概述定积分的发展及应用
定积分的发展史和应用
定积分的发展史和应用思想的发展，使我们了解到一个伟大定理的诞生需要多少细微理论的推动。
最后，概述了定积分的定义，并从面积和微元的角度介绍了定积分的几个应用。
關键词：定积分；极限；几何；物理1 历史背景赫尔曼·汉克尔曾说，在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，一个人所创立的要被另一个人取代，只有数学，每一个人都能在旧体系上增加一点色彩。
微积分学作为数学的一个重要的分支，其发展史正印证了这句话。
现代数学分析理论体系中，定积分的规范定义要基于极限论，这和历史并不一致。
在人类对微积分的认识初期，积分问题和极限问题是平行发展的。
1.1 定积分问题的提出积分起源于古希腊，古希腊科学家安提风呈现“穷竭”的方法，然后在公元前三世纪，阿基米德发展了该方法，他在著作中提到了面积和体积的测量：圆拱，球和球帽、螺线盘旋3类面积问题和共轴的旋转双曲面与圆柱交集体积的问题。
这是积分思想最初的样子。
1.2 建立极限与积分的联系（1）1615年开普勒在《酒桶的立体几何》中提出了利用求无数个小圆柱体积之和求旋转体体积的方法，他是是第一个在求积问题中用通俗的语言提出无穷大，无穷小概念的科学家，可以认为是历史首次让“积分论”与“极限论”开始出现交集。
（2）首个用极限思想真正解决导数与积分问题的科学家波尔查诺，但他仍然没有清楚地将极限的本质呈现出来，仍然没有将极限的基本概念解释清楚。
直到19世纪，法国科学家柯西结合前辈的思想进一步较完整地阐述了极限的概念，对变量，极限，连续，收敛等给出了明确的定义，微积分长期纠缠在基础问题上的局面终于被打破，为微分学和积分学提供了严谨的理论基础，形成了以极限论为核心的函数理论，经后人稍加丰富，就成了现在严谨的数学分析学。
（3）1893年法国数学家若尔当在自己的著作《分析教程》中首先提出了集合的测度论，后人为纪念他，将这个虽然存在不少缺陷，但启发意义很重大的理论称为若尔当测度论。
1898年法国数学家博雷尔在若尔当测度论基础上引入了“σ-代数”概念，这是基于集合可测性的实分析理论的雏形。
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分中的重要概念，它在数学和实际问题的解决中扮演着关键的角色。
本文将探讨定积分的应用，并结合实例详细说明其在解决各类问题中的重要作用。
一、定积分的概念定积分是微积分中的一种运算符号，表示在一定区间上的函数曲线与坐标轴所围成的面积。
通常用符号∫ 表示，即∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示积分变量。
定积分的结果是一个数值。
二、定积分的几何意义定积分的几何意义是曲线与坐标轴所围成的面积。
例如，我们可以通过计算函数曲线与x轴之间的面积来求取定积分。
这种面积计算方法可以应用于各种形状的曲线，包括折线、曲线、圆弧等。
三、定积分的物理应用定积分在物理学中有广泛的应用。
例如，当我们需要计算物体的质量、体积、位移、功等物理量时，可以通过定积分来进行计算。
定积分可以将一个连续变化的物理量表示为无限个微小变化的和，从而得到准确的结果。
四、定积分的经济学应用定积分在经济学领域也被广泛应用。
例如，当我们需要计算市场供求曲线下的固定区间所代表的消费者剩余或生产者剩余时，可以通过定积分来计算。
定积分可以将变化的价格和数量转化为面积，以方便计算。
五、定积分的工程应用在工程学中，定积分也具有重要的应用价值。
例如，在力学领域，当需要计算曲线所代表的力的作用效果时，可以通过定积分来计算。
定积分可以将一个连续变化的力量表示为无限个微小作用力的和，从而得到准确的结果。
六、定积分的统计学应用再一个例子的统计学领域中，定积分同样发挥着重要作用。
例如，在概率密度函数下计算所得的面积可以表示某一事件发生的概率。
定积分可以将一个连续变化的概率密度函数表示为无限个微小概率的和，从而得到准确的概率结果。
七、定积分的计算方法定积分的计算方法有多种，例如，常用的有牛顿-莱布尼茨公式、变量替换法、分部积分法等。
根据不同的问题和函数形式，选择合适的计算方法对于准确求解定积分非常关键。
八、结语定积分作为微积分中的重要概念，在各个领域中均得到了广泛的应用。
定积分的起源和背景
定积分的起源和背景引言定积分是微积分中的重要概念之一，它在数学、物理、经济学等领域中具有广泛应用。
在本文中，我们将探讨定积分的起源和背景，以便更好地理解这一概念的意义和应用。
定积分的概念定积分是对函数在一个区间上的积分进行定义和计算的过程。
它是微积分中的积分概念的一个重要分支，与不定积分和微分方程等同样重要。
定积分的定义在一个闭区间[a, b]上，将其等分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
选择每个小区间中的一个代表点xi，并计算函数f(xi)在该小区间上的面积Δs。
将所有小区间上的面积Δs相加，并取极限得到区间[a, b]上的定积分值。
定积分的表示定积分的表示方法非常简洁。
代表区间[a, b]上的函数f(x)的定积分可以用下面的数学符号来表示：∫[a, b]f(x)dx其中∫代表积分符号，a和b为积分的上限和下限，f(x)为积分的被积函数，dx表示x的微小变化。
定积分的起源古代希腊定积分的起源可以追溯到古代希腊。
古希腊数学家阿基米德在研究物理问题时，使用了一种近似求和的方法，这种方法可以看作是定积分的雏形。
他通过将曲线分割为无限多个短小的线段，然后对这些线段的长度进行求和，得到了图形的面积近似值。
牛顿和莱布尼茨定积分的现代定义和形式是在17世纪由牛顿和莱布尼茨独立发现的。
他们发现了微积分的基本原理，并建立了定积分的数学理论体系。
牛顿和莱布尼茨的工作奠定了微积分的基础，为定积分的应用奠定了坚实的数学基础。
定积分的背景物理学中的应用定积分在物理学中有广泛的应用。
物理学家使用定积分来计算曲线下的面积和体积，从而解决各种物理问题。
例如，在动力学中，物体的位移可以通过计算速度-时间曲线下的定积分得到；在电磁学中，电场强度可以通过计算电荷分布下的定积分得到。
经济学中的应用经济学家也经常使用定积分来解决经济学中的各种问题。
定积分可以用来计算生产函数下的总产出，消费函数下的总消费等。
经济学家还可以使用定积分来计算收入和消费之间的差异以及产出的边际效益等。
定积分的发展历史及应用
定积分的发展史及应用杨鸣摘要：文章比较简要的介绍了定积分在数学、物理学的基本应用，并充分使用了“微元法”这一基本思路，它是我们解决许多实际问题的核心。
关键字：定积分，历史，应用一．发展史很多人都以为导数概念的产生历史悠久，却不晓得定积分的思想比它还要早，甚至可以追溯到古希腊时代。
古希腊人在丈量形状不规则的土地面积时，先尽可能地用规则图形，如矩形和三角形，把丈量的土地分割成若干小块，忽略那些零碎的不规则的小块，计算出每一小块规则图形的面积，然后将它们相加，就得到了土地面积的近似值。
因此，阿基米德在公元前240年左右，就曾用这个方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。
这就是分割与逼近思想的萌芽。
我国古代数学家祖冲之的儿子在公元六世纪前后提出的祖恒原理。
在公元 263 年我国刘徽也提出了割圆术。
这些是我国数学家用定积分思想计算体积的典范。
而到了文艺复兴时期之后，人类需要进一步认识和征服自然。
在确立日心说和探索宇宙的过程中，积分的产生成为必然。
开普勒三大定律中有关行星扫过面积的计算，Newton有关天体之间的引力的计算直至万有引力定律的诞生，更加直接地推动了积分学核心思想的产生。
到了Newton那个年代，数学家们已经建立了定积分的概念，并能够计算许多简单的函数的积分了。
但是，有关定积分的种种结果还是孤立零散的，直到Newton，Leibniz之后的两百年，严格的现代积分学理论才逐步诞生。
严格的积分定义始Cauchy。
但是Cauchy对于积分的的定义仅限于连续函数。
1854年Riemann指出了可积函数不一定是连续的或者分段连续的，从而推广了积分学。
而现代教科书中有关定积分的定义是由Riemann给出的，人们都称之为Riemann积分。
当然，我们现在所学到的积分学则是由Lebesgue等人更进一步建立的现代积分理论。
二．应用纵观积分学的发展过程，我们会发现，定积分的发展其实就是其在实际生活中应用方面的发展。
定积分及其应用
积分上限
积分和
积分号
b a
f ( x)dx
I
n
lim 0 i1
f (i )xi
高 等 数
学
积分下限 被 积 函 数
积 分 [a,b] 积分区间 变 量
电 子 教 案
二、定积分的几何意义
当f (x) 0时，曲边梯形的面积
A
b
a
f
(x)dx
y y=f(x)
A
0a
当f (x) 0时,
高
近似代替 si v(i )ti1
等 数
部分路程值
某时刻的速度
学 电
n
n
子
求和 S Si v(i )ti
i 1
i 1
令 m1iaxn {ti}
教 案
