血管的三维重建
血管的三维重建课件
m(:,:,b+1)=imread([int2str(b),'.bmp']); end
血管的三维重建
-10-
建模方法思想
需考虑的细节：
2）何谓边界点？
四邻域的概念 找边界点坐标的算法
血管的三维重建
-2-
Z=0
Z=49
Z=98
Z=1
Z=50
血管的三维重建
Z=99
-3-
假设
1）血管的表面是由半径固定、球心沿着某一曲 线（称为中轴线）的球滚动而形成的包络面。 2）中轴线上任两点处的法截面圆不相交。 3）管道中轴线与每张切片平面有且只有一个交 点。
血管的三维重建
-4-
图象的矩阵表示
后面的切片。
Z=57
Z=60
血管的三维重建
-22-
误差大的原因和改进途径
误差大的原因：
1）图象误差 实际图象边界上的点是连续的，在转换成
bmp图象时，象素表示的图象边界是离散的，成 锯齿状，与实际图象有误差（舍入误差）。 2）同一张切片上的最大内切圆不唯一
解决办法：
1）方法一：取平均 求出同一张切片上的所有最大内切圆的圆心，然 后求平均值。
问题重述
断面可用于了解生物组织、器官等的形态。例如，将 样本染色后切成厚约1m m的切片，在显微镜下观察该横断 面的组织形态结构。如果用切片机连续不断地将样本切成 数十、成百的平行切片， 可依次逐片观察。根据拍照并 采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、 器官等准确的三维形态。
假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是 由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。 例如圆柱就是这样一种管道，其中轴线为直线，由半径固 定的球滚动包络形成。
血管三维重建的问题
察清楚 ; 其 内部 的复 杂结 构 , 而 却不是一 目了然 , 只有 剖开来 , 能看个 究 竟 .剖 的方法很 多 , 才
其 中一 种 是做 成 切 片 .所 谓切 片 就 是 用 一 组 等 间距 的平 行 平 面 将 生 物 体 中需 要 研 究 的部 位 切 成 簿 薄 的 一片 片 , 一 片 就 是 生 物 体 某 一横 断 面 的 图 象 . 按 顺 序 排 列 起 来 就 形 成 切 片 图 象 序 每 列 , 称 序 列 图象 . 切 片 的 制 作 过 程 实 际 上 是一 个 分 解 的 过 程 , 或 即将 一 个 空 间 中 的 生 物 体 的有 关 部 分 , 解 为 一 系 列 的 平 面 图象 . 如 临 床 中 的病 理 切 片 , 如 美 国 国家 医学 图 书 馆 已 将 二 名 分 又
帮 助 人 们 由 表 及 里 , 浅 人 深 地 认 识 生 物 体 的 内部 性 质 与 变 化 , 解其 空 间结 构 和 形态 由 理 我 们 知 道 , 物 体 的外 部 形 态 多 种 多 样 . 借 助 一 定 的 辅 助 工 具 , 们 凭 肉 眼 一 般 都 能 观 生 但 人
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建 模 专 辑
血管 三堆 重建 的 问题
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出生 物 体 的 内 部 结 构 和 几 何 形 状 . 在今 天 当然 把 这 项 繁 杂 的 工 作 交 由 计 算 机 完 成 实 行 序 列 图象 的 三 维 重 建 的 计 算 机 化 , 自动 化 .序 列 图象 的计 算 机 三 维 重 建 是 切 片 制 作 的 逆 过 程 很 复
切 片 图象 获 得 后 , 会造 成 生 物 体 本 质性 破 坏 , 不 已成 为 获 取 断 层 图象 序 列 最 重 要 的诊 断手 段 .
