概率论浙大课件分解
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概率论与数理统计(浙大版)第一章课件
然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象 规律性的一门数学学科.
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
8
一、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机
试验。 （1）可以在相同的条件下重复地进行； （2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试 验的所有可能结果； （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
4
实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况.
结果: 弹落点会各不相同.
实例3 抛掷一枚骰子,观 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
察出现的点数.
5
实例4 从一批含有正品
和次品的产品中任意抽取 一个产品. 实例5 过马路交叉口时,
其结果可能为:
正品 、次品.
则 C A B AB 格”,Ｂ＝“直径合格”．
30
推广 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件;
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的和事件.
k 1
n
称 Ak 为 n 个 事 件 A1 , A2 , , An 的 积 事 件 ;
事件 A 发生 事件B 发生
实例 A=“长度不合格” 必然导致 B=“产品不合格” 所以 A B
27
2.事件的相等
若两个事件 A 和B 相互包 含，则称这两个事件相等， 记为 A .B
A B A =B
A B且B A
A B
A 和 B 同时发生或者同时不发生
28
3.事件的和（并）
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
8
一、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机
试验。 （1）可以在相同的条件下重复地进行； （2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试 验的所有可能结果； （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
4
实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况.
结果: 弹落点会各不相同.
实例3 抛掷一枚骰子,观 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
察出现的点数.
5
实例4 从一批含有正品
和次品的产品中任意抽取 一个产品. 实例5 过马路交叉口时,
其结果可能为:
正品 、次品.
则 C A B AB 格”,Ｂ＝“直径合格”．
30
推广 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件;
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的和事件.
k 1
n
称 Ak 为 n 个 事 件 A1 , A2 , , An 的 积 事 件 ;
事件 A 发生 事件B 发生
实例 A=“长度不合格” 必然导致 B=“产品不合格” 所以 A B
27
2.事件的相等
若两个事件 A 和B 相互包 含，则称这两个事件相等， 记为 A .B
A B A =B
A B且B A
A B
A 和 B 同时发生或者同时不发生
28
3.事件的和（并）
浙大概率论与数理统计课件_第三章多维随机变量及其分布
P{X=0, Y=3} 1 23 1 8
P{X=1,
Y=1}
3 1
1 2
1 2
2=3/8
P{X=2,
Y=1}
3 2
1 2
2
1 2
=3/8
P{X=3,
Y=0}
1
2
3
1
8.
XY 1 3 0 0 18 1 38 0 2 38 0 3 0 18
三、二维连续型随机变量
定义3 对于二维随机变量
x
dx
f x, ydy
fX x FX x
f x, ydy
( X,Y )关于Y 的边缘概率密度为
fY ( y )
f ( x, y )dx
y
例2 设(X,Y)的概率密度是
f
(
x,
y
)
cy(
2 0
x ), ,
0 x 1,0 y x 其它
求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。 y
X ,Y 的分布函数 F x, y,如果 存在非负的函数 f x, y, 使对于
任意 x, y 有
F x, y y x f u,v dudv
则称 X ,Y 是连续型的二维随
机变量 , 函数 f x, y 称为二维
随机变量（X,Y )的概率密度 ,或 称为随机变量 X 和 Y 的联合概 率密度.
这一节里,我们就来探求这个问题 .
