初三数学专题：阴影部分的面积
九年级数学求阴影部分的面积
在处理不规则多边形或复杂组合图形 时，可以通过分割法将其划分为几个 三角形、矩形等简单图形，然后利用 基本图形的面积公式进行计算。
添补法简化计算过程
添补法原理
在组合图形中添加一些辅助线或基本图形，使得阴影部分形成一个规则的、易于 计算面积的基本图形，然后减去添加部分的面积，得到阴影部分的面积。
提高综合运用能力，培养创新思维
综合运用多种方法
在实际问题中，可能需要综合运用多种方法来求解阴影部分面积。因此，要熟练掌握各种方法，并能够根据问题 的特点选择合适的方法。
培养创新思维
在求解阴影部分面积时，要敢于尝试新的方法和思路。通过不断地尝试和创新，可以锻炼自己的思维能力和创新 能力。
06 练习题与答案解析
添补法应用举例
在处理一些具有对称性或旋转性的组合图形时，可以通过添补法将其转化为一个 完整的、规则的图形，然后利用基本图形的面积公式进行计算。
等积变换思想在解题中体现
等积变换原理
通过图形的平移、旋转、对称等变换， 使得阴影部分与某个已知面积的基本 图形重合或相等，从而直接得到阴影 部分的面积。
等积变换应用举例
1 2
圆的定义及性质
圆是平面上所有与给定点（中心）距离相等的点 的集合。
扇形的定义
由两个半径和它们所夹的弧围成的图形叫做扇形。
3
圆心角、弧长与半径的关系
圆心角的度数等于它所对弧长与半径的比值乘以 180。
弧长、圆心角及扇形面积计算
弧长公式
应用举例
弧长 = (圆心角/360°) × 2πr，其中r 为半径。
分。
02
三角形中的阴影部分
当三角形中有一部分被其他图形遮挡时，被遮挡的部分即为阴影部分。
中考数学专题复习和训练求阴影部分的面积
求阴影部分的面积专题透析：计算平面图形中的面积问题是中考中的常考题型,多以选择题、填空题的形式出现,其中求阴影部分的面积是这类问题的难点.不规则阴影部分常常由三角形、四边形、弓形和圆、圆弧等基本图形组合而成,考查内容涉及平移、旋转、相似、扇形面积等相关知识,还常与函数相结合.在解此类问题时,要注意观察和分析图形,会分析和组合图形,常常借助转化化归思想,将阴影部分不规则图形转化为规则的易求的图形求解.典例精析：例1.如图,菱形ABCD 的对角线BD AC 、分别为223、,以B 为圆心的弧与AD DC 、相切于点E F 、,则阴影部分的面积是A.π-3233 B.π-3433C.π-43D.π-23 分析：本题的阴影部分是不规则的,要直接求出阴影部分的面积不现实,但我们发现阴影部分是菱形ABCD 减去扇形ABC 的面积;菱形ABCD 可根据题中条件直接求出,要求扇形扇形ABC 的面积关键是求出圆心角∠ABC 的度数和半径;连结BD BE 、交于点O ,所有这些问题均可以化归在Rt △AOB 或Rt △BOC 中利用三角函数和勾股定理来解决. 选D 师生互动练习：1. 如图,Rt △ACB 中,C 90AC 15AB 17∠===，，;以点C 为 圆心的⊙C 与AB 相切于D ,与CA CB 、分别交于E F 、两点,则 图中阴影部分的面积为 .2.如图的阴影部分是一商标图案图中阴影部分,它以正方形ABCD的顶点A 为圆心,AB 为半径作BD ,再以B 为圆心,BD 为半径作弧, 交BC 的延长线与E ,BD,DE 和DE 就围成了这个图案,若正方形的边长为4,则这个图案的面积为A.π4B.8C.π3D.π-38 3.如图,Rt △ABC 中,,C 90A 30∠=∠=,点O 在斜边AB 上,半径为2,⊙O 过点B 切AC 于D ,交BC 边于点E E,则由线段CD EC 、及DE 围成的阴影部分的面积为 . 4. 已知直角扇形AOB 的半径OA 2cm =,以OB 为直径在扇形内作半圆⊙M ,过M 引MP ∥AO 交AB 于P ,求AB 与半圆弧及MP 围成的 阴影部分的面积为 .例2.如图,⊙O 的圆心在定角()0180αα∠<<的角平分线上运动,且⊙O 与α∠的两边相切,图中的阴影部分的面积y 关于⊙O 的半径()x x 0>变化的函数图象大致是分析：连结OA OB OC 、、后,本题关键是抓住阴影部分的面积=四边形ACOB 的面积-扇形BOC 的面积.设阴影部分的面积为y ,⊙O 的半径()x x 0>. ∵⊙O 切AM 于点B ,切AN 于点C , ∴OBA OCA 90,OB OC x,AB AC ∠=∠====,∴BOC 3609090180αα∠=---=-;∵AO 平分MAN ∠,xAB AC 1tan 2α==,且图中阴影部分的面积y =四边形ACOB 的面积-扇形BOC 的面积.∴ ()22180x 1x 1180y 2x x 112360360tan tan 22αππαπαα⎛⎫⎪--=⨯⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭∵x 0> ,且()0180αα∠<<是定角∴阴影部分的面积y 关于⊙O 的半径()x x 0>之间是二次函数关系. 故选C .师生互动练习：1.如图,已知正方形ABCD 的边长为1,E F G H 、、、分别为各边上的点,且AE BF CG ==DH =；设小正方形EFGH 的面积为S ,AE 为x ,则S 关于x 的函数图象大致为2.2013.临沂中考如图,正方形ABCD 中,AB 8cm =,对角线AC 与BD 相交于点O ,点E F 、分别从B C 、两点同时出发,以/1cm s 的速度沿BC CD 、运动,到点C D 、停止运动.设运动时间为()t s ,OEF 的面积为()2S cm 与()t s 的函数关系式可用图象表示为3.2014.菏泽中考如图在Rt ABC 中,AC BC 2==,正方形CDEF 的顶点D F 、分别是边AC BC 、的动点,C D 、两点不重合.设CD 的长度为x ,ABC 与正方形CDEF 的重叠部分的面积为y ,则下列图象中能表示y 与x 的函数关系的是 例3.如图,由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格,正六边形 的顶点称为格点.已知每个正六边形的边长为1,△ABC 的顶点在格点上, 则△ABC 的面积为 . 分析: 延长AB ,然后作出过点C 与格点所在的水平直线,一定交于点E .则图中的阴影部分 = △AEC 的面积 - △BEC 的面积. 由正六边形的边长为1,根据正多边形形的性质,可以得出过正六边 形中心的对角线长为2,间隔一个顶点的对角线长为3,则CE 4=；若△AEC 和△BEC 都以CE 为求其面积的底边,则它们相应的高怎样化归在直角三角形中来求出呢 解：由同学们自我完成解答过程 师生互动练习：1.如图已知网格中每个小正方形的边长为2,图中阴影部分的 每个端点位置情况计算图中的阴影部分的面积之和为 .2.如图,已知下面三个图形中网格中的每个正方形的边长都设为1.结果均保留π⑴.图①中的阴影图案是由两段以格点为圆心,分别以小正方形的边长和对角线长为半径的圆弧和网格的边围成．,图中阴影部分的面积为 ；⑵.图②中的阴影图案是由三段以格点为圆心,半径分别为1和2的圆弧围成.图②中阴影部分的面积是 ；⑶.图③中在AB 的上方,分别以△ABC 的三边为直径作三个半圆围成图中的阴影部分的面积之和为 .3.如图为一张方格纸,纸上有一灰色三角形,其顶点均位于某两网格线的FEBD O A CEC D ABDE OBA C PNMBO A E F D BA C E DB CA F x y 1212O A x y 123412345O C x y 1212O D B αCBAO MNxy OA xy OB xy OC xy ODC E A B ②①③CC交点上,若灰色三角形面积为214,则方格纸的面积为．附专题总结：求含圆图形中不规则阴影部分面积的几个技巧一.旋转、翻折为特殊图形：图①的第一个图是直角扇形OAB和直角扇形OCD搭建的,其中OA=9,OB=4,要求阴影部分的面积,可以将△ODB旋转至△OAC来求扇环BDCA的面积更简便见图①的第二个图.图②的第一个图中是直角扇形OAB和正方形OFED以及矩形OACD,其中OF=1,要求阴影部分的面积,可以将半弓形ODB沿正方形对角线翻折至EFA来求矩形ACEF的面积更简便见图②的第二个图二.图①的第一个图大圆⊙O 的弦并与小圆⊙圆⊙O O图①这样来求圆环的面积更容易；虽三.如图第一个图是以等腰Rt△AOB的直角顶点O为圆心画出的直角扇形OAB和以OA、OB为直径画出的两个半圆组成的图形,要求第一个图形阴影,可以按如图所示路径割补成一个弓形见第二个图中的标示更容易求出阴影图形的面积；如果OA=10,求出第一个图形阴影部分的面积略解：S阴影=2B0A11S S AOB101010255042ππ-=⨯⨯-⨯⨯=-扇形点评：解决.割补法在很多涉及到几何图形的题中都有运用.四.差法求叠合图中形的阴影例1.图①是教材114页的第3题,可以用四个半圆的面积之和减去正方形的面积得到阴影部分的面积；例2.图②自贡市中考题△ABC中,AB=BC=6,AC=10,分别以AB,BC为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为．略解：△ABC的底边AC===2ABC1161S2S S21592222ππ⎛⎫⨯⨯-=⨯⨯⨯-⨯=-⎪⎝⎭影点评：本题的图形结构可以看成是三个图形叠合在一起两个半圆和一个等腰三角形端点相接的叠合,具有这种图形结构题其实并不是我们想象那么抽象艰深.比如：本题的阴影部分恰好是两个半圆和一个等腰三角形端点相接的叠合后,两个半圆覆盖等腰三角形后多出来的部分；那么下面的这个题就的计算也就不那么复杂了.举一反三,“难题”不难师生互动练习：：见上学期圆单元训练和专题复习的相应部分.迎考精炼：1.如图,AB 是⊙O的直径,弦CD AB,CD⊥=,则S阴影 =A.πB.2π D.23π2. 如图,⊙A、⊙B、⊙C两两不相交,且半径均为,则图中的三个阴影部分的面积之和为A.12πB.8πC.6πD.4π3.如图,⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2,则图中的阴影部分的面积为2π23πC.2πD.23π4.如图,在Rt△ABC中,C90,AC8BC4∠===， ,分别以AC BC、为直径画半圆,则图中的阴影部分的面积之和为A.2016π- B.1032π- C.1016π- D.20132π-5. 如图,四边形ABCD是正方形, AE垂直于BE于E,且AE3,BE4==,则阴影部分的面积是6. 如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形'''AB C D,图中的阴影部分的面积为A.1 C.1 D.127.