并行计算奇异值分解
奇异值分解的几何解释
奇异值分解的几何解释
奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种矩阵分解的方法，可以将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积。
在几何上，SVD可以用于对数据集进行降维，以及在数据集上进行主成分分析。
在几何上，矩阵可以被视为表示线性变换的操作。
奇异值分解将矩阵分解成三个基本的线性变换的乘积：旋转、缩放和旋转的逆操作。
这三个变换可以用来描述原始矩阵的几何性质。
具体来说，给定一个矩阵A，SVD将其分解为以下形式：
A = UΣV^T
其中，U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
在几何上，矩阵A的列空间由矩阵U的列向量确定，而A的行空间由矩阵V的列向量确定。
奇异值则表示了变换过程中的缩放因子，可以用来量化数据的重要程度。
SVD的几何解释可以理解为对原始数据进行一系列变换，从而找到对数据进行紧凑表示的最佳方式。
这种变换可以帮助我们找到数据中的主要模式和特征，从而进行数据压缩、降噪、特征提取等任务。
奇异值分解的数学原理解析(Ⅰ)
奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种重要的矩阵分解方法，它在数据压缩、降维、信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用。
本文将从数学原理的角度对奇异值分解进行解析，希望能够让读者更加深入地了解这一重要的数学工具。
奇异值分解是将一个复杂的矩阵分解为三个简单矩阵的乘积。
对于一个m×n 的实数矩阵A，其奇异值分解可以表示为：A = UΣV^T，其中U是一个m×m的正交矩阵，Σ是一个m×n的对角阵，V^T是一个n×n的正交矩阵。
在奇异值分解中，U和V分别被称为左奇异矩阵和右奇异矩阵，Σ的对角元素称为奇异值。
首先，我们来看一下奇异值分解的几何意义。
对于任意一个矩阵A，它可以被看作是一个线性变换，将一个n维空间中的向量映射到m维空间中。
而奇异值分解则可以将这个线性变换分解为三个简单的线性变换的乘积。
具体来说，U和V^T可以被看作是对n维和m维空间的旋转变换，而Σ则可以被看作是一个拉伸变换。
因此，奇异值分解可以将原始的线性变换分解为旋转和拉伸两个步骤，这有助于我们更好地理解矩阵的结构和性质。
其次，我们来看一下奇异值分解的数学原理。
在奇异值分解中，U和V^T都是正交矩阵，而正交矩阵具有许多重要的性质。
例如，它们的转置等于它们的逆矩阵，即U^T = U^(-1)，V^T = V^(-1)。
而对于矩阵Σ，它是一个对角阵，对角元素为奇异值。
根据线性代数的知识，对于任意一个实数矩阵，都存在奇异值分解，并且奇异值分解是唯一的。
因此，奇异值分解可以帮助我们更好地理解矩阵的结构和性质。
最后，我们来看一下奇异值分解在实际应用中的作用。
奇异值分解在数据压缩、降维、信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用。
例如，在图像处理中，可以利用奇异值分解将一幅图像分解为若干个低频分量和高频分量，从而实现图像的压缩和降噪。
在推荐系统中，可以利用奇异值分解对用户-物品评分矩阵进行分解，从而实现对用户的个性化推荐。
矩阵奇异值分解具体计算过程_解释说明以及概述
矩阵奇异值分解具体计算过程解释说明以及概述1. 引言1.1 概述矩阵奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是一种重要的矩阵分解方法，广泛应用于数据降维、图像处理、推荐系统和信号处理等领域。
通过将一个矩阵分解为三个独特的部分，即原始矩阵的奇异向量和奇异值，SVD 可以提供有关原始数据的宝贵信息。
本文旨在详细介绍矩阵奇异值分解的具体计算过程，并对其应用领域以及算法优化和改进方向进行探讨。
首先，我们将给出该方法的定义和基本原理，并描述其计算方法和数学推导。
接着，我们将深入探究矩阵奇异值分解在图像压缩与降维、推荐系统和数据挖掘以及信号处理和模式识别等方面的应用。
然后，我们将讨论近似求解算法、加速技术以及大规模矩阵奇异值分解算法的最新进展。
最后，我们还将探索结合其他矩阵分解技术发展方向。
1.2 文章结构本文共包含五个主要部分。
第一部分是引言，主要概述了本文的目的和结构。
第二部分将详细介绍矩阵奇异值分解的具体计算过程，包括定义、基本原理、计算方法和数学推导。
第三部分将解释说明矩阵奇异值分解在不同领域中的应用，如图像压缩与降维、推荐系统和数据挖掘以及信号处理和模式识别。
第四部分将讨论矩阵奇异值分解算法的优化和改进方向，包括近似求解算法、加速技术以及结合其他矩阵分解技术的发展方向。
最后一部分是结论，总结文章的主要内容和贡献，并对未来研究方向进行展望。
1.3 目的本文旨在通过详细讲解矩阵奇异值分解的具体计算过程，深入理解其原理和应用，并探讨其改进方向。
通过对该方法进行全面系统地介绍，希望能够增加读者对矩阵奇异值分解有关知识的了解，并为相关领域的研究者提供参考和启示。
同时，本文也为后续相关领域深入研究和应用提供了理论基础和开发方向。
2. 矩阵奇异值分解具体计算过程2.1 矩阵奇异值分解定义和基本原理矩阵奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是一种常用的矩阵分解方法。
了解奇异值分解的基本概念与原理
在今天的信息时代，我们不断听到各种各样的数学概念和算法。
其中一个常被提及的概念就是奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）。
奇异值分解是一种非常重要的矩阵分解方法，它在信号处理、数据压缩、降维分析等领域有着广泛的应用。
本文将从基本概念和原理的角度，来全面了解奇异值分解。
奇异值分解是一种线性代数的数学工具，其主要作用是将一个任意的矩阵分解成三个特殊的矩阵相乘的形式。
这三个矩阵分别是U、Σ和V。
其中，U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵。
在奇异值分解中，U和V被称为左奇异向量和右奇异向量，Σ中的对角元素被称为奇异值。
奇异值分解的原理可以从矩阵的特征分解来理解。
假设我们有一个实对称矩阵A，那么根据特征值分解定理，我们可以将A分解为A=QΛQ^T的形式，其中Q是正交矩阵，Λ是对角矩阵。
在奇异值分解中，我们的目标是将任意的矩阵分解为UΣV^T的形式，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。
这里的U和V就相当于特征值分解中的Q，Σ相当于Λ。
因此，奇异值分解可以看做是特征值分解在一般矩阵上的推广。
