2021年高三下学期数学(文)周练1 含答案
2021-2022学年山东省聊城市博文高级中学高三数学文下学期期末试题含解析
2021-2022学年山东省聊城市博文高级中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数是定义在R上周期为3的奇函数，若，则有A .且 B．或 C． D.参考答案：B2. 已知函数，则的解集为( )A．(-∞,-1)∪(1,+∞) B. [-1,-)∪(0,1]参考答案：B3. 已知抛物线（）与双曲线（，）有相同的焦点F，点A是两条曲线的一个交点，且轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是（）A．B． C. D．参考答案：D两曲线有相同的焦点F，则.又AF⊥x轴.不妨设点A在第一象限.可得A(c，2c). 代入可得，整理化简可得：，双曲线经过一三象限的渐近线方程为，令，则：，解得：，即.故双曲线的渐近线的倾斜角所在的区间为.本题选择D选项.4. 下列函数是偶函数，且在上单调递增的是A. B.C. D.参考答案：D略5. 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b= mq－np，下面说法错误的是A．若a与b共线，则a⊙b =0 B．a⊙b =b⊙aC．对任意的R，有（a）⊙b =（a⊙b）D．（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2参考答案：B由定义知：a⊙b= mq－np：所以选项A正确；又b⊙a=pn-mq≠a⊙b= mq－np，所以选项B错误；（a）⊙b=，(a⊙b)= ( mq－np)=所以对任意的R，有（a）⊙b =（a⊙b），选项C正确；（a⊙b）2+（a·b）2=( mq－np)2+( mp+nq)2=，|a|2|b|2=，所以（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2，因此D正确。
6. 已知，把数列的各项排列成如下的三角形状，记表示第行的第个数，则= （）A. B. C.D.参考答案：B略7. 的展开式中，常数项是（）A． B． C．D．参考答案：D，令，解得．∴常数项为．8. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D.参考答案：A解答：由于截面与每条棱所成的角都相等，所以平面中存在平面与平面平行（如图），而在与平面平行的所有平面中，面积最大的为由各棱的中点构成的截面，而平面的面积.9. 已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A． B．C． D．参考答案： C由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。
四川遂宁市高中2021届高三下学期第二次诊断性考试数学文试题word版含答案
四川遂宁市高中2021届高三下学期其次次诊断性考试数学文试题一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）（2021•遂宁模拟）已知集合A=，B={x|（x+3）（2x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．B．C．，∵A=，∴A∩B=，故选：B．【点评】：此题考查了交集及其运算，娴熟把握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2021•遂宁模拟）在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的听力成果（单位：分）已知甲组数据的众数为15，乙组数据的中位数为17，则x、y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，7 D．8，7【考点】：茎叶图．【专题】：概率与统计．【分析】：依据茎叶图与题意，求出x、y的值，即可．【解析】：解：依据茎叶图知，甲组数据是9，15，10+x，21，27；∵它的众数为l5，∴x=5；同理，依据茎叶图知乙组数据是9，13，10+y，18，27，∵它的中位数为17，∴y=7．故x、y的值分别为：5，7．【点评】：本题考查茎叶图的应用问题，解题时利用茎叶图供应的数据，求出x、y的值，即可解答问题，是基础题．3．（5分）（2021•遂宁模拟）已知复数z满足：zi=2+i（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．2i B．﹣2i C． 2 D．﹣2【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】：解：由zi=2+i ，得，∴z的虚部是﹣2．故选：D．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．（5分）（2021•遂宁模拟）为了得到函数y=sin3x的图象，可以将函数y=sin3x+cos3x的图象（）A．向右平移个单位长B．向右平移个单位长C．向左平移个单位长D．向左平移个单位长【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则推断选项即可．【解析】：解：函数y=sin3x+cos3x=sin（3x+），故只需将函数y=sin（3x+）的图象向右平移个单位，得到y=sin=sin3x的图象．故选：A．【点评】：本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本学问的考查．5．（5分）（2021•遂宁模拟）设a、b是实数，则“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（）A．充分必要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的推断．【专题】：简易规律．【分析】：依据充分条件和必要条件的定义进行推断即可．【解析】：解：若a＞b＞0，则a2＞b2成立，若a=﹣2，b=1，满足a2＞b2，但a＞b＞0不成立，故“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充分不必要条件，故选：C【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的推断，依据不等式的关系是解决本题的关键．6．（5分）（2021•遂宁模拟）已知向量，若，则实数λ=（）A． 1 B．﹣1 C． 2 D．﹣2【考点】：平面对量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】：平面对量及应用．【分析】：由于，可得．于是=0，解得λ即可．【解析】：解：∵，∴．∴=λ（λ+2）+1=0，解得λ=﹣1．故选：B．【点评】：本题考查了向量的平行四边形法则、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．7．（5分）（2021•遂宁模拟）在区间上随机选取一个数M，不变执行如图所示的程序框图，且输入x的值为1，然后输出n的值为N，则M≤N﹣2的概率为（）A．B．C．D．【考点】：几何概型；程序框图．【专题】：计算题；概率与统计；算法和程序框图．【分析】：计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足推断框的条件，退出循环，输出结果N，再以长度为测度求概率即可．【解析】：解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x2﹣4x+3=0≤0，满足推断框条件，x=2，n=1，x2﹣4x+3=﹣1≤0，满足推断框条件，x=3，n=2，x2﹣4x+3=0≤0满足推断框条件，x=4，n=3，x2﹣4x+3=3＞0，不满足推断框条件，输出n：N=3．在区间上随机选取一个数M，长度为5，M≤1，长度为3，所以所求概率为，故选：C【点评】：本题考查循环结构的应用，留意循环的结果的计算，考查计算力量，考查概率的计算，确定N的值是关键．8．（5分）（2021•遂宁模拟）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．4+2B．2+C．2+2D．4+【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，画出几何体的直观图，求出各个面的面积，可得答案．【解析】：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，该几何体的直观图如下图所示：由三视图可得：CD=AD=1，SD=BD=2，SD⊥底面ABC，故S△ABC=S△ASC=2，由勾股定理可得：SA=SC=AB=AC=，SB=2，故△SAB和△SBC均是以2为底，以为高的等腰三角形，故S△SAB=S△SBC =，故该几何体的表面积为4+2，故选：A【点评】：本题考查的学问点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的外形．9．（5分）（2021•遂宁模拟）过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x 轴于点H，若|MN|=40，则|HF|=（）A．14 B．16 C．18 D．20【考点】：抛物线的简洁性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先求MN的垂直平分线，求出MN的垂直平分线交x轴于H的坐标，进而求得|HF|=|MN|，即可得出结论．【解析】：解：设M（x1，y1），N（x2，y2），弦MN的中点为M′（x0，y0），则∴MN的垂直平分线为y﹣y0=﹣（x﹣x0）令y=0，则x H=x0+p∴|HF|=x0+∵|MN|=x1+x2+p=2x0+p∴|HF|=|MN|=20，故选：D．【点评】：本题以抛物线方程为载体，考查抛物线的性质，考查同学的计算力量，比较基础．10．（5分）（2021•遂宁模拟）函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足：（1）f（x）在D上为单调函数；（2）存在区间⊆D，使得f（x）在上的值域为，则称函数f（x）为“取半函数”．若f（x）=log c（c x+t）（c＞0，且c≠1）为“取半函数”，则t的取值范围是（）A．（﹣，）B．（0，）C．（0，）D．（，1）【考点】：对数函数的图像与性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：依据复合函数的单调性，先推断函数f（x）的单调性，然后依据条件建立方程组，转化为一元二次方程根的存在问题即可得到结论．【解析】：解：若c＞1，则函数y=c x+t为增函数，y=log c x，为增函数，∴函数f（x）=log c（c x+t）为增函数，若0＜c＜1，则函数y=c x+t为减函数，y=log c x，为减函数，∴函数f（x）=log c（c x+t）为增函数，综上：函数f（x）=log c（c x+t）为增函数，若函数f（x）=log c（c x+t）（c＞0，c≠1）是函数f（x）为“取半函数”．，所以a，b是方程log c（c x+t）=，两个不等实根，即a，b是方程c x +t=c两个不等实根，化简得出：c x+t=0，可以转化为：m2﹣m+t=0有2个不等正数根．所以求解得出：0故选：B．【点评】：本题主要考查与指数函数和对数函数有关的信息题，推断函数的单调性是解决本题的关键，综合性较强，有肯定的难度．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填答题卷指定横线上）11．（5分）（2021•遂宁模拟）圆心在原点且与直线y=2﹣x 相切的圆的方程为x2+y2=2．【考点】：圆的切线方程．【专题】：计算题；直线与圆．【分析】：可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程．【解析】：解：圆心到直线的距离：r==，所求圆的方程为x2+y2=2．故答案为：x2+y2=2．【点评】：本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．12．（5分）（2021•遂宁模拟）已知偶函数f（x）在=；（2）f（x）=2sinx+cos2x=2sinx+1﹣2sin2x=，x∈R．则：sinx∈，当sinx=时，函数f（x）的最大值为．【点评】：本题考查的学问要点：利用三角函数的关系式求函数的值，三角函数关系式的恒等变换，复合函数的最值问题．属于基础题型．17．（12分）（2021•遂宁模拟）某学校有男老师45名，女老师15名，依据分层抽样的方法组建了一个4人的学科攻关小组．（1）求某老师被抽到的概率及学科攻关小组中男、女老师的人数；（2）经过一个月的学习、争辩，这个学科攻关小组打算选出2名老师做某项试验，方法是先从小组里选出1名老师做试验，该老师做完后，再从小组内剩下的老师中选1名做试验，求选出的2名老师中恰有1名女老师的概率．【考点】：列举法计算基本大事数及大事发生的概率；分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：（1）依据分层抽样的按比例抽取的方法，男女老师抽取的比例是45：15，4人中的男女抽取比例也是45：15，从而解决；（2）先算出选出的2名老师的基本大事数，有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a 1，b），（a2，b），（a3，b），共6种；再算出恰有1名女老师大事大事数，两者比值即为所求概率．【解析】：解：（1）由题意知，该校共有老师60名，故某老师被抽到的概率为=．设该学科攻关小组中男老师的人数为x，则，解得x=3，所以该学科攻关小组中男、女老师的人数分别为3，1．（2）由（1）知，该3名男老师和1名女老师分别记为a1，a2，a3，b，则选取2名老师的基本大事有：（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b），（a2，b），（a3，b），共6种，其中恰有1名女老师的基本大事有3种，所以选出的2名老师中恰有1名女老师的概率为P==．【点评】：本题主要考查分层抽样方法、概率的求法，是一道简洁的综合性的题目，解答的关键是正确理解抽样方法及样本估量的方法，属基础题．18．（12分）（2021•遂宁模拟）如图，ABCD为梯形，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=a，PD=a，E为BC中点（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PDE；（Ⅱ）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由．【考点】：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）连结BD，由已知得BC⊥DE，BC⊥PD，从而BC⊥平面PDE，由此能证明平面PBC⊥平面PDE．（Ⅱ）连结AC，BD交于O点，AB∥CD，从而△AOB∽△COD，AB=DC，进而△CPA中，AO=AC，由PF=，得OF∥PA，由此得到当点F位于PC三分之一分点（靠近P点）时，PA∥平面BDF．【解析】：（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结BD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=a，DA=，所以BD=DC=2a，E为BC中点，所以BC⊥DE，…（3分）又由于PD⊥平面ABCD，所以BC⊥PD，由于DE∩PD=D，…（4分），所以BC⊥平面PDE，…（5分）由于BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDE．…（6分）（Ⅱ）解：当点F位于PC三分之一分点（靠近P点）时，PA∥平面BDF，…（7分）连结AC，BD交于O点，AB∥CD，所以△AOB∽△COD，AB=DC，所以△CPA中，AO=AC，…（10分）而PF=，所以OF∥PA，…（11分）而OF⊂平面BDF，PA⊄平面BDF，所以PA∥平面BDF．