微分中值定理习题课

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高等数学第三章中值定理与导数的应用习题课

(5) (1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x2 + L+
α (α − 1)L (α − n + 1)
n!
x n + o( x n )
Ⅲ 导数的应用
一、函数的极值与单调性
1．函数极值的定义． x ∈ U ( x0 , δ ), f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ( x0 )为极大值. 为极大值.
0 ∞ 其它型：其它型： ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0 型或“ 型或 0 ∞
0 ∞ 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式．
如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数阶导数如果函数在含有一点的开区间内具有直到 f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn ( x) 2! n! ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 拉格朗日型余项 ( n + 1)!
x ∈ U ( x 0 , δ ), f ( x ) ≥ f ( x0 ), f ( x0 )为极小值 .
o
。
2．函数的驻点．
f ′( x 0 ) = 0 则 x 0为 f ( x ) 的驻点。的驻点。
3．函数的单调区间的判别．
函数在[a,b]上连续在(a,b)内可导上连续,在内可导. 函数在上连续内可导

3(xtk)高等数学微分中值定理习题

Taylor中值定理
例24
证明:
x (1) x 0时, e 1 x ; 22 x x (2) x 0时, e 1 x . 2
x 2
22
第三章
微分中值定理与导数的应用
例25
Taylor中值定理设f ( x)在 a, b内二阶可导, f ( x) 0,
f ( ) f (0) ( 0) f ( ), (0, ) (1) a f ( ) ab f (1) f ( ) (1 ) f ( ), ( ,1) (2) a b 由(1),有 a b 由(2),有 1 a b f ( ) f ( ) a b 1 得 f ( )(a b) f ( )(a b) a b a b. f ( ) f ( ) 18
且f (0) 0, f ( x)单调减少, Lagrange
f (a b) f (a) f (b), 0 a b a b c
24
证明:
中值定理
第三章
微分中值定理与导数的应用
习题课
例29 设f ( x)在0, a上二阶可导, 且 f ( x) M ,
4. 会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点会描绘函数的图形(包括水平,铅直和斜渐 , 近线). 会求解最大值和最小值的应用问题. 5. 会用洛必达(L,Hospital)法则求不定式的极限. 6. 了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径.
3
第三章
微分中值定理与导数的应用
习题课
1.微分中值定理及其相互关系
的零点.
11
第三章
微分中值定理与导数的应用
习题课
例7 设 f ( x)在0, a上连续, 在 0, a 内可导,

辽宁工业大学高数习题课(3)

1 cos x ~
ln sin x 【例2】计算 lim 2 x ( 2 x )
2
分析当 x 0 分子分母均趋近于0, 为型, 用洛必达法则计算. 解：
ln sin x lim 2 x ( 2 x )
2
0 0
（ 0 型）
0
cos x lim x sin x [ 4( 2 x )]
1
【例4】计算 lim x 2 e x
x 0
2
分析当 x 0 时, 函数式为 0 型,
1
0 将其化为 0
或

型.
解：
lim x 2 e x ( 0 型)
2
x 0
1
ex l im x0 1 x2
1
2
(
型)
e lim
x 0
x2
2 3 1 x x2 lime . 2 x 0 3 x
拉格朗日型余项佩亚诺型余项
Rn ( x) 0[( x x0 )n ]
2．麦克劳林公式
f (0) f ( n ) ( 0) 2 f ( x ) f (0) f (0)( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
所以
f (1) 8, f (1) 5, f ( 1) 0,
f ( 1) 6.
f ( ) ( x 1) 2 一阶泰勒公式为 f ( x ) f ( 1) f ( 1)( x 1) 2!
8 5( x 1) 3( 1)( x 1)
0 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!

数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--5章

.k
hd
π π
4
(3) 令 f ( x) = 2 arctan x + arcsin
2x ，注意到 x 2 − 1 > 0, ∀x > 1 ，所以 2 1+ x
由于 f ( x) 在 [1, +∞ ) 连续，所以 f ( x) ≡ f (1) = 2 +
案网
至多有限个点有 f ′( x ) = 0 之外，都有 f ′( x ) > 0 ，则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上严格单调增加；同时举例说明，其逆命题不成立。证设 a = x0 < x1 < " < xn −1 < xn = b ，其中 x1 , x2 ," , xn −1 是 f '( x) 全部的零点。则 f ( x) 在 [ xi , xi +1 ] (i = 0,1," , n − 1) 上严格单调增加。从而，f ( x) 在 [a, b] 上严格单调增加。构造函数
(ξ , f (ξ )) 不在 ( a, f ( a )), (b, f (b)) 的连线上。
假设 (ξ , f (ξ )) 在 (a, f (a )), (b, f (b)) 的连线的上方，则
f (ξ ) − f (a ) f (b) − f (a ) f (b) − f (ξ ) > > ， ξ −a b−a b −ξ
的两倍。
5．设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 上可导, 证明 ( a , b ) 内存
课
在一点 ξ ，使得
后答
案网
针排列，则ψ ( x) 就是三角形面积的两倍，否则－ψ ( x) 就是三角形面积

3微分中值定理与导数的应用习题

第三章微分中值定理与导数的应用1 •函数y =x2 -1在L 1,1】上满足罗尔定理条件的匕=2、若f(x)=x3在1,2】上满足拉格朗日中值定理，则在(1,2 )内存在的匕=3. f(x)=x2+x-1在区间L1,1】上满足拉格朗日中值定理的中值匕=4•函数y = In(X +1诳区间0,1】上满足拉格朗日中值定理的匕=5•验证罗尔定理对函数y =1 n sin X在区间律—1上的正确性。

T 6」6.验证拉格朗日中值定理对函数y =4x' —5x2 +x-2在区间0,1】上的正确性。

7.对函数f(x) = sinx及F(x)=x+cosx在区间〔0,—1上验证柯西中值定理的正确性。

L 2」&试证明对函数y = px2 +qx + r应用拉格朗日中值定理时的求得的点总是位于区间的正中间。

9.证明下列不得等式: ⑴ arctanx -arctan y < x - y⑶当a汕＞«¥＜"¥10.用洛必达法则求下列极限:X _x⑵ lim e ~eT sin XIn R +丄］⑷ li%__¥—鈕 1arcta n —x⑸1x m1x1.1 -x1⑹ lim (cot X -一) T x(7)lim (cos X)⑻ ji m^x "(J x2+1 -X) ⑵当X A1时，e x；＞e .XIn (1 +x)⑴lim T X⑶ lim 沁—sina X T x-asin X — xcosx2~；x sinx11. 确定下列函数的单调区间。

⑷ y =1 n(x +J 1 + x 212. 求下列函数图形的拐点及凹凸区间:⑷ y = In(x 2+1 )13. 禾U 用函数的单调性证明下列不等式:(11)lim(1-x)ta n 便'(2丿(12)tanx⑽ lim — - x -^l x「1 2 、—2x~e-1丿⑴ y = 2x 3-6x 2-18x -7⑵ y = 2x +8(X A O )x=x 3 -5x 2+3x +5/ \ -x⑵ y = xe= (x +1y +e x⑴当1 ,_______ x>0 时，1+ —x》u1+x2⑵当x>0 时，1+xl n(x+j1+x2)> J1 +x2⑶当兀 1 3 0cx£ —时，tanx〉x + -x2 314.列表讨论下列函数的单调区间，凹性区间，极值点与拐点。

中国地质大学(武汉)《高等数学A1》第五章习题课及答案解析

a≤ x≤b
6 若 f (x) 在[0,1] 上有三阶导数，且 f= (0) f= (1) 0 ，，设 F (x) = x3 f (x) ，
求证：至少存在一点ξ ∈ (0,1) ，使得 F′′′(ξ ) = 0 。
证法一：由题设知， F (x) ， F′(x) ， F′′(x) ， F′′′(x) 在[0,1] 上存在，
= f+′(a)
lim f (x) − f (a) < 0 ， x→a+ x − a
由极限的保号定理，可知 ∃δ1 > 0, 当 x ∈ (a, a + δ1) 时，有
f (x) − f (a) < 0 ⇒ f (x) < f (a) x−a
同理， ∃δ2 > 0, 当 x ∈ (b − δ2,b) 时，有
ξ ∈ (0,1) ，使得 (2ξ +1) f (ξ ) + ξ f ′(ξ ) = 0 。
分析：由ξ ∈ (0,1) ，则 (2ξ +1) f (ξ ) + ξ f ′(ξ ) = 0
⇔ (2 + 1 ) f (ξ ) + f ′(ξ ) = 0 ξ
⇔ p(ξ )(2 + 1 ) f (ξ ) + p(ξ ) f ′(ξ ) = 0 ξ
eξ
f [ g (ξ
′(ξ )+
) g′(ξ )]
g= (b) g= (a) 1
∴
f (b) − f (a) eb − ea
=
f ′(ξ ) eξ [g(ξ ) + g′(ξ )]
（1）
又令ψ (x) = ex ，则由题设可知 f (x),ψ (x) 在[a,b] 上满足柯西中值定理的条件，

第03章微分中值定理与导数的应用习题详解

M 12丿」I 2丿第三章微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：(1)虽然 f(x)在［—1,1］上连续，f(—1) = f(1)，且 f(x)在(—1,1)内可导。

可见，f(x)在［_1,1］上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点匕€(-1,1)，使得f 牡)=0，即:f(X)=cosx, F(X)=1 — sin X 且对任一 x 乏0,—】，F'(X)H 0, ”■. f (x),F (x)满足柯西 I 2丿中值定理条件。

—12©宀2=0，满足、； (2)虽然f(x)在［—1,1］上连续,f(_1)= f (1)，但 f (x)在(—1,1)内 x = 0点不可导。

可见，f (x)在［ —1,1］上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点 £ £ (_1,1)，使得 f 徉)=0. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件 3 3 .解：令 y = 3arccos x - arccos(3x - 4x 3), y ‘ = 一 23 —12x 2厂工®®3)2，化简得 y'=0,「. y =c ( C 为常数)，又 y(0.5)=兀，故当-0.5<x<0.5，有 y(x)=兀。

「兀f f 兀、 4 .证明：显然f(x), F(x)都满足在'|0,二I 上连续，在10,二内可导L 2」 I 2丿 c oxsn ——x、、2丿F Q-F(O)12丿兀--1 2F( x) -1 sixn_c O 弓-x厂(X )_F(x) ZL"2 /兀 X ,，即 tan I - -- U--1，此时l 4 2丿 2f JI「兀X = 2 I — -arctan l — -1L 4l 2显然萨〔0,-〕，即丿」 I 2丿5.解：因为f(0) = f (1)= f (2) = f (3) =0，又因为f(x)在任一区间内都连续而且可导, 所以f (X)在任一区间 0,1 ], 1,2], [2,3]内满足罗尔中值定理的条件，所以由罗尔定理，得:3" -(0,1), "^(1,2), ©-(2,3),使得：f 徉1 )= 0 r =) &：◎(=), 30 因为6.证明：设f(x) =0的n+1个相异实根为X o V X 1 <X 2 <H( <X n则由罗尔中值定理知：存在J (i =1,2,川n):X0 <：勺1cj ■<X2 vill <-1^Xn ，使得再由罗尔中值定理至少存在So =1,2,川n-1):上11 C 巴21 V ©2 吒 W ©3 V i 11 < J n d W G n ,使得7.解：反证法，倘若 p(X)=0有两个实根，设为X^X 2，由于多项式函数 p(x)在[X 1,X 2]上连续且可导，故由罗尔中值定理存在一点E€(X I ,X 2),使得P 徉)=0,而这与所设p'(x)=0没有实根相矛盾，命题得证。

数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--5章

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aw .c om
8．用 Lagrange 公式证明不等式： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 证 ⑴ ⑵
|sin x − sin y | ≤ | x − y | ;
ny n −1 ( x − y ) < x n − y n < nx n −1 ( x − y ) (n > 1, x > y > 0) ;
b−a b b−a < ln < b a a (b >− f (−1) = 0 ，但 ∀ξ ∈ ( −1,1), ξ ≠ 0, f '(ξ ) = ±1 ≠ 0 。 1 − (−1)
设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 上可微。利用辅助函数
x ψ( x ) = a b f (x) 1 f (a ) 1 f ( b) 1
案网
几何意义：在 [ a , b ] 上连续、在 ( a , b ) 上可导的非线性函数，必定在
课
解
由 Lagrange 中值定理，
a
1
arctan
与 n 之间。当 n → ∞ 时， 1 + ξ 2 趋于 1，所以
a a ⎞ ⎛ arctan − arctan ⎜ ⎟ a a ⎞ na ⎝ n n +1⎠ ⎛ = ⋅ lim n 2 ⎜ arctan − arctan lim ⎟ n →∞ a a n n + 1 ⎠ n→∞ n + 1 ⎝ − n n +1
的两倍。
5．设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 上可导, 证明 ( a , b ) 内存
课
在一点 ξ ，使得

