北师大版高中数学必修4第三章数乘向量教学设计
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 3.1数乘向量》
从速度的倍数到数乘向量宝鸡中学高书敏一、教学目标：1知识与技能〔1〕要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义〔2〕了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。
〔3〕要求学生掌握平面向量的根本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。
〔4〕通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的根本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
2过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积〔强调：1．“模〞与“方向〞两点 2．三个运算定律〔结合律，第一分配律，第二分配律〕〕，在此根底上得到数乘运算的几何意义；通过正交分解得到平面向量根本定理〔定理的本身及其实质〕。
为了帮助学生消化和稳固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力3情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学对实数与向量积以及平面向量根本定理有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神二教学重、难点重点: 1实数与向量积的定义及几何意义2平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示难点: 1 实数与向量积的几何意义的理解2 平面向量根本定理的理解三学法与教学用具学法：自主性学习探究式学习法：教学用具:电脑、投影机四教学设计【探究新知】1．思考: 〔引入新课〕非零向量 作出和--- ===3==---=-3讨论：① 3与方向相同且|3|=3||② -3与方向相反且|-3|=3||2．从而提出课题：实数与向量的积；实数λ与向量的积，记作：λ 定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ①|λ|=|λ|||②λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=〔请学生自己解释其几何意义〕例题讲评〔学生先做，学生评，教师提示或适当补充〕例1〔见，且=，=，∵===-=-O A B CN MQ P Ba∴=-=-=--==-=- ===-=-=-例4 如图，在△ABC 中，=, =，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求向量 解法1：∵=, = 那么==∴==而= ∴= 解法2：过G 作BC 的平行线，交AB 、AC 于E 、F ∵△AEF ∽△ABC ∴ == == == ∴==例5．设,是两个不共线向量，=2, =3, =2-, 假设三点A, B, D 共线，求的值 解：=-=2--3=-4∵A, B, D 共线 ∴,共线 ∴存在λ使=λ即2=λ-4 ∴ ∴=-8【稳固深化，开展思维】1．在 ABCD 中，设对角线=，=试用, 表示，2 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：=4100练习1、2题[学习小结]〔学生总结，其它学生补充〕①数乘向量的几何意义理解②向量与非零向量共线的条件是：有且只有一个非零实数．．．．．．．．．．λ，使=λ ③平面向量根本定理的理解及注意的问题五、评价设计D ABC ab D A EC a b B F G作业：习题 A组第4、5、6、7题．六、课后反思：。
高中数学数乘向量教案
高中数学数乘向量教案
教学目标：
1. 理解数乘向量的概念。
2. 掌握数乘向量的运算法则。
3. 能够应用数乘向量解决实际问题。
教学重点：
1. 数乘向量的定义和性质。
2. 数乘向量的运算法则。
教学难点：
1. 能够熟练地进行数乘向量的运算。
2. 能够灵活运用数乘向量解决实际问题。
教学准备：
1. 教学资料：教材、讲义、习题集等。
2. 教学工具：黑板、彩色粉笔、投影仪等。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师通过引入向量的概念，引出数乘向量的定义，并提出学习数乘向量的目的和意义。
二、讲解（15分钟）
1. 数乘向量的定义和性质。
2. 数乘向量的运算法则。
三、示范（10分钟）
教师通过示范例题，演示如何进行数乘向量的运算，并让学生跟着一起做练习。
四、练习（15分钟）
学生进行课堂练习，巩固数乘向量的运算方法，解决相关问题。
五、拓展（10分钟）
教师通过拓展练习，帮助学生深入理解数乘向量的应用，并激发学生的学习兴趣。
六、总结（5分钟）
教师对本节课的重点内容进行总结，并强调数乘向量的重要性和实际应用。
七、作业布置（5分钟）
布置相应作业，激发学生的学习兴趣，巩固今天所学知识。
教学反思：通过这节课的教学，学生能够初步掌握数乘向量的概念和运算法则，并能够灵
活运用解决问题。
同时，通过拓展练习，能够启发学生的思维，提高他们的数学应用能力。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 3.1数乘向量》9
《数乘向量》教学设计一设计思路本节内容是在学生掌握向量加减法的基础上，学习实数与向量的积的运算。
首先通过分析，让学生认识到现实世界中存在着大量数与向量积的实际背景，从而引入数乘向量运算，引导学生理解数乘向量即是求几个相同向量的和。
其次讨论它们的几何意义，从而得到向量数乘运算的直观感知，然后过渡到一般的向量数乘运算的定义。
引入向量数乘运算后，考察这种运算的运算律。
在介绍完数乘运算的定义和运算律之后，接着分析在数乘向量的定义中实际上已经蕴含了向量共线的判定定理和性质定理。
本节课总共设计了三个例题，例1是要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律。
例2给出了利用定理证明向量共线的发法。
例3属于课后探究题，这节课不予解答，让学生自我探究，相互交流，下节课予以探讨，得出判断三点共线的一个方法。
二教学目标1知识与技能:⑴掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义。
⑵掌握实数与向量积的运算律。
⑶理解两个向量共线的充要条件，能够运用两向量共线条件判断两向量是否平行。
2过程与方法:能熟练地运用数乘运算的定义、律进行有关计算，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。
3 情感态度与价值观：通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力。
激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇于创新的精神。
三教学重难点重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线定理。
难点：正确的运用法则、运算律，进行向量的线性运算，向量共线定理的应用。
四教学准备认真阅读教材，分析教材、教参，了解学生的学情，制作课件。
五教学过程（一）复习回顾（采用提问方式）问题1：向量加法的运算法则？问题2：向量减法的运算法则？（二）新知探究探究一：向量的数乘运算及其几何意义【探究活动1】已知非零向量a，作出aa+和（学生先自我作答，再找一名学生将自己的答案展示在黑板上）问题1：→a2和→-a2的大小和方向与→a有什么关系？)()(→→-+-aa问题2：你能说出→a 2和→-a 2的几何意义？（学生讨论交流，选出代表予以作答，教师作适当点评。
北师大版高中必修43.1数乘向量课程设计
北师大版高中必修43.1数乘向量课程设计一、课程设计目的和意义“数乘向量”是高中数学的重要内容，对于学习线性代数等数学课程的后续铺垫有着重要的作用。
