圆与圆的位置关系(公开课课件)
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圆与圆的位置关系ppt课件
设所求圆的圆心为(a,b),因圆心在直线x-y-4=0上，故b=a-4.
则
解得 故圆心为 ,半径为
故圆的方程为
即x²+y²-x+7y-32=0.
(方法2)设所求圆的方程为x²+y²+6x-4+λ(x²+y²+6y-28)=0(λ≠-1),
其圆心为
,代入x-y-4=0,解得λ=-7.
故所求圆的方程为x²+y²-x+7y-32=0.
分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M 的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系。
解：如图，以线段AB的中点O为原点，AB 所在直线为x轴，线段AB的 垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系. 由AB=4,得A(-2,0),B(2,0).设点M 的坐标为(x,y),由 |MA|=|MB|, 得
(1)当|C₁C₂ I=r₁+r₂=5,即a=5时，两圆外切；当|C₁C₂ I=r₁-r₂=3,即a=3时，两圆内切。
(2)当3<|C₁C₂I<5,即3<a<5时，两圆相交.
(3)当|C₁C₂I>5,即a>5时，两圆外离. (4)当|C₁C₂I<3,即O<a<3时，两圆内含.
12 U
典型例题
例2.已知圆O的直径AB=4, 动点M与点A的距离是它与点B的距离的√2倍. 试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
相交弦及圆系方程问题的解决 1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必 须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. 2.求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两 圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 3.已知圆C₁ :x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0 与圆C₂ :x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0 相交，则过两圆交点的圆的方程 可设为x²+y²+D₁x+E₁y+F₁+λ(x²+y²+D₂x+E₂y+F₂)=0(λ≠-1).
圆圆和圆的位置关系课件ppt
外公切线、公切线
详细描述
两圆外公切线的交点位于两圆半径之差的绝对值处，由此可判断两圆的位置 关系。
利用内公切线判定
总结词
内公切线、公切线
详细描述
两圆内公切线的交点位于两圆半径之和处，由此可判断两圆的位置关系。
04
圆和圆的位置关系的计算
计算圆心距
总结词
衡量两个圆心的距离
公式
$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2y_1)^2}$
作已知圆的内外公切线及内心线
利用已知圆的方程，根据圆心和切线的性质作已知 圆的内外公切线及内心线。
根据已知圆的方程，求出过切点的半径所在的直线 方程，再根据切线性质求出切线长。
根据已知圆的方程，求出过切点的半径所在的直 线方程，再根据切线性质求出切线长。
THANKS
内切圆的半径等于两圆半径之差； 两圆内切时，内切圆的直径等于两圆半径之差。
外切圆和内切圆的比较
01
外切圆和内切圆都是关于两圆的圆心对称的，它们的位置关系可以通过比较两 圆的半径和圆心距来确定；
02
外切圆和内切圆的半径和圆心距的关系相反，外切圆的半径和圆心距等于两圆 半径之和或之差，而内切圆的半径和圆心距等于两圆半径之差或之和；
两圆之间的位置关系是 两圆的圆心距等于两圆 的半径之差。
两圆之间的位置关系是 两圆的圆心距小于两圆 的半径之差。
计算两个圆的圆心距和半径
通过两个圆的方程计算出两个圆的圆心距和半 径，并判断两个圆的位置关系。
根据两个圆的方程计算出两个圆的圆心距和半 径，并求出两个圆的公共弦所在的直线方程。
根据两个圆的方程计算出两个圆的圆心距和半 径，并求出两个圆的交点坐标。
特点
详细描述
两圆外公切线的交点位于两圆半径之差的绝对值处，由此可判断两圆的位置 关系。
利用内公切线判定
总结词
内公切线、公切线
详细描述
两圆内公切线的交点位于两圆半径之和处，由此可判断两圆的位置关系。
04
圆和圆的位置关系的计算
计算圆心距
总结词
衡量两个圆心的距离
公式
$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2y_1)^2}$
作已知圆的内外公切线及内心线
利用已知圆的方程，根据圆心和切线的性质作已知 圆的内外公切线及内心线。
