数学史部分6-十七世纪的数学1
数学史上的天才世纪十七世纪的数学(二)
数学史上的天才世纪——十七世纪的数学（二）数学学院2004级研刘海鹏根据西方国家数学的发展情况，通常人们把世界数学史划分以下五个阶段。
即：（1）数学的萌芽时期（约公元前3500年—公元前600年）这一时期，数学在人类文明的发源地埃及、巴比伦、古代中国、古代印度开始萌芽。
（2）初等数学时期（公元前600年—17世纪中叶）这一时期数学经历了希腊文明时期、东方数学的繁荣时期、中世纪及文艺复兴时期欧洲数学的发展时期。
（3）变量数学时期（17世纪中叶—19世纪20年代）思想和科学方法的变革，使得变量数学建立并取得长足的发展，微积分的发明及以极限理论为基础的微积分体系的确立。
（4）近代数学时期（19世纪20年代—1945年）这一时期崭新的数学思想开辟了数学的新天地，几何学上突破了传统欧氏几何体系，各种非欧几何相继出现；代数学上打破了以方程论为中心的古代代数学的牢笼，以群论为发端的近世代数诞生；分析学上经过几代人的努力，奠定了分析学严格的逻辑基础，并开拓了复变函数论、泛函分析论等新的数学分支。
（5）现代数学时期（1945年—）这一时期，计算科学形成；应用数学出现众多的分支；纯粹数学有了若干重大的突破。
就17世纪而言，17世纪的数学是沿着超越希腊传统的潮流而发展起来的。
数学发展到这时，希腊人的严格证明已被舍弃，这促进了直观推断的思想方式，人们逐渐认识到数的重要性要超过图形，开始积极的使用“无限”的概念，开始关注各种变化的量和它们之间那的依赖关系……等等，使得数学进入了一个崭新的历史时期—变量数学时期。
在变量数学的建立阶段，出现了很多引人注目的事件：创立了几门影响深远的数学分支学科如伽利略提出实验力学、笛卡儿和费马创立解析几何、费马和帕斯卡开拓概率论、牛顿和莱不尼茨发明微积分等，数学逐渐出现代数学的趋势并与其它学科联系日益紧密；创立了大量的抽象概念；数学教育的数学研究也逐步社会化，如帕斯卡提出数学归纳法等。
尽管17世纪有着长期的宗教战争，严重的谷物欠收、数次的瘟疫流行，但就科学和数学而言，17世纪却是史无前例的富于发现的时代，数学和其它自然科学迅速发展，硕果累累，因此有人称赞17世纪是“数学史上的天才世纪”。
数学史
公元１０００年
～
１７００年
1086～1093 年，中国宋朝的沈括在《梦溪笔谈》中提出“隙积术”和“会圆术”，开始高阶等差级数的研究。 十一世纪，阿拉伯的阿尔·卡尔希第一次解出了二次方程的根。 十一世纪，阿拉伯的卡牙姆完成了一部系统研究三次方程的书《代数学》。 十一世纪，埃及的阿尔·海赛姆解决了“海赛姆”问题，即要在圆的平面上两点作两条线相交于圆周上一点，并与在 该点的法线成等角。 十一世纪中叶，中国宋朝的贾宪在《黄帝九章算术细草》中，创造了开任意高次幂的“增乘开方法”，并列出了二项 式定理系数表，这是现代“组合数学”的早期发现。后人所称的“杨辉三角”即指此法。 十二世纪，印度的拜斯迦罗著《立刺瓦提》一书，这是东方算术和计算方面的重要著作。
公元１７０１
～
１８００年
1704 年，英国的牛顿发表《三次曲线枚举》《利用无穷级数求曲线的面积和长度》《流数法》。 1711 年，英国的牛顿发表《使用级数、流数等等的分析》。 1713 年，瑞士的雅·贝努利出版了概率论的第一本著作《猜度术》。 1715 年，英国的布·泰勒发表《增量方法及其他》。 1731 年，法国的克雷洛出版《关于双重曲率的曲线的研究》，这是研究空间解析几何和微分几何的最初尝试。 1733 年，英国的德·勒哈佛尔发现正态概率曲线。 1734 年，英国的贝克莱发表《分析学者》，副标题是《致不信神的数学家》，攻击牛顿的《流数法》，引起所谓第二 次数学危机。 1736 年，英国的牛顿发表《流数法和无穷级数》。 1736 年，瑞士的欧拉出版《力学、或解析地叙述运动的理论》，这是用分析方法发展牛顿的质点动力学的第一本著作。 1742 年，英国的麦克劳林引进了函数的幂级数展开法。 1744 年，瑞士的欧拉导出了变分法的欧拉方程，发现某些极小曲面。 1747 年，法国的达朗贝尔等由弦振动的研究而开创偏微分方程论。 1748 年，瑞士的欧拉出版了系统研究分析数学的《无穷分析概要》，这是欧拉的主要著作之一。 1755～1774 年，瑞士的欧拉出版了《微分学》和《积分学》三卷。书中包括微分方程论和一些特殊的函数。 1760～1761 年，法国的拉格朗日系统地研究了变分法及其在力学上的应用。 1767 年，法国的拉格朗日发现分离代数方程实根的方法和求其近似值的方法。 1770～1771 年，法国的拉格朗日把置换群用于代数方程式求解，这是群论的开始。 1772 年，法国的拉格朗日给出三体问题最初的特解。 1788 年，法国的拉格朗日出版了《解析力学》，把新发展的解析法应用于质点、刚体力学。 1794 年，法国的勒让德出版流传很广的初等几何学课本《几何学概要》。 1794 年，德国的高斯从研究测量误差，提出最小二乘法，于 1809 年发表。
数学简史
数学简史发表时间：2006-11-9 10:30:561、概述数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。
简单地说，就是研究数和形的科学。
由于生活和劳动上的需求，即使是最原始的民族，也知道简单的计数，并由用手指或实物计数发展到用数字计数。