一、边缘分布函数
二维随机变量 (X,Y)作为一个整体, 具有分布函
数 F x, y, 而 X 和 Y 都是随机变量 ,也有各自的分 布函数, 分别记为 FX x, FY y, 依次称为二维随机
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
概率论与数理统计第一章(浙大第四版)ppt课件
ppt课件
9
例：
概率论
一枚硬币抛一次
记录一城市一日中发生交通事故次数
记录一批产品的寿命x
记录某地一昼夜最高温度x，最低温 度y
ppt课件
10
概率论
S={正面，反面}； S={0,1,2,…}； S={ x|a≤x≤b }
S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}；
ppt课件
111
n—总试验次数。称 fn ( A) 为A
在这n次试验中发生的频率。
ppt课件
27
例：
概率论
中国男子国家足球队，“冲出亚洲”
共进行了n次，其中成功了一次，在
这n次试验中“冲出亚洲”这事件发
生的频率为 1 n；
ppt课件
28
概率论
某人一共听了16次“概率统计”课，其 中有12次迟到，记A={听课迟到}，则
ppt课件
33
(二) 概率
概率论
定义1：fn ( A) 的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p
定义2：将概率视为测度，且满足：
1。 P( A) 0
2。 P(S ) 1
3。 A1, A2,...,Ak ,...,Ai Aj （i j）,
P( Ai ) P( Ai )
（1）从袋中随机摸一球，记A={ 摸到红 球 }，求P(A)．
（2）从袋中不放回摸两球，记B={恰是一 红一黄}，求P(B)．
ppt课件
47
概率论
解：(1)
S={1,2, ,8},A={1,2,3}
P
A
3 8
(2)P(B)
C31C51
概率论与数理统计(浙大版)第三章PPT参考课件
X,Y的边缘分布律为：
记为
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == pgj j 1, 2,L
i 1
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pig i 1, 2,L
j 1
注意：
X Y y1
(1) 0 pij 1
(2) pij 1
ij
2020/2/15
(2)表格法
X Y y1 y2 y3
x1 p11 p12 p13 x2 p21 p22 p23
(X,Y)的概率分布表：描述(X,Y)的取值规律
P((X ,Y ) G)
pij
( xi , yj )G
1 2
4 x(1
2x)dx
1
1
1
0
23 6
2020/2/15
21
§2 边缘分布
二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数
其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数
记为：
称为边缘分布函数。
FX (x)，FY ( y)，
F(x, y),
FX (x) F(x, )
事实上，
FY ( y) F(, y)
i 1,2, , m, ; j 1,2, , n,
中心问题：(X,Y)取这些可能值的概率分别为多少？
2020/2/15
二维（X，Y）的联合分布律:
(1)公式法
p( xi , yj ) P( X xi ,Y yj ) pij
pij的 性 质 ：
(i, j 1,2, )
p2 p2 j
浙江大学概率论4-110.0汇总演示课件.ppt
1 4 21 35 1 4 2 1 3 5 2.1
10
10 10 10
nx1k212 n
则其“均值”应为
1
n.
k i1
ni xi
k i1
ni n
xi
n所i 以上面的均值是以
n频率为权重的加权平均。
精选课件
二、数学期望
1、离散型随机变量的数学期望
设离散型随机变量X 的分布律为
9精/3选8课件
例题 3 有 5 个相互独立工作的电子装置，它们
的寿命 X k ,(k 1,2,3,4,5)服从同一指数分布，其概
率密度为
f ( x) 1 e x / , x 0, 0.
0,
x 0,
（1）若将这 5 个电子装置串联工作组成整机，求
整机寿命N 的数学期望.
Fmin ( x)
1
1
F ( x)5
1 0,
e5x / , x 0 x 0.
因而，N 的概率密度为 fmin ( x) 5 e5x / , x 0,
于是，N 的数学期望为
0,
x 0.
E(N )
xfmin ( x)dx
射中 1 环的次数为a1次.则 N a10 a9 a1，N 次
10
射击得分总和为 kak ，于是每次射击平均射中环数
k 1
为10 a10 9 a9 1 a1 10 k ak ，若以 X 表示
N
k1 N
射手射击所中环数，则ak / N 是事件{X k}的频数，
0,
x 0.
