西南科技大学模糊数学第二章 模糊模式识别修第二、三节
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模煳数学教学课件完整
幻灯片1模糊数学绪论用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律性靠经典数学去刻画；2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律性靠概率统计去刻画;3.模糊现象：如“今天天气很热”，“小伙子很高”，…等等。
此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。
幻灯片2模糊数学绪论年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
共同特点：模糊概念的外延不清楚。
模糊概念导致模糊现象模糊数学——研究和揭示模糊现象的定量处理方法。
幻灯片3模糊数学绪论●产生1965年，L.A. Zadeh（扎德）发表了文章《模糊集》(Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )●基本思想用属于程度代替属于或不属于。
某个人属于高个子的程度为0.8, 另一个人属于高个子的程度为0.3等.幻灯片4模糊数学绪论●涉及学科模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、农业、气象、信息、经济、文学、音乐●模糊产品洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯幻灯片5模糊数学绪论课堂主要内容一、基本概念模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵二、主要应用1. 模糊聚类分析——对所研究的事物按一定标准进行分类例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以及有机质含量，PH值，颜色，厚薄等不同的性状，对土壤进行分类。
幻灯片6模糊数学绪论2.模糊模式识别——已知某类事物的若干标准模型，给出一个具体的对象，确定把它归于哪一类模型。
例如：苹果分级问题苹果，有{I级，II级，III级，IV级}四个等级。
现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。
幻灯片7模糊数学绪论3.模糊综合评判——从某一事物的多个方面进行综合评价例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价从{清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰}四方面给出{很好，较好，一般，不好}四层次的评价最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。
模糊数学 第二章
P p1 , p2 ,, pm
以互补性准则为基础的非结构性 决策单元系统 具体方法与步骤如下： 设系统有n个样本组成样本集：
X x1 , x2 ,, xn
A 样本 x j 有m个目标就模糊概念“优越性” 对样本进行识别。 ~
设目标对 的相对隶属度矩阵为： A
~
r11 r12 r1n r21 r22 r2 n R rij rm1 rm 2 rmn
~
以互补性准则为基础的非结构性 决策单元系统
1 r11 1 r12 1 r1n 1 r21 1 r22 1 r2 n W ij 1 rm1 1 rm 2 1 rmn
(2-41)
（“和”中均不包括对角线0.5） 归一化即可得到目标集P的权向量，其中：
以互补性准则为基础的非结构性 决策单元系统
i
2 it
t 1
m
m(m 1)
i 1,2,, m, i t
§2.5 确定目标权重的相对隶属度理论与方法
这是确定目标权重的另一方法。“重要”与“不重要”是一对 相对概念，具有中间过渡性。因此确定目标权重，可以确定目标隶 属于”重要性”这一模糊概念的相对程度，简称目标相对重属度。 在论域P中，理想重要目标I=（1，1…，1）。理想不重要目标 O=（0，0，…，0），作为重要与不重要的相对比较标准。 设P为论域，即m个目标组成的目标集：
i d k i d l , 记标度i ekl 1, i elk 0 i d k i dl , i ekl i elk 0.5 d d i ekl 0, i elk 1 i k i l
模糊模式识别的方法
为 27 岁和 30 岁的人都属于“青年人” 范畴。
第21页/共26页
例：按气候谚语来预报地区冬季的降雪量。 内蒙古丰镇地区流行三条谚语：①夏热冬雪大，
②秋霜晚冬雪大，③秋分刮西北风冬雪大。现在根据三 条言语来预报丰镇地区冬季降雪量。
为描述“夏热” ( A~1) 、”秋霜晚” (A~2) 、”秋分刮西北 风” ( A~3) 等概念，在气象现象中提取以下特征：
第8页/共26页
等腰三角形的隶属函数I(A,B,C)应满足下条件： (1) 当A = B 或者 B = C时, I(A,B,C )=1; (2) 当A =180, B =60, C =0时, I(A,B,C )=0; (3) 0≤I(A,B,C )≤1. 因此，定义I(A,B,C ) =1–[(A–B)∧(B – C)]/60.
x
50 15
2
,
1,
0 x 50, x 50.
第16页/共26页
当 x0 = 8 时，即物价上涨率为 8 %，我们有： A1(8) = 0.3679， A2 (8) = 0.8521， A3(8) = 0.0529 A4(8) 0， A5 (8) 0。
此时，通货状态属于轻度通货膨胀。
模式识别（Pattern Recognition）是一门判断学科， 属于计算机应用领域，主要目的是让计算机仿照人的思 维方式对客观事物进行识别、判断和分类。
如：阅读一篇手写文字；医生诊断病人的病情；破案 时对指纹图像的鉴别；军事上对舰船目标的识别等等 ，都可归结为模式识别问题。
但是，在实际中，由于客观事物本身的模糊性，加上 人们对客观事物的反映过程也会产生模糊性，使得经典 的识别方法已不能适应客观实际的要求。因此，模式识 别与模糊数学关系很紧密。
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例：按气候谚语来预报地区冬季的降雪量。 内蒙古丰镇地区流行三条谚语：①夏热冬雪大，
②秋霜晚冬雪大，③秋分刮西北风冬雪大。现在根据三 条言语来预报丰镇地区冬季降雪量。
为描述“夏热” ( A~1) 、”秋霜晚” (A~2) 、”秋分刮西北 风” ( A~3) 等概念，在气象现象中提取以下特征：
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等腰三角形的隶属函数I(A,B,C)应满足下条件： (1) 当A = B 或者 B = C时, I(A,B,C )=1; (2) 当A =180, B =60, C =0时, I(A,B,C )=0; (3) 0≤I(A,B,C )≤1. 因此，定义I(A,B,C ) =1–[(A–B)∧(B – C)]/60.
x
50 15
2
,
1,
0 x 50, x 50.