…（12分）【点评】：本题考查面面垂直的证明，考查线面平行时点的位置的确定与证明，考查同学的空间想象力量、规律推理力量和运算求解力量，是中档题．19．（12分）（2021•遂宁模拟）已知数列{a n}为等差数列，其中a1=1，a7=13（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n =，T n为数列{b n}的前n项和，当不等式λT n＜n+8（n∈N*）恒成立时，求实数λ的取值范围．【考点】：数列的求和；等差数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）由题意和等差数列的通项公式求出公差，代入等差数列的通项公式化简求出a n；（2）由（1）化简b n =，利用裂项相消法求出T n，代入不等式λT n＜n+8分别出λ，利用基本不等式求出式子的最小值，再由对于n∈N*恒成立求出实数λ的取值范围．【解析】：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，a7=13，∴a1+6d=13，解得d=2，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1…（5分）（2）由（1）得，b n ==（），∴T n==（1﹣）=…（8分）要使不等式λT n＜n+8（n∈N*）恒成立，只需不等式=+17恒成马上可…（10分）∵，当且仅当时，即n=2取等号，∴λ＜25…（12分）【点评】：本题考查等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，以及利用基本不等式求最值，属于中档题．20．（13分）（2021•遂宁模拟）已知定点A（﹣2，0），F（1，0），定直线l：x=4，动点P与点F的距离是它到直线l的距离的．设点P的轨迹为C，过点F的直线交C于D、E两点，直线AD、AE与直线l分别相交于M、N 两点．（1）求C的方程；（2）试推断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（1）设P（x，y）为E 上任意一点，依题意有=，化简即可得出；（2）设DE的方程为x=ty+1，与椭圆方程联立化为（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，设D（x1，y1），E（x2，y2），由A（﹣2，0），可得直线AD的方程为y=，点M，同理可得N．利用根与系数的关系只要证明=0即可．【解析】：解：（1）设P（x，y）为E 上任意一点，依题意有=，化为．（2）设DE的方程为x=ty+1，联立，化为（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，设D（x1，y1），E（x2，y2），则，t1t2=．由A（﹣2，0），可得直线AD的方程为y=，点M，同理可得N．∴======9﹣9=0．∴以线段MN为直径的圆恒过定点F．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、向量垂直与数量积的关系、圆的性质、两点之间的距离公式，考查了推理力量与计算力量，属于难题．21．（14分）（2021•遂宁模拟）已知函数f（x）=（x+1）ln（x+1），g（x）=kxe x（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），g′（x）为g（x）的导函数，且g′（0）=1，（1）求k的值；（2）对任意x＞0，证明：f（x）＜g（x）；（3）若对全部的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．【考点】：导数的运算；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）先求导，再代入值计算即可；（2）构造函数G（x），依据函数的单调性，即可证明；（3）构造函数令h（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，求导，再分类争辩，即可求出a的取值范围．【解析】：解：（1）g'（x）=k（x+1）e x所以g'（0）=k=1…（3分）（2）证明：令G（x）=e x﹣x﹣1，G′（x）=e x﹣1，当x∈（0，+∞），G′（x）＞0，所以当x∈（0，+∞）时G（x）单调递增，从而有G（x）＞G（0）=0，x＞0；所以e x＞x+1＞0⇒x＞ln（x+1）＞0，∴xe x＞（x+1）ln（x+1），所以当x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）；…（8分）（3）令h（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，则h′（x）=1﹣a+ln（x+1），令h′（x）=0，解得x=e a﹣1﹣1，（i）当a≤1时，所以x=e a﹣1﹣1＜0，从而对全部x＞0，h′（x）＞0；h（x）在…（14分）【点评】：本题考查了导数和函数的单调性的关系以及参数的取值范围，属于中档题．。
2021年3月四川省内江市普通高中2021届高三毕业班下学期第二次高考模拟考试数学(文)试题及答案
绝密★启用前四川省内江市普通高中2021届高三毕业班下学期第二次高考模拟考试数学(文)试题2021年3月(考试时间：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|(x＋4)(x－1)≤0},B＝{x||x|<2},则A∪B＝A.{x|－2<x<2}B.{x|－2<x≤1}C.{x|－2<x≤4}D.{x|－4≤x<2}2.复数(1＋2i)(2－3i)的共轭复数是A.8＋iB.8－iC.－4＋iD.－8＋i3.若cosα＝15,α为锐角,则cos(α－6π)＝B.110+D.1104.记S n为等差数列{a n}的前n项和,若a2＝18,S5＝80,则数列{a n}的通项公式a n＝A.2n＋22B.22－2nC.20－nD.n(21－n)5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,设M为线段BC的中点,则下列说法正确的是A.A1M⊥BDB.A1M//平面CC1D1DC.A1M⊥AB1D.A1M⊥平面ABC1D16.执行右图所示的程序框图,则输出k的值为A.3B.4C.5D.67.已知过点(0,2)的直线l与圆心为C的圆(x－2)2＋(y－1)2＝10相交于A,B两点,若CA⊥CB,直线l的方程为A.2x－y＋2＝0B.2x－y＋2＝0或2x＋y－2＝0C.x＝0D.x＝0或2x＋y－2＝08.函数f(x)＝e|x|－ln|x|－2的大致图象为9.现从甲、乙等6人中随机抽取2人到幸福社区参加义务劳动,则甲、乙仅有1人被抽到的概率为A.25B.715C.815D.3510.若过抛物线C：y2＝4x的焦点且斜率为2的直线与C交于A,B两点,则线段AB 的长为A.3B.4C.5D.611.已知F1,F2是双曲线C：22221x ya b-=(a>0,b>0)的左,右焦点,过点F1且倾斜角为30°的直线与双曲线的左,右两支分别交于点A,B。
吉林省四平一中等2024年高三下学期数学试题2月16日周练试题
吉林省四平一中等2024年高三下学期数学试题2月16日周练试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．62．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设全集U =R ，集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥，11|24xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.则集合()U A B 等于（ ）A ．(1,2)B ．(2,3]C ．(1,3)D ．(2,3)4．设()11i a bi +=+，其中a ，b 是实数，则2a bi +=（ ） A ．1B ．2C 3D 55．设i 是虚数单位，复数1ii+=（ ） A ．1i -+B ．-1i -C ．1i +D ．1i -6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若12||FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =±B ．3y x =C ．2y x =±D ．2y x =7．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．908．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为（ ） A ．3π B ．23π C ．πD ．43π 9．M 、N 是曲线y=πsinx 与曲线y=πcosx 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( ) A ．πB ．2πC ．3πD ．2π10．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A 26-B 26+C 62-D 62+11．数列{}n a 满足：3111,25n n n n a a a a a ++=-=，则数列1{}n n a a +前10项的和为 A ．1021B ．2021C ．919D ．181912．如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 的动点（含端点），且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中不正确．．．的是A ．在DMN ∆内总存在与平面ABC 平行的线段B ．平面DMN ⊥平面11BCC B C ．三棱锥1A DMN -的体积为定值D ．DMN ∆可能为直角三角形二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届河南省天一大联考“顶尖计划”高三第一联考数学(文)试题Word版含解析
2021届河南省天一大联考“顶尖计划”高三第一联考数学（文）试题一、单选题1．已知全集{}4,3,2,1,0,1,2,3U =----，集合{}0,1,3M =，{}4,2,0,2N =--，则()UM N =（ ）A ．{}3B ．{}0,1,3C ．{}4,2,0,2--D ．{}1,3【答案】D 【解析】求出UN 继而可求()UMN .【详解】 依题意，得{}3,1,1,3U N =--，故(){}1,3UMN =.故选:D. 【点睛】本题考查了集合的补集，考查了集合的交集运算.2．若在复平面内，复数z 所对应的点为(3,2)-，则(13)z i ⋅-=（ ） A ．311i -- B ．311i -C ．311i -+D ．311i +【答案】A【解析】由点的坐标写出32z i =-，从而可求出(13)z i ⋅-. 【详解】依题意，得32z i =-，则(13)(32)(13)3926311z i i i i i i ⋅-=-⋅-=---=--. 故选:A. 【点睛】本题考查了复数的坐标互化，考查了复数的乘法.易错点是把2i 的值误当做1进行运算.3．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案．【详解】解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，∴用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为B中的．56846故选：B．【点睛】本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题．4．某公司有3000名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，若84号被抽到则下面被抽到的是（）A．44号B．294号C．1196号D．2984号【答案】B÷=人.故抽得的号码为以15【解析】使用系统抽样的方法抽取200人则一共分200组,每组有300020015为公差的等差数列.再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.再逐个判断即可. 【详解】由题得,抽出的号码为以15为公差的等差数列,再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整-==⨯.其他选项均不满足.数倍.又294842101514故选：B【点睛】本题主要考查了系统抽样的性质与运用,属于简单题型.5．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥【答案】C【解析】模拟执行程序框图，即可容易求得结果. 【详解】 运行该程序：第一次，1i =，lg 2S =；第二次，2i =，3lg 2lg lg32S =+=； 第三次，3i =，4lg3lg lg 43S =+=，…；第九十八次，98i =，99lg98lg lg9998S =+=； 第九十九次，99i =，100lg99lg lg100299S =+==， 此时要输出i 的值为99. 此时299S lg =>. 故选：C. 【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.6．已知幂函数()f x x α=的图象过点(3,5)，且1a e α⎛⎫= ⎪⎝⎭，3b α=，1log 4c α=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】A【解析】根据题意求得参数α，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断. 【详解】依题意，得35α=，故3log 5(1,2)α=∈，故3log 5101e a ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，1b =>，3log 51log 04c =<， 则c a b <<. 故选：A. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题. 7．已知非零向量,a b 满足a b λ=，若,a b 夹角的余弦值为1930，且()()23a b a b -⊥+，则实数λ的值为（ ） A ．49-B ．23C ．32或49-D ．32【答案】D【解析】根据向量垂直则数量积为零，结合a b λ=以及夹角的余弦值，即可求得参数值. 【详解】依题意，得()()230a b a b -⋅+=，即223520a a b b -⋅-=.将a b λ=代入可得，21819120λλ--=， 解得32λ=（49λ=-舍去）.故选：D. 【点睛】本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题.8．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-=B ．2nn a =C ．21nn S =- D ．121n n S -=-【答案】C【解析】先利用等比数列的性质得到3a 的值，再根据24,a a 的方程组可得24,a a 的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前n 项和，根据后两个公式可得正确的选项. 【详解】因为{}n a 为等比数列，所以2324a a a =，故3364a =即34a =，由24241016a a a a +=⎧⎨=⎩可得2428a a =⎧⎨=⎩或2482a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 为递增数列，故2428a a =⎧⎨=⎩符合.此时24q =，所以2q或2q =-（舍，因为{}n a 为递增数列）.故3313422n n n n a a q ---==⨯=，()1122112n n nS ⨯-==--.故选C. 【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时，则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为nq .9．