第三章 微波传输线

图
H11模
图
E11模
Z
Ez
Eψ
Er
O Ψ
Y
r
X
圆柱坐标系
1 ∂H z ∂H ϕ = jωεE r − ∂z r ∂ϕ ∂H r ∂H z − = jωεEϕ ∂z ∂r 1 ∂ 1 ∂H r (rH ϕ ) − = jωεE z r ∂r r ∂ϕ 1 ∂E z ∂Eϕ = − jωµH r − ∂z r ∂ϕ ∂E r ∂E z − = − jωµH ϕ ∂z ∂r 1 ∂ 1 ∂E r (rEϕ ) − = − jωµH z r ∂r r ∂ϕ
（2）常用低次模的截止波长： 例1：矩形波导尺寸为a=8cm，b=4cm；试求工作频率在 3GHz时该波导能传输的模式。
3、波导尺寸的选取 （1）目的：只传输H10模，抑制H20模和H01模，即只传输主 模。因为这样可以使信号能量集中，减小损耗，且避免模式 间干扰和多模式传输引起的附加色散。 （2）选取原则：
一、直角坐标系中电磁场关系 1、基本方程 对于无损耗的媒质来说，电磁场中的基本方程，即麦克思韦方程变为
r r ∂H ∇ × E = −µ ∂t r r ∂E ∇× H = ε ∂t
（1）
为了求解方便，设场量按正弦规律变换，则
r r jwt −γz E = Em e r r jwt −γz H = H me
可以得到磁场的直角分量为
∂E z + γE y = − jwµH x （书P33，3－6式） ∂y ∂E z − γE x − = − jwµH y ∂x ∂E y ∂E x + = − jwµH z ∂x ∂y
用Ez和Hz表示其它场分量，由上述两个式子可以得到：
Ex = −
∂E z ∂H z 1 (γ + jwµ ) 2 ∂x ∂y kc
（3－7）
∂E z ∂H z 1 E y = − 2 (γ − jwµ ) ∂x ∂y kc ∂H z ∂E z 1 H x = − 2 (γ − jwε ) ∂x ∂y kc ∂H z ∂E z 1 H Y = − 2 (γ + jwε ) ∂Y ∂x kc
其中，
k c2 = γ 2 + k 2 ,
图
H20 模
高次波型
2. H01模 （ m = 0, n =1）
可以将H01模的场结构看 成由H10模的场结构旋转 而成 90°。
传播方向
图
H01模
高次波型
3. H11和E11模 （m =1，n =1）
H11和E11模对应相同的截止频率，是简并模。
（1）在频率域不能消除简并模，因为其截止波长相同； （2）利用场结构的差异可以消除简并模，因为简并模的场 结构往往存在明显不同。
2、模式图
图 2 -3BJ-32波导各模式截止波长分布图
电场的方向 为 ，即垂直 于波导宽壁， 平行于波导窄 壁。其振幅是
矩形波导中H10波的电场分布情况
矩形波导中H10波的磁场分布情况
矩形波导中H10波的电磁场空间分布情况
壁电流分布 （1）宽壁上的壁电流呈辐射状，即从中心向外发 散或由外向中心汇聚； （2）窄壁上的壁电流平行于y轴，且沿y轴均匀分 布；
（4）微带传输线 受晶体管印刷电路制作技术的影响，提出并实现了这种半 开放式结构的传输线。 特点：体积小，重量轻，工作频带宽，缺点是损耗大，功 率容量小，用于小功率传输系统。 讨论前提：假设传输线是均匀的，不弯曲的，无限长，无损耗
3、所传输电磁波的模式（波型） （1）TEM波（横电磁波）：在传播方向上没有电场和磁场的 分量，即电磁场完全分布在横截面内。（平行双线、同轴 线） （2）TM波（横磁波/E波/电波）：在传播方向上只有电场分量 而无磁场分量，即磁场完全分布在横截面内。 （3）TE波（横电波/M波/磁波）：在传播方向上只有磁场分量 而无电场分量，即电场完全分布在横截面内。
（2）同轴线 同轴线是一种应用非常广泛的双线传输线，其最大优点是外 导线圆筒可以完善的屏蔽周围电磁场对同轴线本身的干扰和 同轴线本身传送信号向周围空间的泄漏。同时，由于其导电 面积比双线传输线大得多，因此降低了导体的热损耗。但当 工作频率升高时，同轴线横向尺寸要相应减小，内导体损耗 增加，所传输的功率也受到限制。 特点：抗干扰，损耗低，工作频带宽，工作频率较高
2
（2）改进的波动方程
二、E波（TM波） （1） E波中EZ分量的表达式为
E z = ∑ E 0 sin(
m =1 n =1 ∞
r r 2 ∇ E = −k c E r r 2 2 ∇ xy H = −k c H
2 xy
mπ nπ ) sin( )e jwt −γz a b
2、相关概念 模式：在场分量表达式中，m 和n可以取不同的多个值，则矩形波导中可 同时存在多种独立模式，代表不同的场结构。其中m表示场在矩形截面 宽边方向出现的“半波数”（从波节到波节，或从波腹到波腹），n表 示场量在截面窄边方向出现的“半波数”。m和n越小，模式越低，则 E11模（TM11）为E波中的最低次模。 3、有关参量 （1）截止频率（临界频率） （2）截止波数 （3）截止波长 （4）相移常数 （5）相速度 （6）波导波长 （7）波阻抗
