形。

样本空间是:S= ;(2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数。

样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A :出现奇数点,则A= ;B :数点大于2,则B= 。

(2) 一枚硬币连丢2次, A :第一次出现正面,则A= ;B :两次出现同一面,则= ;C :至少有一次出现正面,则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件:(1)A 、B 、C 都不发生表示为: .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为: 。

(3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为: .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为: 。

(5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为: 。

(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则(1)=⋃B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ⋃= ,(5)B A = 。

§1 。

3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ,则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = 。

福师《概率论》在线作业二

福师《概率论》在线作业二

福师《概率论》在线作业二福师《概率论》在线作业二1. 如果随机变量X和Y满足D(X+Y)=D(X-Y),则下列式子正确的是()A. X与Y相互独立B. X与Y不相关C. DY=0D. DX*DY=0正确答案: B 满分:2 分得分:22. 甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率是()。

A. 0.6B. 5/11C. 0.75D. 6/11正确答案: C 满分:2 分得分:23. 下列哪个符号是表示必然事件(全集)的A. θB. δC. ФD. Ω正确答案: D 满分:2 分得分:24. 一台设备由10个独立工作折元件组成,每一个元件在时间T发生故障的概率为0.05。

设不发生故障的元件数为随即变量X,则借助于契比雪夫不等式来估计X和它的数学期望的离差小于2的概率为()A. 0.43B. 0.64C. 0.88正确答案: C 满分:2 分得分:25. 随机变量X服从正态分布,其数学期望为25,X落在区间(15,20)内的概率等于0.2,则X落在区间(30,35)内的概率为()A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4正确答案: B 满分:2 分得分:26. 利用样本观察值对总体未知参数的估计称为( )A. 点估计B. 区间估计C. 参数估计D. 极大似然估计正确答案: C 满分:2 分得分:27. 袋内装有5个白球,3个黑球,从中一次任取两个,求取到的两个球颜色不同的概率A. 15/28B. 3/28C. 5/28D. 8/28正确答案: A 满分:2 分得分:28. 设A,B为两事件,且P(AB)=0,则A. 与B互斥B. AB是不可能事件C. AB未必是不可能事件D. P(A)=0或P(B)=0正确答案: C 满分:2 分得分:29. 设随机变量X和Y独立,如果D(X)=4,D(Y)=5,则离散型随机变量Z=2X+3Y的方差是()B. 43C. 33D. 51正确答案: A 满分:2 分得分:210. 设A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件为 ( )A. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”;B. “甲种产品滞销”;C. “甲、乙两种产品均畅销”;D. “甲种产品滞销,乙种产品畅销”.正确答案: A 满分:2 分得分:211. 现考察某个学校一年级学生的数学成绩,现随机抽取一个班,男生21人,女生25人。

概率答案

概率答案

概率知识点归纳:1.随机事件概率的范围;2.等可能事件的概率计算公式()mP An;3.互斥事件的概念:4.对立事件的概念:5.若A,B为两个事件,则A+B事件指若A,B为互斥事件,则P(A+B)=推广为:一般地,如果事件A1,A2,…,An两两互斥,那么P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).若A,B为对立事件,则P(A+B)=6.相互独立事件的概念:7.A,B是相互独立事件,则P(AB)=8.一次试验中某事件发生的概率是P, n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为9. 几何概型的特点(1)无限性:即在一次试验中,基本事件的个数可以是 .(2)等可能性:即每个基本事件发生的可能性是 .10.离散随机变量的分布列一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为x1, x2, …,xi,…,ξ取每一个值x i (I=1,2,…)的概率为P(ξ= x i)=P i,则称表为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列。

离散型随机变量的分布列的两个简单性质:(1) Pi ≥0,I=1,2,…; (2) P1+P2+…+pn=1.11.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为如上表(1)均值称n n p x p x p x +++.......2211为随机变量X 的 均值或 数学期望,记为E(X)或μ,即E(X)= n n p x p x p x +++.......2211, (2)方差一般地,若离散型随机变量X 的概率分布列如上表所示,则()()x E i =-μμχ2)(描述了i χ(i=1,2,…,n)相对于均值μ的偏离程度,故()()()n n p p p 2222121..........μχμχμχ=++-+-(3). 均值与方差的性质(1)E(aX+b)=aE(X)+b; (2)V(aX+b)=a2V(X)(a 、b 为实数). 12.两点分布如果随机变量X 的分布列为则称X 服从0-1分布或两点分布,并记为 X ~0-1分布 或 X ~两点分布两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X 服从两点分布,则E(X)= p,V(X)= p(1-p). (2)若X ~B (n,p ),则E(X)= np,V(X)= np(1-p) 13.超几何分布一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品数,则事件{X=r}发生为14.二项分布一般地,在n 次独立重复试验中,每次试验事件A 发生的概率均为p(0<p<1),即P(A)=p,P( A )=1-p=q.由于试验的独立性,n 次试验中,事件A 在某指 定的k 次发生,而在其余n-k 次不发生的概率为 k n k q p -,又由于在n 次试验()r n rM N MnC C P X r C --==中,事件A 恰好发生k 次的概率为:()n k q p c k p k n k kn n ,........,2,1,==-则称X 服从参数为n ,p 的二项分布,记作()p n B ,~χ练习1.如图,设D 是图中边长为4的正方形区域,E 是D 内函数y = x 2图像上方的点构成的区域(阴影部分).在D 内随机取一点,则该点在E 中的概率为A 、 31B .41C .32D .21答案:C2.2011年4月28日,世界园艺博览会(以下简称世园会)在西安顺利开幕,吸引了海内外的大批游客.游客甲、游客乙暑假期间去西安看世园会的概率分别为31、41,假定他们两人的行动相互不受影响,则暑期间游客甲、游客乙两人都不去西安看世园会的概率为A .21B .127C .1211D .32 答案:A3.某堂训练课上,一射击运动员对同一目标独立地进行了四次射击,已知他至少命中一次的概率为8165,则四次射击中,他命中2次的概率为 A .814B .818 C .278 D .以上都不对 答案:C4.两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子,并在绳子上挂一伦敦奥运会吉祥物“温洛克”,则“温洛克”与两端距离都大于1m 的概率为 A .21B .31C .41D .32 答案:B5.如图,一个半径为1的圆形纸片在边长为8的正方形内任意运动,则在该正方形内,这个圆形纸片不能接触到的部分的面积是 A .41π- B .π-4 C .π-8 D .π-34答案:B6.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率相同且灯口向下放着.现需要一只卡口灯泡使用,电工师傅每从中任取一只并不放回,则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为:A、2140B、1740C、310D、7120答案:D 7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是()A 49 ()B 13 ()C 29 ()D 19 答案:选D①个位数为1,3,5,7,9时,十位数为2,4,6,8,个位数为0,2,4,6,8时,十位数为1,3,5,7,9,共45个 ②个位数为0时,十位数为1,3,5,7,9,共5个。

概率论与数理统计作业B

概率论与数理统计作业B

目录第二章随机变量及其分布与数字特征 (1)习题A(作业题) (1)习题B(练习题) (4)一、填空题 (4)二、选择题 (5)三、计算题 (8)第六章统计量和抽样分布 (17)习题A(作业题) (17)习题B(练习题) (19)一、填空题 (19)二、选择题 (20)三、计算题 (23)第八章假设检验 (28)习题A(作业题) (28)习题B(练习题) (29)一、填空题 (29)二、选择题 (30)三、计算题 (33)第二章 随机变量及其分布与数字特征习题A(作业题)1求()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤2523;252;1X p X p x F )()()(.DX EX ,2.一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求(1)这4个中的次品数X 的分布列;(2))1(<X p3. 连续型随机变量X 的分布函数为)0(,1,arcsin ,0)(>⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-+-≤=a a x a x a a x B A a x x F试求:(1)系数A 、B ;(2)求2(a X p <);(3)X 的分布密度函数。

4.服从拉普拉斯分布的随机变量X 的概率密度xAex f -=)( , 求(1)系数A ; (2))11(<<-X p ,(3)分布函数)(x F .5. 已知随机变量X ),(~2σμN ,975.0)9(=<X p ,062.0)2(=<X p ,利用标准正态分布表求)6(>X p 和)3(>X p 。