高等数学第三章习题课答案

第三章微分中值定理习题课一、判断题（每题3分）1.函数)(x f 在0x 点处可导，且在0x 点处取得极值，那么0)(0='x f .（ √ ）2.函数)(x f 在0x 点处可导，且0)(0='x f ，那么)(x f 在0x 点处取得极值.（ × ）3.若0x 是()f x 的极值点，则0x 是()f x 的驻点. ( × )4.函数()x f 在区间()b a ,内的极大值一定大于极小值 . ( × )5.若()0,(,)f x x a b ''>∈,则()f x '在(,)a b 内单调增加 .（ √ ）6.0()0f x '=且0()0f x ''<是函数()y f x =在0x 处取得极大值的充要条件. ( × )7.函数()arctan f x x x =的图形没有拐点. （ √ ）8.因为函数y =0x =点不可导，所以()0,0点不是曲线y =.（ × ）二、选择题（每题3分）1.下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（ D ）. A ．xe B ．ln x C ．x D ．21x - 2．对于函数()211f x x=+，满足罗尔定理全部条件的区间是（ D ）. （A ）[]2,0-；（B ）[]0,1；（C ）；[]1,2-（D ）[]2,2-3. 设函数()()()12sin f x x x x =--，则方程()0f x '=在 (0,)π内根的个数（ D ）(A) 0个 ; (B)至多1个; (C) 2个; (D)至少3个.4．已知函数3()2f x x x =+在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，使得该定理成立的ξ=（ D ）.（A ）13 （B （C ）12 （D 5.若函数)(),(x g x f 在区间),(b a 上的导函数相等，则该两函数在),(b a 上（ C ）. A.不相等 B .相等 C.至多相差一个常数 D.均为常数6.arcsin y x x =- 在定义域内( B ).A. 单调减函数B.单调增函数C. 有单调增区间也有单调减区间D. 没有单调性7. 函数2129223-+-=x x x y 的单调减少区间是（ C ）. （A ）),(+∞-∞ （B ）)1,(-∞（C ）)2,1(（D ）),2(+∞8．设(),a b 内()0f x ''>，则曲线()y f x =在(),a b 内的曲线弧位于其上任一条切线的（ A ）. （A ）上方;（B ）下方; （C ）左方; （D ）右方.9.曲线32y ax bx =+的拐点为(1,3)，则（ A ）. （A ）3,30a b a b +=+= （B ）0,30a b a b +=+= （C ）2,320a b a b +=+=（D ）0,340a b a b +<+=10. 设函数()y f x =在开区间(,)a b 内有()'0f x <且()"0f x <，则()y f x =在(,)a b 内（ C ）A.单调增加，图像是凹的B.单调减少，图像是凹的C.单调减少，图像是凸的D. 单调增加，图像是凸的11．函数2y ax c =+在区间()0,+∞内单调增加，则a 和c 应满足（ C ）.（A ）0a <且0c =；（B ）0a >且c 是任意实数；（C ）0a <且0c ≠；（D ）0a <且c 是任意实数.12．函数23++=x x y 在其定义域内（ B ）（A ）单调减少 (B) 单调增加 (C) 图形是凹的(D) 图形是凸的13．若()()00,x f x 为连续曲线()y f x =上凹弧与凸弧的分界点，则（ A ）. （A ）()()00,x f x 必为曲线的拐点; （B ）()()00,x f x 必为曲线的驻点; （C ）0x 点必为曲线的极值点;（D ）0x x =必为曲线的拐点.14.函数()2ln f x x x =-的驻点是（ B ）.（A ）1x = （B ）12x =（C ）(1,2) (D) 1(,1ln 2)2+15．函数2ln(1)y x x =-+的极值（ D ）. A ．是1ln 2-- B ．是0D．不存在 C．是1ln216.设()[0,1]()f x x f x ''=在上有＜0，则下述正确的是（ A ）( A ) (1)f '＜)0()1(f f -＜(0)f '; ( B ) (0)f '＜)0()1(f f -＜(1)f '; ( C ) (1)f '＜(0)f '＜)0()1(f f -; ( D ) (0)f '＜(1)f '＜)0()1(f f -17.设()f x 具有二阶连续的导数，且20()lim3,ln(1)x f x x →=-+则(0)f 是()f x 的（ A ）（A ）极大值；（B ）极小值; （C ）驻点; （D ）拐点.18.设函数()y f x =在0x x =处有()0f x '=0,在1x x =处导数不存在，则( C ). A. 0x x =,1x x =一定都是极值点 B.只有0x x =可以是极值点C. 0x x =, 1x x =都可能不是极值点D. 0x x =,1x x =至少有一个是极值点三、解答题（求极限每题4分其余每题 8分） 1．求极限220000011sin sin 1cos 2(1)lim lim lim lim lim 0sin sin 22→→→→→---⎛⎫-===== ⎪⎝⎭x x x x x x x x x x x x x x x x x x （2）11lim 1ln x xx x →⎛⎫⎪⎝⎭-- =()()11ln 1ln 11limlim 11ln ln x x x x x x x x x x x→→--+-=--+11ln ln 11limlim ln 1ln 22x x x x x x x x x →→+===+-+0(3)11lim 1→⎛⎫ ⎪⎝⎭--x x x e 01lim (1)→--=-xx x e x x e 0011lim lim 12xxx x x x x x x e e e xe e e xe →→-===-+++ （4）200011ln(1)ln(1)lim()lim lim ln(1)ln(1)x x x x x x x x x x x x →→→-+-+-==++0011111limlim lim 22(1)2(1)2x x x x x x x x x →→→-+====++20sin (5)limtan →-x x xx x 2200sin 1cos lim limtan 3x x x x x x x x →→--==0sin 1lim 66x x x →==222201(6)lim(1)→---x x x e xx e 22401lim→--=x x e xx 2232002211lim lim 42x x x x xe x e x x →→--==12=2223220000tan tan sec 1tan 1(7)lim lim lim lim ln(1)333→→→→---====+x x x x x x x x x x x x x x x1ln 1(8)lim cot →+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x arc x 1lim cot →+∞=x x arc x 222211lim lim 111x x x x x x x →+∞→+∞-+===+-+sin sin cos (9)limlim cos 1→→-==-x a x a x a xa x a22200021sec 77ln tan 7tan 2sec 77tan 7(10)lim lim lim 11ln tan 2tan 7sec 22sec 22tan 2+++→→→⋅⋅⋅===⋅⋅⋅x x x x x x x x x x x x x(11)lim arctan 2→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭x x x π22221arctan 12lim limlim 1111→+∞→+∞→+∞--+====+-x x x x x x x xxπ2lim ln(arctan )2(12)lim arctan →+∞→+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭x xx x x x e ππ2lim ln(arctan )→+∞x x x π222211ln arctan lnln arctan arctan 1limlimlim 111→+∞→+∞→+∞+⋅+===-x x x x x x x xxxππ2222lim 1x x x ππ→+∞=-=-+ 22lim arctan -→+∞⎛⎫∴= ⎪⎝⎭xx x e ππ .()tan 21(13)lim 2→-x x x π解：()()()11sin ln 22limlim tan ln 2cos tan 2221lim 2x x x x x x xx x x eeππππ→→--→-==1122sinlim22x xx e eπππ→---⋅==tan 0(14)1lim +→⎛⎫⎪⎝⎭xx x 0011lim tan lnlim ln++→→⋅⋅==x x x x xxee2001110ln limlim1x x x xx xe ee++→→---====2．验证罗尔中值定理对函数32452y x x x =-+-在区间[]0,1上的正确性.解：()f x 在闭区间[]0,1上连续，在开区间()0,1内可导，()()012f f ==-满足罗尔定理条件.（3分）令()2121010f x x x '=-+=，得()0,1x =，满足罗尔定理结论.3．试证明对函数2y px qx r =++应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间.证明：在区间[],a b 上，()()()f b f a f b aξ-'=- 代入：()()222pb qb r pa qa r p q b aξ++-++=+-解得：2a bξ+=. 4．证明方程531xx -=在()1,2之间有且仅有一个实根．证明：令()531f x x x =--，()11310f =--<， ()522610f =-->所以 ()0f x =在()1,2上至少一个根，又()4'53f x x =-，当()1,2x ∈时()'0f x >，所以单增，因此在()1,2上至多有一个根.()0f x =在()1,2上有且仅有一个根.5．设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一个(,)a b ξ∈，使得()()0f f ξξ'+=. 提示:令()()x F x e f x =证明：令()()xF x e f x =，显然()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()()()x F x e f x f x ''=+ （3分）由Larange 中值定理，则至少(,)a b ξ∈，使得()()()F b F a F b aξ-'=-又()()0f a f b == ∴()()0f f ξξ'+=6．设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=.提示:令 ()()F x xf x =.证明：构造辅助函数()()F x xf x =， ()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a内可导∴()F x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，()()()F x f x xf x ''=+且(0)()0F F a ==由Rolle 定理，至少(0,)a ξ∃∈，有()0F ξ'= 即()()0f f ξξξ'+=7．证明：不论b 取何值，方程033=+-b x x 在区间[]1,1-上至多有一个实根证：令()()()()323,33311f x x x b f x x x x '=-+=-=+-()1,1x ∈-时，0,,f f'<故()f x 在区间[]1,1-上至多有一个实根.8．证明：当1x >时，xe x e >⋅.证明: 令()xf x e x e =-⋅，显然()f x 在[1,]x 上满足Lagrange 中值定理的条ξ∈，使得件，由中值定理，至少存在一点(1,)x()(1)(1)()(1)()f x f x f x e e ξξ'-=-=--即()(1)0f x f >=又即x e x e >⋅9．证明：当0x >时，112x +>证：()()111022f x x f x '=+==>()()00f x f >=,即有112x +>10．求证：1,(0,)>+∈+∞xex x证明：令()1,,[0,)xf x e x x =--∈+∞当(0,)x ∈+∞时，()10x f x e '=->故在区间[0,)+∞上，()f x 单调递增从而当(0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f >=即1x e x >+或者：证明：()221112!2xf e e x x x x x ξξ''=++=++>+……8分11．当1>x 时，证明：13>-x. 答案参看课本p148 例6 12．证明：当0x >时， ln(1).1xx x x<+<+ 答案参看课本P132 例1 13．设0,1a b n >>>，证明:11()()n n n n nba b a b na a b ---<-<-.证明：令()nf x x =，显然()f x 在[,]b a 上满足lagrange 定理条件，故至少存在一点(,)b a ξ∈，使得()()()()f a f b f a b ξ'-=- 即1()n n n a b n a b ξ--=-又由b a ξ<<及1(1)n n n ξ->的单增性，得11()()n n n n nba b a b na a b ---<-<-14．设0a b >>，证明：ln a b b a ba a b--<< 证明：令()ln f x x =，在区间[],b a 上连续，在区间(,)b a 内可导，有拉格朗日中值定理，至少存在一点(),b a ξ∈，使得1ln ln ()a b a b ξ-=-，又因为1110,a b ξ<<<因此，ln a b a a ba b b--<<. 15．证明恒等式()arcsin arccos ,112x x x π+=-≤≤.证：令()arcsin arccos f x x x =+ 则()f x 在[]1,1-上连续.在()1,1-内有:()0,f x f C '=≡≡令0,,arcsin arccos 22x C x x ππ==+=在()1,1-内成立.再根据()f x 在[]1,1-上的连续性,可知上式在[]1,1-上成立.16．求函数2y x =的极值点和单调区间. 解：132(1)y x-'=-因此，2y x =在定义域(,)-∞+∞内有不可导点10x =和驻点21x =17．求函数32535y x x x =-++的单调区间，拐点及凹或凸的区间. 解：23103y x x '=-+,易得函数的单调递增区间为1(,)(3,)3-∞+∞,单调减区间1(,3)3.610y x ''=-,令0y ''=，得53x =. 当53x -∞<<时，0y ''<，因此曲线在5(,]3-∞上是凸的；当53x <<+∞时，0y ''>，因此曲线在5[,)3+∞上是凹的，故520(,)327是拐点18．试确定,,a b c 的值，使曲线32y x ax bx c =-++在（1,1-）为一拐点，在0x =处有极值，并求曲线的凹凸区间.解：232y x ax b '=-+ 62y x a ''=-(1,1)-为拐点，则062a =- 3a ∴=由0y '=，则2360x x b -+= , 代入0x =，则0b =.11,1a b c c -++=-=曲线为3231y x x =-+, 66y x ''=-. 凸区间为(,1)-∞-, 凹区间为(1,)+∞.19．求函数()7ln 124-=x x y 的单调区间，拐点及凹或凸的区间.解： 34314(12ln 7)124(12ln 4)y x x x x x x'=-+⋅⋅=-，易得函数的单调递增区间为13(,)e +∞,单调减区间13(0,)e . ()232112(12ln 4)412144ln 0y x x x x x x x''=-+⋅⋅=>，令0y ''=，得1x =.当01x <<时，0y ''<，因此曲线在(0,1]上是凸的；当1x <<+∞时，0y ''>，因此曲线在[1,)+∞上是凹的，故(1,7)-是拐点 20．求函数arctan xy e=的单调区间，拐点及凹或凸的区间．解：arctan 211x y e x '=⋅+>0,因此单调增区间是R , arctan arctan arctan 2222221212(1)(1)(1)xx x x x y e e e x x x ⎡⎤⎡⎤-''=+-=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦，令0y ''=，得12x =. 当12x -∞<<时，0y ''>，因此曲线在1(,]2-∞上是凹的；当12x <<+∞时，0y ''<，因此曲线在1[,)2+∞上是凸的，故1arctan 21(,)2e是拐点 21．求函数1234+-=x x y 的拐点和凹凸区间. 解：3246y x x '=- 2121212(1)y x x x x ''=-=- 令0y ''=，得10x =，21x = 列表（4分）22．求函数32391=+-+y x x x 的极值.解：2'3693(1)(3)y x x x x =+-=-+ ''66y x =+ 令0'=y 得驻点：121,3x x ==-.当21x =时，''0,y >取得极小值，其值为4-. 当33x =-时，''0y <，取得极大值，其值为28.23．求函数23(1)1=-+y x 的极值.解： 226(1)y x x '=-22226(1)24(1)y x x x ''=-+-令0y '=，得1231,0,1x x x =-==(0)60y ''=>，故20x =是极小值点.(1)0y ''±=，无法用第二充分条件进行判定.在11x =-的附近的左右两侧取值均有0y '<，故11x =-不是极值点. 在21x =的附近的左右两侧取值均有0y '>，故21x =不是极值点. 极小值(0)0y =24．求函数32(1)(23)=-+y x x 的极值点和单调区间.解：22323(1)(23)4(1)(23)(1)(23)(105)0y x x x x x x x '=-++-+=-++=所以，驻点11x =，232x =-，312x =- 列表∴()f x 在32x =-处取得极大值3()02f -= ()f x 在12x =-处取得极小值127()22f -=- 单调递增区间31(,],[,)22-∞--+∞，单调递增区间31[,]22-- 25．试问a 为何值时，函数1()sin sin 23=+f x a x x 在3π处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.解：2()cos cos23f x a x x '=+()f x在3π处取得极值22121()coscos 03333232f a a πππ'∴=+=⋅-⋅= 23a ∴=即 ()2()cos cos 23f x x x '=+ ()2()sin 2sin 23f x x x ''∴=--222()sin 2sin 2033333f πππ⎛⎫''∴=--=-⋅+< ⎪⎝⎭⎝⎭所以它是极大值，极大值为212()sin sin 33333f πππ∴=+=26．求函数3223y x x =-在区间[]1,4上的最大值与最小值.解：212660,0,1y x x x x '=-===(舍去x =)()()11,480,f f =-=，故最大值为80，最小值为－1.27．、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m 长的墙壁.问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解：设小屋长 x m ，宽 y m ，220,102xx y y +==-.2101022x x S x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，100,10S x x '=-==故小屋长10米，宽5米时，面积最大.28.某厂每批生产产品x 单位的总费用为()5200C x x =+（元），得到的收入是()2100.01R x x x =-（元）.问每批生产多少个单位产品时总利润()L x 最大？解：()()()22100.0152000.015200L x x x x x x =--+=-+-()0.0250,250L x x x '=-+==（单位）()0.020L x ''=-<，故250x =单位时总利润最大.-----精心整理，希望对您有所帮助!。

