高一数学函数专题：指数函数与对数函数
对数函数和指数函数的区别和知识点
对数函数和指数函数的区别和知识点对数函数和指数函数是两种重要的数学函数，它们在形式和性质上有很大的不同。
下面我们将从定义、图像、性质和应用四个方面来对比这两种函数。
一、定义1. 对数函数：对于正实数a（a>0）和自然数b（b>0），对数函数定义为log(a^b)=b。
也就是说，如果a的b次方等于c，那么log(a) c = b。
2. 指数函数：对于实数a（a≠0），指数函数定义为a^x。
也就是说，无论x 是什么实数，a的x次方都等于y。
二、图像1. 对数函数的图像：对数函数的图像在坐标系中是单调递增的。
当底数大于1时，图像位于第一象限和第二象限；当底数在0到1之间时，图像位于第二象限和第三象限。
2. 指数函数的图像：指数函数的图像也是单调递增的。
对于所有的实数a（a>0），图像都位于第一象限。
当a大于1时，图像在x轴上方递增；当0<a<1时，图像在x轴下方递增。
三、性质1. 对数函数的性质：对数函数是反函数，即如果log(a^b)=c，那么a^c=b。
此外，对数函数还有对数的换底公式，即log(a) b = c 可以转化为log(m) b = c/log(m) a。
2. 指数函数的性质：指数函数是幂运算的推广，具有连续性、周期性、奇偶性等性质。
指数函数也可以表示为exp(x)，其中exp表示自然指数函数的底数，约等于2.71828。
四、应用1. 对数函数的应用：对数函数在科学、工程和经济学等领域有广泛的应用。
例如，在物理学中，声学和光学中的分贝和折射率可以通过对数函数计算；在金融学中，复利和折旧可以通过对数函数计算；在信息论中，对数函数用于描述信号强度和噪声的关系。
2. 指数函数的应用：指数函数在自然科学、社会科学和工程学等领域也有广泛的应用。
例如，在生物学中，细胞增长和繁殖可以用指数函数描述；在经济学中，复利和折现也可以用指数函数计算；在物理学中，放射性衰变和电路中的电压可以用指数函数描述。
高考数学专题指数函数、对数函数、幂函数
高考数学专题 指数函数、对数函数、幂函数【要点】考点1：指数函数 定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数。
考点2：对数函数 定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数。
1>a 10<<a1>a 10<<a图 象性 质定义域： R 值域：（0，+∞）①过点（0，1），图象都在第一、二象限； ②指数函数都以x 轴为渐近线； ③对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数xxay a y -==与的图象关于y 轴对称。
(,0)x ∈-∞时y ∈（0，1）； ),0(+∞∈x 时 y ∈（1，+∞）。
(,0)x ∈-∞时 y ∈（1，+∞）； ),0(+∞∈x 时y ∈（0，1）。
在R 上是增函数。
在R 上是减函数。
考点3：幂函数 1．幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数． 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象。
2．观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点 ；在(0,)+∞上是 函数； （2）当0α<时，图象过定点 ；在(0,)+∞上是 函数； 在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近。
【课堂精练】 1．=3log 9log 28（ ）A ．32 B ． 1 C ．23D ．2 2．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使幂函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（ ） A ．1,3 B ．-1,1 C ．-1,3 D ．-1,1,3 3．函数2x y =-的图象（ ）A ．与2x y =的图象关于y 轴对称B ．与2x y =的图象关于坐标原点对称C ．与2x y -=的图象关于y 轴对称D ．与2x y -=的图象关于坐标原点对称 4．(2010年重庆卷)函数164x y =-的值域是( )（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4) 5．已知函数xxx f +-=11lg)(，若b a f =)(，则)(a f -=（ ） A ．b B ．b - C ．b 1D ．1b-6．已知10<<a ，1-<b ，则函数b a y x+=的图像不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．设02log 2log <<b a ，则（ ）（A ）10<<<b a （B ）10<<<a b （C ）a b <<1 （D ）b a <<1 8．函数lg y x =( )A ．是偶函数，在区间(,0)-∞ 上单调递增B ．是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减C ．是奇函数，在区间(0,)+∞ 上单调递增D ．是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 8．（06天津卷）设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ） A ．R Q P << B ．P R Q <<C ．Q R P <<D ．R P Q <<9．(2010年全国卷)设a=3log 2，b=In2，c=125-，则( )A ．a<b<cB ．b<c<aC ．c<a<bD ．c<b<a10．（2009宁夏海南卷）用min{a ，b ，c}表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设{})0(10,2,2m in )(≥-+=x x x x f x ，则)(x f 的最大值为（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）711．（2008年山东卷文）已知函数()log (21)(01)xa f xb a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ）A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101ba -<<<- D ．1101ab --<<<12．(2010年全国卷)已知函数x x f lg )(=，若b a <<0且)()(b f a f =，则b a 2+的取值范围是( )(A))+∞(B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞13．幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()f x ＝27的x 的值是 。
指数对数函数基本知识点
指数对数函数基本知识点指数函数和对数函数是高中数学紧密相关的数学概念，对于理解和运用多种数学问题都是至关重要的。
下面将从定义、性质、图像和应用等几个方面进行详细介绍。
一、指数函数指数函数的定义是f(x)=a^x，其中a是一个正实数且a≠1，x是实数。
指数函数的特点包括：1.a^0=1，a^1=a。
2.指数函数的定义域是整个实数集。
3.当a>1时，指数函数是严格递增的；当0<a<1时，指数函数是严格递减的。
4.指数函数的图像可以分成两种情况：当a>1时，图像在x轴的右侧逐渐向上增长；当0<a<1时，图像在x轴的右侧逐渐向下降低；当a=1时，图像是一条水平直线。
二、对数函数对数函数的定义是f(x)=log_a(x)，其中a是一个正实数且a≠1，x是正实数。
对数函数的特点包括：1. log_a(1)=0，log_a(a)=12.对数函数的定义域是正实数集。
3.当a>1时，对数函数是严格递增的；当0<a<1时，对数函数是严格递减的。
4.对数函数的图像可以分成两种情况：当a>1时，图像在y轴的右侧逐渐向上增长；当0<a<1时，图像在y轴的右侧逐渐向下降低；当a=1时，图像是一条水平直线。
三、指数函数和对数函数的性质1. 反函数性质：指数函数和对数函数互为反函数，即a^log_a(x)=x，log_a(a^x)=x。
2. 对数与指数的互化性质：log_a(x)=y等价于 a^y=x。
3.对于任意的正实数a，b和任意实数x，有如下几个基本性质：-a^x*a^y=a^(x+y)- (a^x)^y = a^(xy)- (ab)^x = a^x * b^x-a^(-x)=1/(a^x)-(a/b)^x=a^x/b^x- log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)- log_a(x^y) = y * log_a(x)- log_a(1/x) = -log_a(x)- log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)四、指数和对数函数的图像指数函数和对数函数的图像可以通过制作表格来得到，然后连接各个点形成曲线图。
高一数学指数函数对数函数知识点
高一数学指数函数对数函数知识点导语：在高中数学中，指数函数与对数函数是一个非常重要的数学概念和知识点。
它们在不同领域的应用非常广泛，比如金融、科学等。
本文将深入探讨高一数学中的指数函数和对数函数的基本概念、性质以及它们之间的关系。
