高中数学人教A版必修四课时训练：第二章 章末复习课2 Word版含答案
人教版高中数学必修4课后习题答案(截取自教师用书)(2021年整理)
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高中数学人教A版必修四课时训练 第二章 平面向量 章末检测(B) Word版含答案
第二章平面向量()(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．已知向量＝()，＝()，且∥，则的值是()．－．．．．下列命题正确的是()．单位向量都相等．若与共线，与共线，则与共线．若＋＝－，则·＝．若与都是单位向量，则·＝.．设向量＝(－，＋)，＝(＋，－)，若与的夹角大于°，则实数的取值范围是()．(－，)．(－∞，－)∪(，＋∞)．(－，)．(－∞，)∪(，＋∞)．平行四边形中，为一条对角线，若＝()，＝()，则·等于()．．．－．－．已知＝，＝，·(－)＝，则向量与向量的夹角是()．关于平面向量，，，有下列四个命题：①若∥，≠，则存在λ∈，使得＝λ；②若·＝，则＝或＝；③存在不全为零的实数λ，μ使得＝λ＋μ；④若·＝·，则⊥(－)．其中正确的命题是()．①③．①④．②③．②④．已知＝，＝，且·＝－，则向量在向量上的投影等于()．－．．－．设，，，为平面上四点，＝λ＋(－λ)·，且λ∈()，则()．点在线段上．点在线段上．点在线段上．，，，四点共线．是△内的一点，＝(＋)，则△的面积与△的面积之比为()．．．．在△中，＝，＝，若＝＋，则＋等于()．．已知＋＋＝，且＝＝＝，则·(＋)等于()．－．－．．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的＝(，)，＝(，)，令⊙＝－.下面说法错误的是()．若与共线，则⊙＝．⊙＝⊙．对任意的λ∈，有(λ)⊙＝λ(⊙)．(⊙)＋(·)＝题号答案二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．设向量＝()，＝()，若向量λ＋与向量＝(－，－)共线，则λ＝.．，的夹角为°，＝，＝，则－＝.．已知向量＝()，＝(－，)，直线过点(，－)，且与向量＋垂直，则直线的方程为．．已知向量＝()，＝()，＝()，设是直线上任意一点(为坐标原点)，则·的最小值为．三、解答题(本大题共小题，共分)。
高中人教A版数学必修4：第二章 章末检测 Word版含解析
第二章章末检测班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列各式叙述不正确的是( ) A ．若a ＝λ b ，则a 、b 共线B ．若b ＝3a (a 为非零向量)，则a 、b 共线C ．若m ＝3a ＋4b ，n ＝32a －2b ，则m ∥nD ．若a ＋b ＋c ＝0，则a ＋b ＝－c 答案：C解析：根据共线向量定理及向量的线性运算易解．2．已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( ) A ．|a |＝a ·a B ．|a ·b |＝|a |·|b | C ．λ(a ·b )＝λa ·b D ．|a ·b |≤|a |·|b | 答案：B 解析：|a ·b |＝|a |·|b ||cos θ|，只有a 与b 共线时，才有|a ·b |＝|a ||b |，可知B 是错误的．3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 答案：A解析：AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD → 答案：A解析：由于2OA →＋OB →＋OC →＝0，则OB →＋OC →＝－2OA →＝2AO →.所以12(OB →＋OC →)＝AO →，又D 为BC 边中点，所以OD →＝12(OB →＋OC →)．所以AO →＝OD →.5．若|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案：C解析：a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝1×6×cos θ－1＝2，cos θ＝12，θ∈[0，π]，故θ＝π3.6．若四边形ABCD 满足：AB →＋CD →＝0，(AB →＋DA →)⊥AC →，则该四边形一定是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．直角梯形 答案：B解析：由AB →＋CD →＝0⇒AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，即四边形ABCD 是平行四边形，又(AB →＋DA →)⊥AC →⇒AC →⊥DB →，所以四边形ABCD 是菱形．7．给定两个向量a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，若(a ＋x b )⊥(a －b )，则x 等于( ) A.1327 B.132 C.133 D.727 答案：D解析：a ＋x b ＝(2,1)＋(－3x,4x )＝(2－3x,1＋4x )，a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，∵(a＋x b )⊥(a －b )，∴(2－3x )·5＋(1＋4x )·(－3)＝0，∴x ＝727.8．如图所示，在重600N 的物体上拴两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A ．300 3N,300 3NB ．150N,150NC ．300 3N,300ND ．300N,300N 答案：C解析：如图：作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，|OA →|＝|OC →|cos30°＝300 3N.|OB |→＝|OC →|sin30°＝300N.9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：C解析：由条件知|a |＝5，|b |＝25，a ＋b ＝(－1，－2)，∴|a ＋b |＝5，∵(a ＋b )·c ＝52，∴5×5·cos θ＝52，其中θ为a ＋b 与c 的夹角，∴θ＝60°，∵a ＋b ＝－a ，∴a ＋b 与a 方向相反，∴a 与c 的夹角为120°.10．若向量AB →＝(1，－2)，n ＝(1,3)，且n ·AC →＝6，则n ·BC →等于( ) A ．－8 B ．9 C ．－10 D ．11 答案：D解析：n ·AB →＝1－6＝－5，n ·AC →＝n ·(AB →＋BC →)＝n ·AB →＋n ·BC →＝6，∴n ·BC →＝11.11．在边长为1的正三角形ABC 中，BD →＝13BA →，E 是CA 的中点，则CD →·BE →等于( )A ．－12B ．－23C ．－13D ．－16答案：A解析：建立如图所示的直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B ⎝⎛⎭⎫12，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，依题意设D (x 1,0)，E (x 2，y 2)，∵BD →＝13BA →，∴⎝⎛⎭⎫x 1－12，0＝13(－1,0)，∴x 1＝16. ∵E 是CA 的中点，∴CE →＝12CA →，又CA →＝⎝⎛⎭⎫－12，－32，∴x 2＝－14，y 2＝34.∴CD →·BE →＝⎝⎛⎭⎫16，－32·⎝⎛⎭⎫－34，34＝16×⎝⎛⎭⎫－34＋⎝⎛⎭⎫－32×34＝－12.故选A. 12．已知|a |＝2 2，|b |＝3，a ，b 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5a ＋2b ，AC →＝a －3b ，且D 为BC 中点，则AD →的长度为( )A.152B.152 C ．7 D ．8 答案：A解析：AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(5a ＋2b ＋a －3b )＝12(6a －b )∴|AD →|2＝14(36a 2－12ab ＋b 2)＝2254.∴|AD →|＝152.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则a ·b ＝________. 答案：3解析：a ·b ＝2×3×32＝3.14．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________． 答案：[0,1] 解析：∵b ·(a －b )＝0，∴a ·b ＝b 2，即|a ||b |·cos θ＝|b |2，当b ≠0时，|b |＝|a |cos θ＝cos θ∈(0,1]，所以|b |∈[0,1]．15．设向量a 与b 的夹角为α，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cos α＝________.答案：31010解析：设b ＝(x ，y )，则2b －a ＝(2x －3,2y －3)＝ (－1,1)，∴x ＝1，y ＝2，则b ＝(1,2)，cos α＝a ·b |a |·|b |＝93 2×5＝310＝31010.16．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°，其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)答案：②解析：①a 与b 的夹角为θ1，a 与c 的夹角为θ2. a ·b ＝a ·c ，有|a ||b |cos θ1＝|a ||c |cos θ2，得不到b ＝c ，错误． ②a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，∵a ∥b ，∴b ＝λa ，得k ＝－3.正确． ③设|a |＝|b |＝|a －b |＝m (m >0)， 且a 与a ＋b 的夹角为θ. 则有(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝m 2， ∴2a ·b ＝m 2.a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝m 2＋m 22＝3m 22， (a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝m 2＋m 2＋m 2＝3m 2，∴cos θ＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝32m 2m ·3m ＝32.∴θ＝30°.∴③错误．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是150°，计算： (1)(a ＋2b )·(2a －b )； (2)|4a －2b |.解：(1)(a ＋2b )·(2a －b )＝2a 2＋3a ·b －2b 2 ＝2|a |2＋3|a |·|b |·cos150°－2|b |2＝2×42＋3×4×8×⎝⎛⎭⎫－32－2×82＝－96－48 3.(2)|4a －2b |＝(4a －2b )2 ＝16a 2－16a ·b ＋4b 2 ＝16|a |2－16|a |·|b |·cos150°＋4|b |2＝16×42－16×4×8×(－32)＋4×82 ＝8(2＋6)18．(12分)已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)，t ∈R ， (1)求|a ＋t b |的最小值及相应的t 值； (2)若a －t b 与c 共线，求实数t 的值．解：(1)∵a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)， ∴a ＋t b ＝(－3,2)＋t (2,1)＝(－3＋2t,2＋t )， ∴|a ＋t b |＝(－3＋2t )2＋(2＋t )2 ＝5t 2－8t ＋13＝5⎝⎛⎭⎫t －452＋495≥495＝755， 当且仅当t ＝45时取等号，即|a ＋t b |的最小值为755，此时t ＝45.(2)∵a －t b ＝(－3－2t,2－t )，又a －t b 与c 共线，c ＝(3，－1)，∴(－3－2t )×(－1)－(2－t )×3＝0，解得t ＝35.19．(12分)已知a ＝(1,1)、b ＝(0，－2)，当k 为何值时， (1)k a －b 与a ＋b 共线；(2)k a －b 与a ＋b 的夹角为120°. 解：∵a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)∵k a －b ＝k (1,1)－(0，－2)＝(k ，k ＋2) a ＋b ＝(1，－1)(1)要使k a －b 与a ＋b 共线，则－k －(k ＋2)＝0，即k ＝－1. (2)要使k a －b 与a ＋b 的夹角为120°， ∵|k a －b |＝k 2＋(k ＋2)2， |a ＋b |＝2，∴cos120°＝(k a －b )·(a ＋b )|k a －b |·|a ＋b |＝k －k －22·k 2＋(k ＋2)2＝－12. 即k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1±3.20．(12分)已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1，求证：△P 1P 2P 3是正三角形．证明：如图所示，设OD →＝OP 1→＋OP 2→，由于OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，∴OP 3→＝－OD →，|OD →|＝1，∴|OD →|＝1＝|P 1D →|，∴∠OP 1P 2＝30°， 同理可得∠OP 1P 3＝30°，∴∠P 3P 1P 2＝60°. 同理可得∠P 2P 3P 1＝60°， ∴△P 1P 2P 3为正三角形．21．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解：(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)，所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝42，故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，即5t ＝－11，所以t ＝－115.22．(12分)设集合D ＝{平面向量}，定义在D 上的映射f 满足：对任意x ∈D ，均有f (x )＝λx (λ∈R 且λ≠0)．(1)若|a |＝|b |，且a 、b 不共线，试证明：[f (a )－f (b )]⊥(a ＋b )；(2)若A (1,2)，B (3,6)，C (4,8)，且f (BC →)＝AB →，求f (AC →)·AB →.解：(1)证明：∵f (a )－f (b )＝λa －λb ＝λ(a －b )， ∴[f (a )－f (b )]·(a ＋b )＝λ(a －b )(a ＋b )＝λ(a 2－b 2)＝λ(|a |2－|b |2)＝0， ∴[f (a )－f (b )]⊥(a ＋b )．(2)由已知得AB →＝(2,4)，BC →＝(1,2)，AC →＝(3,6)．∵f (BC →)＝AB →，∴λBC →＝AB →. 即λ(1,2)＝(2,4)，∴λ＝2.∴f (AC →)·AB →＝(2AC →)·AB →＝(6,12)·(2,4)＝60.。
2016高中数学人教A版必修四第二章章末优化总结练习题含答案
）_ ■（向虽的表祠-（相等与共线〕 r ■（向圮加法运算及其儿何意义〕-｛向就的线性运算〕 ----- （向量减法运算及其几何克义〕L ■（向址逐甌RjQt 何意义〕（平面向虽基本定理］|_（】E 交分解］- LL ｛「坐标妬）一IWQ __________________平面向量的槪念与性质理解向量、共线向量、相等向量、单位向量、向量的模、夹角等概念、突显向量“形〃的特征就是充分运用向量并结合数学对象的几何意义解题的重要前提、 例① 关于平而向量eb. C 有下列三个命题：① 若〃丄c,贝ij （a+c ）・b=a ・b;② 若a= （IQ, b= （—2, 6）, a//b 9 贝iJk= — 3：③ 非零向量a 与〃满足0|= /b / =la —b /,则a 与a+b 的夹角为60S其中真命题的序号为 ________ .（写出所有真命题的序号）［解析］ ①因为〃丄c,所以b c=09所以（a+c ） b=a b+c b=a b ：② fl%,且aH0=>b=〃r=>错谋！=错谋!=k=—3;③ \a\= /b / = /a —b\=a,b, a —b 构成等边三角形，a 与a+b 的夬角应为30。
、 所以真命题为①［答案］①②吿题㊁ _________________________________________平而向量的线性运算1、向量的加法.减法与数乘向量的综合运算.通常叫作向量的线性运算，主要就是运 用它们的运算法则、运算律，解决三点共线.两线段平行.线段相等、求点的坐标等问题、2、理解向咼的有关概念［如平行向量（共线向蚩：）、相等与相反向量.平面向疑基本左 理、单位向量等］及其相应运算的几何意义，并能灵活应用基向量、平行四边形法则、三角形 法则等，就是求解有关向量线性运算问题的基础、例② 如图，在ZkABC 中，错误!=错误!，错误!=错误!错误!.B0与CR 相交于点/, AI 的延长线与边BC 交于点P 、⑴用错误!与错误!分别表示错误!与错误!：（2） 如果错误!=错误! +Z 错误!=错误! + “错误!,求实数2与“的值；（3） 确立点P 在边BC 上的位置、章杏优化总结 知W 网络体系构建把握宏观理淸脉络L （运算律〕 彳］诃朮的数朮积运算〕—提炼車点桁展升华 —｛向址的物理背娥及概念｝⑴由错误！=错误!错误！，可得错误!=错误！+错误!= 一错误!+错误!错误！,又错误!=错误!错误!，所以错误!=错误!+错误!= 一错误!+错误!错误!、(2)将错谋!= 一错误! +错误!错谋!，错误!= 一错谋!+错课!错谋!,代入错误!=错误! +/・错误!=错误! +“错误!，则有错误! +力错误！=错误! + “错误!，即(1-2)错误!+错误！久错误!=错误！“错误!+ (1—“)错误!、所以错误!解得错误！⑶设错误!=川错误!，错误!="错误！、由(2),知错误!=错误!错误!+错误!错误!，所以错谋！=错谋！-错谋！=〃错谋！-错谋！= 〃错课！ -错谋！=错课!错谋！ +错谋! 错误！f错误！= 〃備误！一川错误！，所以错误!解得错误！所以错误！=错误!错误！，即错误！=2、即点P就是BC上靠近点C的三等分点、平而向虽:的数量积求平而向量的数量积的方法有两个：一个就是根据数量积的立义，另一个就是根据坐标、左义法就是a・b= /a l\b /・cos&,英中&为向量a, 〃的夹角;坐标法就是a= (xj)/= (M,*)时e/mm+yw、利用数量积可以求长度，也可判断直线与直线的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向虽:的坐标运算转化为代数问题解决、例③ ⑴设单位向量加=(AS y), b= (2,—1).若m丄b,则I x4-2yl= _______________ 、(2)已知两个单位向量a, b的夹角8为60°x=w+ (l—t)b9若b・c=0,则f=____________________________________________________________________________ 、［解析］(1)因为单位向量m = (x9y)9则F+y2=i、①若加丄〃，则m・b=a即"一)=0、②由①®解得/=错误！，所以丨x I =错误！，I x+2yl=5 I x I =错误！、(2)法一：因为b・c=0,所以少［皿 + (1 —/) /＞］=0,即ta b+ (1—哪=0、又因为I a \ = \ b \ = \9 & =60。
【人教A版】高中数学必修4第二章课后习题解答
新课程标准数学必修4第二章课后习题解答第二章 平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念 练习（P77）1、略.2、AB ，BA . 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、2AB =， 2.5CD =，3EF =，22GH =4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同. 习题2.1 A 组（P77） 1、（2）. 3、与DE 相等的向量有：,AF FC ；与EF 相等的向量有：,BD DA ； 与FD 相等的向量有：,CE EB .4、与a 相等的向量有：,,CO QP SR ；与b 相等的向量有：,PM DO ； 与c 相等的向量有：,,DC RQ ST5、332AD =. 6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×. 习题2.1 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM 同向的共有6对，与AM 反向的也有6对；与AD 同向的共有3对，与AD 反向的也有64对；模为2的向量有2对2．2平面向量的线性运算 练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA ； （2）CB .4、（1）c ； （2）f ； （3）f ； （4）g .练习（P87）1、图略.2、DB ，CA ，AC ，AD ，BA .3、图略. 练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =，27BC AB =-.说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC 与AB 反向.3、（1）2b a =； （2）74b a =-； （3）12b a =-； （4）89b a =.4、（1）共线； （2）共线.5、（1）32a b -； （2）111123a b -+； （3）2ya . 6、图略.习题2.2 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ； （2）向东走5 km ；（3）向东北走km ；（4）向西南走；（5）向西北走km ；（6）向东南走km. 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km. 3、解：如右图所示：AB 表示船速，AD 表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则AC 表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =，2AD =，所以228AC AB AD =+==因为tan 4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°. 4、（1）0； （2）AB ； （3）BA ； （4）0； （5）0； （6）CB ； （7）0. 5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略.8、（1）略； （2）当a b ⊥时，a b a b +=-9、（1）22a b --； （2）102210a b c -+； （3）132a b +； （4）2()x y b -.10、14a b e +=，124a b e e -=-+，1232310a b e e -=-+. 11、如图所示，OC a =-，OD b =-，DC b a =-，BC a b =--.（第11题）12、14AE b =，BC b a =-，1()4DE b a =-，34DB a =，34EC b =，1()8DN b a=-，11()48AN AM a b ==+.13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =，即12EF AC =；同理，12HG AC =，所以EF HG =.习题2.2 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b 不共线时它们不相等.3、证明：因为MN ANAM =-，而13AN AC =，13AM AB =， 所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=.4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略 （2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC =，∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形. （3）四边形ABCD 为菱形.证明：∵AB DC =，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形 又AB AD =∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形. 证明：因为OA OB BA -=，OD OC CD -= 而OA OC OB OD +=+所以OA OB OD OC -=- 所以BA CD =，即AB ∥. 因此，四边形ABCD 为平行四边形.（第12题）（第1题）（第4题(2)）（第4题(3)）（第5题）2．3平面向量的基本定理及坐标表示 练习（P100）1、（1）(3,6)a b +=，(7,2)a b -=-； （2）(1,11)a b +=，(7,5)a b -=-； （3）(0,0)a b +=，(4,6)a b -=； （4）(3,4)a b +=，(3,4)a b -=-.2、24(6,8)a b -+=--，43(12,5)a b +=.3、（1）(3,4)AB =，(3,4)BA =--； （2）(9,1)AB =-，(9,1)BA =-； （3）(0,2)AB =，(0,2)BA =-； （4）(5,0)AB =，(5,0)BA =-4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =.所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)； （2）(1,4)； （3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3- 7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，得32AP PB =-(,)(2,3)(2,A P x y x y =-=--，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题2.3 A 组（P101）1、（1）(2,1)-； （2）(0,8)； （3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题. 2、123(8,0)F F F ++=3、解法一：(1,2)OA =--，(53,6(1))(2,7)BC =---=而AD BC =，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=. 所以点D 的坐标为(1,5). 解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++，(53,6(1))(2,7)BC =---=由AD BC =可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =，(2,4)AB =-. 