苏教科版初中数学八年级下册13 完美正方形
新苏科版八年级数学下册第9章矩形、菱形、正方形2题及答案.docx
（新课标）苏科版八年级下册矩形、菱形、正方形(2)1．下列说法中，正确的是( )A．有1个角是直角的四边形是矩形B．2条对角线相等的四边形是矩形．C．2条对角线互相垂直的四边形是矩形 D．有3个角是直角的四边形是矩形2．下列关于矩形的说法中正确的是( )A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分3．如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可判断了．(1)当AC_______（填“等于”或“不等于”）BD时，门框符合要求；(2)这种做法的根据是___________________________________．4．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝D C．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是_______（填上你认为正确的一个答案即可）．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE 是平行四边形，则四边形ADCE的形状是_______．6．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．(1)四边形EFGH是矩形吗？请证明你的结论；(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2 cm，求矩形ABCD的面积．7．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是( )A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB ⊥BD8．下列说法正确的是( )A．两个角为直角的四边形是矩形B．有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形C．一组对边平行，一个角是直角的四边形是矩形D．两条对角线垂直且相等的四边形是矩形9．□ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是( )A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC ⊥BC10．如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC＝BD．②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明□ABCD是矩形的有_______（填写序号）．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE、BF．当∠ACB为_______度时，四边形ABFE为矩形．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E．求证：四边形ADCE为矩形．13．如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．(1)求证：△ABF≌△ECF．(2)若∠AFC＝2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．参考答案1．D 2．D 3．(1)等于(2)对角线相等的平行四边形是矩形4．∠A＝90°5．矩形6．(1)四边形EFGH是矩形．(2)16(cm2)7．B 8．B 9．A 10．①④11．60 12．略13．略。
苏教版八年级下册数学(含答案)
苏教版八年级下册数学 题号 一 二 三 总分 得分一、选择题(本大题共20小题，共60.0分)1.要使二次根式√2x −4在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A.x ＞2B.x ≥2C.x ＜2D.x =22.把√452√20化成最简二次根式的结果是（ ） A.32 B.34 C.√52D.2√5 3.下列二次根式中，与√a 是同类二次根式的是（ ）A.√3aB.√2a 2C.√a 3D.√a 44.下列各式计算正确的是（ ）A.√5+√2=√7B.5√6-3√3=2√3C.（√8+√50）÷2=√4+√25=7D.3√3+√27=6√35.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米6.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若（a +b ）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A.3B.4C.5D.67.如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔60nmile 的A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处，这时，B 处与灯塔P 的距离为（ ）A.60√3nmileB.60√2nmileC.30√3nmileD.30√2nmile8.如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为（ ）A.（1，1）B.（√3，1）C.（√3，√3）D.（1，√3）9.下列几组数中，为勾股数的是（ ） A.3、4、6 B.13、14、15C.7、24、25 D.0.9、1.2、1.610.若直角三角形的三边长为偶数，则这三边的边长可能是（ ）A.3，4，5B.6，8，10C.7，24，29D.8，12，2011.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角的度数之比为1：2：3B.三内角的度数之比为3：4：5C.三边长之比为3：4：5D.三边长的平方之比为1：2：312.在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线把BC 边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD 周长是（ ）A.22B.20C.22或20D.1813.在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图．该图中，四边形ABCD是矩形，E 是BA 延长线上一点，F 是CE 上一点，∠ACF=∠AFC ，∠FAE=∠FEA ．若∠ACB=21°，则∠ECD 的度数是（ ）A.7°B.21°C.23°D.24°14.已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A.∠BAC=∠DCAB.∠BAC=∠DACC.∠BAC=∠ABDD.∠BAC=∠ADB15.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABC的周长是（）A.14B.16C.18D.2016.均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为折线），这个容器的形状可以是（）A. B. C. D.17.已知点A（-1，1），B（1，1），C（2，4）在同一个函数图象上，这个函数图象可能是（）A. B. C. D.18.下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：甲乙丙丁平均数（环）9.149.159.149.15方差 6.6 6.8 6.7 6.6根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（）A.甲B.乙C.丙D.丁19.“莲城读书月”活动结束后，对八年级（三）班45人所阅读书籍数量情况的统计结果如下表所示：阅读数量1本2本3本3本以上人数（人）1018134根据统计结果，阅读2本书籍的人数最多，这个数据2是（）A.平均数B.中位数C.众数D.方差20.关于2、6、1、10、6的这组数据，下列说法正确的是（）A.这组数据的众数是6B.这组数据的中位数是1C.这组数据的平均数是6D.这组数据的方差是10二、填空题(本大题共11小题，共33.0分)21.把m√−1m根号外的因式移到根号内，结果为______ ．22.能使得√(3−a)(a+1)=√3−a•√a+1成立的所有整数a的和是______ ．