一、指数函数的基本概念与性质1. 指数函数的定义指数函数是以常数e（自然对数的底）为底的函数，表示为f(x) = a^x，其中a > 0且a ≠ 1，x为实数。
举例来说，函数f(x) = 2^x就是一个指数函数，其中以2为底。
2. 指数函数的性质①指数函数的定义域为实数集, 即所有实数x。
②指数函数的值域为正数集, 即所有大于0的实数。
③指数函数是递增函数，即当x1 < x2时，a^x1 < a^x2。
④当a > 1时，指数函数的图像是递增的；当0 < a < 1时，指数函数的图像是递减的。
二、对数函数的基本概念与性质1. 对数函数的定义对数函数是指数函数的反函数。
以常数e为底的对数函数称为自然对数函数，记作ln(x)。
举例来说，函数g(x) = log2(x)就是一个以2为底的对数函数。
2. 对数函数的性质①对数函数的定义域为正数集，即只有正实数才有对数。
②对数函数的值域为实数集。
③对数函数是递增函数，即当x1 < x2时，log(x1) < log(x2)。
④对数函数与指数函数互为反函数，即loga(a^x) = x，a^loga(x) = x。
三、指数函数与对数函数之间的关系注意：以下的例子仅为了便于理解，具体数值仅供参考。
1. 自然对数与指数函数的关系e^x = a 可以转化为 ln(a) = x。
例如，e^2 = 7.39 可以转化为 ln(7.39) = 2。
2. 对数函数的性质与指数函数的性质对数函数的一些基本性质与指数函数的一些基本性质是相互关联的，如：① loga(xy) = loga(x) + loga(y)② loga(x/y) = loga(x) - loga(y)③ loga(x^y) = y * loga(x)④ loga(b) = logc(b) / logc(a)3. 指数函数与对数函数的实际应用指数函数与对数函数在实际中有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：①金融领域：在复利计算、投资分析等方面，指数函数与对数函数被广泛应用。
高中数学 常见基础函数：指数函数与对数函数
六大基础函数 指数函数与对数函数1.指数函数：x a y =（0,1a a >≠），定义域R ，值域为（+∞,0）.⑴①当1a >，指数函数：x a y =在定义域上为增函数；②当01a <<，指数函数：x a y =在定义域上为减函数.⑵当1a >时，x a y =的a 值越大，越靠近y2.对数函数：如果a （0,1a a >≠）的b 次幂等于N ，就是Na b=，数b 就叫做以a 为底的N 的对数，记作b N a =log （0,1a a >≠，负数和零没有对数）；其中a 叫底数，N 叫真数.几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 对数运算：1211log 231log ()log log log log log log log 1log log log log log log log log 1log log ...log log (0,0,0,1,0,1,0,1,a n a a a a a a n a a a a Nb a b a bc a a a n a n M N M N MM N NM n M M naNN N ab c a a a a a M N a a b b c c a -⋅=+=-==⋅==⋅⋅=⇒⋅⋅⋅=>>>≠>≠>≠①②③④⑤⑥换底公式：⑦推论：以上2,, (01)n a a >≠且这里引入反函数的概念反函数的概念：[重点难点]概念的把握,求反函数 一、定义高中数学对函数的研究是以映射的观点来进行的，回顾前面研究映射时我们定义了一个特殊映射.一一映射.若将某映射f: A B x y→→的对应关系调转，只有一一映射能够保证调转后的对应仍是映射，称这一映射1f -:B A y x→→为原映射的逆映射.若将前述一一映射限制在数集到数集上，就可以得到我们这里研究的反函数.定义:如果确定函数y=f(x)，x ∈A 的映射f:A→B(f:y=f(x), x ∈A)是从A 到B 上的一一映射，则它的逆映射f -1:B→A(f -1:y→x=f -1(y), y ∈B).所确定的函数y=f -1(x), x ∈B 称为y=f(x),x ∈A 的反函数. 二、说明及性质1．由定义和f(x)存在反函数的充要条件是它的映射为一一映射.如f(x)=x 2(x ∈R)无反函数（非一一），g(x)=x 2+1(x≤0)有反函数，因为它是R +到[1，+∞）上的一一映射.2．f(x),x ∈A 和f -1(x), x ∈B 互为反函数.3．原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域. 4．单调函数具有反函数，因为单调一一映射有反函数. 可见函数在区间上具单调性是它有反函数的充分不必要条件.如函数y=(x≠0), 其反函数与自身相同，但它在(-∞,0)∪(0,+∞)上不具单调性.5．若b=f(a), 则 a=f -1(b),即(a, b)在函数图象上，则(b, a)在其反函数图像上；反之也对.利用这一点可以把反函数上点的问题转化为研究函数上的点的问题. 6．x ∈A, 1[()]f f x x -=; x ∈B, 1[()]f f x x -=.7．原函数与反函数图象关于y=x 对称.8．单调函数的反函数与原函数具有相同的单调性.奇函数如果有反函数，则其反函数也是奇函数.需要认识到，奇函数不一定有反函数. 如：y=x 3-x, 当y=0时x=0, ±1,这不是一一映射，因此不具有反函数.但偶函数是不是一定没有反函数？如y=f(x)，x ∈{0}, y ∈{0},其图象就是原点.它是偶函数，也具有反函数（即自身）. 三、求反函数的一般步骤1．求D,因为原函数的值域R 是反函数的定义域，这定义域在结论中是必须指出的. 2．在原函数的解析式中反求x ，写成x=g(y).3．x, y 互换，即将反函数写成y=g(x)因为习惯上通常将x 作为自变量. 4．下结论（注意给出反函数定义域）解法指导：例1．计算下列各式(1)2121325.032)2.0()02.0(008.0945833(⨯÷+----）（）（） (2)653323)3(ab b a b a ÷-⋅例2．已知函数f (x )满足f (a +b )=f (a )·f (b )，f (1)=2，则)3()4()2()1()2()1(22f f f f f f +++ =++++)7()8()4()5()6()3(22f f f f f f __________．例3．求下列函数的定义域、值域和单调区间． (1)y =4x +2x +1+1(2)232)31(+-=x x y例4．如果函数f (x )=a x (a x －3a 2－1)(a ＞0且a ≠1)在区间[0，+∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．例5．计算：;18lg 7lg 37lg214lg )1(-+- (2)lg25+lg2·lg50+lg 22．例6．已知log 189=a ，18b ＝5，求log 3645(用a ，b 表示)．例7．已知f (x )=log a (2－ax )在[0，1]上是减函数，求a 的取值范围．例8．已知函数f (x )=log a x (a ＞0，且a ≠1，x ∈(0，+∞))．若x 1，x 2∈(0，+∞)，判断)2()]()([212121x x f x f x f ++与的大小，并加以证明．例9．设0＜x ＜1，a ＞1，且a ≠1，试比较｜log a (1－x )｜与｜log a (1+x )｜的大小．例 题 解 析指数函数：例1(1)解：原式102450)81000()949()278(322132⨯÷+-=9129171024251253794=+-=⨯⨯+-=(2)解：原式=.3)3)3()3)((65616567656131213132a b ab a b a b a b a -=⨯-=÷-=--例2解：令a =b ，得f 2(a )=f (2a )，所以)7()8(2)5()6(2)3()4(2)1()2(2)7()8()4()5()6()3()3()4()2()1()2()1(2222f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f +++=+++++++16)1(8])7()7()1()5()5()1()3()3()1()1()1()1([2==+++=f f f f f f f f f f f f f 例3解：(1)定义域为R ．令t =2x (t ＞0)，y =t 2＋2t ＋1=(t ＋1)2＞1， ∴值域为{y ｜y ＞1}．t =2x 的底数2＞1，故t =2x 在x ∈R 上单调递增；而y =t 2＋2t ＋1在t ∈(0，＋∞)上单调递增，故函数y =4x ＋2x ＋1＋1在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)定义域为R ．令)),41[(41)23(2322x t x x xt +-∈--=+-=∴值域为)3,0(4t y )31(= 为定义域上的减函数，232)31(+-=∴x x y 在)23,(-∞上单调增函数，在),23(+∞为单调减函数．