2016年重庆一中高2017级高二上期期末考试数学(理科)及答案
重庆市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
重庆市2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|0＜log 4x ＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（ ） A ．（0，1） B ．（0，2] C ．（1，2） D ．（1，2] 2．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜03．如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1、BC 1的中点，则以下结论中不成立的是（ ）A ．EF 与BB 1垂直 B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与A 1C 1异面4．已知四棱锥P ﹣ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P ﹣ABCD 的四个侧面中面积最大的是（ ）A ．6B ．8C ．D ．35．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设函数f （x ）定义在实数集上，f （2﹣x ）=f （x ），且当x≥1时，f （x ）=lnx ，则有（ ）A ．B ．C ．D ．7．设平面区域D 是由双曲线y 2﹣=1的两条渐近线和抛物线y 2=﹣8x 的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点（x ，y ）∈D ，则x+y 的最小值为（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．0 D ．38．一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（ ）A ．m ＞1，且n ＜1B ．mn ＜0C ．m ＞0，且n ＜0D ．m ＜0，且n ＜09．若直线l 过点P （﹣3，﹣）且被圆x 2+y 2=25截得的弦长是8，则直线l 的方程为（ ） A ．3x+4y+15=0 B ．x=﹣3或3x+4y+15=0C ．x=﹣3或y=﹣D ．x=﹣310．设椭圆=1（a ＞0，b ＞0）的离心率e=，右焦点F （c ，0），方程ax 2+bx ﹣c=0的两个根分别为x 1，x 2，则点P （x 1，x 2）在（ ）A ．圆x 2+y 2=2内B ．圆x 2+y 2=2上C ．圆x 2+y 2=2外D ．以上三种情况都有可能11．已知正三棱锥P ﹣ABC 的高PO 为h ，点D 为侧棱PC 的中点，PO 与BD 所成角的余弦值为，则正三棱锥P ﹣ABC 的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．12．若实数x 、y 满足x|x|﹣y|y|=1，则点（x ，y ）到直线y=x 的距离的取值范围是（ ）A ．[1，） B ．（0，] C ．（，1） D ．（0，1]二、填空题（每题5分）13．已知||=1，||=6， •（﹣）=2，则向量与的夹角为 ．14．在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为 ．15．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，左焦点为F 2，若椭圆上存在一点P ，满足线段PF 1相切于椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF 1的中点，则该椭圆的离心率为 ．16．设 条件．三、解答题（17、18、19、20、21各题12分，22题10分）17．已知p ：方程x 2+mx+1=0有两个不等的负实根，q ：方程4x 2+4（m ﹣2）x+1=0无实根．若“p 或q”为真，“p 且q”为假．求实数m 的取值范围．18．设△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且．（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若x ∈[0，π），求函数f （x ）=sin （x ﹣B ）+sinx 的值域．19．点A 、B 分别是椭圆长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA⊥PF．求点P 的坐标．20．如图，直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1=AC=CB=AB ．（Ⅰ）证明：BC 1∥平面A 1CD（Ⅱ）求二面角D ﹣A 1C ﹣E 的正弦值．21．如图，已知A （﹣4a ，0）（a ＞0），B 、C 两点分别在y 轴和x 轴上运动，并且满足•=0， =．（1）求动点Q 的轨迹方程；（2）设过点A 的直线与点Q 的轨迹交于E 、F 两点，A′（4a ，0），求直线A′E、A′F 的斜率之和．22．在等腰直角△ABC 中，AB=AC=4，点P 是边AB 上异于A 、B 的一点，光线从点P 出发经过BC 、CA 反射后又回到点P ，光线交线段BC 于点Q ，交线段CA 于点R ，若光线QR 经过△ABC 的重心，求线段AP 的长度．重庆市2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|0＜log 4x ＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（ ） A ．（0，1） B ．（0，2] C ．（1，2） D ．（1，2] 【考点】交集及其运算；其他不等式的解法．【分析】求出集合A 中其他不等式的解集，确定出A ，找出A 与B 的公共部分即可求出交集． 【解答】解：由A 中的不等式变形得：log 41＜log 4x ＜log 44， 解得：1＜x ＜4，即A=（1，4）， ∵B=（﹣∞，2]， ∴A∩B=（1，2]． 故选D2．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜0 【考点】命题的否定；全称命题．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可． 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为．存在x 0∈R ，使得x 02＜0． 故选D ．3．如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1、BC 1的中点，则以下结论中不成立的是（ ）A ．EF 与BB 1垂直 B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与A 1C 1异面 【考点】异面直线的判定．【分析】观察正方体的图形，连B 1C ，则B 1C 交BC 1于F 且F 为BC 1中点，推出EF∥A 1C 1；分析可得答案． 【解答】解：连B 1C ，则B 1C 交BC 1于F 且F 为BC 1中点，三角形B 1AC 中EF，所以EF∥平面ABCD ，而B 1B⊥面ABCD ，所以EF 与BB 1垂直；又AC⊥BD，所以EF 与BD 垂直，EF 与CD 异面．由EF ，AC∥A 1C 1得EF∥A 1C 1故选D ．4．已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是（）A．6 B．8 C． D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，利用三视图的数据直接求解四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积，得到最大值即可．【解答】解：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为： =，所以后面三角形的面积为： =2．两个侧面面积为： =3，前面三角形的面积为： =6，四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6．故选A．5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的应用；数列的应用．【分析】先设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，由题意可知：a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率．【解答】解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a+2c=2×2b，即a+c=2b⇒（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），故选B．6．设函数f（x）定义在实数集上，f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=lnx，则有（）A．B．C．D．【考点】对数值大小的比较．【分析】由f（2﹣x）=f（x）得到函数的对称轴为x=1，再由x≥1时，f（x）=lnx得到函数的图象，从而得到答案．【解答】解：∵f（2﹣x）=f（x）∴函数的对称轴为x=1∵x≥1时，f（x）=lnx∴函数以x=1为对称轴且左减右增，故当x=1时函数有最小值，离x=1越远，函数值越大故选C．7．设平面区域D是由双曲线y2﹣=1的两条渐近线和抛物线y2=﹣8x的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点（x，y）∈D，则x+y的最小值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，画出三角形平面区域，根据z=x+y的最小值为斜率为﹣1的直线的纵截距的最小值，即可求出z=x+y的最小值．【解答】解：抛物线y2=﹣8x的准线方程为x=2，双曲线y2﹣=1的两条渐近线方程为y=±x，由题意，三角形平面区域的边界为x=2，y=±x，设z=x+y即y=z﹣x，则z=z﹣x的最小值为斜率为﹣1的直线的纵截距的最小值．：y=﹣x，平移可得，作出直线l当直线l过原点时，取得最小值0．故选：C．8．一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（）A．m＞1，且n＜1 B．mn＜0 C．m＞0，且n＜0 D．m＜0，且n＜0【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由一次函数的图象和性质，我们可以求出一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的等价命题，进而逐一分析已知中四个答案中的条件与一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的充要关系，即可得到答案．【解答】解：若一次函数的图象同时经过第一、三、四象限则＞0，＜0，即m＞0且n＜0故“m＞1，且n＜1”是“一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的”的不充分也不必要条件；“mn＜0”是“一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的”的必要但不充分条件；“m＞0，且n＜0”是“一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的”的充要条件；“m＜0，且n＜0”是“一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的”的不充分也不必要条件；故选B9．若直线l过点P（﹣3，﹣）且被圆x2+y2=25截得的弦长是8，则直线l的方程为（）A．3x+4y+15=0 B．x=﹣3或3x+4y+15=0C．x=﹣3或y=﹣D．x=﹣3【考点】直线与圆的位置关系．【分析】算出圆心为O（0，0）、半径r=5，根据垂径定理算出直线到圆心的距离等于3．讨论直线斜率存在时设直线方程，由点到直线的距离公式建立关于k的等式，解出k，可得直线的方程；当直线斜率不存在时，直线方程为x+3=0，到圆心的距离也等于3，符合题意．由此即可得所求的直线方程．【解答】解：圆x2+y2=5的圆心为O（0，0），半径r=5；设圆心到直线的距离为d，①当过点P（﹣3，﹣）的直线斜率存在时，设直线方程为y+=k（x+3），即2kx﹣2y+6k﹣3=0，∵直线圆x2+y2=25截得弦长为8，∴根据垂径定理，得=4，即=4，解得d=3；根据点到直线的距离公式，得=3，解之得k=﹣，此时直线的方程为y+=﹣（x+3），化简得3x+4y+15=0；②当过点P（﹣3，﹣）的直线斜率不存在时，直线方程为x=﹣3，即x+3=0；由圆心到直线的距离d=3，可得直线被圆截得的弦长也等于8，符合题意；综上，所求的直线方程为3x+4y+15=0或x+3=0．故选：B．10．设椭圆=1（a ＞0，b ＞0）的离心率e=，右焦点F （c ，0），方程ax 2+bx ﹣c=0的两个根分别为x 1，x 2，则点P （x 1，x 2）在（ ）A ．圆x 2+y 2=2内B ．圆x 2+y 2=2上C ．圆x 2+y 2=2外D ．以上三种情况都有可能 【考点】椭圆的应用．【分析】先根据x 1+x 2=﹣，x 1x 2=﹣表示出x 12+x 22，再由e==得到a 与c 的关系，从而可表示出b 与c 的关系，然后代入到x 12+x 22的关系式中可得到x 12+x 22的范围，从而可确定答案．【解答】解：∵x 1+x 2=﹣，x 1x 2=﹣x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=e==∴a=2c b 2=a 2﹣c 2=3c 2所以x 12+x 22=＜2所以在圆内 故选A ．11．已知正三棱锥P ﹣ABC 的高PO 为h ，点D 为侧棱PC 的中点，PO 与BD 所成角的余弦值为，则正三棱锥P ﹣ABC 的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】利用异面直线所成的角，得到底面边长与高h 的关系，易求，V P ﹣ABC===．【解答】解：设底面边长为a ，连接CO 交AB 于F ，过点D 作DE∥PO 交CF 于E ，连接BE ，则∠BDE 即PO 与BD 所成角，∴cos∠BDE=，∵PO⊥面ABC ，∴DE⊥面ABC ，∴△BDE 是直角三角形，∵点D 为侧棱PC 的中点，∴DE=h ，∴BE=h ，在正三角形ABC 中，BF=a ，EF=CF=a ，在Rt△BEF 中，BE 2=EF 2+BF 2，∴，∴V P ﹣ABC ===故选：C ．12．若实数x 、y 满足x|x|﹣y|y|=1，则点（x ，y ）到直线y=x 的距离的取值范围是（ ）A ．[1，） B ．（0，] C ．（，1） D ．（0，1]【考点】简单线性规划．【分析】对x ，y 的取值进行分段，由此求出曲线方程，然后画图，由图形可得曲线上点（x ，y ）到直线y=x 的距离的取值范围．【解答】解：当x≥0且y≥0时， 方程化为：x|x|﹣y|y|=x 2﹣y 2=1； 当x ＞0且y ＜0时，方程化为：x|x|﹣y|y|=x 2+y 2=1； 当x ＜0且y ＞0时，无意义； 当x ＜0且y ＜0时，方程化为：x|x|﹣y|y|=y 2﹣x 2=1． 作出图象如图所示，∵直线y=x 为两段等轴双曲线的渐近线，四分之一个单位圆上的点到直线y=x 的距离的最大值为1， 故选：D ．二、填空题（每题5分）13．已知||=1，||=6， •（﹣）=2，则向量与的夹角为 ．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由•（﹣）=2，得，利用向量夹角公式可求得＜＞．【解答】解：由•（﹣）=2，得﹣=2，即=3，cos ＜，＞==，所以＜＞=，故答案为：．14．在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为 2 ． 【考点】抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，考查结论．【解答】解：由题意，抛物线的准线方程为x=﹣由抛物线的定义，可得+4=5，∴p=2． 故答案为：215．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，左焦点为F 2，若椭圆上存在一点P ，满足线段PF 1相切于椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF 1的中点，则该椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设线段PF 1的中点为M ，利用OM 是△F 1PF 2的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF 1的三边之长，再由勾股定理结合隐含条件求离心率．【解答】解：设线段PF 1的中点为M ，由题意知，OM=b ，又OM 是△F 1PF 2的中位线，∴OM=PF 2=b ，则PF 2=2b ，由椭圆的定义知PF 1=2a ﹣PF 2=2a ﹣2b ，又MF==（2a ﹣2b ）=a ﹣b ，OF 1=c ，在直角三角形OMF 1中，由勾股定理得：（a ﹣b ）2+b 2=c 2， 又a 2﹣b 2=c 2，可得2a=3b ， 故有4a 2=9b 2=9（a 2﹣c 2），由此可求得离心率e=，故答案为：．16．设必要不充分条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】充分性是说明p可以推出q，必要性说明由q可以推出p．在这个定义下进行正反认证，发现题中应该是必要不充分条件．【解答】解：若x≠0且x≠1，只有在x≥0的情况下，才有，说明充分性不成立反过来，若，说明在x≥0的大前提下，x2≠x可得x≠0且x≠1，说明必要性成立故答案为：必要不充分三、解答题（17、18、19、20、21各题12分，22题10分）17．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】根据题意，首先求得p、q为真时m的取值范围，再由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，分p 假q真与p真q假两种情况分别讨论，最后综合可得答案．【解答】解：由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，若p为真，则其等价于，解可得，m＞2；若q为真，则其等价于△＜0，即可得1＜m＜3，若p假q真，则，解可得1＜m≤2；若p真q假，则，解可得m≥3；综上所述：m∈（1，2]∪[3，+∞）．18．设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若x∈[0，π），求函数f（x）=sin（x﹣B）+sinx的值域．【考点】解三角形；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）根据a、b、c成等比数列，可得b2=ac，由正弦定理得sin2B=sinAsinC，利用，可得，根据b不是△ABC的最大边，即可求角B的大小；（Ⅱ）先化简函数，再根据x∈[0，π），可得，从而可得，故可求函数f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）因为a、b、c成等比数列，所以b2=ac，所以由正弦定理得sin2B=sinAsinC．又，所以．因为sinB＞0，则．因为B∈（0，π），所以B=或．又b2=ac，则b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大边，故．…（Ⅱ）因为，则=．…∵x∈[0，π），∴，∴．故函数f（x）的值域是．…19．点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．求点P的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先根据椭圆的方程可分别求得A，F的坐标，设出点P的坐标，则可分别表示出和，进而根据PA⊥PF求得x和y的关系式，与椭圆方程联立求得x和y即交点P的坐标．【解答】解：由已知可得点A（﹣6，0），F（4，0）设点P的坐标是（x，y），则，由已知得，则或x=﹣6.由于y＞0，只能x=，于是，∴点P 的坐标是．20．如图，直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1=AC=CB=AB ．（Ⅰ）证明：BC 1∥平面A 1CD（Ⅱ）求二面角D ﹣A 1C ﹣E 的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）通过证明BC 1平行平面A 1CD 内的直线DF ，利用直线与平面平行的判定定理证明BC 1∥平面A 1CD （Ⅱ）证明DE⊥平面A 1DC ，作出二面角D ﹣A 1C ﹣E 的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF，因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD ．（Ⅱ）因为直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，所以AA 1⊥CD，由已知AC=CB ，D 为AB 的中点，所以CD⊥AB，又AA 1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB 1A 1，设AB=2，则AA 1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，CD=，A 1D=，DE=，A 1E=3故A 1D 2+DE 2=A 1E 2，即DE⊥A 1D ，所以DE⊥平面A 1DC ，又A 1C=2，过D 作DF⊥A 1C 于F ，∠DFE 为二面角D ﹣A 1C ﹣E 的平面角，在△A 1DC 中，DF==，EF==，所以二面角D ﹣A 1C ﹣E 的正弦值．sin∠DFE=．21．如图，已知A（﹣4a，0）（a＞0），B、C两点分别在y轴和x轴上运动，并且满足•=0， =．（1）求动点Q的轨迹方程；（2）设过点A的直线与点Q的轨迹交于E、F两点，A′（4a，0），求直线A′E、A′F的斜率之和．【考点】轨迹方程；平面向量数量积的运算．【分析】（1）分别设出Q、B、C的坐标，利用向量等式把B的坐标用Q的坐标表示，结合•=0求得动点Q的轨迹方程；（2）写出过点A的直线为y=k（x+4a）（k≠0），联立直线方程和抛物线方程，利用根与系数的关系得到E，F两点纵坐标的和，再写出直线A′E、A′F的斜率之和整理得答案．【解答】解：（1）设Q（x，y），B（0，yB ），C（xC，0），则，，∵=，∴，则，又A（﹣4a，0）（a＞0），∴，由已知•=0，则，即y2=9ax，∴动点Q的轨迹方程为y2=9ax；（2）设过点A的直线为y=k（x+4a）（k≠0），再设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），联立，得ky 2﹣9ay+36a 2k=0，则，∴k A′E +k A′F =又，∴=，由，得k A′E +k A′F =0．22．在等腰直角△ABC 中，AB=AC=4，点P 是边AB 上异于A 、B 的一点，光线从点P 出发经过BC 、CA 反射后又回到点P ，光线交线段BC 于点Q ，交线段CA 于点R ，若光线QR 经过△ABC 的重心，求线段AP 的长度．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】建立坐标系，可得直线方程和重心坐标，由反射原理可得P 的两个对称点坐标，可得直线方程，进而可得P 的坐标，可得AP 长度．【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，则A （0，0），B （4，0），C （0，4），可得BC 的方程为x+y=4，可得重心（，），设P （a ，0），则P 关于AC 即y 轴的对称点P′（﹣a ，0），设P 关于BC 的对称点P″（m ，n ），则，解得，即P″（4，4﹣a ），∴光线QR 即P′P″的方程为y=（x+a ），代入（，）可得=（+a ），解得a=或a=0（舍去）∴线段AP 的长度为。
