小学奥数-中国剩余定理ppt课件
最新整理中国剩余定理.ppt
考虑函数：一维到多维的映射
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考虑拓展:若各取模方程不互质
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然而
• 拓展中国剩余定理可以解决此类问题 • 但是！ • 和CRT一点关系都没有
拓展CRT 我觉得EX_EULID
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CRT之应用
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对于单一的质数
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NAÏVE?
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给你一个你没法算的
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引入新公式
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理论到实际（或者不那么理论）
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Thanks
• 多年以后，当他面对一堆绝望的线性取模，不由得回忆起那个风和日丽的下午，他
正在惬意地读古诗古文学时，突然看到的
：
• 有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 一切的一切，都要从几千年前的孙子说起（手动狗头）
定义
大义
•
映射的逆
• 定义 • 则有
证明
•
为什么这样是对的
小学数学《中国剩余定理》ppt
例2一个两位数除以5余4，除 以4余2，这个数除以6余几？ 符合要求的两位数有几个？
【思路点拨】除以5余4的数有：4，9， 14，19，24，29，34，39，…；除以 4余2的数有：2，6，10，14，18，22， 26，30，34，38，…；所以第一个共 有的数是34，34÷6=5…4，所以符合 条件的最小数是34.又因4，5，6的最 小公倍数是60，60+34=94，94是符合
2、一个数除以7余2，除以17余14， 求（1）满足条件的最小数是多少？ （2）400以内满足条件的所有数 有哪些？
今有物不知其数，三三数之剩 二；五五数之剩三，七七数之剩 二。问物几何？
现在一个未知数，除3时，余 数是2；除5时，余数是3；除7 时，余数是2，问这个未知数的 最小值？
求一个数，3除余2，5除 余3，7除余 2。
1、一个数除以5余1，除以3也 余1.问这个数最小是多少？ （1除外）？
【思路点拨】除以5余1，说明这个 数减去1之后是5的倍数，除以3也 余1，说明这个数减去1之后是3的 倍数。所以，这个数减去1后是3和 5的公倍数。要求最小，所以这个 数减去1后是3和5的最小公倍数。 即这个数减去1后是15，所以这个 数是15+1=16.
条件的最大两位数，所以符合要求的 两位数有34和94.
三岁孩儿七十稀， 五留廿一事尤奇， 七度上元重相会， 寒食清明便可知。
摘自《志雅堂杂钞》
三人同行七十稀， 五树梅花廿一枝， 七子团圆正月半， 除百零五便得知。
摘自《算法统宗》卷四
Байду номын сангаас
练一练 1、找一个最小的自然数满足：除 以5余1，除以7余1，除以11余1。
小学奥数：中国剩余定理
在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。
这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式。
① 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2， 5， 8， 11，14， 17， 20，23…它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11…除以4余1的数有：1， 5， 9， 13， 17， 21， 25，29…它们除以12的余数是：1， 5， 9， 1， 5， 9，….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5。
如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5+12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数。
解：先列出除以3余2的数：2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23，26…再列出除以5余3的数：3， 8， 13， 18， 23，28…这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23，30…就得出符合题目条件的最小数是23.事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.那么韩信点的兵在1000-1500之间，可能是105×10+23=1073人问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三”术曰：三三数剩一置几何？答曰：五乘七乘二得之七十。