奇异值分解的应用非常广泛。
首先，在信号处理中，奇异值分解被用来降低信号的维度，从而达到数据压缩的效果。
通过保留奇异值较大的部分，可以将原始信号压缩成更小的形式，而且可以在一定程度上保留原信号的重要信息。
其次，在数据挖掘和机器学习领域，奇异值分解被广泛用来进行降维分析。
通过奇异值分解，可以将原始数据转换成更低维度的形式，从而简化数据处理的复杂度，同时也可以避免过拟合的问题。
另外，在图像处理和模式识别中，奇异值分解也有着重要的应用。
通过奇异值分解，可以提取图像的主要特征，从而实现图像压缩、特征提取等功能。
除此之外，奇异值分解还在推荐系统、自然语言处理、金融工程等领域有着广泛的应用。
可以说，奇异值分解已经成为了现代科学和工程中不可或缺的数学工具之一。
在实际应用中，我们常常使用奇异值分解来进行矩阵的逆、伪逆运算，以及矩阵的低秩近似等。
CPU-GPU协同计算的并行奇异值分解方法
CPU-GPU协同计算的并行奇异值分解方法周伟;戴宗友;袁广林;陈萍【期刊名称】《计算机科学》【年(卷),期】2015(042)0z1【摘要】在目标跟踪应用中,常常采用奇异值分解(SVD)作为基本工具进行动态建库.然而当每秒处理的数据量较大、计算精度要求较高对,SVD的计算耗时往往无法满足应用的实时性能要求.针对这一问题,提出了CPU-GPU协同计算的并行奇异值分解方法.该方法利用GPU与CPU间的异步执行,对奇异值分解过程进行划分从而构造软件流水线,大大挖掘软硬件的并行性.实验表明,该方法比一般的基于GPU的Jacobi方法有约23％的性能提升.相对于CPU上的Intel MKL的奇异值分解函数获得了6.8x的加速比,满足了应用中的实时性能要求.【总页数】4页(P549-552)【作者】周伟;戴宗友;袁广林;陈萍【作者单位】中国人民解放军陆军军官学院计算机教研室合肥230031;中国人民解放军陆军军官学院计算机教研室合肥230031;中国人民解放军陆军军官学院计算机教研室合肥230031;中国人民解放军陆军军官学院计算机教研室合肥230031【正文语种】中文【中图分类】TP391【相关文献】1.CPU-GPU协同计算的遥感仿真图像MTF退化并行算法 [J], 赵瑞斌;赵生慧;胡新礼2.CPU-GPU协同计算加速ASIFT算法 [J], 何婷婷;芮建武;温腊3.基于CPU-GPU异构并行的MOC中子输运计算并行效率优化研究 [J], 宋佩涛; 张志俭; 梁亮; 张乾; 赵强4.基于CPU-GPU异构体系结构的并行字符串相似性连接方法 [J], 徐坤浩;聂铁铮;申德荣;寇月;于戈5.基于CPU-GPU异构的电力系统静态电压稳定域边界并行计算方法 [J], 李雪;张琳玮;姜涛;陈厚合;李国庆因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
奇异值分解定理
奇异值分解定理奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，常用于数据分析、信号处理、图像压缩等领域。
SVD的定理表明，任何矩阵都可以分解成三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是正交矩阵，另外两个矩阵是对角矩阵，且对角线上的元素称为奇异值。
奇异值分解定理的数学概念比较复杂，需要一定的线性代数基础。
下面将对奇异值分解定理进行详细解释。
给定一个m行n列的实数矩阵A，假设rank(A)为r.那么存在两个实数方阵U(m×r)和V(n×r)，使得：A = UΣV^T其中，U的每一列是A^TA的特征向量，V的每一列是AA^T的特征向量，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
奇异值分解定理的证明比较复杂，这里只给出一个简要的证明思路。
假设A的列向量为{a1, a2, ..., an}，它们构成了一个n维向量空间的一组基。
我们可以将这组基转化为标准正交基，得到一组正交矩阵U和V。
然后我们可以通过对U和V进行一些数学操作，得到UΣV^T形式的矩阵。
最后，我们可以证明这个矩阵确实满足奇异值分解定理的要求。
奇异值分解定理在数据分析中有广泛的应用。
例如，在推荐系统中，我们可以通过SVD将用户对物品的评分矩阵分解，得到用户和物品的特征矩阵，从而进行个性化推荐。
在语音识别中，我们可以通过SVD将语音信号分解成一组基本声音的叠加，从而实现语音信号的降噪和特征提取。
在图像压缩中，我们可以通过SVD将图像分解成一组基本的图像模式，从而实现图像的降噪和压缩。
奇异值分解定理的应用不仅局限于上述领域，还可以应用于信号处理、图像处理、文本处理等其他领域。
通过奇异值分解，我们可以将复杂的问题转化为简单的线性代数运算，从而大大简化问题的求解过程。
然而，奇异值分解也有一些限制。
首先，奇异值分解是一种数值方法，对计算精度要求较高。
其次，奇异值分解的计算复杂度较高，对于大规模矩阵的分解可能会很耗时。
奇异值分解设定参数
奇异值分解设定参数
奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）是一种重要的矩阵分解方法，它可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。
在SVD中，我们将矩阵A分解为三个矩阵的乘积，A = UΣV^T，其中U 和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵。
在进行SVD时，我们通常需要设定一些参数来控制分解的精度和计算的复杂度。
这些参数包括：
1. 精度，在实际应用中，我们通常需要设定一个阈值来控制SVD的精度。
这个阈值可以用来控制截断奇异值的数量，从而实现对原始矩阵的近似分解。
2. 截断奇异值的数量，在实际应用中，我们可能会根据需要只保留部分最大的奇异值，从而实现对原始矩阵的低秩近似分解。
这个参数通常可以通过设定一个阈值或者指定一个固定的奇异值数量来实现。
3. 计算方法，SVD的计算可以使用不同的方法，包括基于Jacobi迭代的方法、基于分解法的方法等。
不同的计算方法可能会
影响SVD的计算速度和稳定性。
4. 并行计算，在大规模矩阵的SVD计算中，可以考虑使用并行计算来加速计算过程。
总之，在实际应用中，我们需要根据具体的情况来设定SVD的参数，以实现对原始矩阵的合适分解。
同时，参数的选择也需要考虑计算资源和时间的限制，以及对分解精度的要求。
希望这些信息能够帮助到你理解SVD参数的设定。
矩阵理论中的SVD分解
矩阵理论中的SVD分解在矩阵理论中，SVD分解是一种重要的矩阵分解方法。
SVD分解是矩阵分析和数据分析中的基本概念之一，被广泛应用于数据挖掘、信号处理、优化等领域。
本文将对SVD分解的原理、应用以及优化方法进行阐述。
