周期信号的频谱及其特点
4.3 周期信号的频谱及特点
4.3
周期信号的频谱及特点
2）、周期矩形脉冲的频谱
有一幅度为E，脉冲宽度为τ的周期矩 形脉冲，其周期为T，如图所示。求 频谱。 T τ
−
τ
2
τ
2
Fn =
1 T
∫
2
T − 2
f (t ) e
− jnΩt
E e− jnΩt = T − jnΩ
τ
2 −
τ
2
E 2 − jnΩt dt = dt τ e ∫ − T 2 nΩτ sin( ) Eτ sin nΩτ 2E 2 2 = = T nΩτ T nΩ
1）、定义
依据复傅立叶系数Fn随nΩ的变化关系所画的图称为 双边频谱图，简称双边谱； |Fn|~ nΩ为双边幅度谱，见图4.3-1（b）；其 以纵轴对称。 θn~ nΩ为双边相位谱。见图4.3-1（d）图。其 以原点对称。
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信号与系统 电子教案 电子教案
, n = 0,1,2,..., φ0 = 0.
Fn ~ nΩ
θ n ~ nΩ
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随 频率的变化关系。
第 第23 23-3 3页 页
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4.3
A0 f (t ) = + 2
∞
周期信号的频谱及特点
ω1
T τ = = 2π Ω τ T
2π
见课本P131 页图4.3-4。
增多。
(b)、 τ 一定，T增大，谱线间隔 Ω 减小，频谱谱 线密度增大。谐波幅度减小：
周期信号的频谱
解： f(t)为周期信号，题中所给的 f(t) 表达式可视为 f(t) 的傅 里叶级数展开式。据
f(t)A0 Ancon s1t(n) n1
可知，其基波频率π(rad/s)，基本周期T=2s，ω=2π、3π、 6 π 分别为二、 三、六次谐波频率。
编辑版
7
f(t)13cots1 (0 )2co2st (20 )
编辑版
13
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
• 画周期矩形脉冲的频谱
1. 找出谐波次数为零的点（即包络与横轴的交点）
包络线方程为
Fn
A
T
San1
2
与横轴的交点由下式决定： n1 k
n1
2
离散自变量
k(1,2,3 )
n1
2k
2,4,6
编辑版
14
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
2.确定各谐波分量的幅度
• 周期矩形脉冲信号
A f (t) 0
当t
2
当 T t , t T
2
22 2
f (t)
A
－T
－
T 2
－τ 2o
τ 2
T 2
T
编辑版
2T t
10
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
•
复系数
Fn T1
T 2
T2
f(t)ejn1tdt 1 T
2
2
Aejn1tdt
T Aj1n 1(ej
n12ej
A0 0， 0 0，
A1
4A，
1
－
2
A3
4A，
3
3
－
2
4.2周期信号的频谱
2A ( n 1, 3, 5,) n 90o ( n 1,3,5,) n o ( n 1, 3, 5,) 90 Fn
信号与系统
周期矩形脉冲信号的频谱
对于周期矩形脉冲，在一个周期内为
A t t
4.2-5
f (t )
0
2 2
4A (n 1,3,5,...) nπ
矩形波：
图1
n 90o (n 1,3,5,...)
谱 线
相位值 振幅 图2 角频率
信号与系统
4.2
周期信号的频谱
4.2-3
4.2.1 周期信号频谱的特点
频谱特点：
•
离散性：每根谱线代表一个谐波分量， 称为离散谱线。 谐波性：基波1的整数倍频率 收敛性：高次谐波幅度渐小，当谐波次 数无限增多时，谐波分量的振幅趋于无 穷小。
4.2 周期信号的频谱
信号与系统
4.2-1
4.2.1 周期信号频谱的特点
将周期信号分解为傅里叶级数(简称傅氏级数)，为在频域 中认识信号特征提供了重要的手段。由于在时域内给出的 不同信号，不易简明地比较它们各自的特征，而当周期信 号分解为傅氏级数后，得到的是直流分量和无穷多正弦分 量的和，从而可在频域内方便地予以比较。为了直观地反 映周期信号中各频率分量的分布情形，可将其各频率分量 的振幅和相位随频率变化的关系用图形表示出来，这就是 信号的“频谱图”。频谱图包括振幅频谱和相位频谱。前 者表示谐波分量的振幅An随频率变化的关系；后者表示谐 波分量的相位φn 随频率变化的关系。习惯上常将振幅频谱 简称为频谱。
奇谐函数
偶谐函数
注：指交流分量
信号与系统
周期信号频谱的特点
周期信号频谱的特点
1、周期信号频谱的特点
(1)周期信号频谱是指周期信号的函数X（t）的傅里叶变换结果。
它由若干不同的频率的正弦波组成，这些正弦波的频率正是信号的基本频率。
正弦波的幅值与其相应的频率乘积成正比，而每种频度的信号都有一个相应的幅值谱和一个同频率相等的相位谱。
(2)对小波周期信号出现的情况而言，它的频谱具有带状分布特点。
假设一个小波信号X（t）的基本频率为F0，它的频谱X（f）的分布范围接近[F0, 2F0]之间，其中最大的幅值在F0处，幅值谱有一个主峰，而且相位谱空间分布也同样有一个主峰。
(3)小波周期信号具有连续宏观理论谱线的特点，实际谱线与理论谱线相比会有一个谷底，其图形模型会形成一回带状，理论上谷底深度接近0.