【 数学建模竞赛】血管的三维重建模型g精品
血管的三维重建模型摘要：本文对血管三维重建中，中轴线及球的半径确定问题进行了讨论。
首先，根据问题及图象处理提取有效数据，给出两种可行算法，利用上述数据建立了最大最小方法和二次规划方法。
搜索中心点，并给出全局和局部搜索，得到各切片中心点坐标(见表1)，并通过插值方式得到中轴线图象及其各投影。
最后对模型给出检验方式。
一 、问题的重述假设某些血管可视为一类特殊的管道,该管道的表面是由球心沿着某一曲线 (称为中轴线)的球（命名为包络球）滚动包络而成。
现有某管道的相继100张平行切片图象,记录了管道与切片的交。
假设：管道中轴线与每张图片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1.取坐标的Z 轴垂直于切片，第1张切片为平面0=Z ，第100张切片为平面99=Z . 计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY 、YZ 、ZX 平面的投影图。
二、模型假设与符号说明1、 基本假设：（1） 该管道的表面为一定长半径的球沿一固定的曲线运动所得曲面族包络的光滑表面。
（2） 该管道的中轴线连续而且光滑。
（3） 该管道的中轴线与每个切面有且只有一个交点。
（4） 图象象素的尺寸为1. （5） 切片的间距尺寸为1.2、 符号说明：L 中轴线R 包络球的半径()z y x O i ,, 中轴线与第i 个切片的交点（定为此切片的中心）i S 第i 个切片切得的图形 i D 第i 个切片的图象数据矩阵三、问题分析及建模准备 问题分析：通常血管的表面可认为是连续且光滑的曲面，断面可用于了解其形态等特性。
本问题给出的是一些离散的切面，要求重建出原图中轴线和求出包络球半径。
因为每一个切面与中轴线L 有且只有一个交点i O ，如果找出所有i O ,就可以用插值或拟合的方式作出L 的近似图象，其在坐标平面上的投影就很容易画出。
问题的关健转变为求每个平面上的i O . 建模准备：1、 图象的读取由于切片图象中只有黑、白两种颜色的象素,而且所给的BMP 格式图象文 件是512×512象素的.因此,把图象读取为一个512×512的数字矩阵；用数字1表示黑色的象素，用数字0表示白色的象素。
基于广义锥理论的血管三维重建方法
Ｃ ｒ网易教育频道 ：假设某些血 管可视为一类特殊的管 ＯＮ 道． 该管道 的表面是 由球心沿着某一曲线 （ 称为 中轴线 ） 的球滚动包络而成 。 例如 圆柱就是这样一种管道 ． 其中轴 线 为直线 ，由半径固定的球 滚动包络形成 。 现有某管道 的相继 １Ｏ张平行切 片图像 ．记录 了管 Ｏ 道与切片的交。 图像文件 名依 次为Ｏｂｎ 、 ｒｐ ９ ｒｐ １ｂｎ 、 ９ ｂ ，格式均为 ＢＭ 宽 、高均 为 ５ ２ ｍｐ Ｐ． １ 个象 素 （ ｉ １。 ｐｘ ） ｅ 为简化起见 ．假设 ：管道 中轴线与每张切片 只有 一个交 点 ：球半径 固定 ：切 片间距 以及图像象素的尺寸均 为 １ 。 取坐标系的ｚ轴垂直于切片 ． １ 第 张切片 为平面 Ｚ ０ 第 ＝， １Ｏ Ｏ 张切片 为平面 Ｚ ９ 。Ｚ Ｚ 片图像 中象素 的坐标依 ＝９ ＝ 切 它们在文件 中出现 的前后次序为
Ｖｏ． Ｎｏ １ ０ ２ １ ８ ． ２ ｏ
— ． －
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２ 血管的三维重 建问题
血管 的三维重建是 医学图像处理领域一个传统的公
开问题 。 该问题如下形式 的描 述及图像来源于Ｗ Ｗ １ ３ Ｗ ６ ．
３ １ 广义锥理论 表示三维物体有一 种通用 的方法： 广义锥 。 它有 三 维空间的曲线 （ 表示三 维物体的轴线 ）和一组正交于轴 的物体截 口的轮廓组成 。 广义锥有队下 三个 要素来表示：
（ ５ ， ５ ．） 一５ ． ５ ， ． （ ５ ．５ ） 一 ６－ ６ｚ ， ２ ６－ ５ｚ ２ ２ （ ２ ） － ６２ ５ｚ， ２ （ ５ ２ ６ｚ ， ２ ５一５ ，） （ ５ ．５ ．） － ５－５ ．） －５ ． ５ ．．２ ５２ ５ｚ， ２ （ ２ ｚ － （ ５ ． ５ ，）（ ５ ， ５ ： … （ ５ ，５ ，） 一 ５－ ６ｚ ． ２ ５－ ５ｚ ２ ２ 一 ２ ） 一 ５２ ５ｚ． ２
数学建模血管的三维重建问题
A题血管的三维重建问题摘要：本论文讨论基于切片的血管三维重建问题。
其背景是：采取存储二维切片信息，使用时再利用切片信息重建原物体三维形态的方法，可以有效地保存和利用三维信息。
此技术在实际中有很大的用途，在医学和其他领域有广泛的应用。
如要将人体全部三维信息，包含内部错综复杂的结构，完整地存储在计算机中，以现在的技术也是有一定难度的，但若改用存储人体切片信息，使用时重建再现的方法，则是利用现有技术可以解决的。
本论文基于题中对血管形态的假设，建立管道中轴线参数方程，并综合考虑实际情况中由于切片厚度及数字图像离散化带来的偏差，通过在每张切片图像中搜索其中阴影区域所能包含的最大圆面，确定管半径为R=29，在此基础上，将每张切片图像中阴影区域所能包含的半径大于等于R的圆面圆心作为中轴线与各切片交点（即中心点）的候选点集合。