如图,ABCD沿对角线AC平移,使A点至AC的中点''''A B C D,新的正方形与原正方形的重叠部分图中的阴影部分的面积是B.12C.148.将n个边长都为4cm的正方形按如图所示的方法摆放,点,,,1nA A风别是正方形对角线的交点,则n个正方形重叠部分的面积的和为A.21cm4B.2n1cm4-C.()24n1cm- D.n21cm4⎛⎫⎪⎝⎭9. 两张宽均为5cm的纸带相交成α角,则这两张带重叠部分图中阴影的面积为A.()225cmsinαB.()225cmcosαC.()250sin cmα D.()225sin cmα10. 如图,△ABC是等边三角形,被一平行于BC的矩形所截,线段AB被截成相等的三部分,则图中的阴影部分的面积是△ABC面积的A.19B.29C.13D.4911.AB是⊙O的直径,以AB为一边作等边△ABC,交⊙O于点E F、,2=,则图中的阴影部分的面积为A.43π- B.23πC.3πD.3π12.如图;三个小正方形的边长都为1,则图中阴影部分面积OC图①CD DB图②BA2A1C'C结果保留π13. 如图①,等边△ABD 和等边△CBD 的边长均为1,将△ABD 沿AC 方向平移得到△'''A B D 的置,得到图 形②,则阴影部分的周长为 .14.如图,△ABC 的边AB 3AC 2==，,Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以AB AC BC 、、为边的正方形,则图中三个阴影部分的面积之和的最大值为 . 15.若图中正方形F 以上的正方形均是以直角三角形向外作的正方形：①.若正方形A B C D 、、、的边长分别是a b c d 、、、,则正方形F 的面积如何用含a b c d 、、、的式子表示出来为 ；②.如果正方形F 的边长16cm ,那么正方形A B C D 、、、的面积之和是 .16.如图,边长为3的正方形ABCD 绕点按顺时针方向旋转30°后得到的正方形EFCG 交AD 于点H ,S 四边形HFCD = .17.如图, 已知AD DE EF 、、分别是ABC 、ABD 、AED 的中线,若2ABC 24cm S =,则阴影部分DFE 的面积为 .18.如图,在正方形ABCD 内有一折线,其中AE EF EF FC ⊥⊥、,并且AE 6=,EF 8=, AF 10=则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为 . 19.如图把⊙O 向右平移8个单位长度得到⊙O 2,两圆相交于 A 、B,且O 1 A 、O 2 A 分别与⊙O 2、⊙O 1相切,切点均为A 点, 则图中阴影部分的面积为 . 20.如图,矩形ABCD 中,BC 4DC 2==，,以AB 为直径的半圆O 与DC 相切于点E ,则图中的阴影部分的面积是 结果保留π21.在Rt △ABC 中,A 90AB AC 2∠===，,以AB 为直径作圆交BC 于点D ,则图中阴影部分的面积是 .22.如图,在△ABC 中,,AB 5cm AC 2cm ==,将△ABC 绕顶点C 按顺时针方向旋转45°至△11A B C 的位置,则线段AB 扫过的区域图中阴影部分的面积为 2cm .23.如图,半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于O ,其直径CD EF 、和x 轴垂直,以O 为顶点的两条抛物线分别经过C E 、和点D F 、,则图中的阴影部分的面积是 .24.如图,抛物线21y x 2=-+向右平移1个单位得到抛物线2y ,则抛物线2y 的顶点坐标为 ；阴影部分的面积S = . 25.如图在边长为2的菱形ABCD ,B 45∠=,AE 为BC 边上的 高,将△ABE 沿AE AE 在直线翻折得△'AB E ,求△'AB E 与四边形 AECD 重叠阴影部分的面积. 26.如图,矩形OBCD 按如右图所示放置在平面直角坐标系中坐标 原点为O ,连结AC 点A C 、的坐标见图示交OB 于点E ；求阴影 部分的四边形OECD 的面积27.如图,在△ABC 中,=90A ∠, O 是BC 边上的一点以O 为圆 心的半圆分别与AB AC 、边相切于点D E 、,连接OD 已知. 求：⑴.tan C ∠.⑵.求图中的阴影部分的面积之和.28.如图,⊙O 的直径AB 为10cm 1,弦AC 为6cm ,ACB ∠的平分线 交⊙O 于点D .⑴.求弦CD 的长； ⑵.求阴影部分的面积;29.如图, 在平面直角坐标系中,以(),10为圆心的⊙P 与y 轴 相切于原点O ,过点(),A 10-的直线AB 于⊙P 相切于点B . ⑴.求AB 的长；⑵.求AB OA 、与OB 围成的阴影部分面积不取近似值； ⑶.求直线AB 上是否存在点M ,使OM PM +的值最小 如果存在,请求出点M 的坐标；如果不存在,请说明理由.FB'EDA BC xy(4,2)(0,-1)E BDC A O BD C A ①B'D 'A'B D C ②FE D A B C 17题H G EF D A B C 16题15题ⅢⅡⅠG F M E B C A 14题18题1086B D C F E A xy –1–2123–1–212O24题A 1C AB 22题DB 21题O DA EBC 20题23题xy 1-1BA O。
初中数学专题辅导：阴影面积求法9种方法(不规则图形)
阴影面积求法阴影部分的图形一般是不规则图形或没有可直接利用的公式，因此，同学们常感到困难。
本文指出：求解这类问题的关键是将阴影部分图形转化为可求解的规则图形的组合。
如何转化呢?这里给出常用的9种转化方法。
1.直接组合例1.如下图，圆A 、圆B 、圆C 、圆D 、圆E 相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（）A.π B.1.5π C.2πD.2.5π（02年河南省中考）分析：由于每个扇形圆心角的具体角度未知，故无法直接进行计算。
因为五边形ABCDE 的内角和=540°=360°+180°，从而可知所求阴影部分的面积可以重新组合成一个圆和一个半圆的面积，即1.5个圆的面积：ππ5.1)1(5.12=⋅⨯，选（B ）。
2.圆形分割例2.如下图，ΔABC 中，∠C 是直角，AB=12cm ，∠ABC=60°，将ΔABC 以点B 为中心顺时针旋转，使点C 旋转到AB 边延长线上的点D 处，则AC 边扫过的图形（阴影部分）的面积是_________2cm （π=3.14159……，最后结果保留三个有效数字）。
（03年济南市中考）解：在ABC Rt ∆中，所以cm AB BC BAC ABC 6213060==︒=∠︒=∠又易证EBD Rt ABC Rt ∆≅∆，。
，，所以︒=∠=∠︒=∠=∠=∆∆12060CBD ABE EBD ABC S S EBD ABC 故所求阴影面积为整个图形的总面积减去空白图形的面积，即）。
（＝＝＝）（）＝（扇形扇形扇形扇形阴影22211336636012012360120cm S S S S S S S BCDBAE ABC BCD EBD BAE ≈⋅-⋅-+-+∆∆πππ3.平移例3.如下图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为________________。
利用扇形面积公式求阴影部分面积(精选4种类型32道)—2024学年九年级数学上册(解析版)
z k.com利用扇形面积公式求阴影部分面积（精选4种类型32道）1．如图，在△ABC 中，∠A =30°，∠ACB =90°，BC =4，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．8√3−4πB ．8√3−2πC ．16√3−8πD ．16√3−4π【答案】A【分析】根据直角三角形的性质得到AC =4√3，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠A =30°，∠ACB =90°，BC =4， ∴AB =2BC =8，AC =√8!−4!=4√3， ∴阴影部分的面积=S △#$%−S 扇形#$&='!×4×4√3−()*⋅,-√(/!(0)=8√3−4π，故选：A ．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，含30°角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．2．如图，以Rt △AOB 直角顶点为圆心、以一定的长为半径画弧CD ，恰好与边AB 相切，分别交OA ，OB 于点C ，D ，已知OA =OB =4，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．8−2πB ．2π−√!!C ．8−4πD ．4π−2√2【答案】A【分析】过点O 作OE ⊥AB ，交AB 于点E ，先求出扇形的半径长，根据阴影部分的面积等于Rt △AOB 的面积减去扇形COD 的面积即可求解．【详解】过点O 作OE ⊥AB ，交AB 于点E ，com∵Rt △AOB 中，OA =OB =4， ∴AB =√OA !+OB !=4√2， ∴OE =2√2，阴影部分的面积=S △#1%−S 扇形#1%='!⋅OA ⋅OB −2)π⋅,!√!/!(0)='!×4×4−2π=8−2π．故选：A ．【点睛】本题考查了不规则图形的面积，涉及勾股定理，扇形面积公式，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．如图，在正方形ABCD 中，AB =2，若AC 绕点C 旋转后，点A 落在CD 的延长线上的点A 3处，点A 经过的路A ．π-−2 B ．π!−1C ．π(−1D ．π−2【答案】D【分析】根据正方形的性质得到∠ACD =45°，由勾股股定理可得AC =2√2，利用S 阴影=S 扇形$##"−S △#$&解题即可．【详解】解：∵ABCD 是正方形， ∴∠ACD =45°，AB =BC =DA =2, ∴AC =√AB !+BC !=√2!+2!=2√2， ∴S 阴影=S 扇形$##"−S △#$&=-5*×,!√!/!(0)−'!×2×2=π−2，故选D ．【点睛】本题考查正方形的性质，扇形的面积，掌握正方形的性质是解题的关键．zcm4．如图，以边长为4的等边△ABC 顶点A 为圆心，一定的长为半径画弧，恰好与BC 边相切，分别交AB ，AC 于点D ，E ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．