常微分方程奇解与包络

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微分方程中包络的定义及求奇解时必须注意的一个问题

而为方程(9)的奇解。注在求通解的过程中可知 x − c > 0 ！因此在 c—判别式这个方程组中，x 不能等于 c！为此在解方程
274
孔志宏
组求 c—判别曲线之前必须补充定义函数值：x = c 时，y = 0 。否则 y = 0 与积分曲线族(10) (其中，x > c ，从而 y > 0 )没有公共点！谈何相切？例 4 判断方程
Φ′ − cos ( x − c ) 。已知 y = 1 是方程的解，而在通解中当 x − c → c ( x, y , c ) =
π− 时 y →1 ，补充定义 2
π yc + = 1 ；同理，补充定义 2
π yc − = −1 ，解方程组(c—判别式) 2
Keywords
Envelope, Tangent, Singular Solution, Supplement Function Value
微分方程中包络的定义及求奇解时必须注意的一个问题
孔志宏
太原师范学院数学系，山西晋中
收稿日期：2017年6月18日；录用日期：2017年7月3日；发布日期：2017年7月10日
y = 0.
)
(3)
及
= y
1 2 ( x − c) , 4
(4)
272
孔志宏
还有一个特解为 y = 0 。
x 对积分曲线族(3)由于 Φ′ y c = e ≠ 0 ，所以(3)没有包络。对积分曲线族(4)， Φ ( x, y , c ) =−
1 2 ( x − c) ， 4
Φ′ 2 ( x c ) 。c—判别式为 c ( x, y , c ) =−
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包络和奇解

曲线族包络的求法：曲线族包络的求法：
Φ( x , y , c ) = 0 ' Φc ( x, y, c ) = 0
Φ( x, y, c) = 0,
(2.10)
曲线族(2.10)的包络包含在下列两方程曲线族(2.10)的包络包含在下列两方程 (2.10)
( 2.11)
消去参数c而得到的曲线F ( x, y ) = 0之中,
包络和奇解定义对某些常微分方程存在着一条特殊的积分曲线他不属于这方程的积分曲线族但是在这条特殊的曲线上的每一点处都有积分曲线族中的一条曲线和他在此相切在几何学上这条特殊的积分曲线称为积分曲线族的包络
包络和奇解的MATLAB做法做法包络和奇解的
10073211 张丽萍
• 1.包络和奇解定义包络和奇解定义对某些常微分方程，对某些常微分方程，存在着一条特殊的积分曲他不属于这方程的积分曲线族，但是，线，他不属于这方程的积分曲线族，但是，在这条特殊的曲线上的每一点处，条特殊的曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此相切，在几何学上，的一条曲线和他在此相切，在几何学上，这条特殊的积分曲线称为积分曲线族的包络。殊的积分曲线称为积分曲线族的包络。在微分方程里，程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为该方程的奇解。程的奇解。一阶微分方程的通解的包络一定是奇解（一阶微分方程的通解的包络一定是奇解（如果存在的话），反之，微分方程的奇解（），反之存在的话），反之，微分方程的奇解（如果存在的话）一定是微分方程通解的包络。因此，的话）一定是微分方程通解的包络。因此，为了求微分方程的奇解，要先求出它的通解，求微分方程的奇解，要先求出它的通解，然后求通解的包络。通解的包络。
具体m文件如下：具体文件如下：文件如下 clear hold on x=-300:0.1:300; for c=-100:17:100 y1=c*(x+1)+c.^2; plot(x,y1, ‘r') end • hold on • y=-1/4*(x+1).^2; • • • •