(4)周期信号频谱中有定向性，主要表现在除脉冲信号以外的其他周期信号中。
针对某一个方向发射信号，其谱仍然会有以频率以F0作为中心呈现梯度变化和微小平移的特点。
如果从不同方向发射信号，最终得到的谱会有一定的差异，但其趋势仍然相同。
2、周期信号频谱的作用
(1)周期信号频谱是信号分析的基础，它包括了信号的基本指标，包括信号的频率、幅值谱和相位谱，可用于分析信号的特性和特征。
(2)有了周期信号频谱，可以更准确地测量一个周期信号的实际频率，利用其中的相位谱可以判断信号之间是否存在某些相关性。
(3)频谱可以用于检测信号中的杂波，如果周期信号频谱发现不属于原有频率的有害信号，则说明信号中出现了一些杂波，可以使用滤波等方法对这部分信号进行处理，从而提高信号的有效性。
(4)同时，周期信号频谱也可以用来研究信号强度分布情况，可以查看赋予信号的频率和相位，从而进行有效的信号处理。
第13讲 周期信号的频谱及其特点
号的调制与解调等等。
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2
本章主要内容
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
周期信号的分解与合成 周期信号的频谱及特点 非周期信号的频谱 傅氏变换的性质与应用（1） 傅氏变换的性质与应用（2）
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3
本章主要内容
3.6 周期信号的频谱 3.7 系统的频域分析 3.8 无失真传输系统与理想低通滤波器 3.9 取样定理及其应用 3.10 频域分析用于通信系统
0 0 20 30 40 50
0.15
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14
周期信号的单边频谱
已知周期信号 f(t)11c o ts2 1s in t
2 4 3 4 3 6
求其基波周期T，基波角频率0，画出它的单边频谱图。
解：将f(t)改写为： f(t) 1 1 c o t s2 1 c o t s 2 4 3 4 3 62
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13
周期信号的单边频谱
画出周期信号 f(t) 的振幅频谱和相位频谱。
f(t) 1 si0 n t 2 co 0 t sco 20 ts ( 4 )
f(t) 1 5 co 0 ts 0 .( 1) 5 c o 20 s t 4
Ak 5
k
0.25
1
1
0
0
20 30 40 50
相位频谱图描述各次谐波的相位与频率的关系。
根据周期信号展开成傅里叶级数的不同形式，频谱图又分 为单边频谱图和双边频谱图。
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8
周期信号的单边频谱
周期信号 f ( t ) 的三角函数形式的傅里叶级数展开式为
f(t)A0 Ancos(n1tn) n1
A n 与 n 1 的关系称为单边幅度频谱；
第四章(2)周期信号的频谱
周期性矩形脉冲信号的频谱还有自己的特点 周期性矩形脉冲信号的频谱还有自己的特点 : 1、各谱线的幅度按包络线 T 、
ωτ
= m π ( m = ±1, ± 2,...)
τ
Sa (
ωτ
2
) 的规律变化。 的规律变化。
各处， 的各处， 在 2 各处，即 的各处， τ 包络为零，其相应的谱线， 包络为零，其相应的谱线，亦即相应的频谱分量也等 于零。 于零。 2、周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，也就是说， 、周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，也就是说， 它可分解为无限多个频率分量。 它可分解为无限多个频率分量。 通常把频率范围 0 ≤ f ≤ τ (0 ≤ ω ≤ τ ) 称为周期矩形脉冲 带宽， 表示， 信号的带宽 信号的带宽，用符号 ∆F 表示，即周期矩形脉冲信 1 号的频带宽度为 ∆F = 。 τ
Fn F ( jω ) = lim = lim FnT T →∞ 1 / T T →∞
为频谱密度函数。 称 F ( jω )为频谱密度函数。
Fn lim = lim FnT 如何求频谱密度函数？ 如何求频谱密度函数？ F ( jω ) = T →∞ 1 / T T →∞
由式 f ( t ) =
n = −∞
T 2T f (t) T=8τ
0
3T
4T t
0 1/ 8
T f (t) T=16τ
0
2T
t
0 1/16
0
T
t
0
f (t) T→∞ τ/T
0 t 0
图4.3-5 周期与频谱的关系
思考： 思考：
1 1 1 f (t ) = [sin(Ωt ) + sin(3Ωt ) + sin(5Ωt ) + .... + sin(nΩt ) + ...] 3 5 n π 4
周期信号频谱的特点
周期信号频谱的特点
1.频谱中存在基波和谐波：周期信号的频谱中不仅包含了基波分量，还包括了各个谐波分量。
基波分量对应信号的基本周期，而谐波分量则是基波频率的整数倍。
基波和谐波分量在周期信号频谱中呈现出一定的规律性，即谐波分量的幅值逐渐减小，但频率却逐渐增大。
2.频谱具有离散特性：周期信号频谱中的频率值是离散的，即频谱中只有一系列离散的频率分量。
这是因为周期信号具有固定的周期，其频谱中的各个频率值与基波频率和谐波频率有关。
3.频谱对称性：周期信号频谱在频率轴上具有对称性。
具体而言，当周期信号是实值信号时，其频谱是共轭对称的，即频谱图中的正频率部分与负频率部分关于频率轴对称。
当周期信号是复值信号时，其频谱是共轭对称的，即频谱图中的正频率部分与负频率部分关于频率轴对称。
4.频谱幅度递减：周期信号频谱中各个频率分量的幅度递减性质。
基波分量的幅度最大，而谐波分量的幅度逐渐减小。
如果周期信号中存在无穷多个谐波分量且每个谐波分量的幅度适当，则可以近似地表示任意的周期信号。
5.频谱包含整个频率范围：周期信号频谱中包含了整个频率范围，即从直流成分到无限大频率。
直流成分对应于基波分量，而高频成分对应于谐波分量。
因此，周期信号的频谱图是一个连续的、无缺口的频率分布。
总之，周期信号频谱的特点可以概括为：包含基波和谐波分量，具有离散特性，具有对称性，谐波分量幅度递减，频率范围包含整个频域。
通过对周期信号频谱的分析，可以了解信号的频率分布情况，从而更好地理解和处理周期信号。
信号与系统 §4.3 周期信号的频谱
e-jnΩt，才能保证f(t)的实函数的性质不变。
▲
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第3页
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽
f(t) 1
度为的周期矩形脉冲，其周