本次课程设计旨在帮助学生全面了解数乘向量的概念与性质，掌握数乘向量的基本计算方法，能够应用数乘向量进行实际问题的计算与解答。
二、教学内容和基本要求（一）教学内容1.向量的基本概念2.向量的加法、减法及其性质3.向量的数乘及其性质4.向量的数量积5.向量的夹角及其性质6.数乘向量的应用（二）基本要求1.理解向量的概念及其基本性质2.熟练掌握向量的加减法运算3.掌握向量的数乘运算及其性质4.了解向量的数量积，并能应用于实际问题5.了解向量夹角的概念及其性质6.能够应用数乘向量进行实际问题的计算与解答三、教学方法本次课程设计采用“探究式教学法”与“实践教学法”相结合的教学方式，通过让学生自主探究向量的加减法与数乘运算的规律，深入理解向量的概念与性质；通过实际案例让学生掌握数乘向量的应用方法。
四、教学过程（一）引入通过引导学生通过生活实例、动画视频等方式观察向量的概念与性质，激发学生学习本课程的兴趣。
同时介绍向量的基本概念与符号表示等基础知识。
（二）探究向量的加减法1.教师引导学生通过举例分析向量的加减法规律，结合PPT等多媒体教学工具进行示范。
2.学生在理解规律的基础上，通过小组合作自主演示，加深对向量加减法的掌握。
（三）探究向量的数乘运算1.教师通过生活案例等方式，引导学生自主探究向量的数乘规律，并进行示范。
2.学生结合课堂例题，自主完成探究任务，并向全体同学进行展示与交流。
（四）向量的数量积、夹角1.教师通过实际案例等方式，引导学生了解向量数量积的概念，并进行数学符号表示。
2.结合向量的夹角知识，进行相关计算与例题讲解。
（五）应用数乘向量1.教师提出实际问题，引导学生运用数乘向量的知识进行分析与探讨。
2.学生在小组内讨论并解决问题，向全体同学交流与总结。
北师大版高中必修43.1数乘向量教学设计
北师大版高中必修43.1数乘向量教学设计教学背景本设计针对高中数学必修三第43.1节课“数乘向量”的教学。
这一节课的主要内容是介绍了“数乘向量”的定义，运算法则和向量的数量积，在高中数学中具有重要的意义。
学生在前面章节已经学习过向量的相关知识，并且学生已经掌握了一些矩阵和行列式的知识。
教学目的本教学设计的目的是：1.深入学生对数乘向量的讲解，让学生真正理解数乘向量的概念。
2.帮助学生掌握数乘向量的运算法则，并能熟练地求向量的数乘。
3.让学生了解向量的数量积，掌握求解向量间的数量积。
4.培养学生的计算能力和抽象思维能力。
教学重点和难点教学重点为数乘向量的定义，运算法则和向量的数量积的计算方法。
教学难点为向量的数量积的计算方法。
教学方式此节课采用讲授、听讲、小组讨论和练习结合的方式进行。
教学准备教学需要的工具有：黑板、白板、笔、PPT和投影仪。
教学计划课堂活动一活动名称：认识数乘向量活动说明：这是一堂以认识数乘向量为目的的活动。
在课堂上，我们首先要让学生认识数乘向量的概念，并介绍它的定义和运算法则。
然后通过实例讲解，让学生通过自主实践的方式来理解它的基本操作方法。
在这个过程中，让学生自己发现数乘向量的规律。
最后，为了检验学生的掌握情况，可以出一些课堂练习题。
课堂时间安排：•讲师：5分钟•分组讨论：20分钟•实例讲解：10分钟•练习答疑：10分钟课堂活动二活动名称：理解向量的数量积活动说明：这是一堂以理解向量的数量积为目的的活动。
在课堂上，我们要介绍数量积的定义和计算方法。
然后通过实例讲解，让学生通过自主实践的方式来理解它的基本操作方法。
在这个过程中，让学生自己发现数量积的规律。
最后，为了检验学生的掌握情况，可以出一些课堂练习题。
课堂时间安排：•讲师：5分钟•分组讨论：20分钟•实例讲解：10分钟•练习答疑：10分钟作业布置对于这个课程，学生的作业可以包括以下几个部分：1.阅读教材相关章节，回答问题。
北师版数学高一-必修4学案 数乘向量
§3 从速度的倍数到数乘向量3．1 数乘向量[学习目标] 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．[知识链接]1．已知非零向量a ，作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a )，你能说明它们与向量a 之间的关系吗？ 答OC →＝OA →＋AB →＋BC →＝a ＋a ＋a ＝3a ；a ＋a ＋a 的长度是a 的长度的3倍，其方向与a 的方向相同；O ′C ′→＝O ′A ′→＋A ′B ′→＋B ′C ′→＝(－a )＋(－a )＋(－a )＝－3a ，(－a )＋(－a )＋(－a )的长度是a 长度的3倍，其方向与a 的方向相反．2．已知非零向量a ，你能说明实数λ与向量a 的乘积λa 的几何意义吗？ 答 λa 仍然是一个向量． 当λ>0时，λa 与a 的方向相同； 当λ<0时，λa 与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0，方向任意． |λa |＝|λ|·|a |. [预习导引]1．数乘向量：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同，当λ<0时，与a 方向相反.特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0 ＝0. 2．数乘向量的运算律(1)λ(μa )＝(λμ)a . (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa . (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .特别地，有(－λ)a ＝－(λa )＝λ(－a )； λ(a －b )＝λa －λb . 3．共线向量定理(1)判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线． (2)性质定理：若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b ＝λa .4．向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .要点一 数乘向量的运算 例1 化简下列各式：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )； (2)16[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]． 解 (1)原式＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b ； (2)原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b .规律方法 向量的初等运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形方法． 跟踪演练1 若向量a ＝3i －4j ，b ＝5i ＋4j ，则⎝⎛⎭⎫13a －b －3⎝⎛⎭⎫a ＋23b ＋(2b －a )＝________. 答案 －16i ＋323j解析 ⎝⎛⎭⎫13a －b －3⎝⎛⎭⎫a ＋23b ＋(2b －a ) ＝13a －b －3a －2b ＋2b －a ＝－113a －b ＝－113(3i －4j )－(5i ＋4j )＝－11i ＋443j －5i －4j＝－16i ＋323j .要点二 用已知向量表示未知向量例2 如图所示，已知▱ABCD 的边BC ，CD 上的中点分别为K ，L ，且AK →＝e 1，AL →＝e 2，试用e 1，e 2表示BC →，CD →.解 方法一 设BC →＝x ，则BK →＝12x ，AB →＝AK →＋KB →＝e 1－12x ，DL →＝12e 1－14x ，又AD →＝x ，由AD →＋DL →＝AL →，得x ＋12e 1－14x ＝e 2，解方程得x ＝43e 2－23e 1，即BC →＝43e 2－23e 1，由CD →＝－AB →，AB →＝e 1－12x ，得CD →＝－43e 1＋23e 2.方法二 设BC →＝x ，CD →＝y ， 则BK →＝12x ，DL →＝－12y .由AB →＋BK →＝AK →，AD →＋DL →＝AL →，得⎩⎨⎧－y ＋12x ＝e 1，①x －12y ＝e 2，②－2×②＋①得12x －2x ＝e 1－2e 2，x ＝23(2e 2－e 1)，同法得y ＝23(－2e 1＋e 2)，即BC →＝43e 2－23e 1，CD →＝－43e 1＋23e 2.