例4解析：函数y =a x (a x －3a 2－1)(a ＞0且a ≠1)可以看作是关于a x 的二次函数，若a ＞1，则y =a x 是增函数，原函数在区间[0，＋∞)上是增函数，则要求对称轴02132≤+a ，矛盾；若0＜a ＜1，则y =a x 是减函数，原函数在区间[0，＋∞)上是增函数，则要求当(0＜t ＜1)时，y =t 2－(3a 2＋1)t 在t ∈(0，1)上为减函数，即对称轴,12132≥+a ,312≥∴a∴实数a 的取值范围是⋅)1,33[对数函数： 例1(1)解法一：)23lg(7lg )3lg 7(lg 2)72lg(18lg 7lg 37lg214lg 2⨯-+--⨯=-+-＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0解法二：18lg 7lg )37lg(14lg 18lg 7lg 37lg 214lg 2-+-=-+-;01lg 18)37(714lg2==⨯⨯=(2)解：lg25＋lg2·lg50＋lg 22＝lg25＋lg2·(lg50＋lg2)=lg25＋lg2·lg100=2lg5＋2lg2=2(lg5＋lg2)=2lg10=2 例2解：∵log 189=a ， ∴,12log ,2log 1218log 181818a a -=∴=-=又∵18b =5，∴log 185=b ，∴⋅-+=++==aba 221og 15log 9log 36log 45log 45log18181836 由于a ＞0且a ≠1，所以函数u =2－ax 在其定义域上是减函数， 由题意，y =log a u 应为增函数，所以a ＞1，又因区间[0，1]是定义域的子集，可得a21<即a ＜2． 综合上述，a ∈(1，2)．例4解：f (x 1)＋f (x 2)=log a x 1＋log a x 2=log a (x 1·x 2)， ∵x 1，x 2∈(0，＋∞)，22121)2(x x x x +≤⋅∴(当且仅当x 1=x 2时取“=”号) 当a ＞1时，有.)2(log log 22121x x x x a a +≤ ,2log )log (log 21,2log )(log 2121212121x x x x x x x x a a a aa +≤++≤∴即)2()]()([212121x x f x f x f +≤+(当且仅当x 1=x 2时，取“=”号) 当0＜a ＜1时，有,)2(log )(log 22121x x x x a a +≥即)2()]()([212121xx f x f x f +≥+(当且仅当x 1=x 2时，取“=”号)．例5解法一：作差比大小．|lg )1lg(||lg )1lg(||)1(log ||)1(log |aaa a x x x x +--=+--)]1lg()1lg([|lg |1|])1lg(||)1lg([||lg |1x x x x a a +---=+--=0)1lg(|lg |12>-⋅-=x a |)1(log |)1(log |x x a a +>-∴解法二：作商比较大小)1(log |)1(log ||)1(log )1(log ||)1(log ||)1(log |1)1(x x x x x x x x a a a a --=-=+-=+-++∵1＋x ＞1，而0＜1－x ＜1∴原式1)1(log 11log 11log )1()1()1(=+>-+=-=+++x xxx x x x ∴｜log a (1－x )｜＞｜log a (1＋x )｜。
高一对数指数函数知识点
高一对数指数函数知识点在高中数学中，对数和指数函数是重要的数学概念。
它们在各个科学领域中都有广泛的应用。
本文将探讨高一阶段涉及的对数和指数函数的知识点。
一、指数函数指数函数是一种形如f(x) = a^x（a为常数）的函数。
其中，a称为底数。
1.指数函数的性质- 当a>1时，指数函数在整个定义域上是递增的；当0<a<1时，指数函数在整个定义域上是递减的。
- 指数函数在x轴上的图像必过点(0,1)。
2.指数函数的图像与性质- 当底数a<1时，指数函数的图像逐渐接近x轴，但永远不会触及。
- 当底数a=1时，指数函数的图像是一条水平线y=1。
- 当底数a>1时，指数函数的图像在x<0时位于y轴下方，经过点(0,1)，在x>0时逐渐远离x轴。
二、对数函数对数函数是指形如f(x) = loga(x)（a为正实数且a≠1）的函数。
1.对数函数与指数函数之间的关系对数函数与指数函数是互逆的。
即，如果y = f(x)是指数函数，那么x = f^(-1)(y) = loga(y)是对数函数。
2.对数函数的性质- 当0<a<1时，对数函数在整个定义域上是递减的；当a>1时，对数函数在整个定义域上是递增的。
- 对数函数在y轴上的图像必过点(1,0)。
3.对数函数的图像与性质- 当底数a>1时，对数函数的图像从负无穷趋近于y轴，经过点(1,0)，在x>1时逐渐远离y轴。
- 当底数0<a<1时，对数函数的图像在x>0时位于y轴上方，在x<1时逐渐向y轴靠近。
三、指数方程与对数方程指数方程和对数方程是数学问题中常见的类型。
在解决这些问题时，需要应用指数函数和对数函数的性质。
1.指数方程指数方程是指形如a^x = b（a、b为常数）的方程。
解这种方程时，可将两边同时取以底数为a的对数，然后运用对数函数的性质。
举个例子，解方程2^x = 8:取以底数为2的对数，得到x = log2(8) = 3。
指数函数与对数函数
指数函数与对数函数指数函数与对数函数是高中数学中的重要内容，它们在数学和科学领域中有着广泛的应用。
本文将从定义、性质、图像和实际问题四个方面，介绍指数函数与对数函数的相关知识。
一、指数函数的定义与性质指数函数是以底数为常数的数学函数，其自变量为指数。
一般形式为 f(x) = a^x，其中 a > 0 且a ≠ 1。
指数函数具有以下基本性质：1. 当 x = 0 时，f(x) = a^0 = 1，即指数函数的零次幂等于1。
2. 指数函数的底数 a 大于1时，函数增长趋势明显，图像呈现上升趋势。
底数 a 在0和1之间时，函数呈现下降趋势。
3. 当 x 为正无穷大时，函数无穷逼近于正无穷大。
当 x 为负无穷大时，函数无穷逼近于0。
4. 指数函数具有对称性，即 f(-x) = 1 / a^x。
二、对数函数的定义与性质对数函数是指以某一正数为底数的对数运算与自变量的函数关系。
一般形式为f(x) = logₐ(x)，其中 a > 0 且a ≠ 1。
对数函数具有以下基本性质：1. 对数函数的定义域为正实数集，即 x > 0。
2. 当 x = 1 时，f(x) = logₐ(1) = 0，即对数函数的底数为1时，结果为0。
3. 对数函数的底数 a 大于1时，函数增长趋势明显，图像呈现上升趋势。
底数 a 在0和1之间时，函数呈现下降趋势。
4. 当 x 为正无穷大时，函数无穷逼近于正无穷大。
当 x 为0时，函数无穷逼近于负无穷大。
三、指数函数与对数函数的图像与性质对应指数函数与对数函数是互为反函数的关系，其图像呈现镜像对称。
指数函数的增长趋势对应着对数函数的上升趋势，指数函数的收敛趋势对应着对数函数的下降趋势。
以底数为2的指数函数和对数函数为例，它们的图像如下所示：（插入图像）四、指数函数与对数函数的实际应用指数函数和对数函数在自然科学、经济学、生物学等领域中有着广泛的应用。
以下举几个例子：1. 化学反应速率：化学反应速率常常遵循指数函数的规律，通过实验测量反应物和生成物的浓度随时间变化的关系，可以确定反应速率常数。
指数函数与对数函数
指数函数与对数函数指数函数和对数函数是高中数学中非常重要的概念，它们在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将对指数函数和对数函数进行详细的介绍和讨论。
一、指数函数指数函数是以指数为自变量的函数，一般形式为f(x) = a^x，其中a 为底数，x为指数。
指数函数具有以下的特点：1. 底数为正数且不等于1时，指数函数呈现增长或衰减的趋势。
当底数a大于1时，指数函数呈现增长的趋势；当底数0<a<1时，指数函数呈现衰减的趋势。
2. 当指数x为0时，指数函数的函数值为1。
这是因为任何数的0次幂都等于1。
3. 指数函数的图像通常经过点(0,1)，且在x轴的左侧与x轴趋近，右侧则与y轴趋近。
4. 指数函数的性质还包括奇偶性、单调性、图像的对称轴等，但在此不展开讨论。
二、对数函数对数函数是指数函数的逆运算，表达式为y = loga(x)，其中a为底数，x为函数值。
对数函数的性质如下：1. 对数函数的定义域是正实数集，值域是实数集。
2. 当自变量x为底数时，函数值为1，即loga(a) = 1。
3. 对数函数的图像在底数大于1时是递增的，底数在0和1之间时是递减的。
4. 对数函数的特性还包括对数的运算规则、对数方程、复合对数函数等，但在此不展开讨论。
三、指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数是互为反函数的关系，即对数函数是指数函数的逆运算。
举一个例子来说明它们之间的关系：假设f(x) = a^x为指数函数，那么可以得到g(x) = loga(x)为对数函数，其中g(f(x)) = loga(a^x) = x。
这个等式说明了对数函数和指数函数的逆运算关系，同时也解释了为什么指数函数的图像在x轴左侧与x轴趋近，右侧则与y轴趋近。
指数函数与对数函数在实际生活中有着广泛的应用。
比如在金融领域中，指数函数和对数函数常常用于计算利息、投资回报率等；在人口增长、细胞生长等自然科学领域中，指数函数和对数函数也有着重要的应用。
高中数学必修一指数函数对数函数知识点
高中数学必修一指数函数对数函数知识点高中数学必修一中，指数函数和对数函数是重要的知识点。
指数函数是一种以指数为自变量的函数，形式为y = a^x，其中a为底数，x为指数。
而对数函数是指数函数的逆运算，形式为y = loga(x)，其中a为底数，x为真数。
以下是关于指数函数和对数函数的具体知识点。
一、指数函数的图像和性质1.指数函数的基本形式：-y=a^x，其中a>0且a≠12.指数函数的基本性质：-当0<a<1时，指数函数呈现递减的图像；-当a>1时，指数函数呈现递增的图像；-当a=1时，指数函数为常数函数y=1二、对数函数的图像和性质1.对数函数的基本形式：- y = loga(x)，其中a > 0且a≠12.对数函数的基本性质：- 对数函数与指数函数互为反函数，即loga(a^x) = x，a^loga(x) = x；-对数函数的图像关于直线y=x对称；-对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