一、SVD分解的原理SVD分解全称为奇异值分解（Singular Value Decomposition），它是一种将任意矩阵分解成三个部分的方法：左奇异矩阵U、右奇异矩阵V和奇异值矩阵Σ。
对于一个m*n的矩阵A来说，其SVD分解的形式为：A=UΣV^T其中U是m*m的左奇异矩阵，V是n*n的右奇异矩阵，Σ是m*n的奇异值矩阵，^T表示转置矩阵。
具体地讲，奇异值分解可以通过以下步骤实现：1. 对矩阵A的转置矩阵A^T*A进行特征值分解，得到特征值和特征向量；2. 将得到的特征值进行排序，并将对应的特征向量排列成矩阵Σ；3. 对特征值最大的k个特征向量进行选取，组成左奇异矩阵U；4. 将左奇异矩阵U分别与矩阵A和矩阵A^T相乘，得到右奇异矩阵V和奇异值矩阵Σ。
二、SVD分解的应用1. 数据压缩SVD分解可以将高维数据压缩成低维数据，从而节约存储空间和计算资源。
这种压缩方式可以应用于图像压缩、声音压缩等领域。
2. 数据挖掘在数据挖掘中，SVD分解可以用来寻找数据中的模式和关联性，从而帮助用户挖掘隐藏在数据中的信息。
对于大规模数据的处理，SVD分解可以通过分布式计算等方法实现高效处理。
3. 推荐系统SVD分解在推荐系统中有广泛的应用，可以通过分析用户对产品的评分和评价来预测用户的喜好和行为。
许多著名的在线商店和视频网站都采用了SVD分解算法来提高用户体验和销售额。
三、SVD分解的优化在实际应用中，SVD分解遇到了许多问题，例如在大规模数据处理中，算法效率过低；在数据稀疏或噪声干扰较大时，分解结果不准确等。
为了解决这些问题，研究者们提出了许多SVD分解的优化方法。
1. 基于随机化的SVD分解基于随机化的SVD分解是一种全新的分解方式，它通过随机采样的方式，构建出可靠的奇异值近似，并且时间复杂度与数据规模基本无关。
矩阵奇异值分解算法的并行实现
矩阵奇异值分解算法的并行实现矩阵奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是一种常用的矩阵分解方法，广泛应用于信号处理、数据降维、推荐系统等领域。
随着数据规模的不断增大，传统的串行算法已经无法满足大规模矩阵奇异值分解的需求。
因此，研究者们开始研究并行实现矩阵奇异值分解算法，以提高计算效率和降低运行时间。
一、矩阵奇异值分解简介矩阵奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积的形式，即 A = UΣV^T，其中 A 是一个 m×n 的矩阵，U 和 V 是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵。
奇异值分解的核心是计算矩阵 A 的奇异值和相应的左奇异向量和右奇异向量。
二、传统串行算法的局限性在传统的串行算法中，矩阵奇异值分解的计算复杂度较高，特别是当矩阵维度较大时，计算时间会急剧增加。
同时，传统算法也无法有效利用多核处理器、分布式计算等并行计算资源，导致计算效率较低。
三、并行实现算法的优势相比于传统串行算法，并行实现算法具有以下优势：1. 提高计算效率：并行算法可以充分利用多核处理器、分布式计算等计算资源，将任务分配给多个处理单元并行计算，大大提高了计算效率。
2. 缩短运行时间：并行算法将一个大任务划分为多个小任务，这些小任务可以同时进行，从而缩短了整个算法的运行时间。
3. 适应大规模数据处理：随着数据规模不断增大，传统算法的计算时间会急剧增加，而并行算法可以有效地分担计算任务，适应大规模数据处理的需求。
四、并行实现算法的发展与应用随着并行计算技术的不断发展，研究者们提出了多种并行实现矩阵奇异值分解的算法，如以下几种：1. 并行QR算法：QR算法是一种常用的矩阵特征值计算方法，可以用于矩阵奇异值分解。
并行QR算法将QR迭代算法分解为多个子任务，并行计算，提高了计算效率。
2. 并行分块SVD算法：分块SVD算法将矩阵划分为多个子矩阵，然后分别计算每个子矩阵的奇异值分解。
奇异值分解及其应用
奇异值分解及其应用奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）是一种在线性代数中非常重要的分解方式，它将矩阵分解为三个矩阵的乘积，即U、Σ和V。
其中U和V都是正交矩阵，Σ则是一个对角矩阵。
奇异值分解最早是由Eckart和Young在1936年提出，它最初是为了在矩阵近似问题中得到最优的解决方案。
随着计算机技术的不断发展，奇异值分解也被广泛应用于许多领域，例如图像处理、声音处理和推荐系统等领域。
在图像处理中，奇异值分解可以用来对图像进行降噪处理和压缩。
将一张高清晰度的图片进行奇异值分解，可以得到三个矩阵U、Σ和V。
我们可以将这些矩阵中较小的奇异值减小或者设为0，来降低图像文件的大小。
这样做的好处是不影响图像的可识别度，并且可以加快图像的传输速度。
在声音处理以及语音识别领域，奇异值分解也被广泛应用。
Famous speech recognition系统使用的就是奇异值分解。
语音识别是将一个声音样本转化成一个数字信号的过程。
语音信号通常是高密度的，并且采样率非常高，如果不将其进行压缩，则无法进行存储和处理。
通过分解声音样本，同样可以降低信号的噪音，并且为声音处理系统提供更高的性能和更好的准确性。
推荐系统也是奇异值分解可应用的领域之一。
推荐系统有时候需要根据一些相似度的标准来对项目进行排序。
对于大量的用户和项目，推荐系统需要维护一个巨大的数据矩阵。
计算相似性等复杂的算法会对计算机造成巨大的负担，因此通常需要进行矩阵分解以降低数据维度。
总之，奇异值分解是一种十分有用的数学工具，它可以较好地解决许多实际问题中的数学问题，并被广泛应用于许多领域。
另外，在进行奇异值分解时，我们需要注意矩阵是否满足特定的数学条件，如奇异值和转置矩阵的奇异值相同等。
在实际操作过程中，需要仔细考虑这些因素，以获得更加准确和稳定的结果。
奇异值分解和最小二乘法
奇异值分解和最小二乘法奇异值分解和最小二乘法都是线性代数中的常用方法，用于解决最小二乘问题和矩阵分解问题。
本文将详细介绍奇异值分解和最小二乘法的原理、应用以及比较。
一、奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）1.奇异值分解的定义和原理奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积的方法，具体为A = UΣV^T，其中，A是一个m×n的矩阵，U和V是m×m和n×n的正交矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵。
Σ的对角线上的元素称为奇异值，且满足奇异值从大到小排列。
2.奇异值分解的应用奇异值分解在数据处理和机器学习中具有广泛的应用。
例如，奇异值分解可以用于图像压缩、推荐系统、主成分分析等领域。
