集合间的基本关系
集合之间的基本关系 -回复
集合之间的基本关系 -回复
1. 包含关系：集合A包含集合B，表示B中的元素都属于A，用符号表示为B ⊆ A。
2. 相等关系：集合A与集合B相等，表示A和B拥有完全相同的元素，用符号表示为
A = B。
3. 真包含关系：集合A真包含集合B，表示A包含B且A与B不相等，用符号表示为
B ⊂ A。
4. 交集关系：集合A与集合B的交集，表示A和B中共有的元素的集合，用符号表示为A ∩ B。
5. 并集关系：集合A与集合B的并集，表示A和B所有元素的集合，用符号表示为A ∪ B。
6. 差集关系：集合A与集合B的差集，表示A中除去与B共有的元素剩下的元素的集合，用符号表示为A - B。
7. 对称差集关系：集合A与集合B的对称差集，表示A和B中除去共有的元素，剩下的元素的集合，用符号表示为A △ B。
8. 互斥关系：集合A与集合B互斥，表示A和B没有共有的元素，用符号表示为A ∩
B = ∅。
9. 子集关系：集合A是集合B的子集，表示A中的所有元素都属于B，用符号表示为
A ⊆ B。
10. 空集关系：空集是任何集合的子集，用符号表示为∅⊆ A。
第二讲 集合之间的基本关系及其运算
第二讲 集合之间的基本关系及其运算一．知识盘点知识点一：集合间的基本关系注意：1.A B A B B AA B A B A B A B =⇔⊆⊆⎧⊆⎨⊂⇔⊆≠⎩且且2.涉及集合间关系时，不要忘记空集和集合本身的可能性。
3.集合间基本关系必须熟记的3个结论（1）空集是任意一个集合的子集；是任意一个非空集合的真子集，即,().A B B Φ⊆Φ⊂≠Φ(2)任何一个集合是它自身的子集，空集只有一个子集即本身 （3）含有n 个元素的集合的子集的个数是2n 个，非空子集的个数是21n - ；真子集个数是21n - ，非空真子集个数是22n -。
知识点二：集合的基本运算运算 符号语言 Venn 图 运算性质交集{}|A B x x A =∈∈且x B()(),AB A A B B ⊆⊆ (),AA A AB B A ==A B A A B =⇔⊆ A Φ=Φ并集{}|A B x x A x B =∈∈或()(),A A B B A B ⊆⊆ (),A A A A B B A ==,A B B A B A A =⇔⊆Φ=补集{}|U C A x x U x A =∈∉且,U U C U C U =ΦΦ=()(),U U U C C A A A C A U ==()U AC A =Φ()()()U U U C A B C A C B = ()()()U U U C A B C A C B =二．例题精讲Ep1.下列说法正确的是A. 高一（1）班个子比较高的同学可以组成一个集合B. 集合{}2|,x N x x ∈= 则用列举法表示是{}01，UAC. 如果{}264,2,m m ∈++2， 则实数m 组成的集合是{}-22，D. {}{}(){}222||,|x y xy y x x y y x =====解析：A.与集合的确定性不符；B.对；C.与集合的互异性不符；D 。
{}2|x y x R == ,{}{}2||0y y x y y ==≥ ，(){}2,|x y y x = 是二次函数2y x = 的点集Ep2.已知集合A={}2|1log ,kx N x ∈<< 集合A 中至少有三个元素，则A.K>8B.K ≥ 8C.K>16D.K ≥ 16解析：由题设,集A 至少含有2，3，4三个元素，所以2log 4k> ，所以k>16.Ep3.已知集合M={}{}2|,|,x y x R N x x m m M =∈==∈ ,则集合M 、N 的关系是A.M N ⊂B.N M ⊂C.R M C N ⊆D.R N C M ⊆ 解析：[]1,1M =- ，{}|01N x x =≤≤ ，故选B.Ep4.已知集合M={}0,1 ,则满足M N M = 的集合N 的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：M N M =，故N M ⊆ ,故选D.Ep5已知集合{}{}2|1,|1M x x N x ax ==== ,如果N M ⊆ ,则实数a 的取值集合是{}.1A {}.1,1B - {}.0,1C {}.1,0,1D -解析：{}1,1M =- , N M ⊆,故N 的可能：{}{}{},1,1,1,1Φ-- ，故a 的取值集合{}1,0,1-Ep6.已知集合{}{}2|20180,|lg(3)A x x x B x N y x =-+≥=∈=- ，则集合A B 的子集的个数是解析：{}|02018A x x =≤≤ ，{}{}|3-x>00,1,2B x N =∈= ，故{}0,1,2A B = 故子集个数328=A.4B.7C.8D.16Ep7.已知集合{}{}2|2,|M x x x N x x a =<+=> ，如果M N ⊆ ,则实数a 的取值范围是.(,1]A -∞- .(,2]B -∞ .[2,)C +∞ .[1,)D -+∞解析：{}|12M x x =-<< ，M N ⊆，故1a ≥-Ep8.已知集合{}2|30A x N x x *=∈-< 则满足B A ⊆ 的集合B 的个数是 A.2 B.3 C.4 D.8 解析：{}{}|03=12A x N x *=∈<<， ，故选CEp9.已知集合{}{}|12,|13,M x x N x x M N =-<<=≤≤=则.(1,3]A - B.(1,2]- .[1,2)C D.(2,3]解析：选CEp10.如果集合{}{}(1)2|10,|log 0,x A x x B x -=-≤≤=≤则A B={}.|11A x x -≤< {}.|11B x x -<≤ {}.0C {}.|11D x x -≤≤ 解析：{}10||0111x B x x x x ⎧->⎫⎧==≤<⎨⎨⎬-≤⎩⎩⎭，故选D.Ep11.设集合 {}{}2|11,|,,()R A x x B y y x x A A C B =-<<==∈=则{}.|01A x x ≤< {}.|10.B x x -<< {}|01C x x =<< {}.|11D x x -<<解析：{}|01B y y =≤<，则{}|01R C B y y =<≥或y，(){}{}{}|11|01|10R AC B x x y y y x x =-<<<≥=-<<或 选B.Ep12.已知集合{}{}2|11,|20,A x x B x x x =-<<=--<则 )R C A B =（.(1,0]A - .[1,2)B - .[1,2)C .(1,2]D解析：{}|12B x x =-<< ，{}|11R C A x x x =≤-≥或 (){}|12R C A B x x =≤< ，选C.三．总结提高1.题型归类（1）2个集合之间的关系判断（2）已知2个集合之间的关系，求参数问题 （3）求子集或真子集的个数问题 （4）2个有限集之间的运算（5）1个有限集和1个无限集之间的运算 （6）2个无限集之间的运算（7）已知集合的运算结果，求参数问题 2.方法总结（1）判断集合间关系的方法a.化简集合，从表达式中寻找两个集合之间的关系b.用列举法表示集合，从元素中寻找关系c.利用数轴，在数轴上表示出两个集合（集合为数集），比较端点之间的大小关系，从而确定两个集合之间的关系。
高中数学集合知识总结
高中数学知识总结高中数学集合知识总结集合语言是现代数学的基本语言,使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些相关内容.以下是小编搜集整合了高中数学集合知识，希望可以帮助大家更好的学习这些知识。
高中数学知识总结篇1一、集合间的关系1.子集：如果集合A中所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集。
2.真子集：如果集合AB，但存在元素a∈B,且a不属于A,则称集合A是集合B的真子集。
3.集合相等：集合A与集合B中元素相同那么就说集合A与集合B相等。
子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作：AB(或BA)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)，这时我们说集合是集合的子集，更多集合关系的知识点见集合间的基本关系二、集合的运算1.并集并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记作A∪B(或B∪A)，读作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A,或x∈B}2.交集交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作A∩B(或B∩A)，读作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B={x|x∈A,且x∈B}3.补集三、高中数学集合知识归纳：1.集合的有关概念。
1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。
4)常用数集：N，Z，Q，R，N*2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
集合间的基本关系
【对点练清】
1．[变条件]若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条 件不变，求m的取值范围．
解：①当 B＝∅时，由 m＋1>2m－1，得 m<2. ②当 B≠∅时，如图所示，
m＋1>－2， ∴2m－1<5，
m＋1≤2m－1，
m>－3， 解得m<3，
m≥2，
即 2≤m<3.综上可得，m 的取值范围是{m|m<3}．
A．M＜N
B．M∈N
C．N⊆M
D．M N
解析：∵集合M中的元素都在集合N中，但是M≠N，∴M N.故选D.