微积分中值定理习题课

ek f ( ) ek kf ( ) 0
[e kx f ( x ) (e kx ) f ( x )]x 0
[e
kx
f ( x )]x 0.
1
设f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且
f (a ) f (b) 0, f ( x ) 0, x (a , b). 证明: f ( ) k. 对任意的实数k, 存在点 (a b), 使 f ( ) 证设g( x ) ekx f ( x ) [e kx f ( x )]x 0 ; 则(1) g( x )在[a, b]上连续 ;(2) g( x )在(a, b)内可导
设函数 f (x)在[0, 3]上连续,在(0, 3)内可导, 且f (0) f (1) f ( 2) 3, f ( 3) 1. 试证必存在 (0,3), 使f ( ) 0. x 在 f[( 在 [0, 2]上连续 , 证因为因为 ff(( (x)在 cx , )3] 上连续 , c)) [0, 1 3] f上连续 ( 3), 且 ,f 所以且在 2]上必有最大值 M和最小值必存在 ,于是在(c,[0, 3)内可导 , 所以由Rolle 定理知,m m (cf,3 (0 (M , ), m f f 1) 0 M (( )) 0,3 使 . , m f ( 2) M . f (0) f (1) f ( 2) m M. 故 3 由介值定理知,至少存在一点 c [0,2], 使
综上, 存在 (a, b), 使得h( ) 0.
6分
4
考研数学(一、二、三)11分
(1) 证明拉格朗日中值定理: 若函数 f (x)在
[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 则存在 (a , b ), 使得f (b) f (a ) f ( )(b a ). (2) 证明: 若函数f ( x )在x 0处连续, 在(0, ) ( x ) A, 则f (0)存在, ( 0)内可导, 且 lim f

微分中值定理与导数的应用习题课(一)

【例3】设 f ( x)在[0, a]上连续, 在 (0, a)内可导, 且 f (a) 0 . 证明存在一点 (0, a), 使 f ( ) f ( ) 0. 分析从结论 f ( ) f ( ) 0 看等价于方程 x f ( x) f ( x) 0 有实根，但若利用零点定理，无法验证 f (0) f (a) 0，所以
证明: 设 F ( x) a0 x n a1 x n1 an1 x, 易知多项式函数F ( x)在[0, x0 ] 上连续且可导，由题设
F ( x0 ) 0 F (0).
由罗尔定理，存在 (0, x0 ), 使 F ( ) 0, 即 a0n n1 a1 (n 1) n2 an1 0, 这说明就是方程 a0nx n1 a1 (n 1) x n2 an1 0 的一个小于 x 0的正根.
2
x 1)
分析证明函数恒等式，主要是利用拉格朗日定理的推论：
如果函数 f ( x)在区间 I上的导数恒为零，那么 f ( x)在区间 I上是一个常数.
证明：设 f ( x) arcsin x arccos x,(1 x 1)
因 f ( x) 1 1 0,(1 x 1) 1 x2 1 x2
试证在(a,
b)内至少存在一点 ,
使 f (b)
f (a)
f ( ) ln b
a
成立.
分析
将所证等式变形为
f (b)
f (a)
f ( ) 或
ln b ln a 1
f (b) f (a) ln b ln a
f ( x)
ln x
,
x
可见，应对 f ( x)与 ln
x 在[a,
b]上应用
ln b ln a 1

《高等数学一》第四章-微分中值定理和导数的应用-课后习题汇总(含答案解析)

第四章微分中值定理和导数的应用[单选题]1、曲线的渐近线为（）。

A、仅有铅直渐近线B、仅有水平渐近线C、既有水平渐近线又有铅直渐近线D、无渐近线【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察渐近线计算.因为，所以y存在水平渐近线，且无铅直渐近线。

[单选题]2、在区间[0，2]上使罗尔定理成立有中值为ξ为（）A、4B、2C、3D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】，罗尔定理是满足等式f′（ξ）=0，从而2ξ-2=0，ξ=1. [单选题]3、，则待定型的类型是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由于当x趋于1时，lnx趋于0，ln(1-x)趋于无穷，所以是型. [单选题]4、下列极限不能使用洛必达法则的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由于当x趋于无穷时，cosx的极限不存在，所以不能用洛必达法则.[单选题]5、在区间[1，e]上使拉格朗日定理成立的中值为ξ=（）.A、1B、2C、eD、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察中值定理的应用。

[单选题]6、如果在内，且在连续，则在上（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在内，说明为单调递增函数，由于在连续，所以在上f(a)＜f(x)＜f(b).[单选题]7、的单调增加区间是（）.A、（0，+∞）B、（-1，+∞）C、（-∞，+∞）D、（1，+∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】,若求单调增加区间就是求的区间，也就是2x-2>0，从而x>1. [单选题]8、（）.A、-1B、0C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]9、设，则（）.A、是的最大值或最小值B、是的极值C、不是的极值D、可能是的极值【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由，我们不能判断f（0）是极值点，所以选D. [单选题]10、的凹区间是（）.A、（0，+∞）B、（-1，+∞）C、（-∞，+∞）D、（1，+∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】若求凹区间则就是求的区间，即6x+6>0，即x>-1.[单选题]11、的水平渐近线是（）.A、x=1，x=-2B、x=-1C、y=2D、y=-1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】水平渐近线就是当x趋于无穷时，y的值就是水平渐近线，x趋于无穷时，y的值是2，所以y=2是水平渐近线；当y趋于无穷时，x的值就是垂直渐近线，本题中由于分母可以分解为（x+1）（x-1），所以当x趋于1或-1时y的值趋于无穷.即x=1，x=-1都是垂直渐近线.[单选题]12、设某商品的需求量Q对价格P的函数关系为，则P=4时的边际需求为（）.A、-8B、7C、8D、-7【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】，当P=4时，Q=-8.[单选题]13、设某商品的需求函数为，其中表示商品的价格，Q为需求量，a，b为正常数，则需求量对价格的弹性（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】由弹性定义可知，[单选题]14、设函数在a处可导，，则（）.A、B、5C、2D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】因为f(x)可导，可用洛必达法则，用导数定义计算.所以[单选题]15、已知函数（其中a为常数）在点处取得极值，则a=（）.A、1B、2C、0D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在点处取得极值，[单选题]16、某商店每周购进一批商品，进价为6元/件，若零售价定位10元/件，可售出120件；当售价降低0.5元/件时，销量增加20件，问售价p定为多少时利润最大？（）.A、9.5B、9C、8.5D、7【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】设销量为Q，则Q=120+20(10-P)·2=520-40P利润此时即取得最大值.[单选题]17、若在（a,b）上，则函数y=f（x）在区间（a,b）上是（）A、增加且凹的B、减少且凹的C、增加且凸的D、减少且凸的【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]18、求极限=（）.A、2B、C、0D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数在区间上的极大值点=（）.A、0B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】令，当时，当时，当时，函数有极大值.[单选题]20、设某商品的供给函数为，其中p为商品价格，S为供给量，a,b为正常数，则该商品的供给价格弹性（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]21、某产品产量为q时总成本C(q)=1100+，则q=1200时的边际成本为() A、0B、C、1D、2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】，q=1200时的边际成本为2.[单选题]22、已知函数f(x)=ax2-4x+1在x=2处取得极值，则常数a=()A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】，得到a=1.[单选题]23、极限=()A、-B、0C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】首先利用洛必达法则，分子分母分别求导，.[单选题]24、曲线y＝x3的拐点为（）．A、（0，0）B、（0，1）C、（1，0）D、（1，1）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】y＂＝6x，当y＂＝0时，x＝0，将x＝0代入原函数得y＝0，所以选择A．参见教材P108～109．（2015年4月真题）[单选题]25、曲线的水平渐近线为（）．A、y＝0B、y＝1C、y＝2D、y＝3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题因为，所以直线y＝1为曲线的水平渐近线．参见教材P110～111．（2015年4月真题）[单选题]26、函数y＝x3－3x＋5的单调减少区间为（）．A、（－∞，－1）B、（－1，1）C、（1，＋∞）D、（－∞，＋∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】y＇＝3x2－3y＇＝0时，x＝±1．在（－∞，－1）上，y＇＞0，为增函数；在（－1，1）上，y＇＜0，为减函数；在（1，＋∞）上，y＇＞0，为增函数．因此选B．参见教材P100～101．（2015年4月真题）[单选题]27、已知函数（其中a为常数）在处取得极值，则a＝（）．A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】∵在处，取得极值点，∴参见教材P102～104。

微分中值定理及其应用习题课(整理)