4√3−π B ．8√3−πC ．(08π)√((D ．4√3−2π【答案】D【分析】作AF ⊥BC ，再根据勾股定理求出AF ，然后根据阴影部分的面积= S △#%$−S 扇形#&:得出答案． 【详解】解：如图所示，过点A 作AF ⊥BC ，交BC 于点F ．∵△ABC 是等边三角形，BC =4， ∴CF =BF =2．在Rt △ACF 中，AF =√AC !−CF !=2√3．∴S 阴影=S △#%$−S 扇形#&:=12×4×2√3−60π×,!√3/2360=4√3−2π．故选：D ．【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，涉及等边三角形的性质，勾股定理及扇形面积计算等知识，将阴影部分的面积转化为三角形的面积-扇形的面积是解题的关键．5．如图，扇形的圆心角为90°，半径OC =4，∠AOC =60°，CD ⊥OB 于点D ，则阴影部分的面积是（ ）A ．-(π−√3B ．π−4√3C ．π−2√3D ．-*(−2√3.com【答案】D【分析】根据S 阴=S 扇形1$%−S △1$&求解即可． 【详解】解：∵∠AOB =90°，∠AOC =60°， ∴∠BOC =90°−60°=30°， ∵CD ⊥OB ， ∴∠CDO =90°，∴CD ='!OC =2，OD =√OC !−CD !=√4!−2!=2√3， ∴S 阴=S 扇形1$%−S ;1$&=()*×-!(0)−'!×2×2√3=-(π−2√3，故选：D ．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是利用分割法求阴影部分面积．6．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，BC =8，∠C =30°，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于点A ．8√3−<(π B ．16√3−<(πC ．8√3−'0(π D ．16√3−'0(π【答案】A【分析】先求出AB ='!BC =4，∠B =60°，AC =√BC !−AB !=√8!−4!=4√3，再由S △$%&−S扇形$%'即可求出答案．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，BC =8，∠C =30°， ∴AB ='!BC =4，∠B =60°，∴AC =√BC !−AB !=√8!−4!=4√3， ∴图中阴影部分的面积是S △$%&−S扇形$%'='!AB ⋅AC −0)*×-!(0)='!×4×4√3−<(π=8√3−<(π．故选：A【点睛】此题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、扇形面积等知识，准确计算是解题的关键．z7．如图，正六边形边长为a ，分别以C 、F 为圆心，a 长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（ ）A．C (√(!−!(πD a !B ．C(√(!−'(πD a !C ．C(√(-−!(πD a !D ．C3√3−!(πD a !【答案】A【分析】根据S 阴影=S 正六边形−2S 扇形计算即可． 【详解】边长为a 的等边三角形的面积为：'!×a ×√(!a =√(-a !， 则正六边形的面积S 正六边形=6×√(-a !=(√(!a !， 正六边形的内角度数为120°，即∠EFA =∠DCB =120°， 则S 扇形='!)°×*×>!(0)°=*>!(则阴影的面积为：S 阴影=S 正六边形−2S 扇形=(√(!a !−!*>!(=C(√(!−!(πD a !，故选：A ．【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的面积公式和扇形的面积公式等知识，得到S 阴影=S 正六边形−2S 扇形是解答本题的关键．8．如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC =4，分别以点B ，C 为圆心，线段BC 长的一半为半径作圆弧，交AB ，BC ，AC 于点D ，E ，F ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．16−2πB ．8−4πC ．8−2πD ．4−π【答案】C【分析】阴影部分的面积等于△ABC 的面积减去空白处的面积即可得出答案． 【详解】解：等腰直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =AC =4，∴∠B =∠C =45°，BC =√2AB =4√2， ∵E 为BC 中点，∴BE =CE ='!BC =2√2，∴阴影部分的面积S =S △#%$−S 扇形%&:−S 扇形$:?='!×4×4−-5*×(!√!)!(0)×2=8−2π．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、扇形的面积公式，正确熟记扇形的面积公式是解此题的关键，题目比较好，难度适中．9．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的半径等于2，则图中阴影部分的面积是（ ）【答案】C【分析】由题意可知S △#1%=S △1&%，所以图中阴影部分的面积=S 扇形1#%=0)(0)π×2!=!(π．【详解】解：∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ， ∴∠ABD =90°,∠AOB =(0)°0=60°,OA =OD ，∴S △#1%=S △1&%，∴图中阴影部分的面积=S 扇形1#%=0)(0)π×2!=!(π，故选：C ．【点睛】本题考查了正多边形与圆，将阴影部分面积转化为扇形面积是解题的关键．10．如图，菱形OABC 的三个顶点A ，B ，C 在⊙O 上，对角线AC ，OB 交于点D ，若⊙O 的半径是2√3，则图中阴影部分的面积是（ ）z co mA ．2π B ．6π C ．√((π D ．√3π【答案】A【分析】根据四边形OABC 是菱形，得BC =OC =OB ，即△COB 是等边三角形，根据S △#&%=S △1$&，所以图中阴影部分的面积=S 扇形$1% 【详解】解：∵四边形OABC 是菱形， ∴BC =OC =OB, ∴△COB 是等边三角形， ∴∠COB =60°, ∵S △#&%=S △1$&,∴图中阴影部分的面积=S 扇形$1%=0)*×(!√()!(0)=2π．故选∶A ．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键．11．小明将直径为6cm 的半圆绕点A 逆时针旋转60°设计了如图所示的图案，那么图中阴影部分的面积是（ ）A ．4.5πcm 2B ．6πcm 2C ．9πcm 2D ．18πcm 2【答案】B【分析】根据整体思想，可知S 阴影=S 半圆#%"+S 扇形#%%"−S 半圆#%=S 扇形#%%"，再利用扇形面积公式计算即可．z【详解】解：∵S 阴影=S 半圆#%"+S 扇形#%%"−S 半圆#%， 而根据旋转的性质可知S 半圆#%"=S 半圆#%，∴S 阴影=S 半圆#%"+S 扇形#%%"−S 半圆#%=S 扇形#%%"， 而由题意可知AB =6cm ，∠BAB 3=60°， 即S 阴影=0)⋅*⋅0!(0)=6π(cm !)．故选：B ．【点睛】本题考查的是扇形面积的相关计算，根据整体思想求出表示阴影部分面积的方法，再用公式计算扇形的面积即可．12．如图，以AB 为直径，点O 为圆心的半圆经过点C ，若AC ＝BC ＝√2，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．*-B ．'!＋√!-C ．√!!D ．'!＋√!!【答案】A【分析】先利用圆周角定理可得∠ACB ＝90°，然后可得△ABC 是等腰直角三角形，进而可得△AOC 和△BOC 都为等腰直角三角形，于是得到S △#1$＝S △%1$，然后根据扇形面积公式可进行求解．【详解】解：∵AB 为直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵AC ＝BC ＝√2，∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴AB ＝√2AC ＝2，则OA ＝OB ＝1， ∴OC ⊥AB ，∴△AOC 和△BOC 都为等腰直角三角形， ∴S △#1$＝S △%1$， ∴S 阴影＝S 扇形#1$＝2)⋅*×'!(0)＝*-；故选：A ．【点睛】本题主要考查扇形面积公式及圆周角定理，熟练掌握扇形面积公式及圆周角定理是解题的关键．z13．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点M ．连接OC ，DB ．如果OC∥DB ，图中阴影部分的面积是2π，那么图中阴影部分的弧长是（ ）A．√((π B ．!√((π C ．√3π D ．2√3π【答案】B【分析】连接OD ，BC ，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM =CM ，∠COB =∠BOD ，推出ΔBOD 是等边三角形，得到∠BOC =60°，之后证明阴影部分面积等于扇形面积，继而求出圆的半径，根据弧长公式即可得到结论．【详解】解：连接OD ，BC ，∵CD ⊥AB ，OC =OD ，∴DM =CM ，∠COB =∠BOD ， ∵OC//BD ， ∴∠COB =∠OBD ， ∴∠BOD =∠OBD ， ∴OD =DB ，∴ΔBOD 是等边三角形， ∴∠BOD =60°， ∴∠BOC =60°， ∵DM =CM ， ∴S ;1%$=S ;1%&， ∵OC//DB ， ∴S ;1%&=S ;$%&，z∴S ;1%$=S ;&%$，∴图中阴影部分的面积=扇形COB 的面积 设扇形的半径为r ，则0)*×A !(0)=2π，∴r =2√3， ∴弧BC 的长=0)*×!√('<)=!√(*(， 故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算、圆周角定理、弧长的计算，解答本题的关键是证明ΔBOD 是等边三角形．