n
取极限
S
lim
0
i 1
v(i )ti
思路：
把整段时间分割成若干小段，每小段 上速度看作不变，求出各小段的路程再相 加，便得到路程的近似值，最后通过对时 间的无限细分过程求得路程的精确值．
高 等
4.了解无穷积分收敛性概念，会计算简单
数
的无穷积分。
学
5.会用定积分计算简单的平面曲线围成图 形的面积(直角坐标系)和绕坐标轴旋转生成的 旋转体体积。
电 子 教 案
6.1 定积分的概念
一、两个例子
1.曲边梯形的面积的计算 y
y=f(x)
分割 xi xi xi1
A A1 A2 An
1
i1 n n
1 n3
n i 1
i2
1 n3
定积分在经济学中的应用
目的和意义
研究定积分在经济学中的应用，有助于深入理解经济现象和规律，为经济决策提 供科学依据。
通过定积分的应用，可以更加精确地描述和预测经济行为，提高经济分析的准确 性和可靠性。同时，定积分的应用也有助于推动经济学与其他学科的交叉融合， 促进经济学的发展和创新。
定积分的结果通常是数值形式，对于非专业 人士来说可能难以理解和解释，需要结合实 际经济现象进行解释和说明。
05
定积分在经济学中的未来发展
研究方向
1 深化定积分与金融学的交叉研究
探索定积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用 ，为金融市场提供更精确的定量分析工具。
2 拓展定积分在产业组织理论中的应用
消费者行为模型
通过建立消费者行为模型，定积分可 以描述消费者的购买决策过程，解释 消费者如何权衡价格、收入和偏好等 因素。
生产者行为分析
成本最小化
定积分可用于分析生产者如何最小化生产成本，通过优化生产要素的配置，提 高生产效率。
产量决策
定积分可以用于确定生产者在不同市场条件下的最优产量决策，以实现利润最 大化。
定积分的应用需要满足一定的假设条件，如 连续性、可微性等，但在实际经济现象中，
这些假设可能并不总是成立。
数据要求高
定积分的计算过程较为复杂，需要耗费大量 的计算资源和时间，对于大规模的经济系统
可能存在计算瓶颈。
计算成本高
定积分需要大量的数据作为支撑，数据的准 确性和完整性对结果的影响较大。
解释难度大
探索定积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用 ，为金融市场提供更精确的定量分析工具。
定积分的思想总结和应用
定积分的思想总结和应用定积分是微积分中的一个重要概念，它是求曲线和坐标轴之间的面积的方法。
在实际应用中，定积分有着广泛的应用，包括求面积、计算物体的质量、求解概率等。
首先，定积分的思想是将曲线和坐标轴之间的面积进行分割，并进行求和得到最终结果。
具体来说，我们可以将曲线分割成无穷小的小矩形，并计算每个小矩形的面积，然后将这些面积进行累加即可得到整个曲线和坐标轴之间的面积。
这就是定积分的基本思想。
其次，定积分的应用十分广泛。
一个最基本的应用就是求平面图形的面积。
例如，我们可以通过定积分来计算圆的面积、三角形的面积等。
具体来说，我们可以将这些图形进行分割，并计算每个小矩形的面积，然后进行累加即可得到图形的面积。
此外，定积分还可以用于计算物体的质量。
我们知道，物体的质量可以通过密度和体积来计算，而定积分可以帮助我们计算出物体的体积。
例如，我们可以将物体进行分割，并计算每个小矩形的体积，然后进行累加即可得到整个物体的体积。
再通过密度与体积的乘积，就可以求得物体的质量。
此外，定积分还可以应用于求解一些概率问题。
例如，我们可以通过定积分来计算概率密度函数下的概率。
具体来说，概率密度函数表示了某个随机变量落在某个区间的概率，而定积分可以将这个概率密度函数下的概率求解出来。
这在概率统计学中有着很重要的应用，例如求正态分布下某个区间的概率等。
此外，定积分还可以用于求解一些几何问题。
例如，我们可以通过定积分来计算曲线的弧长。
具体来说，我们可以将曲线进行分割，并计算每个小矩形的弧长，然后进行累加即可得到整个曲线的弧长。
这在几何学中有着很重要的应用，例如求解圆的弧长、椭圆弧的长度等。
总之，定积分是微积分中的一个重要概念，它的思想是将曲线和坐标轴之间的面积进行分割并进行求和。
在实际应用中，定积分有着广泛的应用，包括求面积、计算物体的质量、求解概率等。
通过定积分，我们可以解决一些实际问题，对于深入理解和应用微积分都具有重要意义。
定积分的发展史
定积分的发展史起源定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题;定积分的思想在古代数学家的工作中,就已经有了萌芽;比如古希腊时期阿基米德在公元前240年左右,就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积;公元 263 年我国刘徽提出的割圆术,也是同一思想;在历史上,积分观念的形成比微分要早;但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前17世纪下半叶,有关定积分的种种结果还是孤立零散的,比较完整的定积分理论还未能形成,直到牛顿--莱布尼茨公式建立以后,计算问题得以解决,定积分才迅速建立发展起来;未来的重大进展,在微积分才开始出现,直到16世纪; 此时的与他 ,并通过费尔马工作,开始卡瓦列利计算度N = 9 × N的积分奠定现代微积分的基础, ;17世纪初巴罗提供的第一个证明定理;牛顿和莱布尼茨在一体化的重大进展是在17世纪独立发现基本定理; 定理演示了一个整合和分化之间的连接; 这方面,分化比较容易地结合起来,可以利用来计算积分; 特别是微积分基本定理,允许一个要解决的问题更广泛的类; 同等重要的是,牛顿和莱布尼茨开发全面的数学框架; 由于名称的微积分,它允许精确的分析在连续域的功能; 这个框架最终成为现代符号积分是直接从莱布尼茨的工作;正式积分定积分概念的理论基础是极限;人类得到比较明晰的极限概念,花了大约2000年的时间;在牛顿和莱布尼茨的时代,极限概念仍不明确;因此牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠,有些概念还比较模糊,由此引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论,并引发了“第二次数学危机”;经过十八、十九世纪一大批数学家的努力,特别是柯西首先成功地建立了极限理论,魏尔斯特拉斯进一步给出了现在通用的极限的定义,极限概念才完全确立,微积分才有了坚实的基础,也才有了我们今天在教材中所见到的微积分;现代教科书中有关定积分的定义是由黎曼给出的;术语和符号以上的变量使用一个小竖线表示一体化,或放置在一个盒子里的变量, 竖线是很容易混淆; 或牛顿用来指示分化和方块符号打印机难以重现,所以这些符号没有被广泛采用;1675 莱布尼茨改编的,∫,从字母S“总结”或“总”;∫符号表示的整合; A和 B 的下限和上限 ,分别一体化,定义域的融合;f是积,x在区间a,b上的变化进行评估;从历史上看,黎曼严格解释无穷小的早期努力失败后,正式定义为积分的加权求和限制, 使有差别的限制即间隔宽度; 黎曼的间隔和连续性的依赖的缺点促使了新的尤其是勒贝格积分,这是建立能力,延长了“措施”,以更灵活的方式的想法; 因此,符号是指在分区函数值μ测量的重量被分配到每个值,加权总和; 在这里,A表示一体化的地区;定积分既是一个基本概念,又是一种基本思想;定积分的思想即“化整为零→近似代替→积零为整→取极限”;定积分这种“和的极限”的思想,在高等数学、物理、工程技术、其他的知识领域以及人们在生产实践活动中具有普遍的意义,很多问题的数学结构与定积分中求“和的极限”的数学结构是一样的,教材通过对曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等实际问题的研究,运用极限方法,分割整体、局部线性化、以直代曲、化有限为无限、变连续为离散等过程,使定积分的概念逐步发展建立起来;可以说,定积分最重要的功能是为我们研究某些问题提供一种思想方法或思维模式,即用无限的过程处理有限的问题,用离散的过程逼近连续,以直代曲,局部线性化等;定积分的概念及微积分基本公式,不仅是数学史上,而且是科学思想史上的重要创举;。
定积分应用与意义
定积分应用与意义定积分是微积分中的重要概念之一，它在数学和实际应用中都具有广泛的意义和应用。
定积分的概念和定义虽然较为复杂，但是通过对定积分的研究和应用，我们可以更深入地理解数学的内涵，并将其应用于实际问题的解决中。
1. 定积分的基本概念定积分的概念最早由数学家牛顿和莱布尼茨同时独立提出，它是微积分的核心理论之一。
定积分的基本概念可以通过对微小变化的累加来得到，即将一个函数在某个区间上的微小变化进行累加，得到整体的变化情况。
定积分用于计算曲线与坐标轴所夹的面积，也可以用于计算函数在某个区间上的平均值等。
2. 定积分的数学意义定积分在数学上的意义非常重要，它在微积分的理论体系中起着重要的作用。
定积分可以用于求解函数的原函数，从而得到函数的不定积分。