微分中值定理及其应用习题课一基本定理 1）．罗尔中值定理若函数f 满足如下条件：（ⅰ）f 在闭区间[]b a ,上连续；（ⅱ）f 在开区间(),a b 内可导；（ⅲ）)()(b f a f =, 则在),(b a 内至少存在一点ξ,使得0)(='ξf注罗尔中值定理主要用于说明()0f x '=有根，关键是要找两点使这两点函数值相等．注介值定理主要用于说明()0f x =有根，关键是要找两点使这两点函数值异号．（1）证()0f x =有根()()()()()()()()1 00,f x f x g x g x g x f x g x g x ⎧⎪⎪⎪'===⎨⎪'=⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩法用介值定理（若此时易找两点使函数值异号）.法2 将转化为对用罗尔定理若很容易求出，使，且对很容易找两点使函数值相等. （2）证()0f x '=有根()1 .⎧⎪⎨⎪⎩法费马定理（易找极值点或内部最值点）,法2 罗尔定理易找两点使函数值相等（3）证根唯一的方法 1 ⎧⎨⎩法单调性,法2 反证法+罗尔定理.（4）证()()0n fx =有根，经常对()()1n f x -用罗尔定理．（5）证至少存在一点ξ，使含ξ的代数式()()()()()()(),,,,,,0n G a b f a f b f f f ξξξξ'= 成立的常用方法是构造辅助函数，然后对辅助函数用罗尔定理．2）．拉格朗日中值定理若函数f 满足如下条件：（ⅰ）f 在闭区间],[b a 上连续；（ⅱ）f 在开区间(),a b 内可导，则在（b a ,）内至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-．注看到函数增量，或隐含增量（含条件()0f a =），经常要考虑拉格朗日中值定理；看到导数有界，经常要考虑拉格朗日中值定理． 3）．柯西中值定理设函数f 和g 满足（i ）在],[b a 上都连续；(ii)在),(b a 上都可导；(iii))()(x g x f ''和不同时为零；(iv))()(b g a g ≠ 则存在),(b a ∈ξ，使得()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='-．注看到两个函数的增量，或两个函数导数之比，经常要用柯西中值定理． 4）．泰勒中值定理若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()()200000000()()()()'()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n ''=+-+-++-+- ．若函数f 在],[b a 上存在直至n 阶的连续导函数，在),(b a 内存在)1(+n 阶导函数，则对任意给定的],[,0b a x x ∈，至少存在一点),(b a ∈ξ，使得+-''+-+=200000)(!2)())((')()(x x x f x x x f x f x f 10)1(00)()()!1()()(!)(++-++-+n n n n x x n f x x n x f ξ注看到有二阶以上导数，经常要考虑泰勒中值定理．注对中值定理为了帮助读者记忆，给出以下口诀一阶有界用拉格，二阶以上想泰勒；中值等式罗拉柯，辅助函数逃不脱；函数增量想拉柯，易积结论用阿罗；多个中值多次用，把握特征心自得．二疑难解答1．极值与最值有什么区别与联系？答1）极值是一个局部概念,因为0()f x 是函数()f x 的极值,是与0x 的某邻域()0U x 上的函数值()f x 比较而言的；而最值是对整个区间而言的,是一个整体概念．2）闭区间[],a b 上的连续函数必有最值,且最大值和最小值各有一个,最大值大于最小值（常函数除外）,但可能无极值（因为极值点0x 必在区间的内部，不能是区间的端点，而最值有可能在端点取）．即使有极值,也可能不止一个,极小值也可能大于极大值．因此若()f a (是函数的最值,则()f a 不可能是极值;若0()f x （0(,)x a b ∈）是函数的最值,则一定是极值．即（最值不一定是极值，反之,极值也不一定是最值,极值一般可能很多个,但若极值只有一个,即为最值）．3）在区间内部的（非端点的）最值点是极值点，且最大值点是极大值点，最小值点是极小值点． 2．极值点与稳定点的关系，极值点可能是哪些点？答：1）由费马定理可知,可导的极值点是稳定点．2）稳定点未必是极值点．例如3()f x x =，0x =为它的稳定点（因为(0)0f '=），但由3()f x x =的图像和极值点的定义易知0x =不是3()f x x =的极值点．3）导数不存在的点也可能是函数的极值点．例如由()f x x =的图像和极值的定义易知()f x x =在0x =取得极小值，但在0x =不可导，即极值点未必是稳定点．极值点有可能是稳定点和不可导的点． 3．导函数的介值定理有什么作用？答：据此定理可以了解什么样的函数可能成为其它函数的导函数，那么不具有介值性的函数一定不能做为其它函数的导函数，如具有第一类间断点的函数．4. 罗尔定理有三个条件，缺少其中一个条件罗尔定理是否成立？如果不成立，能否说这三个条件是罗尔定理的必要条件？答罗尔定理有三个条件，缺少其中一个条件罗尔定理就可能不成立．例如函数,01,()0,1,x x f x x ≤<⎧=⎨=⎩在[0,1]上不满足罗尔中值定理的条件(1)，因为()f x 在点1x =处不连续．由于()1,(0,1)f x x '=∈，所以在开区间(0,1)内找不到使得等式()0f ξ'=成立的点ξ，如图，无水平切线(图1)；函数(),[1,1]g x x x =∈-，()g x 在[1,1]-上不满足罗尔中值定理的条件(2)，因为()g x 在点0x =处不可导．由于1,01,()1,10,x g x x <<⎧'=⎨--<<⎩所以在开区间(1,1)-内找不到使得等式()0g ξ'=成立的点ξ，如图，无水平切线(图2)．函数(),[0,1]h x x x =∈．()h x 在[0,1]上不满足罗尔中值定理的条件(3)，因为()h x 在区间端点的函数值不相等，即(0)(1)h h ≠．由于()1,(0,1)h x x '=∈，所以在开区间(0,1)内找不到使得等式()0h ξ'=成立的点ξ，如图，无水平切线(图3)．尽管如此，但是不能说这三个条件是罗尔定理的必要条件．例如，函数0,[0,1)(),[1,2]x f x x x ∈⎧=⎨∈⎩在[]0,2不连续，在()0,2不可导，()()02f f ≠，但()()0,0,1()1,1,2x f x x ∈⎧⎪'=⎨∈⎪⎩，()0,1上点都满足()0f x '=．5.为什么不将罗尔条件(i)(ii)合并为()f x 在[]b a ,上可导？答可以，但条件加强了，就排斥了许多仅满足三个条件的函数．例如函数()(3f x x =-[0,3]x ∈，xx x f 2)1(3)(-='，显然0x =时，函数不可导（x x x f )3()(-=是初等函数，xx x f 2)1(3)(-='在0x =处没有定义，则原函数在0x =不可导），即不符合加强条件；但它满足定理的三个条件，有水平切线(图)6.罗尔定理结论中的ξ值唯一吗？答不一定唯一,可能有一个,几个，甚至无限多个．例如⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0;0,1sin )(24x x xx x f 在[]1,1-上满足罗尔定理的三个条件．显然,⎪⎩⎪⎨⎧=≠-='.0,00,1cos 1sin 21sin 4)(223x x x x x x x x f 在(-1,1)内存在无限多个),,2,1(21 ±±==n n c nπ使得0)(='n c f ．7．拉格朗日公式有哪些等价表示形式？答 ①()()()(),f b f a f b a a b ξξ'-=-<<；注 001aa b a b a b aξξξ-<<⇒<-<-⇒<<-，令ab aξθ-=-，则有01θ<<，()a b a ξθ=+-，于是有②()()(())(),01f b f a f a b a b a θθ'-=+--<<；令h b a =-，则有 ③.10,)()()(<<+'=-+θθh h a f a f h a f注值得注意的是，拉格朗日公式无论对于b a <，还是b a >都成立，而ξ则是介于a 与b 之间的某一定数8．试问应用导数极限定理时，应当注意哪些问题？答：（1）在应用导数极限定理时，如果只注意)(lim 0x f x x '→存在的条件，而忽视了f 在点0x 的某邻域)(0x U 内连续，则会导致错误的结论，例如,0()1,0x x f x x ≠⎧=⎨=⎩)(x f 在)0(0u 中可导，且1)(='x f ，于是有0lim ()x f x →'，若认为)0(f '存在，且1)0(='f ，这就导致错误结论，事实上，因为)(x f 在点0处不连续，当然不可导．（2）下面是单侧导数极限定理，证明方法与导数极限定理相似．1）设f 在点0x 的右邻域0()U x +内连续，在0()U x +内可导，且极限()00lim ()0x x f x f x +→''=+存在，则f 在点0x 右可导，且 ()()000lim ()0x x f x f x f x ++→'''==+．2）设f 在点0x 的左邻域0()U x -内连续，在0()U x -内可导，且极限()00lim ()0x x f x f x -→''=-存在，则f 在点0x 左可导，且 ()()000lim ()0x x f x f x f x --→'''==-．（3）若函数f 在点0x 的某邻域)(0x U 内连续，在)(0x U内可导，极限)(lim 0x f x x '→不存在，一般不能得到()0f x '不存在的结论．例设函数()21sin ,0, 0, 0.x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 则()f x 在()0U 中连续，且在()0U内可导， ()112sin cos ,0.f x x x x x'=-≠显然()0lim x f x →'不存在，但()00f '=．此例说明：导数极限定理中的()0lim x x f x →'存在是充分条件不是必要条件．9. 若函数f 在区间I 上可导，则在区间I 上的每一点， )(x f '有第一类间断点吗？答若函数f 在区间I 上可导，则在区间I 上的每一点，要么是)(x f '的连续点,要么是)(x f '的第二类间断点,即导函数不可能有第一类间断点．0x I ∀∈，由f 在区间I 上可导，则f 在点0x 处的左右导数存在，并且相等，即()()()000f x f x f x +-'''==，由此（1）若)(x f '在点0x 处的左右极限存在，则根据导数极限定理，)(x f '在点0x 处的左右极限相等，即()()()00000f x f x f x '''+=-=，从而)(x f '在点0x 处连续；（2）若)(x f '在点0x 处的左右极限至少有一个不存在，则0x 是)(x f '的第二类间断点．10．1）()f x 在[],a b 上有定义,在(),a b 内严格递增（减）,那么()f x 在[],a b 上是否一定严格递增（减）呢？2）若f 在(),a b 上（严格）递增（减），且在点a 右连续，则f 在[b a ,）上亦为（严格）递增（减），对右端点b 可类似讨论．答： 1）不一定．例函数(),011,0x x f x x <≤⎧=⎨=⎩在[]0,1有定义，在()0,1内严格递增，但在[]0,1上不是严格递增的．2）只需证明x a >，()()f x f a >，这时存在()12,,x x a b ∈，满足12a x x x <<<，由f 在(),a b 中的（严格）递增性有()()()12f x f x f x <<，令1x a+→，由f 在点a 的右连续性，()()()()112lim x af a f x f x f x +→=≤<，于是()()f a f x <．注（1）证f 在(),a b 上严格递增的方法是证()0,(,)f x x a b '>∀∈，或()0f x '≥，(,)x a b ∀∈，而()0f x '=的点只有有限个．（2）证f 在[],a b 上严格递增，只要证f 在[],a b 上连续，在(),a b 上严格递增． 11．函数在区间I 上可微，若()0>'x f 与f 在I 上严格递增有什么关系？答函数在区间I 上可微，若()0>'x ff 在I 上严格递增．反例：()3f x x =在R 上严格递增，但()23x x f ='，()00f '=，导数可为0．注若函数f 在(),a b 内可导，则f 在(),a b 内严格递增（递减）的充要条件是：（ⅰ）对一切),(b a x ∈，有()0≥'x f （()0≤'x f ）；（ⅱ）在(),a b 内的任何子区间上()0≡'x f ．12．下面是利用拉格朗日中值定理推导柯西中值定理的方法，正确吗？由函数f 和g 在],[b a 上连续，在),(b a 上可导，满足拉格朗日中值定理的条件，对f 和g 分别用拉格朗日中值定理得()()()()()()()()()()f b a f f b f a g b g a g b a g ξξξξ''--==''--．答：不正确，错在对f 和g 分别用拉格朗日中值定理时得到的中值点不一定相同，即应该是()()()()1122()()()()()()f b a f f b f a g b g a g b a g ξξξξ''--==''--．而柯西中值定理的()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='-中两个ξ是一样的． 13．试问罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理之间有何联系？在应用时各有什么特点？答（1）罗辑推理关系：罗尔中值定理是借助费马定理经推导而得到的，在此基础上，又推得另两个中植定理，即：拉格朗日中值定理罗尔中值定理费马定理⇒⇒柯西中值定理⇒（2）由证明方法看：由罗尔中值定理推导拉格朗日中值定理是利用了辅助函数);()()()()()(a x ab a f b f a f x f x f -----=由罗尔中值定理推导柯西中值定理是应用了辅助函数))()(()()()()()()()(a g x g a g b g a f b f a f x f x F -----=反之，在柯西中值定理设x x g =)(，就得到拉格朗日中值定理；进一步更设)()(b f a f =，又得到罗尔中值定理，所以，若能首先证明柯西中值定理，则另外两个中值定理都是它的特殊情形．（3）从应用方面看：（ⅰ）罗尔中值定理除了在推导另外两个中值定理时所起的关键作用外，在讨论方程0)(='x f 的根的分布情况也有重要作用．（ⅱ）拉格朗日中值定理在利用导函数的性质讨论函数的单调性方面具有特殊的作用．函数的单调性是函数在区间上的整体性质，中值定理中的)(ξf '只是)(x f '在某点ξ的局部性质，但因中值点ξ的不明确性，故只能假设在整个区间(),a b 内≥')(x f 0，并用以推得()f x 在[],a b 上的递增性质．这里存在着整体→局部→整体的辩证关系，也就是应用拉格朗日中值定理的实质所在．（ⅲ）柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，后者是利用导数讨论函数f 的增量与自变量增量比的性质，而前者是利用导数的比来讨论两个函数f 与g 的增量比的性质．柯西定理的典型应用是讨论型不定式极限．在补充了f 与g 在点0x 处的函数值0)()(00==x g x f 之后，利用)()()()()()()()(00ξξg f x g x g x f x f x g x f ''=--=（ξ介于0x 与x 之间）使函数值之比可以用导数之比来表示，而不定式极限的基本思想就是利用导数之比的极限来替代函数值之比的极限．14．()00f x '>能说明f 在0x 的邻域上递增吗？答不能，例函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=,0,0,0,1sin 2)(2x x x x x x f()()20001sin 001112lim lim lim sin 00022x x x x x f x f x x x x x →→→+--⎛⎫==+=> ⎪--⎝⎭所以)(x f 在0=x 点可导，且(0)0f '>．当0≠x 时，x x x x f 1cos 1sin 221)(-+='，因此)(x f 在0≠x 的任何邻域内可导，但因为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛',,023,,021cos 211为奇数为偶数n n n n f ππ 且∞→n 时01→πn ，所以)(x f '在0=x 的任何邻域内总要变号，故在0=x 的任何邻域内)(x f 都不单调．15．设函数f 在],[b a 上可导．证明存在(,)a b ξ∈，使得[]()222()()()f b f a b a f ξξ'-=-．证因为要证明的结果出现两个函数的增量()()f b f a -，22b a -，因此考虑柯西中值定理．设()2g x x =，利用柯西中值定理知存在),(b a ∈ξ，使得22()()()2f b f a f b a ξξ'-=-，即存在(,)a b ξ∈，使得 []()222()()()f b f a b af ξξ'-=-．上述证法正确吗？答：不对，因为不满足柯西中值定理的条件，()2g x x '=可能为0． 16．应用洛比达法则须注意哪些问题？1)．验证计算的极限是不是不定式极限．不是不定式极限不能使用洛比达法则． 2)．除计算00型与∞∞型两种不定式极限外,计算其他五种不定式型000,1,0,∞⋅∞∞， ∞-∞都先要转化为不定型00型或∞∞型,然后再利用洛比达法则．3)．洛比达法则的条件为充分条件,若条件不满足(比如)()(lim 0x g x f x x ''→不存在（非∞型）)并不能说明)()(limx g x f x x →不存在,此时计算极限,就只能用以前所学的有关计算方法． 4)．应用洛比达法则,可能会出现)()(limx g x f x x ''→仍是不定式极限,这时只要定理的条件满足,仍可继续用洛比达法则，注意每使用完一次洛必达法则，先要将式子整理化简．5)．一般来说,应用洛比达法则计算不定式极限都比较简单,但对少数的不定式极限应用洛比达法则,并不简单,甚至很繁．6）为简化运算在每次使用洛必达法则之前进行四化． 1看到无穷小因子，等价化； 2看到无理因子，有理化； 3看到幂指函数因子()()v x u x ，对数恒等式化()()()()ln v x v x u x u x e =；4看到非零极限因子（极限不为0的因子），代入化． 7）当0x →时，极限式中含有11sin ,cos x x；当x →∞时，极限式中含有sin ,cos x x ，不可用洛必达法则．8）不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量+∈N n 是无法求导数的． 17. 试问下面的运算正确吗？如有错误，请指出错误，并且给出正确解法．（1）xx x x x x cos 11lim sin lim+=+∞→∞→分析上式等号是错误的,因为∞→x 时x cos 1+的极限不存在（振荡）不能使用洛必达法则．当x →∞时，极限式中含有sin ,cos x x ，不可用洛必达法则．解 1011sin 11limsin lim=+=+=+∞→∞→xx x x xx x ．（2）122lim 11lim lim 2222==+-=+-∞→∞→--∞→x xx x x x x xx x x ee e e e e e e 分析第一个等号是正确的，第二个等号是错误的．因为本题应考虑+∞→x 及-∞→x 两种不同的极限过程，分两种情况考虑．221lim lim 11x x x x x x x x e e e e e e ----→+∞→+∞--==++,111lim lim 22-=+-=+--∞→---∞→x x x x x x x x e e e e e e 所以当∞→x 时极限不存在．（3）设2)0(,0)0()0(=''='=g g g ， 12)0(2)(lim 2)(lim )(lim0020=''=''='=→→→g x g x x g x x g x x x分析上式第一个等号是正确的．因为当0→x 时，0,0)(2→→x x g ，所以2)(xx g 是00型未定式．又因为2)0(=''g ，在x =0的某邻域内)(x g '存在，可以用洛必达法则．第二个等号是错误的．虽然0→x时，x x g x g x 2)(,0)(,02'→'→是0未定式，但2)0(=''g ，仅代表g()x 在点x =0处二阶导数存在．而)(x g ''在x =0的邻域内是否存在没有说明，不满足洛必达法则中的条件2，故不能用洛必达法则,应该按导数定义计算．解 1)0(210)0()(lim 212)(lim )(lim0020=''=-'-'='=→→→g x g x g x x g xx g x x x ．（4）01lim )()(ln lim ln lim==''=∞→∞→∞→nn n n n n n n分析上述运算是错误的．因为n 为自然数，数列的定义域是离散点集，对自变量n 而言数列不存在导数，不能直接用洛必达法则．计算时，可先将n 扩充为连续变量x ，写出相应的函数x x ln ．当+∞→x 时，x x ln 是∞∞型未定式，可以使用洛必达法则求函数的极限，再用归结原则．显然，如果函数的极限存在，数列的极限也存在且等于函数的极限．但也需注意，如果函数的极限不存在，数列的极限可能还存在．解因01lim ln lim==+∞→+∞→x x x x x ，所以，当x 为正整数时0ln lim =+∞→n nn ．（5）求xex xx -+→10)1(lim解 1])1(1)1ln(1[)1(lim)1(lim2/1010x x x xx xex x x x x +++-+=-+→→=])1()1ln()1()1[(lim 210x x x x x x xx +++-+→=])1ln()1([lim )1(lim 20110x x x x x x xx ++-+→-→ =2211lim0e x e x -=+-→分析上述解法是正确的．这是型未定式，可应用洛必达法则；而且为了简化运算，在第二个等号的右端将函数进行了有理运算，在第三个等号右端将其中含有已知极限的因式提出来单独求极限，避免使用洛必达法则时的复杂求导运算，而仅对未定式部分使用法则，这样计算大大简化． 18．试问泰勒公式的拉格朗日型余项和佩亚诺型余项具有什么不同的特点?答：从定理的条件看,泰勒公式的佩亚诺型余项成立的条件是函数f 在点0x 存在直至n 阶导数；而拉格朗日型余项成立则要求函数f 在],[b a 上存在直至n 阶的连续导函数，在),(b a 内存在)1(+n 阶导函数；后者所需条件比前者强．从余项形式看,佩亚诺型余项))((0nx x o -是以高阶无穷小量的形式给出的,是一种定性的描述；而拉格朗日型余项是用)1(+n 阶导数形式给出的,利用这类余项对用泰勒多项式逼近函数时产生的误差可以给出定量的估计．从证明方法看,佩亚诺型余项是用洛必达法则证明的；而拉格朗日型余项是用柯西中值定理证明的．从应用方面看,佩亚诺型余项在求极限时用得较多；而拉格朗日型余项在近似计算估计误差时用得较多．在适当加强的条件下,可由拉格朗日型余项推得佩亚诺型余项的结论,即:若函数f 在点0x 的某个邻域上存在)1(+n 阶连续导函数,则由泰勒公式的拉格朗日型余项可推导出佩亚诺型余项公式．