大学课件常微分方程第7章奇解理论

大学课件常微分方程第7章奇解理论
第7章奇解理论
7.1 一阶隐式微分方程 7.2 奇解 7.3 包络 7.4 奇解的存在定理
7.1 一阶隐式微分方程
作为对初等积分法的补充，本节讨论一阶隐式方程
F(x, y, d y ) 0
(7.1)
dx
的几个特殊解法.这里所谓隐式的含义，是指在方程中未知函数的微商 p d y 没有预先表示为(x,y)的显函数.
f (x, y)) f (x, y))
因此由皮卡定理可知，微分方程(7.25)满足初值条件y(x0)=y0 的解是存在而且唯一的.由此可见，y=φ(x)在x=x0处的某一邻域内是微分方程(7.25)经过(x0,y0)点的唯一解.这就证明了，在 (x0,y0)点附近不可能存在微分方程(7.22)的其他解在该点与 y=φ(x)相切.这个结论与y=φ(x)是奇解的假设不能相容.因此，
y cos(C x)
(7.17)
对于方程(7.15)，除了参数表达式(7.16)，还有
y 1, d y 0. dx
易知y=1和y=-1是微分方程(7.15)的两个特解；对于方程(7.15)
还可设
y 0, d y 1
dx
但是，y=0不是微分方程(7.15)的解.
因此，微分方程(7.15)有通解式(7.17)，另外还有特解
同样，克莱罗方程(7.4)的奇解式(7.7)也满足相应的p判别式:
xp f ( p) y 0, x f ( p) 0.
这里须注意，由p判别式确定的函数y=ψ(x)不一定是相应微分方程的解；即使是解，也不一定是奇解.
例如，微分方程(7.21)的p判别式为
p 2 y x 0, 2 p 0;
dx

常微分方程的几何解释

(2.2)
a x b, y ,
假设函数 f x, y在给定区域上连续且有界.于是
它在这个区域上确定了一个线素场.下面利用线素场
求出经过 x0, y0 的近似积分曲线.把
x0 ,b n 等分,其分点为:
xk x0 kh, k 0,1, , n
h b x0 , n
xn b
常微分方程
绵阳师范学院
先求出 f x0, y0
用经过 x0, y0 斜率为
y

x1
,
y1

x2
,
y2

f x0, y0 的直线段来近
y0
似积分曲线,其方程为
y y0 f x0, y0 x x0
x0 x1 x2
bx
求出直线上横坐标 x1 处的点的纵坐标
y1 y0 f x0, y0 x1 x0 y0 f x0, y0 h
如果 h 很小 x1, y1 就很接近积分曲线上的点 x1, y x1
因 f x, y 连续.于是由点 x1, y1 出发的斜率为
f x1, y1 的直线段又近似于原积分曲线.它的方程为
了线素场.
y k x
易见在点 x, y 的线素与
过原点与该点的射线重合.
常微分方程
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定理2.1 L为(2.1)的积分曲线的充要条件是: 在L 上任一点,L 的切线方向与(2.1)所确定的线素场在该点的线素方向重合;即L在每间点均与线素场的线素相切.
证明必要性设L为(2.1)的积分曲线,其方程为
20
若初值问题
dy dx

f ( x, y),的解是存在,是否唯一?

关于奇解与包络的一点补充

【】题意设所求曲切程为：÷ 一＝法二依，线的线方十Ｖｌ
其中，分别是切线在与，轴轴上的截距，且满足，＝＋
（１）
（）２
由（）＝－２得，ａｍ，代入（）１得—± 十＝ｌ即ｍ＋向叫向－）一ｘ一ｍ＝０
解：
［法一】设所求曲线的方程为 ‘ 砷，在此曲线上任一点（处，曲线的切线方程是：ｒ＝工＿
一
一
（ｙ）表切线上的动点，令ｒ可得切线在上的截距＝，夸Ｄ＝０ — ｒ可得切线在 — 轴上的截距．一
Ｙ
依意所曲满的分程题得求线足微方为
一
定是奇解：反之，微分方程的奇解（若存在的活）是微分方程的通解的包络，因此，为了求微分方程的奇解，也
பைடு நூலகம்
可求出它的通解，然后求通解的包络．利用上述结论解某些几何问题时，如下述的例ｌ，一般是先建立所求曲线满足的微分方程，再求微分方程的
解；依题意，设所求曲线的切线的方程为＋ｌ亭＝
收稿日期：２０２２０１１３
（５）
作者简介：赵邦杰（４．１４）９．男．成都信息工程学院计算机科学系副教授
维普资讯
第２期
赵邦杰等：关于奇解与包络的一点补充
摘
要给出了末一阶隐式微分方程通解的包络（如果它存在的话）的另一种方法，它通常比按常规方法求包络来得简单．直接
关键词．微分方程通解：奇解；包络
中图分类号：Ｏ１５１７．文献标识码：Ａ