同时，定积分可以通过数值计算的方式求解，从而得到函数在某个区间上的数值结果。
这为数学的理论研究和实际计算提供了基础。
3. 定积分在几何中的应用定积分在几何中有着广泛的应用。
例如，可以通过定积分计算曲线与坐标轴所夹的面积，从而解决几何问题。
同时，定积分还可以用于计算曲线的弧长，计算曲线的质心坐标等。
这些几何应用使得定积分成为几何分析中不可或缺的工具。
4. 定积分在物理中的应用定积分在物理学中也有着重要的应用。
在物理学中，许多物理量都可以通过定积分进行计算。
例如，通过定积分可以计算物体在某一时间段内的位移、速度和加速度等。
同时，定积分还可以用于计算物体在力场中所受的力和功等。
这些物理应用使得定积分在物理学中具有重要的意义。
5. 定积分在经济学中的应用定积分在经济学中也有着广泛的应用。
经济学中的许多问题需要通过定积分进行计算和求解。
例如，通过定积分可以计算收益曲线和成本曲线所围成的利润。
同时，定积分还可以用于计算市场需求曲线和供给曲线之间的均衡点。
这些经济应用使得定积分成为经济学中必不可少的工具。
综上所述，定积分在数学和实际应用中具有重要的意义和应用。
它不仅丰富了数学的理论体系，还在几何学、物理学、经济学等领域中发挥着重要的作用。
《定积分的概念》课件
详细描述
微积分基本定理指出，一个定积分可 以用被积函数的不定积分来表示。这 个定理是计算定积分的基石，因为它 提供了一种将定积分问题转化为求不 定积分问题的途径。
பைடு நூலகம்
微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用广泛，包括计算面积、体积、速度和加速度等。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算各种物理量，如物体的运动速度、加速度，以及平面图形的面积 等。这些应用在科学、工程和经济学等领域都有广泛的应用。
定积分的计算方法
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法 和分部积分法等。
VS
详细描述
直接法是直接利用微积分基本定理计算定 积分的方法；换元法是通过换元公式将复 杂的积分转化为简单的积分；分部积分法 则是通过将两个函数的乘积进行求导，再 利用微积分基本定理计算定积分的方法。 这些方法在解决实际问题时各有优缺点， 需要根据具体情况选择合适的方法。
通过将物体的运动轨迹分割成无数小的线段，再利用定积分计算这些线
段上的速度和加速度的积分和，可以求得物体的整体速度和加速度。
定积分在经济学中的应用
计算边际成本和边际收益
在经济学中，定积分可以用于计算边际成本和边际收益，这是通过将成本或收益函数在一定的范围内进行分割，再利 用定积分计算这些分段上的成本或收益的积分和，可以求得整体的边际成本和边际收益。
预测市场需求
通过将市场需求函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的需求函数的积分和，可以预测整体的 市场需求。
评估投资项目的风险
通过将投资项目的风险函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的风险函数的积分 和，可以评估整体的投资项目的风险。
定积分应用与解析
定积分应用与解析定积分是微积分中一个重要的概念，它在多个领域中都有广泛的应用。
本文将针对定积分的应用和解析进行探讨，以及一些与定积分相关的概念和定理的介绍。
一、定积分的概念定积分是微积分中的一个概念，它表示函数在一定区间上的“积分”或者“面积”。
简单来说，定积分可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积。
在数学表示上，我们通常用符号∫ 来表示定积分。
对于函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分表示为：∫[a, b] f(x)dx其中，f(x) 是在区间 [a, b] 上的一个函数，dx 表示自变量 x 的微元。
二、定积分的应用定积分的应用非常广泛，下面我们将介绍几个常见的应用场景。
1. 计算曲线下的面积如前所述，定积分可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积。
对于一条曲线和两条垂直于 x 轴的直线所夹的面积，可以通过计算函数 f(x)在区间 [a, b] 上的定积分来得到。
2. 求解函数的平均值与平均数定积分还可以用于求解函数在一定区间上的平均值。
对于函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的平均值，可以通过计算定积分∫[a, b] f(x)dx，然后再除以区间的长度 (b - a) 来得到。
3. 计算物体的质量与重心在物理学中，质量和重心是重要的概念。
通过将物体分割成无穷小的小块，可以将物体的质量表示为每个小块的质量之和，而每个小块的质量可以通过计算密度与体积的乘积得到。
类似地，重心可以通过计算每个小块的质量与其对应位置的乘积后再除以总质量得到。
三、定积分的解析定积分的解析主要包括定积分的计算和一些与定积分相关的定理。
1. 定积分的计算一般来说，定积分的计算需要根据具体的函数和区间来进行。
对于简单的函数，可以直接使用基本的积分公式进行计算。
而对于复杂的函数，可能需要使用一些积分方法，如分部积分、换元积分等。
2. 定积分的性质与定理在定积分的解析中，还有一些与定积分相关的性质和定理。
例如，定积分的线性性质允许我们将积分运算进行分解和合并。
定积分的起源和背景
定积分的起源和背景一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对曲线下面的面积进行计算的一种方法。
在数学上，定积分是对一个函数在某个区间内的面积进行求解，通常用符号∫来表示。
二、定积分的起源和背景1. 希腊数学家亚历克西斯·斯图菲特（Alexis Clairaut）提出了曲线下方面积的概念，并将其称为“fluxion”，这是定积分的最早形式。
2. 后来，德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss）和勒贝格（Joseph Louis François Bertrand）独立地发明了现代意义上的定积分。
3. 在17世纪末期，牛顿和莱布尼茨独立地发明了微积分，并将其应用于物理学、工程学等领域中。
三、定积分的定义与性质1. 定义：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的定积分为∫abf(x)dx。
其中dx表示自变量x所取得小量。
2. 性质：（1）可加性：若f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，则∫ab[f(x)+g(x)]dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx。
（2）线性性：若f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，c为任意常数，则∫ab[c·f(x)]dx=c·∫abf(x)dx。
（3）区间可加性：若f(x)在区间[a,c]和[c,b]上连续，则∫abf(x)dx=∫cf(x)dx+∫bf(x)dx。
四、定积分的计算方法1. 几何法：将曲线下方的面积分割成若干个小面积，然后将这些小面积相加得到整个曲线下方的面积。
2. 牛顿-莱布尼茨公式：设F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫abf(x)dx=F(b)-F(a)，即定积分等于原函数在区间端点处的差值。
3. 分部积分法：设u=u(x)，v=v(x)，则有∫uv'dx=uv-∫u'vdx。
五、定积分的应用1. 几何应用：可以计算曲线下方的面积、曲线长度、曲线旋转体体积等几何量。
定积分的应用
定积分的应用定积分是数学中的一个重要概念，它在许多领域中具有广泛的应用。
本文将介绍定积分的基本概念和性质，并探讨其在几何学、物理学和经济学等领域中的应用。
首先，让我们回顾一下定积分的定义。
在数学中，定积分是一个函数与另一个函数之间的一种关系，通常表示为∫f(x)dx。
其中，f(x)是被积函数，x是积分变量，dx表示对x的微小变化。
定积分表示的是函数f(x)在给定区间[a,b]上的面积或曲线下的总体积。
定积分具有以下几个重要的性质。
首先，如果f(x)是[a,b]上的连续函数，那么定积分存在且唯一。
这一性质保证了定积分的可靠性和确定性。
其次，定积分的值可以通过积分的上限和下限来计算。
换句话说，定积分是一个函数的区间值。
最后，定积分的值可以通过一种基本定理来计算，即牛顿—莱布尼茨公式。
该公式告诉我们，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么定积分可以通过求F(x)在区间[a,b]上的差值来计算。
