追及和相遇问题

v′
6 0
V汽 V自
t/s
t′=2t=4 s
v′ = 2v自=12 m/s
②匀速运动的物体追赶同向匀加速直线运动的物体，追赶
时两者距离最小（包括追及）的条件为：追赶者的速度等
于被追赶者的速度．
情境设置 例2、一车从静止开始以1m/s2 的加速度前进，车后相 距x0为25m处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车， 能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。
小结：追及和相遇问题的分析方法
分析两物体运动过程，画运动示意图
由示意图找两物体位移关系
据物体运动性质列(含有时间的) 位移方程
分析追及和相遇问题时要注意：
1.一定要抓住一个条件两个关系 （1）一个条件是两个物体速度相等时满足的临界条件 ，如两个物体的距离是最大还是最小，是否恰好追上 等。 （2）两个关系是时间关系和位移关系 时间关系指两物体是同时运动还是一前一后 位移关系指两物体同地运动还是一前一后，通过画运 动示意图找两物体间的位移关系是解题的关键。 2.若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意，追上 前该物体是否停止运动。 3.仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘 题目中隐含条件，如“刚好”、“恰巧”、“最多” 、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的 临界条件。
解法二 用数学求极值方法来求解 设汽车在追上自行车之前经过t时间两车相距最远
∵△x=x1－x2=v自t － at2/2 （位移关系） ∴ △x=6t －3t2/2 由二次函数求极值条件知 t= －b/2a = 6/3s = 2s时， △x最大 ∴ △xm=6t － 3t2/2= 6×2 － 3 ×22 /2=6 m
1 ×0.5t2=180+6t 2
整理得： t2 - 56t + 720 =0． 因为Δ= 56ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-4×720=256>0，所以两车相撞. 答案：会发生撞车事故
追及问题中的临界条件:
⑴速度小者追速度大者,追上前两个物体速 度相等时,有最大距离; ⑵速度大者减速追赶速度小者,追上前在两 个物体速度相等时,有最小距离.即必须在此 之前追上,否则就不能追上.
若无解，则不能追上。 代入数据并整理得：t2－12t+50=0 △=b2－4ac=122－4×50×1=－56＜0 所以，人追不上车。
在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度， 因此人车间的距离逐渐减小；当车速大于人的 速度时，人车间的距离逐渐增大。因此，当人 车速度相等时，两者间距离最小。 at′= v人 t′=6s
追及和相遇问题
２．追及相遇问题解题指导：解题关键条件——追及物体与被追 及物体速度相等 （1）类型及追及的条件
①初速为零的匀加速直线运动的物体追赶同向匀速（或
匀减速）直线运动的物体时，追上之前两者距离最大的
条件为：追及者的速度等于被追及者的速度．
情境设置
例题1：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起 时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自 行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。 【思考分析】 1．汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多 长时间两车相距最远？此时距离是多少？ 分析：汽车追上自行车之前， v汽<v自时 △x变大 v汽=v自时 △x最大 v汽>v自时 △x变小 结论：初速度为零的匀加速直线运动物体追及同向 匀速物体时，追上前具有最大距离的条件： 两者速度相等
在这段时间里，人、车的位移分别为： x人=v人t=6×6=36m x车=at′2/2=1×62/2=18m
△x=x0+x车－x人=25+18－36=7m
结论：速度大者减速追赶速度小者,追上前在两 个物体速度相等时,有最小距离.即必须在此之前 追上,否则就不能追上.
