高中数学等差数列前n项和教学案苏教版必修
高中数学2.2.3等差数列的前n项和(1)教案苏教版必修5
等差数列的前n 项和〔1〕 第13课时一、学习目标 〔1〕理解用等差数列的性质推导等差数列的前n 项和的方法； 〔2〕掌握等差数列的前n 项和的两个公式，并能运用公式初步解 决有关问题；〔3〕理解蕴含在推导过程的数学思想、掌握相关的数学方法，提高逻辑推理能力。
二、学法指导1.通过求钢管总数，让学生发现等差数列满足的性质，从而获得解决一般等差数列求和问题的思路。
〔倒序相加法〕三、课前预习1．等差数列前n 项和公式:(1)__________________________(2)___________________________2．根据等差数列前n 项和的特点还可以设____________=n S 四、课堂探究1a ，公差为d 的等差数列的前n 项和？探究2.等差数列的前n 项和有什么特点？还可以如何设？ {}n a 中,m m m m m S S S S S 232,,--是否也成等差数列?五.数学应用.例1.在等差数列{}n a 中,(1) ,101,3501==a a 求50S 。
(2) ,21,31==d a 求10S 。
{}n a 中，,215,23,21-===n n S a d 求1a 及n 。
{}n a 中，第1项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和。
五、巩固训练〔一〕当堂练习{}n a 中,,1,164=-=a a 那么________8=S2. 在等差数列{}n a 中，假设383-=+a a ，那么______10=S ____________〔二〕课后作业1. 在等差数列{}n a 中,假设,20141084=+++a a a a 那么_________17=S{}n a 中，,392,100168==S S 试求.24S六、反思总结。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.2.3 等差数列的前n项和》53
课题：等差数列前n 项和（--）课前预学江苏省上冈高级中学 李二桃 【预学目标】1、掌握等差数列前n 项和及其推导过程。
2、初步掌握公式的简单运用。
【预学内容】问题1、一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，形架上共放着多少支铅笔？问题就是 求“1234…100=？”问题2、求和:1234…n=问题3、设等差数列 {a n } 的首项为a 1，公差为d ，如何求等差数列的前n 项和S n = a 1 a 2a 3…a n【预学检测】1、等差数列-5，-9，-13，…的第n 项是2、已知{n a }为等差数列，若a 1=3，d= 32，a n =21，则n =3、已知{n a }为等差数列，若34256,a a a a +=+=则 4、已知{n a }为等差数列，若1101010,a a +==则s 5、已知{n a }为等差数列，若19910,a a +==则s课堂探究【重点学习】1、 2、3、求和 （1）1357(21)n +++++-（2）10,6,2,2,,(414)n ----【难点探究】1、设S n 是 等差数列的前n 项和，若{}n 15050a 1a 3,a 101,s ;== 在等差数列中，（）已知求11012a 3,d ,s .2==（）已知求{}n 1315a d ,a ,222n n S ==在等差数列中 已知=-==5935,95ss则a a2、已知两个等差数列{a n },{b n }，它们的前n 项和分别是S n ,T n ，若检测与积累【达标检测】1、在等差数列中（1）、11,2,15,n n d n a S ===已知a 求和 （2）、12,90,12,n n S n a d ===已知a 求和2、若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390， 则这个数列共有______项。
3、等差数列，的前n 项和分别为n n T S ,，若132+=n n T S n n ，求1111b a9923,.31n n S a n T n b +=-求。
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等差数列前n 项和【教学目标】一、知识与技能1、借助几何图形，通过直观感知，能自觉获得等差数列的前项和公式的推导思路；理解公式的推导过程，再次感受数形结合的思想。
2、理解公式，能用公式解决简单的问题；通过公式运用进一步体会方程的思想；让学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法；进一步加深对等差数列的认识。
二、过程与方法1、启发式教学。
以高斯算法引入，设计了很多“想一想〞、“试一试〞、“探究〞，就是为了启发、诱导学生，让学生主动发现问题，得到公式推导的思路，并能自觉地得到解决方法；指导学生合情推理，加深认识，正确运用。
2、探究式学习。
从高斯算法到倒序相加法，从特殊数列到一般数列求和，从公式的认识到运用，都是以学生探究为主，老师适当指导，总结。
三、情感态度与价值观1、让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。
2、培养学生良好的思维习惯，以及为科学勇于创新、不懈努力的探索精神。
【教学重点、难点】重点：探索等差数列的前n项和公式的推导并获得思路；掌握公式，学会用公式解决简单的问题；体会等差数列的性质、公式与方程的联系。
难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。
解决方法:以梯形图案入手，得自高斯算法的启发，设计一个“试一试〞，借助几何图形的变化得到“倒〞的思路。
【教学用具】实物投影仪，多媒体软件，电脑【教学过程】一、情景引入:1、〔播放媒体资料〕印度泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿……成为世界七大奇迹之一。
陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层〔见图〕，奢靡之程度，可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？即: 123······100=？少年高斯是如何快速地得出了结论的呢？高斯用的是首尾配对的方法。
特点：首项与末项的和：1＋100＝101，第2项与倒数第2项的和：2＋99 ＝101，第3项与倒数第3项的和：3＋98 ＝101，· · · · · ·第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是：101×50＝5050。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.2.3 等差数列的前n项和》
等差数列中的最值问题一、教学目标1、掌握等差数列的通项公式和前n项和公式的形式和应用。
2、掌握常见题型的解法及常用思想方法。
3、掌握等差数列求最值问题的多种不同方法，并能对最值问题进行归纳总结。
二、教学重点和难点重点：等差数列求最值问题的常用解法。
难点：通过例题的讲解引导学生对等差数列的最值问题进行归纳和总结，并理解何种形式会有最大值，何种形式会有最小值。
三、教学过程1、复习旧知，回忆等差数列的常用公式：〔1〕通项公式〔2〕前n项和公式〔3〕等差中项概念〔4〕等差数列的判定方法定义法;中项公式法;通项公式法;前n项求和法;〔复习时主要以口述为主，必要的公式进行板书，主要让学生进行回忆，强调等差数列的通项公式和前n项和公式的形式，即通项公式是关于n的一次函数，前n项和公式是关于n的二次函数，且常数项为0，为后面课程的讲述埋好伏笔。
〕2、教授新课：高考总复习之等差数列微专题-----等差数列中的最值问题例题1 分析：要求n为何值时，Sn有最大值，可从Sn的形式入手思考，Sn 是关于n的二次函数，可以从函数的角度求出Sn的最大值。
思考：在用nS是关于n的二次函数求最值时，如何防止复杂的计算，比方此题中的配方？引导学生讨论得到只要取离对称轴最近的整数处的和，即可得到最值，而对称轴可以由二次函数中的公式得到，这样可以防止复杂的计算，以便提高计算的准确度。
3、小组合作讨论思考：为什么等差数列会存在最值，是不是所有的等差数列都有最值呢？什么样的等差数列存在最大值，什么样的等差数列又存在最小值？通过观察数列、归纳特点并讨论可得两类数列存在最值思考：那有没有更简单的方法来得到等差数列何时取到最值呢？由数列的增减情况可以得到只要找出何时出现正负转折项，在该项处即得到等差数列前n项和的最值。
4、归纳等差数列最值问题的求法方法一、利用Sn是关于n的二次函数，在离对称轴最近的整数处取得最值。
方法二、利用等差数列的单调性，求出正负转折项。
苏教版高中数学必修五2.2.3等差数列的前n项和(一)教学设计
2.2.3等差数列的前n项和（一）教学目标知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美.学情分析本节课教学内容是高中课程标准实验教科书必修5（人教A版）中第二章的第三节内容．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想.高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍.教学重点和难点重点：探索并掌握等差数列的前n项和公式．难点：从求1+2+3+…+100的过程中概括出推导等差数列前n项和公式的思想方法．教学媒体利用计算机和实物投影等辅助教学.教学过程1．实例引入，学习数列前n项和的概念问题1：一个堆放铅笔的V形架，最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？（多媒体显示）问题1要求V形架里的铅笔数．第一层1支，第二层2支，第三层3支，…各层的铅笔数涉及一个数列：1，2，3，…，100，…．我们现在求的和就是这个数列前100项的和．一般地，我们称为数列的前n项和，用表示，即（板书）口头解释、，今天这节课的学习内容是：等差数列的前n项和．（板书课题）2．引导探究，发现公式2.1 高斯解决的思想方法如何求和：原问题：是100个不同的数求和，通过“配对分组”手段，将问题转化，得到新问题：是50个相同的数求和．其中，是数列：1，2，3，…，100，…的性质．也就是说，高斯算法的高明之处在于将不同数的求和问题转化为相同数的求和问题．好，解决了的问题.我们再看问题2.2.2 正整数数列前n项和问题2 求(学生探究，交流讨论，教师巡视，最后总结评价)2.3 等差数列前n项和让我们再看更一般的问题！问题3 求等差数列的前n项和，即（学生分组讨论，教师最后点评、总结）至此，我们得到了计算等差数列前n项和的公式，公式有两种形式．下面我们来应用公式解决问题：3．公式辨析，应用反馈例1 如图，一个笔架，最下面一层放20支笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支．这个笔架上共放着多少支笔？学生独立完成解题后，教师展示完整的解题过程，要求学生完善自己的解题步骤．解：根据题意，每一层的笔数构成一个等差数列：，，公差．由，解得n=81．.答：这个笔架上共放着4860支笔．梯形的面积公式可以帮助我们记忆等差数列前n项和的公式．例2 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”的工程通知》．某市据此提出了实施“校校通”小学工程校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？解：根据题意，可以建立一个等差数列，表示从2001年起各年投入的资金，其中，．到2010年（n =10），投入的资金总额为（万元）.答：从2001—2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元．学生练习：教科书第45页的练习1．1．根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和.（1）；（2）.（展示学生的练习，并讲评．第2题的关键：准确表述问题中的数列）4．归纳小结，反思提升让我们回顾一下今天学习的内容：1.数列前n项和的概念2.等差数列的前n项和公式：；．3.运用等差数列的前n项和公式解决一些问题．其中，在推导等差数列的前n项和公式的过程中，我们分别运用了从特殊到一般和从一般到特殊的思想方法，你注意到了吗？（1）从特殊到一般（问题探究的方法）问题1：问题2：问题3：求等差数列的前n项和，即（2）从一般到特殊（等差数列求和转化的方法）“将不同数的求和问题转化为相同数的求和问题”．加上一定的转化技巧，具体的做法是：“倒序相加法”．5．布置作业，分层落实教科书第46页习题2.3 A组：2、3。
等差数列的前n项和教学设计(金陵中学王友伟)