根据已知圆的方程，求出过切点的半径所在的直线 方程，再根据切线性质求出切线长。
根据已知圆的方程，求出过切点的半径所在的直 线方程，再根据切线性质求出切线长。
THANKS
内切圆的半径等于两圆半径之差； 两圆内切时，内切圆的直径等于两圆半径之差。
外切圆和内切圆的比较
01
外切圆和内切圆都是关于两圆的圆心对称的，它们的位置关系可以通过比较两 圆的半径和圆心距来确定；
02
外切圆和内切圆的半径和圆心距的关系相反，外切圆的半径和圆心距等于两圆 半径之和或之差，而内切圆的半径和圆心距等于两圆半径之差或之和；
两圆之间的位置关系是 两圆的圆心距等于两圆 的半径之差。
两圆之间的位置关系是 两圆的圆心距小于两圆 的半径之差。
计算两个圆的圆心距和半径
通过两个圆的方程计算出两个圆的圆心距和半 径，并判断两个圆的位置关系。
根据两个圆的方程计算出两个圆的圆心距和半 径，并求出两个圆的公共弦所在的直线方程。
根据两个圆的方程计算出两个圆的圆心距和半 径，并求出两个圆的交点坐标。
特点
圆与圆的位置关系ppt课件
C1
r1 C2
r2
内含
C1 rC12r2
内切
r C2
r1 C1
新知讲解
注意： 1.当两个圆是等圆时，它们之间的位置关系只有外离、外切和相交三种情 况(重合时两个圆被看成一个圆). 2.如果两个圆不是同心圆，那么经过两个圆的圆心的直线，叫作两个圆的 连心线.两个圆心之间的线段长叫作圆心距. 思考：两个圆的圆心距d、两个圆的半径r1，r2的大小关系与两个圆的位置 关系有何对应关系？
（2）将圆 <m>C1</m>和圆 <m>C2</m>的方程相减，得 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为 <4m>x + 3y − 23 = 0</m>， 圆心 <m>C2 5,6 </m>到直线 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>的距离为 <m>20+1168+−923 = 3</m>， 故公共弦长为 <m>2 16 − 9 = 2 7</m>.
r1 r2 2 1,r1 r2 2 1.
r1 r2 <d <r1 r2.
∴圆C1与圆C2相交.
思考:还有其他方法判断吗？
新知讲解
例1:画图并判断圆C1：x2 +y2 +2x=0 和圆C2：x2 +y2–2y =1的位置关系.
解法二:联立方程组
x2 y2 2x 0
x2
y2
2
y
1
① ②
2
2 1
圆与圆的位置关系ppt课件
分析：分两种情况讨论， 分析：分两种情况讨论， A
一、当两圆外切时， 当两圆外切时， 当两圆内切时。 二、当两圆内切时。
R O1
r O2
R
O1 O r 2
A
两圆相切，连心线必过切点。 依据：两圆相切，连心线必过切点。
的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP 外一点， 例２ ⊙O的半径为 的半径为 ， 是 外一点 =8cm，求（1）以P为圆心作⊙P与⊙O外切，大圆⊙P ， 为圆心作⊙ 与 大圆⊙ ） 为圆心作 的半径是多少？（ ） 为圆心作⊙ 与 内切， 的半径是多少？（2）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆 ？（ 为圆心作 内切 的半径是多少？ ⊙P的半径是多少？ 的半径是多少 外切于点A， 解: (1)设⊙O与⊙P外切于点 ，则 设 与 外切于点 PA=OP-OA PA=3cm. (2)设⊙O 与⊙P内切于点 ，则 内切于点B， 设 内切于点 PB=OP+OB PB=13cm.
练习 1、举出一些能表示两个圆不同位置关系的实例 、
。
2、 ⊙O1和⊙O2的半径分别为 厘米和 厘米，设 、 的半径分别为3厘米和 厘米， 厘米和4厘米 厘米； （1） O1O2=8厘米； ） 厘米 （2） O1O2=7厘米； ） 厘米 厘米； 厘米； （3） O1O2=5厘米； ） 厘米 （4） O1O2=1厘米； ） 厘米 厘米； 重合。 （5） O1O2=0.5厘米； ） 厘米 （6） O1和O2重合。 ） 的位置关系怎样？ ⊙O1和⊙O2的位置关系怎样？ 3、定圆 的半径是 厘米，动圆 的半径是 厘米。 的半径是4厘米 的半径是1厘米 、定圆O的半径是 厘米，动圆P的半径是 厘米。 相外切， 与点O的距离 （1）设⊙P和⊙O相外切，那么点 与点 的距离 ） 和 相外切 那么点P与点 是多少？ 可以在什么样的线上移动？ 是多少？点P可以在什么样的线上移动？ 可以在什么样的线上移动 相内切， （2）设⊙P和⊙O相内切，情况怎样？ ） 和 相内切 情况怎样？
2.5.2圆与圆位置关系 课件(共18张PPT)
2.5.2圆与圆的位置
关系
人教A版（2019）
选择性必修第一册
学习目标
1.理解圆与圆的位置关系的种类.
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.
3.能够利用上述方法判断两圆的位置关系.