1(1,2)2A C A B ==-，2(4,8)AD AB ==-，1(1,2)2AE AB =-=-. (0,3)O C O A A C =+=，所以，点C 的坐标为(0,3)； (3,9)O D O A A D =+=-，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)O E O A A E =+=-，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-. 6、(4,4)AB =，(8,8)CD =--，2CD AB =-，所以AB 与CD 共线. 7、2(2,4)OA OA '==，所以点A '的坐标为(2,4)；3(3,9)O B O B '==-，所以点B '的坐标为(3,9)-； 故 (3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=- 习题2.3 B 组（P101） 1、(1,2)OA =，(3,3)AB =.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==，所以(4,5)P ； 当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=，所以57(,)22P ； 当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--，所以(5,4)P --； 当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--，(1,1.5)AC =，所以4AB AC =-，所以A 、B 、C 三点共线； （2）因为(1.5,2)PQ =-，(6,8)PR =-，所以4PR PQ =，所以P 、Q 、R 三点共线； （3）因为(8,4)EF =--，(1,0.5)EG =--，所以8EF EG =，所以E 、F 、G 三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=，得2121e e λλ=-. 所以12,e e 是共线向量，与已知12,e e 是平面内的一组基底矛盾, 因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）19OP = （2）对于任意向量12OP xe ye =+，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=. 2、当0a b ⋅<时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略 练习（P107）1、2(3)5a =-，252b =+=35427a b ⋅=-⨯+⨯=-.2、8a b ⋅=，()()7a b a b +-=-，()0a b c ⋅+=，2()49a b +=.3、1a b ⋅=，13a =，74b =，88θ≈︒. 习题2.4 A 组（P108）1、63a b ⋅=-222()225a b a a b b +=+⋅+=-25a b +=-2、BC 与CA 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-.3、22223a b a a b b +=+⋅+=，22235a b a a b b -=-⋅+=. 4、证法一：设a 与b 的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为θ，所以 ()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅== ()c o s a b a b λλθ⋅= ()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅== 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；（3）当0λ<时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=- 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅； 综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=∴AB AC ⊥，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=，于是可得6a b ⋅=-，1cos 2a ba bθ⋅==-，所以120θ=︒.8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=，(8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-∴AB DC =，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯= ∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =，则2292x y yx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是35(,55a =或35(55a =--. 11、解：设与a 垂直的单位向量(,)e x y =，则221420x y xy ⎧+=⎨+=⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是5(,55e =-或5(,55e =-. 习题2.4 B 组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥- 证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，33(,)c x y =.先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-1212a b x x y y ⋅=+，1313a c x x y y ⋅=+由a b a c ⋅=⋅得12121313x x y y x x y y +=+，即123123()()0x x x y y y -+-= 而2323(,)b c x x y y -=--，所以()0a b c ⋅-= 再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅由()0a b c ⋅-=得 123123()()0x x x y y y -+-=， 即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅2、cos cos cos sin sin OA OB AOB OA OBαβαβ⋅∠==+.3、证明：构造向量(,)u a b =，(,)v c d =.c o s ,u v u v u v ⋅=<>，所以,ac bd u v +=<>∴2222222222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++4、AB AC ⋅的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠，而AM BAC AC∠=所以212AB AC AB AM AB ⋅==5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=证明：∵AB CB CA =-∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+. 由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅= ∴222CA CB AB +=（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+，,DB AB AD =-∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-.∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -= ∴0AC DB ⋅=，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+.∴22()()AB AD AB AD +=-，所以22AC BD =，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可. 2．5平面向量应用举例 习题2.5 A 组（P113） 1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-由2RA AP =得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y =-+⎧⎨=-⎩（第4题）代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =, 所以23BO BF =. 2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+（2）因为1()2AE a b =+所以23AO AE =，因此,,A O E 三点共线，而且2AOOE = 同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO COOE OF OD === 3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-； （2）v 在A v 方向上的投影为135A Av v v ⋅=. 4、解：设1F ，2F 的合力为F ，F 与1F 的夹角为θ，则31F =+，30θ=︒； 331F =+，3F 与1F 的夹角为150°.习题2.5 B 组（P113）1、解：设0v 在水平方向的速度大小为x v ，竖直方向的速度的大小为y v ，则0cos x v v θ=，0sin y v v θ=.设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩为重力加速度 所以，最大高度为220sin 2v gθ，最大投掷距离为20sin 2v gθ.2、解：设1v 与2v 的夹角为θ，合速度为v ，2v 与v 的夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v vvθθα==，0.5sin 20sin v d αθ==. ∴120sin d vθ=. 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、（1）(0,1)-解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--. (2,AB =-.（第2题）（第4题）将AB 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP ，于是7777(2)(1,3)4444AP ππππ=+-=--所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==-（2）32y x=-解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y '' 则cos sin 44sincos44x x y y xy ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即)2)x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x=-第二章 复习参考题A 组（P118）1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.2、（1）D ； （2）B ； （3）D ； （4）C ； （5）D ； （6）B .3、1()2AB a b =-，1()2AD a b =+4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+2233AD a b =+，1133BC a b =+1133EF a b =--，1233FA DC a b ==-1233CD a b =-+，2133AB a b =-CE a b =-+5、（1）(8,8)AB =-，82AB =（2）(2,16)OC =-，(8,8)OD =-； （3）33OA OB ⋅=. 6、AB 与CD 共线.证明：因为(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =. 所以AB 与CD 共线. 7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C ===（第4题）11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=，所以(2)n m m -⊥.12、1λ=-. 13、13a b +=，1a b -=. 14、519cos ,cos 820θβ==第二章 复习参考题B 组（P119）1、（1）A ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）C ； （6）C ； （7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-.222()2a b a b a b a b +=+=++⋅，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅. 因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，于是22a b a b a b +=+=-.再证a b a b a b +=-⇒⊥.由于222a b a a b b +=+⋅+，222a b a a b b -=-⋅+ 由a b a b +=-可得0a b ⋅=，于是a b ⊥所以a b a b a b +=-⇔⊥. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】 3、证明：先证a b c d =⇒⊥22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=- 又a b =，所以0c d ⋅=，所以c d ⊥ 再证c d a b ⊥⇒=.由c d ⊥得0c d ⋅=，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=所以a b = 【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所示】4、12AD AB BC CD a b =++=+，1142AE a b =+而34EF a =，14EM a =，所以1111(4242AM AE EM a b a =+=++=5、证明：如图所示，12OD OP OP =+，由于1230OP OP OP ++=，所以3OP OD =-，1OD = 所以11OD OP PD == 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形.（第3题）P 2（第5题）（第6题）6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，222MN AB b a ==-. 7、（18=（千米／时）， 沿与水流方向成60°的方向前进； （2）实际前进速度大小为 沿与水流方向成90︒+的方向前进. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅，所以()0OB OA OC ⋅-=，所以0OB CA ⋅= 同理，0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=，所以点O 是ABC ∆的垂心. 9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=； （2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，夹角θ的余弦cos θ=；（4）d =。
高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(2021年整理)
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【必修4】 第二章平面向量2.1 练习1、画有向线段,分别表示一个竖直向上,大小为18N 的力和一个水平向左、大小为28N 的力（1cm 长表示10N ）.2、非零向量AB 的长度怎样表示？非零向量BA 的长度怎样表示？这两个向量的长度相等吗？这两个向量相等吗？3、指出图中各向量的长度.4、(1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？（2）用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？2.2.1 练习1、如图，已知b a ，,用向量加法的三角形法则作出b a 。
2、如图，已知b a ，，用向量加法的平行四边形法则作出b a +.3、根据图示填空：（1）________;=+d a（2）.________=+b c4、根据图示填空:（1）________;=+b a（2）________;=+d c（3)________;=++d b a（4）.________=++e d c2.2.2 练习1、如图，已知b a ，，求作.b a -2、填空：________;=- ________;=- ________;=-BA BC ________;=-OA OD .________=-3、作图验证：b a b)(a --=+-2.2。
高中数学人教A版必修四课时训练 第二章 平面向量 章末检测(A) Word版含答案
第二章平面向量()(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．与向量＝(，)的夹角为°的单位向量是()．(，)或(，) ．(，)．() ．()或(，)．设向量＝()，＝(，)，则下列结论中正确的是()．＝．·＝．－与垂直．∥．已知三个力＝(－，－)，＝(－)，＝(，－)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则等于()．(－，－) ．(，－)．(－) ．()．已知正方形的边长为，＝，＝，＝，则＋＋的模等于()．．＋．．若与满足＝＝，〈，〉＝°，则·＋·等于()．＋．．若向量＝()，＝(，－)，＝(－)，则等于()．－＋－－．－＋．若向量＝()，＝()，＝(，)，满足条件(－)·＝，则＝()．．．．．向量＝(，－)，向量＝(，－)，则△的形状为()．等腰非直角三角形．等边三角形．直角非等腰三角形．等腰直角三角形．设点()、()，将向量按向量＝(－，－)平移后得到为()．() ．()．() ．()．若＝(λ，)，＝(－)，且与的夹角是钝角，则λ的取值范围是()．在菱形中，若＝，则·等于()．．－．．与菱形的边长有关．如图所示，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是()····题号答案二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．已知向量＝(，－)，＝(－，)，＝(－)，若(＋)∥，则＝.．已知向量和向量的夹角为°，＝，＝，则向量和向量的数量积·＝.．已知非零向量，，若＝＝，且⊥，又知(＋)⊥(－)，则实数的值为．.如图所示，半圆的直径＝，为圆心，是半圆上不同于，的任意一点，若为半径上的动点，则(＋)·的最小值是．三、解答题(本大题共小题，共分)．(分)已知，，在同一平面内，且＝()．()若＝，且∥，求；。
高中人教A版数学必修4(课时习题与单元测试卷)：习题课(二)含解析
习题课 (二 )课时作业一、选择题1． 函数 f(x)＝ tan2xtanx 的定义域为 ()k πA. xx ∈ R 且 x ≠ 4 ， k ∈Zπ B. xx ∈ R 且 x ≠ k π＋2， k ∈ Zπ C. xx ∈ R 且 x ≠ k π＋4， k ∈ ZπD. xx ∈ R 且 x ≠ k π－4， k ∈ Z 答案： Ax ≠ k π x ≠k ππ分析： 由题意，得x ≠ k π＋ 2(k ∈ Z)，即2k πk π π (k ∈ Z )，因此 x ≠ 4 (k ∈ Z)， πx ≠ 2 ＋ 42x ≠ k π＋ 2选 A.2．函数 f(x)＝ x ＋ sin|x|， x ∈ [ － π， π]的大概图象是 ( )答案： A分析：函数 f(x)是非奇非偶函数， 故清除 B ，D ；又 x ∈ [－ π，π]时， x ＋sin|x|≥ x 恒建立，因此函数 f(x)的图象应在直线 y ＝x 的上方，故清除 C ，选 A.3．函数 f(x)＝ Asin(ωx＋ ωπ)( A>0， ω>0)在 － 3π3πω 的最大值是，－ 上单一递加，则2 4()1B.3A. 2 4 C ．1D ． 2 答案： Cπ分析： 由于 A>0 ， ω>0 ，因此当 ππ2k π－ 22k π－ ≤ωx＋ ωπ≤ 2k π＋ 2 (k ∈ Z) 时，有ω －2ππ π2k π＋23π3ππ≤ x ≤2k π－2 2k π＋ 2ω － π(k ∈ Z )，因此 － 2 ，－ 4?－ π， ω － π(k ∈ Z)，ω2k π－ π3π 2－ 2 ≥ ω－πω≤ 1－ 4k3π3π 3π T π则π ，解得 ω≤ 2＋ 8k .又由题意得－ 4－ － 2 ＝4 ≤ 2 ＝ω，3π 2k π＋ 2－ 4 ≤ ω － π4因此 ω≤ 3，因此 0<ω≤ 1，因此 ω的最大值为 1.3 1 7)4． 三个数 cos ， sin10，－ cos 的大小关系是 (2 43 17A. cos 2>sin 10>－ cos 43 7 1B ．cos 2>－ cos 4>sin 103 17 C ．cos 2<sin 10<－ cos 47 3 1 D ．－ cos 4<cos 2<sin 10答案： C1 π 1分析： sin 10＝cos 2－ 10 .7 7－ cos 4＝ cos π－ 4 .3π 1 ≈ 7，∵ ＝1.5， －10 1.47， π－ ≈ 1.39 22 43 π 1 7∴π>－ >π－2>210 4>0.又∵y ＝ cosx 在(0 ，π)上是减函数，3 1 7∴cos 2<sin 10<－ cos 4.5．函数 y ＝log 1 tanx 的定义域是 ()2πA. x 0＜ x ≤4πB. x 2k π＜ x ≤2k π＋ 4， k ∈Zπ C. x k π＜ x ≤ k π＋ 4， k ∈ Zπ πD. x 2k π－ ＜ x ≤ k π＋ ， k ∈Z2 4答案： Clog 1 tanx 0分析：由2，tanx 0解得 x k π＜ x ≤ k π＋ π，因此选 C.， k ∈ Z41 π π6．函数 y ＝－ ≤ x ≤ 且 x ≠ 0 的值域是 ()A ． [－ 1,1]B ．( －∞，－ 1]∪ [1，＋∞ )C ．( －∞， 1]D ． [－ 1，＋∞ ) 答案： Bπ π 分析： 由于－ 4≤ x ≤ 4，π π又由于 y ＝ tanx 在 x ∈ －4， 4 时为增函数．因此－1≤ tanx ≤1.又 x ≠ 0，因此－ 1≤ tanx＜ 0 或 0＜ tanx ≤ 1，因此易求得1∈(－∞，－ 1]∪[1，＋ ∞)．tanx二、填空题7．若 y ＝ cosx 在区间 [ － π， a]上为增函数，则 a 的取值范围是 ________． 答案： (－ π， 0]分析： 由 y ＝ cosx 的图象可知， a 的取值范围是－ π<a ≤ 0.8．函数 y ＝ 1 的定义域是 ________．log 2tanx答案： xk π<x ≤k π＋ π， k ∈Z4 1分析： 要使函数存心义，只要πlog 2≥ 0，∴0<tanx ≤ 1，∴k π<x ≤ k π＋，k ∈ Z ，∴该函tanx4数的定义域是x k π<x ≤ k π＋ π，k ∈ Z .4ππ的9．函数 f(x)＝ tan ωx (ω>0) 图象上的相邻两支曲线截直线 y ＝ 1 所得线段长为 ，则 f124值是 ________．答案： 3分析： 由题意可得 T ＝ ππ.∴ω＝ ＝ 4，4 Tπ π f(x)＝ tan4x.，因此 f 12 ＝ tan 3＝ 3.三、解答题1的值域和单一区间．10．求函数 y ＝ tan 2x － 2tanx ＋ 21解：y ＝tanx － 1 2＋ 1，∵(tanx －1)2＋ 1≥ 1，∴该函数的值域是 (0,1] ．ππ当 tanx<1 时，该函数单一递加，单一递加区间是， k π＋4 (k ∈ Z)；k π－2ππ当 tanx>1 时，该函数单一递减，单一递减区间是， k π＋2 (k ∈ Z)．k π＋4π11．设函数 f(x)＝ sin( －2x ＋ φ)(0< φ<π)，y ＝ f( x)图象的一条对称轴是直线 x ＝ 8. (1)求 φ；(2)求函数 y ＝ f(x)的单一区间．ππ ，解： (1)令 (－ 2)× ＋φ＝ k π＋ ， k ∈ Z82∴ φ＝k π＋3πφ<π，∴ φ＝ 3π4 ， k ∈ Z ，又 0< 4 .3π(2)由 (1) 得 f(x)＝ sin － 2x ＋4 ＝3π－ sin 2x － 4 ，3π令 g(x)＝ sin 2x － 4 ，π 3π π由－ 2＋ 2k π≤ 2x － 4≤2＋ 2k π，k ∈ Z ，π5π得 ＋ k π≤x ≤＋ k π，k ∈ Z ，8 85π即 g(x)的单一增区间为π＋k π， ＋k π， k ∈ Z ；8 8π 3π 3π由 ＋ 2k π≤ 2x － ≤ ＋ 2k π， k ∈ Z ，2 4 2 5π 9π得 8 ＋ k π≤ x ≤ 8 ＋ k π， k ∈ Z ，即 g(x)的单一减区间为 5π 9π＋ k π， ＋ k πk ∈ Z ，8 8 故 f(x) 的单一增区间为 5π 9π＋ k π， ＋ k πk ∈ Z ；8 8 π 5π 单一减区间为8＋ k π， 8 ＋k πk ∈ Z .能力提高12．若 a ＝ log 1 tan70 °，b ＝ log 1 sin25 ，°c ＝ log 1 cos25 °，则 ()222A ． a<b<cB ． b<c<aC ．c<b<aD ． a<c<b答案： D分析： ∵0<sin25 °<sin65 °＝ cos25°<1＝ tan45 <tan70° ，°∴log 1 sin25 >log ° 1 cos25 °>log 1 tan70 °.222即 a<c<b.π13．若函数 f(x)＝tan 2x － atanx |x|≤ 4 的最小值为－ 6，务实数 a 的值．π解： 设 t ＝tanx ，∵ |x|≤ ，∴ t ∈ [ － 1,1] ，4则原函数化为y ＝t 2－ at ＝ t － a 2 －a 2 ，2 4a对称轴方程为 t ＝ 2，2①若－ 1≤ a ≤ 1，则当 t ＝ a 时， y min ＝－ a＝－ 6，∴ a 2＝ 24，不切合题意，舍去．2 2 4a时，二次函数在 [－ 1,1] 上递加，当 t ＝－ 1 时， y min ＝ 1＋ a ＝－ 6，②若 <－ 1，即 a<－ 22∴a ＝－ 7.a，即 a>2 时，二次函数在 [－ 1,1] 上递减，当 t ＝1 时， y min ＝ 1－a ＝－ 6，∴ a ＝③若 >127.综上所述， a ＝－ 7 或 a ＝7.。
217.高一数学人教A版必修四教案：第二章 平面向量 Word版含答案
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．
（2）区间的概念及表示法
①设 是两个实数，且 ，满足 的实数 的集合叫做闭区间，记做 ；满足 的实数 的集合叫做开区间，记做 ；满足 ，或 的实数 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 ， ；满足 的实数 的集合分别记做 ．
例2、若等边 的边长为 ，平面内一点M满足 ,则 ________.