在中国，最迟在商代，即已出现用十进制数字表示大数的方法；至秦汉之际，即已出现完满的十进位制。
在不晚于公元一世纪的《九章算术》中，已载了只有位值制才有可能进行的开平方、开立方的计算法则，并载有分数的各种运算以及解线性联立方程组的方法，还引入了负数概念。
刘徽在他注解的《九章算术》中，还提出过用十进制小数表示无理数平方根的奇零部分，但直至唐宋时期(欧洲则在16世纪斯蒂文以后)十进制小数才获通用。
在这本著作中，刘徽又用圆内接正多边形的周长逼近圆周长，成为后世求圆周率的一般方法。
虽然中国从来没有过无理数或实数的一般概念，但在实质上，那时中国已完成了实数系统的一切运算法则与方法，这不仅在应用上不可缺，也为数学初期教育所不可少。
至于继承了巴比伦、埃及、希腊文化的欧洲地区，则偏重于数的性质及这些性质间的逻辑关系的研究。
早在欧几里得的《几何原本》中，即有素数的概念和素数个数无穷及整数惟一分解等论断。
古希腊发现了有非分数的数，即现称的无理数。
16世纪以来，由于解高次方程又出现了复数。
在近代，数的概念更进一步抽象化，并依据数的不同运算规律，对一般的数系统进行了独立的理论探讨，形成数学中的若干不同分支。
开平方和开立方是解最简单的高次方程所必须用到的运算。
在《九章算术》中，已出现解某种特殊形式的二次方程。
发展至宋元时代，引进了“天元”(即未知数)的明确观念，出现了求高次方程数值解与求多至四个未知数的高次代数联立方程组的解的方法，通称为天元术与四元术。
与之相伴出现的多项式的表达、运算法则以及消去方法，已接近于近世的代数学。
在中国以外，九世纪阿拉伯的花拉米子的著作阐述了二次方程的解法，通常被视为代数学的鼻祖，其解法实质上与中国古代依赖于切割术的几何方法具有同一风格。
1.数学史简介
第一部分 数学史简介0.引言01什么是数学史？研究数学这门学科产生、发展的历史的一门独立的学叫做数学史。
它是数学的一个分支，也是科学史的一个分支。
它分为数学内史和数学外史。
数学内史——着眼与数学学科内部矛盾运动。
数学外史——着眼与数学学科外部环境变迁。
02数学史与数学教育1理性观念的自然选择环境适度。
变迁2数学自身发展过程 ～ 学生认识过程快速，集中的再现。
例1. 56只羊问船长有几岁？48头牛成绩好的学生答道：52岁。
成绩差的学生答道：狗屁不通。
例2．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式a ac b b x 242-±-=. 从应用的角度讲述：⎩⎨⎧'=⋅'=+b x x a x x 2121 b z a z a '=-'+')2)(2(习题1.11.什么是数学史？它与数学、科学史的关系是什么？2.什么数学内史与数学外史？3.简述数学史与数学教育的关系。
1.外国数学史概览.1.1.数学史研究对象一、“数学产生、发展的历史”—————数学史1数学史是研究数学的历史，它的对象遍及数学的每一分支，包括数学史本身。
它的任务并非单纯地追逐数学内容形成的过程，它的对象必然扩展到数学以外而与数学发展相关的诸多方面。
2科学史、科学哲学和科学社会学三个新分支密切交织在一起。
数学史作为科学史的构成部分，同样与数学哲学、数学社会学彼此相关、相互渗透。
当然，它以研究数学本身的发展史为主。
3数学史按时间、地域、专业三大类可分为：断代史、世纪史、分期史、国别史、地区史、交流史、概念史、专题史、学科史等。
4数学家数学发展过程中起着特别重要的作用，没有他们，就没有现代的数学。
数学家传记便成为数学史中不可分割的组成部分。
他们的手稿、日记、信件以及在数学以外的创作，均属研究之列。
5数学的产生除了生产、生活的需要之外，同时受到当时社会哲学、宗教思想的影响。
另外，数学内容放映出的哲理和数学发展表现出的规律性也需要用自然哲学、科学哲学予以总结。
数学史上的三次危机
数学史上的三次危机
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S t
gt0
1g(t) 2
（*）
如果是0，上式左端当t 成无穷小后分母为0，就
没有意义了。如果不是0，上式右端的1 g ( t ) 就不能
2
任意去掉。
在推出上式时，假定了 t 0才能做除法，所以
上式的成立是以 t 0为前提的。那么，为什么又
可以让 t 0而求得瞬时速度呢？
因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从
数学史上的三次危机
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而且，随着时间的推移，研究范围的扩大， 类似的悖论日益增多。数学家在研究无穷级 数的时候，做出许多错误的证明，并由此得 到许多错误的结论。由于没有严格的极限理 论作为基础。数学家们在有限与无限之间任 意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）。
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因此，进入19世纪时，一方面微积 分取得的成就超出人们的预料，另一方 面，大量的数学理论没有正确、牢固的逻 辑基础，因此不能保证数学结论是正确无 误的。