6.某保险公司对顾客进行人身保险,如果在一年内投保人死亡,保险公司赔偿10000元,若投保人受伤,保险公司赔偿5000元,已知一年内投保人死亡的概率为0.002,受伤的概率为0.005,为使保险公司的期望收益不低于保费的10%,该公司应该要求顾客至少交多少保险费?习题B(练习题)一、填空题1.用随机变量X 来描述掷一枚硬币的试验结果(正面为1,反面为0). 则X 的分布函数为 。

概率论与数理统计练习册-第二章答案

概率论与数理统计练习册-第二章答案

第二章 随机变量及其分布基础训练Ⅰ一、选择题1、下列表中( A )可以作为离散型随机变量的分布律。

A) X 1 -1 0 1 B) X 2 0 1 2P 1/4 1/2 1/4 P -1/4 3/4 1/2C) X 3 0 1 2 D) X 4 1 2 1P 1/5 2/5 3/5 P 1/4 1/4 1/2 2、常数b =( B )时,),2,1()1( =+=k k k bp k 为离散型随机变量的概率分布。

A )2B )1C )1/2D )33、设⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,2/0,0)(x x x x x F ,则( D )A )是随机变量的密度函数 B) 不是随机变量的分布函数 C )是离散型随机变量的分布函数 D )是连续型随机变量的分布函数4、设)(1x F 和)(2x F 分别为随机变量21,X X 的分布函数,为使)()()(21x bF x aF x F -=是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取( A )A )a =3/5,b =-2/5 B) a =2/3,b =2/3 C )a =-1/2,b =3/2 D )a =1/2,b =-3/25、设随机变量),(~2σμN X ,且}{}{c X P c X P >=≤,则=c ( B )A) 0 B)μ C) μ- D) σ二、填空题1、连续型随机变量取任何给定值的概率为 0 。

2、设离散型随机变量X 分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛5.03.02.0210,则P (X ≤1.5) = 0.5 。

3、设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2x x Ax x x F ,则A = 1 ,X 落在(-1,1/2)内的概率为 1 / 4 。

4、设K 在(0, 5)上服从均匀分布,则方程02442=+++K Kx x 有实根的概率为0.6 。

5、随机变量X 的分布函数)(x F 是事件}{x X ≤的概率。

概率论与数理统计B试题及答案

概率论与数理统计B试题及答案

一.单项选择题(每小题3分,共15分)1.设事件A和B的概率为则可能为(D)(A) 0; (B) 1;(C) 0.6; (D) 1/62。

从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为(D)(A) ; (B); (C); (D)都不对3.投掷两个均匀的骰子,已知点数之和是偶数,则点数之和为6的概率为( A)(A) ; (B) ;(C);(D)都不对4.某一随机变量的分布函数为,(a=0,b=1)则F(0)的值为( C)(A) 0.1; (B) 0。

5; (C) 0.25;(D)都不对5.一口袋中有3个红球和2个白球,某人从该口袋中随机摸出一球,摸得红球得5分,摸得白球得2分,则他所得分数的数学期望为(C )(A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3。

8;(D)以上都不对二.填空题(每小题3分,共15分)1.设A、B是相互独立的随机事件,P(A)=0.5,P(B)=0。

7, 则= 0。

85 。

2.设随机变量,则n=__5____.3.随机变量ξ的期望为,标准差为,则=___29____.4.甲、乙两射手射击一个目标,他们射中目标的概率分别是0。

7和0.8.先由甲射击,若甲未射中再由乙射击。

设两人的射击是相互独立的,则目标被射中的概率为____0.94_____.5.设连续型随机变量ξ的概率分布密度为,a为常数,则P(ξ≥0)=___3/4____.三.(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里,求下列事件的概率(1) 4个球全在一个盒子里;(2)恰有一个盒子有2个球。

把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果-—--——---—-———3分(1)A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故P(A)=5/625=1/125-————-—-——-—---—---————-—-————----—--—————--———-—-————5分(2) 5个盒子中选一个放两个球,再选两个各放一球有种方法-—---—--——--—————---—-—-—----—-—-———-——-——----—----—7分4个球中取2个放在一个盒子里,其他2个各放在一个盒子里有12种方法因此,B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果。

