湖南师大附中2019~2020高二下学期第三次数学大练习(含答案)
湖南师大附中2019-2020学年高二下学期(在线)期中考试数学(文)试题Word版含答案
湖南师大附中2019-2020学年高二下学期（在线）期中考试数学（文）试题时量：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{}－1，0，1，2，3，4，A ＝{}－1，0，2，4，则∁U A ＝ A ．∅ B ．{0，2，4} C ．{1，3} D ．{－1，1，3}2．函数f(x)＝x －1x －2的定义域为A ．[1，2)∪(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，2)D ．[1，＋∞)3．设f ()x ＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在x ∈()1，2内近似解的过程中得f ()1<0，f ()1.5>0，f ()1.25<0，则方程的根落在区间A ．(1，1.25)B ．(1.25，1.5)C ．(1.5，2)D ．不能确定4．如果直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于A ．－2B ．－13C ．－23D ．25．如图的程序运行后输出的结果为x ＝5y ＝－20IF x <0 THEN x ＝y －3 ELSEy ＝y ＋3 END IFPRINT x －y ENDA ．－17B ．22C ．25D ．286．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是 A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．平行或重合7．在△ABC 中，已知cos A ＝513，cos B ＝45，则cos (A ＋B)的值为A ．－1665B ．－5665C .1665或5665D .16658．要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是A ．5，10，15，20，25，30B ．3，13，23，33，43，53C ．1，2，3，4，5，6D ．2，4，8，16，32，489．取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2 m 的概率是 A .15 B .13 C .14D ．不确定 10．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是 A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π答题卡11．已知m ＞0，n ＞0，且m ＋n ＝4，则mn 的最大值是__________．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x （x >0），2x （x ≤0），则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19的值为__________．13．等差数列{}a n 中，a 3＝3，a 8＝33，则数列{}a n 的公差为__________．14．不等式sin x ≥12的解集是__________．15．如图，正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果V P －ABCD＝163，则球O 的表面积是________________________________________________________________________．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分6分)已知函数f ()x ＝－x 2＋2x .(1)证明：f ()x 在[1，＋∞)上是减函数；(2)当x ∈[]－5，2时，求f ()x 的最大值和最小值．17．(本小题满分8分)在等比数列{a n }中，其前n 项和记为S n ，若a 6－a 4＝216，a 3－a 1＝8，S n ＝13，求公比q ，首项a 1及项数n .18．(本小题满分8分)已知正方体ABCD－A1B1C1D1.(1)证明：D1A∥平面C1BD；(2)求异面直线D1A与BD所成的角．已知函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x －1，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．已知直线l：y＝x＋2，一个圆的圆心C在x轴上且该圆与y轴相切，该圆经过点A(－1，2)．(1)求圆C的方程；(2)求直线l被圆截得的弦长．第Ⅱ卷一、填空题：本大题共2小题，每小题6分，共12分．21．如图所示，图①是棱长为1的小正方体，图②，③是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别将第1层，第2层，…，第n 层的小正方体的个数记为S n ，解答下列问题：(1)按照要求填表：(2)S n ＝__________．22．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________________________________________________________________________．二、解答题：本大题共3小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 23．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围．24.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝e 2x＋mx ，其中m ≤0.(1)当m ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)若不等式f (x )>0在定义域内恒成立，求实数m 的取值范围．25．(本小题满分13分)已知抛物线C 的顶点为O (0，0)，焦点为F (0，1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．湖南师大附中2019-2020学年高二下学期（在线）期中考试数学（文）试题参考答案第Ⅰ卷二、填空题 11．4 12.14 13．614.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z) 15．16π 【解析】正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝R ，S ABCD ＝2R 2，V P －ABCD ＝163，所以13·2R 2·R ＝163，解得R ＝2，则球O 的表面积是16π.三、解答题 16．【解析】(1)略；(3分)(2)f (x )max ＝1，f (x )min ＝－35.(6分)17．【解析】设公比为q ，则q ≠1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5－a 1q 3＝216，a 1q 2－a 1＝8，a 1（1－q n）1－q ＝13，(5分)解得：⎩⎪⎨⎪⎧q ＝3，a 1＝1，n ＝3.(8分)18．【解析】(1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， ∵AB ∥D 1C 1，AB ＝D 1C 1，∴四边形ABC 1D 1是平行四边形， ∴AD 1∥BC 1，∵AD 1⊄平面C 1BD ，BC 1⊂平面C 1BD ， ∴D 1A ∥平面C 1BD .(4分) (2)由(1)知，AD 1∥BC 1，∴异面直线D 1A 与BD 所成的角即为∠C 1BD ， 由题可知，△C 1BD 为等边三角形， ∴∠C 1BD ＝60°，即异面直线D 1A 与BD 所成的角为60°.(8分)19．【解析】(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(4分) (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是减函数， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.(8分)20．【解析】(1)∵圆心C 在x 轴上且该圆与y 轴相切， ∴设圆心C (a ，0)，半径r ＝|a |，a ≠0，设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2，将点A (－1，2)代入得(－1－a )2＋22＝a 2， ∴a ＝－52，∴所求圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋522＋y 2＝254.(5分)(2)方法一：联立方程y ＝x ＋2与⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋522＋y 2＝254得交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，Q (－4，－2)．∴直线l 被圆截得的弦长|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋22＝722.(10分) 方法二：∵圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0到直线l ：y ＝x ＋2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52－0＋22＝24， ∴直线l 被圆截得的弦长为2r 2－d 2＝2254－216＝722.(10分) 第Ⅱ卷一、填空题 21．(1)10 (2)n ()n ＋12【解析】(1)图①有1层，第1层正方体的个数为S 1＝1； 图②有2层，第2层正方体的个数为S 2＝1＋2； 图③有3层，第3层正方体的个数为S 3＝1＋2＋3；依次类推，第4个图有4层，第4层正方体的个数为S 4＝1＋2＋3＋4＝10.(2)由(1)猜想：第n 个图有n 层，第n 层正方体的个数为S n ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋n ＝n ()n ＋12.22．10 【解析】由f (x )＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1＝－2cos πx .函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1和y ＝－2cos πx 的图象都关于直线x ＝1对称，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1和y ＝－2cos πx 的图象，如图所示．由图象可知在[－4，6]上共有5对关于x ＝1对称的交点，不妨设关于x ＝1对称的其中一对交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝1，即x 1＋x 2＝2，∴所有10个交点横坐标之和为5(x 1＋x 2)＝5×2＝10，即所有零点之和为10.二、解答题23．【解析】(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0 ①(1分)当x ＜－1时，①式可化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式可化为x 2－x －2≤0， 解得－1≤x ≤2，∴－1≤x ≤1；当x ＞1时，①式可化为x 2＋x －4≤0，解得－1－172≤x ≤－1＋172，∴1<x ≤－1＋172.(4分)综上所述，不等式f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－1≤x ≤－1＋172.(6分) (2)当x ∈[－1，1]时，g (x )＝2，∴不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，等价于当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2恒成立．(8分) 又f (x )在[－1，1]上的最小值必为f (－1)或f (1)，∴只需f (－1)≥2且f (1)≥2，解得－1≤a ≤1，即a 的取值范围为[－1，1]．(12分)24．【解析】(1)当m ＝－1时，f (x )＝e 2x－x ，∴f ′(x )＝2e 2x－1，则f ′(0)＝1.(2分)又f (0)＝1，∴曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x ＋1.(4分)(2)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且f ′(x )＝2e 2x＋m (m ≤0)．(6分)①当m ＝0时，f (x )＝e 2x>0恒成立，满足条件；(7分)②当m <0时，由f ′(x )>0，得x >12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，＋∞上单调递增；同理函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2上单调递减．(9分)因此f (x )在x ＝12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2处取得最小值m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2－1.(10分)∴m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2－1>0，解得－2e<m <0.(12分)综上所述，当m ∈(－2e ，0]时，不等式f (x )>0在定义域(－∞，＋∞)内恒成立．(13分)25．【解析】(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(3分)(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.(5分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1.(7分) 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2.(8分)所以|MN |＝2|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2 ＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4（x 1＋x 2）＋16＝82k 2＋1|4k －3|，(10分) 令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34， 当t >0时，|MN |＝2225t 2＋6t ＋1>2 2. 当t <0时，|MN |＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫5t ＋352＋1625≥85 2. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是852.(13分)。
湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附中2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
2019—2020学年度第一学期高二年级期末考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） （一）单选题1.设i 为虚数单位，已知复数z 满足(1)2i z +=，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的基本运算解得1z i =-再判断即可. 【详解】因为22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-, 所以复数z 在复平面内对应的点在第四象限, 故选：D .【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与几何意义,属于基础题型.2.如图，在三棱锥O ABC -中，,M N 分别是,AB OC 的中点，设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r，用,,a b c r r r表示NM u u u u r，则NM u u u u r等于（ ）A. 1()2a b c -++r r rB. 1()2a b c +-r r rC. 1()2a b c -+r r rD. 1()2a b c --+r r r【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的基本运算求解即可.【详解】1()2NM NA AM OA ON AB =+=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r11()22OA OC OB OA =-+-u u u r u u u r u u u r u u u r1111()2222OA OB OC a b c =+-=+-u u ur u u u r u u u r r r r . 故选：B .【点睛】本题主要考查了空间向量的基本运算,需要根据三角形法则对向量进行转换,属于基础题型. 3.设,a b ∈R ，则||||4a b +>成立的一个充分不必要条件是（ ）A. 4a b +…B. 4a …C. 2a …且2b … D. 4b <-【答案】D 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义辨析即可. 【详解】由4b <-可得||||4a b +>,但由||||4a b +>得不到4b <-,如1,5a b ==. 故选：D .【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的辨析,属于基础题型.4.设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【答案】B【解析】 【分析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.5.在101)的展开式中，x 项的系数为（ ） A. 45- B. 90-C. 45D. 90【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理公式分析求解即可.【详解】101)展开式中的通项公式是：(10)10211010(1)(1)k kkkk k k T C C x--+=⋅-=⋅-,令1012k-=,则8k =, 故x 项的系数为：8882101010109(1)4521C C C ⨯⨯-====⨯, 故选：C .【点睛】本题主要考查了求二项式中系数的问题,属于基础题型.6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1632015,218a S S =--=，则2020S =（ ）A. 8080-B. 4040-C. 8080D. 4040【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据等差数列的基本量求法求解基本量,再求和即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,因为63218S S -=, 则()123456123218a a a a a a a a a +++++-++=, 即33318d d d ++=,则2d =.因为12015a =-,则2020202020192020(2015)280802S ⨯=⨯-+⨯=,故选：C .【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解方法以及前n 项和公式,属于基础题型.7.袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球,设“笫一次摸得红球”为亊件A , “摸得的两球同色”为亊件B ,则概率()|P B A 为（ ） A.14B.12C.13D.34【答案】A 【解析】试题分析：依题意，()121525C P A C ==,()11211154110C C P AB C C ==,则条件概率()|P B A ()()1110245P AB P A ===，故选A.考点：条件概率8.某单位有4位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，1，2，5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（ ） A. 4B. 12C. 16D. 24.【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先安排安排奇数日出行再安排偶数日出行分步分类求解即可.【详解】15日至18日,有2天奇数日和2天偶数日,车牌尾数中有2个奇数和2个偶数. 第一步安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有224=种. 第二步安排偶数日出行,分两类：第一类,先选1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有2种； 第二类,不安排甲的车,只有1种选择,共计123+=. 根据分步计数原理,不同的用车方案种数共有4312⨯=, 故选：B .【点睛】本题主要考查了排列组合的运用,属于基础题型.（二）多选项择题：本题共1小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()221122,,,N N μσμσ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A. 甲类水果的平均质量10.4kg μ=B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D. 乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近 【答案】ABC 【解析】【分析】根据正态分布的图像意义判定即可.【详解】由图像可知,甲类水果的平均质量10.4kg μ=,乙类水果的平均质量20.8kg μ=,12σσ<,则A ,B ,C 都正确；D 不正确. 故选：ABC .【点睛】本题主要考查了正态分布图像的理解,属于基础题型.10.设椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆的周长是6B. 当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆C. 存在点P ，使12PF PF ⊥D. 1PF 的取值范围是[1,3] 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质逐个分析即可.【详解】由椭圆方程可知,2,a b ==,从而1c ==. 据椭圆定义,1224PF PF a +==,又1222F F c ==, 所以12PF F ∆的周长是6,A 项正确. 设点()()000,0P x y y ≠,因为122F F =, 则12120012PF F S F F y y ∆⋅==.因为00y b <=…,则12PF F ∆B 项正确. 由椭圆性质可知,当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时,12F PF ∠为最大.此时,122PF PF a ===,又122F F =,则12PF F ∆为正三角形,1260F PF ︒∠=,所以不存在点P ,使12PF PF ⊥,C 项错误.由图可知,当点P 为椭圆C 的右顶点时,1PF 取最大值,此时13PF a c =+=； 当点P 为椭圆C 的左顶点时,1PF 取最小值,此时11PF a c =-=, 所以1[1,3]PF ∈,D 项正确, 故选：ABD .【点睛】本题主要考查了椭圆的几何意义与性质的运用,属于基础题型. 11.下列命题中为真命题的是（ ） A. (0,),ln(3)sin x x x ∀∈+∞+>B. 2000,2x R x x ∃∈+=-C. 220001,sincos 333x x x R ∃∈+= D. 13110,,log 32xx x ⎛⎫⎛⎫∀∈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AD 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题以及函数的性质逐个判定即可. 【详解】A 项,当0x >时,则ln(3)ln3ln 1x e +>>=,又1sin 1x -剟,所以ln(3)sin x x +>恒成立,命题为真； B 项,因为221772244x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭…,所以方程22x x +=-无解,命题为假；C 项,因为对22,sincos 133x xx R ∀∈+=恒成立,则命题错误；D 项,结合指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与对数函数13log y x =在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图像,命题为真, 故选：AD【点睛】本题主要考查了函数性质与全称命题和特称命题的真假判定,属于基础题型.12.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：①直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；①曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .则下列结论正确的是（ ） A. 直线:0l y =在点(0,0)P 处“切过”曲线3:C y x =B. 直线:1l y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线:ln C y x =C. 直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:sin C y x =D. 直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据“切过”的定义以及导数的几何意义逐个选项判定即可.【详解】A 项,因为23y x '=,当0x =时,0y '=,所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P 处的切线.当0x <时,0y <；当0x >时,0y >,所以曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确；B 项,1y x'=,当1x =时,1y '=,在(1,0)P 处的切线为:1l y x =-. 令()1ln h x x x =--,则11()1(0)x h x x x x-'=-=>, 当1x >时,()0h x '>；当01x <<时,()0h x '<,所以min ()(1)0h x h ==.故1ln x x -…, 即当0x >时,曲线C 全部位于直线l 的下侧（除切点外）,结论错误； C 项,cos y x '=,当0x =时,1y '=,在(0,0)P 处的切线为:l y x =,.由正弦函数图像可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确； D 项,21cos y x'=,当0x =时,1y '=,在(0,0)P 处的切线为:l y x =, 由正切函数图像可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确. 故选：ACD .【点睛】本题主要考查了导数的几何意义运用,属于中等题型.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.设曲线3ln(1)y x x =-+ 在点(0,0)处切线方程_________________.