数学史上的三次危机
3
一、第一次数学危机
第一次数学危机是由 2 不能写成两 个整数之比引发的，我们在第一章已专 门讨论过，现再简要回顾一下。
数学史上的三次危机
4
这一危机发生在公元前5世纪，危机 来源于：当时认为所有的数都能表示为整 数比，但突然发现 2 不能表为整数比。
其实质是： 2 是无理数，全体整数之比
黎曼还造出一个函数，当自变量取 无理数时它是连续的，当自变量取有理 数时它是不连续的。
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黎曼
1826年9月17日，黎曼生于德国 北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是 一个乡村的穷苦牧师。他六岁开始上 学，14岁进入大学预科学习，19岁 按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读 哲学和神学， 1847年，黎曼转到柏 林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、 施泰纳、艾森斯坦的学生。1849年 重回哥廷根大学攻读博士学位，成为 高斯晚年的学生。
数学发展史
数学开展简史数学是人类最古老的科学知识之一。
就人类对数的认识和运用来看，一般讲从公元前3000年左右的埃及象形文字就已开场，迄今已有5000年的历史。
那么到底什么是数学呢？实际上数学是一门历史性很强的科学或者说累积性很强,它的内涵随着时代的变化而变化,给数学下一个一劳永逸的定义是不可能的。
从公元前4世纪的希腊哲学家亚里士多德到17世纪的笛卡儿、19世纪的恩格斯、20世纪的罗素等很多数学家都曾给数学下过定义。
用的较多也较容易理解的是恩格斯的定义。
他说，数学,是研究数量关系与空间形式的一门科学。
20世纪80年代的一批美国学者将数学定义为：数学这个领域已被称作模式的科学，其目的是要提醒人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的构造和对称性。
这一定义以其高度的概括性，已日益引起关注并获得大多数数学家的认同与承受。
第一阶段：数学的萌芽阶段〔公元前3000年—公元前600年〕这一阶段，我们称之为数学的萌芽阶段，或者说准学科阶段。
在这一阶段里，数学还没有开展成为一门有明确构造的独立的理性的学科，还不具备抽象，还没有方法论，还没有论证和推理。
数学文化在这一阶段的出色代表是古巴比伦数学、中国数学、埃及数学、印度数学等。
这一阶段的世界数学文化呈一种多元开展态势。
第二阶段：数学的形成阶段〔公元前5世纪—公元16世纪〕这一阶段，通常称之为数学科学的形成时期，它的开场是以希腊人的出场为典型标志，完毕于公元16世纪，也就是在变量数学产生之前，人们常称此阶段为常量数学阶段，也就是数学学科完成了以常量为主要内容的框架体系。
这一时期，希腊数学家取得辉煌成绩，他们引入了证明，提出了抽象，发现了自然数，发现了无理数〔注：这是数学史上第一次危机。
?原本?第五卷中将比例理论由可公度量推广到不可公度量，使它能适用与更广泛的几何命题证明，从而巧妙的回避了无理量引起的麻烦。
但问题的根本解决要到19世纪借助极限过程对无理数做出严格定义之后〕。
十六、十七世纪的代数学
十六、十七世纪的代数学十六、十七世纪的代数学研究生：王珥指导教师：王青建学科专业：科学技术史（数学史）摘要：十六、十七世纪在数学的发展中是非常重要的时期，其中无论是方程理论，符号体系，还是对数以及解析几何的发明都是划时代的，这些都为十七世纪微积分的创立提供了条件．也直接促进了微积分的产生。
在十七世纪微积分初创时，许多算法都是在代数学的基础上发展起来的。
但是，有些算法在逻辑上并不严密，它们的基础并不完善，然而微积分作为当时科学领域的数学Ｔ具却是十分好用的。
它的计算方法从形式上看与代数学的形式推导十分类似。
十七世纪之后，数学进入变量数学时期，几乎所有的科学都与微积分有关，微积分方法不再以几何的形式表达，它加速了代数化的进程。
一系列重要的代数符号出现，代数方法显示了更大的作用。
可是不久微积分的理论基础问题就暴露出来了．这应与之前代数学上的算法准备不足有关。
本文在列出十六、十七世纪代数学发展主线的基础上。
分析了微积分产生的代数学基础，这个基础本身带有强烈的程序化的算法特征。
可以看出代数基础上的算法特征在卜六、十七世纪的数学中担当着主要角色。
它与希腊公理体系下的演绎逻辑并存，在不同的时期分别担任主角，指导着不同地区数学的发展。
另外，本文还从微积分早期的算法中找出一些方法，与代数上的算法进行比较说明它的来源。
实际上在低谷中徘徊了多个１廿纪的欧洲的数学，在十六、十七世纪中突然出现了一个飞跃，解析几何和微积分的创立并不是一个偶然的现象。
阿拉伯人的工作无疑对其产生过重要的影响。
他们将实用计算放在数学的首位，并把代数建立在算术而不是儿何的基础之上，这些重要的数学思想对欧洲的数学思想的重大转变起着至关重要的作用。
关键词：代数学：算法体系：方程求解；解析几何：微积分斗＾、十七肚纪是欧洲数学复苏所墩得重大突破的两个世纪。
卜六世纪作为文艺复兴的末期，无论是经济方面，还是在文学，艺术和科技方面都取得了长足的发展。