19. 若函数)(x f 在点0x 取极大值,是否可断定0x 的充分小邻域中,函数在点0x 的左侧上升；右侧下降?答：不能，⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=,0,2,0,1sin 22)(2x x x x x f 它有极大值.2)0(=f 由于 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=',0,0,0,1cos 1sin 22)(x x x x x x f 当||x 充分小且0≠x 时，)(x f '的符号决定于x 1cos 的符号，而x1cos 在00=x 的充分小的领域内，无限次改变正、负号，因此)(x f 不满足定理6．10的条件．由此可见，若)(x f 在点0x 取极大值，则在点0x 的充分小的领域内，)(x f 不一定在点0x 左侧上升，右侧下降．说明极值的第一充分条件为判定极值的充分条件而非必要条件．注极值的第二充分条件为判定极值的充分条件而非必要条件．例如 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(24x x xx x f 显然，它有极小值.0)0(=f 由于 02sin1sin 4lim )0(,01sin lim)0(2230240=-=''=='→→xx x x x f x x x f x x 因此)(x f 不满足极值的第二充分条件定理的条件．20.设)(x f 为区间I 上的连续函数,且在I 上仅有唯一的极值点.当0()f x 为极大（小）值时,为什么0()f x 必为f 的最大（小）值?答用反证法来说明.设)(x f 为区间I 上的连续函数,只有唯一极小值点0x ,而无极大值点.倘若0()f x 不是f 的最小值,则必定I x ∈∃1,使10()()f x f x <,不妨设10x x <.因为)(x f 是[]01,x x 上的连续函数,利用连续函数的最大、最小值定理,存在[]01*,x x x ∈为f 在[]01,x x 上的最大值点.现证*10x x x <<,这是因为（ⅰ）10()()f x f x <,故1*x x ≠；(ⅱ)若0*x x =,由于0x 又是f 在I 上的极小值点,而点0x 又是f 在[]01,x x 上的最大值点,因此存在领域0()U x -,在此邻域内)(x f 只能为常数,这与0x 为I 上仅有的极小值点相矛盾.于是),(01*x x x ∈,从而成为f 的极大值点,这与f 在I 上不存在极大值点的假设又相矛盾.这样点0x 必为最小值点.同理可证点0x 为极大值点而无极小值点的情形.注 I 为开、闭区间或无穷区间,结论同样成立.上述结论在最大(小)值问题中很有用处. 21. 设f 为开区间I 内的凸函数，f 在I 上可导吗？答：不一定可导,如()f x x =在0x =处不可导，但它是凸函数.注: f 为开区间I 内的凸（凹）函数，则f 在I 内任一点0x 都存在左、右导数，且f 为I 内的连续函数．22．))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点与0)(0=''x f 有什么关系？答：1）若f 在0x 二阶可导，则))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点的必要条件是0)(0=''x f ．2) 若0)(0=''x f ，则))(,(00x f x 不一定是曲线)(x f y =的拐点．例如()4f x x =，()212f x x ''=，有()00f ''=．但因为()0f x ''≥，所以函数()4f x x =在点()0,0的两侧皆为凸，从而()0,0不是()4f x x =的拐点．3）))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点，)(x f y =在0x 的导数不一定存在，例如3x y =在0=x 的情况．三重点例题 1. 已知10021n c c c n +++=+ ,证明：2012()0n n p x c c x c x c x =++++= 在()0,1上至少有一根. 分析：证()0f x =首先我们选择用介值定理，但是在很难找两点使函数值异号()0,1，此方法行不通，但此题很容易将()0f x =转化为()()0f x g x '==，22310120121110231nn n n c c x c x c x c x c x c x c x n +'⎛⎫++++=++++= ⎪+⎝⎭且对()2310121110231n n g x c x c x c x c x n +=++++=+ 很容易找两点0,1使 ()()1001021n c cg g c n ==+++=+ ，于是对()g x 用罗尔定理，即可得证.证令()2310121110231n n g x c x c x c x c x n +=++++=+ ，则()g x 在[]0,1连续，()g x 在()0,1可导，()()1001021n c cg g c n ==+++=+ ，由罗尔定理知()0,1ξ∃∈使()0g ξ'=，即()0g x '=在()0,1上有根ξ，即2012()0nn p x c c x c x c x =++++= 在()0,1上有根ξ.2．设函数)(x f 在闭区间[]0,1上的每个x 都有0()1f x <<，且()1f x '≠，证明在()0,1内有且仅有一个x ，使()f x x =．分析将要证的结论写成()0f x x -=，利用介值定理可证方程在[]0,1内至少有一个实根，是否存在第二个实根可用反证法+罗尔定理或单调性．证先证存在性，设)(,)()(x F x x f x F -=在[]0,1上的连续，由于0()1f x <<，则 ,01)1()1(,0)0()0(<-=>=f F f F由连续函数的介值定理可知，至少存在一点)1,0(1∈x ，使得0)(1=x F ，即()11f x x =．再证唯一性，用反证法：假设在()0,1内除了点1x 使11)(x x f =之外，还有一点2x 也使()22f x x =．不妨设12x x <．则()()12F x F x =，即()F x 在[]12,x x 上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在ξ使()0F ξ'=，则()1f ξ'=，与()1f x '≠矛盾，因此在()0,1内有且仅有一个x ，使()f x x =．小结证明方程只有一个实根或函数在某一区间上只有一个零点，一般需分别证存在性与唯一性．存在性的证明往往利用连续函数的介值定理或罗尔定理，而唯一性经常用反证法+罗尔定理或单调性．3. 证明：若()f x 在有限开区间(),a b 内可导，且()()lim lim x ax bf x f x +-→→=，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0f ξ'=．分析：证()0f ξ'=我们要联系罗尔定理，但是罗尔定理要求()f x 在闭区间[],a b 内连续，而本题是开区间(),a b ，怎样把开区间转化为闭区间，必须要端点延拓，即构造辅助函数()()lim (),(),,lim ().x a x b f x x a F x f x x a b f x x b +-→→=⎧⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩注：以后看到()f x 在有限开区间(),a b 内连续，且()()lim lim x ax bf x f x +-→→=，就可以端点延拓，即构造辅助函数()()lim (),(),,lim ().x a x b f x x a F x f x x a b f x x b +-→→=⎧⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩证：令()()lim (),(),,lim ().x a x b f x x a F x f x x a b f x x b +-→→=⎧⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩，则()F x 在[],a b 内连续，在(),a b 内可导，且()()()()lim lim x ax bF a f x f x F b +-→→===，于是由罗尔定理，至少存在一点(),a b ξ∈，使()0F ξ'=，而在(),a b 内有()()F x f x =，()()F x f x ''=，从而存在一点(),a b ξ∈，使()0f ξ'=．4. 设()f x 在(,)a + 可导，lim ()lim ()x x af x f x A +?®==，证明：存在c a >，使得()0f c ¢=．分析：证()0f ξ'=我们要联系罗尔定理，但是罗尔定理要求()f x 在闭区间[],a b 内连续，且罗尔定理关键是寻找两个点1x 和2x ，使得12()()f x f x =，很显然，必须借助某一个共同的值，使得对应的两点的函数值与其相等，我们知道，使数值和函数值相等的方法途径有连续函数的介值定理，因此，这个数值必须选择恰当，处在两个函数值之间，因此，必须选定一个函数值，再借助所给的极限条件来完成，证明过程就是将上述思想具体化．证：设()f x 不为常数，则存在0x ，使得0()f x A ¹．不妨设0()f x A >．（注、选定了一个函数值）任取0:()A f x m m <<，（选定介值）注意到lim ()lim ()x x af x f x A +?®== 利用极限的保序性，存在1020(,),(,)a x x x x 挝+ ，使得0()(),1,2i f f x i x m <<= 由连续函数的介值定理，存在110202(,),(,)x x x x x x 挝，使得(),1,2i f x i m ==．在12(,)x x 上用罗尔定理即可．5．设函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导，且0ab >，证明存在(,),a b ξ∈使得'1()()()()a b f f f a f b a b ξξξ=--．法1分析证存在ξ，使含ξ的代数式()()()()()()(),,,,,,0n G a b f a f b f f f ξξξξ'= 成立的常用方法是构造辅助函数，然后对辅助函数用罗尔定理．构造辅助函数方法（1）()()1()()a b af b bf a f a f b a b a b-=--，因为常数已分离，我们用k 值常数法，()()()()()()11f b f a af b bf a f b f a k k b a k a b b a b a b a --==⇒-=--- ()()()()f b f a f x k k k F x b b a a x x ⇒-=-⇒=-令，然后对()()f x kF x x x=-用罗尔定理．法2分析()()()()111()()f b f a a b af b bf a b a f a f b a b a b b a--==---可以看成两个函数增量之比，因此可以用柯西中值定理．证：设()1(),().f x F x G x x x== 由题给条件知函数(),()F x G x 在[],a b 上满足柯西中值定理条件，故存在(,)a b ξ∈使''()()()()()()F b F a FG b G a G ξξ-=-即'()()()()af b bf a f f a bξξξ-=--，即'()()()()af a a f f bf b a b ξξξ=--．6．求极限2lim (arctanarctan )1n a a n n n →∞-+，其中0a ≠为常数．解：函数增量想拉格 21arctanarctan 111a a aa n n n n ⎛⎫-=- ⎪+++⎝⎭ξ，其中ξ位于1a n +与a n之间．当n →∞时，211ξ+趋于1，所以 ()2222lim (arctanarctan )11lim 11lim 1n n n a a n n n a a n n n n aa n n →∞→∞→∞-+⎛⎫=- ⎪++⎝⎭==+ξ 7. 设()f x 为[],a b 上二阶可导函数，()()0f a f b ==,并且存在一点(,)c a b ∈使得()0f c >，证明至少存在一点(,)a b ξ∈使得''()0.f ξ<分析1 看到条件中有()()0f a f b ==，我们经常要用拉格朗日中值定理．证1：对[](),f x a c 在上应用拉格朗日中值定理，存在()1,,a c ξ∈使1()()()()()f c f c f a f c a ξ'=-=-由于1()0,()0,0,()0f a f c c a f ξ'=>->>故对[](),f x c d 在上应用拉格朗日中值定理，存在()2,c b ξ∈使2()()()()f b f c f b c ξ'-=-又2()0,()0,0,()0.f b f c b c f ξ'=>-><故因12a c b ξξ<<<<，[]12(),f x ξξ'在上可导，再据拉格朗日中值定理，存在()12,(,),a b ξξξ∈⊂使得2121()()()()f f f ξξξξξ''''-=-由此得出()0f ξ''<．分析2 看到二阶导数与0的关系，我们要联系到凹凸性．口诀一阶导数判单调，二阶导数判凹凸证2：反证法，设不存在(,)a b ξ∈使得''()0.f ξ<即设(,)x a b ∀∈都有''()0.f x ≥即()f x 凸,（显然通过图像可看出对(),c a b ∀∈，都有()0f c ≤，矛盾．）(),c a b ∀∈，()1c a b λλ=+-，由凸函数定义有()()()()()()110f c f a b f a f b λλλλ=+-≤+-=，矛盾．8．设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，求证：(1) 若0ab >，则(,)a b ξ∃∈使22[()()]2()()f b f a b a f ξξ'-=-； (2) (,)a b ξ∃∈，使22[()()]2()()f b f a b a f ξξ'-=-．证：(1)分析：当出现两个不同函数在某两点值的差，即21()()f x f x -，21()()g x g x -，或出现两个不同函数在某点ξ处的导数时考虑用柯西中值定理．由0ab >，故0ξ≠．要证结论成立，只需证明22()()()2f b f a f b a ξξ'-=-．故令2()g x x =，且()20g x x '=≠，则利用柯西中值定理知，(,)a b ξ∃∈使()()()()()()f b f a f g b g a g ξξ'-='-即22()()()2f b f a f b a ξξ'-=-；(2) 分析 []()222()()()f b f a b af ξξ'-=-[]()222()()()0f b f a b a f ξξ'---=()()()222()()0x f b f a x b a f x ξ='⎡⎤---=⎣⎦证令()[]()222()()()F x f b f a x b af x =---由函数f 在],[b a 上可导，则()F x 在],[b a 上连续，在(,)a b 上可导，又 ()[]()22222()()()()()F a f b f a a b af a af b b f a =---=-，()[]()22222()()()()()F b f b f a b b af b af b b f a =---=-，则()()F a F b =，即满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在),(b a ∈ξ，使得 []()222()()()f b f a b af ξξ'-=-．9．设函数],[)()(b a x g x f 在和上连续，且在(),a b 内可导，则在(),a b 内存在点ξ，使得()ξξf a g b g g a f b f '-='-)]()([)()]()([分析本命题比柯西中值定理少了)()(x g x f ''和不同时为零以及)()(b g a g ≠两个条件不好用柯西中值定理.由于本题是证至少存在一点ξ，使含ξ的代数式()()()()()()(),,,,,,0n G a b f a f b f f f ξξξξ'=成立的常用方法是构造辅助函数，然后对辅助函数用罗尔定理．要证()ξξf a g b g g a f b f '-='-)]()([)()]()([，而左边是函数[()()]()f b f a g x -的导数在ξ处的值，右边是函数[()()]()g b g a f x -导数在ξ处的值，于是问题转化为令()()[()()]()[()()],F x f x g b g a g x f b f a =---证()0F ξ'=．对()F x 应用罗尔中值定理证作辅助函数令)],()()[()]()()[()(a f b f x g a g b g x f x F ---= 满足，)()()()()()()()()(a f a g b f a g a g a f b g a f a F +--= )()()()(b f a g b g a f -=)()()()()()()()()(a f b g b f b g a g b f b g b f b F +--=)()()()(b f a g b g a f -=即()()F a F b =；()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，由罗尔中值定理，0)(),(='∈∃ξξF b a 使得即0)]()()[()]()()[(=-'--'a f b f g a g b g F ξξ注又若)(),(x g x f ''不同时为零，0)()(≠-a g b g ，则0)(≠'ξg （不然将导致0)(='ξf ），于是得出)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ 此即为柯西中值定理．10.设()[,](0)f x a b b a >>在上连续，在(),a b 可导，证明存在(),,a b ξη∈使得ηηξ2)()()(f a b f '+='．口诀多个中值多次用分析拉格朗日中值定理只有一个中值点，柯西中值定理中有两个相同的中值点．()2f ηη'中有两个相同的中值点，并且可以看成两个函数的导数之比()2()x x f x x ηη==''，因此右边是用柯西中值定理得到的．而左边只是一个中值点，因此是用拉格朗日中值定理得到的．证令()2g x x =，则()(),[,](0)f x g x a b b a >>在上连续，在(),a b 可导，由柯西中值定理有22()()(),2f b f a f b a ηη'-=-又由()[,](0)f x a b b a >>在上连续，在(),a b 可导，再对()f x 用拉格朗日中值定理()()()()f b f a f b a ξ'-=-于是ηηξ2)()()(f a b f '+='．类似可证存在()123,,,a b ξξξ∈使得22321222()()()()()23a ab b f b a f f ξξξξξ''+++'==． 11. 设函数)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内二阶可导,则存在),(b a ∈ξ,使得)(4)()()2(2)(''2ξf a b a f b a f b f -=++-.分析口诀二阶以上想泰勒（证不等式经常用拉格朗日型余项泰勒公式）泰勒公式是()()()()()()200002!f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-．用泰勒公式的关键是0,x x 如何取，而需证等式中出现二阶导数)(''ξf 与)(x f 在b a ,，2ba +的函数值，合理的方法是取20ba x +=，x 为a 和b ．注：题目中如果出现2()b a -，往往要令20ba x +=．证在泰勒公式()()()()()()200002!f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-中取20b a x +=，x 分别为a 和b 得'221()()(),,2222!22f a b a b b a b a a b f b f f b ξξ''++--+⎛⎫⎛⎫=++<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ '222()()(),,2222!22f a b a b a b a b a b f a f f a ξξ''++--+⎛⎫⎛⎫=++<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 把上面两式相加,得4)(2)()()()2(2)(22''1''a b f f a f b a f b f -⋅+=++-ξξ.不妨设)()(2''1''ξξf f ≤,于是有''''''''1212()()()()2f f f f ξξξξ+≤≤.在1,2ξξ⎡⎤⎣⎦上对)(''x f 应用达布定理,[]12,ξξξ∈∃使得''''''12()()()2f f f ξξξ+=,这样就证得)(4)()()2(2)(''2ξf a b a f b a f b f -=++-.12. 证下列不等式： 1）aab a b b a b -<<-ln ，其中b a <<0；2）3sin 6x x x >-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；3）x x x x sin tan >， ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx ．证1）因为x x f ln )(=在[]b a ,连续，在),(b a 内可导，所以由拉格朗日中值定理知，存在),(b a ∈ξ使得 ξab a b a b -=-=ln ln ln，因为 0a b ξ<<<，所以111b aξ<<，于是 b a b a b ab aξ---<< 从而a ab a b ba b -<<-ln ． 2）令3()sin 6x F x x x =-+，则2()cos 12x F x x '=-+，（此时()F x '的符号不易判定）()sin 0F x x x ''=-+>，（由于0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时有sin tan x x x <<）则()F x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上严格递增，于是()(0)0F x F ''>=，从而()F x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上严格递增，于是()(0)0F x F >=，即3sin 6x x x >-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．3）分析：若直接令()tan sin x x f x x x =-，则求导比较复杂，需要转化，证2sin tan x x x >⋅，⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ．。