三、指数函数和对数函数的运算性质1.指数函数的运算性质：-a^x*a^y=a^(x+y)；- (a^x)^y = a^(xy)；- (ab)^x = a^x * b^x；-a^0=1，其中a≠0。
2.对数函数的运算性质：- loga(xy) = loga(x) + loga(y)；- loga(x^y) = y * loga(x)；- loga(x/y) = loga(x) - loga(y)；- loga(1) = 0，其中a≠0。
四、指数函数和对数函数的应用1.指数函数在生活中的应用：-经济增长模型中的应用；-指数衰减与物质的半衰期计算；-大自然中的指数增长现象。
2.对数函数在生活中的应用：-pH值的计算；-放大器的功率增益计算；-数字音乐的音量计算。
综上所述，指数函数和对数函数是高中数学必修一中的重要知识点。
掌握了指数函数和对数函数的基本形式、性质以及运算规律，能够理解其图像特征和在实际问题中的应用。
指数函数与对数函数例题和知识点总结
指数函数与对数函数例题和知识点总结一、指数函数的定义与性质指数函数的一般形式为$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。
其中，底数$a$决定了函数的性质。
当$a ＞ 1$时，函数单调递增；当$0 ＜ a ＜ 1$时，函数单调递减。
指数函数的定义域为$R$，值域为$（0, ＋＼infty)＄。
例如，函数$y ＝ 2^x$是一个底数为$2$（大于$1$）的指数函数，它在$R$上单调递增。
二、对数函数的定义与性质对数函数是指数函数的反函数，一般形式为$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。
其中，对数的底数$a$同样决定了函数的性质。
当$a ＞ 1$时，函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递增；当$0 ＜ a ＜1$时，函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递减。
对数函数的定义域为$（0, ＋＼infty)＄，值域为$R$。
例如，函数$y ＝＼log_2 x$是一个底数为$2$（大于$1$）的对数函数，它在$（0, ＋＼infty)＄上单调递增。
三、指数函数与对数函数的图象指数函数$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）的图象特点：当$a ＞ 1$时，图象过点$（0, 1)＄，从左到右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图象过点$（0, 1)＄，从左到右逐渐下降。
对数函数$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）的图象特点：当$a ＞ 1$时，图象过点$（1, 0)＄，从左到右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图象过点$（1, 0)＄，从左到右逐渐下降。
四、指数运算与对数运算的性质指数运算性质：1、＄a^m ＼times a^n ＝ a^｛m ＋ n}＄2、＄＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＄3、＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄4、＄a^0 ＝ 1$（＄a ≠ 0$）对数运算性质：1、＄＼log_a （MN) ＝＼log_a M ＋＼log_a N$2、＄＼log_a ＼frac{M}｛N} ＝＼log_a M ＼log_a N$3、＄＼log_a M^n ＝ n ＼log_a M$4、＄＼log_a a ＝ 1$5、＄＼log_a 1 ＝ 0$五、例题分析例 1：比较大小比较$2^｛03}＄和$03^2$的大小。
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数与对数函数知识点总结一、指数函数1、指数函数的定义一般地，函数\（y ＝ a^x\）（＼（a ＞ 0\）且\（a ≠ 1\））叫做指数函数，其中\（x\）是自变量，函数的定义域是\（R\）。
需要注意的是，底数\（a\）的取值范围，当\（a ＝ 1\）时，函数就变成了\（y ＝ 1^x ＝ 1\），是一个常函数，不符合指数函数的定义；当\（a ＜ 0\）时，对于某些\（x\）的值，＼（a^x\）无意义，比如\（（－2)＾｛＼frac{1}｛2}｝＼）就没有实数解。
2、指数函数的图象当\（a ＞ 1\）时，指数函数\（y ＝ a^x\）的图象是上升的，经过点\（（0, 1)＼），在\（R\）上单调递增；当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，指数函数\（y ＝ a^x\）的图象是下降的，经过点\（（0, 1)＼），在\（R\）上单调递减。
我们可以通过几个特殊的点，比如\（（0, 1)＼）、＼（（1, a)＼）、＼（（－1, ＼frac{1}｛a}）＼）等来大致描绘指数函数的图象。
3、指数函数的性质（1）定义域：＼（R\）（2）值域：＼（（0, ＋∞）＼）（3）恒过定点\（（0, 1)＼）（4）单调性：当\（a ＞ 1\）时，在\（R\）上单调递增；当\（0 ＜a ＜ 1\）时，在\（R\）上单调递减（5）函数值的变化情况当\（a ＞ 1\）时，若\（x ＞ 0\），则\（a^x ＞ 1\）；若\（x ＝ 0\），则\（a^x ＝ 1\）；若\（x ＜ 0\），则\（0 ＜ a^x ＜ 1\）。
当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，若\（x ＞ 0\），则\（0 ＜ a^x ＜ 1\）；若\（x ＝ 0\），则\（a^x ＝ 1\）；若\（x ＜ 0\），则\（a^x ＞ 1\）。
4、指数运算的性质（1）＼（a^m × a^n ＝ a^｛m ＋ n}＼）（2）＼（＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＼）（＼（a ≠ 0\））（3）＼（（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＼）（4）＼（（ab)＾n ＝ a^n b^n\）这些运算性质在化简指数表达式和进行指数运算时经常用到。
数学高一专题 指数函数与对数函数
数学高一专题 指数函数与对数函数一、指数函数：一般地，形如y=a x (a>0且a≠1) (x ∈R)的函数叫做指数函数。
也就是说以指数为自变量，底数为大于0且不等于1的常量的函数称为指数函数，它是初等函数中的一种。
（1）由指数函数y=a x 与直线x=1相交于点（1，a )可知：在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
（2）由指数函数y=a x 与直线x=-1相交于点（-1，a1）可知：在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y 轴右边“底大图高”；在y 轴左边“底大图低”。
（如右图）。
(4)与的图像关于y 轴对称。
二、对数函数：对数的定义：一般地，函数y=logax （a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
值域：实数集R ，显然对数函数无界。
定点：函数图像恒过定点（1，0）。
单调性：a >1时，在定义域上为单调增函数； 0<a <1时，在定义域上为单调减函数。
奇偶性：非奇非偶函数 周期性：不是周期函数对称性：无 最值：无 零点：x=1 注意：负数和0没有对数。
运算换底公式三、区别与联系：6)一般地，指数函数y＝a x在a＞1和0＜a＜1的情况下，它的图像特征和函数性质如下表所示．②值域：)③过点时y＝1题型一：基础回顾1．若函数y ＝x 2＋bx ＋c(x ∈[0，＋∞))是单调函数，则实数b 的取值范围是( ) A ．b ≥0 B ．b ≤0 C ．b>0 D ．b<0 2.若，则． 3.若，则．变式练习6．(2016·福州模拟)若f(x)是幂函数，且满足f （4）f （2）＝3，则f(12)＝( )A ．3B ．－3 C.13D ．－137．(2016·陕西宝鸡中学期中)设a ＝20.1，b ＝ln 52，c ＝log 3910，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b>c>aB ．a>c>bC ．b>a>cD ．a>b>c8．(2014·山东理)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a<1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1>1y 2＋1 B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sinx>siny D ．x 3>y 35．设a ＜b ，函数y ＝(x －a)2(x －b)的图像可能是( )9．(2015·安徽文)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝lnx B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝sinxD ．y ＝cosx10．