在数学领域也早现出ｒ占代与近代的交替特点，为数学革命铺平了道路。
数学史课件
文艺复兴时期的数学家不仅关注纯粹的数学理论，还将数学知识应用于实际问题的解决中 。例如，他们在建筑设计、机械制造、航海等领域运用数学知识和方法，推动了这些领域 的进步和发展。
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04
近代数学革命性突破
2024/1/28
17
微积分的创立与发展
2024/1/28
微积分的起源
01
古希腊时期阿基米德对面积和体积的研究为微积分学奠定了基
数理统计的兴起
19世纪，高斯、皮尔逊等数学家在概率论的基础上，发展出了数 理统计学，为数据分析提供了有力工具。
概率论与数理统计的应用
在现代科学、工程、医学、经济等领域中，概率论与数理统计发挥 着重要作用。
19
线性代数与矩阵理论的建立
2024/1/28
线性代数的起源
18世纪，高斯等数学家开始研究线性方程组，为线性代数的发展 奠定了基础。
非欧几何
研究不满足欧氏几何公理的几何体系 ，包括黎曼几何、罗氏几何等。
2024/1/28
微分几何
研究曲线、曲面等微分性质，以及流 形上的微分结构。
拓扑学
研究空间在连续变换下的性质，包括 连通性、紧致性、维数等概念。
23
代数学领域
初等代数
研究数、式、方程和不等式等基本概念和运 算规则。
抽象代数
研究群、环、域等代数结构及其性质，包括 同态、同构等概念。
数学与神秘主义
数学在古埃及神秘主义和宗教仪式中的角色 。
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古印度数学
数字系统的创新
算术与代数的发展
0的发明及印度数字系统对现代数字的影响 。
印度数学家对算术和代数的研究，如《莉 拉瓦蒂》和《比贾经》等著作。
数学史选讲
目标
通过对数学知识产生、发展 过程与学习认知过程的比较，加 深对数学知识的进一步认识
第四页，编辑于星期一：点 六分。
目标
开阔视野
拓展见识 提高兴趣
第五页，编辑于星期一：点 六分。
第一章 数学发展的四个时期
数学形成时期 远古——公元前6世纪
初等数学时期 公元前6世纪——16世纪 变量数学时期 17世纪——19世纪初 现代数学时期 19世纪初 ——现在
• 解析几何的创始人是笛卡儿和费马.他们都对欧氏几何的局限性 表示不满:古代的几何过于抽象,过多地依赖于图形.他们对代数 也提出了批评,因为代数过于受法则和公式的约束,缺乏直观，不 是有益于发展思想的艺术.同时,他们都认识到几何学提供了有关 真实世界的知识和真理,而代数学能用来对抽象的未知量进行推 理,代数学是一门潜在的方法科学.因此,把代数学和几何学中一 切精华的东西结合起来,可以取长补短.这样一来,一门新的科学 诞生了.
第二十五页，编辑于星期一：点 六分。
第三章 几何学发展史
• 画家们在发展聚焦透视体系的过程中引入了新的几何思想， 并促进了数学的一个全新方向的发展，这就是射影几何。
• 射影几何的诞生必须提到这样几位人物。
• 首先，是数学透视学的天才阿尔贝蒂(L.B.Alberti,1404— 1446)，他不仅提出了投影线、截景等概念，还阐述了截 景的数学性质。
•
历史上曾出现各种各样的进位制,有二进制、三进制、五进
制、八进制、十二进制、十六进制、二十进制、六十进制等等.
中国、埃及、印度采用十进制，巴比伦人采用六十进制，罗马
人采用十二进制，玛雅人采用二十进制.
•
记数法与十进制的诞生是科学发展史上一次重大的飞
跃，是人类文明史中的最伟大的一座丰碑。
数学的发展与演变从一到无穷大的数学进程
数学的发展与演变从一到无穷大的数学进程在人类文明的进步过程中，数学作为一门基础科学，始终起着举足轻重的作用。
从最早的数数到无穷大的概念，数学一直在不断发展与演变。
本文将从古代数学的起源开始，逐步追溯数学的进程，展示数学的发展与演变过程。
一、古代数学的起源最早的数学可以追溯到约5000年前的古埃及和美索不达米亚文明。
古埃及人运用数学知识来解决土地测量和建筑工程问题，而美索不达米亚人则用数学进行商业交易和税收计算。
这些最早的数学思想体现了人们对数数和计算的需求。
二、希腊数学的兴起古希腊是数学发展史上的重要时期。
毕达哥拉斯学派的出现使数学融入了哲学的范畴。
毕达哥拉斯定理是他们最著名的成果之一，该定理说明了直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。
同时，欧几里得也在古希腊时期确立了几何学的基本原理，他的《几何原本》成为欧洲学习几何学的标准教材。
三、中世纪与文艺复兴时期的数学革命中世纪的数学受到了基督教教义的束缚，但在文艺复兴时期，数学的地位逐渐恢复。
意大利的数学家费拉拉克里奥和卢卡·帕西奥利在代数学和几何学方面作出了重要的贡献。
此外，文艺复兴时期的数学家卡布拉诺也发现了复数的存在，这一发现在数学发展史上具有重要意义。
四、十七世纪的数学革命十七世纪是数学史上的黄金时期，伽利略、笛卡尔、费马等众多数学家的贡献使数学呈现出前所未有的发展势头。
伽利略提出了匀速运动的概念，笛卡尔则运用代数符号将几何问题转化为代数问题。
此外，牛顿和莱布尼茨的微积分发现被誉为数学的革命，为后来科学的发展奠定了基础。
五、现代数学的新兴进入现代，数学的领域日益增加。