§3.3 奇解常微分方程课件高教社

• 消去c得到的曲线是包络，积分曲线是奇解。
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c-判別曲线法 (x,y,c)=0, c’(x,y,c)=0
例1 解方程
•
令 pdy
dx
方程变为
y
d d
y x
2
x
d d
y x
x2 2
.
y p2 xp x2
• 两边求导
2
p 2 p d p x d p p x, dx dx
但过包络曲线的每一点有曲线族中的一条曲线在该点与其相切。
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曲线族的包络 (x,y,c)=0,
c’(x,y,c)=0
• 单参数曲线族 (x-c)2+(y-c)2=R2
其包络为y=R和y=-R
• 一般的曲线族不一定有包络:同心园族平行线族。
• c-判別曲线
(x, y,c) 0, 'c (x, y,c) 0.
• 得通解 y x2 cx c2
2
• 另由 2 p x 0 得
y x2 4
• 此为奇解
目录上页下页返回结束
（续）例1
y
dy dx
2
x
dy dx
x2 2
• 用c-判別曲线法 (x,y,c)=0, c’(x,y,c)=0
•
由通解 y x2 cx c2
2
•得
y
x2
cx
c2,
2
0 x 2c.
• 有包络
y x2 4
• 它是解(积分曲线) ，故是奇解。
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例2 求直线轴 xcosa+ysina-p=0 的包络