【答案】20x y -= 【解析】 【分析】求出函数的导函数，得到函数在0x =处的导数，即为切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案． 【详解】由题意，函数3ln(1)y x x =-+的导数为131y x '=-+， 可得曲线3ln(1)y x x =-+在点(0,0)处的切线斜率为312-=，即切线的斜率为2， 则曲线在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即为2y x =，即20x y -=． 故答案为20x y -=．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中解答中明确曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14.已知随机变量ξ的分布列为若()2E ξ=，则p =_____________ 【答案】12【解析】 【分析】的根据数学期望的求法列式求解即可.【详解】113()1232222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+, 令322p +=,则12p =.故答案为：12【点睛】本题主要考查了数学期望的求法,属于基础题型.15.设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 是双曲线的左顶点，点P 在过点A 且斜率为7的直线上，若12PF F ∆为等腰三角形，且12120F F P ︒∠=，则双曲线C 的离心率为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】过点P 作PB x ⊥轴,垂足为B 再根据三角形中的边角关系与双曲线的定义求解即可. 【详解】过点P 作PB x ⊥轴,垂足为B .由已知,21226,20PF F F c BF P ︒==∠=,则2,BF c BP =,所以tan PAB ∠=由27a c =+,解得3c a =,所以双曲线的离心率3e =. 故答案为：3【点睛】本题主要考查了根据双曲线的几何意义与三角形中的关系求解离心率的方法,需要找到对应的基本量的关系列式求解.属于中等题型.16.已知ABC ∆是边长为D 为BC 的中点，沿AD 将ABC ∆折成一个大小为60︒的二面角B AD C --，设O 为四面体ABCD 的外接球球心.则（1）球心O 到平面BCD 的距离为_____________（2）球O 的体积为_____________.【答案】 (1).32 (2). 6【解析】【分析】 (1)做辅助线构造三角形,根据球心到球面距离的点相等以及三角形中的关系求解即可.(2)根据立体几何中的边角关系求解球的半径,再求体积即可.【详解】（1）如图,在四面体ABCD 中,,AD DC AD DB ⊥⊥,则60BDC ︒∠=.因为DB DC ==则BC =.设BCD ∆的外心为E ,则OE ⊥平面BCD .因为AD ⊥平面BCD ,则//OE AD .取AD 的中点F ,因为OA OD =,则OF AD ⊥, 所以1322OE DF AD ===.（2）在正BCD ∆中,由正弦定理,得112sin 60DE ︒=⨯=.在Rt OED ∆中,OD ==,所以34326V π⎛=⋅= ⎝⎭球.故答案为：(1). 32 (2). 6【点睛】本题主要考查了立体几何中的外接球问题,需要做辅助线构造三角形,再根据平面几何中的边角关系求解.所以中等题型.三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若2224S c a b =--.（1）求角C 的大小；（2）若b =，ABC ∆sin A B ，求sin A 及c 的值.【答案】（1）34C π=（2）sin 10A =；1c = 【解析】【分析】 (1)根据面积公式与余弦定理求解即可.(2)先根据余弦定理与b =求得c =,继而利用正弦定理求得sin A =,再利用面积公式与正弦定理化简求解即可.【详解】（1）因为in 12s S ab C =, 所以22214sin 2ab C c a b ⨯=--, 即222sin cos 2c a b C C ab--==-,所以tan 1=-C , 又因为0180C ︒︒<<,所以34C π=. （2）因为2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=,所以c =,即sin C A =所以sinA C ==因1sin 2ABC S ab C ∆=,且s in sin 2ABC S A B ∆=,所以1sin sin 2ab C A B =,即sin sin sin ab C A B =由正弦定理得2sin sin c C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭解得1c =.【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题.包括边角转换的运用方法等.属于中等题型.18.已知等差数列{}n a 满足13a =，当2n …时14n n a a n -+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1*12(22)n n n b b b na n N -+++=∈L ，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =+（2）147142n n n S -+=-【解析】【分析】 (1)代入2n =可求得25a =,进而求得公差与通项公式即可.(2)由(1)21n a n =+,再利用前n 项和与通项的关系求解{}n b 的通项公式,再利用错位相减求解n S 即可.【详解】（1）因为14n n a a n -+=,则128a a +=,又13a =,则25a =.所以等差数列{}n a 的公差212d a a =-=,又因为13a =,所以21n a n =+.（2）因为）11222n n n b b b na -+++=L ,则121122(1)n n n b b b n a +++++=+L ,两式相减,得112(1)n n n n b n a na ++=+-(1)(23)(21)43n n n n n =++-+=+,所以当2n …时,1412n n n b --=. 经检验,13b =也符合该式,所以{}n b 的通项公式是1412n n n b --=. 因为11137(41)22n n S n -⎛⎫=+⋅++-⋅ ⎪⎝⎭L , 则211111137(45)(41)22222n n n S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 两式相减,得211111134(41)22222n n n S n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 11147341(41)7222n n n n n -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=+---⋅=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以147142n n n S -+=-. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解与数列的前n 项和与通项的关系.同时也考查了错位相减的方法,属于中等题型.19.如图，直三棱柱ABC DEF -的底面是边长为2的正三角形，侧棱1AD =，P 是线段CF 的延长线上一点，平面PAB 分别与,DF EF 相交于,M N .（1）求证：//MN 平面CDE ；（2）求当PF 为何值时，平面PAB ⊥平面CDE .【答案】（1）证明见解析（2）2PF =【解析】【分析】(1)根据线面平行的性质证明//DE MN 即可.(2)分别取线段,AB DE 的中点,G H ,再根据题意分析PG ⊥平面CDE 时的点P ,根据三角形的全等与相似的关系求得PF 的长度即可.或者建立空间直角坐标系求解.【详解】（1）因为//AB DE ,AB 在平面DEF 外,则//AB 平面DEF .因为平面PAB ⋂平面DEF MN =,则//AB MN ,从而//DE MN .因为MN 在平面CDE 外,所以//MN 平面CDE .（2）解法一：分别取线段,AB DE 的中点,G H ,则//GH CP ,所以,,,P C G H 四点共面.因为Rt PCA Rt PCB ∆≅∆,则PA PB =,所以PG AB ⊥.因为//AB DE ,则PG DE ⊥.若PG CH ⊥,则PG ⊥平面CDE ,从而平面PAB ⊥平面CDE .此时,CPG HCG ∠=∠,则PC CG CG GH=.因为ABC ∆是边长为2的正三角形,则2sin 60CG ︒==又1GH =,则23CG PC GH==, 从而2PF PC FC =-=,所以当2PF =时,平面PAB ⊥平面CDE .（2）解法二：如图,分别取,AB DE 的中点,O H ,以O 为原点,直线,,OB OC OH 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系由已知,2,1,AB OH OC ===则点(1,0,0),(0,0,1)B C H ,从而(0,(1,0,0)CH HE OB ===u u u ru u u ru u u r设平面CDE 的法向量为()111,,m x y z =u r ,由00m CH m HE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ,得111(010y z x ⎧⋅+=⎪⎨⋅=⎪⎩ 取11y =,则m =u r设CP t =则点)P t ,从而)OP t =u u u r设平面PAB 的法向量()222,,n x y z =r ,由00n OP n OB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v v ,得222010tz x +=⋅=⎪⎩ 取2y t =,则(0,,n t =r .因为平面PAB ⊥平面CDE ,则0m n ⋅=u r r ,得,3t =,从而2PF PC FC =-=所以当2PF =时,平面PAB ⊥平面CDE . 【点睛】本题主要考查了线面平行的性质与判定,同时也考查了判断面面垂直的条件等.需要根据题意根据线面的关系求解各边的长度分析垂直关系等.属于难题.20.在一场抛掷骰子的游戏中，游戏者最多有三次机会抛掷一颗骰子，游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功.游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.（1）求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率；（2）设游戏者在一场抛掷骰子游戏中所得的分数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）23（2）详见解析 【解析】【分析】(1)分别求得第一、二、三次抛掷骰子成功的概率,再根据概率的加法公式分情况求解即可.(2)根据题意可知ξ的可能取值为0,3,6,7,10.再分情况求解每个可能值的分布列,再求数学期望即可.【详解】（1）据题意,游戏者第一、二、三次抛掷骰子成功的概率分别为： 123111,,236p p p === 设游戏者有机会抛挪第3次骰子为事件A ,则()()1212122()113P A p p p p p p =-+-+=所以游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率为23. （2）据题意,ξ的可能取值为0,3,6,7,10.()()121(0)113P p p ξ==--=； ()()()()123123555(3)1111183612P p p p p p p ξ==--+--=+=； ()1235(6)136P p p p ξ==-=； ()()123123211(7)11363612P p p p p p p ξ==-+-=+=； 1231(10)36P p p p ξ===. ξ的分布列为ξ的数学期望为155115303671031236123618E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了分情况讨论求解概率的问题以及离散型随机变量的分布列与数学期望的问题,需要根据题意分析所有可能的情况与概率,属于中等题型.21.如图，拋物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点(0,2)M -作直线l 与拋物线相交于,A B 两点，且满足(4,12)OA OB +=--u u u r u u u r .（1）求直线l 和拋物线的方程；（2）当拋物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求ABP ∆面积的最大值.【答案】（1）直线l 的方程为22y x =-，抛物线方程为22x y =-（2）【解析】【分析】(1)设直线l 的方程为2y kx =-,抛物线方程为22(0)x py p =->,再联立方程利用韦达定理表达OA OB +u u u r u u u r,继而求得直线l 的斜率与方程.(2)根据当抛物线过点P 的切线与l 平行时,APB ∆面积最大,利用导数的几何意义求解.或者设点21,2P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭,再表达出APB ∆面积根据参数的范围分析面积表达式再求最值即可. 【详解】（1）据题意可设直线l 的方程为2y kx =-,抛物线方程为22(0)x py p =->由222y kx x py=-⎧⎨=-⎩, 得,2240x pkx p +-=.设点()()1122,,,A x y B x y ,则122x x pk +=-,()21212424y y k x x pk +=+-=--.所以()()21212,2,24OA OB x x y y pk pk +=++=---u u u r u u u r因为(4,12)OA OB +=--u u u r u u u r ,所以224,2412pk pk -=-⎧⎨--=-⎩,解得12p k =⎧⎨=⎩故直线l 的方程为22y x =-,抛物线方程为22x y =-. （2）解法一：据题意,当抛物线过点P 的切线与l 平行时,APB ∆面积最大设点()00,P x y ,因为y x '=-, 由20000122,22x x y x -=⇒=-=-=-,所以(2,2)P --.此时,点P 到直线l 的距离d === 由2222y x x y=-⎧⎨=-⎩,得,2440x x +-=.所以AB ==故APB ∆面积的最大值为1122AB d ⋅⋅=⋅= 解法二：由2222y x x y=-⎧⎨=-⎩,得,2440x x +-=.所以AB ==设点21,(222P t t t ⎛⎫---<<-+ ⎪⎝⎭,点P 到直线l 的距离为d ,则22d t ==--<<-+,当2t =-时,max d =此时点(2,2)P --. 故APB ∆面积的最大值为11225AB d ⋅⋅=⋅= 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线相交、相切的位置关系,包括联立直线与抛物线方程,利用韦达定理表示向量数量积进而求得参数的方法.同时也考查了抛物线中的面积问题.属于难题.22.已知函数21()x x ax f x e++=，其中e 为自然对数的底，a 为实常数. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a >-时，求函数()f x 在区间[1,2]-上的最大值.【答案】（1）单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(,0)-∞和(1,)+∞（2）()()22max 2221(2),11()212,1e a e a e f x e a a ee ⎧-⎪--<<⎪+=⎨-⎪+⎪+⎩… 【解析】【分析】(1)求导后分析导数()0f x '>求单调增区间,再求单调递减区间即可.(2)求导后根据极值点的大小关系,分a 的情况讨论函数()f x 的单调性与最值即可.【详解】（1）当1a =时,21()x x x f x e++=,(1)()x x x f x e --'=. 由()0f x '>,得,(1)0x x -<,即01x <<.所以()f x 的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(,0)-∞和(1,)+∞.（2）(1)[(1)]()x x x a f x e----'=. 因为1a >-,则12a -<.1.当112a <-<,即10a -<<时,由()0f x '>,得11x a <<-, 则()f x 在(1,1)a -上单调递增,在[1,1)-和(1,2]a -上单调递减, 所以max ()max{(1),(1)}f x f f a =--.因为(1)(2)f a e -=-,211(1)(1)1(1)(2)a a a a a f a a e e---+-+-==- 则(1)(1)f f a ->-,所以max ()(2)f x a e =-.2.当11a -=,即0a =时,210(())x x f ex -'-=„, 所以()f x 在[1,2]-上单调递减,所以max ()(1)(2)f x f a e =-=-.3.当111a -<-<,即02a <<时,由()0f x '>,得11a x -<<, 则()f x 在(1,1)a -上单调递增,在[1,1)a --和(1,2]上单调递减, 所以max ()max{(1),(1)}f x f f =-, 因为()()221212(1)(1)(2)a e e a f f a e e e+--+--=+-=,则 当()222101e a e -<<+时,(1)(1)f f ->,max ()(1)(2)f x f a e =-=-；当()222121e a e -<+„时,(1)(1)f f -…,max 2()(1)a f x f e+==. 4.当11a --„,即2a …时,()f x 在[1,1)-上单调递增,(1,2]上单调递减, 则max 2()(1)a f x f e+==. 综上分析,()()22max 2221(2),11()212,1e a e a e f x e a a e e ⎧-⎪--<<⎪+=⎨-⎪+⎪+⎩…【点睛】本题主要考查了利用导数求函数单调性的问题,同时也考查了含参的导数单调性与最值的问题,需要根据极值点的大小进行分情况讨论,同时需要判断可能存在的最值,再分参数的不同范围确定最值.属于难题.。
湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟(三)数学(理)试题 含解析
湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三）理科数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()R C A B =（ ）A. {}1x x >- B. {}11x x -<≤ C. {}11x x -<< D. {}12x x <<【答案】B 【解析】 【分析】先求集合B,再利用补集及交集运算求解即可【详解】由题得R {|1}C A x x =≤，{|12}B x x =-<<，所以(){|11}R C A B x x =-<≤.故选B .【点睛】本题考查集合的运算，二次不等式求解，准确计算是关键，是基础题2.已知i 为虚数单位，复数z 满足121ii z-=++，则z =（ ） A. 1 35 D. 5【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算求解z,再求模长即可【详解】由题可得1(2)(1)i i z -=++,则z=()()()()12111222i i i i i i ----=-=++-4355i --，||1z == 故选A .【点睛】本题考查复数的运算，模长公式，熟记运算及公式准确计算是关键，是基础题3.cos()2πθ+=，则cos2θ的值为（ ）A. 18B.716C.18± D. 1316【答案】A 【解析】【分析】先利用诱导公式求解7sin4θ=，再利用二倍角公式求解即可【详解】因为7cos2πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以7sinθ=21cos212sin8θθ=-=.故选A.【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式，熟记公式是关键，是基础题4.如图是2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论①深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；②深圳和度厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降；③平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州；④平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海.其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据图表逐项判定即可【详解】变化幅度看折线图，越接近零轴者变化幅度越小，位于零轴下方者表明价格下跌；平均价格看条形图，条形图越高平均价格越高，所以结论①②③都正确，结论④错误. 故选C .【点睛】本题考查折线图和条形图，准确理解题意是关键，是基础题5.斜率为2的直线l 过双曲线2222=1x y a b-(0,0)a b >>的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A. e <B. 13e <<C. 1e <<D. 5e >【答案】D 【解析】 【分析】利用数形结合，根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出,a b 的关系，然后求出离心率的范围．【详解】双曲线的一条渐近线的斜率为b a， 结合图形分析可知， 若ba小于或等于2， 则直线与双曲线的一支相交或没有交点，不合题意； 所以b 必大于2，即2b>，22222214b c a e a a-==-> 解得双曲线的离心率5e >D ．【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求离心率范围问题，应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的取值范围.6.已知实数x ，y 满足210102x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪<⎩，则2z x y =-的取值范围是（ ）A. [0,5]B. 411[,]32C. 45[,]32D. [0,5)【答案】D 【解析】 【分析】画出不等式组所表示的区域，利用z 的几何意义求解即可 【详解】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线:20l x y -=，平移l 可知过C 时z 最小，过B 时z 最小，联立21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得C 12,33⎛⎫⎪⎝⎭，同理B(2,-1)即z 的取值范围是[0,5). 故选D.【点睛】本题考查线性规划，数形结合思想，准确计算是关键，注意边界的虚实，是基础题易错题7.函数()ln f x x x =的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】∵函数ln f x x x =（） ，可得()()f x f x -=- ， ()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除C ，D ；当0x >时，()'ln 1f x x =+ ，令()'0f x > 得：1x e >，得出函数()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，排除B ，故选A. 点睛：在解决函数图象问题时，主要根据函数的单调性、奇偶性作出判断.本题首先根据()()f x f x -=-，得出()f x 是奇函数，其图象关于原点对称.再利用导数研究函数的单调性，从而得出正确选项．8.本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A. 72种 B. 144种 C. 288种 D. 360种【答案】B 【解析】 【分析】利用分步计数原理结合排列求解即可【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2412A =种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2412A =种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=种.选B .【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题9.在ABC ∆中，90A ∠=︒，1AB =，2AC =，设点D 、E 满足AD AB λ=，(1)AE λ=-()AC R λ∈，若5BE CD ⋅=，则λ=（ ）A. 1-B. 2C.9 D. 3【答案】D 【解析】 【分析】将BE CD ∙表示为[(1)]()AC AB AB AC λλ--∙-利用数量积计算求解即可 【详解】因为90A ∠=︒，则•0AB AC =，所以()()BE CD AE AB AD AC ∙=-∙-22[(1)]()(1)4(1)34AC AB AB AC AC AB λλλλλλλ=--∙-=---=---=-.由已知，345λ-=，则3λ=. 选D .【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查数量积的运算，熟记定理，准确计算是关键，是基础题10.若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（ ） A. 0.18 B. 0.32C. 0.36D. 0.64【答案】C 【解析】 【分析】利用面积型几何概型求解即可【详解】设305路车和202路车的进站时间分别为x 、y ，设所有基本事件为:W 010010x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩,“进站时间的间隔不超过2分钟”为事件A ，则{(,)|010,010,||2}A x y x y x y =≤≤≤≤-≤,画出不等式表示的区域如图中阴影区域，则10108836S =⨯-⨯=，则36()0.36100A S P A S Ω===. 选C .【点睛】本题考查几何概型，考查不等式组表示的区域，准确转化题意是列不等式组是关键，是中档题11.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a = 2(1)()nn S a n n N n *=+-∈，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（ ） A. 290 B.920 C.511D.1011【答案】C 【解析】 【分析】 由2(1)()nn S a n n N n*=+-∈得{}n a 为等差数列，求得()43n a n n N *=-∈，得1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭利用裂项相消求解即可 【详解】由()2(1)nn S a n n N n*=+-∈得2(1)n n S na n n =--， 当2n ≥时，11(1)4(1)n n n n n a S S na n a n --=-=----，整理得14n n a a --=， 所以{}n a 是公差为4的等差数列，又11a =， 所以()43n a n n N*=-∈，从而()2133222(1)2n n n a a Sn n n n n n ++=+=+=+， 所以1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和115121111S ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 故选C .【点睛】本题考查递推关系求通项公式，等差数列的通项及求和公式，裂项相消求和，熟记公式，准确得{}n a 是等差数列是本题关键，是中档题12.长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==， 12BB =A 关于直线1BD 的对称点为P ，则P 与1C 两点之间的距离为（ ） A. 2 3 C. 1D.12【答案】C 【解析】 【分析】先求A 关于1BD 的对称点，再求距离即可【详解】将长方体中含有1ABD 的平面取出，过点A 作1AM BD ⊥，垂足为M ，延长AM 到AP ，使M P A M =，则P 是A 关于1BD 的对称点，如图所示，过P 作1PE BC ⊥，垂足为E ，连接PB ，1PC ，依题意1AB =，1AD =，12BD =，160ABD ∠=︒，30BAM ∠=︒，30PBE ∠=︒，12PE =，3BE =，所以11PC =. 故选C.【点睛】本题考查空间几何体的性质，平面上两点之间的距离，空间立体平面化的思想，是基础题二、填空题（将答案填在答题纸上）。