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，AC =1，把△ABC 绕点B 按顺时针方向旋转90°后得到△A 3BC 3，则线段AC 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）A ．*!B ．πC ．*-D ．B*-【答案】C【分析】先求出AB 、BC 的长度，然后观察图像可以得到S 阴=S 扇#%#3+S △#"%$"−S 扇$%$3−S △#%$，用扇形面积计算公式代入数据计算即可．【详解】在Rt △ABC 中，∵∠ABC =30°，AC =1， ∴AB =2,BC =√AB !−AC !=√3，∵把△ABC 绕点B 按顺时针方向旋转90°后得到△A 3BC 3， ∴∠ABA′=90°,∠CBC′=90°，S △#%$=S △#"%$"， 由图可得，S 阴=S 扇#%#3+S △#"%$"−S 扇$%$3−S △#%$， 化简得S 阴=S 扇#%#3−S 扇$%$3， 即S 阴=2)*×!!(0)−2)*×(√()!(0)=*-，故选：C ．z 【点睛】本题考查了扇形面积计算，旋转的性质，求阴影部分面积的主要思路是将不规则图形转化为规则图形的面积．15．如图，半径为5的扇形AOB 中，∠AOB =90°，点C 在OB 上，点E 在OA 上，点D 在弧AB 上，四边形OCDE 是正方形，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．!5*- B ．!5*< C ．!5*'0 D ．!5*(! 【答案】B【分析】连接OD ，交CE 于点F ．由正方形的性质得出S △1:?=S △?$&，∠EOD =45°．即根据扇形面积公式求出扇形AOD 的面积即可．【详解】如图，连接OD ，交CE 于点F ．∵四边形OCDE 是正方形，∴S △1:?=S △?$&，∠EOD =45°，∴S 阴=S 扇形#1&=-5*×5!(0)=!5*<． 故选B ．【点睛】本题考查正方形的性质，扇形的面积公式．理解S 阴=S 扇形#1&是解题关键．16．已知每个网格中小正方形的边长都是1，如图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成，则阴影部分的面积是（ ）zA．*!B ．π﹣2C ．1+*!D ．1﹣*! 【答案】B【分析】如图，标注顶点，连接AB ，由图形的对称性可得阴影部分面积=S 扇形AOB-S △ABO ，从而可得答案.【详解】解：标注顶点，连接AB ，由对称性可得：阴影部分面积=S 扇形AOB-S △ABO=2)*×!!(0)−'!×2×2=π−2． 故选：B ．【点睛】本题考查的是阴影部分的面积的计算，扇形面积的计算，掌握“图形的对称性”是解本题的关键. !17．如图，在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，取AD 的中点E ，连接BE 、CE ，以BE 为半径，B 为圆心画弧交BC 于G ；以CE 为半径，C 为圆心画弧交BC 于F ，则阴影部分面积是 ．【答案】*!−1【分析】根据题意得出∠GBE =∠AEB =45°，BE =√2，进而根据阴影部分的面积＝2S 扇形%:C −S △%:$，求出答案．【详解】解：在矩形ABCD 中，∵AB =1，AD =2，E 是AD 中点，∴ED =AE =1，AD ∥BC ，∴∠ABE =∠AEB =45°，∴∠GBE =∠AEB =45°，∴AB =AE =1，BE =√2，∴图中阴影部分的面积=2S 扇形%:C −S △%:$ =2×-5*×(√!)!(0)−'!×1×2=*!−1． 故答案为：*!−1．【点睛】此题主要考查了扇形面积的计算以及矩形的性质等知识，正确得出BE 的长以及∠EBC 的度数是解题关键．18．如图，正方形ABCD 的边长是4，分别以点A ，B ，C ，D 为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面 【答案】16−4π/−4π+16 【分析】分析出阴影面积=正方形面积−圆的面积，再利用相应的面积公式计算即可．【详解】解：由图得，阴影面积=正方形面积−4个扇形面积，即阴影面积=正方形面积−圆的面积，∴S 阴影=42−π⋅2!=16−4π．故答案为：16−4π．【点睛】本题考查了扇形面积的求法，正方形面积及圆的面积的求法是解题关键．19．如图，在扇形OBA 中，∠AOB =135°，AC ∥OB ，交AB⌢于点C ，过点C 作AC 的垂线，交OB 于点D ．若OA =2，则图中阴影部分的面积之和为 ．z【答案】(!π−3/−3+(!π 【分析】作OH ⊥AC 于点H ，则∠OHC =90°，AH =HC ='!AC ，先证明△AOH 是等腰直角三角形，则AH =OH =√!!AO =√2，AH =HC =OH ，再证明四边形CDOH 是正方形，利用S 扇形)%$−S △$)*−S 正方形)'&*即可得到答案．【详解】解：如图，作OH ⊥AC 于点H ，则∠OHC =∠AHO =90°，AH =HC ='!AC ，∵AC ∥OB ，∴∠DOH =180°−∠CHO =90°，∴∠AOH =∠AOB −∠DOH =45°，∴△AOH 是等腰直角三角形，∴AH =OH =√!!AO =√2，AH =HC =OH =√2，∵过点C 作AC 的垂线，交OB 于点D ．∴∠DCH =90°，∴∠DCH =∠DOH =∠CHO =90°，∴四边形CDOH 是正方形，∴阴影部分的面积之和为=S扇形)%$−S △$)*−S 正方形)'&*='(5*×!!(0)−'!AH ⋅OH −OH !=(!π−3． 故答案为：(!π−3 【点睛】此题考查了扇形面积、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、垂径定理等知识，证明△AOH 是等腰直角三角形是正方形是解题的关键．z 20．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O 3，B 3，连接BB 3，则图中阴影部分的面积是 ．【答案】2√3−!*(【分析】连接OO 3，BO 3，根据旋转的性质得到∠OAO 3=60°，推出△OAO 3是等边三角形，得到∠AOO 3=60°，推出△OO 3B 是等边三角形，得到∠AO 3B =120°，得到∠O 3B 3B =∠O 3BB 3=30°，根据图形的面积公式即可得到答案．【详解】解：连接OO 3，BO 3，∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°， ∴∠OAO 3=60°， ∴△OAO 3是等边三角形，∴∠AOO 3=60°，OO 3=OA ，∴当O 3中⊙O 上，∵∠AOB =120°，∴∠O 3OB =60°，∴△OO 3B 是等边三角形，∴∠AO 3B =120°，∵∠AO 3B 3=120°，∴∠B 3O 3B =120°，∴∠O 3B 3B =∠O 3BB 3=30°，z ∴图中阴影部分的面积=S △%"1"%−（S 扇形1"1%−S △11"%）=12×1×2√3−（60⋅π×2!360−12×2×√3） =2√3−!*(，故答案为：2√3−!*(．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．21．如图，AC ⊥BC ，AC =BC =8，以BC 为直径作半圆，圆心为O ．以点C 为圆心，BC 为半径作弧AB ，过点O 作AC 的平行线交两弧于点D 、E ，则阴影部分的面积是 ．【答案】!)*(−8√3【分析】如图，连接CE ，BE ．图中S 阴影=S 扇形%$:−S 扇形%1&−S ;1$:．根据已知条件易求得OB =OC =OD =4，BC =CE =8．∠ECB =60°，OE =4√3所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可． 【详解】解：如图，连接CE ，BE ．∵AC ⊥BC ，AC =BC =8，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心，BC 为半径作弧AB ， ∴∠ACB =90°，OB =OC =OD =4，BC =CE =8，CE =BE ，∴CE =BE =BC ，∴△BCE 是等边三角形，z ∠BCE =60°．又∵OE∥AC ，∴∠ACB =∠COE =90°．∴在Rt △OEC 中，OC =4，CE =8，∴OE =√CE !−OE !=4√3，∴S 阴影=S 扇形%$:−S 扇形%1&−S ;1$:=0)*×<!(0)−'-π×4!−'!×4×4√3=!)*(−8√3， 故答案为：!)*(−8√3．【点睛】本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．22．如图，AB 为半圆O 的直径，AB =4，将半圆O 沿直线AO 向右平移使圆心O 与点B 重合得到半圆B ，AB⌢与OB3⌢相交于点C ，则图中阴影部分的面积是 ．【答案】-(π−√3 【分析】连接OC,BC ，作CD ⊥AB 于点D ，先证明△OBC 是等边三角形，根据勾股定理求出CD 的长，然后根据S 阴影=2CS 扇形1%$−S △1$&D 求解即可． 【详解】连接OC,BC ，作CD ⊥AB 于点D ，由题意可知，OB =OC =BC =2，∴△OBC 是等边三角形，∴∠COB =60°，OD =BD =1，∴CD =√2!−1!=√3，∴S 阴影=2CS 扇形1%$−S △1$&D=2V 60π×2!360−12×1×√3W =-(π−√3．故答案为：-(π−√3．z【点睛】本题考查了不规则图形的面积计算，勾股定理，等边三角形的判定与性质，证明△OBC 是等边三角形是解答本题的关键．23．矩形ABCD 中,AB =2,以A 为圆心,AB 为半径作圆弧交于AD 点M ,且M 为边AD 的中点,以AD 为直径的圆交弧BM 于点E ,则阴影部分面积 ．【答案】!(π+√3【分析】连接AE 、ME 根据S 阴=S 半圆−S 扇形#:D −S 弓形#:即可求值．【详解】解：如图，连接AE 、ME ，由题意可得：AE =AB =2，AM =ME =2，∴△AEM 是等边三角形， ∵S 阴=S 半圆−S 扇形#:D −S 弓形#:，其中，S 半圆='!π×2!=2π， ∵∠MAE =60°，∠BAE =30°,∴S 扇形#:D =60360×π×2!=23π ∴S 弓形#:=S 扇形D#:−S △#D:=23π−12×2×√3 =23π−√3 ∴S 阴=2π−!