23.在△ABC中BC=2，AB=2√3，AC=b，且关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为______ ．24.如图，已知△ABC三条边AC=20cm，BC=15cm，AB=25cm，CD⊥AB，则CD=______ cm．25.如图，在矩形ABCD中，AB=√2，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是______ ．26.如图，在正方形ABCD中，AD=2√3，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为______ ．27.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是______ ．28.等腰三角形的周长为16cm，底边长为xcm，腰长为ycm，则x与y之间的关系式为______ ．29.已知函数y=2x2a+b+a+2b是正比例函数，则a= ______ ．30.记实数x1，x2中的最小值为min{x1，x2}，例如min{0，-1}=-1，当x取任意实数时，则min{-x2+4，3x}的最大值为______ ．31.当k= ______ 时，函数y=（k+3）x k2−8-5是关于x的一次函数．三、解答题(本大题共9小题，共72.0分)32.计算：-12017-丨1-√33tan60°丨+√(−2)2×（12）-2+（2017-π）0．33.已知：x2+y2-10x+2y+26=0，求（√x+y）（√x-y）的值．34.在R t△ABC中，a为直角边，c为斜边，且满足√c−5+2√10−2c=a-4，求这个三角形的周长和面积．35.已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=7，ab=12，c=5，试判定△ABC的形状．36.如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．（1）求证：△AGE≌△BGF；（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．37.矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H 两点．求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）EG=FH．38.如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．39.如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．40.如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2．（1）若DG=6，求AE的长；（2）若DG=2，求证：四边形EFGH是正方形．苏教版八年级下册数学答案和解析【答案】1.B2.B3.C4.D5.C6.C7.B8.D9.C 10.B 11.B 12.C 13.C 14.C 15.C 16.D17.B 18.D 19.C 20.A21.-√−m 22.5 23.2 24.12 25.√2 26.6√3-10 27.①③④ 28.y =8-12x （0＜x ＜8） 29.23 30.3 31.332.解：原式=-1-|1-√33×√3|+2×4+1 =-1-0+8+1 =8．33.解：∵x 2+y 2-10x +2y +26=0，∴（x -5）2+（y +1）2=0，∴x =5，y =-1，∴（√x +y ）（√x -y ）=x -y 2=5-（-1）2．=4．34.解：∵√c −5+2√10−2c =a -4，∴c -5=0，解得c =5，∴a -4=0，解得a =4，∵在R t △ABC 中，a 为直角边，c 为斜边，∴b =√c 2−a 2=3，∴这个三角形的周长是5+4+3=12，面积是4×3÷2=6．35.解：a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =25，c 2=25，∴a 2+b 2=c 2，∴△ABC 是直角三角形．36.（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠AEG=∠BFG ，∵EF 垂直平分AB ，∴AG=BG ，在△AGEH 和△BGF 中，{∠AEG =∠BFG ∠AGE =∠BGF AG =BG，∴△AGE ≌△BGF （AAS ）；（2）解：四边形AFBE 是菱形，理由如下：∵△AGE ≌△BGF ，∴AE=BF ，∵AD ∥BC ，∴四边形AFBE 是平行四边形，又∵EF ⊥AB ，∴四边形AFBE 是菱形．37.解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴AE=12AD ，CF=12BC ，∴AE=CF ，∴四边形AFCE 是平行四边形；（2）∵四边形AFCE 是平行四边形，∴CE ∥AF ，∴∠DGE=∠AHD=∠BHF ，∵AB ∥CD ，∴∠EDG=∠FBH ，在△DEG 和△BFH 中 {∠DGE =∠BHF∠EDG =∠FBH DE =BF，∴△DEG ≌△BFH （AAS ），∴EG=FH ．38.证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC 、AD ∥BC ，∴∠ABD=∠CDB ，∵BE 平分∠ABD 、DF 平分∠BDC ，∴∠EBD=12∠ABD ，∠FDB=12∠BDC ，∴∠EBD=∠FDB ，∴BE ∥DF ，又∵AD ∥BC ，∴四边形BEDF 是平行四边形；（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF 是菱形，∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，∴∠EDB=90°-∠ABD=30°，∴∠EDB=∠EBD=30°，∴EB=ED ，又∵四边形BEDF 是平行四边形，∴四边形BEDF 是菱形．39.（1）证明：∵AD=2BC ，E 为AD 的中点，∴DE=BC ，∵AD ∥BC ，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD=90°，AE=DE，∴BE=DE，∴四边形BCDE是菱形．（2）解：连接AC．∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，∴AB=BC=1，∵AD=2BC=2，，∴sin∠ADB=12∴∠ADB=30°，∴∠DAC=30°，∠ADC=60°，在R t△ACD中，∵AD=2，∴CD=1，AC=√3．40.（1）解：∵AD=6，AH=2∴DH=AD-AH=4∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠D=90°∴在R t△DHG中，HG2=DH2+DG2在R t△AEH中，HE2=AH2+AE2∵四边形EFGH是菱形∴HG=HE∴DH2+DG2=AH2+AE2即42+62=22+AE2∴AE=√48=4√3；（2）证明：∵AH=2，DG=2，∴AH=DG，∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE，HG=EH在R t△DHG和R t△AEH中，{，DG=AH∴R t△DHG≌R t△AEH（HL），∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHE=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．【解析】1. 解：∵二次根式√2x−4在实数范围内有意义，∴2x-4≥0，解得：x≥2，则实数x的取值范围是：x≥2．故选：B．直接利用二次根式的概念．形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案．此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．2. 解：原式=12×√4520=12×√94=34， 故选：B ．根据同底数幂的除法，可得答案．本题考查了最简二次根式，利用二次根式的除法、二次根式的性质是解题关键．3. 解：A 、√3a 与√a 不是同类二次根式；B 、√2a 2=√2a 与√a 不是同类二次根式；C 、√a 3=a √a 与√a 是同类二次根式；D 、√a 4=a 2与√a 不是同类二次根式；故选：C ．