矩阵的奇异值分解
奇异值分解的几何解释
奇异值分解的几何解释
奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种矩阵分解的方法，可以将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积。
在几何上，SVD可以用于对数据集进行降维，以及在数据集上进行主成分分析。
在几何上，矩阵可以被视为表示线性变换的操作。
奇异值分解将矩阵分解成三个基本的线性变换的乘积：旋转、缩放和旋转的逆操作。
这三个变换可以用来描述原始矩阵的几何性质。
具体来说，给定一个矩阵A，SVD将其分解为以下形式：
A = UΣV^T
其中，U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
在几何上，矩阵A的列空间由矩阵U的列向量确定，而A的行空间由矩阵V的列向量确定。
奇异值则表示了变换过程中的缩放因子，可以用来量化数据的重要程度。
SVD的几何解释可以理解为对原始数据进行一系列变换，从而找到对数据进行紧凑表示的最佳方式。
这种变换可以帮助我们找到数据中的主要模式和特征，从而进行数据压缩、降噪、特征提取等任务。
矩阵的奇异值分解
矩阵的奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种重要的矩阵分解方法，可以将一个复杂的矩阵分解为三个简单的矩阵相乘的形式。
SVD 可以应用于各种领域，如图像处理、语音识别、推荐系统等。
SVD 分解将一个m × n 的矩阵 M 分解为U × Σ × V^T 的形式，其中 U 是一个m × m 的酉矩阵（unitary matrix），Σ 是一个m × n 的矩阵，只有对角线上的元素大于等于 0，V^T 是一个n × n 的酉矩阵。
通常情况下，SVD 可以通过奇异值分解定理进行求解。
首先，我们需要计算矩阵M × M^T 和M^T × M 的特征向量和特征值。
设 M 是一个m × n 的矩阵，M^T 是它的转置矩阵，那么M × M^T 是一个m × m 的矩阵，M^T × M 是一个n × n 的矩阵。
我们可以通过特征值分解方法求解这两个矩阵的特征向量和特征值。
然后，我们可以将M × M^T 和M^T × M 的特征向量和特征值组成两个酉矩阵 U 和 V。
特征值的平方根构成了Σ 矩阵的对角线元素。
我们可以将 U 和V 按照特征值降序排列，以保证U × Σ × V^T 是一个矩阵。
最后，我们可以利用奇异值分解定理，将 M 分解为U × Σ × V^T 的形式。
这样的分解可以帮助我们理解原始矩阵的结构和特征，提取重要信息，并进行维度降低等操作。
在某些情况下，SVD 还可以作为矩阵的伪逆（pseudo-inverse），帮助我们解决线性方程组等问题。
SVD 分解在各个领域都有广泛的应用。
在图像处理中，SVD 可以用于图像压缩和降噪等操作。
在语音识别中，SVD 可以用于语音特征提取和模式匹配。
矩阵的奇异值分解(MATLAB自编)实验报告
end B=B(:,1:n); B=B.'; V=qr(B); V1=V(:,1:r); U(:,1:r)=A*V1*(inv(D(1:r,1:r))); U(:,r+1:m)=null(A*A'); end
2.5 运行与数据分析
以教材上的 A=[1 0;0 1;1 0]为例来验证上述求矩阵的奇异值分解 程序的正确性。在 matlab 运行结果如下： >> A=[1 0;0 1;1 0]; >> [U1,D1,V1] = SVDecom(A) U1 = 0.7071 0 0.7071 D1 = 1.4142 0 0 V1 = 1 0 0 1 0 1.0000 0 0 1.0000 0 0.7071 0 -0.7071
s11 1 1 即有 U1=AV1 .其中 =
s2 1
sr 1
第四步： 解方程组 AAHy = 0， 对基础解系单位正交化可以求得 γr+1， γr+2，…，γm，令 U =（γ1 , γ2 , … , γr , γr+1 , γr+2 , … , γm）.
2 矩阵的奇异值分解
2.1 原理
设 A∈Cm×n，s1，s2，…，sr 是 A 的非零奇异值，则存在 m 阶酉矩 阵 U∈Cm×n 及 n 阶酉矩阵 V，m× n 矩阵 D，
s1 0 0 0 0 D= 0 0 sr 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0
使得 A=UDVH 这就是矩阵 A 的奇异值分解.
2.2 算法
第一步：求出 AHA 的特征值 1 ≥ 2 ≥…≥ r ＞0= r 1 =…= n ，确定非 零奇异值 si = i ，i=1,2 …, r. 第二步：分别求出矩阵 AHA 的对应于特征值 i 的特征向量并将其 单位正交化，得到标准正交向量组 α1 , α2 , … , αn 令 V=（α1 , α2 , … , αn）=（V1 , V2） ，V1=（α1 , α2 , … , αr） ，V2= （αr+1 ,αr+2 , …, αn） 第三步：若 U=（γ1 , γ2 , … , γr , γr+1 , γr+2 , … , γm）=（U1 , U2） ，其 中 U1=（γ1 , γ2 , … , γr） ， U2=（γr+1 , γr+2 , … , γm） ， 则因（Aα1 , Aα2 , … , Aαr）=（s1γ1 , s2γ2 , … , srγratlab 自带求解矩阵奇异值分解函数： [U，S，V] = svd(A)其 中 U 就是所求的 U 矩阵，S 是所求的对角阵，V 就是所求的酉矩阵
Matrix3-2矩阵的奇异值分解
左奇异向量
V=[v 1，v2，…，vr ，… ，v n] =[V1 V2]∈C n×n的列向 量是空间C 的标准正交基。 量是空间C n的标准正交基。 U=[u 1，u2，…，ur ，… ，u m] =[U1 U2]∈C m×m的列 向量是空间C 的标准正交基。 向量是空间C m的标准正交基。
U1 的列向量是R(A)的标准正交基。 的列向量是R(A)的标准正交基 的标准正交基。 U2的列向量是R ⊥ (A)的标准正交基。 的列向量是R (A)的标准正交基 的标准正交基。 右奇异向量 V2的列向量是空间N(A)的标准正交基。 的列向量是空间N(A)的标准正交基 的标准正交基。 V1的列向量是空间 N ⊥ (A) 的标准正交基。 的标准正交基。
2. 奇异值的定义：(P.197) 奇异值的定义： A∈C m×n，秩(A)=r，设AHA的特征值λ1 ≥ λ2 ≥… ≥ )=r， 的特征值λ λr > 0，λr+1= λr+2 =…=λ n =0.，则矩阵的奇异值 =0.