本模型使用了三种改进算法对该候选点集进行筛选以确定实际交点。
最终迭代算法简述如下：1．对每个切片，建立中心点的候选点集，并取点集的中位点为中心点初值2．利用得到的中心点建立中轴线方程3．利用中轴线方程推导导数信息，根据导数信息比例选取中心点的候选点集的某点作为中心点的新值4．重复步骤2、3，直至结果达到较稳定状态为止5．输出中心点及中轴线方程在模型建立中，对选取侯选点集、求中位点、利用导数信息进行比例选取均给出完整的算法，并且对半径确定、候选点选取、采用导数作为比例选取依据等问题给出详尽的证明。
考虑到实际血管的中轴线应充分光滑，计算最终中轴线参数表达式时采取了六阶多项式拟合。
最后用还原的血管形态模拟切片过程可以得到一系列数字图像，与原切片图像进行比较，可以检验模型的合理性及精度。
该模型最终计算结果如下。
血管中轴线示意图从模型结果中看出，中心点分布均匀稳定，模拟检验的切片数字图像与原切片的数字图像吻合较好，模型结果精度及稳定性符合要求。
本模型算法简明，理论严密，比例选取算法使结果中心点尽可能收敛于真实中心点，迭代算法保证了结果的精度和稳定性，符合题目要求。
CT三维重建 (NXPowerLite)
肺结节容积测量（间隔15d） （VR及容积雕刻）
1
肺结节容积测量(间隔75d、 103d复查)（MPR、VR容积雕刻）
1
VE
为一种非侵入性医学成像技术，为虚拟-真实 技术在3DCT上的应用，由于CT容积采集技术的发 展和计算机图像硬件及软件的进展使VE得以实现， 人体某一部位自影像诊断资料中得到一组3D数据， 在计算机上重建空腔脏器内表面的立体图像，利 用导航内视技术软件作腔内观察，类似纤维光镜 所见，并附加伪彩着色，以获取人体腔道内三维 或动态三维解剖学图像。
9、Gd - DTPA 造影剂增强扫描，在显示畸形血管细小供 血动脉和引流静脉方面可获得较满意的结果。
1
MR在血管畸形诊断中应用
1
CT三维重建
武汉大学中南医院影像中心 廖美 焱
1
原理
三维重建是将CT得到的二维灰阶数据经计算机处理， 得到X、Y、Z三维灰阶数据，并显示具有真实感的三维解 剖结构，称为三维重建术。
1
MR在血管畸形诊断中应用
8、MRA ( TOF) 和( PC) 两种技术、二维(2D) 和三维(3D) 图像重建，3D - TOF 的图像分辨率较高，对血管的搏 动敏感性较差，对供血动脉较粗、血流速度快。而复 杂血管，例如动静脉畸形的检查较为理想；3D - PC 技 术，特别在血管畸形有明显出血的时候为最佳检查方 法。但是3D - PC 因需反复预测最佳血液流速，成像时 间长，临床应用较少。
1
Challa分类
1、形态学+病因学+发病部位
2、分类：
Ⅰ脑和脊髓实质
A 动静脉畸形
B和C 静脉血管瘤和静脉扩张
D 毛细血管扩张症 E 海面状血管瘤
F 混合型：毛细血管型+海面型，海面型+静脉型
基于MITK的血管三维重建
（ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎ ｉ ｃ ｌ ｎ ｆ ｏ ｍｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ Ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ， Ｂ ｅ ｉ ｊ ｉ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， Ｂ ｅ ｉ ｊ ｉ ｎ ｇ １ ０ ０ １ ２ ４ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
ａ ｎ ｙ ａ ｎ ｇ ｌ ｅ ．ｃ ａ ｎ ｒ ｅ ｍｏ ｖ ｅ ｐ ａ ｒ ｌ ｉ ａ ］ｉ ｒ ｒ ｅ ｌ ｅ ｖ ａ ｌ ｉ ｔ ｖ ｏ ｘ ｅ Ｊ ｔ ｏ ｈ ｅ ｌ ｐ ｄ ｏ ｃ ｔ ｏ ｒ ｏ ｂ ｓ ｅ ｒ ｖ ｅ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｔ ｅ ｕａ ｒ ｌ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅ ａ ｎ ｄ ｄ ｅ ｔ ａ ｉ ｌ ｓ ｏ ｆ ｖ ｅ ｓ ｓ ｅ ｌ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｎ ｉ ｅ ｎ ｔ ｌ ｙ ．Ｂｅ —
ｓ ｉ ｄ ｅ ｓ ．ａ ｄ ｊ ｕ ｓ ｔ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｏ ｐ ａ ｃ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｔ ｈ Ｊ ’ ｅ ｅ － ｄ ｉ ｍｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｉ ｍ ａ ｇ ｅ Ｃ ａ ｌ ｌ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｃ ｌ ｅ ａ ｒ ｔ ｈ ｒ ｅ ｅ — ｄ ｉ ｍｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ｏ ｆ ｖ ｅ ｓ ｓ ｅ １ ．