在几何学方面，黎曼几何为后来的广义相对论奠定了基础；在代数学中，群论、环论等新的分支先后出现；在概率论和统计学中，人们开始研究随机事件和数据分析。
同时，计算机的发明和普及也为数学的发展带来了重大影响，数值计算、优化问题等新的数学分支应运而生。
六、数学的无穷大数学的进展并不止于此，无穷大的概念是数学领域中重要的发展方向。
数学发展史简介43页
贝努利家族(Bernoulli 瑞士) 贝努利家族祖 孙四代出过11位数学家。在常微分方程、概率 论和偏微分方程等方面有很大贡献。
傅立叶(Fouries 1768-1830 法国) 将函数表 示成三角级数，形成了一种在数学和物理上有 普遍意义的方法，同时发展了函数的概念。
魏尔斯特拉斯(Weierstrass 1815-1897 德国) 以幂级数的观点写成了全部的复变解析函数论 并建立了分析中的一致收敛的概念。给出了处
处不可导的连续函数的例子
f(x) bncos(anx) n0
（其中a为奇数，b为小于1的正常数，ab 1 3 ）
2
四、近代数学时期
问题，至19世纪，矛盾已积累到非解决不可的程 度。
19世纪，经过柯西和魏尔斯特拉斯等人的工作， 给微积分奠定了严格的理论基础，从而兴起了 一大批新的数学分支，如：级数论、函数论、 变分学、微分方程等。
主要代表人物
费尔马(Fermat 1601-1665 法国) 著有《平 面与立体轨迹引论》。主要思想：方程可以描述 曲线，并可以通过对方程的研究推断曲线的性质
拉格朗日(Lagrange 1736-1813 法国) 变分
学的奠基人之一。完成了牛顿以后的最伟大的 经典力学著作《分析力学》，建立了优美而和 谐的力学体系。
柯西(Cauchy 1789-1857 法国) 历史上有名 的大分析家，在数学上的论文超过了700篇。最 大的贡献之一是在微积分中引进了严格的方法 柯西全集共27卷，其中极限定义至今沿用。
（3）已知函数求其最大值和最小值 （行星椭圆轨道的近日点和远日点；炮弹抛物 线轨道的最大射程和最高高度）
近代欧洲数学发展史
1、欧洲中世纪数学中世纪开始于公元476年西罗马帝国灭亡，约结束于15世纪。
这一千年的历史大致可以分为两段。
十一世纪之前常称为黑暗时代，这时西欧在基督教神学和烦琐哲学的教条统治下，人们失去了思想自由，生产墨守成规，技术进步缓慢，数学停滞不前。
十一世纪以后情况稍有好转。
希腊文化通过罗马人传到中世纪的很少，这大部分体现在博伊西斯(约480～524)的著作中。
他的《算术原理》大体上是新毕达哥拉斯学派数学家尼科马霍斯《算术入门》的译本，但若干精采的命题均被删去。
博伊西斯的《几何》取材于欧几里得《几何原本》，但却完全没有证明，因为他认为证明是多余的。
公元529年，东罗马帝国皇帝查士丁尼勒令关闭雅典的学校，严禁研究和传播数学。
数学发展再一次受到沉重的打击。
此后数百年，值得称道的数学家屈指可数，而且多是神职人员。
号称博学多才的比德是英国的僧侣学者，终生在修道院度过。
他的本领是会算复活节(每年过春分月圆后的第一个星期日)的日期，和用手指来计算。
稍后的阿尔昆也是著名的英国神学家。
781年左右，接受查理曼大帝的聘请，到法兰克王国担任宫廷教师和顾问。
他所编的算术书，现在看来是相当粗浅的。
热尔贝原是兰斯的大主教，后被选为教皇，改名西尔威斯特二世。
他热心提倡学术，对推动“四艺”(音乐、几何、算术、天文)的学习有一定的功劳。
十字军远征(1096～1291)使欧洲人接触到阿拉伯国家所保有古代文化宝藏。
他们将大量的阿拉伯文书籍译成拉丁文。
于是希腊、印度和阿拉伯人创造的文化，还有中国的四大发明便传到了欧洲。
意大利地处东西方交通的要冲，逐渐成为新的经济和文化中心。
12、13世纪欧洲数学界的代表人物是斐波那契，他向欧洲人介绍了印度-阿拉伯数码和位值制记数法，以及各种算法在商业上的应用。
中国的盈不足术和《孙子算经》的不定方程解法也出现在斐波那契的书中。
此外他还有很多独创性的工作。
14世纪的法国主教奥尔斯姆引入了分指数记法和坐标制的思想，后者是从天文、地理的 经纬度到近代坐标几何的过渡。
第二讲数学的起源与发展
亚里士多德（公元前384年—前322年）17岁时成为柏 拉图学园的学生，在那儿生活了20年，直到柏拉图去世， 他对逻辑问题十分着迷，并对逻辑和演绎推理进行了系统 研究。他还给出了√2不能写成有理形式p∕q的证明。由于 他，人们才了解了公理、公设、定义之间的明显区别。
3、亚历山大最重要的数学家是欧几里得（约公元前300 年），他撰写过光学和圆锥曲线方面的文章，但他最广为 人知的著作是《几何原本》（大约公元前320年编成）， 《几何原本》历来是最有影响和流传最广的数学著作，共 13卷，它不但是已知数学知识的汇编，而且是演绎推理的 典范。它从几条公理和公设出发，采用严格的演绎法，按 照逻辑顺序推导出了一系列新的结论和命题，几乎包括了 目前平面几何中的所有命题和定理。
s v(t )dt s (t )dt S (b) S (a)
这就是著名的微积分学基本公式，牛顿——莱不尼兹公式。
在微积分创立中和牛顿并列的是德国人莱不尼茨，他 独立研究了微积分，并首先发表了这一成果（1684年）， 他创立的符号系统，包括积分符号，比牛顿的系统更加灵 活，并一直没用到今。 同时产生两个天才，比他们同时代的人更有远见，这在 数学史上并不罕见，费马和笛卡尔几乎就是同时发现解析 几何的。