练习：1、在 中， =90°AC=4，则 等于（）
A、-16 B、-8 C、8 D、16
（三）坐标运算
例3、 , ,则 （）
A. B. C. D.
练习：1、设向量 , ,则下列结论中正确的是
(A) (B) (C) (D) 与 垂直
（四）平行垂直
注意：对于集合 与区间 ，前者 可以大于或等于 ，而后者必须
．
（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
① 是整式时，定义域是全体实数．
② 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
③ 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．
⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．
⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．
⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．
⑧函数的单调性法．
三、重点难点
教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题.
教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.
四、教学设想
人教A版高中数学必修4课后习题 第二章 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
第二章平面向量2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义课后篇巩固探究基础巩固1.在四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 是 ( )A.梯形B.矩形C.正方形D.平行四边形,四边形ABCD 是以AB,AD 为邻边的平行四边形.2.如图所示,四边形ABCD 是梯形,AD ∥BC,AC 与BD 交于点O,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.CD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.DA ⃗⃗⃗⃗⃗D.CO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC⃗⃗⃗⃗⃗ .3.已知向量a ∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b 的方向 ( )A.与向量a 的方向相同B.与向量a 的方向相反C.与向量b 的方向相同D.不确定a 和b 方向相同,则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同;若它们的方向相反,而a 的模大于b 的模,则它们的和的方向与a 的方向相同.4.如图,在正六边形ABCDEF 中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.0 B.BE ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.CF⃗⃗⃗⃗CD⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗ =0.5.向量(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 化简后等于( ) A.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.PA ⃗⃗⃗⃗⃗ C.PC ⃗⃗⃗⃗D.PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ .6.在矩形ABCD 中,若AB=2,BC=1,则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= .ABCD 是矩形,所以对角线AC=√22+12=√5,于是|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5. √57.如图,在平行四边形ABCD 中,写出下列各式的结果:(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ; (2)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗ = ; (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD⃗⃗⃗⃗⃗ = ;(4)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ = .由平行四边形法则可知为AC⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;(4)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)AO ⃗⃗⃗⃗⃗ (3)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ (4)08.如图所示,若P 为△ABC 的外心,且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ ,则∠ACB= .P 为△ABC 的外心,所以PA=PB=PC,因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ ,由向量的线性运算可得四边形PACB 是菱形,且∠PAC=60°,所以∠ACB=120°.9.是否存在a,b,使|a+b|=|a|=|b|?请画出图形说明.,如图,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OA=OB=OC,∠AOB=120°,∠AOC=∠COB=60°. 10.如图所示,P,Q 是△ABC 的边BC 上两点,且BP=QC.求证:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ⃗⃗⃗⃗⃗ .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QC ⃗⃗⃗⃗⃗ 大小相等,方向相反, ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 故AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +0=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ⃗⃗⃗⃗⃗ . 能力提升1.已知四边形ABCD 为菱形,则下列等式中成立的是 ( )A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗B.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗C.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗D.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ABCD 是菱形,所以也是平行四边形,于是AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故C 项正确.2.设a=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),b 是任一非零向量,则在下列结论中: ①a ∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|;⑤|a+b|=|a|+|b|. 正确结论的序号是( ) A.①⑤B.②④⑤C.③⑤D.①③⑤a=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 又b 为任一非零向量,∴①③⑤均正确.3.如图,已知电线AO 与天花板的夹角为60°,电线AO 所受拉力|F 1|=24 N.绳BO 与墙壁垂直,所受拉力|F 2|=12 N,则F 1与F 2的合力大小为 ,方向为 .OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边作平行四边形BOAC,则F 1+F 2=F,即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则∠OAC=60°,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=24,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12, ∴∠ACO=90°,∴|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√3. ∴F 1与F 2的合力大小为12√3N,方向为竖直向上.√3 N 竖直向上 4.如图,在△ABC 中,O 为重心,D,E,F 分别是BC,AC,AB 的中点,化简下列三式:(1)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗ +DC⃗⃗⃗⃗⃗ .BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ . (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 5.一艘船在水中航行,水流速度与船在静水中航行的速度均为5 km/h.如果此船实际向南偏西30°方向行驶2 km,然后又向西行驶2 km,你知道此船在整个过程中的位移吗?,用AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示船的第一次位移,用CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示船的第二次位移,根据向量加法的三角形法则知AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 可表示两次位移的和位移. 由题意知,在Rt △ABC 中,∠BAC=30°, 则BC=12AC=1,AB=√3.在等腰三角形ACD 中,AC=CD=2, 所以∠D=∠DAC=12∠ACB=30°,所以∠BAD=60°,AD=2AB=2√3,所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°,位移的大小为2√3km. 6.如图所示,一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地,然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行600 km 到达C 地,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据:sin 37°=0.6).AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800km,从B 地按南偏东55°的方向飞行600km,则飞机飞行的路程指的是|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |;两次位移的和指的是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .依题意,有|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=800+600=1400(km),∠ABC=35°+55°=90°.在Rt △ABC 中,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=√8002+6002=1000(km),其中∠BAC=37°,所以方向为北偏东35°+37°=72°.从而飞机飞行的路程是1400km,两次飞行的位移和的大小为1000km,方向为北偏东72°.。
2020高中数学人教A版必修四课时训练：第二章 章末复习课2 Word版含答案
章末复习课知识结构一、选择题1．若向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)，则(a ·b )(a ＋b )等于( ) A ．20 B ．(－10,30) C ．54 D ．(－8,24)2．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与a 垂直，则λ等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．23．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB→＋OC →＝0，那么( ) A. AO→＝OD → B. AO →＝2OD → C. AO→＝3OD → D ．2AO →＝OD → 4．在平行四边形ABCD 中，AC→＝(1,2)，BD →＝(－3,2)，则AD →·AC →等于( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3 5．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ·a a ·b b ，则向量a 与c的夹角为( )A ．0 B.π6 C.π3 D.π26．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP→＝2PM→，则AP →·(PB →＋PC →)等于( ) A.49 B.43 C ．－43 D ．－49二、填空题7．过点A (2,3)且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程是____________． 8．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是______．9．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.10．已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．三、解答题11．已知A (1，－2)、B (2,1)、C (3,2)和D (－2,3)，以AB →、AC →为一组基底来表示AD→＋BD →＋CD →.12．设a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .(1)若a 与b 起点相同，t 为何值时a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一直线上？(2)若|a |＝|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，|a －t b |的值最小？能力提升13．已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且OA→2＋BC →2＝OB →2＋CA →2＝OC→2＋AB →2，则O 一定是△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．垂心 D ．重心章末复习课 答案作业设计1．B [a ·b ＝－3＋8＝5，a ＋b ＝(－2,6)， ∴(a ·b )(a ＋b )＝5×(－2,6)＝(－10,30)．故选B.] 2．A [(λa ＋b )·a ＝0，∴λa 2＋a ·b ＝0. ∴10λ＋10＝0，∴λ＝－1.故选A.] 3．A [由题意D 是BC 边的中点，所以有OB→＋OC →＝2OD →， 所以2OA →＋OB →＋OC →＝2OA →＋2OD →＝2(OA →＋OD →)＝0⇒OA →＋OD →＝0⇒AO→＝OD →.] 4．D [AC→＝AB →＋AD →＝(1,2)，BD →＝AD →－AB →＝(－3,2)，解得AD →＝(－1,2)，∴AD→·AC →＝(－1,2)·(1,2)＝3.故选D.] 5．D [∵a ·c ＝a ·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ·a a ·b b ＝a ·a －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ·a a ·b ·(a ·b )＝0，∴〈a ，c 〉＝π2.]6．A [易知P 为△ABC 的重心，则PB→＋PC →＝－PA →＝AP →，故AP →·(PB →＋PC →)＝AP →2＝49，故选A.]7．2x ＋y －7＝0解析 设直线上任一点P (x ，y )，则AP→＝(x －2，y －3)． 由AP→·a ＝2(x －2)＋(y －3)＝0，得2x ＋y －7＝0. 8．1解析 b 在a 上的投影为|b |cos θ＝2×cos 60°＝1. 9．2解析 λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)与c ＝(－4，－7)共线， ∴(λ＋2)(－7)－(2λ＋3)(－4)＝0，得λ＝2.10.10解析 由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝0，∴α2－2α·β＝0.又∵|α|＝1，∴α·β＝12.又∵|β|＝2，∴|2α＋β|＝2α＋β2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋4×12＋4＝10.11．解 ∵AB→＝(1,3)，AC →＝(2,4)，AD →＝(－3,5)， BD→＝(－4,2)，CD →＝(－5,1)， ∴AD→＋BD →＋CD →＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)． 根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对m ，n 使得 AD→＋BD →＋CD →＝mAB →＋nAC →， ∴(－12,8)＝m (1,3)＋n (2,4)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－12＝m ＋2n ，8＝3m ＋4n .，得m ＝32，n ＝－22. ∴AD→＋BD →＋CD →＝32AB →－22AC →. 12．解 (1)设a －t b ＝m [a －13(a ＋b )]，m ∈R ，化简得(23m －1)a ＝(m3－t )b ，∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧23m －1＝0m3－t ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，t ＝12.∴t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一直线上．(2)|a －t b |2＝(a －t b )2＝|a |2＋t 2|b |2－2t |a ||b |cos 60°＝(1＋t 2－t )|a |2.∴当t ＝12时，|a －t b |有最小值32|a |.13．C [由OA →2＋BC →2＝OB →2＋CA →2，得OA→2＋(OC →－OB →)2＝OB →2＋(OA →－OC →)2，得OC →·OB →＝OA →·OC →.∴OC →·AB →＝0，O 在边AB 的高线上．同理O 在边AC 的高线上，即O 为△ABC 的垂心．故选C.] 14．解 方法一过点C 分别作平行于OB 的直线CE 交直线OA 于点E ，平行于OA 的直线CF 交直线OB 于点F .如图所示．在Rt △OCE 中，|OE →|＝|OC →|cos 30°＝2332＝4； |CE →|＝|OC →|·tan 30°＝23×33＝2， 由平行四边形法则知，OC→＝OE →＋OF →＝4OA →＋2OB →，∴λ＝4，μ＝2. 方法二如图所示，以OA→所在直线为x 轴，过O 垂直于OA 的直线为y 轴建立直角坐标系．设B 点在x 轴的射影为B ′，C 点在x 轴的射影为C ′. 易知，OC ′＝23cos 30°＝3，CC ′＝OC sin 30°＝3，BB ′＝OB sin 60°＝32，OB ′＝OB cos 60°＝12，∴A 点坐标为(1,0)，B 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12，32， C 点坐标为(3，3)．∵OC→＝λOA →＋μOB → ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝3，0·λ＋32μ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4μ＝2. 方法三 ∵OC→＝λOA →＋μOB →. ∴⎩⎨⎧OC →·OC →λOA →＋μOB →OC→OA→·OC →λOA→＋μOB →OA→，∴⎩⎪⎨⎪⎧23×32λ＝12λ－μ2＝23×32，解得λ＝4，μ＝2.。
新人教A版高中数学必修四全册同步课时练习(附答案)
新人教A 版高中数学必修四全册课时练习任意角(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．角－870°的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限角，故选C .] 2．在－360°～0°范围内与角1 250°终边相同的角是( ) A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°C [与1 250°角的终边相同的角为α＝1 250°＋k ·360°，k ∈Z ，因为－360°＜α＜0°，所以－16136＜k ＜－12536，因为k ∈Z ，所以k ＝－4，所以α＝－190°.]3．把－1 485°转化为α＋k ·360°(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式是( ) A ．45°－4×360° B ．－45°－4×360° C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°D [∵1 485°÷360°＝4.125，∴－1 485°＝－4×360°－45°或写成－1 485°＝－5×360°＋315°.∵0°≤α＜360°，故－1 485°＝315°－5×360°.] 4．若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α所在象限是( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限A [当k ＝0时，α＝45°为第一象限角，当k ＝1时，α＝225°为第三象限角．] 5．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边( ) A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称A [α是第一象限角，β是第四象限角且45°＝0°＋45°与360°＋45°终边相同，315°＝360°－45°.]二、填空题6．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是________．－960° [40分＝23小时，23×360°＝240°，因为时针按顺时针旋转，故形成负角，－360°×2－240°＝－960°.]7．与2 013°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．213°－147°[与2 013°角的终边相同的角为2 013°＋k·360°(k∈Z)．当k＝－5时，213°为最小正角；当k＝－6时，－147°为绝对值最小的角．]8．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________．k·360°＋60°(k∈Z)[在0°～360°范围内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，所以β＝k·360°＋60°(k∈Z)．]三、解答题9．已知角β的终边在直线3x－y＝0上．(1)写出角β的集合S；(2)写出集合S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素．[解](1)因为角β的终边在直线3x－y＝0上，且直线3x－y＝0的倾斜角为60°，所以角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，取k＝－2，得β＝－300°，取k＝－1，得β＝－120°，取k＝0，得β＝60°，取k＝1，得β＝240°，取k＝2，得β＝420°，取k＝3，得β＝600°.所以S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.10．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；(3)求A∩B.[解](1)角α终边所在区域如图①所示．(2)角β终边所在区域如图②所示．图① 图②(3)由(1)(2)知A ∩B ＝{γ|k ·360°＋45°＜γ＜k ·360°＋55°，k ∈Z } .[能力提升练]1．角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为( ) A ．α＋β＝k ·360°，k ∈Z B ．α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z C ．α－β＝k ·360°＋180°，k ∈Z D ．α－β＝k ·360°，k ∈ZB [法一：(特殊值法)令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.故α与β的关系为α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z .法二：(直接法)因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以β＝180°－α＋k ·360°，k ∈Z ，即α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z .]2．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________．270° [由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k ·360°.又180°<α<360°，令k ＝3，得α＝270°.]弧度制(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关D [ 无论是角度制度量角还是弧度制度量角，都与圆的半径没有关系．] 2.29π6是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角B [29π6＝4π＋5π6.∵56π是第二象限角，∴29π6是第二象限角．]3．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．4π3C [与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3，k ∈Z ，令k ＝1，可得与角－4π3终边相同的角是2π3，故选C.]4．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z C ．终边在坐标轴上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π2，k ∈ZD ．终边在直线y ＝x 上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π4＋2k π，k ∈ZD [对于A ，终边在x 轴上角的集合是{α|}α＝k π，k ∈Z ，故A 正确；对于B ，终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ，故B 正确；对于C ，终边在x 轴上的角的集合为{α|}α＝k π，k ∈Z ，终边在y 轴上的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ， 故合在一起即为{α|}α＝k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ＝⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π2，k ∈Z ，故C 正确；对于D ，终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π4＋k π，k ∈Z ，故D 不正确．]5．已知扇形的弧长是4 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．1或4C [因为扇形的弧长为4 cm ，面积为2 cm 2， 所以扇形的面积为12×4×r ＝2，解得r ＝1(cm)，则扇形的圆心角的弧度数为41＝4.故选C.]二、填空题6．把角－274π用角度制表示为________．－1 215° [－274π＝－274×180°＝－1 215°.]7．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为______________． π5，π3，7π15 [因为A ＋B ＋C ＝π， 又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，所以A ＝3π3＋5＋7＝π5，B ＝5π3＋5＋7＝π3，C ＝7π15.]8．圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的外边，则这段弧所对圆心角的弧度数是________．2 3 [设圆的半径为r ，外切正三角形边长为a ，则32a ×13＝r ，则r ＝36a ，又弧长为a ，所以圆心角为：ar＝a36a ＝63＝2 3.]三、解答题9．已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． [解] (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6.又π＜7π6＜3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤γ＜0，∴当k ＝－3时，γ＝－296π；当k ＝－2时，γ＝－176π；当k ＝－1时，γ＝－56π.∴在区间[－5π，0)上与α终边相同的角为－296π，－176π，－56π.10．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S . [解] (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ， 知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r ＝10，∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝253，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝25⎝⎛⎭⎪⎫2π3－3.[能力提升练]1．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z )D ．α－β＝π2＋2k π(k ∈Z )D [∵α＝2k 1π＋x ＋π4，β＝2k 2π＋x －π4(k 1，k 2∈Z )，∴α－β＝2(k 1－k 2)π＋π2，也即α－β＝π2＋2k π(k ∈Z )．]2．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________________．[－4，－π]∪[0，π] [如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．]任意角的三角函数(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．sin(－1 380°)的值为( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32D [sin(－1 380°)＝sin(－4×360°＋60°)＝sin 60°＝32.] 2．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( ) A ．12 B ．－12C ．－32D ．－33C [sin 30°＝12，cos 30°＝32，∴P 点坐标为(1，－3)，r ＝12＋（－3）2＝2，∴sin α＝－32.] 3．已知角α的终边在函数y ＝－|x |的图象上，则cos α的值为( ) A ．22B ．－22C ．22或－22D ．12C [由y ＝－|x |的图象知，α的终边落在第三、四象限的角平分线上，当α终边落在第三象限时，cos α＝－22；当α终边落在第四象限时，cos α＝22.] 4．θ是第二象限角，则下列选项中一定为正值的是( ) A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θC [∵θ是第二象限角，则θ2一定是第一或第三象限角，这时tan θ2一定为正值，故选C.]5．某点从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D ．⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 A [点(1，0)在x 轴正半轴，由题意可知，θ一定在α＝2π3的终边上，∵OQ ＝1，∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.] 二、填空题6．