重庆市第一中学校2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题
秘密★启用前2017年重庆一中高2019级高二上期半期考试数 学 试 题 卷（理科）2017.11注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.1．已知命题01,:2>+-∈∃x x R x p ，则（ ） A ．01,:2≤+-∈∃⌝x x R x p B ．01,:2<+-∈∃⌝x x R x p C ．01,:2≤+-∈∀⌝x x R x p D ．01,:2<+-∈∀⌝x x R x p 2. “0>mn ”是“方程221mx ny +=表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3.若球的体积与其表面积数值相等，则球的大圆面积等于A ． πB ．π3 C.π6 D ．π9 4.若双曲线以x y 2±=为渐近线，且过)52,1(A ，则双曲线的方程为（ ）A.1422=-x yB.1422=-y xC.141622=-y xD.141622=-x y 5.下列命题是真命题的是（ ）A. 命题“若8≠+b a ，则2≠a 或6≠b ”为真命题B. 命题“若8≠+b a ，则2≠a 或6≠b ”的逆命题为真命题C. 命题“若022=-x x ，则0=x 或2=x ”的否命题为“若022≠-x x ，则0≠x 或2≠xD. 命题“若022=-x x ，则0=x 或2=x ”的否定形式为“若022≠-x x ，则0≠x 或2≠x 6.已知直线l n m 、、和βα，平面，直线，平面α⊂m 下面四个结论：①若α⊥n ，则m n ⊥；②若αα//,//l n ，则l n //；③若βαβα//,//,n n l =⋂，则l n //；④若βα⊥⊥n n ,，则βα//；⑤若直线l n 、互为异面直线且分别平行于βα、平面，则βα//. 其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47.右图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 （ ） A.8 B.16 C. 32 D .488. 直线04=++m y x 交椭圆11622=+y x 于B A 、两点.若线段AB 中点的横坐标为1，则 m =( )A.-2 B ．-1 C. 1 D.29.《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( ) (注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513) A ．633立方寸 B ．620立方寸C ．610立方寸D ．600立方寸10. 已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，在正方体的侧面11B BCC 上的点P 到点A 距离为233的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是（ ）A ．B ．C ．D ．11.(原创)己知O 为坐标原点，椭圆的方程为,13422=+y x 若P 、Q 为椭圆的两个动点且,OP OQ ⊥则22OQ OP +的最小值是（ ）A ．2B ．746 C ．748 D ．7 12.设双曲线C 的中心为点O ,若直线21l l 和相交于点O ，直线1l 交双曲线于11B A 、,直线2l 交双曲线于22B A 、，且使1122=A B A B 则称21l l 和为“直线对WW ”.现有所成的角为060的“直线对WW ”只有2对,且在右支上存在一点P ，使212PF PF =，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．(1,2)B ．[)9,3C ．⎥⎦⎤⎝⎛3,23 D ．(]2,3 第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.13.抛物线24x y =的焦点坐标为________. 14.条件52:<<-x p ，条件02:<-+ax x q ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________15.过双曲线1251622=-y x 的左焦点1F 引圆1622=+y x 的切线，切点为T ，延长T F 1交双曲线右支于P 点. 设M 为线段P F 1的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -=__________. 16.矩形ABCD 中，3,4==AD AB ，沿AC 将ACD ∆折起到1ACD ∆使平面ABC ACD 平面⊥1，F 是线段1AD 的中点，E 是线段AC 上的一点，给出下列结论：①存在点E ，使得1//BCD EF 平面； ②存在点E ，使得1ABD EF 平面⊥； ③存在点E ，使得E BD AC 1平面⊥； ④存在点E ，使得ABC E D 平面⊥1． 其中正确结论的序号是 ______ ．三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（10分）设命题p ：0112<--c c ，命题q ：关于x 不等式1)2(2>-+c x x 的解集为R ．(1)若命题q 为真命题，求实数c 的取值范围；(2)若命题q 或p 是真命题, q 且p 是假命题，求实数c 的取值范围．18.（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 底面⊥，BC AD //,222====AB BC AD PA ，︒=∠90BAD ，E 为PD 的中点.(1)求证：PAB CE 平面//；(2)过点A 作PC AF ⊥交PC 于点F ,求证：PCD AF 平面⊥.19.（12分）（原创）己知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，离心率23=e .过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，三角形2ABF 的周长为8.(1)求椭圆的方程；(2)若弦3=AB ，求直线AB 的方程.20.（12分）（原创）如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面四边形ABCD 为菱形，21==AB AA ，︒=∠60ABC ，E 是BC 的中点．(1)图1中，点F 是C A 1的中点,求异面直线AD EF ,所成角的余弦值； (2)图2中，点N H 、分别是AD D A 、11的中点,点M 在线段D A 1上，3211=D A M A ，求证：.//CNM AEH 平面平面图1 图221.（12分）在平面内点)0,6(1-F 、)0,6(2F 、),(y x E 满足2421=+→→EF EF . (1)求点E 的轨迹方程；(2)点)1,2(-P ，Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A ),(22y x B 两点.若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．22. （12分）已知O 为坐标原点，直线l 的方程为2+=x y ，点P 是抛物线x y 42=上到直线l 距离最小的点，点A 是抛物线上异于点P 的点，直线AP 与直线l 交于点Q ，过点Q与x 轴平行的直线与抛物线x y 42=交于点B ． 23. 1)求点P 的坐标；24. (2)求证：直线AB 恒过定点M ；(3)在(2)的条件下过M 向x 轴做垂线，垂足为N,求OANB S 四边形的最小值．命题人：蔚 虎 审题人：黄勇庆2017年重庆一中高2019级高二上期半期考试数 学 答 案（理科）2017.11一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1—5 CBDDA 6—10 CBAAB 11—12 CD二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13. )161,0( 14. 5>a 15. 1 16.1,4 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
重庆市第一中学2016-2017学年高二3月月考数学理试题
2017年重庆一中高2018级高二下期定时练习数学试题卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线24y x =的焦点坐标为（ ）A ． (1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1) 2．函数cos 2y x =的导数是（ ）A ．sin 2x -B ．sin 2xC ．2sin 2x -D ．2sin 2x 3．32(21)x dx +=⎰（ ）A ． 2B ．6C ．10D ． 8 4．二项式210(x的展开式的二项式系数和为（ ） A ． 1 B ． -1 C ． 102 D ．05．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，落地时朝上的点数之和为6的概率为（ ） A ．536 B ．16 C ． 112D ．196．函数32()2f x x ax x =-+在实数集R 上单调递增的一个充分不必要条件是（ ）A ．[0,6]a ∈B ．[a ∈C ． [6,6]a ∈-D ．[1,2]a ∈ 7． ()f x 是集合A 到集合B 的一个函数，其中，{1,2,,}A n =，{1,2,,2}B n =，*n N ∈，则()f x 为单调递增函数的个数是（ ）A ．2n n AB ．2nn C ． (2)nn D ．3nn C8．一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的内接正方体的表面积为（ ）A ．196 B ．383 C ． 578 D ．1939．函数()f x 在实数集R 上连续可导，且'2()()0f x f x ->在R 上恒成立，则以下不等式一定成立的是（ ） A ．2(2)(1)f f e >B ．2(2)(1)f f e< C ． 3(2)(1)f e f -> D ．3(2)(1)f e f -<10．某转播商转播一场排球比赛，比赛采取五局三胜制，即一方先获得三局胜利比赛就结束，已知比赛双方实力相当，且每局比赛胜负都是相互独立的，若每局比赛转播商可以获得20万元的收益，则转播商获利不低于80万元的概率是（ ） A ．34 B ．58 C ． 38 D ．91611．已知椭圆221(0)1x y m m +=>+的两个焦点是12,F F ，E 是直线2y x =+与椭圆的一个公共点，当12||||EF EF +取得最小值时椭圆的离心率为（ ）A ．23 BC ．3D12．已知函数2()2ln f x x x =-+的极大值是函数()a g x x x =+的极小值的12-倍，并且121,[,3]x x e ∀∈，不等式12()()11f x g x k -≤-恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．40(,2ln 3](1,1)(1,)3-∞-+-+∞B ．34(,2ln 3](1,)3-∞-++∞ C ． 34(,2ln 3][1,1)(1,)3-∞-+-+∞ D ．40(,2ln 3](1,)3-∞-++∞ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某种树苗成活的概率都为910，现种植了1000棵该树苗，且每棵树苗成活与否相互无影响，记未成活的棵数记为X ，则X 的方差为 ．14．设变量,x y 满足条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z x y =-的最小值为 ．15．半径分别为5,6的两个圆相交于,A B 两点，8AB =，且两个圆所在平面相互垂直，则它们的圆心距为 ．16．四位同学参加知识竞赛，每位同学须从甲乙两道题目中任选一道题目作答，答对甲可得60分，答错甲得-60分，答对乙得180分，答错乙得-180分，结果是这四位同学的总得分为0分，那么不同的得分情况共计有 种．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 函数3()f x x x =+在1x =处的切线为m ． （1）求切线m 的方程；（2）若曲线()sin g x x ax =+在点(0,(0))A g 处的切线与m 垂直，求实数a 的取值． 18． 如图所示，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，3ABC π∠=，4PA AB ==，AC 交BD 于O ，点N 是PC 的中点．（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面ANC 与平面ANB 所成的锐二面角的余弦值．19． 甲、乙、丙三人每人有一张游泳比赛的门票，已知每张票可以观看指定的三场比赛中的任一场（三场比赛时间不冲突），甲乙二人约定他们会观看同一场比赛并且他俩观看每场比赛的可能性相同，又已知丙观看每一场比赛的可能性也相同，且甲乙的选择与丙的选择互不影响．（1）求三人观看同一场比赛的概率；（2）记观看第一场比赛的人数是X ，求X 的分布列和期望． 20． 已知函数3()ln f x x a x =-． （1）当3a =，求()f x 的单调递增区间；（2）若函数()()9g x f x x =-在区间1[,2]2上单调递减，求实数a 的取值范围．21． 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且过点(22．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线,AB DE 交椭圆分别于,,,A B D E ，且满足12AM AB =，12DN DE =，求MNF ∆面积的最大值． 22．已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-． （1）若()f x 在2x =处取得极值，求a 的值；（2）若1a =，函数2222()ln()()221x x x h x mx f x x --+=++-+，且()h x 在(0,)+∞上的最小值为2，求实数m 的值．试卷答案一、选择题1-5: BCBCA 6-10:DDBAA 11、12：DB二、填空题13． 90 14． -2 15．． 44三、解答题17．（1）根据条件'2()31f x x =+，切点为(1,2)，斜率为'(1)4f =，所以m 的方程为420x y --=，（2）根据条件'()cos g x x a =+，又()g x 图象上任意一点(0,(0))A g 处的切线与m 垂直，则有'54(0)14g a ⨯=-⇒=-，所以a 的值为54-． 18．（1）∵ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥，又∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD PA ⊥， 而PAAC A =，∴BD ⊥平面PAC ．（2）以O 为坐标原点，,,OC OB ON 所在直线分别为,,x y z 轴，方向如图所示，根据条件有点(0,0,2),(2,0,0),N A B -，由（1）可知OB ⊥平面ANC ，所以可取OB 为平面ANC 的法向量1n，1n OB ==，现设平面BAN 的法向量为2(,,)n x y z =，则有2200AN n BN n ⎧=⎪⎨=⎪⎩00x z z +=⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩，令1z =，则2(1,3n =-，设平面ANC 与平面ANB 所成的锐二面角大小为θ，则12127cos ||7||||n n n n θ==19．（1）记事件A =“三人观看同一场比赛”，根据条件，由独立性可得，12311()()33P A C ==． （2）根据条件可得分布列如下：4221012319999EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．20．（1）根据条件3'233(1)()3x f x x x x-=-=，又0x >，则'()0f x >解得1x >，所以()f x 的单调递增区间是(1,)+∞；（2）由于函数()g x 在区间1[,2]2上单调递减，所以'2()390ag x x x=--≤在[0,2]上恒成立，即339x x a -≤在1[,2]2上恒成立，则max [()]a h x ≥（1[,2]2x ∈），其中3()39h x x x =-，'2()99h x x =-，则()h x 在1[,1]2上单减，在[1,2]上单增，max 1[()]max{(),(2)}62a h x h h ≥==，经检验，a 的取值范围是[6,)+∞．21．（1）根据条件有2222213124a b a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得222,1a b ==，所以椭圆22:12x C y +=． （2）根据12AM AB =，12CN CD =可知，,M N 分别为,AB DE 的中点，且直线,AB DE 斜率均存在且不为0，现设点1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为1x my =+，不妨设0m >，联立椭圆C 有22(2)210m y my ++-=，根据韦达定理得：12222my y m +=-+，121224()22x x m y y m +=++=+，222(,)22m M m m -++，||MF =2||()2NF m=-+，所以MNF ∆面积211||||124()2MNF m mS MF NF m m∆+==++，现令12t m m =+≥， 那么21124294MNFt S t t t∆==≤++，所以当2t =，1m =时，MNF ∆的面积取得最大值19．22．（2）2'21()ax x a f x x-++-=，又()f x 在2x =处取得极值，则'1(2)03f a =⇒=， 此时'2(1)(2)()3x x f x x --=-，显然满足条件，所以a的值为13． （2）由条件12()ln()1221h x mx x =++++，又()h x 在(0,)+∞上的最小值为2， 所以有(1)2h ≥，即1511ln()2ln()0ln12323m m ++≥⇒+≥>=12m ⇒>又2'2224824()21(21)(21)(21)m mx m h x mx x mx x +-=-=++++，当2m ≥时，可知()h x 在(0,)+∞上递增，无最小值，不合题意，故这样的m 必须满足122m <<，此时，函数()h x 的增区间为)+∞，减区间为，min 1()ln()122h x h ==+=整理得1ln()02=（*）若112m <<0>，且ln10<=，无解若12m ≤<，0<，将（*）变形为0+=．即0=，设1(,1]2t =则上式即为ln 0t +=，构造()ln F t t =()0F t ='()0F t =≤，故()F t 在1(,1]2上单调递减又(1)0F =，故()0F t =等价于1t =，与之对应的1m = 综上，1m =．。
重庆市第一中学2016-2017学年高二10月月考理数试题 含解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1。
双曲线221412x y -=的一个焦点坐标是（ ） A ．()0,8 B ．()22,0- C ．()0,23 D ．()4,0- 【答案】D 【解析】试题分析:22216,4c a b c =+==，所以交点坐标为()4,0-. 考点：双曲线的概念．【易错点晴】双曲线的标准方程中对,a b 的要求只是0,0a b >>,易误认为与椭圆标准方程中,a b 的要求相同．若0a b >>,则双曲线的离心率()1,2e ∈;若0a b =>，则双曲线的离心率2e =;若0a b <<，则双曲线的离心率2e >。
注意区分双曲线中的,,a b c 大小关系与椭圆,,a b c 关系,在椭圆中222ab c +，而在双曲线中222c a b =+。
2.过椭圆()221043x y a b +=>>的一焦点F 作垂直于长轴的椭圆的弦,则此弦长为（ ) A ．34B ．3C ．23D ．833【答案】B考点：椭圆的通径．3.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点为()2,0F ，双曲线的渐近线3y x =±，则双曲线的方程为（ ）A ．221913x y -= B ．221139x y -= C ．2213x y -= D ．2213y x -= 【答案】D考点：双曲线的概念与性质．4。
ABC ∆的角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4,,34b B C ππ===，则c 的长度是（ )A 6．232 C ．63D ．23【答案】C 【解析】试题分析：由正弦定理得46,sin sin 3b c c B C == 考点：解三角形．5。
已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则()28cos a a +的值为（ ） A ．12-B ．3-．12D ．32【答案】A 【解析】试题分析：159553,3a a a a a ππ++===,()()28521cos cos 2cos32a a a π+===-. 考点：数列，三角函数．6.若直线()100,0ax by a b -+=>>平分圆22:2410C x y x y ++-+=的周长，则ab 的取值范围是（ ）A ．1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B考点：直线与圆的位置关系．7.设实数,x y 满足2210101x y x y ⎧+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则x y +取得最小值时的最优解的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无数个 【答案】B 【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点()()0,1,1,0A B 处取得最小值。
[精品]2016-2017年重庆一中高二下学期期中数学试卷及解析答案word版(理科)
![[精品]2016-2017年重庆一中高二下学期期中数学试卷及解析答案word版(理科)](https://img.taocdn.com/s3/m/127cac00a76e58fafab003a7.png)