方法三 如图所示，延长BC 与AL 交于点E ，则△DLA ≌△CLE ，从而AE →＝2AL →，CE →＝AD →，KE →＝32BC →，由KE →＝AE →－AK →，得32BC →＝2e 2－e 1，即BC →＝23(2e 2－e 1)＝43e 2－23e 1.同理可得CD →＝23(－2e 1＋e 2)＝－43e 1＋23e 2.规律方法 (1)由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则，以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何知识的应用，如方法三． (2)当直接表示较困难时，应考虑利用方程(组)求解．跟踪演练2 如图，△ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE于N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AE →，BC →，DE →，DN →，AM →，AN →. 解 ∵DE ∥BC ，AD →＝23AB →，∴AE →＝23AC →＝23b ，BC →＝AC →－AB →＝b －a .由△ADE ∽△ABC ，得DE →＝23BC →＝23(b －a )．又M 是△ABC 底边BC 的中点，DE ∥BC ， ∴DN →＝12DE →＝13(b －a )．AM →＝AB →＋BM →＝a ＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12(a ＋b )．∵△ADN ∽△ABM ，AD →＝23AB →，∴AN →＝23AM →＝13(a ＋b )．要点三 共线向量定理的应用 例3 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．(1)证明 ∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解 ∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，即(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.规律方法 (1)本题充分利用了向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．跟踪演练3 如图所示，已知在▱ABCD 中，点M 为AB 的中点，点N 在BD 上，且3BN ＝BD .求证：M 、N 、C 三点共线． 证明 设AB →＝a ，AD →＝b ， 则BD →＝BA →＋AD →＝－a ＋b ， BN →＝13BD →＝－13a ＋13b ，MB →＝12a ，BC →＝AD →＝b ，∴MC →＝MB →＋BC →＝12a ＋b ，MN →＝MB →＋BN →＝12a －13a ＋13b ＝13⎝⎛⎭⎫12a ＋b ， ∴MN →＝13MC →，∴MN →∥MC →，又M 为公共点．∴M 、N 、C 三点共线．1．化简：(1)8(2a －b ＋c )－6(a －2b ＋c )－2(2a ＋c )； (2)13⎣⎡⎦⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b ). 解 (1)原式＝16a －8b ＋8c －6a ＋12b －6c －4a －2c ＝(16－6－4)a ＋(－8＋12)b ＋(8－6－2)c ＝6a ＋4b . (2)原式＝13[(a ＋4b )－(4a －2b )]＝13(－3a ＋6b )＝2b －a . 2．如图，AM →＝13AB →，AN →＝13AC →.求证：MN →＝13BC →.证明 ∵AM →＝13AB →，AN →＝13AC →，∴MN →＝AN →－AM →＝13AC →－13AB →＝13(AC →－AB →)＝13BC →. 3．设e 1，e 2是两个不共线的非零向量，如果AB →＝3e 1－2e 2，BC →＝4e 1＋e 2，CD →＝8e 1－9e 2.求证：A ，B ，D 三点共线．证明 ∵BD →＝BC →＋CD →＝4e 1＋e 2＋8e 1－9e 2 ＝12e 1－8e 2＝4(3e 1－2e 2)＝4AB →， ∴AB →与BD →共线． ∵AB →与BD →有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．4．已知向量e 1，e 2不共线，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝6e 1－8e 2，判断a 与b 是否共线．解 由b ＝6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)≠2(3e 1＋4e 2)＝2a ， 所以b ≠2a ，所以a ，b 不共线．1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的． 2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具．即三点共线问题通常转化为向量共线问题．一、基础达标1．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( ) A ．k ＝0 B ．k ＝1 C ．k ＝2D ．k ＝12答案 D解析 当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2.∴n ＝2m ，此时，m ，n 共线．2．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．B 、C 、D B ．A 、B 、C C ．A 、B 、DD ．A 、C 、D答案 C解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →， ∴A 、B 、D 三点共线．3．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则( ) A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上 答案 D解析 P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →， ∴PC →＝－2P A →，∴P 在AC 边上．4．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →等于( ) A.BC →B.12AD →C.AD →D.12BC → 答案 C解析 如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC → ＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →. 5．向量a 、b 共线的有：( )①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2. A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①②③④答案 A6．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 答案 2解析 因为四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，所以AB →＋AD →＝AC →，又O 为AC 的中点，所以AC →＝2AO →，所以AB →＋AD →＝2AO →，因为AB →＋AD →＝λAO →，所以λ＝2.7．如图，ABCD 为一个四边形，E 、F 、G 、H 分别为BD 、AB 、AC 和CD 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．证明 ∵F 、G 分别是AB 、AC 的中点． ∴FG →＝12BC →.同理，EH →＝12BC →.∴FG →＝EH →.