对于定义在R 上的任意奇函数f(x)，均有( ) A ．f(x)－f(－x)>0 B ．f(x)－f(－x)≤0 C ．f(x)·f(－x)>0D ．f(x)·f(－x)≤011．(2016·山东师大附中月考)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为( )A ．y ＝cos2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x|，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝x|x|，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R题型二：技能拓展1．设函数f(x)＝|x ＋1|＋|x ＋2|－a. (1)当a ＝5时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R ，试求a 的取值范围． 变式练习2.若函数f(x)＝e xx 2＋ax ＋a的定义域为R ，求实数a 的取值范围．3．已知函数y ＝log 21(x 2－ax ＋a)在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a 的取值范围．1.．(2016·山东理)已知[x]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x 0是函数f(x)＝lnx －2x 的零点，则[x 0]等于________．2．(2015·福建理)若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x>2(a>0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，求实数a 的取值范围3.(2014.安徽理）已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f(x ＋2)＝－f(x)，且当x ∈[0，2)时，f(x)＝log 2(x ＋1)，求： (1)f(0)与f(2)的值； (2)f(3)的值；(3)f(2 013)＋f(－2 014)的值．课后练习1．(2014·上海理)设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x>0.若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2]2．函数y ＝|x|（x －1）的定义域为( ) A ．{x|x ≥1} B ．{x|x ≥1或x ＝0} C ．{x|x ≥0} D ．{x|x ＝0}3．若函数y ＝x 2－4x 的定义域是{x|1≤x<5，x ∈N }，则其值域为( ) A ．[－3，5) B ．[－4，5) C ．{－4，－3，0}D ．{0，1，2，3，4} 4．已知函数f(x)＝－x 2＋4x 在区间[m ，n]上的值域是[－5，4]，则m ＋n 的取值范围是( ) A ．[1，7] B ．[1，6] C ．[－1，1] D ．[0，6]1．(2014·天津理)函数()()4log 221-=x x f 的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)2．若0<a<1，则在区间(0，1)上函数f(x)＝log a (x ＋1)是( ) A ．增函数且f(x)>0 B ．增函数且f(x)<0 C ．减函数且f(x)>0D ．减函数且f(x)<03．(2016·江南十校联考)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x>0.若f(a)＝4，则实数a ＝( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或24．(2016·沧州七校联考)下列函数中，与函数y ＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x|C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－15．下列四个数中最大的是( ) A ．(ln2)2 B ．ln(ln2) C ．ln 2D ．ln2 6．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图像过原点，则g(x)的解析式为( ) A ．g(x)＝2x 2－3x B ．g(x)＝3x 2－2x C ．g(x)＝3x 2＋2xD ．g(x)＝－3x 2－2x7．若函数f(x)＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围。
指数函数和对数函数
指数函数和对数函数是高中数学数学分析中较为重要的函数类型，它们不仅常见于数学领域，而且广泛应用于科学、工程等多个领域。
本文将引导读者了解的定义、性质、应用以及它们之间的联系。
一、指数函数指数函数可以被定义为具有形式$f(x)=a^x$的函数，其中a是正的常数，x可以是任何实数。
指数函数的图像通常表现出指数增长或指数衰减的特征，根据a的不同取值，可以分为指数增长和指数衰减两种情况。
例如，当a>1时，函数f(x)=a^x会不断增长，当0<a<1时，函数会不断衰减。
特别地，当a=1时，函数f(x)=1^x 恒等于1。
指数函数的常用性质有:1.当a>1时，指数函数在定义域上单调递增，并且在x=0处的值恒为1；当0<a<1时，指数函数在定义域上单调递减，且在x=0处的值恒为1.2.指数函数的导数也是指数函数，即[latex]\frac{d}{dx}a^x[latex]=a^x \times ln(a)3.指数函数f(x)=a^x是以a为底的幂函数f(x)=b^x的反函数，即f^{-1}(x)=log_a(x)指数函数与对数函数有着密切联系。
下面我们将介绍对数函数。
二、对数函数对数函数一般表示为g(x)=log_a (x)，其中a是正实数，且a ≠ 1，x是正实数。
对数函数的图像表现为一条光滑曲线，通常在a>1的时候，曲线向上迅速爬升，而在a<1的时候，曲线向下迅速下降。
对数函数的常用性质有:1.定义域为(x,∞)；值域为(-∞,∞)2.当x=a 时，g(x)=13.当x>1时，log_a (x) > 0；当0<x<1时，log_a (x) < 04.对数函数g(x)=log_a(x)是指数函数f(x)=a^x的反函数，即a^{g(x)} = x三、指数函数的应用指数函数在生态学、生物学、物理学、经济学、金融学等多个领域有广泛应用。
指数函数和对数函数知识点总结
指数函数和对数函数知识点总结一、指数函数：1.基本概念：指数函数是形如y=a^x（a>0，且a≠1）的函数，其中a称为底数，x 称为指数，a^x称为底数a的x次幂。
2.基本性质：（1）a^0=1，任何数的0次幂等于1；（2）a^x*a^y=a^(x+y)，相同底数的指数幂相乘，底数不变，指数相加；（3）a^x÷a^y=a^(x-y)，相同底数的指数幂相除，底数不变，指数相减；（4）(a^x)^y=a^(x*y)，指数幂的乘积再乘方，指数相乘；（5）a^(-x)=1/(a^x)，任何数的负指数满足倒数规律。
3.常见指数函数：（1）指数函数y=2^x：以2为底的指数函数，可以用来描述2的x 次幂关系，是一种常见的指数型增长函数，图像逐渐向上凸起。
二、对数函数：1.基本概念：对数函数是指y=loga(x)，其中a>0，且a≠1，a称为底数，x称为真数，y称为以a为底x的对数。
2.基本性质：（1）loga(1)=0，底数为任何正数时，1的对数都是0；（2）loga(a)=1，底数为任何正数时，底数的对数都是1；（3）loga (x*y) = loga(x) + loga(y)，对数相乘，真数取乘积，对数相加；（4）loga (x/y) = loga(x) - loga(y)，对数相除，真数取商，对数相减；（5）loga(x^k) = k * loga(x)，对数乘方，真数取底数的k次方，对数乘以指数。
3.常见对数函数：（1）常用对数函数：y=log10(x)，其中底数为10，对数函数可以简写为y=log(x)。
常用对数函数是以10为底的对数函数，输入一个正实数x，输出满足10^y=x的y值。
（2）自然对数函数：y=ln(x)，其中底数为e。
自然对数函数是以e 为底的对数函数，输入一个正实数x，输出满足e^y=x的y值。
三、指数函数与对数函数的关系：四、指数函数与对数函数的应用：1.科学中的指数增长：指数函数常常用于描述原子衰变、细胞分裂和放射性物质的衰变等过程。
指数函数和对数函数
指数函数和对数函数指数函数和对数函数是高中数学中重要的两个函数类型。
它们在数学和实际应用中具有广泛的作用和重要性。
本文将介绍指数函数和对数函数的定义、性质以及它们在数学和实际中的应用。
一、指数函数指数函数是以底数为常数且指数为自变量的函数。
一般形式为 y =a^x，其中 a 是底数，x 是指数，y 是函数值。
指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。
指数函数的特点是当底数大于 1 时，随着指数的增加，函数值增加；当底数小于 1 且大于 0 时，随着指数的增加，函数值减小。
当底数为 1 时，指数函数为 y = 1，是一个常函数。
指数函数在数学中有广泛的应用，例如在复利计算、人口增长和物质衰变等方面。
在实际应用中，指数函数也常用于描述增长或衰变速度较快的现象，如病菌增长和药物浓度的降解等。
二、对数函数对数函数是指数函数的逆运算。
对数函数的一般形式为y = logₐ(x)，其中 a 是底数，y 是指数，x 是函数值。