效 果 不好 等 问题 ， 基 于 ＭＩ Ｔ Ｋ平 台， 采 用 光 线投 射 算 法 对 二 维 超 声 图像 序 列 进 行 体 绘 制 三 维 重 建 。对
重 建模 型 进 行 旋 转 、 缩放 和任 意 平 面 裁 剪 等 交 互 操 作 ， 裁 剪 掉 一部 分 无 关 体 素 ， 有 助 于 医 生 观 察 血 管 的 内部 结 构 和 细 节信 息 。此 外 ， 通 过 调 节体 素 的 阻光 度值 ， 可 以得 到 层 次 清 晰 的 三 维血 管模 型 。
多层螺旋CT血管三维重建在脑膜瘤术前评估的应用价值
血管的三维重建数学建模
血管的三维重建数学建模
首先，血管的三维重建通常是通过医学影像学来实现的。
医学
影像学包括CT、MRI等技术，这些技术可以提供血管的断层扫描图像。
在这些图像的基础上，可以利用图像处理的方法，如边缘检测、分割等技术，来提取血管的形状和结构信息。
其次，几何建模是血管三维重建的关键环节。
在图像处理的基
础上，需要进行几何建模，将提取到的血管形状转化为数学模型。
这涉及到曲面重建、体素网格生成等技术，以及对血管内部结构的
建模。
另外，数学算法在血管三维重建中也起着重要作用。
例如，曲
面重建可以利用曲面拟合算法，体素网格生成可以利用体细胞自动
机等算法。
此外，对血管的分支、扭曲等特征的识别和建模也需要
借助数学算法来实现。
除此之外，血管的三维重建数学建模还涉及到计算机图形学、
计算几何学等领域的知识。
这些知识和技术的综合运用，可以实现
对血管形状、结构和特征的全面建模和重建。
总的来说，血管的三维重建数学建模是一个复杂而多样化的过程，涉及到多个学科和领域的知识。
通过综合运用图像处理、几何建模、数学算法等技术，可以实现对血管的全面、准确的三维重建和建模。
脑血管疾病诊断中螺旋CT三维重建的作用
脑血管疾病诊断中螺旋CT三维重建的作用目的：探讨脑血管疾病诊断中螺旋CT三维重建的作用。
方法：通过选自于2017年1月至2018年12月期间在我院进行治疗的脑血管病变患者100例作为本次研究对象，对患者行头颅增强CT扫描之后，对患者的三维重建图像进行分析。
同期选取该100例患者头颅CT平扫作为本次研究的对照组。
对照组患者的病情检查使用头颅CT平扫检查，观察组患者的病情检查采用头颅CT增强及三维重建检查。
对比分析两组患者的临床检测确诊率以及诊断结果相较。
结果：患者经过病情检测，对照组患者的病情检测率为47.00%，观察组患者的病情检测则为98.00%，对照组患者的病情检测率明显差于观察组患者的病情诊断率，存在显著差异（P＜0.05）。
结论：螺旋CT三维重建具有安全方便、快速无创、提高临床检测确诊率等优点，可为手术治疗方案提供可靠依据。
标签：脑血管;疾病诊断;螺旋CT;三维重建;诊断成效脑血管类病症是当前临床医学中一种较为常见的病症，由患者的高血压、动脉硬化以及高血脂等相关因素所引发的[1]，脑血管病症的临床病症是一种供血不足或脑出血的病症。
在通常的脑血管病症进行诊断过程中，以腦血管动脉造影作为诊断的金标准，但由于脑血管动脉造影的检查相对较为复杂，并且所需检测费用也相对较高，对患者的创伤也相对较大[2]，因此对于患者的病情检测会造成很大程度的影响。
但是随着临床医学设备的不断创新，螺旋CT的三维重建，给予患者很大的病情诊断帮助。
通过选自于2017年1月至2018年12月期间在我院进行治疗的脑血管病变患者100例作为本次研究对象，探讨脑血管疾病诊断中螺旋CT三维重建的作用。
现报道如下：1资料与方法1.1一般资料通过选自于2017年1月至2018年12月期间，到院经临床确诊符合脑血管疾病指征的100例展开研究，所有患者均行头颅CT平扫、增强CT扫描及后期图像三维重建。
包括男60例，女40例，年龄均为23～76岁，平均年龄为（56.18±4.07）岁，包括50例脑缺血性改变、7例动静脉畸形、18例动脉瘤、10例烟雾病、15例海绵状血管瘤。
应用血管内超声与X射线造影图像融合的血管三维重建
收稿日期：2008-06-23基金项目：国家自然科学基金资助项目（35；63）；华北电力大学“工程”三期校内面上项目作者简介：孙正（），女，河北保定人，副教授，博士，主要研究方向为医学图像处理。
2010年工程图学学报2010第1期J OURNAL OF ENG INEERING GRAPHICSNo.1应用血管内超声与X 射线造影图像融合的血管三维重建孙正（华北电力大学电子与通信工程系,河北保定071003）摘要：针对X 射线血管造影和血管内超声各自显示血管形态的局限以及互补性问题，提出将两种数据进行融合，准确重建血管的方法。
首先从在超声导管回撤路径起点拍摄的两个角度的造影图像对中提取出导管并进行三维重建。