σi = λi , i =1,2,...,r.
3. 特殊矩阵的奇异值： 特殊矩阵的奇异值：
σr
0
0
O
σr
证明思想： 证明思想： 2 ∆ ，⇒酉矩阵V。 AHA正规，VHAHAV= 正规， 酉矩阵V 0
• 令 ui =
Avi
σi
，i=1，2，…，r，得U1=[u1，u2， … ，ur] =1， 扩充为标准正交基 ⇒酉矩阵U。 酉矩阵U
二、矩阵的奇异值分解
1. 定理3.14 定理3 14(P.201)
任何矩阵A 任何矩阵A∈C m×n，秩(A)=r，则存在酉矩阵 (A)=r， U∈C m×m，V∈C n×n，使得 σ1 σ1 σ σ2 H 0 2 A =U V ∆ = O
矩阵奇异值分解的实际应用
矩阵奇异值分解的实际应用
矩阵奇异值分解（SVD）在实际中有很多应用，下面是其中的一些例子：
- 图像压缩：SVD可以将图像的大小最小化到可接受的质量水平，从而在相同磁盘空间中存储更多图像。
它利用了在SVD之后仅获得的一些奇异值很大的原理，通过修剪三个矩阵中的前几个奇异值，可以获得原始图像的压缩近似值，人眼无法区分一些压缩图像。
- 数据降维：在大多数应用中，我们希望将高秩矩阵缩减为低秩矩阵，同时保留重要信息。
SVD可以实现这一目标，通过保留前r个较大的奇异值，来近似表示原始矩阵，从而达到降维的目的。
- 推荐系统：在推荐系统中，SVD可以用于计算用户和项目之间的相似度。
通过将用户和项目的矩阵进行奇异值分解，可以得到一个包含奇异值和左右奇异向量的矩阵。
这些奇异值和奇异向量可以用于计算用户和项目之间的相似度，从而为用户推荐类似的项目。
总之，矩阵奇异值分解在数据压缩、数据降维、推荐系统等方面都有重要的应用，它可以帮助我们从高维数据中提取关键信息，同时保持数据的重要特征。
矩阵的奇异值分解
矩阵的奇异值分解用*A 表示以A 的元素的共轭复数作元素的转置矩阵。
定义1 对n 级复矩阵A ，如果A 满足E AAA A ==**，就叫做酉矩阵。
定义2 对n 级复矩阵A ，如果A 满足A A =*，就叫做埃尔米特（Hermite ）矩阵。
定义3 对n 级复矩阵A ，如果**AA A A =，就叫做正规矩阵。
注1 A A *和*AA 是正规矩阵。
引理1 设A 为n 阶埃尔米特矩阵，则A 的特征值均为实数；引理2 设nn C A ⨯∈，A 为正规矩阵⇔A 酉相似于对角矩阵。
引理3 设n n C A ⨯∈，A 为正规矩阵⇔A 有n 个两两正交的单位特征向量。
设()nm ij a A ⨯=，则A A *与*AA 分别为n 阶和m 阶埃尔米特矩阵。
1、)()()(**AA r A A r A r ==。
证：若0=Ax ，显然有()0*=x A A 。
若()0*=x A A ，则0**=Ax A x ，即()0*=Ax Ax ，因此0=Ax 。
所以()00*=⇔=x A A Ax 。
有)()(*A A r A r = 同理有)()(**AA r A r =，而)()(*A r A r =，于是得证。
证毕2、设()nm ija A⨯=，证明：*AA 与A A *有完全相同的非零特征值r λλλ,,,21 （其中)(A r r=，相同的按重数计算）。
证：因*AA 与A A *均为正规矩阵，根据引理2知它们酉相似与对角矩阵，且对角线元素为其特征值。
由第1题，*AA 与A A *的非零特征值的个数为r 。
设λ为A A *的一个非零特征值，相应的线性无关的特征向量为k ααα,,,21 。
则i i A A λαα=*，k i ≤≤1， （1） 因而()()i i A A AA αλα=*，k i ≤≤1。
（2）设有一组数k a a a ,,,21 ，使02211=+++k k A a A a A a ααα ， 左乘*A ，得到0*2*21*1=+++k k A A a A A a A A a ααα ， 由（1）得到()02211=+++k k a a a αααλ ， 进而02211=+++k k a a a ααα 。
矩阵的奇异值分解
非对称矩阵分解
非对称矩阵的特征值分解
对于非对称矩阵，其特征值可能是复数，因此不能直接进行实数域上的特征值分 解。但是，可以通过引入复数域上的特征向量和特征值，将非对称矩阵分解为复 数域上的特征向量矩阵和特征值矩阵的乘积。
非对称矩阵的奇异值分解
对于任意实非对称矩阵，都可以进行奇异值分解，即$A = USigma V^T$，其中 $U$和$V$是正交矩阵，$Sigma$是对角矩阵，对角线上的元素是$A$的奇异值。 非对称矩阵的奇异值分解在数据降维、图像处理等领域有广泛应用。
通信信道均衡策略
信道均衡原理
在通信系统中，信道均衡是一种用于补偿信道失真、提高通信质量的技术。奇异值分解可用于信道均衡中的信道 矩阵分解，从而实现对信道特性的准确估计和补偿。
基于奇异值分解的信道均衡算法
利用奇异值分解对信道矩阵进行分解，根据得到的奇异值和左右奇异向量设计均衡器，实现对信道失真的有效补 偿。
3
个性化推荐
结合用户历史行为数据和相似度计算结果，为用 户推荐与其兴趣相似的物品或服务。
05 奇异值分解在信号处理和 通信中应用
信号降噪与重构技术
基于奇异值分解的信号降噪
利用奇异值分解能够将信号分解为多个独立成分的特点，对含噪信号进行降噪处理，提高信号质量。
信号重构技术
通过保留奇异值分解得到的主要成分，对信号进行重构，实现信号的压缩和恢复。
特殊类型矩阵分解
正定矩阵的Cholesky分解
对于正定矩阵，可以进行Cholesky分解，即$A = LL^T$，其中$L$是下三角 矩阵。Cholesky分解在求解线性方程组、最优化问题等场景中具有重要作用。
稀疏矩阵的分解
对于稀疏矩阵，可以采用特定的分解方法，如LU分解、QR分解等，以便更有效 地进行存储和计算。这些分解方法在数值计算、科学计算等领域有广泛应用。
矩阵论-奇异值分解
0
0
1
0
0 0 0
2 13 3 13
3
13
-2
13
例：求A=
-1 2
0 0
1 -2
的奇异值分解.(课本例题)
1 2
解：令B=AH
0
1
0 2
,
则BH
B=
2 -4
-4
8
,
I BHB 2
4
( 10), =10, 0
4 8
故B的奇异值为
10，B H
1
例：A=
0
2
0
1 0
，则AH
A=
5 0
0 1
，奇异值为
5，1
1 0 2
而AAH
=
0
1
0 ，I-AAH =( 1)( 5).