高中数学(人教版)微分中值定理习题课课件

结 ( a, b) f (b) 0 f ( a ) f ( ) ( b a ) 论使得
拉氏定理
条 f ( x) 件满足
(1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导 (3) f(a)=f(b)
结 ( a, b) 论使得
拉氏定理
条 f ( x) 件满足
第四讲微分中值定理习题课
微分中值定理习题课
一、内容小结
二、题型练习
微分中值定理习题课
一、内容小结
二、题型练习
一、内容小结（一）中值定理（二）洛必达法则
（三）泰勒公式
（四）知识联系
一、内容小结（一）中值定理（二）洛必达法则
（三）泰勒公式
（四）知识联系
条 f ( x) 件满足
(1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导 (3) f(a)=f(b)
变形改写分析
f ( ) 2 f ( ) 0
xf ( x ) 2 f ( x )
2 f ( ) 2 f ( ) 0
x 2 f ( x ) 2 xf ( x )
( x) x2 f ( x)
验证
(0) (1) 0
例3
分析
若f(x)可导，证明在f(x)的两个零点之间一定有
g ( x ) 0 证明 (a, b) 使得
f ( ) f ( ) f ( a ) g ( ) g ( b ) g ( )
分析变形改写分析验证
f ( ) g(b) g( ) g ( ) f ( ) f ( a ) 0 f ( x ) g(b) g( x ) g ( x ) f ( x ) f (a )