函数2|sin |2()61x f x x=-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】用偶函数的图象关于y 轴对称排除C ,用()0f π<排除B ,用()42f π>排除D .故只能选A .【详解】因为22|sin()||sin |()66()x x f x f x --=== ,所以函数()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称,故可以排除C ;因为2|sin |()61f ππ==1110<-=-=,故排除B ,因为2|sin |2()()62f πππ=-=66>-4666242=>-=-=由图象知,排除D . 故选:A 【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题. 10．当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式sin (cos )22m x x x m <+<+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭B．1,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D．1,⎛- ⎝⎭【答案】D【解析】运用辅助角公式、二倍角公式等对sin (cos )x x x +整理，得sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.求出sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭在02x π≤≤上的最值，令m 小于最小值，2m + 大于最大值即可求出m 的取值范围.【详解】依题意，得sin (cos )sin 223x x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.因为02x π≤≤所以42333x πππ≤+≤，所以sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.因为sin(cos)2m x x x m<<+恒成立，得21mm⎧<⎪⎨⎪+>⎩解得12m-<<-.故实数m的取值范围为1,⎛-⎝⎭.故选:D.【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了二倍角公式，考查了三角函数的最值问题，考查了不等式恒成立问题.对于求()siny Aωxφ=+在某区间上的最值问题时，先算出xωϕ+的范围，再结合正弦函数的图像，即可求出.11．已知点()00,M x y()00x y≠是椭圆C：2214xy+=上的一点，1F，2F是椭圆C的左、右焦点，MA 是12F MF∠的平分线.若1F B MA⊥，垂足为B，则点B到坐标原点O的距离d的取值范围为（）A．(0,1)B．30,2⎛⎫⎪⎝⎭C．D．(0,2)【答案】C【解析】延长2MF，1F B相交于点N，将所求||OB转化为121||2MF MF-，结合三角形边的关系，可知d的取值范围.【详解】解：延长2MF，1F B相交于点N，连接OB.由题意知MA平分12F MF∠.又因为1F B MA⊥，所以1||MN MF=，所以B为1F N的中点.因为O为12F F的中点所以2211||||||||22OB F N MN MF==-121211||22MF MF F F=-<=所以d的取值范围为.故选:C.【点睛】本题考查了椭圆的几何意义，考查了中位线定理.针对此类问题，根据经验采用临界条件可以起到事半功倍的效果.12．已知球O 的体积为36π，圆柱AA '内接于球O ，其中A ，A '分别是圆柱上、下底面的圆心，则圆柱AA '的表面积的最大值为（ ） A ．185π B．9(15)π+C ．18(51)π-D ．9(51)π-【答案】B【解析】先求出球的半径，作出图形，利用三角函数表示出圆柱的表面积，结合函数的性质即可求最值. 【详解】解：设球O 的半径为R ，依题意，得34363R ππ=，解得3R =.根据题意画出图形，如下图所示.设MOA α'∠=，则圆柱底面半径为3sin α， 则圆柱的高为6cos α.因此圆柱AA '的表面积22(3sin )23sin 6cos S παπαα=⋅+⋅⋅9(1cos 22sin 2)παα=-+9[15sin(2)]9(15)παϕπ=+-≤+，其中1tan 2ϕ=.故圆柱AA '的表面积的最大值为9(15)π+. 故选:B.【点睛】本题考查了球的体积，考查了圆柱的表面积，考查了辅助角公式，考查了三角函数的最值.几何问题中，关于最值的问题，一般由两种解题思路：一是找到临界点进行求解；二是结合函数的思想，利用函数的图像、导数、函数的单调性等求函数的最值.二、填空题13．若变量x ，y 满足约束条件21,24,20,y x x y y ≤+⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为________.【答案】7【解析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可容易求得目标函数的最大值. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如下图阴影部分所示.观察可知，当直线2z x y =-过点(3,2)C -时，z 有最大值，max 7z =. 故答案为：7. 【点睛】本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划，主要考查推理论证能力以及数形结合思想，属基础题. 14．函数()ln f x x x =的极小值为________. 【答案】1e-【解析】求出()ln 1f x x '=+，令导数为0，解出方程，从而可以看出()(),'f x f x 随x 的变化情况，继而可求极小值. 【详解】解：依题意，得()ln 1f x x '=+，(0,)x ∈+∞.令()0f x '=，解得1x e=. 所以当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<；当1,e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '>.所以当1x e =时，函数()f x 有极小值1e -. 故答案为: 1e-.【点睛】本题考查了极值的求法.求函数极值时，一般先求出函数的定义域，接着求出导数，令导数为0解方程，探究函数、导数随自变量的变化.注意，导数为0的点不一定是极值点.极值点的不仅要满足导数为0，还要满足左右两侧函数单调性相反.15．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），直线l ：4x a =与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若OAB ∆（点O 为坐标原点）的面积为32，且双曲线C的焦距为C 的离心率为________.【解析】用,a b 表示出OAB 的面积，求得,a b 等量关系，联立焦距的大小，以及222a b c +=，即可容易求得,a b ，则离心率得解. 【详解】联立4,x a b y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩解得4y b =.所以OAB ∆的面积14816322S a b ab =⋅⋅==，所以2ab =. 而由双曲线C的焦距为c =225a b +=.联立解得1,2a b =⎧⎨=⎩或2,1,a b =⎧⎨=⎩故双曲线C.. 【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属中档题. 16．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1(1)10n n na n a +-++=，且25a =.若2nn S m >，则实数m 的取值范围为________. 【答案】(2,)+∞【解析】由1(1)10n n na n a +-++=得21(1)(2)10n n n a n a +++-++=，两式相减可证明数列{}n a 为等差数列，继而可求出21n a n =+，令2n n n S b =，通过21132n n n n b b ++--=可知，当2n ≥时，数列{}n b 单调递减，故可求出{}n b 最大值，进而可求m 的取值范围.【详解】解：由1(1)10n n na n a +-++=，可得21(1)(2)10n n n a n a +++-++=. 两式相减，可得2120n n n a a a ++-+=，所以数列{}n a 为等差数列.当1n =时 由1(1)10n n na n a +-++=，得21210a a -+=，又25a =，解得13a =.所以21n a n =+，则2222n n nS n n +=.令2n n n S b =，则21132n n n n b b ++--=. 当2n ≥时，10nnb b ，数列{}n b 单调递减，而132b =，22b =，3158b =故2m >，即实数m 的取值范围为(2,)+∞. 故答案为: (2,)+∞. 【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的前n 项和，考查了数列的增减性.已知1,n n a a + 的递推关系时，求通项公式常采用累加法、累乘法、构造新数列，或者令1=+n n 将得到的式子与原式相减.三、解答题17．2019年篮球世界杯在中国举行，中国男篮由于主场作战而备受观众瞩目.为了调查国人对中国男篮能否进入十六强持有的态度，调查人员随机抽取了男性观众与女性观众各100名进行调查，所得情况如下表所示：若在被抽查的200名观众中随机抽取1人，抽到认为中国男篮不能进入十六强的女性观众的概率为14. （1）完善上述表格；（2）是否有99%的把握认为性别与对中国男篮能否进入十六强持有的态度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）表格见解析；（2）没有【解析】（1）由概率可求出认为中国男篮不能进入十六强的女性观众的人数，结合男女各100人，即可求出表中所有数据.（2）代入求出2K 的观测值，进而可判断. 【详解】（1）依题意，得认为中国男篮不能进入十六强的女性观众人数为1200504⨯=. 完善表格如下表所示：（2）本次试验中，2K的观测值20(60504050)200 2.02 6.63510010011090k ⨯-⨯⨯=≈<⨯⨯⨯.所以没有99%的把握认为性别与对中国男篮能否进入十六强持有的态度有关. 【点睛】本题考查了独立性检验，考查了概率.易错点是计算观测值.18．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知()22a b c ab -=-. （1）求角C ； （2）若4cos sin 02c A b C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，1a =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3π（2【解析】（1）利用余弦定理可求cos C ，从而得到C 的值.（2）利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得4b a =，得到b 值后利用面积公式可求ABC S ∆. 【详解】（1）由()22a b c ab -=-，得222a b c ab +-=.所以由余弦定理，得222cos 122a b c C ab +-==.又因为()0,C π∈，所以3C π=.（2）由4cos sin 02c A b C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，得4sin sin 0c A b C -+=.由正弦定理，得4ca bc =，因为0c ≠，所以4b a =. 又因1a =，所以4b =. 所以ABC ∆的面积113sin 143222S ab C ==⨯⨯⨯=. 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.19．如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是菱形，120ADC =∠︒，平面SAD ⊥平面ABCD ，SAD ∆是等边三角形.（1）求证：AD SB ⊥；（2）若SAD ∆的面积为3C 到平面SAB 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）4155【解析】（1）取AD 的中点O ，连接SO ，BO ，结合等边三角形和菱形可证明SO AD ⊥，BO AD ⊥，从而可证明AD ⊥平面SOB ，进而可证AD SB ⊥.（2）由SAD ∆的面积为43SAD ∆的边长为4，由平面SAD ⊥平面ABCD 可知，SO ⊥平面ABCD ，则分别求出,ABC SAB ∆∆的面积以及SO 的长，利用S ABC C SAB V V --=可求出点C 到平面SAB 的距离. 【详解】（1）证明：取AD 的中点O ，连接SO ，BO ，BD . 因为SAD ∆是等边三角形，O 是AD 的中点，所以SO AD ⊥.因为四边形ABCD 是菱形，120ADC =∠︒，所以ABD ∆是等边三角形，所以BO AD ⊥. 因为SO BO O ⋂=，且SO ⊂平面SOB ，BO ⊂平面SOB ，所以AD ⊥平面SOB . 又因SB ⊂平面SOB ，所以AD SB ⊥.（2）解：设AD a =2343=4a =. 因为平面SAD ⊥平面ABCD ，SO AD ⊥，所以SO ⊥平面ABCD . 记点C 到平面SAB 的距离为h ，则1133S ABC C SAB ABC SAB V V S SO S h --∆∆=⇔⋅⋅=⋅⋅. 易知3SO =3OB =在Rt SOB ∆中，由23OS OB ==，得2226SB SO OB +=SAB ∆边SB 22166102SB SA ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭所以126102152SAB S ∆=⨯=而13444322∆=⨯⨯⨯=ABC S ， 所以11432321533h ⨯=⨯.解得4155h =.即点C 到平面SAB 的距离为155. 【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查了棱锥体积的求解.证明线线垂直，可利用矩形的临边垂直、等腰三角形三线合一、勾股定理证明，也可先证明线面垂直，进而可证线线垂直.在求点到平面的距离时，常用的思路有两个：一是建立空间直角坐标系，结合空间向量进行求解；二是结合几何体的体积进行求. 20．已知函数21()ln 2f x mx x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （Ⅰ）若1m =，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当1m 时，要使()ln f x x x >恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）322y x =-（Ⅱ）⎤⎥⎦【解析】（Ⅰ）求函数的导函数，即可求得切线的斜率，则切线方程得解；（Ⅱ）构造函数()y f x xlnx =-，对参数分类讨论，求得函数的单调性，以及最值，即可容易求得参数范围. 【详解】（Ⅰ）当1m =时，21()ln 2f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1()2ln 2f x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭. 所以(1)2f '=. 又1(1)2f =，故所求切线方程为12(1)2y x -=-，即322y x =-.（Ⅱ）依题意，得21ln ln 2mx x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 即21ln ln 02mx x x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭恒成立. 