《概率论与数理统计》习题二答案解析

《概率论与数理统计》习题二答案解析

《概率论与数理统计》习题及答案习题2,3,4,5,在其中同时取3只,以X 表示取出的3只 X 的分布律.2.设在15只同类型零件中有 2只为次品,在其中取 3次,每次任取1只,作不放回抽样, 以X 表示取出的次品个数,求: (1) X 的分布律;(2) X 的分布函数并作图;(3)13 3P{X <—}, P{1 c X <—}, P{1 <X <—}2 22【解】X =0,1,2.1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,球中的最大号码,写出随机变量 【解】X =3,4,5 1 P(X =3) C ;P(X =4)=|3C5c 2P(X =5)卡C5= 0.1 = 0.3 = 0.6P{1 cX C2}.P(XP(X P(X0) C 133C151) C 2C 23T 一 C 135=2)=企=丄 ^22 35 _ 12 "35C 15 35x>3P(X >2) = P(X =2) +P(X =3) =0.896(2)当 x<0 时,F (x ) =P (X w x ) =0当 0 w x<1 时, F (x )22当 1 w x<2 时, F (x ) =P (X w x ) =P(X=0)=3534 =P (X w x ) =P(X=0)+ P(X=1)= = 35当x >2时,F 故X 的分布函数(X )=P (X w x ) =10, 22X v 0135 ' F(x) =*353435,1,1<xc2 x>2兰 2)=F (1)=2|,2 2 353 3 34 34P (1cX <:) = F(:)-F(1) =晶一;;^=02 2 35 353 3 12P(1 < X < —) = P(X =1) + P(1 c X < —)= —2 2 35341P(1 c X <2) =F(2) -F(1)-P(X =2) =1-—一一 =0.P(X 3.射手向目标独立地进行了 3次射击,每次击中率为 0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求 3次射击中至少击中 2次的概率.【解】设X 表示击中目标的次数.则X=0, 1, 2, 3.P( X =0) =(0.2)3=0.0081 2 P (X =1) = C 3O.8(O.2) =0.096 P (X =2)=C 3(0.8)20.2 = 0.384 P( X =3) =(0.8)3=0.512故X 的分布律为 X P分布函数0 0.0081 0.0962 0.3843 0.5120,0.008, F(x) =<0.104,0.488, X <0 0<x<1 1<x v2 2<x<3 L 1,(2)由分布律的性质知N1=2 P(X=k)=送—=a k=3 k=1 N即a=1.5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为 0.6,0.7,今各投3次,求:(1) 两人投中次数相等的概率; (2)甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数,贝y X~b (3,0.6) Y~b(3,0.7)(1) P(X =Y) =P( X =0, Y =0) + P(X =1,Y =1) + P(X =2 ,Y = 2) +P(X =3, Y =3)331212= (0.4) (0.3) + C 30.6(0.4) C 30.7(0.3) +2 2 2 23 3C 3(0.6) 0.4C 3(0.7) 0.3+(0.6) (0.7)= 0.32076(2) P(X A Y) =P(X =1,Y =0) + P(X =2,Y =0) + P(X =3,Y = 0) +P(X =2,Y =1) + P(X =3, Y=1) + P( X =3 ,Y=2) 1 2 3 2 2 3= C 30.6(0.4) (0.3) + C 3(0.6) 0.4(0.3) +(0.6)3(0.3)3+C 2(0.6)20.4C ;0.7(0.3)2 +(0.6)3C 10.7(0.3)^(0.6)3C 2(0.7)20.3=0.2434. (1)设随机变量X 的分布律为kAP {X=k}= a ——,k!其中k=0, 1, 2,…,入>0为常数,试确定常数 a.(2)设随机变量X 的分布律为P{ X=k}= a/N ,k=1, 2,…,N ,试确定常数a.【解】(1)由分布律的性质知□c =Z P(Xkz0□c - k=k 2a S?k r a L'6.设某机场每天有 200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为 0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降 落而没有空闲跑道的概率小于 0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落 )? 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数,则 X~b(200,0.02),设机场需配备 N 条跑道, 则有 P(X A N) cO.01 200 Z c k 00(0.02)k (0.98)200上 c0.01 k =N H 1 利用泊松近似 A = np = 200 X 0.02 =4.比e 仃 p (x >N )L S -------------- <0.01k 少*H k ! 查表得N > 9.故机场至少应配备 9条跑道.7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有 1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于 2的概率是多少(利 用泊松定理)? 【解】设X 表示出事故的次数,则 X~b (1000, 0.0001) P(X >2) =1 - P(X =0) -P(X =1) … _0.1 C /I VZ -0.1 = 1-e -0.1xe 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数 X 满足P{X=1}= P{X=2},求概率P{X=4}.【解】设在每次试验中成功的概率为 P ,则 c 5p (1 - P )4 =c5 p 2(1- p)3 所以 1 P(^4^C 5(1)4- = 3 3 243 10 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为 0.3,当A 发生不少于3次时,指示灯发出信号, (1) (2) 【解】 进行了 5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率; 进行了 7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率 . (1)设X 表示5次独立试验中 A 发生的次数,则 X~6( 5,0.3) 5P(X >3)=S c 5(0.3)k(0.7)i =0.16308kz3⑵ 令丫表示7次独立试验中 A 发生的次数,则 Y~b (7, 0.3)7P(Y >3)=送 C k (0.3)k(0.7) 3 =0.35293k=310.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2) t的泊松分布,而与时间间隔起点无关(时间以小时计) .(1)求某一天中午12时至下午(2)求某一天中午12时至下午3【解】(1) P(X =0)=訐3时没收到呼救的概率;5时至少收到1次呼救的概率.5 ⑵ P(X >1)=1- P(X =0)k k 2 _k11.设P{X=k}= C2P (1 - p) , k=0,1,2E、z 1 m m.. \4_mP{ Y=m}= C4 p (1 一p)m=0,1,2,3,45分别为随机变量X, Y的概率分布,如果已知P{X> 1}=-,试求P{Y> 1}.95 4【解】因为P(X>1)=故P(Xc1)=—.9 9P(X c1) = P(X =0)=(1 -p)2故得(1-P)24 "9,"3.从而P (Y>1)=1-p(Y=0) =1-(1-P)465止0.80247810.001,试求在这2000册书中12.某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误的概率为恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数,则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,A = np = 2000 X 0.001 =2P(X=5“虫=0.00185!3 113.进行某种试验,成功的概率为一,失败的概率为一.以X表示试验首次成功所需试验的次4 4数,试写出X的分布律,并计算X取偶数的概率.【解】X =1,2J||,k,|||P(X =2)+P(X =4)+)H+P (X =2k )+111+4)3 3 +…+ (丄)22 3+…4 4 4 4 4 414.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002 ,每个参加保险的人在 1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求: (1) (2) 【解】以 (1) 设1年中死亡人数为 X ,则X~b(2500,0.002),则所求概率为P(2000 X >30000) = P(X >15) =1 - P(X <14)由于n 很大,p 很小,^=np=5,故用泊松近似,有14 e-55kP( X A 15) " -S ------------ 止 0.000069k 竺k!⑵P(保险公司获利不少于 10000)=P(30000 -2000X >10000) = P(X <10)10e ^5k止送巳上-止0.986305 krn k!141—(4)2_1=5即保险公司获利不少于 10000元的概率在98%以上P (保险公司获利不少于 20000) = P(30000 - 2000 X > 20000) = P( X < 5) 5 e 55k 上 S ----- 止 0.615961kzs k! 即保险公司获利不少于 15.已知随机变量 X 的密度函数为 lx|f(x)=Ae , 亠 <x<+ g , 求:(1) A 值;(2) P{0< X<1}; (3) F(x). 由 J f (x)dx =1 得 20000元的概率约为62% 【解】(1) 处 _L X 处 jAe 叫x=2.0 Ae 和x=2A A 」.21 1 1 1 , p(0<X <1)=2 J 0rdx 二(1-ejx 1 1当 x<0 时,F (X )= f - e xd^ =- e x*2 2保险公司亏本的概率;保险公司获利分别不少于 10000元、20000元的概率.“年”为单位来考虑.在1月1日,保险公司总收入为 2500 X 12=30000元.x<017. 在区间[0, a ]上任意投掷一个质点,以 中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例,试求【解】 由题意知X~ U [0,a ],密度函数为故当x<0时F (X )=0当 0< x w a 时 F(x)=X11 X 1当 X >0 时,F(x)=f-e Xdx+f-e 」dx'远2 ■^-oc 2』0 2=1—b 2 F (X ^!I1 Xc-e , X c0 2 1 」-丄e 」x>0 2 16.设某种仪器内装有三只同样的电子管,电子管使用寿命 [100 f(x)= {= L 0,求:(1)(2)(3) 【解】2 , X>100,X X c100. 