(π−C !(π−√3D =!(π+√3， 故答案为：!(π+√3．z【点睛】本题主要考查扇形面积的计算方法，把求不规则图形的面积通常转化为求规则图形的面积是解题的关键． 24．如图，曲线AMNB 和MON 是两个半圆，MN∥AB ，大半圆半径为4，则阴影部分的面积是 ．【答案】8π−8【分析】连接OM 、ON ，则OM ⊥ON ，阴影部分面积为扇形MON 的面积+半圆MON 的面积−三角形MON 的面积．【详解】解：如图，连接OM 、ON ，∵ MN 是半圆MON 的直径，∴OM ⊥ON ，且OM =ON =4，∴S △D1E ='!OM ×ON ='!×4×4=8，MN =√4!+4!=4√2，∴S 半圆D1E ='!π×Y4√2÷2[!=4π，S 扇形D1E =2)(0)×π×4!=4π，∴S 阴影=S 扇形D1E +S 半圆D1E −S △D1E =4π+4π−8=8π−8，故答案为：8π−8．【点睛】本题考查了组合图形的面积计算，涉及到扇形面积、三角形面积、半圆的面积的计算，解题的关键是把不规则图形面积计算通过割补的方法转化为规则的已学过的图形面积的计算．zx x k co m25．如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =6，F 是AB 中点，以点A 为圆心，AD 为半径作弧交AB 于点E ，以点B 为圆心，BF 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分面积的差S '−S !为 ．【答案】48-13π【分析】根据图形可以求出BF 的长，然后根据图形即可求出S '−S !.【详解】∵在矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，F 是AB 中点，∴BF=BG=4，∴S '=S 矩形#%$&−S 扇形#&:−S 扇形%?C +S !，∴S '-S !=6×8-2)*×0!(0)-2)*×-!(0)=48-13π，故答案为：48-13π.【点睛】此题考查扇形的面积公式，矩形的性质.26．如图，在直角三角形ABC 中，∠C 是直角，AC ＝a ，BC ＝b ．分别以直角边AC 和BC 为直径画半圆，则阴影部分的面积是 ．（用含有a 、b 的代数式表示且结果保留π）【答案】*>!<+*F !<−'!ab . 【分析】图中阴影部分的面积为两个半圆的面积－三角形的面积，然后列式计算即可．【详解】设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，如图所示：z∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC 的面积是：S3+S4+S5，阴影部分的面积是：S1+S2+S4， ∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积，即阴影部分的面积= 12π×C >!D !+12π×C F !D !−'!ab =*>!<+*F !<−'!ab . 【点睛】本题考查扇形面积的计算，正确分析出图形的计算方法是解题关键.27．如图，在直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，分别以AB 、AC 为直径作圆，则图中阴影部分的面积是 ．【答案】!5<π－6 【分析】观察图形发现：阴影部分的面积=两个半圆的面积-直角三角形的面积，根据半圆面积公式和直角三角形面积公式求面积即可． 【详解】解：S 阴影=S 大半圆+ S 小半圆-S △ ='!·（(!）!π+'!·（-!）!π-(×-! =2<π+2π−6=!5<π−6．故图中阴影部分的面积是!5<π−6．故答案为!5<π−6． 【点睛】此题考查了圆面积和直角三角形面积，关键是由图形发现：阴影部分的面积=两个半圆的面积-直角三角形的面积．.c o m28．如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，以A 为圆心，AD 长为半径画弧交AB 于点E ，以C 为圆心，CD 长为半径画弧交CB 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是 ．【答案】13π−24【分析】根据扇形的面积公式和矩形的性质即可得到结论．【详解】解：∵在矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，∠A =∠C =90°，∴CD =AB =6，AD =BC =4，∴图中阴影部分的面积=S 扇形?$&−CS 矩形#%$&−S 扇形&#:D=90π×6!360−V6×4−90π×4!360W =13π−24，故答案为：13π−24．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．E ，以CB 长为半径画弧，交CD 于点H ，两弧交于点B ，则图中形成的阴影部分的面积是 ．【答案】34π−60【分析】根据扇形的面积公式和矩形的性质即可得到结论．【详解】∵在矩形ABCD 中，AB=10，AD=6，∠A=∠C=90°，∴CD=AB=10，AD=BC=6，z ∴图中阴影部分的面积= S 扇形#%:−(S 矩形#%$&−S 扇形$%G )=90×π×10!360−(10×6−90×π×6!360) =25π−(60−9π)=34π−60，故答案为：34π−60．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．30．如图，扇形AOB 中，半径OA =2，圆心角∠AOB =60°，以OA 为直径的半圆交OB 于点C ，则图中两个阴影部分面积的差的绝对值是 ．【答案】*0 【分析】先计算出半圆面积，再计算出扇形OAB 的面积，通过观察，图中两个阴影部分面积的差的绝对值为半圆面积减去扇形AOB 的面积的差的绝对值，即可得答案． 【详解】解：由OA =2可得半圆的半径为1，则半圆面积为'!×π×1!=*!，扇形AOB 面积为0)×*×!!(0)=!*(，则图中两个阴影部分面积的差的绝对值为|*!−!*(|=*0， 故答案为：*0． 【点睛】本题考查了圆面积及扇形面积的求法，解题的关键是熟练掌握这两种图形的计算方法．31．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆交对角线AC 于点E ，以C 为圆心、BC 长为半径画弧交AC 于点F ，则图中阴影部分的面积是 ．z【答案】3π-6【分析】连接BE ，可得△ABE 是等腰直角三角形，弓形BE 的面积=π−2，再根据阴影部分的面积=弓形BE 的面积+扇形CBF 的面积-△BCE 的面积，即可求解．【详解】连接BE ，∵在正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆交对角线AC 于点E ，∴∠AEB=90°，即：AC ⊥BE ，∵∠CAB=45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，即：AE=BE ，∴弓形BE 的面积='-π×2!−'!×2×2=π−2，∴阴影部分的面积=弓形BE 的面积+扇形CBF 的面积-△BCE 的面积=π−2+-5×*×-!(0)-'!×'!×4×4=3π-6． 故答案是：3π-6．【点睛】本题主要考查正方形的性质，扇形的面积公式，添加辅助线，把不规则图形进行合理的分割，是解题的关键．32．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝120°，以点A 为圆心，1为半径作弧，分别交 AB ，AC 于点D ，E ，以点C 为圆心，4为半径作弧，分别交AC ，BC 于点A ，F ．若图中阴影部分的面积分别为S 1，S 2，则S 1－S 2的值为 ．【答案】4√3−5π(【分析】过点C 作CM ⊥BA 交的延长线于点M ，则可得∠MAC=60°，再进一步利用“30°锐角所对直角边等于斜边的一半及勾股定理”求出CM 的长，然后分别求出S △#%$，S 扇形#&:，S 扇形#$?，据此可求出S '−S !的值．【详解】如图所示，过点C 作CM ⊥BA 交BA 的延长线于点M ，∵ ∠BAC=120°，∴∠MAC=60°，∴∠ACM=30°，∴ AM ='!AC ='!×4=2，在Rt △CAM 中，AM=2，AC=4， ∴ CM =√AC !−AM !=√4!−2!=2√3，∴S △#%$='!×AB ×CM ='!×4×2√3=4√3，∵∠BAC=120°，AD=1，∴ S 扇形#&:='!)(0)×π×1!='(π， ∵∠BAC=120°，AB=AC=4，∴∠C=30°，∴S 扇形#$?=()(0)×π×4!=-(π， ∴S '−S !=S △#%$−S 扇形#$?−S 扇形#&:=4√3−-(π−'(π=4√3−5(π． 故答案为：4√3−5π(．【点睛】本题考查了三角形及扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式，理解S '−S !=S △#%$−S扇形#&:−S 扇形#$?是解题的关键．。
求阴影的面积
面积计算一、知识要点对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。
有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答。
在圆的半径r用小学知识无法求出时，可以把“r2”整体地代入面积公式求面积。
二、精讲精练【例题1】如图所示，求图中阴影部分的面积。
【思路导航】解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图），等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘米[3.14×102×1/4－10×（10÷2）]×2＝107（平方厘米）答：阴影部分的面积是107平方厘米。
解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。
把图的右半部分向下旋转90度后，阴影部分的面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。
（20÷2）2×1/2－（20÷2）2×1/2＝107（平方厘米）答：阴影部分的面积是107平方厘米。