在几何学中，定积分有着广泛的应用。
通过计算曲线下的面积，我们可以求解两个曲线之间的交集、计算物体的体积等。
例如，如果我们要求解一个曲线和x轴之间的面积，我们可以将该曲线表示为y=f(x)，然后计算∫f(x)dx在所给区间上的值。
同样地，我们可以使用定积分来计算曲线的弧长，通过公式∫√(1+(dy/dx)^2)dx来实现。
定积分在几何学中的应用还包括求解曲线的重心和弦长等问题。
物理学是另一个应用定积分的领域。
在物理学中，物体的质量、力、功和能量等都与空间的分布有关。
通过将物体分成许多微小的部分，并计算每个部分的质量或力的大小，我们可以使用定积分来对整个物体的质量或力进行求和。
例如，我们可以使用定积分来计算一个线密度为λ(x)的细线段的质量，通过公式∫λ(x)dx来实现。
同样地，我们可以使用定积分来计算一个变力F(x)在区间[a,b]上所做的功，通过公式∫F(x)dx来实现。
定积分在物理学中的应用还包括计算速度、加速度和热量等。
定积分的发展史和应用
定积分的发展史和应用
积分作为古老的一项重要的管理学术原理，已有延续了很久的发展史，主要应
用于高校和高等教育机构。
首先，积分系统最早出现在美国，其发展最为成熟，理念来源于威廉·科技森
博士的“学分制度”理论，秉持“能力驱动”的思路，按照毕业所需学分进行考核，以检验学生是否能够达到毕业要求，在美国以及日本等国家引入了学分制度。
其次，积分在高校和高等教育中的应用也演变得越来越广泛。
另一种学分制度
称为“学术学分”，它是学校把正式课程分为“核心课程”和“选修课”来计算学生所获取的学分，学习达到规定的要求时可以获得学分，让学生的学习更具有灵活性。
此外，一些大学和高等教育机构也采用积分制，可以根据不同专业制定不同学分，同时依据学生在课堂和实践中的成绩以及活动参与情况，给予不同学分以改善学习评估，重视学习能力和实践经验，以更好地考量学生的表现。
总之，积分作为古老重要的管理学术原理，从设立学分制度、学术学分以及不
同专业等方面在高校和高等教育中得以不断发展和应用，为学生的学习和毕业提供了便利。
定积分的发展史
定积分的发展史起源定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。
定积分的思想在古代数学家的工作中，就已经有了萌芽。
比如古希腊时期阿基米德在公元前240年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。
公元 263 年我国刘徽提出的割圆术，也是同一思想。
在历史上，积分观念的形成比微分要早。
但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前（17世纪下半叶），有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成，直到牛顿--莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来。
未来的重大进展，在微积分才开始出现，直到16世纪。
此时的卡瓦列利与他的indivisibles方法，并通过费尔马工作，开始卡瓦列利计算度N = 9 × N的积分奠定现代微积分的基础，卡瓦列利的正交公式。
17世纪初巴罗提供的第一个证明微积分基本定理。
牛顿和莱布尼茨在一体化的重大进展是在17世纪独立发现的牛顿和莱布尼茨的微积分基本定理。
定理演示了一个整合和分化之间的连接。
这方面，分化比较容易地结合起来，可以利用来计算积分。
特别是微积分基本定理，允许一个要解决的问题更广泛的类。
同等重要的是，牛顿和莱布尼茨开发全面的数学框架。
由于名称的微积分，它允许精确的分析在连续域的功能。
这个框架最终成为现代微积分符号积分是直接从莱布尼茨的工作。
正式积分定积分概念的理论基础是极限。
人类得到比较明晰的极限概念，花了大约2000年的时间。
在牛顿和莱布尼茨的时代，极限概念仍不明确。
因此牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠，有些概念还比较模糊，由此引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，并引发了“第二次数学危机”。
经过十八、十九世纪一大批数学家的努力，特别是柯西首先成功地建立了极限理论，魏尔斯特拉斯进一步给出了现在通用的极限的定义，极限概念才完全确立，微积分才有了坚实的基础，也才有了我们今天在教材中所见到的微积分。
定积分的发展史范文
定积分的发展史范文定积分是微积分中的一个重要概念，它的历史可以追溯到古代希腊和中国。
在古希腊，人们已经开始研究形状的面积和体积，并提出了一些零碎的结果。
但是直到17世纪，定积分的概念才真正被建立起来。
在公元前5世纪的古希腊，人们已经开始研究形状的面积和体积。
阿基米德就以解决形状的问题而闻名，他使用了一种称为“穷举法”的方法，通过将形状分解成无穷小的小部分来计算其面积。
他的方法被视为是面积和体积积分的起源。
在中国，约在公元5世纪左右，刘徽（3-6世纪著名数学家）率先提出了求圆的面积。
在他的《九章算术》一书中，他用割圆术证明了圆的面积公式，并用多边形逼近圆的面积，这是一种类似于现代定积分的方法。
随着时间的推移，数学家们不断改进和推广这些方法，将它们应用于更广泛的问题。
在17世纪初，莱布尼茨和牛顿几乎同时发现了微积分的基本原理，并独立地开发了微积分的基本概念。
他们的工作奠定了微积分的基础，并正式建立了定积分的概念。
莱布尼茨是第一个明确定义定积分的数学家。
他用一种称为“积分法”的方法，将曲线的面积表示为无穷小的长方形的和。
他还引入了积分符号“∫”，表示求和的过程。
莱布尼茨的方法为定积分提供了一种通用的框架，并成为了微积分的基础。
在莱布尼茨的工作基础上，欧拉和拉格朗日等数学家进一步推广和应用了定积分的概念。
他们发展了计算定积分的方法，如换元积分法、分部积分法等，提出了一系列求积分的技巧和公式。
这些方法和公式为解决各种实际问题提供了有力的工具。
19世纪，数学家们对定积分的理论进行了深入研究。
黎曼提出了著名的黎曼积分理论，对定积分进行了更为抽象和一般的定义。
他的理论在分析学中起到了重要的作用，为后来的测度论和积分论提供了基础。
20世纪，勒贝格和黎曼-施蒂尔杰斯等数学家进一步发展了黎曼积分理论，提出了广义黎曼积分和勒贝格积分等概念。
这些新的积分理论在处理广义函数和非可测集合等问题时更加有效。
此外，计算机的发展也为定积分的计算和应用提供了强大的工具。
定积分的应用
图1-1图1-2定积分的应用微积分学是微分学和积分学的统称;它的创立;被誉为“人类精神的最高胜利”..在数学史上;它的发展为现代数学做出了不朽的功绩..恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分;是数学的一个重要的分支;它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具..凡是复杂图形的研究;化学反映过程的分析;物理方面的应用;以及弹道﹑气象的计算;人造卫星轨迹的计算;运动状态的分析等等;都要用得到微积分..正是由于微积分的广泛的应用;才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展;解决了许多的困难..以下将讲述一下定积分在数学﹑经济﹑工程﹑医学﹑物理方面的中的一些应用..1 定积分的概念的提出1.1问题的提出曲边梯形的面积如图1所谓曲边梯形;是指由直线a x =、b x =b a <;x 轴及连续曲线)(x f y =0)(≥x f 所围成的图形..其中x 轴上区间],[b a 称为底边;曲线)(x f y =称为曲边..不妨假定0)(≥x f ;下面来求曲边梯形的面积..由于c x f ≠)(],[b a x ∈无法用矩形面积公式来计算;但根据连续性;任两点],[,21b a x x ∈ ;12x x -很小时;)(1x f ;)(2x f 间的图形变化不大;即点1x 、点2x 处高度差别不大..于是可用如下方法求曲边梯形的面积..（1） 分割用直线1x x =;2x x =;1-=n x x bx x x a n <<<<<-121 将整个曲边梯形任意分割成n 个小曲边梯形;区间上分点为：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210这里取0x a =;n x b =..