《九章算术》在数学历史上的地位及特色 。 地位：是中国传统数学的代表作；标志着中国 初等数学理论体系的形成。 特色：有明显的社会性和实用性的特征；以算 法为中心的数形结合的算法体系；成果 表现出构造性的特点。
2、《孙子算经》——中国剩余定理（一次同余 式组） 例：物不知其数，三三数之余二，五五数之 余三，七七数之余二，问物几何？
柏拉图认为学习数学和哲学可以为在政府部门就职的 管理人员提供最好的训练，在“理想园”一书中，他论述 了毕达哥拉斯的算术、平面和立体几何、天文和数学中的 数学艺术，并解释了它们的特点及其对“哲学人”的重要 性。 和毕达哥拉斯一样，柏拉图也认为打开宇宙之谜的钥 匙是数和形。在柏拉图学院的影响下，数学继续发展，它 更加注重定义的严谨、论证的严谨。
数学发展史中最重要的4个阶段
数学发展史中最重要的4个阶段
极客数学帮今日分享数学发展史中最重要的4个阶段，按照数学本身由低级到高级划分，一起来看看吧。
1、数学的萌芽时期（远古——公元前六世纪）
这一时期对数学的发展作出贡献的主要是中国、埃及、巴比伦和印度。
从很久以前的年代起，我们中华民族勤劳的祖先就已经懂得数和形的概念了。
在漫长的萌芽时期中，数学迈出了十分重要的一步，形成了最初的数学概念，如自然数、分数；最简单的几何图形，如正方形、矩形、三角形、圆形等。
一些简单的数学计算知识也开始产生了，如数的符号、记数方法、计算方法等。
这个时期数学和几何尚未分开。
2、常量数学时期（公元前六世纪——公元十七世纪初）
这一时期可以分为两个阶段：一是初等数学的开创时代，二是初等数学的。
几何发展简史
⒈古典时期(公元前600年到公元前300年) （1）泰勒斯（约前640—前546年）将埃及的实 用几何带入希腊，开始证明几何命题。 （2）毕达哥拉斯（约前585—前500年）学派对 图形进行广泛的研究。开头研究的一类问题叫面 积应用问题。 几何上有三个著名的作图问题：作一正方形使其 与给定的圆面积相等；给定正方体一边，求作另 一正方体之边，使后者体积两倍于前者体积；用 尺规三等分任意角。有好些数学结果是为解决这 三个问题而得出的副产品。
四、欧洲中世纪数学
• 中世纪开始于公元476年西罗马帝国灭亡， 约结束于15世纪。这一千年的历史大致可 以分为两段。十一世纪之前常称为黑暗时 代，这时西欧在基督教神学和烦琐哲学的 教条统治下，人们失去了思想自由，生产 墨守成规，技术进步缓慢，数学停滞不前。 十一世纪以后情况稍有好转。
•
希腊文化通过罗马人传到中世纪的很少， 这大部分体现在博伊西斯(约480～524)的 著作中。他的《算术原理》大体上是新毕 达哥拉斯学派数学家尼科马霍斯《算术入 门》的译本，但若干精采的命题均被删去。 博伊西斯的《几何》取材于欧几里得《几 何原本》，但却完全没有证明，因为他认 为证明是多余的。
• （1）但是秦朝的焚书坑儒给中国文化事业 造成空前的浩劫，西汉作为数学新发展及 先秦典籍的抢救工作的结晶，便是《九章 算术》的成书。它对于中国和东方数学， 大体相当于《几何原本》对于希腊和欧洲 数学。中国古代的几何一般不讨论图形离 开数量关系的性质，而要计算出长度、面 积、体积。在《九章算术》的方田章中有 各种多边形、圆、弓形等的面积公式；商 功章讨论了各种立体的体积公式。
• 但欧氏几何的平行公设曾引起数学家的持 久的关注，以弄清它和其他公理、公设的 关系。这个烦扰了数学家千百年的问题， 终于被高斯、罗巴切夫斯基和波尔约各自 独立解决。高斯在1816年已认识到平行公 设不可能在欧氏几何其他公理、公设的基 础上证明，得到在逻辑上相容的非欧几何， 其中平行公设不成立，但由于担心受人指 责而未发表。
阐述十七世纪的数学的三大发明
阐述十七世纪的数学的三大发明十七世纪是数学史上一个极为重要的时期，这个时期里发生了许多重大的数学发明和进展。
其中最为著名的三大发明是微积分、解析几何和概率统计。
首先是微积分的发明。
微积分是数学中的一支重要分支，它的内容包括微分和积分。
这个发明的主要贡献者是牛顿和莱布尼茨，他们独立地发明出了微积分，并以此为基础，创立了运动学和变化率的理论。
微积分在科学研究、工程、金融等各个领域中都有广泛的应用。
其次是解析几何的发明。
解析几何是一种利用数学方法研究几何形体的新颖方法。
它的主要创始人是笛卡尔。
他运用坐标系的思想，将几何问题转化为代数问题，大大提高了几何分析的效率。
解析几何的推出极大地促进了数学、物理、天文学等学科的发展。
最后是概率统计的发明。
概率统计是数学中一门关于随机事件分析和描述的方法。
十七世纪时，概率统计的部分思想由帕斯卡、费马引入，并由贝努利兄弟、拉普拉斯、高斯、泊松等学者进一步发掘和推广。
概率统计成为天文学、物理学、农业、人口统计学、社会学、生物学、金融等数学应用领域的重要工具。
总的来说，这三大发明的诞生，不仅推动了数学理论的发展，而且对现代工程学、自然科学、社会科学等学科的研究产生了深远的影响。
值得一提的是，这三大发明之所以能够取得如此重大的成就，不仅在于创始者们的智慧和才能，更在于他们的坚定不移和坚韧不拔的
追求。
我们每个人无论身在何处，都需要具备这种追求的精神，才能不断地革新和创造，推动事业和社会不断的发展。
国外数学历史发展概况.