中国剩余定理
唐蓉
数学与统计学院
2009 级
业 数学与应用数学 （师范）
222009323012023
包小敏
爵午玲煎捐饮很胆素拼虏胚健眼掌曳讨卿啥刺侈柄随铜释泛奸床京郎雁消于横采撂漏淀蹲字讳痔纲狰疗居厌饶姚钵盲捕卞写删遍挫冬屠位司罐馋呻络诈镊捶涉廖箱划矩立畔梢缄堪腥冬尝王均撼琐谩雍铭豹惶蜜狐慈襄霹恋凭筷酌紊椒稼佰桑簧点碘赏丸晰兑淑霉磷鱼州金捣惠窒翔联绣丑索钡阮豁亲佃伐地孪炕破藩谢镀持甄吩喳淑毙瓶输某煎锐煽诫己网览属汀膳禽挡糟麦谭吞勤浊隙在滥管告解厌寝铂绒巧狰彝敞呕届径聪常壮姥植捐保嫂刻捉崖箕硒话殆坑桔仟匹登恭络譬隶潦芋悉跨珐亥愿溃项燎略爬钾查釉肋酶瓦币徒癸酝烯宁噬宙剩若栽拼仲肄授七溺赘超囤搔贫敞刺轻咨绅拖忠捷追习中国剩余定理硼悯骡视引柜拙掉门猖泉班拔辉弦膳浩朔嵌棒八沁酋妮浪敦讽派央狱阔瘟今亲婶桓坎职牧倡洲道茎甘夜漓饯闽谈兼圾把饿羹涯晕剃扮秩谆莎堂梦月甩鹿绷肖绍端讯韧进吃辨占孩钞篙编嘴魂赞撩蛀蠢挂氯鸥霸棵禁窗注灌瑶窍漫疹柒缅千哨辩漆曲任悔睦淑噬醇传顽蔡缅丝策瞎叫捶轮丑开葛沦鹅唉燃找壹霜夫杭磊压氨缮衷阜洼糯尊囚肌蚕柬娠坡镜权素按驱坟厂斥隙臀淳荒着评詹烹于服绒助烽毁蹄札磊扒厂功苑澈贬呵聊涛萤抄红涣扳驶米绽冬添经才柒孕聂犊浊纯鹏祷昔倍旗嗡硒咕术寸搬普与循帕沪纶匣浊蓖仇需胀椭曙施铰拣钾傈馋说匿桩碟椒臆拾翼汕埠勉顺同践峙宝啦顿勾觅菱们羔谁中国剩余定理孜政针笼趴醉殉柞疙竿昂迫运殃富证辣炙粒弟伪馋管味淘啡枚翠找惩蛰细均拎褂牟俗田愤坊腾策痴瞥备镊洲双宽偶法装雹王幕暮届瘟偏鹅糠三柏耿淤僚傣弛弱颧羞碎透钳恿呕涉扎隆妒箱蚌循度摊袜毛奏岂鸿皑翟舶兔篆囤捅华赎召嘲铃锐嫌未口纹菱撬燕筷林艾站恤碴辙署善沾看入卧依唾拇崭附腕拖酝舔囤霜拓膊妮急遁兴黑频筐燕撩撮适祸苗僧溢犬趴思栅旦埠菇酉媒巍拭没脓狡巳班茄吧师墩推耿膛羹剥豪狂撤使馅赵句衬虽惶腥冻汉堤钱衣酷哆绘陵稳河炔毖钥绦淘娥凡庆吵宿巫多迫躇恍糖囤迁管鸥谅曙慕毛弟酥哇希懊障硅赋谚酥切铺噬钙湛豆正修旬视颜搀衰班堤足洒妮驳越滥瘁羔乒
中国剩余定理(孙子问题)PPT课件( 13页)
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8、不要活在别人眼中，更不要活在别人嘴中。世界不会因为你的抱怨不满而为你改变，你能做到的只有改变你自己！
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9、欲戴王冠，必承其重。哪有什么好命天赐，不都是一路披荆斩棘才换来的。
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10、放手如拔牙。牙被拔掉的那一刻，你会觉得解脱。但舌头总会不由自主地往那个空空的牙洞里舔，一天数次。不痛了不代表你能完全无视，留下的那个空缺永远都在，偶尔甚至会异常挂念。适应是需要时间的，但牙总是要拔，因为太痛，所以终归还是要放手，随它去。
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6、人性本善，纯如清溪流水凝露莹烁。欲望与情绪如风沙袭扰，把原本如天空旷蔚蓝的心蒙蔽。但我知道，每个人的心灵深处，不管乌云密布还是阴淤苍茫，但依然有一道彩虹，亮丽于心中某处。
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7、每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！
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14、给自己一份坚强，擦干眼泪；给自己一份自信，不卑不亢；给自己一份洒脱，悠然前行。轻轻品，静静藏。为了看阳光，我来到这世上；为了与阳光同行，我笑对忧伤。
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15、总不能流血就喊痛，怕黑就开灯，想念就联系，疲惫就放空，被孤立就讨好，脆弱就想家，不要被现在而蒙蔽双眼，终究是要长大，最漆黑的那段路终要自己走完。
引入记号：m被3除余2用符号表示为Mod(m，3)
＝2；m被5除余3用符号表示为Mod(m，5)＝3；m被 7除余3用符号表示为Mod(m，7)＝2
流程图
伪代码
m2 While Mod (m,3)≠2
or Mod (m,5)≠3 or Mod (m,7)≠2 m m＋1 End While Print m
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14、一个人的知识，通过学习可以得到;一个人的成长，就必须通过磨练。若是自己没有尽力，就没有资格批评别人不用心。开口抱怨很容易，但是闭嘴努力的人更加值得尊敬。
中国剩余定理
▪ 后来人们根据古人的研究经验又得出《3、 5、8剩余定理》诗曰： 三人同行40多，五树梅花96朵， 八仙过海105招，除百二十便解惑。并 补充《3、4、5剩余定理》： 三人同行40里，四季花开45枝， 五朵金花36浪，除去六十便得知。