解析：作汽车与人的运动草图如下图甲和v-t图象如下图乙所
例2、一车从静止开始以1m/s2 的加速度前进，车后相 距x0为25m处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车， 能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。
X0=25m
v=6m/s 解析：依题意，人与车运动的时间相等，设为t, 当人追上车时，两者之间的位移关系为：
a=1m/s2
x车+x0= x人
即： at2／2 + x0= v人t 由此方程求解t，若有解，则可追上；
一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车 以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以 6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。 【思考分析】 1．汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多 长时间两车相距最远？此时距离是多少？
解法三 用图象求解 在相遇之前，在t时刻两车速度相等 时，自行车的位移（矩形面积）与汽 车位移（三角形面积）之差（即斜线 部分）达最大，所以 v/（ms-1）
例题3：经检测汽车A的制动性能：以标准速度20m/s 在平直公路上行使时，制动后40s停下来。现A在平直 公路上以20m/s的速度行使发现前方180m处有一货车 B以6m/s的速度同向匀速行使，司机立即制动，能否 发生撞车事故？v汽= 20m/s V = 6m/s
货
a=
-0.5m/s2 追上处
20
V
12
6 0
V汽
V自
t=v自/a= 6 / 3=2 s
1 1 s v自t t v自 6 2 2 6 6m 2 2
t/s
2 4
一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车 以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以 6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。 2．什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度 是多少？
t v v0 6 20 s 28 s a 0.5
在这段时间内，s A=v0t′＋
1 2 at′ =364 m， sＢ= vt′＝168 m 2
sA- sＢ=196 m＞180 m，所以两车相撞. 另外，本题也可以用不等式求解：设在t 时刻两物体相遇，则 有：v0t＋ 即:20t1 at2=180+ vBt 2
所以人追不上汽车.那么人与汽车的最小距离为xmin＝x0-Δx＝7
m． 答案：人追不上汽车，人与汽车最小距离为7 m
注意： 分析相遇问题时，一定要分析所需满足 的两个关系：
1.两个物体运动的时间关系; 2.两个物体相遇时必须处于同一位置。 即：两个物体的位移关系
③匀减速直线运动的物体追赶同向匀速（或匀加速）直线运动的 物体时，恰好追上（或恰好追不上）的临界条件为：即追尾时， 追及者速度等于被追及者速度.当追及者速度大于被追及者速度， 能追上，反之追不上．
180m
a 20 m / s 2 0.5m / s 2 40
6 S
O
B A40 t
s (20 6) ( 20a 6) ) / 2
S=196m>180m
题型训练
３．为检测汽车Ａ的制动性能：以标准速度 20 m/s 在平直公 路上行驶时，制动后40 s可停下来.现Ａ在平直公路上以20 m/s 的速度行使，发现前方180 m处有一货车Ｂ以6 m/s的速度同向 匀速行使，司机立即制动，会不会发生撞车事故？ 解析： 这是典型的追及问题，关键是要弄清不相撞的条件．汽 车A与货车B同速时，两车位移差和初始时刻两车距离关系是判 断两车会否相撞的依据．当两车同速时，两车位移差大于初始时 刻的距离时，两车相撞；小于、等于时，则不相撞. vt v 0 先计算Ａ车的加速度a= = -0.5 m/s2, t 在追及的过程，Ａ车减速至 v=6 m/s 的时间
示．因v-t图象不能看出物体运动的初位置，故在图乙中标上两
物体的前、后．由图乙可知：在0～6 s时间内后面的人速度大， 运动得快；前面的汽车运动得慢．即0～6 s内两者间距越来越 近．因而速度相等时两者的位置关系，是判断人能否追上汽车 的条件．
△x
图甲
要追上
△x>x0
图乙
由v＝at，得t＝v/a＝6 s． 故人能否追上汽车取决于t＝6 s时人与车分别运动的位移之差是 否大于或等于二者开始运动时的最大距离． 因为Δx=vt-1/2at2＝18 m，看出Δx<x0．
△ x=
（速度关系）
∴ t= v自/a=6/3=2s
v自t－ at2/2=6×2 － 3 ×22 /2=6m
一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车 以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以 6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。 【思考分析】 1．汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多 长时间两车相距最远？此时距离是多少？
解：方法1：汽车追上自行车时， 二车位移相等（位移关系） v/（ms-1）
t t′ 方法2：由图可看出，在t时刻以后，由v自线与v汽线组 成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时，两车 的位移相等（即相遇）。所以由图得相遇时，
则 vt′=at′2/2 6×t′= at′2/2， t′=4 s v′= at′= 3×4=12 m/s
一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车 以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以 6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。 【思考分析】 1．汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多 长时间两车相距最远？此时距离是多少？
解法一 物理分析法
两者速度相等时，两车相距最远。
v汽=at=v自