2016-2017学年重庆一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分．将每小题唯一合符题意的选项填入答题卷相应栏内）1．（5分）若复数满足（z﹣1）（2﹣i）=5i，其中是虚数单位，则|z|的值为（）A．2 B ．C ．D ．2．（5分）随机变量X～N（9，σ2），P（X＜6）=0.2，则P（9＜X＜12）=（）A．0.3 B．0.4 C．0.4987 D．0.99743．（5分）已知，，，…，若，则n=（）A．5 B．6 C．7 D．84．（5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则在齐王的马获胜的条件下，齐王的上等马获胜的概率为（）A ．B ．C ．D．15．（5分）若曲线的切线斜率都是正数，则实数的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（0，+∞）D．[0，+∞）6．（5分）对某校高二年级某班63名同学，在一次期末考试中的英语成绩作统计，得到如下的列联表：附：，参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”C．没有90%以上的把握认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”D．有90%以上的把握认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”7．（5分）设x，y满足约束条件，若z=mx+y的最小值为﹣3，则m 的值为（）A．﹣9 B．C．D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示（网格中的小正方形边长为），则该几何体的体积为（）A．B．C．9．（5分）古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我一中学子论天、论地、指点江山．现在高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中，选出四位同学组成重庆一中“口才季”中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、二辩、三辩、四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同组队方式有（）A．12种B．16种C．20种D．24种10．（5分）已知过抛物线x2=4y焦点F的直线交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若，则直线的方程为（）A ．B ．C ．D ．11．（5分）设曲线y=e x﹣x及直线y=0所围成的图形为区域D，不等式组所确定的区域为E，在区域E内随机取一点，则该点落在区域D内的概率为（）A ．B ．C ． D ．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=e x+mx2﹣m（m＞0），当x1+x2=1时，不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，则实数x1的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B ． C ． D．（1，+∞）二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分．要求将每小题最后结果填入答题卷相应栏内）．13．（5分）随机变量，且E（3ξ+2）=8，则n=．14．（5分）若a2+b2=4，则直线ax+by+2=0被圆x2+y2=5所截得的弦长为．15．（5分）函数的最大值为．16．（5分）甲、乙两人轮流投篮，每次投篮甲投中的概率为，乙投中的概率为，规定：甲先投，若甲投中，则甲继续投，否则由乙投；若乙投中，则乙继续投，否则由甲投．两人按此规则进行投篮，则第五次为甲投篮的概率为．三、解答题（本题共6小题，满分70分，要求写出必要的推演过程）．17．（12分）已知数列{a n}满足，．（1）求a2，a3，a4值；（2）归纳猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．18．（12分）现从某班的一次期末考试中，随机的抽取了七位同学的数学（满分150分）、物理（满分110分）成绩如表所示，数学、物理成绩分别用特征量t，y表示，（1）求y关于t的回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析数学成绩的变化对物理成绩的影响，并估计该班某学生数学成绩130分时，他的物理成绩（精确到个位）．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，且PA=AD=2，AB=1，E是线段PD的中点．（1 ）求证：AE⊥PC；（2）是否存在正实数λ，满足，使得二面角M﹣BD﹣C的大小为60°？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆，焦距为2，离心率e为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点作圆的切线，切点分别为M、N，直线MN与x轴交于点F，过点F的直线l交椭圆C于A、B两点，点F关于y轴的对称点为G，求△ABG的面积的最大值．21．（12分）已知a＞0，函数f（x）=ln（x﹣1）﹣a（x﹣2），g（x）=e x+（a2﹣2）x（1）求f（x）在区间[2，3]上的最小值；（2）设h（x）=af（x+2）+g（x），当x≥0时，h（x）≥﹣1恒成立，求实数的取值范围．22．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣a|﹣|x|，a∈R（1）当a=2时，解关于的不等式f（x）＞1；（2）若f（x）≥4﹣|2x+a|﹣|x|对∀x∈R恒成立，求实数的取值范围．2016-2017学年重庆一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分．将每小题唯一合符题意的选项填入答题卷相应栏内）1．（5分）若复数满足（z﹣1）（2﹣i）=5i，其中是虚数单位，则|z|的值为（）A．2 B．C．D．【解答】解：∵（z﹣1）（2﹣i）=5i，∴z=1+=1+=2i．∴|z|=2．故选：A．2．（5分）随机变量X～N（9，σ2），P（X＜6）=0.2，则P（9＜X＜12）=（）A．0.3 B．0.4 C．0.4987 D．0.9974【解答】解：P（X＞12）=P（X＜6）=0.2，∴P（6＜X＜12）=1﹣0.2×2=0.6，∴P（9＜X＜12）=P（6＜X＜12）=0.3．故选：A．3．（5分）已知，，，…，若，则n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：方法一：=，==，=…，若=，∴n=6，方法二：==2（﹣），∴1+++…+=2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=，令=，解得n=6故选：B．4．（5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则在齐王的马获胜的条件下，齐王的上等马获胜的概率为（）A．B．C．D．1【解答】解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根据题设其中Ab，Ac，Bc是田忌胜共三种可能，则在齐王的马获胜有6种情况，其中齐王的上等马获胜的有3种情况，故在齐王的马获胜的条件下，齐王的上等马获胜的概率为．故选：B．5．（5分）若曲线的切线斜率都是正数，则实数的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（0，+∞）D．[0，+∞）【解答】解：曲线，x＞0，可得y′=+x+2，由题意可得：+x+2＞0恒成立，即a＞﹣x2﹣2x，y=﹣x2﹣2x，开口向下，x=﹣1是对称轴，x＞0时，函数是减函数，可得a≥0．故选：D．6．（5分）对某校高二年级某班63名同学，在一次期末考试中的英语成绩作统计，得到如下的列联表：附：，参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”C．没有90%以上的把握认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”D．有90%以上的把握认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”【解答】解：由2×2列联表：则K2的观测值k=≈6.225×10﹣4＜2.706，没有90%以上的把握认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”，故选：C．7．（5分）设x，y满足约束条件，若z=mx+y的最小值为﹣3，则m 的值为（）A．﹣9 B．C．D．【解答】解：由x，y满足约束条件，作出可行域如图：联立，解得A（3，﹣1），化目标函数z=mx+y为y=﹣mx+z，目标函数的最小值就是函数在y轴上的截距最小，最小值为：﹣3，由图可知，m＜0，使目标函数取得最小值的最优解为A（3，﹣1）把A（3，﹣1）代入z=mx+y=﹣3，求得m=﹣．故选：C．8．（5分）某几何体的三视图如图所示（网格中的小正方形边长为），则该几何体的体积为（）A．B．C．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，底面是边长为2的正方形，高为2，侧棱PA⊥底面ABCD，则．故选：C．9．（5分）古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我一中学子论天、论地、指点江山．现在高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中，选出四位同学组成重庆一中“口才季”中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、二辩、三辩、四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同组队方式有（）A．12种B．16种C．20种D．24种【解答】解：若甲乙有1人担任一辩，则有A22A32=12种，若甲乙没有人担任一辩，则戊一定一辩，则有A21A32=12种，根据分类计数原理可得共有12+12=24种，故选：D．10．（5分）已知过抛物线x2=4y焦点F的直线交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若，则直线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设抛物线C：x2=4y的准线为l：y=﹣1，焦点F（0，1）设直线AB：y=kx+1（k＞0）过A、B分别作AP⊥l于P，BQ⊥l于Q，BC⊥AP，垂足为C，由|AF|=3|FB|=3m，则|AP|=3|BQ|=3m，∴|AC|=2m，|AB|=4m，|BC|=2m∴k=，则直线AB的方程：y=x+1，整理得：x﹣y+=0，故选：B．11．（5分）设曲线y=e x﹣x及直线y=0所围成的图形为区域D，不等式组所确定的区域为E，在区域E内随机取一点，则该点落在区域D内的概率为（）A．B．C． D．【解答】解：由题意y=e x﹣x的图象以及不等式组所确定的区域为E 如图：区域E的面积为边长为2 的正方形的面积为4，在此范围内区域D的面积为，由几何概型的公式得到所求概率为；故选：D．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=e x+mx2﹣m（m＞0），当x1+x2=1时，不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，则实数x1的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B． C． D．（1，+∞）【解答】解：∵不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，∴不等式f（x1）﹣f（x2）＞f（1）﹣f（0）恒成立，又∵x1+x2=1，∴不等式f（x1）﹣f（1﹣x1）＞f（1）﹣f（1﹣1）恒成立，设g（x）=f（x）﹣f（1﹣x），∵f（x）=e x+mx2﹣m（m＞0），∴g（x）=e x﹣e1﹣x+m（2x﹣1），则g′（x）=e x+e1﹣x+2m＞0，∴g（x）在R上单调递增，∴不等式g（x1）＞g（1）恒成立，∴x1＞1，故选：D．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分．要求将每小题最后结果填入答题卷相应栏内）．13．（5分）随机变量，且E（3ξ+2）=8，则n=6．【解答】解：因为ξ～B（n，），所以Eξ=n，所以E（3ξ+2）=3Eξ+2==8．所以n=6．故答案为：6．14．（5分）若a2+b2=4，则直线ax+by+2=0被圆x2+y2=5所截得的弦长为4．【解答】解：圆x2+y2=5的圆心坐标为O（0，0），半径r=．∵a2+b2=4，∴圆心O（0，0）到直线ax+by+2=0的距离d=．∴弦长为2．故答案为：4．15．（5分）函数的最大值为2．【解答】解：由柯西不等式得：[（2+（2][22+52]⇒4×29≥（5+2）2，⇒故答案为：．16．（5分）甲、乙两人轮流投篮，每次投篮甲投中的概率为，乙投中的概率为，规定：甲先投，若甲投中，则甲继续投，否则由乙投；若乙投中，则乙继续投，否则由甲投．两人按此规则进行投篮，则第五次为甲投篮的概率为．【解答】解：∵甲、乙两人轮流投篮，每次投篮甲投中的概率为，乙投中的概率为，第五次为甲投篮，则前4次有4次甲，3次甲，2甲，1次甲，故有C44（）4+C43（）3•+C42（）2•（）2+C41（）•（）3=故答案为：三、解答题（本题共6小题，满分70分，要求写出必要的推演过程）．17．（12分）已知数列{a n}满足，．（1）求a2，a3，a4值；（2）归纳猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）数列{a n}满足，．n=1，2，3时计算得…（3分）（2）猜想…（5分）证明如下：①当n=1时，猜想显然成立；…（7分）②假设当n=k（k∈N+）时猜想成立，即成立，…（8分）则当n=k+1时，，即n=k+1时猜想成立…（11分）由①②得对任意n∈N*，有…（12分）18．（12分）现从某班的一次期末考试中，随机的抽取了七位同学的数学（满分150分）、物理（满分110分）成绩如表所示，数学、物理成绩分别用特征量t，y表示，（1）求y关于t的回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析数学成绩的变化对物理成绩的影响，并估计该班某学生数学成绩130分时，他的物理成绩（精确到个位）．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．．【解答】解：（1）∵．…（2分）．…．（4分）设回归方程为，代入公式，经计算得…（6分），∴y关于t的回归方程为…．（8分）（2）∵，∴随着数学成绩的提高，物理成绩会稳步增长，…..（9分）当t=130时，．所以，该班某学生数学成绩130（分）时，他的物理成绩估计为90（分）…..（12分）19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，且PA=AD=2，AB=1，E是线段PD的中点．（1 ）求证：AE⊥PC；（2）是否存在正实数λ，满足，使得二面角M﹣BD﹣C的大小为60°？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD 是矩形．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD∴CD⊥平面PAD，∵AE⊂平面PAD，∴AE⊥CD又E是线段PD的中点，PA=AD，∴AE⊥PD，PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，∵PC ⊂平面PCD，∴AE⊥PC．…（5分）（2）建立如图所示空间直角坐标系，A（0，0，0），D（2，0，0），B（0，1，0），P（0，0，2），C（2，1，0）…（7分）由，得…..（8分）平面BCD的法向量…（9分）设平面MBD的法向量，则，，可解得…（11分），∴故存在实数，使得二面角M﹣BD﹣C的大小为60°…（12分）20．（12分）已知椭圆，焦距为2，离心率e为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点作圆的切线，切点分别为M、N，直线MN与x轴交于点F，过点F的直线l交椭圆C于A、B两点，点F关于y轴的对称点为G，求△ABG的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆，焦距为2，离心率e为．∴由题意，2c=2，解得c=1，由e=，解得a=2．∴b=．∴椭圆的标准方程为=1．（Ⅱ）由题意，得O、M、P、n四点共圆，该圆的方程为（x﹣）2+（y﹣）2=，又圆O的方程为x2+y2=，∴直线MN的方程为x+2y﹣1=0，令y=0，得x=1，即点F的坐标为（1，0），则点F关于y轴的对称点为G（﹣1，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），则|GF||y1﹣y2|=|y1﹣y2|，最大，|y1﹣y2|就最大．∴S△ABG由题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，∴，．又∵直线l与椭圆C交于不同的两点，∴△＞0，即（6m）2+36（3m2+4）＞0，m∈R，=|GF||y1﹣y2|=|y1﹣y2|==，则S△GAB令t=，则t≥1，S===．△GAB令f（t）=t+，则函数f（t）在[，+∞）上单调递增，即当t≥1时，f（t）在[1，+∞）上单调递增，≤3．∴f（t）≥f（1）=，∴S△GAB故△ABG的面积的最大值为3．21．（12分）已知a＞0，函数f（x）=ln（x﹣1）﹣a（x﹣2），g（x）=e x+（a2﹣2）x（1）求f（x）在区间[2，3]上的最小值；（2）设h（x）=af（x+2）+g（x），当x≥0时，h（x）≥﹣1恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1），由f'（x）=0得，当时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；当时，f'（x）＜0，f（x）为减函数…..（2分）（i）当a≥1时，，f（x）在区间[2，3]上为减函数，f（x）min=f（3）=ln2﹣a（ii）当时，，f（x）在区间[2，3]上为增函数，f（x）min=f（2）=0（iii）当时，，若时，f（x）min=f（2）=0；若ln2≤a＜1时，f（x）min=f（3）=ln2﹣a综上，当a≥ln2时，f（x）min=ln2﹣a；当0＜a＜ln2时，f（x）min=0；…（5分）（2）h（x）=af（x+2）+g（x）=aln（x+1）+e x﹣2x，则①当a≤0时，h'（x）在[0，+∞）上单调递增，则h'（x）≥h'（0）=a﹣1，∵a ﹣1＜0∴存在x0∈（0，+∞），使得h'（x0）=0，于是h（x）在区间（0，x0）上单调递减，当x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）=﹣1与h（x）≥﹣1恒成立相矛盾，不符合题意…．（7分）②当a＞0时，令φ（x）=e x﹣（x+1），（x≥0）则φ'（x）=e x﹣1≥0，即φ（x）在[0，+∞）上单调递增，∴φ（x）≥φ（0）=e0﹣1=0，即e x≥x+1．∴i当a≥1时，h'（x）≥0，于是，h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h （0）=﹣1恒成立，符合题意ii当0＜a＜1时，在[0，+∞）上单调递增，则h''（x）≥h''（0）=1﹣a＞0，即h'（x）在[0，+∞）上单调递增，所以h'（x）≥h'（0）=a﹣1∵a﹣1＜0∴存在x0∈（0，+∞），使得h'（x0）=0，于是h（x）在区间（0，x0）上单调递减，当x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）=﹣1，与h（x）≥﹣1恒成立相矛盾，不符合题意．综上，实数a的取值范围是[1，+∞）…..…（12分）22．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣a|﹣|x|，a∈R（1）当a=2时，解关于的不等式f（x）＞1；（2）若f（x）≥4﹣|2x+a|﹣|x|对∀x∈R恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，|2x ﹣2|﹣|x |＞1． 当x ＜0时，﹣2x +2+x ＞1，∴x ＜1，∴x ＜0 当0≤x ＜1时，﹣2x +2﹣x ＞1，∴；当x ≥1时，2x ﹣2﹣x ＞1，∴x ＞3 故所求不等式的解集为…（5分） （2）由f （x ）≥4﹣|2x +a |﹣|x |得|2x ﹣a |+|2x +a |≥4恒成立， 即恒成立，∴|a |≥2，故实数的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）…..（10分）赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
重庆市重庆一中2015-2016学年高二上学期期末考试数学理试卷Word版含答案
秘密★启用前2016年重庆一中高2017级高二上期期末考试数 学 试 题 卷（理科） 2016.1（时间：120分钟 分数：150分）一．选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1．复数31ii -（i 是虚数单位）的虚部是（ ）（A ）32i （B ）32 （C ）32i - （D ）32-2．定积分()332sin x x dx ππ-+⎰等于（ ）（A ）0 （B ）2192π- （C ）2219π- （D ）2219π+ 3．（原创）已知命题p ：R x ∈∀，04223≠+++x x e x ，则⌝p 为（ ）（A ）R x ∈∃0，使得042ln 20300=+++x x x （B ）R x ∈∃0，使得04220300≠+++x x e x（C ）R x ∈∃，使得04223=+++x x e x （D ）R x ∈∀0，使得04220300=+++x x e x4．用反证法证明结论：“曲线()y f x =与曲线()y g x =至少有两个不同的交点”时，要做的假设是（ ）（A ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至多有两个不同的交点 （B ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至多有一个交点 （C ）曲线()y f x =与曲线()y g x =恰有两个不同的交点 （D ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至少有一个交点5．已知直线()R a a ay x ∈+=+2与圆072222=---+y x y x 交于,M N 两点，则线段MN 的长的最小值为（ ）（A ）24 （B ）22 （C ）2 （D ）26．()()830+-<x x 的一个充分不必要条件是（ ）（A ）38<<-x （B ）8>x （C ）3-<x （D ）8-<x 或3>x7．给出以下五个结论：①经过()()1122,,,A x y B x y 两点的直线的方程为112121y y x x y y x x --=--； ②以()()1122,,,A x y B x y 为直径的两个端点的圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=；③平面上到两个定点12,F F 的距离的和为常数2a的点的轨迹是椭圆；④平面上到两个定点12,F F 的距离的差为常数()1222||a a F F <的点的轨迹是双曲线；⑤平面上到定点F 和到定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。
(完整版)2017年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