微分中值定理习题课

微分中值定理习题课第三微分中值定理习题课教学目的通过对所学知识的归纳总结及典型题的分析讲解，使学生对所学的知识有一个更深刻的理解和认识.教学重点对知识的归纳总结. 教学难点典型题的剖析. 教学过程一、知识要点回顾1.费马引理.2?微分中值定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理.3.微分中值定理的本质是：如果连续曲线弧A B 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，则这段弧上至少有一点C ,使曲线在点C 处的切线平行于弦 AB.4?罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值的条件是充分的，但不是必要的?即当条件满足时，结论一定成立；而当条件不满足时，结论有可能成立，有可能不成立. 如，函数2豪f X x ,0 x 1,0 , x 1在01上不满足罗尔定理的第一个条件，并且定理的结论对其也是不成立的?而函数1 X 2, 1 X 1, 1, X 1在 1,1上不满足罗尔定理的第一和第三个条件，但是定理的结论对其却是成立的.5. 泰勒中值定理和麦克劳林公式.6. 常用函数e x 、sinx 、cosx 、ln (1 x)、(1 x)的麦克劳林公式.7?罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理间的关系.0 _8.0、、0 、、00、1、型未定式.9. 洛必达法则.0 _10.0 、00、1、 0型未定式向0或型未定式的转化.二、练习1.下面的柯西中值定理的证明方法对吗？错在什么地方?由于f X、F X在a,b上都满足拉格朗日中值定理的条件，故存在点a，b,使得f b fa f b a1F b F a F b a .2 又对任一x a,b , F (x) 0，所以上述两式相除即得f b fa f ___F b Fa F答上述证明方法是错误的?因为对于两个不同的函数 f x和F x，拉格朗日中值定理公式中的未必相同?也就是说在a，b内不一定存在同一个，使得1式和2式同时成立.12 — 3例如，对于f x X，在0,1上使拉格朗日中值定理成立的2 ；对F x x ,V3在01上使拉格朗日中值定理成立的3，两者不等.2 2?设函数y f x在区间Q1上存在二阶导数，且f°f1 0,F x xf x.试证明在0,1内至少存在一点，使F 0.还至少存在一点，使F ( ) 0分析单纯从所要证明的结果来看，首先应想到用罗尔定理.由题设知，F 0 F 1 0，且Fx在01上满足罗尔定理的前两个条件，故在Q1内至少存在一点，使F 0?至于后一问，首先得求出F x，然后再考虑问题.2Fx 2xfx xfx，且F° °?这样根据题设，我们只要在Q 上对函数F X再应用一次罗尔定理，即可得到所要的结论.证由于y f(x)在Q1上存在二阶导数，且F °定理的条件，故在0,1内至少存在一点，使F 由于2F x 2xf x xfx且F0 0, Fx在0，上满足罗尔定理的条件，故在F 1, F x在0,1上满足罗尔0，内至少存在一点，使在这个问题中F x 的原函数求起来很容易,证引入辅助函数由于°，°」，所以0,13.设ai,a2丄，an 为满足方程13a22n 1的实数，试证明方程a cosx a 2 cos3x La n cos 2n 1 x 00,:在 2内至少有一个实根.分析证明一个方程在某个区间内至少有一个实根的问题, 来看主要有两种方法，一种是用零点定理，另一种是用罗尔定理就同学们目前所掌握的知识 .要用零点定理，函数f x a 1 cosx a 2 cos3x ... a n cos 2n 1 x0,—f 0 f -需要满足在2上连续，且20 f -但 2，因此这种方法并不能直接应用?换一种方法，就应考虑罗尔定理，而要用罗尔定理解决上述问题，就得设F x a 1 cosx a 2 cos3xa n cos 2n 1 x并将F x 的原函数F x 求出来，然后对原函数x应用罗尔定理.求出F x后，根据题设条件，对电 sin3x L3勾 sin 2n 1 x 2n 1，2上应用罗尔定理即可得到所要的结论.a 1 sin x ■^sin 3x3a n2n 1sin 2n 1 x 因为F，2上连续，，2a 11 3a21a n2n 1，所以由罗尔定理知,匚 2内至少存在一一点，使得F，即a 1 cos a 2 cos3 L a n cos 2n于是方程a 1 cosxa 2 cos3x L a n cos 2n 1 x 0 在0，2内至少有一个实根.4?设函数f x 在2,2上可导，且f 2 °, f 0 2, f 2.试证明曲线弧C :x 2x2F x 在 2,2上满足罗尔定理的前两个条件没问题，只是由题设我们还不能直接得到FX 所满足的是罗尔定理的第三个条件但是我们注意F (x)在 2,2上连续，而F 21,F ° 2,F 21且 1介于- ■1和2之间.因此由介值定理知，在°,2 内必存在一点，使得 F1 . 这样在 2, 上对F x 应用罗尔定理即可证得所要的结果F xf xx证引入辅助函数2 . F x 在［0,2］上连续，且F(°)2,F(2)1.由介值定理知,在°，2内比存在一点，使得F 1 ?又F 2 且F x 在2，上满足罗尔定理的前两个条件，故在(2,)内必存在一点，使得F ° ,即f-2 .由于2，，所以2,2.5.设f x 在a ，b 上可导，f a f b ,试证明在a ，b 内必存在一点，使得f a f f .象上述这种含有中值的等式，一般应考虑用微分中值定理去证明.方法一用罗尔定理证分析要用罗尔定理证明一个含有中值的等式，第一步要将等式通过移项的方法化为右端仅为零的等式，即f f f a °.第二步将等式左端中的都换为x ,并设上至少有一点处的切线平行于直线x 2y 1 0分析由于直线x2y 1°的斜率为2,所以上述命题的本质是要证明在2,2内存在一点，使得由于F x2，因此若设f x -2，则要证上述命题，只须证明在2,2内存在一点，使得F °即可?这是个用罗尔定理解决的问题.。

微分中值定理及其应用习题课

习题课微分中值定理及其应用
一、微分中值定理二、应用
一、微分中值定理
1. 微分中值定理及其相互关系
罗尔定理
f (a) f (b) 拉格朗日中值定理
f ( ) 0
y F (x)y fx(x) f (a) f (b)
柯o 西a 中值b定x理
f ( ) f (b) f (a)
ba
F(x) x
3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ; 相关变化率; 证明不等式 ; 研究方程实根等.
例8. 证明
在
上单调增加.
例9. 设在
上可导, 且
证明 f ( x ) 至多只有一个零点 ,
其它不变时, 如何设辅助函数?
(x) ex f (x)
(B) f (x) 取得极大值 ; (C) f (x) 取得极小值;
(D) f (x)的导数不存在.
提示: 利用极限的保号性 .
2. 设 f (x) 在 x 0 的某邻域内连续, 且 f (0) 0,
lim f (x) 2, 则在点 x 0 处 f (x) ( D ).
x01 cos x
(A) 不可导 ;
(B) 可导, 且 f (0) 0;
(C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 .
提示: 利用极限的保号性 .
3. 设 y f (x) 是方程 y 2 y 4 y 0 的一个解,
A 若 f (x0) 0, 且 f (x0) 0, 则 f (x) 在 x0 ( )
(A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 .
f (1) 0 f (1) 0 f (1) 2 0
y (x2 1) ln x (x 1)2