答案：D
3．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________.
答案：－1
知识点二 空集
(一)教材梳理填空
定义 记法 规定
特性
[微思考]
我们把 不含任何元素 的集合叫做空集 ∅
含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}． 含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}． 含有5个元素：{1,2,3,4,5}． 故 满 足 条 件 的 集 合 M ： {1,2,3} ， {1,2,4} ， {1,2,5} ， {1,2,3,4} ， {1,2,3,5} ， {1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}． [答案] B
当x＝2时，y＝2；当x＝3，y＝－3.
所以{y|y＝－x2＋6，x，y∈N}＝{2,5,6}，
共3个元素，故其真子集的个数为23－1＝7.
答案：C
()
题型二 集合间关系的判断
【学透用活】
(1)在子集的定义中，集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，不能理 解为集合 A 是集合 B 的部分元素所组成的集合．因为集合 A 中也可以不含任何 元素；若 A＝B，则集合 A 中含有集合 B 中的所有元素，但此时也可以说集合 A 是集合 B 的子集．
集合间的基本关系及运算
1.2集合间的基本关系及运算【知识要点】1、子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.2、集合相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A=B。
3、真子集：如果A⊆B，且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集,A⊂≠B.4、设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作C AS5、元素与集合、集合与集合之间的关系6、有限集合的子集个数（1）n个元素的集合有n2个子集（2）n个元素的集合有n2-1个真子集（3）n个元素的集合有n2-1个非空子集（4）n个元素的集合有n2-2个非空真子集7、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合叫A与B的交集，记作A⋂B。
8、并集：由所有属于集合A或属于B的元素构成的集合称为A与B的并集，记A⋃B。
9、集合的运算性质及运用【知识应用】1.理解方法：看到一个集合A里的所有元素都包含在另一个集合里B，那么A就是B的子集，也就是说集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A能推出x∈B。
【J】例1.指出下列各组中集合A与集合B之间的关系（1）A={-1,1}，B=Z（2）A={1,3,5,15}，B={x|x是15的正约数}【L】例2.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A，求实数m取值范围。
【C】例3.已知集合A⊆{0,1,2,3}，至少有一个奇数，这样的集合A的子集有几个，请一一写出。
2.解题方法：证明2个集合相等的方法：（1）若A、B两个集合是元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，比较之或者看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两集合相等。
（2）利用集合相等的定义证明A⊆B,且B⊆A，则A=B.【J】例1.下列各组中的两个集合相等的有（）（1）P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n-1)，n∈Z}（2）P={x|x=2n-1,n∈N+},Q={x|x=2n+1,n∈N+}(3)P={x|2x -x=0},Q={x|x=1(1)2n +-,n ∈Z}【L 】例2.已知集合A={x|x=12k π+4π，k ∈Z}，B={x|x=14k π+2π,k ∈Z},判断集合A 与集合B 是否相等。
1.2 集合间的基本关系(答案版)
集合的基本关系：包含关系（子集），或B A ⊆(A 包含于A B ⊇B ，B 含于A ，A>B ）(2)子集个数结论：①含有n 个元素的集合有2n 个子集；①含有n 个元素的集合有2n －1个真子集；①含有n 个元素的集合有2n －2个非空真子集．例1：已知集合A ＝{0，m ，m 2－3m ＋2}，且2①A ，则实数m 为( B )A ．2B ．3C ．0或3D ．0,2,3均可答案：B 由2①A 可知：若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，这与m 2－3m ＋2≠0相矛盾；若m 2－3m ＋2＝2，则m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，与m ≠0相矛盾，当m ＝3时，此时集合A ＝{0,3,2}，符合题意．]例2：已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，若A ①B ，且B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围．【答案】若A ①B ，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧m －6≤－22m －1≥5，解得3≤m ≤4.即m 的取值范围是{m |3≤m ≤4}． 变式1.把本例条件“A ①B ”改为“A ＝B ”，求实数m 的取值范围．【答案】由A ＝B 可知⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－22m －1＝5，无解，即不存在m 使得A ＝B . 变式2．把本例条件“A ①B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}”改为“B ①A ，B ＝{m ＋1≤x ≤2m －1}”，求实数m 的取值范围．【答案】 ①若B ＝①，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ①A .①若B ≠①，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.1.2 集合间的基本关系知识讲解 典型例题由①①得，m 的取值范围是{m |m ≤3}．一、选择题 1．已知集合2{2,25,12}A a a a =-+，且3A -∈，则a 等于（ C ）A ．-1B ．23-C ．32-D ．32-或-1 2．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ①A ，b ①B }，则M 中元素的个数为( B )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B 因为集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ①A ，b ①B }，所以M 中的元素有：5,6,7,8，共4个．故选B.3．已知M ＝{(x ，y )|2x ＋3y ＝10，x ，y ①N }，N ＝{(x ，y )|4x －3y ＝1，x ，y ①R }，则( B )A ．M 是有限集，N 是有限集B ．M 是有限集，N 是无限集C ．M 是无限集，N 是无限集D ．M 是无限集，N 是有限集解析：选B 因为M ＝{(x ，y )|2x ＋3y ＝10，x ，y ①N }＝{(2,2)，(5,0)}，所以M 为有限集．N ＝{(x ，y )|4x －3y ＝1，x ，y ①R }中有无限多个点满足4x －3y ＝1，故N 为无限集．4．下列集合中，是空集的是（ B ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B 【解析】对于A 选项，，不是空集，对于B 选项，没有实数根，故为空集，对于C 选项，显然不是空集，对于D 选项，集合为，故不是空集．5．函数f (x )＝1＋x ＋x 1－x 的定义域是( C ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．[－1,1)①(1，＋∞) D ．R【答案】C [由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，1－x ≠0，得x ≥－1且x ≠1，即定义域为[－1,1)①(1，＋∞)．] 6．设集合{1,1,2}A =-，集合{|B x x A =∈且2}x A -∉，则B =（ C ）A ．{1}B ．{2}C ．{1,2}-D ．{1,2}7．下列说法：①集合{x①N|x 3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}；①实数集可以表示为{x|x 为所有实数}或{R}； {}0|2x x +={}210,x x x +=∈R {}1|x x <(){}22,,,x y y x x y =-∈R 2x =-210x +={(0,0)}同步练习①方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集为{x ＝1，y ＝2}．