一元一次方程知识点及基础训练

一元一次方程知识点及基础训练知识详解：一、等式的概念和性质1、等式的概念：用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式。

2、等式的性质等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

若a b =，则a m b m ±=±；等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式．若a b =，则am bm =，a b m m=(0)m ≠ 注意：（1）在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边。

（2）等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同。

（3）在等式变形中，以下两个性质也经常用到：①等式具有对称性，即：如果a b =，那么b a =；②等式具有传递性，即：如果a b =，b c =，那么a c =；判断题2）12S ah =是等式； （3）等式两边都除以同一个数，等式仍然成立；（4）若x y =，则44x m y m +-=+-；下列说法不正确的是（）A ．等式两边都加上一个数或一个等式，所得结果仍是等式；B ．等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式；C ．等式两边都除以一个数，所得结果仍是等式；D ．一个等式的左、右两边与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式；回答下列问题，并说明理由．（1）由2323a b +=-能不能得到a b =？（2）由56ab b =能不能得到56a =？（3）由7xy =能不能得到7y x =？（4）由0x =能不能得到11x x x+=？ 下列结论中正确的是（）A ．在等式3635a b -=+的两边都除以3，可得等式25a b -=+；B ．如果2x =-，那么2x =-；C ．在等式50.1x =的两边都除以0.1，可得等式0.5x =；D ．在等式753x x =+的两边都减去3x -，可得等式6346x x -=+；根据等式的性质填空（1）4a b =-，则a b =+；（2）359x -=，则39x =+；（3）683x y =+，则x =；122x y =+，则x =． 用适当数或等式填空，使所得结果仍是等式，并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的（1）如果23x =+，那么x =；（2）如果6x y -=，那么6x =+；（3）如果324x y -=，那么2y -=-；（4）如果324x =，那么x =．二、方程的相关概念1、方程：含有未知数的等式叫作方程。

注意：定义中含有两层含义，即：方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个待确定的数即未知的字母，二者缺一不可。

2、方程的次和元：方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元。

3、方程的已知数和未知数已知数：一般是具体的数值，如50x +=中（x 的系数是1，是已知数．但可以不说）。

5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有a 、b 、c 、m 、n 等表示。

未知数：是指要求的数，未知数通常用x 、y 、z 等字母表示。

如：关于x 、y 的方程2ax by c -=中，a 、2b -、c 是已知数，x 、y 是未知数。

4、方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

5、解方程：求得方程的解的过程。

注意：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程。

6、方程解的检验:要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是。

下列各式中，哪些是等式？哪些是代数式，哪些是方程？①34a +；②28x y +=；③532-=；④1x y ->；⑤61x x --； ⑥83x-=；⑦230y y +=；⑧2223a a -；⑨32a a <-．判断题．（1）所有的方程一定是等式。

（）（2）所有的等式一定是方程。

（）（3）241x x -+是方程。

（）（4）51x -不是方程。

（）（5）78x x =不是等式，因为7x 与8x 不是相等关系。

（）（6）55=是等式，也是方程。

（）（7）“某数的3倍与6的差”的含义是36x -，它是一个代数式，而不是方程。

（）判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明理由。

（1）373x x -=-+；（2）223y -=；（3）2351x x -+；（4）112--=-；（5）42x x -=-；（6）152x y -=． 在1y =、2y =、3y =中，______是方程104y y =-的解．三、一元一次方程的定义1、一元一次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程。

这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数。

2、一元一次方程的形式标准形式：0ax b +=（其中0a ≠，a ，b 是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式．最简形式：方程ax b =（0a ≠，a ，b 为已知数）叫一元一次方程的最简形式．注意：（1）任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证，如方程22216x x x ++=-是一元一次方程。

如果不变形，直接判断就出会现错误。

（2）方程ax b =与方程(0)ax b a =≠是不同的，方程ax b =的解需要分类讨论完成。

下列各式中：①3x +；②2534+=+；③44x x +=+；④12x=；⑤213x x ++=；⑥44x x -=-；⑦23x =；⑧2(2)3x x x x +=++。

哪些是一元一次方程？下列方程是一元一次方程的是（）（多选）A ．1xy =B ．225x+=C ．0x =D ．13ax +=E ．235x +=F ．2π 6.28R = 已知方程2(63)70n m x -+=是关于x 的一元一次方程，求m ，n 满足的条件。

若2(1)(2)(3)0k x k x k -+-+-=是关于x 的一元一次方程，求k 。

已知2(1)(1)30k x k x -+-+=是关于x 的一元一次方程，求k 的值。

若22(1)(1)20a x a x -+-+=是关于x 的一元一次方程，求a 。

若关于x 的方程2(2)450k x kx k ++-=是一元一次方程，则方程的解x =。

求关于x 的一元一次方程21(1)(1)80k k x k x --+--=的解．已知方程1(2)40a a x --+=是一元一次方程，则a =；x =．四、一元一次方程的解法1、解一元一次方程的一般步骤（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数．注意：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号．（2）去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．注意：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边．注意：①移项要变号；②不要丢项．（4）合并同类项：把方程化成ax b =的形式．注意：字母和其指数不变．（5）系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a （0a ≠），得到方程的解b x a=． 注意：不要把分子、分母搞颠倒．2、解一元一次方程常用的方法技巧解一元一次方程常用的方法技巧有：整体思想、换元法、裂项、拆添项以及运用分式的恒等变形等。

（1）基本类型的一元一次方程的解法解方程：6(1)5(2)2(23)x x x ---=+解方程：3(3)52(25)x x -=--解方程：2(43)56(32)2(1)x x x --=--+解方程：12225y y y -+-=- 解方程：122233x x x -+-=-解方程：232164x x ++=+ 解方程：213543x x +--=解方程：112132132x x -+-=（3）含有多层括号的一元一次方程的解法解方程：11133312242y ⎧⎫⎛⎫---=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭解方程：1112{[(4)6]8}19753x ++++= 解方程：11111[(1)]3261224x ------=-解方程：11110721()3(2)33623x x x x x +-⎡⎤⎡⎤--=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（4）一元一次方程的技巧解法解方程：1123(23)(32)11191313x x x -+-+=解方程：113(1)(1)2(1)(1)32x x x x +--=--+ 五．实际问题与一元一次方程（这部分，建议基础不好的学生仅适当尝试做做）（1）、售价指商品卖出去时的的实际售价。

（2）、进价指的是商家从批发部或厂家批发来的价格。

进价指商品的买入价，也称成本价。

（3）、标价指的是商家所标出的每件物品的原价。

它与售价不同，它指的是原价。

（4）、打折指的是原价乘以十分之几或百分之几，则称将标价打了几折。

（5）、盈亏问题：利润=售价－成本；售价=进价+利润；售价=进价+进价×利润率；（6）、产油量=油菜籽亩产量×含油率×种植面积。

（7）、应用：行程问题：路程=时间×速度； 工程问题：工作总量=工作效率×时间；储蓄利润问题：利息=本金×利率×时间；本息和=本金+利息。

一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）（1）审—审题：（2）设—设出未知数：根据提问，巧设未知数．（3）列—列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．（注意带上单位）二、一般行程问题（相遇与追击问题）行程问题基本类型（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x 千米，则列方程为。

解：等量关系步行时间－乘公交车的时间＝3.6小时列出方程是：6.3408=-x x 2、某人从家里骑自行车到学校。

若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？解：等量关系 ⑴速度15千米行的总路程＝速度9千米行的总路程⑵速度15千米行的时间＋15分钟＝速度9千米行的时间－15分钟提醒：速度已知时，设时间列路程等式的方程，设路程列时间等式的方程。