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当 x0 = 8 时，即物价上涨率为 8 %，我们有： A1(8) = 0.3679， A2 (8) = 0.8521， A3(8) = 0.0529 A4(8) 0， A5 (8) 0。
此时，通货状态属于轻度通货膨胀。
模式识别（Pattern Recognition）是一门判断学科， 属于计算机应用领域，主要目的是让计算机仿照人的思 维方式对客观事物进行识别、判断和分类。
如：阅读一篇手写文字；医生诊断病人的病情；破案 时对指纹图像的鉴别；军事上对舰船目标的识别等等 ，都可归结为模式识别问题。
但是，在实际中，由于客观事物本身的模糊性，加上 人们对客观事物的反映过程也会产生模糊性，使得经典 的识别方法已不能适应客观实际的要求。因此，模式识 别与模糊数学关系很紧密。
模糊数学讲义第二章
则称T是一个t 模.
常见的t-模：
(1)Tmin ( x, y ) min( x, y ) x y; (2) TL ( x, y) max(0, x y 1);
x (3) T0 ( x, y ) y 0
(4) T ( x, y ) xy.
y 1 x 1 其它
随着x增加，Y (x)减小
Y (25) 1, Y (30) 0.5 Y (60) 0.02
1
0 .5 25 30 60
注记：
• 普通集合是模糊集的特例，特征函数即为隶属函数
• 空集 的隶属函数为 ( x) 0 • 全集 X 的隶属函数为 X ( x) 1 • 模糊集的定义与上下文有关 • 表示法 (i) 论域无限时由隶属函数表出; (ii) 论域有限时表出方法如下：
不小 Ac , 不大 Bc , 不小也不大 Ac Bc c c c c A (1) 1 A(1) 0, A (2) 0.2, A (3) 0.4, A (4) 0.6 Ac (5) 0.8, Ac (6) Ac (7) Ac (8) Ac (9) Ac (10) 1
(5) 分配律(distributivity)
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
(6) 存在 0-1元 A A
A
A X X A X A
(7) 复原律(involution) c c (A ) A
若A B且A , A B, 则称A真包含 于B, 记为A B.
A 时， A B x X , A( x) B( x)且 x源自 X , A( x) B( x).
常见的t-模：
(1)Tmin ( x, y ) min( x, y ) x y; (2) TL ( x, y) max(0, x y 1);
x (3) T0 ( x, y ) y 0
(4) T ( x, y ) xy.
y 1 x 1 其它
随着x增加，Y (x)减小
Y (25) 1, Y (30) 0.5 Y (60) 0.02
1
0 .5 25 30 60
注记：
• 普通集合是模糊集的特例，特征函数即为隶属函数
• 空集 的隶属函数为 ( x) 0 • 全集 X 的隶属函数为 X ( x) 1 • 模糊集的定义与上下文有关 • 表示法 (i) 论域无限时由隶属函数表出; (ii) 论域有限时表出方法如下：
不小 Ac , 不大 Bc , 不小也不大 Ac Bc c c c c A (1) 1 A(1) 0, A (2) 0.2, A (3) 0.4, A (4) 0.6 Ac (5) 0.8, Ac (6) Ac (7) Ac (8) Ac (9) Ac (10) 1
(5) 分配律(distributivity)
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
(6) 存在 0-1元 A A
A
A X X A X A
(7) 复原律(involution) c c (A ) A
若A B且A , A B, 则称A真包含 于B, 记为A B.
A 时， A B x X , A( x) B( x)且 x源自 X , A( x) B( x).
模糊数学 第二章 模糊模式识别汇总
26
注：这里定义的内、外积贴近度仅是一种习惯称呼， 它们并不满足贴近度定义 3.5.7 的所有公理。事实上 定义 (3.5.45) 和定义 (3.5.46) 式都不满足贴近度定义 的公理条件 ( σ1 )，即 σ ( A，A) 1。但是，当 A
F (X)，A1 ，supp A X 时，也即 Ah=1，Ab= 0
24
例 2.12 设 X ={x1, x2, x3, x4, x5, x6},
A 0.6 0.8 1 0.8 0.6 0.4 , x1 x2 x3 x4 x5 x6
B 0.4 0.6 0.8 1 0.8 0.6 , x1 x2 x3 x4 x5 x6
则
A B 0.6 0.4 0.8 0.6 1 0.8 0.8 1 0.6 0.8 0.4 0.6 0.8 ,
1A, B 1
1 n
n i 1
Axi Bxi ,
3.5.33
1
A,
B
1
b
1
a
b a
Axi Bxi dx
3.5.34
11
以及相对Euclid 贴近度：
2 A, B 1
1 n
n i 1
Axi
Bxi
1/ 2
2
,
3.5.35
2 A, B 1
1
ba
b a
Axi
Bxi 2 dx1/ 2
σL( A, A ) =1; (4) 若 A B C，则 σL( A, C) σL( A, B) σL( B, C) 证明从略。
28
4. 贴近度的其它表示方法
定义2.12 可以用下列各公式定义贴近度：