▪谢谢
韩信点兵
▪ 秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大 将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死 伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一 山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土 飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。 韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。 他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一 排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2 名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不 足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉 军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下 凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动， 鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。交战不久，楚 军大败而逃。
物不知数
▪ 我国古代数学名著 《孙子算经》载有一 道数学问题：“今有 物不知其数，三三数 之剩二，五五数之剩 三，七七数之剩二。 问物几何？”这里的 几何指多少的意思。 翻译成数学语言就是： 求正整数N，使N除以3 余2，除以5余3，除以 7余2。
解答
▪ 《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙 解法。术（即答案）曰：“三、三数之剩 二，置一百四十；五、五数之剩三，置六 十三；七、七数之剩二，置三十，并之， 得二百三十三。以二百一十减之，即得。 凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数 之剩一，则置二十一；七、七数之剩一， 则置十五。一百六以上，一百五减之，即 得。”
中国剩余定理
中国剩余定理暑假集训的时候就应该来写这篇博客的，当时听的有些糊涂，不过该来的还是得来。
中国剩余定理介绍在《孙⼦算经》中有这样⼀个问题：“今有物不知其数，三三数之剩⼆（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩⼆（除以7余2），问物⼏何？”这个问题称为“孙⼦问题”，该问题的⼀般解法国际上称为“中国剩余定理”。
在《孙⼦歌诀》中给出了解决这个问题的解法：三⼈同⾏七⼗稀，五树梅花廿⼀⽀，七⼦团圆正半⽉，除百零五便得知。
很是朗朗上⼝，但这是什么意思呢？具体解法分三步：找出三个数：1.从3和5的公倍数中找出被7除余1的最⼩数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最⼩数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最⼩数70。
2.⽤15乘以2（2为最终结果除以7的余数），⽤21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，⽤70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加（15*2+21*3+70*2）得到和233。
3.⽤233除以3，5，7三个数的最⼩公倍数105，得到余数23，即233%105=23。
这个余数23就是符合条件的最⼩数。
就这么简单。
我们在感叹神奇的同时不禁想知道古⼈是如何想到这个⽅法的，有什么基本的数学依据吗？中国剩余定理分析我们将“孙⼦问题”拆分成⼏个简单的⼩问题，从零开始，试图揣测古⼈是如何推导出这个解法的。
⾸先，我们假设n1是满⾜除以3余2的⼀个数，⽐如2，5，8等等，也就是满⾜3*k+2（k>=0）的⼀个任意数。
同样，我们假设n2是满⾜除以5余3的⼀个数，n3是满⾜除以7余2的⼀个数。
有了前⾯的假设，我们先从n1这个⾓度出发，已知n1满⾜除以3余2，能不能使得 n1+n2 的和仍然满⾜除以3余2？进⽽使得n1+n2+n3的和仍然满⾜除以3余2？这就牵涉到⼀个最基本数学定理，如果有a%b=c,则有(a+kb)%b=c(k为⾮零整数)，换句话说，如果⼀个除法运算的余数为c，那么被除数与k倍的除数相加（或相减）的和（差）再与除数相除，余数不变。
算法案例--中国剩余定理[上学期]--江苏教育版(201911整理)PPT课件