在图像压缩中，奇异值分解能够将图像进行压缩存储，同时保留图像的主要信息；在推荐系统中，奇异值分解可以分析用户对商品的偏好，从而进行个性化的推荐。
3.奇异值分解与最小二乘法的联系奇异值分解与最小二乘法有着密切的联系。
通常情况下，奇异值分解可以用于最小二乘问题的求解。
对于一个线性方程组Ax=b，如果矩阵A不是满秩的，即没有逆矩阵，我们可以通过奇异值分解将其转化为一个近似问题，然后利用最小二乘法求解。
二、最小二乘法1.最小二乘法的定义和原理最小二乘法是一种优化方法，用于寻找能够最小化观测数据与拟合函数之间差异的方程。
假设有一组观测数据(xi, yi)，我们希望找到一个函数y = f(x)来拟合这些数据点，使得观测数据与拟合函数之间的残差平方和最小。
最小二乘法的解可以通过求解一组线性方程得到。
2.最小二乘法的应用最小二乘法在各个领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，最小二乘法可以用于曲线拟合、参数估计等；在经济学中，最小二乘法常常用于拟合经济模型和分析经济数据；在统计学中，最小二乘法可以用于线性回归等问题。
3.最小二乘法与奇异值分解的联系最小二乘法与奇异值分解之间存在一定的联系。
矩阵分解理论与算法的并行实现
矩阵分解理论与算法的并行实现矩阵分解是一种重要的数学方法，广泛应用于数据分析、机器学习、推荐系统等领域。
近年来，随着计算机硬件的发展和并行计算技术的成熟，矩阵分解的并行实现得到了越来越广泛的应用和研究。
本文将探讨矩阵分解理论与算法的并行实现，并介绍一些常见的并行算法。
一、矩阵分解理论的基础矩阵分解是将一个复杂的矩阵分解为多个简单的子矩阵，以便更好地解决问题或进行计算。
常见的矩阵分解方法包括奇异值分解（SVD）、QR分解、LU分解等。
这些方法可以将一个矩阵分解为不同的形式，用于不同的应用场景。
二、矩阵分解算法的串行实现在传统的计算环境中，矩阵分解算法通常以串行的方式实现。
串行算法的基本思想是按照某种顺序逐步对矩阵进行分解，直至达到期望的结果。
然而，随着问题的规模不断增大，串行算法的计算效率逐渐变得低下。
三、矩阵分解算法的并行实现为了提高矩阵分解算法的计算效率，研究者们开始将并行计算技术引入到矩阵分解算法中。
并行算法的基本思想是将计算任务分配给多个处理单元，并行地进行计算。
通过充分利用计算资源，可以加速矩阵分解的过程。
常见的矩阵分解算法的并行实现包括以下几种：1. 并行奇异值分解（Parallel SVD）并行奇异值分解是一种将SVD算法进行并行实现的方法。
该方法通过将矩阵分割为多个子矩阵，然后将这些子矩阵分别送至不同的处理单元进行计算，最后将结果合并得到最终的奇异值分解结果。
并行奇异值分解可以显著提高计算效率，尤其适用于大规模矩阵的分解。
2. 并行QR分解（Parallel QR）并行QR分解是一种将QR分解算法进行并行实现的方法。
该方法通过将矩阵分割为多个子矩阵，然后将这些子矩阵分别送至不同的处理单元进行计算，最后将结果合并得到最终的QR分解结果。
与串行算法相比，并行QR分解能够以更快的速度完成分解过程。
3. 并行LU分解（Parallel LU）并行LU分解是一种将LU分解算法进行并行实现的方法。
矩阵奇异值分解算法的并行实现
矩阵奇异值分解算法的并行实现在现代数据分析和机器学习领域中，矩阵奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）算法是一种重要且广泛应用的数学方法，用于特征提取、数据降维、矩阵压缩等任务。
然而，传统的SVD算法计算复杂度高，尤其是对于大规模矩阵，计算时间长，不适用于实时或高效处理。
因此，研究者们开始关注并行计算的技术，以提高SVD 算法的计算效率。
并行计算是将计算任务划分为多个子任务，同时进行计算以提高效率的一种方法。
在矩阵奇异值分解算法中，可以通过并行计算来加速计算过程，提高算法的效率。
下面将介绍一种基于并行计算的矩阵奇异值分解算法的实现方法。
首先，我们需要了解矩阵奇异值分解算法的基本原理。
矩阵奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，即A = UΣV^T，其中A是待分解的矩阵，U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
传统的SVD算法需要对矩阵A进行特征值分解，计算复杂度较高。
而并行计算的矩阵奇异值分解算法可以将复杂的计算任务分解为多个子任务，同时进行计算，以提高计算效率。
一种常用的并行计算矩阵奇异值分解算法是基于分布式内存并行计算的。
在这种算法中，矩阵A被划分为多个小矩阵，每个进程或节点负责计算其中的一部分矩阵。
具体步骤如下：1. 将矩阵A分解为多个子矩阵：将矩阵A按行或列等分为多个子矩阵，每个子矩阵分配给一个进程或节点。
2. 并行计算SVD的近似值：每个进程或节点在分配到的子矩阵上计算SVD的近似值，得到局部的奇异值和奇异向量。
3. 收集局部的奇异值和奇异向量：各个进程或节点将局部计算得到的奇异值和奇异向量发送给主进程或节点，主进程或节点将它们进行合并。
4. 进一步迭代：基于合并后的局部奇异值和奇异向量，进行进一步的迭代计算，以获得更精确的SVD结果。
可以看到，通过并行计算的方法，我们可以实现对大规模矩阵的快速奇异值分解。
这种并行计算的矩阵奇异值分解算法已经在众多领域取得了广泛应用，例如图像处理、推荐系统、自然语言处理等。
SVD(奇异值分解)算法及其评估
n−r
0 r ，…(1.1) 0 m−r
其中 Σ r diag (σ 1 ,..., σ r ), σ 1 ≥ ... ≥ σ r > 0 [2]。 = 当 A 为复矩阵 C m×n 时，只需将定理中 U , V 改为酉矩阵，其它不变，定理 1.2 仍 然成立[1]。 称分解式(1.1)为矩阵 A 的奇异值分解，通常简称为 SVD。σ i 是 A 的奇异值，向 量 ui 和 vi 分别是第 i 个左奇异向量和第 i 个右奇异向量。 从 A 的奇异值分解，我们可以得到 A 的一些非常有用的信息，下面的推论就列 举其中几条最基本的结论[1]： 推论 1.2 设 A ∈ Crm×n ，则 (1) A 的非零奇异值的个数就等于 r = rank ( A) ； (2) vr +1 ,..., vn 是 ( A) 的一组标准正交基； (3) u1 ,..., vr 是 ( A) 的一组标准正交基； (4) A = ∑ σ i ui viH 称为 A 的满秩奇异值分解；
4
3.1：传统 QR 迭代算法[1,2,3] 设 A ∈ R m×n (m ≥ n) ，可知奇异值分解可从实对称矩阵 C = AT A 的 Schur 分解导出 [1]，因此我们自然想到先利用对称 QR 方法来实现 C 的 Schur 分解，然后借助 C 的 Schur 分解来实现 A 的奇异值分解，然而这样做有两个缺点：一是计算 C = AT A 要 很大的计算量；二是计算 C = AT A 会引入较大的误差。因此 Golub 和 Kahan 在 1965 年提出了另一种十分稳定的方法，其基本思想就是隐含地应用对称 QR 算法于 AT A 上，而并不需要将 C = AT A 计算出来。 方法第一步是：将 A 二对角化，即求正交矩阵 U1 和 V1 ，使得