n
Axi Bxi
1 A, B i1
;
注：这里定义的内、外积贴近度仅是一种习惯称呼， 它们并不满足贴近度定义 3.5.7 的所有公理。事实上 定义 (3.5.45) 和定义 (3.5.46) 式都不满足贴近度定义 的公理条件 ( σ1 )，即 σ ( A，A) 1。但是，当 A
F (X)，A1 ，supp A X 时，也即 Ah=1，Ab= 0
24
例 2.12 设 X ={x1, x2, x3, x4, x5, x6},
A 0.6 0.8 1 0.8 0.6 0.4 , x1 x2 x3 x4 x5 x6
B 0.4 0.6 0.8 1 0.8 0.6 , x1 x2 x3 x4 x5 x6
则
A B 0.6 0.4 0.8 0.6 1 0.8 0.8 1 0.6 0.8 0.4 0.6 0.8 ,
1A, B 1
1 n
n i 1
Axi Bxi ,
3.5.33
1
A,
B
1
b
1
a
b a
Axi Bxi dx
3.5.34
11
以及相对Euclid 贴近度：
2 A, B 1
1 n
n i 1
Axi
Bxi
1/ 2
2
,
3.5.35
2 A, B 1
1
ba
b a
Axi
Bxi 2 dx1/ 2
σL( A, A ) =1; (4) 若 A B C，则 σL( A, C) σL( A, B) σL( B, C) 证明从略。
28
4. 贴近度的其它表示方法
定义2.12 可以用下列各公式定义贴近度：
n
Axi Bxi
1 A, B i1
;
模糊集合的基本概念
参考书 1.模糊数学及其应用、冶金工业出版社、北京科技大学。1993/4 2.模糊数学方法及其应用、华中科技大学出版社。2000/5 3.模糊数学及其应用、武汉大学出版社。2002/3 4.模糊理论及其应用、国防科技大学出版社。1998/11
5.模糊模式识别及应用、西南交大出版社。1999/1
6.模糊数学原理与应用、华南理工大学出版社。2003/3 7.模糊数学与经济分析、山东大学出版社。1999/9 8.模糊系统、模糊神经网络及应用程序设计、上海科技技术文献出版社。1998/12
Байду номын сангаас
二、运算性质 与普通集合运算性质对照，除“互补律”不成立外，其余均成立。
A A 即：∪
~ ~
c
A U,A
~ ~
c
Φ . 用图表示：
A u ~
C
Au ~
Au ~
U 证明：（第一式）
. c c （A∪A ）(u)= A (u)∨A (u)= A (u)∨(1- A (u)) ~ ~ ~ ~ ~ ~
设 A ，B ~ ~
，
CF(U),对uU,有： ~
C (u)= A (u) B (u), 称 C = A∪B ~ ~ ~ ~ ~ ~
C(u)= A(u) B(u), ~ ~ ~
称
C= A ∩B ~ ~ ~
B(u)=1- A (u)， 称 B= AC ~ ~ ~
用图表示为：
1
Bu ~ Au ~
~ ~ ~ ~
(2)当U为无限不可列时 ：
A= ~
A(u ) ) ( v u
1
它表示既不是积分，又不是求和，只是一种记法。如年轻人：
A
~
1 25 u 0u
模糊数学-绪论
“一粒种子”
、“一堆种子”
“秃”和“非秃”
回顾数学归纳法：N=1时为真；且当N=K时为 真, N=K+1亦为真； 则无论N取何值均为真 N=1、2等时为真；能否找到K0当N=K0时为真, 而N=K0+1不为真；
例如种子或头发的数量： K0=123585
一、模糊数学的产生
1. 模糊性及其客观性
“一堆种子”的外延是不确定的！
aA，读作a属于A；若a不是集合A中的元素， 则记以aA，读作a不属于A。
例如：A是正偶数集合，则2A，8A，36A；
而 3A，9A，17A。
罗素悖论(Russell’s paradox)
设集合S={A|A是集合，且AA}
集合S由一切不是自身元素的集合所组成
1.
若SS，则S是集合S的元素，则根据S的定义，有S
于是A∪B={a，b，c，d，e，f}。
S，与假设矛盾；
2.
若SS，则S是不以自身为元素的集合，则根据S的
定义，有SS，与假设矛盾。
理发师的故事：不给自己刮脸的人刮脸；只给 所有自己不刮脸的人刮脸。
罗素悖论说明经典集合论有漏洞！
定义
集合相等
当两个集合A和B的元素完全一样，即A，B
实际上是同一个集合时，则称集合A，B相等，
记以A=B。
出版发行《模糊系统与数学》杂志。
1994年，国家经贸委，模糊控制技术在洗衣机上
的应用，江门金羚集团。 金羚集团和华南计算机公司合作，设计开发带有 布量、布质、脏污程度、脏污性质和温度等完备 传感功能的XQB55-30型模糊控制全自动洗衣机。
三、模糊数学的发展
模糊洗衣机的工作过程：洗衣机、传感器、电脑
复杂性升高，精确性降低
、“一堆种子”
“秃”和“非秃”
回顾数学归纳法：N=1时为真；且当N=K时为 真, N=K+1亦为真； 则无论N取何值均为真 N=1、2等时为真；能否找到K0当N=K0时为真, 而N=K0+1不为真；
例如种子或头发的数量： K0=123585
一、模糊数学的产生
1. 模糊性及其客观性
“一堆种子”的外延是不确定的！
aA，读作a属于A；若a不是集合A中的元素， 则记以aA，读作a不属于A。
例如：A是正偶数集合，则2A，8A，36A；
而 3A，9A，17A。
罗素悖论(Russell’s paradox)
设集合S={A|A是集合，且AA}
集合S由一切不是自身元素的集合所组成
1.
若SS，则S是集合S的元素，则根据S的定义，有S
于是A∪B={a，b，c，d，e，f}。
S，与假设矛盾；
2.