试论常微分方程的奇解

试论常微分方程的奇解摘要: 一阶微分方程拥有含有一个任意常数的通解,另外可能还有个别不含于通解的特解,即奇解,利用P-判别法和C-判别法可以求出奇解,而这两种判别法是否适用于求每一个一阶微分方程的奇解?此文中举了几个例子来说明这个问题.并给出另外三种求奇解的方法.关键词: 一阶微分方程,奇解,P-判别式,C-判别式,C-P消去法,拾遗法,自然法.Discussing Singular Solution about First OrderDifferential EquationZHU Yong-wang(Class 1, Grade 2006, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Professor LI Jian-minAbstract: First order differential equation has a general solution which contains an arbitrary constant, but sometimes it has specialsolution that is singular solution, which can be solved by the P-judgment method and C-judgment method(Whilewhether the two judgments can be applied to get every singularsolution to the first order differential equation? This paper intends to illustrate this problem with several examples(Key words: Singular solution, P-judgment, C-judgment, C-Pelimination method, The supplement method, Natural method.1(引言一般来说一阶常微分方程拥有任意常数的通解,另外还有个别不含于通解的特解.这种特解可以理解为通解的一种蜕化现象.它在几何上往往表现为解的唯一性遭到破坏.早在1649年莱布尼兹就已经观察到解族的包络也是一个解.克莱络和欧拉对奇解作了某些讨论,得出了P,判别式求奇解的方法.拉格朗日对奇解和通解的联系作了系统的研究,给出C,判别式求奇解的方法和奇解的积分曲线族的包络这一几何解释.2(奇解、包络、C-判别式、P-判别式的定义及问题出近几年许多学者对常微分方程这方面特别关注,在一阶常微分方程有奇解的条件、常微分方程奇解的求法、摆线的构成和奇解的联系、Cornwall不等式的应用及微分方程的奇解等方面有大量的文章发表,由此可见,人们对微分方程的奇解有了很深的认识.微分方程的奇解在常微分方程的解中具有特殊的地位.奇解的定义:微分方程的某一个解称为奇解,如果在这个解的每一个点上至少还有方程的另外一个解存在,也就是说奇解是这样的一个解,在它上面的每一个点唯一性都不成立,或者说奇解对应的曲线上每一个点至少有方程的两条积分曲线通过.,包络的定义:设在平面上有一条连续可微的曲线,.在曲线族q,,**,KCKCq中都有一条曲线通过点并在该点与相切,而且在VxyC,,0,，，，，，，,,q点的某一邻域内不同与,则称曲线为曲线族的一支包VxyC,,0,，，络.从奇解和包络的定义容易知道一阶微分方程的通解的包络(如果它存在的话)一定是奇解;反之,微分方程的奇解(若存在的话)也是微分方程的通解的包络.因而,为了求微分方程的奇解,可以先求出它的通解,然后求通解的包络.对于一阶微分方程,如果此方程有除了通解之外的奇解,则此奇解一定满足两个判别式,即P,判别式和C,判别式.1,,1定理:设函数F(x,y,p)对(x,y,p)G,是连续的,而且对y和p有连续的偏微'''Fxyy(,,)0,商和,若函数y= (x) (xJ),,是微分方程的一个奇解,并且FFyp 'x. (x). (x)G (xJ),,,,,则奇解y=(x)满足一个称之为P-判别式的联立方程，，'Fxyp(,,)0,py, , 其中. Fxyp,,0,，，p1,,'2Fxyy(,,)0,定理:设微分方程有通积分Vxyc(,,)0,又设积分曲线Vxyc(,,)0,y= (x),有包络为则奇解满足C,判别式的联y= (x) xJ,,，，'立方程 ,. Vxyc(,,)0,Vxyc(,,)0,c以上两个定理是奇解的必要条件,也就是说用C,判别式和P,判别式求出的解不一定是微分方程的解,如果是微分方程的解也不一定是奇解,但是在求一阶微分方程的奇解时通常都会采用这两个判别式.由中奇解部分的定理2和定理51,, 知,只要求解是微分方程的解,用P,判别式求出的解满足:',Fxyp(,,)0,y, , ,''Fxyp(,,)0,,pp,用C-判别式求出的解满足非蜕化条件:'',,,CC,0,0,，，，，，，，，, , ,''VV,0,0,，，，，,xy,则此解就是奇解,既然C,判别式和P,判别式是求奇解的方法,那么是不是这两个判别式(C,判别式和P,判别式)对所有一阶微分方程求奇解都有效? 3(几个例子利用P,判别式和C,判别式对一些一阶微分方程进行求解的运算,看看会出现什么样的结果?2'yyx，,,0【例1】: 求的奇解，，'yp, 解: 令,利用P,判别式:2,pyx，,,0; ,20p,,yx,yx,消去P得,但不是微分方程的解, 所以原方程无奇解.我们可以发现利用P,判别式求出的解不一定是奇解.那么利用C,判别式所求出的解是不是一定是方程的奇解呢?我们接着看下一个例子.2,3'3,yy【例2】: 求的奇解. 535解:原方程的通解为:yxc,，，，C,判别式为:3,5yxc,，,0，，, ; ,23,3,xc，,0，，5,消去C得y=0,但不是方程的解,所以原方程无奇解. y=0以上两个例子充分说明了C,判别式和P,判别式是求奇解的必要条件.2xy'，，yyye,,1【例3】: 求微分方程的奇解. ，，，，解: 原方程的P,判别式为:2xy2,ypye,,,10，，, ; ,2210py,,，，,,消去P得 y=0易知是微分方程的解. y=0而且:',Fxyp(,,)10,,,y, ,''Fxyp(,,)20,,,pp,所以y=0是微分方程的奇解.1,,24'，，【例4】: 求. yyy,,1，，，，9解: 首先我们不难求出微分方程的通积分:22xcyy,,,,30 (),，，，，由C,判别式:22,xcyy,,,,30，，，，,(其中C为任意常数) ,,,,20xc，，,,确定二支连续可微的曲线y,0和y,3,对他们分别作如下形式的参数表示式:,y,0 :xc, ,,,,,c，，1,y,3 : xc, ,,,,,c，，2,容易验证满足相应的非蜕化条件: 1'',,,CC,0,0,，，，，，，，，,, ,''VV,0,0,，，，，,xy,,因此是积分曲线族的一支包络,从而它是微分方程的奇解. (),1,,而不满足相应的非蜕化条件,所以还不能断言是否为包络,不过我们22(),,可以利用简单的作图得知不是曲线族的包络,因此它不是奇解,虽然它是2 微分方程的解.