高二（上）数学期末试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，均为单选题，每小题5分，共60分）1．抛物线y2=4x上一点M到准线的距离为3，则点M的横坐标x为（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知向量，，若与平行，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣63．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a8•a10•a12等于（）A．16 B．32 C．64 D．2564．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C．x=D．y=5．已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．16．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需将函数的图象上每一点（）A．横坐标向左平动个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度7．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．8．抛掷一枚均匀的硬币4次，出现正面次数多余反面次数的概率是（）A．B．C．D．9．已知l是双曲线的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C 的两个焦点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．12 B．C．D．10．已知直线y=﹣2x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣4y=0上，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．已知直线l过点（﹣1，0），l与圆C：（x﹣1）2+y2=3相交于A，B两点，则弦长的概率为（）A．B．C．D．12．设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，已知点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|=2|BF1|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆+=1的长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于．14．函数f（x），x∈R，满足如下性质：f（x）+f（﹣x）=0，f（+x）=f（﹣x），f（1）=3，则f（2）=．15．函数给出下列说法，其中正确命题的序号为．（1）命题“若α=，则cosα=”的逆否命题；（2）命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1；（3）“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；（4）命题p：“，使”，命题q：“在△ABC中，若使sinA＞sinB，则A＞B”，那么命题（¬p）∧q为真命题．16．抛物线C：y2=4x的交点为F，准线为l，p为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l交C于点M，线段MF为抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知数列{a n}是公差为正数的等差数列，其前n项和为S n，a1=1，且3a2，S3，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图是某市有关部门根据对某地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请根据该图提供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求样本中月收入在[2500，3500）的人数；（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500，2000）的这段应抽多少人？（3）试估计样本数据的中位数．19．如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB= AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．20．已知向量，，其中ω＞0，函数，其最小正周期为π．（1）求函数f（x）的表达式及单调减区间；（2）在△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为其面积，若f（）=1，b=1，S△ABC=，求a的值．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点M（1，），F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|=2，P是椭圆C上的一个动点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点P在第一象限，且•≤，求点P的横坐标的取值范围；（Ⅲ）是否存在过定点N（0，2）的直线l交椭圆C交于不同的两点A，B，使∠AOB=90°（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．22．已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；（2）若直线y=k（x﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由．高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，均为单选题，每小题5分，共60分）1．抛物线y2=4x上一点M到准线的距离为3，则点M的横坐标x为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】首先求出p，准线方程，然后根据，直接求出结果．【解答】解：设M（x，y）则2P=4，P=2，准线方程为x==﹣1，解得x=2．选B．2．已知向量，，若与平行，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣6【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：=（﹣3，3+2m），∵与平行，∴3+2m+9=0，解得m=﹣6．故选：D．3．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a8•a10•a12等于（）A．16 B．32 C．64 D．256【考点】等比数列的性质．【分析】由a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，根据韦达定理即可求出a1和a19的积，而根据等比数列的性质得到a1和a19的积等于a102，由数列为正项数列得到a10的值，然后把所求的式子也利用等比数列的性质化简为关于a10的式子，把a10的值代入即可求出值．【解答】解：因为a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，所以a1•a19=a102=16，又此等比数列为正项数列，解得：a10=4，则a8•a10•a12=（a8•a12）•a10=a103=43=64．故选C4．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C．x=D．y=【考点】双曲线的标准方程；椭圆的标准方程．【分析】先根据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c，令二者相等即可求得m和n的关系，进而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵椭圆和双曲线有公共焦点∴3m2﹣5n2=2m2+3n2，整理得m2=8n2，∴=2双曲线的渐近线方程为y=±=±x故选D5．已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】直线与平面垂直的性质；简单空间图形的三视图．【分析】画出满足条件的四棱锥的直观图，可令棱锥PA⊥矩形ABCD，进而可得可得△PAB 和△PAD都是直角三角形，再由由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，又得到了两个直角三角形△PCB 和△PCD，由此可得直角三角形的个数．【解答】解：满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，画出满足条件的直观图如图四棱锥P﹣ABCD所示，不妨令PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CB，PA⊥CD，故△PAB 和△PAD都是直角三角形．又矩形中CB⊥AB，CD⊥AD．这样CB垂直于平面PAB内的两条相交直线PA、AB，CD垂直于平面PAD内的两条相交直线PA、AD，由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，∴CB⊥PB，CD⊥PD，故△PCB 和△PCD都是直角三角形．故直角三角形有△PAB、△PAD、△PBC、△PCD共4个．故选A．6．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需将函数的图象上每一个点（）A．横坐标向左平动个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数=3cos2（x+）的图象上每一个点横坐标向右平移个单位长度，可得函数y=3cos2x的图象，故选：B．7．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．【考点】循环结构．【分析】框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．【解答】解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．故选A．8．抛掷一枚均匀的硬币4次，出现正面次数多余反面次数的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】抛掷一枚均匀的硬币4次，相当于进行4次独立重复试验，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出出现正面次数多余反面次数的概率．【解答】解：抛掷一枚均匀的硬币4次，相当于进行4次独立重复试验，∴出现正面次数多余反面次数的概率：p==．故选：D．9．已知l是双曲线的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C 的两个焦点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．12 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P的坐标，利用PF1⊥PF2，建立方程，求出P的坐标，则△PF1F2的面积可求．【解答】解：由题意，设P（y，y），∵PF1⊥PF2，∴（﹣y，﹣y）•（y，﹣y）=0，∴2y2﹣6+y2=0，∴|y|=，∴△PF1F2的面积为=2．故选D．10．已知直线y=﹣2x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣4y=0上，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】将直线y=﹣2x+1与直线x﹣4y=0联立，求得中点坐标，由A，B在椭圆上，两式相减可知=﹣×=﹣，则=2，求得a2=2b2，椭圆的离心率e===．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可知：，解得：，则线段AB的中点（，），则x1+x2=，y1+y2=，由A，B在椭圆上，+=1， +=1，两式相减，得+=0，=﹣×=﹣，∴=2，即a2=2b2，椭圆的离心率e===，故选D．11．已知直线l过点（﹣1，0），l与圆C：（x﹣1）2+y2=3相交于A，B两点，则弦长的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】先找出使弦长|AB|=2时的情况，再求直线与圆相切时的情形，根据几何概型的概率公式求解即可【解答】解：圆心C是（1，0）半径是，可知（﹣1，0）在圆外要使得弦长|AB|≥2，设过圆心垂直于AB的直线垂足为D，由半径是，可得出圆心到AB的距离是1，此时直线的斜率为，倾斜角为30°，当直线与圆相切时，过（﹣1，0）的直线与x轴成60°，斜率为，所以使得弦长的概率为：P==，故选：C．12．设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，已知点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|=2|BF1|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的性质求出A，B的坐标，代入椭圆方程，结合1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．【解答】解：由题意椭圆，a=1，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2，∴A点坐标为（c，b2），设B（x，y），则∵|AF1|=2|F1B|，∴（﹣c﹣c，﹣b2）=2（x+c，y）∴B（﹣2c，﹣b2），代入椭圆方程可得：4c2+b2=1，∵1=b2+c2，∴b2=，∴x2+=1．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆+=1的长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于4．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆+=1的长轴在x轴上，焦距为4，可得10﹣m﹣m+2=4，即可求出m的值．【解答】解：∵椭圆+=1的长轴在x轴上，焦距为4，∴10﹣m﹣m+2=4，解得m=4故答案为：4．14．函数f（x），x∈R，满足如下性质：f（x）+f（﹣x）=0，f（+x）=f（﹣x），f（1）=3，则f（2）=﹣3．【考点】函数的值．【分析】推导出f（x+3）=﹣f（x+）=f（x），由f（1）=3，得f（2）=f（﹣1）=﹣f（1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x），x∈R，满足如下性质：f（x）+f（﹣x）=0，f（+x）=f（﹣x），∴f（x+3）=﹣f（x+）=f（x）∵f（1）=3，f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣3．故答案为：﹣3．15．函数给出下列说法，其中正确命题的序号为①②④．（1）命题“若α=，则cosα=”的逆否命题；（2）命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1；（3）“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；（4）命题p：“，使”，命题q：“在△ABC中，若使sinA＞sinB，则A＞B”，那么命题（¬p）∧q为真命题．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1），原命题为真，逆否命题为真命题；（2），命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1，；（3），“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件；（4），判断命题p、命题q的真假即可【解答】解：对于（1），∵cos=，∴原命题为真，故逆否命题为真命题；对于（2），命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1，为真命题；对于（3），“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件，故为假命题；对于（4），x∈（0，）时，sinx+cosx=，故命题p为假命题；在△ABC中，若sinA＞sinB⇒2RsinA＞2RsinB⇒a＞b⇒A＞B，故命题q为真命题那么命题（¬p）∧q为真命题，正确．故答案为：①②④16．抛物线C：y2=4x的交点为F，准线为l，p为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l交C于点M，线段MF为抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，求出P的坐标，可得cos∠MNQ=，即可得到．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，∵PF的斜率为，∴可得P（4，4）．∴M（﹣1，4），∴cos∠MFO=∴cos∠MNQ=∴=故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知数列{a n}是公差为正数的等差数列，其前n项和为S n，a1=1，且3a2，S3，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设出等差数列的公差，由3a2，S3，a5成等比数列列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）求出等差数列的前n项和，代入，利用裂项相消法求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d（d＞0），则a2=1+d，S3=3+3d，a5=1+4d，∵3a2，S3，a5成等比数列，∴，即（3+3d）2=（3+3d）•（1+4d），解得d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）由（1）得：，∴=，∴=．18．如图是某市有关部门根据对某地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请根据该图提供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求样本中月收入在[2500，3500）的人数；（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500，2000）的这段应抽多少人？（3）试估计样本数据的中位数．【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．【分析】（1）根据频率分布直方图，求出各段的频率，然后再求[2500，3500）的人数；（2）根据抽样方法，选取抽样的人数，（3）根据求中位数的方法即可．【解答】解：（1）∵月收入在[1000，1500]的频率为0.0008×500=0.4，且有4000人，∴样本的容量n=，月收入在[1500，2000）的频率为0.0004×500=0.2，月收入在[2000，2500）的频率为0.0003×500=0.15，月收入在[3500，4000）的频率为0.0001×500=0.05，∴月收入在[2500，3500）的频率为；1﹣（0.4+0.2+0.15+0.05）=0.2，∴样本中月收入在[2500，3500）的人数为：0.2×10000=2000．（2）∵月收入在[1500，2000）的人数为：0.2×10000=2000，∴再从10000人用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[1500，2000）的这段应抽取（人）．（3）由（1）知月收入在[1000，2000）的频率为：0.4+0.2=0.6＞0.5，∴样本数据的中位数为：=1500+250=1750（元）．19．如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB= AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）通过证明BC1平行平面A1CD内的直线DF，利用直线与平面平行的判定定理证明BC1∥平面A1CD（Ⅱ）证明DE⊥平面A1DC，作出二面角D﹣A1C﹣E的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）因为直棱柱ABC﹣A1B1C1，所以AA1⊥CD，由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，又AA1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB1A1，设AB=2，则AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，CD=，A1D=，DE=，A1E=3故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，又A1C=2，过D作DF⊥A1C于F，∠DFE为二面角D﹣A1C﹣E的平面角，在△A1DC中，DF==，EF==，所以二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．sin∠DFE=．20．已知向量，，其中ω＞0，函数，其最小正周期为π．（1）求函数f（x）的表达式及单调减区间；（2）在△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为其面积，若f（）=1，b=1，S△ABC=，求a的值．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．=，求得c=4，再利用余弦定理求（2）由f（）=1，求得A=，根据S△ABC得a=的值．【解答】解：（1）函数=cos2ωx+sinωxcosωx﹣=cos2ωx+sin2ωx=sin（2ωx+），其最小正周期为=π，∴ω=1，f（x）=sin（2x+）．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）在△ABC中，∵f（）=sin（A+）=1，=bc•sinA=•1•c•=，∴A=，又b=1，S△ABC∴c=4，∴a===．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点M（1，），F1，F2是椭圆C 的两个焦点，|F1F2|=2，P是椭圆C上的一个动点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点P在第一象限，且•≤，求点P的横坐标的取值范围；（Ⅲ）是否存在过定点N（0，2）的直线l交椭圆C交于不同的两点A，B，使∠AOB=90°（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆经过点M（1，），|F1F2|=2，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设P（x，y），则=（3x2﹣8），由此能求出点P的横坐标的取值范围．（Ⅲ）设直线l的方程为y=kx+2，联立，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出直线的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点M（1，），F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|=2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）∵c=，F1（﹣，0），F2（），设P（x，y），则=（﹣）•（）=x2+y2﹣3，∵，∴=x2+y2﹣3==（3x2﹣8），解得﹣，∵点P在第一象限，∴x＞0，∴0＜x＜，∴点P的横坐标的取值范围是（0，]．（Ⅲ）当直线l的斜率不存在时，直线l即为y轴，A、B、O三点共线，不符合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，联立，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由△=（16k）2﹣48（1+4k2）＞0，解得，，，∵∠AOB=90°，∴=0，∵=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+2）（kx2+2）==0，解得k2=4，满足k2＞，解得k=2或k=﹣2，∴直线l的斜率k的值为﹣2或2．22．已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；（2）若直线y=k（x﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）连结QF，运用垂直平分线定理可得，|QP|=|QF|，可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程；（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由直线的斜率之和为0，化简整理，即可得到存在T（4，0）．【解答】解：（1）连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为，可知a=2，c=1，∴，所以点Q的轨迹Γ的方程为；（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2）联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，由∠OTS=∠OTR（显然TS，TR的斜率存在），故k TS+k TR=0即②，由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1）代入②得，即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③，将①代入③，即有：④，要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．2017年2月24日。