若SS，则S是不以自身为元素的集合，则根据S的
定义，有SS，与假设矛盾。
理发师的故事：不给自己刮脸的人刮脸；只给 所有自己不刮脸的人刮脸。
罗素悖论说明经典集合论有漏洞！
定义
集合相等
当两个集合A和B的元素完全一样，即A，B
实际上是同一个集合时，则称集合A，B相等，
记以A=B。
出版发行《模糊系统与数学》杂志。
1994年，国家经贸委，模糊控制技术在洗衣机上
的应用，江门金羚集团。 金羚集团和华南计算机公司合作，设计开发带有 布量、布质、脏污程度、脏污性质和温度等完备 传感功能的XQB55-30型模糊控制全自动洗衣机。
三、模糊数学的发展
模糊洗衣机的工作过程：洗衣机、传感器、电脑
复杂性升高，精确性降低
第二章 模糊模式识别
−1
x1 : 核（拍照）面积； x2 ：核周长； x4 : 细胞周长； x3 : 细胞面积；
核内平均光密度；
六个模糊集：
α 1a 2 A：核增大，A( x) = 1 + x ， ~ 1
(a为正常核的面积) ；
−1
B ~
α2 B : 核染色体增深： ( x) = 1 + ； x5
R 维模糊矩阵 β 用贴近度公式求：N ( R , R ) β i
判断Rβ 属于哪一类（字）。
5
例2：癌细胞识别问题（钱敏平，陈传娟） 由医学知识，反映细胞特征有七个数据x1 , ……, x7
记
x = ( x1 , ……, x7 )
x 5 : 核内总光密度； x 6 : x7 : 核内平均透光率。
2.3模糊模式识别应用实例 模糊模式识别应用实例
本节提供的几个模糊模式识别应用实例， 供处理实际模式识别时参考。
例1：条码识别方法用于上海市燃气公司燃气用户帐单销帐处理、复 旦大学图书馆的检索工作取得满意效果。 现以阿拉伯数字的识别问题为例给予说明。
第一步：构造模式。将0，1，……，9分别用 m × n 维模糊矩阵表示 用 为10个模式。 如“5”，
RE(u)= 1− ρ
≥ β ≥ γ ≥θ
)
1 ∨ (| α − γ | ，β − θ |) | 180
1 [(α −90) + (β −90) + (γ −90) + (θ −90)] 2 90
1 ∧ (| α + β − 180 | ，β + γ − 180 |) | 180
(3)梯形T: T(u)= 1 − ρ3 (4)菱形RH: RH(u)=1− ρ4
x1 : 核（拍照）面积； x2 ：核周长； x4 : 细胞周长； x3 : 细胞面积；
核内平均光密度；
六个模糊集：
α 1a 2 A：核增大，A( x) = 1 + x ， ~ 1
(a为正常核的面积) ；
−1
B ~
α2 B : 核染色体增深： ( x) = 1 + ； x5
R 维模糊矩阵 β 用贴近度公式求：N ( R , R ) β i
判断Rβ 属于哪一类（字）。
5
例2：癌细胞识别问题（钱敏平，陈传娟） 由医学知识，反映细胞特征有七个数据x1 , ……, x7
记
x = ( x1 , ……, x7 )
x 5 : 核内总光密度； x 6 : x7 : 核内平均透光率。
2.3模糊模式识别应用实例 模糊模式识别应用实例
本节提供的几个模糊模式识别应用实例， 供处理实际模式识别时参考。
例1：条码识别方法用于上海市燃气公司燃气用户帐单销帐处理、复 旦大学图书馆的检索工作取得满意效果。 现以阿拉伯数字的识别问题为例给予说明。
第一步：构造模式。将0，1，……，9分别用 m × n 维模糊矩阵表示 用 为10个模式。 如“5”，
RE(u)= 1− ρ
≥ β ≥ γ ≥θ
)
1 ∨ (| α − γ | ，β − θ |) | 180
1 [(α −90) + (β −90) + (γ −90) + (θ −90)] 2 90
1 ∧ (| α + β − 180 | ，β + γ − 180 |) | 180
(3)梯形T: T(u)= 1 − ρ3 (4)菱形RH: RH(u)=1− ρ4
07-3.2模糊模式识别
问题：设一三角形u1 = 80o， o， o），u1属何种三角形？ （ 70 30
1 1 o o o o µ（ u 1） 1 - o min { 80 - 70 ， − 30 } = 1 − ≈ 0 .883 = 70 I 60 6 1 µ（ u 1） 1 - o 80 o - 90 o ≈ 0 .889 = R 90 1 µ（ u 1） 1 = 80 o - 30 o C ≈ 0 .772 E 180 o
a
U
f
e
d
b c
二、用α水平集来划分模糊集
设:A为U=（x）中的模糊集 则A={x| µA(x)≥α}称为模糊集A的α水平集， α为阈值 在（0，1）间取值（一个模糊集可利用其水平截集来 划分） α A为有限个台时，水平集为 A = ;
A=∫ α Aα E 例：关于“年青”的模糊集为 U={A50, A45, A40 ,A35, A30, A25}
2、设：U上有 个模糊子集 A1 , A2 ,......, An 及另一 、 上有n个模糊子集 上有 模糊子集 B 。若贴近度
( B • Ai )＝ max ( B • A j )
1≤ j ≤ n
则称 B与 Ai 最贴近 , 则 B ∈ Ai 类. 这就是择近原则识别方 法。
例：利用择近原则进行天气分类
若有α < λ → 不能识别 若有α ≥ λ → 能识别