于是，M 的数学期望为
《概率论与数理统计》浙大内部课件(全套).PPT
S
“和”、“交”关系式
n i 1
A
n
A
Ai＝A1 A2 An；
Ai
n i 1
Ai A1
A2
An；
Ai
n i 1
i 1
例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则： A B {甲、乙至少有一人来} A B {甲、乙都来} A B AB {甲、乙都不来} A B AB {甲、乙至少有一人不来}
16
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性： 1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
例：
抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记；
4
随着18、19世纪科学的发展，人们注意到某些生物、物理 和社会现象与机会游戏相似，从而由机会游戏起源的概率 论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的 发展。 法国数学家拉普拉斯将古典概率论向近代概率论进行推进， 他首先明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了 更有力的数学分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。 他还证明了“煤莫弗——拉普拉斯定理”.拉普拉斯于 1812年出版了他的著作《分析的概率理论》，这是一部继 往开来的作品。这时候人们最想知道的就是概率论是否会 有更大的应用价值？是否能有更大的发展成为严谨的学科 概率论在20世纪再度迅速地发展起来，则是由于科学技术 发展的迫切需要而产生的。1906年，俄国数学家马尔科夫 提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。1934年，前苏联 数学家辛钦又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理有极重要的地位，现 今仍在常用的许多统计方法，就是建立在“所研 究的量具有或近似地具有正态分布”这个假定的 基础上，而经验和理论（概率论中所谓“中心极 限定理”）都表明这个假定的现实性，现实世界 许多现象看来是杂乱无章的，如不同的人有不同 的身高、体重。大批生产的产品，其质量指标各 有差异 。看来毫无规则，但它们在总体上服从正 态分布。这一点，显示在纷乱中有一种秩序存在， 提出正态分布的高斯，一生在多个领域里面有不 少重大的贡献，但在德国10马克的有高斯图像的 钞票上，单只画出了正态曲线，以此可以看出人 们对他这一贡献评价之高。
“和”、“交”关系式
n i 1
A
n
A
Ai＝A1 A2 An；
Ai
n i 1
Ai A1
A2
An；
Ai
n i 1
i 1
例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则： A B {甲、乙至少有一人来} A B {甲、乙都来} A B AB {甲、乙都不来} A B AB {甲、乙至少有一人不来}
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概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性： 1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
例：
抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记；
4
随着18、19世纪科学的发展，人们注意到某些生物、物理 和社会现象与机会游戏相似，从而由机会游戏起源的概率 论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的 发展。 法国数学家拉普拉斯将古典概率论向近代概率论进行推进， 他首先明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了 更有力的数学分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。 他还证明了“煤莫弗——拉普拉斯定理”.拉普拉斯于 1812年出版了他的著作《分析的概率理论》，这是一部继 往开来的作品。这时候人们最想知道的就是概率论是否会 有更大的应用价值？是否能有更大的发展成为严谨的学科 概率论在20世纪再度迅速地发展起来，则是由于科学技术 发展的迫切需要而产生的。1906年，俄国数学家马尔科夫 提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。1934年，前苏联 数学家辛钦又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理有极重要的地位，现 今仍在常用的许多统计方法，就是建立在“所研 究的量具有或近似地具有正态分布”这个假定的 基础上，而经验和理论（概率论中所谓“中心极 限定理”）都表明这个假定的现实性，现实世界 许多现象看来是杂乱无章的，如不同的人有不同 的身高、体重。大批生产的产品，其质量指标各 有差异 。看来毫无规则，但它们在总体上服从正 态分布。这一点，显示在纷乱中有一种秩序存在， 提出正态分布的高斯，一生在多个领域里面有不 少重大的贡献，但在德国10马克的有高斯图像的 钞票上，单只画出了正态曲线，以此可以看出人 们对他这一贡献评价之高。