0
期为T，如图所示。求频谱。
-T
Fn
1 T
T
2 T
2
f (t) e d jnt t
(3)离散谱（谐波性）
（4)第一个零点坐标：2π T
当ω nΩ时取值 （5）Fn是复函数（此
处
令 n n＝ 2π
为实函2数），幅度/相位
Fn 0，相位为 0，Fn 0, 相位为π 。 ▲
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第5页
周期信号频谱的特点
(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频 Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
1 T
2
e
jnt
dt
2
2
2
1 e jnt T jn
2
2
2
sin(
n
2
)
T n
T
sin n
2
n
2
令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）
…
T
t
▲
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第4页
Fn
Sa( n ) Sa( n )
T 2TT
, n = 0 ,±1，±2，…
图中T 5
Fn
T
2π
O 2
(1)包络线形状：抽样函数 (2)其最大值在 n 0处，为 。
§4.3 周期信号的频谱
• 信号频谱的概念 • 周期信号频谱的特点
信号与系统 周期信号频谱特点
第一、离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线 代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。
第二、谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 Ω的整数倍频率上，即含有Ω的各次谐波分量，而决不含 有非Ω的谐波分量。
第三、收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ 的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐 减小。 当nΩ→∞时，|Fn|→0。
Fn
E 5
＝2T
2
4
❖－脉τ2 冲o τ宽2 度相T同，频谱2T 包络t 线的零o 点 所在位置不变； (a)
❖周期增长，相邻谱线的间隔减小，谱线变密；
f(t)
Fn
❖周E期趋于无穷时，相邻谱线的间E 隔将趋＝于2T 零。
10
2
4
－τ o τ
T
t
o
22
不同 T
(b)
(a) T=5τ; (b) T=10τ
频谱分析表明：
• 离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越 大，谱线越密。
• 各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比， 与周期成反比。
• 各谱线的幅度按 Sa ( n ) 包络线变化。
• 过零点为 2m
T
• 主要能量在第一过零点内。带宽：
2 B (rad / s) 或
1
Bf
( Hz )
周期信号频谱的特点： 三性——离散性、谐波性、收敛性 一集中——能量集中于低频带。
脉冲宽度与频谱的关系
f(t) E
Fn
E 5
＝2T
2
－❖τ2 周o τ期2 相同，相邻谱T 线的t间隔宽度愈窄，包络线第一个零点的频率愈高；
❖E信f号(t) 的频带宽度与脉冲宽度成反Fn比。
周期信号频谱3特点
周期信号频谱3特点1-1 周期信号频谱3特点离散性，谐波性，收敛性1-2 信号的分哪⼏类以及特点是什么？⑴、按信号随时间的变化规律分为确定性信号和分确定性信号，确定信号分为周期信号（包括谐波信号和⼀般周期信号）和⾮周期信号（准周期信号和以便⾮周期信号）；⾮确定性信号包括平稳随机信号（包括各态历经信号和⾮各态历经信号）和⾮平稳随机信号。
⑵、按信号幅值随时间变化的连续性分类，信号包括连续信号和离散信号，其中连续信号包括模拟信号和⼀般模拟信号，离散信号包括⼀般离散信号和数字信号。
（3）按信号的能量特征分类，信号包括能量有限信号和功率有限信号。
1-2 什么是单位脉冲函数)(t δ？它有什么特性？如何求其频谱？⑴单位脉冲函数的定义在ε时间内矩形脉冲()εδt （或三⾓形脉冲及其他形状脉冲）的⾯积为1，当0ε→时，()εδt 的极限()0lim εεδt →，称为δ函数。
⑵()δt 函数的性质①积分筛选特性。
②冲击函数是偶函数，即()()δt δt =-。
③乘积（抽样）特性：④卷积特性：⑶单位脉冲信号的傅⽴叶变换等于1，其频谱如下图所⽰，这⼀结果表明，在时域持续时间⽆限短，幅度为⽆限⼤的单位冲击信号，在频域却分解为⽆限宽度频率范围内幅度均匀的指数分量。
2-1.线性系统主要性质及为什么理想测量系统是线性系统?（1）线性系统的主要性质：叠加性，⽐例特性微分特性，微分特性，积分特性，频率保持特性(2)这是因为⽬前处理线性系统及其问题的数学理论较为完善，⽽对于动态测试中的⾮线性校正还⽐较困难。
虽然实际的测试系统不是⼀种完全的线性系统，但在⼀定的⼯作频段上和⼀定的误差允许范围内均可视为线性系统，因此研究线性系统具有普遍性。
2-2．测量系统的静态特性及动态特性答：测量系统静态特性的主要参数有灵敏度、线性度、回程误差、量程、精确度、分辨⼒、重复性、漂移、稳定性等。
测量系统的动态特性指输⼊量随着时间变化时，其输出随着输⼊⽽变化的关系。
3.3周期信号的频谱
Fn > 0 Fn < 0
时:
n = 0 n = ±π
当
时:
cosn < 0 sinn = 0
双边频谱与信号的带宽
周期矩形脉冲的频谱
Fn
Fn
是
nω1 的偶函数
n = ±π n 是 nω1 的奇函数
0 ω
1
nω1
π
0 ω π
n
1
nω1
双边频谱与信号的带宽
周期信号频谱的特点: 周期信号频谱的特点:
离散性: 离散性: 由不连续的谱线组成,每一条谱线代表一个正弦分量, 由不连续的谱线组成 , 每一条谱线代表一个正弦分量 , 所以 此频谱称为不连续谱或离散谱; 此频谱称为不连续谱或离散谱;每条谱线间的距离为 ω1 = 2π
谐波性: 谐波性: 的整数倍频率上, 每一条谱线只能出现在基波频率 ω1 的整数倍频率上,即含 的各次谐波分量, 的谐波分量. 有 ω1 的各次谐波分量,而决不含有非 ω1 的谐波分量. 收敛性: 收敛性: 各次谐波分量的振幅虽然随 趋势是随着 当
P=
= F
n = ∞ 2 0
∑F
∞
2
∞ ∞
n
2
+ 2∑ Fn
n=0
A0 2 1 2 = ( ) + ∑ An 2 n =1 2
周期信号的功率
例:
试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽内谐波分量所具有的平 均功率占整个信号平均功率的百分比.其中A=1,T=1/4, τ=1/20.