其中正确的有( D ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个8．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ①P ，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0,1或－1解析：选D 由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ①P ，a ＝1或a ＝－1.9．已知集合{}2|1A y y x ==+，集合{}2(,)|1B x y y x ==+，选项中元素与集合的关系都正确的是（ C ） A ．2A ∈，且2B ∈B ．(1,2)A ∈，且(1,2)B ∈C ．2A ∈，且(3,10)B ∈D ．(3,10)A ∈，且2B ∈二、填空题 1．设集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}和P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}，那么M 与P 的关系为________．答案：M ＝P 解析：因为xy >0，所以x ，y 同号，又x ＋y <0，所以x <0，y <0，即集合M 表示第三象限内的点，而集合P 也表示第三象限内的点，故M ＝P .2．若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}的子集有且仅有两个，则实数a ＝________.答案：1或－18解析：由集合A 的子集有且仅有两个知A 中只有一个元素，若a －1＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意； 若a －1≠0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1≠0，Δ＝32－4×(－2)×(a －1)＝0，得a ＝－18.①a 的值为1或－18. 3. 已知集合A ＝{－2,3,4m －4}，B ＝{3，m 2}，若B ①A ，则实数m ＝________.答案：2解析：依题意可得m 2＝4m －4，即(m －2)2＝0，①m ＝2.当m ＝2时，A ＝{－2,3,4}，B ＝{3,4}，①B ①A .4．已知A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝{x |4x ＋m <0}，当B ①A 时，则实数m 的取值范围为________．答案：m ≥8解析：集合A 在数轴上表示如图．要使B ①A ，则集合B 中的元素必须都是A 中的元素．即B 中元素必须都位于阴影部分内．那么由4x ＋m <0，即x <－m 4知，－m 4≤－2，即m ≥8，故实数m 的取值范围是m ≥8. 5．(2019·浙江四校高一联考)已知M ＝{x |x 2－2x －3＝0}，N ＝{x |x 2＋ax ＋1＝0，a ①R }，且NM ，则实数a 的取值范围是________．答案：－2＜a ≤2解析：M ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{3，－1}．①当N ＝①时，N M 成立，①Δ＝a 2－4<0，①－2<a <2.①当N ≠①时，①NM ，①3①N 或－1①N .当3①N 时，32＋3a ＋1＝0，即a ＝－103，此时方程为x 2－103x ＋1＝0，解得N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，13，不满足N M ； 当－1①N 时，(－1)2－a ＋1＝0，即a ＝2，此时方程为x 2＋2x ＋1＝0，解得N ＝{－1}，满足N M . 故实数a 的取值范围是－2＜a ≤2.三、解答题1．设集合A ＝{x |－1≤x ≤6}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}，且B ①A .(1)求实数m 的取值范围；(2)当x ①N 时，求集合A 的子集的个数．解：(1)若B ＝①，则m －1>2m ＋1，得m <－2；若B ≠①，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤2m ＋1，2m ＋1≤6，m －1≥－1，得0≤m ≤52. 综上得m 的取值范围是m <－2或0≤m ≤52. (2)当x ①N 时，A ＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A 中共有7个元素，其子集个数为27＝128个．2．已知a ①R ，x ①R ，A ＝{2,4，x 2－5x ＋9}，B ＝{3，x 2＋ax ＋a }，C ＝{x 2＋(a ＋1)x －3,1}，求：(1)使A ＝{2,3,4}成立的x 的值；(2)使2①B ，B ①A 成立的a ，x 的值；(3)使B ＝C 成立的a ，x 的值．解：(1)由题意，知x 2－5x ＋9＝3，解得x ＝2或x ＝3. (2)因为2①B ，B ①A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝x 2＋ax ＋a ，3＝x 2－5x ＋9.所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，a ＝－23或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，a ＝－74. (3)因为B ＝C ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(a ＋1)x －3＝3，x 2＋ax ＋a ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，a ＝－6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，a ＝－2.3．集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ①A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ①Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ①R 时，不存在元素x 使x ①A 且x ①B 同时成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝①满足题意；当m ＋1≤2m －1.即m ≥2时，要使B ①A 成立，则有m ＋1≥－2且2m －1≤5，可得－3≤m ≤3，即2≤m ≤3.综上可知，当m ≤3时，B ①A .(2)当x ①Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共8个元素，故A 的非空真子集的个数为28－2＝254(个)．(3)因为x ①R ，A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且不存在元素x 使x ①A 且x ①B 同时成立， 所以A ，B 没有公共元素．当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝①满足题意；当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使A ，B 没有公共元素，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ＋1＞5或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，2m －1＜－2，解得m ＞4. 综上所述，当m ＜2或m ＞4时，不存在元素x 使x ①A 且x ①B 同时成立．。
集合间的基本关系讲义