然后采用基于snake 模型的半自动方法从各帧超声图像中提取出血管壁的内外膜边缘。
最后，在Frenet-Serret 标架中确定各相邻帧超声图像间的相对方位后，利用非迭代的统计优化方法确定各帧超声图像沿导管轴向的绝对方位，完成两种数据的融合。
采用临床数据的实验结果验证了算法的可行性，并分析了可能存在的误差和计算成本。
关键词：计算机应用；三维重建；图像融合；X 射线血管造影；血管内超声中图分类号：TP 391；R816.2文献标识码：A文章编号：1003-0158(2010)01-0116-083D Reconstruction of Vessel Based on Fusion of IVUS and X-Ray AngiogramsSUN Zheng(Department of Electronic and Communication Engineering,North China Electri c Power University,Baoding Hebei 071003,China )Abstr act:An approach for fusing X-ray angiogram and intravascular ultrasound (IVUS)images to accurately reconstruct vessels based on compensatory disadvantages of both imaging modalities is proposed.Firstly,the pullback path of IVUS catheter is reconstructed from angiogram pair acquired at the origin of the path.Then,vessel wall boundaries in cross-section of lumen are extracted from IVUS images with a semi-automatic snake-based stly,the relative changes in orientations of IVUS frames are determined with a Frenet-Serret frame-based model.Absolute orientation of each IVUS frame along the pullback path is obtained by using a non-iterative statistical optimization algorithm.Consequently,reconstruction of vessels based on fusion of two types of data is implemented.Experimental results with clinical data demonstrate the validity .Possible errors and computation cost are also discussed.K ey wor ds:computer application;3D reconstruction;image fusion;X-ray angiography;intravascular ultrasound (IVUS)0001290970872111977-目前临床广泛采用的诊断和治疗冠心病的影像手段是X射线冠状动脉造影（coronary angiography，CAG）和血管内超声（intravascular ultrasound，IVUS）。
血管ctv操作流程
血管ctv操作流程
血管CTV（血管计算机断层扫描）是一种通过计算机技术对人体血管进行三维成像的影像学检查方法。
它可以帮助医生诊断和评估各种血管疾病，如动脉瘤、动脉硬化等。
下面将介绍血管CTV的操作流程。
首先，患者需要提前做好准备工作。
在进行血管CTV检查前，患者需要空腹，避免进食和饮水4-6小时。
同时，患者需要告知医生有无对碘过敏史，因为在检查中需要注射含碘造影剂。
接着，患者被要求躺在检查床上，通常是仰卧位。
医生会在患者身体的特定部位（通常是手臂或腿部）插入静脉导管，以便注射造影剂。
然后，医生会将患者放入CTV机器中，机器会围绕患者身体旋转，进行扫描。
在扫描过程中，患者需要保持静止，不要移动身体。
医生会根据需要调整扫描参数，以获得清晰的血管影像。
在扫描过程中，机器会发出轻微的嗡嗡声，但不会对患者造成任何不适。
一旦扫描完成，医生会对得到的影像进行分析和诊断。
医生可以通过三维重建技术，将血管的结构清晰地展示出来，以帮助诊断各种血管疾病。
医生还可以通过比较不同时间点的影像，观察血管病变的发展情况。
最后，医生会向患者解释检查结果，并根据需要制定治疗方案。
如果检查结果显示有血管疾病存在，医生可能会建议进一步的治疗，如手术或药物治疗。
总的来说，血管CTV是一种非常有效的检查方法，可以帮助医
生及时发现和诊断各种血管疾病。
患者在接受血管CTV检查时，需