区间],[b a 被分割成n 个小区间],[1i i x x -;用i x ∆表示小区间],[1i i x x -的长度;i S ∆表示第i 块曲边梯形的面积;),,2,1(n i =;整个曲边梯形的面积S等于n 个小曲边梯形的面积之和;即∑=∆=ni i S S 12近似代替: 对每个小曲边梯形;它的高仍是变化的;但区间长度i x ∆很小时;每个小曲边梯形各点处的高度变化不大;所以用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积;就是;在第i 个小区间],[1i i x x -上任取一点i ξ;用以],[1i i x x -为底;)(i f ξ为高的小矩形面积i i x f ∆)(ξ;近似代替这个小曲边梯形的面积图1-1; 即i i i x f S ∆≈∆)(ξ.3求和 整个曲边梯形面积的近似值为 n 个小矩形面积之和;即n S S S S ∆++∆+∆= 21=∆++∆+∆≈n n x f x f x f )()()(2211ξξξ ini ix f ∆∑=)(1ξ上式由于分割不同;i ξ选取不同是不一样的;即近似值与分割及i ξ选取有关图1－2..4取极限 将分割不断加细;每个小曲边梯形底边长趋于零;它的高度改变量趋于零;曲边梯形的面积与取代它的矩形面积无限接近;从而和式∑=∆ni i i x f 1)(ξ的极限就定义为曲边梯形面积的精确值..令 },,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ;当0→λ时;有∑=→∆=ni i i x f S 1)(lim ξλ上面的例子;最终归结为一个特定的形式和式逼近..在科学技术中还有许多同样的数学问题;解决这类数学问题的思想方法概括说来就是“分割;近似求和;取极限”这是定积分概念的背景..1.2定积分的定义设函数)(x f y =在区间],[b a 上有界;在],[b a 中任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把],[b a 分成n 个小区间：],,[10x x ],[,],,[,],,[],,[113221n n i i x x x x x x x x --各个小区间的长度依次为：011x x x -=∆;122x x x -=∆;…; 1--=∆n n n x x x在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i ξ)(1i i i x x ≤≤-ξ;作函数值与小区间长度i x ∆的乘积i i x f ∆)(ξ..并作和=S ∑=∆ni i i x f 1)(ξ记},,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ;如果不论对],[b a 怎样分割;也不管在小区间],[1i i x x -上点i ξn i ,,2,1 =怎样取法;只要当0→λ时;和S 总是趋于确定的极限I ;我们称这个极限值为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分简称为积分;记作⎰ba dx x f )(;即⎰badx x f )(==I ∑=→∆ni i i x f 1)(lim ξλ 1其中)(x f 称为被积函数;dx x f )(称为被积表达式;a 称为积分下限;b 称为积分上限;x 称为积分变量;∑=∆ni iixf 1)(ξ称为积分和..（1） 曲边梯形的面积是曲边方程)(x f y =在区间],[b a 上的定积分..即=S ⎰badx x f )()0)((≥x f2定积分在几何学上的应用2.1定积分在平面几何中的应用在初高中我们学习过求圆;三角形;平四边形;梯形等比较规则的图形面积;然而对于不规则的图形就无能为力了;所以再学定积分以前我们只能求一些简单图形的面积;部分稍复杂的图形;可能用有限个简单图形的分割也能求出来;但有很大的局限性;定积分的出现为这些问题;提出了很好的解决条件..一般地;由上、下两条连续曲线y=2f x 与y=1f x 以及两条直线x=a 与x=ba<b 所围成的平面图形;它的面积计算公式为21[()()]baA f x f x dx =-⎰ 1例 求由抛物线2y x =与x-2y-3=0所围成平面图形的面积A 解 该平面图形如图3所示;先求出 直线与抛物线交点P1;-1与Q9;3.用X=1把图形分成左;右两部分;应用公式 （1） 分别求得它们的面积为1110[(-)]24/3,A x x dx xdx =-==⎰⎰921328()23A x x dx -=-=⎰. A=1A +2A =32/3..2.2定积分在立体几何中的应用 2.2.1由截面面积函数求立方体体积设Ω为三维空间中的一立体;它夹在垂直于x 轴的两平面x=a 与 x=b 之间a<b.为了方便起见称Ω为位于a;b 上的立方体..若在任意一点x ∈a;b 处作垂直于x 轴的平面;它截得Ω的截面面积显然是x 的函数;记得Ax;x ∈a;b;并称之为Ω的截面面积函数..则通过定积分的定义;得到由截面面积函数求立方体体积的一般计算公式和旋转体的体积公式V=()ba A x dx ⎰..例 求由椭球面2222221x y z a b c++=所围立体椭球的体积..解 以平面00()x x x a =≤截椭球面;得椭圆它在yoz 平面上的正投影：22222200221(1)(1)y z x x b c aa+=--..所以截面面积函数为Ax=22(1)x bc aπ-;x ∈-a;a.于是求得椭球体积V=224(1)3ba x bc dx abc a ππ-=⎰..显然;当a=b=c=r 时;这就等于球的体积43π3r ..pQ图2-12.2.2旋转曲面的面积设平面光滑曲线C 的方程为y=()f x ;x ∈a;b 不妨设fx>=0.这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面;则面积公式s=2π(baf x ⎰..如果光滑曲线C 由参数方程x=xt;y=yt;t ∈α;β给出;且yt ≥0;那么由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为S=2π(y t βα⎰.例 计算圆2x +2y =2R 在1x ;2x ⊂-R;R 上的弧段绕x 轴旋转所得球带的面积.. 解 对曲线在区间1x ;2x 上应用公式3;得到 S=2π21x x ⎰=2πR 21x x -..特别当1x =-R; 2x =R 时;则得球的表面积S 球=4π2R .3定积分在经济学中的应用3.1求经济函数在区间上的增量根据边际成本;边际收入;边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量增量就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分：()()()ba Rb R a R x dx '-=⎰ 1()()()baC b C a C x dx '-=⎰ 2()()()baL b L a L x dx '-=⎰ 3例 已知某商品边际收入为0.0825x -+万元/t;边际成本为5万元/t;求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ;总成本C ()x ;利润()I x 的改变量增量..解 首先求边际利润()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+所以根据式1、式2、式3;依次求出：300250(300)(250)()R R R x dx '-=⎰300250(0.0825)x dx =-+⎰=15300300250250(300)(250)()C C C x dx dx '-==⎰⎰=250万元300300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+⎰⎰=-100万元例 某厂生产某种产品;每日生产的产品的总成本C 的变化率即边际成本是日产量x 的函数xx C 257)(+=';已知固定成本为1000元;求总成本函数y .解 因总成本是边际成本的一个原函数;所以)(x C ⎰+=dx x)257(c x x ++=507已知当0=x 时;1000)0(=C ;代入上式得1000=c ;于是总成本函数为)(x C 1000507++=x x例 某产品销售总收入是销售量x 的函数)(x R ..已知销售总收入对销售量的变化率即边际收入x x R 52300)(-=';求销售量由100增加到400时所得的销售收入. 解 因销售收入是边际收入的一个原函数;按题意;有)300()400(R R -⎰'=400300)(dx x R⎰-=400300)52300(dx x 4003002)51300(x x -=16000=元3.2求经济函数在区间上的平均变化率设某经济函数的变化率为()f t ;则称2121()t t f t dtt t -⎰为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率..例 某银行的利息连续计算;利息率是时间t 单位：年的函数：()0.08r t =+求它在开始2年;即时间间隔0;2内的平均利息率..