概率论与数理统计教学PPT浙大第三版
数据挖掘
02
通过对大量数据进行挖掘和分析，发现数据间的关联和规律，
为人工智能系统的决策提供依据。
自然语言处理
03
自然语言处理中需要进行文本分类、情感分析等任务，需要概
率论与数理统计的知识进行模型训练和优化。
05
概率论与数理统计的未来发展
概率论与数理统计与其他学科的交叉发展
概率论与数理统计与计算机科学的交叉
概率论与数理统计的应用领域
金融
风险评估、投资组合优化、保 险精算等。
科学研究
物理、生物、化学、医学等领 域的数据分析和实验设计。
工程
可靠性工程、质量控制、系统 优化等。
人工智能和机器学习
数据挖掘、模型训练和评估等 。
概率论与数理统计的发展历程
概率论的起源
可以追溯到17世纪中叶，当时赌 博游戏引发了对概率计算的兴趣。
掌握点估计的概念和方法， 如矩估计和最大似然估计。
区间估计
了解区间估计的概念，掌 握单个和多个参数的区间 估计方法。
估计量的评价准则
了解无偏性、有效性和一 致性等评价估计量的准则。
假设检验
假设检验的基本原理
理解假设检验的基本思想、假设的设定和检验步骤。
单个总体参数的检验
掌握单个总体均值、比例和方差的假设检验方法。
概率论与数理统计教学 ppt浙大第三版
• 概率论与数理统计简介 • 概率论基础 • 数理统计基础 • 概率论与数理统计的应用 • 概率论与数理统计的未来发展
01
概率论与数理统计简介
概率论与数理统计的定义
概率论
研究随机现象的数学学科，通过 概率模型和随机变量描述随机事 件和随机结果。
数理统计
浙江大学《概率论与数理统计》课件ch3
1 0.04 0.0375 0.035 0.1125
P ( X i)
0 1 2
P (Y j )
0.80 0.15 0.05 1
16
( 人 吸 ) 2 P 患 病X 中或 2烟Y P 1 |
P X 1或 2 | Y 1 1 0 .0 3 7 5 0 .0 3 5 P X 0 .0 或 5 Y0 .0 1 13 7 2 | 3 5 0 .6 4 4 0 .6 4 4 4 1 2 5 0 .1 0 .0 3 7 5 0 .1 1 2 5 .0 3 5 0 .6 4 4 4 0 .1 1 2 5
1 2 X 0 解 ：1 由 题 意 可 得 ： p 0.80 0.15 0.05
P Y 1 | X 0 0 .0 5, P Y 1 | X 1 0 .2 5, P
.2 5, P Y 1 | X 2 0 .7 0
X \Y
0 0.76 0.1125 0.015 0.8875
1
二元随机变量
问题的提出
例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研
究身高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。
需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究
身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同
一样本空间的两个随机变量。
例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚
炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确
t2
t 1 。 试 写 出 X 1 , X 2的
解 ： P N t k
e
t
t
k!
k
, k 0 ,1, 2 ,
P X 1 i , X 2 j P X 1 i P X 2 j | X 1 i
浙江大学概率论与数理统计(免费)ppt课件
12
(三) 事件的关系及运算 事件的关系（包含、相等）
1 A B ： 事 件 A 发 生 一 定 导 致 B 发 生
AB 2A ＝ B BA
B A
S
例： BA 记A={明天天晴}，B={明天无雨}
BA 记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}
一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}
15
§3 频率与概率
(一)频率 n A； f ( A ) 定义：记 n n 其中 n A —A发生的次数(频数)；n—总试验次 数。称f n ( A ) 为A在这n次试验中发生的频率。 例：
中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了
一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为 1 n；