f T (t ) A
T
τ
1 T /2 2 P= ∫ f (t )dt = 0.2 T T / 2
周期信号的功率
包含在有效带宽内的各谐波平均功率为:
机械工程测试技术基础-简答题
一、 信号及其描述1、周期信号频谱的特点：①离散性——周期信号的频谱是离散的；②谐波性——每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量频率的公约数；③收敛性——谐波分量的幅值按各自不同的规律收敛。
2、傅里叶变换的性质：奇偶虚实性、对称性、线性叠加性、时间尺度改变特性、时移和频移特性、卷积特性、积分和微分特性。
3、非周期信号频谱的特点：①非周期信号可分解成许多不同频率的正弦、余弦分量之和，包含了从零到无穷大的所有频率分量；②非周期信号的频谱是连续的；③非周期信号的频谱由频谱密度函数来描述，表示单位频宽上的幅值和相位；④非周期信号频域描述的数学基础是傅里叶变换。
二、测试装置的基本特性1、测量装置的静态特性是在静态测量情况下描述实际测量装置与理想时不变线性系统的接近程度。
线性度——测量装置输入、输出之间的关系与理想比例关系的偏离程度。
灵敏度——单位输入变化所引起的输出变化。
回程误差——描述测量装置同输入变化方向有关的输出特性，在整个测量范围内，最大的差值称为回程误差。
分辨力——能引起输出量发生变化的最小输入量。
零点漂移——测量装置的输出零点偏离原始零点的距离，它是可以随时间缓慢变化的量。
灵敏度漂移——由于材料性质的变化所引起的输入与输出关系的变化。
2、传递函数的特点：①()s H 与输入()t x 及系统的初始状态无关，它只表达系统的传输特性；②()s H 是对物理系统的微分描述，只反映系统传输特性而不拘泥于系统的物理结构；③对于实际的物理系统，输入()t x 和输出()t y 都具备各自的量纲；④()s H 中的分母取决于系统的结构。
3、一阶测试系统和二阶测试系统主要涉及哪些动态特性参数，动态特性参数的取值对系统性能有何影响？一般采用怎样的取值原则？ 答：测试系统的动态性能指标：一阶系统的参数是时间常数τ；二阶系统的参数是固有频率n ω和阻尼比ξ。
对系统的影响：一阶系统的时间常数τ值越小，系统的工作频率范围越大，响应速度越快。
周期信号的频谱的特点
周期信号的频谱的特点对于周期信号，其频谱特点主要有以下几个方面：1.频谱呈现出离散的频率分量：周期信号的频谱是由一系列离散的频率分量组成的，这些频率分量可以看作是正弦波的谐波。
具体来说，周期信号的基波频率对应着信号的周期，而高次谐波频率对应着信号的周期的整数倍。
因此，周期信号的频谱呈现出离散的频率分量。
2.频率分量的幅值逐渐衰减：对于周期信号的频谱，随着频率的增大，各个频率分量的幅值逐渐衰减。
这是因为周期信号的频谱是由一系列频率为整数倍的正弦波叠加而成的，而高次谐波频率对应着幅度较小的频率分量。
因此，随着频率的增大，高次谐波频率分量的幅值逐渐变小，频谱呈现出幅度逐渐衰减的特点。
3.频谱具有对称性：对于实信号的周期信号，其频谱具有对称性。
具体来说，周期信号的频谱关于零频率轴对称。
这是因为周期信号的频谱是由实信号频谱叠加而成的，而实信号频谱及其傅里叶变换的共轭都是对称的，因此周期信号的频谱具有对称的特点。
4.频谱的带宽与周期信号的周期有关：对于周期信号，其频谱的带宽与信号的周期有关。
具体来说，频谱的带宽在理论上等于周期的倒数。
这是因为在频谱中，由于频率分量的间隔等于周期的倒数，频谱的带宽也等于周期的倒数。
5.频谱的相位对称性：对于周期信号，它的频谱在幅度谱的基础上还有相位谱。
频谱的相位是随着频率变化的，由于周期信号的频率分量是正弦波，而正弦波的相位是以周期为单位的，所以频谱的相位也具有周期性。
具体来说，频谱的相位存在对称性，即频率分量的相位和其对称频率分量的相位相差180度。
这是由于正弦波的周期性特点决定的。
综上所述，周期信号的频谱特点包括频谱呈现出离散的频率分量、频率分量的幅值逐渐衰减、频谱具有对称性、频谱的带宽与周期信号的周期有关，以及频谱的相位对称性等。
这些特点在信号处理和通信系统中具有重要的理论和实际意义，为信号的分析、处理和传输提供了基础。
第13讲周期信号的频谱及其特点
第13讲周期信号的频谱及其特点
周期信号是指具有重复性的信号，它可以分解成一系列有限的数值原理的和。
它们具有重复的时域特性，但可以有不同的振幅和不同的频率。
当我们讨论周期信号的频谱时，我们保持它们的相同频率的不同振幅（相移），以及相同的振幅，而它们的相位是随机的。
理论上，任何一个周期信号都可以被分解为一系列不同幅值的基频和谐波。
比如，当我们将电压看作是一种周期信号的时候，它的频谱就是一系列不同的电压值，有最高的基波，每个谐波的振幅都比它的前一个谐波的振幅要低。
周期信号的频谱特点主要有以下几点：
1）一个给定的周期信号的频谱会有一个最高幅值的基波和一系列谐波，这些谐波的振幅会越来越低；
2）一个周期信号的特征频率会是他的最高幅值基波的频率；
3）一个周期信号的频谱不会包含极低频率的分量；
4）随着频率的增加，周期信号的有效带宽也会逐渐增加；
5）随着频率的增加，一个周期信号越来越容易受到干扰；
6）一个周期信号的频谱图会有一个中心点，这个中心点代表了这个信号的中心频率和振幅；
7）周期信号的频谱图会显示出它的基波的相位，而不同的谐波的相位会有所不同。
周期信号的频谱
(17-3)
2
实验原理与说明
2 T 2 bn = ∫ T f (t) sin nt dt T 2
∞
n = 1, 2,
(17-4)
若将(17-1)式中同频率项加以合并，可以写成另一种形式 式中同频率项加以合并， 若将 式中同频率项加以合并
周期信号的频谱
1
实验原理与说明
周期信号的分解与合成
周期为T的周期信号 f (t)，满足狄里赫利（Dirichlet）条 周期为 的周期信号 满足狄里赫利（ ） 实际中遇到的所有周期信号都符合该条件）， ），便可 件（实际中遇到的所有周期信号都符合该条件），便可 以展开为傅里叶级数的三角形式， 以展开为傅里叶级数的三角形式，即:
2 T2 2 T 2 cos nt bn = ∫ sin ndt ∫ sin ndt = T 0 T T2
1
T 2
T
t
图17-1
T2
cos nt + n 0
T2
T
将 = 2π 代入上式，并且对所有的n有 cos nπ =1 ，可得 T 2 bn = (1 cos nπ ) nπ
4
实验原理与说明
周期信号频谱和特点