在开始150小时内没有电子管损坏的概率;在这段时间内有一只电子管损坏的概率; F ( X ).150100132 3 8 P 1=[ P( X A 150)]3=(2)3=27(2)P 2 乂33(1)2= 9⑶当 x<100 时 F (X )=0X当 x > 100 时 F(x)=[ f(t)dtJ-O C100 X¥dt 十100 t 2•100X 的密度函数为X 表示这质点的坐标,设这质点落在[X 的分布函数.0, a :f (X )= < a'10,其他当 x>a 时,F (X )=1 即分布函数「0,XF(x)才—, l ai 1,18. 设随机变量X 在[2 , 5]上服从均匀分布.现对 值大于3的概率. 【解】X~U [2,5],即故所求概率为p 七(l4+c 3(|4|719.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分钟计)服从指数分布E(-).某顾客在窗口55次,以丫表示一个月内他未等 P {Y > 1}.该顾客未等到服务而离开的概率为Y ~b(5,e'),即其分布律为P (Y =k) =c 5(ed k(1-er 5二k =0,123,4,5P(Y >1)=1 -P(Y = 0) =1 -(l-e ,)5=0.516720. 某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走从N (40, 102);第二条路程较长,但阻塞少,所需时间(1) 若动身时离火车开车只有 (2)又若离火车开车时间只有【解】(1)若走第一条路,X~N (40, 102),则f(X^H ,10,2<x<5其他x>aX 进行三次独立观测,求至少有两次的观测等待服务,若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行 到服务而离开窗口的次数,试写出丫的分布律,并求【解】依题意知X ~ E(1),即其密度函数为1 f(x)=<E e【0,X -5X >0 x<0X5dx =e-2.第一条路程较短但交通拥挤,所需时间X 服从 N (50,42).1小时,问应走哪条路能乘上火车的把握大些? 45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些?<x -4° 60 -40]=①⑵=0.97727 10丿若走第二条路,X~N ( 50,42),则< 60-50 L ①(2.5) = 0.9938 ++4丿故走第二条路乘上火车的把握大些 (2)若 X~N (40, 102),则P(X <45) =P「X-50W 45~50L Q (_1.25)I 4 4丿 = 1—0(1.25)=0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些221•设 X~N (3,22),(1) 求 P{2<X <5}, P{*<X <10}, (2)确定 c 使 P{X >c}= P{X < c}.P(|X |A 2) = P(X >2) + P(X <—2)V 2 q 卩】+1—①但〕 l 2丿l 2丿= 0.6915 +1 -0.9938 =0.6977P(X<60) = P (帀P(X c60) = p (X-50I 4'X -40 ,10若 X~N ( 50 , 42),贝UP(X <45)= P<〒U (0.5)=0.6915 P{ I X I > 2}, P{X > 3};了2 -3 I 解】(1)P(2<x^= P bX -3 < ------- 2(1〕 = 0.8413-1 +0.6915 =0.5328 = Q (1)_1 +①(1〕 f _4_3 P(—4 <X <10) =I 2 X —3< -------2=0亿L ① 12丿 0.9996I 2丿=P g — V 2 2 h —① f-1 1V 2丿+ P 3 二丿I 2 2a I 2丿P(X >3)= P(弓)=1-①(0)=0.5⑵c=322.由某机器生产的螺栓长度(cm ) X~N (10.05,0.062),规定长度在10.05± 0.12内为合格品, 求一螺栓为不合格品的概率.=1 -①(2) + ①(-2) = 2[1 -①(2)] = 0.045623.一工厂生产的电子管寿命 X (小时)服从正态分布 N (160, I),若要求P{120 < X W 200 => 0.8,允许I 最大不超过多少? 【解】P(120cX <200) = p f 20"16024.设随机变量X 分布函数为(2) P(X <2) =F (2) =1 —e "P(X >3) =1-F(3) =1-([-©少)=e ;人「- —)x ⑶ f (x)=F '(x)=f 0, x <025.设随机变量X 的概率密度为|x,f (x )=<2 —X,I I 0,求X 的分布函数F (X ),并画出f ( X )及 F ( X ).【解】p (|X -10.05^0.12) = Pd x -10.050.12)0.06> -----0.06丿X -160 200-160 < ----------- <c1.29= 31.25F (x )屮十Be ,I 0,x" x<0.仏 >0),求常数A , B ;求 P{X W 2} , P{X > 3}; 求分布密度f (x ).i xi mF (x H 1(1) (2) (3)【解】(1)由 < 片得严1x>00 <x <1, 1<x C 2,其他.【解】当x<0时F (X )=0X 0 X f f(t)dt = J f(t)dt+.0 f(t)dt._oC・ _oC7XX珥 tdt=—当 x < 0 时 F (X )= J f (x)dx = J-当 1 <x<2 时 F(x)=Xu f(t)dt0 1;_^f(t)d^ J 0f(t)dt + L f(t)dt1X珂tdt + [ (2-t)dt 1 X 23 =-+2x-— 一一 2 2 22X+2X-1 2X当 x >2 时 F(x M.c f(t)d ^10, X 2X c0F(x) ={2 22x-1,I 2I 1,1<xc2 x>226.设随机变量X 的密度函数为(1) f(x)=ae —凶,入 >0; bx, 12,X .0,a,b ,并求其分布函数 F (X ).J f(x)dx=1 知 1 ⑵ f(x)= f —试确定常数 【解】(1)由 即密度函数为0 v x €1, 1 <x <2, 其他. □c 5 叫X = 2a f>dxf (X )才2 l 2e2ax<0当 0<x<1 时 F(x)=X 0 i r x X i r x当 x>0 时 F (X )= (x)dx = ‘尹冰 + J o 专Eclx故其分布函数27.求标准正态分布的上 a 分位点,(1) a =0.01,求 Z j ; (2) a =0.003,求 Z x ,Z 陀. 【解】(1) P(X A z J =0.01F(x)2 1 >X -e , .2X A O X <01(2)由 1 = f^f(x)d^ bxdx + f — dx oC得即X 的密度函数为山 2 勺Xb=1b=一 +2 2当 X < 0 时 F (X )=0|x, II 1 f(x)十,X 0,1 <x c2 其他当 0<x<1 时 F(x) = J f(x)dx= J f(x)dx + J f (x)dx*■ -CC*■ -CC *"0X=4xdx当 1 < X<2 时 F (X )= J f (x)dx 斗 0dx3 1=———2 X当 X > 2 时 F (X )=1 故其分布函数为F(x)P0, 2Xx<0 2 3 21,0 <x c 1 1 <xc2 x>22i q (z 』=0.01①(Za )=0.09Z —33(2)由 P(X >Z a )=0.003得1-①(Za )= 0.003①(去)=0.997% =2.75由 P(X A Za /2)=0.0015 得1-①(Z^/2)=0.0015①(Za /2)=0.9985Zo /2 = 2.9628.设随机变量X 的分布律为求Y=X 2的分布律.【解】丫可取的值为0, 1 , 4, 9P(Y =0) =P(X =0) J5P(Y = 1) = P (X = -1) + P( X =1)」+丄6 15 301P (Y =4) =P (X = —2)=-5 11P(Y =9) =P( X =3)=30故丫的分布律为0 1 4 1/57/301/51 k29•设 P{X=k}=( —) , k=1,2,…,令I 1,当X 取偶数时 Y = 5[-1,当X 取奇数时.X P k-21/5 一1 0 1/6 1/51 1/153 11/30查表得查表得Y P k9 11/30⑶ p (Y >0)=1当 y w 0 时 FY (y) = P(Y <y) =0求随机变量X 的函数丫的分布律.【解】P(Y =1) = P( X =2) +P(X =4) +)||+P (X =2k)+H|= G )2+([)4 +川+ (1)2k+川 2 2 2 1 1 14 4 3P (丫 =_1) = 1- P (丫 =1) = 230•设 X~N (0, 1).(1) 求Y=e X 的概率密度;(2) 求Y=2X 2+1的概率密度; (3)求丫= I X I 的概率密度•【解】(1)当 y w 0 时,F Y (y) = P(Y <y)=0x当 y>0 时,FY (y) =P(Y <y)= P(e <y) =P(X <ln y)In y=Lc f x (x )dxdF Y (y)1 1 1 Jn2y/2f Y (y^^=7f x (Iny ^7;72n e ,y >0(2) P(Y = 2X 2 +1 >1) = 1当 y w 1 时 F Y (y) =P(Y <y) =0Q当 y>1 时 F Y (y) =P(Y <y)= P(2X +1<y)=P W 詈卜P卜呼卡:Ji (y 4)/2「L E f X (x )dx故 f Y (y )=;^F Y (y)二1』一2dy4 V4"f = + 、ff x4y 4)/4—e , y A 1当 y>0 时 F Y (y) = P(|X Uy) = P(-y <X <y)y=J 」f x(x)dx故 TR —n2』2/2K ,y >031. 设随机变量X~U (0,1),试求:(1) Y=e X 的分布函数及密度函数; (2)Z=/lnX 的分布函数及密度函数.【解】(1) P(0 cX <1)=1y W1 时 F Y (y) = P(Y <y) =01<y<e 时 F Y (y) = P(e X < y) = p(x <ln y)rj^ X当 y 》e 时 F Y (y)= P(e < y) =1 即分布函数,p-0,F Y (y) = <ln II 1,y, y <11 c y cey 工e 故丫的密度函数为1f Y (y) i y ,0, 其他(2)由 P ( 0<X<1) =1知P(Z A0) =1当 Z W 0 时,F Z (z) = P(Z <z)=0当 z>0 时,F Z (z) = P(Z <z) = P(-2ln X <z)=P(lnX <-彳)=P(X Ke"/2)1当y w 0时, F Y (y)= P(Y <y)=0 当0<y<1时,F Y (y) = P(Y <y) = P(sinx <y)=P(0 <X <arcsin y) + P( n — arcs in y 兰 X < narcsin y2x n-y dx + 7C=1( arcs iny) n 2 .=—arcsiny n2x^, —dx‘ n_arcsin y丘+1- 4( n - arcsiny )2nF Y (y) 9故Y 的密度函数为10,其他33.设随机变量X 的分布函数如下:F(x)F1+x 2'i (2),< (1)试求Y=sinX 的密度函数. 【解】P(0 c Y <1)=1试填上(1),(2),(3)项.即分布函数故Z 的密度函数为32. 设随机变量X 的密度函数为Udx-1-/2F z (Z 」0, .z/2U -eI 1 j/2f z (z 」尹L 0,f(x)=l 学L 0,0< Xz<0 z 》0Z A O z<0其他.【解】由lim F (x ) =1知②填1。