适用范围：x确定，模型 A1 ， 2 ， A n 模糊场合 A L
例：三角形的模糊分类
近似的三角形的模糊表示： ★ 近似的三角形的模糊表示：
U = {µ u = ( A, B, C ), A ≥ B ≥ C ≥ 0o , A + B + C = 180o }
模糊模式识别方法介绍
1 of N编码（N分之一编码）
体重的1 of N编码
• 把原来的一个特征变为若干模糊特征的目的在于 使新特征更好地反映问题的本质。
• 在很多清况下，用一个特征（比如体重）参与分 类（比如判断是否患有某种可能导致体重变化的 病），正确分类结果与这个特征之间可能是复杂 的非线性关系．
• 而如果根据有关知识适当地提取模糊特征，虽然 特征数增多了，但却可能使分类结果与特征之间 的关系线胜化，从而大大简化后面分类器的设计 和提高分类器性能。如果我们对所提取的特征与 要研究的分类问题之间的关系有一定的先验认识 ，则采用这种方法往往能取得很好的结果
模糊技术应用
• 将模糊技术应用于各个不同的领域，就产生了一些新的学 科分支
• 和人工神经网络相结合，就产生了所谓模糊神经网络。 • 应用到自动控制中，就产生了模糊控制技术和系统 • 应用到模式识别领域来，自然就是模糊模式识别。 • 从20世纪s0年代以来，在很多传统的控制问题中，模糊控
制技术的应用取得了很好的效果尤其是一些国家在诸如地 铁的模糊控制系统，洗衣机、电饭锅等的模糊控制等方面 取得了成功的应用后，人们再次掀起了研究各种模糊技术 的热潮。
(1)
(2)
算法步骤
• 设定聚类数目C和参数b • 初始化各个聚类中心mi。 • 重复下面的运算，直到各个样本的隶属度值稳定： • ·用当前的聚类中心根据式（1）计算隶属度函数： • ·用当前的隶属度函数按式（2）更新计算各类聚类中心 • 当算法收敛时，就得到了各类的聚类中心和各个样本对
于各类的隶属度值，从而完成了模糊聚类划分。如果需 要，还可以将模糊聚类结果进行去模糊化，即用一定的 规则把模糊聚类划分转化为确定性分类。
• 如果训练样本中已知的类别标号就以模糊类的隶 属度函数的形式给出，那么我们就需要对原有的 模式识别方法进行改变，以适应这种模糊类别划 分（如后面将要介绍的模糊k近邻法）。
西南科技大学模糊数学第二章 模糊模式识别修第四节
等腰三角形，隶属度值应为 0。即两个极端情况为
( A B) ( B C ) 0 I ( A, B, C ) 1, ( A B) ( B C ) 60 I ( A, B, C ) 0。
3
其余情况，其隶属度位于区间 (0, 1) 内，且 (A－B) (B－C ) 越接近 0，隶属函数越接近 1，也 就是说 ， (A－B) (B－C) 由 0 增加到 60 时，隶属
1 1 max{ 60 [( A B) ( B C )], 1 90
| A 90 |} 。
5
非典型三角形 T ＝ Ic Rc Ec，因而
T ( A, B, C ) [1 I ( A, B, C )] [1 R( A, B, C )] [1 E ( A, B, C )]
类似的可求得
R( A, B, C ) 1
1 90
| A 90 | ,
1 E ( A, B, C ) 1 180 ( A C) 。
等腰直角三角形可以表示为等腰三角形与直角 三角形得交集 IR ，因此
( I R)( A, B, C ) I ( A, B, C ) R( A, B, C )
因为 △ABC 是等腰三角形的充要条件为“有两 个内角相等”。故 A－B 或 B－C 为 0 时，即 (A－B) (B－C) = 0 时， △ ABC 肯定是等腰三角形，此时 隶属度为 1。
2
另一个极端的情况是 A ＝ 120，B ＝ 60，C ＝ 0，
即 (A－B) (B－C) = 60 时， △ ABC 肯定不是
函数值应由 1 减少至 0，因而隶属函数可取为
பைடு நூலகம்
60 [( A B) ( B C )] 1 1 60 [( A B) ( B C )] 。 60
模糊数学第二章ppt课件
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17
解：由题设知特性指标矩阵为
80 10 6 2
5
0
1
6
4
X * 90 6 4 6
4
0
5
7
3
1 0 1 2 4
采用最大值规格化法将数据规格化为
0.89 1 0.86 0.33
0.56
0.10
0.86
0
.6
7
X 1 0.60 0.57 1
0.44 0.5 1
当 0.8时，分类为{ x1, x3 },{ x2 },{ x4 },{ x5 };
当 0.6时，分类为{ x1, x3 },{ x2 },{ x4 , x5 }; 当 0.5时，分类为{ x1, x3 , x4 , x5 },{ x2 };
当 0.4时，分类为{ x1, x2 , x3 , x4 , x5 }.
X 被分成 1 类： { x1, x2 , x3 , x4 , x5 }.
可编辑课件
22
画出动态聚类图如下：
1
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5
0.7 0.63 0.62
0.53
可编辑课件
23
应用一:教师课堂教学质量评价
可编辑课件
24
数据标准化采取最大值规格化;
相似矩阵的建立采取相关系数法.