在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213和⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，那么sin α·tan β＝ ．－1613[由任意角的正弦、正切函数的定义知 sin α＝1213，tan β＝45－35＝－43，所以sin α·tan β＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－1613.]7．点P (tan 2 018°，cos 2 018°)位于第 象限． 四 [因为2 018°＝5×360°＋218°， 所以2 018°与218°终边相同，是第三象限角， 所以tan 2 018°＞0，cos 2 018°＜0， 所以点P 位于第四象限．]8．已知角α的终边经过点P (x ，－6)且cos α＝－45，则x ＝ ．－8 [因为|OP |＝x 2＋（－6）2＝x 2＋36， 所以cos α＝xx 2＋36，又cos α＝－45，所以xx 2＋36＝－45，整理得x ＝－8.]三、解答题 9．化简下列各式：(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4；(2)a 2sin 810°－b 2cos 900°＋2ab tan 1 125°. [解] (1)原式＝sin 32π＋cos π2＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.(2)原式＝a 2sin 90°－b 2cos 180°＋2ab tan 45°＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2. 10．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg cos α有意义．(1)试判断角α的终边所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．[解] (1)由1|sin α|＝－1sin α，可知sin α<0.由lg cos α有意义，可知cos α>0， ∴角α的终边在第四象限．(2)∵|OM |＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知 sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.[能力提升练]1．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( ) A ．(2k π，2k π＋π)，k ∈Z B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π2，k π＋π，k ∈Z D ．[]2k π，2k π＋π，k ∈ZB [由sin x ≥0，－cos x ≥0，得x 为第二象限角或y 轴正半轴上的角或x 轴负半轴上的角，所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .]2．若角α满足sin α·cos α＜0，cos α－sin α＜0，则α在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [由sin α·cos α＜0知α是第二或第四象限角，由cos α－sin α＜0，得cos α＜sin α，所以α是第二象限角．]3．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝ ．35 [因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ＜0，r ＝（－3cos θ）2＋（4cos θ）2＝5|cos θ|＝－5cos θ，所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.]4．函数y ＝|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域为 ．{－2，0，2} [已知函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z ，即角x 的终边不能落在坐标轴上，当x 是第一象限角时，cos x ＞0，tan x ＞0，y ＝cos x cos x ＋tan xtan x ＝1＋1＝2；当x 是第二象限角时，cos x ＜0，tan x ＜0，y ＝－cos x cos x ＋－tan xtan x ＝－1－1＝－2；当x 是第三象限角时，cos x ＜0，tan x ＞0，y ＝－cos x cos x ＋tan xtan x ＝－1＋1＝0；当x 是第四象限角时，cos x ＞0，tan x ＜0，y ＝cos x cos x ＋－tan xtan x ＝1－1＝0.综上知原函数的值域是{－2，0，2}．] 5．已知sin θ＜0，tan θ＞0. (1)求角θ的集合； (2)求θ2的终边所在的象限；(3)试判断sin θ2cos θ2tan θ2的符号．[解] (1)因为sin θ＜0，所以θ为第三、四象限角或在y 轴的负半轴上， 因为tan θ＞0，所以θ为第一、三象限角，所以θ为第三象限角，θ角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π＋π＜θ＜2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由(1)可得，k π＋π2＜θ2＜k π＋3π4，k ∈Z .当k 是偶数时，θ2终边在第二象限；当k 是奇数时，θ2终边在第四象限．(3)由(2)可得当k 是偶数时，sin θ2＞0，cos θ2＜0，tan θ2＜0，所以sin θ2cos θ2tan θ2＞0；当k 是奇数时sin θ2＜0，cos θ2＞0，tan θ2＜0，所以sin θ2cos θ2tan θ2＞0.综上知，sin θ2cos θ2tan θ2＞0.三角函数及其应用(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在D ．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在D [终边在y 轴上的角的正切线不存在，故A ，C 错，对任意角都能作正弦线、余弦线，故B 错，因此选D .]2．有三个命题：①π6和5π6的正弦线长度相等；②π3和4π3的正切线相同；③π4和5π4的余弦线长度相等．其中正确说法的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0C [π6和5π6的正弦线关于y 轴对称，长度相等；π3和4π3两角的正切线相同；π4和5π4的余弦线长度相等．故①②③都正确，故选C.]3．角α(0＜α＜2π)的正弦线、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符号相异，那么α的值为( )A ．π4B ．3π4C ．7π4D ．3π4或7π4D [由已知得角α的终边应落在直线y ＝－x 上， 又0＜α＜2π，所以α＝3π4或7π4.]4．cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是( ) A ．cos 1＞cos 2＞cos 3 B ．cos 1＞cos 3＞cos 2 C ．cos 3＞cos 2＞cos 1D ．cos 2＞cos 1＞cos 3A [作出已知三个角的余弦线(如图)，观察图形可知cos 1＞0＞cos 2＞cos 3.] 5．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 D ．[0，π]A [如图，画出三角函数线sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4， sin π4＝cos π4，为使sin x ≤cos x 成立，由图可得在[－π，π]范围内，－3π4≤x ≤π4.]二、填空题6．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为 ．AT>MP>OM [如图：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM .]7．利用三角函数线写出满足tan x ＜3且x ∈(0，2π)的x 的取值范围为 ． ⎝⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4π3 [由tanx ＜3得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，又∵x ∈(0，2π)， ∴x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4π3.]8．函数y ＝2cos x －1的定义域为 ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z ) [因为2cos x －1≥0，所以cos x ≥12.如图：作出余弦值等于12的角：－π3和π3，在图中所示的阴影区域内的每一个角x ，其余弦值均大于或等于12，因而满足cos x ≥12的角的集合为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z )．]三、解答题9．已知－12≤sin θ＜32，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的范围．[解] 画出三角函数线如图．由图可知角θ的范围是⎩⎨⎧θ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π6≤θ＜2k π＋π3或2k π＋2π3＜α≤2k π＋7π6，k ∈Z . 10．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝sin x ·tan x ； (2)f (x )＝lg sin x ＋9－x 2. [解] (1)∵要使函数f (x )有意义，∴sin x ·tan x ≥0，∴sin x 与tan x 同号或sin x ·tan x ＝0， 故x 是第一、四象限的角或终边在x 轴上的角． ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π2＜x ＜2k π＋π2或x ＝（2k ＋1）π，k ∈Z .(2)由题意，要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，9－x 2≥0. 由sin x ＞0得2k π＜x ＜2k π＋π(k ∈Z )， ① 由9－x 2≥0得－3≤x ≤3，②由①②得：f (x )的定义域为{x |0＜x ≤3}．[能力提升练]1．在(0，2π)内，使得|sin x |＞|cos x |成立的x 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎪⎫π，5π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，πC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，7π4D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2C [|sin x |＞|cos x |可转化为x 的正弦线的长度大于余弦线的长度，观察图形可知：在(0，2π)内，使得|sin x |＞|cos x |成立的x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，7π4.]2．点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限D [∵56π＜3＜π，作出单位圆如图所示．设MP ，OM 分别为a ，b . sin 3＝a ＞0，cos 3＝b ＜0， 所以sin 3－cos 3＞0. 因为|MP |＜|OM |，即|a |＜|b |， 所以sin 3＋cos 3＝a ＋b ＜0.故点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限．]同角三角函数的基本关系(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知α是第三象限角，且sin α＝－13，则3cos α＋4tan α＝( )A ．－ 2B ． 2C ．－ 3D ． 3A [因为α是第三象限角，且sin α＝－13，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－223， 所以tan α＝sin αcos α＝122＝24，所以3cos α＋4tan α＝－22＋2＝－ 2.] 2．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是( ) A ．14 B ．12 C ．1 D ．32C [原式＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝sin 2α＋cos 2α＝1.]3．若α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形D [sin α＋cos α＝23得1＋2sin αcos α＝49，所以sin αcos α＝－518＜0，又因α∈(0，π)，所以α为钝角，故三角形为钝角三角形．]4.⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x cos 2x 等于( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos x D ．1tan xD [原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos x ＋cos x sin x ·cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝1sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x.]5．已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13B [因为sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，所以两边平方可得：1＋2sin θcos θ＝169，即sin θ·cos θ＝718，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，又因为0＜θ＜π4，所以sin θ＜cos θ，所以sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－23，故应选B .]二、填空题 6．化简11＋tan 220°的结果是 ．cos 20° [11＋tan 220°＝11＋sin 220°cos 220°＝1cos 220°＋sin 220°cos 220°＝11cos 220°＝|cos 20°|＝cos 20°.] 7．已知sin αcos α＝12，则sin α－cos α＝ ．0 [(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×12＝0，∴sin α－cos α＝0.]8．已知tan α＝2，则4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝ ． 1 [4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α ＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1 ＝4×4－3×2－54＋1＝55＝1.]三、解答题 9．化简下列各式： (1)sin α1＋sin α－sin α1－sin α； (2)⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)．[解] (1)原式＝sin α（1－sin α）－sin α（1＋sin α）（1＋sin α）（1－sin α）＝－2sin 2α1－sin 2α＝－2sin 2αcos 2α＝－2tan 2α.(2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α) ＝1＋cos αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α＝sin α.10．已知2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π.求：(1)tan α；(2)2sin α－3cos α4sin α－9cos α. [解] (1)2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α ＝2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2＋3tan α－3tan 2αtan 2α＋1＝1， 即4tan 2α－3tan α－1＝0， 解得tan α＝－14或tan α＝1.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π，∴α为第二象限角， ∴tan α＜0，∴tan α＝－14.(2)原式＝2tan α－34tan α－9＝720.[能力提升练]1.1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．sin 10°D ．cos 10°B [1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210° ＝（cos 10°－sin 10°）2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.]2．已知sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，则sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝ ．±2 [sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin θ1－cos θsin θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ，又因为sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，所以由根与系数的关系得sin θcos θ＝12，则(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sinθcos θ＝2，所以sin θ＋cos θ＝± 2.]三角函数的诱导公式（1）(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知sin(π＋θ)＝45，则角θ的终边在( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第四象限D ．第三或第四象限D [sin(π＋θ)＝－sin θ＝45，∴sin θ＝－45＜0，所以θ为第三或第四象限角．]2．sin 2(2π－α)＋cos(π＋α)cos(π－α)＋1的值是( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．－1 B [原式＝sin 2α＋(－cos α)·(－cos α)＋1 ＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.]3．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为( ) A ． 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33B [由题意得tan 600°＝－3a，又因为tan 600°＝tan(360°＋240°) ＝tan 240°＝tan(180°＋60°) ＝tan 60°＝3，所以－3a＝3，所以a ＝－ 3.]4．已知点(－4，3)是角α终边上的一点，则sin(π－α)＝( ) A ．35 B ．－35 C ．－45 D ．45A [x ＝－4，y ＝3，∴r ＝（－4）2＋32＝5，∴sin(π－α)＝sin α＝y r ＝35.故选A.]5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α的值为( ) A ．12 B ．－12 C ．32 D ．－32 C [sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32.]二、填空题6．若P (－4，3)是角α终边上一点，则cos （α－3π）·tan （α－2π）sin 2（π－α）的值为________． －53 [由条件可知sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34， ∴cos （α－3π）·tan （α－2π）sin 2（π－α）＝－cos α·tan αsin 2α＝－sin αsin 2α＝－1sin α＝－53.] 7．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________．1213[由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α) ＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°) ＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213.]8．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α＜0，则2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）＝________．－73 [因为sin(α＋π)＝－sin α＝45， 且sin αcos α＜0，所以sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43，所以2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）＝－2sin α－3tan α－4cos α＝85＋4－4×35＝－73.] 三、解答题 9．化简下列各式：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193πcos 76π；(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．[解] (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193πcos 76π＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫6π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝sin π3cos π6＝34. (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°) ＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋ cos(180°＋60°)sin(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.10．已知f (α)＝sin （π＋α）cos （2π－α）tan （－α）tan （－π－α）sin （－π－α）.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．[解] (1)f (α)＝－sin αcos α（－tan α）（－tan α）sin α＝－cos α.(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－265，∴f (α)＝265.(3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.[能力提升练]1．已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞bB [a ＝－tan 7π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22， c ＝－sin33π4＝－sin π4＝－22， ∴b ＞a ＞c .]2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx （x ＜0），f （x －1）－1（x ＞0），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116的值为________．－2 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝sin π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝⎛⎭⎪⎫116－1－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎪⎫56－1－2 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－sin π6－2＝－12－2＝－52， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝12－52＝－2.]三角函数的诱导公式（2）(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＜0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＞0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角B [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＜0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ＞0， ∴θ为第二象限角．]2．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α等于( )A ．－12B ．12C ．32D ．－32A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫7π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－sin α＝－12.]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( ) A ．－13 B ．13 C ．223 D ．－223A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.故选A.]4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )A ．－2a 3B ．－3a 2C ．2a 3D ．3a2B [由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ， 得－sin α－sin α＝－a ，即sin α＝a2，cos(270°－α)＋2sin(360°－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a .]5．化简：sin （θ－5π）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－θcos （8π－θ）sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2sin （－θ－4π）＝( )A ．－sin θB ．sin θC ．cos θD ．－cos θA [原式＝sin （θ－π）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos （－θ）cos θsin （－θ）＝（－sin θ）（－sin θ）cos θcos θ（－sin θ）＝－sin θ.]二、填空题6．(2019·天一大联考)在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3，4)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2 019π2＝________． 35 [∵角α的终边经过点P (3，4)，∴sin α＝45，cos α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2 019π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＝35.]7．化简sin(π＋α)cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos(π＋α)＝________．－1 [原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α) ＝－sin 2α－cos 2α＝－1.]8．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R .若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－5π12＝________．－425 [由f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得f ⎝⎛⎭⎪⎫θ－5π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－5π12－π12＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2＝2sin θ.又∵cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴sin θ＝－45，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－5π12＝－425.]三、解答题9．已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αtan （α－π）sin （α＋π）cos （3π－α）的值．[解] (1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，所以|OP |＝1，sin α＝－35.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－αtan （α－π）sin （α＋π）cos （3π－α） ＝cos αtan α－sin α（－cos α）＝1cos α，由三角函数定义知cos α＝45，故所求式子的值为54.10．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2θ＝tan （9π＋θ）＋1tan （π＋θ）－1. [证明] 左边＝－2cos θ·sin θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ ＝－（sin θ＋cos θ）2（cos θ＋sin θ）（cos θ－sin θ） ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan ·（8π＋π＋θ）＋1tan （π＋θ）－1＝tan （π＋θ）＋1tan （π＋θ）－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θcos θ＋1sin θcos θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ， 所以左边＝右边， 所以等式成立．[能力提升练]1．计算sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝( ) A ．89 B ．90 C ．892D ．45C [原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892.]2．已知f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αcos （－π－α）tan （π－α），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－26π3的值为________．－12 [f (α)＝（－sin α）·（－cos α）（－cos α）·（－tan α）＝sin αcos αsin α＝cos α，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－26π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263π＝cos 263π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π－π3＝－cos π3＝－12.]正弦函数余弦函数的图像(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．用“五点法”作y ＝sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3B [令2x ＝0，π2，π，3π2，2π可得x ＝0，π4，π2，3π4，π，故选B.]2．若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 C [当x ＝π2时，y ＝sin π2＝1，故－m ＝1，m ＝－1.]3．