练习1：1．如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）2．如图所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。
求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？【例题2】如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
【思路导航】解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。
如图所示。
3.14×62×1/4－（6×4－3.14×42×1/4）＝16.82（平方厘米）解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示。
把大、小两个扇形面积相加，刚好多计算了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。
四种方法求阴影部分面积
四种方法求阴影部分面积首先，我们可以使用几何方法来求解阴影部分的面积。
设阴影部分的形状为矩形，其底边的长度为a，高度为h。
阴影的边界可以用两条直线来表示，设直线1与x轴的交点为A，直线2与x轴的交点为B。
两条直线与x轴的交点之间的距离为b。
则阴影部分的面积可以用以下公式表示：A=(a+b)*h/2第二种方法是通过将阴影部分分割成多个小矩形来求解。
首先，我们将阴影部分分割成n个小矩形，每个小矩形的底边长度为ai，高度为hi。
则阴影部分的面积可以表示为以下公式的和：A = ∑(ai * hi)其中i的范围从1到n。
第三种方法是使用积分来求解。
假设阴影部分的形状可以用函数y=f(x)来表示。
要求阴影部分的面积，我们需要找到函数f(x)的定义域上的积分区间[a,b]。
A = ∫[a, b] f(x) dx最后一种方法是使用统计学方法来求解。
假设我们已经获得了一组阴影部分的随机样本，符合一定的分布规律。
我们可以使用这组样本数据来进行统计分析，得出阴影部分的面积的估计值。
首先，我们可以计算出这组样本数据的平均值和标准差。
然后，使用均值加减一个标准差的方法，来计算阴影部分的上下边界。
根据阴影部分的上下边界和样本数据的分布，我们可以得到阴影部分面积的估计值。
需要注意的是，这种方法求得的阴影部分面积只是一个估计值，可能存在一定的误差。
综上所述，我们可以用几何法、分割法、积分法和统计法来求解阴影部分的面积。
每种方法都有自己的优缺点和适用范围，选择合适的方法取决于具体情况和问题要求。
初三数学圆阴影部分面积10种解题方法
初三数学圆阴影部分面积10种解题方法01和差法对于不规则图形实施分割、叠合后，把所求的图形面积用规则图形面积的和、差表示，再求面积．贵港中考如图1，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与弧AB交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作弧CE交OB于点E，若OA= 4，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为( 结果保留π) ．图1解析: 图形中的阴影部分是不规则图形，较难直接计算．注意到阴影部分是环形BECA的一部分，因此阴影部分面积等于环形BECA的面积减去图形DCA的面积，又图形DCA的面积等于扇形DOA 的面积减去△ODC的面积．图2如图2，连接OD交弧CE于M．因为OA=4，C是OA的中点，CD⊥OA，所以OD=4，OC=2，DC=2√3，所以∠ODC=30°，∠DOC=60°02割补法对图形合理分割，把不规则图形补、拼成规则图形会，再求面积.吉林中考如图3，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠，若弧AB和弧BC都经过圆心O，则阴影部分的面积是( 结果保留π) ．图3解析: 观察图形可以发现: 下方树叶形阴影部分的面积分成左右两块后，可以补到上方两个空白的新月形的位置．是否能够完全重合，通过计算验证即可．图4如图4，过点O作OD⊥AB于D，连接OA、OC、OB．由折叠性质知OD=1/2r=1/2AO，03等积变形法运用平行线性质或其他几何图形性质把不规则图形面积转化为与它等面积的规则图形来进行计算.天水中考如图5，以AD为直径的半圆O经过Ｒt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E 是半圆弧的三等分点，弧BE的长为2π/3，则阴影部分的面积为图5解析: 阴影部分是Ｒt△ABC的一部分，运用平行线的性质可将图形ABE面积转化成扇形BOE面积．连接BD、BE、BO、OE，如图6．图6因为点E、B是半圆弧的三等分点，所以∠DOB=∠BOE=∠EOA=60°，所以∠BAD=∠EBA=∠BAE=30°，所以BE∥AD．04平移法一些图形看似不规则，将某一个图形进行平移变换后，利用平移的性质，把不规则的图形的面积转化为规则图形的面积来计算．2019年黄石中考模拟如图7，从大半圆中剪去一个小半圆( 小半圆的直径在大半圆的直径MN上)，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦，且与小半圆相切，AB∥MN，已知AB=12cm，则阴影部分的面积是．图7解析: 因为AB∥MN，由平行线间的距离处处相等，可以平移小半圆，使小半圆的圆心与大半圆的圆心重合，这样不规则的阴影图形就变成一个环形.图8如图8．过点O作OC⊥AB，垂足为C，连接OB，设大半圆的半径为Ｒ，小半圆的半径为r.05旋转法一些图形看似不规则，把某个图形进行旋转变换后，利用旋转的性质，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积，再进行计算．安顺中考如图9，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB 为直径的⊙O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为图9解析: 若直接利用弓形面积公式求解相当繁琐，根据已知条件及圆的旋转不变性，利用图形的旋转可实现解题．图10如图10，连接OE 交BD于M．因为CD 是⊙O 的切线，所以OE⊥CD，又AB∥CD，则OE⊥AB，而OE=OB，易知△OBM ≌△EDM，把△OBM绕点M旋转180°就会转到△EDM，阴影部分就转化为扇形BOE，恰好是半径为2的圆的四分之一，06对称法一些图形看似不规则，利用轴对称和中心对称的性质，把不规则图形进行轴对称和中心对称变换，转化为规则图形的面积，再进行计算．赤峰中考如图11，反比例函数y=k/x( k＞0) 的图象与以原点(0,0)为圆心的圆交A、B两点，且A( 1,√3) ，图中阴影部分的面积等于 (结果保留π) ．图11解析: 根据反比例函数图象及圆的对称性———既是轴对称图形，又是中心对称图形，可知图中两个阴影面积的和等于扇形AOB的面积．过点A作AD⊥x轴于D，如图12．图12因为A( 1，√3) ，所以∠AOD=60°，OA=2，又因为点A、B关于直线y=x对称，所以∠AOB=2×( 60°－45°)=30°．07整体法当已知条件不能或不足以直接求解时，可整体思考，化单一、分散为整体，把所求的未知量整体转换为已知量，再将问题整体化求解．安徽中考如图13，半径均为1的⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E两两外离，A、B、C、D、E分别为五边形的五个顶点，则图中阴影部分的面积是图13解析: 由已知条件，分别求阴影部分的圆心角不易求得，但将五个扇形的圆心角合为一整体，它们的圆心角的和也是五边形的外角之和360°，所以阴影部分面积是一个整圆的面积，所以S阴影=π．08方程法有些图形的局部可以看成某个规则图形，或某些图形具有等面积的性质，这时可以把它们的关系用方程( 组) 来表示，再解方程( 组) ，求出图形的面积．2019年武汉模拟如图14，在边长为2的正方形ABCD 中，分别以2为半径，A、B、C、D 为圆心作弧，则阴影部分的面积是 ( 结果保留π) ．图14解析: 仔细观察图形，有两种相同特征的图形在正方形内部，一起围成所求的阴影部分．设弧AC与弧BD交于点G，连接BE、EC，如图15．图15设形如AED 图形的面积为x，形如DEG 图形的面积为y，那么S阴影= S正-4 ( x+y) ，只需求出(x+y)的结果即可．09推算法某些题目运用已知条件，和图形的性质或定理进行推理，可把阴影部分面积用某个式子表示，从而求得不规则图形的面积．南宁中考如图16，Ｒt△ABC 中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别以AB、BC、AC 为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为平方单位．图16解析: 设左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，整个图形的面积可以表示成: 以AC 为直径的半圆+ 以BC为直径的半圆+△ABC．也可以表示成: S1+S2+以AB为直径的半圆。
中考数学专题复习和训练--求阴影部分的面积
合 .在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分析和组合图形，常常借助
阴影部分（不规则图形）转化为规则的易求的图形求解
.
转化化归 思想，将
典例精析：
例 1.如图 , AB 是⊙ O 的直径，弦 CD AB, C 30 ,CD 2 3 ,则 S 阴影 =
A.
B. 2
2 C. 3
3
分析： 本题的阴影部分是不规则的，要可以转化到规则的阴影部分，比
形中心的对角线长为 2，间隔一个顶点的对角线长为 3 ，则 CE 4 ；若 △AEC 和 △BEC 都以 CE 为求其面积的底边 ,则它们相应的高怎样化归在直角三角形中来求出呢？ 解：（由同学们自我完成解答过程）
师生互动练习：
1.如图已知网格中每个小正方形的边长为 2，图中阴影部分的
每个端点位置情况计算图中的阴影部分的面积之和为
小圆⊙ O′向右 平移 至大圆⊙ O 使圆心重合（见 图① 的第二个图） ，这样来求圆环的面积更容易O；
图② 虽然是半圆也可以采用相同的方法求阴影部分半圆环的面积
.