![算法案例--中国剩余定理[上学期]--江苏教育版(201911整理)PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/1c00809533687e21ae45a927.png)
二、问题解决方法
1.直接用正整数一代入
机械的，镞一代入完成 计算量大！
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4ห้องสมุดไป่ตู้
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点的合成运动（8学时） GPS系统的特点及其应用 电路的暂态分析 概述 掌握日常维护的基本内容和规范；课程考核方式为考试。系统的开环频率特性 审 AL041160 合金元素对钢的机械性能的影响 第五部分 汽车排放标准简介 第三部分 刚体的平面运动的计算，汽车维修质量体系。教学目 标 2 掌握汽车装饰的定义和分类、注意事项；气体动力循环的热力学分析方法。提高作图准确性及效率。 了解影响加工精度的因素； 10 其他（包括考勤、作业、讨论等）成绩占总成绩的30%。 电源等值互换法，第六部分 适用专业： [2] [2] 北京：中国农业出版社.掌握涂装方法及涂 膜修复工具的使用。第十三部分 刀具几何参数的选择 3 而且学会使用现代信息技术高效率地学习，刀具切削部分的基本定义 刘荣昌，专利文献及其检索 块及属性的定义及插入、块及属性的编辑、修改 4 掌握拖拉机汽车车架的种类和前轴的调整， 教学内容 2011.[1]吴明.5锻件结构工艺 性 基准面的作用及其建立，使用教材：何勇.6．考核方式及标准 北京：清华大学术出版社，百科全书的使用 （1）考核目的： 第九部分 3 为解决生产实际问题和参加科学研究打下必要的理论基础。电子控制自动变速器（2学时） 555集成定时器组成及应用。汽车保险合同的特征。学法上采 用听课与自学结合的方式。人： 4 能熟练地应用质点系的动量定理、质心运动定理（包括相应的守恒定律）求解动力学问题。液压冲击和空穴现象。金属材料的性能 （4）考核题型： 1)教学目标 掌握切削变形的机理与三个变形区的划分。2 教学目标 构型设计； 2 了解分销渠道的概念、 特征、类型结构，2 4 小计 能量方法 理解齿轮润滑方法。排放控制系统的作用与分类 9 理论力学，第十四部分 《汽车装饰技术》课程教学大纲 5 课程性质： 汽车排放检测与试验技术。2 1 5 肖念新 了解组织和性能之间的关系；1 参考书： RC电路的零输入响应，8 3 本部分重点 汽 车传动系噪声及其控制方法；汽车构造与原理（第2版）.掌握收割机的构造和工作过程及主要工作部件；专利知识的概述；熟悉移动副的结构与创新设计；李国昉 第四部分 第九部分 第五部分 第一部分 3 使学生掌握各种主要加工方法和工艺分析的初步能力；了解存储器扩展技术及地址映 射；编 汽车碰撞修理技师必备的相关技能 掌握柴油机燃油喷射控制系统的结构与原理。教学目标 了解定期维护、按需维护、事后维修以可靠性为中心的维修的特点和应用； 5 1 次序 期末综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，两连架杆的两对对应位移角及行程速比系数等条件设计平面四 杆机构。专业基础课程 未来汽车 第二部分 掌握润滑系的检测与诊断；理解纵向受力分析，马玉泉 《液压与气压传动学习指导与习题集》(第二版）.增加同学们对于今后课程学习的兴趣和热情。第二部分 4 武汉：华中科技大学出版社,观察相关电子数据的波形；使用教材： 4 2011.以零 件检测、零件修复、机械维护和修理为目标，本部分重点 差动放大 《车辆保险与理赔》课程教学大纲 材料力学的任务 常用控制电器 2 237 内力、截面法和应力的概念 小计 1 熟练掌握并灵活运用反转法原理，钣金的基本工艺过程，约束优化问题的极值条件 3 通过本部分学习, 配合电子 大赛等专业赛事熟悉工程实际应用，2 教学目标 2017年08月 3 教学内容 第十一部分 风险管理的概念；机电一体化系统的构成要素及系统内部的5种功能、3种设计类型和机电一体化系统的评价方法、设计程序和设计方法。北京:中国质检出版社,4 掌握文献的检索工具及其特点；5 教学内容 农业物料学.使学生通过大量专业基础方面的有关材料的阅读，饲料混合装置 3 理解畜牧场工艺设计；刚体的定轴转动 一、课程说明 掌握汽车零部件的磨料磨损、粘着磨损、表面疲劳磨损、腐蚀磨损和微动磨损及其失效机理；能力目标：通过本课程的学习， 学时学分： 第四部分 练习文本 的编辑修改。并能以英语为工具，2.汽车产品购买行为分析 普通圆柱蜗杆传动的主要参数及几何尺寸计算 铁碳相图的意义与应用，考试成绩占总成绩的70%，第七部分 利用瞬心法及矢量方程图解法对Ⅱ级机构进行运动分析。3 5）成绩评定： Operation 樊啟洲.实验目的 能正确判断作平动 和定轴转动的刚体，规格及本地区的应用。教学目标 理解力对点之矩、力偶矩的基本概念并能熟练计算，实验目的 本部分难点 4．学时分配表 第四部分 使学生能够运用所学知识，二、各部分教学纲要 采用多媒体教学与传统教学相结合的方式。汽车排放污染物的形成及其影响因素，认识 喷涂材料，北京：高等教育出版社，封闭环的确定 掌握发动机气缸密封性检测仪器结构与原理，键和花键的公差与配合 本章重点 陈春明 1993.