3微分中值定理与导数的应用习题解答

第三章微分中值定理与导数的应用答案§3.1 微分中值定理1．填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是ππ-4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2．选择题（１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）．A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件（２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）．A . xe xf =)( B. ||)(x x f = C. 21)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξD ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ3．证明恒等式：)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．证明：令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='xx x f ，所以)(x f 为一常数．设c x f =)(，又因为(1)2f π=，故 )(2c o t a r c t an ∞<<-∞=+x x arc x π．4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x <<3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ，使0)(1='ξf ．同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ．又)(x f '在],[21ξξ上符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5．证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根．证明：设621)(32x x x x f +++=，则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ，使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根．6．设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<><b f c f a f ，其中c 是介于b a ,之间的一个实数．证明：存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.证明：由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ．同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ，使0)(='ξf 成立．7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使()2[(1)(0)].f f f ξξ'=- 证明：只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明.8．证明下列不等式（１）当π<<x 0时，x xxcos sin >．证明：设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此，当π<<x 0时，x xxcos sin >．（２）当 0>>b a 时，bba b a a b a -<<-ln ．证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有'()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<< 因为'1()f x x=，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a b ξ<<，从而bba b a a b a -<<-ln ．§3.1 洛毕达法则1．填空题（１） =→xxx 3cos 5cos lim2π35-（２）=++∞→xx x arctan )11ln(lim0 （３）)tan 11(lim 20x x x x -→=31（４）0lim(sin )xx x +→=1２．选择题（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ） A ． ==∞→∞→nn n n n en ln limlim 11lim=∞→nn eB ． =-+→x x x x x sin sin lim0 ∞=-+→xxx cos 1cos 1lim 0C ． xx x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim sin 1sin lim020-=→→不存在 D ． x x e x 0lim →=11lim 0=→x x e（２）在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A ． x x x sin lim 20→B ． x x x tan 0)1(lim +→C ． x x x x sin lim +∞→D ． x nx e x +∞→lim3．求下列极限（１）nn mm a x a x a x --→lim ．解： n n m m a x a x a x --→lim =nm n m a x a nm nx mx ---→=11lim．（２）20222lim x x x x -+-→．解： 20222lim xx x x -+-→=x x x x 22ln 22ln 2lim 0-→-=2)2(ln 2)2(ln 2lim 220x x x -→+=2)2(ln ．（３）30tan sin limxxx x -→ ．解：30tan sin lim x x x x -→＝32030)21(lim )1(cos tan lim x x x x x x x x -⋅=-→→＝21-．（４） 20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→．解：20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→＝201sin lim xx e x x --→＝212sin lim 2cos lim 00=+=-→→x e x x e x x x x ．（５）x x x x xx ln 1lim 1+--→．解： )ln 1()(x x x xx +='， x x x x xx ln 1lim1+--→＝xx x xx 11)ln 1(1lim 1+-+-→＝22111)ln 1(limx x x x x xx x --+-→2])ln 1([lim 1221=++=++→x x x x x x ．（６） )111(lim 0--→x x e x ．解：2121lim )1(1lim )111(lim 22000==---=--→→→xx e x x e e x x x xx x x（７） xx xtan 0)1(lim +→ ．解：1)1(lim 202000sin limcsc 1lim cot ln limln tan lim tan 0=====+→+→+→+→+----→x xx x xxxx x x x x x x eeeex．（８）)31ln()21ln(lim xxx +++∞→．解： )31ln()21ln(lim x x x +++∞→=2ln 23ln(12)12lim ln(12)3lim 3lim1x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+++== =xxx 212lim 2ln 3++∞→=2ln 3．（９） n n n ∞→l i m ．解：因为1lim1limln 1lim===∞→∞→∞→xxxxx x x eex ，所以nn n ∞→lim=1．§3.3 泰勒公式１．按1-x 的幂展开多项式43)(24++=x x x f ．解： 10)1(,64)(3='+='f x x x f ，同理得24)1(,24)1(,18)1()4(=='''=''f f f ，且0)()5(=x f ．由泰勒公式得：43)(24++=x x x f =432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+x x x x ．2．求函数xe x xf 2)(=的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式．解：因为)(!!2!112n nxx o n x x x e +++++= ，所以xe x xf 2)(==2222[1()]1!2!(2)!n n x x x x o x n --+++++-=)()!2(!2!1432n n x o n x x x x +-++++ ．3．求一个二次多项式)(x p ，使得)()(22x x p x ο+=．解：设xx f 2)(=，则2ln 2)(x x f ='，2)2(ln 2)(x x f =''． 2)2(ln )0(,2ln )0(,1)0(=''='=f f f ，故 )(!2)2(ln !12ln 12222x x x xο+++=，则 222)2(ln 2ln 1)(x x x p ++=为所求． 4．利用泰勒公式求极限)]11ln([lim 2xx x x +-∞→．解：因为 ))1((3)1(2)1(1)11ln(332xo x x x x ++-=+，所以 )11ln(2x x x +-=)])1((3)1(2)1(1[3322x o x x x x x ++--=)1(3121x o x +-，故 21)]1(3121[lim )]11ln([lim 2=+-=+-∞→∞→x o x x x x x x ．5．设)(x f 有三阶导数,且0)1(,0)(lim 2==→f x x f x ,证明在)1,0(内存在一点ξ,使0)(='''ξf ．证明：因为 0)(lim20=→x x f x ，所以0)0(,0)0(,0)0(=''='=f f f ．由麦克劳林公式得：332!3)(!3)(!2)0()0()0()(x f x f x f x f f x f ξξ'''='''+''+'+= （ξ介于0与x 之间），因此 !3)()1(ξf f '''=，由于0)1(=f ，故0)(='''ξf ．§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性1．填空题（１）函数)ln(422x x y -=的单调增加区间是),21()0,21(+∞-，单调减少区间)21,0()21,( --∞．（２）若函数)(x f 二阶导数存在，且0)0(,0)(=>''f x f ，则xx f x F )()(=在+∞<<x 0上是单调增加．（３）函数12+=ax y 在),0(∞+内单调增加，则a 0>．（４）若点（1，3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a 23-，=b 29，曲线的凹区间为)1,(-∞，凸区间为),1(∞．2．单项选择题（１）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数. A . xy -=2),(∞+-∞ B . xy e = )0,(-∞C . x y ln = ),0(∞+D . x y sin = ),0(π（２）设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,21(内（ B ）． A . )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的 B. )(x f y = 单调减少，曲线)(x f y =为凹的 C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的Ｄ．)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的（３）)(x f 在),(+∞-∞内可导, 且21,x x ∀,当 21x x >时, )()(21x f x f >,则( D ) A. 任意0)(,>'x f x B. 任意0)(,≤-'x f x C. )(x f -单调增 D. )(x f --单调增（４）设函数)(x f 在]1,0[上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ） A. )0()1()0()1(f f f f ->'>' B. )0()0()1()1(f f f f '>->' C. )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 2．求下列函数的单调区间（１）1--=x e y x．解：1-='x e y ，当0>x 时，0>'y ,所以函数在区间),0[+∞为单调增加；当0<x 时，0<'y ，所以函数在区间]0,(-∞为单调减少．（２）(2y x =-解：)1(31031-='-x x y ，当1>x ，或0<x 时，0>'y ,所以函数在区间),1[]0,(+∞-∞ 为单调增加；当01x <<时，0<'y ，所以函数在区间]1,0[为单调减少．（３）)1ln(2x x y ++=解： 011111222>+=++++='xxx x x y ，故函数在),(+∞-∞单调增加．3．证明下列不等式（１）证明：对任意实数a 和b , 成立不等式||1||||1||||1||b b a a b a b a +++≤+++．证明：令xxx f +=1)(，则0)1(1)(2>+='x x f ， )(x f 在) , 0 [∞+内单调增加. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++（２）当1>x 时, 1)1(2ln +->x x x ．证明：设)1(2ln )1()(--+=x x x x f ， 11ln )('-+=xx x f ，由于当1x >时，211()0f x x x''=->, 因此)(x f '在),1[+∞单调递增, 当 1x >时, 0)1()(='>'f x f , 故)(x f 在),1[+∞单调递增, 当 1>x 时, 有0)1()(=>f x f .故当1>x 时,0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f ,因此1)1(2ln +->x x x ．（３）当 0>x 时，6sin 3x x x ->．证明：设6sin )(3x x x x f +-=, 021cos )(2=+-='x x x f ，当0>x ，()sin 0f x x x ''=->，所以)(x f '在),0[+∞单调递增, 当 0>x 时, 0)0()(='>'f x f , 故)(x f 在),0[+∞单调递增, 从而当 0>x 时, 有0)0()(=>f x f . 因此当 0>x 时，6sin 3x x x ->．4．讨论方程k x x =-sin 2π(其中k 为常数)在)2,0(π内有几个实根．解：设()sin ,2x x x k πϕ=-- 则()x ϕ在]2,0[π连续, 且k k -=-=)2(,)0(πϕϕ，由()1cos 02x x πϕ'=-=，得2arccos x π=为)2,0(π内的唯一驻点．()x ϕ在2[0,arccos ]π上单调减少，在2[arccos ,]2ππ上单调增加．故k ---=242arccos )2(arccos 2πππϕ为极小值，因此)(x ϕ在]2,0[π的最大值是k -,最小值是k ---242arccos 2ππ．（１）当,0≥k 或242arccos 2--<ππk 时,方程在)2,0(π内无实根；（２）当0242arccos2<<--k ππ时,有两个实根；（３）当242arccos2--=ππk 时，有唯一实根．5．试确定曲线d cx bx ax y +++=23中的a 、b 、c 、d ，使得2-=x 处曲线有水平切线，)10,1(-为拐点，且点)44,2(-在曲线上．解： c bx ax y ++='232,b ax y 26+=''，所以2323(2)2(2)062010(2)(2)(2)44a b c a b a b c d a b c d ⎧-+-+=⎪+=⎪⎨+++=-⎪⎪-+-+-+=⎩ 解得： 16,24,3,1=-=-==d c b a ．6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间（１）12-+=x xx y 解： 222)1(11-+-='x x y , 323)1(62-+=''x xx y ,令0=''y ,得0=x ，当1x =±时y ''不存在．当01<<-x 或1>x 时, 0>''y ,当1-<x 或10<<x 时, 0<''y ．故曲线12-+=x xx y 在)1,0()1,( --∞上是凸的, 在区间和),1()0,1(+∞- 上是凹的，曲线的拐点为)0,0(．（２）32)52(x x y -=拐点及凹或凸的区间解：y '=，y ''=．当0=x 时，y y ''',不存在；当21-=x 时，0=''y ．故曲线在)21,(--∞上是凸的, 在),21(+∞-上是凹的，)23,21(3--是曲线的拐点,7．利用凹凸性证明: 当π<<x 0时, πxx >2sin 证明：令πx x x f -=2sin )(, 则π12cos 21)(-='x x f , 2sin 41)(xx f -=''．当π<<x 0时, 0)(<''x f , 故函数πxx x f -=2sin )(的图形在),0(π上是凸的, 从而曲线)(x f y =在线段AB （其中)(,()),0(,0(ππf B f A ）的上方，又0)()0(==πf f , 因此0)(>x f ,即πx x >2sin ．§3.5 函数的极值与最大值最小值1．填空题（１）函数xx y 2=取极小值的点是1ln 2x =-．（２）函数31232)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为322)21(=f ，最小值为(0)1f =- ．2．选择题（１）设)(x f 在),(+∞-∞内有二阶导数，0)(0='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则)(0x f 必是)(x f 的最大值？（ C ）A ． 0x x =是)(x f 的唯一驻点B ． 0x x =是)(x f 的极大值点C ． )(x f ''在),(+∞-∞内恒为负D ． )(x f ''不为零（２）已知)(x f 对任意)(x f y =满足xex f x x f x --='+''1)]([3)(2，若00()0 (0)f x x '=≠，则（ B ）A. )(0x f 为)(x f 的极大值B. )(0x f 为)(x f 的极小值C. ))(,00x f x （为拐点D. )(0x f 不是极值点, ))(,00x f x （不是拐点（３）若)(x f 在0x 至少二阶可导, 且1)()()(lim 2000-=--→x x x f x f x x ,则函数)(x f 在0x 处( Ａ )A ．取得极大值B ．取得极小值C ．无极值D ．不一定有极值3．求下列函数的极值（１） ()3/223x x x f -=．解：由13()10f x x-'=-=，得1=x ．4''31(),(1)03f x x f -''=>，所以函数在1=x 点取得极小值．（２）xx x f 1)(=．解：定义域为),0(+∞，11ln 21, (1ln )x xxy ey xx x '==-，令0y '=得驻点x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，当(,)x e ∈+∞时，0y '<．因此ee e y 1)(=为极大值．4．求14123223+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值．解：(3)23, (4)132y y -==．由266120y x x '=+-=，得1=x , 2-=x ．而34)2(,7)1(=-=y y , 所以最大值为132，最小值为7．5．在半径为R 的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积V 最大．解：设圆锥体的高为h , 底半径为r ,故圆锥体的体积为h r V 2 31π=，由于222)(R r R h =+-，因此)2( 31)(2h Rh h h V -=π )20(R h <<，由0)34( 31)(2=-='h Rh h V π，得34R h =，此时R r 322=．由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在)2,0(R 的内部取得. 现在0)(='h V 在)2,0(R 内只有一个根,故当34Rh =, R r 322=时, 内接锥体体积的最大．6. 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km , A 点到火车站B 的距离为100km . 欲修一条从工厂到铁路的公路CD , 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？解: 设AD x =, B 与C 间的运费为y , 则 )100(340052x k x k y -++= （1000≤≤x ），其中k 是某一正数．由 0)34005(2=-+='xx k y , 得15=x .由于k y x 400|0==, k y x 380|15==, 2100511500|+==x y , 其中以k y x 380|15==为最小, 因此当AD =15=x km 时, 总运费为最省．7．宽为b 的运河垂直地流向宽为a 的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少?解：问题转化为求过点C 的线段AB 的最大值. 设木料的长度为l , y CB x AC ==,，木料与河岸的夹角为t ，则l y x =+，且t by t a x sin ,cos ==, t b t a l sin cos += )2,0(π∈t ．则ttb t t a l 22sin cos cos sin -='，由0='l 得3tan abt =, 此时233232)(b a l +=，故木料最长为233232)(b a l +=．§3.6 函数图形的描绘１．求23)1(+=x x y 的渐近线.解：由 -∞=+-→231)1(limx x x ，所以1x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线．因为 2)1(lim )(lim ,1)1(limlim 2322-=-+=-=+=∞→∞→∞→∞→x x x x y x x x y x x x x 所以2-=x y 为曲线)(x f y =的斜渐近线．2．作函数23)1(22--=x x y 的图形。

中值定理习题

第五章中值定理习题课一、主要内容1、中值定理从极值点处的导数性质出发，依次得到Fermat定理、Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理，应该准确掌握各个定理的内容，掌握定理证明的思想，掌握定理的几何意义，熟练掌握定理的应用。

2、Taylor公式从微分的定义或中值定理出发，从近似计算的角度，得到了函数的高阶展开式，掌握常用的函数的Taylor公式，熟练掌握各种Taylor展开式的计算方法，掌握利用Taylor展开式计算极限的技巧。

注、从定理的结论形式上看，中值定理和Taylor公式都能建立函数和导数的关系，但是，二者在使用中是有差别的。

中值定理只是建立了相差一阶导数的相邻函数的关系式，而且结论形式中，原函数的点可以是任意的（涉及到两个原函数的点(),()f a f b，这两个点都可以是任意的），涉及到导数的点不具备任意性，它依赖于原函数中取定的两个点，因此，通常用于利用导函数的性质，研究原函数的性质，当然，若对相应的导函数用中值定理，可以用高阶导数的性质研究低一阶的导函数的性质；而Taylor公式中，展开点是可以任意选取的，因而，可以用于研究所涉及到的中间各阶导数的性质，特别是用两头控制中间的中间导数估计的问题。

3、L’Hospital法则这是极限计算中一个非常重要的法则，也是一个非常高级的法则，利用这一法则，使得一类非常重要，也非常复杂的极限的计算变得非常简单，因此，必须掌握法则的灵活的应用。

4、应用利用上述理论，解决函数研究中的如零点问题、介值问题、中值问题、极值问题、最值问题、导数估计、单调性问题、凸性问题、不等式问题、函数展开、极限计算等各种关键而又重要的问题。

二、典型例题1、零点问题（介值问题、中值问题）这里主要指涉及到导函数的零点问题，因而，处理的基本工具就是Fermat定理、Rolle定理和中值定理。

但是，特别要注意的是，几个定理的根本的出发点就是极值点处的导数性质，这是处理这类问题的基本思想，因此，在涉及到这类问题时，最简便的手段是直接利用相应的定理，但是当定理不能直接应用时，就要考虑最基本的思想了。

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