湖南省长沙市师大附中高新实验中学2019-2020学年高二数学理联考试卷含解析
湖南省长沙市师大附中高新实验中学2019-2020学年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设正数满足，则的最大值是( )A．2 B．10 C．4D．40参考答案：A略2. 平面向量与夹角为，，则（）A．7 B． C．D．3参考答案：C3. 已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于（A）4（B）3（C）2 (D)参考答案：A4. 840和1764的最大公约数是（）A．84 B．12 C．168D．252参考答案：A5. 设命题是的充要条件；命题，则（ )A. 为真B. 为真C.真假D. 均为假参考答案：A略6. 函数y=sin2x的图象向右平移（>0）个单位，得到的图象恰好关于x=对称，则的最小值为( )A. B. C. D.以上都不对参考答案：A7. 如果方程表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是（）A． B．C． D．参考答案：A8. 在中，，则此三角形中最大角的度数是A． B． C．D．参考答案：B9. 已知直线与直线平行，则的值为参考答案：D略10. 下列命题中的真命题是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.参考答案：a或2a略12. 如图，已知球的面上有四点，平面,,,则球的表面积为．参考答案：13. 设，则＝★★★★★★．参考答案：略14. 命题“”的否定是．参考答案：15. 双曲线的渐近线为.参考答案：略16. 观察下列等式：（1+x+x2）1=1+x+x2，（1+x+x2）2=1+2x+3x2+2x3+x4，（1+x+x2）3=1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6，（1+x+x2）4=1+4x+10x2+16x3+19x4+16x5+10x6+4x7+x8，…由以上等式推测：对于n∈N*，若（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2n x2n则a2= ．参考答案：【考点】F1：归纳推理．【分析】本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的等式，分析等式两边的系数及指数部分与式子编号之间的关系，易得等式右边展开式中的第三项分别为：1，3，6，10，…，归纳后即可推断出a2的等式．【解答】解：由已知中的式了，我们观察后分析：等式右边展开式中的第三项分别为：1，3，6，10，…，即：1，1+2.1+2+3，1+2+3+4，…根据已知可以推断：第n（n∈N*）个等式中a2为：1+2+3+4+…+n=故答案为：．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．17. 已知为互相垂直的单位向量，若向量与的夹角等于60，则实数= .参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
湖南省长沙市湖南师大附中19年-20年学年高二上学期期中数学试题
高二年级期中考试数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分，）1.已知集合{}2|M x x x ==，{}1,0,1N =-，则（ ）A. M N N =B. M N M ⋃=C. M N ∈D. M N ⊆【答案】D 【解析】 【分析】求出集合M ，进而求出集合,M N 的交集、并集可选出答案.【详解】由题意，{}{}2|0,1M x x x ===，{}1,0,1N =-，则M N ⊆，M N M ⋂=，M N N ⋃=，即只有选项D 成立.. 故选：D.【点睛】本题考查了集合的交集与并集，考查集合间的包含关系，属于基础题. 2.命题“函数()()y f x x M =∈是偶函数”的否定可表示为（ ） A. ()()000,x M f x f x ∃∈-≠ B. ()(),x M f x f x ∀∈-≠ C. ()(),x M f x f x ∀∈-= D. ()()000,x M f x f x ∃∈-=【答案】A 【解析】 【分析】该命题为全称命题，其否定是特称命题，除了将量词进行变化以外，还要将结论进行否定，最后用数学符号表示即可.【详解】命题“()()y f x x M =∈”的否定为：“存在某个函数()()y f x x M =∈不是偶函数”， 即：()()000,x M f x f x ∃∈-≠， 故选：A .【点睛】本题主要考查的知识点是命题的否定，全（特）称命题的否定是本考点的重要考查形式，属于基础题.3.设命题:p 函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题:q 函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是（ ） A. p 为真 B. q ⌝为假C. p q ∧为假D. p q ∨为真【答案】C 【解析】试题分析：函数sin 2y x =的最小正周期为π,所以命题p 为假命题，由余弦函数的性质可知命题q 为假命题，所以p q ∧为假命题，故选C.考点：1.三角函数的图象与性质；2.逻辑联结词与命题.4.若a >b ，则 A. ln(a −b )>0 B. 3a <3b C. a 3−b 3>0 D. │a │>│b │【答案】C 【解析】 【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3xy =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．5.曲线()ln y f x x x ==在点()()1,1f 处的切线方程是（ ） A. 1y x =+B. 1y x =-C. y x =D. y ex e =-【答案】B 【解析】 【分析】求导，并结合导数的几何意义可求出切线的斜率，再由点斜式可求出切线方程. 【详解】由题意，()1ln10f ==，()ln 1f x x '=+，则()1ln111f '=+=， 所以曲线在点()()1,1f 处的切线方程为01y x -=-，即1y x =-. 故选：B.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线方程，属于基础题. 6.设非零向量,a b 满足a b a b +=-，则（ ） A. ||||a b = B. ||||a b >C. //a bD. a b ⊥【答案】D 【解析】 【分析】由数量积性质把模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算律求解．【详解】因为a b a b +=-，所以22()()a b a b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，所以0a b ⋅=，所以a b ⊥． 故选：D ．【点睛】本题考查向量数量积的性质，考查向量数量积与垂直的关系，解题关键是利用22a a =对已知式变形．7.已知函数y=f （x ）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x ）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【详解】由y ＝f′(x)的图象知，y ＝f(x)的图象为增函数， 且在区间(－1,0)上增长速度越来越快， 而在区间(0,1)上增长速度越来越慢． 故选B.8.设1F ，2F 为椭圆C ：2213620x y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若12MF F △为等腰三角形，则12MF F △的面积为（ ） A. 3 B. 103 C. 215 D. 15【答案】D 【解析】 【分析】设1F ，2F 分别为椭圆C的左右焦点，可得12MF MF >，结合122MF MF a +=，及122F F c =，可判断出等腰三角形12MF F △中112=MF F F ，然后求出点M 的坐标，进而可求出12MF F △的面积. 【详解】设(),M m n ，,0m n >，则()0,6m ∈，(0,25n ∈，椭圆C ：2213620x y +=的6a =，25b =4c =. 设1F ，2F 分别为椭圆C 的左右焦点，由于M 为C 上一点且在第一象限，可得12MF MF >，1228F F c ==， 因为12212MF MF a +==，所以16MF >，26MF <，12MF F △为等腰三角形，只能128MF c ==，则24MF =，由勾股定理得()2222416MF m n =-+=，又2213620m n +=，联立并消去n 得218450m m -+=，且()0,6m ∈，解得3m =，则15n =.则12MF F △的面积为18154152⨯⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查椭圆的性质，考查三角形的面积，考查学生的计算求解能力，属于中档题.9.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若01160A AB A AD ∠=∠=，且13A A =，则1A C 的长为5 B. 2214 17【答案】A 【解析】 【分析】由几何图形可得111111AC A B A D A A =++，然后两边平方，根据向量的数量积可得21||AC ，进而得到1A C 的长度．【详解】因为111111AC A B A D A A =++， 所以|1A C |2=(11111A B A D A A ++)2=|11A B |2+|11A D |2+|1A A |211111111112(?··A B A D A B A A A D A A +++) ()11920131?20131?20cos cos =++++⨯⨯︒+⨯⨯︒5=．故A 1C 5 故选A ．【点睛】本题考查向量数量积的应用，利用数量积可解决垂直、长度、夹角等问题，用向量求长度时，可将向量用基底或坐标表示出来，然后根据数量积的运算或坐标运算求解即可，体现了向量具有数形二重性的特点． 10.“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】()()21f x ax x ax x =-=-，令20,ax x -=解得1210,x x a==当0a ≤，()f x 的图像如下图当0a >，()f x 的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）11.已知(),1,3a x =，()1,3,9b =-，若向量a 与b 共线，则x 的值是______.【答案】13- 【解析】 【分析】由向量a 与b 共线，可知存在λ使得b a λ=，代入计算即可. 【详解】因为向量a 与b 共线，所以存在λ使得b a λ=，则()()1,3,9,1,3x λ-=，即3193x λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得13λ=，13x =-.故答案为：13-.【点睛】本题考查空间向量共线问题，考查学生的计算求解能力，属于基础题12.若三个点()2,1-，()2,3-，()2,1-中恰有两个点在双曲线C ：()22210x y a a-=>上，则双曲线C 的离心率为______.【答案】2【解析】 【分析】由双曲线的图象关于原点对称，可知点()2,1-，()2,1-在双曲线上，将点的坐标代入双曲线方程可求得a ，进而可求出离心率.【详解】三个点()2,1-，()2,3-，()2,1-中恰有两个点在双曲线C ：()22210x y a a-=>上，又双曲线的图象关于原点对称，所以()2,3-不在双曲线上，点()2,1-，()2,1-在双曲线上，则()24110a a -=>，解得a =1b =2==. 故答案【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查离心率的求法，属于基础题. 13.已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.【答案】()3+∞，【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.【考点】分段函数，函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.14.已知正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，且图中三角形（正四面体的截面）的面积是42，则该球的表面积为______.【答案】24π 【解析】 【分析】作出图形，由三角形ABF 的面积可求得a 的值，然后求出正四面体的外接球半径，即可求出答案. 【详解】设正四面体的棱长为a ，过该球球心的一个截面如图为ABF ， 于是图中AB a ，E 为AB 中点，则EF DC ⊥.在DCE中，32aDE EC==，DC a=，∴22aEF=.因为三角形ABF的面积是42，所以有124222a a⨯⨯=，∴4a=.该正四面体的高22462sin603ah a︒⎛⎫=-=⎪⎝⎭，设球的半径为R，则22246332R R⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪-+=⎪⎝⎭ ⎪⨯⎪,解得6R=，∴24π24πS R==.故答案为：24π.【点睛】本题考查正四面体结构特征的应用，考查外接球，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知公差不为零的等差数列{}n a的前n项和为n S，312S=，且1a，2a，4a成等比数列，数列{}n b满足11242nnb a a a a-=+++⋯+，1,2,n=⋅⋅⋅.（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式n a、n b；（2）若在数列{}n a中去掉数列{}n b中的项，剩下的项按原来顺序排成新数列{}n c，求2019c的值.【答案】（1）2na n=，nb=122n+-；（2）4058【解析】【分析】（1）由等差数列的性质，并结合32123S a ==，2214a a a =⋅，可求出1,a d,即可求出n a ，由11242n n b a a a a -=+++⋯+，结合n a 的表达式，可求出n b ；（2）由（1）知21n n b a -=，可判断10b 和11b 与n a 的关系，从而可知20192029c a =，求解即可. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠. 由题设知，32123S a ==，∴24a =. 又2214a a a =⋅，∴()()44216d d -+=，解得2d =，12a =.所以2n a n =，*N n ∈.()121124221222n n n b a a a a --=+++⋅⋅⋅+=++++122n +=-，*N n ∈.（2）由（1）知21n n b a -=，所以101023b a =，112047b a =， 由此可知201920294058c a ==.【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等比中项的应用，考查学生的逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.16.如图所示，在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥，22CD AE ED ===，23ADC ∠=π，π3BEC ∠=，CED α∠=.（1）求sin α的值； （2）求BE 的长. 【答案】（1）217；（2）47【解析】 【分析】（1）在CDE △中，由余弦定理2222cos EC CD DE CD ED EDC =+-⋅⋅∠，可求得EC ，再由正弦定理得sin sin EC CD EDC α=∠，可求出sin α； （2）先求出cos α，结合2π3AEB α∠=-，可得2πcos cos 3AEB α⎛⎫∠=- ⎪⎝⎭，再由cos AE BE AEB =∠可求出答案.【详解】（1）在CDE △中，由余弦定理，得2222cos 24122cos π37EC CD DE CD ED EDC =+-⋅⋅∠-=+⨯=⨯， 在CDE △中，由正弦定理，得sin sin EC CD EDC α=∠.于是，2πsin23sin CD EC α⋅===.（2）由题设知，π03α<<，于是由（1）知，cos α===. 而2π3AEB α∠=-，所以2πcos cos 3AEB α⎛⎫∠=- ⎪⎝⎭2π2πcos cos sin sin 33αα=+= 在直角EAB中，BE ==. 【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于基础题.17.某企业为了检查生产A 产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值.若该项质量指标值落在[)195,210内，则为合格品，否则为不合格品.下表是甲流水线样本的频数分布表，下图是乙流水线样本的频率分布直方图. 甲流水线样本的频数分布表[)205,210 8[)210,2156乙流水线样本的频率分布直方图（1）根据图形，估计乙流水线生产的A 产品的该项质量指标值的中位数；（2）设该企业生产一件合格品获利100元，生产一件不合格品亏损50元，若某个月内甲、乙两条流水线均生产了1000件产品，若将频率视为概率，则该企业本月的利润约为多少元？【答案】（1）205.5；（2）125000元【解析】【分析】（1）求出前三组频率之和，可知中位数位于第四组，设中位数为a ，列式计算即可；（2）求出甲、乙两条流水线生产的A 产品中合格品和不合格品的件数，进而可求出利润.【详解】（1）因为前三组频率之和为()0.0120.0320.04850.46++⨯=，所以中位数位于第四组，设中位数为a ，则()2050.080.04a -⨯=，解得205.5a =.（2）由题意知，甲流水线随机抽取的50件A 产品中合格品有1017835++=（件） 则甲流水线生产的A 产品为合格品的概率是13575010P ==. 乙流水线生产的A 产品为合格品的概率是()240.0320.0480.08055P =++⨯=. 则本月内甲、乙两条流水线均生产1000件A 产品中合格品总件数为781000100015001010⨯+⨯=件，故该企业本月获得的利润为150010050050125000⨯-⨯=元.【点睛】本题考查中位数，考查频率分布直方图的应用，考查计算能力，属于基础题.18.已知AO 是圆锥的高，BD 是圆锥底面的直径，C 是底面圆周上一点，E 是CD 的中点，平面ABC 和平面ACD 将圆锥截去部分后的几何体如图所示.（1）求证：平面AEO ⊥平面ACD ；（2）若2==AC BD ，2BC =B ACD --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）17-【解析】【分析】（1）连结CO ，易证EO CD ⊥，AO CD ⊥，从而可证明CD ⊥平面AEO ，进而可证明平面AEO ⊥平面ACD ；（2）先证明OB ，OC ，OA 两两垂直，进而建立如图所示的空间直角坐标系，利用法向量的方法求得二面角B AC D --的余弦值即可.【详解】（1）连结CO ，则1CO OD ==，又因为E 是CD 的中点，所以EO CD ⊥.因为AO 是圆锥的高，所以AO ⊥平面BCD ， CD ⊂平面BCD ，所以AO CD ⊥，又AO EO O =，所以CD ⊥平面AEO ，又CD ⊂平面ACD ，所以平面AEO ⊥平面ACD .（2）由已知可得2AB AD AC BD ====，所以ABD △为正三角形，3AO =又因为2BC =2CD =，所以CO BD ⊥.于是分别以OB ，OC ，OA 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,0B ，()0,1,0C ，(003A ,,，()1,0,0D -.则()1,1,0BC =-，(0,3CA =-，()1,1,0CD =--.设平面ABC 的法向量为()111,,m x y z =， 由00m BC m CA ⎧⋅=⎨⋅=⎩得：1111030x y y z -=⎧⎪⎨=⎪⎩. 令11z =，得13y =13x = 即()3,3,1m =. 设平面ACD 的法向量为()222,,n x y z =，由00n CA n CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩得：2222300y z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 令21z =，得23y =23x =-()3,3,1n =-. 设二面角B AC D --的大小为θ，由图可知，π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1cos 7m n m n θ⋅==. 故所求二面角B AC D --的余弦值为17-.【点睛】本题考查圆锥的结构特征，考查面面垂直的证明，考查空间向量方法求二面角，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.19.已知函数()e cos xf x x ax =-，()()g x f x '=，R a ∈. （1）试判断函数()g x 在[]0,2π上的单调性，并说明理由；（2）若()f x 是在区间[]0,π上的单调函数，求a 的取值范围.【答案】（1）()g x 在区间[]0,π上单调递减，在区间(]π,2π上单调递增，理由见解析；（2）([)π,e 1,⎤-∞-+∞⎦ 【解析】【分析】（1）对()g x 求导，可得当()0,πx ∈时，()0g x '<，当()π,2πx ∈时，()0g x '>，从而可判断()g x 的单调性；（2）由（1）知，()g x 在区间[]0,π上单调递减，从而可求得()min g x 和()max g x ，由函数()f x 是在区间[]0,π上的单调函数，可知()min 0g x ≥或()max 0g x ≤时，满足题意.【详解】（1）因为()e cos x f x x ax =-，所以()()()e cos sin x g x f x x x a '==--，所以()()e cos sin sin cos 2e sin x x x g x x x x x =--=-'-.当()0,πx ∈时，()0g x '<，所以()g x 在区间[]0,π上单调递减；当()π,2πx ∈时，()0g x '>，所以()g x 在区间(]π,2π上单调递增.（2）由（1）知，()g x 在区间[]0,π上单调递减，所以()()()πe π01a g g x g a --=≤≤=-.当1a ≥时，()10g x a ≤-≤，所以()f x 在区间[]0,π上单调递减；当πe a ≤-时，()0g x ≥，所以()f x 在区间[]0,π上单调递增；当πe 1a -<<时，由于()g x 在区间[]0,π上单调递减，所以存在()00,πx ∈，使()00g x =，且当()00,x x ∈时，()0g x >，所以()f x 在区间[]00,x 上单调递增；当()0,πx x ∈时，()0g x <，所以()f x 在区间()0,πx 上单调递减，与已知不符.故所求的a 的取值范围是([)π,e 1,⎤-∞-+∞⎦.【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率为3，P 是椭圆C 上位于第一象限内的任意一点，O 为坐标原点，P 关于O 的对称点为P '，4P F PF '+=，圆O ：222x y b +=.（1）求椭圆C 和圆O 的标准方程；（2）过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，点T 在OP 的两侧.求四边形OFPT 面积的最大值.【答案】（1）椭圆C 的标准方程为2214x y +=，圆O 的标准方程221x y +=；（26【解析】【分析】（1）设椭圆左焦点为F '，连接PF '，P F ''，易知四边形P FPF ''为平行四边形，则2PF PF PF P F a ''+=+=3,,a b c ，即可求得椭圆C 和圆O 的标准方程； （2）设()()0000,0,0P x y x y >>，代入椭圆方程可得到00,x y 的关系式，然后分别求得,OFP OTP S S 的面积的表达式，即可得到四边形OFPT 面积的表达式，结合00,x y 的关系式，求OFPT 面积的最大值即可.【详解】（1）设椭圆左焦点为F '，连接PF '，P F ''，因为P O PO '=，OF OF '=，所以四边形P FPF ''为平行四边形，所以24PF PF PF P F a ''+=+==，所以2a =， 又离心率3，所以3c =，1b =. 故所求椭圆C 的标准方程为2214x y +=，圆O 的标准方程221x y +=. （2）设()()0000,0,0P x y x y >>，则220014x y +=，故220014x y =-. 所以222000222314TP OP OT x y x =+-==-，所以032TP x =， 所以0132OTP S OT TP x =⋅=. 又()0,0O ，()3,0F ，所以00132OFP S OF y y =⋅=. 故00322OFP OTP OFPT x y S S S ⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭四边形22000000331242x x y y x y =++=+.由220014x y +=，得2200214x y ⋅≤，即001x y ⋅≤， 所以0036122OFPT S x y =⋅+≤四边形， 当且仅当2200142x y ==，即02x =，022y =时等号成立.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及几何性质，考查三角形的面积公式的应用，考查利用不等式求最值，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.。
湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期第三次大练习数学试题解析版