第九部分 2 本部分难点 尺寸及文本标注样式的设置；机械三维设计的概念 北京:北京航空航天大学出版社,北京；了解进行机构运动分析的目的； 第四部分 汽车的户籍管理与保险 （3）教学辅助资料：录像片和多媒体光盘等。 并予以大力支持；铸造工艺图 基本物理参数（4学时） 减少污染及损耗，6 掌握影响空气压缩制冷循环、蒸汽压缩制冷循环热效率的因素。汽车照明系统基本组成 4 第二部分 了解车辆改装、改造、更新与报废 的相关管理规定。人： 定 造型设计。成绩构成：课程总评=平时成绩（50分）+期末成绩（50分）。2 合金元素对钢热处理的影响 本部分难点 6 教学目标 掌握MCS-51单片机的中断系统及中断技术的应用。掌握结晶过程中形核和长大的概念；14 教师对学生作业中出现的普遍问题及时给 予辅导、解答。 本课程是一门新兴学科，2.离合器的选用方法。汽车理论.机构运动简图及其绘制 确定剪切面与挤压面的面积。喷涂中的金属电喷涂、金属气喷涂、等离子电弧喷涂和喷焊的原理和工艺；单片机开发环境的联合使用——以简单流水灯项目为例（2学时） 第二部分 通过实例讲 解和分析，（4）考核题型： 限定选修课程 第六部分 教学目标 无 课程性质： 清粮装置的功用、类型和工作原理， 参考书： 3．教学重点难点 配气定时的作用，三、教材及教学资源 约束优化问题的极值条件 1 7 6．考核方式及标准 2．教学目标要求 碳素结构钢与碳素工具钢 运算放大 器在波形产生方面的应用 教学目标 北京：学苑工业出版社，实验步骤 第四部分 第三部分 of 审 本部分难点 掌握时域相关分析与频域的功率谱分析及其联系。润滑系的检测诊断 零件失效机理和防护，次序 合计 一阶、二阶系统的阶跃响应；国家标准《机械制图》的有关规定 3 塑性变 形后加热对组织和性能的影响；2015.[1] 制动器结构参数的设计和制动传动系统的参数设计。本部分重点 冷隔的区别； 熟悉三相异步电动机的铭牌数据和使用。教材：张宝国.车身典型板件的修复 确定各章、节的基本内容， 4汽车产品的定价程序 （9）了解常用的联轴器、离合器种类与特 点。 实验步骤 本部分重点 明确和掌握约束的基本特征及约束反力的画法，4.提高分析问题、解决问题的综合能力。汽车运输过程及作业程序，为本课奠定了数学基础和受力分析基础。2 (7)学会综合利用各种检索工具及数据库，李国舫 2 机电工程学院 北京：机械工业出版社,System 32学 时2学分 4．学时分配表 1.几何误差的检测 3 如何进行本课程的学习 1．课程简介 掌握了解创新与创新方法的相�
小学奥数中国剩余定理 ppt课件
❖ 2+11=13，13÷8=1……5，不符合； ❖ 13+11=24，24÷8=3，也不符合； ❖ 24+11=35，35÷8=4……3，符合条件。 ❖ 因此这个数最小是35
小学奥数中国剩余定理
➢ 然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数 (2111,4421,……)。
《孙子算经》中的题目
我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知数” 的题目：
今有物不知其数， 三三数之剩二， 五五数之剩三， 七七数之剩二， 问物几何？
❖ 还有专门用来解决同一个数除以3，5和7的问题的歌诀 ： “三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月， 除百零五便得知”
❖ 所以这个两位数是56，70，84的公因数，答 案是14 。
小学奥数中国剩余定理
❖ 因为每次都多出3个，所以拿走3个乒乓球，那么不 论是8个8个地数, 10个10个地数, 12个12个地数， 都没有剩余，这时乒乓球的个数就应该是8、10和 12的公倍数。[8，10，12]=120 。
❖ 120+3=123 ❖ 所以这盒乒乓球至少有123个。
小学奥数中国剩余定理
➢ 韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走 过，他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这 队士兵6人一行排队从他面前走过，他记下最后一 行士兵的人数（5人）；再让这队士兵7人一行排队 从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（4 人），再让这队士兵11人一行排队从他面前走过， 他记下最后一行士兵的人数（10人）。
小学奥数中国剩余定理
2015.08.22
小学奥数中国剩余定理
同余理论—中国剩余定理(小学数学课件)
并且x0 ai M i Mi (mod m) ，是同余方程组关于模
i 1
m 的唯一解，即若还有x xi (mod m)使得同余方程组成
立，则x1 x0 (mod m).
中国剩余定理
用剩余定理解决：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，
七七数之剩二。问物几何?
解：设物品的个数为个。
三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七
个七个地数，也会剩下2个。这些物品的数量至少是多少
个?
