对偶问题和运输问题.pptx
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W, WS≥0
WT=CBTB-1 WST=WTA- CT
z
X
1
-CT
0
A
XS
RHS
0T
0
I
b
z
X
1 CBTB-1A-CT
0
B-1A
z
X
1
WST
0
B-1A
XS
RHS
CBTB-1 CBTB-1b
B-1
B-1b
XS
RHS
WT
CBTB-1b
B-1
B-1b
CB 0 0 0
-z 0 0 100
-z 50 0 100
来自百度文库
1.线性规划对偶问题
需要指出，影子价格不是固定不变 的，当约束条件、产品利润等发生变化 时，有可能使影子价格发生变化。另外， 影子价格的经济含义（2），是指资源在 一定范围内增加时的情况，当某种资源 的增加超过了这个“一定的范围”时， 总利润的增加量则不是按照影子价格给 出的数值线性地增加。这个问题还将在 灵敏度分析一节中讨论。
a12 w1 a 22 w 2 a m2 w m
wm2
c1
c2
a1n w1 a 2n w 2 a mn w m
w1
w2
wm
w m1
wmn cn wm2 wmn 0
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解w1、w2、...、 wm称为m种资源的影子价格（Shadow Price）
例3 写对偶问题
Min z=2x1+3x2-5x3+x4 x1+x2-3x3+x4>=5 2x1 +2x3-x4<=4 x2+x3+x4 =6 x1<=0,x2,x3>=0 x4无约束
Max z’=5y1+4y2+6y3 y1+2y2 >=0 y1 +y3<=0 -3y1+2y2+y3<=-5 y1 -y2 +y3 =1 y1>=0,y2<=0, y3无约束
X ≥0
引进松弛变量
max z=CTX s.t. AX+XS=b
X, XS≥0
对偶问题
min y=bTW s.t. ATW ≥ C
W≥0
引进松弛变量
max y=bTW s.t. ATW-WS=C
W, WS≥0
max z=CTX s.t. AX+XS=b
X, XS≥0
min y=bTW s.t. ATW-WS=C
的最优解。
定理3-3 (主对偶定理)
若(LP)和(DP)均可行 那么(LP)和 (DP)均有最优解,且最优值相等。
以上定理、推论对任意形式的相 应性规划的对偶均有效
4、原始问题和对偶问题最优解之间的互补松弛关系
min z=CTX s.t. AX≥b
X ≥0
引进松弛变量
max y=bTW
s.t. ATW≤C
max z c1x1 c2 x 2 c2 x 2
s.t.
a11x1 a12 x 2 a1n x n x n1
a 21x1 a 22 x 2 a 2n x n
x n2
b1
b2
a m1x1 a m2 x 2 a mn x n
消耗的资源（吨） x1
x2
xn
x n1
xnm bm x n2 x nm 0
1.线性规划对偶问题
5.由最优单纯形表求对偶问题最 优解
标准形式：
Max s.t.