2 0 4
定理1：若A与B酉相抵，则A与B有相同的奇异值.
证明：因A与B酉相抵，所以存在酉阵U与V，使B=UAV. 所以BH B=VH AH UH UAV=VH AH AV， 所以BH B与AH A相似， 所以它们的特征值相同， 所以A与B有相同的奇异值.
2
0
极分解：设A Cmr n，则A有以下分解，A=GU，G为半正定 Hermite矩阵，U为酉阵，特别地，当A 满秩时，G为正定 Hermite矩阵, 且分解唯一.
证明：由奇异值分解：
1
A=U1
0
r
0 0
V1H
=
U1
1
0
r
0
U1H
U1V1H
0
同理，r( AAH ) r( AH )=r( A).
引理2：设A Cmn，则 1）AH A与AAH的特征值均为非负实数. 2）AH A与AAH的非零特征值相同且非零特征值的个数为r(A).
矩阵的奇异值分解-推荐下载
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
[整理]矩阵的奇异值分解
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§2 矩阵的奇异值分解定义 设A 是秩为r 的m n ⨯复矩阵，T A A 的特征值为1210r r n λλλ>λλ+≥≥≥=== .则称i σ=(1,2,,)i n = 为A 的奇异值.易见，零矩阵的奇异值都是零，矩阵A 的奇异值的个数等于A 的列数，A 的非零奇异值的个数等于其秩.矩阵的奇异值具有如下性质：（1）A 为正规矩阵时，A 的奇异值是A 的特征值的模；（2）A 为半正定的Hermite 矩阵时，A 的奇异值是A 的特征值；（3）若存在酉矩阵,m m n n ⨯⨯∈∈U V C C ，矩阵m n ⨯∈B C ，使=UAV B ，则称A 和B 酉等价.酉等价的矩阵A 和B 有相同的奇异值.奇异值分解定理 设A 是秩为r (0)r >的m n ⨯复矩阵，则存在m 阶酉矩阵U 与n 阶酉矩阵V ，使得H⎡⎤==⎢⎥⎣⎦O U AV O O ∑∆. ①其中12diag(,,,)r σσσ= ∑，i σ(1,2,,)i r = 为矩阵A 的全部非零奇异值.证明 设Hermite 矩阵H A A 的n 个特征值按大小排列为1210r r n λλλ>λλ+≥≥≥=== .则存在n 阶酉矩阵V ，使得12H H()n λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦O V A A V OO ∑. ②将V 分块为 12()=V V V ，其中1V ，2V 分别是V 的前r 列与后n r -列.并改写②式为2H⎡⎤=⎢⎥⎣⎦O A AV V O O ∑.则有H 2H 112==A AV V A AV O ， ∑. ③由③的第一式可得H H 2H 1111()()r ==V A AV AV AV E ， 或者∑∑∑.由③的第二式可得H 222()() ==AV AV O AV O 或者.令111-=U AV ∑，则H 11r =U U E ，即1U 的r 个列是两两正交的单位向量.记作112(,,,)r =U u u u ，因此可将12,,,r u u u 扩充成m C 的标准正交基，记增添的向量为1,,r m +u u ，并构造矩阵21(,,)r m +=U u u ，则12121(,)(,,,,,,)r r m +==U U U u u u u u是m 阶酉矩阵,且有 H H1121 r ==U U E U U O ，.于是可得H HH1121H 2()()⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦O U U AV U AV AV U O O O U ，，∑∑.由①式可得H H HH 111222r r r σσσ⎡⎤==+++⎢⎥⎣⎦O A U V u v u v u v O O ∑. ④称④式为矩阵A 的奇异值分解.值得注意的是：在奇异值分解中121,,,,,,r r m +u u u u u 是H AA 的特征向量，而V 的列向量是H A A 的特征向量，并且H AA 与H A A 的非零特征值完全相同.但矩阵A 的奇异值分解不惟一.证明2 设Hermite 矩阵H A A 的n 个特征值按大小排列为1210r r n λλλ>λλ+≥≥≥=== .则存在n 阶酉矩阵V ，使得12H H()n λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦O V A A V OO ∑. ②将V 分块为12(,,,)n =V v v v ，它的n 个列12,,,n v v v 是对应于特征值12,,,n λλλ 的标准正交的特征向量.为了得到酉矩阵U ，首先考察m C 中的向量组12,,,r Av Av Av ，由于当i 不等于j 时有H H H H H (,)()()0i j j i j i j i i i j i λλ=====Av Av Av Av v A Av v v v v所以向量组12,,,r Av Av Av 是m C 中的正交向量组.又 2H H H 2||||i i i i i i iλσ===Av v A Av v v ，所以 ||||i i i σ=Av .令1i i i=u Av σ，1,2,,i r = ，则得到m C 中的标准正交向量组12,,,r u u u ，把它扩充成为m C 中的标准正交基11,,,,r r m +u u u u ，令11(,,,,)r r m +=U u u u u则U 是m 阶酉矩阵.由已知及前面的推导可得i i i σ=Av u ，1,2,,i r = ；i =Av 0，1,,i r n =+ ；从而 121(,,,)(,,,,,)n r ==AV A v v v Av Av 0011120(,,,,,)(,,,)0r m r σσσσ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O u u u u u O O 00 ⎛⎫= ⎪⎝⎭ΣO U O O故有=AV U Δ，即H =U AV Δ.例1 求矩阵120202⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的奇异值分解.