令21()ln ln 2g x mx x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 则()(21)(ln 1)g x mx x '=-+. ①当0m ≤时，因为1(1)02g m =≤，不合题意. ②当01m <≤时，令()0g x '=，得112x m =，21e x =，显然112em >. 令()0g x '>，得10x e <<或12x m>；令()0g x '<，得112x e m <<.所以函数()g x 的单调递增区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2m ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间是11,2e m ⎛⎫⎪⎝⎭.当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，20mx x -<，ln 0x <，所以21()ln ln 2g x mx x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()221ln 02mx x x mx =-+>， 只需1111ln 02428g m m m m ⎛⎫=-+>⎪⎝⎭，所以m >， 所以实数m的取值范围为⎤⎥⎦. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，以及利用导数研究恒成立问题，属综合中档题.21．已知抛物线C ：22y px =（0p >）.（1）若抛物线C 的焦点到准线的距离为4，点A ，B 在抛物线C 上，线段AB 的中点为(3,2)D ，求直线AB 的方程；（2）若圆C '以原点O 为圆心，1为半径，直线l 与C ，C '分别相切，切点分别为E ，F ，求||EF 的最小值.【答案】（1）240x y --=；（2）【解析】（1）由距离为4可求出4p =进而可求出抛物线C 的方程.设()11,A x y ，()22,B x y ，代入到抛物线方程中，两式相减，结合中点坐标，即可求出AB 的斜率，结合直线的点斜式，可求出直线的方程.（2）设直线l 的方程为x my t =+（0m ≠），与抛物线、圆的方程联立，结合相切，可求22pmt =-，221m t +=.设()00,E x y ，通过切点既在直线上又在抛物线上，可求出0y pm =，2002pmx my t =+=，从而2222220024||||||14EF OE OF x y m m =-=+-=++，结合基本不等式，可求出EF 有最小值. 【详解】解：（1）由抛物线C 的焦点到准线的距离为4，得4p =.所以抛物线C 的方程为28y x =.设()11,A x y ，()22,B x y ，则2112228,8.y x y x ⎧=⎨=⎩，所以()2212128y y x x -=-，即()()()1212128y y y y x x -+=-.因为线段AB 的中点D 的坐标为(3,2)，所以124y y +=且12x x ≠.所以12121282y y x x y y -==-+.故直线AB 的方程为22(3)y x -=-，即直线AB 的方程为240x y --= 经检验240x y --=符合题意.（2）设直线l 的方程为x my t =+（0m ≠）.代入22y px =，得2220y pmy pt --=.（）由直线l 与抛物线相切可知，22480p m pt ∆=+=，故22pm t =-.①又直线l 与圆221x y +=1=，即221m t +=.②联立①②，得24214p m m =+，故()22441m p m+=. 设()00,E x y ，解（）式可得，0y pm =，从而2002pmx my t =+=.故222220||||||1EF OE OF x y =-=+-24222241484p m p m m m=+-=++≥，当且仅当||m =EF有最小值，为【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了中点弦问题，考查了直线与圆锥曲线相切，考查了基本不等式.本题的难点在于计算量较大.对于中点弦问题，一般设出弦端点的坐标，带回方程，两式相减，通过整理，可得到弦的斜率和中点坐标的关系.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为126126x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（m 为参数），以坐标点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos （θ+3π）＝1． （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）已知点M （2，0），若直线l 与曲线C 相交于P 、Q 两点，求11||||MP MQ +的值．【答案】（1）l ：20x =，C 方程为 2233144x y -=；（2）11|||||MP M Q +【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 【详解】(1)曲线C 的参数方程为126126x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（m 为参数），两式相加得到4m x y =+，进一步转换为2233144x y -=． 直线l 的极坐标方程为ρcos （θ+3π）＝1，则(cos cos sin sin )133ππρθθ-=转换为直角坐标方程为20x =．（2）将直线的方程转换为参数方程为2212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2233144x y -=得到23160t ++=（t 1和t 2为P 、Q 对应的参数），所以12t t +=-12163t t ⋅=，所以11|||||MP M Q +＝1212||||||||t t MP MQ MP MQ t t ++==． 【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23．已知x ，y ，z 均为正数．（1）若xy ＜1，证明：|x +z |⋅|y +z |＞4xyz ； （2）若xyz x y z ++＝13，求2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为8【解析】（1）利用基本不等式可得|x |||4z y z z +⋅+≥=再根据0＜xy ＜1时, 即可证明|x+z|⋅|y+z|＞4xyz.（2）由xyzx y z++＝13, 得1113yz xz xy++=，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.【详解】（1）证明：∵x，y，z均为正数，∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥4当且仅当x＝y＝z时取等号．又∵0＜xy＜1，∴44xyz>，∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）∵xyzx y z++＝13，即1113yz xz xy++=．∵1122 yz yzyz yz+⋅=，1122xz xzxz xz+⋅=，1122xy xyxy xy+⋅=，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，∴1116 xy yz xzxy yz xz+++++，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．【点睛】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．。
河南省九校联盟2021届高三数学(文)下学期第一次联考试题(含答案)
九校2021届高三下学期第一次联考 数学（文科） （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 第I 卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.已知集合A={x|一1≤x<1}，B={y|y=12x +1，x∈A},则A B=( ) A ．[一1，32) B ．[一1，12) C ．[1，32] D ．[12，1] 2．函数f(x)=121sin 2x+12tan 3πcos2x 的最小正周期为( ) A ．2π B. π C ．2π D. 4π 3．已知z 为纯虚数，且(2+i)z= 1+ ai 3（i 为虚数单位），则|a+z|=( )A ．1B ．3 C.2 D ．54．“a=5”是“点(2，1)到直线x=a 的距离为3”的( )A.充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．某程序框图如右图所示，若输入p=2，则输出的结果是( )A.2B.3C.4D.56．某几何体的三视图如 图所示，其中俯视图下半部分是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是( )A. 20+2πB ．20+πC ．20 - 2πD ．20-π7．如图，在矩形ABCD 中，AB=2AD ，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，G为EF 中点，则AG =( )A ． 2133AB AD + B ．1233AB AD + C ．3344AB AD + D ．2233AB AD +8．函数f(x)= Asin （)(0,)22x ππωϕωϕ+>-<<的图象如图所示，若288PQ QS π⋅=-，则函数f(x)的解析式为( ) A ．f(x)= 2sin(3x 一4π) B ．f(x)= 2sin(3x+4π) C. f(x)= 2sin(2x+3π) D.f(x)= 2sin(2x 一3π) 9．已知函数f(x)= 23ln ||3x a x x x ⎧- ≥⎨ <⎩，若函数f (x)在R 上有三个不同零点，则a 的取值范围是( )A . [-3，+∞) B．(-∞，9)C. [3，+∞) D ．[9，+∞)10. 如图ABCD -A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方体，S- ABCD 是高为l 的正四棱锥，若点S ，A 1，B 1，C l ，D 1在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．916πB ．2516π C ．4916π D ．8116π 11. 已知F 为双曲线2222x y a b-=1(a>0，b>0)的左焦点，定点G(0，c)，若双曲线上存在一点P 满足|PF|=|PG|,则双曲线的离心率的取值范围是A. ( 2，+∞） B ．（1，2） C ．[3，+∞） D ．（1，3）12. 设A, B 是函数f(x)定义域集合的两个子集，如果对任意x l ∈A，都存在x 2∈B，使得f(x1)f(x2)=l，则称函数f(x)为定义在集合A，B上的“倒函数”，若函数f(x)=x2一23ax3(a>0)，x∈R为定义在A=（2，+∞），B=（1，+∞）两个集合上的“倒函数”，则实数a值范围是( )A. (33(0,][,)42+∞，+∞） B．（0，34] C．[32，+∞） D．[34，32]第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13．若函数f(x)=x+(21)1a xx+++l为奇函数，则a= ．14．设x，y满足约束条件2311xx yy x≤-⎧⎪+≤-⎨⎪≥-+⎩，则目标函数z=-x+2y的最小值是．15.已知直线l：y=kx+t与圆x2 +(y+l)2 =1相切且与抛物线C：x2 =4y交于不同的两点M．N，则实数t的取值范围是.16.如图，在Rt△ABC中，∠A= 90°，D，E分别是AC，BC上一点，满足∠ADB= ∠CDE= 30°，BE= 4CE．若CD=3，则△BDE的面积为。
北京市丰台区2021-2022学年高三下学期综合练习(一) 数学试题
北京市丰台区2021—2022学年度第二学期综合练习（一）高三数学2022.03第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤，则A B ⋃=（）A.{|11}x x -<<B.{|11}x x -<≤ C.{|22}x x -<< D.{|22}x x -<≤【1题答案】【答案】D 【解析】【分析】利用并集的定义计算即可.【详解】∵集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤，∴{|22}A B x x ⋃=-<≤.故选：D.2.已知命题p ：1x ∃>，210x ->，那么p ⌝是（）A.1x ∀>，210x ->B.1x ∀>，210x -≤C.1x ∃>，210x -≤D.1x ∃≤，210x -≤【2题答案】【答案】B 【解析】【分析】由特称命题的否定，直接判断得出答案.【详解】解：已知命题p ：1x ∃>，210x ->，则p ⌝为：1x ∀>，210x -≤.故选：B.3.若复数i z a b =+（a ，b 为实数）则“0a =”是“复数z 为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【3题答案】【答案】B 【解析】【分析】根据当0a =且0b ≠时，复数i z a b =+z 为纯虚数判断即可.【详解】解：根据复数的概念，当0a =且0b ≠时，复数i z a b =+z 为纯虚数，反之，当复数i z a b =+z 为纯虚数时，0a =且0b ≠所以“0a =”是“复数z 为纯虚数”的必要不充分条件故选：B4.已知圆22:20C x x y -+=，则圆心C 到直线3x =的距离等于（）A.4B.3C.2D.1【4题答案】【答案】C 【解析】【分析】求出圆心的坐标，即可求得圆心C 到直线3x =的距离.【详解】圆C 的标准方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0C ，故圆心C 到直线3x =的距离为132-=.故选：C.5.若数列{}n a 满足12n n a a +=，且41a =，则数列{}n a 的前4项和等于（）A.15 B.14C.158 D.78【5题答案】【答案】C 【解析】【分析】由等比数列定义和通项公式可得1a ，然后由前n 项和公式可得.【详解】因为12n n a a +=，且41a =，所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列，又3411a a q ==，得118a =，所以44141(12)(1)1581128a q S q --===--.故选：C6.在△ABC中，cos 23B a b ===,,，则A ∠=（）A.6π B.3π C.56π D.6π或56π【6题答案】【答案】A 【解析】【分析】先求出sin B ，再借助正弦定理求解即可.【详解】由7cos 4B =得3sin 4B ==，由正弦定理得sin sin a b A B =，233sin 4A =，解得1sin 2A =，又a c <，故A C ∠<∠，6A π∠=.故选：A.7.在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”．若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者．则这6位志愿者不同的分配方式共有（）A.19种 B.20种 C.30种D.60种【7题答案】【答案】A 【解析】【分析】利用对立事件，用总的分配方式减去“社区值守”岗位全是女性的情况可得.【详解】6位志愿者3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”的分配方式共有3620C =种，“社区值守”岗位全是女性的分配方式共1种，故“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者的分配方式共有20119-=种.