• 微积分的创立：为自然科学研究提供必要 的数学工具 伽利略（1564-1642）铜灯摆动周期与摆动 的弧的大小无关 两块金属同时落地 开普勒（1571-1630）行星运动的三条定律 粗糙形式的积分学，函数的研究瓦里士等人的 工作 • 微积分成为独立的学科 牛顿（1643-1727）万有引力的思想 ，广义 二项式定理 微分和积分的思想哈雷彗星 让 普通平凡的人们因为在他们中间出现过一个 人杰而感到高兴吧！ 莱布尼兹（1646-1716 ） 外交官的生涯， 系统的研究结果
民族的特点 影响数学发展的社会、人文的诸多 因素 数学家的人格特征、历史的作用
1.1 数学的萌芽时期（至公元前六、五世纪）
1.1.1 • • • • 巴比伦 (至公元前二世纪）的数学
两河流域的“美索布达米亚” 19世纪40年代考古学家发掘出巴比伦的古城 在算术和代数的成就 “楔形”文字 泥版书 （如图1.1）
1.4.7 数学的基础
罗素悖论，理发师悖论，对整个数学可 靠性的怀疑数学基础的三大学派 逻辑主义学派 形式主义学派 直觉主义学派 各派均未能对数学的基础问题做出完美的 答案这场论争极大的推动了纯粹数学研究 的发展
黑暗的中世纪 吸收东方文化——十字军远征 文艺复兴运动 科学方法 ：演绎与实验（F· 培根561-1626） 代数的符号化： 塔塔利亚（1499-1557）三次方程的求解 卡当（1501-1576 ）的《大术》 韦达（1540-1603）使代数学成为符号数学
1.3. 变量数学时期 (17世纪上半叶至19世 纪20年代)
1.2.2 阿拉伯数学（公元9世纪至13世纪） 在阿拉伯帝国统治下、各民族人民共同创 造承前启后，继往开来的作用。
1.2.3 中世纪印度数学（公元5世纪至12世纪）
对数历史小故事
对数历史小故事对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创"对数”这种高级运算的呢?在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家一纳皮尔(Napier, 1550-1617年) 男爵。
在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科。
可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。
纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数。
当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样。
在纳皮尔那个时代，"指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的。
那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢?在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了-种计算特殊多位数之间乘积的方法。
让我们来看看下面这个例子:0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、...1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、.....这两行数字之间的关系是极为明确的:第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂。
如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现。
比如，计算64256的值，就可以先查询第一行的对应数字: 64对应6，256对应8;然后再把第一行中的对应数字加和起来: 6+8=14;第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有: 64256 = 16384。
纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算"的思想了。
回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗:计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了。
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(四).伽俐略和开普勒
1. Galileo Galilei
1564.2.15-1642.1.8, Italy
(1).钟摆问题. Pisa
(2).两个铁球同时落地.
物体下落的距离与下落 时间的平方成正比. (3).单管望远镜.1610年 (4).悔过书.1633年
(5).地球照样在动.
(6).现代科学精神—实 验和理论之间的和谐 (7).落体运动定律 (8).真空中弹道的抛物 线性质 (9).动能定律 (10).显微镜,扇形圆规 (11).无限集的等价 (12).名言：在科学上 一千人的权威也抵不 上一个卑贱的人的充 Drawing by Iutta Waloschek 分的论据.
(三).哈里奥特和奥特雷德
1.Thoms Harriot
1560-1621.7.2, England
英国代数学派的奠基人
《实用分析术》 Artis analyticae praxis 1631
(1).1585年绘制出弗吉尼亚州的地图.
(2).《实用分析术》1631年出版.
(3).代数方程论 (4).代数符号的开端：元音－未知数,辅音－
On an Italian banknote
2.Johann Kepler 1571.12.27-1630.11.15 Germany (1).行星运动三大定律 (2).微积分的先驱之一 《酒桶体积的测量》
New stereometry of wine barrels,1615
(3).多面体－反棱柱 (4).引入“焦点focus” (5).椭圆周长 c (a b )
2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A+B)+sin(A-B)
2sinAsinB=cos(A-B) - cos(A+B)
任何两数之商变为任何两数之和：
2 cos A cos B 2 cos A sec B 2 cos A cos( 90 B )
• 十七世纪给予数学的巨大推动的原因：
(1) 争取人权方面取得巨大成功.
(2) 机械的使用有明显的进步, 经济意义日益增加的实物. (3) 北欧较为宽松的政治气氛, 寒冷和黑暗的克服.
数学研究的北移.
早期，Stifel已经认识到了关于对数的基本思想
(一).Mihael Stifel (1487-1567.4.19, Germany)
斜方十二面体
斜方三十面体
匈牙利邮票上的Kepler
常数,aa,aaa,第一次用>,<的人.
(5).独立于Galileo发现太阳黑点,木星的卫星.