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．本题考查的是同类二次根式的概念，判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．4. 解：A 、√5+√2无法计算，故此选项错误；B 、5√6-3√3无法计算，故此选项错误；C 、（√8+√50）÷2=7√22，故此选项错误；D 、3√3+√27=6√3，正确．故选：D ．直接利用二次根式的加减运算法则化简求出答案．此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．5. 解：在R t △ACB 中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB 2=0.72+2.42=6.25．在R t △A ′BD 中，∵∠A ′DB=90°，A ′D=2米，BD 2+A ′D 2=A ′B ′2，∴BD 2+22=6.25，∴BD 2=2.25，∵BD ＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选C ．先根据勾股定理求出AB 的长，同理可得出BD 的长，进而可得出结论．本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．6. 解：∵如图所示：∵（a +b ）2=21，∴a 2+2ab +b 2=21，∵大正方形的面积为13，2ab =21-13=8，∴小正方形的面积为13-8=5．故选：C ．观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知（a +b ）2=21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键．7. 解：如图作PE ⊥AB 于E ．在R t △PAE 中，∵∠PAE=45°，PA=60nmile ，∴PE=AE=√22×60=30√2nmile ， 在R t △PBE 中，∵∠B=30°，∴PB=2PE=60√2nmile ，故选B如图作PE ⊥AB 于E ．在RT △PAE 中，求出PE ，在R t △PBE 中，根据PB=2PE 即可解决问题．本题考查方向角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．8. 解：如图所示，过B 作BC ⊥AO 于C ，则∵△AOB 是等边三角形，∴OC=12AO=1，∴R t △BOC 中，BC=√OB 2−OC 2=√3，∴B （1，√3），故选：D ．先过B 作BC ⊥AO 于C ，则根据等边三角形的性质，即可得到OC 以及BC 的长，进而得出点B 的坐标． 本题主要考查了等边三角形的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．9. 解：A 、32+42≠62，不是勾股数；B 、（13）2+（14）2≠（15）2，不是勾股数；C 、72+242=252，是勾股数；D 、0.92+1.22≠1.62，不是勾股数．故选：C根据勾股数的定义：满足a 2+b 2=c 2 的三个正整数，称为勾股数解答即可．本题考查了勾股数的定义，比较简单．10. 解：A 、3，4，5都是奇数，选项错误；B 、∵62+82=102，∴三角形是直角三角形；C 、7，24，29中7和29是奇数，故选项错误；D 、∵82+122=208，202=400，∴82+122≠202，∴三角形不是直角三角形．故选B ．判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 本题考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2，则△ABC 是直角三角形．11. 解：A 、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，所以是直角三角形；B 、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为45度，60度，75度，所以不是直角三角形；C 、因为32+42=52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；D 、因为1+2=3，所以是直角三角形．故选B ．根据三角形的内角和定理及勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．本题考查了直角三角形的判定，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形．12. 解：在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，则∠DAE=∠AEB ．∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAE ，∴∠BAE=∠BEA ，∴AB=BE，BC=BE+EC，①当BE=3，EC=4时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（3+3+4）=20．②当BE=4，EC=3时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（4+4+3）=22．故选：C．根据AE平分∠BAD及AD∥BC可得出AB=BE，BC=BE+EC，从而根据AB、AD的长可求出平行四边形的周长．本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定；根据题意判断出AB=BE是解答本题的关键．13. 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，AB∥CD，AD∥BC，∴∠FEA=∠ECD，∠DAC=∠ACB=21°，∵∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA，∴∠ACF=2∠FEA，设∠ECD=x，则∠ACF=2x，∴∠ACD=3x，在R t△ACD中，3x+21°=90°，解得：x=23°；故选：C．由矩形的性质得出∠D=90°，AB∥CD，AD∥BC，证出∠FEA=∠ECD，∠DAC=∠ACB=21°，由三角形的外角性质得出∠ACF=2∠FEA，设∠ECD=x，则∠ACF=2x，∠ACD=3x，在R t△ACD中，由互余两角关系得出方程，解方程即可．本题考查了矩形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握矩形的性质和平行线的性质是解决问题的关键．14. 解：A、∠BAC=∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形；B、∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；D、∠BAC=∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；故选：C．由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定；熟练掌握矩形的判定是解决问题的关键．15. 解：∵在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，∴AB=BC，∠AOB=90°，AO=4，BO=3，∴BC=AB=√42+32=5，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+5+8=18．故选：C．利用菱形的性质结合勾股定理得出AB的长，进而得出答案．此题主要考查了菱形的性质、勾股定理，正确把握菱形的性质，由勾股定理求出AB是解题关键．16. 解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为D．故选：D．根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．此题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．17. 解：∵A（-1，1），B（1，1），∴A与B关于y轴对称，故C，D错误；∵B（1，1），C（2，4）∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故D正确，A错误．