对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
对数函数的特点是当底数大于 1 时，随着函数值的增加，指数也增加；当底数小于 1 且大于 0 时，随着函数值的增加，指数逐渐变小。
对数函数在数学中有广泛的应用，特别是在解决指数方程和指数不等式时常被用到，例如求解 2^x = 8 的 x 值时，可以通过对数函数得到log₂(x) = log₂(8)，进而得到 x = 3。
在实际应用中，对数函数也常用于衡量物质的浓度、信号的强度和地震的能量等。
三、指数函数与对数函数的性质和关系1. 指数函数和对数函数是互为反函数的关系，即 y = a^x 和 x =logₐ(y) 互为反函数。
2. 指数函数和对数函数具有对称性，即 a^x 和logₐ(x) 以直线 y = x为对称轴对称。
3. 指数函数和对数函数的图像都经过点 (1, a)，其中 a 是底数。
4. 指数函数和对数函数的增长速度都与底数 a 的大小相关，当 a 大于 1 时，函数增长速度较快，当 a 小于 1 且大于 0 时，函数增长速度较慢。
指数函数与对数函数
指数函数与对数函数指数函数与对数函数是高中数学中重要的函数之一，它们在数学中具有广泛的应用。
本文将介绍指数函数与对数函数的定义、性质以及它们之间的关系。
一、指数函数的定义与性质指数函数是以底数为正实数的幂的函数，即f(x)=a^x，其中a>0且a≠1。
指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。
1. 指数函数的单调性：当底数a>1时，指数函数是严格递增函数；当底数02. 指数函数的特殊值：当x=0时，任何底数的指数函数等于1，即a^0=1；当a>0且a≠1时，当x→+∞时，指数函数趋于正无穷大；当a>0且a≠1时，当x→-∞时，指数函数趋于正零。
3. 指数函数的性质：指数函数具有复合函数性质，即a^x=a^(p·q)=（a^p）^q。
指数函数还具有指数法则：a^m·a^n=a^(m+n)、(a^m)^n=a^(m·n)、(a·b)^n=a^n·b^n。
二、对数函数的定义与性质对数函数是指以某个正实数为底的指数函数的反函数，即f(x)=log<sub>a</sub>x，其中a>0且a≠1。
对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
1. 对数函数的单调性：对数函数是严格递增函数，即x<y，则log<sub>a</sub>x2. 对数函数的特殊值：当x=1时，任何底数的对数函数等于0，即log<sub>a</sub>1=0；当x=a>0且a≠1时，log<sub>a</sub>a=1。
3. 对数函数的性质：对数函数的基本性质是a^log<sub>a</sub>x=x。
对数函数还具有对数法则：log<sub>a</sub>(x·y)=log<sub>a</sub>x+log<sub>a</sub>y、log<sub>a</sub>(x/y)=log<sub>a</sub>x-log<sub>a</sub>y、log<sub>a</sub>x<sup>n</sup>=n·log<sub>a</sub>x。
高一数学必修一第四章指数函数与对数函数
高一数学必修一第四章指数函数与对数函数指数函数和对数函数是高中数学中重要的两个函数，也是高一数学必修一中第四章需要掌握的重点内容。
在本章中，我们将深入了解指数函数和对数函数之间的关系，以及它们在日常生活中的广泛运用。
首先，让我们来回顾一下指数函数的定义，指数函数是以一个特定的基数为底的函数，它可以表示当x变化时会随之改变的一种量的数学表示。
指数函数的形式为 y = ax，这里的a是基数，当a = 1时，指数函数称为底数为1的单调函数。
指数函数在实际应用中有广泛的用途，例如在我们日常生活中，我们会碰到“一年涨三分”，“一年贴现百分之十”等概念，都属于指数函数的范畴。
接着，我们再来讨论一下对数函数，它的定义是以指数函数的反函数，它的形式为 y = logax，其中a又称为对数的底数。
在日常生活中，我们会经常碰到对数函数的应用，例如我们可以使用它来计算发动机的功率，照明强度，声音等等。
另外，指数函数和对数函数之间也有着重要的联系，它们之间具有逆函数关系，即y = axy = logax两个函数可以相互替换，也就是说当a是一个正数时，其两个函数的函数图形是可以经过对称轴翻转后对号入座的。
除此之外，我们还可以运用指数函数和对数函数中的经典公式来解决实际问题，例如以水的分解为例，水的分解可以用以下的指数函数公式来表示：
n = a1 + a2，其中a1代表水的分解率，a2是水的生成率。
当
a1等于2时，这个公式就可以转换为一个对数函数的形式：n = log2a2。
总之，指数函数和对数函数在实际应用中都是极为重要的，它们之间也存在着紧密的联系，它们被广泛地运用在人们日常生活中，而且也可以利用它们来解决实际问题。
2021年人教版高一数学必修一第4单元 指数函数与对数函数(讲解和习题)
人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数（讲解和习题）基础知识讲解一．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【基础知识】1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）【技巧方法】①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．①规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．二．指数函数的图象与性质【基础知识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 （0，+∞） 性质过定点（0，1）当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数2、底数与指数函数关系①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a ＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；同样地，当0＜a ＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴． ①底数对函数值的影响如图．①当a ＞0，且a ≠l 时，函数y ＝a x 与函数y ＝的图象关于y 轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．三．二次函数的性质与图象【二次函数】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函数的性质】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式①＝b2﹣4ac，当①＝0时，函数与x轴只有一个交点；①＞0时，与x轴有两个交点；当①＜0时无交点．①根与系数的关系．若①≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；①二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；四．指数型复合函数的性质及应用【基础知识】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．五．指数函数的单调性与特殊点【基础知识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．六．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．七．指数式与对数式的互化【基础知识】a b＝N①log aN＝b；指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）a f（x）＝b①f（x）＝log a b；log a f（x）＝b①f（x）＝a b（定义法）（2）a f（x）＝a g（x）①f（x）＝g（x）；log a f（x）＝log a g（x）①f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）a f（x）＝b g（x）①f（x）log m a＝g（x）log m b；（两边取对数法）（4）log a f（x）＝log b g（x）①log a f（x）＝；（换底法）（5）A log x+B log a x+C＝0（A（a x）2+Ba x+C＝0）（设t＝log a x或t＝a x）（换元法）八．对数的运算性质【基础知识】对数的性质：①＝N；①log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．九．换底公式的应用【基础知识】换底公式及换底性质：（1）log a N＝（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）log a b＝，（3）log a b•log b c＝log a c，十．对数函数的定义域【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．十一．对数函数的值域与最值【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）十二．对数值大小的比较【基础知识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）十三．