1、周期信号的频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦量， 周期信号的频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦量， 故称为离散频谱； 故称为离散频谱； 2、周期信号频谱的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。 周期信号频谱的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。 这就是周期信号频谱的谐波性； 这就是周期信号频谱的谐波性； 3、各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小。 各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小。 所以，周期信号的频谱具有收敛性。 所以，周期信号的频谱具有收敛性。 以上就是周期信号频谱的三个特点：离散性、谐波性、收敛性。 以上就是周期信号频谱的三个特点：离散性、谐波性、收敛性。这 是所有周期信号共有的特点。 是所有周期信号共有的特点。 4、离散频谱与连续频谱 当周期信号的周期T增大，其频谱中的谱线也相应地渐趋密集， 当周期信号的周期T增大，其频谱中的谱线也相应地渐趋密集，频 谱的幅度也相应的渐趋减小。当 频谱线无限密集， 谱的幅度也相应的渐趋减小。T →∞ 时，频谱线无限密集，频谱 幅度无限趋小。这时，离散频谱就变成连续频谱。 幅度无限趋小。这时，离散频谱就变成连续频谱。
周期信号的频谱的特点
周期信号的频谱的特点一、 周期信号的频谱一个周期信号)(t f ，只要满足狄里赫利条件，则可分解为一系列谐波分量之和。
其各次谐波分量可以是正弦函数或余弦函数，也可以是指数函数。
不同的周期信号，其展开式组成情况也不尽相同。
在实际工作中，为了表征不同信号的谐波组成情况，时常画出周期信号各次谐波的分布图形，这种图形称为信号的频谱，它是信号频域表示的一种方式。
描述各次谐波振幅与频率关系的图形称为振幅频谱，描述各次谐波相位与频率关系的图形称为相位频谱。
根据周期信号展成傅里叶级数的不同形式又分为单边频谱和双边频谱。
1单边频谱若周期信号)(t f 的傅里叶级数展开式为式(3-15)，即∑ ∞=+Ω+=10)cos()(n n n t n A A t f ϕ (3-24)则对应的振幅频谱n A 和相位频谱n ϕ称为单边频谱。
例3-3 求图3-4所示周期矩形信号)(t f 的单边频谱图。
解 由)(t f 波形可知， )(t f 为偶函数，其傅里叶系数⎰==2/0021)(4T dt t f T a⎰=Ω=2/0)4/sin(2cos )(4T n n n tdt n t f T a ππ0=n b故∑∑∞=∞=Ω+=Ω+=110cos )4/sin(241cos 2)(n n n tn n n t n a a t f ππ因此410=A , ππn n A n)4/sin(2=即45.01=A , 32.02≈A , 15.03≈A , 04=A , 09.05≈A , 106.06≈A ┅单边振幅频谱如图3-5所示。
tf(t)图 3 - 4ττττ4 2/ 0 2/ 4--1图 3 - 50.250.450.320.150.090.106ΩΩΩΩΩΩΩ7 6 5 4 3 2 0A n2双边频谱若周期信号)(t f 的傅里叶级数展开式为式(3-17)，即25)-(3 )(∑∞-∞=Ω=n tjn neF t f则n F 与Ωn 所描述的振幅频谱以及n F 的相位n n F θ=arctan 与Ωn 所描述的相位频谱称为双边频谱。
4-2信号的频域分析-周期信号频域分析
N=4
N=5
k 0123
k 01234
奇对称
f [k] f [k] f [N k]
N=4 3k
012
N=5 34 k
012
30
三、DFS的基本性质
4. 周期卷积定理
DFSf1[k] ~ f 2[k] DFS{ f1[k]}DFS{ f 2[k]}
DFSf1[k]
•
f 2 [k ]
1 N
响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦
信号同时激励下的总响应而且每个正弦分量通
过系统后，是衰减还是增强一目了然。
2
三、周期信号的频谱及其特点
1. 频谱的概念
周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和
f (t)
Cn
e jn0t
n=
不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。
T
Cn
A / T
t
Cn
A
T
Sa( n0
2
)
2π
2π
0 2π / T
n 0
5
例2 已知连续周期信号的频谱如图，试写出 信号的Fourier级数表示式。
3 2
1
Cn
4 3 2 1
n
3
2
1
0
1
2
3
解： 由图可知 C0 4 C1 3 C2 1 C3 2
f (t)
Cne jn0t
n
4 3(e j0t e j0t ) (e j20t e j20t ) 2(e j30t e j30t )
的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。
一文看懂周期信号的频谱特点
一文看懂周期信号的频谱特点周期信号概念是周期信号瞬时幅值随时间重复变化的信号。
常见的周期信号有：正弦信号、脉冲信号以及它们的整流、微分、积分等。
这类可称为简单信号。
它们的特点是在一个周期内的极值点不会超过两个且周期性特征明显。
对于这类已明确具有周期特性的信号，周期与否的判别相对简单，周期测量的方法也很成熟完善，如：过零检测法，脉冲整形法等。
x（t）=x（t+kT），k=1，2.。
式中t表示时间，T表示周期。
频谱的概念频谱是频率谱密度的简称，是频率的分布曲线。
复杂振荡分解为振幅不同和频率不同的谐振荡，这些谐振荡的幅值按频率排列的图形叫做频谱。
频谱广泛应用于声学、光学和无线电技术等方面。
频谱将对信号的研究从时域引入到频域，从而带来更直观的认识。
把复杂的机械振动分解成的频谱称为机械振动谱，把声振动分解成的频谱称为声谱，把光振动分解成的频谱称为光谱，把电磁振动分解成的频谱称为电磁波谱，一般常把光谱包括在电磁波谱的范围之内。
分析各种振动的频谱就能了解该复杂振动的许多基本性质，因此频谱分析已经成为分析各种复杂振动的一项基本方法。
周期信号频谱的特点（1）离散性：频谱谱线是离散的。
（2）收敛性：谐波幅值总的趋势随谐波次数的增加而降低。
（3）谐波性：谱线只出现在基频整数倍的频率处。
周期信号的有效频谱宽度在周期信号的频谱分析中，周期矩形脉冲信号的频谱具有典型的意义，得到广泛的应用。
下面以图3-8所示的周期矩形脉冲信号为例，进一步研究其频谱宽度与脉冲宽度之间的图3-8关系。
图3-8所示信号）（tf的脉冲宽度为，脉冲幅度为E，重复周期为T，重复角频率为若将）（tf展开为式（3-17）傅里叶级数，则由式（3-18）可得。
4.2周期信号的频谱
矩形波：
图1
n 90o (n 1,3,5,...)