1.1.2集合间的基本关系一、子集一子集：对于两个集合A、B;如果集合A中任意一个元素．．．．．．都是集合B中的元素;我们就说这两个集合有包含关系;称集合A为集合B的子集;记作A⊆B或B⊇A;读作“A含于B”或“B包含A”数学语言表示形式为：若对任意的x∈A有x∈B;则A⊆B子集关系用文氏图表示为：A⊆B或B⊇A根据子集的定义;我们可以知道A⊆A;也就是说任何集合都是它本身的一个子集.对于空集φ;我们规定φA．;．即空集是任何集合的子集．．．．．．．．．．..例1：用适当的符号填空0____{0}φ____{0}2____{2}2____N{2}____N变式练习1：已知A＝{x｜x2－3x＋2＝0};B＝{1;2};C＝{x｜x＜8;x∈N};用适当的符号填空A___________BA___________C{2}__________C2_________C例2：写出集合{,,,}a b c d的所有子集..解析集合{,,,}a b c d的所有子集可以分为五类;即：1含有0个元素的子集;即空集φ；2含有一个元素的子集：{},{},{},{}a b c d；3含有二个元素的子集：{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a c a d b c b d c d；4含有三个元素的子集：{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b d a c d b c d；5含有四个元素的子集：{,,,}a b c d.结论：如果集合A中有n个元素;则集合A共有2n个子集变式练习1：已知集合A＝{x∈N＋︱－1≤x＜4};则集合A的子集有_________个..解析：8个二、集合相等：如果集合A 是集合B 的子集A ⊆B;且集合B是集合A 的子集B ⊆A;则集合A 与集合B 相等;记作集合A ＝集合B..即：A ⊆B 且B ⊆A 则A ＝B.. 上节两个集合相等：两个集合的元素完全相同例3：已知集合A 和集合B 都是含三个元素的集合;且集合A ＝{a;a ＋b;a ＋2b};B ＝{a;ac;ac 2};若A ⊆B 且B ⊆A;求c 的值..解析1若⎩⎨⎧=+=+22acb a ac b a 消去b 得：ac 2＋a －2ac ＝0; a ＝0时;集合B 中的三元素均为零;和元素的互异性相矛盾;故a ≠0．∴c 2－2c ＋1＝0;即c ＝1;但c ＝1时;B 中的三元素又相同;此时无解．2若⎩⎨⎧=+=+acb a ac b a 22消去b 得：2ac 2－ac －a ＝0;∵a ≠0;∴2c 2－c －1＝0;即c －12c ＋1＝0;又c ≠1;故c ＝－21.. 变式练习：已知集合A 和集合B 都含有三个元素;A ＝{x;xy;x －y};B ＝{0;｜x ｜;y};若A ⊆B 且B ⊆A;求2x ＋y 的值..解析：∴由集合的互异性;∴x －y ＝0;则x ＝y;此时A ＝{x;x 2;0};B ＝{0;｜x ｜;x};则x 2＝｜x ｜且x ≠x 2;故x ＝y ＝－1;此时A ＝{－1;1;0};B ＝{0;1;－1};符合题意;综上所述;2x ＋y ＝－3..三、真子集：如果集合A ⊆B;但存在元素x ∈B;且x ∉A;我们称集合A 是集合B 的真子集..记：A B 或B AA 真含于BB 真包含A注意：即如果A ⊆B 且A ≠B;那么集合A 是集合B 的真子集;记作A B 或B A..例如{1;2}N 、{a;b}{a;b;c}等..子集与真子集的区别在于“．A ．⊆B ．”允许．．．A ．＝．B ．或．A ．B ．;．而．A ．B ．是不允许“．．．．．A ．＝．B ．”的．．;．所以如果．．．．A ．B ．成立．．;．则一定有．．．．A ．⊆B ．成立；．．．但如果有．．．．A ．⊆B ．成立．．;．A ．B ．不一定成立．．．．．..．．空集是任何集合的子集;空集是任何非空集合的真子集..例4：分别写出集合{a};{a;b}和{a;b;c}的所有子集和真子集..集合{a}的子集有φ;{a};共有2个子集；()A B真子集有{a};共1个真子集..集合{a;b}的子集有φ;{a};{b};{a;b};共有4个子集；真子集有φ;{a};{b};共3个真子集..集合{a;b;c}的子集有：φ;{a};{b};{c};{a;b};{a;c};{b;c};{a;b;c};共有8个即个子集；真子集有φ;{a};{b};{c};{a;b};{a;c};{b;c};共7个真子集.. 结论．．：．如果集合．．．．A ．中有．．n ．个．元素．．;．则集合．．．A ．共有．．2．n ．个子集．．．；．2．n ．－．1．个真子集．．．．..．．例5：有适当的符号填空..1A ＝{2;3;6}B ＝{x ︱x 是12的约数}A_____B2A ＝{0;1}B ＝{x ︱x 2＋y 2＝1;y ∈N}A_____B3A ＝{x ︱－1＜x ＜2}B ＝{x ︱－2＜x ＜2}A_____B4A ＝{x;y ︱x ×y ＜0}B ＝{x;y ︱x ＞0;y ＞0}A_____B5A ＝{x ︱x 2＝1}B ＝{y ︱y 2－2y ＋4＝0}A_____B解析：12345变式练习1：已知集合A ＝{0;1};B ＝{z ︱z ＝x ＋y;x ∈A;y ∈B};则B 的子集有 A ：8个B ：2个C ：4个D ：7个解析：集合B 中有3个元素;子集有8个..A变式练习2：已知集合A ＝{x ∈Z ︱031≤-+x x };B ＝{y ︱y ＝x 2＋1;x ∈A};则集合B 的含有元素1的子集个数为A ：5B ：4C ：3D ：2解析：A ＝{x ∈Z ︱－1≤x ＜3}＝{－1;0;1;2};则B ＝{1;2;5};则集合B 的含有元素1的子集有{1};{1;2};{1;5};{1;2;5}共四个;B变式练习3：已知A ＝{x ︱x ＝a ＋61;a ∈Z};B ＝{x ︱x ＝2b －31;b ∈Z};C ＝{x ︱x ＝2c ＋61;c ∈Z};则集合A 、B 、C 满足的关系是 A ：A ＝B CB ：A B ＝CC ：A B CD ：B C A解析：A ＝{6x ︱6x ＝6a ＋1;a ∈Z};B ＝{6x ︱x ＝3a －2＝3a －1＋1;b ∈Z};C ＝{6x ︱x ＝c 3＋1;c ∈Z}..则A B ＝CB变式练习4：已知A ＝{x ︱y ＝122+-x x };B ＝{y ︱y ＝122+-x x };C ＝{x ︱122+-x x ＝0};D ＝{x ︱122+-x x ＜0};E ＝{x;y ︱y ＝122+-x x };则下列结论正确的是A ：A ⊆B ⊆C ⊆DB ：D C B AC ：B ＝ED ：A ＝B解析：B变式练习5：若集合A 满足{1;2}⊆A ⊆{1;2;3;4};则满足条件的集合A 的个数为_____个..解析：4个二、子集的有关性质1、空集φ：我们把不含有任何元素的集合叫做空集;记为φ;并规定：空集是任何集合的子集;任何非空集合的真子集;即空集．．φ只有一个子集就是它本身．．．．．．．．．．．;．而空．．集没有真子集．．．．．．.. 2、子集与真子集的性质1任何集合是它本身的子集;即A ⊆A ；2对于集合A 、B 、C;如果A ⊆B 且B ⊆C;那么A ⊆C ；3对于集合A 、B 、C;如果A B;且B C;那么A C ；4空集φ是任何集合的子集;是任何非空集合的真子集..例5：下列集合只有一个子集．．．．．．的是 A ：{x ｜x 2≤0}B ：{x ｜x 3≤0}C ：{x ｜x 2＜0}D ：{x ｜x 3＞0}解析：C例6：下列表述正确的是A ：φ＝{0}B ：φ⊆{0}C ：φ⊇{0}D ：φ∈{0}解析：B例7：设A ＝{x ｜2m －1＜x ＜m ＋3};B ＝{x ∈R ｜x 2＋1＝0}问m 为何值时能使得A ＝B..解析1显然B ＝φ;欲使A ＝B;必须且只需A ＝φ即可..由于2m －1≥m ＋3可得m ≥4;此时A ＝{x ｜2m －1＜x ＜m ＋3}＝φ.综上可知;当m ≥4时;A ＝B例8：已知集合A ＝{x ｜x 2＋x －2＝0};B ＝{x ｜x －a ＝0};若B ⊆A;则a ＝_______________..解析易求A ＝{－2;1};B ＝{1}或{－2}当B ＝{1};a ＝1；B ＝{－2};a ＝－2综上：a ＝1或a ＝－2变式练习1：已知集合A ＝{x ｜x 2－8x ＋15＝0};B ＝{x ｜a x －1＝0};若B ⊆A;则a ＝_______________..解析：0或31或51例9：设集合A ＝{x ｜)4)(1(-+x x ≤0};B ＝{x ｜x ≤a };若A ⊆B ;则a 的取值范围是__________..解析：a ≥4变式练习1：已知集合A ＝{x ｜－3≤x ≤5};若集合B ＝{x ｜－2m －1≤x ≤m ＋1};若A ⊆B ;则求m 的取值范围..解析－2m －1≤－3＜5≤m ＋1;即⎩⎨⎧-≤--≥+31251m m m ≥4 变式练习2：集合A ＝{x ｜－2≤x ≤5};B ＝{x ｜m ＋1≤x ≤2m －1};若B ⊆A;则求m 的取值范围..解析：1若B ＝φ;即m ＋1＞2m －1时;即m ＜2；2若B ≠φ;则m 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+51221121m m m m 解之得2≤m ≤3;综上所述;m ≤3变式练习2：已知函数fx ＝b ax x ++2a 、b ∈R;且集合A ＝{x ｜x ＝fx};B ＝{x ｜x ＝ffx};1求证：A ⊆B ；2当A ＝{－1;3}时;用列举法表示B..解析：1任取x ∈A;则有x ＝fx;则ffx ＝fx ＝x;故x ∈B;故A ⊆B ；2∵A ＝{－1;3};故⎩⎨⎧++=+-=-b a b a 39311得⎩⎨⎧-=-=31b a ;故fx ＝32--x x ; ∴ffx ＝3)3()3(222------x x x x ;故3)3()3(222------x x x x ＝x0)3(222=---x x x ;∴x ＝3;x ＝－1;x ＝3±;故B ＝{－1;3;3;3-}课后综合练习1、下列关系中正确的个数为 ①0∈{0};②φ{0};③{0;1}⊆{0;1};④{a ;b }＝{b ;a }A ：1B ：2C ：3D ：4解析：B2、下列图形中;表示M ⊆N 的是解析：C 3、设a 、b ∈R;集合{1;a ＋b ;a }＝{0;a b ;b };则b －a ＝ A ：1B ：－1C ：2D ：－2解析：C4、设集合A ＝{x ︱x ＝k 21＋41;k ∈Z};若x ＝29;则下列关系正确的是 A ：x ∉AB ：x ∈AC ．{x}∈AD ．{x}∉A解析：A5、用适当的符号填空：1φ______{x ｜x 2－1＝0}；2{1;2;3}________N ；3{1}_________{x ｜x 2－x ＝0}；40________{x ｜x 2－2x ＝0}解析：∈6、已知集合A ＝{x ｜1≤x ＜4};B ＝{x ｜x ＜a };若A B;求实数a 的取值范围________..解析：a ≥47、已知A ＝{x ｜x 2－3x ＋2＝0};B ＝{x ｜a x －2＝0}且B ⊆A;则实数a 组成的集合C 是________..解析：{0;2;1}8、写出集合A ＝{x ｜0≤x ＜3;x ∈N ＋}的真子集..解析：3个9、已知M ＝{x ｜－2≤x ≤5};N ＝{x ｜a ＋1≤x ≤2a －1}..1若M ⊆N;求实数a 的取值范围..2若M ⊇N;求实数a 的取值范围..解析：1φ2a ≤310、若集合A ＝{x ｜a ≤x ≤a ＋2};B ＝{x ｜x ≤1};若A ⊆B;则a 的取值范围为_____..解析：a ≤－111、已知集合A ＝{x ｜24x y -=};B ＝{x ｜a ≤x ≤a ＋1};B ⊆A;则a 的取值范围为_____..解析：－1≤a ≤2MN AM N B N M C M N D12、已知集合A ＝{y ｜x y 23-=;x ∈－213;23};B ＝{x ｜1－m ≤x ≤m ＋1};若B ⊆A;则m 的取值范围为_____..解析：A ＝{y ｜x y 23-=;x ∈－213;23}＝0;4m ≤1。