课题：2.2.3等差数列的前n项和授课教师：南京市金陵中学王友伟教材：苏教版必修5一．教学目标1.经历探索等差数列前n项和公式的过程，体会化归、分类讨论等数学思想，掌握倒序相加求和法，积累数学活动的经验；2．理解等差数列前n项和公式及不同形式，能够灵活选用恰当的形式解决问题；二．教学重难点重点：等差数列前n项和公式的推导难点：从图形直观的角度分析等差数列前n项和的公式．三．教学方法与教学手段启发式教学，探究式学习，多媒体辅助教学．四．教学过程1．创设情境，引入课题前面我们学习了数列，研究了一种特殊的数列——等差数列，与学生一起回顾等差数列中的相关知识．－a n＝d(n∈N) (a1是首项，d是公差，n是项数) 等差数列的定义：a n＋1等差数列的通项公式：a n＝a1＋(n－1)d(n∈N*，n≥2)[设计意图]通过复习，帮助学生梳理知识框架，教会学生掌握研究数学的一般方法，同时为接下来应用基本量分析具体的数列做铺垫.(播放阅兵视频)我们能否从数列的视角重新看我们的阅兵队列?[设计意图]紧贴时事与生活，在激发学生爱国热情的同时，让学生感受到数学来源于生活，教会学生用数学的眼光来重新观察世界，思考问题．给出视频中的几个队列变化的画面，抽象成点阵如下：以第三幅图中的蓝色区域为例，进行研究.问题1：对于这个方阵，你能用数列的观点发现问题、提出问题吗？[设计意图]让学生尝试着去寻找队列的人数与数列的关系，内化等差数列中的首项、项数、公差等概念，引导学生学会将实际问题中的数量用抽象的数学符号进行描述，进一步培养学生观察的能力，和从实际问题中抽象出数学知识的能力.同时，让学生自行提出问题进行研究，感受到研究等差数列的前n项和并不是“心血来潮”，而是有据可依．2．探索质询，追根溯源(1)构建研究方法问题2：如何求这个区域的总人数？(尝试用多种方法)(学生分组讨论，5分钟后小组汇报)S21＝3＋4＋…＋22＋23(预设方案1)从数的角度：3＋23＝4＋22＋…＝12＋143＋232×10＋13＝273(预设方案2)从数的角度：3＋22＝4＋21＝…12＋133＋222×10＋23＝273(预设方案3)从数的角度：S 21＝3＋4＋…＋22＋23S 21＝23＋22＋…＋4＋32 S 21＝(3＋23)＋(4＋22)＋…＋(22＋4)＋(23＋3)S 21＝3＋232×21 [设计意图]因为很多学生在小学的奥数中已经“学习”了等差数列的前n 项和的公式，但是对公式背后的意义并不是非常理解，尤其是对配对的思想更是一知半解，所以这个问题中设定了奇数项的等差数列求和，引导学生发现配对时可能出现不是整数对的情形，也为接下来的奇偶项的讨论和“倒序相加法”做好铺垫．(预设方案4)几何角度：切掉左边的两列S 21＝2×21+1+2+…+21=2×21+1+212×21(预设方案5)几何角度：切掉左边的三列S 21＝3×21+1+2+…+20=3×21+ (1+20)×10[设计意图]左边设置的常数列，让学生感受到相同的数相加可以转化成乘法，呼应了前面“配对”的思想．在学生已经拥有了“补”的方法后再抛出这一问题，比较自然的引出了“割”这样的方法，培养学生学会从几何角度给出不同的解释，也为等差数列前n 项和的第二种形式的推导做铺垫．[设计意图]这一环节的设计，让学生充分感受到可以从数和形两个角度对一个等差数列进行求和，经历自行动手推导的过程，感受配对思想在计算中的带来的便捷，同时感受到可以使用“割”“补”方法对其进行分析计算，为接下来探求一般的等差数列{a n }的前n 项和奠定基础．(2)自主探究 汇报交流问题3：如何推导出等差数列{a n }的前n 项之和S n 的公式?追问：对于一个数列，已知哪些量可以求和？①已知a 1，a n ，n ；②已知a 1，d ，n ．追问2：已知a 1，a n ，n ，如何推出？(小组讨论，5分钟后小组汇报)(预设方案1)S n ＝a 1＋a 2 ＋…＋a n －1＋a n ，①S n ＝a n ＋a n －1＋…＋ a 2 ＋a 1，②①＋②相加得： 2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)＝n (a 1＋a n )，所以S n ＝n (a 1＋a n )2．(预设方案2)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n(1)n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a n )＋( a 2＋a n －1)＋…＝( a 1＋a n )n 2＝n (a 1＋a n )2 (2)n 为奇数时，S n ＝(a 1＋a n )＋( a 2＋a n －1)＋ …＋an ＋12＝( a 1＋a n )n －12＋(a 1＋a n )2 ＝n (a 1＋a n )2[阶段总结]我们运用倒序相加法得到了等差数列前n 项和的公式，其中的配对思想就是数学中的化归思想，将不同的数转化成相同的数相加，从而可以将加法转化为成为进行计算．[设计意图]研究完具体数列的求和后，让学生将掌握的方法迁移到一般的等差数列{a n }中，继续内化“倒序相加法”，并用最后两个追问让学生真正理解为何要配对，为何能配对(要证明)． 追问4：已知a 1，d ，n ，如何推出？(预设方案3)S n ＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋ …＋[a 1＋(n －1)d ]＝na 1＋[1＋2＋…＋(n －1)]d＝na 1＋n (n －1)2d追问：能否找到几何解释所对应的图形[阶段总结]我们运用“切割法”(分组求和)的方法得到了等差数列前n 项和的公式的另外一种形式，其中d ＋2d ＋3d ＋……＋(n －1)d 还是化归成了1＋2＋……＋(n －1)的问题．[设计意图]从“割”的角度给出了公式的形象化解释，也让学生感受到等差数列的求和问题其实就可以划归为“1＋2＋……＋n ”的问题，体现出了化归的思想．追问：两个公式等价吗？[设计意图]通过这一问题，让学生观察两个公式的特点，进而发现两公式的区别，即公式①中出现a n ，而公式②中出现d ，为后面选择恰当的公式解决问题做好铺垫．同时，也让学生感受到公式①中的a n 是由a 1和d 决定的，体会a 1和d 两个基本量的地位与作用．追问：对比几种推导S n 的方法，你觉得哪种方法简洁？[设计意图]让学生重新回顾几种推导方法，经过对比发现，前几种配对的方法中，最简约的是倒序相加法，而已知a 1，d ，n 推导S n 的方法其实归根结底就是1＋2＋…＋n 的问题，而1＋2＋…＋n 问题最简约的解法还是倒序相加法．经过这样的分析，让学生明白，推导公式其实还是为了追求简约，追求简约是数学研究的一大基本原则.3．新知运用，巩固深化例1 在等差数列{a n }中，前n 项之和为S n .(1)已知a 1＝2，a 30＝90，求S 30；(2)已知a1＝5，d＝13，求S12.[设计意图]通过例题，让学生巩固公式，会根据题设条件合理地选用公式．通过追问，让学生体会n，a1，d，a n，S n这五个量，可以知三求二，从而加深学生对公式的理解与运用．同时，对于公式的选择，其原则还是追求简约.例2 求出下列各区域的总人数.重点讲最后的黑色区域(从不同的角度看不同的等差数列)[设计意图]让学生在具体的实例中使用刚才推导出的等差数列求和，熟悉公式，学以致用．4．概括知识，总结方法回顾与反思：这节课你学到了哪些知识，蕴含了哪些思想？5．分层作业，因材施教(1)巩固运用：P47 习题2.2(2)：1，2，3，4，5．(2)拓展思考：等差数列的通项公式a n可以看成关于n的函数，你能从函数的角度研究S n吗?[设计意图]分层布置作业，“巩固运用”面向全体学生，旨在掌握等差数列前n项和公式的应用．“拓展思考”为学生提供运用函数思想研究S n的机会．五．教学设计说明等差数列的前n项和的研究是在学生已经学习了等差数列的概念、通项公式等知识的基础之上，对等差数列这一特殊数列更深层次的探索和研究．任何一章知识的学习都应符合学生的认知规律，尊重学生已有的知识储备，尤其对于等差数列的前n项和的公式而言，很多学生在小学就已经从课外得知了这一公式，所以在进行知识呈现时，教师不可完全照本宣科，而需要从全新的角度切入，引导学生重新审视原有知识架构中“冰冷”的公式，带领学生揭开公式的“神秘面纱”，剖析公式推导过程中每一步所暗含的数学思想，这样才能抓住学生，让学生参与到课堂中来．本节课从时事——今年是中华人民共和国成立70周年出发，从学生们喜爱的阅兵式入手，让学生探索队列人数与数列间的关系，感受到数学来源于生活，引导学生学会用数学的眼光看世界．整节课的设计将几何中的“割补”法作为背景，结合多媒体的使用，分别从对数的角度“配对”和从形的角度“割补”进行交叉对比，让学生学会将已有的知识和研究手段迁移到新知识的学习中，让学生经历了从数到形，再从形到数的渐进过程，找到前n项和公式的两种形式的几何支撑，加深对于抽象公式的形象化理解，在获得新知的过程中体会了数形结合、化归、分类讨论等基本思想方法．例题的设置呼应了公式的两种形式，让学生在解题时体会如何选择合适的公式，也让学生在选择中体会两种公式间的联系，而公式的选用也是为了追求简约。
高中数学《等差数列的前n项和》教案3 苏教版必修5
等差数列的前n 项和教学目标1．掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路．2．会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题. 教学重点等差数列n 项和公式的理解、推导及应用教学难点灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题.教学方法引导式教学教具准备投影片(钢管堆放示意图)教学过程(I)复习回顾师：经过前面的学习，我们知道，在等差数列中1）d a a n n =--1（n ≥1），d 为常数2）若b A a ,,为等差数列，则2b a A +=3）若q p n m +=+，则q p n a a a a m +=+（Ⅱ）讲授新课师：利用前面所学知识，今天我们来探讨一下等差数列的求和问题（放投影片） 生：看投影片（钢管堆放示意图），师：我们已经知道，这各层的钢管数可看作一个首项7,1,41===n d a 的等差数列，利用31)1(4+=⨯-+=n n a n 可以很快捷地求出每一层的钢管数。
如果现在要问：这一共有多少钢管呢？这个问题又该如何解决？生：积极思考，解决问题得：4+5+6+7+8+9+10=49（或=（4+10）+（5+9）+6+8）+7=7（4+10）/2）师：对于一般的等差数列，又该如何去求它的前n 项和？设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，即1231211121(2)(1)a a a a a a a a a a a S a a a S n n n n n n n n n +==+=+=+++=++=---ΛΘΛΛ或 ∴①+②可得：2)(1n n a a n S += ∴2)(1n n a a n S +=或利用定义可得：⎩⎨⎧--+-+=-++++=])1([)(])1([)(111d n a d a a S d n a d a a S n n n n n ΛΛ两式相加可得：)(21n n a a n S + 即2)(1n n a a n S += 将d n a a n )1(1-+=代入可得：d n n na S n 2)1(1-+= 综上所述：等差数列求和公式为：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= 师：下面来看一下求和公式的简单应用例1：一个堆放铅笔的V 型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V 形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V 形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为{}n a ，其中120,11201==a a ，根据等差数列前n 项和的公式，得72602)1201(120120=+⨯=S 答：V 形架上共放着7260支铅笔。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.2.3 等差数列的前n项和》6
《等差数列前n项和》教学设计一、教材分析本节内容是苏教版必修5第二章第三节“等差数列前n项和”的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用。
本节对“等差数列前n项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其学习平台是学生已掌握等差数列的概念与性质等相关知识。
对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法一倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。
