导数求函数单调区间问题PPT教学课件
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高三数学利用导数判断函数的单调性PPT教学课件
• 注意：(1)用曲线的切线的斜率来理解法则， 当切线斜率非负时，切线的倾斜角小于90°， 函数曲线呈向上增加状态；当切线斜率为负 时，切线的倾斜角大于90°，小于180°，函数 曲线呈向下减少状态．
• (2)如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在 这个区间上等于常数．
• (3)对于可导函数f(x)来说，f′(x)>0是f(x)在(a， b)上为单调增函数的充分不必要条件，f′(x)<0 是f(x)在(a，b)上为单调减函数的充分不必要 条件，例如：f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(0) ＝0，所以在x＝0处不满足f′(x)>0.
• [答案] C
• 求函数f(x)＝3x2－2lnx的单调区间．
[解析] 函数的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝6x－2x＝23xx2－1. 由 f′(x)>0， 即3x2x－1>0，得 x> 33， ∴函数 f(x)的增区间为( 33，＋∞)，
•判断或证明函数的单调性
函数．
试证明：函数 f(x)＝lnxx在区间(0,2)上是单调递增
•构造函数证明不等式
已知 0<x<π2，求证 tanx>x. [解题提示] 设 f(x)＝tanx－x，x∈[0，π2)，注意到 f(0)＝tan0 －0＝0，要证的不等式变为：当 0<x<π2时，f(x)>f(0)．这只需证 明 f(x)在[0，π2)上单调递增．
当 x>0 时，证明不等式 ln(x＋1)>x－12x2. [解析] 令 f(x)＝ln(x＋1)－x＋12x2，定义域为(－1，＋∞)， 则 f′(x)＝1＋1 x－1＋x＝1＋x2 x. 当 x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)在(－1，＋∞)上是增函数． 于是当 x>0 时，f(x)>f(0)＝0，
函数的单调性与导数课件(共13张PPT)
a
b用导数确定函数大致图象
已知导函数的下列信息：
分析：
当2 x 3时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递减 当x 3或x 2时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递增
当x 3或x 2时，f '( x) 0. f ( x)图象在此两处
归纳小结
1.“导数法” 求单调区间的步骤：
①求函数定义域
②求 f '( x)
③令f '( x) 0解不等式 f ( x)的递增区间
f '( x) 0解不等式 f ( x)的递减区间
2.如果函数具有相同单调性的单调区间不止一个，
如何表示单调区间？
不能用“∪”连接，应用“，”隔开
水以匀速注入下面四种底面积相同的容器中， 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函 数关系图象.
(1)→B (2)→A (3)→D (4)→C
问题 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增， 那么f′(x)一定大于零吗？
如f(x)=x3,x∈(-1,1)
不一定，应是 f′(x)≥0.
结论 若函数单调递增，则
若函数单调递减，则
已知 ，函数
在区间
上是增函数，求实数 的取值范围．
求下列函数的单调区间
在(, 0)上递减
o
在(0, )上递增
x
导数的正负
f '(x) 1 0
f '(x) 1 0 f '(x) 2x 0 f '(x) 2x 0
在某个区间(a, b)内,
f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递增 f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递减
高考数学备考复习课件：利用导数求函数的单调区间(共18张PPT)
/ 1 2 1 2
x 0, 得0 x e
, f' x 0, 得x e
/
1 2 所以f x 的单调减区间为 0, e , 1 2 f x 的单调增区间为 e , .
例2. 求函数f x （x -1 ） ln x的单调区间。
2
分析：f x （x 2 -1） ln x的定义域为 0， + ， 1 1 f x 2 x ln x x- x 2 ln x 1 2 x x 观察f / x 0, 得x=1，
/
当0 x 1时，f / x 0, 当x 1时，f / x 0 所以f x 的单调减区间为 0,1 f x 的单调增区间为 1， +
2013年江苏
20.已知函数f x =lnx-ax,g x =e x -ax,其中a为实数.
（1）若f x 在 1 ， + 上是单调减函数，且g x 在
1, 上有最小值，求a的取值范围;
21.已知函数f x =（ax 2 +bx+c)e x 在 0,1 上单调递减 且满足f 0 =1,f 1 =0.（1）求a的取值范围;
例3. 求函数f x （x +1 ） ln x 的单调增区间。
2
分析：f x （x 2 +1） ln x的定义域为 0， + ， 1 1 f x 2 x ln x x + x 2 ln x 1+ 2 x x 1 令g x =2lnx+1+ 2 ， x 2 2 2 x 1 x 1 / g x 3 3 x x x 当0 x 1时，g / x 0, 当x 1时，g / x 0
x 0, 得0 x e
, f' x 0, 得x e
/
1 2 所以f x 的单调减区间为 0, e , 1 2 f x 的单调增区间为 e , .