2013-2概率论B期末试卷B卷与答案

2013-2概率论B期末试卷B卷与答案

浙江理工大学2011—2012学年第2学期《 概率论B 》试卷(B )卷本人郑重承诺:本人已阅读并且透彻地理解《浙江理工大学考场规则》,愿意在考试中自觉遵守这些规定,保证按规定的程序和要求参加考试,如有违反,自愿按《浙江理工大学学生违纪处分规定》有关条款接受处理。

承诺人签名: 学号: 班级: 一、选择题(每小题3分,共15分)1.袋中有6只红球,4只黑球,今从袋中随机取出4只球。

设取到一只红球得2分,取到一只黑球得1分,则得分不大于6分的概率是( )A.4223 B. 74 C. 4225 D. 2113 2.设A 、B 是两个随机事件,且1)(0<<A P ,1)(0<<B P ,1)()(=+B A P B A P 。

则下列选项成立的是( )A. 事件A 和B 互不相容B. 事件A 和B 相容C. 事件A 和B 互不独立D. 事件A 和B 相互独立3.设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量21,X X 的分布函数,为使)()()(21x bF x aF x F -=是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取( )A. 32,32==b a B. 23,21=-=b a C .52,53-==b a D. 23,21-==b a4.设随机变量X 和Y 独立同分布,记Y X V Y X U +=-=,,则随机变量U 与V 必然( )A. 不独立B. 独立C. 相关系数不为零D. 相关系数为零 5.设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ,则随σ 的增大,概率)(σμ<-X P ( ) A. 单调增大 B. 保持不变 C. 单调减少 D. 增减不定 二、填空题(每空3分 共21分)1. 设A ,B 为随机事件,5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ,则=)(AUB P2. 设随机变量()Xπλ,已知(1)(2)P X P X ===,那么λ=3. 设随机变量),(~p n B X ,且05.1)(,5.3)(==X D X E ,则n =4. 设随机变量(2,4)X N ,那么,标准差σ= ,(2)P X ≥==5. 设连续随机变量X 的分布函数为()arctan ,F x A B x x =+-∞<<+∞,则A = , B =三、计算题(6+6+6+6+12+10+18=64)1. 商店甲、乙、丙各有50、75和100名员工,其中50%,60%和70%是女性,我们假定每个员工的辞职是等可能的,而且不分员工的性别。