A
B
A
C B
O O'
O
O' O
O
A
B
A
B
C
图① 三 .补转化为一个整体：
图②
如图第一个图是以等腰 Rt△AOB 的直角顶点 O 为圆心画出的直角扇形 OAB 和以 OA 、 OB 为
如转化为扇形 AOD 的面积来求；利用垂径定理和三角函数计算可以得出
C
EC ED,EO EA ,由此可以证明⊿ AEC ≌⊿ DEO ; 所以阴影部分等于
扇形 AOD 的面积，利用扇形面积的计算公式求出结果为
2 . 选D
初中数学阴影面积计算方法讲解
初中数学阴影面积计算方法讲解阴影面积是指在光照、光线等因素影响下，物体表面未被直接照射到的面积部分。
在初中数学中，我们可以通过一些基本的几何知识和方法计算阴影面积。
下面就介绍一下初中数学中常见的几种阴影面积计算方法。
一、计算矩形阴影面积：```A，—BC，—D```在光线OA和OC照射下，阴影面积为ADCB区域。
矩形的阴影面积计算方法为：阴影面积=矩形面积-三角形面积其中，矩形面积为AB * BC，三角形面积可通过以下公式计算：三角形面积 = 1/2 * BC * heightheight为光线OC到AB的距离，可以通过相似三角形的比例关系计算得到：height = (OC / OA) * BC将得到的height代入三角形面积公式，即可计算出阴影面积。
二、计算三角形阴影面积：```A\C，—B```在光线OA和OC照射下，阴影面积为ACB区域。
三角形的阴影面积计算方法为：阴影面积=三角形面积-三个小三角形面积之和其中，三角形面积可以通过以下公式计算：三角形面积=1/2*AC*BC 小三角形面积为：1/2 * AC * height_ACO + 1/2 * BC *height_BCO + 1/2 * AB * height_ABOheight_ACO、height_BCO和height_ABO分别为光线OC到AC、BC、AB的距离，可以通过相似三角形的比例关系计算得到。
将得到的三角形面积和小三角形面积相减，即可计算出阴影面积。
三、计算圆形阴影面积：```O/\/\A，—C\/\/在光线OA和OC照射下，阴影面积为ACO区域。
圆形的阴影面积计算方法为：阴影面积=圆形面积-扇形面积其中，圆形面积为π*r*r，扇形面积可通过以下公式计算：扇形面积=1/2*扇形的弧长*r扇形的弧长可以通过扇形角的度数和圆的周长计算得到：扇形的弧长=(扇形角的度数/360)*2*π*r将得到的扇形的弧长代入扇形面积公式，即可计算出阴影面积。
三种方法求阴影部分的面积
三种方法求阴影部分的面积求解阴影部分的面积的三种方法可以是几何方法、数学方法和计算机图形学方法。
下面将详细介绍这三种方法。
一、几何方法：几何方法是通过利用几何知识来求解阴影部分的面积。
这种方法通常适用于简单的几何形状，如圆、矩形等。
方法如下所示：1.首先确定被阴影投射物体的几何形状，如圆形、矩形等。
2.确定光源的位置和投射角度。
3.根据光线的角度和被投射物体的形状，求解出光线与表面的交点。
4.根据交点之间的连线和被投射物体的形状，求解出阴影部分的面积。
二、数学方法：数学方法是通过数学方程来求解阴影部分的面积。
这种方法可以应用于复杂的几何形状，如曲线、不规则形状等。
方法如下所示：1.将被投射物体的形状建模成数学方程。
2.根据光线的角度和被投射物体的形状方程，求解出光线与表面的交点。
3.根据交点之间的连线和被投射物体的形状方程，求解出阴影部分的面积。
三、计算机图形学方法：计算机图形学方法是通过计算机图形学算法来求解阴影部分的面积。
这种方法适用于复杂的三维场景，可以考虑光线的折射、反射等现象。
方法如下所示：1.通过三维建模软件将场景建模成三维模型。
2.根据光源的位置和投射角度，使用光线追踪算法计算光线与场景中物体的交点。
3.根据交点之间的连线和物体的材质属性，计算出阴影部分的面积。
这三种方法可以根据具体情况选择使用。
如果是简单的几何形状，可以使用几何方法来求解阴影部分的面积；如果是复杂的几何形状，可以使用数学方法；如果是复杂的三维场景，可以使用计算机图形学方法。
中考求阴影部分面积
中考求阴影部分面积【知识概述】计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。
不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。
现介绍几种常用的方法。
一、转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。
例1. 如图1，点C 、D 是以AB 为直径的半圆O 上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC 、AD 和C D ⌒围成的阴影部分图形的面积为_________。
二、和差法有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。
三、重叠法就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。
这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。
要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。
例4. 如图4，正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。
四、补形法将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。
例5. 如图5，在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠=︒∠=∠=A B D 60，90︒，求四边形ABCD 所在阴影部分的面积。
例2.如图2，PA 切圆O 于A ，OP 交圆O 于B ，且PB=1，PA=3，则阴影部分的面积S=_______．五、拼接法例6. 如图6，在一块长为a 、宽为b 的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽图2都是c 个单位），求阴影部分草地的面积。
六、特殊位置法例7. 如图8，已知两个半圆中长为4的弦AB 与直径CD 平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于_______。
七、代数法将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。
中考数学复习：专题9-15 例谈求阴影部分面积的几种常见方法
例谈求阴影部分面积的几种常见方法【专题综述】在初中数学中，求阴影部分的面积问题是一个重要内容，在近年来的各地中考试题中屡见不鲜．这类试题大多数都是求不规则图形的面积，具有一定的难度，因此，正确把握求阴影部分面积问题的解题方法，显得尤为重要．本文举例介绍解决这类问题的常见方法．【方法解读】一、直接求解法例1 如图1，有一矩形纸片ABCD，AB＝10，AD＝6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，AD变到AD1位置，折痕为AE．再将△AED1以D1E为折痕，向右折叠，AE变到A1E位置，且A1E交BC于点F．求图中阴影部分的面积．分析因为阴影部分是一个规则的几何图形Rt△CEF，故根据已知条件可以直接计算阴影部分面积．解如图1，根据对称性可得AD＝AD1＝A1D1＝6．由已知条件易知：EC＝D1B＝4，BC＝6；Rt△FBA1∽Rt△FCE．设FC为x，则FB＝6－x．二、间接求解法例2 如图2，⊙O1与⊙O2外切于点C，且两圆分别和直线l相切于A、B两点，若⊙O1半径为3cm；⊙O2半径为1cm，求阴影部分面积．分析这是求一个不规则图形的面积，没有现成的面积公式，因此应采用间接的方法，设法转化为规则图形的面积的和或差去计算．三、整体合并法例3 如图3，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，求三个阴影部分面积之和．分析所求的阴影部分面积是三个扇形面积之和，因为三个扇形圆心角度数不知道，所以无法单独求解，但仔细观察发现，三个扇形的圆心角分别是△ABC的三个内角，其和为180°，而扇形半径都相等，所以三个扇形能合并成一个半圆．于是问题获解．解如图3，因为三个圆的半径相等，三个扇形圆心角之和是180°，所以其面积就是半圆面积．四、等积变换法例4 如图4，A是半径为R的⊙O外一点，弦BC为3R，OA∥BC，求阴影部分面积．分析本题的阴影部分是不规则的图形，求其面积较困难，但灵活运用等积变换，就可以把它的面积转化为扇形OBC的面积，从而获解．解连接OC，OB，五、分割法例5 如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，求阴影部分面积．分析阴影部分图形不规则，不能直接求面积，可以把它分割成几个部分求面积的和．解如图5，连接CD．∵AC、BC是直径，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴A、D、B三点共线．设阴影部分面积被分割为S1、S2、S3、S4四部分．则六、转化法例6如图(1)，大半圆O与小半圆O1相切于点C，大半圆的弦AB与小半圆相切于点F，且AB∥CD，AB ＝4cm，求阴影部分面积．分析如果想直接求阴影部分面积，无法求解，因为它不是规则图形．但要采取转化思想，把小半圆平移到与大半圆的圆心重合的位置，作OE⊥AB于点E．连接OB，可知BE＝2cm，阴影部分面积等于大半圆面积减去小半圆的面积．解如图(2)，将小半圆O1移至与大半圆圆心重合，作O E⊥AB于点E，则BE＝12AB＝2cm．设大圆半径为R，小圆半径为x，在Rt△OEB中，有七、割补法例7 如图7，点P(3a，a)是反比例函数y＝12x与⊙O在第一象限内的一个交点，求阴影部分的面积．分析阴影部分分两部分，难于逐一求解，但考虑反比例函数的对称性，结合割补原理，问题变得特别简单．解如图7，把右上角的S1部分分割下来，移到左下方补在S3处，与S2就组成了一个扇形OAB．易知：∵P(3a，a)在反比例函数y＝12x的图象上，∴3a＝12a．解得：a1＝2，a2＝－2（舍去）．∴P坐标为(6，2)．连接OP，作PC⊥x轴于点C，得：八、方程建模法例8如图8，正方形边长为a，以每边为直径在正方形内画四个半圆，求阴影部分的面积．分析本题直接求阴影部分面积较复杂，但观察图形特点引入方程的思想，问题变得非常简单．解正方形由四个阴影花瓣和四个空白图形组成，如图8，设一个阴影花瓣面积为x，一个空白图形面积为y．根据题意得：因此阴影部分面积为．222aaπ-．【强化训练】1．（2017内蒙古包头市）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=42，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1B．π+2C．2π+2D．4π+12．（2017四川省凉山州）如图，一个半径为1的⊙O1经过一个半径为2的⊙O的圆心，则图中阴影部分的面积为（）A．1B．12C．2D．223．（2017四川省资阳市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，则图中阴影部分的面积为（）A．1312πB．34πC．43πD．2512π4．（2017衢州）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8．则图中阴影部分的面积是（）A．252πB．10πC．24+4πD．24+5π5. （2017云南省）如图，边长为4的正方形ABCD外切于⊙O，切点分别为E、F、G、H．则图中阴影部分的面积为．6．（2017吉林省）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画BE，CE．若AB=1，则阴影部分图形的周长为（结果保留π）．7. （2017四川省达州市）如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB=6，BC=33，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE=92CE；④32S阴影．其中正确结论的序号是．8. （2017湖北省恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，以直角边AB为直径作半圆交AC于点D，以AD为边作等边△ADE，延长ED交BC于点F，BC=23，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）9. （2017内蒙古赤峰市）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD 与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．（1）求证：A M是⊙O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．10．（2017新疆）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：B E是⊙O的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．。