二、学情分析该部分的学习是建立在学生对数列知识的有效认识的基础上，学生在具体的学习实践中已经掌握等差数列基本性质以及相关基础知识，本节课在此基础上，通过利用兴趣激励法，在激发学生的探索兴趣的基础上，引导学生展开积极的学习实践，使学生在积极的学习实践中，引发学生对其本质的探索的兴趣，引导学生根据所学知识，通过具体的自主观察、合作交流、探索等实践，在充分调动学生的积极性的基础上,引导学生形成对学习内容的形象生动的掌握过程。
三、教学目标1知识上，掌握等差数列前n项和公式，能够简单运用公式解决问题;通过公式的推导，体会从特殊到一般的研究方法，认识倒序相加法。
2过程与方法上，经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思。
3情感上，获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。
四、学习重难点重点是掌握等差数列前n项和公式，能够简单运用公式解决问题;难点是等差数列前n项和公式推导过程中渗透倒序相加的思想方法。
五、教学方法故事法、情境教学法、启发式教学等。
六、教学过程（一）情境引入，激发兴趣（播放微课）‘数学王子” 高斯，在他10岁的时候，他的算术教师就提出了这样的问题: 12100=当其他学生都忙于计算的时候,只有高斯不慌不忙，当他把答案交给了老师时，老师看都不看就让高斯回去再算算，高斯说出自己的答案是高斯的算法:1100 299 5051 = 101 * 50= 5050设计意图：通过高斯的故事来引发学生对等差数列前n项求和的学习兴趣。
高中数学必修五《等差数列前n项和》名师教学设计
课题：§2.2.3等差数列的前n 项和
教材：苏教版高中数学课本必修5，P.42-44
教学目标：
1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；
2.会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题。
3. 在研究公式的形成过程中，培养学生的探究能力、创新能力和科学的思维方法。
教学重、难点：
教学重点：
探索并掌握等差数列前n 项和公式的推导和应用。
教学难点：
等差数列前n 项和公式推导思路的获得。
教学方法与教学手段：
本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。
教学过程设计：
数形结合
类比化归
前后呼应 公式应用 【教学过程】
展示最优解法，避免分类讨论.
两式相加后可得 对于更一般的等差数列怎么求和？大家思考并相互讨论。
(n n S =
问题：观察这个等式，跟以前学过的什么公式类。
《等差数列的前n项和》教案1(苏教版必修5).doc
•课题等差数列的前n项和（二）•教学目标（一）教学知识点等差数列的前n项和公式S”= "G+Q"）=na1+巴匸» d.2 2（二）能力训练要求1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.（三）德育渗透目标提高学生的应用意识.•教学重点熟练掌握等差数列的求和公式.•教学难点灵活应用求和公式解决问题.•教学方法讲练结合法结合具体例子讲解分析问题，解决问题的方法，从而提高学生分析问题，解决问题的能力.•教具准备投影片两张第一张：［例1］求集合M= ｛m I m=7n,n^N*,且m<100｝的元素个数，并求这些元素的和.［例2］已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,由此可以确定求其前n项和的公式吗？第二张：［例3］已知数列S”｝是等差数列，S”是其前n项和.求证：S6,S12—S5,S18—S12成等差数列，设其k^N*,S kl S2k—S kl S3k~S2k成等差数列吗？•教学过程I.复习回顾［师］请同学们回顾一下等差数列的通项公式及前n项和公式.［生］通项公式：a n=a1+（n-1） d,求和公式：S”="©' +%）=“计乜二2 2II.讲授新课（打出投影片下面结合这些例子，来看如何应用上述知识解决一些相关问题.［例1］分析：满足条件的n的取值个数即为集合M的元素个数，这些元素若按从小到大排列，则是一等差数列.解：山m<100,得7n<100,即n< 型= 14?7 7所以满足上面不等式的正整数n共有14个，即集合M中的元素共有14个，将它们从小到大可列出，得：7, 7X2, 7X3, 7X4,…7X14,即：7, 14, 21, 28, —98这个数列是等差数列，记为（a n｝，其中5=7,54=98, n=14则5i4=14x(7 + 98)=7352答：集合M中共有14个元素，它们和等于735.这一例题表明，在小于100的正整数中共有14个数是7的倍数，它们的和是735.［例2］分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于久与d的关系，然后确定虫与d,从而得到所求前n项和的公式.解：由题意知S10=310,S20=1220,将它们代入公式S n=na1+丛日d,得到2J10e+45d = 310［20^+190^ = 1220解这个关于5与〃的方程组，得到。
苏教版数学必修五2.3等差数列的前n项和(学案含答案)
苏教版数学必修五2.3等差数列的前n项和（学案含答案）＝n （a 1＋a n ），∴S n ＝21n （a 1＋a n ） 这种推导方法称为倒序求和法。
【核心突破】（1）由等差数列的前n 项和公式及通项公式可知，若已知a 1、d 、n 、a n 、S n 中三个便可求出其余两个，即“知三求二”。
“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解。
（2）在运用等差数列的前n 项和公式来求和时，一般地，若已知首项a 1及末项a n 用公式S n ＝2)(1na an +较方便；若已知首项a 1及公差d 用公式S n ＝na 1＋2)1(-nn d 较好。
（3）在运用公式S n ＝2)(1na an +求和时，要注意性质“设m 、n 、p 、q 均为正整数，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ”的运用。
（4）在求和时除了直接用等差数列的前n 项和公式求和（即已知数列是等差数列）外，还要注意创设运用公式条件（即将非等差数列问题转化为等差数列问题），以利于求和。
考点二：等差数列前n 项和的性质数列{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则有如下性质：（1）S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，也是等差数列，公差为m 2d 。
（2）若项数为偶数2n （n ∈N *），则S 偶－S奇＝nd ，偶奇S S ＝1+n na a 。
（3）若项数为奇数2n ＋1（n ∈N *），则S 奇－S 偶＝a n ＋1，偶奇S S ＝n n 1+。
（4）若{a n }、{b n }均为等差数列，前n 项和分别为S n 和T n ，则1212--=m m m m T S b a 。
考点三：等差数列前n 项和的最值解决等差数列前n 项和的最值的基本思想是利用前n 项和公式与函数的关系解决问题，即：（1）二次函数法：用求二次函数的最值的方法来求前n 项和的最值，但要注意的是：*n N ∈。
苏教版高中数学必修五等差数列的前n项和教案(1)
等差数列的前n 项和教学目标1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式．2．了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.教学重点熟练掌握等差数列的求和公式教学难点灵活应用求和公式解决问题.教学方法讲练相结合教具准备(I)复习回顾师：（提问）等差数列求和公式？生：（回答）d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= （Ⅱ）讲授新课师：结合下列例题，掌握一下它的基本应用例1：求集合{}100,,7*<∈=m N n n m m 且的元素个数，并求这些元素的和。
解由m=100，得72147100=<n 满足此不等式的正整数n 共有14个，所以集合m 中的元素共有14个，从小到大可列为： 7，7×2，7×3，7×4，…7×14即：7，14，21，28， (98)这个数列是等差数列，记为{},n a 其中7352)987(14 98,714141=+⨯=∴==S a a 答：集合m 中共有14个元素，它们和等于735例2：已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？分析：若要确定其前n 项求和公式，则要确定 d.1和a 由已知条件可获两个关于1a 和d 的关系式，从而可求得.解：由题意知1220,3102010==S S ， 代入公式d n n na S n 2)1(1-+= 可得⎩⎨⎧=+=+122019020310451011d a d a 解得⎩⎨⎧==641d an n n n n S n +=⨯-+=∴2362)1(4 师：看来，可以由S 10与S 20来确定S n 。
例3：已知数列{},n a 是等差数列，S n 是其前n 项和，还应证：S 6，S 12-S 6，S 18-S 12成等差数列，设k k k k k S S S S S N k 232,,,--∈+成等差数列吗？ 生：分析题意，解决问题.解：设{},n a 首项是1a ，公差为d则：6543216a a a a a a S +++++=为等差数列1218612661212111098712111098718171615141312186654321654321121110987612,,3636)()6()6()6()6()6()6(3636)()6()6()6()6()6()6(S S S S S dS S da a a a a a d a d a d a d a d a d a a a a a a a S S dS d a a a a a a d a d a d a d a d a d a a a a a a a S S --∴+-=++++++=+++++++++++=+++++=-+=++++++=+++++++++++=+++++=- 同理可得k k k k k S S S S S 232,,--成等差数列.（Ⅲ）课堂练习生：9板演练习）师：给出答案，讲评练习.(Ⅳ)课时小结师：综上所述：①灵活应用通项公式和n 项和公式；②k k k k k S S S S S 232,,--也成等差数列.（V ）课后作业一、1．课本二、1．预习内容：2．预习提纲：①什么是等比数列？②等比数列的通项公式如何求？板书设计教学后记。
(教师用书)高中数学 2.2.3 等差数列的前n项和教案 苏教版必修5
2.2.3 等差数列的前n项和(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)掌握等差数列前n项和的公式以及推导该公式的数学思想方法，并能运用公式解决简单的问题；(2)掌握等差数列前n项和的常用性质，并会用它们解决一些相关问题；(3)会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究S n的最值，从而提高学生分析问题、解决问题的能力；(4)在探索活动中培养学生观察、分析的能力，培养学生由特殊到一般的归纳能力．2.过程与方法(1)通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究；(2)通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通项公式推导的过程教学是对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平．3．情感、态度与价值观(1)通过公式的推导过程，获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高数学推理的能力；(2)培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力；(3)通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并解决问题．●重点、难点重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用，等差数列前n项和的常用性质及应用．难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题，体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系．为了突破重点，化解难点，在教学时要从特例出发，抓住知识的切入点，结合学生原有的知识水平和所需知识，引导学生思考：如何求等差数列的前n项和？