4.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
核心素养：逻辑推理、数学建模
探索新知 两个大小不等的圆的位置关系
所以，方程(4)有两个不相等的实数根1, 2,
因此圆1与圆2有两个不同的公共点．
所以圆1与圆2相交，它们有两个公共点, .
典例剖析
判断两圆位置关系的方法
例1 已知圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0和圆2：2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0，试判断圆1与圆2的位置关系.
A
先动手后动脑
x
1.画出两圆的图象和方程 + 2 − 1 = 0表示的直线的图象
2.你发现了什么？你能说明什么吗？
2
B
1
理论迁移
例1
设圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0,圆2: 2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0,试判断圆1与圆2的关系.
1.求两圆的公共弦所在的直线方程.
几何法判断两圆的位置关系的一般步骤
（1）把两圆的方程化成标准方程；
（2）求出两圆的圆心坐标及半径，；
（3）求两圆的圆心距；
（4）比较与 − ， + 的大小关系，得出结论：
①若 > + ，则两圆外离；
②若 = + ，则两圆外切；
③若 − < < + ，则两圆相交；
关系
人教A版（2019）
选择性必修第一册
学习目标
1.理解圆与圆的位置关系的种类.
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.
3.能够利用上述方法判断两圆的位置关系.
4.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
核心素养：逻辑推理、数学建模
探索新知 两个大小不等的圆的位置关系
所以，方程(4)有两个不相等的实数根1, 2,
因此圆1与圆2有两个不同的公共点．
所以圆1与圆2相交，它们有两个公共点, .
典例剖析
判断两圆位置关系的方法
例1 已知圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0和圆2：2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0，试判断圆1与圆2的位置关系.
A
先动手后动脑
x
1.画出两圆的图象和方程 + 2 − 1 = 0表示的直线的图象
2.你发现了什么？你能说明什么吗？
2
B
1
理论迁移
例1
设圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0,圆2: 2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0,试判断圆1与圆2的关系.
1.求两圆的公共弦所在的直线方程.
几何法判断两圆的位置关系的一般步骤
（1）把两圆的方程化成标准方程；
（2）求出两圆的圆心坐标及半径，；
（3）求两圆的圆心距；
（4）比较与 − ， + 的大小关系，得出结论：
①若 > + ，则两圆外离；
②若 = + ，则两圆外切；
③若 − < < + ，则两圆相交；
圆与圆的位置关系ppt课件
1.公共弦的定义：两圆相交时两个交点的连线；
2.公共弦的性质：相交两圆的连心线垂直平分其公共弦。
A
O1
3.求两圆公共弦所在直线方程：
法1：联立两圆方程求交点，由两点求直线方程
O2
B
法2：两圆方程作差
已知圆C1 : x 2 y 2 D1 x E1 y F1 0①, 圆C2 : x 2 y 2 D2 x E2 y F2 0②,
AB
1 62 3 22
5 2
探究交流 题型二 公共弦问题
例2 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
解：设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立圆C1与圆C2的方程，得
圆心到直线的距离d
（点到直线距离公式）
d r : 相交
d r : 相切
d r : 相离
得到一元二次方程
mx2 nx t 0
0 : 相交
0 : 相切
0 : 相离
探究交流
问题1：在平面中，圆与圆的位置关系有几种？
B. 外离、外切、相交、内切、内含
2
4
2
3
17
圆心坐标是 2, , 半径长r2
2
2
因为2024/7/7
r1 r2 1 r1 r2 ,两圆相交
两圆方程相减, 得2 x 1 0,
所以圆C1与圆C 2的公共弦所
18
在直线的方程为
2x 1 0
1
方法二：两圆方程相减, 得 : x
2.公共弦的性质：相交两圆的连心线垂直平分其公共弦。
A
O1
3.求两圆公共弦所在直线方程：
法1：联立两圆方程求交点，由两点求直线方程
O2
B
法2：两圆方程作差