要配合医生的操作，保持身体的稳定，以确保获得准确的检查结果。
希望以上介绍对您有所帮助。
血管的三维重建
血管的三维重建1摘要序列图像的三维重建在各学科中都起到至关重要的作用，本次讨论的是血管的三维重建。
首先，假设该管道是由球心沿着某一曲面的球滚动包络而成，故本次的主要目的是求岀中轴线坐标及半径。
现有100平行切片图像，本次建立的模型可分为四步；第一步，采集图形边界点数据。
由于每图片都是512*512的矩阵，故此数据很大，采用imread（）函数将其读入矩阵A中。
第二步，最大切圆寻找及半径的确定。
提出两种方案•分别是切线法和最大覆盖法；从上述两种方法分析及考虑到我们所使用的工具和材料•可以得出方法二更加直观•计算机实现更容易•计算复杂度更低.所以我们采用后者。
根据以上算法，我们抽取了所有的切片图进行半径的提取.然后再求其平均值. 求其均值得到球的半径为29. 6345。
第三步，轨迹的搜索。
在第二步中求出了血管的半径，轨迹的搜索就可以建立在半径确定的基础上.当然我们也可以求出每一个切面图形的最大切圆•然后得到每个圆心的坐标，即中轴线坐标，但这样做计算机的运算量会很大.同时由于最大切圆搜索法的稳定性不髙.从而会造成搜索的不精确.所以采用定半径搜索。
本文提岀了三种方法.分别为网格法、蒙特卡罗法和非线性规划法；本次采用非线性规划来实现。
第四步，绘制中轴线空间曲线图和在XOY. YOZ. XOZ三个平面的投影图。
由定理1:切片上血管截面图的头部顶点在XOY平面上的投影点一定会落在中轴线在X0Y平面上的投影曲线上（在论文中以证明），并得出推论：切片上血管截面中中位线与中轴线在XOY面上的投影重合。
最后可由中轴线和血管半径在作图软件中达到血管的三维重建，本次的模型还存在一定的不足，其假设为管道中轴线与每个切面有且只有一个交点，事实上还存在有多个交点的情况，但为了简化模型在此做了一定的假设，故会存在一定的误差。
关键词：三维重建切圆半径轨迹（中轴线）注：求边界时采用了老师的思想和程序。
2问题重述假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线 (称为中轴线)的球滚动包络而成。
医学专题血管切片的三维重建
们知道，因为中轴线是由两条三次样条插值曲线 分别沿着它们所在平面的垂直方向扩展的两个曲 面相交而得到的，而不能由那三个曲面的两两相 交得到的三条曲线重合得到，也就不可避免地存 在较大误差，这种方案也就存在着一定的局限性。 因此，在此基础上我们提出第二种方案。 模型2：当100个中心轴样点坐标已知后，考虑采 用样条插值将已知样点光滑连接，但实际问题是 一空间曲线的插值问题，因此与一般的一维插值 有技术上的差别。我们将Z轴坐标z视为x及y坐标 的参数，当z做单调变化时,则x(z),y(z)可分别看作 相应此参量的横、纵坐标方向的变化量，
接着，第二个程序实现了各个球心坐 标求取。确定每张切片与中轴线的交 点的坐标及半径：按理论来说，血管 截面边界是圆滑曲线，对一个球体过 球心切割，无论怎样切，都必得到一 个大圆，由假设5，每个切片包含且 仅包含一个这样的大圆，即它的最大 内切圆，圆心即球心，圆半径即球半 径。下面我们确定每张切片中最大内 切
径一个初始值。第一个切片图象可以近似地看 作一个圆，在截面的边界点中选取4个不要挨的 太近且不在两条平行线上的点，每两点相连，
得到两条线段，分别作它们的垂直平分线必相 交于一点O0，计算四个所选取的四个边界点到 这交点的距离，取一个最小的作为r0的值。因 为圆上任意一条弦的垂直平分线必过圆心，所 以O0点可以近似的看作圆心，那么管道的真实 半径一定大于r0，但不会相差很多。于是我们 就可以在计算机搜索第一张切片时加上约束条 件：如果内点到边界点的距离出现一个小于r0 就将这个内点舍
的三维形态。
假设某些血管可视为一类特殊的管 道，该管道的表面是由球心沿着某 一曲线（称为中轴线）的球滚动包 络而成。例如圆柱就是这样一种管 道，其中轴线为直线，由半径固定 的球滚动包络形成。 现有某管道的相继100张平行切片 图象，记录了管道与切片的交。图 象文
血管的三维重建
血管的三维重建摘要本文以血管的三维重建为研究对象，对100张平行切片图像进行分析，利用这些宽、高均为512象素的切片，计算管道的半径和确定中轴线方程，并在此基础上画出重建后的血管三维图像，主要内容如下：对于问题一，计算管道的半径，由于血管表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成，可以得出结论：切片中包含的最大圆的半径即血管半径，所以问题转化为求每一切片上的最大内切圆的半径。
为了便于计算，运用Matlab imread 函数，将BMP 格式文件转化为0-1矩阵，然后运用edge bwmorph 、函数确定轮廓和骨架的位置，并求解骨架上每一点到边缘的最短距离。
这些最短距离中的最大值即为最大内切圆半径也就是血管半径。
最后对所有的半径取平均值，得出结果：100()1=29.41666100k k RR ==∑对于问题二，根据问题一中求出的100个圆心坐标及半径求解中轴线方程，运用Matlab 软件对圆心所形成的曲线进行n 阶多项式拟合。