谱 线
相位值 振幅 图2 角频率
频谱
4.2-3
4.2.1 周期信号频谱的特点
频谱特点：
•
离散性：每根谱线代表一个谐波分量， 称为离散谱线。 谐波性：基波1的整数倍频率 收敛性：高次谐波幅度渐小，当谐波次 数无限增多时，谐波分量的振幅趋于无 穷小。
图5
信号与系统
4.2-7
f( t ) 的双边谱
Sa( t ) ：
Fn ：
图6
信号与系统
f( t ) 的幅度谱和相位谱
4.2-8
？
图7
？
信号与系统
4.2-9
周期 T 和脉冲宽度τ与频谱的关系
从上述周期信号的频谱图可以看出，信号能量主要部 分集中在 0 2π 的低频分量上，那些次数较高的频率 2π 0 分量实际上可以忽略不计。因此，常把 这段频率 范围称为矩形信号的有效带宽，或称为 “频带宽度”， 简称带宽，即
则复系数
则f(t)的指数形式的傅里叶级数为
A f (t ) T
n1 sin( ) 1 2 jn1t A n1 A 2 Fn Ae dt Sa ( ) n1 T 2 T T 2 ( ) 2
1 2 A F0 a0 Adt T 2 T
当n 1,3,5时
当n 2,4,6时
an bn 0
4 an f ( t ) cosn 1t d t T1 T1 4 2 bn f ( t ) sinn 1t d t T1 0
T1 2 0
奇谐函数
说明周期信号与非周期信号频谱的区别
说明周期信号与非周期信号频谱的区别周期信号是一种同步发出的信号，它由一系列相同的周期性高低电压或其他参数形成。
它可以用它的周期频率来描述，它的周期频率可以通过计算信号某一段时间内的波形的重复次数来确定。
一般来说，周期信号的频谱有规律性和明确的形态。
非周期信号是一种不定期发出的信号，它不具有定期性和反复性，其时域波形取决于它传递的信息。
非周期信号的特点是：没有定期的重复形式，其频谱几乎没有明显的规律，或者可以说，它的频谱是一种统计的分布形态。
周期信号与非周期信号频谱的区别首先，从频谱的形状来说，周期信号的频谱主要是一种带形的谱线，而非周期信号的频谱几乎没有明显规律性，它可以用一种统计的分布形态来描述。
其次，从频谱的密度来说，周期信号的能量密度随着频率的增加而增加。
而非周期信号的能量密度在不同频率之间会发生变化，它的能量会有局部集中的现象，也就是频谱中会出现峰值。
另外，从信号的性质来说，周期信号是定期发出的，其时域波形是一个稳定的形状，而非周期信号是不定期发出的，其时域波形在不同时刻都不一样。
最后，从统计上来说，周期信号的谱线的宽度依赖于其对应的脉冲宽度。
而非周期信号的谱线的宽度是随机分布的，它与其对应的脉冲宽度没有联系。
综上所述，周期信号和非周期信号在频谱上的表现有明显的区别，这是由它们的时域特性决定的。
通过周期信号与非周期信号的频谱比较，我们可以轻松地判断出一个信号是周期信号还是非周期信号。
此外，周期信号和非周期信号的频谱也能够反映出这两种信号本身的差异，有助于我们更好地了解信号的内涵，为后续的信号分析与处理提供有价值的信息。
总结本文通过对周期信号和非周期信号的频谱做了比较，发现它们在频谱上的表现存在明显的区别，这种区别是由它们的时域特性决定的。
通过对两者频谱的比较，可以很容易地判断出一个信号是周期信号还是非周期信号，另外，我们也可以从频谱上分析出信号本身的差异，为进一步的信号处理提供有价值的信息。
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k
2
0
0
30
50
20
40
2
周期信号的单边频谱
周期锯齿波的傅里叶级数展开式为
f ( t ) A 2 A [ c o s ( 1 t 2 ) 2 1 c o s ( 2 1 t 2 ) 3 1 c o s ( 3 1 t 2 ) 4 1 c o s ( 4 1 t 2 ) ]
显然，1为该信号的直流分量。
1cos t
2 4 3
周期为8；
1cost2 周期为6；
4 3 3
周期信号的单边频谱
解： 所以，f(t)的周期T=24，基波频率0=2/T = /12
1cos t
2 4 3
是f(t)的3次谐波分量；