z = 50 x1 + 100 x2
x1 + x2 + x3 = 300
2xxx21 1+,+xx2 x5,2=x+3 2,x5x404
= 400
,x5 ≥
0
单纯形表和对偶
原始问题
max z=CTX s.t. AX ≤ b
1.线性规划对偶问题
影子价格的经济含义
(1)影子价格是对现有资源实现最 大效益时的一种估价
企业可以根据现有资源的影子价 格，对资源的使用有两种考虑：第一， 是否将设备用于外加工或出租，若租 费高于某设备的影子价格，可考虑出 租该设备，否则不宜出租。第二，是 否将投资用于购买设备，以扩大生产 能力，若市价低于某设备的影子价格， 可考虑买进该设备，否则不宜买进。
-z
1.线性规划对偶问题
50 100 0
0
0
XB
x1
x2
x3
x4
x3
300
1
1
1
0
x4
400
2
1
0
1
x5
250
0
(1)
0
0
0
50 100* 0
0
x5
θi
0
300
0
400
1
250
0
x3
50 (1)
0
1
0
-1
50
x4
150
2
0
0
1
-1
75
x2
250
0
1
0
0
1
-25000 50*
0
0
0
-100
x1
50
1
0
3、资源影子价格的性质
z y b1w1 b2w2 bi wi bm w m z z b1w1 b2 w 2 (bi bi )w i bm w m z bi w i
w
o i
z o b i
最大利润的增量 第i种资源的增量
第i种资源的边际利润
■影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺 ■影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺 ■如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源的影子 价格一定等于0
1.线性规划对偶问题
3.对偶定理 (原问题与对偶问题解的关系） 考虑（LP）和（DP）
定理3-1 (弱对偶定理） 若 x, y 分别为（LP) 和（DP） 的可行解，那么cTx ≤ bTy。
推论 若（LP）可行，那么（LP）
无有限最优解的充分必要条件是（LD） 无可行解。
1.线性规划对偶问题
定理3-2 (最优性准则定理) 若x,y分别(LP),(DP)的可行解,且 cTx=bTy ，那么x,y分别为(LP)和(DP)
原问题与对偶问题的关系
原问题(或对偶问题)
目标函数 max z n个
变 >=0 量 <=0 无约束 约 m个 束 <= 条 >= 约束条件右端项 目标函数变量的系数
对偶问题(或原问题)
目标函数 min w n个 约 >= 束 <= 条 =件 m个 >=0 变 <=0 量
目标函数变量的系数 约束条件右端项
对偶
W≥0
引进松弛变量
min z=CTX s.t. AX-XS=b
X, XS≥0
X，Xs
max y=bTW s.t. ATW+WS=C
W, WS≥0
W，Ws
XTWS=0 WTXS=0
互补松弛关系
五、对偶的经济解释
1、原始问题是利润最大化的生产计划问题
总利润（元）
单位产品的利润（元/件）
产品产量（件）
单位产品消耗的资源（吨/件）
剩余的资源（吨） 资源限量（吨）
2、对偶问题
原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润 max z=min y
总利润（元）
资源限量（吨）
min y b1w1 b2 w 2 bm w m
s.t.
a11w1 a 21w 2 a m1w m w m1
资源价格（元/吨）
WT=CBTB-1 WST=WTA- CT
z
X
1
-CT
0
A
XS
RHS
0T
0
I
b
z
X
1 CBTB-1A-CT
0
B-1A
z
X
1
WST
0
B-1A
XS
RHS
CBTB-1 CBTB-1b
B-1
B-1b
XS
RHS
WT
CBTB-1b
B-1
B-1b
CB 0 0 0
-z 0 0 100
-z 50 0 100
来自百度文库
1.线性规划对偶问题
需要指出，影子价格不是固定不变 的，当约束条件、产品利润等发生变化 时，有可能使影子价格发生变化。另外， 影子价格的经济含义（2），是指资源在 一定范围内增加时的情况，当某种资源 的增加超过了这个“一定的范围”时， 总利润的增加量则不是按照影子价格给 出的数值线性地增加。这个问题还将在 灵敏度分析一节中讨论。
a12 w1 a 22 w 2 a m2 w m
wm2
c1
c2
a1n w1 a 2n w 2 a mn w m
w1
w2
wm
w m1
wmn cn wm2 wmn 0
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解w1、w2、...、 wm称为m种资源的影子价格（Shadow Price）
例3 写对偶问题
Min z=2x1+3x2-5x3+x4 x1+x2-3x3+x4>=5 2x1 +2x3-x4<=4 x2+x3+x4 =6 x1<=0,x2,x3>=0 x4无约束
Max z’=5y1+4y2+6y3 y1+2y2 >=0 y1 +y3<=0 -3y1+2y2+y3<=-5 y1 -y2 +y3 =1 y1>=0,y2<=0, y3无约束
X ≥0
引进松弛变量
max z=CTX s.t. AX+XS=b
X, XS≥0
对偶问题
min y=bTW s.t. ATW ≥ C
W≥0
引进松弛变量
max y=bTW s.t. ATW-WS=C
W, WS≥0
max z=CTX s.t. AX+XS=b
X, XS≥0
min y=bTW s.t. ATW-WS=C
的最优解。
定理3-3 (主对偶定理)
若(LP)和(DP)均可行 那么(LP)和 (DP)均有最优解,且最优值相等。
以上定理、推论对任意形式的相 应性规划的对偶均有效
4、原始问题和对偶问题最优解之间的互补松弛关系
min z=CTX s.t. AX≥b
X ≥0
引进松弛变量
max y=bTW
s.t. ATW≤C
max z c1x1 c2 x 2 c2 x 2
s.t.