从例3、例4两题中,可以发现,如果利用P,判别式来求奇解可以直接从方程出发,而如果要用C,判别式需要求出通解,但是无论用哪一判别式要使求得的解为奇解,则此解一定满足:用P,判别式时满足:',Fxyp(,,)0,y,; ,''Fxyp(,,)0,,pp,用C,判别式时满足:'',,,CC,0,0,，，，，，，，，,. ,''VV,0,0,，，，，,xy,对于一些微分方程既能用P,判别式又能用C,判别式求奇解,我们接着看一道例题.5,,2dydy,,，,,xy0【例5】: 求的奇解( ,,dxdx,,dy解: 法一:令,则P-判别式: ,pdx2,pxpy，,,0 ; ,20px，,,2xy,,消去P得. 42ycxc,，法二:方程的通解为C,判别式:2,ycxc,,,0 ; ,xc，,20,2x消去C得y,,,满足非蜕化条件: 4'',,,CC,2,20,0,,,，，，，，，，，，，, ,''VVc,,10,0,,,，，，，，，,x y,2xy,,所以是奇解. 4由例5知:既然某些一阶微分方程既可用P,判别式来求奇解又可用C,判别式求奇解.那么能否将P,判别式和C,判别式联合起来求奇解呢? 4(新判别法在我们的教材和资料中我们通常采用P,判别式和C,判别式来求一阶微分方程的奇解,然而对于某些问题,P,判别式和C,判别式这两种方法求奇解比较困难.因此还有其他方法来求奇解,这些新方法用起来比较方便,通过查阅资料和文献,人们对新解法研究的比较少,在此介绍三种新的解法,方便对一阶微分方程求奇解.4.1. C,P消去法9,,2348''【例6】: 求的奇解. xyyy,,,，，，，927'yp,解: 令P,判别式:48,23xypp,,,,,927; ,82,pp,,0，，,9,消去P得:4yx,及 yx,,27方程的通解为:23ycxc,,, ，，，，C,判别式:23,ycxc,,,,0，，，，,; ,2230ycxc,,,,，，，，,,44消去C得.则为奇解. yx,,yx,,2727例6中介绍了一种新方法, C,P消去法::联合P-判别式和C-判别式,从P,判别式得到解和从P,判定义,xy,0,，，中寻得公共单因式,令其为零,一般就是奇解. 别式得到解,xy,0,，，4,,yxyx,,，,0在例6中,由P,判别式得到,由C,判别式得到，，,,27,,444,它们的公共单因式为,令其为零,即. yx,,yx,，,0yx,，,02727272xpxpy，,,20【例7】: 求的奇解.2xpxpy，,,20解: 从和中消去P得:y=-x 220xpx，,2yxpxp,，2再求通解,将方程写成112dxdypdypxdppdxxdp,,，，，(222) ppdxdp,,即 2xp2()4ycxc,,通积分为:从2()4ycxc,,,,,2()4ycc和中消去C得:yx,, 及 x,0yx,,按C,P消去法知是奇解.就特殊方程:dy ,fxy,，，dx假设连续.给出以下两种特殊的求奇解的方法.即自然法和拾遗法. fxy,，，6,,4.2. 自然法,,,f定义:当点集L,不是孤立点集,而是有分支时,则 yx,,(,)|xy,,，，,,,y,, 可能是奇解. yx,,，，,fdydy对于当连续,则只要有界,就能保证的,fxy,fxy,,fxy,，，，，，，,ydxdx,f解存在唯一,所以当时,他就可能破坏了解的唯一性. ,，,,y'2,yy,,1【例8】: 求 (|y|1)的奇解.,,fy2fxyy,1,,, 解: ，，2,y1,y,f当y,,1时, ,，,,y所以可能破坏解的唯一性,它可能是奇解. y,,1验证: (1) 显然是方程的解. y,,1,, (2) 由分离变量法求得通解是:yxc,，sin() (),,，,xc22,在y,1上任取一点通解表达式中有解 x,1yxxxx,，,,,sin()cos()，，0002 'y,0通过点且其上导数 ,即此解与y,1相切,故y,1是奇解. x,1，，0同理:y,,1也是方程的奇解.7,,4.3. 拾遗法dy定义:当方程在求通积分的过程中,经常遇到分离变量,方程两边,fxy,，，dx 需要同时除以不含导数的因式,则令这个因式等于零,可能得到奇解.因为方程两边同时除以含有x、y的因式时,原方程可能遗失了解,当然有可能遗失了方程的奇解.2x,1【例9】: 求的奇解. xxdydx10,,,，，2解: 除以因式得: xx1,dx dy,2xx1,积分后得通解:xyc,，ln|| 211，,x2但令消去因子为零,即得; xx10,,x,0x,,1验证: (1) 它们都是方程的解;xlimln||,,,(2) 有 2x,011，,xxxlimln||limln||0,, 22xx,,11,，1111，,，,xx前者说明通解表达式中没有解与相交; x,0后者说明通解表达式中有解与.相交,且从方程本身看出交点上的斜率x,,1'y,,,都是因此得结论:是正常解,是奇解. x,0x,,15(结论以上五种是判定奇解的方法,都需验证所得曲线是否真是奇解,这个验证步骤有时比较麻烦,若C,判别式和P,判别式容易求得时,,xy,0,,xy,0,，，，，方法C,P 削去法常是可取的.从以上的几个例子中,在利用两个判别式求一阶微分方程的奇解时,会出现以下几种情况:(1) P,判别式和C,判别式均可用来求奇解;(2) P,判别式与C,判别式联合可求方程的奇解;(3) 当一阶微分方程的一阶导数的次数为一次时,P,判别式不可求奇解,但C,判别式未必失效;(4) 当一阶微分方程的通解中常数C的次数为一次时,C,判别式不可求奇解,并且导致P,判别式也不可求奇解,此时只能另找他法.参考文献丁同仁、李承志.常微分方程教程.高等教育出版社,1991年. 1M,,,,钱祥征.常微分方程解题方法.湖南科学技术出版社,1984年. 2M,,,,王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松.常微分方程.高等教育出版,1978年 .3M,,,,何永葱.关于常微分方程奇解判别的注记.内江师范高等专科学校学4J,,,,报,2000年第15卷第2期:1,3.路畅、智婕.一阶微分方程奇解的两个判别式.科学教育论坛,2005年第5J,,,,24期:207,211.张维琪.浅谈奇解的求法.吉安师专学报,1989年第6期:5,10. 6J,,,,谷丽彦.微分方程奇解的求法及存在性的条件.河北师范学院学,1993年7J,,,,第3期:27,31.曾庆健.一类常微分方程奇解的求法.安徽电子信息职业技术学院学报 8J,,,, 2004第5、6期第225页.张少霞.常微分方程奇解的讨论J.工科数,第13卷第4期,1997年8月:1339,,,,,136.。