1cost2 是f(t)的4次谐波分量。
4 3 3
周期信号的单边频谱
2 T
不变
频谱中的第一个过零点频率 2
因 的减小而增大，
t
即信号的频带宽度增大，并且各次谐波 的振幅减小，即振幅收敛速度变慢。若
增大，则反之。
t
周期矩形脉冲的频谱随周期的变化而变化的关系
Fn T 2
0
2
Fn T 4
0 Fn
2
T 8
0
2
当脉冲宽度 保持不变，增大周期 T
(1)
离散谱线的间隔隔
2
通常把包含信号主要频谱分量的 0 ~ 2 这段频率范围，称为矩形脉冲信号
的有效频带宽度或带宽，即矩形脉冲的频带宽度为
B
2
或
Bf
1
周期矩形脉冲的频谱随脉宽的变化而变化的关系
Fn T 2
0 2
Fn T 4
0
2
Fn
T 8
0
2
保持周期矩形信号的周期 T 不变
而改变脉冲宽度
t
则此时谱线间隔
1
周期信号频谱的概念
1）三角形式： 单边频谱
f (t ) A0 Ak cos (k 0t k ) ( k 0 0 ) k 1
2）指数形式：双边频谱
f (t)
Fn e jn0t
n
( k0 )
周期信号频谱的特点
频谱由不连续的线条组成，每个线条代表一 个正弦分量，因此这样的频谱称为离散频谱； （离散性）
本章主要内容
3.6 周期信号的频谱 3.7 系统的频域分析 3.8 无失真传输系统与理想低通滤波器 3.9 取样定理及其应用 3.10 频域分析用于通信系统
第 13 讲
周期信号的频谱及其特点
周期信号从时域到频域的表示
上一讲对周期信号的分解与合成仍然是在时间域进行的。 只要周期信号满足狄里赫利条件，都可分解为一系列谐波分 量之和，而一个余弦分量由振幅、频率和相位确定，即一个 余弦分量波形由这三个参数完全决定。
FnBiblioteka 2 0 2 4
n0
周期信号的频谱的特点
(1) 离散性：谱线是离散的而不是连续的，因此称为离散频谱。单边谱中 一条谱线代表了一个谐波分量，而双边谱中左右对称的两条谱线代表了 一个谐波分量。离散频谱中每个频率分量在频谱图中都是用一根线来表 示，所以有时又称为线谱。
(2) 谐波性：谱线所在频率轴上的位置只能是基频的整数倍，其实谐波性 已经说明了离散性。
(4)
频带宽度：第一个零分量频率：
B
2
周期矩形信号的频谱特点
(5) 如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱 线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期 信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。
(6) 减小时，频带宽度增大。当 趋近于无穷小，频带宽 度也无限增大，此时信号能量不再集中于低频分量中， 而是均匀分布在整个频段。
第3章 信号与系统的频域分析
•本章首先以正弦、余弦或复指数函数为基本信号，通过傅里叶级 数将信号分解为这些基本信号之和，引出周期信号频谱，并讨论 其特点。
•通过讨论周期信号周期趋于无穷大时频谱的变化，引出傅里叶变 换定义，并学习常用基本信号的频谱密度函数（频谱）。
•傅里叶变换建立了信号时域与频域表示之间的联系，而傅里叶变 换的性质则揭示了信号时域变化相应地引起频域变化关系。
E
cos ( 0 t
) 2
1 2
cos (2
0t
) 2
1 3
cos (3
0t
) 2
1 4
cos (4
0t
2
)
周期锯齿脉冲信号的频谱
f
(t )
E
[cos ( 0 t
) 2
1 2
cos
(2
0t
) 2
Ak
1 3
cos (3 0 t
2
)
1 4
cos (4 0 t
2
)
]
E
振幅频谱
0 0 20 30 40 50 相位频谱
T
若τ不变，在改变T时的情况
1
2
2
T1
1
2
2
对称方波是周期矩形的特例
周期矩形 奇谐函数
x(t)
实偶函数
-T1/4
T1/4
对称方波
T1
f(t) Fejn 1t n n
奇次余弦
FESa (n)
n
T
T
1
1
f( t ) 2 E co 1 t 1 3 s c3 o 1 t s 1 5 c5 o 1 t s .. .