故选：A8.已知F 是双曲线22:148x y C -=的一个焦点，点M 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若||||OM MF =，则△OMF 的面积为（）A.32B.322C. D.6【8题答案】【答案】C 【解析】【分析】由等腰三角形的性质结合渐近线方程得出点00(,)M x y 的坐标，再求面积.【详解】不妨设F 为双曲线C 的左焦点，点00(,)M x y 在渐近线y =上，因为2,a b c ===，||||OM MF =，所以0x =，0y =，即△OMF 的面积12⨯=.故选：C9.已知函数()32,,3,x x a f x x x x a-<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（）A.(,1]-∞-B.(,1)-∞- C.[1,)+∞ D.(1,)+∞【9题答案】【答案】D 【解析】【分析】利用导数研究函数的性质，作出函数函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，利用数形结合即得.【详解】对于函数33y x x =-，可得()()233311y x x x '=-=+-，由0y '>，得1x <-或1x >，由0y '<，得11x -<<，∴函数33y x x =-在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增，∴函数33y x x =-在1x =-时有极大值2，在1x =时有极小值2-，作出函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，由图可知，当1a ≤时，函数()f x 有最小值()12f =-，当1a >时，函数()f x 没有最小值.故选：D.10.对任意*m ∈N ，若递增数列{}n a 中不大于2m 的项的个数恰为m ，且12100n a a a +++= ，则n 的最小值为（）A.8B.9C.10D.11【10题答案】【答案】C 【解析】【分析】先由条件得出2n a n ≤，进而结合等差数列前n 项和列出不等式，解不等式即可.【详解】由递增数列{}n a 中不大于2m 的项的个数恰为m 可知2n a n ≤，又12100n a a a +++= ，故2462100n ++++≥ ，即()221002n n +≥，解得14012n -≤或14012n -≥，又*n ∈N ，故n 的最小值为10.故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()f x 2lg x x -+的定义域是_________.【11题答案】【答案】{|02}x x <≤【解析】【详解】∵函数()f x lg x∴要使函数有意义，则20{x x -≥>∴02x <≤∴函数()f x lg x 的定义域为{}02x x <≤故答案为{}02x x <≤12.已知向量(2,3)a =- ，(,6)b x =-．若a b∥，则=x ______．【12题答案】【答案】4【解析】【分析】利用两向量共线的条件即求.【详解】∵向量(2,3)a =-，(,6)b x =-，a b∥，∴()()2630x -⨯--=，解得4x =.故答案为：4.13.设函数()f x 的定义域为[]0,1，能说明“若函数()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，则函数()f x 在[]0,1上单调递增“为假命题的一个函数是__________.【13题答案】【答案】213()24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈，（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，可以构造在定义域为[]0,1上，先减后增的函数，满足最大值为1，即可得答案.【详解】根据题意，要求函数()f x 的定义域为[]0,1，在[]0,1上的最大值为()1f ，但()f x 在[]0,1上不是增函数，可以考虑定义域为[]0,1上，先减后增的函数的二次函数，函数213()24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈符合，故答案为：213()24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈，（答案不唯一）.14.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，则F 的坐标为______；设点M 在抛物线C 上，若以线段FM 为直径的圆过点(0,2)，则||FM =______．【14题答案】【答案】①.(1,0)②.5【解析】【分析】由题可得()1,0F ，设(),M x y ，结合条件可得240x y -+=，24y x =，进而可得4x =，即得.【详解】∵抛物线2:4C y x =，∴()1,0F ，设(),M x y ，则24y x =，又以线段FM 为直径的圆过点(0,2)，∴2201001y x --⋅=---，即240x y -+=，又24y x =，∴22404y y -+=，解得4y =，4x =，∴||415FM =+=.故答案为：(10),；5.15.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别是棱1111A B A D ，的中点，点P 在线段CM 上运动，给出下列四个结论：①平面CMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面图形是五边形；②直线11B D 到平面CMN 的距离是22；③存在点P ，使得11=90B PD ∠︒；④△1PDD 面积的最小值是6．其中所有正确结论的序号是______．【15题答案】【答案】①③【解析】【分析】作出截面图形判断①，利用等积法可判断②，利用坐标法可判断③④.【详解】对于①，如图直线MN 与11C B 、11C D 的延长线分别交于11,M N ，连接11,CM CN 分别交11,BB DD 于22,M N ，连接22,MM NN ，则五边形22MM CN N 即为所得的截面图形，故①正确；对于②，由题可知11//MN B D ，MN ⊂平面CMN ，11B D ⊄平面CMN ，∴11//B D 平面CMN ，故点1B 到平面CMN 的距离即为直线11B D 到平面CMN 的距离，设点1B 到平面CMN 的距离为h ，由正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2可得，3,CM CN MN ===，11722CMNS = ，∴11117173326B CMN CMN V S h h -=⋅=⨯= ，111111123323C B MN B MN V S CC -=⋅=⨯⨯= ，∴由1B CMN V -=1C B MN V -，可得h =所以直线11B D 到平面CMN 的距离是17，故②错误；对于③，如图建立空间直角坐标系，则()()()()112,0,2,0,2,2,2,2,0,1,0,2B D C M ，设,01PC MC λλ=≤≤，∴()1,2,2PC MC λλ==-，又()2,2,0C ，()()112,0,2,0,2,2,B D ∴()2,22,2P λλλ--，()()11,22,22,2,2,22PB PD λλλλλλ=--=--，假设存在点P ，使得11=90B PD ∠︒，∴()()()2112222220PB PD λλλλλ⋅=-+-+-= ，整理得291440λλ-+=，∴71319λ+=>（舍去）或7139λ=，故存在点P ，使得11=90B PD ∠︒，故③正确；对于④，由上知()2,22,2P λλλ--，所以点()2,22,2P λλλ--在1DD 的射影为()0,2,2λ，∴点()2,22,2P λλλ--到1DD 的距离为：d =，∴当25λ=时，min 455d =，∴故△1PDD 面积的最小值是145452255⨯⨯=，故④错误.故答案为：①③.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数()sin ()(0||)2f x x ωϕωϕπ=+><,，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()(6g x f x f x π=++，求()g x 在区间4[0]π,上的最大值．条件①：()f x 的最小正周期为π；条件②：()f x 为奇函数；条件③：()f x 图象的一条对称轴为4x π=．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．【16~17题答案】【答案】（1）()sin 2f x x =（2【解析】【分析】（1）可以选择条件①②或条件①③，先由周期计算ω，再计算ϕ即可；（2）先求出26x π+整体的范围，再结合单调性求最大值即可.【小问1详解】选择条件①②：由条件①及已知得2T ππω==，所以2=ω．由条件②得()()f x f x -=-，所以(0)0f =，即sin 0ϕ=．解得π()k k ϕ=∈Z ．因为||2ϕπ<，所以0ϕ=，所以()f x sin2x =．经检验0ϕ=符合题意．选择条件①③：由条件①及已知得2T ππω==，所以2=ω．由条件③得()ππ2π42k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π()k k ϕ=∈Z ．因为||2ϕπ<，所以0ϕ=．所以()f x sin2x =．【小问2详解】由题意得()sin2sin 23g x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，化简得3()sin 22)226g x x x x =+=+π．因为04x π≤≤，所以22663x πππ≤+≤，所以当262x ππ+=，即6x π=时，()g x 17.如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ，90DAB ∠=︒，12AD DC AB ==．以直线AB 为轴，将直角梯形ABCD 旋转得到直角梯形ABEF ，且AF AD ⊥．（1）求证：DF 平面BCE ；（2）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线AE 和平面BCP 所成角的正弦值为56？若存在，求出DPDF 的值；若不存在，说明理由．【17~18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）存在；13DP DF =【解析】【分析】（1）证明出四边形DCEF 为平行四边形，进而证明出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【小问1详解】证明：由题意得EF CD ‖，EF CD =，所以四边形DCEF 为平行四边形．所以DF CE ‖．因为DF ⊄平面BCE ，CE ⊂平面BCE ，所以DF ‖平面BCE ．【小问2详解】线段DF 上存在点P ，使得直线AE 和平面BCP 所成角的正弦值为56，理由如下：由题意得AD ，AB ，AF 两两垂直．如图，建立空间直角坐标系A xyz -．设2AB =，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)D ，(0,1,1)E ，(0,0,1)F ．所以()0,1,1AE = ，()1,1,0BC =-，()1,2,0BD =- ，()1,0,1DF =- ．设()01DP DF λλ=≤≤ ，则()1,2,BP BD DP BD DF λλλ=+=+=--设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z =，所以00n BC n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即()0,120.x y x y z λλ-=⎧⎨--+=⎩令x λ=，则y λ=，1z λ=+．于是(),,1n λλλ=+设直线AE 和平面BCP 所成角为θ，由题意得：sin cos ,n AE n AE n AEθ⋅==⋅56=，整理得：232270λλ-+=，解得13λ=或7λ=．因为01λ≤≤，所以13λ=，即13DP DF =．所以线段DF 上存在点P ，当13DP DF =时，直线AE 和平面BCP 所成角的正弦值为56．18.为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：毕业去向继续学习深造单位就业自主创业自由职业慢就业人数2005601412898假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．（1）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；（2）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X 为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a (098)a <<人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为2s ．当a 为何值时，2s 最小．（结论不要求证明）【18~20题答案】【答案】（1）1400（2）分布列见解析；期望为35（3）42a=【解析】【分析】(1)用样本中“单位就业”的频率乘以毕业生人数可得；(2)先由样本数据得选择“继续学习深造”的频率，然后由二项分布可得；(3)由方差的意义可得.【小问1详解】由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为5602500=14001000⨯．【小问2详解】由题意得，样本中1000名毕业生选择“继续学习深造”的频率为200110005=．用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为15．随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．所以()030311640155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21311481155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()22311122155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3331113155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．所以X 的分布列为X0123P641254812512125112564481213()01231251251251255E x =⨯+⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】易知五种毕业去向的人数的平均数为200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以42a=．19.已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上不同于A ，B 的一点，直线PA ，PB 与直线4x =分别交于点M N ，．若||4MN ≤，求点P 横坐标的取值范围．【19~20题答案】【答案】（1）2214x y +=（2）8[05，【解析】【分析】（1）直接由条件计算,a b 即可；（2）设出点P 坐标，分别写出直线PA ，PB 的方程，表示出M N ，坐标，由||4MN ≤得到不等式，解不等式即可.【小问1详解】由题意得222243,2,a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，21b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=．