例2. 求函数f x （x -1 ） ln x的单调区间。
2
分析：f x （x 2 -1） ln x的定义域为 0， + ， 1 1 f x 2 x ln x x- x 2 ln x 1 2 x x 观察f / x 0, 得x=1，
/
当0 x 1时，f / x 0, 当x 1时，f / x 0 所以f x 的单调减区间为 0,1 f x 的单调增区间为 1， +
2013年江苏
20.已知函数f x =lnx-ax,g x =e x -ax,其中a为实数.
（1）若f x 在 1 ， + 上是单调减函数，且g x 在
1, 上有最小值，求a的取值范围;
21.已知函数f x =（ax 2 +bx+c)e x 在 0,1 上单调递减 且满足f 0 =1,f 1 =0.（1）求a的取值范围;
例3. 求函数f x （x +1 ） ln x 的单调增区间。
2
分析：f x （x 2 +1） ln x的定义域为 0， + ， 1 1 f x 2 x ln x x + x 2 ln x 1+ 2 x x 1 令g x =2lnx+1+ 2 ， x 2 2 2 x 1 x 1 / g x 3 3 x x x 当0 x 1时，g / x 0, 当x 1时，g / x 0
函数的单调性与导数PPT教学课件
A1型最密堆积（配位数为12）（例如铜）
2.离子晶体属非等径圆球的密堆积方式：
大球先按一 定的方式做 等径圆球密 堆积
小球再填充 到大球所形 成的空隙中
配位数：一个原子或离子周围所邻接的原子 或离子数目。
NaCl：Cl－ 离 子密先堆以积，AN1a型＋ 离紧 子再填充到空 隙中。
ZnS： S2－离子 先以A1型紧密 堆积，Zn2＋ 离 子再填充到空 隙中。
第一层:密置型排列 第二层:将球对准 1，3，5 位。
1
6
2
5
3
4
12
6
3
54
对准 2，4，6 位，其情形是一样的 吗？
密置双层只有一种
思考
取A、B两个密置层，将B层放 在A层的上面，有几种堆积方式？ 最紧密的堆积方式是哪种？它有 何特点？
2
A
B
1
第一种排列
A
B
12
6
3
A
54
B
A
于是每两层形成一个 周期，即 AB AB 堆 积方式。
对于给定区间上的函数f(x): 1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时， 都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数. 2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时， 都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数 对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性 质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x) 的单调区间。
1. 等径圆球的密堆积
把乒乓球装入盒中，盒中 的乒乓球怎样排列才能使 装入的乒乓球数目最多？
函数的单调性与导数-图课件
函数的单调性与导数-图 课件
通过图示方式深入探讨函数的单调性单调性
定义
函数单调性是指函数在 定义域内逐渐增大或逐 渐减小的趋势。
单调递增的函数图像
函数图像由左下向右上 倾斜。
单调递减的函数图像
函数图像由左上向右下 倾斜。
如何判断函数的单调性
一阶导数与函数单调性的关系
当函数的一阶导数永远大于零时，函数递增； 当一阶导数永远小于零时，函数递减。
二阶导数与函数凹凸性的关系
当函数的二阶导数大于零时，函数凹；当二 阶导数小于零时，函数凸。
导数与函数单调性的应用
1 极值问题
利用导数找出函数的 极值点，从而解决实 际问题。
2 函数最大值最小
值问题
导数能够帮助我们判断函数的单调性和凹凸 性。
如何应用导数解决实际问题
导数不仅仅是理论工具，还可以解决许多实 际问题。
学习建议
1 深入理解导数的概念
掌握导数的定义和性质，加深对导数与函数关系的理解。
2 多做练习题
通过大量的练习题巩固导数与函数单调性的知识。
通过导数的性质，求 出函数的最大值和最 小值。
3 拐点问题
使用导数的变化来确 定函数的拐点。
实例分析
对给定函数F(x)进行单调性分析
通过分析函数F(x)的导数，确定函数F(x)在不同 区间的单调性。
利用导数求函数的最值
运用导数的概念和性质，求出函数的最大值和 最小值。
总结与思考
函数单调性与导数的关系
通过图示方式深入探讨函数的单调性单调性
定义
函数单调性是指函数在 定义域内逐渐增大或逐 渐减小的趋势。