集合间的基本关系
集合间的基本关系知识点总结一、子集、真子集、集合相等二、空集1、定义：不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.2、性质：空集是任何集合的子集.三、子集个数与元素个数的关系设有限集合A 有n （n 属于*N ）个元素，则其子集的个数是n 2，真子集的个数是12-n ，非空子集的个数是12-n ，非空真子集的个数是22-n .一、知识辨析1、} 3 ,2 ,1 {1⊆...........................................（ ）2、φ和{φ}表示的意义相同...............................（ ）3、} )1 ,0( {} 0 ,1 {} 1 ,0 {==..................................（ ）4、任何集合都有子集和真子集.............................（ ）5、若a ∈A ，则}{a ⫋A.....................................（ ）6、如果集合A B ⊆，那么若元素a 不属于A ，则必不属于B.....（ ） 二、选择1、已知集合} | {是菱形x x A =，} | {是正方形x x B =，} | {是平行四边形x x C =，那么A ，B ，C 之间的关系是 （ ）A.C B A ⊆⊆B.C A B ⊆⊆C.A ⫋B ⊆CD.C B A ⊆=2、给出下列四个关系式：①R ∈3；②Z ∈Q ；③0∈φ；④φ⊆} 0 {.其中正确的个数是 （ ）A.1B.2C.3D.43、能正确表示集合} 20| {≤≤∈=x R x M 和集合} 0x -| {2=∈=x R x N 关系的Venn 图是 （ ）A B C D4、已知集合} ,2| {Z k k x x A ∈==，} ,4| {Z k k x x B ∈==，则A 与B 之间的关系是（ ） A.A=B B.B ⊇A C.A ⫋B D.B ⫋A5、已知集合} 03| {*＜-∈=x N x A ，则满足条件A B ⊆的集合B 的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.86、已知集合} 2 ,1 ,0 {⊆A ，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为 （ ） A.6 B.5 C.4 D.37、集合} , {y x 的子集个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.48、在下列选项中，能正确表示集合} 2 ,0 ,2 {-=A 和集合} 02| {2=+=x x x B 关系的是 （ ） A.A=B B.B A ⊇ C.B A ⊆ D.B A =φ 9、集合} 1 ,2 {-=A ，} 1 ,m {2--=m B ，且A=B ，则实数m=（ ） A.2 B.-1 C.2或-1 D.410、已知集合} 0y ,0y |y)(x, {＞＜x x M +=，} 0y ,0|),( {＜＜x y x P =，那么 （ ） A.P ⫋M B.M ⫋P C.M=P D.M ≠P11、下列四个关系：①} , {} , {a b b a ⊆；②φ=} 0 {；③} 0 {∈φ；④} 0 {0∈.其中正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.412、已知φ⫋} 0x | {2=+-a x x ，则实数a 的取值范围是 （ ） A.41＜a B.41≤a C.41≥a D.41＞a 13、设集合} 1 1, {-=A ，集合} 02| {2=+-=b ax x x B ，若B ≠φ，A B ⊆，则有序实数对（a,b ）不能是（ ）A.（-1,1）B.（-1,0）C.（0，-1）D.（1,1） 三、填空14、已知集合} 3, 1, {m A -=，} 4 3, {=B ，若A B ⊆，则实数m= .15、已知集合} ,02| {2R a a ax ax x A ∈=++=，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值构成的集合为 .16、设a ，b ∈R ，集合} ,0 {} 1 , {b a a +=，则a b -= . 四、解决问题17、已知集合} 4 1| {＞或＜x x x A -=，} 3a 2| {+≤≤=x a x B ，若A B ⊆，求实数a 的取值范围.18、已知} 01)1(3| {22=-+++=a x a x x A ，} 0 {=B ，若B A ⊆，求a 的取值范围.19、若集合} 06| {2=-+=x x x M ，} 0))(2(| {=--=a x x x N ，且M N ⊆，求实数a 的值. 提升题 一、选择题1、下面各选项中，两个集合相等的是 （ ）A.} ) 2 ,1 ( {=M ,} ) 1 ,2 ( {=NB.} 2 ,1 {=M ，} ) 2 ,1 ( {=NC.M=φ，} {φ=ND.} 012| {2=+-=x x x M ，} 1 {=N 2、下列关系中正确的是（ ）A .} 1 ,0 {1∈ B.} 1 ,0 {1∉ C.} 1 ,0 {1⊆ D.} 1 ,0 {} 1 {∉ 3、已知集合} 02| {2＜-+∈=x x Z x A ，则集合A 的一个真子集为 （ ） A.} 02| {＜＜x x - B.} 20| {＜＜x x C.} 0 { D.} {φ 4、集合} 1 ,0 1, {-=A ，A 的子集中含有元素0的子集共有（ ） A.2个 B.4个 C.6个 D.8个5、若P M ⊆，Q M ⊆，} 2 1, ,0 {=P ，} 4 2, ,0 {=Q ，则满足上述条件的集合M 的个数是（ ） A.1 B.2 C.4 D.86、集合} , 3| {N n x x M n ∈==，集合} , 3| {N n n x x N ∈==，则集合M 与集合N 的关系为（ ） A.N M ⊆ B.M N ⊆ C.N M = D.M ⊈N 且N ⊈M7、若A x ∈，A x ∈1，则称A 是伙伴关系集合.集合} 3 ,2 ,31,21 ,0 ,1 {-=M 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ） A.31 B.7 C.3 D.18、已知集合} , 0| {N y a y y A ∈≤=＜，} , 032| {2N x x x x B ∈≤--=，若A ⫋B ，则满足条件的正整数a 所构成集合的子集的个数为（ ） A.2 B.4 C .8 D.16 二、填空9、方程0822=--x x 的解集为A ，方程02=-ax 的解集为B ，若A B ⊆，则实数a 的取值集合为 .10、已知集合} 44 ,4 ,3| {-=m y A ，集合} ,3| {2m y B =，若A B ⊆，则实数m= . 三、解决问题11、已知} 52| {≤≤-=x x A ，} 121| {-≤≤+=m x m x B ，A B ⊆，求m 的取值范围.。
§1.2 集合间的基本关系
反思感悟
判断集合间关系的常用方法
二 真子集
问题2 观察问题1中的几个例子，类比实数a<b与a≤b的关系，一个非空 集合的子集有好多个，你能对它们进行分类吗？ 提示 观察(1)可知，4∈B但4∉A，集合A中的元素个数比集合B中的元素 个数少.观察(3)可知，集合E与集合F相等，集合E中的元素个数与集合F 中的元素个数相等. 综上可得，对于一个含有多个元素的集合，它的子集的元素的个数大多 比它本身少，但有一个特殊的，那就是它本身也是它本身的一个子集. 问题3 集合A＝{x∈R|x2－x＋1＝0}中有多少个元素？ 提示 集合A中没有元素.
(P8例2) 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由： (1)A＝{1,2,3}，B＝{x|x是8的约数}；
因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集.