∴这个函数图象可能是B，故选B．初中数学试卷第11页，共15页 由点点 A （-1，1），B （1，1），C （2，4）在同一个函数图象上，可得A 与B 关于y 轴对称，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，继而求得答案．此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．18. 解：丁的平均数最大，方差最小，成绩最稳当，所以选丁运动员参加比赛．故选D ．利用平均数和方差的意义进行判断．本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．19. 解：由题意2出现的次数最多，故2是众数．故选C一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，由此即可判定2是众数本题考查众数、平均数、中位数、方差等知识、解题的关键是熟练掌握这些基本概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，属于中考常考题型．20. 解：数据由小到大排列为1，2，6，6，10，它的平均数为15（1+2+6+6+10）=5，数据的中位数为6，众数为6，数据的方差=15[（1-5）2+（2-5）2+（6-5）2+（6-5）2+（10-5）2]=10.4．故选A ．先把数据由小到大排列，然后根据算术平均数、中位数和众数的定义得到数据的算术平均数，中位数和众数，再根据方差公式计算数据的方差，然后利用计算结果对各选项进行判断．本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，关键是根据平均数，中位数和众数的定义解答．21. 解：∵-1m ≥0，∴m ＜0，∴m √−1m =-（-m ）•√−1m =-√(−m)2•√−1m =-√m 2⋅(−1m )=-√−m ． 故答案为-√−m ．根据二次根式有意义的条件易得m ＜0，再根据二次根式的性质有m √−1m =-（-m ）•√−1m =-√(−m)2•√−1m ，然后根据二次根式的乘法法则进行计算即可．本题考查了二次根式的性质与化简：a =√a 2（a ≥0）．也考查了二次根式的乘法法则．22. 解：由题意可知：{(3−a)(a +1)≥0(3−a)≥0a +1≥0解得：-1≤a ≤3∵a 是整数，∴a =-1，0，1，2，3∴所有整数a 的和为：5，故答案为：5由二次根式有意义的条件即可求出a 的值．本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是正理解二次根式的性质，本题属于基础题型．23. 解：∵关于x 的方程x 2-4x +b =0有两个相等的实数根，∴△=16-4b =0，∴AC=b =4，∵BC=2，AB=2√3，∴BC 2+AB 2=AC 2，∴△ABC 是直角三角形，AC 是斜边，初中数学试卷第12页，共15页 ∴AC 边上的中线长=12AC=2； 故答案为：2． 由根的判别式求出AC=b =4，由勾股定理的逆定理证出△ABC 是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质；证明△ABC 是直角三角形是解决问题的关键．24. 解：∵202+152=252，∵AC 2+BC 2=AB 2，∴△ACB 是直角三角形，∵S △ACB =12⋅AC •BC=12AB •CD ，∴AC •BC=AB •CD ，20×15=25•CD ，CD=12．故答案为：12．首先利用勾股定理逆定理证明△ACB 是直角三角形，再利用三角形的面积公式可得AC •BC=AB •CD ，再代入相应数据进行计算即可．此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形的面积，关键是掌握如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．25. 解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABE=∠BAD=90°，∵AE ⊥BD ，∴∠AFB=90°，∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，∴∠BAE=∠ADB ，∴△ABE ∽△ADB ，∴AD AB =AB BE ，∵E 是BC 的中点，∴AD=2BE ，∴2BE 2=AB 2=2，∴BE=1，∴BC=2，∴AE=√AB 2+BE 2=√3，BD=√BC 2+CD 2=√6，∴BF=AB⋅BEAE =√63， 过F 作FG ⊥BC 于G ，∴FG ∥CD ，∴△BFG ∽△BDC ，∴FG CD =BF BD =BGBC ，∴FG=√23，BG=23， ∴CG=43，∴CF=√FG 2+CG 2=√2．故答案为：√2．根据四边形ABCD 是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB ，根据相似三初中数学试卷第13页，共15页 角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE=√AB 2+BE 2=√3，BD=√BC 2+CD 2=√6，根据三角形的面积公式得到BF=AB⋅BE AE =√63，过F 作FG ⊥BC 于G ，根据相似三角形的性质得到CG=43，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．26. 解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=90°，∵把边BC 绕点B 逆时针旋转30°得到线段BP ，∴PB=BC=AB ，∠PBC=30°，∴∠ABP=60°，∴△ABP 是等边三角形，∴∠BAP=60°，AP=AB=2√3，∵AD=2√3，∴AE=4，DE=2，∴CE=2√3-2，PE=4-2√3，过P 作PF ⊥CD 于F ，∴PF=√32PE=2√3-3， ∴三角形PCE 的面积=12CE •PF=12×（2√3-2）×（4-2√3）=6√3-10，故答案为：6√3-10．根据旋转的想知道的PB=BC=AB ，∠PBC=30°，推出△ABP 是等边三角形，得到∠BAP=60°，AP=AB=2√3，解直角三角形得到CE=2√3-2，PE=4-2√3，过P 作PF ⊥CD 于F ，于是得到结论．本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．27. 解：∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=AD ，∴四边形ABCD 是菱形，又∵AB ⊥AD ，∴四边形ABCD 是正方形，①正确；∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=BD ，AB ⊥BD ，∴平行四边形ABCD 不可能是正方形，②错误；∵四边形ABCD 是平行四边形，OB=OC ，∴AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形，又OB ⊥OC ，即对角线互相垂直，∴平行四边形ABCD 是正方形，③正确；∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=AD ，∴四边形ABCD 是菱形，又∵AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形，∴平行四边形ABCD 是正方形，④正确；故答案为：①③④．由矩形、菱形、正方形的判定方法对各个选项进行判断即可．本题考查了矩形、菱形、正方形的判定；熟记判定是解决问题的关键．28. 解：∵等腰三角形的周长为16cm ，底边长为xcm ，腰长为ycm ．∴x +2y =16，∴y =8-12x （0＜x ＜8）．故答案为：y =8-12x （0＜x ＜8）．根据三角形周长公式可写出y与x的函数关系式，注意用三角形三边关系表示出x的取值范围．此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用．29. 解：∵函数y=2x2a+b+a+2b是正比例函数，∴2a+b=1，a+2b=0，解得a=2，3．故答案为23根据正比例函数的定义进行选择即可．本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的一般式y=kx是解题的关键．30. 