湖南师大附中2020-2021学年度高二第一学期第三次大练习数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数z 满足2zi z i=-，则下列结论中正确的是（） A.z 的虚部为i B.2z = C.2z 为纯虚数D.1z i =-+2.设集合{}21log 0A x x =+≤，124B xx ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则()RA B 等于（）A.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.11,42⎛⎤⎥⎝⎦ C.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D.11,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ 3.已知{}n a 为等比数列，且2312a a a ⋅=，4a 与72a 的等差中项为54，则5a =（） A.1B.2C.31D.124.将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，恰有两个空盒的放法种数有（） A.24B.84C.16D.565.已知ABC △的外接圆圆心为O ，半径为2，0OA AB AC ++=，且||||OA AB =，则CA 在CB 方向上的投影为（）A.-3B.12-C.126.()6221x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的的展开式中含2x 项的系数为（）A.-160B.-100C.20D.1007.已知函数()f x 在定义域[2,2]-上是奇函数，在区间[0,2]上是减函数，则(1)(2)f a f a -<-成立的必要条件为（） A.3,2a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭B.3,2a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭C.3,32a ⎛⎤∈⎥⎝⎦D.30,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且125PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（）A.5B.53C.52D.32二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分,有选错的得0分.9.抛物线的方程为22y x =，直线AB 过抛物线的焦点且与抛物线交于点()11,A x y ，()22,B x y ，则下列结论正确的是（） A.焦点到准线的距离为1 B.过焦点与对称轴垂直的弦长为2 C.以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 D.12116x x =-10.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A.若//m α，//αβ，则//m β；B.若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ；C.若m α⊥，//αβ，则m β⊥；D.若m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则m n ⊥；11.若正实数a ，b 满足1a b +=，则下列选项正确的是（）A.ab 有最大值14C.11a b +有最小值4D.22a b +有最大值1212.已知函数()xf x e =，1()ln 22x g x =+的图像分别与直线(0)y m m =>交于A ，B 两点，则AB 的值可为（）A.212e +B.2ln 2+C.12ln 22+D.2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()y f x =图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是25y x =-，则(1)(1)f f '+=______.14.已知3sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，02πα-<<，则cos α=______. 15.已知)2()3nf x x=展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大4032，则展开式中二项式系数最大的项为______.16.已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球O 的表面上.若球O 的表面积为56π，则该三棱柱的侧面积为______.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）某年级800名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（1）求这次考试学生成绩的众数、中位数和平均数；（2）从成绩在[50,70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[50,60)中的概率. 18.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足：()*21212n na a a n n+++=-∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n nn nb a -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .19.（本小题满分12分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b、c .已知a b ≠，c =，22cos cos cos cos A B A A B B -=.（1）求角C 的大小； （2）若3sin 5A =，求ABC △的面积. 20.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//CD AB ，90ABC ∠=︒，224AB BC CD ===，侧面PAD ⊥平面ABCD ，2A PD ==.（1）求证：BD PA ⊥；（2）已知平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，在l 上是否存在点N ，使二面角P DC N --的余弦值为3?若存在，请确定点N 位置；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为2F ，且点P ⎛ ⎝⎭在椭圆E 上. （1）求椭圆E 的方程；（2）若点A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，点M 是直线4x =上任意一点，MA 、MB 分别交椭圆E 于C 、D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值. 22.已知函数2()xf x e ax ax =--（e 为自然常数）.（1）若1a =，且关于x 的不等式4()5f x m >+对于任意(0,)x ∈+∞恒成立，求整数m 的最大； （2）当0a >时，设1x ，2x 是函数()f x 两个不同的极值点，证明：12ln(2)2x x a +<.参考答案：湖南师大附中2020—2021学年度高二第一学期第三次大练习数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.C 【解析】由2zi z i=-，得22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，则z 的虚部为1，||z =，22z i =为纯虚数，1i z =-，故选C.2.C 【解析】因为{}211log 00,2A x x ⎛⎤=+≤= ⎥⎝⎦，124B x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，R 1,(2,)4B ⎛⎫=-∞+∞ ⎪⎝⎭，所以()R 10,4AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选C.3.A 【解析】由2312a a a ⋅=得312a q =，又47522a a +=，得 116a =，12q =，4511612a ⎛⎫∴=⨯= ⎪⎝⎭.故选A.4.B 【解析】22132424342284 C C A C C A ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭.故选B. 5.D 【解析】由0OA AB AC ++=，得OB AC CA =-=，所以四边形OBAC 为平行四边形，又O 为ABC △的外接圆圆心，所以||||||OA OB OC ==，又||||OA AB =，所以△OAB △为正三角形，四边形OBAC 是边长为2的菱形，所以6ACB π∠=，所以CA 在CB 方向上的投影为||cos262CA π=⨯= D. 6.B 【解析】62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为662662(1)2rr r r r rr x x C x C --⎛⎫-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，所以2x 项的系数为33322266(1)2(1)2100C C -⋅⋅+-⋅⋅=-.故选B.7.A 【解析】因为函数()f x 在定义域[2,2]-上是奇函数，在区间[0,2]上是减函数，所以函数()f x 在定义域[2,2]-上是减函数，由(1)(2)f a f a -<-得2212a a -≤-<-≤，解得a 3,32a ⎛⎤∈⎥⎝⎦，故选A. 8.D 【解析】因为P 在双曲线的右支上，所以由双曲线的定义可得122PF PF a -=，又125PF PF =，所以2252PF PF a -=，所以22a PF =，根据点P 在双曲线的右支上，可得22a PF c a =≥-，所以32ac ≥，又1e >，所以312e <≤，所以此双曲线的离心率e 的最大值为为32.故故选D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.CD 【解析】抛物线的标准方程为212x y =，所以14p =，所以焦点到准线的距离为14，过焦点与对称轴垂直的弦长为12，以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，212116x x p =-=-.故选CD.10.BC 【解析】若//m α，//αβ，则m 可能在平面β内，故A 不正确；若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ，故B 正确；若m α⊥，//αβ，则m β⊥，故C 正确；若m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则m 与n 有可能平行，故D 不正确；故选BC.1l .AC 【解析】因为0a >，0b >，1a b +=，所以22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以14ab ≤，所以A 选项正确；≤=，当且仅当12a b ==，所以B 错误；因为1114a b a b ab ab ++==≥，当且仅当12a b ==时取等号，所以11a b+有最小值4，所以C 正确；因为222()122a b a b ++≥=，当且仅当12a b ==时取等号，故22a b +的最小值是12，所以D 错误.故选AC.12.AB 【解析】由题意得(ln ,)A m m ，122,m B e m -⎛⎫⎪⎝⎭，0m >，易知122ln m e m ->，所以12||2 ln m AB e m -=-，0m >.令122ln m y em -=-，0m >，则2112m y e m -'=-，令0y '=，得12m =.所以当102m <<时，0y '<；当12m >，0y '>，所以122ln m y e m -=-，0m >在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.所以||2ln 2AB ≥+，故选AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.-1【解析】由题意知(1)2f '=，(1)253f =-=-，所以(1)(1)231f f '+=-=-.14.310【解析】3sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，02πα-<<，366πππα∴-<+<，4cos 65πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，13cos cos sin 66262610ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 15.7540x 【解析】由题可得424032n n -=，令2n t =，得24032(64)(63)0t t t t --=-+=，所以64t =，所以6n =.所以二项式系数最大的项为()3332763540C xx =.16.72【解析】因为三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，6个顶点都在球O 的球面上，所以三棱柱为正三棱柱，则其中心为球的球心，设为O ，再设球的半径为r ，由球O 的表面积为56π，得2456r ππ=，r ∴=a 23⨯=，且球心O 到上底面中心H 的距离2a OH =，设直三棱柱高为h ，底面周长为L，2222a r ⎫⎛⎫∴=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2271412r a ==，a h ∴==，3L a ==所以三棱柱的侧面积为72S Lh ===.故答案为72.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.【解析】（1）根据直方图知组距为10，由(23762)101a a a a a ++++⨯=，解得0.005a =.由图可得数学成绩的众数是75分.由153550.1650.15750.35850.30950.12⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，得平均数为1532分. 设中位数为x 分，则由0.01100.015100.035(70)0.5x ⨯+⨯+⨯-=， 得505407077x =+=分. （2）成绩落在[50,60)中的学生人数为20.0051080080⨯⨯⨯=， 成绩落在[60,70)中的学生人数为30.00510800120⨯⨯⨯=， 成绩落在[50,70)中的学生人数为80120200+=.所以从成绩在[50,70)的学生中任选2人，此2人的成绩都在[50,60)中的概率28022004079158100199995C C p ⨯===⨯. 18.【解析】（1）因为21212n n a a a n +++=-，则112121(2)21n n a a a n n --+++=-≥- 两式相减，得12n na n-=，即12(2)n n a n n -=⋅≥. 由已知，1211a =-=满足上式.故数列{}n a 的通项公式是12n n a n -=⋅.（2）由题设，11(21)2122n n n n n n b n ----==⋅则21135211222n n n S --=++++，21113232122222n n nn n S ---=++++. 两式相减，得22111211212311332222222n n n n n n n nn S ----+=++++-=--=-所以12362n n n S -+=-.19.【解析】（1）由题意得，1cos 21cos 22222A B A B ++-=即112cos 22cos 22222A AB B -=-， sin 2sin 266A B ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由a b ≠得A B ≠，又(0,)A B π+∈， 得2266A B πππ-+-=，即23A B π+=所以3C π=.（2）由c =3sin 5A =，sin sin a c A C =，得65a =， 由a c <，得A C <，从而4cos 5A =，故sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=所以ABC △的面积为116sin 225S ac B ==⨯=.20.【解析】（1）由题知BD ==，又AD =所以222BD AD AB +=，所以BD AD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAD ，因为PA ⊂平面PAD ，所以BD PA ⊥.（2）延长AD ，BC 相交于点M ，连接PM . 因为M ∈平面PAD ，M ∈平面PBC ，所以M l ∈， 又P l ∈，所以PM 即为交线l .取AB 的中点Q ，连接DQ ，则DQ DC ⊥.过点D 在平面PAD 内作AD 的垂线DH ，则DH ⊥平面ABCD ，以DQ ，DC ，DH 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,P -，(0,2,0)C ，(2,2,0)M -，(0,0,0)D .所以(1,DP =-，(0,2,0)DC =，(3,3,PM =-. 设平面PDC 的法向量为(,,)m x y z =，则00m DC m DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，得(2,0,1)m =-.设()111,,N x y z ，PN PM λ=，则(1111,1,(3,3,x y z λ-+=-， 所以113x λ=-，113y λ=-+，1z =，(13,13)DN λλ=--+，(0,2,0)DC =，设平面NDC 的法向量为()222,,n x y z =，则00n DC n DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220(13)(13))0y x y z λλ=⎧⎪⎨-+-++=⎪⎩，取(2,0,31)n λ=--，所以|cos ,|3m n 〈〉==， 所以271030λλ-+=，所以37λ=或1λ=，经检验1λ=时，不合题意，舍去. 所以存在点N 符合要求，且37PNPM =.21.【解析】（1）依题意得c =226141a b+=，又222a b c =+， 所以42260b b --=，所以22b =，24a =，得椭圆方程为22142x y +=.（2）由（1）知椭圆顶点(2,0)A -，(2,0)B .设(4,)M t （不妨设0t >），点()11,C x y ，()22,D x y . 则直线MA 的方程为(2)6t y x =+，直线MB 的方程为(2)2ty x =-. 由22(2)6142t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()()22221844720t x t x t +++-=， 则212472218t x t --⋅=+，所以21236218t x t -=+，于是()112122618t ty x t=+=+， 再由22(2)2142t y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()()222224480t x t x t +-+-= 则2224822t x t -⋅=+，所以222242t x t -=+，于是()2224222t ty x t -=-=+. 12 221111244222182ACB ADB ACBD tt S S S AB y AB y tt ⎛⎫∴=+=⨯+⨯=⨯⨯+ ⎪++⎝⎭四边形△△ 3422266323236203620t t ttt t t t++=⨯=⨯++++. 设6u t t =+，则)u ∈+∞，且 328ABCD S u u=+四边形令32()8g u u u =+，)u ∈+∞，则()g u在)+∞上单调递减.所以()maxABCD S g ==四边形ACBD面积的最大值为22.【解析】（1）若1a =，则2()xf x e x x =--. 令244()()(0)55x g x f x e x x x =-=--->，则()21x g x e x '=--. 令()21xh x e x =--，则()2xh x e '=-，令()0h x '=，得ln 2x = 当(0,ln 2)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增.又(0)0h =，(ln 2)22ln 211ln 40h =--=-<，(1)30h e =-<，323402h e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 所以存在唯一0(1,2)∈，使()00h x =即()00g x '=.故当()00,x x ∈时，()()0h x g x '=<，()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()()0h x g x '=>，()g x 单调递增.所以()02min 0004()5x g x g x e x x ==---. 一方面()014(1)5g x g e <=-， 另一方面由()000210x g x e x '=--=得0021x ex =+，所以()200015g x x x '=-++， 由031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得()0111205g x -<<， 从而()011140205g x e -<<-<. 又因为m 为整数，所以1m ≤-，即max 1m =-.（2）由题意得 ()2xf x e ax a '=--.因为1x ，2x 是函数 ()f x 两个不同的极值点，不妨设12x x <， 则()1 0f x '=，()20f x '=，即1120x ax e a --=，2220x ax e a --=. 两式相减得12122x x e e a x x -=-. 要证12ln(2)2x x a +<，即证明1222x x e a +<， 只需证1212212x x x x e e e x x +-<-，即12121212x x x x x e x e ---<-，亦即()121221210x x x x x x e e ----+>. 令1202x x t -=<，只需证当0t <时，不等式2210t t te e -+>恒成立， 设2()21(0)t t Q t te e t =-+<，则()2()2(1)221t t t t Q t t e e e t e '=+-=+-易证1(0)t t e t +<<，所以()0Q t '<，所以()Q t 在(,0)-∞上单调递减，()(0)0Q t Q >=，即2210t t te e -+>. 综上所述，12ln(2)2x x a +<成立.。
湖南师大附中(广益实验中学)2019-2020学年高二下数学期末模拟试卷.docx
湖南师大附中（广益实验中学）2019-2020学年高二下数学期末模拟试卷一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1.若4；=12C；，则〃等于（）A.3或4B. 4C. 5 或6D. 82.已知。
/均为实数，若―+ ^- =1 （i为虚数单位），则"+ /?=()1-11+1A.0B. 1C. 2D. -13.已知数列官｝是等比数列，其前n项和为S/ S2=3a2,则土言1（）11A.-B. -C. 2D. 44 24.由曲线y = x2（x20）和直线》=0, x = l, y = t2（0<t< 1）所围成图形（阴影部分）的面积的最小值为（）.5.连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，在已知两次的点数均为偶数的条件下，两次的点数之和不大于8的概率为（）14 5 2A. —B. —C. —D.—3 9 9 36.某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量X （单位：万件）的函数关系式为y = -Lr+81X —286,' 3则该生产厂家获取的最大年利润为（）A. 300万元B. 252万元C. 200万元D. 128万元7.若非零向量”，力满足\a\ = \b\,向量2a + b与力垂直，则a与力的夹角为（）A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°8.6本相同的数学书和3本相同的语文书分给9个人，每人1本，共有不同分法（）A. CgB.定C. WD.可g9.（1 +2x）（1+ %）5的展开式中疽的系数为（）A. 5B. 10C. 20D. 30Y— 110.不等式十一；〉。
的解集是()x~-4A. (—2,1)B. (2,+ oo)C. (—2,1) D(2, + co)D. (—co, —2)D(1,+ co)11.在平面几何里有射影定理：设三角形A8C的两边AB1AC ,〃是A点在BC ±的射影，则AB、= BD BC .拓展到空间，在四面体A-3CD中，AD 1 ® ABC ,点。
师范大学附属中学2020_2021学年高二数学上学期第三次大练习试题
湖南省湖南师范大学附属中学2020—2021学年高二数学上学期第三次大练习试题一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1。
复数z 满足2z i z i =-,则下列结论中正确的是( ) A.z 的虚部为i B.2z = C.2z 为纯虚数D.1z i =-+2。
设集合{}21log0A x x =+≤,124B x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则()RA B 等于（ ）A 。
1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.11,42⎛⎤⎥⎝⎦C.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D.11,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭3.已知{}na 为等比数列,且2312a a a ⋅=，4a 与72a 的等差中项为54，则5a=（ ）A 。
1B 。
2C 。
31D 。
124.将4个不同的小球放入4个不同的盒子中,恰有两个空盒的放法种数有（ ） A.24B.84C 。
16D.565。
已知ABC △的外接圆圆心为O ，半径为2，0OA AB AC ++=，且||||OA AB =，则CA 在CB 方向上的投影为( ）A 。
—3B 。
12- C.12D6。
()6221x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的的展开式中含2x 项的系数为( ）A.-160 B 。
—100C.20D.1007。
已知函数()f x 在定义域[2,2]-上是奇函数,在区间[0,2]上是减函数，则(1)(2)f a f a -<-成立的必要条件为（ ）A 。
3,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭B 。
3,2a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭C 。
3,32a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D 。
30,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭8。
已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ,点P 在双曲线的右支上,且125PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ） A 。
5B 。
53C.52D.32二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届湖南省师范大学附属中学高三下学期模拟(三)数学(理)试题(解析版)