【小问2详解】设(,)P m n （22m -<<），由已知得(2,0)A -，(2,0)B ，所以直线AP ，BP 的方程分别为(2)2n y x m =++，(2)2ny x m =--．令4x =，得点M 的纵坐标为62M n y m =+，点N 的纵坐标为22N ny m =-，所以62||22n nMN m m =-+-()2444n m m -=-．因为点P 在椭圆C 上，所以2214m n +=，所以2244m n -=-，即4||m MN n-=．因为4MN ||≤，所以44m n-≤，即22(4)16m n -≤．所以22(4)4(4)m m ---≤．整理得2580m m -≤，解得805m ≤≤．所以点P 横坐标的取值范围是8[0]5，．20.已知函数()f x =（1）当1a =时，求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（2）若函数2()()3ag x f x =-恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．【20~21题答案】【答案】（1）y x=（2）(3)+∞，【解析】【分析】（1）直接求导，由()1f x '=求出切点，写出切线方程即可；（2）求导后分类讨论确定函数的单调性，结合零点存在定理确定零点个数即可求出a 的取值范围.【小问1详解】当1a =时，()1)f x x =≤，所以()f x '=令()1f x '=，解得0x =．因为(0)0f =，所以切点坐标为(00),．故切线方程为y x =．【小问2详解】因为2()3ag x =-()x a ≤，所以()g x '=令()0g x '=，解得23a x =．当0a ≤时，由x a ≤，得230a x a --≥≥，所以()0g x '≥，则()g x 在定义域(,]a -∞上是增函数．故()g x 至多有一个零点，不合题意，舍去．当0a >时，随x 变化()g x '和()g x 的变化情况如下表：故()g x 在区间2()3a -∞,上单调递增，在区间2()3aa ,上单调递减，当23a x =时，()g x 取得最大值2(3a g =．若03a <≤时，2()03a g =，此时()g x 至多有一个零点；若3a >时，2(03a g >，又2(0)()03ag g a ==-<，由零点存在性定理可得()g x 在区间2(0)3a ,和区间2()3aa ,上各有一个零点，所以函数()g x 恰有两个不同的零点，符合题意．综上所述，a 的取值范围是(3)+∞，．21.已知集合{12}S n = ,,,(3n ≥且*n N ∈），12{}m A a a a = ,,,，且A S ⊆．若对任意i j a A a A ∈∈,（1i j m ≤≤≤），当i j a a n +≤时，存在k a A ∈(1k m ≤≤)，使得i j k a a a +=，则称A 是S 的m 元完美子集．（1）判断下列集合是否是{12345}S =,,,,的3元完美子集，并说明理由；①1{124}A =,,；②2{245}A =,,．（2）若123{}A a a a =,,是{127}S = ,,,的3元完美子集，求123a a a ++的最小值；（3）若12{}m A a a a = ,,,是{12}S n = ,,,（3n ≥且*n N ∈）的m 元完美子集，求证：12(+1)2m m n a a a +++ ≥，并指出等号成立的条件．【21~23题答案】【答案】（1）1A 不是S 的3元完美子集；2A 是S 的3元完美子集；理由见解析（2）12（3）证明见解析；等号成立的条件是11N 1n a m +=∈+*且(1)(2)1i n ia i m m +=+≤≤【解析】【分析】（1）根据m 元完美子集的定义判断可得结论；（2）不妨设123a a a <<．由11a =，12a =，13a ≥分别由定义可求得123a a a ++的最小值；（3）不妨设12m a a a <<< ，有121i i i i m i a a a a a a a n +-<+<+<<+ ≤．121i i i m i a a a a a a +-+++ ,,,是A 中1m i +-个不同的元素，且均属于集合12{}i i m a a a ++,,,L ，此时该集合恰有m i -个不同的元素，显然矛盾．因此对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥，由此可得证.【小问1详解】解：（1）①因为1235+=≤，又13A ∉，所以1A 不是S 的3元完美子集．②因为2245+=≤，且24A ∈，而55454425245+>+>+>+>+>，所以2A 是S 的3元完美子集．【小问2详解】解：不妨设123a a a <<．若11a =，则112a a A +=∈，123A +=∈，134A +=∈，与3元完美子集矛盾；若12a =，则114a a A +=∈，246A +=∈，而267+>，符合题意，此时12312a a a ++=．若13a ≥，则116a a +≥，于是24a ≥，36a ≥，所以123+13a a a +≥．综上，123a a a ++的最小值是12．【小问3详解】证明：不妨设12m a a a <<< ．对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥，否则，存在某个(1)i i m ≤≤，使得1i m i a a n +-+≤．由12m a a a <<< ，得121i i i i m i a a a a a a a n +-<+<+<<+ ≤．所以121i i i m i a a a a a a +-+++ ,,,是A 中1m i +-个不同的元素，且均属于集合12{}i i m a a a ++,,,L ，该集合恰有m i -个不同的元素，显然矛盾．所以对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥．于是1211211212()()()()()(1)m m m m m m a a a a a a a a a a a a m n ---++++=+++++++++≥L L ．即12(1)2m m n a a a ++++≥L ．等号成立的条件是11N 1n a m +=∈+*且(1)(2)1i n ia i m m +=+≤≤．。
2021年高三数学第一次诊断性考试试题 理(含解析)
2021年高三数学第一次诊断性考试试题理（含解析）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。
第I卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。
满分150分。
考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第I卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=(A) (B) {2} (C) {0} (D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以，故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2．下列说法中正确的是(A) 命题“，”的否定是“，≤1”(B) 命题“，”的否定是“，≤1”(C) 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”(D) 命题“若，则”的逆否命题是“若≥，则≥”【知识点】四种命题A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B.【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3．设各项均不为0的数列{a n}满足(n≥1)，S n是其前n项和，若，则S4=(A) 4 (B)(C) (D)【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以，故选D. 【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求.【题文】4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=(A) -3 (B)(C) 3 (D)【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,所以()2+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.AB BD DB AB DB BD DB BD03【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5．已知，那么=(A) (B) (C) (D)【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6【答案解析】C 解析：因为，所以27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故选C. 【思路点拨】利用二倍角公式求得值，再用诱导公式求得sin2x 值.【题文】6．已知x ，y 满足则2x -y 的最大值为(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4http//【知识点】简单的线性规划.E5 【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得 ，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[，]，则“x ∈”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx ＜﹣cosx ， ∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），即sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立，（2）∵sin（sinx ）＜cos （cosx ）∴s in （sinx ）＜sin （﹣cosx ），sinx ＜﹣cosxsinx+cosx ＜，x ∈[﹣π，π]，∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx ）＜cos （cosx ）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断【题文】8．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则(A) (B)(C) (D)【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数，都有，即对任意两个不相等的正数，都有，所以函数是上的减函数，因为，所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数，根据条件可以判断它是上的减函数，由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)【知识点】分段函数的应用B1【答案解析】D 解析：解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log a5，即log a5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A【思路点拨】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10．已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是(A) (B) (C) (D)【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由≥对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤-ax ．若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a -a 2x ．设函数，求导求出f (x )的最小值为．设，求导可以求出g(a )的最大值为，即的最大值是，此时．【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。
江苏南通徐州宿迁淮安泰州镇江六市联考2020-2021学年下高三第一次调研考试数学试题(全解析)
江苏省南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江六市联考2021届高三第一次调研测试数 学2021．02注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号，考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时， 选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题 5分，共 40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A ＝{}26x N x ∈<<，B ＝{}2log (1)2x x -<，则A B ＝A ．{}35x x ≤<B ．{}25x x <<C ．{3，4}D ．{3，4，5} 2．已知2＋i 是关于x 的方程250x ax ++=的根，则实数a ＝A ．2－iB ．－4C ．2D ．4 3．哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6．图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为A ．11B ．13C ．15D ．174．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述，在该模型中，人体内药物含量x （单位：mg ）与给药时间t （单位：h ）近似满足函数关系式0(1e )kt k x k-=-，其中0k ，k 分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg /h ）．经测试发现，当t ＝23时，02k x k=，则该药物的消除速率k 的值约为（ln2≈0.69） A ．3100 B ．310 C ．103 D ．10035．(12)n x -的二项展开式中，奇数项的系数和为 A ．2nB ．12n - C ．(1)32n n -+ D ．(1)32n n--6．函数sin 21xy x π=-的图象大致为A BC D 7．已知点P 是△ABC 所在平面内一点，有下列四个等式： 甲：PA PB PC ++=0； 乙：()()PA PA PB PC PA PB ⋅-=⋅-； 丙：PA PB PC ==； 丁：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅． 如果只有一个等式不成立，则该等式为A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．已知曲线ln y x =在A (1x ，1y )，B (2x ，2y )两点处的切线分别与曲线e x y =相切于C (3x ，3y )，D (4x ，4y )，则1234x x y y +的值为A ．1B ．2C ．52D ．174二、 选择题：本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
广东省惠州市2021届高三第一次调研考试数学试题(含答案)
（2）设 bn
an
1 an1
，求数列 {bn} 的前
n
项和 Sn
．
18．（本小题满分 12 分）
数学试题
第 3 页，共 17 页
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在△ ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ，且 b cos A=2c a cos B .