(2)A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}； 因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以 集合A是集合B的子集.且有A=B
∅，{a}，{b}，{a，b}
4
∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，
{a，b，c}
8
{b，c}，{a，b，c}
∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，
{a，b，c，
c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，
d}
16
{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，
(3)E＝{x|x是有两条边相等的三角形}，F＝{x|x是等腰三角形}. 提示 集合E包含于集合F，集合F也包含于集合E.
知识梳理
集合间的基本关系
7 个真子集，故选 B.
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(2)由题意可得{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合 M 必含 有元素 1,2，且含有元素 3,4,5 中的至少一个，因此依据集合 M 的元素个数分类如下：
含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}； 含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}； 含有五个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足题意的集合 M 共有 7 个． [答案] (1)B (2)7
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注意：∅与{0}的区别 (1)∅是不含任何元素的集合； (2){0}是含有一个元素的集合，∅ {0}．
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[例 1] (1)下列各式中，正确的个数是( )
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅
＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}
我们称集合 A 是集合 B 的真子集 记法 记作 A B(或 B A)
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图示
结论
(1)A B 且 B C，则 A C； (2)A⊆B 且 A≠B，则 A B
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4、空集的概念
定义 我们把 不含任何元素 的集合，叫做空集
记法 ∅
规定 空集是任何集合的子集 ，即∅⊆A
特性
(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅ (2)A≠∅，则∅ A
集合间的基本关系
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1、子集的概念
定义
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中 任意一个 元素都是集合B中的元素，我们就说 这两个集合有 包含 关系，称集合A为集合B的子
集 记法与 记作 A⊆B (或 B⊇A )，读作“A含于B”(或“B
读法 包含A”)
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高一数学集合间的基本关系
第二节集合间的基本关系学习目标1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集2、在具体情境中，了解空集的含义知识框架1、子集定义：如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。
记作：BA⊆（或B⊇Ａ）A⊆有两种可能B（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B 或B⊇/A2、真子集如果集合BA⊆，但存在元素x∈B且x￠A，则称集合A是集合B 的真子集如果A⊆B,且A≠B，那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)读作A真包含于B3、集合相等元素相同则两集合相等，如果A⊆B同时B⊆A，那么A=B4、空集不含有任何元素的集合叫做空集，记为∅规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
5、集合的性质①任何一个集合是它本身的子集。
A⊆A②如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C③如果A B且B C，那么A C④有n个元素的集合，有2n个子集，1n个真子集2-随堂练习1、设{},62,8|=≤=a x x P 则下列关系中正确的是（ ）A.P a ⊆B.P a ∉C.{}P a ⊆D.{}P a ∈2、集合{}3,2,1=M 的真子集的个数是（ ）A.6B.7C.8D.93、设集合{}{},,|),(,,|22R x x y y x Q R x x y y P ∈==∈==则P 与Q 的关系是A.Q P ⊆B.Q P ⊇C.Q P =D.以上都不正确4、已知集合A {},7,3,2且A 中至多有一个奇数，则这样的集合A 有A.3个B.4个C.5个D.6个5、已知集合{},12,3,1--=m A 集合{},,32m B =若,A B ⊆则.________=m6、设集合{}{},1212|,23|+≤≤-=≤≤-=k x k x B x x A 且,B A ⊇则实数k 的取值范围是.____________7、已知集合{}{},,01|,0158|2A B ax x B x x x A ⊆=-==+-=求实数a 的不同取值组成的集合.8、已知集合{}{},0))(1(|,31|=--=≤≤=a x x x B x x A（1）当集合B 是A 的子集时，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a 使得B A =成立？。
集合间的关系
已知集合 A＝{m，m＋d，m＋2d}，B＝{m，mq，mq2}，其中 m≠0，且 A＝ B，求 q 的值．
小试牛刀
练习5：
已知集合 A＝{m，m＋d，m＋2d}，B＝{m，mq，mq2}，其中 m≠0，且 A＝
B，求 q 的值．
[解] 由 A＝B 可知，
m＋d＝mq，
m＋d＝mq2，
(1)
已知集合 A＝{x|x2＋(a＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0，x∈R}，若 A∩B＝Ø， 则 a 的取值范围是__________．
典例探究
例5：已知集合 A＝{x|x2＋(a＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0，x∈R}，若 A∩B＝Ø，
则 a 的取值范围是__________．
[答案] (－∞，－2]
典例探究
例4：
已知集合 A＝{t2＋s2|t，s∈Z}，且 x∈A，y∈A，则下列结论正确的是( )
A．x＋y∈A
B．x－y∈A
C．xy∈A
x D． ∈A
y
典例探究
例4：
已知集合 A＝{t2＋s2|t，s∈Z}，且 x∈A，y∈A，则下列结论正确的是( )
A．x＋y∈A
B．x－y∈A
x
又 ∉ A，故 D“ ∈A”不成立．故选 C.
2
y
[答案] C
小试牛刀
练习4：
已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 B⊆A，则实数 m 的 取值范围是________．
小试牛刀
练习4：已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 B⊆A，则实数 m 的
此时集合 A 中有重复元素 3，
集合间的基本关系
集合间的基本关系
在集合理论中，有几种基本的关系可以定义在两个集合之间。
这些基本关系包括：
1.相等关系（Equality Relation）：两个集合当且仅当它们包含
相同的元素时相等。
表示为A = B。
示例：A = {1, 2, 3}，B = {3, 2, 1}，因此A = B。
2.包含关系（Subset Relation）：如果一个集合的所有元素都是
另一个集合的元素，则称前者是后者的子集。
表示为A ⊆B。
示例：A = {1, 2}，B = {1, 2, 3}，因此A ⊆ B。
3.真包含关系（Proper Subset Relation）：如果一个集合是另一
个集合的子集，并且两个集合不相等，则前者是后者的真子集。
表示为A ⊂ B。
示例：A = {1, 2}，B = {1, 2, 3}，因此A ⊂B。
4.交集关系（Intersection Relation）：两个集合的交集是包含它
们共同元素的集合。
表示为A ∩ B。
示例：A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∩ B = {3}。
5.并集关系（Union Relation）：两个集合的并集是包含它们所
有元素的集合。
表示为A ∪ B。
示例：A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}。
这些基本关系在集合论中起到了重要的作用，用于描述和操作不同集合之间的关系。
它们是集合论中的基本概念，为进一步探索更高级的集合运算和性质奠定了基础。
集合间的基本关系 课件
互 动 课 堂
典 例 导 悟 类型一 [例1]
集合间关系的判定
n 1 设集合M＝{x|x＝ ，n∈Z}，N＝{x|x＝ 2 2
＋n，n∈Z}，试确定集合M，N之间的关系．
图2
[解]
n 方法1：对于集合M，其组成元素是 ，分 2
子部分表示所有的整数； 2n＋1 1 而对于集合N，其组成元素是 ＋n＝ ，分 2 2 子部分表示所有的奇数． 由真子集的概念知，N M，Venn图如图2所 示．
• 思悟升华 • 1．判断集合间的关系的关键是弄清集合由 哪些元素组成，也就是把较为抽象的集合 具体化、形象化，这就要求熟练地用自然 语言、符号语言(列举法和描述法)、图形语 言(Venn图)来表示集合．
2．子集的性质：A⊆B，且B⊆C⇒A⊆C； A B，且BC⇒A C；当A⊆B时，有A＝B或 A B，所以当集合A是集合B的子集时，A不一定是 B的真子集；但当集合A是集合B的真子集时，A一 定是B的子集．
[例3]
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋
1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
－2≤m＋1 2m－1≤5
[错解] 欲使B⊆A，只需
⇒－
3≤m≤3. ∴m的取值范围是－3≤m≤3.