矩阵奇异值分解算法及应用研究
矩阵奇异值分解算法及应用研究一、本文概述本文旨在深入探讨矩阵奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）算法的理论基础及其在多个领域的应用。
奇异值分解作为一种重要的矩阵分析技术，不仅在数学理论上具有深厚的根基，而且在实际应用中展现出强大的功能。
通过对SVD算法的深入研究，我们可以更好地理解矩阵的内在性质，揭示隐藏在数据背后的规律，从而在各种实际问题中找到有效的解决方案。
本文首先回顾了奇异值分解算法的基本概念和性质，包括其数学定义、存在条件以及计算过程。
在此基础上，我们详细阐述了SVD算法的理论依据和实现方法，包括数值稳定性和计算复杂度等关键问题。
通过理论分析和实验验证，我们验证了SVD算法在处理矩阵问题时的有效性和可靠性。
随后，本文将重点介绍SVD算法在多个领域的应用案例。
包括但不限于图像处理、自然语言处理、机器学习、推荐系统、社交网络分析以及生物信息学等领域。
在这些领域中，SVD算法被广泛应用于数据降维、特征提取、信息融合、噪声去除以及模式识别等任务。
通过具体案例的分析和讨论，我们将展示SVD算法在实际问题中的广泛应用和重要作用。
本文还将探讨SVD算法的未来发展趋势和研究方向。
随着大数据时代的到来，SVD算法在处理大规模矩阵数据方面的潜力和挑战将越来越突出。
因此，我们需要进一步研究和改进SVD算法的性能和效率，以适应日益复杂的数据处理需求。
我们还将关注SVD算法在其他新兴领域的应用前景，如深度学习、和量子计算等。
通过不断的研究和创新，我们期待SVD算法能够在未来的科学研究和实际应用中发挥更大的作用。
二、矩阵奇异值分解算法原理矩阵奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，它将一个复杂矩阵分解为三个简单的矩阵的乘积，从而简化了矩阵的计算和分析。
奇异值分解的原理和应用在信号处理、图像处理、自然语言处理、机器学习等领域具有广泛的应用。
如何在Python中实现奇异值分解(五)
在数据分析和机器学习领域，奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）是一种常见且有用的技术。
它可以用于降维、推荐系统、图像压缩等多个领域。
Python是一种流行的编程语言，在Python中实现奇异值分解并且进行相关操作是非常有必要的。
本文将介绍如何在Python中实现奇异值分解，并且展示一些常见的应用案例。
首先，我们需要了解奇异值分解的原理。
奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。
对于一个m×n的矩阵A，其奇异值分解为A=UΣV^T，其中U是一个m×m的正交矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，V^T是一个n×n的正交矩阵。
对角矩阵Σ的对角线上的元素称为奇异值，它们是矩阵A的特征值的平方根，而U和V分别是矩阵AA^T和A^TA的特征向量构成的矩阵。
在Python中，我们可以使用NumPy库来实现奇异值分解。
NumPy是Python中用于科学计算的一个重要库，它提供了多维数组对象和一系列用于操作数组的函数。
首先，我们需要安装NumPy库，然后就可以使用它提供的函数来进行奇异值分解了。
假设我们有一个矩阵A，我们可以使用NumPy库中的linalg模块来进行奇异值分解。
首先，我们需要导入NumPy库，然后使用linalg模块中的svd函数来进行奇异值分解。
具体的代码如下所示：```pythonimport numpy as npA = ([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])U, s, VT = (A)```在这段代码中，我们首先导入了NumPy库，并且定义了一个矩阵A。
然后，我们使用linalg模块中的svd函数对矩阵A进行了奇异值分解。
函数的返回值是三个矩阵U、s和VT，分别对应于奇异值分解A=UΣV^T中的U、Σ和V^T。
接下来，我们可以利用这些分解得到的矩阵来进行一些操作。
比如，我们可以利用奇异值分解来进行矩阵的逆、伪逆、压缩、降维等操作。
基于fpga的奇异值分解
基于fpga的奇异值分解奇异值分解是一种重要的数学方法，可以用于解决很多实际问题。
它的应用范围非常广泛，包括信号处理、图像压缩、降维等领域。
在基于FPGA的奇异值分解中，FPGA（Field-Programmable Gate Array）是一种可编程逻辑器件，可以实现并行计算，因此非常适合用于加速奇异值分解的计算过程。
通过将奇异值分解算法实现在FPGA上，可以大大提高计算速度，加快数据处理的效率。
奇异值分解的核心思想是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，即A = U * Σ * V^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵。
这种分解可以将原始矩阵的信息进行压缩和重构，从而提取出重要的特征。
在基于FPGA的奇异值分解中，首先需要将输入矩阵加载到FPGA 的存储器中。
然后，通过并行计算的方式，对矩阵进行奇异值分解的计算。
这个过程可以分为三个步骤：计算U矩阵、计算Σ矩阵和计算V矩阵。
在计算U矩阵时，可以利用FPGA的并行计算能力，同时计算多个列向量。
通过对每个列向量进行正交化处理，最终得到U矩阵。
计算Σ矩阵时，可以通过对输入矩阵进行奇异值分解，得到奇异值和相应的左右奇异向量。
然后，将奇异值按照降序排列，构成对角矩阵Σ。
计算V矩阵时，可以利用FPGA的并行计算能力，同时计算多个行向量。
通过对每个行向量进行正交化处理，最终得到V矩阵。
通过以上三个步骤，就可以完成基于FPGA的奇异值分解。
最后，可以将分解得到的U、Σ和V矩阵重新相乘，得到原始矩阵的近似重构。
基于FPGA的奇异值分解在实际应用中具有很大的潜力。
它可以加速大规模矩阵计算的速度，提高数据处理的效率。
同时，通过奇异值分解，可以提取出矩阵的重要特征，为后续的数据分析和应用提供有价值的信息。
基于FPGA的奇异值分解是一种重要的数学方法，可以应用于多个领域。
它的实现过程中利用了FPGA的并行计算能力，可以提高计算速度和数据处理效率。
通过奇异值分解，可以压缩和重构矩阵的信息，提取出重要的特征。
奇异值分解及其应用