2019届湖南省师范大学附属中学高三下学期模拟（三）数学（理）试题一、单选题1．设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()R C A B =（ ）A ．{}1x x >- B ．{}11x x -<≤ C ．{}11x x -<< D ．{}12x x <<【答案】B【解析】先求集合B,再利用补集及交集运算求解即可 【详解】由题得R {|1}C A x x =≤，{|12}B x x =-<<，所以(){|11}R C A B x x =-<≤.故选B . 【点睛】本题考查集合的运算，二次不等式求解，准确计算是关键，是基础题 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足121ii z-=++，则z =（ ）A ．1BCD ．5【答案】A【解析】先利用复数的除法运算求解z,再求模长即可 【详解】由题可得1(2)(1)i i z -=++,则z=()()()()12111222i i i i i i ----=-=++-4355i --，||1z ==故选A . 【点睛】本题考查复数的运算，模长公式，熟记运算及公式准确计算是关键，是基础题3．cos()24πθ+=-，则cos2θ的值为（ ） A ．18 B ．716C ．18±D ．1316【答案】A【解析】先利用诱导公式求解sin 4θ=，再利用二倍角公式求解即可 【详解】因为cos 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin θ=，所以21cos 212sin 8θθ=-=. 故选A . 【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式，熟记公式是关键，是基础题4．如图是2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论①深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；②深圳和度厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降； ③平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州； ④平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海. 其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据图表逐项判定即可 【详解】变化幅度看折线图，越接近零轴者变化幅度越小，位于零轴下方者表明价格下跌；平均价格看条形图，条形图越高平均价格越高，所以结论①②③都正确，结论④错误. 故选C . 【点睛】本题考查折线图和条形图，准确理解题意是关键，是基础题5．斜率为2的直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】利用数形结合，根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出的关系，然后求出离心率的范围．【详解】双曲线的一条渐近线的斜率为，结合图形分析可知，若小于或等于2，则直线与双曲线的一支相交或没有交点，不合题意；所以必大于2，即，解得双曲线的离心率，故选D．【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求离心率范围问题，应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的取值范围.6．已知实数x ，y 满足210102x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪<⎩，则2z x y =-的取值范围是（ ）A ．[0,5]B ．411[,]32C ．45[,]32D ．[0,5)【答案】D【解析】画出不等式组所表示的区域，利用z 的几何意义求解即可 【详解】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线:20l x y -=，平移l 可知过C 时z 最小，过B 时z 最小，联立21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得C 12,33⎛⎫⎪⎝⎭，同理B(2,-1) 即z 的取值范围是[0,5). 故选D.【点睛】本题考查线性规划，数形结合思想，准确计算是关键，注意边界的虚实，是基础题易错题7．函数f （x ）=xln|x|的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】∵函数 ，可得，是奇函数，其图象关于原点对称，排除C ，D ；当时，，令得：，得出函数在上是增函数，排除B ，故选A.点睛：在解决函数图象问题时，主要根据函数的单调性、奇偶性作出判断.本题首先根据，得出是奇函数，其图象关于原点对称.再利用导数研究函数的单调性，从而得出正确选项．8．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A ．72种 B ．144种 C ．288种 D ．360种【答案】B【解析】利用分步计数原理结合排列求解即可 【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2412A =种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2412A =种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=种. 选B . 【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题 9．在ABC ∆中，90A ∠=︒，1AB =，2AC =，设点D 、E 满足AD AB λ=，(1)AE λ=-()AC R λ∈，若5BE CD ⋅=，则λ=（ ）A ．13-B ．2C ．95D ．3【答案】D【解析】将BE CD ∙表示为[(1)]()AC AB AB AC λλ--∙-利用数量积计算求解即可 【详解】因为90A ∠=︒，则•0AB AC =，所以()()BE CD AE AB AD AC ∙=-∙-22[(1)]()(1)4(1)34AC AB AB AC AC AB λλλλλλλ=--∙-=---=---=-.由已知，345λ-=，则3λ=. 选D . 【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查数量积的运算，熟记定理，准确计算是关键，是基础题10．若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（ ） A ．0.18 B ．0.32C ．0.36D ．0.64【答案】C【解析】利用面积型几何概型求解即可 【详解】设305路车和202路车的进站时间分别为x 、y ，设所有基本事件为:W 010010x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩,“进站时间的间隔不超过2分钟”为事件A ，则{(,)|010,010,||2}A x y x y x y =≤≤≤≤-≤,画出不等式表示的区域如图中阴影区域，则10108836S =⨯-⨯=，则36()0.36100A S P A S Ω===. 选C .【点睛】本题考查几何概型，考查不等式组表示的区域，准确转化题意是列不等式组是关键，是11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a = 2(1)()nn S a n n N n*=+-∈，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（ ） A ．290 B ．920C ．511D ．1011【答案】C 【解析】由2(1)()nn S a n n N n*=+-∈得{}n a 为等差数列，求得()43n a n n N *=-∈，得1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭利用裂项相消求解即可【详解】 由()2(1)nn S a n n N n*=+-∈得2(1)n n S na n n =--， 当2n ≥时，11(1)4(1)n n n n n a S S na n a n --=-=----，整理得14n n a a --=， 所以{}n a 是公差为4的等差数列，又11a =， 所以()43n a n n N*=-∈，从而()2133222(1)2n n n a a Sn n n n n n ++=+=+=+， 所以1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和115121111S ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.故选C . 【点睛】本题考查递推关系求通项公式，等差数列的通项及求和公式，裂项相消求和，熟记公式，准确得{}n a 是等差数列是本题关键，是中档题12．长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==， 1BB =设点A 关于直线1BD 的对称点为P ，则P 与1C 两点之间的距离为（ ）A ．2BC ．1D ．12【答案】C【解析】先求A 关于1BD 的对称点，再求距离即可将长方体中含有1ABD 的平面取出，过点A 作1AM BD ⊥，垂足为M ，延长AM 到AP ，使MP AM =，则P 是A 关于1BD 的对称点，如图所示，过P 作1PE BC ⊥，垂足为E ，连接PB ，1PC ，依题意1AB =，1AD ，12BD =，160ABD ∠=︒，30BAM ∠=︒，30PBE ∠=︒，12PE =，BE =，所以11PC =. 故选C.【点睛】本题考查空间几何体的性质，平面上两点之间的距离，空间立体平面化的思想，是基础题二、填空题13．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 112a =-，若4378S S =，则3a =______ 【答案】18-【解析】由等比数列的求和公式及4378S S =得12q =-，再利用通项公式求23118a a q ==-即可【详解】由题知公比1q ≠，所以()()61363311711811a q S q q S a q q--==+=--，解得12q =-，所以23118a a q ==-.故答案为18-【点睛】本题考查等比数列的通项及求和公式，熟记公式准确计算是关键，是基础题14．下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为______．【答案】20π【解析】将三视图还原利用体积公式求解即可 【详解】由三视图还原为如图几何体：一个圆柱和一个圆锥 可得，2212423203V πππ=∙∙+∙∙∙=. 故答案为20π【点睛】本题考查三视图，考查圆柱和圆锥的体积公式，熟记公式准确计算是关键，是基础图 15．已知点()0,1A ，抛物线()2:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，,与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:2FM MN =，则实数a 的值为______．【答案】3【解析】过M 作抛物线的准线的垂线且垂足为K ，连接MK ，由抛物线的定义得MF MK =，由||:||1:2FM MN =，得||:||KN KM =，利用斜率得a 的方程求解即可【详解】依题意得焦点F 的坐标为,04a ⎛⎫⎪⎝⎭， 过M 作抛物线的准线的垂线且垂足为K ，连接MK ，由抛物线的定义知MF MK =，因为||:||1:2FM MN =，所以||:||KN KM =，又01404FN k a a -==--，N||||F KN k KM =-=，所以4a -=3a =【点睛】本题考查抛物线的定义及简单几何性质，熟记定义，准确转化题意是关键，是基础题16．已知函数11,1()3ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则当函数()()F x f x ax =-恰有两个不同的零点时，实数a 的取值范围是______． 【答案】11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】由题方程()f x ax =恰有两个不同的实数根，得()y f x =与y ax =有2个交点，利用数形结合得a 的不等式求解即可 【详解】由题可知方程()f x ax =恰有两个不同的实数根，所以()y f x =与y ax =有2个交点， 因为a 表示直线y ax =的斜率，当1x >时，1()f x x'=，设切点坐标为()00,x y ，01k x =， 所以切线方程为()0001y y x x x -=-，而切线过原点，所以01y =，0x e =，1k e=， 所以直线1l 的斜率为1e ，直线2l 与113y x =+平行，所以直线2l 的斜率为13，所以实数a 的取值范围是11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数与方程的零点，考查数形结合思想，考查切线方程，准确转化题意是关键，是中档题，注意临界位置的开闭，是易错题三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分別为,,a b c ，若3cos 4A =，2B A =，3b =.（1）求a ；（2）已知点M 在边BC 上，且AM 平分BAC ∠，求ABM ∆的面积. 【答案】(1) 2a =(2) ABM S ∆=【解析】（1）先求sin 4A =，sin sin 28B A ==结合正弦定理求解a 即可；（2）先求1cos 8B =，再利用余弦定理得c，进而得1sin 216ABC S bc A ∆==，再利用||||365||||52ACM ABM S CM AC S BM AB ∆∆====求解ABM ∆的面积即可【详解】（1）由0A π<<，3cos 4A =，得sin A =所以3sin sin 22sin cos 24B A A A ====， 由正弦定理sin sin a b A B =，可得sin 2sin b Aa B==. （2）2231cos cos22cos 12148B A A ⎛⎫==-=⨯-= ⎪⎝⎭，在ABC ∆中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22100c c --=，解得52c =或2c =-（舍去）. 1sin 2ABC S bc A ∆==因为||||365||||52ACM ABM S CM AC S BM AB ∆∆====，所以55111116176ABM ABC S S ∆∆==⨯=. 【点睛】本题考查正余弦定理，二倍角公式，同角三角函数基本公式，三角形面积公式，熟记公式定理，准确计算是关键，是中档题 18．在四棱锥中，，．（1）若点为的中点，求证：平面；（2）当平面平面时，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析； （2）.【解析】(I)结合平面与平面平行判定,得到平面BEM 平行平面PAD,结合平面与平面性质,证明结论.(II)建立空间坐标系,分别计算平面PCD 和平面PDB 的法向量,结合向量数量积公式,计算余弦值,即可. 【详解】 (Ⅰ)取的中点为，连结，.由已知得，为等边三角形，.∵，， ∴，∴，∴. 又∵平面，平面，∴∥平面.∵为的中点，为的中点，∴∥.又∵平面，平面，∴∥平面.∵，∴平面∥平面.∵平面，∴∥平面.(Ⅱ)连结，交于点，连结，由对称性知，为的中点，且，. ∵平面平面，，∴平面，，.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.则(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1).易知平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，，∴，∵，，∴.令，得，∴，∴.设二面角的大小为，则.【点睛】本道题考查了平面与平面平行判定和性质,考查了空间向量数量积公式,关键建立空间坐标系,难度偏难.19．某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[]0,30内，按[]0,5，(]5,10，(]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30分成6组，其频率分布直方图如图所示.（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的22⨯列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望.附：观测值公式：()()()()()()22a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++ 临界值表：【答案】(1) 中位数估计为17.5千元. (2)见解析；(3)73【解析】(1)利用频率分布直方图的中位数公式求解即可(2) 由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.3510035⨯=，得“网购迷”共有35人，列出列联表计算2K 即可得出结论；(3) 设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为X ，Y ，据题意得12,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭，22,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，计算()(Y)E X E ，，由X Y ξ=+，即可求解 【详解】（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为(0.010.020.04)50.35++⨯=， 后2个小矩形的面积之和为(0.040.03)50.35+⨯=，所以中位数位于区间(]15,20内. 设直方图的面积平分线为15x +，则0.060.50.350.15x =-=，得2.5x =，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.3510035⨯=， 所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人. 所以补全的列联表如下：因为22100(45201520)6006.593 5.0246040356591K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，查表得()2 5.0240.025P K ≥=，所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.（3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为12，23.设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为X ，Y ，据题意，12,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,3YB ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以1()212E X =⨯=，24()233E Y =⨯=. 因为X Y ξ=+，则7()()()3E E X E Y ξ=+=，所以ξ的数学期望为73.【点睛】本题考查频率分布直方图，独立性检验，二项分布，熟记公式准确计算是关键，是中档题20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(，右焦点F 是抛物线28y x=的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 分别交于M ，N 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得13516QM QN ⋅=-恒成立?若存在求出点Q 的坐标:若不存在，说明理由.【答案】(1) 2211612x y += (2)见解析【解析】(1) 由椭圆C 过点，得221231a b+=，由抛物线的焦点为()2,0，得2c =，利用2212314a a +=-即可求解a 则方程可求；（2）假设在x 轴上存在定点(,0)Q m ，当直线l 的斜率不存在时，由2135(2)916QM QN m ⋅=--=-，解得54m =或114m =；当直线l 的斜率为0时，由21351616QM QN m ⋅=-=-，解得114m =-或114m =，可得114m =，得点Q 的坐标为11,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.再证明当114m =时13516QM QN ⋅=-恒成立. 设直线l 的斜率存在且不为0时，其方程为(2)(0)y k x k =-≠，与椭圆联立消去y 得韦达定理,向量坐标化得11221111,,44QM QN x y x y ⎛⎫⎛⎫∙=-∙- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理代入韦达定理即可 【详解】（1）因为椭圆C 过点，所以221231a b +=， 又抛物线的焦点为()2,0，所以2c =. 所以2212314a a +=-，解得23a =（舍去）或216a =. 所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.（2）假设在x 轴上存在定点(,0)Q m ，使得13516QM QN ⋅=-. ①当直线l 的斜率不存在时，则(2,3)M ，(2,3)N -，(2,3)QM m =-，(2,3)QN m =--，由2135(2)916QM QN m ⋅=--=-，解得54m =或114m =；②当直线l 的斜率为0时，则(4,0)M -，(4,0)N ，(4,0)QM m =--，(4,0)QN m =-，由21351616QM QN m ⋅=-=-，解得114m =-或114m =. 由①②可得114m =，即点Q 的坐标为11,04⎛⎫⎪⎝⎭. 下面证明当114m =时，13516QM QN ⋅=-恒成立. 当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立.当直线l 的斜率存在且不为0时，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠，()11,M x y ，()22,N x y .直线与椭圆联立得()()222234161630k x k x k +-+-=，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且21221643k x x k +=+，()212216343k x x k -=+. ()()()222121212122224y y k x k x k x x k x x k =-∙-=-++，所以()1122121212111111121,,44416QM QN x y x y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫∙=-∙-=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()222222221212221631112111161211241244164344316k k k x x k x x k k k k k k -⎛⎫⎛⎫=+-++++=+-+++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭13516-恒成立 综上所述，在x 轴上存在点11,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得13516QM QN ⋅=-恒成立.【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，定值问题，向量运算，利用特殊位置得定点再证明一般情况成立是解决定点问题的基本方法，准确计算是关键，是中档题 21．已知函数1()ln af x a x x x-=-++. （1）当2a ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()23xg x e mx =+-，当21a e =+时，对任意1[1,)x ∈+∞，存在2[1,)x ∈+∞，使212()2()f x e g x +≥，证明：2m e e ≤-.【答案】(1)见解析；(2)见证明 【解析】（1）求导221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x '----=-++=，讨论1x =与1x a =-的大小关系得单调区间；(2)当21a e =+时，由（1）得()f x 在[)1,+∞上的最小值为22()3f e e =--，由题 212()2()f x e g x +≥转化为()()21min2g x f x e 轾?臌，得22xmx e e +≤，分离m 得22xe e m x -≤，构造函数22()x e e h x x -=求其最大值即可证明 【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 又221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x '----=-++=， 由()0f x '=，得1x =或1x a =-.当2a >即11a ->时，由()0f x '<得11x a <<-，由()0f x '>得01x <<或1x a >-；当2a =即11a -=时，当0x >时都有()0f x '≥；∴当2a >时，单调减区间是()1,1a -，单调增区间是()0,1，()1,a -+∞；当2a =时，单调增区间是()0,+∞，没有单调减区间；（2）当21a e =+时，由（1）知()f x 在()21,e 单调递减，在()2,e +∞单调递增. 从而()f x 在[)1,+∞上的最小值为22()3f e e =--.对任意[)11,x ∈+∞，存在[)21,x ∈+∞，使()()2212g x f x e ≤+，即存在[)21,x ∈+∞，使的值不超过()22f x e +在区间[)1,+∞上的最小值23e -.由222e 32e e 3xmx --+≥+-得22xmx e e +≤，22xe e m x-∴≤. 令22()xe e h x x-=，则当[)1,x ∈+∞时，max ()m h x ≤. ()()()22223222()x x x x e x e e xxe e e h x x x ---+-'==-，当[1,2]x ∈时()0h x '<；当[2,)x ∈+∞时，()22e 20xxxx xe exee +->-≥，()0h x '<.故()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而2max ()(1)h x h e e ==-,从而实数2m e e ≤-得证 【点睛】本题考查函数的单调区间，不等式有解及恒成立问题，分离参数求最值问题，转化化归能力，是中档题22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=-.（1）求直线的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点(1,P ，直线l 与曲线C 相交于两点A 、B ，求11PA PB+的值.【答案】(1) 直线l 的普通方程为20x ++=；曲线C 的直角坐标方程是220x y++=. (2)2【解析】(1)利用参数方程与普通方程互化及极坐标与普通方程互化求解即可；（2）直线参数方程与曲线C 联立，利用t 的几何意义121211||||t t PA PB t t -+=结合韦达定理求解即可 【详解】（1）消去参数t 得直线l的普通方程为20x ++=；因为ρθ=-，所以2sin ρθ=-，由,x cos y sin ρθρθ== 所以曲线C的直角坐标方程是220x y ++=.（2）点(1,P 是直线l 上的点，设A ，B 两点所对应的参数分别为12,t t ， 将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得220t --= . 方程判别式∆>0，可得12t t +=，122t t ∙=-.于是121211||||||||||||2t t PA PB PA PB PA PB t t -++====∙.【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程与普通方程的互化，t 的几何意义，韦达定理的应用，熟记公式准确计算是关键，是基础题 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()13f x x x a =+++ （1）当1a =-时，解不等式()2f x ≥；（2）若存在0x 满足00()211f x x ++<，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 1|02x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 (2) 24a << 【解析】（1）零点分段解不等式即可（2）由()00211f x x ++<，得003131x x a +++<，由绝对值三角不等式求最值得a 的不等式求解即可【详解】（1）当1a =-时，()|1||31|f x x x =++-，当13x ≥时，不等式等价于1312x x ++-≥，解得12x ≥，12x ∴≥； 当113x -<<时，不等式等价于1312x x +-+≥，解得0x ≤，10x ∴-<≤；当1x ≤-时，不等式等价于1312x x ---+≥，解得12x ≤-，1x -∴≤.综上所述，原不等式的解集为1|02x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或. （2）由()00211f x x ++<，得003131x x a +++<，第 21 页 共 21 页 而()()000000313333333|3|x x a x x a x x a a +++=+++≥+-+=-， （当且仅当()()003330x x a ++≤时等号成立）由题可知min (()2|1|)1f x x ++<，即31a -<，解得实数a 的取值范围是24a <<.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式求最值，熟记公式准确计算是关键，是基础题。