等差数列的前n项和有何特点？通过观察、分析、比较，采取从特殊到一般的方法推证出等差数列的前n项和公式．对于等差数列前n项和的常用性质，应先引导学生回答所提问题，采取从特殊到一般的思想，发现并归纳出等差数列前n项和的常用性质；再通过例题强化学生对性质的理解和记忆．(教师用书独具)●教学建议1．求等差数列前n项和是我们在实际生活中经常遇到的一类问题，同时也是数列研究的基本问题．学生对等差数列前n项和公式的学习既是重点又是难点．为此，首先从“高斯算法”和“钢管堆放”两个实际问题出发，引导学生去观察探寻与等差数列首末两端“等距离”的两项之和有何特点？这样做，一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣，另一方面，使学生发现等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律．也为接下来求一般等差数列前n项和做铺垫．由于这里的思路和算法比较巧妙，蕴涵有求等差数列前n项和一般的规律性．教学时，应给学生提供充裕的时间和空间，让学生自己去观察、探索发现这种数列内在的规律．2．在推导等差数列前n项和公式时，由于已在前面做好铺垫，就可以引导学生自己去推导求和公式，推导结束后要注意引导学生认识公式本身结构特征．前者反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质．后者反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较．两者从不同角度反映了等差数列的性质．对于这两个公式，初学的学生在解决一些问题时，往往不知道该如何选取．教师应引导学生对这两个公式进行分析，根据公式各自的特点，帮助学生恰当地选择合适的公式．譬如说，两个公式的共同点是需知a1和n，不同点是前者还需知a n，后面还需知d，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式．教学时，可以用熟知的梯形面积公式(给出图形)帮助学生理解和记忆．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第25页)200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…＋100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案．(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050.高斯的算法实际上解决了求等差数列1,2,3，…，n ，…前100项的和的问题．人们从这个算法中受到启发，用下面的方法计算1,2,3，…，n ，…的前n 项和．由1＋2＋…＋(n －1)＋n ＋n ＋(n －1)＋…＋2＋1 ＝(n ＋1)＋(n ＋1)＋…＋(n ＋1) 可知1＋2＋3＋…＋n ＝ n ＋1 ×n 2.这种方法能够推广到求一般等差数列的前n 项和吗？若能，试求之． 【提示】 能． ∵S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，∴2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)， ＝n (a 1＋a n )． ∴S n ＝12n (a 1＋a n )等差数列的前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －1 2d1．若数列{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 有何关系？ 【提示】 设等差数列的首项为a 1，公差为d .则a k ＋1＝a 1＋kd ，a 2k ＋1＝a 1＋2kd .S k ＝ka 1＋k k －1 2d .又S 2k －S k 为数列第k ＋1项到第2k 项这k 项的和， ∴S 2k －S k ＝k (a 1＋kd )＋k k －12d＝ka 1＋k k －12d ＋k 2d .同理，S 3k －S 2k ＝k (a 1＋2kd )＋k k －12d＝ka 1＋k k －12d ＋2k 2d .∴S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 构成等差数列，且公差为k 2d .2．若项数为偶数2n (n ∈N *)的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 偶与S 奇有何关系？ 【提示】 S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n＝n a 2＋a 2n2＝n a n ＋1＋a n ＋12＝na n ＋1，S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝n a 1＋a 2n －12＝n ·2a n2＝na n .∴S 偶－S 奇＝na n ＋1－na n ＝nd ，S 偶S 奇＝na n ＋1na n ＝a n ＋1a n. 数列{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则有如下性质： (1)S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，也是等差数列，公差为m 2d ； (2)若项数为偶数2n (n ∈N *)，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. (3)若项数为奇数2n ＋1(n ∈N *)，则S 奇－S 偶＝a n ＋1，S 奇S 偶＝n ＋1n. (4)若{a n }、{b n }均为等差数列，前n 项和分别为S n 和T n ，则a mb m＝S 2m －1T 2m －1.(对应学生用书第26页)在等差数列{a n }中，前n 项和为S n .(1)已知S 8＝48，S 12＝168，求a 1和d ； (2)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8； (3)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.【思路探究】 (1)利用前n 项和公式，建立关于a 1、d 的方程组，解方程组求a 1、d . (2)根据前n 项和公式求a 1、d ，再求a 8和S 8.(3)先根据等差数列的性质求a 1＋a 17，再求S 17. 【自主解答】 (1)由等差数列的前n 项和公式，得⎩⎪⎨⎪⎧8a 1＋28d ＝48，12a 1＋66d ＝168，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝4.(2)∵a 6＝S 6－S 5，∴S 6＝S 5＋a 6＝15. ∴a 1＋a 62×6＝15，即3(a 1＋10)＝15，∴a 1＝－5，∴d ＝a 6－a 15＝3，∴a 8＝a 6＋2d ＝16，S 8＝a 1＋a 82×8＝44.(3)根据等差数列的性质，有a 3＋a 15＝a 1＋a 17＝40， ∴S 17＝17× a 1＋a 17 2＝17×402＝340.1．本题第(3)问看似缺少条件，但注意到a 3＋a 15与a 1＋a 17的联系，便可以很容易地求出结果，所以应注意各元素之间的某些特殊联系．2．对于两个求和公式S n ＝n a 1＋a n2和S n ＝na 1＋n n －12d ，要根据题目的已知条件灵活选用．等差数列{a n }中，a 10＝30，S 20＝620. (1)求a n ；(2)若S n ＝242，求n .【解】 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，20a 1＋20×192d ＝620，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋10.(2)由(1)知，S n ＝ a 1＋a n ·n 2＝ 12＋2n ＋10 2·n ＝n 2＋11n .∴由n 2＋11n ＝242，得n ＝11或n ＝－22(舍)． 故n ＝11.在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10.求S 110.【思路探究】 思路一：利用S n ＝na 1＋n n －12d →求a 1，d →求S 110思路二：利用前n 项和性质→连续10项和成等差数列→求S 110 【自主解答】 法一 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10 10－1 2d ＝100，100a 1＋100 100－1 2d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.∴S 110＝110a 1＋110 110－12d＝110×1 099100＋110×1092×(－1150)＝－110.法二 ∵{a n }是等差数列，∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列． 设其公差为D ，前10项和10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，得D ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120. ∴S 110＝－120＋S 100＝－110.1．本题的两种解法中，法一为基本解法，运算量很大；法二利用前n 项和的性质，在新的等差数列中研究，利于思考和计算．2．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…也是等差数列，利用此性质解题，往往比直接利用最基本的前n 项和公式要简捷．应当注意，在利用此性质解题时，不要误认为S k ，S 2k ，S 3k ，…是等差数列．已知含2n ＋1项的等差数列，求其奇数项的和与偶数项的和之比． 【解】 法一 设原数列为a 1，a 2，a 3，…，a 2n ＋1，公差为d ，则a 1，a 3，a 5，…，a 2n ＋1和a 2，a 4，a 6，…，a 2n 分别也为等差数列，公差都为2d . 故S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)a 1＋ n ＋1 [ n ＋1 －1]2·2d ＝(n ＋1)(a 1＋nd )，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝na 2＋n n －12·2d＝n (a 1＋d )＋n (n －1)d ＝n (a 1＋nd )． 故S 奇S 偶＝ n ＋1 a 1＋nd n a 1＋nd ＝n ＋1n. 法二 ∵S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝ n ＋1 a 1＋a 2n ＋1 2，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n a 2＋a 2n2，且a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n.已知等差数列{a n }中，a 1＝13且S 3＝S 11，那么n 取何值时，S n 取得最大值？并求出S n 的最大值．【思路探究】 先根据前n 项和公式求公差d ，再求出S n 的表达式，转化成二次函数在N *上的最值问题；也可求出公差d 后，利用通项公式a n 的符号解决．【自主解答】 法一 设公差为d ，由S 3＝S 11得3×13＋3× 3－12d ＝11×13＋11× 11－12d ，d ＝－2，又a 1＝13，∴S n ＝d2n 2＋(a 1－d2)n＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49.∴当n ＝7时，S n 取得最大值，最大值是S 7＝49. 法二 同法一得d ＝－2，a n ＝13－2(n －1)＝15－2n .由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧15－2n ≥0，15－2 n ＋1 ≤0，解得6.5≤n ≤7.5，∴当n ＝7时，S n 取得最大值．∴S n 的最大值是S 7＝7 a 1＋a 7 2＝7× 13＋15－2×72＝49.法三 同法一得d ＝－2又由S 3＝S 11知a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝4(a 7＋a 8)＝0.∵a 1＝13＞0，∴a 7≥0，a 8≤0，知数列的前7项和最大． ∴S 7＝7×13＋7×62×(－2)＝49.1．本题中法一利用二次函数的最值确定n 值；法二利用等差数列的通项公式确定n 值；法三利用等差数列的性质，由条件本身的特点确定n 值．