重庆一中2017届高三上学期第二次月考数学理试卷_Word版含答案
秘密☆启用前2016年重庆一中高2017届高三上期第二次月考数 学 试 题 卷（理科）2016.10数学试题共4页，共24小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题。
（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{12,}A x x x N =-<<∈，{1,0,1}B =-，则A B I =（ ）A ．{1,0}-B ．{0}C ．{1}D ．{0,1}2．等差数列{}n a 中，若43a =，则237a a a ++=（ ）A ．6B ．9C ．12D ．15 3．下列函数为奇函数的是（ ）A ．32()3f x x x =+B ．()22x x f x -=+C ．3()ln 3x f x x +=-D ．()sin f x x x =4．计算2cos 75cos60sin105-o o o 的结果是（ ）A ．12-BC ．D 5．已知非零向量,a b r r 的夹角为60°，且1,21b a b =-=r r r ，则a r =（ ）A ．12B ．1CD ．26．下列说法中正确的是（ ） A ．已知()f x 是可导函数，则“0'()0f x =”是“0x 是()f x 的极值点”的充分不必要条件B ．“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠” C ．若2000:,10p x R x x ∃∈-->，则2:,10p x R x x ⌝∀∈--< D ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题7．一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．1π+B ．2π+C ．21π+D ．35π++8．已知双曲线22:1,(0,0)C mx ny m n +=><的一条渐近线与圆226290x y x y +--+=相切，则双曲线C 的离心率等于（ ）A ．43 B ．53C ．54D ．32 9．（原创）已知()sin(),(0,0,(0,))f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈，其导函数'()f x 的部分图象如图所示，则下列对()f x 的说法正确的是（ ）A ．最大值为4且关于直线2x π=-对称 B ．最大值为4且在[,]22ππ-上单调递增 C ．最大值为2且关于点(,0)2π-中心对称 D ．最大值为2且在3[,]22ππ-上单调递减 10．（原创）在OAB ∆中，4,2OA OC OB OD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，AD ,BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC ,BD 于E ,F 两点，若,,(,0)OE OA OF OB λμλμ==>u u u r u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的最小值为（ ）A B C D 11．（原创）已知Rt ABC ∆的三边长分别为5,4,3AB BC AC ===，在平面直角坐标系中，ABC ∆的初始位置如图（图中CB ⊥x 轴），现将ABC ∆沿x 轴滚动，设点(,)A x y 的轨迹方程是()y f x =，则(2017)f =（ ）A B ． C ．4 D ．012．（原创）已知()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且当0x >时，恒有'()ln ()0f x x x f x +<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．(1,)+∞C ．(0,1)(1,)+∞UD ．Φ二、填空题。
重庆市第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学(理)试题-含答案
2017年重庆市一中2018级高二下学期期末考试数学试题卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合2{1,3,5,7},{|35}A B x x x ==-≤，则A B =A ．{}1,3B ．{}3,5C ．{}5,7D ．{}1,72、设复数z 满足21i z=+，则z = A ．1i + B ．1i - C ．2i D ．2i -3、命题：“对任意22,ln(2)0x x R e x x ∈-++>”的否定是A ．任意22,ln(2)0x x R e x x ∈-++≤B ．存在22,ln(2)0x x R e x x ∈-++>C ．不存在22,ln(2)0x x R e x x ∈-++≤D ．存在22,ln(2)0x x R e x x ∈-++≤4、已知2(2017,)N ξσ，若(20162017)0.2P ξ≤≤=，则(2018)P ξ>等于A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.45、函数()3f x x=-的定义域为 A ．{}|3x x ≠ B ．{|3x x ≤-或3}x > C ．{|33}x x -<≤D ．{|33}x x -≤<6、函数()321313f x x x x =-+++，以下关于此函数的说法正确的是 A ．在1x =处取得极小值 B ．在1x =-处取得极大值C ．在3x =-处取得极小值D ．在3x =-处取得极大值7、一个半径为1的球对称的消去了三部分，其俯视图如图所示，那么该立体图形的表面积为A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π8、已知12,F F 是双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左右焦点，P 为双曲线右支上一点，1PF与以原点为圆心a 为半径的圆相切，切点为M ，若11()2OM OF OP =+，那么该双曲线的离心率为ABCD1 9、（原创）在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人现独立思考完成，然后一起讨论，甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你作对了！”，丙说：“我也做错了！”最后老师知道了他们三人的答案和讨论后总结：“你们三人中有且只有一人做对了”，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是A ．甲做对了B ．甲说对了C ．乙作对了D ．乙说对了10、（原创）NBA 全明星周末有投篮之星、扣篮大赛、技巧挑战赛和三分大赛四种项目，某高中为了锻炼学生体质，也模仿全明星周末举行“篮球周末”活动，同样是投篮之星，扣篮大赛、技巧挑战赛和三分大赛四种项目，现在高二某班有两名同学要报名参加此次活动，每名同学最多两项（至少参加一项），那么他俩共有多少种不同的报名方式A ．96B ．100C ．144D ．22511、（原创）已知点P 为圆22(2)1x y -+=上的点，直线1l为y =，2l为y x =，P 到12l l 的距离分别为12d d ，那么12d d 的最小值为A ．12B ．13C ．29D ．1612、（原创）设函数()f x 在R 上连续可导，对任意x R ∈，有()()cos 2f x f x x -+=，当(0,)x ∈+∞ 时，()sin 20f x x +>，若()()c o s 202f m f m m π--->，则实数m 的取值范围为A ．(,)4π+∞B ．(,)4π-∞C ．(0,)4π D ．(,)44ππ- 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、设函数()22,242x x x f x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，则1()(10)f f =14、闭区间[]0,5上等可能的任取一个实数x ，那么不等式220x x --≤ 成立的概率为15、已知22201221(2)(1)(1)(1),2,n n n x a a x a x a x n n N +-+=+++++++≥∈， 则24222n n a a a a -++++=16、（原创）已知,,a b c 为正整数，()(),c f x ax f x b x=+=在(0,1)x ∈上有两个不同的实数解，若这样的正整数b 有且只有2个，那么a c +的最小值为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必做题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17、（本小题满分10分）已知条件2:560p x x -+≤，条件q ：关于x 的不等式230x mx m +++>.（1）若条件q 中对于一切x R ∈恒为真，求实数m 的取值范围；（2）若p 是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18、（本小题满分12分）（原创）空气质量按照空气质量指数的大小分为七档（五级），相对空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况月严重，对人体危害越大.现统计了重庆某时间段连续60天空气质量指数，统计结果如下表：空气质量指数级别对人们的幸福指数有影响，若空切质量指数级别与人们行贾指数平均值对应如下表（幸福指数满分10分）（1）若某人计划到重庆10日游，预测在这10天里重庆人幸福指数平均值不超过6的天数；（2）求重庆人幸福指数平均值的分布列及期望.19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为2的菱形，060,DAB PAD ∠=∆为正三角形，6PB =.（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）E 为线段PB 上的点，平面PAD 与平面ACE 所成锐二面角为030,PE PB λ=，求出λ的值.20、（本小题满分12分）（原创）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，该椭圆上、左、下顶点及右焦点围成的四边形面积为12. （1）求椭圆的方程；（2）如图，若矩形ABCD 的三条边都与该椭圆相切，求矩形ABCD 面积的最大值.21、（本小题满分12分）（原创）已知函数()()11,1n x n m x f x g x m mx x +-==--（其中,,m e n me ≥为正整数，e 为自然对数的底）（1）证明：当1x >时，()0m g x >恒成立；（2）当3n m >≥时，试比较()n f m 与()m f n 的大小，并证明.请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为22cos 28sin 0ρθρρθ+-=，曲线2C 的参数方程为2x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩. （1）将曲线1C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线1C 与2C 相交于,A B 两点，若(0,2)P ，求PA PB ⋅的值.23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲已知函数()42f x x x =++-.（1）解不等式()8f x >；（2）设函数()f x 的最小值为a ，正实数,,m n s 满足22m m s a ++=，求222m n s ++的最小值.。
重庆市高二数学上学期期末考试试题理
2017年重庆一中高2018级高二上期期末考试数学试题卷（理科）数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：（本大题 12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须填涂在答题卡上相应位置。
1.椭圆的焦距为（）A.1B.2C.3D.42.圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（）A. B. C. D.3.已知圆的圆心在直线上，则实数的值为（）A. B. C. D.4.已知实数满足，则的最大值为（）A.4B.3C.0D.25.下列命题是真命题的是（）A.，都有B.平面直角坐标系中任意直线都有斜率C.，使得D.过空间一点存在直线与平面平行6.人民代表人民选，现从甲地区6名候选人选出3名人大代表、乙地区5名候选人选出2名人大代表，则不同的选法有（）A.80种B.100种C.150种D.200种7.已知平面及平面同一侧外的不共线三点，则“三点到平面的距离都相等”是“平面平面”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.如图，点为所在平面外一点，且两两互相垂直，，点为棱的中点，若三棱锥的体积为，则异面直线直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.9.（原创）在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，在平面内存在点使得，则直线到平面的距离为（）A. B. C. D.10.（原创）已知点是双曲线上异于顶点的一点，是坐标原点，是双曲线的右焦点，且过作直线使得，交双曲线于不同两点，则（）A. B. C. D.11.（原创）如图，是一个三行两列的数表，现从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任选六个不同的数字填在该数表的6个方格子中，每个方格子中只填一个数字，且在这三行中只有．．第三行的两个数字之和为6，则不同的排列方法有（）种A.2880B.2156C.3040D.354412.（原创）已知抛物线，为过抛物线焦点的弦，的中垂线交抛物线于点。
重庆市第一中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题
秘密★启用前2016年重庆一中高2017级高二上期期末考试数 学 试 题 卷（理科） 2016.1（时间：120分钟 分数：150分）一．选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1．复数31ii -（i 是虚数单位）的虚部是（ ）（A ）32i （B ）32 （C ）32i - （D ）32-2．定积分()32sin x x dx ππ-+⎰等于（ ）（A ）0 （B ）2192π- （C ）2219π- （D ）2219π+ 3．（原创）已知命题p ：R x ∈∀，04223≠+++x x e x ，则⌝p 为（ ）（A ）R x ∈∃0，使得042ln 20300=+++x x x （B ）R x ∈∃0，使得04220300≠+++x x ex （C ）R x ∈∃，使得04223=+++x x e x （D ）R x ∈∀0，使得04220300=+++x x ex4．用反证法证明结论：“曲线()y f x =与曲线()y g x =至少有两个不同的交点”时，要做的假设是（ ）（A ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至多有两个不同的交点 （B ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至多有一个交点 （C ）曲线()y f x =与曲线()y g x =恰有两个不同的交点 （D ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至少有一个交点5．已知直线()R a a ay x ∈+=+2与圆072222=---+y x y x 交于,M N 两点，则线段MN的长的最小值为（ ）（A ）24 （B ）22 （C ）2 （D ）26．()()830+-<x x 的一个充分不必要条件是（ ）（A ）38<<-x （B ）8>x （C ）3-<x （D ）8-<x 或3>x7．给出以下五个结论：①经过()()1122,,,A x y B x y 两点的直线的方程为112121y y x x y y x x --=--；②以()()1122,,,A x y B x y 为直径的两个端点的圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=；③平面上到两个定点12,F F 的距离的和为常数2a 的点的轨迹是椭圆；④平面上到两个定点12,F F 的距离的差为常数()1222||a a F F <的点的轨迹是双曲线；⑤平面上到定点F 和到定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。
2016-2017学年重庆一中高二下学期期末数学试题(理科)(解析版)
2016-2017学年重庆一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}2．（5分）设复数z满足=1+i，则z=（）A．1+i B．1﹣i C．2i D．﹣2i3．（5分）命题：“对任意x∈R，e x﹣x2+ln（x2+2）＞0”的否定是（）A．任意x∈R，e x﹣x2+ln（x2+2）≤0 B．存在x∈R，e x﹣x2+ln（x2+2）＞0 C．不存在e x﹣x2+ln（x2+2）≤0 D．存在x∈R，e x﹣x2+ln（x2+2）≤04．（5分）已知ξ：N（2017，ς2），若P（2016≤ξ≤2017）=0.2，则P（ξ＞2018）等于（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.45．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．{x|≠3} B．{x|≤﹣3或x＞3}C．{x|﹣3＜x≤3}D．{x|﹣3≤x＜3} 6．（5分）函数f（x）=﹣x3+x2+3x+1，以下关于此函数的说法正确的是（）A．在x=1处取得极小值B．在x=﹣1处取得极大值C．在x=3处取得极小值D．在x=3处取得极大值7．（5分）一个半径为1的球对称的消去了三部分，其俯视图如图所示，那么该立体图形的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π8．（5分）已知F1，F2是双曲线的左右焦点，P为双曲线右支上一点，PF1与以原点为圆心a为半径的圆相切，切点为M，若=（），那么该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．﹣19．（5分）在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人现独立思考完成，然后一起讨论，甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你作对了！”，丙说：“我也做错了！”最后老师知道了他们三人的答案和讨论后总结：“你们三人中有且只有一人做对了”，有且只有一人说对了．”请问下列说法正确的是（）A．甲做对了B．甲说对了C．乙作对了D．乙说对了10．（5分）NBA全明星周末有投篮之星、扣篮大赛、技巧挑战赛和三分大赛四种项目，某高中为了锻炼学生体质，也模仿全明星周末举行“篮球周末”活动，同样是投篮之星，扣篮大赛、技巧挑战赛和三分大赛四种项目，现在高二某班有两名同学要报名参加此次活动，每名同学最多两项（至少参加一项），那么他俩共有多少种不同的报名方式（）A．96 B．100 C．144 D．22511．（5分）已知点P为圆（x﹣2）2+y2=1上的点，直线l1为y=x，l2为y=﹣x，P到l1、l2的距离分别为d1、d2，那么d1d2的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）在R上连续可导，对任意x∈R，有f（﹣x）+f（x）=cos2x，当x∈（0，+∞）时，f（x）+sin2x＞0，若f（m）﹣f（﹣m）﹣cos2m＞0，则实数m的取值范围为（）A．（，+∞） B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（5分）设函数f（x）=，则f（）=．14．（5分）闭区间[0，5]上等可能的任取一个实数x，那么不等式x2﹣x﹣2≤0 成立的概率为 ．15．（5分）已知（x +2）2n =a 0+a 1（x +1）+a 2（x +1）2+…+a 2n ﹣1（x +1）2n ﹣1+a 2n （x +1）2n ，n ≥2，n ∈N +，则a 2+a 4+…+a 2n ﹣2+a 2n = ．16．（5分）已知a ，b ，c 为正整数，f （x ）=ax +，f （x ）=b 在x ∈（0，1）上有两个不同的实数解，若这样的正整数b 有且只有2个，那么a +c 的最小值为 ．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必做题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）已知条件p ：x 2﹣5x +6≤0，条件q ：关于x 的不等式x 2+mx +m +3＞0．（1）若条件q 中对于一切x ∈R 恒为真，求实数m 的取值范围；（2）若p 是￢q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18．（12分）空气质量按照空气质量指数的大小分为七档（五级），相对空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况月严重，对人体危害越大．现统计了重庆某时间段连续60天空气质量指数，统计结果如下表：空气质量指数级别对人们的幸福指数有影响，若空切质量指数级别与人们行贾指数平均值对应如下表（幸福指数满分10分）（1）若某人计划到重庆10日游，预测在这10天里重庆人幸福指数平均值不超过6的天数；（2）求重庆人幸福指数平均值的分布列及期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为边长为2的菱形，∠DAB=60°，△PAD为正三角形，PB=．（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）E为线段PB上的点，平面PAD与平面ACE所成锐二面角为30°，=λ，求出λ的值．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0），该椭圆上、左、下顶点及右焦点围成的四边形面积为3，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）如图，若矩形ABCD的四条边都与该椭圆相切，求矩形ABCD面积的最大值．21．（12分）已知函数f n（x）=，g m（x）=m x﹣mx（其中m≥e，n，me 为正整数，e为自然对数的底）（1）证明：当x＞1时，g m（x）＞0恒成立；（2）当n＞m≥3时，试比较f n（m）与f m（n）的大小，并证明．选修4-4坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2cso2θ+ρ2﹣8ρsinθ=0，曲线C2的参数方程为．（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线C1与C2相交于A，B两点，若P（0，2），求|PA|•|PB|的值．选修4-5不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+4|+|x﹣2|．（1）解不等式f（x）＞8；（2）设函数f（x）的最小值为a，正实数m，n，s满足m+2n+2s=a，求m2+n2+s2的最小值．