2019-2020学年湖南省长沙市湖南师大附中高二上学期第二次大练习数学试题(含答案解析)
2019-2020学年湖南省长沙市湖南师大附中高二上学期第二次大练习数学试题一、单选题1．21i i-（i 为虚数单位）的值等于（ ）A ．1 BC D ．2【答案】B【解析】根据复数的运算法则以及复数模的概念，可得结果 【详解】()()()22212221111i i i i i i i i i ++==-+-- 由21i =-，所以222112i i i i -==--所以211ii i=-==-故选：B 【点睛】本题考查复数的运算以及复数的模，主要是计算，属基础题. 2．下列说法中错误的是（ ）A ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件B ．命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定为“00,sin 1x R x ∃∈>”C ．命题“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若,x y 都不是偶数，则x y +不是偶数”D ．设命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则()()p q ⌝∨⌝为真命题 【答案】C【解析】采用逐一验证法，根据充分条件、必要条件的概念，命题的否定，否命题概念，以及真值表，可得结果. 【详解】 A 正确由23201x x x -+>⇒<或2x >，故“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 B 正确特称命题的否定式全称命题，命题的否定只否定结论 C 错，“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是 “若,x y 不都是偶数，则x y +不是偶数” D 正确命题p ：所有有理数都是实数，是真命题 命题q ：正数的对数都是负数，比如：lg10020=>，所以命题q 是假命题 则()()p q ⌝∨⌝是真命题. 故选：C 【点睛】本题主要判断命题的真假，审清题意以及知识的交叉应用，属基础题. 3．在等比数列{}n a 中，12846,6,5n n a a a a a a +>⋅=+=，则46a a 等于（ ） A ．56B ．65C ．23 D ．32【答案】C【解析】根据4268a a a a =⋅⋅，然后与465a a +=，可得46,a a ，最后简单计算，可得结果. 【详解】在等比数列{}n a 中，4268a a a a =⋅⋅ 由28466,5a a a a ⋅=+=所以464656a a a a +=⎧⎨⋅=⎩，又1n n a a +>，所以462,3a a ==所以4623a a = 故选：C【点睛】本题考查等比数列的性质，重在计算，当m n p q +=+，在等差数列中有m n p q a a a a +=+，在等比数列中m n p q a a a a =，灵活应用，属基础题.4．ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若cos cA b<，则ABC ∆为( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】B【解析】由已知结合正弦定理可得sinC ＜sinBcosA,利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin （A+B ）＜sinBcosA,整理可得有sinAcosB ＜0,结合三角形的性质可求. 【详解】∵A 是△ABC 的一个内角，0＜A ＜π， ∴sinA ＞0． ∵cb＜cosA ， 由正弦定理可得，sinC ＜sinBcosA, ∴sin （A+B ）＜sinBcosA, ∴sinAcosB+sinBcosA ＜sinBcosA, ∴sinAcosB ＜0 , 又sinA ＞0, ∴cosB ＜0 , 即B 为钝角, 故选B ．5．如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有( )A ．11种B ．20种C ．21种D ．12种【答案】C【解析】试题分析：设5个开关依次为1、2、3、4、5，由电路知识分析可得电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，依次分析开关1、2与3、4、5中至少有1个接通的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．解：根据题意，设5个开关依次为1、2、3、4、5，若电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，对于开关1、2，共有2×2=4种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有4-1=3种情况，对于开关3、4、5，共有2×2×2=8种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的8-1=7种情况，则电路接通的情况有3×7=21种；故选C ． 【考点】分步计数原理点评：本题考查分步计数原理的应用，可以用间接法分析开关至少有一个闭合的情况，关键是分析出电路解题的条件． 6．设函数()12f x x b=+-，若,,a b c 成等差数列（公差不为0），则()()f a f c +=（ ） A ．2 B ．4C ．bD ．2b【答案】B【解析】根据等差数列的性质可得2b a c =+，根据函数()12f x x b=+-关于(),2b 对称，可得结果. 【详解】 由题可知： 函数()12f x x b=+-关于(),2b 对称 又,,a b c 成等差数列（公差不为0），则2b a c =+， 所以()()()(),,,a f a c f c 关于(),2b 对称 所以()()224f a f c +=⨯= 故选：B 【点睛】本题考查了等差数列的性质，还考查了反比例型函数的对称性，关键在于函数的关于(),2b 对称，熟悉基础的函数以及函数的平移知识（左加右减），属中档题.7．已知ABC ∆为等腰三角形，满足AB AC ==2BC =，若P 为底BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+=u u u v u u u v u u u vA ．有最大值8B ．是定值2C ．有最小值1D ．是定值4【答案】D【解析】设AD 是等腰三角形的高.将AP u u u r 转化为AD DP +u u u v u u u v ，将AB AC u u u v u u u v +转化为2AD uuu r ，代入数量积公式后，化简后可得出正确选项. 【详解】设AD 是等腰三角形的高，长度为312-=.故()AP AB AC u u u v u u u v u u u v⋅+=()()2222222224AD DP AD AD DP AD AD +⋅=+⋅==⨯=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v .所以选D.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于基础题.8．在学校举行的演讲比赛中，共有6名选手进入决赛，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【解析】计算6位选手演讲的排法有66A ，然后计算甲不在第一个也不在最后一个演讲排法数为1444C A ，最后简单计算，可得结果. 【详解】由题可知：6位选手演讲的排法有66A甲不在第一个也不在最后一个演讲排法数为1545C A所以所求概率为15456623C A A = 故选：D 【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，重在审清题意，排列、组合方法：特殊元素法，特殊位置法，捆绑法，插空法等，熟练使用，属基础题.9．设1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角的大小为30o ，则双曲线C 的渐近线方程是（ ） A．0x ±= B0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=【答案】B【解析】假设点P 在双曲线的右支上，由题得1212126,4,2.2PF PF aPF a PF a PF PF a⎧+=⎪∴==⎨-=⎪⎩ 12|22F F c a =Q ，所以最短边是2,PF 最小角为12PF F ∠.由余弦定理得2220224164242cos30,30.a a c a c c a =+-⨯⨯⨯∴-+=2222222230,3,3,2.ce e c a a b a b a a∴-+=∴=∴==∴+=∴=ba∴=0y ±=，故选B. 10．已知椭圆()222222210,x y a b c a b c a b +=>>>=+的左右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的)a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．1,52⎡⎢⎣⎭【答案】B 【解析】根据PT =，计算2PF 最小值为a c -，可知min PT ，然后min()2c PTa ≥-，结合c e a =，计算，可得结果.【详解】由题可知：PT =由2PF 最小值为a c -， 则minPT=又PT )a c -即min))PTc a a c ≥≥-⇒-)c a ≥- 化简可得：()22()14c a c b -≥-，则()2a c b c -≥- 所以2a c b +≤，由222a b c =+，所以2222a a c c +⎛⎫≤ ⎪⎝+⎭化简可得：223250a ac c --≥，所以23250c c a a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，由c e a =所以25230e e +-≥，所以()()5310e e -+≥ 则1e ≤-或35e ≥，又()0,1e ∈，所以3,15e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭又b c >，所以22222b c a c c >⇒->，所以212c a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则0e <<综上所述：3,52e ⎡∈⎢⎣⎭故选：B 【点睛】本题考查椭圆离心率的应用，离心率是热点内容，本题关键在于利用转化法，PT =，熟悉常用结论a c PF a c -≤≤+，把握细节，中档题.11．已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，若函数()f x 满足：()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，()()222xf x f x e --=，则下列判断一定正确的是（） A ．()()10f ef < B ．()()12ef f < C ．()()303e f f >D ．()()514e f f -<【答案】C【解析】先设函数()()x f x g x e=，求导可得函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，再由2(2)()xx f x f x e e--=，得()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，再结合函数()g x 的性质逐一判断即可. 【详解】解：令()()x f x g x e = ，则''()()()xf x f xg x e-= 因为()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦， 所以当1x >时，'()0g x <，当1x <时，'()0g x >，即函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，又()()222xf x f x e--=，所以2(2)()xx f x f x e e--=， 则 ()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，则(0)(1)g g <，即()()10f ef >即A 错误；(1)(2)g g >，即()()12ef f >即B 错误；(0)(3)g g >，即03(0)(3)f f e e>，即()()303e f f >，即C 正确；(1)(4)g g ->，即()()514e f f ->，即D 错误.故选C. 【点睛】本题考查了分式函数求导、利用导数的符号研究函数的单调性，再结合函数的单调性、对称性判断值的大小关系，重点考查了函数的性质，属中档题. 12．已知()3231f x ax x =-+，定义()()(){}()()()()()(),,max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪==⎨<⎪⎩，若()()g x xf x '=，且存在[]01,2x ∈使()()00h x f x =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．13,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],2-∞D ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】C【解析】利用等价转化法可得()()f x g x ≥，然后使用参数分离的方法，并构造新函数，研究新函数的单调性以及计算最值，并与a 比较，可得结果.【详解】 由题可知：()()(){}()()()()()(),,max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪==⎨<⎪⎩且存在[]01,2x ∈使()()00h x f x = 等价于()()f x g x ≥在[]1,2有解 由()3231f x ax x =-+，则()'236fx ax x =-又()()g x xf x '=，所以()3236g x ax x =- 所以32323136ax x ax x -+≥-在[]1,2有解即3132a x x ≤+在[]1,2有解， 令()313h x x x=+，()'4233h x x x =--所以[]1,2x ∈，则()'0h x <故()313h x x x=+在[]1,2单调递减 所以()()max 14h x h == 所以242a a ≤⇒≤ 故选：C 【点睛】本题考查等价转化思想以及参数分离方法的使用，关键在于得出()()f x g x ≥在[]1,2有解，熟练使用参数分离的方法，考验分析能力以及计算能力，属难题.二、填空题 13．设2422sin,sin ,tan 555a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系为_______________. 【答案】c b a >>【解析】利用诱导公式，可得sin5a π=，根据sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，可得,a b 大小，然后根据tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，以及中间值1比较，可得结果. 【详解】由题可知：24sinsin 5sin 555a ππππ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ 由sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增， 所以20sinsin155a b ππ<=<=< 又tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增 所以2tantan 154c ππ=>= 所以c b a >> 故答案为：c b a >> 【点睛】本题考查利用正切函数，正弦函数单调性比较式子大小，一般把角度化为同一个单调区间中，同时也会借用中间值，比如：0，1等，进行比较，审清题意，细心计算，属基础题.14．已知0,0x y >>，且211x y+=，若222x y m m <++有解，则实数m 的取值范围是_____________. 【答案】()(),42,-∞-+∞U【解析】利用等价转化法，可得()2min 22m m x y >++，根据基本不等式，可得()min 2x y +，简单计算，最后可得结果.【详解】由题可知：若222x y m m <++有解则()2min 22m m x y >++因为211x y+=，且0,0x y >> 所以()2122x y x y x y ⎛⎫+=++⎪⎝⎭42448x y x y y x +=++≥+=当且仅当4x yy x=，即2x y =时，取等号所以228m m +>，则()()2280420m m m m ->⇒+->+所以4m <-或2m >，即()(),42,m ∈-∞-⋃+∞ 故答案为：()(),42,-∞-+∞U 【点睛】本题考查能成立问题以及基本不等式的应用，关键在于利用基本不等式求得28x y +≥，对于“1”在基本不等式中的应用，细心观察，属基础题.15．已知函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是______.【答案】112m ≤<. 【解析】根据函数定义域的对称性求出a ,再利用函数的单调性及偶函数得到不等式，求解即可. 【详解】因为函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数， 所以230a -+=，解得5a =，所以可得()()22122f m f m m -->-+- 又()f x 在[]0,3上单调递减， 所以()f x 在[]3,0-上单调递增,因为210m --<，2222(1)10m m m -+-=---< 所以由()()22122f m f m m -->-+-可得，22221223103220m m m m m m ⎧-->-+-⎪-≤--≤⎨⎪-≤-+-≤⎩解得112m ≤<. 故m的取值范围是112m <. 【点睛】本题主要考查了偶函数的定义域，偶函数的单调性，不等式的解法，属于难题.16．已知函数(),0ln ,0x a e x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，若关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围是_____________________. 【答案】()(),00,1a ∈-∞U【解析】令()t f x =，利用分类讨论0,0,0a a a =><，通过()0f t =，计算t ，然后比较(),y t y f x ==图象交点个数，可得结果 【详解】令()t f x =，方程()()0ff x =有且只有一个实数解即等价于(),y t y f x ==图象只有一个交点当0a =时，()0,0ln ,0x f x x x ≤⎧=⎨>⎩ 则0000t t ≤⎧⇒≤⎨=⎩或01ln 0t t t >⎧⇒=⎨=⎩ 如图若1t =时，有1个交点 当0t ≤时，有无数个交点， 所以0a =，不符合题意 当0a >时，则00t t t ae ≤⎧⇒∈∅⎨=⎩或01ln 0t t t >⎧⇒=⎨=⎩ 如图当1t =时，要使(),y t y f x ==图象只有一个交点 则011ae a <⇒<，所以01a << 当0a <时， 则00tt t ae ≤⎧⇒∈∅⎨=⎩或01ln 0t t t >⎧⇒=⎨=⎩ 如图当1t =时，(),y t y f x ==图象只有一个交点 所以0a <综上所述：()(),00,1a ∈-∞U 故答案为：()(),00,1a ∈-∞U 【点睛】本题考查镶嵌函数的应用，掌握等价转化思想，化繁为简以及数形结合，形象直观，考验分析能力以及逻辑推理能力，属难题.三、解答题17．电动摩托车的续航里程，是指电动摩托车在蓄电池满电量的情况下一次能行驶的最大距离.为了解A ，B 两个不同型号电动摩托车的续航里程，现从某卖场库存电动摩托车中随机抽取A ，B 两个型号的电动摩托车各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：已知A ，B 两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值相等. （1）求a 的值；（2）求A 型号被测试电动摩托车续航里程标准差的大小；（3）从被测试的电动摩托车中随机抽取A ，B 型号电动摩托车各1台，求至少有1台的续航里程超过122km 的概率.（注：n 个数据12,,,n x x x ⋯，的方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，其中x 为数据12,,,n x x x ⋯的平均数）【答案】（1）127；（2（3）2125【解析】（1）分别计算A ，B 两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值，然后根据平均值相等，可得结果.（2）根据（1）的结论，计算A 型号被测试电动摩托车续航里程方差2A s ，然后可得A s （3）先计算抽取A ，B 型号电动摩托车各1台的总数1155C C ，然后计算没有1台续航里程超过122km 的数目，最后求比值，可得结果. 【详解】（1）A 型续航里程的平均数：120+125+122+124+124=1235A x =B 型续航里程的平均数：118+123+127+120+488=55B a a x +=又B A x x =，所以127a = （2）由()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L A 型号被测试电动摩托车续航里程方差：()()()()()2222223211115A s ---⎡⎤=+-+-+⎣+⎦则23.2A s =（km 2）所以标准差为A s =（3）抽取A ，B 型号电动摩托车各1台的总数115525C C = 没有1台续航里程超过122km 的数目为11224C C =所以至少有1台的续航里程超过122km 的概率：42112525P =-=【点睛】本题考查统计量的计算，以及古典概型的应用，重在于对数据的处理，审清题意，细心计算，掌握基本统计量：平均数，方差，标准差，中位数，卡方等计算方法，属基础题18．已知向量2cos ,1,cos,3cos 22x x a b x π-⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r . （1）当a b ⊥r r时，求2cos sin 2x x +的值；（2）设函数()()f x a b a =-⋅r r r，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()4,f A a ==ABC ∆的面积S 的最大值.【答案】（1）710；（2）52【解析】（1）向量垂直的坐标表示，可得tan 3x =，所求式子利用二倍角正弦公式以及平方关系，结合弦化切可得22tan 1tan 1x x ++，然后简单计算，可得结果. （2）根据向量的坐标运算，以及辅助角公式，可得()f x ，根据()4f A =，可得2A π=，然后用勾股定理以及基本不等式，可得bc 的最大值，最后根据三角形面积公式，可得结果. 【详解】（1）由a b ⊥r r，所以0a b ⋅=r r ，又2cos ,12x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭rcos ,3cos sin ,3cos 22x x b x x π-⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r所以2cossin 3cos 3cos sin 022x x x x x ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭又cos 0x ≠，所以tan 3x =22222cos 2sin cos 2tan 1cos sin 2cos sin tan 1x x x x x x x x x +++==++ 所以222317cos sin 23110x x ⨯++==+（2）2cos +sin ,13cos 22x x a b x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭r r 所以()2cos +sin 2cos 13cos 222x x xf x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭ 则()24cos2sin cos 13cos 222x x xf x x =++- 则()()21cos sin 13cos f x x x x =+++- 所以()sin cos 334f x x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭由()4f A =344A π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭则sin 4A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 由()0,A π∈，所以3,444A πππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以442A A πππ-=⇒=所以可知三角形ABC ∆为直角三角形则2222a b c bc =+?（当且仅当b c =时，取等号）又a =，所以5bc ≤ 所以1522S bc =? 【点睛】本题考查向量的坐标运算以及二倍角公式的使用，还考查了辅助角公式以及基本不等式的应用，本题主要就是在于计算，考验分析能力以及计算能力，注意知识的交叉应用，属中档题19．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前三项和为9，且137,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项.（1）分别求数列{}n a ，{}n b 的前n 项和,n n S T ； （2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n K ，设n n n nS T c K =，求证：()*1n n c c n N +>∈. 