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概率作业B答案-(2)普通高等教育“十一五”国家级规划教材随机数学(B)标准化作业简答吉林大学公共数学中心2013.231第一次作业一、填空题1.解:应填29.分析:样本空间含基本事件总数210C ,事件所含基本事件数为10个,即(1,2),(2,3)…,(9,10),(10,1)共10个,故所求概率为2101029C =. 2.应填0.6.分析: ()()()1()1()()()P AB P A B P A B P A B P A P B P AB ==+=-+=--+,故()1()0.6.P B P A =-=3.应填13. 4. 应填1725. 5.应填23. 6412. 二、选择题1.(D ).2.(C ).3.(B ).4.(C ).5.(C ).6.2(A ).三、计算题1.将n 只球随机地放入N ()n N ≤个盒子中,设每个盒子都可以容纳n 只球,求:(1)每个盒子最多有一只球的概率1p ;(2)恰有()m m n ≤只球放入某一个指定的盒子中的概率2p ;(3)n 只球全部都放入某一个盒子中的概率3p . 解:此题为古典概型,由公式直接计算概率.(1)1n N n P p N =. (2)2(1)m n m N nC N p N --=. (3)311n n N p N N -==.2.三个人独立地去破译一份密码,已知每个人能译出的概率分别为111,,534,问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?解:设iA 表示事件“第i 个人译出密码”,1,2,3.i =B 表示事件“至少有一人译出密码”. 则1231234233()1()1()()()15345P B P A A A P A P A P A =-=-=-=.33.随机地向半圆)0(202>-<<a x ax y 内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,求原点与该点的连线与x 轴夹角小于4π的概率. 解:此为几何概型问题.设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴夹角小于4π”. 则2221142()22a a P A a πππ+==+.4.仪器中有三个元件,它们损坏的概率都是0.2,并且损坏与否相互独立.当一个元件损坏时, 仪器发生故障的概率为0.25,当两个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.6,当三个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.95, 当三个元件都不损坏时,仪器不发生故障.求:(1)仪器发生故障的概率;(2)仪器发生故障时恰有二个元件损坏的概率.解: 设A 表示事件“仪器出现故障”,4B i 表示事件“有i 个元件出现故障”,i =1,2,3.(1)31()()()i ii P A P B P A B ==∑, 384.08.02.03)(21=⨯⨯=B P ,22()30.20.80.096P B =⨯⨯=,008.02.0)(33==B P .所以1612.095.0008.06.0096.025.0384.0)(=⨯+⨯+⨯=A P . (2)22()0.0960.6()0.3573()0.1612P AB P B A P A ⨯===.5.在100件产品中有10件次品;现在进行5次放回抽样检查,每次随机地抽取一件产品,求下列事件的概率:(1)抽到2件次品;(2)至少抽到1件次品.解:设iA 表示取到i 件次品,0,1,2,3,4,5.i = (1)()()23225()0.110.10.73.P A C =-≈ (2)()50()110.10.41.P A =--≈四、证明题1.设0()1,0()1,(|)(|)1P A P B P A B P A B <<<<+=,证明事件A 与B 相互独立.证明:由定义证明.5(|)(|)1(|)1(|)(|)()()()()()()()()1()()()()P A B P A B P A B P A B P A B P AB P AB P B P B P AB P A P AB P B P B P AB P A P B +=⇒=-=⇒=-⇒=-⇒=所以事件A 与B 相互独立.2.设事件A 的概率()0P A =,证明A 与任意事件都相互独立.证明:设B 为任意事件,显然AB A ⊂,从而0()()0P AB P A ≤≤=,即()0P AB =,满足()()()P AB P A P B =,故A 与任意事件都相互独立.6第二次作业一、填空题.1.应填11242. 应填-1 1 3XP 0.4 0.4 0.23.应填9.644345.应填19.276. 应填0.2.7. 应填0.975.二、选择题1.(D).2.(D). 3.(A).4.(B).5.(D).6. (C). 7.(C).三、计算题1.一批产品由9个正品和3个次品组成,从这批产品中每次任取一个,取后不放回,直到取7得正品为止.用X 表示取到的次品个数,写出X 的分布律和分布函数. 解:X 的分布律为X123 P 3494492201220X的分布函数为0,0,3,01,421(),12,22119,23,2201,3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩2.设随机变量X 的概率分布为(1)求2Y X =-的概率分布;(2)求2Z X =的概率分布. 解:倒表即可.即 Z 0 1 4 9 P0.250.400.250.103.设连续型随机变量X 的概率密度为,01,()(2),12,0,,x x f x k x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它求:(1)k 的值;(2)X 的分布函数.解:(1)由1211(2)122kxdx k x dx +-=+=⎰⎰,得1=k . (2)当0x <时,()0F x =, 当01x ≤<时21()()d 2x F x f t t x ==⎰,当12x ≤<时120011()()d (2)d 212xx F x f t t tdt t t x x ==+-=--⎰⎰⎰,当2x >时,()1F x =.4.设随机变量X 服从正态分布(3,4)N ,求:{23},{||2}P X P X <<>,{||3}P X <.解:11{23}{0}(0)()(0.5)0.5.22P X P X ΦΦΦ-<<=<<=--=- {||2}1{||2}1(2.5)(0.5).P X P X ΦΦ>=-≤=-+{||3}(3)0.5.P X Φ<=-5.设连续型随机变量X的分布函数为0,,()arcsin ,,(0)1,,x a x F x A B a x a a a x a ≤-⎧⎪⎪=+-<<>⎨⎪≥⎪⎩求:(1)常数A 、B .(2)随机变量X 落在,22a a ⎛⎫-⎪⎝⎭内的概率.(3)X 的概率密度函数.解:(1)(0)0,(0)122F a A B F a A B ππ+=-=-=+=,得11,.2A B π== (2)1()(0).22223a a a a P X F F ⎧⎫-<<=---=⎨⎬⎩⎭ (3)X 的概率密度函数22,()()0,x a f x F x a x π<⎪'==-⎨⎪⎩其 它.6.已知随机变量X 的概率密度为,0<1,()0,ax b x f x +<⎧=⎨⎩其 他,且15,28P X ⎧⎫>=⎨⎬⎩⎭求(1)常数,a b 的值;(2)11.42P X ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ 解:(1)由1011()d ()d 2f x x ax b x a b+∞-∞==+=+⎰⎰,再由1125131{}()d ,8282P X ax b x a b =>=+=+⎰ 解得11,2a b ==. (2)12141117{}()d .42232P X x x <≤=+=⎰7.已知随机变量X的概率密度为1()e ,,2xX f x x -=-∞<<+∞又设1,0,1,0,X Y X +>⎧=⎨-≤⎩求:(1)Y 的分布律;(2)计算12P Y ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭. 解:(1),21)0(}0{}1{==≤=-=X F X P Y P .21211}1{1}1{=-=-=-==Y P Y P 分布律为Y -1 1kp 21 21(2)1122P Y ⎧⎫>=⎨⎬⎩⎭. 8.已知随机变量X 的概率密度为e ,0,()0,0,x x f x x -⎧>=⎨≤⎩求:随机变量2Y X =的概率密度函数. 解:设Y 的分布函数为{}()YF y P Y y =≤.当0y <时,{}{}2()0YF y P Y y P Xy =≤=≤=,当0y ≥时,{}{}2()()()YX X F y P Y y P Xy F y F y =≤=≤=--, 因此Y 的概率密度函数为0,2()0,0.yY y yf y y >=<⎩四、证明题1. 设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ,证明:(0)Y aX b a =+≠仍然服从正态分布,并指出参数.解:教材59页例题.2. 设随机变量X 服从参数为2λ=的指数分布,证明:21e XY -=-服从[0,1]上的均匀分布.解:设21e XY -=-的分布函数为(),YF y 取值范围为[0,1].当0y <时,{}()0YF y P Y y =≤=,当01y ≤<时,{}{}21()1e(ln(1))2XYX F y P Y y P y F y -=≤=-≤=--,当1y ≥时,{}()1YF y P Y y =≤=,因此Y 的概率密度函数为1,01,()0,.Yy f y <<⎧=⎨⎩其 它第三次作业一、填空题 1.max{,}X Y 的分布律为max{,}X Y 0 1P0.16 0.84 2. {}1,1,2,2m mP X m m +===L ,{}1,1,2,2nP Y n n ===L .3.应填0. 4.应填112e -. 5.应填22221,,(,)0,x y R f x y Rπ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其它.6. 应填3.7. 应填()XF x =(())nF x .二、选择题1.(B ). 2.(B ). 3.(A ). 4.(C ). 5.(D ). 6.(D ). 7.(B ). 三、计算题 1.设随机变量X 在1,2,3,4四个数字中等可能取值,随机变量Y 在1~X 中等可能地取一整数值,求(,)X Y 的概率分布,并判断X 和Y 是否独立. 解:(,)X Y 的概率分布为可以验证X 和Y 不相互独立.2. 设随机事件A 、B 满足11(),()(),42P A P B A P A B ===令1,0A X A ⎧=⎨⎩发生,,不发生,1,0B Y B ⎧=⎨⎩发生,,不发生,求(1)(,)X Y 的概率分布;(2)Z X Y=+的概率分布.解:(1)111(),()()4312P A P B A P AB ==⇒=,11()()26P A B P B =⇒= {}20,0()1()()()3P X Y P AB P A P B P AB ====--+=,{}10,1()()()12P X Y P AB P B P AB ====-=,{}11,06P X Y ===,{}11,112P X Y ===.(2)Z可能取值为0,1,2.{}{}{}2110,1,2.3412P Z P Z P Z ====== 3.已知随机变量X 和Y 相互独立,且都服从正态分布2(0,)N σ,求常数R ,使得概率22{}0.5P X Y R +≤=.解:X 的概率密度为222(),2x Xf x σπσ-=Y 的概率密度为222(),2y Yf y σπσ-=由于X 和Y 相互独立,从而联合概率密度为222221(,)e,2x y f x y σπσ+-=222222222201{}d ed 1e0.52r R RP X Y R r r πσσθπσ--+≤==-=⎰⎰,解得2ln 2R =.4.已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)e ,0,0,(,)0,x y k x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它.(1)求系数k ;(2)条件概率密度()X Yfx y ;(3)判断X 和Y 是否相互独立;(4)计算概率{}21P X Y <<;(5)求min{,}Z X Y =的密度函数()Zf z . 