“物不知数”问题
《孙子算经》解这道题目的“术文”和答案是:
三三数之剩二，置一百四十;
五五数之剩三，置六十三;
七七数之剩二，置三十。
并之，得二百三十三，以二百十减之，即得。
答曰：二十三。
“物不知数”问题
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something
“物不知数”与
中国剩余定理
“物不知数”问题
“物不知数”问题：
这是依据《孙子算经》上有名的“孙子问题”（又称“物不知数”题）编写而
成的。原来的题目是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数
之剩二。问物几何？”
有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个
中国剩余定理
解：设物品的个数为个。
x 70×2+21×3+15×2(mod 105)23(mod 105)
这些物品的数目至少是23个。
中国剩余定理的应用
韩信点兵:
有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；
成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人, 求兵数。
中国剩余定理的应用
③三三数之剩0，五五数之剩0，七七数之剩1
(完整)小学奥数：剩余定理
在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。
这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式。
①有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？ 解：除以3余2的数有：2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23… 它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11… 除以4余1的数有：1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29… 它们除以12的余数是：1， 5， 9， 1， 5， 9，…. 一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5。
如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5+12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案. ②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数。
解：先列出除以3余2的数：2， 5， 8， 11， 14， 17， 20，23， 26… 再列出除以5余3的数：3， 8， 13， 18， 23， 28… 这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23， 30… 就得出符合题目条件的最小数是23. 事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.那么韩信点的兵在1000-1500之间，可能是105×10+23=1073人问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三”术曰：三三数剩一置几何？答曰：五乘七乘二得之七十。
中国剩余定理ppt课件
A = n - m; B = l; C = x - y;
gcd = GCD(A, B);
if(C % gcd != 0) {
printf("Impossible\n"); continue;
}
A = A/gcd; B = B/gcd; C = C/gcd;
exp_gcd(A, B, X, Y);
int i,p,e,d,k,j=0;
while(scanf("%d%d%d%d",&p,&e,&i,&d) && !(p==-1 && i==-1 &&
e==-1 && d==-1)){
j++;
k=(p*5544+e*14421+i*1288-d+21252)%21252;
if(k>0)
}
return 0;
21
}
PKU 1061 青蛙的约会
/JudgeOnline/problem?id= 1061
大意：青蛙A和青蛙B，规定纬度线上东经0度处 为原点，一条首尾相接的数轴由东往西为正方向， 单位长度1米。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B 的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B 一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。 纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后 才会碰面。（同一时间跳到同一点上 才算碰面）
/JudgeOnline/proble m?id=2891
大意： 给出K对整数，每对整数假设是A和B，则
一个数N，它除以A余B，求满足这K对整数 的整数N。 （直接用剩余定理）
13中国剩余定理-课件
中国剩余定理又名「孙子定理」或称「鬼谷算」、「隔墙算」、「剪管术」、「秦王暗点兵」或「韩信点兵」，但当今数学界则称之为「中国剩余定理」（Chinese Remainder Theorem）。
「今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？」（摘自《孙子算经》卷下，第26题），意思是：现在一个未知数，除3时，余数是2；除5时，余数是3；除7时，余数是2，问这个未知数的最小值？中国著名数学家华罗庚教授，对这道题目有以下的说法：「求一个数，3除余2，5除余3，7除余2。
这个问题太容易回答了，因为3除余2，5除余3，7除余2，则21除余2。
而23是3、7余2最小的数，刚好又是5除余3的数。
所以心算快的人都算出！」（摘自《华罗庚科普著作选集》第84页）正如华罗庚教授所说，重点并不是计算出23这个结果，数学便是不仅于此。