(6).世界上第一个吸烟致死的人.
2.William Oughtred
1574.3.5-1660.6.30
England
代数学 三角学 代数记号
(1).三个著名的学生：Wallis,Wren,Ward
(2).《数学入门》Clavis Mathematicae，1631 (3).高兴过度而死－听闻查理二世复位 (4).数学记号：超过150个.(×),(•),(::),(~) (5).《比例的圆》The Circle of Proportion,1632 －圆形计算尺:乘除和对数运算. 《三角学》Trigonometrie,1657－三角函数 简写的早期尝试.
一、十七世纪的数学： • 觉醒和改型：古代社会模型 → 以人为中心 (1)Napier发表他的对数Logarithm的发现. (2)Harriot和Oughtred对代数记号的编撰. (3)Gallilei创立动力学. (4)Kepler宣布他的行星运动定律. (5)Desargues和Pascal开辟纯几何的新领域. (6)Descartes创立现代解析几何学. (7)Fermat为数论奠基. (8)Huygens对概率论作出了杰出的贡献. (9)Newton和Leibniz创立微积分.
Laplace：“如果说计算生命的长短不以活着的年 岁为标准，而以人们的贡献来评估的话，那么对 数的发现等于将人的寿命延长了两倍.”
3.当时的对数并有是以10为底的，也没有
log a 1 0
这方面的工作属于几何学家布里格斯 Henry Briggs, 1561.2-1630.1.26, England (1).Napier去世后，Briggs首创以10为底的对数. (2).1617-1624年造出了对数表,精确到小数点 后14位. (3).1624年造出了三角函数的对数表.
第三章 近代数学时期（1600—1900）
• 从17世纪开始，变量Variate数学： 解析几何Analytic Geometry的创立， 微积分Calculus的创立，
欧拉Euler和费尔马Fermat的重要工作等.
崭新的学科
微分方程 Differential Equations， 微分几何 Differential Geometry， 调和分析 Harmonic Differential， 画法几何 Descriptive Geometry， 数论 Theory of Numbers， 概率论 Probability Theory， 群论 Group Theory， 线性代数 Linear Algebra， 复变函数 Functions of the Complex Variable, 实变函数 Real variable Functions.
b b b
m n mn
2
3
m
n
mn
b 1
1 10
7
0 . 9999999
N 10 (1
7
1 10
7
) ,
L
L Logarithm
7
Nap log( 10 ) 0
Nap log[ 10 (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7
1 10
7
)] 1
1 n 1 e
(1
1 10
7
)
10
7
lim(
20690 24828 28966 2346246
5.Napier对数的传播
Cavalieri in Italy;Johann Kepler in Germany;
Wingate in France; 6.谁先发明对数 比尔吉Jobst Burgi,1552-1632, Switzerland 于1620年 独立设想并造出了对数表.
n
1
)
n
A C
x
y
B
D
F
E
Let DF x , CB y x Nap log y
Let | AB | 10
a b c d
7
Nap log y 10 log 1 (
7 e
y 10
7
)
If
Nap log a Nap log b Nap log c Nap log d
0 0 0
cos[ A ( 90 B )] cos[ A ( 90 B )]
将正弦值构成的一个递减的几何数列的诸项 与一个递增的算术数列的诸项相对应.
b , b , b ,..., b ,..., b ,... 1 , 2 , 3 , ..., m , ..., n ,...
sin sin 1 2 1 2 (A B) (A B) tan 1 2 (a b ) 1 2 C
cos cos 1 2 1 2 (A B) (A B) tan 1 2 (a b ) 1 2 C
tan
tan
sin sin
1 2 1 2
(a b ) (a b )
4.Napier以其天才的四个成果被载入数学史：
(1).对数的发明 Laplace:“对数的发明以其节省劳力而延长了天 文学家的寿命.” 到16世纪末，整个初等数 学的主要内容基本定型，为现代数学的兴起以 及以后的惊人发展铺平了道路. (2).解直角球面三角形10公式帮助记忆的方法， 称为“圆的部分的规划” Rule of circular parts.
(二).纳皮尔明对数：
• 纳皮尔(John Napier, 1550—1617.4.4)： Scotland nobleman • 于1594年开始进行“改 革数值计算实用方法” 的工作，发明了对数— —纳皮尔对数.
• Logarithm这一术语是 Napier 创立的.
Napier的预言 • 一种枪炮：“清除四英 里圆周内所有超过一英 尺高的活着的动物”. • 在水下航行的机器 • 一种战车,“一个栩栩 如生的大嘴.它能毁灭 前进路上的任何东西”.
tan
1 2
(A B) 1 2 C
cos cos
1 2 1 2
(a b ) (a b )
tan
1 2
(A B) 1 2 C
tan
tan
(4). “纳皮尔尺”Napier’s rods,出自《筹算集》 Rabdologia ,1617年－乘法速算器.
4138 567
4138 5 20690 4138 6 24828 4138 7 28966
n b x log b n
x
7.改变世界的十张邮票：1971年 Nicaragua
1.手指计数基本法则
2.勾股定理
3.阿基米德杠杆原理
4.纳皮尔指数与对数的关系式
5.牛顿万有引力定律
6.麦克斯韦尔电磁方程组
7.爱因斯坦质能关系式
8.德布罗格利的物质波方程
9.波尔斯曼的气体方程
1.Napier对数表最早出现在《论述对数的奇
迹》Description of the Wonderful Canon of Logarithms, 1614 一书中. (1)如何使用数表 (2)它的理论依据 2.对数产生的原理：