解:(1)由(,)d d 1,f x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰得2k =.(2)关于X 和Y 的边缘概率密度分别为22e ,0,()0,0,x X x f x x -⎧>=⎨≤⎩e ,0,()0,0.y Y y f x y -⎧>=⎨≤⎩从而X 和Y 是相互独立的,()X Y f x y 22e ,0,0,0.x x x -⎧>=⎨≤⎩(3)相互独立.(4){}4211e P X Y -<<=-.(5)min{,}Z X Y =的分布函数为31e,0,()0,0.zZz F z z -⎧->=⎨≤⎩所以33e ,0,()0,0.z Z z f z z -⎧>=⎨≤⎩5. 设随机变量U 在区间[2,2]-上服从均匀分布,令11,11,U X U -≤-⎧=⎨>-⎩若若 11,11,U Y U -≤⎧=⎨>⎩若若求(,)X Y 的联合分布律.解:(,)X Y 可能取的值为(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1){}{}{}11,1114P X Y P U P U =-=-=≤-≤=,{}{}{}1,1110P X Y P U P U =-==≤->=, {}{}{}11,1112P X Y P U P U ==-=>-≤=, {}{}{}11,1114P X Y P U P U ===>->=.6.设(,)X Y 的概率密度1,01,02,(,)0,.x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其 它求2Z X Y=-的概率密度.解:设z 的分布函数为()ZF z ,取值范围[0,2],当z <时,()0ZF z =,当02z ≤<时,{}21()24ZF z P X Y z z z =-≤=-, 当2z ≥时,()1ZF z =.从而2Z X Y =-的概率密度11,02()20,.Z z z f z ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他第四次作业一、填空题 1.应填()E X =-0.2, 2()E X =2.8,,13.4.2.应填2212(23)43D X Y σσ-=+.3.应填2()5E Y =. 4.应填13. 5.应填22()6bab a π++.6.应填8()9D Y =. 7.应填41()5E X =,31()7D X =. 二、选择题1.(C ). 2.(D ). 3.(B ).4. (B ).5.(A ). 6.(C ). 7.(C ).三、计算题1.设随机变量X 的概率密度为,02,(),24,0,ax x f x cx b x <<⎧⎪=+≤<⎨⎪⎩其它.已知3()2,{13}4E X P X =<<=,求,,a b c 的值.解:由以下三个条件 ()d 12621,f x x a c b +∞-∞=⇒++=⎰ ()d 242893,EX xf x x a c b +∞-∞==⇒++=⎰32311233{13}()d d ()d 61043,44P X f x x ax x cx b x a c b <<=⇒=++=⇒++=⎰⎰⎰解得11,1,44a b c ===-. 2.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为1(),02,02,(,)80,,x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其 它求(),(),cov(,),XYE X E Y X Y ρ和()D X Y +.解:2217()()d ()d 86E X E Y x x x y y ==+=⎰⎰, 222220015()()d ()d 83E X E Y x x x y y ==+=⎰⎰,11()()36D X D Y ==, 220014()d ()d 83E XY x xy x y y =+=⎰⎰,1cov(,)()()()36X Y E XY E X E Y =-=-,111XY DX DYρ==-,5()()()2cov(,)9D X Y D X D Y X Y +=++=.3.设二维离散型随机变量(,)X Y 的联合概率分布为(1)写出关于X 、Y 及XY 的概率分布;(2)求X 和Y 的相关系数XYρ.解:(1)(2)4()3E X =,()1E Y =,4()3E XY =,Cov(,)0X Y =,0XYρ=.4.在数轴上的区间[0,]a 内任意独立地选取两点M与N ,求线段MN 长度的数学期望.解:设两点的坐标分别为X ,Y ,则(X ,Y )的联合概率密度为21,0,,(,)0,x y a f x y a ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.所求2()d d 3a ax y a E X Y x y a --==⎰⎰.5.一民航送客车载有20名乘客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车,假设每位旅客在各个车站下车的可能性相同,且各个旅客是否下车相互独立,求停车次数X 的数学期望. 解:引入随机变量,令0,1,2,,10.1i i X i i ⎧==⎨⎩L 第站不停,,第站停,从而110X XX =++L ,又{}{}2020990,111010i i P X P X ⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()()2020()10.9,()1010.98.784iE X E X ⎡⎤=-=⨯-≈⎣⎦(次).6.假设由自动流水线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布(,1)N μ,内径小于10或大于12为不合格品,其余为合格品;销售合格品获利,销售不合格品亏损,已知销售一个零件的利润T (元)与零件内径X 的关系为1,10,20,1012,5,12,X T X X -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩.问平均内径μ取何值时,销售一个零件的平均利润最大.解:{}{}{}20101210512E T P X PX P X =⨯≤≤-<->25(12)21(10)5μμ=Φ--Φ--令2d 250,11ln 10.9d 21ET μμ⎛⎫==-≈ ⎪⎝⎭得(mm )即平均内径μ取10.9mm 时,销售一个零件的平均利润最大.第五次作业一、填空题.1.应填1122.应填0.975.二、选择题1.(B).2.(D).三、计算题1.某保险公司多年的统计资料表明,在索赔客户中被盗索赔占20%,以X表示在随机抽查的100个索赔客户中因被盗向保险公司索赔的户数.(1)写出X的概率分布;(2)利用德莫佛—拉普拉斯定理,求被盗索赔客户不少14户且不多于30户的概率的近似值.解:(1)索赔户为X,则~(100,0.2)X B,(2)由De Moivre-Laplace极限定理{}1430P X P ≤≤=≤≤53()()0.927.22≈Φ-Φ-≈2.设某种元件使用寿命(单位:小时)服从参数为λ的指数分布,其平均使用寿命为40小时,在使用中当一个元件损坏后立即更换另一个新的元件,如此继续下去.已知每个元件的进价为a 元,试求在年计划中应为购买此种元件作多少预算,才可以有95%的把握保证一年够用(假定一年按照2000个工作小时计算).解:假设一年需要n 个元件,则预算经费为na元.设每个元件的寿命为,iX 则n 个元件使用寿命为1,nii X =∑由题意120000.95,n i i P X =⎧⎫≥≥⎨⎬⎩⎭∑又221140,40,ii EXDX λλ====由独立同分布中心极限定理,()21~40,40,n ii XN n n =∑1200010.95 1.6463.04,40n i i P X n n n =⎧⎫≥=-Φ≥⇒≥⇒≥⎨⎬⎩⎭∑故年预算至少应为64a 元.3.一条生产线的产品成箱包装,每箱的重量时随机的.假设平均重50千克,标准差为5千克.如果用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每量车最多可以装多少箱,才能保证不超载的概率大于0.977,((2)0.977Φ=.)解:设iX 是装运的第i 箱的重量,n 是箱数,且()()5,1,2,.ii E X D X i n ===L{}5000()0.97755n n P T P n n n ≤=≤≈Φ>⎨⎩解得98.0199,n <,即最多可以装98箱.第六次作业一、填空题 1.应填1ni ii n x x n==∑,2211()1ni i s x x n ==--∑,11()1ni i s x x n ==--∑2.应填a =120,b =1100,2.3.应填()E X mp =,(1)()mp p D X n -=. 4.应填(1).t n - 5.应填112e ,0,(,,,)0,0.ni i xn in i x f x x x x λλ=-∑⎧⎪>=⎨⎪≤⎩L二、选择题1.(B ).2.(C ).3.(D ).4.(D ). 5.(A ). 三、计算题1.从正态总体N (20, 3) 中分别抽取容量为10和15的两个相互独立样本,求样本均值之差的绝对值大于0.3的概率.解:设样本均值为,X Y ,则~(0,0.5)U X Y N =-,{}0.31220.6744.0.5P X Y P ⎫->=-≤=-Φ≈2.设128,,,X X X L 是来自正态总体(0,0.2)N 的样本,试求k ,使{}8210.95ii P Xk =<=∑.解:因为228221~~(0,1),~(1),~(8)0.20.20.2ii i i i X X X N N χχ=∑.所以{}8221(8)0.950.2ii k P Xk P χ=⎧⎫<=<=⎨⎬⎩⎭∑,查表得15.5070.2k=,即 3.1014.k =3.设12,,,nX X X L 是取自正态总体2~(,)X N μσ的一个样本,样本均值为X,样本方差为2S ,22(),(),(),().E X D X E S D S解:222();();(),E X D X E S nσμσ===22222224(1)(1)(1)~(1),()2(1),n S n S n n D D S n χσσσ⎛⎫----==- ⎪⎝⎭从而422().1D S n σ=-4.设总体X 的概率密度为2cos2,0,()40,,x x f x π⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它12,,,nX X X 为总体X 的样本,求样本容量n ,使1215{min(,,,)}1216n P X X X π<≥L .解:先求X 的分布函数,代入有1151[1()]1,12216nnp F π⎛⎫=--=-≥ ⎪⎝⎭解得4n ≥,故n 取4.5.已知二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布22(0,1,2,3,0)N ,判断2294(1)X F Y =-服从的概率分布.解:由题意~(0,2),~(1,9)X N Y N ,且相互独立,从而1~(0,1),~(0,1)23X Y N N -, 即2222(1)~(1),~(1)49X Y χχ-,由F 分布的定义229~(1,1).4(1)X F F Y =-第七次作业一、填空题1.应填X λ=$. 2.应填22X θ=-$. 3.应填X λ=$. 4.应填(0.98,0.98)-. 5.35. 二、选择题1.(B ).2.(D ).3.(C ).4.(A ). 三、计算题1.设总体X 具有概率分布X123 P2θ2(1)θθ-2(1)θ-其中()01θθ<<是未知参数,已知来自总体X 的样本值为1,2,1.求θ的矩估计值和最大似然估计值.解:4()23,3E X x θ=-+=,令()E X x =,解得θ的矩估计值为µ156θ=.似然函数为5()2(1),ln ()ln 25ln ln(1)L L θθθθθθ=-=++-,令dln ()510d 1L θθθθ=-=-, 解得θ的最大似然值为µ256θ=. 2.设总体X 的分布函数为11(),1,(;)0,1.x F x xx ββ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩其中参数1β>是未知参数,又12,,,nX X X L 为来自总体X 的随机样本,(1)求X 的概率密度函数( ; )f x β;(2)求参数β的矩估计量;(3)求参数β的最大似然估计量.解:由题意 (1)1,1,( ; )0,1.x f x x x βββ+⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(2)µ11d 11XEX xx X xX βββββ+∞+===⇒=--⎰.