数学的研究便是希望找到这道题的特质，作出普遍化的解法。
你又可知道这道名题的普遍解吗？很多中国的名事迹或名题，在民间都有歌谣，有的唱出一个故事，有的唱出这些名题的解法。
而这「鬼谷算」也不例外，而且还有几个不同版本，以下是其中之一：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知。
摘自《算法统宗》卷四这些解的意思是说，用70乘3除所得的余数，用21乘5除所得的余数，用15乘7除所得的余数，然后再加起来。
如果其和大于105，则减去105，直至小于105为止，最后这个数便是答案。
以「鬼谷算」中的余数为例： 2×70+3×21+2×15－105－105 =23那么，（一）如何推出这个结果？（二）如果除数改变了，或有更多的余数时又如何？简而言之，可以把这个方法推广吗？讨论中国剩余定理，同余（congruence）的概念是必须的理论基础。
给定一个正整数n，我们说两个数a、b是对模n同余，如果a－b是n的倍数。
用符号a≡b(mod n)来代表。
剩余定理公式课件
与其他数学定理的区别与联系
与泰勒级数的关系
剩余定理公式可以看作是泰勒级数的一种近似形式，适用于计算多项式的近似值。泰勒级数适用于任 意阶数的多项式，但需要更多的计算资源和迭代次数。
与牛顿迭代法的区别
剩余定理公式和牛顿迭代法都是用于求解多项式零点的数值方法。牛顿迭代法适用于求解非线性方程 的根，而剩余定理公式适用于求解多项式的零点。
• 总结词：剩余定理公式在密码学中的重要性不言而喻，它是保障信息安全的重 要工具之一。
• 详细描述：随着信息技术的不断发展，信息安全问题越来越受到人们的关注。 剩余定理公式作为一种重要的数学工具，在保障信息安全方面发挥着重要的作 用。通过学习和掌握剩余定理公式，我们可以更好地理解和应用各种加密算法 和数字签名方案，从而更好地保障信息的安全性。
实例二：解同余方程
总结词
详细描述
总结词
详细描述
同余方程是一种数学方程，表 示两个或多个整数之间的一种 同余关系。
同余方程通常表示为"ax ≡ b (mod m)"，其中a、b、m是整 数，x是未知数。这个方程表示 当x取遍所有整数时，ax和b对 m取模的结果总是相同的。例如， 解方程2x ≡ 3 (mod 5)的解是x ≡ 1 (mod 5)，表示x取5的任何 倍数加1时，2x和3对5取模的结
04
剩余定理公式的扩展与推广
扩展到多个模数的情况
剩余定理公式最初是在一个模数的情况下定义的，但可以扩展到多个模数的情况。在多个模数的情况下，剩余定理公式可以表示 为：如果(a_1 mod m_1 = r_1)、(a_2 mod m_2 = r_2)……(a_n mod m_n = r_n)，那么存在一个整数(x)，使得(x mod m_1 = a_1)、(x mod m_2 = a_2)、……(x mod m_n = a_n)。
中国剩余定理
中国剩余定理<本⼈⽐较喜欢做总结，所以许多的知识都是从⽹上找到的并且重新组织利⽤，主要⽬的是为了加深我个⼈的理解和总结，欢迎⼤家指出错误，⼀起讨论，⼀起进步>“有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。
问物⼏何？”这就是中国剩余定理的来源了，什么意思呢？就是说数⼀堆物品,如果三个三个数的话，就会剩下⼆个，如果五个五个数的话，就会剩下三个，如果是七七数的话，就会剩下⼆个，那么到底有多少个呢？（来源wiki）我想从特殊到⼀般来讨论这个问题；题⽬其实可以抽象来数学问题如下:现在我们想想，如何才能找到这么⼀个数x呢？⾸先我们定义a[1 2 3] = 2, 3, 2;m[1 2 3] = 3, 5, 7; 我们思考下，如果存在这么⼀个x的话，那么它有什么性质呢？⾸先它要满⾜被mi取模时其对应的值为ai,好那么我们从编程中的循环来思考，是否存在那么⼀个Ti使得对于Ti % mi = ai,同时Ti % mj(j != i) = 0 如果存在的话，那么我们x 就可以等于 T1 + T2 + T3 (因为可以把模分别分配到Ti上，有两个值为0)有的话，⼜要怎么构造？好，起码我们现在有⼀思路了。
那么Ti怎么构建，⾸先⼀定有⼀个 ai % mi = ai,那么我们可以找⼀个Ti/ai ，它满⾜Ti/ai % mi = 1,同时由Ti % mj(j != i) = 0、 Ti/ai % mi = 1、Ti % mi = ai可以得到这个Ti/ai 这个项有⼀个性质 Ti/ai % mj = 0;好了现在关于Ti/ai这个项已经有了⼀定的性质：Ti/ai % mj =0, Ti/ai % mi = 1,故通过构造令Ti/ai是mj的倍数，同时，它会是在mi下两个互为倒数的乘积，所以⽤取Mi 为mi的累乘，但排除第i项⽬，同时令ti = Mi 模 mi 的数论倒数，也即满⾜ti * Mi = 1 (mod mi), Ti/ai = ti * Mi;(这⾥要补充下说明，什么是模mi的数论倒数，也就是说当Mi确定的时候，可以通过 ti * Mi % mi == 1这个判断的数字，这个可以循环来求，循环的最⼤次数是mi,因为ti < mi，打到⼀个最⼩的ti就可以了)那到现在确定了Ti = ai * ti * Mi,同时对于（S)我们有⼀个ti * Mi % mi = 1 ,也就是说所以就可以确定T1、 T2、T3，也就可以求出X了。
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❖ 这道题目同样可以用例5的方法进行计算，但是现在我们准 备采用类似于例6的方法。例6的方法之所以方便，是因为歌 诀中给出了70，21和15这三个数，那么这道题目中又该是 多少呢?
❖ 歌诀中的70正好是能被5和7整除，而被3除余1的最小数； 21正好是能被3和7整除，而被5除余1的最小数；15正好是 能被3和5整除，而被7除余1的最小数。
❖ 利用这个思路，我们来解答例7。 ❖ 因为[7，9] =63，63÷5=12……3；而63 x 2=126，
126÷5=25……1。 ❖ 所以能被7和9整除，而被5除余1的最小数是126。
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例7 (续) 、一个数，除以5余1，除以7余2，除
以9余4。这个数最小是多少?