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，则f (x )的图象( )A ．与g (x )的图象相同B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位，得g (x )的图象D ．向右平移π2个单位，得g (x )的图象D [f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ， f (x )图象向右平移π2个单位得到g (x )图象．]4.如图是下列哪个函数的图象( )A ．y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]B ．y ＝1＋2sin x ，x ∈[0，2π]C ．y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]D ．y ＝1－2sin x ，x ∈[0，2π]C [根据图象上特殊点进行验证，可知C 正确．]5．将余弦函数y ＝cos x 的图象向右至少平移m 个单位，可以得到函数y ＝－sin x 的图象，则m ＝( )A ．π2B ．πC ．3π2D ．3π4C [根据诱导公式得，y ＝－sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2，故欲得到y ＝－sin x的图象，需将y ＝cos x 的图象向右至少平移3π2个单位长度．]二、填空题6．用“五点法”作函数y ＝1－cos x ，x ∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点分别是______________．(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，1，(2π，0) [x 依次取0，π2，π，3π2，2π得五个关键点(0，0)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，1，(2π，0)．]7．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝32的交点个数是________．2 [在同一坐标系内画出y ＝1＋sin x 和y ＝32的图象(如图所示)，观察可得交点的个数为2.]8．函数y ＝lg(2－2cos x )的定义域是________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π4＋2k π＜x ＜7π4＋2k π，k ∈Z [由2－2cos x ＞0得cos x ＜22，作出y ＝cos x 的图象和直线y ＝22，由图象可知cos x ＜22的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π4＋2k π＜x ＜7π4＋2k π，k ∈Z .] 三、解答题9．用“五点法”画出y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的简图． [解] 列表：10．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形(如图)，求这个封闭图形的面积．[解] 观察图形可知：图形S 1与S 2，S 3与S 4都是两个对称图形，有S 1＝S 2，S 3＝S 4. 因此函数y ＝2cos x 的图象与直线y ＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC 的面积．∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 矩形OABC ＝2×2π＝4π， ∴所求封闭图形的面积为4π.[能力提升练]1．若sin θ＝1－log 2x ，则实数x 的取值范围是( )A ．[1，4]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1C ．[2，4]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4A [由sin θ∈[－1，1]得－1≤1－log 2x ≤1，解得0≤log 2x ≤2，即1≤x ≤4.]2．方程sin x ＝x10的根的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10A [在同一坐标系内画出y ＝x10和y ＝sin x 的图象如图所示：根据图象可知方程有7个根．]3．在(0，2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________．⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4 [在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，2π)与y ＝cos x ，x ∈(0，2π)的图象如图所示，由图象可观察出当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4时，sin x >cos x ．]4．函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝4的交点的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，4 [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝cos x ＋4，y ＝4得cos x ＝0， 当x ∈[0，2π]时，x ＝π2或3π2，∴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，4.]5．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．[解] f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈（π，2π].图象如图所示，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1，3)．正弦余弦函数的周期性与奇偶性(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．函数f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R ( ) A ．是奇函数，但不是偶函数 B ．是偶函数，但不是奇函数 C ．既是奇函数，又是偶函数 D ．既不是奇函数，又不是偶函数A [函数y ＝x 为奇函数且y ＝sin x 也是奇函数，故f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R 是奇函数．] 2．下列函数中最小正周期为π的偶函数是( ) A ．y ＝sin x2B ．y ＝cos x2C ．y ＝cos xD ．y ＝cos 2xD [A 中函数是奇函数，B 、C 中函数的周期不是π，只有D 符合题目要求．] 3．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω＞0，则ω等于( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 B [由已知得2π|ω|＝π5，又ω＞0，所以2πω＝π5，ω＝10.]4．函数y ＝－x cos x 的部分图象是下图中的( )A B C DD [y ＝cos x 为偶函数，y ＝x 为奇函数，∴y ＝－x cos x 为奇函数，排除A 、C ，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时cos x ＞0，x ＞0，∴y ＜0，故排除B ，选D.]5．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．2B [由已知得f (x ＋π)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1.]二、填空题6．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数； ③存在φ，使f (x )是奇函数； ④对任意的φ，f (x )都不是偶函数． 其中错误的是________(填序号)．①④ [φ＝0时，f (x )＝sin x ，是奇函数，φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数．]7．若函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1，4)，则正整数ω的最大值为________．6 [T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π2＜ω＜2π，∴ω的最大值是6.]8．函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，观察正弦曲线的形状，结合正弦函数的周期性可知，正弦曲线的对称中心为________．(k π，0)(k ∈Z ) [∵y ＝sin x 是奇函数，∴(0，0)是其对称中心，又正弦函数的周期为2k π，结合正弦曲线可知，对称中心为(k π，0)(k ∈Z )．]三、解答题9．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |.(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期． [解] (1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]（k ∈Z ），0，x ∈[2k π－π，2k π]（k ∈Z ），图象如下：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.[能力提升练]1．函数f (x )＝sin x1＋cos x 的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数A [首先1＋cos x ≠0，即x ≠2k π＋π(k ∈Z )，定义域关于原点对称，又y ＝sin x 是奇函数，y ＝1＋cos x 是偶函数，所以f (x )＝sin x1＋cos x是奇函数．]2．设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝( )A ．32 B ．－32C ．0D ． 3 D [∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝336[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 017)＋f (2 018) ＝336⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π＋f (336×6＋1)＋f (336×6＋2)＝336×0＋f (1)＋f (2)＝sin π3＋sin 23π＝ 3.]3．已知f (x )是定义在(－3，3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x ＜0的解集是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3 [∵f (x )是(－3，3)上的奇函数，∴g (x )＝f (x )·cosx 是(－3，3)上的奇函数，从而观察图象(略)可知所求不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3.]4．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ≤0，sin x ，0＜x≤π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4的值等于________．22 [因为函数f (x )的周期为3π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＋3π2×3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，又∵3π4∈(0，π]，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝sin 3π4＝22.]5．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，若函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，求关于x 的方程g (x )＝32的解集．[解] 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3. 因为x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以由g (x )＝32解得x ＋π3＝－π6或π6，即x ＝－π2或－π6. 又因为g (x )的最小正周期为π，所以g (x )＝32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π2或x ＝k π－π6，k ∈Z .正弦余弦函数的单调性与最值(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2A [对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函。
2016高中数学人教A版必修四第二章章末综合检测 练习题含答案
解析：选 C.因为 A ，B ，D 三点共线，所以存在实数 t ，使AD ＝tAB ，则CD －CA ＝t (CB － 3 即 λ＝－1.CA )，即CD ＝CA ＋t (CB －CA )＝(1－t )CA ＋tCB ，所以⎨⎪⎩t ＝λ， 解析：选 B.a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以 λ＝ .4．已知点 O ，N 在△ABC 所在平面内，且|OA |＝|OB |＝|OC |，NA ＋NB ＋NC ＝0，则点 O ， 解析：选 C.由|OA |＝|OB |＝|OC |知，O △为 ABC 的外心；由NA ＋NB ＋NC ＝0，得AN ＝NB ＋NC ，取 BC 边的中点 D ，则AN ＝NB ＋NC ＝2ND ，知 A 、N 、D 三点共线，且 AN ＝2ND ， y ＝cos x 在[0，π]上是递减的，所以 α＝ －θ，故选 C.2．已知 A 、B 、D 三点共线，存在点 C ，满足CD ＝ CA ＋λCB ，则 λ＝( )A. B ． C ．－ D ．－ A. B ． 5．已知向量 a ＝(cos θ，sin θ)，其中 θ∈b ＝(0，－1)，则 a 与 b 的夹角等于()⎝2，π⎭， A ．θ－ B ． ＋θC.－θ D ．θ所以 cos α＝ ＝－sin θ＝cos( －θ)，因为 θ∈⎝2，π⎭，α∈[0，π]，|a ||b |2,[学生用书单独成册])(时间：100 分钟，分数：120 分)一、选择题(本大题共有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每个小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( ) A ．共线向量的方向相同 B ．零向量是 0C ．长度相等的向量叫做相等向量D ．共线向量是在一条直线上的向量解析：选 B.对 A ，共线向量的方向相同或相反，错误；对B ，零向量是 0，正确；对C ， 方向相同且长度相等的向量叫做相等向量，错误；对D ，共线向量所在直线可能平行，也可 能重合，错误．故选 B.→ 4 → →32 1 33 1 233→ → → → →→ → → → → → →⎧⎪1－t ＝4， 33．已知向量 a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)．若 λ 为实数，(a ＋λb )∥c ，则 λ＝( ) 1 1 4 2 C ．1 D ．212→ → → → → →N 依次是△ABC 的( )A ．重心，外心B ．重心，内心C ．外心，重心D ．外心，内心→ → → → → → → →→ → → → →故点 N 是△ABC 的重心．⎛π ⎫ π π2 2 3π2 解析：选 C.设 a 与 b 的夹角为 α，a · b ＝cos θ·0＋sin θ·(－1)＝－sin θ，|a |＝1，|b |＝1，a ·b 3π ⎛π ⎫3π2＝cos(π－C )－cos(π－A )－cos(π－B )＝－cos C ＋cos A ＋cos B ＝cos 60°＝ .故选 D.所以∠COA ＝ ，即 a 与 a ＋b 的夹角为 .△8．在 ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边 BC 的三等分点，则AE · A F ＝ 解析：选 A.依题意，不妨设BE ＝ EC ，BF ＝2FC ，则有AE －AB ＝ (AC －AE )，即AE ＝ AB ＋ AC ；AF －AB ＝2(AC －AF )，即AF ＝ AB ＋ AC .所以AE ·AF ＝( AB ＋ AC )·( AB ＋ AC )＝ (2AB ＋AC )·(AB ＋2AC )＝ (2AB 2＋2AC 2＋5AB · A C )＝ (2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝ ，故选 A.又 c·a ＝－(a ＋b )· a ＝－a 2－a·b ＝－1－cos 60°＝－ ，6．已知等边三角形 ABC 的边长为 1，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则 a·b －b · c －c·a 等于() A ．－ B ． C ．－ D ． A. B ． C. D ．π 夹角为∠COA ，因为 tan ∠COA ＝＝ 3，A. B ． C. D ．→ → →3 32 21 122解析：选 D.由平面向量的数量积的定义知，a·b －b·c －c·a ＝|a||b|cos(π－C )－|b||c|cos(π－A )－|c||a|cos(π－B )127．已知平面向量 a ，b ，|a |＝1，|b |＝ 3，且|2a ＋b |＝ 7，则向量 a 与向量 a ＋b 的夹角 为( )π π 2 3 π6解析：选 B.因为|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝ 3， 所以 4＋4a·b ＋3＝7，a·b ＝0，所以 a ⊥b .如图所示，a 与 a ＋b 的|CA ||OA | π π3 3→ →( )5 5 3 4 10 15 98→ 1 → → → → → 1 → →2 2→ 2 → 1 → 3 3→ → → → → 1 → 2 → 3 3→ → 2 → 1 → 1 → 2 →3 3 3 31 → → → → 91 → → → → 9 1 59 39．已知非零向量 a ，b ，c 满足 a ＋b ＋c ＝0，向量 a ，b 的夹角为 60°，且|b |＝|a |＝1， 则向量 a 与 c 的夹角为( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．150°解析：选 D.因为 a ＋b ＋c ＝0，所以 c ＝－(a ＋b )，所以|c |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝2＋2cos 60°＝3，所以|c |＝ 3.3223设向量c与a的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，10在△．A BC中，AC＝6，BC＝7，cos A＝，O是△ABC的内心，若OP＝xOA＋yOB，A.6B．6C.D．解析：选A.如图，因为OP＝xOA＋yOB，其中0≤x≤1，0≤y≤1，所以△在ABC中，由向量的减法法则得BC＝AC－AB，所以BC2＝(AC－AB)2，即|BC|2＝|AC|2＋|AB|2－2|AC||AB|cos A，由已知得72＝62＋|AB|2－12·|AB|×，所以5|AB|2－12|AB|－65＝0，所以|AB|＝5.即(6＋5＋7)×r＝66，所以r＝，故所求的面积S＝AB×r＝5×6＝ 6.12．如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设AD＝a，AB＝b，若AB＝2DC，则AO＝________(用向量a和b表示)．1⎫→→→→μ解析：因为AO＝μAC＝μ(AD＋DC)＝μ⎝a＋2b⎭＝μa＋b.μ2→21因为μ＋＝1，解得μ＝.所以AO＝a＋b.答案：a＋b120°.设OC＝－3OA＋λOB(λ∈R)，则λ＝________．解析：由题意，得OC＝－3(－1，0)＋λ(－1，3)＝(3－λ，3λ)，因为∠AOC＝120°，3－a·c|a||c|3×12因为0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.1→→→5其中0≤x≤1，0≤y≤1，则动点P的轨迹所覆盖的面积为()10533102033→→→动点P的轨迹所覆盖的区域是以OA，OB为邻边的平行四边形OAMB，则动点P的轨迹所覆盖的面积S＝AB×r，r△为ABC的内切圆的半径．→→→→→→→→→→→→→15→→→1所以△SABC＝2×6×5×sin A＝66，又O△为ABC的内心，故O△到ABC各边的距离均为r，1此时△ABC的面积可以分割为三个小三角形的面积的和，所以△SABC＝2(6＋5＋7)×r，1226210333二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若m a＋4b与a－2b共线，则m的值为________．解析：m a＋4b＝(2m－4，3m＋8)，a－2b＝(4，－1)，因为m a＋4b与a－2b共线，所以－1(2m－4)＝4(3m＋8)，解得m＝－2.答案：－2→→→→→⎛22333213313．已知两点A(－1，0)，B(－1，3)，O为坐标原点，点C在第一象限，且∠AOC＝→→→→λ－3 OA ·OC所以 ＝－ ，即 ＝－ ，解得 λ＝ . → → （3－λ）2＋3λ2 2 3BE ，DC ＝λDF .若AE ·AF ＝1，则 λ 的值为________．解析：因为AE ＝AB ＋BE ＝AB ＋ AD ，AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋ AB ，所以AE ·AF ＝(AB ＋ AD )·(AD ＋ AB )1 → 1＋3λ → → 1 → ＝ AB 2＋ AD ·AB ＋ AD 2＝ ＋ ×2×2×cos 120°＋ ＝ ＝1.15．若将向量 a ＝(1，2)绕原点按逆时针方向旋转 得到向量 b ，则 b 的坐标是________．a·b ＝|a||b |·cos ＝ 5× 5× ＝ ，又 x 2＋y 2＝5，a·b ＝x ＋2y ，得 x ＋2y ＝ ，解得 x ＝－ ，y ＝ (舍去 x ＝ ，y ＝ )．故 b ＝⎝－ 2 3 2⎫ 2 ⎭ ， . 答案：⎝－ 2 3 2⎫ 2 ⎭ 2(2)若|b |＝ ，且 a ＋2b 与 2a －b 垂直，求 a 与 b 的夹角 θ. 即 2|a |2＋3a · b －2|b |2＝0，将|a |＝ 5，|b |＝ 代入，得 a·b ＝－ .所以 cos θ＝＝－1，又由 θ∈[0，π]，得 θ＝π，即 a 与 b 的夹角为 π.→ →1 1 32 2 2|OA ||OC |3答案：14．已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD ＝120°，点 E ，F 分别在边 BC 、DC 上，BC ＝→ →→ → → → 1 → → → → → 1 →3 λ→ → → 1 → → 1 →3 λλ 3λ 3 4 1＋3λ 4 10－2λ λ 3λ 3 3λ 解得 λ＝2. 答案：2π4解析：如图，设 b ＝(x ，y )，则|b |＝|a |＝ 5，π 2 5 242 2 5 222 3 2 3 2 22 2 2 2⎛⎛2 ，三、解答题(本大题共 5 小题，共 55 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分 10 分)已知 a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中 a ＝(1，2)． (1)若|c |＝2 5，且 c ∥a ，求 c 的坐标；52 解：(1)由 a ＝(1，2)，得|a |＝ 12＋22＝ 5， 又|c |＝2 5，所以|c |＝2|a |. 又因为 c ∥a ，所以 c ＝±2a ，所以 c ＝(2，4)或 c ＝(－2，－4)．(2)因为 a ＋2b 与 2a －b 垂直，所以(a ＋2b )·(2a －b )＝0，5 52 2 a·b|a|·|b |(1)求AB，AC及|AB＋AC|；(2)设实数t满足(AB－tOC)⊥OC，求t的值．所以AB＝(－3，－1)，AC＝(1，－5)，AB＋AC＝(－2，－6)，|AB＋AC|＝（－2）2＋（－6）2＝210.(2)因为(AB－tOC)⊥OC，所以(AB－tOC)·O C＝0，即AB·OC－tOC2＝0，因为AB·OC＝－3×2＋(－1)×(－1)＝－5，OC2＝22＋(－1)2＝5，所以－5－5t＝0，所以t＝－1.18．(本小题满分10分)已知向量OP1、OP2、OP3满足条件OP1＋OP2＋OP3＝0，|OP1|＝|OP|＝|OP3|＝1.证明：因为OP1＋OP2＋OP3＝0，所以OP1＋OP2＝－OP3，所以(OP1＋OP2)2＝(－OP3)2，所以|OP1|2＋|OP2|2＋2OP1·OP2＝|OP3|2，OP1·OP2→→所以|P1P2|＝|OP2－OP1|＝（OP2－OP1）2＝OP12＋OP22－2OP1·OP2＝ 3.同理可得|P2P3|＝|P3P1|＝ 3.△2(1)BE＝OE－OB＝(1，2)－(2，0)＝(－1，2)，CF＝OF－OC＝(0，1)－(2，2)＝(－2，－1)，因为BE·CF＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，所以BE⊥CF，即BE⊥CF.(2)设P(x，y)，则FP＝(x，y－1)，CF＝(－2，－1)，因为FP∥CF，所以－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.同理，由BP∥BE，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2.17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，4)，B(－2，3)，C(2，－1)．→→→→→→→解：(1)因为A(1，4)，B(－2，3)，C(2，－1)．→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→求证：P1P2P3是正三角形．→→→→→→→→→→→→→→→→→→11所以OP1·OP2＝－2，又cos∠P1OP2＝→→＝－2，所以∠P1OP2＝120°.|OP1|·|OP2|→→→→→→→→→△故P1P2P3是等边三角形．19．(本小题满分12分)已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.证明：如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1)．→→→→→→→→→→→→→→→→解得 x ＝ ，所以 y ＝ ，即 P ⎝5，5⎭.所以AP 2＝⎝5⎭ ＋⎝5⎭ ＝4＝AB 2，所以|AP |＝|AB |，即 AP ＝AB .若OA ＝a ，OB ＝b ，试用 a ，b 表示OP ，OQ ，并判断OP ＋OQ 与OA ＋OB 的 解：(1)OP ＝OA ＋AP ＝OA ＋ AB＝OA ＋ (OB －OA )＝ OA ＋ OB ＝ a ＋ b .同理OQ ＝ a ＋ b .OP ＋OQ ＝a ＋b ＝OA ＋OB . (2)结论：OA ＋OB 1＋OA n －1＝OA 2＋OA n －2＝…＝OA . 由(1)可推出OA 1＝OA ＋AA 1＝OA ＋ AB所以OA 1＋OA n －1＝a ＋b ＝OA ＋OB .所以OA ＝a ＋b ＝OA ＋OB 2＋OA n －2，…，因此有OA ＋OA 1 n －1＝OA 2＋OA n －2＝…＝OA ＋OB .＝OA ＋ (OB －OA )＝n －1 →nOA ＋ OB ，6 8 ⎛6 8⎫ 5 5→ ⎛6⎫2 ⎛8⎫2 → → →20．(本小题满分 13 分)(1)如图，设点 P ，Q 是线段 AB 的三等分点， → → → → → → → →关系．(2)受(1)的启示，如果点 A 1，A 2，A 3，…，A n －1 是 AB 的 n (n ≥3)等分 点，你能得到什么结论？请证明你的结论．→→ → → 1 →3→ 1 → → 2 → 1 → 2 1 3 3 3 3 3 → 1 23 3→ → → →→ → → → → → 证明如下：→ → → → 1 → n→ 1 → →1 →nn→n －1 1所以OA 1＝ na ＋nb ，→ 1 n －1同理OA n －1＝n a ＋ n b ，→ → → →n －2 2又 OA 2＝ n a ＋n b ， → 2 n －2OA n －2＝n a ＋ n b ，→ → → →→ → → → → →。
(word完整版)人教版高中数学必修4课后习题答案(2021年整理)
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人教版高中数学必修4课后习题答案。
人教版高中数学必修4课后习题答案详解