不确定性现象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖
9
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性： 1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
BA
13
事件的运算
A与B的和事件，记为 AB
A与B的积事件，记为 A B ,A B ,A B
A B A B { x | x A 且 x B } ： A 与 B 同 时 发 生 。
n i 1 n i 1
S A B
A B { x | x A 或 x B } ： A 与 B 至 少 有 一 发 生 。
(三) 事件的关系及运算 事件的关系（包含、相等）
1 A B ： 事 件 A 发 生 一 定 导 致 B 发 生
AB 2A ＝ B BA
B A
S
例： BA 记A={明天天晴}，B={明天无雨}
BA 记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}
一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}
15
§3 频率与概率
(一)频率 n A； f ( A ) 定义：记 n n 其中 n A —A发生的次数(频数)；n—总试验次 数。称f n ( A ) 为A在这n次试验中发生的频率。 例：
中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了
一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为 1 n；
不确定性现象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖
9
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性： 1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
BA
13
事件的运算
A与B的和事件，记为 AB
A与B的积事件，记为 A B ,A B ,A B
A B A B { x | x A 且 x B } ： A 与 B 同 时 发 生 。
n i 1 n i 1
S A B
A B { x | x A 或 x B } ： A 与 B 至 少 有 一 发 生 。
浙江大学 概率论第八章课件
·右边检验 H0： µ≤µ0 ；H1：µ >µ0, 由P{T≥tα(n −1)} =α, 得水平为α的拒绝域为 T≥ tα(n−1)
α
某厂生产镍合金线，其抗拉强度的均值为10620(kg/mm2)。今 改进工艺后生产一批镍合金线，抽取10根,测得抗拉强度为 10512,10623,10668,10554,10776,10707,10557,10581,10666 ,10670。认为抗拉强度服从正态分布,取α=0.05 ,问新生产的 镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合金线抗拉强度要高?
解:H0：µ=112.6；H1：µ≠112.6 因为σ未知，所以用t检验。 n=7,α=0.05，拒绝域为 |t|≥t0.025(6)=2.4469 这里
x = 112.8, s = 1.135
112.8 − 112.6 | t |=| |= 0.466 < 2.4469 1.135 / 7
∴接受H0，认为间接测温无系统偏差。
H 1 : µ1 < µ 2
拒绝域为 t ≤ −tα ( n1 + n2 − 2)
比较甲,乙两种安眠药的疗效。将20名患者分成两组, 每组10人.其中10人服用甲药后延长睡眠的时数分别 为1.9, 0.8, 1.1, 0.1, -0.1, 4.4, 5.5, 1.6, 4.6, 3.4。另10人服用乙药后延长睡眠的时数分别 为0.7, -1.6, -0.2, -1.2, -0.1, 3.4, 3.7, 0.8, 0.0, 2.0。若服用两种安眠药后增加的睡眠时数服 从方差相同的正态分布.试问两种安眠药的疗效有无 显著性差异?(α=0.10) 解: 因为两个总体方差未知但相等，所以用t检验。
Q X 是µ的无偏估计。如果假设为真，
浙江大学概率论与数理统计ppt课件
e e dy
(
x1 )2 212
1 2(1 2
)
y2 2
x1 1
2
1
e
(
x1 )2 212
21
1
e dy
1
2
2 2
(1
2
)
y
2
2 1
(
x1
)
2
2 2 1 2
1
( x1 )2
e 212
x
即二维正态分布的 两个边缘分布都是
2 1
一维正态分布，
同理 fY ( y)
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pi• i 1, 2,
j 1
注意：
X Y y1
… y2
yj
… P X xi
记号pi•表示是由pij关于j求和 后得到的；同样p• j是由pij关于 i求和后得到的.