第二讲 模糊聚类分析
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1
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2
定理：设 R是n阶模糊等价矩阵，则
0 1, R 所决定的分类中的每一
个类是 R 所决定的分类中的某个子类。
该定理表明，当 时， R 的分类是 R 分类的加细，当 由 1 变到 0 时， R 的分
类由细变粗，形成一个动态的聚类图。
教学大纲_模糊数学
《模糊数学》教学大纲课程编号：121082B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□√专业选修课□学科基础课总学时：32 讲课学时：32 实验（上机）学时：0学分：2适用对象：金融数学专业先修课程：数学分析、高等代数、概率论与数理统计毕业要求：1.掌握数学、统计及计算机的基本理论和方法2.具备国际视野，能够与同行及社会公众进行有效沟通和交流一、教学目标模糊数学是统计学院金融数学专业选修的基础课之一。
通过本课程的学习，使学生对模糊数学的原理和思想方法有一个基本的认识。
掌握应用模糊数学的原理分析和解题的基本技巧。
了解模糊数学方法在各个领域的应用，为应用模糊数学知识解决问题打下基础。
二、教学基本要求本课以课堂讲授为主。
适当补充一些模糊数学在实际中应用的实例，理论联系实际。
在各章中均可安排一些内容引导学生自学，通过布置作业和讨论题，提高学生自己解决问题与分析问题的能力。
同时，也可适当让学生自己来寻找一些实际问题，应用学过的知识来进行分析、综合、评判，以期达到更好的巩固、应用的目的。
(一) 模糊数学的基本理论和基本原理1、模糊集合是处理模糊事物的新的数学概念，是模糊数学的基础。
理解模糊集的定义、表示方法、模糊集的运算。
了解模糊算子的定义及各种模糊算子，了解模糊集的模糊度定义。
2、理解模糊集截集的定义及性质，掌握模糊数学的基本原理：分解定理（联系普通集与模糊集的桥梁）、扩张原理。
了解模糊数及模糊数的运算。
(二) 模糊数学方法及其在各领域中的应用1、理解模糊关系的概念及性质，深入理解在有限域的情况下，模糊关系可以用矩阵表示。
理解模糊关系合成的定义及性质。
理解掌握贴近度概念及最大隶属原则和择近原则。
了解模糊变换以及模糊控制。
2、对于模糊数学方法的应用。
重点掌握模糊模式识别、模糊聚类分析、模糊综合评判决策，以及了解它们在不同领域的应用举例。
每章节后的习题要求全部完成；本课程建议使用形成性和终结性考试相结合，并各占50%比例。
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10
定义 : 设 A，BF (U)，称
σL( A，B) = ( A∘B) ( A ⊙ B)C 或
σL( A，B) =1/2 [( A∘B) + ( A ⊙ B)C ] 为用内积、外积表示的贴近度 ( 简称格贴近度)。
11
例2 (P35)设论域R为实数域,F集的隶属函数为
A( x) exp{( x a1 )2},
A4(8) 0， A5 (8) 0。 此时，通货状态属于轻度通货膨胀。
当 x0 = 40 时，即物价上涨率为40 %，我们有： A1(40) 0， A2 (40 ) 0， A3(40) = 0.0003
5
命题 : 内积与外积运算有以下性质：
(1) ( A∘B)C=AC ⊙BC，( A ⊙ B )C= AC ∘ BC； (2) A∘B Ah Bh， A ⊙ B Ab Bb； (3) A∘A =Ah， A ⊙ A = Ab，
A∘AC ½， A ⊙ AC ½； (4) λ[0, 1]，则 (λA)∘B= λ ( A∘B)= A∘ (λB)； (5) A B 则 A∘C B∘C， A ⊙ C B ⊙ C 。
1
B( x) exp{( x a2 )2}.
2
试求格贴近度N(A,B).
解 对上述函数,有
若 A(x) B(x), 则 A B (A(x) B(x)) A(x) B(x*).
xR
xR
若 A(x) B(x), 则 A B (A(x) B(x)) B(x) A(x*).
xR
6
证明 仅证 (1) 的第一式，第二式类似。
(2) ~ (5)可以根据内积与外积的定义直接验证。因为
A BC 1 A B 1 (Au B u) uU 1 Au Bu u U ,
故 ( A∘B)C 是数集 {1－ ( A(u) B(u)) | uU } 的
一个下界，从而
A BC 1 Au Bu. uU 7
2
若 AF (U)，记 A 的 “高” 为 Ah ，A 的 “低”
为Ab 即
Ah= { A (u) | u U} , A b= { A (u) | u U} , 则
A∘B = ( A∩B )h， A ⊙ B= ( A∪B )b。
3
为方便起见，我们在闭区间 [0，1] 中定义 “余” 运算：对于任意实数 a∈[0，1]，称
以下证明 上式中只有等号成立。因为，如果有
A BC 1 Au B u
即有
uU
1 (Au Bu) 1 Au Bu
uU
uU
1 1 Au Bu (Au B u),
uU
uU
按上确界的定义，∃ u0 U，使得
8
1
uU
1
A
u
B
u
(
A
u0
B
u0
),
即
1
(
Au0
B
u0
)
uU
1
A
u
B
考生为 y1，y2，…，yn，组成问题的论域 Y = { y1, y2, …, yn}。设 A = “优秀”，是 Y 上的模糊集，A (yi) 是第 i 个学生隶属于优秀的程度。给定 A (yi) 的 计算方法如下：
27
A yi
1 600
6
j x ji
j 1
,
式中 i =1, 2, …, n 是考生的编号，j =1, 2, …,6 是
2 A ui B ui
A, B
i 1 n
;
A ui B ui
i 1
3
A, B
b
a
Aห้องสมุดไป่ตู้
u
b
a
A
u
B u du B u du
;
4
A, B
b
2a
A
u
B
u
du
b
a
A
u
B
u
du
;
16
n
Aui B ui
5
A, B
i1
n
A ui B ui
;
1/ 2
设 AF ( U ) 为标准模式，u1，u2，…，un
U 为待选对象，若 ui 满足条件 A (ui ) = max {A (u1)，A (u2)，…，A (un)}
则 ui 为最优录选对象。
26
例4: 选择优秀考生。设考试的科目有六门
x1：政治
x2：语文
x3：数学
x4：理、化
x5：史、地
x6：外语
18
例3： 一个公司在社会上的声誉是一个模糊概 念，它是由多个因素决定的。如公司的 u1：管理水平； u2：员工才能； u3：长期投资价值； u4：财务健全； u5：善用公司资产； u6：产品/服务质量。
19
这样公司在社会上的声誉就可以看作是论域 U ={u1，u2，u3，u4，u5，u6} 上的一个模糊集。
22
2 最大隶属原则 —— 点对集
★ 问题的数学模型 (1) 第一类模型：设在论域 U上有若干模糊集：
A1，A2，…，AnF ( U)，将这些模糊集视为 n 个 标准模式，u0 U 是待识别的对象，问 u0 应属于 哪个标准模式 Ai ( i =1，2，…， n ) ?