【答案】（1）1n a n =+，2nn b =，()32n n n S +=，122n nT+=-；（2）证明见详解【解析】（1）根据等差数列的前n 项和公式以及通项公式，结合等比数列的性质，可得()()1211133926a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，可得1,a d ，进一步可得q ，然后利用公式法，可得结果. （2）根据（1）的结论可得n n a b ，然后使用错位相减法求和可得n K ，进一步得到n c ，然后使用作差法可得结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠， 等比数列{}n b 的公比为q 则由题可知：()()112322317111339926a d a a a a a a a d a a d +=⎧++=⎧⎪⇒⎨⎨=+=+⎩⎪⎩ 所以121a d =⎧⎨=⎩或130a d =⎧⎨=⎩（舍）所以()111n a a n d n =+-=+ 由11232,4b a b a ====，则212b q b == 所以2nn b =，()()1+322n n a a n n n S +==，()111221nn n b q T q+-==--（2）由（1）可知：()12n nn n a b =+⋅所以()23223242...12nn n K =⋅+⋅+⋅+++⋅①则()2341223242 (12)2n n n K +=⋅+⋅+⋅+++⋅②所以①-②可得：()()2231222...212n n n n K +=++++-+⋅-所以()()1211412212212n n n nn n K -++-=+-+⋅=-⋅--所以12n n K n +=⋅()()()()111322222321n n n n n n n nn S T c K n nn ++++-+-=⋅==()()()()121142122321n n n n n n c n n c ++++-=-+--+则1122202n n n n n c c +++++-=> 所以()*1n n c c n N +>∈【点睛】本题考查数列的综合应用，识记公式，掌握数列求和的常用方法，比如：错位相减，裂项相消法，分组求和等，同时熟悉式子比较大小，常用作差法，考验计算能力，属中档题20．在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，点D 在棱BC 上，且3CD BD =，点E 、F 分别为棱AB 、1BB 的中点．（1）证明：1//A C 平面DEF ；（2）若1A C EF ⊥，求直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（26【解析】（1）连接1AB ，连接1A B 分别交EF 、1AB 于点G 、O ，再连接DG ，证明出13AG BG =，结合条件3CD BD =可得出1//A C DG ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出1//A C 平面DEF ；（2）取11A B 的中点M ，连接EC 、EM ，证明出EM ⊥平面ABC ，且CE AB ⊥，设等边三角形ABC 的边长为2，并设1AA a =，以点E 为坐标原点，EA 、EM 、EC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，由1A C EF ⊥得出a 的值，并计算出平面DEF 的法向量，利用空间向量法求出直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值. 【详解】（1）如下图所示，连接1AB ，连接1A B 分别交EF 、1AB 于点G 、O ，再连接DG ，E Q 、F 分别为AB 、1BB 的中点，则1//EF AB ，EF BOG =Q I ，则G 为OB 的中点，在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，则四边形11AA B B 为平行四边形，11A B AB O =Q I ，O ∴为1A B 的中点，11124BG BO A B ∴==，13A G BG ∴=， 13AGCD BD BG∴==，1//AC DG ∴， 1A C ⊄Q 平面DEF ，DG ⊂平面DEF ，1//AC ∴平面DEF ；（2）取11A B 的中点M ，连接EC 、EM ，Q 四边形11AA B B 为平行四边形，则11//AB A B ，E Q 、M 分别为AB 、11A B 的中点，1//AE A M ∴，所以，四边形1AEMA 是平行四边形，1//EM AA Q ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，EM ∴⊥平面ABC ，ABC ∆Q 是等边三角形，且点E 是AB 的中点，CE AB ∴⊥，以点E 为坐标原点，EA 、EM 、EC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，设ABC ∆的边长为2，1AA a =，则点()1,0,0A 、()11,,0A a、(10,C a、(C 、()0,0,0E、3,0,44D ⎛- ⎝⎭、1,,02a F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(11,AC a =--u u u r ，1,,02a EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，1A C EF ⊥Q ，则21102a AC EF ⋅=-=u u u r u u u r，得a =(11AC AC ==-u u u u r u u u r Q，34ED ⎛=- ⎝⎭u u u r，EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r . 设平面DEF 的法向量为(),,n x y z =r，由30402n ED x z n EF x y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v，得y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 令1x =，可得y，z =DEF的一个法向量为(n =r，111111cos ,A C n A C n A C n ⋅===⋅u u u u r ru u u u r r u u u u r r ，因此，直线11A C 与平面DEF【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了直线与平面所成角的正弦值的计算，一般建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21．已知抛物线()2:20E y px p =>经过点()2,4A ，过A 作两条不同直线12,l l ，其中直线12,l l 关于直线2x =对称.（1）求抛物线E 的方程及其准线方程；（2）设直线12,l l 分别交抛物线E 于,B C 两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，求直线BC 的方程.【答案】（1）抛物线E 的方程为28y x =，准线方程为2x =-；（2）20x y +-=【解析】（1）代值计算，可得结果.（2）假设直线AB 方程()42x t y =-+（且B 在直线2x =左边），然后抛物线方程结合韦达定理，可得B ，同理得C ，然后利用准线与圆的位置关系得t ，最后简单计算，可得结果.【详解】（1）由题可知：2444px p =⇒=所以抛物线E 的方程为28y x =，准线方程为2x =-（2）由题可知：设直线AB 方程()42x t y =-+设直线AC 方程()42x t y =--+且B 在直线2x =左边，则0t >另设()()1122,,,B x y C x y ()22428321608x t y y ty t y x⎧=-+⇒-+-=⎨=⎩ 则114321684y t y t =-⇒=-所以()21142882x t y t t =-+=-+ 故()2882,84B t t t -+-同理()2882,84C t t t ++--所以线段BC 的中点()282,4t +-由线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，则22822t =++2168t =+，化简可得：2210t -+=，所以2t =由0t >，所以2t =所以()()64,64B C -+- 则直线BC的斜率为441BC k --==- 所以直线BC 方程为()(164y x ⎡⎤=-⨯-+-⎣⎦即20x y +-=【点睛】本题考查抛物线与直线的几何关系应用，直线与圆锥曲线的应用常常联立方程，结合韦达定理，考验计算能力以及分析能力，属难题.22．已知函数()ln f x x x =，函数()2()2a g x x x a a R =+-∈. （1）求函数()f x 在[],1e e +上的最小值；（2）函数()()()F x f x g x =-，若()F x 在其定义域内有两个不同的极值点，求a 的取值范围；（3）记()()()F x f x g x =-的两个极值点分别为12,x x ，且12x x <.已知0λ>，若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.注： 2.71828e =⋯为自然对数的底数.【答案】（1）e ；（2）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）1λ≥ 【解析】（1）计算()'fx ，判断()'f x 在[],1e e +的符号，可得()f x 的单调性，可得结果. （2）计算()'F x ，采用等价转化思想，()'0F x =有两个不同的实数根，然后分离参数，并构建新的函数，判断新函数的单调性，求得极值，最后与a 比较大小，可得结果. （3）通过两边取对数以及1122ln ,ln ax x ax x ==，1212ln ln x x a x x -=-化简式子， 可得()()112212ln1x x x x x x λλ<++-，利用换元法并构造函数，根据导数研究函数的性质，可得结果 【详解】（1）由题可知：()'ln 1fx x =+ 当[],1x e e ∈+，()'0f x > 所以()f x 在区间[],1e e +单调递增，所以()()min f x f e e ==，（2）()2ln 2a F x x x x x a =--+，定义域为()0,∞+ 则()'ln F x x ax =-，由()F x 在其定义域内有两个不同的极值点则()'0F x =在()0,∞+有两个不同的实数根 等价于ln x a x=在()0,∞+有两个不同的实数根 等价于函数()ln ,x y a h x x==图象在()0,∞+有两个交点 则()'21ln x h x x -= 令()'0h x >，则0x e << 令()'0h x <，则x e > 所以()h x 在()0,e 递增，在(),e +∞递减则()h x 有极大值为()1h e e=， 当(),x e ∈+∞时，ln y x =递增，且ln 1x >所以当(),x e ∈+∞时，()0h x > 所以10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）由（2）可知：()'ln F x x ax =- 由()F x 两个极值点分别为12,x x所以1122ln 0,ln 0x ax x ax -=-=所以1122ln ,ln ax x ax x == 则12121212ln ln ln ln x x ax ax x x a x x --=-⇒=-由1212e x x λ+<⋅，所以两边取对数可知：121ln ln x x λλ+<+，所以121ax a x λλ+<+ 则121a x x λλ+>+，所以121212ln ln 1x x x x x x λλ->-++ 由12x x < 所以()()112212ln 1x x x x x x λλ<++- 令()12,0,1x t t x =∈ 所以()()11ln t t t λλ+-<+，则()()ln 011t t t λλ+--<+ 若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立等价于()()ln 011t t t λλ+--<+，()0,1t ∈恒成立 令()()()11ln t h t t t λλ+-=-+，()0,1t ∈ 则()()()()()()222'2111h t t t t t t t λλλλ--+=-=++ 当21λ≥，即1λ≥，可得()'0h t > 所以()h t 在()0,1单调递增，又()10h =所以当()0,1t ∈时，()0h t <恒成立当21λ<，即01λ<<时，若()20,t λ∈，()'0h t > 若()2,1t λ∈，()'0h t <所以()h t 在()20,λ递增，在()2,1λ递减 又()10h =，所以当()0,1t ∈时，()0h t <不恒成立综上所述：1λ≥【点睛】本题考查导数的综合应用，关键在于构造函数以及换元法的使用，考验分析能力，观察能力以及极强的逻辑推理能力，属难题.。
湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟(三)数学(文)试题 含解析
湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三）文科数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是（ ） A. A C φ⋂= B. A C C ⋃= C. B C B ⋂= D. AB C =【答案】C 【解析】 【分析】先求集合C ，再根据集合与集合的关系判断即可．【详解】由题设，{0,2,4}C =，则B C ⊆，故B C B ⋂= 选C .【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，属于基础题．2.若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z=（ ） A. i B. i - C. 2iD. 2i -【答案】B 【解析】 【分析】由纯虚数的定义可得m ＝0，故11z i=，化简可得． 【详解】复数z ＝m （m +1）+（m +1）i 是纯虚数，故m （m +1）＝0且（m +1）≠0， 解得m ＝0，故z ＝i ，故111i z i i i⋅===-⋅i ． 故选：B ．点睛】本题考查复数的分类和复数的乘除运算，属基础题．3.设命题2:,420p x R x x m ∀∈-+≥ (其中m 为常数)，则“1m ≥”是“命题p 为真命题”（ ）A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分且必要D. 既不充分也不必要【答案】B 【解析】 【分析】命题p ：x ∈R ，x 2﹣4x +2m ≥0（其中m 为常数），由△＝16﹣8m ≤0，解得m 范围即可判断出结论．【详解】若命题p 为真，则对任意x R ∈，2420x x m -+≥恒成立，所以1680m ∆=-≤，即21m m ≥⇒≥.因为2m ≥，则“1m ≥”是“命题p 为真”的必要不充分条件， 选B .【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.若3sin()23πα+=，则cos2α=（ ） A. 12-B. 13-C.13D.12【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.【详解】因为3sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos α=，所以21cos22cos -1=-3αα= . 故选：B【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.5.某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为（ ）A. 100000元B. 95000元C. 90000元D. 85000元【答案】D 【解析】 【分析】先求出2017年的就医费用，从而求出2018年的就医费用，由此能求出该教师2018年的家庭总收入． 【详解】由已知得，2017年的就医费用为8000010%8000⨯=元，2018∴年的就医费用为8000475012750+=元，∴该教师2018年的家庭总收入127508500015%=元． 故选：D ．【点睛】本题考查教师2018年的家庭总收入的求法，考查折线图和条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.已知{}n a 是公差为12的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.若2a ，6a ，14a 成等比数列，则5S =（ ） A.352B. 35C. 252D. 25【答案】C 【解析】 【分析】根据条件求首项，再根据等差数列求和公式得结果,【详解】因为2a ，6a ，14a 成等比数列，所以226214111151133,()()()2222a a a a a a a =+=++∴=， 因此5311255542222S =⨯+⨯⨯⨯=,选C. 【点睛】本题考查等差数列通项公式与求和公式，考查基本求解能力，属基础题.7.函数(1)()lgx f x -=的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】先判断奇偶性,再利用单调性进行判断，【详解】由题()f x 是偶函数，其定义域是(,1)(1,)-∞-+∞，且()f x 在(1,)+∞上是增函数，选B .【点睛】此题主要考查对数函数的图象及其性质，是一道基础题；8.在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（ ）A.23B.34C.25D.13【答案】C 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式，设AC ＝x ，则BC ＝10﹣x ，由矩形的面积S ＝x （10﹣x ）＜16可求x 的范围，利用几何概率的求解公式求解．【详解】设线段AC 的长为xcm ，则线段CB 长为(10)cm x -， 那么矩形面积为(10)16x x -<，2x <或8x >，又010x <<，所以该矩形面积小于216cm 的概率为42105=. 故选：C【点睛】本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题．9.已知向量a ，b 满足2a =，且()40a b a λλ+=>，则当λ变化时，a b ∙的取值范围是（ ） A. (,0)-∞ B. (,1)-∞- C. (0,)+∞ D. (1,)-+∞【答案】D 【解析】 【分析】由向量数量积得1a b λ⋅=-即可求解【详解】由已知，(1)4a b λ-=，则2(1)4a a b λ-=⋅， 因为||2,0a λ=>，则11a b λ⋅=->-， 选D .【点睛】本题考查向量数量积，向量的线性运算，是基础题10.设点1F ，2F 是双曲线2213y x -=的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若1234PF PF =，则12PF F ∆的面积是（ ）A.B.C.D. 【答案】B 【解析】 据题意，1243PF PF =，且122PF PF -=，解得128,6PF PF ==. 又124F F =，在12PF F ∆中由余弦定理，得222121212127cos 28PF PF F F F PF PF PF +-∠==.从而12sin 8F PF ∠==，所以11.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50︒海里方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20︒，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65︒，那么B 、C 两点间的距离是（ ）A. 海里B.C.D.【答案】A 【解析】 如图，在中，,,则；由正弦定理得，得,即B 、C 两点间的距离是10n mile ．考点：解三角形．12.已知()f x 与函数sin y a x =-关于点(12，0)对称，()g x 与函数xy e =关于直线y x =对称，若对任意(]10,1x ∈，存在2[,2]2x π∈使112()()g x x f x -≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1(,]sin1-∞B. 1[,)sin1+∞C. 1(,]cos1-∞D. 1[,)cos1+∞ 【答案】C 【解析】 【分析】先求f （x ）和g(x)的解析式，设()()ln h x g x x x x =-=-求其最大值-1，原题等价于存在,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得sin(1)1a x -≥-，分离参数a,构造函数求其最值即可求解详解】依题意得：()sin(1)f x a x =-，()ln g x x =， 设()()ln h x g x x x x =-=-，(0,1]x ∈，1()10h x x'=-≥， 所以()h x 在(0,1]单调递增，所以max ()(1)ln111h x h ==-=-，故原题等价于存在,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得sin(1)1a x -≥-， sin(1)0x -≤，1sin(1)a x ∴≤-，故只需max1sin(1)a x ⎛⎫≤ ⎪-⎝⎭，而1y sin(1)x =-在,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，而max 111sin(1)cos1sin 12x π⎛⎫== ⎪-⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，所以1cos1a ≤， 故选C .【点睛】本题考查函数的对称性及解析式求法，考查不等式恒成立及有解问题，考查转化化归能力，是中档题二、填空题（将答案填在答题纸上）. 13.已知函数()ln f x x =的图像在点()()1,1f 处的切线过点()0,a ，则a =_____．【答案】32【解析】 【分析】求得函数f （x ）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得a 的值．【详解】1()f x x '=-，1(1)2k f '∴==-， 又因为(1)1f =，切点是()1,1， 切线方程是：11(1)2y x -=--，13122a =+=. 故答案为32【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两点的斜率公式，以及方程思想和运算能力，属于基础题．14.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准方程是_____ 【答案】()()22211x y -+-= 【解析】试题分析：由于圆的半径为1且与轴相切，所以可以假设圆心(,1)C a .又圆与直线相切.所以可得4315a -=.解得12,2a a ==-，由圆心在第一象限.所以2a =.所以圆的方程为22(2)(1)1x y -+-=.考点：1.直线与圆的位置关系.2.直线与圆相切的判定.3.圆的标准方程.15.若函数()2sin()(0,0)f x x ωϕϕϕπ=+><<的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴间的距离为2π.则()4f π的值为______．【解析】 【分析】根据函数f （x ）的图象与性质求出T 、ω和φ的值，写出f （x ）的解析式，求出f （4π）的值． 【详解】因为相邻两条对称轴的距离为2π，所以2ππω=，2ω∴=， 所以()2sin(2)f x x ϕ=+，因为函数的图象经过点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0ϕπ<<，π6∴=ϕ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 426f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，熟记性质准确计算是关键，是基础题．16.已知正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在平面BCD 上的射影，则异面直线BM 与OA 所成角的余弦值为_______． 【答案】3【解析】 【分析】设点M 在平面BCD 上的射影为N ，得O 、N 、D 三点共线，且N 是OD 的中点，得异面直线BM 与OA所成角等于异面直线BM 与MN 所成角，即BMN ∠.在Rt BMN ∆中求解即可【详解】设点M 在平面BCD 上的射影为N ，则O 、N 、D 三点共线，且N 是OD 的中点， 则异面直线BM 与OA 所成角等于异面直线BM 与MN 所成角，即BMN ∠. 设正四面体的棱长为2，则BM =2OA ==MN = 所以Rt BMN ∆中，cos 3MN BMN BM ∠===.故答案为3【点睛】本题考查异面直线所成的角及正四面体的基本性质，准确计算是解题关键，是基础题三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知344,n n S a n N =-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令2211log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）212n n a -=（2）45p E mgh W ''==【解析】分析：（1）由1n =求得1a ，由2n ≥时，1n n n a S S -=-可得{}n a 的递推式，得其为等比数列，从而易得通项公式；（2）根据（1）的结论，数列{}n b 的前n 项和可用裂项相消法求得． 详解：（1）∵342n n S a =- ① 当1n =时，11342a a =-，∴12a = 当2n ≥时，11342n n S a --=- ② 由①-②得：1344n n n a a a -=- ∴14n n a a -=∴{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列∴1212?42n n n a --== （2）∵()()22111111log log 212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭∴12111111121335212121n n nT b b b n n n ⎛⎫=+++=⨯-+-++-= ⎪-++⎝⎭ 点睛：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b +，{}n n a b ，11{}n n a a +的前n 项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法．18.随着经济的发展，个人收入的提高.自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下:纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：（1）假如小李某月的工资、薪金所得等税前收人总和不高于8000元，记x 表示总收人，y 表示应纳的税，试写出调整前后y 关于x 的函数表达式；（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：先从收入在[)3000,5000及[)5000,7000的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；（3）小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？【答案】（1）调整前y 关于x 的表达式为()()0,350035000.03,350050004550000.1,50008000x y x x x x ⎧≤⎪=-⨯<≤⎨⎪+-⨯<≤⎩，调整后y 关于x 的表达式为()0,500050000.03,50008000x y x x ≤⎧=⎨-⨯<≤⎩（2）47（3）220元 【解析】 【分析】（1）对收入x 的范围分类，求出对应的表达式即可。
19湖南师大附中高三理数3次(DA)
$ $ $ ( ( 2 " "2 ( $ "2 ( 2 " 解析% 因为& 则 & 即$ 所以数列+ 单调递减! * ! -!$ $ $ % % (% ( 2 "& (, ( (2 " # #
因为$ & 则$ & & 从而数列+ 的前)项都为正数& 从第*项起& 以后各项都为负数& $ $ $ $ $ $ ) *# )% *# (, 所以当(0 选 -4 )时 & ( 取最大值 & 理科数学参考答案! 附中版" !" !