2．求等差数列前n 项和的最值的常见方法： (1)方法一：利用通项公式确定n 值①若a 1＞0，d ＜0，则S n 有最大值，n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1＜0来确定；②若a 1＜0，d ＞0，则S n 有最小值，n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1＞0来确定．(2)方法二：利用二次函数的最值确定n 值等差数列的前n 项和为S n ，当d ≠0时，点(n ，S n )是二次函数y ＝ax 2＋bx (a ≠0)上的间断点．因此可利用二次函数的最值确定n 值．本题条件改为“a 1＝25，S 17＝S 9”，结果如何？【解】 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25S 17＝S 9得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25，17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2. 则S n ＝25n ＋n n －12(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169，∴数列的前13项和最大． ∴S 13＝169.法二 同法一得d ＝－2，又a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2 n －1 ≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0得12.5≤n ≤13.5.∴当n ＝13时，S n 有最大值，最大值为S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169. 法三 同法一得d ＝－2， ∵a 1＝25，S 9＝S 17，∴公差d ＜0. 又S n ＝na 1＋n n －1 2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，设a ＝d 2，b ＝a 1－d2，则S n ＝an 2＋bn (a ＜0)，其图象是二次函数f (x )＝ax 2＋bx 图象上一群孤立的点．∵S 9＝S 17，即f (9)＝f (17)，∴二次函数f (x )的图象的对称轴为x ＝9＋172＝13，且开口向下，∴当x ＝13时，f (x )取得最大值． ∴数列的前13项和最大，∴S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169(对应学生用书第27页)等差数列前n 项和公式的结构特征未弄清致误两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝5n ＋134n ＋5，求a 10b 10的值． 【错解】 设S n ＝(5n ＋13)k ，T n ＝(4n ＋5)k ， 则a n ＝S n －S n －1＝5k ，b n ＝T n －T n －1＝4k ，所以a n b n ＝54，于是a 10b 10＝54.【错因分析】 由等差数列的前n 项和公式知S n ＝12n ×[2a 1＋(n －1)d ]，故S n 与n 不一定是一次函数关系，由S n T n ＝5n ＋134n ＋5可知比值S n 5n ＋13＝T n4n ＋5随着序号n 的变化而变化，不能设为常数k .【防范措施】 弄清等差数列前n 项和的函数特征，当d ≠0时，S n 是关于n 的一元二次函数(无常数项)．【正解】 设S n ＝(5n ＋13)nk ，T n ＝(4n ＋5)nk ， 则a n ＝S n －S n －1＝(10n ＋8)k ，b n ＝T n －T n －1＝(8n ＋1)k ， 所以a n b n ＝10n ＋88n ＋1，其中n ≥2.所以a 10b 10＝10×10＋88×10＋1＝43.1．基础知识：(1)数列的前n 项和概念； (2)等差数列前n 项和公式；(3)等差数列前n 项和公式与函数关系； (4)等差数列前n 项和的性质． 2．基本技能：(1)等差数列前n 项和公式的应用； (2)等差数列前n 项和性质的应用； (3)等差数列前n 项和最值的求法． 3．思想方法： (1)方程思想； (2)转化思想；(3)数形结合思想.(对应学生用书第28页)1．等差数列{a n }中，a 11＝10，则S 21＝________. 【解析】 S 21＝21 a 1＋a 212＝21a 11＝210.【答案】 2102．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n (n ∈N *)，则{a n }的前n 项和S n 等于________． 【解析】 由a n ＝2－3n ，得a 1＝－1，则S n ＝n a 1＋a n 2＝n －1＋2－3n 2＝n －3n ＋1 2＝－32n 2＋n 2【答案】 －32n 2＋n 23．在等差数列{a n }中，a 4＝10，a 10＝－2.若S n ＝60，则n 的值为________．【解析】 设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝10，a 1＋9d ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16，d ＝－2.∴S n ＝n ×16＋n n －12×(－2)＝60，整理得n 2－17n ＋60＝0，∴n ＝5或n ＝12. 【答案】 5或124．已知在等差数列中，前n 项和为S n ，且S m ＝3，S 2m ＝6，求S 3m . 【解】 ∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列， ∴2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，∴2×3＝3＋(S 3m －6)，∴S 3m ＝9.(对应学生用书第87页)一、填空题1．已知等差数列{a n }中，a 7＝3，则数列{a n }的前13项之和为________． 【解析】 S 13＝13a 7＝13×3＝39. 【答案】 392．(2013·汉中高二检测)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋5，则a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝________.【解析】 由S n ＝n 2＋2n ＋5，得S 2＝13，S 6＝53， ∴a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝S 6－S 2＝53－13＝40. 【答案】 403．(2013·微山高二检测)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式为a n＝________.【解析】 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋n )－[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2也适合上式，∴a n ＝2n (n ∈N *)． 【答案】 2n (n ∈N *)4．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，则公差d ＝________. 【解析】 ∵a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n n －12d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋ n －1 d ＝－512，n ＋n n －12d ＝－1 022.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝4，d ＝－171.【答案】 －1715．(2013·徐州检测)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝________.【解析】 设S 3＝k ，则S 6＝3k ，∴S 6－S 3＝2k .由等差数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9也成等差数列． ∴S 9－S 6＝3k ，S 12－S 9＝4k . ∴S 9＝6k ，S 12＝10k .∴S 6S 12＝310. 【答案】3106．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________. 【解析】 由S 9＝9 a 1＋a 92＝9a 5＝72，∴a 5＝8.∴a 2＋a 4＋a 9＝(a 2＋a 9)＋a 4＝(a 5＋a 6)＋a 4＝a 5＋(a 6＋a 4)＝3a 5＝24. 【答案】 247．(2013·扬州检测)已知首项为正数的等差数列{a n }满足：a 2011＋a 2012＞0，a 2011a 2012＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是________．【解析】 ∵a 2011a 2012＜0，∴数列{a n }的项有正有负． ∵a 1＞0，∴等差数列{a n }为递减数列． ∴a 2011＞0，a 2012＜0.∴S 4022＝4022 a 1＋a 4022 2＝4022 a 2011＋a 20122＞0，S 4023＝4023 a 1＋a 4023 2＝4023×2a 20122＜0.【答案】 4 0228．(2013·无锡检测)在等差数列{a n }中，若任意两个不等的正整数k ，p ，都有a k ＝2p －1，a p ＝2k －1，设数列{a n }的前n 项和为S n ，若k ＋p ＝m ，则S m ＝________(结果用m 表示)．【解析】 ∵d ＝a k －a p k －p ＝ 2p －1 － 2k －1k －p＝－2， 又a k ＝a 1－2(k －1)，∴a 1＝a k ＋2(k －1)＝2p －1＋2k －2＝2(k ＋p )－3＝2m －3， ∴S m ＝ma 1＋m m －12d ＝m (2m －3)－m (m －1)＝m (m －2)＝m 2－2m . 【答案】 m 2－2m 二、解答题9．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，求S 10. 【解】 设首项为a 1，公差为d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝16， ①20a 1＋12×20×19d ＝20. ②由②得2a 1＋19d ＝2. ③ ③－①×2得15d ＝－30，∴d ＝－2. ∴a 1＝16－2d ＝20.∴S 10＝10a 1＋12×10×9d ＝200－90＝110.10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n . (1)求证{a n }是等差数列；(2)求使100＜a n ＜200成立的所有项的和．【解】 (1)证明：当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋2×1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n )－[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1. 因为n ＝1时，适合a n ＝2n ＋1，所以此数列的通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． 因为a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋1－(2n ＋1)＝2，所以{a n }是以a 1＝3为首项，d ＝2为公差的等差数列． (2)因为100＜a n ＜200，又由(1)得a n ＝2n ＋1(n ∈N *)， 所以100＜2n ＋1＜200，所以992＜n ＜1992(n ∈N *)，即50≤n ≤99(n ∈N *)，所以它们的和为S ＝S 99－S 49＝992＋2×99－(492＋2×49)＝7 500. 故满足条件的各项之和为7 500.11．数列{a n }是等差数列，a 1＝50，d ＝－0.6. (1)从第几项开始有a n ＜0?(2)求此数列前n 项和S n 的最大值．【解】 (1)因为a 1＝50，d ＝－0.6，所以a n ＝50－0.6(n －1)＝－0.6n ＋50.6(n ∈N *)． 令－0.6n ＋50.6≤0，则n ≥50.60.6≈84.3. 