解 T52424044⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A 的特征值为1239,4,0λλλ===， 对应的单位特征向量依次为T T T 1231,1),(2,1,2)3==-=-v v v .所以5052643⎡-⎢=⎥⎥-⎥⎣⎦V .于是可得()2r =A ，3002∑⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.计算111221∑-⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦U AV ，则A 的奇异值分解为T 300020⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A U V .在A 的奇异值分解中，酉矩阵V 的列向量称为A 的右奇异向量，V 的前r 列是H A A 的r 个非零特征值所对应的特征向量，将他们取为矩阵V 1，则12(,)=V V V .酉矩阵U 的列向量被称为A 的左奇异向量，将U 从前r 列处分块为12(,)=U U U ，由分块运算，有H H H H1111212H H H22122()⎡⎤⎛⎫⎡⎤=== ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭O U U AV U AV U AV AV AV O O U U AV U AV ，∑ 从而 211=A V A V U Σ，=0.正交基；（2）1U 的列向量组是矩阵A 的列空间(){}R =A Ax 的一组标准正交基；（1）1V 的列向量组是矩阵A 的零空间(){}N ==A x Ax 0正交补H ()R A 的一组标准正交基；（1）2U 的列向量组是矩阵A 的列空间(){}R =A Ax 正交补H ()N A 的一组标准正交基.在A 的奇异值分解中，酉矩阵U 和V 不是惟一的.A 的奇异值分解给出了矩阵A 的许多重要信息.更进一步，由于12(,,)m =U u u u ，12(,,,)n =V v v v ，可借助于奇异值分解，将A 表示为H 11H 212H 0(,,,)0m r n σσ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭v O v A u u u O O v H HH 111222r r r σσσ=+++u v u v u v归纳这一结果，有如下定理.定理 设m n ⨯∈A C ，A 的非零奇异值为12r σσσ≥≥≥ ，12,,ru u u 是应于奇异值的左奇异向量，12,,,r v v v 是应于奇异值的右奇异向量，则T TT 111222r r r σσσ=+++A u v u v u v .上式给出的形式被称为矩阵A 的奇异值展开式，对一个k r ≤，略去A 的一些小的奇异值对应的项，去矩阵k A 为T T T111222k k k kσσσ=+++A u v u v u v .则k A 是一个秩为k 的m ×n 矩阵.可以证明，k A 是在所有秩为k 的m ×n 矩阵中，从Frobenius 范数的意义下，与矩阵A 距离最近的一个矩阵.这在实际中应用广泛.例如，在图像数字化技术中，一副图片可以转换成一个m ×n 阶像素矩阵来储存，存储量m ×n 是个数.如果利用矩阵的奇异值展开式，则只要存储A 的奇异值i σ，奇异向量,i i u v 的分量，总计r （m +n +1）个数.取m =n =1000，r =100作一个比较， m ×n =1000000，r （m +n +1）=100（1000+1000+1）=200100.取A 的奇异值展开式，，存储量较A 的元素情形减少了80%.另外，可取k r <，用k A 逼近A ，能够达到既压缩图像的存储量，又保持图像不失真的目的.由矩阵A 的奇异值分解可得T TT 111222r r r σσσ=+++A u v u v u v可见，A 是矩阵T TT 1122,,,r r u v u v u v 的加权和，其中权系数按递减排列120r σσσ≥≥≥> .显然，权系数大的那些项对矩阵A 的贡献大，因此当舍去权系数小的一些项后，仍然能较好的“逼近”矩阵A ，这一点在数字图像处理方面非常有用.矩阵的秩k 逼近定义为T T T111222 1k k k k r σσσ=+++≤≤A u v u v u v秩r 逼近就精确等于A ，而秩1逼近的误差最大.矩阵的奇异值分解不但在线性方程组，矩阵范数，广义逆，最优化等方面有着广泛的应用.而且在数字计算，数字图像处理，信息检索，心里学等领域也有着极重要的应用.有兴趣的读者可参阅有关教科书，如Steven J.Leon 的《线性代数》.３ 矩阵Ａ的奇异值分解与线性变换T A设A 是一个秩为r 的m ×n 复矩阵，即m n⨯∈A C，rank()r =A ，则由()T ==A A βαα可以定义线性变换:n m T →A C C .设矩阵A 有奇异值分解H=A U ΣV ，则将矩阵n n⨯∈V C 的列向量组12,,,n v v v 取作空间nC 的标准正交基；则将矩阵m m⨯∈U C的列向量组12,,m u u u 取作空间mC的标准正交基，则在所取的基下，线性变换T A 对应的变换矩阵就是Σ.设n ∈C α，α在基12,,,n v v v 下坐标向量为T12(,,,)n x x x =x ，=Vx α.那么α在线性变换T A 下的像β具有形式：11H()()()00r r x x T σσ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A A U ΣV Vx U Σx U βαα.其中12,,,r σσσ 是A 的非零奇异值，所以，α的像()T =A βα在m C 中基12,,m u u u 下的坐标是T 11(00)r rx x σσ==y Σx .从中可以看出，当rank()r =A 时，在取定的基下，线性变换()T A α的作用是将原像坐标中的前r 个分量分别乘以A 的非零奇异值12,,,r σσσ ，后（n-r ）分量化为零.如果原像坐标满足条件：222121n x x x +++= ，则像坐标满足条件：2221212()()()1rry y y σσσ+++≤ .