常微分第三章第4节(奇解)

y cx f (c)
' x f ( p) 0 ' 如果 x f ( p) 0，则 y xp f ( p) 消去 p 得到方程的另一个解。
这里
c 是任意常数。
25
注意，求得此解的过程正好与从通解
y cx f (c)
可以验证，此解的确是通解中求包络的过程一样。的包络。
注1：包络一定包含在 c-判别曲线中。注2：c-判别曲线不一定为包络。
2 充分但不必要。 2 x y 0
15
C 判别曲线法求方程奇解的一般步骤：（1）求出方程的通解（积分曲线族）；（2）求积分曲线族的 c 判别曲线；
（3）检验 c 判别曲线是否为包络，若是，则为方程的奇解。
16
y 1
其中
容易求得原方程的通解为 y sin( x c)
c 为任意常数。而 y 1 是通解的包络。
所以此两直线都是方程的奇解。
22
例4
求方程
dy dy 2 y 2x ( ) 的奇解。 dx dx
y 2 xp p 2 解从 2 x 2 p 0
消去
这是克莱罗方程，因而它的通解是 1 y cx c 1
27
y2 4x
O
图(3.5)
28
例6
求一曲线,使在其上每一点的切线截割坐
标轴而成的直角三角形的面积都等于2 。 y A
O 图(3.6)
B
x
29
依题意有ab 4，而
dy 2 dy 得 ( y x ) 4 dx dx
现在求曲线族的包络，亦即微分方程的奇解。
30
y 2c c 2 x 从中消去 c 得微分方程的奇解 1 cx 0

浅谈常微分方程奇解与包络

牛顿和莱布尼茨创立的微积分是不严格的，１８世纪的数学家们一
２．１定义１
方面努力探索微积分严格化的途径，一方面往往又不顾基础问题的困难而大胆前进，大大地扩展了微积分的应用范围，尤其是与力学的有机结合，当时几乎所有的数学家也是力学家．
究。比如牛顿，莱布尼茨等。常微分方程是１７世纪和微积分同时诞２包络的定义生的一门理论性非常强，研究应用非常广泛的学科之一，常微分方程我们现在给出曲线族包络的定义，并介绍它的求法：的发展分了四个发展阶段，这四个发展阶段对常微分方程非常关键。
而不会产生歧义．为了便于讨论，现将第一种定义写出：
１．１定义１
３奇解与包络的关系
由奇解与包络的定义显然可以知道，微分方程的积分曲线族（即
如果存在，则必定是方程的奇解．事微分方程的一个解称为奇解，如果在这个解的每一点上还有方程通积分所对应的曲线族）的包络，的另外一些解存在，在它上面的每一点唯一性都不成立，奇解对应的实上，在积分曲线族的包络上的点（ｘ，ｙ）处的ｘ，ｙ和ｙ满足方程．这就是说，包络是积分曲线．其次，在包络的每一点，积分曲线族中都曲线上每一点至少有方程的两条积分曲线通过＿１］。
坏定义奇解．Ｇ上任取一点其中则由包络的定义可知，曲线族中有一条曲线在点与由下面的讨论可知，用第一种方法定义奇解将会产生混乱，甚至相切，因为是微分方程的一个解，所以由ｘＪ于是任意给定的，这会出现不相容的情况．第二种定义则来源于微分方程本身内容，准确后一等式就说明了是微分方程的解．定理２证完．