xp 1 11
xp
2
21
…
xp i i1 …
p
12
…
p
1j
FX (x) F(x, )
x
f
(t,
y)dydt
同理：
x
fX (t)dt
FY ( y) F(, y)
y
f
( x, t )dx dt
y
fY (t)dt
17
例1：对一群体的吸烟及健康状况进行调查，引入随机变量
0, 健康
0, 不吸烟
X 和Y如下：X 1, 一般 , Y 10, 一天吸烟不多于15支
由条件概率公式可得：
P( X
xi
|Y
yj)
f (x, y) 0,
浙江大学概率论课件1-1
在自然界，在生产、生活中，随机现象十分 普遍，也就是说随机现象是大量存在的。比如： 每期体育彩票的中奖号码、同一条生产线上生 产的灯泡的寿命等，都是随机现象。因此，我 们说：随机现象就是：在同样条件下，多次进 行同一试验或调查同一现象，所得结果不完全 一样，而且无法准确地预测下一次所得结果的 现象。随机现象这种结果的不确定性，是由于 一些次要的、偶然的因素影响所造成的。
如同一个工人在同一台机床上加工同一种零件 若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如， 一天进入某超市的顾客数。抛一枚硬币，有可 能正面朝上，也有可能反面朝上。某种型号电 视机的寿命等。
为什么在相同的情况下，会出现这种不确定 的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件” 是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件 外，还会有许多次要条件和偶然因素又是人们 无法事先一一能够掌握的。正因为这样，我们 在这一类现象中，就无法用必然性的因果关系， 对个别现象的结果事先做出确定的答案。事物 间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做 偶然现象，或者叫做随机现象。
有一类随机事件，它具有两个特点：第一， 只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生 的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫 做“古典概型”。
在客观世界中，存在大量的随机现象，随机 现象产生的结果构成了随机事件。如果用变量 来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。
随机变量取值有有限和无限的区分，根据 变量的取值情况分成离散型随机变量和连续型 随机变量。 一切可能的取值能够按一定次序一一列举， 这样的随机变量叫做离散型随机变量； 如果可能的取值充满了一个区间，无法按次 序一一列举，这种随机变量就叫做连续型随机 变量。
概率论——是根据大量同类随机现象的统计 规律，对随机现象出现某一结果的可能性做出 一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大 小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、 研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理 论和方法。
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a -.
.aP(X Nhomakorabeaa)
lFim(0aP) (aF(a
0x);
a)
lFim(a[
0
F) (alFi)m(0aF(0a)
)
]
P(a X b) FP(b{aa)XFX(abb)0});P{(XX aa}))
P(a X b) FFP((bba)0XF) (aFb))(aFP(0aX)); bF)(a不必0)死记硬背！ P(X a ) FP(aXF(0ba);))FP((aX0)a) F (Fb()a)F([bF(a0)) F(a 0)]
解 注意到 X 的所有可能取值为 0 和 1，
]. .
x0 1
x
当 x < 0 时， F(x)= P(X x) = P( )= 0，
当 0 x < 1 时， F(x)= P(X x) = P(X=0) = 1/ 2，
当 x 1 时， F(x)= P(X x) = P({XX==1)1}+∪P({XX==00)}=) 1.
P(X a ) P( X a) P(X a);
利用分布函1 数F可(a求)随F机(a变) 量F在(a任 意0) 区间上取值的概率
1 F(a 0) 利用 F(x)可求任一随机事件的概率 ! ! !
完整地描述了随机变量 取值的概率规律
只要知道 X 的分布函数, X 的概率统计特性就可以得到全面的描述
E~摸奖——Ω={空调，彩电，饮水器，香皂，不中}
X 5000，2500，500， 3 , 0
E2~抛硬币——XΩ==：X{(反ω)面= ，正10,,面HT}
试验结果可以与数量建立对应关系
2
2. 定义 设Ω为E的样本空间，若对Ω中的每个样本点ω
给一个实数X(ω)与之对应，则称X(ω)为随机变量。
记为R.V.X (Random Variable).
(
x0
)
.
如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机变量 X
的分布函数. 也就是说，性质(1)—(4)是鉴别一个函数是否
是某随机变量的分布函数的充分必要条件.
. .. . ].
x
！
7
3. 利用分布函数求事件的概率
P(a X b) F(b) F(a); P( X a) 1 F(a);
X a; X a; X a;
能否选用一个事件将所有事件都表达出来？
这种选择并 不是唯一的
P(Xx)
P(A) X() P( X x )
本质是什么？
函数
由此引进了分布函数的概念：
变量 ？
4
二、随机变量的分布函数
分布函数是一个普通的函数,
1. 定义
设 X 是随机变量，称 通过特它殊,形我式们事就件可的以概用率分析的
F ( x) P( X x) ( x )工具来研究随机变量的取值规律
0, x 0;
F
故 X 的分布函数为
F
(
x)
1/
2
,
0 x 1;
1, x 1.