PCA的实现一般有两种，一种是用特征值分解去实现的，一种是用奇异值分解去实现的。
特征值和奇异值在大部分人的印象中，往往是停留在纯粹的数学计算中。
而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。
奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示，这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性。
就像是描述一个人一样，给别人描述说这个人长得浓眉大眼，方脸，络腮胡，而且带个黑框的眼镜，这样寥寥的几个特征，就让别人脑海里面就有一个较为清楚的认识，实际上，人脸上的特征是有着无数种的，之所以能这么描述，是因为人天生就有着非常好的抽取重要特征的能力，让机器学会抽取重要的特征，SVD是一个重要的方法。
在机器学习领域，有相当多的应用与奇异值都可以扯上关系，比如做feature reduction的PCA，做数据压缩（以图像压缩为代表）的算法，还有做搜索引擎语义层次检索的LSI（Latent Semantic Indexing）奇异值与特征值基础知识特征值分解和奇异值分解在机器学习领域都是属于满地可见的方法。
两者有着很紧密的关系，我在接下来会谈到，特征值分解和奇异值分解的目的都是一样，就是提取出一个矩阵最重要的特征。
先谈谈特征值分解吧：如果说一个向量v是方阵A的特征向量，将一定可以表示成下面的形式：这时候λ就被称为特征向量v对应的特征值，一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。
特征值分解是将一个矩阵分解成下面的形式：其中Q是这个矩阵A的特征向量组成的矩阵，Σ是一个对角阵，每一个对角线上的元素就是一个特征值。
我这里引用了一些参考文献中的容来说明一下。
首先，要明确的是，一个矩阵其实就是一个线性变换，因为一个矩阵乘以一个向量后得到的向量，其实就相当于将这个向量进行了线性变换。
比如说下面的一个矩阵：它其实对应的线性变换是下面的形式：因为这个矩阵M乘以一个向量(x,y)的结果是：上面的矩阵是对称的，所以这个变换是一个对x，y轴的方向一个拉伸变换（每一个对角线上的元素将会对一个维度进行拉伸变换，当值>1时，是拉长，当值<1时时缩短），当矩阵不是对称的时候，假如说矩阵是下面的样子：它所描述的变换是下面的样子：这其实是在平面上对一个轴进行的拉伸变换（如蓝色的箭头所示），在图中，蓝色的箭头是一个最主要的变化方向（变化方向可能有不止一个），如果我们想要描述好一个变换，那我们就描述好这个变换主要的变化方向就好了。
奇异值分解及其应用
奇异值分解及其应用June 8th, 2022, what a day of hard work.PCA的实现一般有两种,一种是用特征值分解去实现的,一种是用奇异值分解去实现的;特征值和奇异值在大部分人的印象中,往往是停留在纯粹的数学计算中;而且线性代数或者矩阵论里面,也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景;奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法,它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示,这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性;就像是描述一个人一样,给别人描述说这个人长得浓眉大眼,方脸,络腮胡,而且带个黑框的眼镜,这样寥寥的几个特征,就让别人脑海里面就有一个较为清楚的认识,实际上,人脸上的特征是有着无数种的,之所以能这么描述,是因为人天生就有着非常好的抽取重要特征的能力,让机器学会抽取重要的特征,SVD是一个重要的方法;在机器学习领域,有相当多的应用与奇异值都可以扯上关系,比如做feature reduction的PCA,做数据压缩以图像压缩为代表的算法,还有做搜索引擎语义层次检索的LSILatent Semantic Indexing奇异值与特征值基础知识特征值分解和奇异值分解在机器学习领域都是属于满地可见的方法;两者有着很紧密的关系,我在接下来会谈到,特征值分解和奇异值分解的目的都是一样,就是提取出一个矩阵最重要的特征;先谈谈特征值分解吧：如果说一个向量v是方阵A的特征向量,将一定可以表示成下面的形式：这时候λ就被称为特征向量v对应的特征值,一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量;特征值分解是将一个矩阵分解成下面的形式：其中Q是这个矩阵A的特征向量组成的矩阵,Σ是一个对角阵,每一个对角线上的元素就是一个特征值;我这里引用了一些参考文献中的内容来说明一下;首先,要明确的是,一个矩阵其实就是一个线性变换,因为一个矩阵乘以一个向量后得到的向量,其实就相当于将这个向量进行了线性变换;比如说下面的一个矩阵：它其实对应的线性变换是下面的形式：因为这个矩阵M乘以一个向量x,y的结果是：上面的矩阵是对称的,所以这个变换是一个对x,y轴的方向一个拉伸变换每一个对角线上的元素将会对一个维度进行拉伸变换,当值>1时,是拉长,当值<1时时缩短,当矩阵不是对称的时候,假如说矩阵是下面的样子：它所描述的变换是下面的样子：这其实是在平面上对一个轴进行的拉伸变换如蓝色的箭头所示,在图中,蓝色的箭头是一个最主要的变化方向变化方向可能有不止一个,如果我们想要描述好一个变换,那我们就描述好这个变换主要的变化方向就好了;反过头来看看之前特征值分解的式子,分解得到的Σ矩阵是一个对角阵,里面的特征值是由大到小排列的,这些特征值所对应的特征向量就是描述这个矩阵变化方向从主要的变化到次要的变化排列当矩阵是高维的情况下,那么这个矩阵就是高维空间下的一个线性变换,这个线性变化可能没法通过图片来表示,但是可以想象,这个变换也同样有很多的变换方向,我们通过特征值分解得到的前N个特征向量,那么就对应了这个矩阵最主要的N个变化方向;我们利用这前N个变化方向,就可以近似这个矩阵变换;也就是之前说的：提取这个矩阵最重要的特征;总结一下,特征值分解可以得到特征值与特征向量,特征值表示的是这个特征到底有多重要,而特征向量表示这个特征是什么,可以将每一个特征向量理解为一个线性的子空间,我们可以利用这些线性的子空间干很多的事情;不过,特征值分解也有很多的局限,比如说变换的矩阵必须是方阵;下面谈谈奇异值分解;特征值分解是一个提取矩阵特征很不错的方法,但是它只是对方阵而言的,在现实的世界中,我们看到的大部分矩阵都不是方阵,比如说有N个学生,每个学生有M科成绩,这样形成的一个N M的矩阵就不可能是方阵,我们怎样才能描述这样普通的矩阵呢的重要特征呢奇异值分解可以用来干这个事情,奇异值分解是一个能适用于任意的矩阵的一种分解的方法：假设A是一个M