由于n ∈N *，故当n ≥85时，a n ＜0，即从第85项起，以后各项都小于0. (2)法一 因为d ＝－0.6＜0，a 1＝50＞0， 由(1)知a 84＞0，a 85＜0，所以S 1＜S 2＜…＜S 84，且S 84＞S 85＞S 86＞….所以S n 的最大值为S 84＝50×84＋84×832×(－0.6)＝2 108.4.法二 S n ＝50n ＋n n －12×(－0.6)＝－0.3n 2＋50.3n ＝－0.3(n －5036)2＋5032120.当n 等于最接近5036的自然数，即n ＝84时，S n 达到最大值，为S 84＝2108.4.(教师用书独具)有两个等差数列{a n }，{b n }，满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nb 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5.【思路探究】 a 1＋a 2＋…＋a n ，b 1＋b 2＋…＋b n 分别为等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，因此可用等差数列前n 项和公式或其他相关性质解答．【自主解答】 法一 设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2， 则a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n ＝na 1＋n n －1 2d 1nb 1＋n n －1 2d 2＝a 1＋n －12d 1b 1＋n －12d 2，则有a 1＋n －12d 1b 1＋n －12d 2＝7n ＋2n ＋3，① 又由于a 5b 5＝a 1＋4d 1b 1＋4d 2，②观察①②，在①中取n ＝9， 得a 1＋4d 1b 1＋4d 2＝7×9＋29＋3＝6512，故a 5b 5＝6512. 法二 设{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ， 则有A n B n ＝7n ＋2n ＋3，其中A n ＝ a 1＋a n n 2，B n ＝ b 1＋b n n2.由于a 1＋a 9＝2a 5，即a 1＋a 92＝a 5，故A 9＝9 a 1＋a 9 2＝9a 5.同理B 9＝9b 5.故A 9B 9＝9a 59b 5，故a 5b 5＝A 9B 9＝7×9＋29＋3＝6512. 法三 若设两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ， 则由等差数列的性质得a n ＝a 1＋a 2n －12，b n ＝b 1＋b 2n －12，∴a n b n ＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝ 2n －1 a 1＋a 2n －12 2n －1 b 1＋b 2n －1 2＝A 2n －1B 2n －1.∴A 2n －1B 2n －1＝a n b n ，从而a 5b 5＝A 9B 9＝7×9＋29＋3＝6512.等差数列的项随着序号n 的变化而变化，这是等差数列的最本质特征，而等差数列的性质则是这一特征的具体反映．利用等差数列的性质解题，就要从等差数列的本质特征入手去思考，分析题目，这样做必定获得事半功倍的效果．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使a nb n为整数的正整数n 有________个．【解析】 a n b n ＝ 2n －1 a n 2n －1 b n ＝A 2n －1B 2n －1＝7 2n －1 ＋452n －1＋3＝7n ＋19n ＋1＝7 n ＋1 ＋12n ＋1＝7＋12n ＋1. ∴n ＝1,2,3,5,11，共有5个． 【答案】 5 拓展生活中，银行存款时的零存整取问题整存整取及活期存款利息是：每期存款利息＝本金×期数×每期利率．存款到期实际所得为：本利和＝本金＋利息－应纳税额．零存整取的储蓄方式是：每月定时存入一笔相同数目的现金，到约定日期，可以取出全部本利和．规定每次存入的钱不计复利.(1)若每月存入x 元，月利率r 不变，存期为n 个月，试求到期后的本利和(不考虑利息税)．(2)若每月初存入500元，月利率为0.3%，则到第36个月末整取时的本利和是多少？【解】 (1)根据题意，第1个月存入的x 元，到期利息为x ·r ·n 元；第2个月存入的x 元，到期利息为x ·r ·(n －1)元；……；第n 个月存入的x 元，到期利息为x r 元．不难看出这是一个等差数列求和问题．各月利息之和为x r (1＋2＋3＋…＋n )＝n n ＋12xr (元)，而本金为nx 元，这样就得到本利和公式y ＝x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋n n ＋1 r 2. (2)根据(1)中的公式，本利和y ＝500×⎝ ⎛⎭⎪⎫36＋36×372×0.3%＝18 999(元).。
高中数学《等差数列的前n项和》教案苏教版必修
高中数学《等差数列的前n项和》教案苏教版必修一、教学目标1.掌握等差数列的定义和性质。
2.理解等差数列的通项公式和前n项和公式。
3.能够应用前n项和公式计算等差数列的和。
4.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学重点1.等差数列的定义和性质。
2.等差数列的通项公式和前n项和公式。
3.应用前n项和公式计算等差数列的和。
三、教学内容1. 等差数列的定义和性质•等差数列的定义：若一个数列中任意相邻两项的差等于同一个常数d，则称该数列为等差数列。
•等差数列的性质：–公差d是等差数列的一个重要属性，它确定了等差数列的变化规律。
–等差数列的第n项可以表示为：a n=a1+(n−1)d。
–等差数列的前n项和可以表示为：$S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$。
2. 等差数列的通项公式和前n项和公式•等差数列的通项公式：a n=a1+(n−1)d，其中a n表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差。
•等差数列的前n项和公式：$S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中S n表示等差数列的前n项和。
3. 应用前n项和公式计算等差数列的和•通过前n项和公式，我们可以方便地计算等差数列的前n项和。
•实际应用中，等差数列的前n项和常用于计算某项数值的总和，例如等差数列的总销售额、总花费等。
四、教学过程1. 导入新知识通过提问学生，引导他们回顾等差数列的定义和性质，以及等差数列的通项公式。
2. 介绍前n项和公式的推导过程教师通过具体例子，引导学生思考前n项和公式的推导过程，并解释推导的原理和思路，强化学生对公式的理解。
3. 进一步练习教师出示一些实际问题，引导学生运用前n项和公式计算等差数列的和。
通过练习，巩固学生对公式的应用能力。
4. 拓展应用教师引导学生思考等差数列在实际问题中的应用，并组织学生进行小组讨论，分享彼此的思考和启发。
五、课堂练习1.已知等差数列的首项为5，公差为2，求前10项和。
苏教版高中数学必修五教学案第课时等差数列的前N项和
总 课 题等差数列 总课时 第11课时 分 课 题等差数列的前n 项和（一） 分课时 第 3 课时 教学目标 掌握等差数列的前n 项和的公式及推导该公式的数学思想方法，能运用等差数列的前n 项和的公式求等差数列的前n 项和．重点难点 掌握等差数列的前n 项和的公式及推导及公式的运用．引入新课1．（1）你如何快速求出?100321=++++Λ（2）某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根，怎样计算这根钢管的总数呢？2．等差数列的前n 项和的公式及推导： n n a a a S +++=Λ21 ①、2)(1n n a a n S +=； ②、d n n na S n 2)1(1-+=．公式的推导方法：倒序相加法．①式已知首末项求和；②式用于已知首项和公差求和． 例题剖析在等差数列}{n a 中，（1）已知31=a ，10150=a ，求50S ； （2）已知31=a ，21=d ，求10S ．在等差数列}{n a 中，已知21=d ，23=n a ，215-=n S ，求1a 及n ．在等差数列}{n a 中，已知第1项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和．例1 例2 例3巩固练习1．某商店的售货员想在货架上用三角形排列方式展示一种罐头饮料，底层放置15个罐头，第2层放置14个罐头，第3层放置13个罐头……顶层放置一个罐头，这种摆法需要多少个罐头？2．在等差数列}{n a 中，（1）已知71=a ，4310-=a ，求10S ；（2）已知1001=a ，2-=d ，求50S ； （3）已知1015-=a ，2=d ，求20S ；（4）已知85=a ，249=a ，求n a 和n S ．3．在等差数列Λ32,21,31,61中， （1）求前20项的和； （2）已知前n 项的和为2155，求n 的值．4．在等差数列}{n a 中，已知1008=S ，39216=S ，试求24S ．课堂小结差数列的前n 项和的公式及推导方法；求和公式的灵活运用．课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．已知等差数列}{n a 和}{n b 中，251=a ，751=b ，100100100=+b a ， 则数列}{n n b a +的前100项的和为 ．2．在等差数列}{n a 中，20141084=+++a a a a ，则前17项的和为 ．3．求下列等差数列各项的和：（1）1，5，9，…，401； （2）3-，23-，0， (30)（3）7.0，7.2，7.4，…，7.56；（4）10-，9.9-，8.9-，…，1.0-．4．求和：（公式：)()2()1()0()(0n b a b a b a b a bk a n k ⋅+++⋅++⋅++⋅+=+∑=Λ） （1）∑=+100)25.03(k k ；（2）∑=-200)21(n n ．5．在等差数列}{n a 中，（1）已知201=a ，54=n a ，999=n S ，求d 及n ；（2）已知31=d ，37=n ，629=n S ，求1a 及n a ； （3）已知651=a ，61-=d ，5-=n S ，求n 及n a ； （4）已知31=d ，15=n ，10-=n a ，求1a 及n S ．6．已知等差数列}{n a 的通项公式是12+=n a n ，求它的前n 项和．二 提高题7．已知等差数列}{n a 的前4项和为2，前9项和为6-，求它的前n 项和．三 能力题8．在等差数列}{n a 中，（1）已知1141=+a a ，求此数列的前17项的和；（2）已知2011=a ，求此数列的前21项的和；（3）已知该数列的前11项的和6611=S ，求此数列的第6项；（4）已知1008=S ，39216=S ，求24S ．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.2.3 等差数列的前n项和》31