[错因] 空集是一个特殊的集合，是任何集合 的子集，因此需要对B＝Ø与B≠Ø两种情况分别确 定m的取值范围．
2．已知集合M＝{x|－ 5 <x< 3 ，x∈Z}，则下 列集合是集合M的子集的是( A．{－3,0,1} B．{－1,0,1,2} C．{y|－π<y<－1，y∈Z} D．{x||x|≤ 3，x∈N} )
• • • • •
解析：M＝{－2，－1,0,1}， 易知A、B中集合不是M的子集． C中集合为{－3，－2}，不是M的子集． D中集合为{0,1}，是M的子集． 答案：D
集合间的基本关系
D.M与N没有相同元素
2、已知集合M { x | x a 2a 4, a R},
2
N { y | y b 4b 6, b R}. 则（
2
） .
A.M N C.M N
B.M N D.M与N没有包含பைடு நூலகம்系
要点二、子集关系的应用 有限集合子集的确定问题，求解关键有三 点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按 照子集所含元素的个数依次写出； (3) 注 意两个特殊的集合，即空集和集合本身．
B且BA, 则A=B; 若A 反之,亦然.
3、真子集
如果集合A B, 但存在元素x B , 且x A, 我们称集合A是集合B的真子集. 记作：A B ( 或B A ).
读作：“A真包含于B”（或“B真包含 A”)
4、空集
不含任何元素的集合叫做空集，记为.
规定：空集是任何集合的子集，即 A.
空集是任何非空集合的真子集. 即： B. ( B )
5、子集的有关性质
(1).任何一个集合是它本身的子集，即A A.
(2).对于集合 A、B、C，如果 A B且B C那么A C.
(3).对于集合A、B、C，如果 A B 且 B C 那么 A C. (4).对于集合A、B、C，如果 A B且B C那么A C .
2 2
n
1 例2、集合A { x | x （2k 1), k Z }, 9 4 1 B { x | x k , k Z }. 则（ 9 9 A.A B B.A B C.C D D.A B ） .
k 1 练习：1、集合M { x | x , k Z }, 2 4 k 1 N { x | x , k Z }. 则（ 4 2 A.M N B.M N C.M N ） .
集合间的基本关系
跟踪训练3 已知集合A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}，则
A.A∈B
B.A B
C.B A
D.B⊆A
解析 由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如－2∉A， 故有A B.
解析 答案
类型三 由集合间的关系求参数(或参数范围) 例4 已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A⊇B，求实数a的值. 解 A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}. (1)当a＝0时，B＝∅⊆A，符合题意. (2)当 a≠0 时，B＝{x|ax＝1}＝{1a}， ∵1a≠0，要使 A⊇B，只有1a＝1，即 a＝1. 综上，a＝0或a＝1.
第一章 §1.1 集合
1.1.2 集合间的基本关系
学习目标
1.理解子集、真子集、空集的概念. 2.能用符号和Venn图表达集合间的关系. 3.掌握列举有限集的所有子集的方法.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 子集
思考
如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元 素有什么关系？ 答案 所有的白马都是马，马不一定是白马.
a－2≤2，
这样的实数 a 不存在.
综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}.
解答
当堂训练
1.下列集合中，结果是空集的是 A.{x∈R|x2－1＝0} B.{x|x＞6或x＜1} C.{(x，y)|x2＋y2＝0}
√D.{x|x＞6且x＜1}
12345
答案
2.集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为
2.集合子集的个数 求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合 要求的子集. 集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1 个真子集，有2n－2个非空真子集.写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉. 3.由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 (1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形； ②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论. (2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数 的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.
集合的四种基本关系
集合的四种基本关系集合的四种基本关系集合是数学中的一个重要概念，它可以用来描述一组具有某种特定属性的对象。
在集合论中，有四种基本关系，分别是包含关系、相等关系、交集和并集。
下面将对这四种关系进行详细介绍。
一、包含关系包含关系是指一个集合包含另一个集合的所有元素。
如果A和B是两个集合，且A中的每个元素都同时属于B，则称A是B的子集，或者说B是A的超集。
用符号表示为：A⊆B或者B⊇A。
例如，假设有两个集合A={1,2,3}和B={1,2,3,4}，则可以得出：- A⊆B- B⊇A二、相等关系相等关系是指两个集合具有完全相同的元素。
如果两个集合A和B互相包含，则它们就相等。
用符号表示为：A=B。
例如，假设有两个集合C={a,b,c}和D={c,b,a}，则可以得出：- C=D三、交集交集是指两个或多个集合共同拥有的元素构成的新的一个集合。
用符号表示为：A∩B或者AB。
例如，假设有两个集合E={1,2,3,4}和F={3,4,5,6}，则可以得出：- E∩F={3,4}四、并集并集是指两个或多个集合中所有元素的总和构成的一个新的集合。
用符号表示为：A∪B或者A+B。
例如，假设有两个集合G={1,2,3}和H={4,5,6}，则可以得出：- G∪H={1,2,3,4,5,6}总结以上就是集合的四种基本关系。
包含关系是指一个集合包含另一个集合的所有元素；相等关系是指两个集合具有完全相同的元素；交集是指两个或多个集合共同拥有的元素构成的新的一个集合；并集是指两个或多个集合中所有元素的总和构成的一个新的集合。
在实际应用中，这些基本关系经常被用来描述数据之间的联系。
集合间的基本关系
§1.2 集合间的基本关系学习目标 1.理解子集、真子集、集合相等、空集的概念.2.能用符号和Venn 图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法．知识点一 子集、真子集、集合相等 1．子集、真子集、集合相等的相关概念定义符号表示 图形表示子集如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 是集合B 的子集A ⊆B (或B ⊇A )真子集如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，就称集合A是集合B的真子集AB (或B A )集合相等如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合A 与集合B 相等A ＝B2．Venn 图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图． 3．子集的性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A .(2)对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，且B ⊆C ，那么A ⊆C . 思考1 任何两个集合之间是否有包含关系？答案 不一定．如集合A ＝{0,1,2}，B ＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系． 思考2 符号“∈”与“⊆”有何不同？答案符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．知识点二空集1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.2．规定：空集是任何集合的子集．思考{0}与∅相同吗？答案不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.1．已知集合M＝{x|x是菱形}，N＝{x|x是正方形}，则集合M与集合N的关系为________．答案N M解析因为正方形是菱形，所以N M.2．用“⊆”或“∈”填空：{0,2}________{2,1,0},2________{2,1,0}．答案⊆∈3．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________.答案－1解析1－a＝2，解得a＝－1.4．集合{0,1}的子集有________个．答案 4解析集合{0,1}的子集有∅，{0}，{1}，{0,1}，共4个．一、集合间关系的判断例1指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．解(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.(3)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故N M.反思感悟判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察．(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．跟踪训练1(1)已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合M与N的关系是() A．M＝N B．N MC．M N D．N⊆M(2)已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是() A．A⊆B B．A＝BC．A B D．B A（1）答案 C解析解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，则M＝{1,2}，因为1∈M且1∈N,2∈M 且2∈N，所以M⊆N.