单调递增的函数图像
函数图像由左下向右上 倾斜。
单调递减的函数图像
函数图像由左上向右下 倾斜。
如何判断函数的单调性
一阶导数与函数单调性的关系
当函数的一阶导数永远大于零时，函数递增； 当一阶导数永远小于零时，函数递减。
二阶导数与函数凹凸性的关系
当函数的二阶导数大于零时，函数凹；当二 阶导数小于零时，函数凸。
导数与函数单调性的应用
1 极值问题
利用导数找出函数的 极值点，从而解决实 际问题。
2 函数最大值最小
值问题
导数能够帮助我们判断函数的单调性和凹凸 性。
如何应用导数解决实际问题
导数不仅仅是理论工具，还可以解决许多实 际问题。
学习建议
1 深入理解导数的概念
掌握导数的定义和性质，加深对导数与函数关系的理解。
2 多做练习题
通过大量的练习题巩固导数与函数单调性的知识。
通过导数的性质，求 出函数的最大值和最 小值。
3 拐点问题
使用导数的变化来确 定函数的拐点。
实例分析
对给定函数F(x)进行单调性分析
通过分析函数F(x)的导数，确定函数F(x)在不同 区间的单调性。
利用导数求函数的最值
运用导数的概念和性质，求出函数的最大值和 最小值。
总结与思考
函数单调性与导数的关系
高中数学《利用导数解决函数的单调性问题》公开课优秀课件
f(x)在(a，b)内是减函数．√( )
2
函数的单调性与导数的关系
条件
结论
f′(x)＞0
f(x)在(a，b) 内_单__调__递__增__
函数y＝f(x)在区间 (a，b)上可导
f′(x)＜0
f(x)在(a，b) 内__单__调__递__减_
f′(x)＝0
f(x)在(a，b) 内是_常__数__函__数
(0,2),
a3
课堂小结
一、本节课所学知识 1、导数与函数单调性的关系； 2、求函数的单调区间； 3、求参数的取值范围.
课后作业
1、限时训练P258页A组。 2、课后探究：
已知函数f ( x) x3 3ax2 2a2 x 1在[0,2]上是单调递增函数， 求参数a的取值范围.
2、利用导数解决 函数的单调性问题
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)
＞0×.( )
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在
此区间内没有单调性．( √ )
(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则
增区间为,0,2,+,减区间为0, 2
考点2 含参数函数的单调性
例2：已知函数f (x) 1 x3 ax2 8a2x，讨论f (x)的单调区间. 3
解：f '(x) x2 2ax 8a2 0
(x 2a)(x 4a) 0 x 2a或x 4a 当a 0时,增区间(, 2a), (4a, )，减区间(2a, 4a)； 当a 0时,增区间(, )，无减区间； 当a 0时,增区间(, 4a), (2a, )，减区间(4a, 2a).
2
函数的单调性与导数的关系
条件
结论
f′(x)＞0
f(x)在(a，b) 内_单__调__递__增__
函数y＝f(x)在区间 (a，b)上可导
f′(x)＜0
f(x)在(a，b) 内__单__调__递__减_
f′(x)＝0
f(x)在(a，b) 内是_常__数__函__数
(0,2),
a3
课堂小结
一、本节课所学知识 1、导数与函数单调性的关系； 2、求函数的单调区间； 3、求参数的取值范围.
课后作业
1、限时训练P258页A组。 2、课后探究：
已知函数f ( x) x3 3ax2 2a2 x 1在[0,2]上是单调递增函数， 求参数a的取值范围.
2、利用导数解决 函数的单调性问题
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)
＞0×.( )
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在
此区间内没有单调性．( √ )
(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则
增区间为,0,2,+,减区间为0, 2
考点2 含参数函数的单调性
例2：已知函数f (x) 1 x3 ax2 8a2x，讨论f (x)的单调区间. 3
解：f '(x) x2 2ax 8a2 0
(x 2a)(x 4a) 0 x 2a或x 4a 当a 0时,增区间(, 2a), (4a, )，减区间(2a, 4a)； 当a 0时,增区间(, )，无减区间； 当a 0时,增区间(, 4a), (2a, )，减区间(4a, 2a).