2016-2017学年重庆一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B={3，5}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力．2．（5分）设复数z满足=1+i，则z=（）A．1+i B．1﹣i C．2i D．﹣2i【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：=1+i，则z===1﹣i．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）命题：“对任意x∈R，e x﹣x2+ln（x2+2）＞0”的否定是（）A．任意x∈R，e x﹣x2+ln（x2+2）≤0 B．存在x∈R，e x﹣x2+ln（x2+2）＞0 C．不存在e x﹣x2+ln（x2+2）≤0 D．存在x∈R，e x﹣x2+ln（x2+2）≤0【分析】根据含有量词的命题的否定为：将任意改为存在，结论否定，即可写出命题的否定．【解答】解：由题意命题“对任意x∈R，e x﹣x2+ln（x2+2）＞0“的否定是，存在x ∈R，e x﹣x2+ln（x2+2）≤0故选：D．【点评】本题的考点是命题的否定，主要考查含量词的命题的否定形式：将任意与存在互换，结论否定即可．4．（5分）已知ξ：N（2017，ς2），若P（2016≤ξ≤2017）=0.2，则P（ξ＞2018）等于（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【分析】根据随机变量X服从正态分布ξ：N（2017，ς2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴ξ=2017，根据正态曲线的特点，得到P（ξ＞2018）=0.5﹣P（2016≤ξ≤2017），得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布ξ：N（2017，ς2），μ=2017，得对称轴是ξ=2017．P（2016≤ξ≤2017）=0.2，∴P（2017≤ξ≤2018）=0.2，∴P（ξ＞2018）=0.5﹣P（2017≤ξ≤2018）=0.5﹣0.2=0.3．故选：C．【点评】本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．5．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．{x|≠3} B．{x|≤﹣3或x＞3}C．{x|﹣3＜x≤3}D．{x|﹣3≤x＜3}【分析】由分式的分母不为0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得﹣3≤x＜3．∴函数f（x）=的定义域为{x|﹣3≤x＜3}．故选：D．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．6．（5分）函数f（x）=﹣x3+x2+3x+1，以下关于此函数的说法正确的是（）A．在x=1处取得极小值B．在x=﹣1处取得极大值C．在x=3处取得极小值D．在x=3处取得极大值【分析】求出y′，令y′=0，求出极值点，由此能求出函数f（x）=﹣x3+x2+3x+1有极大值、极小值情况．【解答】解：∵f（x）=﹣x3+x2+3x+1，∴f′（x）=﹣x2+2x+3，由f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0；x∈（﹣1，3）时，f′（x）＞0；x∈（3，+∞）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）=﹣x3+x2+3x+1的增区间是（﹣1，3），减区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；∴函数f（x）=﹣x3+x2+3x+1，既有极大值又有极小值，在x=3处取得极大值，在x=﹣1处取得极小值．故选：D．【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的极值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．7．（5分）一个半径为1的球对称的消去了三部分，其俯视图如图所示，那么该立体图形的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π【分析】利用已知条件，判断几何体的形状，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知解题是一个球，均分成6部分，如图，彩色部分是被消去了三部分，剩余白色的3部分的几何体，该立体图形的表面积为：2π•12+3×π•12=5π．故选：C．【点评】本题考查几何体的三视图的应用，表面积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．8．（5分）已知F1，F2是双曲线的左右焦点，P为双曲线右支上一点，PF1与以原点为圆心a为半径的圆相切，切点为M，若=（），那么该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．﹣1【分析】连结PF2、OM，根据三角形中位线定理，算出|PF2|=2|OM|=2a．由圆的切线性质，得到OM⊥PF1，结合OM∥PF2得PF2⊥PF1．然后在△PF1F2中利用勾股定理，结合双曲线的定义解出c=a，利用双曲线离心率公式即可算出该双曲线的离心率．【解答】解：连结PF2、OM，∵=（），∴M是PF1的中点∴OM是△PF1F2的中位线，∴OM∥PF2，且|PF2|=2|OM|=2a∵PF1与以原点为圆心a为半径的圆相切，∴OM⊥PF1，可得PF2⊥PF1，△PF1F2中，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，…①∵根据双曲线的定义，得|PF1|﹣|PF2|=2a∴|PF1|=|PF2|+2a=4a，代入①得（4a）2+（2a）2=|F1F2|2，∴（2c）2=|F1F2|2=20a2，解之得c=a由此可得双曲线的离心率为e==，故选：A【点评】本题给出双曲线的一条焦半径与以实轴长为直径的圆相切，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质，三角形中位线定理和勾股定理等知识，属于中档题．9．（5分）在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人现独立思考完成，然后一起讨论，甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你作对了！”，丙说：“我也做错了！”最后老师知道了他们三人的答案和讨论后总结：“你们三人中有且只有一人做对了”，有且只有一人说对了．”请问下列说法正确的是（）A．甲做对了B．甲说对了C．乙作对了D．乙说对了【分析】根据题意分析，分别假设甲、乙、丙做对了，由此推出结论．【解答】解：假设甲做对了，则乙和丙都做错了，乙和丙说的都对了，这不合题意；假设乙做对了，则甲和丙都说对了，也不合题意；假设丙做对了，则甲说对了，乙和丙都说错了，符合题意．所以做对的是丙，说对的是甲．故选：B．【点评】本题考查了逻辑思维能力的应用问题，是中档题．10．（5分）NBA全明星周末有投篮之星、扣篮大赛、技巧挑战赛和三分大赛四种项目，某高中为了锻炼学生体质，也模仿全明星周末举行“篮球周末”活动，同样是投篮之星，扣篮大赛、技巧挑战赛和三分大赛四种项目，现在高二某班有两名同学要报名参加此次活动，每名同学最多两项（至少参加一项），那么他俩共有多少种不同的报名方式（）A．96 B．100 C．144 D．225【分析】根据题意，设两名同学为甲乙，分4种情况讨论：①、甲乙都只报名参加一项，②、甲报名参加一项，乙报名参加两项，③、乙报名参加一项，甲报名参加两项，④、甲乙都报名参加两项，分别求出每一种情况的报名方法数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，设两名同学为甲乙，分4种情况讨论：①、甲乙都只报名参加一项，则甲、乙各有C41=4种报名方法，则甲乙有4×4=16种报名方法；②、甲报名参加一项，乙报名参加两项，则甲有C41=4种报名方法，乙有C42=6种报名方法，则甲乙有4×6=24种报名方法；③、乙报名参加一项，甲报名参加两项，则乙有C41=4种报名方法，甲有C42=6种报名方法，则甲乙有4×6=24种报名方法；④、甲乙都报名参加两项，则甲、乙各有C42=6种报名方法，则甲乙有6×6=36种报名方法；则两人一共有16+24+24+36=100种报名方法；故选：B．【点评】本题考查分类计数原理的应用，注意四种项目不一定都要求有人参加．11．（5分）已知点P为圆（x﹣2）2+y2=1上的点，直线l1为y=x，l2为y=﹣x，P到l1、l2的距离分别为d1、d2，那么d1d2的最小值为（）A．B．C．D．【分析】设出点P的坐标为（2+cosθ，sinθ），求出点P到直线l1、l2的距离d1、d2，利用函数的性质求出d1d2的最小值．【解答】解：点P在圆（x﹣2）2+y2=1上，设P（2+cosθ，sinθ），则点P到直线l1：y=x的距离为d1=，点P到直线l2：y=﹣x的距离为d2=，∴d1•d2==|+|≥×=，当且仅当cosθ=﹣时，d1d2取得最小值为．故选：C．【点评】本题考查了直线与圆方程的应用问题，也考查了利用函数求最值的问题，是中档题．12．（5分）设函数f（x）在R上连续可导，对任意x∈R，有f（﹣x）+f（x）=cos2x，当x∈（0，+∞）时，f（x）+sin2x＞0，若f（m）﹣f（﹣m）﹣cos2m＞0，则实数m的取值范围为（）A．（，+∞） B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣，）【分析】设g（x）=f（x）﹣cos2x，判断g（x）为奇函数；再由x∈（0，+∞）时g′（x）=f′（x）+sin2x＞0判断g（x）的单调性，把f（m）﹣f（﹣m）﹣cos2m＞0化为g（m）﹣g（﹣m）＞0，从而求出m的取值范围．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣cos2x，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣cos2x+f（x）﹣cos2x=0，∴函数g（x）为奇函数；∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）+sin2x＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，∴函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）=，可得g（x）在R上是增函数；又f（m）﹣f（﹣m）﹣cos2m=[f（m）﹣cos2m]﹣[f（﹣m）﹣cos2（﹣m）]﹣cos2m﹣cos2（﹣m）=g（m）﹣g（﹣m）＞0，得g（m）＞g（﹣m），∴m＞﹣m，解得：m＞；∴m的取值范围是（，+∞）．故选：A．【点评】本题考查了导数的综合应用以及函数的奇偶性、单调性的应用问题，是难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（5分）设函数f（x）=，则f（）=﹣1．【分析】由函数的解析式首先求得f （10）的值，然后求解 的值即可．【解答】解：由函数的解析式可得：，则：．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了分段函数，利用定义域在不同的区间求解相应的函数值即可，属于基础题．14．（5分）闭区间[0，5]上等可能的任取一个实数x ，那么不等式x 2﹣x ﹣2≤0 成立的概率为．【分析】先利用不等式求出满足不等式成立的x 的取值范围，然后利用几何概型的概率公式求解．【解答】解：由题意闭区间[0，5]知0≤x ≤5． 由x 2﹣x ﹣2≤0，解得﹣1≤x ≤2，所以由几何概型的概率公式可得使不等式x 2﹣x ﹣2≤0 成立的概率 为=，．故答案为：．【点评】本题主要考查几何概型，要求熟练掌握几何概型的概率求法．15．（5分）已知（x +2）2n =a 0+a 1（x +1）+a 2（x +1）2+…+a 2n ﹣1（x +1）2n ﹣1+a 2n （x +1）2n，n ≥2，n ∈N +，则a 2+a 4+…+a 2n ﹣2+a 2n = 2 ．【分析】观察二项式，将左边变形为关于x +1的二项式，然后求展开式的奇数项的系数和减去常数项得到所求．【解答】解：由已知得到（x +1+1）2n =a 0+a 1（x +1）+a 2（x +1）2+…+a 2n （x +1）2n ，n ≥2，n ∈N +，所以令x +1=1，得到a 0+a 1+a 2+…+a 2n ﹣1+a 2n =22n ①；n ≥2，n ∈N +， 令x +1=﹣1，得到a 0﹣a 1+a 2﹣…﹣a 2n ﹣1+a 2n =1；②①+②得到2（a 0+a 2+a 4+…+a 2n ﹣2+a 2n ）=22n +1，其中a 0=1；所以a2+a4+…+a2n+a2n=2；﹣2故答案为：2．【点评】本题考查了利用赋值法求二项展开式的系数问题；关键是对二项式正确变形，对变量正确赋值，得到所求．16．（5分）已知a，b，c为正整数，f（x）=ax+，f（x）=b在x∈（0，1）上有两个不同的实数解，若这样的正整数b有且只有2个，那么a+c的最小值为7．【分析】根据f（x）的单调性和极值判断a，b，c的关系和范围，再验证特殊值即可．【解答】解：∵a＞0，c＞0，∴当x＞0时，f（x）=ax+≥2，当且仅当ax=即x=时取得等号，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，当x=时，f（x）取得极小值f（）=2．∵f（x）=b在x∈（0，1）上有两个不同的实数解，且f（1）=a+c，∴，∴c＜a，∵符合条件的正整数b有且只有2个，∴1＜a+c﹣2≤3，即1＜≤，∴＞+1≥2，即a＞4，当a=5，c=1时，区间（2，6）上只有1个整数，不符合题意；当a=5，c=2时，区间（2，7）上没有整数，不符合题意；当a=5，c=3时，区间（2，8）上没有整数，不符合题意；当a=5，c=4时，区间（4，9）上没有整数，不符合题意；当a=6，c=1时，区间（2，7）上存在两个整数5，6，符合题意；∴a+c的最小值为7．故答案为7．【点评】本题考查了函数的单调性与方程根的关系，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必做题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）已知条件p：x2﹣5x+6≤0，条件q：关于x的不等式x2+mx+m+3＞0．（1）若条件q中对于一切x∈R恒为真，求实数m的取值范围；（2）若p是￢q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据判别式即可求出m的范围，（2）根据p是￢q的充分不必要条件，则可得f（2）≤0且f（3）≤0，解得即可【解答】解：（1）∵条件q中对于一切x∈R恒为真，∴△=m2﹣4（m+3）=m2﹣4m﹣12=（m+2）（m﹣6）＜0，解得﹣2＜m＜6，故实数m的取值范围为（﹣2，6），（2）由题意p：2≤x≤3，则￢q：x2+mx+m+3≤0，∵p是￢q的充分不必要条件，∴令f（x）=x2+mx+m+3，则有f（2）≤0且f（3）≤0，解得m≤﹣3，故m的取值范围为（﹣∞，﹣3]．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了必要条件、充要条件的判断与应用，考查了数学转化思想方法，是中档题．18．（12分）空气质量按照空气质量指数的大小分为七档（五级），相对空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况月严重，对人体危害越大．现统计了重庆某时间段连续60天空气质量指数，统计结果如下表：空气质量指数级别对人们的幸福指数有影响，若空切质量指数级别与人们行贾指数平均值对应如下表（幸福指数满分10分）（1）若某人计划到重庆10日游，预测在这10天里重庆人幸福指数平均值不超过6的天数；（2）求重庆人幸福指数平均值的分布列及期望．【分析】（1）幸福指数平均值不超过6即空气质量指数超过100（等级超过III 级），其频率即概率为，进而得出答案．（2）令重庆人幸福指数平均值为X，由频率可得概率，可得X的分布列，进而得出数学期望．【解答】解：（1）幸福指数平均值不超过6即空气质量指数超过100（等级超过III级）：∴某人计划到重庆10日游，预测在这10天里重庆人幸福指数平均值不超过6的天数=10×=4天．（2）令重庆人幸福指数平均值为X，则X的分布列为：∴EX=9×+8×+6×+3×+2×0=．【点评】本题考查了随机变量的分布列及其数学期望、平均值的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为边长为2的菱形，∠DAB=60°，△PAD为正三角形，PB=．（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）E为线段PB上的点，平面PAD与平面ACE所成锐二面角为30°，=λ，求出λ的值．【分析】（1）由底面ABCD为菱形，且E为AD中点，∠DAB=60°，可得PF=BF=，可得PB2=PF2+BF2，PF⊥BF，即平面PAD⊥平面ABCD；（2）建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（﹣2，，0），P（0，0，），E（0，，），求出平面ABCD和PAD的法向量，即可求解．【解答】（1）证明：取AD中点F，连接PF，FB，∵底面ABCD为边长为2的菱形，△PAD为正三角形，∴PF⊥AD，PF=∵∠DAB=60°，△PAD为正三角形，∴BF⊥AD，BF=∵，∴PB2=PF2+BF2，∴PF⊥BF，∴BF⊥面ABCD，即平面PAD⊥平面ABCD；（2）如图建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（﹣2，，0），P（0，0，），E（0，，）设平面ABCD的法向量为，，由，可得=（1，，）易得平面PAD的法向量为cos30°==，解得．【点评】本题考查了面面垂直的判定，及向量法求二面角，属于中档题．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0），该椭圆上、左、下顶点及右焦点围成的四边形面积为3，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）如图，若矩形ABCD的四条边都与该椭圆相切，求矩形ABCD面积的最大值．【分析】（1）由题意可得：=3，=，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（2）令A（x0，y0），当AB斜率为0或不存在时，可得S ABCD=8．当AB斜率存在且不为0时，设AB方程：y=kx+y0﹣kx0．代入椭圆方程可得：（3+4k2）x2﹣8k（kx0﹣y0）x+4﹣12=0，根据AB与椭圆相切，可得△=0，化为：k2﹣2kx0y0+﹣3﹣4k2=0，同理可得AD与椭圆相切，可得：+2kx0y0+﹣3k2﹣4=0．进而得出．【解答】解：（1）由题意可得：=3，=，a2=b2+c2，联立解得a=2，b=，c=1．∴椭圆的方程为=1．（2）令A（x0，y0），当AB斜率为0或不存在时，可得S ABCD=8．当AB斜率存在且不为0时，设AB方程：y=kx+y0﹣kx0．代入椭圆方程可得：3x2+4，化为：（3+4k2）x2﹣8k（kx0﹣y0）x+4﹣12=0，∵AB与椭圆相切，可得△=﹣4（3+4k2）=0，化为：k2﹣2kx0y0+﹣3﹣4k2=0，①．同理可得AD与椭圆相切，可得﹣2x0y0+﹣3﹣4=0，化为：+2kx0y0+﹣3k2﹣4=0．②①+②可得：=7．即A点在以原点为圆心，为半径的圆上．∴ABCD为以原点为圆心，为半径的圆的内接矩形，只有当ABCD为正方形时面积最大．可得S ABCD=14．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切转化为△=0、圆的标准方程及其性质、矩形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）已知函数f n（x）=，g m（x）=m x﹣mx（其中m≥e，n，me 为正整数，e为自然对数的底）（1）证明：当x＞1时，g m（x）＞0恒成立；（2）当n＞m≥3时，试比较f n（m）与f m（n）的大小，并证明．【分析】（1）首先求解导函数，然后利用导函数研究原函数的单调性即可证得题中的不等式；（2）构造函数，结合第一问的结论对不等式进行放缩即可证得题中的结论．【解答】解：（1）由题意可得：，结合x＞1可得：，则函数g m（x）在区间（1，+∞）上单调递增，g m（x）＞g m（1）=m﹣m=0．（2）∵n＞m≥3，令n=mα，则α＞1，由（1）可知mα﹣mα＞0，∴mα＞mα，令h（x）=m x﹣（m﹣i）x﹣i，i=0，1，2，3，4，…，m﹣1，x＞1，则h'（x）=m x lnm﹣（m﹣i）＞m x﹣m+i＞m﹣m+i=i≥0，∴h（x）＞h（1）=m﹣m+i﹣i=0，∴h（α）＞0，即mα﹣i＞（m﹣i）α，i=0，1，2，3，4，…，m﹣1，即有f n（m）＞f m（n）．【点评】本题考查了导数研究函数的单调性，构造法，放缩法结合导函数证明不等式的方法，导数研究函数的最值等知识点，属于常考的典型题目．选修4-4坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2cso2θ+ρ2﹣8ρsinθ=0，曲线C2的参数方程为．（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线C1与C2相交于A，B两点，若P（0，2），求|PA|•|PB|的值．【分析】（1）根据极坐标和直角坐标的转化求出曲线的直角坐标方程即可；（2）将C2代入C1得到关于t的方程，根据韦达定理求出|PA|•|PB|的值即可．【解答】解：（1）ρ2cos2θ+ρ2﹣8ρsinθ=ρ2cso2θ﹣ρ2sin2θ+ρ2﹣8ρsinθ，∴x2﹣y2+x2+y2﹣8y=0，即x2=4y；（2）P（0，2）在曲线C2上，又C2为，代入抛物线方程C1为：=4（2+t），化简得t2﹣8t﹣32=0，由韦达定理得，∴|PA|•|PB|=|t1t2|=32．【点评】本题考查了极坐标和直角坐标的转化，考查韦达定理的应用，是一道中档题．选修4-5不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+4|+|x﹣2|．（1）解不等式f（x）＞8；（2）设函数f（x）的最小值为a，正实数m，n，s满足m+2n+2s=a，求m2+n2+s2的最小值．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出a的值，得到m+2n+2s=6，根据不等式的性质求出m2+n2+s2的最小值即可．【解答】解：（1）由题意f（（x）=，∴当x≥2时，2x+2＞8，解得：x＞3，当﹣4＜x＜2时，无解，当x≤﹣4时，﹣2x﹣2＞8，解得：x＜﹣5，综上，{x|x＞3或x＜﹣5}为所求；（2）∵f（x）=|x+4|+|x﹣2|≥|x+4﹣（x﹣2）|=6，解得：a=6，∴m+2n+2s=6，∴m2+n2+s2=（m2+n2+s2）（1+22+22）≥（m+2n+2n）2=4，∴m2+n2+s2的最小值是4．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的性质，是一道中档题．。
重庆市第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试 数学(理) PDF版含答案
，若
f
(m)
f
π (
m)
cos
2m＞0
，则实数
2
m
的取值范围为（
）
A.（π4 ，+）
B.（
，π） 4
C. （0，π4 ）
D.（
π，π） 44
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把你认为的正确答案填在空格处）
2
13.设函数 f（x）=
2Hale Waihona Puke ＜2 ，则 f（ 1 ）＝_________
A.在 x=1处取得极小值
B. 在 x= 1处取得极大值
C.在 x= 3 处取得极小值
D.在 x=3 处取得极大值
1
7.一个半径为 1 的球被对称的削去了三部分，其俯视图如右图所示，
那么该立体图形的表面积为（ ）
A.3π
B.4π
C.5π
D.6π
俯视图
8.