解：画出函数y=-x2+4和y=3x的图象如图：由图可知：当x=1时，函数有最大值，最大值为3，所以min{-x2+4，3x}的最大值为3．故答案为3．在同一坐标系中画出两个函数的图象，观察最大值的位置，通过求函数值，求出最大值．本题考查了二次函数的性质和正比例函数的性质，画出函数的图象，数形结合容易求解．31. 解：∵函数y=（k+3）x k2−8-5是关于x的一次函数，∴k2-8=1，且k+3≠0．解得k=3．故答案是：3．根据一次函数的定义得到k2-8=1，且k+3≠0．本题考查了一次函数的定义．注意，一次函数的自变量x的系数不为零．32.直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简求出答案．此题主要考查了二次根式的混合运算以及绝对值的性质、负指数幂的性质、零指数幂的性质等知识，正确化简各数是解题关键．33.先配方，根据非负数的性质得出x，y的值，再代入计算即可．本题考查了二次根式的化简求值，掌握非负数的性质以及配方法是解题的关键．34.根据二次根式的性质可得c的值，进一步得到a的值，根据勾股定理可求b的值，再根据三角形的周长和面积公式计算即可求解．考查了二次根式的应用，勾股定理，三角形的周长和面积，关键是根据二次根式的性质可得a、c的值．35.根据题意求出a2+b2的值，与c2进行比较，根据勾股定理的逆定理判断即可．本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．36.初中数学试卷第14页，共15页（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠AEG=∠BFG，由AAS证明△AGE≌△BGF即可；（2）由全等三角形的性质得出AE=BF，由AD∥BC，证出四边形AFBE是平行四边形，再根据EF⊥AB，即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．37.（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）可证明EG和FH所在的△DEG、△BFH全等即可．本题考查了矩形的性质、平行四边形的判断和性质以及全等三角形的判断和性质，熟记矩形的各种性质是解题的关键．38.（1）由矩形可得∠ABD=∠CDB，结合BE平分∠ABD、DF平分∠BDC得∠EBD=∠FDB，即可知BE∥DF，根据AD∥BC即可得证；（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，由角平分线知∠ABD=2∠ABE=60°、∠EBD=∠ABE=30°，结合∠A=90°可得∠EDB=∠EBD=30°，即EB=ED，即可得证．本题主要考查矩形的性质、平行四边形、菱形，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与菱形的判定是解题的关键．39.（1）由DE=BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE即可解决问题；（2）在R t△只要证明∠ADC=60°，AD=2即可解决问题；本题考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．40.（1）先根据矩形的性质，利用勾股定理列出表达式：HG2=DH2+DG2，HE2=AH2+AE2，再根据菱形的性质，得到等式DH2+DG2=AH2+AE2，最后计算AE的长；（2）先根据已知条件，用HL判定R t△DHG≌R t△AEH，得到∠DHG=∠AEH，因为∠AEH+∠AHE=90°，∠DHG+∠AHE=90°，可得菱形的一个角为90°，进而判定该菱形为正方形．本题主要考查了矩形、菱形的性质以及正方形的判定，解决问题的关键是掌握：矩形的四个角都是直角，菱形的四条边都线段，有一个角为直角的菱形是正方形．在解题时注意，求直角三角形的边长时，一般都需要考虑运用勾股定理进行求解．初中数学试卷第15页，共15页。
苏科版八年级数学下册：9.4《正方形的判定》ppt课件
A E
H
D
G
B
F
C
拓展提高
(1).如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC， CD，DA上的点，HA=EB=FC=GD，连接EG，FH，交点为O. 试判断线段GE和HF有何关系？并证明你的结论；
(2) 将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形 按图2的方式拼接成一个四边形.若正方形ABCD的边长为3cm， HA=1cm，由图2中阴影部分的面积为________
解：四边形EFGH是正方形
∵四边形ABCD是正方形 ∴ AB = BC = CD = DA (正方形的4条边都相等) ∠A=∠B= ∠C= ∠D (正方形的4个角都是直角) ∵ AE=BF=CG=DH ∴ AH=BE=CF=DG ∴ ∆AEH ≌∆ BFE≌ ∆ CGF≌ ∆ DHG ∴EH=EF=FG=GH， ∠AHE= ∠BEF， ∴四边形EFGH是菱形(菱形定义) ∵ ∠AHE+ ∠AEH=900 ∴ ∠AEH+ ∠BEF =900 ∴ ∠FEH =900 ∴四边形EFGH是正方形 (正方形的定义)
A D
O
B C
正方形的判定
⒈先说明它是矩形，再说明这个矩形是菱形． （1）有一组邻边相等的矩形是正方形 （2）对角线互相垂直的矩形是正方形 ⒉先说明它是菱形，再说明这个菱形是矩形． （3）有一个角是直角的菱形是正方形 （4）对角线相等的菱形是正方形
试一试
⒈怎样用一张矩形的纸片折出一个正方形？
矩 形
zxxkw
A
E B
D
F
C
∴ DF⊥BC , DE⊥AB,
∵ BD平分∠ABC, DF⊥BC , DE⊥AB, ∴ DE= DF, ∴四边形DEBF是正方形.
苏科版八年级下学期数学ppt-9.45正方形的性质及判定
F C
有效学习——知识的生成。
正方形ABCD，P是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、 BD的垂线PE、PF. 如图2，当P点在线段AB的延长线上时， 线段PE、PF、OB又有怎样的等量关系，说明理由.
谈谈本节课你的收获？
有效学习——知识的生成。
课本p20
T1 、 T2
有效学习——知识的生成。
重点：记住正方形特有的性质并能与平行四边形、矩形、菱形比较；会运用正 方形的判定和性质解决相关的计算和证明 难点：记住正方形的定义及判定定理 有效学习——知识的生成。
一、自学内容及时间：
课本P81的内容。时间：5min 二、自学任务 1.一个菱形需添加什么条件才能变成正方形？ 2.一个矩形需添加什么条件才能变成正方形？ 3.判定正方形你有几种方法？ 4.画图表示平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 5．正方形具有哪些性质？从边、角、对角线等方面说明。 知者加速： 加速册P
B C
A
E D
有效学习——知识的生成。
一、自学内容及时间： 课本P82例5的内容。时间：4min 二、自学任务 1. 此题的证明思路是什么？ 2．证明时用到哪些相关知识和相关图形？ 3．还有其他的证法吗？你的依据是什么？ 知者加速： 加速册P
有效学习——知识的生成。
A
D P
1. 如图，正方形ABCD，点P是AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC， 垂足为E、F，EF＝2，求PD的长.
如图，BO是等腰直角△ABC的底边AC 上的中线，画出△ABC关于点O对称的图形.
A
B
O C
D
四边形ABCD是平行四边形吗？ 它是特殊的平行四边形. 有效学习——知识的生成。
9.4矩形、菱形、正方形（5）
八年级数学下册第9章平行四边形：矩形菱形正方形3正方形pptx课件新版苏科版
知1－练
在 Rt△AFP和Rt△ADP中，ቊAAFP==AADP，， ∴ Rt△AFP≌Rt△ADP(HL)，∴ PF=PD， 设 PF=PD=x，则 CP=CD－PD=6－x，EP=EF+FP=3+x， 在 Rt△PEC中，根据勾股定理，得EP2=EC2+CP2， ∴(3+x)2=32+(6－x)2，解得x=2，∴ DP的长度为 2.
解法提醒
知1－练
解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四边相等、
四角相等、对角线互相垂直平分且相等等性质 .正方形的
性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解决正方形的
相关证明与计算问题的三把钥匙 .