（1）求角 B 的值； （2）若 a 4 ，△ ABC 的面积为 3 ，求△ ABC 的周长．
行调研，每个县区至少派 1 位专家，则甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ）.
A． 1 6
B． 1 4
C． 1 3
D． 1 2
10．对于函数 f x ，若在定义域内存．在．实数 x，满足 f x f x ，称 f x 为“局部奇函数”.
若 f x 4x m2x1 m2 3 为定义域 R 上的“局部奇函数”，则实数 m 的取值范围是（ ）.
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惠州市 2021 届高三第一次调研考试试题 数学
全卷满分 150 分，时间 120 分钟． 注意事项：
2020.07
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡 上。
2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信 息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
A．1 3 m 1 3
B．1 3 m 2 2
C． 2 2 m 2 2
D． 2 2 m 1 3
数学试题
第 2 页，共 17 页
公众号：高三资料库
二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题满分 5 分，共 10 分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分。
2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：幂函数(一)(含解析)
《幂函数》（一）考查内容：幂函数的定义、定义域、值域，函数图像等一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知幂函数()y f x =的图象经过点1,93⎛⎫ ⎪⎝⎭，则此幂函数的解析式为（ ） A ．()2f x x -=B ．()2f x x =C ．()2x f x =D ．()2xf x -=2．已知幂函数()y f x =的图像经过点(2,4)，则f 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．若12()(lg 1)m f x m x -=+为幂函数，则(3)f =（ ）A ．9B ．19CD 4．已知幂函数()()37m f x x m N -=∈的图象关于y 轴对称，且与x 轴、y 轴均无交点，则m 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．25．设函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数，且当(0,)x ∈+∞，()f x 单调递增，则m 的值为（ ） A ．2-B ．2-或1C ．2D ．2或1-6．已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x bf x m m m -=->≠且的图象所经过的定点，则b 的值等于（ ）A ．12±B ．2±C ．2D ．2±7．5个幂函数：①2y x；②45y x =；③54y x =；④23y x =；⑤45y x-=.其中定义域为R 的是（ ） A ．只有①②B ．只有②③C ．只有②④D ．只有④⑤8．设11,0,,1,2,32n ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使得()n f x x =的定义域为R 且()f x 为奇函数的所有n 值的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．下列命题中正确的是（ ）A ．当0α=时，函数y x α=的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0),(1,1) 两点C ．幂函数的图象不可能出现在第三象限D ．图象不经过点(1,1)-的幂函数，一定不是偶函数 10．以下函数12y x =，2y x ，23y x =，1y x -=中，值域为[0,)+∞的函数共（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．411．已知幂函数n y x =在第一象限内的图象如图所示．若112,2,,22n ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭则与曲线1C ，2C ，3C ，4C 对应的n 的值依次为（ ）A ．11,2,2,22-- B ．112,,2,22-- C ．112,,,222--D ．11,2,,222--12．若幂函数mn y x =（*,m n ∈N ，且m 、n 互素）的图像如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A ．m 、n 是奇数且1mn< B ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n> C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n< D ．m 、n 是偶数，且1m n> 二．填空题13．若幂函数f (x )的图象经过点(4，14)，则()21log 32f -的值等于________.14．在函数①75y x =；②56y x =；③47y x =；④25y x -=；⑤13y x-=；⑥23y x =中定义域与值域相等的有_________个. 15．对幂函数32()f x x -=有以下结论 （1）()f x 的定义域是{|0,}x x x R ≠∈；（2）()f x 的值域是(0,)+∞； （3）()f x 的图象只在第一象限； （4）()f x 在(0,)+∞上递减； （5）()f x 是奇函数．则所有正确结论的序号是______. 16．若1144(1)(32)a a --+<-,则a 的取值范围是 ______三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知幂函数()y f x =的图象过点(.（1）求函数()f x 的解析式，并求出它的定义域； （2）试求满足()()13f a f a +>-的实数a 的取值范围.18．已知幂函数()()22421m m f x m x -+=-在0,单增函数，函数()22g x kx =+.（1）求m 的值；（2）对任意[]11,2x ∈-总存在[]21,2x ∈使()()12g x f x =，求实数k 的取值范围.19．若()()11132a a --+<-，试求a 的取值范围.20．已知幂函数()223m m y f x x --+==（其中22m -<<，m ∈Z ）满足：①在区间(),0-∞上为减函数；②对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x --=.求幂函数()f x 的解析式，并求当[]0,4x ∈时，()f x 的值域.21．如图所示的函数()F x 的图象，由指数函数()x f x a =与幂函数()b g x x =“拼接”而成．（1）求()F x 的解析式； （2）比较b a 与a b 的大小；（3）已知(4)(32)b bm m --+<-，求m 的取值范围．22．已知幂函数2242()(22)m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()(21)1()ag x a x f x =--+在[1,2]-上的值域为[4,11]-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.《幂函数》（一）解析1.【解析】依题意，设()af x x =，则1()93a=，解得2a =-，()2f x x-∴=，故选:A ．2.【解析】∵幂函数y ＝f （x ）＝x a 的图象经过点（2，4），∴2a ＝4，解得a ＝2，∴y ＝x 2，∴f2＝2．故选B ．3.【解析】12()(lg 1)m f x m x -=+为幂函数，则lg 111m m +=⇒=，则()12f x x =，则(3)f =C4.【解析】由题意可得：370m -<且37m -为偶数，m N ∈， 解得73m <，且37m -为偶数，m N ∈， ∴1m =． 故选：C ． 5.【解析】由题意()f x 是幂函数，则211m m --=，解得2m =或1m =-， 因为()f x 在()0,x ∈+∞上是增函数，而当2m =时，2330m m +-=>符合题意； 当1m =-时，2330m m +-=-<，所以()f x 在()0,x ∈+∞上是减函数，不符合题意，2m ∴=.故选：C6.【解析】由于1()(21)a g x a x +=-为幂函数，则211a -=，解得：1a =，函数1()2x bf x m-=-，(0,m >且1)m ≠，当x b =时，11()22b bf b m -=-= ， 故()f x 的图像所经过的定点为1(,)2b ，所以1()2g b =，即212b =，解得：2b =±,故答案选B 7.【解析】①2yx的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，②45y x =的定义域为R ， ③54y x =的定义域为(0,)+∞， ④23y x =的定义域为R ， ⑤45y x-=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，故选：C .8.【解析】当1n =-时，1()f x x=定义域为{}0x x ≠，不满足题意 当0n =时，0()f x x =定义域为{}0x x ≠，不满足题意当12n =时，()f x ={}0x x ≥，不满足题意 当1n =时，()f x x =定义域为R ，且为奇函数，满足题意当2n =时，2()f x x =定义域为R ，是偶函数，不满足题意 当3n =时，3()f x x =定义域为R ，且为奇函数，满足题意所以，使得()n f x x =的定义域为R 且()f x 为奇函数的所有n 值的个数为2故选：B9.【解析】A ，错误，因为函数y x α=的的定义域为()(),00,-∞⋃+∞ ，故图像为是一条直线除去点()0,1 B 错误，当幂函数,0y x αα=<时图象不经过()0,0, C ，错误，如幂函数1y x -=图象在第三象限和第一象限D ，正确，故选D 10.【解析】函数12y x ==[0,)+∞，值域为[0,)+∞；函数2yx 的定义域为R ，值域为[0,)+∞；函数23y x ==20x ≥，∴函数值域为[0,)+∞；函数331y xx-==，值域为(,0)(0,)-∞+∞． ∴值域为[0,)+∞的函数共3个．故选：C.11.【解析】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在1x =的右侧部分的图象， 图象由下至上，幂指数依次增大，曲线1C ，2C ，3C ，4C 对应的n 的值依次为：112,,,222--，故选：C.12.【解析】将分数指数式化为根式，mn y x ==由定义域为R ，值域为[)0,+∞知n 为奇数，m 为偶数，故排除A 、D ， 又由幂函数y x α=，当1α>时，图像在第一象限的部分下凸，当01α<<时，图像在第一象限的部分上凸.故选：C13.【解析】因为f (x )为幂函数，所以设()f x x α=，因为f (x )的图象经过点(4，14)，所以14=14αα∴=-， 因此()2221log 31log 3111log 32232(2)()()232f -----====，故答案为：3214.【解析】①75y x =的定义域为R ，值域为R .②56y x =的定义域为[)0+∞，，值域为[)0+∞，. ③47y x =的定义域为R ，值域为[)0+∞，. ④25y x -=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(0+)∞，.⑤13y x-=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(,0)(0,)-∞+∞.⑥23y x =的定义域为R ，值域为[)0+∞，. 故定义域与值域相等的有①, ②和⑤，故答案为：3 15.【解析】对幂函数()32f x x-=，以下结论（1）()f x 的定义域是{}0,x x x R ∈，因此不正确； （2）()f x 的值域是()0,+∞，正确； （3）()f x 的图象只在第一象限，正确； （4）()f x 在()0,+∞上递减，正确； （5）()f x 是非奇非偶函数，因此不正确． 则所有正确结论的序号是（2）（3）（4）． 16.【解析】幂函数yx α=，当0α<时是减函数，函数 14y x -=的定义域为()0,∞+，所以有1320a a +>->， 解得2332a <<，故答案为 23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.17.【解析】（1）设()f x x α=，代入点(得2α=，解得12α=， 即()12f x x ==.故函数()f x 的定义域为[)0,+∞.（2）由于()f x 的定义域为[)0,+∞，且在[)0,+∞上递增，由已知()()13f a f a +>-可得103013a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩，a 的范围是(]1,3.18.【解析】（1）由题：()2211420m m m ⎧-=⎪⎨-+>⎪⎩解得0m = ；（2）由（1）()2f x x =，记()[]{},1,2A y y f x x ==∈，()[]{},1,2B y g x x ==∈-，由题意B A ⊆，容易求得[]1,4A =.由B A ⊆得12241424k k ≤-+≤⎧⎨≤+≤⎩，解得1142k -≤≤，即k 的取值范围是11,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 19.【解析】∵()()11132a a --+<-，∴10,320,132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10,320,132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或320,10,a a ->⎧⎨+<⎩解得2332a <<或1a <-.故a 的取值范围是()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.20.【解析】22m -<<，m ∈Z ，1m ∴=-，0，1.对任意x ∈R ，都有()()0f x f x --=，即()()f x f x -=，f x 是偶函数.当1m =-时，()4f x x =，满足条件①②；当1m =时，()0f x x =，不满足条件①；当0m =时，()3f x x =，条件①②都不满足，故同时满足条件①②的幂函数()f x 的解析式为()4f x x =，且在区间[]0,4上是增函数，∴当[]0,4x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,256.21.【解析】（1）由题意得14b 12,1142a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1,16{1,2a b ==∴x 1211,164()1,4x F x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩（2）因为3211()22<，所以1116321611()()22⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，即b aa b <． （3）由题意1122(4)(32)m m --+<-，所以40,{320,432,m m m m +>->+>-解得1332m -<<，所以m 的取值范围是12(,)33-． 22.【解析】（1）因为幂函数2242()(22)mm f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221,420,m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-（舍去），所以1()f x x -=.（2）由（1）得1()f x x -=，所以()(1)1g x a x =-+，假设存在0a >使得命题成立，则当10a ->时，即1a >，()g x 在[1,2]-单调递增，所以(1)4,114,6(2)11,22111,g a a g a -=--+=-⎧⎧⇒⇒=⎨⎨=-+=⎩⎩； 当10a -=，即1a =，()1g x =显然不成立； 当10a -<，即1a <，()g x 在[1,2]-单调递减，所以(1)11,1111,(2)4,2214,g a g a -=-+=⎧⎧⇒⎨⎨=--+=-⎩⎩a 无解； 综上所述：存在6a =使命题成立.。