N的矩阵,那么得到的U是一个M M的方阵里面的向量是正交的,U里面的向量称为左奇异向量,Σ是一个M N的矩阵除了对角线的元素都是0,对角线上的元素称为奇异值,VT是一个N N的矩阵,里面的向量也是正交的,V里面的向量称为右奇异向量,从图片来反映几个相乘的矩阵的大小可得下面的图片那么奇异值和特征值是怎么对应起来的呢首先,我们将一个矩阵A的转置乘以A,将会得到一个方阵,我们用这个方阵求特征值可以得到：这里得到的v,就是我们上面的右奇异向量;此外我们还可以得到：这里的σ就是上面说的奇异值,u就是上面说的左奇异向量;奇异值σ跟特征值类似,在矩阵Σ中也是从大到小排列,而且σ的减少特别的快,在很多情况下,前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了;也就是说,我们也可以用前r大的奇异值来近似描述矩阵,这里定义一下部分奇异值分解：r是一个远小于m、n的数,这样矩阵的乘法看起来像是下面的样子：右边的三个矩阵相乘的结果将会是一个接近于A的矩阵,在这儿,r越接近于n,则相乘的结果越接近于A;而这三个矩阵的面积之和在存储观点来说,矩阵面积越小,存储量就越小要远远小于原始的矩阵A,我们如果想要压缩空间来表示原矩阵A,我们存下这里的三个矩阵：U、Σ、V就好了;奇异值的计算奇异值的计算是一个难题,是一个ON^3的算法;在单机的情况下当然是没问题的,matlab在一秒钟内就可以算出1000 1000的矩阵的所有奇异值,但是当矩阵的规模增长的时候,计算的复杂度呈3次方增长,就需要并行计算参与了;Google的吴军老师在数学之美系列谈到SVD的时候,说起Google实现了SVD 的并行化算法,说这是对人类的一个贡献,但是也没有给出具体的计算规模,也没有给出太多有价值的信息;其实SVD还是可以用并行的方式去实现的,在解大规模的矩阵的时候,一般使用迭代的方法,当矩阵的规模很大比如说上亿的时候,迭代的次数也可能会上亿次,如果使用Map-Reduce框架去解,则每次Map-Reduce完成的时候,都会涉及到写文件、读文件的操作;个人猜测Google云计算体系中除了Map-Reduce以外应该还有类似于MPI的计算模型,也就是节点之间是保持通信,数据是常驻在内存中的,这种计算模型比Map-Reduce在解决迭代次数非常多的时候,要快了很多倍;Lanczos迭代就是一种解对称方阵部分特征值的方法之前谈到了,解A’ A得到的对称方阵的特征值就是解A的右奇异向量,是将一个对称的方程化为一个三对角矩阵再进行求解;按网上的一些文献来看,Google应该是用这种方法去做的奇异值分解的;请见Wikipedia上面的一些引用的论文,如果理解了那些论文,也“几乎”可以做出一个SVD了;由于奇异值的计算是一个很枯燥,纯数学的过程,而且前人的研究成果论文中几乎已经把整个程序的流程图给出来了;更多的关于奇异值计算的部分,将在后面的参考文献中给出,这里不再深入,我还是focus在奇异值的应用中去;奇异值分解SVD与主成分分析PCA这里主要谈谈如何用SVD去解PCA的问题;PCA的问题其实是一个基的变换,使得变换后的数据有着最大的方差;方差的大小描述的是一个变量的信息量,我们在讲一个东西的稳定性的时候,往往说要减小方差,如果一个模型的方差很大,那就说明模型不稳定了;但是对于我们用于机器学习的数据主要是训练数据,方差大才有意义,不然输入的数据都是同一个点,那方差就为0了,这样输入的多个数据就等同于一个数据了;以下面这张图为例子：这个假设是一个摄像机采集一个物体运动得到的图片,上面的点表示物体运动的位置,假如我们想要用一条直线去拟合这些点,那我们会选择什么方向的线呢当然是图上标有signal的那条线;如果我们把这些点单纯的投影到x轴或者y轴上,最后在x轴与y轴上得到的方差是相似的因为这些点的趋势是在45度左右的方向,所以投影到x轴或者y轴上都是类似的,如果我们使用原来的xy坐标系去看这些点,容易看不出来这些点真正的方向是什么;但是如果我们进行坐标系的变化,横轴变成了signal的方向,纵轴变成了noise的方向,则就很容易发现什么方向的方差大,什么方向的方差小了;一般来说,方差大的方向是信号的方向,方差小的方向是噪声的方向,我们在数据挖掘中或者数字信号处理中,往往要提高信号与噪声的比例,也就是信噪比;对上图来说,如果我们只保留signal方向的数据,也可以对原数据进行不错的近似了;PCA的全部工作简单点说,就是对原始的空间中顺序地找一组相互正交的坐标轴,第一个轴是使得方差最大的,第二个轴是在与第一个轴正交的平面中使得方差最大的,第三个轴是在与第1、2个轴正交的平面中方差最大的,这样假设在N维空间中,我们可以找到N个这样的坐标轴,我们取前r个去近似这个空间,这样就从一个N维的空间压缩到r维的空间了,但是我们选择的r个坐标轴能够使得空间的压缩使得数据的损失最小;还是假设我们矩阵每一行表示一个样本,每一列表示一个feature,用矩阵的语言来表示,将一个m n的矩阵A的进行坐标轴的变化,P就是一个变换的矩阵从一个N维的空间变换到另一个N维的空间,在空间中就会进行一些类似于旋转、拉伸的变化;而将一个m n的矩阵A变换成一个m r的矩阵,这样就会使得本来有n个feature的,变成了有r个feature了r < n,这r个其实就是对n个feature的一种提炼,我们就把这个称为feature的压缩;用数学语言表示就是：但是这个怎么和SVD扯上关系呢之前谈到,SVD得出的奇异向量也是从奇异值由大到小排列的,按PCA的观点来看,就是方差最大的坐标轴就是第一个奇异向量,方差次大的坐标轴就是第二个奇异向量…我们回忆一下之前得到的SVD式子：在矩阵的两边同时乘上一个矩阵V,由于V是一个正交的矩阵,所以V转置乘以V 得到单位阵I,所以可以化成后面的式子将后面的式子与A P那个m n的矩阵变换为m r的矩阵的式子对照看看,在这里,其实V就是P,也就是一个变化的向量;这里是将一个m n 的矩阵压缩到一个m r的矩阵,也就是对列进行压缩,如果我们想对行进行压缩在PCA的观点下,对行进行压缩可以理解为,将一些相似的sample合并在一起,或者将一些没有太大价值的sample去掉怎么办呢同样我们写出一个通用的行压缩例子：这样就从一个m行的矩阵压缩到一个r行的矩阵了,对SVD来说也是一样的,我们对SVD分解的式子两边乘以U的转置UT这样我们就得到了对行进行压缩的式子;可以看出,其实PCA几乎可以说是对SVD的一个包装,如果我们实现了SVD,那也就实现了PCA了,而且更好的地方是,有了SVD,我们就可以得到两个方向的PCA,如果我们对A’A进行特征值的分解,只能得到一个方向的PCA;奇异值与潜在语义索引LSI潜在语义索引Latent Semantic