在rank()r n ==A 时，等式成立.因此，有如下定理.定理 设H=A U ΣV 是m ×n 实矩阵A 的奇异值分解，rank()r =A ，则nR 中的单位圆球面在线性变换T A 下的像集合是：（1）若r n =，则像集合是mR 中的椭球面；（2）若r n <，则像集合是mR 中的椭球体.例2 设矩阵120202⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，求3R 中的单位圆球面在线性变换:T A y =Ax 下的像的几何图形.解 由例1，矩阵A 有如下奇异值分解T5012300262102043⎛⎫⎡-⎪⎢⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎪=⎥⎪⎢⎥⎢⎥-⎪⎣⎦⎣⎦⎥⎭⎪-⎥⎣⎦⎝⎭A. rank()23,n=<=A由定理，单位球面的像满足不等式221222132y y+≤.即单位球面的像是实心椭圆2212194y y+≤.。
奇异值分解定理
奇异值分解定理奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，常用于数据分析、信号处理、图像压缩等领域。
SVD的定理表明，任何矩阵都可以分解成三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是正交矩阵，另外两个矩阵是对角矩阵，且对角线上的元素称为奇异值。
奇异值分解定理的数学概念比较复杂，需要一定的线性代数基础。
下面将对奇异值分解定理进行详细解释。
给定一个m行n列的实数矩阵A，假设rank(A)为r.那么存在两个实数方阵U(m×r)和V(n×r)，使得：A = UΣV^T其中，U的每一列是A^TA的特征向量，V的每一列是AA^T的特征向量，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
奇异值分解定理的证明比较复杂，这里只给出一个简要的证明思路。
假设A的列向量为{a1, a2, ..., an}，它们构成了一个n维向量空间的一组基。
我们可以将这组基转化为标准正交基，得到一组正交矩阵U和V。
然后我们可以通过对U和V进行一些数学操作，得到UΣV^T形式的矩阵。
最后，我们可以证明这个矩阵确实满足奇异值分解定理的要求。
奇异值分解定理在数据分析中有广泛的应用。
例如，在推荐系统中，我们可以通过SVD将用户对物品的评分矩阵分解，得到用户和物品的特征矩阵，从而进行个性化推荐。
在语音识别中，我们可以通过SVD将语音信号分解成一组基本声音的叠加，从而实现语音信号的降噪和特征提取。
在图像压缩中，我们可以通过SVD将图像分解成一组基本的图像模式，从而实现图像的降噪和压缩。
奇异值分解定理的应用不仅局限于上述领域，还可以应用于信号处理、图像处理、文本处理等其他领域。
通过奇异值分解，我们可以将复杂的问题转化为简单的线性代数运算，从而大大简化问题的求解过程。
然而，奇异值分解也有一些限制。
首先，奇异值分解是一种数值方法，对计算精度要求较高。
其次，奇异值分解的计算复杂度较高，对于大规模矩阵的分解可能会很耗时。
矩阵分解4矩阵的奇异值分解
，
1
1
1
x1 1, x2 1, x3 1
2
0
1
从而正交矩阵
1
6
V
1
6 2
6
1 2 1 2
0
1
3
1
3 1
3
,
，
以及
rankA
2, Σ
3 0
10
计算
U1
AV1 Σ
1
1 0
0
0 1 0
1
11 0
6 1
6 2
6
1 1
6 2
，V1
1
6 2
6
1
2
1 2
例10 求矩阵 A 0 0 的奇异值分解.
0 0
解: 可以求得矩阵
1 2
A
H
A
1 2
0 0
0 0
0 0
0 0
1 2
42
的特征值是 1 5, 2 0 ,对应的特征向量可取为
x1 (1, 2)T , x2 (2,1)T，于是可得 rankA rankAH A 1
，奇异值为 1 5, 2 0 ， Σ ( 5)11 ，且使得
A Pdiag (1 , 2 , , n )Q 1
称上式是A的正交对角分解.
性质4 (1) 设 AC mn ,则A酉相似于对角阵的充分必要条件
是A为正规矩阵;
(2) 设 A R nn ,且A的特征值都是实数,则正交相似于对角矩
阵的充要条件A是为正规矩阵.
二.矩阵的奇异值分解
现在开始论述矩阵的奇异值分解。
λ1 V H ( AH A)V
成立的正交矩阵为
λn
矩阵的奇异值分解
矩阵的奇异值分解
奇异值分解（Singular Value Decomposition,SVD）是一种常见的矩阵分解技术，也被称为矩阵奇异值分解。
它是一种比较复杂的矩阵运算技术，它的本质是将一个矩阵通过线性变换分解成三个不同的矩阵，这三个矩阵有特定的性质，可以用来进一步进行矩阵操作。
最常见的应用场景是用来压缩数据，通常先将原始数据进行SVD 分解，然后再去掉一些次要的特征，从而进行数据压缩。
此外，SVD还可用于探索数据之间的关系、数据预测，它也是推荐系统及机器学习中的一种常用技术手段。
不管是在压缩空间还是数据处理上，都可以利用这一技术。
虽然它的表面上看起来很复杂，但SVD实际上具有很多共享的特性，它可以将任何m × n的实矩阵分解为矩阵的乘积。
它也是有着丰富的表示力，可以把其它分解算法通过一种简单统一的视角来分析。
总的来说，奇异值分解是一种有着广泛应用场景的计算技术，即使是比较复杂的数据处理，也可以利用它来获得有效的结果。
它可以帮助我们分析数据之间的关系，发现有价值的洞察，从而辅助机器学习和推荐引擎，使它们的效果更加的出色。
矩阵奇异值分解
1 5 2 5
2 5 1 5
因此 A UAV
H
1 0 0 5 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
1 5 2 5
2 5 1 5
酉等价：设 A, B C mn , 若存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵
U H AV B, 则称A与B酉等价。 V，使得
矩阵的奇异值分解就是矩阵在酉等价下的一种标准型。
引理1
设A C
则
mn
, A A与AA 的特征值均为非负实数 。
H H
证明 设是AHA的特征值，x是相应的特征向量， AHAx= x
由于AHA为Hermite 矩阵，故是实数。又