解析% 框图首先给累加变量 - 赋值$ & 给循环变量. 赋值" & + ! ,!$ " 输入( 的值后& 执行循环体& * -0 & .0 " 2 " 0 # # & 判断# 执行循环体& * ( 不成立& -0 & .0 # 2 " 0 & % ' * 判断& 执行循环体& * ( 不成立& -0 & .0 & 2 " 0 ' % + " ( 判断' 执行循环体& ( 不成立& -0 & .0 ' 2 " 0 ( ! % " ) & " 判断( 执行循环体& ( 不成立& -0 & .0 ( 2 " 0 ) ! % & # ) & 判断) 执行循环体& ( 不成立& -0 & .0 ) 2 " 0 * ! % ) ' (& ) & & "& 由于输出的-$ " 可得' 当-0& 应该满足条件) & 即' & . 0 )时& ( ( ( ) % & # " )) ' & # 可得输入的正整数( 的值为( 故选 ,4 ! 解析% 不妨设点 +! ! & " & 因为点 +& 则点 %! & % ! . # # $ $ % 关于# 轴对称& # ! !$ $& $" $% $% $& $" * * *
2019-2020学年湖南省张家界市湖南师范大学附属中学实验学校高二数学文模拟试题含解析
2019-2020学年湖南省张家界市湖南师范大学附属中学实验学校高二数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 命题“所有实数的平方是非负实数”的否定是（）（A）所有实数的平方是负实数（B）不存在一个实数，它的平方是负实数（C）存在一个实数，它的平方是负实数（D）不存在一个实数它的平方是非负实数参考答案：C2. 已知p:,q:,则p是q的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件（改编题）参考答案：D3. 数列1,3,7,15,…的通项公式等于（）A．B．C．D．参考答案：C略4. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：D5. 读如图21－3所示的程序框图，若输入p＝5，q＝6，则输出a，i的值分别为()图21－3A．a＝5，i＝1 B．a＝5，i＝2C．a＝15，i＝3 D．a＝30，i＝6参考答案：D6. 设复数z1=3﹣4i，z2=﹣2+3i，则z1﹣z2在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D【考点】A6：复数代数形式的加减运算；A2：复数的基本概念．【分析】先求两个复数的差的运算，要复数的实部和虚部分别相减，得到差对应的复数，写出点的坐标，看出所在的位置．【解答】解：∵复数z1=3﹣4i，z2=﹣2+3i，∴z1﹣z2=（3﹣4i）﹣（﹣2+3i）=5﹣7i．∴复数z1﹣z2在复平面内对应的点的坐标是（5，﹣7）∴复数对应的点在第四象限故选D．7. 若在上是减函数，则b的取值范围是（）A． B． C．D．参考答案：C略8. 已知点为双曲线的左顶点，点B和C在双曲线的右支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是( )参考答案：C略9. 设是函数定义域内的一个子区间，若存在，使，则称是的一个“开心点”，也称在区间上存在开心点.若函数在区间上存在开心点，则实数的取值范围是（）参考答案：C10. 已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B.(1)当m＝3时，求A∩(?R B)；(2)若A∩B＝{x|－1＜x＜4}，求实数m的值．参考答案：略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 数列的前n项和是．参考答案：12. 已知“” 是“”的必要条件，则实数的取值范围是__________．参考答案：略13. _________..参考答案：略14. 曲线在处的切线方程是．参考答案：15. 如图所示的几何体ABCDEF中，ABCD是平行四边形且，六个顶点任意两点连线能组成异面直线的对数是__________．参考答案：39【分析】根据三棱锥的结构特征可得：每个三棱锥中有三对异面直线，因为六个点一共形成C64﹣2＝13个三棱锥（计算三棱锥的个数时应该做到不重不漏），所以得到答案为3（C64﹣2）＝39．【详解】解：由题意可得：因为题中共有六个点，所以一共形成C64﹣2＝13个三棱锥，又因为每个三棱锥中有三对异面直线，所以异面直线的对数是3（C64﹣2）＝39．故答案为：39．【点睛】本题把排列组合和立体几何挂起钩来，因此解决此类问题的关键是熟练掌握立体几何中一共几何体的结构特征，并且结合排列与组合的有关知识解决问题．16. 已知函数y=f（x）恒满足f（x+2）=f（x），且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2|x|﹣1，则函数g（x）=f（x）﹣|lgx|在R上的零点的个数是．参考答案：8【考点】3P：抽象函数及其应用．【分析】作出f（x）与y=|lgx|的函数图象，根据函数图象的交点个数得出答案．【解答】解：∵f（x+2）=f（x），∴f（x）的周期为2，令g（x）=0得f（x）=|lgx|，作出y=f（x）与y=|lgx|的函数图象如图所示：由图象可知f（x）与y=|lgx|在（0，1）上必有1解，又f（x）的最小值为，f（x）的最大值为1，∵lg2＜lg=，lg4＞lg=，lg9＜1，lg11＞1，∴f（x）与y=|lgx|在（10，+∞）上没有交点，结合图象可知f（x）与y=|lgx|共有8个交点，∴g（x）共有8个零点．故答案为：8．17. 已知向量，，若向量与共线，则实数m= _________．参考答案：【分析】先求出的坐标，利用向量共线的坐标形式可得的值.【详解】因为，所以，故，填.【点睛】如果，那么：（1）若，则；（2）若，则.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟(三)数学(文)试题 含解析
湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三）文科数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是（ ） A. A C φ⋂= B. A C C ⋃= C. B C B ⋂= D. AB C =【答案】C 【解析】 【分析】先求集合C ，再根据集合与集合的关系判断即可．【详解】由题设，{0,2,4}C =，则B C ⊆，故B C B ⋂= 选C .【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，属于基础题．2.若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z=（ ） A. i B. i - C. 2iD. 2i -【答案】B 【解析】 【分析】由纯虚数的定义可得m ＝0，故11z i=，化简可得． 【详解】复数z ＝m （m +1）+（m +1）i 是纯虚数，故m （m +1）＝0且（m +1）≠0， 解得m ＝0，故z ＝i ，故111i z i i i⋅===-⋅i ． 故选：B ．点睛】本题考查复数的分类和复数的乘除运算，属基础题．3.设命题2:,420p x R x x m ∀∈-+≥ (其中m 为常数)，则“1m ≥”是“命题p 为真命题”（ ）A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分且必要D. 既不充分也不必要【解析】 【分析】命题p ：x ∈R ，x 2﹣4x +2m ≥0（其中m 为常数），由△＝16﹣8m ≤0，解得m 范围即可判断出结论．【详解】若命题p 为真，则对任意x R ∈，2420x x m -+≥恒成立，所以1680m ∆=-≤，即21m m ≥⇒≥.因为2m ≥，则“1m ≥”是“命题p 为真”的必要不充分条件， 选B .【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.若3sin()2πα+=，则cos2α=（ ） A. 12-B. 13-C.13D.12【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.【详解】因为3sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos α=，所以21cos22cos -1=-3αα= . 故选：B【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.5.某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为（ ）A. 100000元B. 95000元C. 90000元D. 85000元【解析】 【分析】先求出2017年的就医费用，从而求出2018年的就医费用，由此能求出该教师2018年的家庭总收入． 【详解】由已知得，2017年的就医费用为8000010%8000⨯=元，2018∴年的就医费用为8000475012750+=元，∴该教师2018年的家庭总收入127508500015%=元． 故选：D ．【点睛】本题考查教师2018年的家庭总收入的求法，考查折线图和条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.已知{}n a 是公差为12的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.若2a ，6a ，14a 成等比数列，则5S =（ ） A.352B. 35C. 252D. 25【答案】C 【解析】 【分析】根据条件求首项，再根据等差数列求和公式得结果,【详解】因为2a ，6a ，14a 成等比数列，所以226214111151133,()()()2222a a a a a a a =+=++∴=， 因此5311255542222S =⨯+⨯⨯⨯=,选C. 【点睛】本题考查等差数列通项公式与求和公式，考查基本求解能力，属基础题.7.函数(1)()lgx f x -=的大致图象是（ ）A. B.C. D.【解析】 【分析】先判断奇偶性,再利用单调性进行判断，【详解】由题()f x 是偶函数，其定义域是(,1)(1,)-∞-+∞，且()f x 在(1,)+∞上是增函数，选B .【点睛】此题主要考查对数函数的图象及其性质，是一道基础题；8.在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（ ） A.23B.34C.25D.13【答案】C 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式，设AC ＝x ，则BC ＝10﹣x ，由矩形的面积S ＝x （10﹣x ）＜16可求x 的范围，利用几何概率的求解公式求解．【详解】设线段AC 的长为xcm ，则线段CB 长为(10)cm x -， 那么矩形面积为(10)16x x -<，2x <或8x >，又010x <<，所以该矩形面积小于216cm 的概率为42105=. 故选：C【点睛】本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题．9.已知向量a ，b 满足2a =，且()40a b a λλ+=>，则当λ变化时，a b ∙的取值范围是（ ） A. (,0)-∞ B. (,1)-∞- C. (0,)+∞ D. (1,)-+∞【答案】D【分析】由向量数量积得1a b λ⋅=-即可求解【详解】由已知，(1)4a b λ-=，则2(1)4a a b λ-=⋅， 因为||2,0a λ=>，则11a b λ⋅=->-， 选D .【点睛】本题考查向量数量积，向量的线性运算，是基础题10.设点1F ，2F 是双曲线2213y x -=的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若1234PF PF =，则12PF F ∆的面积是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 据题意，1243PF PF =，且122PF PF -=，解得128,6PF PF ==. 又124F F =，在12PF F ∆中由余弦定理，得222121212127cos 28PF PF F F F PF PF PF +-∠==.从而12sin F PF ∠==11.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50︒海里方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20︒，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65︒，那么B 、C 两点间的距离是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 如图，在中，,,则；由正弦定理得，得,即B 、C 两点间的距离是10n mile ．考点：解三角形．12.已知()f x 与函数sin y a x =-关于点(12，0)对称，()g x 与函数x y e =关于直线y x =对称，若对任意(]10,1x ∈，存在2[,2]2x π∈使112()()g x x f x -≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1(,]sin1-∞B. 1[,)sin1+∞ C. 1(,]cos1-∞ D. 1[,)cos1+∞ 【答案】C 【解析】 【分析】先求f （x ）和g(x)的解析式，设()()ln h x g x x x x =-=-求其最大值-1，原题等价于存在,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得sin(1)1a x -≥-，分离参数a,构造函数求其最值即可求解【详解】依题意得：()sin(1)f x a x =-，()ln g x x =， 设()()ln h x g x x x x =-=-，(0,1]x ∈，1()10h x x'=-≥， 所以()h x 在(0,1]单调递增，所以max ()(1)ln111h x h ==-=-，故原题等价于存在,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得sin(1)1a x -≥-， sin(1)0x -≤，1sin(1)a x ∴≤-，故只需max1sin(1)a x ⎛⎫≤ ⎪-⎝⎭，而1y sin(1)x =-在,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，而max 111sin(1)cos1sin 12x π⎛⎫== ⎪-⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，所以1cos1a ≤， 故选C .【点睛】本题考查函数的对称性及解析式求法，考查不等式恒成立及有解问题，考查转化化归能力，是中档题二、填空题（将答案填在答题纸上）. 13.已知函数()ln f x x =的图像在点()()1,1f 处的切线过点()0,a ，则a =_____．【答案】32【解析】 【分析】求得函数f （x ）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得a 的值．【详解】1()f x x '=，1(1)2k f '∴==-， 又因为(1)1f =，切点是()1,1， 切线方程是：11(1)2y x -=--，13122a =+=. 故答案为32【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两点的斜率公式，以及方程思想和运算能力，属于基础题．14.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准方程是_____ 【答案】()()22211x y -+-= 【解析】 试题分析：由于圆的半径为1且与轴相切，所以可以假设圆心(,1)C a .又圆与直线相切.所以可得4315a -=.解得12,2a a ==-，由圆心在第一象限.所以2a =.所以圆的方程为22(2)(1)1x y -+-=.考点：1.直线与圆的位置关系.2.直线与圆相切的判定.3.圆的标准方程.15.若函数()2sin()(0,0)f x x ωϕϕϕπ=+><<的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴间的距离为2π.则()4f π的值为______．【解析】 【分析】根据函数f （x ）的图象与性质求出T 、ω和φ的值，写出f （x ）的解析式，求出f （4π）的值． 【详解】因为相邻两条对称轴的距离为2π，所以2ππω=，2ω∴=， 所以()2sin(2)f x x ϕ=+，因为函数的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 0ϕπ<<，π6∴=ϕ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 426f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. .【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，熟记性质准确计算是关键，是基础题．16.已知正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在平面BCD 上的射影，则异面直线BM 与OA 所成角的余弦值为_______． 【答案】3【解析】 【分析】设点M 在平面BCD 上的射影为N ，得O 、N 、D 三点共线，且N 是OD 的中点，得异面直线BM 与OA 所成角等于异面直线BM 与MN 所成角，即BMN ∠.在Rt BMN ∆中求解即可【详解】设点M 在平面BCD 上的射影为N ，则O 、N 、D 三点共线，且N 是OD的中点， 则异面直线BM 与OA 所成角等于异面直线BM与MN 所成角，即BMN∠. 设正四面体的棱长为2，则BM =233OA =⨯=，3MN =， 所以Rt BMN ∆中，cos 3MN BMN BM ∠===.故答案为3【点睛】本题考查异面直线所成的角及正四面体的基本性质，准确计算是解题关键，是基础题三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知344,n n S a n N =-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令2211log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）212n n a -=（2）45p E mgh W ''==【解析】分析：（1）由1n =求得1a ，由2n ≥时，1n n n a S S -=-可得{}n a 的递推式，得其为等比数列，从而易得通项公式； （2）根据（1）的结论，数列{}n b 的前n 项和可用裂项相消法求得． 详解：（1）∵342n n S a =- ① 当1n =时，11342a a =-，∴12a = 当2n ≥时，11342n n S a --=- ② 由①-②得：1344n n n a a a -=- ∴14n n a a -=∴{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列∴1212?42n n n a --== （2）∵()()22111111log log 212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭∴12111111121335212121n n nT b b b n n n ⎛⎫=+++=⨯-+-++-= ⎪-++⎝⎭ 点睛：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b +，{}n n a b ，11{}n n a a +的前n 项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法．18.随着经济的发展，个人收入的提高.自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下:纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：9000元的部分25000元的部分（1）假如小李某月的工资、薪金所得等税前收人总和不高于8000元，记x 表示总收人，y 表示应纳的税，试写出调整前后y 关于x 的函数表达式；（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：先从收入在[)3000,5000及[)5000,7000的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；（3）小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？【答案】（1）调整前y 关于x 的表达式为()()0,350035000.03,350050004550000.1,50008000x y x x x x ⎧≤⎪=-⨯<≤⎨⎪+-⨯<≤⎩，调整后y 关于x 的表达式为()0,500050000.03,50008000x y x x ≤⎧=⎨-⨯<≤⎩（2）47（3）220元 【解析】 【分析】（1）对收入x 的范围分类，求出对应的表达式即可。
高二数学试题：湖南师大附中高二数学试题答案
高二数学试题：湖南师大附中高二数学试题答案高二数学试题：湖南师大附中高二数学试题答案查字典数学网为大家提供高二数学试题：湖南师大附中高二数学试题答案一文，供大家参考使用：高二数学试题：湖南师大附中高二数学试题答案6．C【解析】△ABC的内心为O，连结OA、OB、OC，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a、b、c；类比：设四面体A－BCD的内切球球心为O，连接OA、OB、OC、OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原面为底面的四面体，高都为r，所以有V＝3(1)(S1＋S2＋S3＋S4)r.7．B【解析】f(x)＝x4－4x3－12x2＝x2(x＋2)(x－6)，所以f(x)有两个极值点x＝－2及x＝6.8．D【解析】据椭圆的定义，由已知得|MF2|＝8，而ON是△MF1F2的中位线，故|ON|＝4.二、填空题9.10．2【解析】①A＝－5＜0，②A＝－5＋2＝－3＜0，③A＝－3＋2＝－1＜0，④A＝－1＋2＝1＞0，⑤A＝21＝2.11．4n＋2【解析】第1个图案中有6块白色地面砖，第二个图案中有10块，第三个图案中有14块，归纳为：第n个图案中有4n＋2块．－f（x）)0，即函数x(f（x）)在(－，0)上单调递减，故选B.三、解答题3．【解析】(1)f(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)(2分) 列表如下：x(－，－1)－1(－1，1)1(1，＋)f(x)f(x)递减极小值递增极大值递减所以：f(x)的递减区间有：(－，－1)，(1，＋)，递增区间是(－1，1)；f极小值(x)＝f(－1)＝－2，f极大值(x)＝f(1)＝2.(7分)w w w .x k b 1.c o m(2)由(1)知，当0此时fmax(x)＝f(a)＝－a3＋3a；(9分)当a1时，f(x)在(0，1)上递增，在(1，a)上递减，即当x[0，a]时fmax(x)＝f(1)＝2(12分)综上有h(a)＝2，a（1，＋）.(－a3＋3a，a（0，1]，)(13分)4．【解析】 (1)设函数(x)＝xln x－x＋1，则(x)＝ln x(1分)则(x)在(0，1)上递减，在(1，＋)上递增，(3分)(x)有极小值(1)，也是函数(x)的最小值，则(1)＝1ln 1－1＋1＝0故xln xx－1.(5分)(2)f(x)＝ex－a(6分)①a0时，f(x)0，f(x)是单调递增函数，又f(0)＝0，所以此时函数有且仅有一个零点x＝0；(7分)②当a0时，函数f(x)在(－，ln a)上递减，在(ln a，＋)上递增，函数f(x)有极小值f(ln a)＝a－aln a－1(8分)ⅰ.当a＝1时，函数的极小值f(ln a)＝f(0)＝a－aln a－1＝0则函数f(x)仅有一个零点x＝0；(10分)ⅱ.当01或A1时，由(1)知极小值f(ln a)＝a－aln a－10，又f(0)＝0当01时，LN p a0，易知x－时，ex0，－ax－1＋，故此时f(x)＋，则f(x)还必恰有一个小于ln a的负根；当a1时，2ln a0，计算f(2ln a)＝a2－2aln a－1考查函数g(x)＝x2－2xln x－1(x1) ，则g(x)＝2(x－1－ln x)，再设h(x)＝x－1－ln x(x1)，h(x)＝1－x(1)＝x(x－1)0 故h(x)在(1，＋)递增，则h(x)h(1)＝1－1－ln 1＝0，所以g(x)0，即g(x)在(1，＋)上递增，则g(x)g(1)＝12－21ln 1－1＝0即f(2ln a)＝a2－2aln a－10，则f(x)还必恰有一个属于(ln a，2 ln a)的正根．故01或A1时函数f(x)都是恰有两个零点．综上：当a(－，0]{1}时，函数f(x)恰有一个零点x＝0，当a(0，1)(1，＋)时函数f(x)恰有两个不同零点. (13分) 5．【解析】(1)当MNx轴时，MN的方程是x＝3(8)，设M，y1(8)，N，－y1(8)w w w .x k b 1.c o m由(OM)(ON)知|y1|＝3(8)，即点3(8)在椭圆上，代入椭圆方程得b＝2.(3分)(2)当lx轴时，由(1)知(OA)(OB)；当l不与x轴垂直时，设l的方程是：y＝kx＋m，即kx－y ＋m＝0则1＋k2(|m|)＝3(8)?3m2＝8(1＋k2)(5分)＝1(y2)?(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0,＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝3(32)(4k2＋1)0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则1＋2k2(2m2－8)，(7分)x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m21＋2k2(（1＋k2）（2m2－8）)－1＋2k2(4k2m2)＋m2xkb1 ＝1＋2k2(3m2－8（1＋k2）)＝0，即(OA)(OB).即椭圆的内含圆x2＋y2＝3(8)的任意切线l交椭圆于点A、B时总有(OA)(OB).(9分)(2)当lx轴时，易知|AB|＝23(8)＝3(6)(10分)当l不与x轴垂直时，|AB|＝＝（1＋2k2）2(（4k2＋1）) ＝3(6)（1＋2k2）2(（1＋k2）（4k2＋1）)(12分)设t＝1＋2k2[1，＋)，t(1)(0，1]则|AB|＝3(6)2t2(2t2＋t－1)＝3(6)8(9)所以当t(1)＝2(1)即k＝2(2)时|AB|取最大值2，当t(1)＝1即k＝0时|AB|取最小值3(6)，(或用导数求函数f(t)＝2t2(2t2＋t－1)，t[1，＋)的最大值与最小值)综上|AB|3(6).(14分)以上就是高二数学试题：湖南师大附中高二数学试题答案的所有内容，希望对大家有所帮助!。