1.
P(0 < X 1)= F(1)-F(0) = 11–/2 1；/2
1/2
。
。
.
P(X > 2) = 1 - F(2) = 1-1 = 0.
0
1
X
特征 ？
！
6
2. 分布函数的特征性质
定理
非负性 (1)∵F(x)是事件的概率， ∴ 0 F( x) 1, x ;
(3)P(4 X 6) P(4 X 6) P(X 6)
F(6) F(4) [F(6) F(6 0)] 0.4 0 [0.4 0.4] 0.4
9
例2．2设随机变量X的分布函数为
0, x a
F ( x)
x
2
b,
ax
2
c. x 2
则 a, b, c分别为（ (B) ）
ω1
ω2 A ω3
Ω
X(ω1) X(ω2) a b X(ω3)
R
P(A) P(a X b) P( X b) P( X a)
3
如何入手将概率问题转化为实变量的函数形式 ？
我们研究的对象是随机事件的概率
我们研究的对象是 随机变量的取值或取值范围 的概率 P( X = x ), P( X x ), P( X > x ), P ( x1 X x2 ),…
不单减调性x1(x22 )F(Px{)X是 x1的}非P {减X函 数x2 }，即若 x1<x2 , 则 F(x1) F(x2);
规范性
(3)
F(-
)
lim
x
F
(
x)
= 0，
F
()
lim
x
F
(
x)
=
1；
右连 续性
(4) F(x) 关于 x 右连续， 即对任意的实数 x0 ，有
lim
x x0
F
(
x)
F
(A) 1,1,1; (B)1,1,1 (C)1,1, 0 (D)0,1,1
解： lim F(x) c 1, 1 F ( 2 0) F ( 2) 2 b b 1 x a 2 b F (a 0) F (a) 0 a 1 但若a 1,则当 1 x 0时，F (x) 2x 0, F(x)单调递减 由F(x)单调不减，知 a 1 10
8！
例2．1 设随机变量X的分布函数为
0, x 2
F ( x)
0.1, 0.4,
2 x3 3 x 10
A. x 10
1.试确定A;(2)求 P(X 3), P(4 X 6)
解： (1)1 F() limF(x) lim A A
x
x
(2)P(X 3) F(3) F (3 0) 0.4 0.1 0.3
随机点落在任意区 间(a, b ]的概率
P( X a) 1 P( X a) 1 F(a)
分布函数是对各类随机变量以及其概率问题的一个统一的
描述方法.
请看下例：
！
5
例1 掷一枚质地均匀的硬币, 观察出现的是正面还是反面,
且
X
1, 0，
出现正面； 出现反面.
求 X 的分布函数 F(x) 和概率P(0< X 1), P(X > 2).
第二章 随机变量及其分布
1
§1 随机变量及其分布
一、随机变量 1. 问题的背景
在实际问题中，有些随机试验的结果本 身与数值有关(本身就是一个数).
例如，掷一颗骰子面上出现的点数 X ； 每天从武汉下火车的人数 X ； 昆虫的产卵数 X ； 七月份武汉的最高温度 X ；
在有些试验中，试验结果看来与数值无关， 但我们可以引进 一个变量来表示它的各种结果. 即，把试验结果数值化.
为 X 的分布函数. 将 X 看作数轴上随机点的坐标，
X
分布函数 F(x)的值就表示 X 落在区间(-,x]的概率.
x
x
在上式中X, x 皆为变量，二者有什么区别？
F( x ) 起什么作用？
X 是随机变量，x 是自变量.
P (a X b) P ( X b) P ( X a) F(b) F(a)