初中数学之求阴影面积方法总结
初中数学之求阴影面积方法总结一、简单图形的阴影面积求解方法：1.长方形或正方形的阴影面积求解：对于长方形或正方形的阴影面积，只需计算图形的面积，然后与整个长方形或正方形的面积相减即可。
具体的计算公式为：阴影面积=整个长方形或正方形的面积-图形的面积。
2.圆形的阴影面积求解：对于圆形的阴影面积，需要先计算整个圆形的面积，然后找出圆形内的阴影部分，最后两者相减即可。
计算整个圆形面积的公式为：整个圆形的面积=π*半径²。
3.三角形的阴影面积求解：对于三角形的阴影面积，需要先计算整个三角形的面积，然后找出三角形内的阴影部分，最后两者相减即可。
计算三角形面积的公式为：三角形的面积=底边长度*高/2二、复杂图形的阴影面积求解方法：1.矩形与半圆阴影面积求解：当图形由矩形和半圆组成时，需要分别计算矩形和半圆的面积，然后相加即可。
具体步骤为：计算矩形面积，矩形面积=长*宽；计算半圆面积，半圆面积=π*半径²/2；最后将两部分面积相加得到阴影面积。
2.矩形与等腰梯形阴影面积求解：当图形由矩形和等腰梯形组成时，同样需要分别计算矩形和等腰梯形的面积，然后相加即可。
具体步骤为：计算矩形面积，矩形面积=长*宽；计算等腰梯形面积，等腰梯形面积=(上底+下底)*高/2；最后将两部分面积相加得到阴影面积。
三、图形的分割和组合：1.图形的分割：对于复杂的图形，可以通过将图形分割成简单的图形来计算阴影面积。
具体方法包括将图形分割成矩形、三角形、半圆等简单的图形，然后依次计算每个简单图形的面积，最后将各个部分的面积相加得到阴影面积。
2.图形的组合：当图形由多个简单图形组合而成时，可以分别计算每个简单图形的面积，然后将各个部分的面积相加得到阴影面积。
需要注意的是，图形的组合可能会产生重叠的部分，要注意将其去除或计算重叠部分的面积然后进行调整。
综上所述，求阴影面积主要涉及到计算图形的面积以及图形的分割和组合。
通过对不同图形的特点和求解方法的了解，我们可以灵活运用数学知识来计算阴影面积。
中考求阴影部分面积(供参考)
中考求阴影部分面积【知识概述】计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。
不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。
现介绍几种常用的方法。
一、转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。
例1. 如图1，点C、D是以AB为直径的半圆O上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC、AD和C D⌒围成的阴影部分图形的面积为_________。
二、和差法有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。
三、重叠法就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。
这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。
要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。
例4. 如图4，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。
四、补形法将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。
例5. 如图5，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠=︒∠=∠=A B D60，90︒，求四边形ABCD所在阴影部分的面积。
例2.如图2，PA切圆O于A，OP交圆O于B，且PB=1，PA=3，则阴影部分的面积S=_______．五、拼接法例6. 如图6，在一块长为a、宽为b的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽图2都是c 个单位），求阴影部分草地的面积。
六、特殊位置法例7. 如图8，已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于_______。
七、代数法将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。
初中阴影面积试题及答案
初中阴影面积试题及答案1. 题目：计算以下图形的阴影部分面积。
如图所示，一个矩形的长为8厘米，宽为5厘米，其中包含一个半径为3厘米的半圆。
求半圆阴影部分的面积。
答案：首先，计算半圆的面积。
半圆的面积公式为\(\frac{1}{2}\pi r^2\)，其中 \(r\) 是半径。
将半径 \(r = 3\)厘米代入公式，得到半圆面积为 \(\frac{1}{2} \times \pi \times3^2 = \frac{9\pi}{2}\) 平方厘米。
因此，阴影部分的面积为\(\frac{9\pi}{2}\) 平方厘米。
2. 题目：一个扇形的圆心角为60°，半径为4厘米，求该扇形的面积。
答案：扇形的面积公式为 \(\frac{n\pi r^2}{360}\)，其中 \(n\) 是圆心角的度数，\(r\) 是半径。
将圆心角 \(n = 60\)°和半径 \(r = 4\) 厘米代入公式，得到扇形面积为 \(\frac{60\pi \times4^2}{360} = \frac{80\pi}{3}\) 平方厘米。
3. 题目：一个三角形的底边长为6厘米，高为4厘米，求该三角形的面积。
答案：三角形的面积公式为 \(\frac{1}{2} \times \text{底}\times \text{高}\)。
将底边长 \(6\) 厘米和高 \(4\) 厘米代入公式，得到三角形的面积为 \(\frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12\) 平方厘米。
4. 题目：一个梯形的上底为3厘米，下底为7厘米，高为4厘米，求该梯形的面积。
答案：梯形的面积公式为 \(\frac{1}{2} \times (\text{上底} + \text{下底}) \times \text{高}\)。
将上底 \(3\) 厘米，下底 \(7\) 厘米和高 \(4\) 厘米代入公式，得到梯形的面积为 \(\frac{1}{2}\times (3 + 7) \times 4 = 20\) 平方厘米。
初中数学之阴影部分面积
则余下草坪的面积可表示为
m2;
现为了增加美感,把这条小路改为宽恒为 1 m 的弯曲小路（如图 8）
则余下草坪的面积为
m2
四、对称法
图8
y
C1
1
9、如图 9,⊙O 的半径为 2,C1 是函数 y=
x2 的图象,C2 是函数 y=
1
-
x2 的图象,
2
2
则阴影部分的面积是
y
10、如图 10,⊙A 和⊙B 都与 x 轴和 y 轴相切,
六、等积法
12、如图 12,是重叠的两个直角三角形,将其中一个直角三角形沿 BC 方向平移
得到△DEF,如果 AB=8cm,BE=4cm,DH=3cm,则图中阴影部分面积为
cm2
13、如图 13,四边形 ABCD、CEFG 是正方形,B、C、E 在同一直线上,
正方形 ABCD 的边长是 4,则△BDF 的面积是
三、平移法
7、如图 7,平行于 y 轴的直线 l 被
抛物线 y= 1 x2+1,y= 1 x2-1 所截,
2
2
当直线 l 向右平移 3 个单位时,
直线 l 被两条抛物线所截得的
y D
C
B
0
x
A
l 图7
第1个
第2个 图6
第3个
线段扫过的图形面积为
8、在长为 a m,宽为 b m 的一块草坪上修一条宽 1 m 的笔直小路,
设分点分别为 P1，P2，…，Pn-1,过每个分点作 x 轴的垂线，
y 1
Q1Q2
Q3
Qn-1 A
O P1P2P3 … Pn1-1 图 20
分别与抛物线交于点 Q1，Q2，…，Qn-1，再记直角三角形 OP1Q1，P1P2Q2，…
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阴影部分的面积专题
解题方法：
1、 熟悉三角形、四边形、圆、扇形面积的公式
2、 利用各种图形面积之间的相加或相减的办法
一、选择
1、如图，圆的半径是 6,空白部分的圆心角分别是
60°与
30 °,则阴影部分的面积是
（ ） A 、9 B 、27 C 、6 D 、3 2.如图1,扇形OAB 的圆心角为90°，且半径为1，分别以OA ，OB 为
直径在扇形内作半圆， P 和Q 分别表示两个阴影部分的面积，
那么P 和Q 的大小关系是（ ）
A. PQ
B. PQ
C. PQ
D.无法确定
B 、6 3-
C 、9.3-3
D 、6 3-2 3.如图2,矩形ABCD 中，AB 1, BC . 3，以
BC 的中点 为圆心的MPN 与AD 相切，则图中的阴影部分的面积为 A. 2
3 3 B. 一
4 3 C. 4 D. 4.如图，△ ABC 中， A 105°, B 45°, AB 2、2 , AD 丄BC ，为垂足，以为圆心，以 AD 为半径画弧 ?F ，则图中阴影部分的面积为（
A. 2 3
C. 2/3 7 6 5
6 D. 2.3
5.如图两个同心圆的圆心为
面积为（
）
0，大圆的弦 7 6 5 6 AB 切小圆于点P , 两圆的半径分别为 6, 3则图中阴影部分的 A 、 B
A D M N
E
二、填空
1 如图，在Rt△ ABC中，/ C=90°, CA=CB=2分别以A B C为圆心,
1
以1AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是
2
3. 如图，AB是半圆O的直径，以
OPO Q是正方形，则阴影部分的面积等于 _____________
5•在△ ABC中，AB=AC=2cm , / B=3(f,以A为圆心，AB为半径B E C ,以BC为直径作半圆?FC .则商标图案面积等于_________________
90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA=3, OC=1分别连结AG BD,则图中线，为切点，若OA 4, OE则图中阴影部分的面积为
B
3
4.如图，两个半径为1,圆心角是90°的扇形OAB和扇形OAB叠放在一起，点O在A B上，四边形
阴影部分的面积为
7
8.如图，A是半径为
8
2的O O外一
点,
9
OA=4, AB是O O的切线，点B是切点，弦BC // OA连结AC则图中阴影部分的面积为__________
9.如图，两个半圆中，长为6的弦CD与直径AB平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于 _________
10、如图，以正方形ABCD勺边AD BC CD为直径画半圆，阴影部分的面积记为m空白部分的面积记为
n,贝U m与n的关系为______________
11如图，正方形ABCD边长为4,以BC为直径的半圆O交对角线BD于E.则直线CD与O O的位置关系是______ ，阴影部分面积为 ____________
（第11
题）
O为圆心，OE为半径的半圆交AB于，两点，弦AC是小半圆的切
7.如图，圆心角都是
三、解答
11、如图，AB 是O 0的直径，/ BAC=45 ,AB=BC.
⑴、求证：BC 是O 0的切线；
(2)、设阴影部分的面积为 a,b, O 0的面积为S,请写出S 与a,b 12. 如图,在Rt △ ABC 中,/ BAC=90 ,AC=AC=2,以 AB 为直径的圆交
13. 如图，以正三角形 ABC 的AB 边为直径画O 0分别交AC, BC
于点D, E, AB=6cm ，求D E 的长及阴影部分的面积.
13.已知如图，矩形
ABCD 中 AB=1, BC=2,以B 点为圆心，BC 长为半径画弧交 AC 于F ,交BA 于E ,求阴
影部分的面积。
BC 于D,求图形阴影部分的面积
的关系
式。
14、如图，一只狗用皮带系在10 X 10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14,在狗窝外面狗能活动的范围面积是多少？
21.如图，已知PA PB切O 0于A、B两点，连AB且PA PB的长是方
程x2 2mx 3 = 0的两根,
AB= m 试求：（1）O 0的半径；
（2）由PA PB AB围成图形（即阴影部分）的面积.
26.如图，已知Rt△ ABC中，/ ACB=90，以AB, BC, AC为
直径作半圆围成两月形（阴影
部分）S, 9,设厶ABC的面积为S. （10分）
求证：S=S+S2.
S
B。