已知 F1, F2 是双曲线
x2 a2
学生体质，也模仿全明星周末举行“篮球周末”活动，同样是投篮之星、扣篮大赛、技巧挑战赛和三分大
赛四种项目。现在高二某班有两名同学要报名参加此次活动，每名同学最多参加两项（至少参加一项），那
么他俩共有多少种不同的报名方式（ ）
A. 96
B. 100
C. 144
D. 225
11.（原创）已知点 P 为圆 (x 2)2 y2 1 上的点，直线 l1 为 y
清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷
上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀
2016-2017学年高二上学期数学(理)期末考试题及答案
2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案2017-01-04本试卷分选择题和非选择题两部分共22题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题，共计60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1. 已知命题“q p ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ） A ．p 或q 为假 B ．q 为假C ．q 为真D ．不能判断q 的真假2．椭圆1422=+y m x 的焦距为2,则m 的值等于（ ） A ．5或3- B ．2或6 C ．5或3 D ．5或33.右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是腰长 为3,底边长为2的等腰三角形，则该几何体的体积是（ ）A. π322B. π22C. π28D. π3284. 以双曲线191622=-y x 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）A ．x y 162= B ．x y 122= C ．x y 202-= D ．x y 202=5. 已知直线α⊂a ，则βα⊥是β⊥a 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知l 是正方体1111D CB A ABCD -中平面11D B A 与下底面ABCD 所在平面的交线，正视图 俯视图侧视图.下列结论错误的是（ ）.A. 11D B //lB. ⊥l 平面C A 1C. l //平面111D B AD. 11C B l ⊥ 7. 设原命题：若向量c b a ,,构成空间向量的一组基底，则向量,a b 不共线. 则原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8. 已知双曲线1244922=-y x 上一点P 与双曲线的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则三角形21F PF 的面积为（ ）A ．20B ．22C ．28D ．24 9. 两个圆0222:221=-+++y x y x C 与0124:222=+--+y x y x C的公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10. 已知F 是抛物线y x=2的焦点，B A ,是该抛物线上的两点，3=+BF AF ，则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ) A ．43B ．1C ．45 D ．47 11. 正三棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为3，底面边长为3， 则该球的表面积为( )A ．π4B ．π8C ．π16D ．332π12. 如图，H 为四棱锥ABCD P -的棱PC 的三等分点，且HC PH 21=，点G 在AH 上，mAH AG =.四边形ABCD 为 平行四边形，若D P B G ,,,四点共面，则实数m 等于（ ） A ．43 B ．34 C ．41D ．21第Ⅱ卷(非选择题，共计90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.命题“2,12≥≥∀xx ”的否定是 .14. 平面α的法向量)2,1,(1-=x n ，平面β的法向量)21,,1(2y n -=， 若α∥β，则=+y x __________________.15. 已知点A 的坐标为)2,4(，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 是抛物线上的动点，当MA MF +取得最小值时，点M 的坐标为 ．16. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线上存在一点P 使2112sin sin F PF c F PF a ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分） 已知四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的正方形，侧面是全等的等腰三角形，侧棱长为3 ， 求它的表面积和体积.18.（本小题满分12分）已知直线方程为033)12()1(=-+--+m y m x m . （1）求证:不论m 取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点作一条直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.19.（本小题满分12分）在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱111,B D BB 的中点.(1) 求证：⊥EF 平面1ACB ； (2)求二面角C EF A--的余弦值.D ABC OP20.（本小题满分12分）已知圆M 满足：①过原点；②圆心在直线x y =上；③被y 轴截得的弦长为2. (1) 求圆M 的方程；(2) 若N 是圆M 上的动点，求点N 到直线8-=x y 距离的最小值.21．（本小题满分12分）．在斜三棱柱111C B A ABC -中，点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点，AO ⊥平面111C B A .︒=∠90BCA ，21===BC AC AA .(1)证明：OE ∥平面11C AB ； (2)求异面直线1AB 与C A 1所成的角； (3)求11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值．22.（本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 和直线L :1=-b ya x , 椭圆的离心率23=e ， 坐标原点到直线L 的距离为552. （1）求椭圆的方程；（2）已知定点)0,1(E ，若直线)0(2≠-=k kx y 与椭圆C 相交于M 、N 两点，试判断是否存在实数k，使以MN为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由.2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案一. 选择题:1.B2.C3.A4.A5.B6.D7.B8.D9.B 10.C 11.C 12.A二. 填空题: 13. 2,1200<≥∃x x 14. 41515. )2,2( 16. ]21,1(+三. 解答题:17.解：过点P 作BC PE ⊥，垂足为E ，由勾股定理得：221922=-=-=BE PB PE所以，棱锥的表面积 28422221422+=⨯⨯⨯+⨯=S -----5分过点P 作ABCD PO 平面⊥，垂足为O ，连接OE . 由勾股定理得：71822=-=-=OE PE PO所以，棱锥的体积 37472231=⨯⨯⨯=V ------10分18.（1）证明：将方程033)12()1(=-+--+m y m x m 变形为 03)32(=-+++-y x m y x解方程组⎩⎨⎧=-+=+-03032y x y x 得：⎩⎨⎧==21y x 所以，不论m 取何实数值，此直线必过定点)2,1(.-----6分(2)解：设所求直线交x 轴y 轴分别为点),0(),0,(b B a A由中点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+220120ba4,2==∴b a所以直线的方程为：142=+yx即042=-+y x ------12分19． 解: （1）以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系xyz D -，可得：)1,0,0(),1,1,1(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,1(11D B C B A ，则中点 )1,21,21(),21,1,1(F E因)1,1,0(),0,1,1(),21,21,21(1=-=--=→→→AB AC EF 所以0,01=∙=∙→→→→AB EF AC EF1,AB EF AC EF ⊥⊥ 而A AB AC =⋂1 所以 ⊥EF 平面C AB 1 -------- 6分（2）设平面AEF 的一个法向量为),,(1z y x n =→，因)21,21,21(),21,1,0(--==→→EF AE由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+0212121021z y x z y 令2=z 得 )2,1,3(1-=→n 同理平面CEF 的法向量为)2,3,1(2--=→n 由71,cos 21->=<→→n n所以二面角C EF A --的余弦值是71 -------12分20.解：(1)设圆M 的方程为)0()()(222>=-+-r rb y a xD C B A由已知可得: ⎪⎩⎪⎨⎧=+==+222221r a b a r b a ,解方程组得: ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===211或211r b a r b a 所以, 圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x -----6分 (2)当圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离为: 242811=--=d同理, 当圆M 的方程为2)1()1(22=+++y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离也为: 24=d所以, 点N 到直线8-=x y 距离的最小值为23224=- -------12分21.解 解法1：(1)证明：∵点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点， ∴OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AO ⊥平面A 1B 1C 1， ∴AO ⊥B 1C 1，又∵A 1C 1⊥B 1C 1，且A 1C 1∩AO＝O ， ∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ， ∴A 1C ⊥B 1C 1.又∵AA 1＝AC ，∴四边形A 1C 1CA 为菱形， ∴A 1C ⊥AC 1，且B 1C 1∩AC 1＝C 1， ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，∴AB 1⊥A 1C ，即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. ------8分 (3)∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC 1＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2，∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d ，∵VA －A 1B 1C 1＝VC 1－AA 1B 1，即13·(12·A 1C 1·B 1C 1)·AO＝13·S△AA 1B·d.又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22， ∴S △AA 1B 1＝7，∴d ＝2217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分 解法2：∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC ＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2， ∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，如图建立空间直角坐标系O －xyz ，则A(0,0，3)，A 1(0，－1，0)，E(0，－12，32)，C 1(0,1,0)，B 1(2,1,0)，C(0,2，3)．(1)∵OE →＝(0，－12，32)，AC 1→＝(0,1，－3)，∴OE →＝－12AC 1→，即OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AB 1→＝(2,1，－3)，A 1C →＝(0,3，3)， ∴AB 1→·A 1C →＝0， 即∴AB 1⊥A 1C ，∴异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. -------8分 (3)设A 1C 1与平面AA 1B 1所成角为θ，A 1C 1→＝(0,2,0)， A 1B 1→＝(2,2,0)，A 1A →＝(0,1，3)，设平面AA 1B 1的一个法向量是n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 1→·n ＝0，A 1A →·n ＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0.不妨令x ＝1，可得n ＝(1，－1，33)， ∴sin θ＝cos 〈A 1C 1→，n 〉＝22·73＝217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分22. 解：（1）直线L ：0=--ab ay bx ，由题意得：552,2322=+==b a ab ac e 又有222c b a +=， 解得：1,422==b a椭圆的方程为1422=+y x . ——5分（2）若存在，则EN EM ⊥，设),(),,(2211y x N y x M ，则：21212211)1)(1(),1(),1(y y x x y x y x EN EM +--=-⋅-=⋅)(05))(12()1()2)(2()1)(1(212122121*=+++-+=--+--=x x k x x k kx kx x x联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14222y x kx y ，得：01216)41(22=+-+kx x k ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+>+⨯⨯--=∆∴221221224112,41160)41(124)16(k x x k k x x k k 代入（*）式，解得：1617=k ，满足0>∆ —— 12分11。
重庆市2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
重庆市2016-2017学年高二上学期期中试卷理科数学一、选择题（12小题，每小题5分，共60分）1．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8πB．6πC．4πD．π2．若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等3．椭圆的右焦点到原点的距离和到右准线的距离相等，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．4．若P两条异面直线l，m外的任意一点，则（）A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面5．已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣6．已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|=2，则|BF|=（）A．1 B．2 C．4 D．47．如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°8．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件 D．既不充分也不必要9．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出四个命题①②③④其中正确的命题是（）A． ①② B． ③④C． ③ D． ③②10．P是椭圆上的一点，F1、F2分别是左右焦点，若|PF1|=3|PF2|，则过点P的椭圆的切线的斜率是（）A．B．C．D．11．已知+=1（m＞0，n＞0），当mn取得最小值时，直线y=﹣+2与曲线+=1的交点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知函数f（x）=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，则k的值为（）A．e+B．e2+ C．e2+D．e+二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为．14．设双曲线C经过点（1，3），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为．15．圆锥的轴截面是正三角，则它的侧面展开扇形圆心角为弧度．16．抛物线y2=4x，直线l过焦点F，与其交于A，B两点，且，则△AOB（O为坐标原点）面积为．三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．设定函数f（x）=x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）﹣9x=0的两个根分别为1，4．（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．18．已知正方形ABCD，PA⊥平面ABCD，且，E是AB中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求点E到平面PAC的距离．19．已知椭圆C：的离心率为，其中左焦点（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，求线段AB的最大值．20．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P是AD1中点，Q是BD中点，E是DD1中点．（1）求证：PQ∥平面D1DCC1；（2）求异面直线CE和DP所成角的余弦值．21．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C 的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，当|FD|=2时，∠AFD=60°．（1）求证：FD垂直平分AQ，并求出抛物线C的方程；（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，AB交y轴于点（0，m），若∠APB为锐角，求m的取值范围．22．已知函数f（x）=x2﹣lnx+x+1，g（x）=ae x++ax﹣2a﹣1，其中a∈R．（Ⅰ）若a=2，求f（x）的极值点；（Ⅱ）试讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若a＞0，∀x∈（0，+∞），恒有g（x）≥f′（x）（f′（x）为f（x）的导函数），求a的最小值．重庆市2016-2017学年高二上学期期中试卷(理科数学)参考答案与试题解析一、选择题（12小题，每小题5分，共60分）1．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8πB．6πC．4πD．π【考点】棱柱的结构特征；球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】求出正方体的棱长，然后求出内切球的半径，即可求出内切球的表面积．【解答】解：正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积S=4πR2=4π，故选C【点评】本题是基础题，考查正方体体积的应用，正方体的内切球的表面积的求法，考查计算能力．2．若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论．【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，即两个双曲线的焦距相等，故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键．3．椭圆的右焦点到原点的距离和到右准线的距离相等，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件直接求出方程推出离心率即可．【解答】解：椭圆的右焦点到原点的距离和到右准线的距离相等，可得c=，解得e=．故选：D．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，基本知识的考查．4．若P两条异面直线l，m外的任意一点，则（）A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】选项A由反证法得出判断；选项B由异面直线的公垂线唯一得出判断；选项C、D可借用图形提供反例．【解答】解：设过点P的直线为n，若n与l、m都平行，则l、m平行，与l、m异面矛盾，故选项A错误；由于l、m只有唯一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有一条，故B正确；对于选项C、D可参考下图的正方体，设AD为直线l，A′B′为直线m，若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误；若P在P2点，则由图中可知直线CC′及D′P2均与l、m异面，故选项D错误．故选B．【点评】本题考查直线与异面直线平行、垂直、相交、异面的情况，同时考查空间想象能力．5．已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知，该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得．【解答】解：该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得，其中长方体的体积为V1=4×3×2=24；半个圆柱的体积为V2==，则V=24﹣．故选A．【点评】考查了学生的空间想象力及三视图的等量关系．6．已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|=2，则|BF|=（）A．1 B．2 C．4 D．4【考点】抛物线的简单性质．【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得|AF|=x1+1=2，求得A的坐标，即可得到AB⊥x 轴，可得|BF|=|AF|=2．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F为（1，0），准线为x=﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义可得|AF|=x1+1=2，解得x1=1，y1=±2，即有AB⊥x轴，可得|BF|=|AF|=2．故选：B．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，运用定义法解题是关键，考查运算能力，属于基础题．7．如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案．【解答】解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；BC∥AD∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立．在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，故选D．【点评】本题考查直线与平面成的角、直线与平面垂直的性质．8．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】定义法；空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，再通过线面垂直的定义及线面垂直的判定定理进行判断，得出结论．【解答】解：∵l⊥α由线面垂直的定义知：l⊥m，且l⊥n．又∵由线面垂直的判定定理知l⊥m，且l⊥n推不出l⊥α．∴“l⊥α”是“l⊥m，且l⊥n”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题能充分考查学生对线面垂直的定义及线面垂直定理的理解，并能对充分、必要条件的概念有个更深刻的理解．9．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出四个命题①②③④其中正确的命题是（）A． ①② B． ③④C． ③ D． ③②【考点】命题的真假判断与应用．【专题】运动思想；空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：由α、β、γ为三个不重合的平面，a、b、c为三条不同直线，知：①、a与b相交或a与b异面，故①错误②或α与β相交，故②错误；③，由平面与平面平行的判定定理得③正确；④或a⊂α，故④错误；故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．P是椭圆上的一点，F1、F2分别是左右焦点，若|PF1|=3|PF2|，则过点P的椭圆的切线的斜率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】分类讨论；转化法；导数的综合应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据椭圆的定义求出|PF2|=1，结合椭圆的焦半径公式，求出P的横坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线斜率．【解答】解：在中，a2=4，b2=2，c2=a2﹣b2=4﹣2=2，则c=，a=2，e==，∵|PF1|=3|PF2|，|PF1|+|PF2|=2a=4，∴4|PF2|=4，则|PF2|=1，设P（x0，y0），则由|PF2|=a﹣ex0=1，得2﹣x0=1，即x0=1，得x0=，则设P（x0，y0），若P为第一象限的点，则y=，则y′=﹣，当x=时，切线斜率k=f′（）=﹣=﹣，若P为第四象限的点，则y=﹣，则y′=，当x=时，切线斜率k=f′（）==，故过点P的椭圆的切线的斜率是，故选：D．【点评】本题主要考查椭圆性质的应用，根据条件的定义结合焦半径公式求出P点的横坐标，利用导数的几何意义是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．11．已知+=1（m＞0，n＞0），当mn取得最小值时，直线y=﹣+2与曲线+=1的交点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断；基本不等式．【专题】计算题．【分析】由基本不等式可得mn的值，由分类讨论去掉绝对值可得曲线，作出两个图象可得答案．【解答】解：∵1=+≥2，∴≤，mn≥8，当且仅当，即m=2，n=4时，mn取得最小值8，故曲线方程为，当x≥0，y≥0时，方程化为当x＜0，y＞0时，方程化为﹣，当x＞0，y＜0时，方程化为，当x＜0，y＜0时，无意义，由圆锥曲线可作出方程和直线y=﹣+2与的图象，由图象可知，交点的个数为2，故选B【点评】本题考查根的存在性及判断，涉及基本不等式和圆锥曲线的知识，属中档题．12．已知函数f（x）=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，则k的值为（）A．e+B．e2+ C．e2+D．e+【考点】函数的零点．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】令f（x）=﹣x﹣+2e=0可得k=﹣x2+2ex；再设g（x）=﹣x2+2ex，从而求导得g′（x）=﹣2（x﹣e）；利用导数判断单调性求出极值，运用函数g（x）=﹣x2+2ex与直线y=k的图象的交点判断即可．【解答】解：函数f（x）=﹣x﹣+2e的定义域为（0，+∞），令f（x）=﹣x﹣+2e=0可得k=﹣x2+2ex；设g（x）=﹣x2+2ex，则g′（x）=﹣2（x﹣e）；故当g′（x）＞0时，则0＜x＜e；当g′（x）＜0时，则x＞e；当g′（x）=0时，则x=e；∴g（x）=﹣x2+2ex在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；故x=e时g（x）最大值为g（e）=e2+，∵函数f（x）=）=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，∴函数y=k与g（x）只有一个交点，故结合图象可知，k=e2+，故选B．【点评】本题考查了函数的导数在求解函数最值，极值中的应用，函数零点转化为函数交点问题求解，属于中档题．二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；压轴题；数形结合；转化思想．【分析】根据题意知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果．【解答】解：连接DE，设AD=2易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3∴cos∠DAE==，故答案为：．【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想．14．设双曲线C经过点（1，3），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为．【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知设双曲线C的方程为﹣x2=λ，（λ≠0），由此利用待定系数法能求出双曲线C的方程．