《等差数列的前n项和（1）》教学设计一、教学目标项和公式的推导方法；项和公式；3通过对等差数列求和公式的探究，培养学生创新意识，提高学生的解决问题的能力二、教材分析：本节课《等差数列的前n项和（1）》项和公式，这是本章的重点内容等差数列在我们江苏《考试说明》中要求为C级，要求学生能达到综合应用的能力，而等差数列的前n项和又是经常与等差数列综合在一起来考察的三、教学重点、难点：重点：1掌握差数列的前n项和公式及简单运用难点：等差数列的前n项和公式的推导四、教学方式：启发式教学、小组协助、多媒体教学平台五、教学过程：（一）背景问题——创设情景等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的问题在2021年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出等差数列前100项和这么一出好戏那时，高斯的数学老师提出了下面的问题：123…100 = ？当时，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1100）（299）…（5051）=101×50=5050（二）新课引入今天我们就来学习如何去求等差数列的前n项的和，你能模仿一下高斯的方法求出任意一个等差数列的前n项和吗？（1）求135…99的值；（2）求135…101的值；（3）在等差数列}{n a 中，若41=+n a a ，求n n a a a a s +⋯+++=321（学生讨论并发言）【设计意图：1通过（1）（2）让学生初步感受求具体的等差数列的前n 项和；2通过（3）求任意一个等差数列的前n 项和，由特殊到一般的思维过程，同时由（3）中项数n 可能为奇数也可能为偶数，从而给先分再组求和带来了麻烦，为后面引入倒序相加法埋下伏笔】（三）建构数学：项：n n a a a a s +⋯+++=321项和公式:（1）2)(1n n a a n s += （公式一） d n n na s n 2)1( 1-+= （公式二） （2）求和方法：倒序相加法（四） 例题解析：例1、在等差数列{}n a 中，已知1503,101,a a ==求50s【设计意图：项和公式，项和公式的另外一种形式d n n na s n 2)1( 1-+=】 例2、在等差数列{}n a 中，已知公差1315,,222n n d a s ===-，求1a 及n 【设计意图：通过此题让知道在等差数列的前n 项和公式中的5个基本量中，“知三求二”】例3、已知函数221)(xx x f +=， {}.21,3 101s d a a n ，求中，变题：在等差数列==项和？等差数列的前和公差，怎样直接去求知道了等差数列的首项如果思考：n求)10()2()1()21()81()91()101(f f f f f f f +⋯++++⋯+++的值，求变式训练：已知函数221)( +=x x f . )11()1)0()1()9()10(的值f f f f f f +⋯+++-+⋯+-+-【设计意图：1通过例3进一步巩固一下“倒序相加法”这一求和方法；2通过例3以及变式训练提高学生的数感，培养学生的观察能力以及解决问题的能力】（五）课堂练习：１、已知等差数列｛n a ｝中，399200a a +=，求101s 的值2、【设计意图：在学习了等差数列前n 项和公式的两种形式之后，及时运用并巩固求和公式】六课堂小结：【设计意图：通过小组讨论，学生主动参与、相互协作，提高学生的学习兴趣，同时培养学生的团队合作精神，同时也可以培养学生的口头表达能力，归纳概括能力】（六）作业布置：课时作业16：板书设计：{} 25.103s d a a n ，求，中，已知等差数列-==。
2.2.3等差数列的前n项和教案2 高中数学 必修五 苏教版(word版)
第8课时等差数列的前n 项和（3） 【学习导航】知识网络学习要求1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题； 3．利用等差数列解决相关的实际问题。
【自学评价】等差数列的性质：1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和1(1)2n n n S na d -=+21()22d dn a n =+-是关于n 的常数项为0的二次函数.2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
3．当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=4．在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列是等差数列．5．若{}n a 、是等差数列，232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 6．在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时， S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-⋅中（这里a 中即n a ）；:(1):奇偶S Sk k=+。
7．若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()nnA f nB =，则2121(21)(21)n n n n n n a n a A b n b B ---==- (21)f n =-.8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n m a b =.【精典范例】【例1】某剧场有２０排座位，后一排比前一排多２个座位，最后一排有６０个座位，这个剧场共有多少个座位？ 【解】 这个剧场各排的座位数组成等差数列，其中公差ｄ＝２，项数ｎ＝２０，且第２０项是ａ２０＝６０由等差数列的通项公式，得所以221=a由等差数列的求和公式，得答 这个剧场共有820个座位.【例2】某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径４０ｍｍ，满盘时直径１２０ｍｍ已知卫生纸的厚度为０．１ｍｍ，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到１ｍ）？【解】卫生纸的厚度为０．１ｍｍ，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看做是一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总和．由内向外各圈的半径分别为 20.05，20.15，…，59.95．因此，各圈的周长分别为因为各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为ｎ，则59.95＝20.05＋（ｎ－１）×0.1，所以ｎ＝４００．显然，各圈的周长组成一个首项为４０．１π，公差为０．２π，项数为４００的等差数列．根据等差数列的求和公式，得答 满盘时卫生纸的长度约为１００ｍ． 【例3】）教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税．教育储蓄的对象为在校小学四年级（含四年级）以上的学生．假设零存整取３年期教育储蓄的月利率为2.1‰．（１）欲在３年后一次支取本息合计２万元，每月大约存入多少元？ （２）零存整取３年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时３年后本息合计约为多少？（精确到１元） 【解】（１）设每月存Ａ元，则有 Ａ（１＋2.1‰）＋Ａ（１＋２×2.1‰）＋…＋Ａ（１＋３６×2.1‰）=20000 利用等差数列求和公式，得解得A ≈535(元) （２）由于教育储蓄的存款总额不超过２万元，所以３年期教育储蓄每月至多可存入3620000≈５５５（元）．这样，３年后的本息和为答 欲在３年后一次支取本息２万元，每月大约存入535元．３年期教育储蓄每月至多存入555元，３年后本息合计约20756元．追踪训练一1. 已知a n =1562+n n (n ∈N *), 则数列{a n }的最大项是（ C ） A ．第12项B ．第13项C ．第12项或第13项D ．不存在2. 已知等差数列｛ａｎ｝满足ａ１＋ａ２＋…＋ａ１０１＝０，则有（ Ｃ ）． Ａ．1011a a +＞０ Ｂ．1011a a +＜０ Ｃ．1011a a +＝０ Ｄ．5151=a3. 已知一个凸多边形的内角度数组成公差为５°的等差数列，且最小角为１２０°，问它是几边形．【答案】9边形4．某钢材库新到２００根相同的圆钢，要把它们堆放成正三角形垛（如图），并使剩余的圆钢尽可能地少，那么将剩余多少根圆钢？【答案】将剩余10根圆钢5．时钟在１点钟的时候敲一下，在２点钟的时候敲２下……在１２点钟的时候敲１２下，中间每半点钟也敲一下．一昼夜内它一共敲多少下？【答案】一昼夜内它一共敲180下【选修延伸】【例4】已知数列{}n a 的通项公式为n a ＝)12)(12(1+-n n ，求它的前n 项和．分析：我们先看通项n a ＝)12)(12(1+-n n ，然后将其分裂成⎪⎭⎫⎝⎛+--12112121n n ，再求和． 【解】 ∵)12)(12(1+-n n =⎪⎭⎫⎝⎛+--12112121n n∴)]121121()5131()3111[(21+--+-+-=n n S n=12+n n 点评: 如果数列的通项公式可转化为())(1n f n f -+形式，常采用裂项求和的方法．特别地，当数列形如⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a ，其中{}n a 是等差数列，可尝试采用此法．常用裂项技巧如：⎪⎭⎫⎝⎛+-=+k n n k k n n 111)(1，()n k n kn k n -+=++11等．【例5】已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a .【解】由条件知11+=+n na a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即1342312-∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙n n a a a a a a a a n n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=na a n 11=⇒ 又321=a ，na n 32=∴追踪训练二1．在等差数列中，前n 项的和为S n ,若S m =2n,S n =2m,(m 、n ∈N 且m ≠n)，则公差d 的值为（ A ）A.－mn n m )(4+ B.－)(4n m mn+C.－mnn m )(2+D. －)(2n m mn+2．三角形三个边长组成等差数列，周长为36，内切圆周长为6π，则此三角形是（ D ）A ．正三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形，但不是直角三角形D ．直角三角形，但不是等腰三角形 3．设()442xxf x =+，利用课本中推导等差数列前n 项和方法，求121111f f ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…1011f +⎛⎫⎪⎝⎭的值为 5 . 4．已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a . 【解】由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a )111()4131()3121()211(nn --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-=所以na a n 111-=-211=a ，nn a n 1231121-=-+=∴5．已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a .【解】123132231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-∙+⨯-⨯∙⋅⋅⋅∙+---∙+---=3437526331348531n n n n n --=⋅⋅⋅⋅=---。
高中数学(等差数列的前n项和)教案4 苏教版必修5 教案
等差数列的前n 项和(一)教学目标：掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路，会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题；提高学生的推理能力，增强学生的应用意识. 教学重点：等差数列前n 项和公式的推导、理解及应用. 教学难点：灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题. 教学过程： Ⅰ.复习回顾经过前面的学习，我们知道，在等差数列中： （1）a n －a n －1＝d (n ≥1)，d 为常数. （2）若a ，A ，b 为等差数列，则A ＝a ＋b2.（3)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .（其中m ，n ，p ，q 均为正整数） Ⅱ.讲授新课随着学习数列的深入，我们经常会遇到这样的问题.例：如图，一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V 形架上共放着多少支铅笔?这是一堆放铅笔的V 形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V 形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？首先，我们来看这样一个问题：1＋2＋3＋…＋100＝？对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是怎么算的吗？ 高斯的算法是：首项与末项的和：1＋100＝101， 第2项与倒数第2项的和：2＋99＝101，第3项与倒数第3项的和：3＋98＝101， ……第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是101×1002＝5050.