同理EF →＝HG →. ∴四边形EFGH 为平行四边形． 二、能力提升8．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( )①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A ．①④ B ．①② C ．①③D ．③④答案 B解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．9．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴点M 是△ABC 的重心． ∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.10．已知O 是平面内一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 B解析 AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC→|AC →|的方向为∠BAC 的角平分线AD →的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴点P 在AD →上移动．∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．11.如图所示，设M ，N 为△ABC 内的两点，且AM →＝14AB →＋13AC →，AN →＝25AB →＋12AC →，则△ABM的面积与△ABN 的面积之比为________．答案 2∶3解析 如图所示，设AP →＝14AB →，AQ →＝13AC →，则AM →＝AP →＋AQ →.由平行四边形法则知，MQ ∥AB ， ∴S △ABM S △ABC ＝|AQ →||AC →|＝13. 同理S △ABN S △ABC ＝12.∴S △ABM S △ABN ＝2312．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．解 ∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ， ∴2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)＝λk e 1＋λe 2，打印版高中数学 ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λk ＝2，λ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，λ＝－1， ∴k ＝－2.三、探究与创新13．已知两个非零向量e 1和e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2.求证：A 、B 、D 三点共线．解 ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝2e 1＋3e 2＋6e 1＋23e 2＋4e 1－8e 2＝12e 1＋18e 2＝6(2e 1＋3e 2)＝6AB →. ∴向量AD →与AB →共线．又∵AB →和AD →有共同的起点A ，∴A 、B 、D 三点共线.。
《数乘向量》示范公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】
《数乘向量》教学设计本节课内容是在学生掌握向量的加法的基础上，学习实数与向量的积的运算。
教材通过“探究”，引导学生先作出几个相同向量的和，再讨论他们的几何意义，从而得到向量数乘运算的直观感知，然后再过渡到一般的向量数乘运算的定义。
引入向量数乘运算后，考查这种运算律是一个自然的问题。
【知识与能力目标】1. 通过实例掌握向量的数乘运算，理解其几何意义；2.理解向量共线定理，熟练运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。
【过程与方法目标】理解并掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判定两个向量是否共线。
【情感态度价值观目标】通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能力。
【教学重点】理解向量的数乘运算及其几何意义；运算律；向量共线定理。
【教学难点】理解向量共线定理，并应用其解决相关问题。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、探究新知。
教材整理：数乘向量阅读教材P 82～P 84“例3”以上部分，完成下列问题。
1．数乘向量及运算律 (1)向量数乘的定义一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ．它的长度和方向规定如下： ①|λa |＝|λ||a |；②当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0 。
(2)向量数乘的运算律设a ，b 为向量，λ，μ为实数，则数乘向量满足： ①结合律：λ(μa )＝(λμ)a②分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb 2．共线向量定理 (1)判定定理a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线．(2)性质定理若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b ＝λa 。
巩固练习判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数λ与向量a 的积还是向量。
2020-2021学年数学北师大版必修4教学教案：2.3.1数乘向量
2.3.1数乘向量向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。
一、总体设想：本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。
教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。
二、教学目标： 1．知识和技能：(1) 使学生了解向量的数量积的抽象根源。
(2) 使学生理解向是的数量积的概念：两个非零向量的夹角；定义；本质；几何意义。
(3) 使学生了解向量的数量积的运算律(4) 掌握向量数量积的主要变化式：2a a =；=θcos .ba ba ⋅⋅ 2．过程与方法：(1) 从物理中的物体受力做功，提出向量的夹角和数量积的概念，然后给出两个非零向量的夹角和数量积的一般概念，并强调它的本质；接着给出两个向量的数量积的几何意义，提出一个向量在另一个向量方向上的投影的概念。
(2) 由数量积的定义式，变化出一些特例，让学生自主归纳出性质。
(3) 给出向量的数量积的运算律，并通过例题具体地显示出来。
3．情感、态度和价值观：(1) 使学生学会有效学习：抓住知识之间的逻辑关系。
(2) 让学生感受新知识产生、形成的过程，培养辩证法思想。
三、重、难点：【重点】数量积的定义，向量模和夹角的计算方法 【难点】向量的数量积的几何意义四、教学方案及其设计意图：θsF 平面向量的数量积，是解决垂直、求夹角和线段长度问题的关键知识，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。
于是在引导学生学习平面向量数量积的概念时，要围绕物理方面已有的知识展开，这是使学生把所学的新知识附着在旧知识上的绝好的机会。
（如图）首先说明放置在水平面上的物体受力F 的作用在水平方向上的位移是s ，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时力F 对物体的所做的功为W θcos ⋅⋅=s F ，这里的是矢量F 和s 的夹角，也即是两个向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。
高一数学教学案2.3.1数乘向量北师大版必修4
变式：在四边形 中， ， ， ，证明： 是梯形.