23
(2) 第二类模型：设 AF ( U )为标准模式，u1, u2, …, un U 为 n 个待选择的对象，问最优录 选对象是哪一个 ui (i =1，2，…， n ) ?
(A(ui ) B(ui ))
(A,B)
i=1 n
.
(A(ui ) B(ui ))
i=1
σ ( A1, B) = 0.9868； σ ( A2, B) = 0.9632； σ ( A3, B) = 0.9778； σ ( A4, B) = 0.4329。 根据择近原则Ⅰ，B 与 A1 最贴近，即 B 与 A1 采取的管理模 式最靠近。
x3
x4
x5
x6
y1
71
63
82
90
85
70
y2
85
82
63
84
91
82
y3
63
68
95
94
62
70
y4
92
89
61
63
87
81
29
则可以计算出
Ay1
405 600
0.675
,
Ay2
427.4 600
0.712
,
Ay3
399.8 600
0.666
,
Ay4
418.7 600
0.698 .
于是这四个考生在“优秀”模糊集中的排序为：
xR
故,内积 A 是B A(x)与B(x)相等时的值,这时 x x*,
所以,可令A(x)=B(x),求 x*
12
设 A，BF (R)，A、B 均为正态型模糊集，其隶
属函数如图 所示
μ
A C
B D
E
0
a x* b
x
(图) 正态型模糊集 A、B
13
exp{( x a1 )2} exp{( x a2 )2},
σL( A, A ) =1; (4) 若 A B C，则 σL( A, C) σL( A, B) σL( B, C) 证明从略。
15
4. 贴近度的其它表示方法
定义: 可以用下列各公式定义贴近度：
n
A ui B ui
1
A, B
i 1 n
;
A ui B ui
i 1
2
n
i 1
n
Aui B ui
6
A, B
n
i 1
Aui
2
n
B ui
2 1/ 2
;
i1
i1
7
A,
B
b
a
A
u
B
u
du
b
a
A
u
B
u
1/
2
du
;
8
A, B
b
a
A
u
B
u
du
b
a
A
u
2
dx
b
a
B
u
2
du
1/ 2
.
17
2.3 F模式识别的原则----集对集 1. 择近原则----集对集
ac =1－a 为 a 的余（或补）。
4
数补有下列性质:
a ac 1, a [0,1].
(ac )c a, (0c 1, 1c 0).
a,b [0,1], a b ac bc.
a ac 1 , a ac 1 .
2
2
1 a b (1 a) (1 b),
1 a b (1 a) (1 b).
u
,
这与下确界的定义矛盾，因此 上 式只有等式成立，即有
A BC 1 Au B u uU 1 Au 1 B u uU AC u BC u uU
= Ac Bc .
9
例1 : 设 X ={x1, x2, x3, x4, x5, x6},
A 0.6 0.8 1 0.8 0.6 0.4 , x1 x2 x3 x4 x5 x6
2
,
x R;
31
中度通货膨胀
A3
(
x)
exp
x
20 7
2
xR
重度通货膨胀
A4
(
x)
exp
x
30 7
2
xR
恶性通货膨胀
A5
(x)
exp
定义 : 设 A，BF (U)，称
σL( A，B) = ( A∘B) ( A ⊙ B)C 或
σL( A，B) =1/2 [( A∘B) + ( A ⊙ B)C ] 为用内积、外积表示的贴近度 ( 简称格贴近度)。
11
例2 (P35)设论域R为实数域,F集的隶属函数为
A( x) exp{( x a1 )2},
A4(8) 0， A5 (8) 0。 此时，通货状态属于轻度通货膨胀。
当 x0 = 40 时，即物价上涨率为40 %，我们有： A1(40) 0， A2 (40 ) 0， A3(40) = 0.0003
5
命题 : 内积与外积运算有以下性质：
(1) ( A∘B)C=AC ⊙BC，( A ⊙ B )C= AC ∘ BC； (2) A∘B Ah Bh， A ⊙ B Ab Bb； (3) A∘A =Ah， A ⊙ A = Ab，
A∘AC ½， A ⊙ AC ½； (4) λ[0, 1]，则 (λA)∘B= λ ( A∘B)= A∘ (λB)； (5) A B 则 A∘C B∘C， A ⊙ C B ⊙ C 。
1
B( x) exp{( x a2 )2}.
2
试求格贴近度N(A,B).