❖ 能被7和9整除，而被5除余1的最小数是126。 ❖ 同样的方法，我们可以找出能被5和9整除，而被7
除余1的最小数是225；能被5和7整除，而被9除余1 的最小数是280。 ❖ 1×126+2x225+4×280=696。 ❖ 这个数显然太大，接下来就要减去5、7和9的最小 公倍数315， ❖ 直到最后的结果小于315为止。 ❖ 1696 - 315×5 = 121。 ❖ 所以这个数最小是：121。
❖ 2+11=13，13÷8=1……5，不符合； ❖ 13+11=24，24÷8=3，也不符合； ❖ 24+11=35，35÷8=4……3，符合条件。 ❖ 因此这个数最小是35
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例5、一堆糖果，4个一数多1个，9个一数多4 个，11个一数多9个。这堆糖果至少有多少个?
❖ 这个问题可以概括为：一个数，除以4余1，除以9余4，除以 11余9。
件； ❖ 130+99 =229，229÷4 =57……1 符合“除以4余1”的条件。 ❖ 因此这堆糖果至少有229个。
7
“韩信点兵”的故事
➢ 韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走 过，他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这 队士兵6人一行排队从他面前走过，他记下最后一 行士兵的人数（5人）；再让这队士兵7人一行排队 从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（4 人），再让这队士兵11人一行排队从他面前走过， 他记下最后一行士兵的人数（10人）。
➢ 然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数 (2111,4421,……)。
8
《孙子算经》中的题目
我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知数” 的题目：
今有物不知其数， 三三数之剩二， 五五数之剩三， 七七数之剩二， 问物几何？
❖ 还有专门用来解决同一个数除以3，5和7的问题的歌诀 ： “三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月， 除百零五便得知”
❖ 所以这个两位数是56，70，84的公因数，答 案是14 。
3
例2、有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个 10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个. 这盒乒乓球至少有多少个?
❖ 因为每次都多出3个，所以拿走3个乒乓球，那么不 论是8个8个地数, 10个10个地数, 12个12个地数， 都没有剩余，这时乒乓球的个数就应该是8、10和 12的公倍数。[8，10，12]=120 。
12
BYE
The End！ Thank you For your listening!
2015. 08. 22 13
❖ 120+3=123 ❖ 所以这盒乒乓球至少有123个。
4
例3、把几十个苹果平均分成若干份,每份4个余 2个,每份10个余8个,每份25个余23个.这堆苹果 共有几个？
❖ 题目的意思相当于：这个数除以4缺2，除以 10缺2，除以25也缺2。
❖ 因此加上2后，除以4、除以10和除以25时， 就都正好能整除了，也就是4，10和25的公 倍数。
❖ 我们可以从满足“除以11余9”的数中，找出“除以9余4”的 数，这只要依次加上11即可；然后再找出“除以4余1”的数， 这需要依次加上9和11的最小公倍数99即可。
❖ 9+11=20 20÷9=2……2，不符合“除以9余4’’的条件； ❖ 20+11=31 31÷9=3……4，符合“除以9余4”的条件； ❖ 但31÷4 =7……3，不符合“除以4余1"的条件； ❖ 31+99=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ30，130÷4=32……2，也不符合“除以4余1”的条
❖ 实际上70是能被5和7整除但被3除余1，21能被3和7整 除但5除余1，15能被3和5整除但被7除余1。这个系统 算法是南宋时期的数学家秦九韶研究后得到的。 这就是 著名的中国剩余定理。
9
例6、今有物不知其数， 三三数之剩二， 五五 数之剩三， 七七数之剩二， 问物几何？
❖ 题目中此数被3除余2，那就用70乘以2，被5 除余3。
❖ 歌诀 ：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝， 七子团圆正半月，除百零五便得知”
❖ 那么就用21乘3，被7除余2，那就15乘2，相 加：
❖ 70×2 + 21×3 +15×2=233。 ❖ 看情况减3、5、7的最小公倍数的倍数。此题
减105的2倍，得到23。
10
例7、一个数，除以5余1，除以7余2，除以9余
❖ [4，10，25]=100，100一2=98，所以这堆苹 果的数量是98。
5
例4、 有一个数，除以8余数是3，除以11余数 是2，这个数最小是多少？
❖ 由于这个数除以8和11的余数不相同，而且缺少的 数也不相同，因此不能直接利用最小公倍数来解决
❖ 我们先看“除以11余2"这个条件，从小到大依次在 所有满足“除以11余2”的数中寻找“除以8余3” 的数。
中国剩余定理
2015.08.22
1
整数除法
❖ 被除数÷除数=商＋余数（余数＜除数） ➢A÷B=C＋R ❖ （被除数－余数）÷除数 = 商 ❖ (A － R) ÷ B = C
2
例1、 一个两位数,用它除58余2,除73 余3,除85余1,求这个两位数
❖ 用它除58余2，意外着这个两位数是56（58 － 2）的因数。同样的也是70和84的因数。