这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n ,…的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n 来表示，且任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n 项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n① 把项的次序反过来，S n 又可写成S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1②①＋②⇒2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1) 又∵a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3＝…＝a n ＋a 1 ∴2S n ＝n (a 1＋a n ) 即：S n ＝n （a 1＋a n ）2若根据等差数列{a n }的通项公式，S n 可写为：S n =a 1+(a 1+d )+…+[a 1+(n －1)d ]①,把项的次序反过来，S n又可写为：S n =a n +(a n －d )+…+[a n －(n －1)d ②],把①、②两边分别相加，得2S n ＝个n n n n a a a a a a )()()(111++⋅⋅⋅++++＝n (a 1＋a n )即：S n ＝n （a 1＋a n ）2.由此可得等差数列{a n }的前n 项和的公式S n ＝n （a 1＋a n ）2.也就是说，等差数列的前n 项和等于首末两项的和与项数乘积的一半. 用这个公式来计算1＋2＋3＋…＋100＝？我们有S 100＝100（1＋100）2 ＝5050.又∵a n ＝a 1+(n －1)d , ∴S n ＝n （a 1＋a n ）2 ＝n [a 1＋a 1＋（n －1）d ）]2＝na 1＋n （n －1）2d∴S n ＝n （a 1＋a n ）2或S n ＝na 1＋n （n －1）2d有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？分析题意可知，这个V 形架上共放着120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为{a n }，其中a 1＝1，a 120＝120，n ＝120.解：设自上而下各层的铅笔成等差数列{a n }，其中n ＝120，a 1＝1，a 120＝120. 则：S 120＝120（1＋120）2 ＝7260答案：这个V 形架上共放着7260支铅笔. 下面我们再来看一例题：等差数列－10，－6，－2，2，…前多少项的和是54?分析：先根据等差数列所给出项求出此数列的首项，公差，然后根据等差数列的求和公式求解. 解：设题中的等差数列为{a n }，前n 项为的S n ，由题意可知：a 1＝－10，d ＝(－6)－(－10)＝4，S n ＝54由等差数列前n 项求和公式可得： －10n ＋n （n －1）2×4＝54解之得：n 1＝9，n 2＝－3(舍去)答案：等差数列－10，－6，－2，2，…前9项的和是54. ［例1］在等差数列{a n }中，（1）已知a 2＋a 5＋a 12＋a 15＝36，求S 16 （2）已知a 6＝20，求S 11.分析：（1）由于本题只给了一个等式，不能直接利用条件求出a 1，a 16，d ，但由等差数列的性质，可以直接利用条件求出a 1＋a 16的和，于是问题得以解决.（2）要求S 11只需知道a 1＋a 11即可，而a 1与a 11的等差中项恰好是a 6，从而问题获解. 解：（1）∵a 2＋a 15＝a 5＋a 12＝a 1＋a 16＝18 ∴S 16＝16（a 1＋a 16）2 ＝8×18＝144.（2）∵a 1＋a 11＝2a 6∴S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11a 6＝11×20＝220.［例2］有一项数为2n ＋1的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比. 分析一：利用S n ＝na 1＋n （n －1）2d 解题.解法一：设该数列的首项为a 1，公差为d ，奇数项为a 1，a 1＋2d ，…其和为S 1，共n ＋1项；偶数项为a 1＋d ，a 1＋3d ，a 1＋5d ，…，其和为S 2，共n 项.∴S 1S 2 ＝（n ＋1）a 1＋12 （n ＋1）[（n ＋1）－1]2dn （a 1＋d ）＋12 n （n －1）2d＝n ＋1n. 分析二：利用S n ＝n （a 1＋a n ）2解题.解法二：由解法一知：S 1＝（n ＋1）（a 1＋a 2n ＋1）2 ，S 2＝n （a 2＋a 2n ）2∵a 1＋a 2n +1＝a 2＋a 2n ∴S 1S 2 ＝n ＋1n［例3］若两个等差数列的前n 项和之比是（7n ＋1）∶(4n ＋27)，试求它们的第11项之比. 分析一：利用性质m ＋n ＝p ＋q a m ＋a n ＝a p ＋a q 解题.解法一：设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n . 则：a 11＝a 1＋a 212，b 11＝b 1＋b 212,∴a 11b 11 ＝a 1＋a 212 b 1＋b 212 ＝a 1＋a 212 ·21b 1＋b 212·21 ＝S 21T 21 ＝7×21＋14×21＋27 ＝43分析二：利用等差数列前n 项和S n ＝An 2+Bn 解题. 解法二：由题设，令S n ＝(7n ＋1)·nk ，T n ＝(4n ＋27)·nk 由a n ＝S n －S n －1＝k (14n －6)，得a 11＝148k ，n ≥2b n ＝T n －T n －1＝k (8n －23)，得b 11＝111k ，n ≥2,∴a 11b 11 ＝148k 111k ＝43. 评述：对本例，一般性的结论有：已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，则： （1）a n b n ＝S 2n －1T 2n －1 ；(2)a m b n ＝2n －12m －1 ·S 2m －1T 2n －1. ［例4］等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 A.30 B.170 C.210 D.260 答案：C 分析一：把问题特殊化，即命m ＝1来解. 解法一：取m ＝1，则a 1＝S 1＝30，a 2＝S 2－S 1＝70∴d ＝a 2－a 1＝40，a 3＝a 2＋d ＝70＋40＝110，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝210 分析二：利用等差数列的前n 项和公式S n ＝na 1＋n （n －1）2d 进行求解.解法二：由已知，得⎩⎨⎧S m＝ma 1＋m （m －1）2d ＝30S 2m＝2ma 1＋2m （2m －1）2 d ＝100解得a 1＝10m ＋20m 2 ，d ＝40m2∴S 2m ＝3ma 1＋3m （3m －1）2 d ＝210.分析三：借助等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2及性质m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q 求解.解法三：由已知得⎩⎨⎧m （a 1＋a m ）＝60 ①m （a 1＋a 2m ）＝100 ②3m （a 1＋a 3m ）＝2S 3m ③ a 3m －a 2m ＝a 2m －a m ④由③－②及②－①结合④，得S 3m ＝210.分析四：根据性质：“已知{a n }成等差数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…，S kn －S (k －1)n ，…(k ≥2)成等差数列”解题.解法四：根据上述性质，知S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列. 故S m ＋(S 3m －S 2m )＝2(S 2m －S m ), ∴S 3m ＝3(S 2m －S m )＝210. 分析五：根据S n ＝an 2＋bn 求解. 解法五：∵{a n }为等差数列， ∴设S n ＝a ·n 2＋b ·n ,∴S m ＝am 2＋bm ＝30，S 2m ＝4m 2a ＋2mb ＝100 得a ＝20m 2 ，b ＝10m∴S 3m ＝9m 2a ＋3mb ＝210.分析六：运用等差数列求和公式，S n ＝na 1＋n （n －1）2d 的变形式解题.解法六：由S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，即S n n＝a 1＋n －12d由此可知数列{S n n }也成等差数列，也即S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m成等差数列. 由S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m，S m ＝30，S 2m ＝100 ∴S 3m ＝210.评述：一般地，对于等差数列{a m }中，有S p －S q p －q ＝S p ＋qp ＋q(p ≠q ). [例5]在a ，b 之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列，求这10个数的和. 分析：求解的关键有二：其一是求和公式的选择；其二是用好等差数列的性质.解法一：设插入的10个数依次为x 1，x 2，x 3，…，x 10，则a ，x 1，x 2，…，x 10，b 成等差数列. 令S ＝x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10，需求出首项x 1和公差d . ∵b ＝a 12＝a 1＋11d ∴d ＝b －a11，x 1＝a ＋b －a11 ＝10a ＋b11∴S ＝10x 1＋10×92 d ＝10·10a ＋b 11 ＋10×92 ·b －a11 ＝5(a ＋b )解法二：设法同上，但不求d .依x 1＋x 10＝a ＋b ∴S ＝10（x 1＋x 10）2 ＝5(a ＋b )解法三：设法同上，正难则反∴S ＝S 12－(a ＋b )＝12（a ＋b ）2 －(a ＋b )＝5(a ＋b )评述：求和问题灵活多变，要注意理解和运用.［例6］在凸多边形中，已知它的内角度数组成公差为5°的等差数列，且最小角是 120°，试问它是几边形？解：设这是一个n 边形，则⎩⎪⎨⎪⎧S m ＝n ×1200＋n （n －1）2 ·50＝（n －2）×18001200＋（n －1）·50＜180⇔⎩⎨⎧n 2－25n ＋144＝0n ＜13 ⇔n ＝9所以这是一个九边形. Ⅲ.课堂练习课本P 42练习1，2，3，4. Ⅳ.课时小结通过本节学习，要熟练掌握等差数列前n 项和公式:S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d 及其获取思路.Ⅴ.课后作业课本P45习题 1，2，3。
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[课 题]：2.1 等差数列的前n 项和（1）
[知识摘记]
1. 等差数列的前n 项和：
公式1：___________________；
公式2：___________________；
2.若数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，则数列｛a n ｝为 ________________.
[例题解析]
例1 在等差数列｛a n ｝中，
（1）已知31=a ，10150=a ，求50S ；
（2）已知31=a ，21=
d ，求10S ．
例2 在等差数列｛a n ｝中，已知21=d ，23=n a ，215-=n S ，求1a 及n .
例3 在等差数列｛a n ｝中，已知第１项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和．
例4 根据数列｛a n ｝的前n 项和公式，判断下列数列是否是等差数列.
(1)S n ＝2n 2－n
(2)S n ＝2n 2－n ＋1
[反思]
[课外作业]
1.在等差数列{n a }中，若1107,43a a ==-，则10S = ；
2．等差数列{}n a 中，2519a a +=，540S =，则10a = ；
3.在等差数列{n a }中，若4141,a a +=则17S = ；
4.若等差数列{n a }的公差为
12，且100145S =，则13599a a a a +++⋅⋅⋅+= ； 5．在等差数列{}n a 中，
（1）已知13d =，37n =，629n S =，求1a 及n a ；
（2）已知120,54,999,n n a a S ===求d 及n ；
6.等差数列的前n 项和为n S ，若122028S 84,S 460,S .==求。