0 ( Ax, Ax) ( Ax) ( Ax) x x
H H
x x 0, 0
H
同理可证AAH的特征值也是非负实数。
引理2
设A C
证明
mn r
, 则rank( A A) rank( AA ) rank( A)
T T T x1 1,1,2 ,x2 1,1,0 , x3 1,1,1 ,
3 0 0 1 ,
令 V V1 , V2 ,
1 2 1 2 0 1 2 1 2 0
1 1 1 x3 V1 x1 , x2 , V2 2 3 6
H H
设x是方程组AHAx=0的非0解，
H H
Ax C
m
则由 ( Ax, Ax) x ( A Ax) 0 得 Ax 0; 反之，Ax 0的解也是AH Ax 0的解；
因此, 线性方程组Ax 0与AH Ax 0同解。
矩阵的奇异值分解应用
矩阵的奇异值分解应用
奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种重要的矩阵分解技术，被广泛应用于数据压缩、降维、特征提取等领域。
在实际应用中，SVD不仅可以用于矩阵的逼近表示，还可以用于推荐系统、图像处理、自然语言处理等多个领域。
1. 数据降维
SVD可以将一个大矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是对角阵，对角元素称为奇异值。
这个过程可以帮助我们发现数据中的主要特征，并实现数据的降维。
在机器学习中，数据降维可以提高模型的训练效率和泛化能力。
2. 推荐系统
在推荐系统中，我们常常需要处理用户对物品的评分数据，这些数据通常表示为一个用户-物品评分矩阵。
通过对这个矩阵进行SVD分解，可以得到用户和物品的潜在特征向量，从而实现对用户和物品的推荐，提高推荐的准确性和个性化。
3. 图像压缩
SVD还广泛应用于图像处理领域。
通过对图像的像素矩阵进行SVD分解，可以提取图像的主要特征，实现图像的压缩和重建。
这种方法不仅可以减小图像的存储空间，还可以减少传输时的带宽消耗。
4. 自然语言处理
在自然语言处理中，SVD也被用于词向量的表示。
通过对文本语料矩阵进行SVD分解，可以得到词语的语义特征向量，实现词向量间的语义相似度计算和文本分类等任务。
总之，矩阵的奇异值分解是一种强大的数学工具，在各个领域都有着广泛的应用。
通过对数据进行SVD分解，我们可以实现数据的降维、推荐系统的个性化推荐、图像的压缩和重建、以及自然语言处理中的词向量表示等多个重要任务。
随着数据量的不断增大和机器学习领域的进步，SVD的应用前景将更加广阔。
《矩阵的奇异值分解》课件
矩阵分解：奇异值分解可以将 矩阵分解为三个矩阵的乘积，
便于分析和计算
数据压缩和降维：奇异值分解 可以用于数据压缩和降维，提
高数据处理效率
图像压缩：通过奇异 值分解，可以减少图 像的存储空间，同时 保持图像的质量
图像去噪：奇异值 分解可以用于去除 图像中的噪声，提 高图像的清晰度
直 接 法 ： 通 过 求 解 A ^ TA 和 A ^ TA ^ T 的 特 征 值 和 特 征 向 量 ， 得 到 A 的 奇 异值和奇异向量
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步骤： a. 计算A^TA和A^TA^T b. 求解A^TA和A^TA^T的特征值 和特征向量 c. 计算A的奇异值和奇异向量
矩阵的奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，这三个矩阵分别是左奇异矩 阵、对角矩阵和右奇异矩阵。
左奇异矩阵的每一列都是矩阵的左奇异向量，右奇异矩阵的每一行都是矩阵的右 奇异向量。
对角矩阵的每个元素都是矩阵的奇异值，这些奇异值按照从大到小的顺序排列。
奇异值分解的几何意义在于，它可以将矩阵分解为三个矩阵的乘积，这三个矩阵 分别代表了矩阵的左奇异向量、右奇异向量和奇异值。
优势：提高推荐系统的效率 和准确性，降低计算复杂度
矩阵的奇异值分解 的实现方法
迭代法简介：一种通过迭代求解线性方程组的方法 迭代法步骤：选择初始值，进行迭代，直到满足收敛条件 迭代法应用：在矩阵的奇异值分解中，可以通过迭代法求解 迭代法优缺点：优点是计算简单，缺点是收敛速度较慢，需要选择合适的初始值和迭代参数
矩阵的奇异值分解 的性质
奇异值是矩阵的特征值 奇异值是矩阵的线性变换的度量 奇异值是矩阵的线性变换的基向量 奇异值是矩阵的线性变换的投影矩阵
矩阵的奇异值分解
矩阵的奇异值分解（singular value decomposition, SVD）是线性代数中的一种重要的矩阵分解方法，它在很多领域中都具有广泛应用，包括图像处理、数据压缩、信号处理等。
奇异值分解不仅是矩阵的一种表达形式，还可以帮助我们理解矩阵的结构，从而更好地应用于实际问题中。
奇异值分解的基本思想是将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积。
对于一个m×n的矩阵A，它的奇异值分解可以表示为A=UΣV^T，其中U和V是m×m和n×n维的酉矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
通常情况下，奇异值按照从大到小的顺序排列。
奇异值分解的一个重要应用是矩阵的降维。
对于一个m×n的矩阵A，我们可以选择保留其中最大的k个奇异值，然后将矩阵A分解为UkΣkVk^T，其中Uk、Σk和Vk分别是U、Σ和V的前k列构成的矩阵。
这样得到的矩阵Ak=UkΣkVk^T可以近似地表示原始矩阵A，且Ak是一个更低维度的矩阵。
通过选择合适的k值，可以在保留较高精度的情况下大大降低矩阵的存储和计算复杂度。
奇异值分解还可以用来解决线性方程组的最小二乘解问题。
对于一个m×n的矩阵A和一个m维的向量b，我们可以将矩阵A分解为A=UΣV^T，然后将方程组Ax=b转化为Σy=Ub，其中y=V^Tx。
求解线性方程组Σy=Ub相对简单，通过计算得到向量y后，再通过y=V^Tx计算得到向量x，就得到了原始线性方程组的最小二乘解。
此外，奇异值分解还可以用于计算矩阵的伪逆。
对于一个m×n的矩阵A，它的伪逆A^+可以通过奇异值分解得到。
具体地，如果A的奇异值分解为A=UΣV^T，那么A^+可以表示为A^+=VΣ^+U^T，其中Σ^+是Σ的逆矩阵的转置。