解 由于22()(0.08r t dt dt =+⎰⎰0.160.010.16=+=+所以开始2年的平均利息率为2()0.0820r t dtr ==+-⎰ 0.094≈例 某公司运行t 年所获利润为()L t 元利润的年变化率为()310L t '=⨯/年求利润从第4年初到第8年末;即时间间隔3;8内年平均变化率解 由于3885852333()310210(1)3810L t dt t '=⨯=⨯⋅+=⨯⎰⎰所以从第4年初到第8年末;利润的年平均变化率为853()7.61083L t dt '=⨯-⎰元/年即在这5年内公司平均每年平均获利57.610⨯元..3.3由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量设某个项目在t 年时的收入为()f t 万元;年利率为r ;即贴现率是()rt f t e -;则应用定积分计算;该项目在时间区间[,]a b 上总贴现值的增量为()brt af t e ndt -⎰..设某工程总投资在竣工时的贴现值为A 万元;竣工后的年收入预计为a 万元年利率为r ;银行利息连续计算..在进行动态经济分析时;把竣工后收入的总贴现值达到A;即使关系式Trt ae dt A -=⎰成立的时间T 年称为该项工程的投资回收期..例 某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元;竣工后的年收入预计为200万元;年利息率为0.08;求该工程的投资回收期..解 这里1000A =;200a =;0.08r =;则该工程竣工后T 年内收入的总贴现值为0.080.080.0802002002500(1)0.08Tt tT T e dt e e ---==--⎰令 0.082500(1)T e --=1000;即得该工程回收期为110001ln(1)ln 0.60.0825000.08T =--=- =6.39年3.4 利润、产量与开工时数的最佳值的确定例1 某厂生产一种产品;年产量为x 吨时;总费用的变化率即边际费用为)(x f 825.0+=x 单位：百元/吨;这种产品每吨的销售价为3000元;问一年生产多少产品工厂利润最大;并求出年利润的最大值.解 总费用是边际费用的原函数;故=)(x C ⎰+xdx x 0)825.0(x x 8125.02+=而收入函数)(x R x 30=百元;又由)(x L ＝)(x R =-)(x C 2125.022x x -则 )(x L 'x 25.022-=令 )(x L '0=;得88=x 吨..驻点唯一..此时025.0)88(<-=''L ;由实际问题可知;当88=x 时;)(x L 取得最大值96888125.08822)88(2=⨯-⨯=L 百元.因此;年产量为88吨时工厂获得最大利润96800元..例 2 某工厂生产一种产品;每日总收入的变化率即边际收入是日产量x 的函数x x R 2.030)(-='单位：元/件..该厂生产此种产品的能力为每小时30件;问怎样安排生产才能使这种产品每日的总收入最大 并求出此最大总收入值.解 由题意)(x R ⎰-=xdx x 0)2.030(21.030x x -=;令 02.030)(=-='x x R ;得150=x ;又02.0)(<-=''x R ;因为)(x R 只有唯一的驻点150=x ;由实际问题知;当150=x 时;)(x R 取得最大值22501501.015030)150(2=⨯-⨯=R .因此;每日取得最大总收入的产量为150件;此时2250)150(=R 元.完成150件产品需要的工时为530150=小时;所以;每天生产这种产品5小时;就使每日收入最大;最大值为2250元..3.5 资本存量问题例1 资本存量)(t s s =是时间t 的函数..它的导数等于净投资)(t I ..现知道净投资t t I 3)(=单位：10万元/年..求第一年底到第四年底的资本存量.解 因资本存量s 是净投资的一个原函数;故=-)1()4(s s dt t ⎰41341232t=＝1410万元所以;第一年底到第四年底的总资本存量为1400000元..例 2 某银行根据前四年存款情况;知该行现金净存量的变化率是时间t 的函数455.14)(t x f =单位：万元/年;计划从第五年起积存现金1000万元..按此变化率需几年时间解 依题意1000⎰+=xdt t 44455.14即 1000]4)4[(9584949-+=x由此;得 49494589000)4(+=+x 解此方程;得9993.94≈+x6≈x .所以;从第五年积存1000万元现金约需6 年.3.6消费者剩余和生产者剩余在自由市场中;生产并销售某一商品的数量可由这一商品的供给与需求曲线描述;它的状态可在如图上直观表现如下：0p 的经济意义是供应者会生产此商品的最低价..1p 是消费者会购买此种商品的最高价..1q 是免费供给此种商品的需求量如卫生纸经市场功能调节后;市场将趋于平衡价*P 和平衡数量*q ;两条曲线在),(**p q 相交..消费者以平衡价格购买了某种商品;他们本来打算出较高的价格购买这种商品;消费者剩余是指消费者因此而省下来的钱的总数..用积分式来表达就是：消费者剩余⎰=*0)(q d dq q Q **q p -＝曲边三角形*1p Mp 面积.生产者以平衡价格出售了某种商品;他们本来打算以较低一些的售价售出这些商品;生产者剩余是指生产者因此而获得的额外收入..用积分式表达就是生产者剩余⎰-=***)(q s dq q Q q p ＝曲边三角形*0p Mp 面积.4定积分在工程中的应用4.1定积分中值定理定积分中值定理作为定积分的一个重要性质;计算河床的平均深度时;应用定积分中值定理知识..此问题主要出现在水利工程专业的《工程水文学》课程中;主要应用于计算河流、湖泊等河床横断面水的平均深度;以此用作河流测流、工程设计或施工的一个依据..只要测量出河面在某处的宽度B;河床的横断面形状和河床的最大深度h ;则可运用定积分中值定理知识计算该处河床的平均深度h ;即⎰-=ba dx x f ab h )(1m. 例 设一河流的河面在某处的宽度为2 b;河流的横断面为一抛物线弓形;河床的最深处在河流的中央;深度为h ;求河床的平均深度-h .分析：首先;选取坐标系使x 轴在水平面上;y 轴正向朝下;且y 轴为抛物线的对称轴..于是;抛物线方程为y=h-22x b h⋅.然后;运用定积分中值定理便可求得河床的平均深度-h . 解：河床的平均深度⎰-=b a dx x f a b h )(1=h 32.4.2定积分的近似计算知识的应用近似求物体的截面积;应用梯形法或抛物线法等定积分的近似计算知识..此问题主要出现在水利工程专业的《灌溉排水技术》课程中;主要应用于近似计算河床、渠道的过水断面面积;进而计算截面流量即渠系测流..由水利学知识可知;单位时间内流过某一截面的流体的体积就叫做通过这个截面的流量;即Q ＝V/tm 3/s.在水利工程中;流量的计算通常运用公式Q=svm 3/s;即过水断面面积s 与流速v 的乘积..例1有一条宽为24米的大型干渠;正在输水浇灌农田;试利用流速仪并结合梯形法或抛物线法近似求横截面积等高等数学知识进行测流..分析：根据灌溉管理学知识;首先选择测流断面;确定测线..测流断面选择在渠段正直;水流均匀;无漩涡和回流的地方;断面与水流方向垂直；测流断面的测线确定为12条..其次;测定断面..先在渠道两岸拉一条带有尺度的绳索;测出测深线的起点距与断面起点桩的水平距离；测线深度;用木制或竹制的测深杆施测;从渠道一岸到对岸每隔2米测量一次水深;测得数据如下表..根据施测结果绘出测流断面图;如图所示..第三;利用流速仪施测断面流速..例如;利用旋环式流速仪测出该渠道断面平均流速为v=0.60m/s.第四;近似计算渠道过水断面面积和流量... 测线深度施测数据表 单位：m解答：（1） 抛物线法辛卜生公式：A ≈30.67m 2 ； Q=18.40m 3/s. （2） 梯形法：A ≈30.40m 2 ； Q=18.24m 3/s.例 2有一条河流;宽为200米;从河一岸到正对岸每隔20米测量一次水深;测的数据如下表..试分别用梯形法和抛物线法求此河床横截面积的近似值.. 单位：m4.3微元法知识的应用微元法在专业基础课和专业课中应用非常广泛;求解物体所受液体的侧压力;应用微元法知识..此问题主要出现在水利工程专业的《水力学》、《水工建筑物》等课程中;主要应用于计算水闸及输水建筑物如坝下涵管、隧洞、渠道、管道等上的闸门所受水压力的大小;作为设计或校核闸门结构的一个重要依据..水闸是一种低水头水工建筑物;既能挡水;又能泄水;用以调节水位;控制泄流量；多修建于河道、渠系及水库、湖泊岸边;在水利工程中的应用十分广泛..闸门是水闸不可缺少的组成部分;用来调节流量和上、下游水位;宣泄洪水和排放泥沙等..闸门的形式很多;按其结构形式通常分为平面闸门、弧形闸门及自动翻倒闸门等；按其工作条件可分为工作闸门和修理闸门；按其所处的位置不同可分为露顶闸门和潜孔闸门；按其所用的材料可分为钢闸门、钢筋混凝土闸门、钢丝网水泥闸门和木闸门等；按其形状不同又可分为矩形闸门、梯形闸门、圆形闸门和椭圆形闸门等..闸门的主要作用是挡水;承受水压力是其作用荷载之一..