已知圆C1 : x 2 y 2 D1 x E1 y F1 0①, 圆C2 : x 2 y 2 D2 x E2 y F2 0②,
AB
1 62 3 22
5 2
探究交流 题型二 公共弦问题
例2 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
解：设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立圆C1与圆C2的方程，得
圆心到直线的距离d
（点到直线距离公式）
d r : 相交
d r : 相切
d r : 相离
得到一元二次方程
mx2 nx t 0
0 : 相交
0 : 相切
0 : 相离
探究交流
问题1：在平面中，圆与圆的位置关系有几种？
B. 外离、外切、相交、内切、内含
2
4
2
3
17
圆心坐标是 2, , 半径长r2
2
2
因为2024/7/7
r1 r2 1 r1 r2 ,两圆相交
两圆方程相减, 得2 x 1 0,
所以圆C1与圆C 2的公共弦所
18
在直线的方程为
2x 1 0
1
方法二：两圆方程相减, 得 : x
说课圆与圆的位置关系课件
总结词
通过几何推理和公理，证明两圆相离的条件和性质。
详细描述
首先，我们可以通过比较两圆的半径和圆心距，得出两 圆相离的条件是圆心距大于两圆半径之和或差。然后， 根据相离的定义，我们可以得出两圆相离的性质，如离 点的性质、离点与圆心连线与连心线夹角相等等。
内含关系的证明
总结词
通过几何推理和公理，证明一个圆内含于另一个圆的情况。
总结词
通过几何推理和公理，证明两圆相交的条件 和性质。
详细描述
首先，我们可以通过比较两圆的半径和圆心 距，得出两圆相交的条件是圆心距小于两圆 半径之和且大于两圆半径之差。然后，根据 相交的定义，我们可以得出两圆相交的性质 ，如交点的性质、交点与圆心连线与连心线
夹角相等、交弦的性质等。
相离关系的证明
详细描述
首先，我们可以通过比较一个圆的半径和另一个圆的半径及圆心距，得出一个圆内含于 另一个圆的条件是该圆的半径小于另一个圆的半径且该圆的圆心到另一个圆的圆心的距 离也小于另一个圆的半径。然后，根据内含的定义，我们可以得出内含的性质，如内含
的点和线段的性质等。
重合关系的证明
总结词
通过几何推理和公理，证明两个圆完全重合的情况。
分类
根据两圆交点的个数，可以将两 圆的位置关系细分为外离、内含 、外切、内切、相交五种。
判定方法
代数法
通过比较两圆的圆心距与两圆半径之 和或差的关系，来判断两圆的位置关 系。
几何法
通过观察两圆的交点个数或两圆是否 相切，来判断两圆的位置关系。
性质研究
两圆相交时，连心线 垂直平分两圆的公共 弦。
两圆相离时，连心线 与两圆的距离相等。
提高习题解析
总结词
应用知识解决实际问题
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圆心距
问题二：两圆半径R、r与圆心距d之间有何 数量关系？
d
O•1 R
r •O2
d
（a）
O1• O• 2
dr ;r （R>r）
两圆内含： d<R-r(R>r)
两圆相交时，圆心距和半径之间有何关系？
Rr
O•1
• O2 d
结论：两圆相交：R-r<d<R+r (R≥r)
两圆相交时有何性质？
◆连心线垂直平分公共弦 ◆外公切线和连心线交于一点
两圆相切时，圆心距和半径之间有何关系？
O1• R r • O2
d （c）
o1• o•2
r R
（d）
两圆外切: d=R+r（R>r）
两圆内切： d=R-r(R>r)
两圆相外切时,你能说出d=R+r的理由吗?
◆切点在连心线上 ◆内公切线和连心线垂直 ◆两条外公切线和连心线交于一点
5.求过点A(0,6)且与圆C:x2 y 2 10 x 10 y 0
切于原点的圆的方程。
Y
A(0,6)
M
o
x
C
6.已知两圆的方程分别为：(x 2)2 ( y 2)2 1 与(x 2)2 ( y 5)2 16 ,求它们的公切线方程。
（１）两圆有几种位置关系，
我们怎样判断？
外离
d>R+r
外切
d=R+r
相交
R-r<d<R+r
内切
d=R-r
内含
d<R-r
（2）两圆相切时的有关性质 两圆心和切点共线 连心线和切线垂直
（3）两圆公切线的有关性质 公切线条数 外公切线和连心线交于一点
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
23
外离
（2）O1O2=1厘米；
内切
（3）O1O2=5厘米；
相交
（4）O1O2=7厘米；
外切
（5）O1O2=0.5厘米
内含
⊙O1和⊙O2的位置关系怎样？
2.判断下列两圆的位置关系：
（1） (x 2)2 ( y 2)2 1 与(x 2)2 ( y 5)2 16
（2） x2 y2 6x 7 0 与 x2 y2 6y 27 0
分析：要判断两圆的位置关系，关键是找圆心距和两 圆半径之间的数量关系。
（1）外切
（2）相交
3.已知以C(-4,3)为圆心的圆与圆 x 2 y 2 1
相切，求圆C的方程。
解： 外切 (x 4)2 ( y 3)2 16. 内切 (x 4)2 ( y 3)2 36.