2021年高三下学期周练(3)数学(文)试题 含答案
2021年高三下学期周练（3）数学（文）试题含答案一、选择题1．已知全集集合则等于A． B． C． D．2．设，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．下列区间中，函数在其上为增函数的是A． B． C． D．4．设是周期为2的奇函数，当时，则A． B． C． D．5．设则函数的零点位于区间A． B． C． D．6．要得到函数的图象，只要将函数的图象A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位7．已知定义域为的奇函数又是减函数，且则a的取值范围是A． B． C． D．8．已知则的最小值是A． B．4 C． D．59．对实数a和b，定义运算“”：设函数，若函数的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是A． B．C． D．10．设变量x，y满足约束条件且不等式恒成立，则实数a的取值范围是A． B． C． D．11．已知点P在曲线上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是A． B． C． D．12．设定义在R上的函数是最小正周期为2π的偶函数，是的导函数，当时，当且时，，则函数在上的零点个数为A．2 B．4 C．5 D．8二、填空题13．若x，y满足条件，当且仅当时，取得最小值，则实数a的取值范围是 . 14．已知三次函数在处的切线方程为则 .15．设点(m，n)在直线上位于第一象限内的图象上运动，则的最大值是 . 16．设函数对任意，恒成立，则实数m的取值范围是 .三、解答题17．已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)若求的值.18．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会。
首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元，已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元.(1)若建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y万元（综合费用是建筑费用与购地费用之和），写出的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？19．已知为函数图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率.(1)函数在区间上存在极值，求实数m的取值范围；(2)设若对任意恒有求实数a的取值范围.20．已知.(1)当时，求函数上的值域；(2)求函数在上的最小值；(3)证明：对一切都有成立.参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DADACCACBADB13． 14．－1 15．－2 16．17．解：(1)易得1)42sin(2)sin (cos )sin )(cos sin (cos )(2++=++-+=∴πx x x x x x x x F所以，函数的最小正周期 又由 得：所以，函数的单调递增区间为 (2)由题意：，所以611tan 1tan 21cos sin cos sin 2cos cos sin cos sin 1222222=-+=-+=-+x x x x x x x x x x x18．解：(1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元，建筑第1层楼房建筑费用为（万元），楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高（万元）， 建筑第x 层楼房的建筑费用为（万元）， 建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为,1007110022)1(72)(2++=+⨯-+==x x x x x x f y 综上可知(2)设该楼房每平方米的平均综合费用为则xx x x x f x x f x g )10071(10)(10100010000)()(2++==⨯=.9107101000102710100010=+⋅≥++=xx x x 当且仅当即时等号减立综上可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元19．解：(1)由题意，，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值因为函数在区间(其中)上存在极值 所以，得，即实数m 的取值范围是 (2)由题可知，因为，所以 当时，不合题意 当时，由可得设则设①若，则所以在内单调递增，又，所以所以符合条件②若，则所以存在使得，则在内单调递减，又，所以当时，不合要求．综合①②可得20．解：(1)∵当时，当时，故值域为.单调递减，当递增.无解；即时，即时，在上单调递增，所以，所以问题等价于证明由(2)可知的最小值是当且仅当时取到设则易得当且仅当时取到，从而对一切都有成立.31197 79DD 秝38619 96DB 雛T36024 8CB8 貸m 23245 5ACD 嫍<35047 88E7 裧;940127 9CBF 鲿P。
上海复旦附中2024学年高三年级第二学期数学试题周练一(含附加题)
上海复旦附中2024学年高三年级第二学期数学试题周练一（含附加题）注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积为( )A ．15π2cmB ．21π2cmC ．24π2cmD ．33π2cm2．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ） A ．14B ．13C ．532D ．3163．已知函数f (x )＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A ．1e 2⎛⎝ B ．12e ⎡⎢⎣C ．12e ⎛⎝⎦D ．12e ⎛⎝⎭4．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③5．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()2243S a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1B ．22C ．624- D ．624+ 6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（ ） A ．6里B ．12里C ．24里D ．48里7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x8．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC +9．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．1648110．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（ ） A ．1y x =-B ．23y x =-C ．3y x =-+D ．25y x =-+12．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届山西省太原市高三第二学期模拟考试(一)(一模)数学(文科)试卷【含答案】
2021届山西省太原市高三第二学期模拟考试(一)（一模）数学(文科)试卷(考试时间：下午3：00－5：00)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷1至4页，第II卷5至8页。
2.回答第I卷前，考生务必将自己的姓名考试编号填写在答题卡上。
3.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4.回答第II卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，3，5}，则A∪(∁U B)＝A.{2，3，4}B.{2}C.{1，5}D.{1，3，4，5}2.已知复数z满足z(1－i)＝2i，则复数z＝A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i3.公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数512，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin18°，若a2＋b＝4，则2a b1cos72-︒＝A.12B.251+D.44.函数f(x)＝cos(sinx)的部分图象大致是5.在区间[－1，1]上任取一个实数k ，则使得直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点的概率是 A.32 B.22 C.33 D.126.已知a ，b 为单位向量，且满足|a －b|2，则|2a ＋b|＝ 3 7 5 27.已知{a n }是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且{S n }是等差数列，给出以下结论错误的是A.{a n ＋S n }是等差数列B.{a n ·S n }是等比数列C.{a n 2}是等差数列D.n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列 8.已知实数x ，y 满足3x y 302x 3y 90x 2y 10+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则z ＝2x y 3x 2+--的取值范围是A.(－∞，1]∪(2，4]B.[1，2)∪(2，4]C.[1，2)∪[4，＋∞)D.(－∞，1]∪[4，＋∞) 9.已知a ＝2ln3π，b ＝3ln2π，c ＝2ln π3，则下列结论正确的是 A.b<c<a B.c<b<a C.b<a<c D.a<b<c10.已知正四面体ABCD 的棱长为4，点E 在棱AB 上，且BE ＝3AE ，过E 作四面体ABCD 外接球的截面，则所作截面面积的最小值为 A.103π B.3π C.3π311.已知过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F(12，0)的直线与该抛物线相交于A ，B 两点，若△AOF 的面积与△BOF(O 为坐标原点)的面积之比是2，则|AB|＝ A.94 B.134 C.54 D.7412.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<2π)的图象关于x ＝－3π对称，且f(6π)＝0，将f(x)的图象向右平移3π个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是 A.φ＝3π B.若g(x)是奇函数，则ω的最小值为1C.若f(x)在[3π，2π]上单调递增，则ω∈(0，23]D.若g(x)是周期最大的偶函数，则f(x)在[0，16π]上单调递增太原市2021年高三年级模拟考试(－～)数学试卷(理科) 第II 卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
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汉台中学xx届高三数学（文）周练（1）
命题：王玲审题：曾正乾
一、选择题：（每个小题5分，共45分）
1．设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（）A． B． C． D．
2．下列函数f（x）中满足“对任意当时，都有”的是（）A．B． C．D．
3．函数y=的定义域为（）
A．（，1） B．（，+∞） C．（1，+∞） D．（，1）∪（1，+∞）
4．对命题“x
0∈R,x
2-2x
+4≤0”的否定正确的是（）
A．x
0∈R,x
2-2x
+4>0 B．x∈R,x2-2x+4≤0
C．x∈R,x2-2x+4>0 D．x∈R,x2-2x+4≥0
5．9．若函数y=ax与y=-在（0，+∞）上都是减函数，则y=ax2+bx在（0，+∞）上是（）
A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增6．已知集合，则（）
A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3
7．已知集合；,则中所含元素
的个数为（）
10 8 6 3
8. 已知函数f（x）=,若f（2-x2）>f（x），则实数x的取值范围是（）
A．（-∞，-1）∪（2，+∞）B．（-∞，-2）∪（1，+∞）
C．（-1,2） D．（-2,1）
9.若函数与的定义域均为R，则
A.为偶函数，为奇函数
B.为奇函数，为偶函数
C. 与与均为奇函数
D.与与均为偶函数
2021年高三下学期数学（文）周练1 含答案
二、填空题（每个小题6分，共30分）
10．命题存在,使，则为 .
11．函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=,若f（1）=-5，则f[f（5）]=_______．
12．已知t>0，则函数y=的最小值为________．
13．已知3a=5b=A，且，则A=________.
14．函数的值域是。
汉台中学xx届高三数学（文）周练（1）答题卡
班级姓名成绩
一、选择题：
二、填空题：
10. 11. 12. 13. 14.
三、解答题：（共25分）
15．（本小题满分12分）
已知P={x|x2-8x-20≤0},S={x|1-m≤x≤1+m}
（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的取值范围．
16．（本大题13分）已知函数对任意实数满足:且当时,.
(1)求;
(2)确定函数的图象与函数的图象的交点个数.
xx 届数学（文）周练1答案
一1．A 2．C 3．A 4．C 5．B 6．B 7．A 8.D 9.A 二、10. 任意,使得 ； 11. -； 12．-2； 13．；14.
15题：（1）P={x|-2≤x ≤10},∵x ∈P 是x ∈S 的 充要条件，∴P=S
∴1-m=-21+m=10 ∴m=3且m=9,∴这样的m 不存在。
（2）∵x ∈P 是x ∈S 的必要不充分条件， ∴1-m ≥-2 １－ｍ＞－２
1+m ＜１０ 或 １＋ｍ≤１０ 解得：ｍ≤３
()
()()
1
16.1,1,x R f x f x ∈+=-
对任意都有 ()()()()()
()11
211.11f x f
x f x f
x f x ∴+=++=-=-=+-
()()()22014210070000.f f f ∴=⨯+===
(2)根据的周期性及在[-1,1]上的解析式可做图象得函数的图象与函数的图象的交点个数.为10个.36827 8FDB 进32809 8029 耩{34957 888D 袍20222 4EFE 仾)N
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