第二章 平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念练习（P77）1、略.2、AB u u u r ，BA u u u r . 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、2AB =u u u r ， 2.5CD =u u u r ，3EF =u u u r，GH =u u u r4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同.习题 A 组（P77）1、（2）.3、与DE u u u r 相等的向量有：,AF FC u u u r u u u r ；与EF u u u r 相等的向量有：,BD DA u u u r u u u r ；与FD u u u r 相等的向量有：,CE EB u u u r u u u r .4、与a r 相等的向量有：,,CO QP SR u u u r u u u r u u r ；与b r 相等的向量有：,PM DO u u u u r u u u r ；与c r 相等的向量有：,,DC RQ ST u u u r u u u r u uu r5、AD =u u u r .6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×. 习题 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM u u u u r 同向的共有6对，与AM u u u u r 反向的也有6对；与AD u u u r 同向的共有3对，与AD u u ur 反向的也有6对；模的向量共有4对；模为2的向量有2对2．2平面向量的线性运算练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA u u u r ； （2）CB u u u r .4、（1）c r ； （2）f u r ； （3）f u r ； （4）g u r .练习（P87）1、图略.2、DB u u u r ，CA u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r ，BA u u u r .3、图略.练习（P90）1、图略.2、57AC AB =u u u r u u u r ，27BC AB =-u u u r u u u r . 说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BCuuu r 与AB u u u r 反向.3、（1）2b a =r r ； （2）74b a =-r r ； （3）12b a =-r r ； （4）89b a =r r . 4、（1）共线； （2）共线.5、（1）32a b -r r ； （2）111123a b -+r r ； （3）2ya r . 6、图略. 习题 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ； （2）向东走5 km ； （3）向东北走km；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.3、解：如右图所示：AB u u u r 表示船速，AD u u u r 表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则 AC u u u r 表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =u u u r ，2AD =u u u r ， 所以222282217AC AB AD =+=+=u u u r u u u r u u u r因为tan 4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是217km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.4、（1）0r ； （2）AB u u u r ； （3）BA u u u r ； （4）0r ； （5）0r ； （6）CB u u u r ； （7）0r .5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略. 8、（1）略； （2）当a b ⊥r r 时，a b a b +=-r r r r9、（1）22a b --r r ； （2）102210a b c -+r r r ； （3）132a b +r r ； （4）2()x y b -r . 10、14a b e +=r r u r ，124a b e e -=-+r r u r u u r ，1232310a b e e -=-+r r u r u u r .11、如图所示，OC a =-u u u r r ，OD b =-u u u r r ，DC b a =-u u u r r r ，BC a b =--u u u r r r .12、14AE b =u u u r r ，BC b a =-u u u r r r ，1()4DE b a =-u u u r r r ，34DB a =u u u r r ， 34EC b =u u u r r ，1()8DN b a =-u u u r r r ，11()48AN AM a b ==+u u u r u u u u r r r . 13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =， 即12EF AC =u u u r u u u r ； 同理，12HG AC =u u u r u u u r ， 所以EF HG =u u u r u u u r .习题 B 组（P92） （第11题）（第12题） （第13题） E H G F C AB1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b r r 不共线时它们不相等.3、证明：因为MN AN AM =-u u u u r u u u r u u u u r ，而13AN AC =u u u r u u u r ，13AM AB =u u u u r u u u r ， 所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略（2）四边形ABCD 为梯形. 证明：∵13AD BC =u u u r u u u r ， ∴AD BC //且AD BC ≠∴四边形ABCD 为梯形.（3）四边形ABCD 为菱形. 证明：∵AB DC =u u u r u u u r ，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形 又AB AD =u u u r u u u r∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形. 证明：因为OA OB BA -=u u u r u u u r u u u r ，OD OC CD -=u u u r u u u r u u u r而OA OC OB OD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r所以OA OB OD OC -=-u u u r u u u r u u u r u u u r所以BA CD =u u u r u u u r ，即∥.因此，四边形ABCD 为平行四边形.2．3平面向量的基本定理及坐标表示练习（P100） 1、（1）(3,6)a b +=r r ，(7,2)a b -=-r r ； （2）(1,11)a b +=r r ，(7,5)a b -=-r r ；（第1题）（第4题(2)）（第4题(3)）（第5题）（3）(0,0)a b +=r r ，(4,6)a b -=r r ； （4）(3,4)a b +=r r ，(3,4)a b -=-r r .2、24(6,8)a b -+=--r r ，43(12,5)a b +=r r .3、（1）(3,4)AB =u u u r ，(3,4)BA =--u u u r ； （2）(9,1)AB =-u u u r ，(9,1)BA =-u u u r ；（3）(0,2)AB =u u u r ，(0,2)BA =-u u u r ； （4）(5,0)AB =u u u r ，(5,0)BA =-u u u r4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r ，所以AB CD =u u u r u u u r .所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)； （2）(1,4)； （3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3-7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =u u u r u u u r ，得32AP PB =-u u u r u u u r (,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--u u u r ，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---u u u r∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩ ∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题 A 组（P101）1、（1）(2,1)-； （2）(0,8)； （3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题.2、123(8,0)F F F ++=u u r u u r u u r3、解法一：(1,2)OA =--u u u r ，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r而AD BC =u u u r u u u r ，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 所以点D 的坐标为(1,5).解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++u u u r ，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r由AD BC =u u u r u u u r 可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =u u u r ，(2,4)AB =-u u u r . 1(1,2)2AC AB ==-u u u r u u u r ，2(4,8)AD AB ==-u u u r u u u r ，1(1,2)2AE AB =-=-u u u r u u u r . (0,3)OC OA AC =+=u u u r u u u r u u u r ，所以，点C 的坐标为(0,3)；(3,9)OD OA AD =+=-u u u r u u u r u u u r ，所以，点D 的坐标为(3,9)-；(2,1)OE OA AE =+=-u u u r u u u r u u u r ，所以，点E 的坐标为(2,1)-.5、由向量,a b r r 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-.6、(4,4)AB =u u u r ，(8,8)CD =--u u u r ，2CD AB =-u u u r u u u r ，所以AB u u u r 与CD uuu r 共线.7、2(2,4)OA OA '==u u u r u u u r ，所以点A '的坐标为(2,4)； 3(3,9)OB OB '==-u u u r u u u r ，所以点B '的坐标为(3,9)-； 故 (3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=-u u u u r习题 B 组（P101）1、(1,2)OA =u u u r ，(3,3)AB =u u u r .当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以(4,5)P ；当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r ，所以57(,)22P ； 当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--u u u r u u u r u u u r ，所以(5,4)P --；当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r ，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--u u u r ，(1,1.5)AC =u u u r ，所以4AB AC =-u u u r u u u r ，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ =-u u u r ，(6,8)PR =-u u u r ，所以4PR PQ =u u u r u u u r ，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF =--u u u r ，(1,0.5)EG =--u u u r ，所以8EF EG =u u u r u u u r ，所以E 、F 、G三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=u r u u r r ，得2121e e λλ=-u r u u r . 所以12,e e u r u u r 是共线向量，与已知12,e e u r u u r 是平面内的一组基底矛盾,因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）OP =u u u r （2）对于任意向量12OP xe ye =+u u u r u r u u r ，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=u r r u r r u r r . 2、当0a b ⋅<r r 时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=r r 时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略练习（P107）1、5a ==r ，b ==r 35427a b ⋅=-⨯+⨯=-r r .2、8a b ⋅=r r ，()()7a b a b +-=-r r r r ，()0a b c ⋅+=r r r ，2()49a b +=r r .3、1a b ⋅=r r ，a =r b =r 88θ≈︒.习题 A 组（P108）1、a b ⋅=-r r 222()225a b a a b b +=+⋅+=-r r r r r r a b +=r r2、BC uuu r 与CA u u u r 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-u u u r u u u r .3、a b +==r r ，a b -==r r .4、证法一：设a r 与b r 的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λr 与b r ，a r 与b λr 的夹角都为θ，所以()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r()cos a b a b λλθ⋅=r r r r()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；（3）当0λ<时，a λr 与b r ，a r 与b λr的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-r r r r r r()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r； 综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+r r11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--u u u r ，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-u u u r∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=u u u r ，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-u u u r∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r∴AB AC ⊥u u u r u u u r，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-u u u r ，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=u u u r∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=r r r r r r r r ，于是可得6a b ⋅=-r r ，1cos 2a b a bθ⋅==-r r r r ，所以120θ=︒.8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-u u u r ，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=u u u r，(8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-u u u r∴AB DC =u u u r u u u r ，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯=u u u r u u u r∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =r，则2292x y yx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是(55a =r或(55a =--r . 11、解：设与a r 垂直的单位向量(,)e x y =r，则221420x y x y ⎧+=⎨+=⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是,55e =-r或(55e =-r . 习题 B 组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥-r r r r r r r r r r r r r r证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，33(,)c x y =r.先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-r r r r r r r1212a b x x y y ⋅=+r r ，1313a c x x y y ⋅=+r r由a b a c⋅=⋅r r r r 得12121313x x y y x x y y +=+，即123123()()0x x x y y y -+-=而2323(,)b c x x y y -=--r r，所以()0a b c ⋅-=r r r 再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅r r r r r r r由()0a b c ⋅-=r r r得 123123()()0x x x y y y -+-=，即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅r r r r2、cos cos cos sin sin OA OBAOB OA OB αβαβ⋅∠==+u u u r u u u r u u u r u u u r .3、证明：构造向量(,)u a b =r ，(,)v c d =r.cos ,u v u v u v ⋅=<>r r r r r r，所以,ac bd u v +=<>r r∴2222222222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++r r4、AB AC ⋅u u u r u u u r的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =u u u u r u u u r又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠u u u r u u u r u u u r u u u r，而AM BAC AC∠=u u u u r u u u r所以212AB AC AB AM AB ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r（第4题）5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r证明：∵AB CB CA =-u u u r u u u r u u u r∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅=u u u r u u u r∴222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，,DB AB AD =-u u u r u u u r u u u r∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -=u u u r u u u r∴0AC DB ⋅=u u u r u u u r，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=u u u r u u u r∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∴22()()AB AD AB AD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以22AC BD =u u u r u u u r ，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可. 2．5平面向量应用举例 习题 A 组（P113）1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--u u u r，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-u u u r由2RA AP =u u u r u u u r 得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y =-+⎧⎨=-⎩代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =,所以23BO BF =. 2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r r（2）因为1()2AE a b =+u u u r r r所以23AO AE =u u u r u u u r ，因此,,A O E 三点共线，而且2AO OE =同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO COOE OF OD===3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-r u u r u u r；（2）v r 在A v u u r方向上的投影为135A Av v v ⋅=r u u ru u r .4、解：设1F u u r ，2F u u r 的合力为F u r ，F u r 与1F u u r的夹角为θ，则31F =+u r ，30θ=︒； 331F =+u u r ，3F u u r 与1F u u r的夹角为150°.习题 B 组（P113）1、解：设0v u u r 在水平方向的速度大小为x v u u r，竖直方向的速度的大小为y v u u r ，则0cos x v v θ=u u r u u r ，0sin y v v θ=u u r u u r.设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩u u r u u r为重力加速度 所以，最大高度为220sin 2v gθu u r ，最大投掷距离为20sin 2v gθu u r .2、解：设1v u r 与2v u u r 的夹角为θ，合速度为v r ，2v u u r 与v r的夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v v vθθα==u rrr ，0.5sin 20sin v d αθ==r . ∴120sin d v θ=r . 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、（1）(0,1)-解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--u u u r .(2,22)AB =-u u u r. （第4题）将AB u u u r 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP u u u r ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP u u u r，于是7777(2cos 22sin ,2sin 22cos )(1,3)4444AP ππππ=+-=--u u u r所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==-（2）32y x=-解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP u u u r 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y ''则cos sin 44sin cos44x x y y x y ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即2()2()x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x=-第二章 复习参考题A 组（P118）1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.2、（1）D ； （2）B ； （3）D ； （4）C ； （5）D ； （6）B .3、1()2AB a b =-u u u r r r ，1()2AD a b =+u u u r r r4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r r r2233AD a b =+u u u r r r ，1133BC a b =+u u u r r r1133EF a b =--u u u r r r，1233FA DC a b ==-u u u r u u u r r r1233CD a b =-+u u u r r r ，2133AB a b =-u u ur r rCE a b =-+u u u r r r 5、（1）(8,8)AB =-u u u r ，82AB =u u u r；（2）(2,16)OC =-u u u r ，(8,8)OD =-u u u r ； （3）33OA OB ⋅=u u u r u u u r.（第4题）6、AB u u u r 与CD u u ur 共线.证明：因为(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r ，所以AB CD =u u u r u u u r . 所以AB u u u r 与CD u u u r 共线.7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C ===11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=r u r u r r u r u r ，所以(2)n m m -⊥r u r u r . 12、1λ=-. 13、13a b +=r r ，1a b -=r r . 14、519cos ,cos 820θβ==第二章 复习参考题B 组（P119）1、（1）A ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）C ； （6）C ； （7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-r r r r r r.222()2a b a b a b a b +=+=++⋅r r r r r r r r，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅r r r r r r r r .因为a b ⊥r r ，所以0a b ⋅=r r ，于是22a b a b a b +=+=-r rr r r r .再证a b a b a b +=-⇒⊥r r r r r r.由于222a b a a b b +=+⋅+r r r r r r ，222a b a a b b -=-⋅+r r r r r r 由a b a b +=-r r r r可得0a b ⋅=，于是a b ⊥r所以a b a b a b +=-⇔⊥r r r r r r. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】 3、证明：先证a b c d =⇒⊥r r r u r22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=-r u r r r r r r r 又a b =r r，所以0c d ⋅=r u r ，所以c d ⊥r u r再证c d a b ⊥⇒=r u r r r.由c d ⊥r u r 得0c d ⋅=r u r，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=r r r r r r（第3题）（第6题） 所以a b =r r【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所示】4、12AD AB BC CD a b =++=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r ，1142AE a b =+u u u r r r而34EF a =u u u r r ，14EM a =u u u u r r ，所以1111(4242AM AE EM a b a =+=++=u u u u r u u u r u u u u r r r r 5、证明：如图所示，12OD OP OP =+u u u r u u u r u u u u r ，由于1230OP OP OP ++=u u u r u u u u r u u u r r，所以3OP OD =-u u u r u u u r ，1OD =u u u r所以11OD OP PD ==u u u r u u u r u u u r 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形. 6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，22MN AB b ==-u u u u r u u u r r 7、（18=（千米／时）， 沿与水流方向成60°的方向前进； （2）实际前进速度大小为 沿与水流方向成90︒+的方向前进. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()0OB OA OC ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，所以0OB CA ⋅=u u u r u u u r同理，0OA BC ⋅=u u u r u u u r ，0OC AB ⋅=u u u r u u u r，所以点O 是ABC ∆的垂心. 9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=； （2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，夹角θ的余弦cos θ=；（4）d =P 2（第5题）第三章 三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习（P127）1、cos()cos cos sin sin 0cos 1sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+⨯=.cos(2)cos2cos sin2sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=⨯+⨯=.2、解：由3cos ,(,)52πααπ=-∈，得4sin 5α==；所以34cos()cos cos sin sin ()44455πππααα-=+=-+=3、解：由15sin 17θ=，θ是第二象限角，得8cos 17θ===-；所以8115cos()cos cos sin sin 33317217πππθθθ-=+=-⨯+=.4、解：由23sin ,(,)32πααπ=-∈，得cos α==又由33cos ,(,2)42πββπ=∈，得sin β==所以32cos()cos cos sin sin ((()434312βαβαβα--=+=⨯+⨯-=. 练习（P131）1、（1； （2） （3 （4）22、解：由3cos ,(,)52πθθπ=-∈，得4sin 5θ==；所以413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=.3、解：由12sin 13θ=-，θ是第三象限角，得5cos 13θ===-；所以5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=. 4、解：tan tan314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯-⋅. 5、（1）1； （2）12； （3）1； （4）；（5）原式=1(cos34cos26sin34sin 26)cos(3426)cos602-︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-；（6）原式=sin 20cos70cos20sin70(sin 20cos70cos20sin70)sin901-︒︒-︒︒=-︒︒+︒︒=-︒=-.6、（1）原式=cos cos sin sin cos()333x x x πππ-=+；（2）原式=1cos )2(sin cos cos sin )2sin()2666x x x x x πππ+=+=+；（3）原式=)2(sin cos cos sin )2sin()444x x x x x πππ=-=-；（4）原式=12(cos )cos sin sin )cos()2333x x x x x πππ=-=+.7、解：由已知得3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，即3sin[()]5αβα--=，3sin()5β-=所以3sin 5β=-. 又β是第三象限角，于是4cos 5β===-.因此55534sin()sin cos cos sin ()(()(44455πππβββ+=+=-+-=. 练习（P135）1、解：因为812παπ<<，所以382αππ<<又由4cos 85α=-，得3sin 85α=-，3sin385tan 484cos 85ααα-===-所以3424sinsin(2)2sin cos 2()()48885525αααα=⨯==⨯-⨯-=2222437cos cos(2)cos sin ()()48885525αααα=⨯=-=---=2232tan23162484tan tan(2)3482771tan 1()84αααα⨯=⨯===⨯=-- 2、解：由3sin()5απ-=，得3sin 5α=-，所以222316cos 1sin 1()525αα=-=--=所以2221637cos2cos sin ()25525ααα=-=--=3、解：由sin2sin αα=-且sin 0α≠可得1cos 2α=-，又由(,)2παπ∈，得sin α=，所以sin tan (2)cos ααα==-= 4、解：由1tan 23α=，得22tan 11tan 3αα=-. 所以2tan 6tan 10αα+-=，所以tan 3α=-5、（1）11sin15cos15sin3024︒︒=︒=； （2）22cos sin cos 88πππ-==；（3）原式=212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒⋅=︒=-︒； （4）原式=cos45︒=. 习题 A 组（P137）1、（1）333cos()cos cos sin sin 0cos (1)sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+-⨯=-； （2）333sin()sin cos cos sin 1cos 0sin cos 222πππαααααα-=-=-⨯-⨯=-；（3）cos()cos cos sin sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=-⨯+⨯=-； （4）sin()sin coscos sin 0cos (1)sin sin παπαπαααα-=-=⨯--⨯=.2、解：由3cos ,05ααπ=<<，得4sin 5α==，所以431cos()coscos sin sin 666552πππααα-=+=⨯=. 