4.若圆 x2 y 2 1 与圆 (x 3)2 ( y 4)2 m2 相交 ,则实数 m 的取值范围是m (6, 4) (4,6)
圆与圆的位置关系
江苏省淮阴中学
分别在作业本上任意画出２个大小不一致的 圆，能画出几种不同的位置关系
你认为两圆有几种位置关系? 你划分依据是什么？
◆根据公共点的个数
相交 — 有两个公共点 相切 — 只有一个公共点 相离 — 无公共点
◆用运动的观点来看
外离 内切
外切
相交
内含
◆用运动的观点来看
问题一：两圆的半径分别为R,r（为定值）, 运动之后，位置关系发生变化，变化的原因 是什么呢？
两圆内切时，你能得出类似的结论吗？ 结论：连心线过切点；连心线和公切线垂直
位置关系 圆心距与半径关系 交点个数 公切线条数
外离 d＞R+r
0
4
外切 d=R+r
1
3
相交 R-r＜ d ＜ R+r 2
2
内切 d=R-r
1
1
内含 d ＜ R+r
0
0
1.⊙O1和⊙O2的半径分别为3厘米和4厘米，设
（1）O1O2=9厘米；
问题二：两圆半径R、r与圆心距d之间有何 数量关系？
d
O•1 R
r •O2
d
（a）
O1• O• 2
dr ;r （R>r）
两圆内含： d<R-r(R>r)
两圆相交时，圆心距和半径之间有何关系？
Rr
O•1
• O2 d
结论：两圆相交：R-r<d<R+r (R≥r)
两圆相交时有何性质？
◆连心线垂直平分公共弦 ◆外公切线和连心线交于一点
两圆相切时，圆心距和半径之间有何关系？
O1• R r • O2
d （c）
o1• o•2
r R
（d）
两圆外切: d=R+r（R>r）
两圆内切： d=R-r(R>r)
两圆相外切时,你能说出d=R+r的理由吗?
◆切点在连心线上 ◆内公切线和连心线垂直 ◆两条外公切线和连心线交于一点
5.求过点A(0,6)且与圆C:x2 y 2 10 x 10 y 0
切于原点的圆的方程。
Y
A(0,6)
M
o
x
C
6.已知两圆的方程分别为：(x 2)2 ( y 2)2 1 与(x 2)2 ( y 5)2 16 ,求它们的公切线方程。
（１）两圆有几种位置关系，
我们怎样判断？
外离
d>R+r
外切
d=R+r
相交
R-r<d<R+r
内切
d=R-r
内含
d<R-r
（2）两圆相切时的有关性质 两圆心和切点共线 连心线和切线垂直
（3）两圆公切线的有关性质 公切线条数 外公切线和连心线交于一点
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
23
外离
（2）O1O2=1厘米；
内切
（3）O1O2=5厘米；
相交
（4）O1O2=7厘米；
外切
（5）O1O2=0.5厘米
内含
⊙O1和⊙O2的位置关系怎样？
2.判断下列两圆的位置关系：
（1） (x 2)2 ( y 2)2 1 与(x 2)2 ( y 5)2 16
（2） x2 y2 6x 7 0 与 x2 y2 6y 27 0
分析：要判断两圆的位置关系，关键是找圆心距和两 圆半径之间的数量关系。
（1）外切
（2）相交
3.已知以C(-4,3)为圆心的圆与圆 x 2 y 2 1
相切，求圆C的方程。
解： 外切 (x 4)2 ( y 3)2 16. 内切 (x 4)2 ( y 3)2 36.
4.若圆 x2 y 2 1 与圆 (x 3)2 ( y 4)2 m2 相交 ,则实数 m 的取值范围是m (6, 4) (4,6)
圆与圆的位置关系
江苏省淮阴中学
分别在作业本上任意画出２个大小不一致的 圆，能画出几种不同的位置关系
你认为两圆有几种位置关系? 你划分依据是什么？
◆根据公共点的个数
相交 — 有两个公共点 相切 — 只有一个公共点 相离 — 无公共点
◆用运动的观点来看
外离 内切
外切
相交
内含
◆用运动的观点来看
问题一：两圆的半径分别为R,r（为定值）, 运动之后，位置关系发生变化，变化的原因 是什么呢？
两圆内切时，你能得出类似的结论吗？ 结论：连心线过切点；连心线和公切线垂直
位置关系 圆心距与半径关系 交点个数 公切线条数
外离 d＞R+r
0
4
外切 d=R+r
1
3
相交 R-r＜ d ＜ R+r 2
2
内切 d=R-r
1
1
内含 d ＜ R+r
0
0
1.⊙O1和⊙O2的半径分别为3厘米和4厘米，设
（1）O1O2=9厘米；