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⑤
Ｈ Ｈ② ①
Ｈ―Ｃ―Ｃ―Ｏ―Ｈ
③ ④Ｈ Ｈ
反应 与金属钠反应 Cu或Ag催化氧化 浓硫酸加热到170℃ 浓硫酸加热到140℃ 浓硫酸条件下与乙酸加热 与HX加热反应
断键位置 ①
①③ ②④ ① 、②
① ②
饱和一元醇定义：
醇分子中烃基为烷烃基 ，且醇中只有一个羟基 ， 那么，这种醇就是饱和一元醇，如甲醇、乙醇等。
H O H
H O HH O
C2H5
比较下表含相同碳原子数、不同羟基数的醇的沸点
名称
分子中羟基数目
沸点/℃
乙醇
1
78
乙二醇
2
197.3
1-丙醇
1
97.2
1，2-丙二醇
2
188
1，2，3-丙三醇
3
259
〔结论〕含相同碳原子数、不同羟基数的多元醇的沸点
比一元醇二元醇都高，多元醇具有易溶于水的性质。
〔原因〕是因为多元醇分子中羟基多，一方面增加了分子间 形成氢键的几率；另一方面增加了醇与水分子间形成氢键的几率。
()
错解 C 错解分析 一般地，由f′(x)>0能推出f(x)为增函 数，反之，则不一定．如函数f(x)＝x3在区间(－∞， ＋∞)上单调递增，但是f′(x)≥0.因此f′(x)>0是函 数f(x)为增函数的充分不必要条件． 正解 A
二、混淆概念 【例2】 已知x＝1是函数f(x)＝m x3－3(m ＋1)x2＋
5.饱和一元醇的水溶性
饱和一元醇分子中碳原子数1～3的醇能与水以任意 比例互溶；分子中碳原子数4～11的醇为油状液体， 仅部分溶与水；分子中碳原子更多的高级醇为固体， 不溶与水；
【规律】CnH2n+1OH可以看成是H-OH分子中的一个H原 子被烷基取代后的产物。当R-较小时，醇分子与水分子 形成的氢键使醇与水能互溶；随着分子中的R-的增大， 醇的物理性质接近烷烃。
学性质及应用。
1、CH3CH2OH 2、
3、 4、 5、
CH2OH
OH
6、
左侧有机物中
属于醇的是 1 3 4 ；
属于酚的是
256
。
两者相似之处？ 体会醇与酚的区别。
CH3CH2OH
乙醇
乙二醇
丙三醇
茶多酚
苯酚
漆酚
思考●讨论 什么是醇？什么是酚？
醇：烃分子中饱和碳原子上的一个或几 个氢原子被羟基取代生成的有机化合物
(2)与羧酸反应
乙醇和乙酸在浓硫酸催化并加热下 可以发生酯化反应生成乙酸乙酯和水， 实验证明，其他的醇和羧酸也可以发生 酯化反应生成酯和水。
3、醇氧化反应
②①
R1
R1
2 R2—C—O③—H + O2
H
Cu △
2 R2—C=O + 2H2 O
生成醛或酮
①-③位断键
〔思考〕是不是所有的醇都能被氧化成 醛？
小结
• 饱和一元醇 1、通式 CnH2n+1OH
2、随着C数的增多，熔沸点逐渐增，相对密度呈增大趋 势。 对于同碳数的，支链越多，熔沸点越低，密度越小。
3、随着碳数增多，水溶性降低。 4、比Mr接近的烷烃或烯烃的沸点要高（氢键的影响）.
二、醇的化学性质
〔阅读〕P57交流研讨，以1-丙醇为例分析结构
名称 相对分子质量
பைடு நூலகம்
沸点/℃
甲醇
32
65
乙烷
30
－89
乙烯
28
－102
乙醇
46
78
丙烷
44
－42
丙烯
42
－48
〔结论〕从表2-2-1数据可以看出：饱和一 元醇的沸点比与其相对质量接近的烷烃或烯 烃的沸点要高。 〔原因〕这主要是因为一个醇分子中羟基上 的氢原子可与另一个醇分子中羟基上的氧原 子相互吸引形成氢键，增强了醇分子间的相 互作用
nx＋1的一个极值点，其中m 、n∈R，m <0. (1)求m 与n的关系； (2)求f(x)的单调区间．
错解 (1)f′(x)＝3m x2－6(m ＋1)x＋n.因为x＝1
是函数f(x)的一个极值点，所以f′(1)＝0，即 3m －6(m ＋1)＋n＝0，所以n＝3m ＋6.