对数函数的单调性与特殊点【基础知识】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝log a x在（0，+∞）上为增函数当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在（0，+∞）上为减函数 2、特殊点对数函数恒过点（1，0）十四．对数函数图象与性质的综合应用 【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a ＞10＜a ＜1图象定义域 （0，+∞）值域 R 定点 过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1，y ＜0当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【技巧方法】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十五．指数函数与对数函数的关系【基础知识】指数函数和对数函数的关系：（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：十六．反函数【基础知识】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x①A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y①C）叫做函数y＝f（x）（x①A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f （﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C（其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．十七．对数函数图象与性质的综合应用【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a＞10＜a＜1图象定义域（0，+∞）值域R定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【解题方法点拨】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十八．函数的零点【基础知识】一般地，对于函数y＝f（x）（x①R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f （x）（x①D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．十九．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．【技巧方法】（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．二十．函数的零点与方程根的关系【基础知识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．二十一. 二分法【基础知识】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．习题演练一．选择题（共12小题）1．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞C ．()0,1D ．()(),01,-∞⋃+∞2．下列式子计算正确的是（ ） A ．m 3•m 2＝m 6 B ．（﹣m ）2＝21m - C ．m 2+m 2＝2m 2D ．（m +n ）2＝m 2+n 23．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．设2,8()(8),8x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(17)f =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．函数13x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．()0,2-B ．()1,3--C ．()0,3-D ．()1,2--6．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+7．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9．函数()2xf 的定义域为[1,1]-，则()2log y f x =的定义域为（ ）A ．[1,1]-B．C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[1,4]10．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减11．已知函数()ln 1,01,0xx x f x e x ⎧+>=⎨+≤⎩，()22g x x x =--，若方程()()0f g x a -=有4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．(]0,1C ．(]1,2D ．[)2,+∞12．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭二．填空题（共6小题）13．计算：13021lg8lg 25327e -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．14．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 15．已知当(]1,2x ∈时，不等式()21log a x x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为________.16．若关于x 的方程11224a x x =-++-的解集为空集，求实数a 的取值范围______. 17．已知函数223,3()818,3x x f x x x x -⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数为_________．18．已知定义在R 上的函数()f x 满1(2)()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，()x f x x e =+，则(2019)f =_______.三．解析题（共6小题）19．已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<.（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点；（3）若函数()f x 的最小值为－4，求a 的值.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.21．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f . (1)求a 的值；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.22．已知实数0a >，定义域为R 的函数()x x e af x a e=+是偶函数，其中e 为自然对数的底数．（①）求实数a 值；（①）判断该函数()f x 在(0,)+∞上的单调性并用定义证明；（①）是否存在实数m ，使得对任意的t R ∈，不等式(2)(2)f t f t m -<-恒成立．若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．23．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >． （1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x xf -<．24．甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系如图(2)所示.（1）（2）（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式()P f t =，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式()Q g t =及日销售金额M （元）与时间的函数关系式()M h t =. （2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N （元）与时间t （天）之间的函数关系式为22102750N t t =--+，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。
高中数学中的指数函数与对数函数
高中数学中的指数函数与对数函数指数函数和对数函数是高中数学中非常重要的概念。
指数函数是基于指数的函数关系，而对数函数则是指数函数的逆运算。
本文将从定义、性质和应用等方面综述高中数学中的指数函数与对数函数。
一、指数函数的定义与性质指数函数是以自然常数e为底的幂函数，其一般形式为 f(x) = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1，x为自变量，f(x)为因变量。
指数函数的定义中，底数a决定了函数的增长速度。
当0＜a＜1时，指数函数呈现递减趋势；当a＞1时，指数函数呈现递增趋势。
指数函数的性质包括：1. 任何指数函数f(x) = a^x都有f(0) = 1的性质，即对数轴上的横坐标为0处的函数值为1。