Indexing与PCA不太一样,至少不是实现了SVD就可以直接用的,不过LSI也是一个严重依赖于SVD的算法,之前吴军老师在矩阵计算与文本处理中的分类问题中谈到：“三个矩阵有非常清楚的物理含义;第一个矩阵X中的每一行表示意思相关的一类词,其中的每个非零元素表示这类词中每个词的重要性或者说相关性,数值越大越相关;最后一个矩阵Y中的每一列表示同一主题一类文章,其中每个元素表示这类文章中每篇文章的相关性;中间的矩阵则表示类词和文章雷之间的相关性;因此,我们只要对关联矩阵A进行一次奇异值分解,w 我们就可以同时完成了近义词分类和文章的分类;同时得到每类文章和每类词的相关性;”上面这段话可能不太容易理解,不过这就是LSI的精髓内容,我下面举一个例子来说明一下,下面的例子来自LSA tutorial,具体的网址我将在最后的引用中给出：这就是一个矩阵,不过不太一样的是,这里的一行表示一个词在哪些title中出现了一行就是之前说的一维feature,一列表示一个title中有哪些词,这个矩阵其实是我们之前说的那种一行是一个sample的形式的一种转置,这个会使得我们的左右奇异向量的意义产生变化,但是不会影响我们计算的过程;比如说T1这个title中就有guide、investing、market、stock四个词,各出现了一次,我们将这个矩阵进行SVD,得到下面的矩阵：左奇异向量表示词的一些特性,右奇异向量表示文档的一些特性,中间的奇异值矩阵表示左奇异向量的一行与右奇异向量的一列的重要程序,数字越大越重要;继续看这个矩阵还可以发现一些有意思的东西,首先,左奇异向量的第一列表示每一个词的出现频繁程度,虽然不是线性的,但是可以认为是一个大概的描述,比如book是0.15对应文档中出现的2次,investing是0.74对应了文档中出现了9次,rich是0.36对应文档中出现了3次；其次,右奇异向量中一的第一行表示每一篇文档中的出现词的个数的近似,比如说,T6是0.49,出现了5个词,T2是0.22,出现了2个词;然后我们反过头来看,我们可以将左奇异向量和右奇异向量都取后2维之前是3维的矩阵,投影到一个平面上,可以得到：在图上,每一个红色的点,都表示一个词,每一个蓝色的点,都表示一篇文档,这样我们可以对这些词和文档进行聚类,比如说stock 和 market可以放在一类,因为他们老是出现在一起,real和estate可以放在一类,dads,guide这种词就看起来有点孤立了,我们就不对他们进行合并了;按这样聚类出现的效果,可以提取文档集合中的近义词,这样当用户检索文档的时候,是用语义级别近义词集合去检索了,而不是之前的词的级别;这样一减少我们的检索、存储量,因为这样压缩的文档集合和PCA是异曲同工的,二可以提高我们的用户体验,用户输入一个词,我们可以在这个词的近义词的集合中去找,这是传统的索引无法做到的;。
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并行计算奇异值分解--Jacobi旋转
鉴于矩阵的奇异值分解SVD在工程领域的广泛应用（如数据压缩、噪声去除、数值分析等等，包括在NLP领域的潜在语义索引LSI核心操作也是SVD），今天就详细介绍一种SVD的实现方法--Jacobi旋转法。
跟其它SVD算法相比，Jacobi法精度高，虽然速度慢，但容易并行实现。
一些链接
/Article/CDMD-10285-1012286387.htm并行JACOBI方法求解矩阵奇异值的研究。
本文呈现的代码就是依据这篇论文写出来的。
/javanumerics/jama/ Jama包是用于基本线性代数运算的java包，提供矩阵的cholesky 分解、LUD分解、QR分解、奇异值分解，以及PCA中要用到的特征值分解，此外可以计算矩阵的乘除法、矩阵的范数和条件数、解线性方程组等。
http://users.telenet.be/rmuseau/SVD.htm在线SVD运算器。
http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/ bluebit在线矩阵运算器，提供矩阵的各种运算。
/Projects/Matrix/C++ Matrix library提供矩阵的加减乘除、求行列式、LU分解、求逆、求转置。
本文的头两段程序就引用了这里面的matrix.h。
基于双边Jacobi旋转的奇异值分解算法
V是A的右奇异向量，也是的特征向量;
U是A的左奇异向量，也是的特征向量。
特别地，当A是对称矩阵的时候，=，即U=V，U的列向量不仅是的特征向量，也是A 的特征向量。
这一点在主成分分析中会用到。
对于正定的对称矩阵，奇异值等于特征值，奇异向量等于特征向量。
U、V都是正交矩阵，满足矩阵的转置即为矩阵的逆。
双边Jacobi方法本来是用来求解对称矩阵的特征值和特征向量的，由于就是对称矩阵，求出的特征向量就求出了A的右奇异值，的特征值开方后就是A的奇异值。
一个Jacobi旋转矩阵J形如：
它就是在一个单位矩阵的基础上改变p行q行p列q列四个交点上的值，J矩阵是一个标准正交矩阵。
当我们要对H和p列和q列进行正交变换时，就对H施行：
在一次迭代过程当中需要对A的任意两列进行一次正交变换，迭代多次等效于施行
迭代的终止条件是为对角矩阵，即原矩阵H进过多次的双边Jacobi旋转后非对角线元素全部变成了0（实现计算当中不可能真的变为0，只要小于一个很小的数就可以认为是0了）。
每一个J都是标准正交阵，所以也是标准正交阵，记为V，则是
，则。
从此式也可以看出对称矩阵的左奇异向量和右奇异向量是相等的。
V也是H的特征向量。
当特征值是0时，对应的U i和V i不用求，我们只需要U和V的前r列就可以恢复矩阵A了（r是非0奇异值的个数），这也正是奇异值分解可以进行数据压缩的原因。
+ View Code
基于单边Jacobi旋转的SVD算法
相对于双边，单边的计算量小，并且容易并行实现。
单边Jacobi方法直接对原矩阵A进行单边正交旋转，A可以是任意矩阵。
同样每一轮的迭代都要使A的任意两列都正交一次，迭代退出的条件是B的任意两列都正交。
单边Jacobi旋转有这么一个性质：旋转前若，则旋转后依然是；反之亦然。
把矩阵B每列的模长提取出来，，把记为V，则。
+ View Code
基于单边Jacobi旋转的SVD并行算法
单边Jacobi之于双边Jacobi的一个不同就是每次旋转只影响到矩阵A的两列，因经很多列对的正交旋转变换是可以并行执行的。
基本思想是将A按列分块，每一块分配到一个计算节点上，块内任意两列之间进行单边Jacobi正交变换，所有的计算节点可以同时进行。
问题就是矩阵块内部列与列之间进行正交变换是不够的，我们需要所有矩阵块上的任意两列之间都进行正交变换，这就需要计算节点之间交换矩阵的列。
本文采用奇偶序列的方法，具体可参考文
章/Article/CDMD-10285-1012286387.htm。
由于这次我用的是C版的MPI（MPI也有C++和Fortan版的），所以上面代码用到的C++版的matrix.h就不能用了，需要自己写一个C版的matrix.h。
matrix.h
svd.c。