f(t)
Fnejn 1t
n
Fn
1 T1
2
Ee jn 1t dt
2
E
( e jn 1 / 2 e jn 1 / 2 )
T1 ( jn 1 )
E
T1
sin( n 1 )
2
n 1
2
Sa(n )
T1
-T
2
T1
1
x(t) E
2
Fn
0
2
F 0 E T 1,
T
t
F n E T 1S(n a T 1)
1
2 T
变小
t 即谱线变得更加密集
(2) 各谱线的幅度 A T
因 T 的增大而变小
包络线变化缓慢，即振幅收敛速度变慢
t (3) 因 不变，第一个零分量频率
2 不变，即有效频谱宽度不变
t
周期矩形脉冲信号的频谱
E f1(t)
0
f(t) E
(t ) 2
(t )
2
-T
0 2
2
Tt
f(t) 1 1 c ot s 1 c ot s 2 24 3 43 3
f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如下图：
Ak
k
A0
周期信号的双边频谱
周期信号 f ( t ) 展开为指数形式的傅里叶级数
f(t) Fnejn1t n
Fn Fn ejn
幅度 F n 与 n 1 的关系称为双边幅度频谱
周期锯齿脉冲信号的频谱
f(t)
由于f(t)为奇函数，a0=ak=0
E 2
bkT 2T 2Tf(t)sin k(0t)dt
T
0
T 2
TT
2
t
2
4 TE 2 0T 2tsin k(0t)dt
E (1)k 1
k
E 2
f ( t ) E si 0 t ) n 1 2 s( 2 i0 t n ) 1 3 s (3 i0 t n ) 1 4 s (4 i0 t n ) (
2
•
Fk
E
T
Sa
( k0 )
2
E
T
Sa ( k
T
)
（ k = 0 ,±1，±2，…）
Ak
E T
£ 2π
0 0 20 30 2π
4π
周期矩形信号的双边频谱
周期矩形脉冲信号的傅立叶系数为
Fn
2 0
(a)
2
4
n
2 0
2 4
(b)
n0 n0
F nA T S a(n 20)
若把相位为零的分量的幅度看作 正值，而把相位为 的分量的幅 度看作负值，那么左图即可合二 为一，如下图所示
A n 与 n 1 的关系称为单边幅度频谱；
n 与 n 1 的关系称为单边相位频谱。
周期信号的单边频谱
对称方波的傅里叶级数展开式为
4 A 1 1 1
f( t)( s in1 t 3 s in 3 1 t 5 s in 5 1 t 7 s in 71 t) 4 A [ c o s (1 t 2 ) 1 3 c o s ( 3 1 t 2 ) 1 5 c o s ( 5 1 t 2 ) 1 7 c o s ( 71 t 2 )]
的频带宽度为（
）。
(3) 收敛性：谱线幅度随 n而衰减到零。
频谱的有效宽度-频带宽度
Fn
在右图中，连接各谱线顶点的曲线
称为谱线包络线，它反映了各分量的幅
度变化规律。如果把按抽样函数规律变
化的频谱包络线看成一个个起伏的山峰 和山谷，其中最高峰称为主峰。
2 0
2
4
n0
上图的主峰高度
F0
A
T
，包络主峰两侧第一个零点为
同样，一个复指数分量完全由其幅度和相位决定。 可以不必画出周期信号所含有的各次谐波的波形，而只用所 含各次谐波的振幅、频率和相位信息描述这个周期信号。
周期信号从时域到频域的表示
周期信号频谱的概念
为方便和明确地表示一个周期信号所含有的频率分量以及 各频率分量所占的比重，常画出周期信号各次谐波的分布 图形，这种图形称为信号的频谱图。
一个信号的频谱图包括幅度频谱图和相位频谱图。 幅度频谱图描述各次谐波的幅度与频率的关系。 相位频谱图描述各次谐波的相位与频率的关系。 根据周期信号展开成傅里叶级数的不同形式，频谱图又分