伪逆矩阵在很多问题中都有重要应用，比如在解决过约束线性方程组和最小二乘解的问题中。
总之，矩阵的奇异值分解是线性代数中的一种重要的矩阵分解方法，它具有广泛的应用价值。
奇异值分解的数值计算方法探析(四)
奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种在数值计算中广泛应用的方法，其在数据处理、信号处理、图像压缩、推荐系统等领域发挥着重要作用。
本文将对奇异值分解的数值计算方法进行探析，包括奇异值分解的定义、计算方法、应用以及相关的数学原理。
## 1. 奇异值分解的定义奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积的过程。
对于一个m×n的矩阵A，它的奇异值分解可以表示为：A = UΣV^T其中，U是一个m×m的酉矩阵（酉矩阵的列向量是正交的，并且模为1），Σ是一个m×n的对角阵，对角线上的元素称为奇异值，V^T是一个n×n的酉矩阵的转置。
## 2. 奇异值分解的计算方法奇异值分解的计算方法有多种，其中最常用的方法是基于Jacobi迭代和分治法的SVD分解算法。
这个算法的基本思想是通过迭代使得矩阵A逐渐变成对角矩阵Σ。
通过迭代计算，最终得到矩阵U和V。
另外，还有一种称为截断奇异值分解（Truncated Singular Value Decomposition，TSVD）的方法。
这种方法是在奇异值分解的基础上，将奇异值较小的部分舍去，从而得到一个低秩近似矩阵。
这种方法在降维和压缩数据时非常有效。
## 3. 奇异值分解的应用奇异值分解在数据处理、信号处理、图像压缩、推荐系统等领域有着广泛的应用。
在推荐系统中，奇异值分解可以帮助我们发现用户和商品之间的潜在关联，从而实现个性化推荐。
在图像压缩中，通过截断奇异值分解可以将高维的图像数据压缩成低维的数据，减少存储空间和传输成本。
此外，奇异值分解还可以用来解决线性方程组、矩阵逆运算、主成分分析等问题。
在数据挖掘和机器学习领域，奇异值分解也有着重要的应用，例如在降维、特征提取和模式识别等方面发挥作用。
## 4. 相关数学原理奇异值分解的数值计算方法涉及到很多数学原理，包括线性代数、矩阵理论、特征值和特征向量等内容。
矩阵 奇异值分解
矩阵奇异值分解
奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种重要的矩阵分解方法，它可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
奇异值分解在数据分析、图像处理、信号处理等领域有着广泛的应用。
奇异值分解的基本思想是将一个矩阵A分解为三个矩阵的乘积：A=UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。
U的列向量称为左奇异向量，V的列向量称为右奇异向量，Σ的对角线上的元素称为奇异值。
奇异值分解的求解可以通过奇异值分解算法来实现。
奇异值分解的应用非常广泛。
在数据分析中，奇异值分解可以用于降维和特征提取。
通过对数据矩阵进行奇异值分解，可以得到数据的主成分，从而实现数据的降维。
在图像处理中，奇异值分解可以用于图像压缩和去噪。
通过对图像矩阵进行奇异值分解，可以将图像压缩为较小的矩阵，从而实现图像的压缩。
在信号处理中，奇异值分解可以用于信号分解和滤波。
通过对信号矩阵进行奇异值分解，可以将信号分解为不同的频率成分，从而实现信号的滤波。
奇异值分解的优点在于它可以对任意矩阵进行分解，而且分解后的矩阵具有很好的数学性质。
奇异值分解还可以用于矩阵的逆运算和伪逆运算。
在实际应用中，奇异值分解的计算复杂度较高，但是可以通过一些优化算法来加速计算。
奇异值分解是一种重要的矩阵分解方法，具有广泛的应用价值。
在数据分析、图像处理、信号处理等领域，奇异值分解都有着重要的应用。
随着计算机技术的不断发展，奇异值分解的计算速度和效率也将不断提高，为更多的应用场景提供支持。
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集合，而空间的运动由变换所规定.
矩阵
矩阵是什么？ 1. 矩阵只是一堆数，如果不对这堆数建立一 些运算规则. 2. 矩阵是一列列向量，如果每一列向量列举
了对同一个客观事物的多个方面的观察值.
3. 矩阵是一个图像，它的每一个元素代表相 对位置的像素值. 4. 矩阵是一个线性变换，它可以将一些向量 变换为另一些向量. 要回答“矩阵是什么”，取决于你从什 么角度去看它.
- 3 5 7 1 0 0 其中2 = 0 ,3 1 ,5 0 0 0 2 0 0 1
dim N ( R) n r 5 2 3
(1)
其中 i (i 1, 2,...n) 为矩阵A的特征值，而Q的n个列向
量组成A的一个完备的标准正交特征向量系. 对于实的非对称矩阵A，不再有像式（1）的分解， 但却存在两个正交矩阵P和Q，使 PT AQ 为对角矩阵， 即有下面的正交对角分解定理.
定理
设
A R nn 非奇异，则存在正交矩阵P和Q，
矩阵既是坐标系，又是变换.
数学定义： 矩阵就是由 行 n列数 m
放在一起组成的数学对象
数学书上的语言是经过千锤百炼的。这 种抽象的语言，精准的描述了人类对数学某 些局部理解的精微. 这些描述的语言可能可以有更完善的改 进，就像编写的程序有些地方的语句可以改
得更巧妙更坚固一样.
数学容许我们每个人按自己的理解方 式来理解, 这就看你怎样对它加工，使它
Rm
N(A) dim n-r
Ax=0
N(AT) dim m-r AX=b有解 b N(AT)
xr
Row space
Axr b x xr xn
Column space
b
Ax
xn
nullspace
Axn 0
Action of A on
Left nullspace
x xr xn
矩阵的相似是什么意思？
P AP B ~A
特征值的本质是什么？
1
Ax x
纯粹的数学理论描述、证
明不能令人满意和信服 ！
一、线性空间和矩 阵的几个核心概念
空
基本定义:
间
存在一个集合，在这个集合上定义某某概 念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间. 为什么要用“空间”来称呼一些这样的集 合呢？奇怪!