为使中轴线较为光滑，在Matlab 拟合工具箱多次试验后，取最高阶次=7n 。
由于z 轴值是逐层单调递增的,为简化方程的计算,取t 为参变量，分别对其投影在YZ 、ZX 平面上进行多项式拟合，最后得到中轴线在平面投影上拟合的曲线方程如下：()()()-107-76-55432-107-86-55-3432-3.2310 1.16910-1.628100.00108-0.035260.5706-3.105+5.243=3.06110-9.62310+1.3610-0.640610+0.01912-0.298+1.89-1.63.3=y t t t t t t t t f x t t t t t t t t z t t ⎧=⨯+⨯⨯+⎪+⎪⎪=⨯⨯⨯⨯⎨⎪⎪⎪⎩最后根据方程画出中轴线图形，YZ YX ZX 、、平面的投影在拟合工具箱中可以直接得到。
对于问题三，根据问题一、二求出的中轴线的参数方程和100张切片的最大内切圆的半径，运用Matlab 软件画出血管的三维立体图。
【 数学建模竞赛】血管的三维重建模型g资料
血管的三维重建模型摘要：本文对血管三维重建中，中轴线及球的半径确定问题进行了讨论。
首先，根据问题及图象处理提取有效数据，给出两种可行算法，利用上述数据建立了最大最小方法和二次规划方法。
搜索中心点，并给出全局和局部搜索，得到各切片中心点坐标(见表1)，并通过插值方式得到中轴线图象及其各投影。
最后对模型给出检验方式。
一 、问题的重述假设某些血管可视为一类特殊的管道,该管道的表面是由球心沿着某一曲线 (称为中轴线)的球（命名为包络球）滚动包络而成。
现有某管道的相继100张平行切片图象,记录了管道与切片的交。
假设：管道中轴线与每张图片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1.取坐标的Z 轴垂直于切片，第1张切片为平面0=Z ，第100张切片为平面99=Z . 计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY 、YZ 、ZX 平面的投影图。
二、模型假设与符号说明1、 基本假设：（1） 该管道的表面为一定长半径的球沿一固定的曲线运动所得曲面族包络的光滑表面。
（2） 该管道的中轴线连续而且光滑。
（3） 该管道的中轴线与每个切面有且只有一个交点。
（4） 图象象素的尺寸为1. （5） 切片的间距尺寸为1.2、 符号说明：L 中轴线R 包络球的半径()z y x O i ,, 中轴线与第i 个切片的交点（定为此切片的中心）i S 第i 个切片切得的图形 i D 第i 个切片的图象数据矩阵三、问题分析及建模准备 问题分析：通常血管的表面可认为是连续且光滑的曲面，断面可用于了解其形态等特性。
本问题给出的是一些离散的切面，要求重建出原图中轴线和求出包络球半径。
因为每一个切面与中轴线L 有且只有一个交点i O ，如果找出所有i O ,就可以用插值或拟合的方式作出L 的近似图象，其在坐标平面上的投影就很容易画出。
问题的关健转变为求每个平面上的i O . 建模准备：1、 图象的读取由于切片图象中只有黑、白两种颜色的象素,而且所给的BMP 格式图象文 件是512×512象素的.因此,把图象读取为一个512×512的数字矩阵；用数字1表示黑色的象素，用数字0表示白色的象素。
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问题分析
现在我们可以知道：血管可以看成无穷多个等 径并且圆心相距无穷小的球包络面组成。因此， 切片上的二维图形就应该是由无穷多个球被截 的圆叠加而成。这些圆都是被截球的大圆或者 小圆，其半径有一极大值R，R同时也是球的半 径。这样一个半径R的圆是球心在切片平面内 的球被截而成的，其圆心为中轴线与切片平面 的交点。假设，中轴线与每张切片有且只有一 个交点，所以每一张切片图上包含且只包含一 个半径为R的圆。我们只要找到这个圆，就可 以定出中轴线与切片平面交点的坐标，用这些 交点坐标我们可以建立起中轴线的空间形态。
问 题 的 提 出
Z=0Z=1Fra bibliotekZ=49Z=50
Z=98
Z=99
血管三维重建的背景
这问题的来源于序列图象的计算机三维重建。 序列图象的计算机三维重建是应用数学和计算 机技术在医学与生物学领域的重要应用之一； 是医学和生物学的重要研究方法，它帮助人们 由表及里、由浅人深地认识生物体的内部性质 与变化，理解其空间结构和形态。 血管是血液流通的通路，其在生命活动中的重 要性是众所周知，诊断师在临床中经常需要了 解血管的分布、走向等重要信息。理想的血管 可以看成是粗细均匀的管道，如何建立其数学 模型是图象三维重建的重要一环。
模型的建立及求解
为了减小搜索的区域，找到切片中血管所在的最小区 域，然后在此区域里逐个象素的搜索。
模型的建立及求解