知识点
知2－讲
2 正方形的判定及特殊四边形间的关系
1. 正方形的判定如下表
图形
文字语言(判定)
符号语言
和定理易得∠AGB=90 °，最后根据判定2即可证明结论.
正方形
性质
边、角、对角线、对称性
正 方 形
特殊的平行四边形
一组邻边相等且 一个角是直角
判定 特殊的矩形 一组邻边相等
特殊的菱形 一个角是直角
明平行四边形是正方形；
(2)从平行四边形出发：有一组邻边相等并且有一个角是直
角的平行四边形是正方形；
(3)从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形；
(4)从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形 .
知2－练
例 2 如图9.4.3-3，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC= ∠BAD=90°，AC=BD，AC，BD相交于点G，过点 A作AE∥DB交CB的延长线于点E， 过点B作BF∥CA 交DA的延长线 于点F，AE，BF相交于点H．
苏科版八年级数学下册第九章《9.4正方形》优课件
已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别在 AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判 断四边形EFGH是正方形吗?为什么?
证明：∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠ABC=∠BCD=90°，
AB=AD=DC=BC（正方形的四条边都相等， 四个角都是直角）．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
又∵ AE=BF=CG=DH ∴AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF
即BE=AH=DG=CF ∴ △AEH≌△BFE≌ △CGF ≌ △DHG．
∴ ∠1=∠3．BE=FC=GH=HE 又 ∠3+∠2=90°
∴ ∠1+∠2=90°． ∴ ∠EFG= 90° ∴ 四边形EFGH是正方形（有一个角
A
D
E
H
F
G
B
C
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交
于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N， 求证：BM＝CN。
证明：
∵四边形ABCD是正方形 ∴OA＝OB ,
∠1＝∠2＝∠3＝45° 又∵MN∥AB ∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON ∴OA－OM＝OB－ON 即AM＝BN
正方形的判定
一组邻边 相等
一组邻边相等且 有一个角是直角
有一个内角 是直角
有一个内 角是直角
一组邻边 相等
1、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是 （填上一个条件即可）
2、要使一个矩形成为正方形 需添加的条件是
（填上一个条件即可）
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ B ）
苏科版八年级数学下册第九章《9.4正方形》公开课课件
正方形的判定
有一个内角 是直角
一组邻边 相等 一组邻边相等且
有一个角是直角
有一个内 角是直角 一组邻边 相等
1、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是 （填上一个条件即可）
2、要使一个矩形成为正方形 需添加的条件是 （填上一个条件即可）
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ B ） A.对角线互相平分 B.四角都相等 C.四条边都相等 D.对角线互相垂直 2.正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形 ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形 8√2 EFGH的周长等于________cm ，四边形EFGH的面积 2. 等于_______cm 8
有一组邻边相等
正方形
正方形
有一个角是直角
正方形即是特殊的矩形 又是特殊的菱形。
正方形的性质=
平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系
平行四边形 正 方 形
矩形
菱 形
正方形的性质
菱形的性质
四边相等、对边平行四个角都Leabharlann 直角相等、 垂直且互相平分，
矩形的性质
A
O B
D
C
对称性------ 轴对称图形、中心对称图形
新苏科版八年级数学下册《9章 中心对称图形—平行四边形 9.4 矩形、菱形、正方形 正方形》教案_9
教学目标1．通过复习轴对称和正方形知识，理解翻折的实质是轴对称变换；2．利用轴对称的性质，掌握正方形的翻折问题中的模型构造；3．图形翻折中线段和角的对应关系；4. 翻折问题中勾股定理的应用。
教学重点转化思想、方程思想和勾股定理的应用。
教学难点模型的建立，数学思想的应用。
教学过程（教师）学生活动设计思路一、情境创设展示正方形纸片，提问正方形有哪些性质？如果将一张正方形的纸片翻折，你会如何折叠？折叠的实质是什么？回顾说出正方形的性质，交流正方形纸片翻折可能出现的几种情形，充分理解折叠的实质就是轴对称变换．给学生展现一个轻松活泼的问题情境，激发学生学习兴趣．二、探索活动对称点在边上——任意位置( 不含端点)情境如图1，正方形ABCD纸片沿PQ 翻折，使顶点B恰好落在线段AD边上。
可以得到：四边形≌四边形。
边①PE= ；②EF= ；③FQ = 。
角①∠1=∠；②∠PEF =∠=∠=∠=90°③∠PQF=∠。
上面得出的边、角的结论，是我们研究后面图形的基础.互相讨论，踊跃回答．通过学生相互讨论使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流精神，充分体会翻折的问题实质．命题1 如图，正方形沿PQ折叠，点B 落在AD边上，求证：PQ =BE (折痕=对称点连线)交流：如何证明两条线段相等？此题没有全等三角形，如何构造？可以有哪几种方法构造全等三角形？提炼：对应点的连线被折痕垂直平分；折叠出角平分线，结合平行线，得到等腰三角形。
此题解决思路来源于课本练习8下94页19题。
能分组独立完成证明过程。
师生互动，通过书本练习解决方法，进行知识迁移，找到解决问题的基本思路，转换为全等变换解决问题。
命题2如图，正方形沿PQ折叠，点B 落在AD边上，正方形的边长为a（下同），BK⊥EF ，求证：BK=AB=a交流：要证明垂线段等于正方形的边长，首先想到什么？有全等的三角行吗？可以如何构造？探索：构造全等三角形讨论交流，构造辅助线，独立完成证明过程。
正方形-苏科版八年级数学下册教案