又因为0∈N但0∉M，所以M N.（2）答案 D解析因为A中元素是3的整数倍，而B中的元素是3的偶数倍，所以集合B是集合A的真子集．二、确定集合的子集、真子集例2设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．解由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4.故集合A＝{－4，－1,4}．由0个元素构成的子集为∅；由1个元素构成的子集为{－4}，{－1}，{4}；由2个元素构成的子集为{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}；由3个元素构成的子集为{－4，－1,4}．因此集合A的子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}．真子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．反思感悟 求集合子集、真子集的3个步骤跟踪训练2 满足{1,2} M ⊆{1,2,3,4,5}的集合M 有________个． 答案 7解析 由题意可得{1,2} M ⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M 必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M 的元素个数分类如下： 含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； 含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； 含有五个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足题意的集合M 共有7个．三、由集合间的关系求参数例3 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B A ，求实数m 的取值范围.解 (1)当B ≠∅时，如图所示．∴m ＋1≥－2，2m －1<5，2m －1≥m ＋1或m ＋1>－2，2m －1≤5，2m －1≥m ＋1，解这两个不等式组，得2≤m ≤3.(2)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2.综上可得，m 的取值范围是{m |m ≤3}．延伸探究1．若本例条件“A ＝{x |－2≤x ≤5}”改为“A ＝{x |－2<x <5}”，其他条件不变，求m 的取值范围．解 (1)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2.(2)当B ≠∅时，如图所示．∴m ＋1>－2，2m －1<5，m ＋1≤2m －1，解得m >－3，m <3，m ≥2，即2≤m <3，综上可得，m 的取值范围是{m |m <3}．2．若本例条件“B A ”改为“A ⊆B ”，其他条件不变，求m 的取值范围． 解 当A ⊆B 时，如图所示，此时B ≠∅.∴2m －1>m ＋1，m ＋1≤－2，2m －1≥5，即m >2，m ≤－3，m ≥3，∴m 不存在．即不存在实数m 使A ⊆B .反思感悟 利用集合关系求参数的关注点(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集．跟踪训练3 已知集合A ＝{x |x <－1或x >4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 (1)当B ＝∅时，2a >a ＋3，即a >3.显然满足题意．(2)当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3. 综上可得，实数a 的取值范围为{a |a <－4或a >2}．1．下列六个关系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅ {0}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是()A．1 B．3 C．4 D．62．集合{1,2}的子集有()A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是()4．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.5．已知集合A＝{x|x≥1或x≤－2}，B＝{x|x≥a}，若B A，则实数a的取值范围是________．【答案与解析】1、答案 C解析①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，∅表示空集，而{∅}表示的是含∅这个元素的集合，是元素与集合的关系，应改为∅∈{∅}；④错误，∅表示空集，而{0}表示含有一个元素0的集合，并非空集，应改为∅ {0}；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，是元素与集合的关系．2、答案 A解析集合{1,2}的子集有∅，{1}，{2}，{1,2}，共4个．3、答案 B解析x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N是M的真子集，其对应的Venn图如选项B所示．4、答案 4解析∵B⊆A，B＝{3,4}，A＝{－1,3，m}，∴4∈A，∴m＝4.5、答案a≥1解析∵B A，∴a≥1.1．知识清单：(1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合间关系的判断．(2)求子集、真子集的个数问题．(3)由集合间的关系求参数的值或范围．2．方法归纳：数形结合、分类讨论．3．常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，忽视是否能够取到端点．。
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集合间的基本关系
说客内容《集合间的基本关系》各位老师早上好，我是×××号考生。
今天我们一起来探讨人教版高中数学一年级第一册上第一章第一节《集合间的基本关系》。
下面我从教材分析，教法学法分析和教学程序设计三个方面进行说课。
第一、教材地位和内容分析:
1、集合论是现代数学的基础。
在高中数学中，集合的初步知识与其他数学内容有密切的联系，如函数，不等式，三角函数等。
同时，集合的基本知识也是学习、掌握和运用数学语言的基础。
本节内容是在同学们学习了集合的基本概念和表示方法的基础上来继续研究集合间的基本关系，这是一个递进过程，是对集合初步知识认识的的进一步加深，也为后继数学内容的学习打下基础。
本节内容包括集概念。
以及表示这些合的包含和相等关系的含义，集合的子集和真子集，空集等
关系和概念所对应的数学符号和集合的韦恩(wenn)图等。
涉及的概念和数学符号不多，建议安排一个课时。
2、结合教材内容，我拟定如下教学目标:
(1)在知识技能上，理解和掌握集合间的包含和相等的关系，能够识别给定集合的子集和真子集，在集合的情境中理解空集的含义。
并能够运用包含和相等去表示集合的简单关系。
(2)在过程和方法上，通过创设合理的问题情境，引导学生观察、分析、类比、联想、归纳和概括，自主构建集合的基本关系的概念，通过学生主动参与，培养学生分析、解决和归纳问题的能力。
(3)在情感态度和价值观上，通过启发引导、类比猜想的方法学习本节内容，体会知识的获得过程，培养学生的自主性能力，养成良好的数学思维习惯和严谨的求学态度。
3、结合课程标准，在吃透教材的前提下，把握学生的具体情况，确定教学重点是:理解集合的包含和相等的含义，能够识别给定集合的子集和子集，空集的概念; 难点是:对集合相等概念的理解和把握，对空集概念的理解，以及区别属于和包含关系所对应的数学符号。
二、下面为讲清楚重难点，完成预定的教学目标，我从教法和学法上谈谈: (一)心理学研究表明，只有让学生参与和体验知识获得过程，他们才能加以灵活运用,所以要注重学生的自主性探索，结合本节内容。
我采用启发引导探究相结合的教学方法，通过类比、猜想、合作讨论，并借助多媒体等手段完成教学。
如通过启发学生类比实数间的大小关系，引导学生猜想两个集合间的关系;激发学生的求知欲，调动学生的积极性，在教师的指导下积极思考，相互讨论，在活跃的课堂氛围中获得知识。
(二)在学法上，当今社会知识更新日新月异，所以学生获得学会学习的方法要远比获得知识本身更重要。
因此，在教学活动中，应该加强学生学习方式的转变，提倡学习方式的多样化，鼓励学生找到属于自身的学习方法，变被动为主动学习。
通过创设合理的数学情境，来引导学生积极参与到教学活动中来，以独立思考，动手实践和合作交流等形式，在生生互动，师生互动的良好气氛中培养学生收集处理信息，获取知识和合作的能力。
三、最后，我来谈一谈这堂课的教学程序设计:
(1)新课程标准指出，应该让学生在具体生动的情境中获得知识。
结合教材，我选择课本中的类比问题作为本堂课的课题引入:已知，任意两个实数a，b，则它们的大小关系可能是a<b或a=b或a>b，问题，那么对任意的两个集合A，B，它
们之间有什么关系呢,，通过问题情境的创设，激发学生的求知欲和积极性。
并
空间，有利于充分发挥学生的主动性和想象力; 给学生留出思考和交流
(2)由学生说出想法和结果，教师通过恰当点评，引出本节知识内容，加以重点讲解，如对其中的重点难点内容，可以通过类比，举反例，抓关键语句和学生相互交流等形式引起学生的注意和兴趣。
在这个过程中，教师要改变传统的教学模式，以学生学习的帮助者的形象共同参与教学过程，体验知识的形成过程。
(3)数学学习的要点在于运用，所以，有效的学习过程不能仅仅靠模仿和记忆去掌握，它还得结合教师的精析、学生的精炼和课后作业。
在教师精析和学生精炼过程中，不必要在题型的难度上苦苦纠缠，而应该选择具有典型性和代表性的题型。
如在本节内容中，我们可以选择例题三和练习一作为教师精析和学生精炼一类题型。
这样不仅有利于加深学生对子集、真子集和包含关系的理解，也让学生学会分类讨论的思想。
(4)数学知识的获得是发现、分析、解决和归纳的一个完整过程。
因此，归纳是重要的一个环节，它不仅是对所学知识的一个回顾，也为学生知识结构体系的形成起非常重要的作用。
如教师可以通过提这样的问题帮助学生，通过本节内容的学习，你学到了哪些知识和数学方法，在解答过程中能用和会用那些知识等。
(5)最后，作业布置。
在这一模块中，可以分两个部分完成，学生必做题和选做题，其中必做部分强调本节内容的运用，强调学生独立思考和独立完成;而选做部分则强调知识间的链接和学生的合作讨论。
通过这样两个部分的安排，可以让不同层次的学生都能获得成功的喜悦，看到自己的潜能，这样有利于激发学生的主动性。
培养学生的自主性学习能力。
以上我从教材分析、教法学法分析和教学程序设计进行说课，我的说课结束，谢谢各位评委～。