3、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由33cos ,(,)42πββπ=-∈，得sin β===，所以32cos()cos cos sin sin ()(43αβαβαβ-=+=-+⨯=.4、解：由1cos 7α=，α是锐角，得sin α=== 因为,αβ是锐角，所以(0,)αβπ+∈， 又因为11cos()14αβ+=-，所以sin()αβ+=== 所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++1111()1472=-⨯= 5、解：由60150α︒<<︒，得9030180α︒<︒+<︒又由3sin(30)5α︒+=，得4cos(30)5α︒+=-所以cos cos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin30αααα=︒+-︒=︒+︒+︒+︒431552=-+⨯=6、（1）； （2） （3）2-7、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由3cos 4β=-，β是第三象限角，得sin β==.所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-32()(43=--⨯=sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-23()((=⨯--⨯ =8、解：∵53sin ,cos 135A B ==且,A B 为ABC ∆的内角∴0,02A B ππ<<<<，124cos ,sin 135A B =±=当12cos 13A =-时，sin()sin cos cos sin AB A B A B +=+5312433()013513565=⨯+-⨯=-< A B π+>，不合题意，舍去∴124cos ,sin 135A B == ∴cos cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B =-+=--1235416()13513565-⨯-⨯=- 9、解：由3sin,(,)52πθθπ=∈，得4cos 5θ==-.∴sin 353tan ()cos 544θθθ==⨯-=-. ∴31tan tan 242tan()311tan tan 111()42θϕθϕθϕ-+++===--⋅--⨯. 31tan tan 42tan()2311tan tan 1()42θϕθϕθϕ----===-+⋅+-⨯. 10、解：∵tan ,tan αβ是22370x x +-=的两个实数根.∴3tan tan 2αβ+=-，7tan tan 2αβ⋅=-.∴3tan tan 12tan()71tan tan 31()2αβαβαβ-++===--⋅--.11、解：∵tan()3,tan()5αβαβ+=-=∴tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαβααβαβαβαβ++-=++-=-+⋅-3541357+==--⨯tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαββαβαβαβαβ+--=+--=++⋅-3511358-==-+⨯12、解：∵::2:3:6BD DC AD =∴11tan ,tan 32BD DC AD AD αβ==== ∴tan tan tan tan()1tan tan BAC αβαβαβ+∠=+=-⋅1132111132+==-⨯ 又∵0180BAC ︒<∠<︒，∴45BAC ∠=︒13、（1）)6x π+； （23sin()3x π-； （3）2sin()26x π+；（4）7sin()212x π-； （5； （6）12； （7）sin()αγ+； （8）cos()αγ--； （9） （10）tan()βα-.14、解：由sin 0.8,(0,)2παα=∈，得cos 0.6α===∴sin22sin cos 20.80.60.96ααα==⨯⨯=2222cos2cos sin 0.60.80.28ααα=-=-=-15、解：由cos 270ϕϕ=︒<<︒，得sin ϕ===∴sin 22sin cos 2((ϕϕϕ==⨯⨯=22221cos2cos sin ((3ϕϕϕ=-=-=-sin 2tan 2(3)cos 2ϕϕϕ==-=-16、解：设5sin sin 13B C ==，且090B ︒<<︒，所以12cos 13B =. ∴512120sin sin(1802)sin 22sin cos 21313169A B B B B =︒-===⨯⨯=2222125119cos cos(1802)cos2(cos sin )(()())1313169A B B B B =︒-=-=--=--=-（第12题）sin 120169120tan ()cos 169119119A A A ==⨯-=-17、解：22122tan 33tan 211tan 41()3βββ⨯===--，13tan tan 274tan(2)1131tan tan 2174αβαβαβ+++===-⋅-⨯. 18、解：1cos()cos sin()sin 3αββαββ+++=⇒1cos[()]3αββ+-=，即1cos 3α= 又3(,2)2παπ∈，所以sin 3α==-∴1sin 22sin cos 2(3ααα==⨯⨯=222217cos2cos sin ()(39ααα=-=-=-∴7cos(2)cos2cos sin 2sin (4449πππααα+=-=-=19、（1）1sin2α+； （2）cos2θ； （3）1sin 44x ； （4）tan2θ.习题 B 组（P138） 1、略.2、解：∵tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x p x +++=，即210x px p +++=的两个实根∴tan tan A B p +=-，tan tan 1A B p ⋅=+ ∴tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+tan tan 11tan tan 1(1)A B pA B p +-=-=-=--⋅-+由于0C π<<，所以34C π=. 3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++︒++︒=（证明略） 本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：223sin (30)cos sin(30)cos 4αααα-︒++-︒=223sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4αααα-︒++︒+-︒+︒=223sin cos sin cos 4αβαβ++=，其中30βα-=︒，等等 思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.4、因为12PA PP =，则2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ+-++=-++ 即22cos()22cos cos 2sin sin αβαβαβ-+=-+ 所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-3．2简单的三角恒等变换 练习（P142）1、略.2、略.3、略.4、（1）1sin 42y x =. 最小正周期为2π，递增区间为[,],8282k k k Z ππππ-++∈，最大值为12；（2）cos 2y x =+. 最小正周期为2π，递增区间为[2,22],k k k Z ππππ++∈，最大值为3；（3）2sin(4)3y x π=+. 最小正周期为2π，递增区间为5[,],242242k k k Z ππππ-++∈，最大值为2.习题 A 组（ P143）1、（1）略； （2）提示：左式通分后分子分母同乘以2； （3）略； （4）提示：用22sin cos ϕϕ+代替1，用2sin cos ϕϕ代替sin 2ϕ； （5）略； （6）提示：用22cos θ代替1cos2θ+；（7）提示：用22sin θ代替1cos2θ-，用22cos θ代替1cos2θ+； （8）略. 2、由已知可有1sin cos cos sin 2αβαβ+=……①，1sin cos cos sin 3αβαβ-=……② （1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin αβαβ=（2）把（1）所得的两边同除以cos cos αβ得tan 5tan αβ=注意：这里cos cos 0αβ≠隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan 2θ=-. 于是2212()2tan 42tan 211tan 31()2θθθ⨯-===---- 1tan tan1142tan()1431tan tan 1()142πθπθπθ+-++===-⋅--⨯ ∴tan 24tan()4πθθ=-+4、由已知可解得sin x θ=，cos y θ=，于是2222sin cos 1x y θθ+=+=.5、()2sin(4)3f x x π=+，最小正周期是2π，递减区间为7[,],242242k k k Z ππππ++∈.习题 B 组（P143） 1、略.2、由于762790+⨯=，所以sin76sin(9014)cos14m ︒=︒-︒=︒= 即22cos 71m ︒-=，得cos7︒=3、设存在锐角,αβ使223παβ+=，所以23απβ+=，tan()2αβ+又tantan 22αβ=，又因为tantan 2tan()21tantan 2αβαβαβ++=-，所以tantan tan()(1tan tan )3222αααβββ+=+-=由此可解得tan 1β=， 4πβ=，所以6πα=.经检验6πα=，4πβ=是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sin sin ))22αβαβ++. 过M 作1MM 垂直于x 轴，交x 轴于1M ，111()()22MOM βαααβ∠=-+=+.在Rt OMA ∆中，cos cos 22OM OA βααβ--==. 在1Rt OM M ∆中，11cos cos cos22OM OM MOM αβαβ+-=∠=11sin sincos22M M OM MOM αβαβ+-=∠=.于是有 1(cos cos )cos cos222αβαβαβ+-+=， 1(sin sin )sin cos222αβαβαβ+-+= 5、当2x =时，22()sin cos 1f ααα=+=；当4x =时，4422222()sin cos (sin cos )2sin cos f ααααααα=+=+-211sin 22α=-，此时有1()12f α≤≤；当6x =时，662232222()sin cos (sin cos )3sin cos (sin cos )f ααααααααα=+=+-+231sin 24α=-，此时有1()14f α≤≤；由此猜想，当2,x k k N +=∈时，11()12k f α-≤≤6、（1）345(sin cos )5sin()55y x x x ϕ=+=+，其中34cos ,sin 55ϕϕ==所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5；（2）)y x ϕ+，其中cos ϕϕ==所以，y ；第三章 复习参考题A 组（P146）1、1665. 提示：()βαβα=+- 2、5665. 提示：5sin()sin[()]sin[()()]44ππαβπαββα+=-++=-+--3、1.4、（1）提示：把公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-变形；（2； （3）2； （4）提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式4sin(3010)4sin 20︒-︒==︒；（2）原式=sin10sin 40(sin 40cos10︒︒=︒=2sin 40cos40sin801cos10cos10-︒︒-︒==-︒︒；（3）原式=tan 70cos101)tan 70cos10︒︒=︒ =sin702sin10sin 20cos101cos70cos20cos70︒-︒-︒⋅︒⋅==-︒︒︒；（4）原式=sin50(1sin50︒⋅= 2cos50sin100sin501cos10cos10︒︒=︒⋅==︒︒6、（1）95； （2）2425；（3）3±. 提示：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-； （4）1725.7、由已知可求得2cos cos 5αβ=，1sin sin 5αβ=，于是sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==.8、（1）左边=222cos 214cos232(cos 22cos21)αααα-++=++22242(cos21)2(2cos )8cos ααα=+===右边（2）左边=2222sin cos 2sin cos (sin cos )2cos 2sin cos 2cos (cos sin )αααααααααααα+++=++sin cos 11tan 2cos 22αααα+==+=右边（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sin sin 2cos (cos sin )αβαβααβααβααααα+-+++-+=+sin()cos cos()sin sin sin sin αβααβαβαα+-+===右边 （4）左边=222234cos22cos 212(cos 22cos21)34cos22cos 212(cos 22cos21)A A A A A A A A -+--+=++-++2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A -===+=右边9、（1）1sin 21cos2sin 2cos22)24y x x x x x π=+++=++++递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈（22，最小值为2.（第12（2）题）10、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin 22)4f x x x x x x x x x x π=+--=-=+（1）最小正周期是π；（2）由[0,]2x π∈得52[,]444x πππ+∈，所以当24x ππ+=，即38x π=时，()f x 的最小值为2-()f x 取最小值时x 的集合为3{}8π.11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin 22)14f x x x x x x x π=+=-+=-+（1）最小正周期是π21；（2）()f x 在[,]22ππ-上的图象如右图：12、()3sin cos 2sin()6f x x x a x a π=++=++.（1）由21a +=得1a =-； （2）2{22,}3x k x k k Z πππ+∈≤≤. 13、如图，设ABD α∠=，则CAE α∠=， 2sin h AB α=，1cos hAC α= 所以1212sin 2ABC h h S AB AC α∆=⋅⋅=，(0)2πα<< 当22πα=，即4πα=时，ABC S ∆的最小值为12h h .第三章 复习参考题B 组（P147）1、解法一：由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，及0απ≤≤，可解得4sin 5α=，13cos sin 55αα=-=，所以24sin 225α=，7cos225α=-， 312sin(2)sin 2cos cos2sin 444πππααα-=- 解法二：由1sin cos 5αα-= 得21(sin cos )25αα-=，24sin 225α=，所以249cos 2625α=. 又由1sin cos 5αα-=，得2sin()4πα-=.αh 1h 2l 2l 1BDE AC（第13题）。
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第二章 平面向量(A) (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．与向量a ＝(1，3)的夹角为30°的单位向量是( )A ．(12，32)或(1，3)B ．(32，12)C ．(0,1)D ．(0,1)或(32，12)2．设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b3．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4等于( ) A ．(－1，－2) B ．(1，－2) C ．(－1,2) D ．(1,2)4．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则a ＋b ＋c 的模等于( ) A ．0B ．2＋2C.2D ．22 5．若a 与b 满足|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则a ·a ＋a ·b 等于( ) A.12B.32C ．1＋32D ．2 6．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32b B.12a －32bC.32a －12b D ．－32a ＋12b 7．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( ) A ．6B ．5C ．4D ．38．向量BA →＝(4，－3)，向量BC →＝(2，－4)，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰非直角三角形B ．等边三角形 C ．直角非等腰三角形D ．等腰直角三角形9．设点A (1,2)、B (3,5)，将向量AB →按向量a ＝(－1，－1)平移后得到A ′B ′→为( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,7)10．若a ＝(λ，2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则λ的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫103，＋∞B.⎣⎡⎭⎫103，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，103 D.⎝⎛⎦⎤－∞，103 11．在菱形ABCD 中，若AC ＝2，则CA →·AB →等于( ) A ．2B ．－2C ．|AB →|cos A D ．与菱形的边长有关12．如图所示，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是( )A.P 1P 2→·P 1P 3→B.P 1P 2→·P 1P 4→C.P 1P 2→·P 1P 5→D.P 1P 2→·P 1P 6→ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案13．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 14．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝________.15．已知非零向量a ，b ，若|a |＝|b |＝1，且a ⊥b ，又知(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则实数k 的值为________．16.如图所示，半圆的直径AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知a ，b ，c 在同一平面内，且a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c ；(2)若|b |＝52，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，求a 与b 的夹角．18．(12分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，(1)c ∥d ；(2)c ⊥d.19．(12分)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．20．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．21．(12分)已知正方形ABCD ，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P .求证： (1)BE ⊥CF ； (2)AP ＝AB .22．(12分)已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1. 求证：△P 1P 2P 3是正三角形．第二章 平面向量(A )答案1．D 2.C3．D [根据力的平衡原理有f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，∴f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(1,2)．]4．D [|a ＋b ＋c |＝|AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →|＝2 2.]5．B [由题意得a ·a ＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |cos60°＝1＋12＝32，故选B.]6．B [令c ＝λa ＋μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝－1λ－μ＝2， ∴⎩⎨⎧λ＝12μ＝－32，∴c ＝12a －32b .]7．C [∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a －b )·c ＝30，∴(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30.∴x ＝4.]8．C [∵BA →＝(4，－3)，BC →＝(2，－4)， ∴AC →＝BC →－BA →＝(－2，－1)， ∴CA →·CB →＝(2,1)·(－2,4)＝0，∴∠C ＝90°，且|CA →|＝5，|CB →|＝25，|CA →|≠|CB →|. ∴△ABC 是直角非等腰三角形．]9．B [∵AB →＝(3,5)－(1,2)＝(2,3)，平移向量AB →后得A ′B ′→，A ′B ′→＝AB →＝(2,3)．]10．A [a·b ＝－3λ＋10<0，∴λ>103.当a 与b 共线时，λ－3＝25，∴λ＝－65.此时，a 与b 同向，∴λ>103.]11．B [如图，设对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＝AO →＋OB →.CA →·AB →＝CA →·(AO →＋OB →)＝－2＋0＝－2，故选B.]12．A [根据正六边形的几何性质．〈P 1P 2→，P 1P 3→〉＝π6，〈P 1P 2→，P 1P 4→〉＝π3，〈P 1P 2→，P 1P 5→〉＝π2，〈P 1P 2→，P 1P 6→〉＝2π3.∴P 1P 2→·P 1P 6→<0，P 1P 2→·P 1P 5→＝0，P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→|·3|P 1P 2→|cos π6＝32|P 1P 2→|2，P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→|·2|P 1P 2→|·cos π3＝|P 1P 2→|2.比较可知A 正确．]13．－1解析 ∵a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，∴a ＋b ＝(1，m －1)． ∵(a ＋b )∥c ，c ＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m －1)＝0.∴m ＝－1. 14．3 解析 a ·b ＝|a ||b |cos30°＝2·3·cos30°＝3. 15．6解析 由(2a ＋3b )·(k a －4b )＝2k a 2－12b 2＝2k －12＝0，∴k ＝6.16．－12解析 因为点O 是A ，B 的中点，所以P A →＋PB →＝2PO →，设|PC →|＝x ，则|PO →|＝1－x (0≤x ≤1)．所以(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2x (1－x )＝2(x －12)2－12.∴当x ＝12时，(P A →＋PB →)·PC →取到最小值－12.17．解 (1)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)． 又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)． (2)∵()a ＋2b ⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0.∵|a |＝5，|b |＝52，∴a·b ＝－52.∴cos θ＝a·b|a||b |＝－1，∴θ＝180°.18．解 由题意得a·b ＝|a||b |cos60°＝2×3×12＝3.(1)当c ∥d ，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )．∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k ＝95.(2)当c ⊥d 时，c·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0.∴15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a·b ＝0，∴k ＝－2914.19．解 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝1－|b |2＝12，∴|b |2＝12，∴|b |＝22，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝121×22＝22.∴θ＝45°.(2)∵|a |＝1，|b |＝22，∴|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝12.∴|a －b |＝22，又|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝52.∴|a ＋b |＝102，设a －b 与a ＋b 的夹角为α，则cos α＝(a －b )·(a ＋b )|a －b |·|a ＋b |＝1222×102＝55.即a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值为55.20．解 (1)AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，求两条对角线的长即求|AB →＋AC →|与|AB →－AC →|的大小． 由AB →＋AC →＝(2,6)，得|AB →＋AC →|＝210， 由AB →－AC →＝(4,4)，得|AB →－AC →|＝4 2. (2)OC →＝(－2，－1)，∵(AB →－tOC →)·OC →＝AB →·OC →－tOC →2，易求AB →·OC →＝－11，OC →2＝5，∴由(AB →－tOC →)·OC →＝0得t ＝－115.21．证明如图建立直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设AB ＝2， 则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)， E (1,2)，F (0,1)． (1)BE →＝OE →－OB →＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)， CF →＝OF →－OC →＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)， ∵BE →·CF →＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF .(2)设P (x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)， ∵FP →∥CF →，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2.同理由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，代入x ＝2y －2.解得x ＝65，∴y ＝85，即P ⎝⎛⎭⎫65，85. ∴AP →2＝⎝⎛⎭⎫652＋⎝⎛⎭⎫852＝4＝AB →2， ∴|AP →|＝|AB →|，即AP ＝AB .22．证明 ∵OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，∴OP 1→＋OP 2→＝－OP 3→，∴(OP 1→＋OP 2→)2＝(－OP 3→)2，∴|OP 1→|2＋|OP 2→|2＋2OP 1→·OP 2→＝|OP 3→|2，∴OP 1→·OP 2→＝－12，cos ∠P 1OP 2＝OP 1→·OP 2→|OP 1→|·|OP 2→|＝－12，∴∠P 1OP 2＝120°.同理，∠P 1OP 3＝∠P 2OP 3＝120°，即OP 1→、OP 2→、OP 3→中任意两个向量的夹角为120°，故△P 1P 2P 3是正三角形．。
高中数学人教A版必修四课时训练 第二章 平面向量 章末检测(B) Word版含答案