2. 指数函数的图像具有一定的对称性质，其对称轴为直线x = 0。
3. 当x1 < x2时，若指数函数f(x)的底数a ＞ 1，则f(x1)＜f(x2)；若指数函数f(x)的底数0 ＜ a ＜ 1，则f(x1)＞f(x2)。
二、对数函数的定义与性质对数函数是指数函数的逆运算。
设b是一个正实数且b ≠ 1，对数函数的一般形式为 f(x) = logb(x)，其中x是正实数。
对数函数的定义中，底数b决定了函数的特性。
当0 ＜ b ＜ 1时，对数函数具有递增趋势；当b ＞ 1时，对数函数具有递减趋势。
对数函数的性质包括：1. 任何对数函数f(x) = logb(x)都有f(1) = 0的性质，即对数轴上的横坐标为1处的函数值为0。
2. 对数函数的图像具有一定的对称性质，其对称轴为直线y = x。
3. 当x1 < x2时，若对数函数f(x)的底数b ＞ 1，则f(x1) ＞ f(x2)；若对数函数f(x)的底数0 ＜ b ＜ 1，则f(x1) ＜ f(x2)。
三、指数函数与对数函数的应用指数函数和对数函数在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下列举几个典型的应用场景：1. 经济增长模型：许多经济增长模型是基于指数函数的增长模式，例如Solow模型和经济增长中的人口增长模型。
指数函数和对数函数知识点总结
指数函数和对数函数知识点总结一、指数函数的定义和性质1.定义：指数函数是以一些正数a为底数的函数，形式为f(x)=a^x，其中a>0且a≠1、指数函数的定义域为实数集R，值域为正数集(0,+∞)。
2.指数函数的性质：(1)当a>1时，指数函数是递增函数；当0<a<1时，指数函数是递减函数。
(2)指数函数的图像在直线y=0上方，且与y轴渐近。
(3) 指数函数的反函数是对数函数，即 f(x) = a^x 的反函数是 g(x) = logₐ(x)。
(4)指数函数的图像在(0,+∞)上是光滑的连续曲线。
3.常见的指数函数：(2)以10为底的指数函数：记作f(x)=10^x。
在计算科学领域中经常使用。
(3)以2为底的指数函数：记作f(x)=2^x。
在计算机科学和信息技术领域中广泛应用。
二、对数函数的定义和性质1. 定义：对数函数是指数函数的反函数，形式为 f(x) = logₐ(x)，其中 a>0 且a ≠ 1、对数函数的定义域为正数集(0,+∞)，值域为实数集 R。
2.对数函数的性质：(1)对数函数的图像与指数函数的图像关于直线y=x对称。
(2)当0<a<1时，对数函数是递增函数；当a>1时，对数函数是递减函数。
(3)对数函数的图像在x轴正半轴上方，且与x轴渐近。
(4) 对数函数的反函数是指数函数，即 f(x) = logₐ(x) 的反函数是g(x) = a^x。
(5) 对数函数的特殊性质：logₐ(1) = 0，logₐ(a) = 1，logₐ(a^x) = x。
3.常见的对数函数：(2) 以 10 为底的对数函数：记作 f(x) = log₁₀(x)。
在计算科学领域中经常使用。
(3) 以 2 为底的对数函数：记作 f(x) = log₂(x)。
在计算机科学和信息技术领域中广泛应用。
三、指数函数和对数函数的应用1.指数函数的应用：(1)复利计算：复利计算公式中的指数函数可以用来计算存款利息、投资收益等。
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15
a3 a6
③
；
1
a2
a3 a4
④
。
a2 a2
第1页共9页
111
本题解答：① a 3 a 2 a 6
111
a3 2 6
231
a6 6 6
6
a6
1
a ；②
aa
1
2 2
a3 a3
1( 1 )
a 2 12 a3 3
1
a2 a
1
a2
a1
1 ( 1)
a2
1
a2
；
15
a3 a6
③ 1 a2
31
a4 3
11
a 10
13
a 12
11 13
a10 12
1
a 60 。
题型五：化简下列代数式。
① a；
②3 4 a ；
③ 5 a；
④5 3 a 。
本题解答：①
a
1
a2
11
(a 2 )2
a 11 22
1
a4
11
(a 4 )2
a11 42
1
a8 。
②3 4
a
3
4
1
a2
3
11
(a 2 )4
3
11
a2 4
3
1
a8
11
(a8 )3
a11 83
1
a 24 。
1
11
11
1
③ 5 a a 5 (a 5 ) 2 a 5 2 a10 。
④5
3
a
5
1
a3
11
(a3 )5
11
a3 5
1
a15 。
题型六：化简下列代数式。
x 3 2
①；
y3
x2 y
②
；
3 x4 y
x2 3 y2 x3 y
15
a3 6 1 a2
7
a6 1 a2
a 7(1) 62
10
a6
a
5 3
；④
a3 a2
a 4 a2
a3(4) a 2(2)
a1 a0
a1 1
a1 。
题型四：化简下列代数式。
① 3 a a 5 a2 4 a3 ；
a a3
②
；
3 a2 5 a3
a3 5 a2
③
；
a a5
5 a3 a
；④
1 35
1
1
53
1
5 3 ；⑤
1
2 3 5
1 1 (25 )3
1 5 1 23
1 5 23
5
2 3；
⑥
(4
1 75 )3
1 1 [(75 ) 4 ]3
1
5
(7
1 4
)3
1
5
(7 4 )3
1
5 3
74
1
15
74
15
7 4 。
题型三：化简下列代数式。
111
①a3 a2 a6 ；
a
a
1 2
②
；
12
a3 a3
题型一：把下列根号写成指数幂的形式。
①3 2 ；
② 7；
③ 3 32 ；
④ 25 ；
⑤ (3 6)2 ；
⑥ (4 53 )5 。
1
本题解答：① 3 2 23 ；②
7
1
72
；③ 3
32
1
(32 )3
321 3
2
33 ；④
25
1
(25 )2
251 2
5
22 ；
⑤ (3
6)2
1
(63 )2
2 1
a a 2
5
a
a
5
1 2
32
a2 a5 5 aa2
32
a2 5 1 5 a2
19
a10 7 a2
19 7
8
a10 2 a 5 。
5
④
4
a3 a3 3
a a
11
(a3)5 a 2
11
(a3)4 a3
a a 31
1
52
a a 31
1
43
31
a5 a2
31
a4 a3
31
a5 2
④
。
4 a3 3 a
本题解答：① 3 a
a 5
a2 4
a3
11
1
1
a3 a 2 (a2 )5 (a3)4
1
a3
1
a2
a 21 5
a4
1123
20 30 24 45
119
a a a 3 2 5 4
60 60 60 60
60 。
②
3
a a3 a2 5 a3
x3 1 (y3 )2
x3
12
y3
x3
2
y3
x3
2
y3
。
(3 x2 y)3
④
(x2 3 y)2
第一部分：指数的关系式
第一部分：指数的基本关系式。
关系式一
ax a y axy
关系式二
ax ay
axy
关系式三
(a x ) y a xy
第二部分：指数的乘除关系式。
关系式一
(a b)x axbx
关系式二
(a)x b
ax bx
第三部分：特殊指数运算。 关系式一
关系式二
ax 1 ax
1
x a ax
1
2
2
5
13
x2 y3 2
5
1
x2 y2 5 11
x2 y 6
1
y2
11
y6
1 11
y2 6
4
y3
。
题型七：化简下列代数式。
① (3 x y )5 ；
(x2 y3)2
②
；
(x3 y)3
③ ( x3 )2 ； 3y
(3 x2 y)3
④
。
(x2 3 y)2
本题解答：① (3 x
y )5 (3 x )5 (
1
1
a 2 (a3)2
1
1
(a2 )3 (a3)5
a a 1
3 1
2
2
a a 21
3 1
3
5
13
a2 a2 23 a3 a5
13
a2 2 23 a3 5
a2 19 a 15
a 219 15
11
a15 。
③
a3 5 a2 a a5
1
1
(a3)2 (a2 )5 1
a (a5)2
3 1
x y 2 4
1 1
3
2
21
x3 y2 ；
x2 3
③
y2 x 3
x3 y y4
1
1
x2 (y2)3 (x3)2 y
1
1
x2 (y4)3
x2
2 1
y3
3 1
x2
y
x y 1
4 1
2
3
23
x2 y3 x2 y
1
4
x2 y3
3
2
x2 x2 y3 y
1
4
x2 y3
x y 2 3
612 3
2
6 3 ；⑥ (4
53 )5
1
[(53 ) 4 ]5
3 1
(5 4
)5
3
(54 )5
535 4
15
54
。
题型二：把下列数字写成指数幂的形式。
1
①；
3
1
②；
25
1
③；
3
1
④；
35
1
⑤；
2 3 5
1
⑥
。
(4 75 )3
本题解答：①
1 3
31
；②
1 25
25 ；③
1 1
3
1
32
3
1 2
2 1
2
3
1
4
x2 y3
7
5
7
5
x2 y3
1
4
x2
1
y3 4
x y 7 1
54
22
33
1
x3 y3 。
x2 y3 x2 y3
④
x x5 3
y x2 y y3
1
1
x2 y2 x2
1
1
1
(x5)2 y3 (y3)2
1
1
x2 x2 y2
x y y 51
1
3 1
2
3
2
x y 1 2
y )5
1
(x3 )5
1
( y 2 )5
15
x3
1 5
y2
5
x3
5
y2
。
(x2 y3)2
②
(x3 y)3
(x2)2 (y3)2 (x3)3 y3
x y 22 32 x33 y3
x4 y6 x9 y3
x4 x9
y6 y3
x y 49 63
x5 y3 。
③( 3
x3 )2 y
( (3
x3 )2 y )2
③
；
x 3 y4
3
本题解答：①
x2 y3
1
(x2)3 1 (y3)2
2 1