一元一次方程知识点及基础训练

一元一次方程知识点及基础训练

知识详解：

一、等式的概念和性质

1、等式的概念：用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式。

2、等式的性质

等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

若a b =，则a m b m ±=±；

等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式．若

a b =，则am bm =，a b m m

=(0)m ≠ 注意：（1）在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边。

（2）等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同。

（3）在等式变形中，以下两个性质也经常用到：①等式具有对称性，即：如果a b =，那么b a =；

②等式具有传递性，即：如果a b =，b c =，那么a c =；

判断题2）12

S ah =是等式； （3）等式两边都除以同一个数，等式仍然成立；

（4）若x y =，则44x m y m +-=+-；

下列说法不正确的是（）

A ．等式两边都加上一个数或一个等式，所得结果仍是等式；

B ．等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式；

C ．等式两边都除以一个数，所得结果仍是等式；

D ．一个等式的左、右两边与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式；

回答下列问题，并说明理由．

（1）由2323a b +=-能不能得到a b =？（2）由56ab b =能不能得到56a =？

（3）由7xy =能不能得到7y x =？（4）由0x =能不能得到11x x x

+=？ 下列结论中正确的是（）

A ．在等式3635a b -=+的两边都除以3，可得等式25a b -=+；

B ．如果2x =-，那么2x =-；

C ．在等式50.1x =的两边都除以0.1，可得等式0.5x =；

D ．在等式753x x =+的两边都减去3x -，可得等式6346x x -=+；

根据等式的性质填空

（1）4a b =-，则a b =+；（2）359x -=，则39x =+；

（3）683x y =+，则x =；122

x y =+，则x =． 用适当数或等式填空，使所得结果仍是等式，并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的

（1）如果23x =+，那么x =；（2）如果6x y -=，那么6x =+；

（3）如果324

x y -=，那么2y -=-；（4）如果324x =，那么x =．

二、方程的相关概念

1、方程：含有未知数的等式叫作方程。

注意：定义中含有两层含义，即：方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个待确定的数即未知的字母，二者缺一不可。

2、方程的次和元：方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元。

3、方程的已知数和未知数

已知数：一般是具体的数值，如50x +=中（x 的系数是1，是已知数．但可以不说）。5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有a 、b 、c 、m 、n 等表示。

未知数：是指要求的数，未知数通常用x 、y 、z 等字母表示。如：关于x 、y 的方程2ax by c -=中，a 、2b -、c 是已知数，x 、y 是未知数。

4、方程的解

使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

5、解方程：求得方程的解的过程。

注意：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程。

6、方程解的检验:要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是。

下列各式中，哪些是等式？哪些是代数式，哪些是方程？

①34a +；②28x y +=；③532-=；④1x y ->；⑤61x x --； ⑥83x

-=；⑦230y y +=；⑧2223a a -；⑨32a a <-．

判断题．

（1）所有的方程一定是等式。（）（2）所有的等式一定是方程。（）

（3）241x x -+是方程。（）（4）51x -不是方程。（）

（5）78x x =不是等式，因为7x 与8x 不是相等关系。（）

（6）55=是等式，也是方程。（）

（7）“某数的3倍与6的差”的含义是36x -，它是一个代数式，而不是方程。（）

判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明理由。

（1）373x x -=-+；（2）223y -=；（3）2351x x -+；

（4）112--=-；（5）42x x -=-；（6）

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x y -=． 在1y =、2y =、3y =中，______是方程104y y =-的解．

三、一元一次方程的定义

1、一元一次方程的概念

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程。

这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数。

2、一元一次方程的形式

标准形式：0ax b +=（其中0a ≠，a ，b 是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式．

最简形式：方程ax b =（0a ≠，a ，b 为已知数）叫一元一次方程的最简形式．

注意：（1）任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证，如方程22216x x x ++=-是一元一次方程。如果不变形，直接判断就出会现错误。

（2）方程ax b =与方程(0)ax b a =≠是不同的，方程ax b =的解需要分类讨论完成。

下列各式中：①3x +；②2534+=+；③44x x +=+；④12x

=；⑤213x x ++=；⑥44x x -=-；⑦23x =；⑧2(2)3x x x x +=++。哪些是一元一次方程？

下列方程是一元一次方程的是（）（多选）

A ．1xy =

B ．225x

+=C ．0x =D ．13ax +=E ．235x +=F ．2π 6.28R = 已知方程2(63)70n m x -+=是关于x 的一元一次方程，求m ，n 满足的条件。

若2(1)(2)(3)0k x k x k -+-+-=是关于x 的一元一次方程，求k 。