例3如图，平行四边形 的两条对角线相交于点 ，且 ， ，你能用 、 表示 、 、 、 吗？
变式：若 为平行四边形的中心， ， ，则 等于多少？
例4已知任意四边形 ， 为 的中点， 为 的中点，求证： .
1.已知 的三边 ， ， ，三边中点分别为 、 、 ，
求证： .
2.在平行四边形 中，点 是 的中点，点 在 上，且 ，求证： 、 、 三点共线.
教案、学案用纸
年级高一
学科数学
课题
平面向量的数乘向量
授课时间
撰写人
时间
学习重点
向量数量积的概念及几何意义；
学习难点
理解两个向量共线的含义；
掌握向量的线性运算性质及其几何意义.
学习目标
1.掌握向量数乘运算，并理解其几何意义；
2.理解两个向量共线的含义；
3.掌握向量的线性运算性质及其几何意义.
教学过程
一自主学习
⑴实数 与向量 的积是一个，记作.
⑵ ， =.
⑶当 时， 的方向与 的方向；
当 时， 的方向与 的方向；
当 时， =；
⑷ ， =；
=；
=.
⑸判断正误：向量 与向量 共线，当且仅当只有一个实数 ，使得 .
6. ；
⑵ ；
⑶ .
根据以上的运算律，填空：
⑴ = ；⑵ .
二师生互动
例1计算：
⑴ ；
⑵ ；
⑶ .
三巩固练习
1.下列各式中不表示向量的是（）
A. B.
C. D. （ ，且 ）
2.在 中， 、 分别是 、 的中点，若 ， ，则 等于（）
北师大版高中数学必修四教学案数乘向量
1.下列各式中不表示向量的是（）
A. B.
C. D. （ ，且 ）
2.在 中， 、 分别是 、 的中点，若 ， ，则 等于（）
A. B.
C. D.
3. ， ，且 、 共线，则 与 （）
A.共线B.不共线
C.不确定D.可能共线也可能不共线
4.若 ， 与 的方向相反，且 ，则 = .
5.已知 ， ， ，则 与 （填共线、不共线）.
例2已知两个两个向量 和 不共线， ， ， ，求证： 、 、 三点共线.
变式：在四边形 中， ， ， ，证明： 是梯形.
例3如图，平行四边形 的两条对角线相交于点 ，且 ， ，你能用 、 表示 、 、 、 吗？
变式：若 为平行四边形的中心， ， ，则 等于多少？
例4已知任意四边形 ， 为 的中点， 为 的中点，求证： .
⑴实数 与向量 的积是一个，记作.
⑵ ， =.
⑶当 时， 的方向与 的方向；
当 时， 的方向与 的方向；
当 时， =；
⑷ ， =；
=；
=.
⑸判断正误：向量 与向量 共线，当且仅当只有一个实数 ，使得 .
6. ；
⑵ ；
⑶ .
根据以上的运算律，填空：
⑴ = ；⑵ .
二师生互动
例1计算：
⑴ ；
⑵ ；
⑶ .
6.下列各式计算正确的是（）
A.
B.
C.
D.
7.下列向量 、 共线的有（）
① ；② ；
③ ；
④ （ 不共线）
A.②③B.②③④C.①③④D.①②③④
8.若 ，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
9. =；
.
北师大版高中数学必修四课件§33.1数乘向量
Hale Waihona Puke （2）向量的3a方向与的方a向相反，向量的长度是3a
a
的3倍，即 | 3a | 3 | a | .
一、向量的数乘运算 一般地，实数λ 与向量的积是a 一个向量，这种运算 叫作向量的数乘运算，记作 λa. 它的长度和方向规定如下：
特别地，当λ =0时方λa向 任0, 意.
探究三、数乘向量的运算律 （1）根据定义，求作向量和3(2，a)并作6a比(a 较 0.)
a 3a
5、在物理中位移与速度的关系：s=vt，力与加速度的关系： f=ma.其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质 量都是数量.
O A B C N M QP
探究二、向量与3a向量有什a么关系？向量与向量3a 有a 什么关系？
（1）向量的3a方向与的方a向相同，向量的长度3是a
a
的3倍，即 | 3a | 3| a | .
λ(μ1a μ2 b) λμ1a λμ2 b
练习： 计算：
探究四、共线向量判定定理和性质定理 1、如果那b 么λ向a, 量与是否共a 线？b 2、如果非零向量与a 共线b ，那么是否有实数λ ,使
b λa ?