解 对上述函数,有
若 A(x) B(x), 则 A B (A(x) B(x)) A(x) B(x*).
xR
xR
若 A(x) B(x), 则 A B (A(x) B(x)) B(x) A(x*).
xR
6
证明 仅证 (1) 的第一式，第二式类似。
(2) ~ (5)可以根据内积与外积的定义直接验证。因为
A BC 1 A B 1 (Au B u) uU 1 Au Bu u U ,
故 ( A∘B)C 是数集 {1－ ( A(u) B(u)) | uU } 的
一个下界，从而
A BC 1 Au Bu. uU 7
2
若 AF (U)，记 A 的 “高” 为 Ah ，A 的 “低”
为Ab 即
Ah= { A (u) | u U} , A b= { A (u) | u U} , 则
A∘B = ( A∩B )h， A ⊙ B= ( A∪B )b。
3
为方便起见，我们在闭区间 [0，1] 中定义 “余” 运算：对于任意实数 a∈[0，1]，称
以下证明 上式中只有等号成立。因为，如果有
A BC 1 Au B u
即有
uU
1 (Au Bu) 1 Au Bu
uU
uU
1 1 Au Bu (Au B u),
uU
uU
按上确界的定义，∃ u0 U，使得
8
1
uU
1
A
u
B
u
(
A
u0
B
u0
),
即
1
(
Au0
B
u0
)
uU
1
A
u
B
考生为 y1，y2，…，yn，组成问题的论域 Y = { y1, y2, …, yn}。设 A = “优秀”，是 Y 上的模糊集，A (yi) 是第 i 个学生隶属于优秀的程度。给定 A (yi) 的 计算方法如下：
27
A yi
1 600
6
j x ji
j 1
,
式中 i =1, 2, …, n 是考生的编号，j =1, 2, …,6 是
2 A ui B ui
A, B
i 1 n
;
A ui B ui
i 1
3
A, B
b
a
Aห้องสมุดไป่ตู้
u
b
a
A
u
B u du B u du
;
4
A, B
b
2a
A
u
B
u
du
b
a
A
u
B
u
du
;
16
n
Aui B ui
5
A, B
i1
n
A ui B ui
;
1/ 2
设 AF ( U ) 为标准模式，u1，u2，…，un
U 为待选对象，若 ui 满足条件 A (ui ) = max {A (u1)，A (u2)，…，A (un)}
则 ui 为最优录选对象。
26
例4: 选择优秀考生。设考试的科目有六门
x1：政治
x2：语文
x3：数学
x4：理、化
x5：史、地
x6：外语
18
例3： 一个公司在社会上的声誉是一个模糊概 念，它是由多个因素决定的。如公司的 u1：管理水平； u2：员工才能； u3：长期投资价值； u4：财务健全； u5：善用公司资产； u6：产品/服务质量。
19
这样公司在社会上的声誉就可以看作是论域 U ={u1，u2，u3，u4，u5，u6} 上的一个模糊集。
22
2 最大隶属原则 —— 点对集
★ 问题的数学模型 (1) 第一类模型：设在论域 U上有若干模糊集：
A1，A2，…，AnF ( U)，将这些模糊集视为 n 个 标准模式，u0 U 是待识别的对象，问 u0 应属于 哪个标准模式 Ai ( i =1，2，…， n ) ?
23
(2) 第二类模型：设 AF ( U )为标准模式，u1, u2, …, un U 为 n 个待选择的对象，问最优录 选对象是哪一个 ui (i =1，2，…， n ) ?
(A(ui ) B(ui ))
(A,B)
i=1 n
.
(A(ui ) B(ui ))
i=1
σ ( A1, B) = 0.9868； σ ( A2, B) = 0.9632； σ ( A3, B) = 0.9778； σ ( A4, B) = 0.4329。 根据择近原则Ⅰ，B 与 A1 最贴近，即 B 与 A1 采取的管理模 式最靠近。
x3
x4
x5
x6
y1
71
63
82
90
85
70
y2
85
82
63
84
91
82
y3
63
68
95
94
62
70
y4
92
89
61
63
87
81
29
则可以计算出
Ay1
405 600
0.675
,
Ay2
427.4 600
0.712
,
Ay3
399.8 600
0.666
,
Ay4
418.7 600
0.698 .
于是这四个考生在“优秀”模糊集中的排序为：
xR
故,内积 A 是B A(x)与B(x)相等时的值,这时 x x*,
所以,可令A(x)=B(x),求 x*
12
设 A，BF (R)，A、B 均为正态型模糊集，其隶
属函数如图 所示
μ
A C
B D
E
0
a x* b
x
(图) 正态型模糊集 A、B
13
exp{( x a1 )2} exp{( x a2 )2},
σL( A, A ) =1; (4) 若 A B C，则 σL( A, C) σL( A, B) σL( B, C) 证明从略。
15
4. 贴近度的其它表示方法
定义: 可以用下列各公式定义贴近度：
n
A ui B ui
1
A, B
i 1 n
;
A ui B ui
i 1
2
n
i 1
n
Aui B ui
6
A, B
n
i 1
Aui
2
n
B ui
2 1/ 2
;
i1
i1
7
A,
B
b
a
A
u
B
u
du
b
a
A
u
B
u
1/
2
du
;
8
A, B
b
a
A
u
B
u
du
b
a
A
u
2
dx
b
a
B
u
2
du
1/ 2
.
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2.3 F模式识别的原则----集对集 1. 择近原则----集对集
ac =1－a 为 a 的余（或补）。
4
数补有下列性质:
a ac 1, a [0,1].
(ac )c a, (0c 1, 1c 0).
a,b [0,1], a b ac bc.
a ac 1 , a ac 1 .
2
2
1 a b (1 a) (1 b),
1 a b (1 a) (1 b).
u
,
这与下确界的定义矛盾，因此 上 式只有等式成立，即有
A BC 1 Au B u uU 1 Au 1 B u uU AC u BC u uU
= Ac Bc .
9
例1 : 设 X ={x1, x2, x3, x4, x5, x6},
A 0.6 0.8 1 0.8 0.6 0.4 , x1 x2 x3 x4 x5 x6
2
,
x R;
31
中度通货膨胀
A3
(
x)
exp
x
20 7
2
xR
重度通货膨胀
A4
(
x)
exp
x
30 7
2
xR
恶性通货膨胀
A5
(x)
exp