运用微元法计算闸门所受水压力时;设受水压力作用的区域与水平面垂直且由曲线y=fx ＞0;0≤a ≤x ≤bx=a;x=b 及x 轴所组成..x 轴正向朝下;y 轴在水平面上;水的密度为ρ=1000㎏/m 3;则闸门所受的水压力大小为P= ⎰b adx x gxf )(ρN.例 有一个水平放置的无压输水管道;其横断面是直径为6m 的圆;水流正好半满;求此时输水管道一端的竖直闸门上所受的水压力..分析：首先建立合适的直角坐标系;如图所示;则圆的方程为222r y x =+=9. 然后;运用微元法求解即可.. 解答：P=1.76×105N.5定积分在医学的应用如图显示了人的心血管系统..血液流经全身通过静脉进入右心房;然后通过肺动脉泵入肺部补充氧气..之后通过肺静脉流回左心房;再通过主动脉流往全身其它部位;进行血液循环..心输出量就是单位时间一分钟内;心脏泵出的血液量;即血液通过动脉的速率..安静状态下;成年男性每搏输出量为60～80毫升;心率75次/分钟;故心输出量约4.5～6升；女性的心输出量比同体重男性的约低10％..人体的血液一直在周身循环;我图4-2们只能人为定义血液流动的起点和终点;即便这样也很难测定心脏单位时间内泵出的血液总量;所以人们就探索利用辅助材料来测定心输出量..最简单的辅助材料就是染料;即指示剂..具体做法是把指示剂加入到右心房;那么指示剂会和血液一起流经心脏泵入动脉..通过一个插入动脉的探头在一段时间内等间隔测量测出流出心脏的指示剂的浓度;直到指示剂基本消失;即指示剂全部流出心脏..那么剩余的问题就是如何利用测得图5-1 图5-2的浓度计算心输出量呢严格意义;只能测定某一时刻指示剂的浓度;是一系列的离散值;我们假定这些离散值在某一微小的时间段内是不变的;所以当时间段分的越细我们测定的值越接近连续值;这种思想使我们很容易想到积分的概念;所以可建立数学模型解决这个问题..解 令ct 是t 时刻指示剂的浓度..如果把时间段0;t 划分成n 个等长的小时间段t ∆;指示剂流量=ctF t ∆;其中F 为我们测定的心输出量;这样总量即为()()n nc t F t F c t t ∆=∆∑∑;令n →∞时;指示剂总0()TA F c t dt =⎰..那么心输出量F=()TAc t dt⎰.这里的A 为已知量;即投入右心房的指示剂总量;ct 通过测量探头读取..6定积分在物理学的应用6.1变力做功在功的问题中;恒力做功是最简单的;公式为W F S =⋅． “以常代变”;功的微元应该通过恒力做功公式得到的．例 1 一压簧;原长1m ;把它每压缩1cm 时所用的力为0.05N ．问在弹性范围内把它由1m 如图6-1压缩到60cm 如图6-2所做的功．图6-1图6-2解令起点为原点;压缩的方向为x 轴的正方向当把弹簧自原点压缩至[]0,0.4之间的任意点x 处时如图6-3图6-3由胡克定律知所承受的弹簧的压力为()0.0550.01F x x x ==在此力的作用下;再继续压缩一点点dx ;即压缩至x dx +处由于dx 很小;这个压缩过程可认为力()F x 不变;即恒力做功 则由恒力做功公式得功的微元dW ()F x dx = 积分得W ()0.40F x dx =⎰0.45xdx =⎰20.4502x =0.4=()J ．例2 在原点处有一带电量为q +的点电荷;在它的周围形成了一个电场．现在x a =处有一单位正电荷沿x 轴正方向移至x b =处;求电场力所做的功．又问若把该电荷继续移动;移动至无穷远处;电场力要做多少功． 解点电荷在任意点x 处时所受的电场力为()2qF x kx=k 为常数 电场力做功的微元dW 为点电荷由任意点x 处移动至x dx +处时电场力()F x 所做的功 即()2qdW F x dx kdx x == 则移至x b =处电场力做的功2b a qW k dx x=⎰1bkqax =- 11kq a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；移至无穷远处电场力做的功2a qW k dx x +∞=⎰kqa=物理学中称此值为电场在x a =处的电位． 例 3 一圆台形水池;深15m ;上下口半径分别为20m 和10m ;如果把其中盛满的水全部抽干;需要做多少功 解水是被“一层层”地抽出去的;在这个过程中;不但每层水的重力在变;提升的高度也在连续地变化图6-4其中抽出任意一层水x 处厚为dx 的扁圆柱体;如图6-4阴影部分所做的功为抽水做功的微元dW即dW dm g x dV g x γ=⋅⋅=⋅⋅⋅22203gx x dx γπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则2152203W gx x dx γπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰2152203g x x dx γπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰23415801200099g x x x γπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭20625g γπ=202125000π=()J ．6.2求物体质量对于密度均匀的物体的质量l m l γ=⋅或A m A γ=⋅、m V γ=⋅;这时密度是常量；但对于密度不均匀密度是变量的物体的质量就不能直接用上述公式了;而应该用微元法． 例 一半圆形金属丝;其上任意点处的线密度与该点到连接金属丝端点的直径的距离成正比;求金属丝的质量． 解 建立如图6-5坐标系图6-5则()22l x ky R x γ==-()0k >22y R x'=-()()22ds dx dy =+21y dx '=+22R x=-()l dm x ds γ=⋅2222R k R x dx R x=-⋅-kRdx =RR m kRdx -=⎰22kR =．例 1 设有一心脏线1cos r θ=+形的物质薄片;其面密度()2cos A γθθ=+;试求此物质薄片的质量． 解()22111cos 22dA r d d θθθ==+ ()A dm dA γθ=()()212cos 1cos 2d θθθ=++ ()3145cos 2cos 2cos 2d θθθθ=+++ ()230145cos 2cos 2cos 2m d πθθθθ=+++⎰321145sin sin 2sin sin 023πθθθθθ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭ 4π=．例 2 设一立体为曲线211y x=+关于x 轴的旋转体;其上任一点x 的体密度等于其横坐标的绝对值即()x x γ=;试求该立体的质量． 解图6-62211x dV dx x π⎛⎫= ⎪+⎝⎭图6-6中小圆柱体体积 ()x dm x dV γ= 2211x dx x π⎛⎫= ⎪+⎝⎭()221xdx x π=+()221xm dx x π+∞-∞=+⎰()2221xdx x π+∞=+⎰()()22211x d x π+∞-=++⎰2101x π+∞=-+ π=．6.3 液体压力液面下h 深处水平放置的面积为A 的薄板承受的液体压力P 可以由压强乘以面积得到;即P gh A γ=⋅;其中γ为液体密度;压强gh γ是个常量匀压强．现在如若把薄板垂直放置呢 薄板上的压强还是常量吗 还能用上边那个简单的公式吗 例 1 三峡大坝有一上底、下底、高分别为40、20、15米的等腰梯形闸门;闸门垂直放置且上边与水面齐如图6-4;试计算闸门一侧所承受的水压力． 解回顾例3;我们知道抽水做功微元dW 为把x 处一层水抽出所做的功；类似地;侧压力微元dP 为x 处一层水对应的闸门的一个小窄条如图阴影部分所承受的水压力;即dP gxdA γ=2gx ydx γ= 22203gx x dx γ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则15022203P gx x dx γ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰15204403g x x dx γ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰2315498002009x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭29400000=()N ．参考文献1 华东师大数学系.数学分析M.北京：高等教育出版社;2001：130-150．2 朱峰．大学物理M.北京：清华大学出版社;2004：15-80．3曹定华．微积分M．上海：复旦大学出版;2006：13-14．4马敏﹑冯梅．经济应用数学M．苏州：苏州大学出版社;2007：13-20．。
定积分及其应用(高数) PPT课件
定理2 设 u( x),v( x)在区间[a,b]上有连续的导数,
则
aabbuuddvvu[uvvba]ba
bb
vvdduu
aa
定积分的分部积分公式
由不定积分的分部积分法 及N--L公式.