x =0
∂H z = ∂x = ∂H z ∂y
=0
x=a
=0
y =b
y =0
解得：
H z = ∑ H 0 cos(
m =0 n=0
∞
mπ nπ ) cos( )e jwt −γz a b
其中m和n不能同时为0，则最低次模为TE10或TE01模。
（1）相关概念 主模：在导行波中截止波长λc最长的导行模称为该导波系统 的主模, 因而也能进行单模传输。TM11模为E波中的最低次 模，但不是矩形波导的主模，TE10模是M波的最低次模，也 是矩形波导的主模。 简并模：对相同的m和n, TEmn和TMmn模具有相同的截止 波长故又称为简并模, 虽然它们场分布不同, 但具有相同的传 输特性。
（2）
由此看出，电磁场时间上为正弦率，沿z轴有幅度和相位上的变化，但总 的能量不变。把（2）式带入（1）式，得： r r (3)……..基本方程 ∇ × E = − jwµH r r ∇ × H = jwεE
2、把基本方程用直角坐标系中的三个分量表示 r 因为： r r ∂E ∇× H = ε = jwεE ∂t 而：
（3）金属波导 波导是微波传输线的一种典型类型，它已不再是普通电路意 义上的传输线。虽然电磁波在波导中的传播特性仍然符合 本书第二章中关于传输线的概念和规律，但是深入研究导 行电磁波在波导中的存在模式及条件、横向分布规律等问 题，则必须从场的角度根据电磁场基本方程来分析研究。 特点：损耗小，功率容量大，工作频带窄，工作频率高
例1：空心矩形金属波导的尺寸为a×b= 22.86×10.16mm2， 当信源的波长分别为10cm，8cm和3.2cm时， 问：（1）哪些波长的波可以在该波导中传输？对于可以传输 的波在波导中可能存在哪些模式 （2）若信源的波长仍如上所述，而波导尺寸为a×b= 72.14×30.4mm2，此时情况又如何？ 例2：矩形波导截面尺寸为a×b= 72×30mm2 ，波导内充满 空气，信号源频率为3GHz，试求： （1）波导中可以传播的模式 ？ （2）该模式的截止波长，相移常数，波导波长，相速度，群 速度和波阻抗？
a ≈ 0.7λ b ≈ 0.3 ~ 0.5λ
4、有关参量 除了波阻抗有所不同外，其它参量表达式均相同。
ZH E y wε Ex = =− = = β Hy Hx
µ /ε λ 1 − ( )2 λc
5、色散问题（了解） 群速度：电磁波能量传输的速度。
dv p dw d (v p ⋅ β ) w dv p vg = = = vp + β = vp + vg dβ dβ dβ v p dw
3－2 矩形波导 设矩形波导的宽边内尺寸为a, 窄边内尺寸为b, 并建立如 图 3- 2 所示的坐标，波导的z轴是波导的纵向，即电磁波 能量的传播方向。
图 2 – 2 矩形波导及其坐标
问题：矩形波导能否传输TEM波？ 答：不能。由于TEM波没有纵向的磁场分量，所以其磁 场必然在横截面内形成闭合的磁力线。由电磁场理论可知， 若使这种横向闭合的磁力线存在，必须有纵向电流来支持。 由于在波导内部没有象同轴线那样的内导体，所以不可能有 纵向的传导电流，因此支撑这种磁场的应该是纵向的位移电 流。众所周知纵向的位移电流是由纵向的交变电场形成的， 可见，要使波导内存在TEM波，就必须有纵向的交变电场存 在，显然这种说法与TEM波的规定是互相矛盾的，所以说在 波导内部不可能存在TEM波。
对于一个传输系统来说，由于边界条件复杂，或因为 频率以及填充介质等原因，可能使电磁场分布情况十分复 杂。但是，不管电磁场分布多么复杂，我们都可以把它看 成是用几个甚至很多个上述模式的适当辐度和相位组合的 结果。因此传输系统中可能存在的模式不会超出以上三种 类型。当然，在条件合适的情况下，传输系统中有可能只 存在一种具体的模式，这时场分布情况就比较简单。 导行电磁波的传输形态受导体或介质边界条件的约束， 边界条件和边界形状决定了导行波的电磁场分布规律、存 在条件以及传播特性。常用的金属波导有矩形波导和圆形 波导。
得出vg与vp的关系为
vg =
vp w dv p 1− v p dw
计算可得：
vg = v 1 − ( fc f )2
结论： （1）相速度和群速度都与工作频率有关，这样现象称为色散。 （2）色散由波导本身特点引起，因此波是一种色散装置。 （3）由于所传信号带宽与波导传输的电磁波频率相比很小， 且波导一般不用于长距离传输线，故色散造成的影响不大。
因为：∂z
= −γH y
带入到上式中，得到下面的三个简化分量表示
∂H z + γH y = jwεE x ∂y ∂H z − γE x − = jwεE y ∂x ∂H y ∂H z − = jwεE z ∂x ∂y