包络与奇解的等价关系探究

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2023, 12(5), 2172-2176 Published Online May 2023 in Hans. https:///journal/aam https:///10.12677/aam.2023.125221包络与奇解的等价关系探究沈洁，祖天琪*，张杰辽宁师范大学数学学院，辽宁大连收稿日期：2023年4月17日；录用日期：2023年5月9日；发布日期：2023年5月17日摘要首先给出现有常微分教材中包络和奇解的几种常见定义，之后给出实例揭示二者之间存在一定关系。

接下来针对包络与奇解是等价的这一结论展开研究，具体实例表明：奇解就是包络这一结论的正确性是建立在包络的宽泛定义基础之上的，在严格的包络定义下，二者并不等价。

教学过程中须将二者区分对待，不能混淆。

关键词常微分方程，包络，奇解，解的存在唯一性A Discussion on the Equivalent Relationship between the Envelop and Singular SolutionJie Shen, Tianqi Zu *, Jie ZhangSchool of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian LiaoningReceived: Apr. 17th , 2023; accepted: May 9th , 2023; published: May 17th , 2023AbstractThis paper firstly introduces several common definitions of envelop and singular solution for ordinary differential equations. An example reveals that there exists the relationship between the envelop and singular solution to some extent. Then the discussion on the equivalence be-tween envelop and singular solution is carried out. By presenting an example we find that the validity of the conclusion that the singular solution is envelop is based on the broad definition of envelop, and under the strict definition of envelop the equivalence of envelop and singular solu-tion doesn’t hold. Therefore, during the process of teaching they must be treated differently and*通讯作者。

3-28 - 奇解、克莱罗方程、包络

3.3 奇解和包络(Singular solution of ODE and envelop of curve family )[教学内容] 1. 介绍微分方程奇解的概念; 2.介绍曲线族包络的概念; 3. 介绍求解微分方程奇解的方法;4. 介绍寻找曲线族包络的方法；5.复习克莱罗方程.[教学重难点] 重点是知道并会运用微分方程奇解的必要条件来寻找微分方程的奇解；难点是如何验证由奇解必要条件获得函数是微分方程的奇解[教学方法] 预习1、2、3；讲授1、2、3[考核目标]1.微分方程奇解的概念;2. 知道曲线族包络的概念;3. 求解微分方程奇解的方法;4. 知道寻找曲线族包络的方法;5. 认识克莱罗方程并会求解.1.微分方程奇解和曲线族包络的概念2.包络和奇解的寻找例45. 求曲线族03)y(y C)(x 22=---的包络.解：由C 判别式得到，0C)2(x 0,C)y(y C)(x 22=-=---.得到两条直线⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==3y Cx ,0y C x .4202411234由上图知道，直线y=0是原曲线族的包络.例46. 求曲线族0C)(x 32C)(y 32=---的包络. 解：由C 判别法知，0C)-2(x C)-2(y 0,C)(x 32C)(y 232=+=---.2112211解得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⎩⎨⎧==94C y 32C x ,C y C x ，即直线92x y x,y -==. 由上图知，直线92x y -=是曲线族的包络.作业38. 求曲线族4c y c)(x 22=+-的包络，其中c 为参数.例47. 求方程2)dxdy (dx dy 2x y -=的奇解. 解：记dxdy p =，则方程为2p 2x p y -=，运用p 判别法知，02p 2x ,p 2x p y 2=--=. 解得2x y =. 易验证可知，2x y =不是原方程的解，因此，原方程没有奇解.例48. 求方程01y )dxdy (22=-+的奇解. 解：记01y p ,dxdyp 22=-+=，由p 判别法知，02p 0,1y p 22==-+，解得1y ±=. 令⎪⎩⎪⎨⎧==sin t dxdy t cos y ，当0dx dy ≠时，1sin t sin t dx dy /dt dy dt dx -=-==，即C t x +-=.故所求的通解为C)cos(x y -=.42241.00.50.51.0容易验证1y ±=为原方程的奇解.作业39. 求解方程0y )dxdyx ()dx dy (2=-+，并求奇解（如果存在的话）.3. 克莱罗方程与应用题例49. 求一曲线使得它的切线在两坐标轴之间的线段长为a>0.1.00.50.5 1.01.00.50.51.0作业40. 求一曲线，使得它上面每一点的切线与坐标轴的两截距之和等于常数a>0.。