%先寻找最小区域 [M N]=size(Im);xmin=1;xmax=N; for j=1:N for i=1:M if(Im(i,j)>0) xmax=j; break; end end end for j=N:-1:1 for i=1:M if(Im(i,j)>0) xmin=j; break; end end end
血管三维重建的背景
问题分析
我们将说有100张切片按其在空间的位置 叠加起来，已经可以看到大体的血管的 三维结构。
问题分析
将100张图片叠加在XOY平面，形成血管 在XOY平面上的投影，可以看出血管是 由一系列圆移动形成的。
问题分析
对于每一个切片，仔细观察可以发现： 切片也是由一系列半径不同的圆移动形 成的。
模型的假设
血管粗细均匀，其表面由球心沿某一曲线〔称 为中轴线)且半径固定的球滚动包络而成。 假设管道中轴线与每张切片有且只有一个交点， 球半径固定，切片间距以及图像象素尺寸均为 1。 切点间距尺寸为1，则假设相继切片间连续， 即相继的切片与中轴线的交点是连续的。
模型的假设(更深一层次）
血管粗细均匀的充要条件是各法截面圆之间不相交，这样 可保证各法截面圆周上的点全落在包络面上 (直观地说， 粗细均匀就是过中轴 上的任意点P处用垂直于 在P点切 线方向的刀片切血管得到的截面是以P为圆心以固定的常数 r为半径的圆，称此为过P点的法截面圆)。为此要求 满足 下列条件： 中轴线 上每一点处的曲率半径大于r 中轴线最窄处的宽度d大于2r 中轴线两端点处的法截面圆不相交。 中轴线 上最窄处的宽度d可以这样决定：当 上两点p，q 在这两点处的切线时，或仅垂直在其中一 的连线垂直于 点处的切线而另一点为 的端点时，称p，q为相关点对。 上可以没有相关点对，也可以不止一对相关点对。如果 上无相关点对，则认为d为无穷大，否则取d为相关点对中 的两点间距离的最小值。
问题的提出
现有某管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的 交。图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、 99.bmp，格式均为 BMP ，宽、高均为512 个象素（pixel ）。为简化起见，假设： 管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；球半径固定；切片 间距以及图象象素的尺寸均为1。 取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切 片为平面Z=99 。Z=z 切片图象中象素的坐标依它们在文件中出 现的前后次序为： （-256，-256，z）（-256，-255，z）…（-256，255，z）， （-255，-256，z）（-255，-255，z）…（-255，255，z）， …… （ 255，-256，z）（ 255，-255，z）…（255，255，z）。 试计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线 在XY、YZ、ZX平面的投影图。
目录
问题的提出 血管三维重建的背景 问题分析 模型的假设 模型的建立及求解 模型的检验
问题的提出
断面可用于了解生物组织、器官等的形态。例 如，将样本染色后切成厚约1m m的切片，在显 微镜下观察该横断面的组织形态结构。如果用 切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平 行切片， 可依次逐片观察。根据拍照并采样 得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建 组织、器官等准确的三维形态。 假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道 的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线） 的球滚动包络而成。例如圆柱就是这样一种管 道，其中轴线为直线，由半径固定的球滚动包 络形成。
模型的建立及求解
通过以上分析，整个模型的建立分为两个部分：滚球 半径的确定和中轴线的确定。 确定滚球半径的方法有很多：最笨也是最容易想到的 方法就是枚举的方法—— 求每张切片的图象内的最大 内切圆的圆心时，以位于图象内每一个象素为圆心作 圆．遍历所有象素点后再作确定。此种方法，思想简 单，程序简单，但计算量大。 1）平均法 求出每张横断面团象内的最大内切圆半径， 再取r为它们的算术平均值。 2) 抽样法 由于已知 滚动球半径是常数，取前几片切片图象内的最大内切 圆半径的平均值为r的值。 3) 极大似然法 在求得 每一片切片图象内的最大内切圆半径后，进行统计， 以出现频率最大的值为r的值。
问题分析
由以上分析，做出如下的判断： 每个切片中 包含一系列滚球在平面上切出的圆， 其中最大的圆为滚球半径，圆心位于血管的中 轴线上。 血管中轴线在XOY上的投影为所有切片在XOY 平面上叠加形成的阴影的中心线。 在求得所有切片的最大圆圆心后，拟和这些点 形成的曲线就是中轴线。 重建后血管形状应和前面100张切片直接形成 的形状一致（用于进行模型的检验）。