正方形——苏科版八年级数学下册教案一、教学目标1.理解正方形的定义。
2.掌握正方形的性质。
3.能够应用正方形的性质解决实际问题。
二、教学重难点1.教学重点：–正方形的定义和性质。
–应用正方形的性质解决实际问题。
2.教学难点：–正方形的应用题目。
三、教学内容和方法1. 教学内容1.正方形的定义：等边且等角的四边形。
2.正方形的性质：–对角线相等：正方形的两条对角线相等。
–对角线平分：正方形的两条对角线相互平分。
–四个角度相等：正方形四个角度均为90度。
–四条边相等：正方形的四条边均相等。
–对边平行：正方形相对的两条边平行。
–矩形特例：正方形也是矩形的一种特殊情况。
3.正方形的应用题目。
2. 教学方法1.演示法：通过画图演示正方形的定义和性质。
2.问答法：通过提问学生回答，帮助学生理解正方形的性质。
3.实例分析法：通过具体的实例分析，帮助学生掌握应用正方形的方法。
四、教学步骤1. 热身训练通过课前小测，帮助学生回忆上次课的内容，并为本节课程的内容做好准备。
2. 引入新知通过简单的例子，引入正方形的定义和性质，并解释为什么正方形拥有这些性质。
3. 深入学习一、讲解正方形的各种性质，要求学生认真听讲，并在讲解中帮助学生理解相应的性质。
二、通过特例切入正题，讲解正方形与矩形的关系。
三、通过练习题目巩固所学知识。
4. 练习巩固1.练习题目演示。
2.在课堂上进行集体讨论，帮助学生掌握应用正方形的方法。
3.纠正学生在练习中可能出现的错误，让学生更清楚地理解正方形的性质。
5. 课堂总结通过对所学知识的总结，帮助学生加深对正方形的理解，巩固所学知识，为下节课掌握更高级的知识做好准备。
五、板书设计关键词定义正方形等边且等角的四边形对角线相等正方形的两条对角线相等对角线平分正方形的两条对角线相互平分四个角度相等正方形四个角度均为90度四条边相等正方形的四条边均相等对边平行正方形相对的两条边平行矩形特例正方形也是矩形的一种特殊情况六、教学反思本节课的教学目标达到了预期效果，并按照教学计划有条不紊地完成了课程。
人教版八年级下册课件 18.2.3完美的正方形(共15张PPT)
2017年安顺旧州山里江南风车节
三、求正方形的面积
• 1、正方形的边长为5其面积等于 25 • 2、正方形的对角线长为5其面积等于 12.5
正方形具有菱形的性质，对角线 互相垂直，其面积还等于对角线 之积的一半。
四、王老汉分地
王老汉4个孝顺的孩子想让他们勤劳一生的父亲安享晚 年，王老汉有一块正方形的土地，他想修建两条笔直的 小路使得两条笔直的小路将土地平均分成面积相等的四 部分分给他的四个孩子(不考虑道路的宽度).你能帮王 老汉想到几种方法？
理 建 设 下 ,到 最后一 刻,还是 有点崩 了,这 是我最 共鸣的 点——英 雄主 义。 我 这 个 英 雄 主义,是 我个人 定义的 主义,电 影里的 主人公 ,为了 心中的 正义和 坚信爸
爸 的 话 ,面 对 失去至 亲至爱 的痛苦 后的重 生!这 是 坚 守 信念,穿 越苦难 的英雄 主义! 你 还 记 得 你 的理想 吗,你还 在为你 心中的 信仰而 砥砺前 行吗?理
G A
⑤
①
O
E
②
⑥
B
D
⑧
④
F
③⑦
C H
五、以正方形为背景的三角形全等
如图所示的运动：正方形ABCD和正方 形AKCM中，将正方形AKLM绕点A向 左旋转某个角度．连线段MD、KB，它 们能相等吗？请证明你的结论．
苏科版八年级数学下册第九章《9.4正方形》优质课课件
5、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD 延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
求证证明：：∠MFD＝45°
∵CE⊥AF ∴∠ADC＝∠AEM＝90° 又∵∠CMD＝∠AME ∴∠1＝∠2
又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC ∴Rt△CDM≌Rt△ADF (AAS)
∴DM=DF∴∠DMF=∠DFM
下面大家自己完成证明
5：如图1，正方形ABCD中，对角线的交点为O.
（1）E是AC上的一点，过点A作AG⊥BE于G，AG、BD交 于点F.求证：OE=OF. (△AOF≌△BOE (AAS) )
（2）若点E在AC上的延长线上（如图2），过点A做
AG⊥BE交EB的延长线于G，AG的延长线交BD于点F，其
∵ ∠MDF= 90°∴∠MFD＝45°
4.求证：矩形的四个角的平分线 所围成的四边形是正方形．
A
D
E
H
F
G
B
C
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交
于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N， 求证：BM＝CN。
证明：
∵四边形ABCD是正方形 ∴OA＝OB ,
∠1＝∠2＝∠3＝45° 又∵MN∥AB ∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON ∴OA－OM＝OB－ON 即AM＝BN
回顾：特殊的平行四边形
矩形---------------有一个角是直角的平行四边形叫做 矩形。
有一个角是直角，有 一组邻边相等的平行 四边形是什么呢？
菱形------------- 有一组邻边相等的平行四边形 叫做菱形。
正方形的定义：
有一组邻边相等且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形。
苏科版八年级下册正方形课件
证明：
∵正方形ABCD，且CE⊥AF ∴∠ADC＝∠AEM＝90°，CD=AD
又∵∠CMD＝∠AME ∴∠1＝∠2 又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC ∴Rt△CDM≌Rt△ADF (ASA) ∴DM=DF,又∵∠MDF=90° ∴∠MFD＝∠FMD=45°.
例1 已知:如图,△ABC中.∠ABC=90°,BD是∠ABC
平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F.证明四
边形DEBF是正方形.
A
解:∵ DF⊥BC,DE⊥AB,
∴ ∠DEB= ∠DFB=90°,
∟
E
D
又∵ ∠ABC=90°, ∴四边形DEBF是矩形
∟
×
B× F
∟
∵ BD平分∠ABC, DF⊥BC , DE⊥AB,
正方形
∴AC⊥BD,AC=BD,
∴∠A=∠B=∠C=∠ OA=OC= AC
语 AD∥BC,
D=90°
言 AB=BC=CD=AD
OB=OD= BD
轻松过关:
1.正方形具有而菱形不一定具有的性A 质是（
C
D
）
A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分 O
C.对角线相等
D.对角线平分45°一组对角
B
C
2.已知正方形的一条边长为2cm,则这个正方形的
(6)对角线互相垂直的矩形是正方形；
A
D
A
O
矩形特有性质：
O
四个角是直角；
对角线相等.