类似于不定积分的分部积分法：“反、对、幂、指、三”
（3）重要公式
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 三角函数的定积分公式 周期函数的定积分公式
方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积取负号.
A1 A2
A3 A4
b
a f ( x)dx
A1 A2
A3
A4
2.定积分的性质
性质1
b
a [
f
(
x)
g(
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx
性质2
b
a kf
(
x)dx
k
b
a
f
(
x)dx
( k 为常数)
性质3 （区间可加性）
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
区间上的定积分都相等.
例1 设
f
(
x)
2 5
x
0
x
1
,
求
1 x2
2
0
f
( x)dx.
解
2
0
f
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
1
2xdx
2
5dx
6.
0
1
例2 求
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概述定积分的发展与应用
摘要：概述了定积分发展的三个历史阶段,讨论了定积分在各个学科中的具体应用.
关键词：分割近似; 定积分; 流数法; 应用
微积分创立是数学史上一个具有划时代意义的创举,也是人类文明的一个伟大成果.正如恩格斯评价的那样："在一切理论成就中,未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被当作人类精神的最高胜利了." 它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具; 如数学研究, 求数列极限, 证明不等式等. 而在物理方面的应用,能够说是定积分最重要的应用之一,正是因为定积分的产生和发展,才使得物理学中精确的测量计算成为可能, 如：气象,弹道的计算,运动状态的分析等都要用的到微积分.
定积分的发展大致能够分为三个阶段：古希腊数学的准备阶段,17世纪的创立阶段以及19世纪的完成阶段.
1准备阶段
主要包括17世纪中叶以前定积分思想的萌芽和先驱者们大量的探索、积累工作.这个时期随着古希腊灿烂文化的发展,数学也开始散发出它不可抵挡的魅力.整个16世纪,积分思想一直围绕着"求积问题"发展,它包括两个方面：一个是求平面图形的面积和由曲面包围的体积,一个是静力学中计算物体重心和液体压力.德国天文学家、数学家开普勒在他的名著《测量酒桶体积的新科学》一书中,认为给定的几何图形都是由无穷多个同维数的无穷小图形构成的,用某种特定的方法把这些小图形的面积或体积相加就能得到所求的面积或体积,他是第一个在求积中使用无穷小方法的数学家.17世纪中叶,法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了"分割求和"及无穷小的性质的观点求积.可见,利用"分割求和"及无穷小的方法,已被当时的数学家普遍采用.
2 创立阶段
主要包括17世纪下半叶牛顿、莱布尼兹的积分概念的创立和18世纪积分概念的发展.牛顿和莱布尼兹几乎同时且互相独立地进入了微积分的大门.
牛顿从1664年开始研究微积分,早期的微积分常称为"无穷小分析",其原因在于微积分建立在无穷小的概念上.当时所谓的"无穷小"并不是我们现在说的"以零为极限的变量",而是含糊不清的,从牛顿的"流数法"中可见一斑,"流数法"的主要思想是把连续变动的量称为"流量",流量的微小改变称为"瞬"即"无穷小量",将这些变量的变化率称为"流数".用小点来
表示流数,如x,y 表示变量x,y 对时间的流数.他指出：曲线()0,=y x f 在某给定点处切线的斜率就是y 流数与x 流数之比,从而导出y 对x 的导数就是y 的流数与x 的流数之比,即相当于现在的x
y dx dy =. 莱布尼兹从1673年开始研究微积分问题,他在《数学笔记》中指出求曲线的切线依赖于纵坐标与横坐标的差值之比（当这些差值变成无穷小时）;求积依赖于在横坐标的无限小区间纵坐标之和或无限小矩形之和,并且莱布尼兹开始人理解到求和与求差运算的可逆性,用dy 表示曲线上相邻点的纵坐标之差,把⎰dy 表示为所有这些差的和,⎰=dy y 明确指出："⎰"意味着和,d 意味着差.明确指出了：作为求和过程的积分是微分之逆,实际上也就是今天的定积分.
3 完成阶段
19世纪的前20年,微积分的逻辑基础仍然不够完善.从19世纪20年代至19世纪末,经过波尔查诺、柯西、维尔斯特拉斯、戴德金等数学家的努力,微积分的理论基础基本完成,波尔查诺通过极限给出了函数连续的概念及导数的严格定义,柯西用极限给出了积分的定义,指出"⎰"不能理解为一个和式,而是和式∑=---=n k k k k n x x x
f s 11))(1(.当1--k k x x 无限减小
时,n s 能"最终达到的某个极限值"s ,这个s 就是函数)(x f 在区间[]x x ,0上的定积分.柯西定义了函数⎰=x
x dt t f x F 0)()(,证明了当)(x f 在[]x x ,0上连续时,)(x F 在[]x x ,0上连续、
可导,且)()(x f x F ='.继之柯西证明了)(x f 的全部原函数彼此只相差一个常数,所以,他把不定积分写成：C dt t f dx x f x
x +=⎰⎰0)()(,并由此推出了牛顿-莱布尼兹公式)()()(00x F x F dx x f x
x -=⎰.
至此,微积分基本定理给出了严格证明和最确切的表示形式.
二 定积分在不同学科中的应用
1 定积分在分析中的应用
例1 求极限n
n n n ⋅++++∞→ 321lim .
解：因为∑=⋅=⋅++++n i n n i n n n 1
1321 可取区间[]b a ,为[]1,0,函数x x f =)(,则n i n a b i a i +=-+=1ξ,n
n a b x i 1=-=∆. 故：原式3
21lim 101==⋅=⎰∑=∞→dx x n n i n i n . 例2 求极限⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-∞→2222312411
41lim n n n n . 分析：此题所研究的极限为n 项和的形式,可看成函数在241)(x x f -=
在区间[]1,0上的一个和式的极限.
解：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-+-∞→222231241141lim n n n n n n n n n n 1)(41)2(41)1(41lim 222⋅⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-++-+-=∞→ ⎰∑==-=⋅-==∞→1010212
6|2arcsin 411)(41
lim πx dx x n n i n i n . 2 定积分在几何中的应用
(1) 用定积分求平面图形的面积
例3 如图1,计算由曲线4,22-==x y x y 所围成图形的阴影部分的面积.
分析：先根据所给曲线方程,在坐标系中画出曲线,
确定所围成图形的范围;然后根据图形的范围,比较
两条曲线的位置关系;最后用定积分求所围图形的面
积.
解：解方程组⎩
⎨⎧-==422x y x y 得出交点坐标为（2,-2）,（8,4）,所以所求图形的面积为423242264224--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰y y y dy y y s .。