a11x1 a12 x 2 a1n x n x n1
a 21x1 a 22 x 2 a 2n x n
x n2
b1
b2
a m1x1 a m2 x 2 a mn x n
消耗的资源（吨） x1
x2
xn
x n1
xnm bm x n2 x nm 0
1.线性规划对偶问题
5.由最优单纯形表求对偶问题最 优解
标准形式：
Max s.t.
z = 50 x1 + 100 x2
x1 + x2 + x3 = 300
2xxx21 1+,+xx2 x5,2=x+3 2,x5x404
= 400
,x5 ≥
0
单纯形表和对偶
原始问题
max z=CTX s.t. AX ≤ b
1.线性规划对偶问题
影子价格的经济含义
(1)影子价格是对现有资源实现最 大效益时的一种估价
企业可以根据现有资源的影子价 格，对资源的使用有两种考虑：第一， 是否将设备用于外加工或出租，若租 费高于某设备的影子价格，可考虑出 租该设备，否则不宜出租。第二，是 否将投资用于购买设备，以扩大生产 能力，若市价低于某设备的影子价格， 可考虑买进该设备，否则不宜买进。
-z
1.线性规划对偶问题
50 100 0
0
0
XB
x1
x2
x3
x4
x3
300
1
1
1
0
x4
400
2
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0
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x5
250
0
(1)
0
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50 100* 0
0
x5
θi
0
300
0
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0
x3
50 (1)
0
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-1
50
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150
2
0
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1
-1
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x2
250
0
1
0
0
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-25000 50*
0
0
0
-100
x1
50
1
0
3、资源影子价格的性质
z y b1w1 b2w2 bi wi bm w m z z b1w1 b2 w 2 (bi bi )w i bm w m z bi w i
w
o i
z o b i
最大利润的增量 第i种资源的增量
第i种资源的边际利润
■影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺 ■影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺 ■如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源的影子 价格一定等于0
1.线性规划对偶问题
3.对偶定理 (原问题与对偶问题解的关系） 考虑（LP）和（DP）
定理3-1 (弱对偶定理） 若 x, y 分别为（LP) 和（DP） 的可行解，那么cTx ≤ bTy。
推论 若（LP）可行，那么（LP）
无有限最优解的充分必要条件是（LD） 无可行解。
1.线性规划对偶问题
定理3-2 (最优性准则定理) 若x,y分别(LP),(DP)的可行解,且 cTx=bTy ，那么x,y分别为(LP)和(DP)
原问题与对偶问题的关系
原问题(或对偶问题)
目标函数 max z n个
变 >=0 量 <=0 无约束 约 m个 束 <= 条 >= 约束条件右端项 目标函数变量的系数
对偶问题(或原问题)
目标函数 min w n个 约 >= 束 <= 条 =件 m个 >=0 变 <=0 量
目标函数变量的系数 约束条件右端项
对偶
W≥0
引进松弛变量
min z=CTX s.t. AX-XS=b
X, XS≥0
X，Xs
max y=bTW s.t. ATW+WS=C
W, WS≥0
W，Ws
XTWS=0 WTXS=0
互补松弛关系
五、对偶的经济解释
1、原始问题是利润最大化的生产计划问题
总利润（元）
单位产品的利润（元/件）
产品产量（件）
单位产品消耗的资源（吨/件）
剩余的资源（吨） 资源限量（吨）
2、对偶问题
原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润 max z=min y
总利润（元）
资源限量（吨）
min y b1w1 b2 w 2 bm w m
s.t.
a11w1 a 21w 2 a m1w m w m1
资源价格（元/吨）