【解答】解：∵双曲线C经过点（1，3），且与﹣x2=1具有相同渐近线，∴设双曲线C的方程为﹣x2=λ，（λ≠0），把点（1，3）代入，得：，解得λ=2，∴双曲线C的方程为：．故答案为：．【点评】本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．15．圆锥的轴截面是正三角，则它的侧面展开扇形圆心角为π弧度．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】对应思想；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】画出圆锥的侧面展开图，根据展开图与圆锥的对应东西解出．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则l=2r，于是侧面展开图的扇形半径为l，弧长为2πr，∴圆心角α==π．故答案为：π．【点评】本题考查了圆锥的侧面展开图，是一道基础题．16．抛物线y2=4x，直线l过焦点F，与其交于A，B两点，且，则△AOB（O为坐标原点）面积为．【考点】圆锥曲线与平面向量；直线与圆锥曲线的关系；圆锥曲线的最值问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的焦点，设直线l为x=my+1，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解得m，再由三角形的面积公式，计算即可得到．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），设直线l为x=my+1，代入抛物线方程可得，y2﹣4my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，由=4，可得y1=﹣3y2，由代入法，可得m2=，又△AOB的面积为S=|OF|•|y1﹣y2|===．故答案为：【点评】本题考查直线和抛物线的位置关系的综合应用，主要考查韦达定理和向量的共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．设定函数f（x）=x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）﹣9x=0的两个根分别为1，4．（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】导数的概念及应用．【分析】先对函数f（x）进行求导，然后代入f′（x）﹣9x=0中，再由方程有两根1、4可得两等式；（1）将a的值代入即可求出b，c的值，再由f（0）=0可求d的值，进而确定函数解析式．（2）f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点即函数f（x）是单调函数，且可判断是单调增函数，再由导函数大于等于0在R上恒成立可解．【解答】解：由得f′（x）=ax2+2bx+c因为f′（x）﹣9x=ax2+2bx+c﹣9x=0的两个根分别为1，4，所以（*）（Ⅰ）当a=3时，又由（*）式得解得b=﹣3，c=12又因为曲线y=f（x）过原点，所以d=0，故f（x）=x3﹣3x2+12x．（Ⅱ）由于a＞0，所以“在（﹣∞，+∞）内无极值点”等价于“f′（x）=ax2+2bx+c≥0在（﹣∞，+∞）内恒成立”．由（*）式得2b=9﹣5a，c=4a．又△=（2b）2﹣4ac=9（a﹣1）（a﹣9）解得a∈即a的取值范围【点评】本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系．属基础题．18．已知正方形ABCD，PA⊥平面ABCD，且，E是AB中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求点E到平面PAC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】（1）证明BC⊥AE．PB⊥AE，即可证明AE⊥平面PBC．（2）利用点E到平面PAC的距离为点B到平面PAC的距离的．连接BD，交AC于点O，则AC⊥BO，求解BO即可．【解答】解：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴PA⊥BC．又∵正方形ABCD，∴AB⊥BC．∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB∵AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE．又∵PA=AB，E是AB中点，∴PB⊥AE．∵PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC．（2）∵E是AB中点，∴点E到平面PAC的距离为点B到平面PAC的距离的．连接BD，交AC于点O，则AC⊥BO，又∵PA⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，∴PA⊥BO．∵AC∩PA=A，∴BO⊥平面PAC．∴BO为点B到平面PAC的距离．∵，∴BO=1．∴．【点评】本题考查空间点线面距离的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及距离投篮能力．19．已知椭圆C：的离心率为，其中左焦点（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，求线段AB的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）路椭圆的离心率以及焦点坐标，求出a，b，即可求解椭圆的标准方程．（2）设出A，B坐标，联立方程组，利用韦达定理以及表达式，求解弦长，通过二次函数的性质求解最值．【解答】解：（1）椭圆C：的离心率为，其中左焦点（﹣2，0）．可得：；解得b=2，椭圆的方程为：．（2）设A（x1y1），B（x2y2），由∴，∴∴当．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．20．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P是AD1中点，Q是BD中点，E是DD1中点．（1）求证：PQ∥平面D1DCC1；（2）求异面直线CE和DP所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）连接AC，CD1，推导出PQ∥CD1，由此能证明PQ∥平面D1DCC1．（2）取A1D1中点F，连接FP，FE，FC，推导出四边形FPDE是平行四边形，从而∠FEC或其补角中的锐角或直角为异面直线CE和DP所成角，由此能求出异面直线CE和DP所成角的余弦值．【解答】证明：（1）连接AC，CD1，∵底面ABCD为正方形，Q是BD中点，∴Q是AC中点，又P是AD1中点，∴PQ∥CD1，∵CD1⊂平面D1DCC1，PQ⊄平面D1DCC1，∴PQ∥平面D1DCC1．解：（2）取A1D1中点F，连接FP，FE，FC，设正方体棱长为a．∴FP，∴，∴．故四边形FPDE是平行四边形，∴FE∥DP∴∠FEC或其补角中的锐角或直角为异面直线CE和DP所成角．在．∴异面直线CE和DP所成角的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C 的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，当|FD|=2时，∠AFD=60°．（1）求证：FD垂直平分AQ，并求出抛物线C的方程；（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，AB交y轴于点（0，m），若∠APB为锐角，求m的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设A（x1，y1），求出切线AD的方程，推出|PQ|，通过|FD|=2时，∠AFD=60°求出p=2，抛物线方程．（2）设B（x2，y2）（x2＜0）则B处的切线方程为，联立直线椭圆方程组，求出P的坐标；法一：利用∠APB为锐角，数量积大于0，直线AB过（0，m），推出m的取值范围．法二：令y=kx+m，联立借助韦达定理，数量积的关系，推出【解答】解：（1）设A（x1，y1），则切线AD的方程为：y=，所以D（），Q（0，﹣y1）；|PQ|=，，所以|FQ|=|FA|，且D为AQ中点，所以DF⊥AQ，∵|DF|=2，∠AFD=60°，∴，得p=2，抛物线方程为x2=4y（2）设B（x2，y2）（x2＜0）则B处的切线方程为由，法一：，∵∠APB为锐角，∴直线AB：将（0，m）代入的，∴m的取值范围为（1，+∞）．法二：令y=kx+m，由得x2﹣4kx﹣4m=0x1+x2=4k，x1x2=﹣4m∴∴+（2km﹣2k）（x1+x2）+4k2+4m2=4（m﹣1）k2+4m2﹣4m＞0对任意k恒成立．∴【点评】本题考查抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，斜率的数量积的应用，考查转化思想与分析问题解决问题的能力．22．已知函数f（x）=x2﹣lnx+x+1，g（x）=ae x++ax﹣2a﹣1，其中a∈R．（Ⅰ）若a=2，求f（x）的极值点；（Ⅱ）试讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若a＞0，∀x∈（0，+∞），恒有g（x）≥f′（x）（f′（x）为f（x）的导函数），求a的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导f′（x）=ax﹣+1，x∈（0，+∞），从而令导数为0求极值点；（Ⅱ）求导f′（x）=ax﹣+1=，讨论a的取值以确定导数的正负，从而确定函数的单调性；（Ⅲ）令h（x）=g（x）﹣f′（x）=ae x+﹣2（a+1），x＞0，从而求导h′（x）=ae x﹣=，再令p（x）=ae x•x2﹣（a+1），再求导p′（x）=ae x•x（x+2）＞0，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而求得h min（x）=h（x0）=ae x0+﹣2（a+1），从而化恒成立问题为最值问题，再转化为+﹣2（a+1）≥0，从而可得0＜≤e，从而求解．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=ax﹣+1，x∈（0，+∞），∴a=2时，f′（x）=2x﹣+1===0，∴解得x=，x=﹣1（舍）；即f（x）的极值点为x0=．（Ⅱ）f′（x）=ax﹣+1=，（1）a=0时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；a≠0时，对二次方程ax2+x﹣1=0，△=1+4a，（2）若1+4a≤0，即a≤﹣时，ax2+x﹣1＜0，而x＞0，故f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上是减函数；（3）若1+4a＞0，即a＞﹣时，ax2+x﹣1=0的根为x1=，x2=，①若﹣＜a＜0，则＞＞0，∴当x∈（，）时，ax2+x﹣1＞0，即f′（x）＞0，得f（x）是增函数；当x∈（0，），（，+∞）时，ax2+x﹣1＜0，即f′（x）＜0，得f（x）是减函数．②若a＞0，＜0＜，∴当x∈（0，）时，ax2+x﹣1＜0，即f′（x）＜0，得f（x）是减函数；当x∈（，+∞）时，ax2+x﹣1＞0，即f′（x）＞0得f（x）是增函数．∴综上所述，a=0时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；当a≤﹣时，f（x）在（0，+∞）上是减函数；当﹣＜a＜0时，f（x）在（，）上是增函数，在（0，），（，+∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（，+∞）上是增函数，在（0，）上是减函数．（Ⅲ）令h（x）=g（x）﹣f′（x）=ae x+﹣2（a+1），x＞0，于是h′（x）=ae x﹣=．令p（x）=ae x•x2﹣（a+1），则p′（x）=ae x•x（x+2）＞0，即p（x）在（0，+∞）上是增函数．∵p（x）=﹣（a+1）＜0，而当x→+∞时，p（x）→+∞，∴∃x0∈（0，+∞），使得p（x0）=0．∴当x∈（0，x0）时，p（x）＜0，即h′（x）＜0，此时，h（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，p（x）＞0，即h′（x）＞0，此时，h（x）单调递增，∴h min（x）=h（x0）=ae x0+﹣2（a+1），①由p（x0）=0可得ae x0•﹣（a+1）=0，整理得ae x0=，②代入①中，得h（x0）=+﹣2（a+1），由∀x∈（0，+∞），恒有g（x）≥f′（x），转化为+﹣2（a+1）≥0，③因为a＞0，③式可化为+﹣2≥0，整理得﹣x0﹣1≤0，解得﹣≤x0≤1；再由x0＞0，于是0＜x0≤1；由②可得e x0•=；令m（x0）=e x0•，则根据p（x）的单调性易得m（x0）在（0，1]是增函数，∴m（0）＜m（x0）≤m（1），即0＜≤e，解得a≥，即a的最小值为．【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于难题．。
2016-2017学年高二上学期数学(理)期末试题及答案
2016-2017学年高二上学期数学(理)期末试题及答案2016-2017学年度上学期期末考试高二理科数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
1.答题前，请填写姓名和准考证号码。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字迹清楚。
3.请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效。
4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.某中学有3500名高中生和1500名初中生。
为了解学生的研究情况，从该校学生中采用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本。
已知从高中生中抽取了70人，则n的值为（）。
A。
100B。
150C。
200D。
2502.如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（）。
无法提供图像）3.设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的右焦点为F，点F到渐近线的距离等于2a，则该双曲线的离心率等于（）。
A。
2B。
3C。
5D。
3/44.已知两条直线a,b，两个平面$\alpha,\beta$，下面四个命题中不正确的是（）。
A。
$a\perp\alpha,\alpha//\beta,b\parallel\beta\iff a\perp b$B。
$\alpha//\beta,a//b,a\perp\alpha\implies b\perp\beta$C。
$m//\alpha,m\perp\beta\implies\alpha\perp\beta$D。
$a//b,a//\alpha\implies b//\alpha$5.下列命题中，说法正确的是（）。
重庆一中2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(理科) 含解析
2016—2017学年重庆一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．直线x+y﹣3=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．3个班分别从5个风景点处选择一处游览，不同的选法种数是(）A．53B．35C．A53D．C533．对任意的实数m,直线y=mx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是（）A．相切B．相交且直线过圆心C．相交且直线不过圆心D．相离4．已知椭圆方程为的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（)A．12 B．9 C．6 D．45．若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（）A．m＜1 B．m＜0 C．D．6．设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若=,则|｜•|｜=（）A．2 B．3 C．D．7．在（x﹣1）n（n∈N+）的二项展开式中，若只有第4项的二项式系数最大，则的二项展开式中的常数项为(）A．960 B．﹣160 C．﹣560 D．﹣9608．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B．C．D．9．P是双曲线的右支上一点，M，N分别是圆x2+y2+10x+21=0和x2+y2﹣10x+24=0上的点,则｜PM｜﹣|PN｜的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．910．4个男生4个女生站成一排，要求相邻两人性别不同且男生甲与女生乙相邻，则这样的站法有（）A．576种B．504种C．288种D．252种11．已知点P（x，y）在椭圆上运动,设，则d的最小值为（）A．B． C．D．12．已知直线l与坐标轴不垂直且横、纵截距相等，圆C:（x+1）2+（y﹣2）2=r2,若直线l和圆C相切，且满足条件的直线l恰好有三条，则圆的半径r的取值集合为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上）13．抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为．14．已知，则x2+y2的最小值是．15．将编号1,2,3，4,5的小球放入编号1，2，3，4，5的盒子中，每个盒子放一个小球,则至多有两个小球的编号与盒子的编号相同的放法共有种．16．已知双曲线C的右焦点为F,过F的直线l与双曲线C交于不同两点A、B,且A、B两点间的距离恰好等于焦距，若这样的直线l有且仅有两条，则双曲线C的离心率的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分。
2017-2018学年重庆市第一中学校高二数学上期中考试(理)试题
秘密★启用前
2017年重庆一中高2019级高二上期半期考试数学试题卷
（理科）
2017.11
注意事项：
1•答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2•答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
一、选择题： 第1卷（选择题，共60分）
（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只 一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置
2 1 •已知命题 P : x • R ，x -x T • 0，则（ ）
2 2
p ：2x €R,x -x +1 兰 0 p ：2x €R,x —X +1<0
--- 2
p: 一x 三 R,x -x ；：A 1 二 0
2 2
mx ny =1表示焦点在x 轴上的椭圆”的（
B •必要不充分条件
D .既不充分也不必要条件
3•若球的体积与其表面积数值相等，则球的大圆面积等于
C. 6 二
4•若双曲线以y 二2x 为渐近线，且过 A （1,2 ..一 5），则双曲线的方程为（
） 5.下列命题是真命题的是（ 2. “ mn 0 ”是“方程 A .充分不必要条件 C •充要条件 2 y 2 A. - x 1
4
2 2 y B. x 1 4 C. D. 16 16。
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秘密★启用前2016年重庆一中高2017级高二上期期末考试数 学 试 题 卷（理科） 2016.1（时间：120分钟 分数：150分）一．选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1．复数31ii -（i 是虚数单位）的虚部是（ ）（A ）32i （B ）32 （C ）32i - （D ）32-2．定积分()32sin x x dx ππ-+⎰等于（ ）（A ）0 （B ）2192π- （C ）2219π- （D ）2219π+ 3．（原创）已知命题p ：R x ∈∀，04223≠+++x x e x ，则⌝p 为（ ）（A ）R x ∈∃0，使得042ln 20300=+++x x x （B ）R x ∈∃0，使得04220300≠+++x x ex （C ）R x ∈∃，使得04223=+++x x e x （D ）R x ∈∀0，使得04220300=+++x x ex4．用反证法证明结论：“曲线()y f x =与曲线()y g x =至少有两个不同的交点”时，要做的假设是（ ）（A ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至多有两个不同的交点 （B ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至多有一个交点 （C ）曲线()y f x =与曲线()y g x =恰有两个不同的交点 （D ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至少有一个交点5．已知直线()R a a ay x ∈+=+2与圆072222=---+y x y x 交于,M N 两点，则线段MN的长的最小值为（ ）（A ）24 （B ）22 （C ）2 （D ）26．()()830+-<x x 的一个充分不必要条件是（ ）（A ）38<<-x （B ）8>x （C ）3-<x （D ）8-<x 或3>x7．给出以下五个结论：①经过()()1122,,,A x y B x y 两点的直线的方程为112121y y x x y y x x --=--； ②以()()1122,,,A x y B x y 为直径的两个端点的圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=；③平面上到两个定点12,F F 的距离的和为常数2a 的点的轨迹是椭圆；④平面上到两个定点12,F F 的距离的差为常数()1222||a a F F <的点的轨迹是双曲线；⑤平面上到定点F 和到定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。
其中正确结论有（ ）（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个8．i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，且()()10,a b i a b R +-<∈，复数z 满足||3z =，则||z a bi +-的最大值．．．为（ ） （A ）53- （B ）2 （C ）53+ （D ）269．（原创）在ABCD 中，已知()3,0C -，()3,0D ，点,E F 满足3AC AE =，2DF FA =，且||||4CF DE -=，则点A 的轨迹方程是（ ）（A ）15422=-y x （B ）()215422≥=-x y x （C ）127922=-y x （D ）()3127922≥=-x y x 10．棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，点P 在平面ABCD 上，满足PA PC 31=，则点P 的轨迹为（ ）（A ）直线 （B ）一段圆弧 （C ）椭圆 （D ）圆11．（原创）点()()1,0P t t >是椭圆22143x y +=上一点，,A B 是该椭圆上异于点P 的两个点，且直线,PA PB 的倾斜角分别为072和0108，则直线AB 的斜率为（ ） （A ）12-或12 （B ）0tan18 （C ）12（D ）0tan 36 12．（原创）观察下列不等式：317126+<，33112912324++<，40494131211333<+++，33331111371234530++++<，……。
照此规律，第五个．．．不等式为3333311111123456+++++<（ ） （A ）2621 （B ）2920 （C ）5467 （D ）9578二．填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若38=S ，则=+++7632a a a a _____________。
14．已知函数()ax e x f x-=在()+∞,3单调递增，则实数a 的取值范围是_____________。
15．（原创）正四棱柱1111ABCD A B C D -中，己知81=AA ，点,E F 分别的棱11,BB CC 上，且满足3==BE AB ，12FC =，则平面AEF 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值等于 。
16．（原创）设F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，过F 的直线与椭圆C 交于,A B两点，分别过,A B 作椭圆C 的切线并相交于点P ，线段OP （O 为坐标原点）交椭圆C 于点Q ，满足2OQ QP =，且0FQ OF ⋅=，则椭圆C 的离心率为 。
三．解答题（本题共6个小题，共70分。
要求每道题都必须写出必要的过程）17．（本题满分10分）已知函数()()32-=x e x f x。
⑴求曲线()x f y =在点()()0,0f 处的切线方程； ⑵求函数()x f y =的极值。
18．（本题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知4=a ，3=c ，31cos -=A 。
⑴求角C 的大小； ⑵求ABC ∆的面积。
19．（原创）（本题满分12分）数列{}n a 满足()++∈--=N n a a a n n n 4921，且21=a 。
⑴写出432,,a a a 的值；⑵归纳猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明；⑶设()()()++∈--=N n a a b n n n 331，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
20．（原创）（本题满分12分）如右图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD ∆是边长为4的正三角形，M 为PD 的中点，底面ABCD 是矩形，3=CD 。
⑴求异面直线PB 与CM 所成的角α的余弦值； ⑵求直线AC 与平面PCM 所成的角β的正切值。
21．（原创）（本题满分12分）已知()0,1A -是焦点在x 轴上的椭圆C 的一个顶点，F 是椭圆C 的右焦点，直线AF 与椭圆C 的另一个交点为B ，满足||5||AF FB =。
以()1,1D -为圆心的D 与椭圆C 交于,M N 两点，满足||||AM AN =。
⑴求椭圆C 的标准方程；⑵求圆心D 到直线MN 的距离d 的值。
22．（原创）（本题满分12分）已知函数()ln 38f x x x x =-+。
⑴求函数()y f x =在3,e e ⎡⎤⎣⎦（e 是自然对数的底数）的值域；⑵设0a b <<，求证：()()()2023ln 33a b f a f b f b a +⎛⎫<+-<- ⎪⎝⎭。
命题人：薛廷兵 审题人：王中苏2016年重庆一中高2017级高二上期期末考试数 学 答 案（理科） 2016.1一．选择题：BACBA BDCDD CA二．填空题：13．23；14．(3,e ⎤-∞⎦；15．2；16．63。
三．解答题17．解：⑴由题()()()()13322-+=-+='x x e x x e x f xx，故()30-='f 。
又()30-=f ，故曲线()x f y =在点()()0,0f 处的切线方程为x y 33-=+，即033=++y x ；⑵由()0='x f 可得1=x 或3-=x ， 如右表所示，得()()363-=-=e f x f 极大，()()e f x f 21-==极小。
18．解：⑴由题可知角A 为钝角，故角C 为锐角。
因322cos 1sin 2=-=A A ，故Csin 33224=，即22sin =C ，得045=C ；⑵由⑴得()()624cos sin 2245sin sin 0-=+=+=A A A B ，故ABC ∆的面积为24sin 21-==B ac S 。
（提示：亦可先用余弦定理计算出122-=b ，再用面积公式计算） 19．解：⑴252=a ，383=a ，4114=a ； ⑵na n 13-=，证明如下：①当1=n 时猜想显然成立；②假设当()+∈=N k k n 时猜想成立，即k a k 13-=，则11312311234921+-=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=+k k k k k a a a kk k ，故当1+=k n 时猜想成立。
综上知猜想成立；⑶由⑵可知111111+-=⋅+=n n n n b n ，故11111111+=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=∑=n n n i iT ni n 。
x(),3-∞-3-()13，-1 ()+∞,1()x f ' ＋ 0 － 0 ＋ ()x f↑极大↓极小↑20．法一：⑴如图，取AD 的中点N ，连BD BN PN ,,，记O AC BD = ，连OM 。
则O 为BD 中点，故PB OM //，且OM PB 2=，且α=∠OMC 。
因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且AD CD ⊥，AD PN ⊥，故⊥CD 平面PAD ，PN ⊥平面ABCD ，因此DM CD ⊥，PN BN ⊥。
由题易知()53232222=++=PB ，132322=+=CM ，故25=OM 。
又25=OC ，故13cos 25CM OM α==即为所求； ⑵由⑴可知⊥AM 平面PCM ，故MC 即为AC 在平面PCM 的射影，从而ACM ∠即为直线AC 与平面PCM 所成的角β。
因13=CM ，32=AM ，故13392tan ==CM AM β即为所求。
法二：如图，取AD 中点O ，BC 中点N ，由题知AD OP ⊥且AD ON ⊥。
因平面PAD ⊥平面ABCD ，故⊥OP 平面ABCD ，从而OP OD ON ,,两两垂直。
因此可以O 为原点，以,,ON OD OP 分别为z y x ,,轴正方向建立空间直角坐标系，则()0,2,0-A ，()0,2,3-B ，()0,2,3C ，()32,0,0P ，()0,2,0D ，()3,1,0M 。
故()3,2,23PB =--，()3,2,23PC =-。