(3)设1,,nx x L 为一组样本值,似然函数为111,1,()(;)1,2,,.()0,.nni i n i x L f x i n x x ββββ+=⎧>⎪===⎨⎪⎩∏L L 其 他当1ix >时,1ln ()ln (1)ln()nL n x x βββ=-+L令1dln ()ln 0d ni i L n x βββ==-=∑,得β的最大似然估计量为µ1.ln nii nXβ==∑四、证明题1.设总体X 的均值()E X μ=及方差2()0D X σ=>都存在,μ与2σ均未知,12,,,nX X X L 是X 的样本,试证明不论总体X 服从什么分布,样本方差()22111ni i S X Xn ==--∑都是总体方差2()D X σ=的无偏估计.证明:教材145~146页.2.设123,,X X X 是总体X 的样本,()E X μ=,2()D X σ=存在,证明估计量µ1123211366X X X μ=++,¶2123111424X X X μ=++,¶3123311555X X X μ=++都是总体X 的均值()E X 的无偏估计量;并判断哪一个估计量更有效.证明:µ2221231311(),(),(),()2825iE D D D μμμσμσμσ====,因为2()D μ最小,所以¶2123111424X X X μ=++更有效.第八次作业一、填空题 101()n X μ--.2.应填α. 3.应填22()n αχχ≥.二、选择题1.(B ).2.(C ).3.(C ). 三、计算题1.某车间用一台包装机包装葡萄糖,包得的袋装葡萄糖的净重X (单位kg )是一个随机变量,它服从正态分布2(,)N μσ,当机器工作正常时,其均值为0.5kg ,根据经验知标准差为0.015kg (保持不变),某日开工后,为检验包装机的工作是否正常,从包装出的葡萄糖中随机地抽取9袋,称得净重为0.490.500.510.520.490.510.520.510.517 6 8 4 8 1 0 5 2试在显著性水平0.05α=下检验机器工作是否正常. 解:按题意需要检验H :0.5μ=,1H :0.5μ≠,检验统计量0~(0,1)0.0159Xx u N nσ==,拒绝域{}2 1.96W u uu α⎧⎫=≥=≥⎨⎬⎩⎭,经计算 2.2 1.960.0159x u ==>, 故拒绝原假设,即认为机器工作不正常. 2.设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05α=下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程.解:设这次考试的考生成绩为X ,则2~(,)X N μσ.H :70μ=,1H :70μ≠,检验统计量0~(1)Xt t n S n=-,拒绝域{}0.0252(1)(35) 2.0301W t tn t t α⎧⎫=≥-=≥=⎨⎬⎩⎭,经计算 1.4t =-,故接受原假设,即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.3.设有甲,乙两种零件,彼此可以代用,但乙种零件比甲种零件制造简单,造价低,经过试验获得抗压强度(单位:2kg/cm )为甲种零件:88, 87, 92, 90, 91, 乙种零件:89, 89, 90, 84, 88.假设甲乙两种零件的抗压强度均服从正态分布,且方差相等,试问两种零件的抗压强度有无显著差异(取0.05α=)?解:本题是在显著性水平0.05α=下,检验假设H :12μμ=,1H :12μμ≠,检验统计量1212~(2)11WX Y t t n n S n n =+-+,拒绝域{}120.0252(2)(8) 2.3060W t tn n t t α⎧⎫=≥+-=≥=⎨⎬⎩⎭,经计算0.724t =,故接受原假设,即认为两种零件的抗压强度无显著差异.4.某无线电厂生产的一种高频管,其中一项指标服从正态分布2(,)N μσ,从一批产品中抽取8只,测得该指标数据如下:66, 43, 70, 65, 55, 56, 60, 72, (1)总体均值60μ=,检验228σ=(取0.05α=);(2)总体均值μ未知时,检验228σ=(取0.05α=).解:本题是在显著性水平0.05α=下,检验假设H :22208σσ==,1H :228σ≠,(1)均值60μ=时,检验统计量2222101()~()nii Xn χμχσ==-∑,拒绝域:{}222222220.0250.975122()()(8)17.535(8) 2.182W n n ααχχχχχχχχ-⎧⎫=≥≤=≥=≤=⎨⎬⎩⎭U U ,经计算210.3281χ=,故接受原假设,即认为228σ=.(2)均值μ未知时,检验统计量2222(1)~(1)n S n χχσ-=-,拒绝域:{}222222220.0250.975122(1)(1)(7)16.013(7) 1.690W n n ααχχχχχχχχ-⎧⎫=≥-≤-=≥=≤=⎨⎬⎩⎭U U , 经计算210.2017χ=,故接受原假设,即认为228σ=.综合练习一一、填空题.1.应填815.2.应填233.应填eλ-.4.应填8,0.2==.n p5.应填8.96XSn二、选择题1.(D).2.(C).3.(D).4.(A).三、解答下列各题1.某仓库有十箱同样规格的产品,其中有五箱、三箱、两箱依次是由甲、乙、丙厂生产的,且甲、乙、丙三厂生产该产品的次品率依次为,今从这十箱产品中任取一箱;再从中任111,,101220取一件产品.(1)求取到的产品是合格品的概率;(2)若已知抽取的产品是合格品,求它由甲厂生产的概率.解:设A 表示“取到的产品是合格品”,iB 表示“产品分别是甲、乙、丙厂生产的”,1,2,3.i =123532(),(),(),101010P B P B P B === 12391119(),(),(),101220P A B P A B P A B ===(1)123123()()()()()()()0.915.P A P B P A B P B P A B P B P A B =++= (2)111()()()/()0.4918.P BA PB P A B P A ==2.设随机变量X 的概率密度为||()e ,()x f x A x -=-∞<<+∞,求(1)常数A ;(2)X 的分布函数. 解:(1)由||()d e d 21x f x x A x A +∞+∞--∞-∞===⎰⎰,得12A =. (2)X 的分布函数1e ,0,2()()d 11e ,0.2xx x x F x f t t x -∞-⎧<⎪⎪==⎨⎪-≥⎪⎩⎰3.求总体(20,3)N 的容量分别为10和15的两个独立样本均值之差的绝对值大于0.3的概率.解:设样本均值为,X Y ,则~(0,0.5)U X Y N =-,{}00.3122(0.32)0.6744.0.50.5X Y P X Y P ⎧⎫--⎪->=-≤=-Φ≈⎨⎪⎩4.设总体X 的概率密度为(1)(1),12,()0,x x f x θθ⎧+-<<=⎨⎩ 其它,其中0θ>是未知参数,又12,,,nX X X L 为取自总体X 的简单随机样本,求θ的矩估计量和最大似然估计量.解:(1)2123(1)(1)d 2EX x x x θθθθ+=+-=+⎰,令EX X =,得θ的矩估计量322X -=-Xθ$. (2)设1,,nx x L 为一组样本值,则似然函数为()11(1)(1)(1)[(1)]n nni i i i L x x θθθθθ===+-=+-∏∏,取对数()1ln ln(1)ln (1)nii L n x θθθ==++-∏,令 dln ()0,d L θθ= 得θ的最大似然估计量.1X Xθ=-$ 5.一电子仪器由两部件构成,以X 和Y 分别表示两部件的寿命(单位:千小时),已知X 和Y 的联合分布函数为0.50.50.5()1e e e ,0,0,(,)0,x y x y x y F x y ---+⎧--+≥≥=⎨⎩其它,问X 和Y 是否相互独立.解:关于X 和Y 的边缘分布函数分别为0.51e ,0,()(,)0,0.x X x F x F x x -⎧-≥=+∞=⎨<⎩.51e ,0,()(,)0,0.y Y y F x F y y -⎧-≥=+∞=⎨<⎩ 因为(,)()()XYF x y F x F y =,所以X 和Y 相互独立.6.设随机变量(,)X Y 的联合概率密度为26,01,01,(,)0,xy x y f x y ⎧<<<<=⎨⎩其它.求:(1)关于X 和Y 的边缘概率密度()Xfx 和()Yf y ;(2)求{}P X Y ≥.解:(1)关于X 的边缘概率密度为1206d 2,01,()(,)d 0X xy y x x f x f x y y +∞-∞⎧=<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其 他.关于Y 的边缘概率密度12206d 3,01,()(,)d 0, .Y xy x y y f x f x y x +∞-∞⎧=<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其 他(2){}12026d d 5xP X Y x x y y ≥==⎰⎰.7.设对某目标连续射击,直到命中n 次为止,每次射击的命中率为p ,求子弹消耗量X 的数学期望.解:设iX 表示第1i -次命中到第i 次命中之间消耗的子弹数,则1nii X X ==∑,且~()iXG p ,从而1()()ni i n E X E X p===∑.8.设二维随机变量,)X Y (在区域{}(,)01,01D x y x y =<<<<上服从均匀分布,求Z X Y =+的概率密度()Zf z .方法1:()(,)d Zf z f x z x x+∞-∞=-⎰, ,01,()(,)d 2,12,0,.Z z z f z f x z x x z z +∞-∞<<⎧⎪=-=-<<⎨⎪⎩⎰其 它方法2:2200,1,01,2121,12,20,.Z ,z <z z F z z z z ⎧⎪⎪≤<⎪⎨⎪--≤<⎪⎪⎩()=其 它,01,()()2,12,0,.Z Z z z f z F z z z <<⎧⎪'⇒==-<<⎨⎪⎩其 它综合练习二一、填空题 1.应填15. 2.应填37. 3.应填0.8. 4.应填2e -.5.应填2u u α≥.二、选择题1.(B ).2.(C ).3.(A ).4.(C ).5.(D ). 三、设随机变量X 的分布函数为0,0,()1(1)e ,0.xx F x x x -≤⎧=⎨-+>⎩(1)求X 的概率密度()f x ;(2)计算{}1P X ≤. 解:(1)e ,0,()()0,.x x x f x F x -⎧>'==⎨⎩其它(2){}11(1)12e P X F -≤==-.四、已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求从乙箱中任取一件产品是次品的概率.解:X 的可能取值为0,1,2,3,X 的分布律为{}33336,0,1,2,3.k kC C P X k k C -===即{}{}{}{}19910,1,2,3.20202020P X P X P X P X ======== 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”,由于{},X i =0,1,2,3.i =构成完备事件组,由全概率公式有(){}{}{}331.64k k k P A P X k P A X k P X k =======⋅=∑∑五、设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(1)e,0,0,(,)20,.x y k x x y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其 它求:(1)系数k ;(2)边缘概率密度;(3)X 和Y 是否独立. 解:(1)2k =; (2)21,0,e ,0,(1)()()0,0.0,0.x X Y y x y f x f y x y -⎧>⎧>⎪+==⎨⎨≤⎩⎪≤⎩(3)(,)()()XY f x y fx f y ≠,不相互独立.六、设12,,,nX X X L 为来自正态总体2(,)N μσ的一组简单随机样本,记11nii X X n ==∑,2211()1ni i S X X n ==--∑,统计量221,T X S n=-证明T 是2μ的无偏估计量.解:(1)222222221111()()()()ET E X E S DX EX E S n n n nμσσμ=-=+-=+-=,所以T 是2μ的无偏估计量.。

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