且当与a 同方b 向时，有 b μa; 当与a 反方b 向时，有 b μa, 所以始终有一个实数λ ，使 b λa.
三、向量共线的判定定理 是a 一个非零向量，若存在一个实数λ ，使得 则向量与b非零向量共线a . 四、向量共线的性质定理
b λa.
向量与b 非零向量共线a ，则存在一个实数λ ， 使得 b λa.
思考：1）为a 什么要是非零向量？ 2）可以是零b 向量吗？
E
C
A
B
D
A B
高一数学北师大版必修4课件2.3.1 数乘向量
2.向量共线的判定定理和性质定理 (1)判定定理 :a 是一个非零向量,若存在一个实数 λ,使得 b=λa,则向量 b 与非零向量 a 共线. (2)性质定理 :若向量 b 与非零向量 a 共线,则存在一个实数 λ,使得 b=λa.
思考 2 向量共线的判定定理和性质定理有何应用?
提示:(1)判定定理的结论是 a∥b,那么用向量共线的判定定理可以证 明两向量共线,即证明向量 a∥b,只需找到满足 b=λa 的实数 λ 的值即可. (2)判定定理的结论是 a∥b,则有当 ������������=a,������������=b 时,有 O,A,B 三点共线, 即用向量共线的判定定理可以证明三点共线,即三点共线问题通常转化为 向量共线问题. (3)判定定理的结论是 a∥b,当 a 和 b 所在的直线分别是直线 m 和 n 时, 则有直线 m 和 n 平行或重合,即用向量共线的判定定理可以证明两条直线 平行. (4)性质定理的结论是 b=λa,则有|b|=|λ||a|,当 | ������������|=|λ||������������| 时,OB=|λ|OA,即用向量共线的性质定理可以证明两线段间的长度关系.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)①原式=3a-6b+3c-2c-b+a=4a-7 b+c. ②原式= a- b- a- b+ a+ b=
26 15 2 5 2 5 2 3 4 3 4 15 26 15 2 2 4 - + 5 3 15
a+ - - +
2 4 5 3
b=0×a+0×b=0. (2)①原方程可变为 5x+ 5a+3x-3b= 0,即 8x=-5a+3b ,∴ x=- a+ b. 8 8 ②把第一个方程的左、右两边同乘以-2,然后与第二个方程相加, 得 y=-2a+b,从而 y=- a+ b.代入原来第二个方程得 x=- a+ b. ������ = - a + b, ������ =
高中数学新北师大版精品教案《3.1数乘向量》
《向量的数乘运算》教学设计（第1课时）一、教学目标1、知识与技能通过探究数乘运算法则及其几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义；理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量积的运算律。
2、过程与方法通过师生互动理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行。
3、情感态度与价值观通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等，培养创新能力和积极进取精神，通过解决具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用。
二、教学重难点教学重点：1 实数与向量积的意义及其几何意义；2 实数与向量积的运算律；教学难点：实数与向量积的运算律。
三、教具选取多媒体辅助教学。
四、教学过程1、导入新课在疾风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？学生活动：独立思考。
教师活动：提问、引导学生作答。
设计意图：在实际中存在这样的两个量，它们是共线的，而且大小之间存在倍数关系。
因此，有必要定义实数与向量积的运算。
2、推进新课探究：已知非零向量a ，试作出a a a ++和()()()a a a -+-+-，你能说出它的几何意义吗？学生活动： 独立思考、作图、总结。
教师活动： 提问、引导学生上台展示结果。
设计意图： 认识和理解向量数乘的几何意义必须从几何直观入手，让学生对向量的伸缩有一个初步的感性认识，进而为下一步对向量的数乘的定义及其几何意义的理性认识做好铺垫。
问题1：你能通过上述的具体实例总结出更具一般性的向量数乘的定义吗？从而推广到一般的向量数乘的定义。
定义：我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a λ ， 它的长度和方向规定如下：（1）a a λλ⋅=⋅（2）当0λ>时，a λ的方向与a 一致；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反。
由（1）可知，当0λ=时，0a λ=。
2.3.1数乘向量教案高中数学必修四北师大版
§3从速度的倍数到数乘向量3．1数乘向量●三维目标1．知识与技能(1)理解并掌握实数与向量的积的意义．(2)会利用实数与向量的积的运算律进行有关计算．2．过程与方法由概念的形成过程体验分类讨论的数学思想的指导作用．3．情感、态度与价值观(1)通过对实数与向量的乘积一节的学习，培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力．(2)实数与向量的积还是一个向量，它的长度和方向的变化由实数λ决定，给学生揭示事物是在不断地运动变化着．(3)通过本节内容的学习，使学生掌握实数与向量的积．从形上看，就是图形的放大或缩小，从而揭示事物在不断地运动变化过程中，“万变不改其性”的哲理．●重点难点重点：向量的数乘运算及其几何意义，向量共线定理．难点：向量共线定理的应用．●教学建议教科书用具体的实例分析，帮助学生理解数乘向量．类比数的乘法的定义方法，从三个相同向量相加入手，引出数乘向量，由特殊到一般给出了数乘向量的一般定义．教学中要强调：(1)λa是一个向量；(2)λa有长度和方向，其长度为|λa|＝|λ|·|a|，其方向与λ的符号有关，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0或a ＝0时，λa＝0；(3)数乘向量的几何意义是把向量a沿着a的方向或a的反方向延长或缩短．●教学流程创设问题情境：类比a ＋a ＋a ＝3a ，a ＋a ＋a 等于3a 吗？⇒引导学生结合已学过的向量加法运算，观察比较分析，采取合情推理的方法探索出数乘运算定义及几何意义．⇒引导学生回答所提问题，使学生理解并掌握数乘向量的模、方向及其运算律等相关性质．⇒通过例1及变式训练，使学生熟练掌握向量的线性运算．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握共线向量的应用．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握线性运算的综合应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.类比实数的运算“a ＋a ＋a ＝3a ”，你能猜想向量“a ＋a ＋a ”等于什么吗？ 