(2)因为f′(x)＝3m x2－6(m ＋1)x＋n，此函数
酒精饮料 的中乙醇
酒精燃料 的中乙醇 汽车发动机防冻
液中的乙二醇
化妆品中 的丙三醇
茶叶中的茶多酚
药皂中的苯酚
漂亮漆器上的漆酚
教学目标：
1、知道醇的的主要类型，能列举一些常见的 醇并说明其用途。
2、能够利用系统命名法对简单的饱和一元醇 进行命名。
3、了解饱和一元醇的沸点和水溶性特点。 4、根据饱和一元醇的结构特征，说明醇的化
3.醇的命名
1.选主链。选含—OH的最长碳链作主链，根据碳
原子数目称为某醇。
2.编号。从离羟基最近的一端开始编号。 3.定名称。在取代基名称之后，主链名称之前用
阿拉伯数字标出—OH的位次，且主链称为某醇。 羟基的个数用“二”、“三”等表示。
4. 醇的重要物理性质
〔阅读〕P56页表2-2-1相对分子质量相近的醇与 烷烃、烯烃的沸点比较
酚：芳香烃分子中苯环上的一个或几个 氢原子被羟基取代生成的有机化合物
一、醇的概述
1. 醇的分类
（1）根据羟基的数目分
（2）根据烃基是否饱和分
一元醇：如CH3OH 甲醇
二元醇：CH2OH 乙二醇 CH2OH
多元醇：CH2OH 丙三醇 CHOH CH2OH
饱和醇(含饱和一元醇)
不饱和醇 CH2=CHCH2OH
3a
所以x>
1 － 或x<－
3a
1 －；
3a
f′(x)>0，即3ax2＋1>0，
解得－
－ 1 <x< 3a
－1. 3a
综上所述，a<0时，f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区
间．其中增区间为
－3a ，－
3a
减区间为－∞，
3－a3a、－
3－a3a， 3－a3a，＋∞.
返回
第二节 醇 酚
（第一课时）
件，显然，a>0时，函数f(x)在R上为增函数不满足题
意；另外，a<0时没有研究f′(x)>0的情况，更没有
讨论a＝0的情况． 正解 f′(x)＝3ax2＋1，若a≥0时，f′(x)＝3ax2＋
1>0.f′(x)>0恒成立，所以函数f(x)在R上为增函数．
此时f(x)只有一个单调区间，与已知矛盾． 若a<0时，f′(x)<0，即3ax2＋1<0， 解得x2>－ 1 ，
2. 几种典型的醇的物理性质和用途：
名 俗名 色、态、味 毒
称
性
甲 木醇 无色、有酒 有
醇
精气味、具 毒
有挥性液体
乙
无色、粘稠、 无
二
甜味、液体 毒
醇
丙 甘油 无色、粘稠、 无
三
甜味、液体 毒
醇
水溶性
与水互 溶
与水互 溶
与水互 溶
用途
燃料、化工 原料
防冻液、合 成涤纶、
化妆品、制 炸药（硝化 甘油）
由上表可知，当m <0时，f(x)在－∞，1＋m2 上单调
递减，在
1＋ 2 ，1 m
上单调递增，在(1，＋∞)上单
调递减．
三、未理解题意 【例3】 设f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，试确
定a的取值范围，并求出这三个单调区间． 错解 f′(x)＝3ax2＋1，若a>0时，则f′(x)>0，得3ax2
m ＋1 是二次函数，它的对称轴为x＝ .又因为m <0，
m
所以函数f(x)在x∈－∞，m
＋m 1上是增函数，
在x∈m
＋m 1，＋∞上是减函数．
错解分析 此题要求的是函数f(x)的单调区间，而错 解求出的是导函数的单调区间；另外，错解利用函
数f′(x)的单调区间取代f(x)的单调区间，它们的单 调性是不一定相同的．(1)的结果是正确的． 正解 (1)略．
(2)f′(x)＝3m x2－6(m ＋1)x＋n ＝3m (x－1)x－1＋m2 ， 当m <0时，1>1＋ 2 .
m
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化如下表：
x
(,1 2 ) 1＋ 2 (1 2 ,1)
1 (1，＋∞)
m
m
m
f′(x)
－
f(x) 单调递减
0
极小 值
＋
0
－
单调递增
极大 值
单调递减
＋1>0.因为此式恒成立，所以函数f(x)在R上为增函数．
若a<0时，f′(x)<0，得3ax2＋1<0，解得x2>－ 1 ， 3a
所以x>
1 － 或x<－
3a
1 －.
3a
综上所述，a>0时，函数f(x)在R上为增函数；a<0时，函数
f(x)在－∞，－
－31a和
－31a，＋∞上为减函数．
错解分析 题意是求恰有三个单调区间时a满足的条
1 羟基的反应
(1)取代反应
⊙醇与浓的氢卤酸（HCI、HBr、HI）发生反应时分
子中的碳氧键断裂，羟基被卤原子取代，生成相应的
卤代烃和水
△
C2H5OH + HBr
C2H5Br + H2O
⊙在酸做催化剂及加热下，醇发生分子间的取代生 成醚和水
(2)消去反应
含有 B－H醇在浓硫酸及一定温度下能发 生消去反应生成烯烃