明确、使它华丽、使它完美. 使它更易于
理解和使用. 这个过程也就是一个人学懂
数学的过程.
数无形时少直观,
形无数时难入微,
数形结合百般好, 隔离分家万事休.
--------华罗庚
将抽象思维形象化 将理论知识实用化
二、矩阵的四个基本子空间
基本定义 记：
1 2 1 m
三维的空间
1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；
2. 这些点之间存在相对的关系；
3. 可以在空间中定义长度、角度；
4. 这个空间可以容纳运动.
这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的 跳跃（变换）,而不是微积分意义上的“连续” 性的运动.
容纳运动是空间的本质特征
“空间”是容纳运动的一个对象
1 2
1，， 0 3） X=0 1 X=（ 0， 1，） 2 X = 0 2 X=（
T
C(AT ) L(1, 2 )
(1,0,3) (0,1,2)
N(A) (3,2,-1)
1 例3 A 2
则
2 4
3 1 6
2
3
C( A) span( 1 )
则有 QT ( AT A)Q 2 或者 ( AQ 1 )T AQ 再令 P AQ 1 ,于是有
PT P ( AQ 1 )T ( AQ 1 ) I
即P为正交矩阵，且使
PT AQ diag (1,2 ,...n )
改写式(2)为
b
变换 Mb M (Ib) Mb a
a Ia
a
Mb
坐标 Mb (MI )b Mb
T M
( RM ) ( RM ) I TI
I
从变换的观点来看，对坐标系M施加R变换， 就是对组成坐标系M的每一个向量施加R变换. 从坐标系的观点来看，对坐标系M的每一个 基向量，把它在I坐标系中的坐标找出来,然后通 过R组成一个新的（坐标系）矩阵.
0,
0, 0, 0, 0
T
y (0,0, y3 ) N (R )
dim N ( R ) m r
T
例2
设
A33
1 0 3 1 0 3 0 1 2 R33 0 1 2 1 1 5 0 0 0
行基
1 =（ 1， 0， 3） 2 =（ 0， 1，） 2
线性代数的几个基本概念
(一)
张剑湖
2010年7月
引 言
F
(a, b，c)
实用 直观
几何的抽象化
抽象
数学的表述方式和抽象性产生了全面的升华 !
按照现行的国际标准，线性代数是通 过公理化、系统性表述的，具有很强的逻
辑性、抽象性，是第二代数学模型.
通常的教学模式 概念——相应定理公式——例题求解
矩阵与坐标系
n 维线性空间里的方阵 A 的 n 个 n维向量
如果线性无关，那么它们就可以成为度量
n维
线性空间的一组基，事实上就是一个坐标系体系
.
1 A 0
0 1
矩阵描述了一个坐标系
b b?
1 b 0 0 b Ib 1
b
M b MIb M b ?
直觉性丧失！
问
向量是什么？
题
向量表面上只是一列数，但是其实由于它 的有序性， 所以除了这些数本身携带的信息之 外，还可以在每个数的对应位置上携带信息. 线性空间中的任何一个对象，通过选取基 和坐标的办法，都可以表达为向量的形式. 向量是具有n个相互独立的性质（维度） 的对象的表示
矩阵是什么？
矩阵的乘法规则怎样定义？
Amn
2 n
Column space
C( A ) {Ax : x R } R
n
m
span(1 , 2, , n )
1 3 5 0 7 0 0 0 1 2 1 3 5 1 9
Amn
n=5
Row space
C ( A ) {A x : x R } R
Pivot rows
m=3 n=5
r=2
1 and 2
Pivot columns 1 and 4
rankR dim C( R) dim C( R ) 2
T
Null space
N ( A) {x : Ax 0, x R }
n
N ( R) {x : Rx 0, x R }
使得
PT AQ diag (1,2 ,...n )
(2)
其中 i 0(i 1, 2,...n) 证 因为A非奇异，所以 AT A 为实对称正定矩阵，于是存 在正交矩阵Q使得， QT ( AT A)Q diag (1, 2 ,...n ) 其中 i 0(i 1, 2,...n) 为 AT A 特征值 令 i i (i 1, 2,...n) , diag ( , ,... ) 1 2 n
n
Rmn
1 3 5 0 7 , , , , 0 0 0 1 2 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0
x k22 k33 k55
有三个自由变量：x2 , x3 , x5 . 方程 Rx 0 有解：
dim N ( R) n r
4 x 3
三、矩阵的奇异值分解
应用领域
1.最优化问题； 特征值问题； 最小二乘问题； 广义逆矩阵问题等. 2.统计分析； 信号与图像处理； 系统理论和控制等.
矩阵的正交对角分解
若A是n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得
QT AQ diag (1, 2 ,...n )
A P BP
即同一个线性变换在不同的坐标系下表现为不同 的矩阵，但其本质相同，所以特征值相同.
1
相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的
描述矩阵. 或者说相似矩阵都是同一个线性变
换的描述 .
线性变换可以用矩阵的形式呈现，也就是 说，矩阵是形式，而变换 ——也就是各种映射 才是本质， 而代数的重要任务之一就是研究各 种数学结构之间的关系——也就是映射.
方程组 Rx b 中，若 b 不等于 0
且有解，则其解不会构成子空间，因为没
有0元素.
Left nullspace
N ( R ) { y : R y 0, y R }
T T m
Left nullspace??
R y0 y R0
T T
T
y1 1, 3, 5, 0, 7 y2 0, 0, 0, 1, 2 y3 0, 0, 0, 0, 0
1 0 A33 X 0 1 1 1 3 x1 2 x2 0 5 x3
由
R
33
1 0 0
0 1 0
3 x1 2 x2 0 0 x3
X , X L(1,2 ) X C(A ) N ( A)
线性变换不同于线性变换的一个描述 对于同一个线性变换，选定一组基，就可 以找到一个矩阵来描述这个线性变换；换一组