B
苏科版数学八年级下册第九章《正方形》优质课件
探究新知
一个角 是直角
邻边 相等
邻边 相等
一个角 是直角
你能从这个变化给正方形下定义吗?
正方形的 定义：
学.科.网
有一组邻边相等
矩形
正方形
有一个角是直角
菱形
正方形
有一个角是直角，一组邻边相 等的平行四边形叫做正方形。
❖1、使教育过程成为一种艺术的事业。 ❖2、教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。2021/10/262021/10/262021/10/2610/26/2021 2:21:37 AM ❖3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 ❖5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 ❖6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/262021/10/262021/10/2610/26/2021 ❖7、风声雨声读书声，声声入耳；家事国事天下事，事事关心。2021/10/262021/10/26October 26, 2021 ❖8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/262021/10/262021/10/262021/10/26
小结:
正方形是特殊的平行四边形， 是特殊的矩形,也是特殊的菱形。
猜想：正方形的性质=
正方形的性质、判定方法？
矩形
正方形
菱形
正方形的性质
边：对边平行，四边都相等。
A
角：四个角都是直角。
对角线：相等且互相垂直平分,
每条对角线平分一组对角。
B
D O
苏教科版初中数学八年级下册13 完美正方形
重点知识精选
掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！ 苏科版初中数学 和你一起共同进步学业有成！
TB:小初高题库
完美正方形
苏科版初中数学
「完美正方形」是指在一正方形内切割出大小都相异的小正方形．最早由 莫伦提出．
数学家们一度花了很大精力都无任何结果，以至于 1930 年苏联著名数学家 鲁金猜想，不可能把一个正方形分割成有限个大小不同的正方形．莫伦对此猜 想提出了挑战，并提供了一个解决思路：如果同一个矩形有两个不同的正方形 剖分，且其中一个剖分的每个正方形都不同于另一个剖分的每个正方形，那 么，这两个剖分再添上两个正方形（它异于两个剖分中的任何一个正方形）， 便可构造出一个完美正方形，而在此之前，完美矩形已经有了比较丰富的成 果．
至此，完美正方形的讨论暂时画上一个句号．但数学家的研究并没有停 止，他们又研究了不同大小正方形是否可以填充整个平面的问题，此外他们还
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将完美
苏科版初中数学
相信自己，就能走向成功的第一步 教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维
967 年，威尔森构造成功 25 阶、26 阶完美正方形． 1962 年，荷兰特温特技术大学的杜伊维斯廷证明：不存在 20 阶以下的完 美正方形． 1978 年，杜伊维斯廷借助计算机技术，成功地构造出一个 21 阶的完美正 方形，它是唯一的，且它不仅阶数最低，同时数字也更简单，此外构造上它也 有许多优美的特点，比如 2 的某些次幂恰好位于一条对角线上，等等． 杜伊维斯廷同时还证明了：低于 21 阶的完美正方形不存在． 1982 年，杜伊维斯廷又证明了：不存在低于 24 阶的混完美正方形． 1992 年，布卡姆和杜伊维斯廷给出了 21～25 阶全部 207 个纯完美正方 形： 阶数 21 22 23 24 25 个数 1 8 12 26 160
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完美正方形
苏科版初中数学
「完美正方形」是指在一正方形内切割出大小都相异的小正方形．最早由 莫伦提出．
数学家们一度花了很大精力都无任何结果，以至于 1930 年苏联著名数学家 鲁金猜想，不可能把一个正方形分割成有限个大小不同的正方形．莫伦对此猜 想提出了挑战，并提供了一个解决思路：如果同一个矩形有两个不同的正方形 剖分，且其中一个剖分的每个正方形都不同于另一个剖分的每个正方形，那 么，这两个剖分再添上两个正方形（它异于两个剖分中的任何一个正方形）， 便可构造出一个完美正方形，而在此之前，完美矩形已经有了比较丰富的成 果．
至此，完美正方形的讨论暂时画上一个句号．但数学家的研究并没有停 止，他们又研究了不同大小正方形是否可以填充整个平面的问题，此外他们还
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将完美
苏科版初中学
相信自己，就能走向成功的第一步 教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维
可以让他们更理性地看待人生
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1967 年，威尔森构造成功 25 阶、26 阶完美正方形． 1962 年，荷兰特温特技术大学的杜伊维斯廷证明：不存在 20 阶以下的完 美正方形． 1978 年，杜伊维斯廷借助计算机技术，成功地构造出一个 21 阶的完美正 方形，它是唯一的，且它不仅阶数最低，同时数字也更简单，此外构造上它也 有许多优美的特点，比如 2 的某些次幂恰好位于一条对角线上，等等． 杜伊维斯廷同时还证明了：低于 21 阶的完美正方形不存在． 1982 年，杜伊维斯廷又证明了：不存在低于 24 阶的混完美正方形． 1992 年，布卡姆和杜伊维斯廷给出了 21～25 阶全部 207 个纯完美正方 形： 阶数 21 22 23 24 25 个数 1 8 12 26 160
1939 年，斯普拉格按照莫伦的构想成功地构造出一个 55 阶的完美正方 形，其边长为 4205．
几个月后，阶数更小（28 阶）、边长更短（1015）的完美正方形由剑桥大 学三一学院的四位大学生构造出来．
1948 年，威尔科克斯构造出 24 阶完美正方形，但其中含有一个完美矩形 （此类正方形称为混完美正方形，完全由正方形构造成的正方形称为纯完美正 方形），一直到 1978 年，这个纪录才被打破．