常微分方程-奇解与包络共36页

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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
Hale Waihona Puke ▪28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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常微分方程-奇解与包络
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠深巷中，鸡鸣桑树颠。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭

常微分方程的奇解的求法

2011届本科毕业论文常微分方程的奇解的求法学院：数学科学学院专业班级：数学07-4（实验）班学生姓名：哈丽古丽.穆塔力菩指导教师：伊里夏提答辩日期：2011年5月10日新疆师范大学教务目录1 引言 (1)2 奇解的定义 (1)3 不存在奇解的判别法 (1)4 自然法 (2)5 拾遗法 (2)6 包络线及奇解的求法 (2)6.2 C-判别曲线 (3)6.3 P-判别曲线 (5)6.4 C-P判别法 (7)总结 (8)参考文献 (1)致谢 (2)常微分方程的奇解的求法摘要：该文章我们主要讨论的是常微分方程奇解的求法。

一个常微分方程有没有它的奇解，有了奇解怎么求是该文章的主要目的。

在这里我们讨论不存在奇解的判别法。

如果方程有了它的奇解，一般有五种方法可以求它的奇解，即自然法，拾遗法，C -判别曲线(C-消去法)，P-判别曲线（P-消去法），C-P判别法。

我们最常用的，方便的方法是后面的三个，在这里对这三个方法进行详细的讨论。

关键词：奇解，判别式，包络线。

1 引言我们看到对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这方程的积分曲线族。

但是，在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切。

在几何学上，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络。

在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。

若一个微分方程它有奇解，那我们怎么求它的奇解是该文章主要讨论的问题。

2 奇解的定义定义如果方程存在某一节，在它所对应的积分曲线上每一点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。

奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线。

3 不存在奇解的判别法每一个微分方程都有它的奇解吗？答案是：不一定。

那我们怎么知道，微分方程有没有它的奇解呢？下面我们介绍不存在奇解的两种判别法。

方法1 假设方程(,)dyf x y dx= （1）的右端函数2),(R D y x f ⊆在区域上有定义，如果),(y x f 在D 上连续且),(y x f y '在D 上有界（或连续），那么由解的存在唯一性定理，方程的任一解是唯一的，从而在D 内一定不存在奇解。

一阶常微分方程的奇解和包络的研究

一阶常微分方程的奇解和包络的研究
徐丽君;廖永志
【期刊名称】《西昌学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2016(30)2
【摘要】微分方程F(x,y,y')=0的奇解与包络等概念比较抽象,关系复杂,难以理解.利用包络和奇解的定义及有关定理,通过具体实例,用不同的方法研究方程
F(x,y,y')=0的奇解与包络,研究求曲线的奇解与包络的方法,讨论解的唯一性是如何被破坏的.
【总页数】4页(P17-20)
【作者】徐丽君;廖永志
【作者单位】攀枝花学院数学与计算机学院,四川攀枝花 617000;攀枝花学院数学与计算机学院,四川攀枝花 617000
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.关于一阶常微分方程奇解的讨论 [J], 王嘉谋;石琳;何莉敏
2.一阶常微分方程的奇解的存在定理的应用 [J], 何永葱
3.两类一阶常微分方程有奇解的条件 [J], 何永葱
4.微分方程中包络的定义及求奇解时必须注意的一个问题 [J], 孔志宏;
5.关于克莱罗方程的奇解与包络概念之拓展 [J], 刘姗姗;韩茂安
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