【提示】 a ＋a ＋a 相加为向量，其结果为3a . 1．数乘向量(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa . (2)长度：|λa |＝|λ||a |.(3)方向：λa 的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ＞0时，与a 的方向相同；当λ＜0时，与a 的方向相反.(4)几何意义：将表示向量a 的有向线段伸长或压缩．当|λ|＞1时，表示向量a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍；当|λ|＜1时，表示向量a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短为原来的|λ|倍．2．运算律向量的数乘运算满足下列运算律： 设λ，μ为实数，则 (1)(λ＋μ)a ＝λ a ＋μ a ； (2)λ(μa )＝λμ a ；(3)λ(a ＋b )＝λ a ＋λ b .我们明确了λa (λ∈R )的运算及含义，那么若一个向量b ＝λa (a ≠0)，则向量a 、b 有什么关系呢？【提示】 a 与b 是共线向量．1．判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λ a ，则向量b 与非零向量a 共线．2．性质定理：若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b ＝λ a .计算：(1)3(6a ＋b )－9(a ＋13b )；(2)12[(3a ＋2b )－(a ＋12b )]－2(12a ＋38b )； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .【思路探究】 准确应用向量的数乘，加法、减法的运算律化简． 【自主解答】 (1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . (2)原式＝12(2a ＋32b )－a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0.(3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .1．向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．2．对于线性运算，把握运算顺序为：运算律去括号→数乘向量→向量加减．(1)化简23[(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )]；(2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求(13a －b )－(a －23b )＋(2b －a )．【解】 (1)原式＝23[4a －3b ＋13b －32a ＋74b ]＝23[(4－32)a ＋(－3＋13＋74)b ] ＝23(52a －1112b ) ＝53a －1118b . (2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝(13－1－1)a ＋(－1＋23＋2)b ＝－53a ＋53b＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j )＝(－5＋103)i ＋(－103－53)j＝－53i －5j .已知两个非零向量a 、b 不共线，OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .(1)证明：A 、B 、C 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 与a ＋k b 共线．【思路探究】 (1)AB →＝OB →－OA →→AC →＝OC →－OA →→找出AB →与AC →的等量关系 (2)令k a ＋b ＝λ(a ＋k b )→利用a 与b 不共线，求λ、k【自主解答】 (1)证明 由于OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b ， 则AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b －a －b ＝b ， 而AC →＝OC →－OA →＝a ＋3b －a －b ＝2b ， 于是AC →＝2AB →，即AC →与AB →共线， 又∵AC →与AB →有公共点A ，∴A 、B 、C 三点共线．(2)解 由于a 、b 为非零向量且不共线， ∴a ＋k b ≠0.若k a ＋b 与a ＋k b 共线，则必存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 整理得：(k －λ)a ＝(λk －1)b ， 因为非零向量a 、b 不共线，因此⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝0λk －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1λ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1λ＝－1，即存在实数λ＝1，使k a ＋b 与a ＋k b 共线，此时k ＝1.或存在实数λ＝－1，使k a ＋b 与a ＋k b 共线， 此时k ＝－1，因此，k ＝±1都满足题意．1．本题中证明点共线的关键是由点构成的向量要有公共点，并且共线．2．证明两个向量a 与b 共线时，只需证明a ＝λb (b ≠0)．若已知a 与b (b ≠0)共线，则可利用两向量共线的性质，得到λ1a ＝λ2b .利用向量共线定理可以解决点共线、线共点及两直线平行等问题，如要证A ，B ，C 三点共线，只需证AB →＝λAC →或AB →＝kBC →(λ，k ∈R )等；要证AB ∥CD ，只需证AB →＝λCD →(λ∈R )．也可解决相关求参问题．已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1.若a 与b 共线，则( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0 C ．e 1∥e 2D ．λ＝0或e 1∥e 2【解析】 e 1∥e 2时，显然a 与b 共线；若e 1，e 2不共线，设a ＝k b ，则有(1－2k )e 1＋λe 2＝0，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－2k ＝0，λ＝0，，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，λ＝0.【答案】 D图2－3－1如图所示，已知▱ABCD 的边BC ，CD 上的中点分别为K ，L ，且AK →＝e 1，AL →＝e 2，试用e 1，e 2表示BC →，CD →.【思路探究】 解答本题可先将BC →，CD →视为未知量，再利用已知条件找等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)求出BC →，CD →.【自主解答】 法一 设BC →＝x ，则BK →＝12x ，AB →＝e 1－12x ，DL →＝12e 1－14x ，又AD →＝x ，由AD →＋DL →＝AL →得x ＋12e 1－14x ＝e 2，解方程得x ＝43e 2－23e 1， 即BC →＝43e 2－23e 1，由CD →＝－AB →，AB →＝e 1－12x ，得CD →＝－43e 1＋23e 2.法二 设BC →＝x ，CD →＝y ，则BK →＝12x ，DL →＝－12y .由AB →＋BK →＝AK →，AD →＋DL →＝AL →得⎩⎨⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2， ②用2乘以②与①相减得12x －2x ＝e 1－2e 2，解得x ＝23(2e 2－e 1)，即BC →＝23(2e 2－e 1)，。