第二章 平面向量(B) (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知向量a ＝(4,2)，b ＝(x,3)，且a ∥b ，则x 的值是( ) A ．－6 B ．6 C ．9 D ．12 2．下列命题正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若|a ＋b |＝|a －b |，则a ·b ＝0D ．若a 与b 都是单位向量，则a ·b ＝1.3．设向量a ＝(m －2，m ＋3)，b ＝(2m ＋1，m －2)，若a 与b 的夹角大于90°，则实数m 的取值范围是( )A ．(－43，2)B ．(－∞，－43)∪(2，＋∞)C ．(－2，43)D ．(－∞，2)∪(43，＋∞)4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则AD →·BD →等于( ) A ．8 B ．6 C ．－8 D ．－6 5．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π26．关于平面向量a ，b ，c ，有下列四个命题： ①若a ∥b ，a ≠0，则存在λ∈R ，使得b ＝λa ； ②若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；③存在不全为零的实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ； ④若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )． 其中正确的命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 7．已知|a |＝5，|b |＝3，且a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 上的投影等于( )A ．－4B ．4C ．－125 D.1258．设O ，A ，M ，B 为平面上四点，OM →＝λOB →＋(1－λ)·OA →，且λ∈(1,2)，则( ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，B ，M 四点共线9．P 是△ABC 内的一点，AP →＝13(AB →＋AC →)，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为( )A.32B ．2C ．3D ．6 10．在△ABC 中，AR →＝2RB →，CP →＝2PR →，若AP →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n 等于( ) A.23 B.79 C.89D ．1 11．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )等于( )A ．－45B ．－35C ．0 D.3512．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np .下面说法错误的是( ) A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0 B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b ) 222213．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 14．a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________.15．已知向量a ＝(6,2)，b ＝(－4，12)，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________．16．已知向量OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设M 是直线OP 上任意一点(O 为坐标原点)，则MA →·MB →的最小值为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图所示，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作▱AOBD ，又BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →、ON →、MN →.18．(12分)已知a ，b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2， 求：(1)(a －2b )·(a ＋b )； (2)|a ＋b |； (3)|3a －4b |.19．(12分)已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－ka ＋tb ，且x ⊥y ，试求k ＋t 2t的最小值．20．(12分)设OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)．在线段OC 上是否存在点M ，使MA ⊥MB ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．(12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．22．(12分)已知线段PQ 过△OAB 的重心G ，且P 、Q 分别在OA 、OB 上，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b .求证：1m ＋1n ＝3.第二章 平面向量(B)答案1．B [∵a ∥b ，∴4×3－2x ＝0，∴x ＝6.] 2．C [∵|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b |a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b |a ＋b |＝|a －b |.∴a ·b ＝0.] 3．A [∵a 与b 的夹角大于90°，∴a ·b <0，∴(m －2)(2m ＋1)＋(m ＋3)(m －2)<0，即3m 2－2m －8<0，∴－43<m <2.]4．A [∵AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)， ∴AD →·BD →＝(－1，－1)·(－3，－5)＝8.]5．C [∵a (b －a )＝a ·b －|a |2＝2，∴a ·b ＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝31×6＝12，∴〈a ，b 〉＝π3.] 6．B [由向量共线定理知①正确；若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，所以②错误；在a ，b 能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ，所以③错误；若a ·b ＝a ·c ，则a (b －c )＝0，所以a ⊥(b －c )，所以④正确，即正确命题序号是①④.]7．A [向量a 在向量b 上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝|a |·a ·b |a ||b |＝a ·b |b |＝－123＝－4.]8．B [∵OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →＝OA →＋λ(OB →－OA →)∴AM →＝λAB →，λ∈(1,2)，∴点B 在线段AM 上，故选B.]9．C [设△ABC 边BC 的中点为D ，则S △ABC S △ABP ＝2S △ABD S △ABP＝2ADAP .∵AP →＝13(AB →＋AC →)＝23AD →，∴AD →＝32AP →，∴|AD →|＝32|AP →|.∴S △ABC S △ABP＝3.]10．B [AP →＝AC →＋CP →＝AC →＋23CR →＝AC →＋23(23AB →－AC →)＝49AB →＋13AC →故有m ＋n ＝49＋13＝79.]11．B [由已知得4b ＝－3a －5c ，将等式两边平方得(4b )2＝(－3a －5c )2，化简得a ·c ＝－35.同理由5c ＝－3a －4b 两边平方得a ·b ＝0，∴a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ＝－35.]12．B [若a ＝(m ，n )与b ＝(p ，q )共线，则mq －np ＝0，依运算“⊙”知a ⊙b ＝0，故A 正确．由于a ⊙b ＝mq －np ，又b ⊙a ＝np －mq ，因此a ⊙b ＝－b ⊙a ，故B 不正确．对于C ，由于λa ＝(λm ，λn )，因此(λa )⊙b ＝λmq －λnp ，又λ(a ⊙b )＝λ(mq －np )＝λmq －λnp ，故C 正确．对于D ，(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝m 2q 2－2mnpq ＋n 2p 2＋(mp ＋nq )2＝m 2(p 2＋q 2)＋n 2(p 2＋q 2)＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，故D 正确．] 13．2解析 ∵a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，∴λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)． ∵向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线， ∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0. ∴λ＝2. 14．7解析 ∵|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25×12＋32－10×1×3×(－12)＝49.∴|5a －b |＝7.15．2x －3y －9＝0解析 设P (x ，y )是直线上任意一点，根据题意，有AP →·(a ＋2b )＝(x －3，y ＋1)·(－2,3)＝0，整理化简得2x －3y －9＝0. 16．－8解析 设OM →＝tOP →＝(2t ，t )，故有MA →·MB →＝(1－2t,7－t )·(5－2t,1－t )＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8，故当t ＝2时，MA →·MB →取得最小值－8.17．解 BA →＝OA →－OB →＝a －b .∴OM →＝OB →＋BM →＝OB →＋13BC →＝OB →＋16BA →＝16a ＋56b .又OD →＝a ＋b .ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ，∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b.18．解 a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4. (1)(a －2b )·(a ＋b )＝a 2－2a ·b ＋a ·b －2b 2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22＝12. (2)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－4)＋4＝12. ∴|a ＋b |＝2 3.(3)|3a －4b |2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19， ∴|3a －4b |＝419.19．解 由题意有|a |＝(3)2＋(－1)2＝2，|b |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1. ∵a·b ＝3×12－1×32＝0，∴a ⊥b .∵x·y ＝0，∴[a ＋(t 2－3)b ](－k a ＋t b )＝0.化简得k ＝t 3－3t 4.∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74.即t ＝－2时，k ＋t 2t 有最小值为－74.20．解 设OM →＝tOC →，t ∈[0,1]，则OM →＝(6t,3t )，即M (6t,3t ).MA →＝OA →－OM →＝(2－6t,5－3t )， MB →＝OB →－OM →＝(3－6t,1－3t )．若MA ⊥MB ，则MA →·MB →＝(2－6t )(3－6t )＋(5－3t )(1－3t )＝0.即45t 2－48t ＋11＝0，t ＝13或t ＝1115.∴存在点M ，M 点的坐标为(2,1)或⎝⎛⎭⎫225，115. 21．解 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角， 得(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)|2t e 1＋7e 2|·|e 1＋t e 2|<0， 即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0.整理得：2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22<0.(*) ∵|e 1|＝2，|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝60°. ∴e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1∴(*)式化简得：2t 2＋15t ＋7<0.解得：－7<t <－12.当向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2夹角为180°时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2) (λ<0)． 对比系数得⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ＝λ7＝λt λ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14t ＝－142∴所求实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12.22.证明 如右图所示， ∵OD →＝12(OA →＋OB →)＝12(a ＋b )，∴OG →＝23OD →＝13(a ＋b )．∴PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝(13－m )a ＋13b .PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a . 又P 、G 、Q 三点共线，所以存在一个实数λ，使得PG →＝λPQ →. ∴(13－m )a ＋13b ＝λn b －λm a ， ∴(13－m ＋λm )a ＋(13－λn )b ＝0. ∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧13－m ＋λm ＝0， ①13－λn ＝0， ②由①②消去λ得：1m ＋1n＝3.。
2020高中数学人教A版必修四课时训练 第二章 平面向量 章末检测(B) Word版含答案
第二章 平面向量(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知向量a ＝(4,2)，b ＝(x,3)，且a ∥b ，则x 的值是( ) A ．－6 B ．6 C ．9 D ．12 2．下列命题正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若|a ＋b |＝|a －b |，则a ·b ＝0D ．若a 与b 都是单位向量，则a ·b ＝1.3．设向量a ＝(m －2，m ＋3)，b ＝(2m ＋1，m －2)，若a 与b 的夹角大于90°，则实数m 的取值范围是( )A ．(－43，2)B ．(－∞，－43)∪(2，＋∞)C ．(－2，43)D ．(－∞，2)∪(43，＋∞)4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则AD→·BD →等于( ) A ．8 B ．6 C ．－8 D ．－65．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 6．关于平面向量a ，b ，c ，有下列四个命题： ①若a ∥b ，a ≠0，则存在λ∈R ，使得b ＝λa ； ②若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；③存在不全为零的实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ； ④若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )． 其中正确的命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 7．已知|a |＝5，|b |＝3，且a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 上的投影等于( )A ．－4B ．4C ．－125 D.1258．设O ，A ，M ，B 为平面上四点，OM→＝λOB →＋(1－λ)·OA →，且λ∈(1,2)，则( ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，B ，M 四点共线9．P 是△ABC 内的一点，AP →＝13(AB →＋AC →)，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为( ) A.32B ．2C ．3D ．6 10．在△ABC 中，AR→＝2RB →，CP →＝2PR →，若AP →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n 等于( ) A.23 B.79 C.89 D ．1 11．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )等于( )A ．－45B ．－35C ．0 D.3512．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np .下面说法错误的是( ) A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0 B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |213．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 14．a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________.15．已知向量a ＝(6,2)，b ＝(－4，12)，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________．16．已知向量OP→＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设M 是直线OP 上任意一点(O 为坐标原点)，则MA →·MB →的最小值为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图所示，以向量OA→＝a ，OB →＝b 为边作▱AOBD ，又BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →、ON →、MN →.18．(12分)已知a ，b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2， 求：(1)(a －2b )·(a ＋b )； (2)|a ＋b |； (3)|3a －4b |.19．(12分)已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，32，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－ka ＋tb ，且x ⊥y ，试求k ＋t2t的最小值．20．(12分)设OA→＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)．在线段OC 上是否存在点M ，使MA ⊥MB ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．(12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2t e1＋7e2与e1＋t e2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．第二章平面向量(B)答案1．B [∵a∥b，∴4×3－2x＝0，∴x＝6.]2．C [∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b|a－b|2＝a2＋b2－2a·b|a ＋b|＝|a－b|.∴a·b＝0.]3．A [∵a与b的夹角大于90°，∴a·b<0，∴(m－2)(2m＋1)＋(m ＋3)(m －2)<0，即3m 2－2m －8<0，∴－43<m <2.]4．A [∵AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD→＝AD →－AB →＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)， ∴AD→·BD →＝(－1，－1)·(－3，－5)＝8.] 5．C [∵a (b －a )＝a ·b －|a |2＝2，∴a ·b ＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝31×6＝12，∴〈a ，b 〉＝π3.]6．B [由向量共线定理知①正确；若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，所以②错误；在a ，b 能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ，所以③错误；若a ·b ＝a ·c ，则a (b －c )＝0，所以a ⊥(b －c )，所以④正确，即正确命题序号是①④.]7．A [向量a 在向量b 上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝|a |·a ·b|a ||b |＝a ·b |b |＝－123＝－4.] 8．B [∵OM→＝λOB →＋(1－λ)OA →＝OA →＋λ(OB →－OA →)∴AM →＝λAB →，λ∈(1,2)，∴点B 在线段AM 上，故选B.]9．C [设△ABC 边BC 的中点为D ，则S△ABCS△ABP＝2S△ABDS△ABP＝2ADAP.∵AP →＝13(AB →＋AC →)＝23AD →，∴AD →＝32AP →，∴|AD →|＝32|AP →|.∴S△ABC S△ABP＝3.]10．B [AP →＝AC →＋CP →＝AC →＋23CR →＝AC →＋23(23AB →－AC →)＝49AB →＋13AC →故有m ＋n ＝49＋13＝79.]11．B [由已知得4b ＝－3a －5c ，将等式两边平方得(4b )2＝(－3a－5c )2，化简得a ·c ＝－35.同理由5c ＝－3a －4b 两边平方得a ·b＝0，∴a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ＝－35.]12．B [若a ＝(m ，n )与b ＝(p ，q )共线，则mq －np ＝0，依运算“⊙”知a ⊙b ＝0，故A 正确．由于a ⊙b ＝mq －np ，又b ⊙a ＝np －mq ，因此a ⊙b ＝－b ⊙a ，故B 不正确．对于C ，由于λa ＝(λm ，λn )，因此(λa )⊙b ＝λmq －λnp ，又λ(a ⊙b )＝λ(mq －np )＝λmq －λnp ，故C 正确．对于D ，(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝m 2q 2－2mnpq ＋n 2p 2＋(mp ＋nq )2＝m 2(p 2＋q 2)＋n 2(p 2＋q 2)＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，故D 正确．] 13．2解析 ∵a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，∴λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)． ∵向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线， ∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0. ∴λ＝2. 14．7解析 ∵|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25×12＋32－10×1×3×(－12)＝49.∴|5a －b |＝7. 15．2x －3y －9＝0解析 设P (x ，y )是直线上任意一点，根据题意，有AP→·(a ＋2b )＝(x －3，y ＋1)·(－2,3)＝0，整理化简得2x －3y －9＝0. 16．－8解析 设OM→＝tOP →＝(2t ，t )，故有MA →·MB →＝(1－2t,7－t )·(5－2t,1－t )＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8，故当t ＝2时，MA→·MB →取得最小值－8.17．解 BA →＝OA →－OB →＝a －b .∴OM →＝OB →＋BM →＝OB →＋13BC →＝OB →＋16BA →＝16a ＋56b . 又OD →＝a ＋b .ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ，∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b.18．解a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－4. (1)(a －2b )·(a ＋b )＝a 2－2a ·b ＋a ·b －2b 2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22＝12.(2)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－4)＋4＝12. ∴|a ＋b |＝2 3.(3)|3a －4b |2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19，∴|3a －4b |＝419. 19．解 由题意有|a |＝3212＝2，|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫322＝1. ∵a ·b ＝3×12－1×32＝0，∴a ⊥b .∵x ·y ＝0，∴[a ＋(t 2－3)b ](－k a ＋t b )＝0.化简得k ＝t 3－3t4.∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74.即t ＝－2时，k ＋t 2t有最小值为－74. 20．解 设OM→＝tOC →，t ∈[0,1]，则OM →＝(6t,3t )，即M (6t,3t ).MA →＝OA→－OM →＝(2－6t,5－3t )， MB→＝OB →－OM →＝(3－6t,1－3t )．若MA ⊥MB ，则MA →·MB →＝(2－6t )(3－6t )＋(5－3t )(1－3t )＝0.即45t 2－48t ＋11＝0，t ＝13或t ＝1115.∴存在点M ，M点的坐标为(2,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫225，115. 21．解 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，得2t e 1＋7e 2e 1＋t e 2|2t e 1＋7e 2|·|e 1＋t e 2|<0，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0.整理得：2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22<0.(*) ∵|e 1|＝2，|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝60°. ∴e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1∴(*)式化简得：2t 2＋15t ＋7<0.解得：－7<t <－12.当向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2夹角为180°时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2) (λ<0)．对比系数得⎩⎨⎧2t ＝λ7＝λtλ<0，∴⎩⎨⎧λ＝－14t ＝－142∴所求实数t的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－142，－12.。
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在 Rt△OCE 中，|OE|＝
＝ ＝4；
cos 30° 3
2
→→
3
|CE|＝|OC|·tan 30°＝2 3× ＝2，
3
→→→ → → 由平行四边形法则知，OC＝OE＋OF＝4OA＋2OB，
∴λ＝4，μ＝2. 方法二
→ 如图所示，以OA所在直线为 x 轴，过 O 垂直于 OA 的直线为 y 轴建立直角坐标系．设 B 点 在 x 轴的射影为 B′，C 点在 x 轴的射影为 C′.
→→ D．2AO＝OD
→
→
→→
4．在平行四边形 ABCD 中，AC＝(1,2)，BD＝(－3,2)，则AD·AC等于( )
A．－3
B．－2
C．2
D．3
( )a·a
5．若向量 a 与 b 不共线，a·b≠0，且 c＝a－ b，则向量 a 与 c 的夹角为( ) a·b
π
π
π
A．0
B.
C.
D.
6
3
∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)．
∴Error!，得 m＝32，n＝－22. →→→ → →
∴AD＋BD＋CD＝32AB－22AC.
1 12．解 (1)设 a－tb＝m[a－ (a＋b)]，m∈R，
3
2
m
化简得( m－1)a＝( －t)b，
3
3
∵a 与 b 不共线，
∴Error!，
∴Error!
2．已知平面向量 a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b 与 a 垂直，则 λ 等于( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
→→→ 3．已知 O 是△ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边的中点，且 2OA＋OB＋OC＝0，那么
( ) →→
A. AO＝OD
→→ B. AO＝2OD
→→ C. AO＝3OD
2
1 ∴|2α＋β|＝ 2α＋β2＝ 4α2＋4α·β＋β2＝ 4＋4 × ＋4＝ 10.
2
→
→
→
11．解 ∵AB＝(1,3)，AC＝(2,4)，AD＝(－3,5)，
→
→
BD＝(－4,2)，CD＝(－5,1)，
→→→ ∴AD＋BD＋CD＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．
根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对 m，n 使得 →→→ → → AD＋BD＋CD＝mAB＋nAC，
→→→ 方法三 ∵OC＝λOA＋μOB. ∴Error!， ∴Error!，解得 λ＝4，μ＝2.
3 易知，OC′＝2 3cos 30°＝3，CC′＝OCsin 30°＝ 3，BB′＝OBsin 60°＝ ，
2 1 OB′＝OBcos 60°＝ ， 2
( )1 3
∴A 点坐标为(1,0)，B 点坐标为 － ， ， 22
C 点坐标为(3， 3)． →→→
∵OC＝λOA＋μOB ∴Error!∴Error!.
章末复习课
答案
作业设计
1．B [a·b＝－3＋8＝5，a＋b＝(－2,6)， ∴(a·b)(a＋b)＝5×(－2,6)＝(－10,30)．故选 B.] 2．A [(λa＋b)·a＝0，∴λa2＋a·b＝0. ∴10λ＋10＝0，∴λ＝－1.故选 A.] 3．A [由题意 D 是 BC 边的中点，
→→ → 所以有OB＋OC＝2OD，
→ 由AP·a＝2(x－2)＋(y－3)＝0，得 2x＋y－7＝0.
8．1
解析 b 在 a 上的投影为|b|cos θ＝2×cos 60°＝1.
9．2
解析 λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)与 c＝(－4，－7)共线，
∴(λ＋2)(－7)－(2λ＋3)(－4)＝0，得 λ＝2.
10. 10
1 解析 由 α⊥(α－2β)得 α·(α－2β)＝0，∴α2－2α·β＝0.又∵|α|＝1，∴α·β＝ .又∵|β|＝2，
→→
→
→→→
30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2 3.若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，求实数 λ、μ 的值．
1．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有 两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径即基于几何表示的几何法和基 于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题． 2．向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行 分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．
三、解答题
→→
→→
11．已知 A(1，－2)、B(2,1)、C(3,2)和 D(－2,3)，以AB、AC为一组基底来表示AD＋BD＋
→ CD.
12．设 a，b 是两个不共线的非零向量，t∈R. 1
(1)若 a 与 b 起点相同，t 为何值时 a，tb， (a＋b)三向量的终点在一直线上？ 3
(2)若|a|＝|b|且 a 与 b 夹角为 60°，那么 t 为何值时，|a－tb|的值最小？
→→ →→ OA·OC.∴OC·AB＝0，O 在边 AB 的高线上．同理 O 在边 AC 的高线上，即 O 为△ABC 的
垂心．故选 C.] 14．解 方法一
过点 C 分别作平行于 OB 的直线 CE 交直线 OA 于点 E，平行于 OA 的直线 CF 交直线 OB
于点 F.如图所示．
→
→ |OC| 2 3
→→→ → → →→
→→
→→
所以 2OA＋OB＋OC＝2OA＋2OD＝2(OA＋OD)＝0⇒OA＋OD＝0⇒AO＝OD.]
→→→
→→→
→
→→
4．D [AC＝AB＋AD＝(1,2)，BD＝AD－AB＝(－3,2)，解得AD＝(－1,2)，∴AD·AC＝(－
1,2)·(1,2)＝3.故选 D.]
[ ( ) ] ( ) a·a
2
→ → →→ 6．在△ABC 中，M 是 BC 的中点，AM＝1，点 P 在 AM 上且满足AP＝2PM，则AP·(PB＋
→ PC)等于( )
4
4
4
4
A.
B.
C．－
D．－
9
3
3
9
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题 7．过点 A(2,3)且垂直于向量 a＝(2,1)的直线方程是____________． 8．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a 与 b 的夹角为 60°，则 b 在 a 上的投影是______． 9．设向量 a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量 λa＋b 与向量 c＝(－4，－7)共线，则 λ＝________. 10．已知平面向量 α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．
a·a
π
5．D [∵a·c＝a·
a－
a·b
b
＝a·a－
a·b
·(a·b)＝0，∴〈a，c〉＝ .] 2
→ → → → →→ → → 4 6．A [易知 P 为△ABC 的重心，则PB＋PC＝－PA＝AP，故AP·(PB＋PC)＝→ 解析 设直线上任一点 P(x，y)，则AP＝(x－2，y－3)．
能力提升 →→→→→→
13．已知点 O 为△ABC 所在平面内一点，且 OA2＋BC2＝OB2＋CA2＝OC2＋AB2，则 O 一
定是△ABC 的( )
A．外心
B．内心
C．垂心
D．重心
→→→
→→
→→
14. 如图，平面内有三个向量OA、OB、OC，其中OA与OB的夹角为 120°，OA与OC的夹角为
章末复习课
课时目标 1.掌握向量线性运算及其几何意义.2.理解共线向量的含义、几何表示及坐标表 示的条件.3.掌握数量积的含义、坐标形式及其应用． 知识结构
一、选择题
1．若向量 a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则(a·b)(a＋b)等于( )
A．20
B．(－10,30)
C．54
D．(－8,24)
1
1
∴t＝ 时，a，tb， (a＋b)的终点在一直线上．
2
3
(2)|a－tb|2＝(a－tb)2＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|cos 60°＝(1＋t2－t)|a|2.
1
3
∴当 t＝ 时，|a－tb|有最小值 |a|.
2
2
→→→→
→ →→ → →→
→→
13．C [由 OA2＋BC2＝OB2＋CA2，得 OA2＋(OC－OB)2＝OB2＋(OA－OC)2，得OC·OB＝