高中数学 数乘向量教学设计
《向量数乘》教学设计丰城中学袁明玉一、教材分析：本节是北师大版高中数学必修四第二章第三节的内容，是本章内容的一个衔接点，起到了很重要的作用，向量与实数的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向，从而引出共线向量定理，此定理也是本节课的重要内容，要注意定理使用的前提。
二、教学设计思路：1、由向量的加法引出数乘向量的定义，通过实物演示让学生深刻体会实数与向量乘积之后对向量的影响，引出向量共线定理并加以应用。
2、组织课堂师生互动，进行小组合作交流，注重培养学生的自主学习的能力，学会善用资源，善用智慧，充分调动学生的学习积极性。
3、在教学中采用“复习----演示----观察----分析----推理----创新----运用”的教学流程，遵循学生的认知规律，适合学生知识水平和接受能力。
三、教案课题《向量数乘》教学目标知识与技能：1、理解数乘向量及其几何意义，会进行数乘向量的运算.2、了解数乘向量运算律,理解向量共线的条件.3、掌握向量共线的判定定理和性质定理,并能熟练运用定理解决向量共线问题.过程与方法：复习与引入，演示与探究，归纳与总结，从而处理好数乘向量的定义及共线向量定理，为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.情感、态度和价值观：通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积以及共线向量定理有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神重点数乘向量的定义与共线向量的定理。
难点对向量共线的等价条件的理解及运用。
教学方法自主学习与探究式学习教具选取多媒体辅助教学，伸缩笔教学过程教师活动学生活动设计意图[复习]向量加、减法法则明确本节课教学目标回忆、回答回顾旧知引出新知，让学生明确本节要学习的内容。
[展示] 实际问题展示观察思考归纳回答引导学生思考实数与向量乘积之后的变化从而引出数乘向量的定义。
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数乘向量
教学目标
一、知识与技能
1、掌握向量数乘运算概念及运算定律，理解向量共线定理。
2、会运用定义、运算律进行有关计算。
二、过程与方法
深入对定理的理解，会运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。
三、情感态度与价值观
由情景引入，由抽象到具体，由难到易，激发学生的数学兴趣，培养学生独立自主，自我发现，自我概括的能力，使得学生在以后的数学学习上能够自由，自主去探索去发现。
教学重点与难点
1.重点：向量数乘运算概念及运算定律，向量共线定理的运用。
2.难点：向量共线、三点共线、直线平行，以及数乘计算的问题。
教学准备
多媒体课件、电脑画板
教学过程
一、情景引入
活动一：体会实际，感受新知
在疾风骤雨，雷电交加的晚上，我们都是先看到闪电，后来听到雷声？（展示所找到的关于雷电的影像进行播放）这是因为在同一方
向上光速远远大于声速。
经测量,光速大小约为声速的5107.8⨯倍。
活动二：自我实验，学会新知
教师让学生准备小皮筋，自己进行拽拉，固定一边，朝同一方向，两边同时，朝不同方向，看看会发生什么有趣的现象（可以选号码为1-5的同学拍小视频进行讨论）。
组织学生在电脑面板上展示自己所做实验的答案，进行互相讨论以上两个活动有什么异同点。
（学生自由在电脑面板进行发言，老师进行总结。
）
由以上两个案例分析说明实际中存在这样的向量，他们是共线，而且大小之间存在倍数关系。
因此，有必要定义实数与向量积的运算。
二、讲述新知，感悟理解
例如，对于向量3a ，我们都知道3个a 相加（可进行画图讲解），
即3a =a +a +a .由向量的加法的意义可知，3a 仍是一个向量，它的长度为a 的三倍，方向与a 相同；
向量-3a 是3a 的相反向量，他的长度与3a 相同，也是a 的3
倍，它的方向与a 的方向相反。
三、新知概括，深入探究
1、a 请大家画出非零向量a ，并且做出3a 与0a ,-2a ,. a 。
(按照学生的编号，让5-10号码的同学进行回答。
）
一般的，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ。
它的长度为a a λλ=。
它的方向：当0>λ时，a λ与a 的方向相同；
21
当0<λ时，a λ与a 的方向相反；
当0=λ时，0=a λ，方向任意. 2.请大家试着计算a
b a a )23(,3)3(3++）（，，你能从中发现什么？（按照学生的编号，让10-20奇数号码的同学进行回答。
）
向量数乘运算满足如下运算律：
特别地： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算
3.小题练习。
例1设为a ,b 为向量，计算下列各式。
（按照学生的编号，让10-20偶数号码的同学进行回答。
）
（1）-2×3a
（2）2(a -b )-(a +3b )
（3）(2m-n)a a -m b -(m-n)(a -b )(m,n 为实数)。
4.由上面的共线，我们根据实数与向量积的定义能大概给出向量共线的判定定理吗？
（按照学生的编号，让20-30奇数号码的同学进行回答。
） 定理 a 一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b =λa ，则向量b
()b a b a a a a a λλλμλμλλμμλμλ+=++=+=)()3()2()(a )1(）（为实数，b
a b a a a λλλλλ-=--=)()(-）（
与非零向量a 共线。
5.上面的定理的逆定理对吗？（按照学生的编号，让20-30偶数号码的同学进行回答。
） 定理 若向量b 与向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b =λa 。
四、课堂小结
1. 向量积的定义。
2. 向量共线、三点共线、直线平行，以及数乘计算的问题。
五、作业布置
课本第82页第3、4题。